Embed Size (px)
Citation preview
Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара
На правах рукопису
Федорович Анна Ігорівна
УДК 004.67: 620.179.1
ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНА ТЕХНОЛОГІЯ КОНТРОЛЮ ТА
ТЕХНІЧНОЇ ДІАГНОСТИКИ БАГАТОПАРАМЕТРИЧНИХ ОБ‘ЄКТІВ ЗА
ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИМИ ДАНИМИ
05.13.06 - Інформаційні технології
Дисертація на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
науковий керівник
доктор технічних наук
професор
Малайчук Валентин Павлович
Дніпропетровськ - 2016
2
ЗМІСТ
ВСТУП ................................................................................................................................. 5
РОЗДІЛ 1
СУЧАСНИЙ СТАН ПРОЕКТУВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ
НЕРУЙНІВНОГО КОНТРОЛЮ .................................................................................. 11
1.1 Теоретичні основи проектування інформаційних технологій обробки вибірок
експериментальних вимірювань в неруйнівному контролі .......................................... 11
1.2 Математичні основи теорії розпізнавання об’єктів з випадковими параметрами 16
1.3 Апроксимаційна модель відношення функцій правдоподібностей ....................... 18
1.4 Апроксимація логарифму відношення функції правдоподібності ........................ 20
1.5 Висновки до 1-ого розділу.......................................................................................... 22
РОЗДІЛ 2
СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ ЕНТРОПІЙНИХ ПЕРЕТВОРЮВАНЬ
ОДНОВИМІРНИХ ТА ДВОВИМІРНИХ ВИБІРОК ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
З РІЗНИМИ ЗАКОНАМИ РОЗПОДІЛУ ЙМОВІРНОСТЕЙ ................................. 24
2.1 Теоретичні основи ентропійних перетворювань вибірок випадкових величин ... 24
2.2 Статистичний аналіз ентропійних перетворювань вибірок одновимірних
випадкових величин з симетричними та асиметричними законами розподілу
ймовірностей ...................................................................................................................... 28
2.3 Статистичний аналіз ентропійних перетворювань вибірок двомірних випадкових
величин з симетричними та асиметричними законами розподілу ймовірностей ...... 31
2.4 Факторний аналіз інформативності вимірюваних параметрів ............................... 35
2.5 Висновки до 2-ого розділу.......................................................................................... 44
РОЗДІЛ 3
ДЕФЕКТОСКОПІЯ НА ОСНОВІ ЕНТРОПІЙНИХ ПЕРЕТВОРЮВАНЬ
ВИБІРОК ВИМІРЮВАНЬ БАГАТОПАРАМЕТРИЧНИХ ОБ’ЄКТІВ ............... 45
3.1 Постановка задачі ........................................................................................................ 45
3
3.2 Потенційні можливості методу вирішення задач дефектоскопії на основі
ентропійних перетворювачів трьохпараметричних об’єктів контролю ...................... 47
3.3 Факторний аналіз ефективності дефектоскопії на основі експериментальних
вимірювань обмеженого обсягу ....................................................................................... 52
3.4 Дослідження впливу помилок вимірів на ефективність дефектоскопії
багатопараметричних об'єктів неруйнівного контролю ................................................ 61
3.5 Висновок до 3-ого розділу .......................................................................................... 67
РОЗДІЛ 4
СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ КРИТЕРІЇВ НЕПАРАМЕТРИЧНОЇ
СТАТИСТИКИ В ЗАДАЧАХ ДЕФЕКТОСКОПІЇ ................................................... 68
4.1 Постановка задачі ........................................................................................................ 68
4.2 Теоретичні основи рангової непараметричної статистики ..................................... 70
4.3 Аналіз ефективності критеріїв перевірки гіпотез про відсутність зсуву
нормальних вибірок вимірювань ..................................................................................... 74
4.4 Факторний аналіз критеріїв перевірки гіпотези відсутності зсуву ........................ 77
4.5 Дослідження ефективності непараметричних критеріїв в задачах розпізнавання
різниці зсувів ...................................................................................................................... 80
4.6 Аналіз ефективності критеріїв перевірки гіпотез про відсутність різниці
масштабів нормальних вибірок вимірювань .................................................................. 82
4.7 Факторний аналіз критеріїв перевірки гіпотези відсутності різниці масштабів .. 84
4.8 Дослідження ефективності непараметричних критеріїв в задачах розпізнавання
різниці масштабів .............................................................................................................. 88
4.9 Статистичний аналіз змін зсуву та масштабу непараметричним критерієм Буша-
Вінда ................................................................................................................................... 90
4.10 Непараметричні критерії в задачах факторного аналізу параметрів
експериментальних вибірок ........................................................................................... 102
4.11 Висновок до 4-ого розділу ...................................................................................... 108
4
РОЗДІЛ 5
ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНА ТЕХНОЛОГІЯ КЛАСИФІКАЦІЇ В
ЗАДАЧАХ ДЕФЕКТОСКОПІЇ МНОЖИНИ БАГАТОПАРАМЕТРИЧНИХ
ОБ’ЄКТІВ НЕВІДОМОГО СТАНУ ЗА ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИМИ
ВИБІРКАМИ .................................................................................................................. 110
5.1 Постановка задачі ...................................................................................................... 110
5.2 Обробка ентропійних перетворень багатопараметричних вимірювань в задачах
підготовки даних для підтримки прийняття класифікаційних рішень ...................... 117
5.3 Дослідження потенційних можливостей класифікації ентропійних вибірок
випадкових величин ........................................................................................................ 122
5.4 Факторний аналіз ефективності класифікації об’єктів контролю на основі
ентропійних перетворень вимірювань багатопараметричних об’єктів ..................... 125
5.5 Висновки до розділу .................................................................................................. 130
ВИСНОВКИ.................................................................................................................... 132
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ .................................................................. 134
ДОДАТОК А .................................................................................................................... 144
ДОДАТОК Б ..................................................................................................................... 146
5
ВСТУП
Актуальність теми. У задачах неруйнівного контролю багатопараметричних
технічних систем, механізмів, блоків матеріалів інформація про їх стан міститься в
експериментальних вимірах параметрів, які за своєю фізико-хімічною природою є
випадковими величинами, а вимірювання їх спотворюються різного виду
перешкодами і вимірювальним шумом. Залежно від ступеня цих відмінностей
об'єкти контролю поділяються на два класи – бездефектні і дефектні, що
знаходяться у стані норми і браку. При неруйнівному контролі об’єктів за вибірками
експериментальних вимірювань їх параметрів ставиться завдання оцінки стану
проконтрольованих об'єктів та прийняття рішень про те, до якого класу вони
відносяться [1, 2].
Задача неруйнівного контролю багатопараметричних об'єктів за
експериментальними вимірами має свої особливості. Це обмеження на обсяг
вимірювань та апріорні знання про статистичні закономірності і кореляційні зв'язки
параметрів, незнання інтенсивності перешкод і вимірювального шуму, відмінності у
зсувах і розкидах випадкових параметрів різної фізичної природи, незнання
причинно-наслідкових зв'язків параметрів та їх інформативності. Все це ускладнює
обробку вимірювань у задачах проектування інформаційних технологій контролю
стану об'єктів за експериментальними вимірами і вимагає їх спеціальної обробки.
Дослідження рішень задачі оцінки стану дефектності багатопараметричних
об'єктів неруйнівного контролю з урахуванням багатьох особливостей
експериментальних вимірювань мало вивчені. У статистичній теорії розпізнавання
запропоновано рішення за критерієм мінімуму математичного сподівання вартості
прийняття хибних рішень першого та другого роду при заданих законах розподілу
ймовірностей вимірювань параметрів об'єктів контролю у стані норми і в стані
браку. Якщо закони розподілу невідомі, але задані вибірки вимірювань параметрів
еталонних об'єктів контролю, то запропоновано вирішення на основі розкладання
логарифма відношення функції правдоподібності в ряд Колмогорова-Габора та
6
визначення коефіцієнтів цього ряду за нормованими експериментальними
еталонними вимірами оцінками середніх значень параметрів, із використанням
методу групового обліку аргументу Івахненка О.Г.
Дисертаційна робота присвячена вирішенню науково-технічної задачі
вдосконалення проектування інформаційної технології неруйнівного контролю
стану та технічної діагностики багатопараметричних об'єктів за
експериментальними вимірами при нестачі даних про їх статистичні закономірності
та обмеження на обсяг вимірювань. Теоретичні основи проектування вимірювально-
інформаційних технологій викладені в роботах В.П. Бабака, С.М. Маєвського,
Є.С. Переверзєва, В.П. Малайчука. [3-7].
Таким чином, дослідження ентропійних перетворень експериментальних
вимірювань в задачах дефектоскопії та технічної діагностики є актуальною науково-
прикладною задачею.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати
дисертаційної роботи отримані автором у процесі наукових досліджень на кафедрі
радіоелектронної автоматики фізико-технічного факультету Дніпропетровського
національного університету імені О. Гончара у 2008-2015 рр. Дослідження
виконувались у рамках тематики держбюджетних науково-дослідних робіт
Міністерства освіти і науки України: №6-174-08 «Інформаційно-вимірювальні
технології неруйнівного контролю та моніторингу відповідальних об’єктів
машинобудування, енергетики та транспорту» (№ держреєстрації 0108U000639),
№6-229-10 «Математичне забезпечення неруйнівного контролю, моніторингу і
прогнозу стану виробів і агрегатів ракетно-космічної техніки і транспорту» (№
держреєстрації 0110U001291) та №2-282-13 «Інформаційно-аналітична система
підтримки прийняття рішень в задачах технічної діагностики вузлів та агрегатів
ракетно-космічної техніки» (№ держреєстрації 0113U003038). У наведених вище
роботах здобувач був автором відповідних розділів.
Мета і задачі дослідження. Мета дослідження полягає у вирішенні актуальної
науково-прикладної задачі створення інформаційної технології обробки
7
експериментальних даних багатопараметричних об'єктів неруйнівного контролю та
технічної діагностики, на основі використання їх ентропійних перетворень.
Для досягнення мети в дисертаційній роботі необхідно вирішити наступні
задачі:
– проаналізувати сучасний стан обробки експериментальних вимірювань у
задачах дефектоскопії та технічної діагностики багатопараметричних об'єктів
неруйнівного контролю;
– шляхом проведення обчислювальних експериментів провести статистичний
та факторний аналіз ентропійних перетворень багатовимірних вибірок випадкових
величин для створення інформаційної технології;
– дослідити потенційні можливості та ефективність використання
багатопараметричних ентропійних перетворювачів в задачах оцінки дефектності
об'єктів неруйнівного контролю та проектування інформаційних технологій;
– дослідити можливості та ефективність застосування критеріїв
непараметричної статистики у задачах порівняння зсувів і масштабів ентропійних
перетворень випадкових величин та підготувати дані для підтримки прийняття
рішень, щодо аналізу стану об’єктів, що контролюються;
– дослідити можливості класифікації багатопараметричних об'єктів шляхом
порівняльного аналізу зсувів і масштабів їх ентропійних перетворень.
Об'єкт дослідження – процес проектування інформаційної технології
формування даних для прийняття рішень про дефектності багатопараметричних
об'єктах неруйнівного контролю та технічної діагностики.
Предмет дослідження – математичні моделі і методи обробки ентропійних
перетворень експериментальних багатопараметричних вимірювань в інформаційних
технологіях неруйнівного контролю та технічної діагностики в умовах апріорної
невизначеності знань про їх статистичні закономірності, впливу перешкод і
обмежень на обсяг вимірювань.
Методи досліджень. Теорія ймовірностей та математична статистика; теорії
розпізнавання і статистичних висновків; чисельні методи та обчислювальні
експерименти.
8
Наукова новизна одержаних результатів. У проведеному дисертаційному
дослідженні отримані нові наукові результати із проектування інформаційних
технологій неруйнівного контролю та технічної діагностики.
1. Запропоновано нове нормування вимірювань параметрів різної фізичної
природи об’єктів неруйнівного контролю та технічної діагностики шляхом їх
ентропійного перетворення та уявлення багатовимірних вибірок одновимірними без
втрати інформації про їх зсуви, масштаби і кореляційні зв'язки.
2. Отримав подальший розвиток метод групового обліку аргументу за рахунок
факторного аналізу інформативності вимірювань параметрів шляхом проведення
обчислювальних експериментів з ентропійними перетвореннями вибірок та
порівняння оцінок ймовірностей прийняття помилкових рішень.
3. Запропоновано формування і нове подання даних для підтримки прийняття
рішень про дефектність багатопараметричних об'єктів контролю у вигляді оцінок
ймовірності їх стану за всіма можливими варіантами обробки ентропійних
перетворень вибірок вимірювань.
4. Вперше, шляхом проведення обчислювальних експериментів на моделях
вибірок із різними законами розподілу, зсувами і масштабами, була досліджена
інформативність та ефективність багатьох відомих критеріїв непараметричної
статистики та їх комплексне застосування в задачах неруйнівного контролю та
технічної діагностики.
5. Запропоновано для підвищення ефективності оцінки зміни стану та
класифікації безлічі багатопараметричних об'єктів в умовах повної апріорної
невизначеності використовувати комплексно та одночасно три критерії: 1) зсуву –
Ван дер Вардена; 2) масштабу – Клотца; 3) зсуву та масштабу – Буша-Вінда.
Практичне значення отриманих результатів. Результати проведеного
дисертаційного дослідження дозволяють вирішити наступні практичні задачі:
1) оцінювати інформативність вимірюваних параметрів еталонних об'єктів
неруйнівного контролю та технічної діагностики й очікувану ефективність
контролю;
9
2) проектувати інформаційні технології обробки вимірювань параметрів
контрольованих об'єктів і готувати дані для аналізу прийняття рішень про їх
дефектність;
3) при відсутності еталонних об'єктів проводити класифікацію безлічі
контрольованих батопараметричних об'єктів, використовуючи ентропійні
перетворення вимірювань і критерії непараметричної статистики для перевірки
гіпотези про рівність зсувів і масштабів об'єктів сформованих класів.
На основі проведених досліджень розроблено методичне і програмне
забезпечення обробки експериментальних вимірювань у задачах контролю
матеріалів блоків будь-яких технічних систем КБ «Південне». Воно також
використовується у навчальному процесі Дніпропетровського національного
університету ім. Олеся Гончара при викладанні дисциплін «Статистичні методи в
неруйнівному контролі», «Обробка вимірювань та сигналів неруйнівного контролю»
і «Проектування вимірювально-інформаційних технологій неруйнівного контролю»,
що підтверджено актами впровадження.
Особистий внесок здобувача. Всі основні результати, які виносяться на захист,
отримані здобувачем особисто. У роботах, опублікованих у співавторстві,
здобувачеві належить: [8] – обґрунтовано застосування непараметричних критеріїв
Клотца та Буша-Вінда при періодичному контролі; в [10] – досліджено умовні
ймовірності виявлення дефектних ділянок та ймовірності очікуваних втрат; в [12] –
виявлено зменшення перешкод при застосуванні сингулярно-спектральних
перетворень; в [13] – розглянуто математичну модель Марковських гама-
послідовностей; в [14] – розглянуто математичну модель сумарно-різницевих
перетворень дискретних рядів; в [18] – дослідження статистичних закономірностей
ентропійних перетворень, виявлення інформативності вимірювальних параметрів за
допомогою ентропійних перетворювань; у [19] – дослідження статистичних
закономірності критерію Буша-Вінда; у [20] – дослідження впливу перешкод різної
природи на корисні сигнали; у [25] – дослідження різного виду нормування при
використанні ентропійних перетворень; в [26] – дослідження правомірності
виключення квадратних доданків з обмеженого ряду Колмагорова-Габора.
10
Апробація результатів. Дисертація обговорювалась на наукових семінарах
кафедри радіоелектронної автоматики фізико-технічного факультету
Дніпропетровського національного університету ім. О. Гончара.
Основні наукові результати та положення дисертаційної роботи були
представлені й обговорювалися на ХІІІ Міжнародній конференції і виставці
«Сучасні методи та засоби неруйнівного контролю та технічної діагностики» (Ялта,
2010), ХІІ, ХІІІ, ХV, XVI, XVII Міжнародних молодіжних науково-практичних
конференціях «Людина і космос» (Дніпропетровськ, 2010, 2011, 2013, 2014, 2015),
ІІІ Міжнародній конференції «Космічні технології: сьогодення та майбутнє»
(Дніпропетровськ, 2011), науково-технічній конференції «Інформаційні технології у
металургії та машинобудуванні» (ITMM 2010-2012).
Публікації За результатами наукових досліджень опубліковано дев’ятнадцять
друкованих праць: десять статей у спеціалізованих виданнях [8-17], включених до
переліку ВАК України, в тому числі стаття у виданні, що входить до науко
метричної бази РІНЦ, а також дев’ять у вигляді матеріалів наукових конференцій
[18-26].
Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, п’яти
розділів, висновку, списку використаних джерел та двох додатків. Загальних обсяг
дисертації становить 145 сторінки. Основний зміст викладено на 117 сторінках.
Робота містить 35 рисунків та 52 таблиці. Список використаних джерел містить 107
найменувань. Додатки на 4 сторінках.
11
РОЗДІЛ 1
СУЧАСНИЙ СТАН ПРОЕКТУВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ
НЕРУЙНІВНОГО КОНТРОЛЮ
1.1 Теоретичні основи проектування інформаційних технологій обробки
вибірок експериментальних вимірювань в неруйнівному контролі
Підвищення вимог до якості технічних об’єктів викликали інтенсивний
розвиток неруйнівного контролю за експериментальними вибірками вимірювань їх
параметрів. Неруйнівний контроль займає значний обсяг у процесі виробництва,
експлуатації та ремонті, оскільки є завершальною операцією будь-якого
технологічного процесу. Застосування методів неруйнівного контролю (НК)
дозволяє безпечно використовувати вироби незалежно від їх розрахункового
терміну експлуатації, відстежуючи їх фактичний стан. Неруйнівний контроль – це
резерв підвищення і гарантія якості продукції, що випускається. Сьогодні НК –
наймасовіша технологічна операція [27,28].
Задача неруйнівного контролю полягає у вимірюванні параметрів різної
фізичної природи, що характеризують стан якості технічних об’єктів, матеріалів,
механізмів та технологічних процесів та обробки цих вимірювань. За способами
отримання первинної інформації розрізняють наступні види неруйнівного
контролю: радіаційний, акустичний, віхрострумовий, магнітний, оптичний,
тепловий, капілярний, течешуканням, вібраційний, радіохвильовий, електричний,
акустико-емісійний [29-31].
Технологію неруйнівного контролю, незалежно від його фізичного вигляду,
можна умовно розділити на етапи [27]: планування, проведення, обробка вимірів та
прийняття рішень за результатами обробки.
На етапі планування технології НК залежно від фізичних особливостей
досліджуваного об'єкта відбувається вибір методу контролю, приладів і
вимірювальних засобів [30,31-34]. Далі розробляється методика проведення
процедури контролю [35]. Результати контролю прямо або побічно свідчать про
12
стан контрольованого виробу і потребують обробки та інтерпретації. Обробка
інформації в системах неруйнівного контролю має на увазі:
а) перетворення порушуваних полів, випромінювань і коливань в аналогові
електричні сигнали;
б) подання їх у цифровому вигляді;
в) аналіз дискретних сигналів та вимірювання їх інформативних параметрів;
г) запам'ятовування масивів вимірювань у вигляді вибірок і матриць;
д) представлення результатів контролю у вигляді, зручному для інтерпретації та
прийняття рішень про якість виробу.
Етап обробки результатів вимірювань є важливим етапом технології
неруйнівного контролю. Проблемам обробки експериментальних даних присвячено
багато робіт, наприклад, [36-42]. На першому етапі розвитку теорії обробки
інформації в засобах неруйнівного контролю основна увага приділялася питанням
оптимального прийому сигналів. Подальші дослідження пішли у напрямку переходу
від обробки сигналів до обробки масивів вимірювань [7,43], від контролю за одним
параметром до багатопараметричного неруйнівного контролю [44,45]. Основні
труднощі етапу обробки результатів контролю обумовлені відсутністю апріорної
інформації про дефекти і аномалії та їх вплив на інформативні параметри [46].
Також важливим є те, що вимірювання, отримані в результаті контролю, мають
випадкову природу. Причинами випадковості є помилки вимірювань, випадкові
зміни властивостей вихідних матеріалів, неконтрольовані зміни технологічних
процесів, вплив навколишнього середовища. Основні види випадкових сигналів, які
досліджуються в неруйнівному контролі, наведені в [5, стр.13-121]. Математичні
методи опису випадкових сигналів розглядаються в роботі [47].
Різноманітність об'єктів контролю, апріорна невизначеність відомостей про
дефекти і стохастичность результатів вимірювань призводять до ускладнень синтезу
алгоритмів обробки інформації.
Наступний важливий етап технології нуруйнівного контролю – це етап
прийняття рішення про стан об'єкта контролю. В умовах невизначеності вихідних
даних необхідно прагнути до оптимального використання наявної інформації та,
13
зваживши всі можливі варіанти рішення, знайти серед них найкращий. У зв'язку з
широтою проблеми прийняття рішень можна навести багато праць, присвячених її
рішенню, наприклад, [2,48-53]. Однак багато робоіт не порушують питання щодо
практичного застосування, яке є надзвичайно важливе для вирішення завдань
неруйнівного контролю.
Прийняття виважених рішень за результатами контролю безпосередньо
залежать від ефективності обробки вимірювань. Ці два заключних етапи технології
НК нерозривно пов'язані один з одним і утворюють її інформаційно-вимірювальну
частину. Система алгоритмів і програм обробки вимірювань, методика та порядок їх
практичного застосування, способи формування емпіричних вирішальних правил
контролю, вибір порогових значень складають інформаційно-вимірювальну
технологію неруйнівного контролю.
Основи інформаційно-вимірювальних технологій неруйнівного контолю
викладені в роботі [54]. В роботі [55, стр. 15] наведена узагальнена схема технології
неруйнівного контролю та її основні структурні складові. Дана схема представлена
на рисунку 1.1.
14
Рисунок 1.1 – Схема технології неруйнівного контролю
Задачі розпізнавання в галузі неруйнівного контолю намагалися вирішувати
різними способами, наприклад, пропонувалося використання можливостей методу
нейронних мереж. Класична схема нейронної мережі, призначена для вирішення
класифікаційних задач неруйнівного контолю, пропонується в [56]. Також, один з
напрямків розвитку технології неруйнівного контолю полягає в спробі автоматизації
інформаційно-вимірювальних технологій контролю [34,55] і створення експертних
систем неруйнівного контолю [43,56]. Для повноцінної роботи автоматизованих
систем неруйнівного контолю необхідно алгоритмічне та програмне забезпечення
задач обробки вимірювань і формування вирішальних правил (особливо важливі
алгоритми і моделі, придатні для практичних цілей).
Проведений аналіз методологічних основ інформаційних технологій
неруйнівного контролю та технічної діагностики об'єктів підвищеної небезпеки
шляхом вимірювання параметрів, що характеризують стан і якість, методи їх
обробки, дозволяють сформувати ряд науково-технічних завдань, спрямованих на
вдосконалення математичного забезпечення неруйнівного контролю та технічної
діагностики.
Фізична
модель
Об’єкт
контролю
Вимірювачі
Інформативні
параметри
Вирішальні
правила
Обробка
вимірювань
Вимоги до
якості
Методика
вимірювань
Статистичний
аналіз
результатів
Результати
обробки
Візуалізація Інтерпретація
результатів
15
Повинна бути проведена порівняльна оцінка методів формування за
експериментальними вибірками вимірювань правил прийняття рішень в різних
завданнях контролю, моніторингу та прогнозу, технічної діагностики. При цьому
повинні враховуватися невизначеність апріорної інформації й обмеження на обсяг
вимірювань, у тому числі об'єктів з випадковими параметрами; повинні
враховуватися кореляційні зв'язки між параметрами і між вимірами, спотворення їх
перешкодами і невизначеність вибору критеріїв стану та якості оптимальності
прийнятих рішень контролю. При відсутності або при малих об'ємах еталонних
вимірювань невизначеність повинна усуватися шляхом проектування адаптивних
вимірювально-інформаційних технологій. Повинно бути проведено дослідження і
вирішення наступних науково-технічних завдань неруйнівного контролю з метою
порівняльної оцінки методів формування за експериментальними вимірюваннями
правил прийняття рішень про їх стан та прогноз стану та якості контрольованих
об'єктів в процесі їх спостереження (моніторингу).
При вирішенні цього науково-технічного завдання передбачається розробка
математичних моделей об'єктів контролю, алгоритмічного та програмного
забезпечення, проведення обчислювальних експериментів на основі результатів
досліджень, підготовка візуально-аналітичного представлення даних для підтримки
прийняття рішень в автоматизованих системах неруйнівного контролю, моніторингу
та технічної діагностики.
Питаннями розпізнавання займались вітчизняні вчені, такі як: Ананьєв С. Н.,
Бабак В. П., Єрьоменко В. С., Кобзар А. І., Куренков Н. І., Лебедєв Б. Д., Лемешко
С. Б., Маєвський С. М., Малайчук В. П., Міховський М., Попов А., Щербак Л. М., та
іноземні науковці: Bush J. R., De Lange E.M., Laubsher N. F., Steffence F. E., Torkkola
K., Wieand H. S., Wunsch D. II, Xu Rui.
16
1.2 Математичні основи теорії розпізнавання об’єктів з випадковими
параметрами
Обробка експериментальних вимірів в задачах неруйнівного контролю має на
меті показників, що легко інтерпретуються та які характеризують стан об’єктів або
прогноз їх стану. Прийняття рішень залишається за людиною, при цьому важливе
значення мають дані про причинно-наслідкові зв’язки між вимірюваннями та
інформативністю вимірювальних параметрів.
Математичні моделі дефектоскопії розглядають в статистичних теоріях
розпізнавання та теорії статистичних висновків. Якщо об’єкти контролю можуть
знаходитись лише у двох станах – бездефектному та дефектному (стан «норми» або
«браку»), то теорія вирішення задачі розпізнавання відома [7]. Передбачається, що
виміри параметрів об’єкту контролю є випадковими величинами та задані їх закони
розподілу ймовірностей
H
x,...,x,xW n21 та
Б
x,...,x,xW n21 , а також відомі
ймовірності знаходження контрольованих об’єктів в стані норми HP0 та браку
БP0. Це показники технологічного процесу їх виробництва.
В якості показників, що характеризують очікувану якість контролю,
використовують ймовірність прийняття помилкових рішень: прийняття норми за
брак Н
БP , та браку за норму Б
НP . Враховуючи, що наслідки прийняття
помилкових рішень «норма-брак» та «брак-норма» далеко не рівноцінні, вводять
плату за наслідки помилкових рішень контролю Б
НС ті Н
БС і результати
контролю оцінюють вартість прийняття помилкових рішень
Б
НСБ
НРБРН
БСН
БРНРПРС 00 , (1.1)
де Н
БP та Б
НP – умовній ймовірності прийняття помилкових рішень.
17
Якщо задана вибірка вимірювань об’єкту, що контролюється nx,...,x,x 21, то
оптимальне вирішальне правило розпізнавання стану об’єкту контролю за критерієм
мінімуму вартості прийняття помилкових рішень, формулюється наступним чином:
1) необхідно обчислити значення оптимальних умовних функцій правдоподібності
Бx,...,x,x
W
Hx,...,x,x
W
x,...,x,xn
n
n
21
21
21 , (1.2)
2) порівняти отриманні значення nx,...,x,x 21 з відношенням очікуваних вартостей
прийняття помилкових рішень, і якщо виконується нерівність
НБСНP
БНСБP
x,...,x,x n
0
0
021 , (1.3)
то приймається рішення, що контрольований об’єкт знаходиться у стані норми.
Якщо виконується протилежна нерівність, то рішення – об’єкт у стані браку.
Ефективність контролю в задачах дефектоскопії оцінюється ймовірністю
прийняття помилкових рішень
Б
НРБРН
БРНРПP 00 (1.4)
Відношення умовних функцій правдоподібності
Н
x,...,x,x n21
Б
x,...,x,x n21 є одновимірними випадковими величинами зі своїми умовними
законами розподілу ймовірностей H
W і Б
W та якщо вони відомі, то можна
визначити умовні ймовірності прийняття помилкових рішень
18
0
0
dH
WН
БP ,
0
dБ
WБ
HP . (1.5)
Як правило, ці закони невідомі та важко їх отримати для багатовимірних
вимірювань, навіть якщо статистичні закономірності об’єкту з випадковими
параметрами відомі. На практиці широко використовуються різні апроксимації
статистичних закономірностей вимірювань, які дозволяють формувати дані для
аналізу стану об’єкту, що контролюється, та подальшого прийняття тих або інших
рішень.
Викладені вище математичні основи теорії розпізнавання та статистичних
висновків є базовими знаннями для вирішення науково-прикладних задач
неруйнівного контролю та технічної діагностики за експериментальними
вимірюваннями з невідомими статистичними закономірностями та обмеженням на
їх обсяг. Розглянемо апроксимуючи моделі обробки вимірювань в задачах контролю
стану багатопараметричних об’єктів.
1.3 Апроксимаційна модель відношення функцій правдоподібностей
Розглянемо двопараметричну функцію відношення правдоподібності 21xx та
розклад її в обмежений ряд Тейлора. Розглянемо ряд Тейлора другого порядку
215
2
44
2
132211021 xxaxaxaxaxaaxx* (1.6)
Оцінимо умовні математичні сподівання H
M* , якщо вимірювання належать
об’єкту у стані норми, та Б
M* , якщо вимірювання належать дефектному об’єкту.
19
12115
2
124
2
1131221110 xxMaxMaxMaxMaxMaaH
M*
, (1.7)
22215
2
224
2
2132222110 xxMaxMaxMaxMaxMaaБ
M*
. (1.8)
Розглянемо математичне сподівання їх різниці
2155
2
44
2
332211 xxMaxMaxMaxMaxMaM * . (1.9)
Із цього виразу випливає, що апроксимація, що досліджується містить
інформацію про різницю математичних сподівань вимірювальних параметрів,
об’єктів що контролюються, та їх дисперсій і коваріацій (кореляційних зв’язків
параметрів). Вони є найбільш інформативні показники відмінності стану об’єктів
контролю.
Використовуючи апроксимацію (1.6), можна сформувати вирішальне правило
розпізнавання стану об’єктів, що контролюються. Необхідно, маючи дві двовимірні
вибірки вимірювань параметрів об’єктів в стані норми та в дефектному стані
H
kx11 , H
kx12 та Б
kx21 , Б
kx22 , n,...,,k 21 , 6n розв’язати дві системи
нерівностей виду
01121115
2
1214
2
1113121211110121
kxkxakxakxakxakxaaH
xx*,
01222125
2
2224
2
2123222221210221
kxkxakxakxakxakxaaБ
xx*, (1.10)
Використання цієї апроксимації можливо, лише у випадку, коли вимірювання
kx1 та kx2 є вимірюваннями однієї фізичної (хімічної, біологічної) природи у
одних і тих же одиницях вимірювання. У протилежному випадку вимірювання
необхідно нормувати. Цей метод розглянутий у роботі [7].
20
1.4 Апроксимація логарифму відношення функції правдоподібності
Розглянемо задачу розпізнавання двох об'єктів 1O і
2O за вимірюваннями
вектора параметрів T
mxxxx 21 . Параметри можуть мати різну фізичну природу і
розмірність, їх закони розпізнавання невідомі, але задані вимірювання параметрів у
вигляді таблиць класифікованих даних 1O і
2O .
Таблиця 1.1 – Вхідні дані
№ 1O
2O
1x
2x ... mx
1x 2x ...
mx
1 11x
21x ... 1mx
11x 21x ...
1mx
2 12x
22x ... 2mx
12x 22x ...
2mx
... ... ... ... ... ... ... ... ...
n 11nx
12nx ... 1mnx
21nx 22nx ...
2mnx
За даними таблиці можна було б відновити багатовимірні закони розподілу
1OxW * і 2OxW * , утворити відношення правдоподібності
2
1
OxW
OxWxl
*
*
(1.11)
і записати вирішальне правило розпізнавання об'єкту 1O
0llnxlln . (1.12)
Однак відновлення багатовимірних законів, особливо при невеликих вибірках
– завдання складне. А.Г. Івахненко запропонував метод побудови вирішальних
правил розпізнавання без відновлення законів розподілу, що отримав назву методу
21
групового обліку аргументів. Метод запропонований А.Г. Івахненко послідовного
ієрархічного формування вирішального правила на основі часткових поліномів
Колмогорова-Габора другого порядку.
.xxaxaxaxaxaa)xx(L 215
2
24
2
132211021 (1.13)
У задачах розпізнавання ефективність вирішальних правил залежить від
відмінностей законів розподілу параметрів )(
ix 1 і )(
ix 2 . Тому спростимо приватні
поліноми, відкинувши квадрати 2
1x і 2
2x . В роботі [7] розглянуто задачу формування
вирішальної функції на прикладі чотирьох параметрів 4321 x,x,x,x , та отримано
формулу для оцінки логарифму відношення правдоподібності
,xxxxAxxxAxxxAxxxAxxxA
xxAxxAxxAxxAxxAxxA
xAxAxAxAA)xxxx(L
*****
******
*****
43211543214431134211232111
4210419328317436215
4433221104321
(1.14)
де *
iA визначається через оцінки коефіцієнтів *
ia , *
ib , *
ic , при цьому різко
зростають помилки оцінювання коефіцієнтів *
iA .
Вирішальне правило розпізнавання об'єкта 1O має вигляд:
.)xxxx(L* 04321 (1.15)
Таким чином, угруповання аргументів парами дозволяє оцінювати невідомі
коефіцієнти поліномів, вирішуючи однотипні системи лінійних рівнянь четвертого
порядку.
Недоліком цього методу є: 1) необхідність нормування експериментальних
вимірювань за усередненими середніми значеннями вимірювань контрольованих
параметрів та їх вибірковими дисперсіями без врахування статистичних зв’язків між
22
ними і це погано вливає на інформативність параметрів об’єктів, що
контролюються; 2) при формуванні скінченного апроксимованого поліному
Колмогорова-Габора для логарифму відношення правдоподібності шляхом
розрахунку часткових поліномів збільшуються помилки оцінок його коефіцієнтів та
ймовірності помилок контролю, першого і другого роду.
1.5 Висновки до 1-ого розділу
Незважаючи на значну кількість досліджень, у галузі неруйнівного контролю
багатопараметричних об’єктів існує ряд актуальних проблем, які не знайшли свого
повного розв’язку та мають певні недоліки.
Недоліки застосування методу групового обліку аргументів в задачах
багатопараметричної дефектоскопії можуть бути зменшені, якщо застосовувати
вказаний метод не шляхом нормування вимірювань різної фізичної природи та
розкладанням логарифму відношення функції правдоподібності у ряд Колмогорова-
Габора та обчислювати його коефіцієнти за експериментальними вимірюваннями, а
групувати та порівнювати оцінки ентропійних перетворень вимірювань об’єктів, що
контролюються. Для того, щоб проектувати такі інформаційні технології, необхідно
провести дослідження їх інформативності та працездатності в умовах нестачі
апріорних знань та обмежень на обсяг вимірювань. З цих міркувань випливає
науково-технічне завдання дисертаційного дослідження – вдосконалення
інформаційної технології формування даних для візуального аналізу та підтримки
прийняття рішення про дефектність багатопараметричних об’єктів шляхом обробки
ентропійних перетворень експериментальних вимірювань їх параметрів в умовах
апріорної невизначеності про їх статистичні закономірності, впливу перешкод та
обмежень на обсяг вимірювань.
23
Передусім необхідно дослідити статистичні закономірності ентропійних
перетворень вибірок вимірювань з різними законами розподілу ймовірностей та
впливу на них змін параметрів зсуву, масштабу та кореляції.
Оцінити потенційну ефективність неруйнівного контролю дефектності
багатопараметричних об’єктів з випадковими параметрами та провести факторний
аналіз інформативності параметрів, що вимірюються.
Дослідити можливості використання в інформаційних технологіях
неруйнівного контролю багатопараметричних об’єктів критеріїв непараметричної
статистики для порівняння вибірок ентропійних перетворень з різним зсувом,
масштабом та невідомими законами розподілу ймовірностей.
Розглянути можливість дослідження причинно-наслідкових зв’язків
параметрів, що вимірюються та стану об’єктів, що контролюються, за результатами
факторного статистичного аналізу ентропійних перетворень експериментальних
вибірок вимірювань шляхом проведення обчислювальних експериментів.
Основні наукові результати розділу 1 опубліковано у роботах [10,11]
24
РОЗДІЛ 2
СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ ЕНТРОПІЙНИХ ПЕРЕТВОРЮВАНЬ
ОДНОВИМІРНИХ ТА ДВОВИМІРНИХ ВИБІРОК ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
З РІЗНИМИ ЗАКОНАМИ РОЗПОДІЛУ ЙМОВІРНОСТЕЙ
2.1 Теоретичні основи ентропійних перетворювань вибірок випадкових
величин
Ентропія визначає міру невизначеності усієї безлічі інформації на вході
системи і обчислюється як середня кількість власної інформації у всіх
повідомленнях.
У разі статистичної незалежності параметрів об'єкта контролю їх загальна
ентропія дорівнює сумі ентропій кожного з джерел. У разі повної статистичної
залежності параметрів загальна ентропія дорівнює безумовній ентропії одного з
параметрів, другий параметр при цьому інформації не додасть. При наявності
зв'язку між параметрами одного об'єкта контролю інформативність ентропії
знижується, із зростанням кореляції між параметрами.
Виділяють наступні основні властивості ентропії:
1. Ентропія тим більше, чим більше обсяг вихідних даних.
2. Ентропія залежить від статистичних властивостей вихідних даних.
3. Ентропія максимальна якщо вихідні дані рівноімовірні і незалежні.
4. За наявності статистичного зв'язку між параметрами вихідних даних ентропія
зменшується [3].
Загальна ентропія двох вибірок дорівнює сумі безумовної ентропії однієї
вибірки на умовну ентропію другої. Умовна ентропія змінюється в межах
2
1
20 xHx
xH
, де 2
xH – це ентропія другого параметру. Для загальної
ентропії двох параметрів завжди існує співвідношення 2121
),( xHxHxxH , при
цьому рівність виконується лише для незалежних параметрів об’єктів контролю.
25
Статистична теорія розпізнавання стану об'єктів за результатами
багатопараметричних вибірок вимірювань передбачає вирішення цієї задачі за
апріорними знаннями їх статистичних закономірностей – умовних багатовимірних
законів розподілу ймовірностей. При відсутності цих знань відомо рішення задачі
дефектоскопії за експериментальними багатопараметричними вимірами шляхом їх
нормування і розкладання функцій відношення правдоподібності в ряд
Колмогорова-Габора та оцінки його коефіцієнтів методом групового обліку
аргументів, використовуючи експериментальні вибірки вимірювань контрольованих
параметрів [7]. Ефективність методу в основному залежить від відмінності
математичних сподівань їх параметрів, дисперсій і кореляційних зв'язків вибірок
вимірювань параметрів контрольованих об'єктів в стані норми або при наявності
дефектів. Причин дефектності може бути одна або декілька, які, так чи інакше
впливають на контрольовані параметри. Багатопараметричні вимірювання містять
інформацію про причинно-наслідкові зв'язки, та їх обробка і оцінка дозволяють
вирішувати також і задачі технічної діагностики. Як відомо, інформативність
випадкових процесів оцінюється ентропією – математичним сподіванням логарифма
їх законів розподілу ймовірностей. Її вимірювання характеризує відмінності
інформативності вибірок вимірювань і може використовуватися для розпізнавання
та оцінки дефектності об'єктів неруйнівного контролю за експериментальними
даними. Ентропію одного виміру у вибірці випадкових незалежних нормальних
параметрів можна визначити за формулою
D
axDxL
22ln
2
, (2.1)
де a , D математичне сподівання і дисперсія вимірюваного параметра.
Для ентропійних перетворень статистично залежних нормальних вимірювань
двох параметрів формула запишеться у вигляді
26
2
2
22
21
2211
2
1
11
2
2
2121
2
)1(2
1
)1(2ln)(
D
ax
DD
axaxr
D
ax
r
rDDxxL
(2.2)
де r коефіцієнт кореляції вимірювань 21
, xx .
Вирази (2.1) і (2.2) можна розглядати як математичні моделі одновимірного і
двовимірного ентропійних перетворювачів, а для дослідження трьохпараметричних
об'єктів можна сформувати три моделі виду
)()(321321
xxLxLxxxL , (2.3)
)()(312321
xxLxLxxxL , (2.4)
)()(213321
xxLxLxxxL . (2.5)
У цих вибірках міститься інформація про причинно-наслідкові зв'язки між
параметрами об'єктів контролю, при цьому багатопараметричні вибірки вимірювань
перетворюються на однопараметричні без втрати інформації про стан об'єктів. На
основі їх обробки та статистичного аналізу представляється можливість готувати
візуально-аналітичні дані для підтримки прийняття рішень про інформативність
вимірювань та дефектність контрольованих об'єктів.
Якщо ентропійні перетворювачі (2.1) і (2.2) використовуються для перетворень
одновимірних і двовимірних випадкових величин з тими ж зсувами, масштабами і
коефіцієнтами кореляції як і у еталонних вибірок, то математичні сподівання цих
перетворень рівні
2
12ln)( DxLM , (2.6)
1)1(2ln)( 2
2121 rDDxxLM (2.7)
27
та не залежать від математичних сподівань перетворюваних вибірок.
Якщо ними перетворюються незалежні вибірки з такими ж математичними
сподіваннями, але іншими дисперсіями 3
D і 4
D , то математичні сподівання )(xL і
)(43
xxL дорівнюють
D
DDxM 1
12
12ln)( , (2.8)
2
2
4
1
32
21431
1
2
1)1(2ln)(
rD
D
D
DrDDxxLM . (2.9)
Якщо перетворюються вибірки двох незалежних випадкових величин 034r
такими ж зсувом і масштабом, то
2
2
21431
112ln
rrDDxxLM
. (2.10)
Якщо перетвориться вибірка двох незалежних випадкових величин зі своїми
зсувами 1
a , 31
a і 42
a , то
D
aDDxM
2
11
2
12ln) , (2.11)
.2
12
1
12ln
2
2
424
21
4231
1
2
313
2
2
2143
D
aD
DD
aar
D
aD
r
rDDxxLM
(2.12)
З проведеного теоретичного аналізу випливає висновок про високу чутливість
ентропійних перетворювачів до змін статистичних параметрів досліджуваних
вибірок, зміни їх зсувів, масштабів, коефіцієнтів кореляції і про придатність їх для
вирішення завдань дефектоскопії контрольованих об'єктів за експериментальними
28
даними. Що підтверджує загальні теоретичні твердження щодо ентропіних
перетворювань, що викладені вище.
2.2 Статистичний аналіз ентропійних перетворювань вибірок одновимірних
випадкових величин з симетричними та асиметричними законами розподілу
ймовірностей
Для дослідження статистичних закономірностей перетворених вибірок був
проведений обчислювальний експеримент з метою оцінки гістограм та впливу на
перетворення вимірів двох видів законів розподілу ймовірностей (симетричних і
асиметричних); нормального і експоненціального із заданими еталонними
математичними сподіваннями, і дисперсіями ,11a ,
22a ,2
11D ,2
22D r .
Ентропійне перетворення одновимірного нормального розподілу здійснюється
за формулою (2.1), для експоненціального розподілу ймовірностей це перетворення
запишеться у вигляді
x
xL ln (2.13)
де параметр експоненціального розподілу
Експеримент 2.1. Сформовані дві вибірки гаусових та експоненціальних
вимірювань та досліджені статистичні закономірності їх ентропійних перетворень,
якщо, ,11a ,1
1D .1
1 На рисунку 2.1 представлені їх гістограми і в таблиці 2.1
оцінки математичних сподівань і вибіркових дисперсій.
29
Рисунок 2.1 – Гістограми еталонних перетворень а) вимірювання гауса; б)
експоненціальні вимірювання
Таблица 2.1 – Статистичні показники ентропійних перетворювань
Н/Н Н/Э
L *D L *D
1,442 0,739 1,384 1,136
Оскільки розглянуті випадки кардинальної різниці у видах законів розподілу
ймовірностей, то це дає можливість стверджувати, що зсув ентропійних
перетворювань нечутливий до видів законів розподілу ймовірностей вхідних даних.
Крім того вид законну розподілу ймовірностей ентропійних перетворювачів також
не змінюється, а реагує лише дисперсія перетворювачів. Отже, це підтверджує
можливість використовувати ентропійні перетворювання незважаючи на апріорні
незнання статистичних закономірностей вхідних даних.
Експеримент 2.2. Дослідження впливу на статистичні закономірності
ентропійних перетворень, змінюються лише математичні сподівання досліджуваних
нормальних вибірок при порівняння з еталонними вибірками в два рази 23a або
лише дисперсій теж в два рази 23D . Результати обчислювального експерименту
представлені у вигляді гістограм, оцінок математичних сподівань і значень
середньоквадратичних розкидів. На рисунку 2.2 представлені гістограми
ентропійних перетворень з математичним сподіванням 23a (рисунок 2.2а) і
дисперсією 23D (рисунок 2.2б).
30
Рисунок 2.2 – Гістограми ентропійних перетворень а) зміна лише математичного
сподівання; б) зміна лише дисперсій
У таблиці 2.2 представлені зміни середніх значень і зміни масштабів
(вибіркових дисперсій).
Таблиця 2.2 – Зміни статистичних показників
11a , 1
1D 2
3a , 1
1D 1
1a , 2
3D
L *D L *D L *D
1,442 0,739 1,902 1,223 2,854 2,738
З аналізу результатів цього експерименту випливає, що зміни зсувів і
масштабів досліджуваних вибірок призводить до зміни зсувів ентропійних
перетворень і зміщення гістограм. При зміні параметрів вимірювань вдвічі середні
значення зсувів ентропійних перетворень змінюються в 1,5 - 2 рази.
31
2.3 Статистичний аналіз ентропійних перетворювань вибірок двомірних
випадкових величин з симетричними та асиметричними законами розподілу
ймовірностей
Для дослідження статистичних закономірностей перетворених вибірок був
проведений обчислювальний експеримент з метою оцінки гістограм та впливу на
перетворення вимірів двох видів законів розподілу ймовірностей (симетричних і
асиметричних); нормального і експоненціального із заданими еталонними
математичними сподіваннями, дисперсіями і коефіцієнтами кореляції: ,11a
,22
a ,2
11D ,2
22D r .
Двомірний нормальний розподіл запишеться у вигляди
2
2
2
2
21
21
2
1
1
2
21
2112
2
exp12
1)(
r
axaxaxr
ax
rxxW
(2.14)
Двомірний експоненціальний розподіл має вигляд
2
21
21
02
21
21
2
2
2
1
211
2
11
1
r
xrxI
r
xxexp
r)xx(W (2.15)
Ентропійне перетворення двовимірного експоненціального розподілу запишеться у
вигляді:
2
2
1
1
20
2
2
1
1
2
2
21211
2
1
11
xx
r
rIln
xx
r)r(ln)xx(L , (2.16)
32
де
1
2
202!
11)(
i
i
z
izI .
Експеримент 2.3. Дослідження статистичних закономірностей ентропійних
перетворень 21
xxLн
і 21
xxLэ
двох вибірок вимірювань які не відрізняються від
еталонних та відмінних від еталонних тільки видами законів розподілу
ймовірностей. За результатами обчислювальних експериментів побудовано чотири
умовні гістограми вибірок перетворень )(),()(21
kxkxLkL , ,5.01a ,1
2a
,25,01D ,1
2D ,5,0
1 ,1
2 8,0r .
Рисунок 2.3 – Гістограми еталонних перетворень а) нормальні випадкові
величини і нормальний ентропійний перетворювач; б) експоненціальні випадкові
величини і нормальний ентропійний перетворювач; в) експоненціальні випадкові
величини і експоненціальний ентропійний перетворювач; г) нормальні випадкові
величини і експоненціальний ентропійний перетворювач
33
Таблиця 2.3 – Статистичні закономірності 21
xxL
Н/Н Е/Н Е/Е Н/Е
x 2,76 2,762 1,431 1,404
*D 0,743 1,917 1,302 1,141
Слід зазначити, що при використанні експоненціального ентропійного
перетворювача, для перетворення нормальних випадкових величин, статистика
ентропії змінює закон розподілу ймовірностей на нормальний. Це явище може буди
використано у дефектоскопії, як маркер для визначення об’єкту з іншим законом
розподілу ймовірностей.
З результатами цього експерименту можна зробити висновок, що зсуви
ентропійних перетворень мало чутливі до виду закону розподілу ймовірностей
вхідних даних. Це розширює можливості використання ентропійних перетворень в
задачах дефектоскопії об'єктів з невідомими законами розподілу, якщо рішення
приймати шляхом порівняння середніх значень, розкид яких зменшується із
збільшенням розмірів вибірок вимірювань.
Експеримент 2.4. Дослідження впливу на статистичні закономірності
ентропійних перетворень змін або лише математичного сподівання досліджуваних
нормальних вибірок при порівняння з еталонними вибірках в два рази 13a 2
4a ,
або лише масштаба теж в два раза 5,03D і 2
4D . Результати обчислювального
експерименту представлені у вигляді гістограм, оцінок математичних сподівань і
значень середньоквадратичних розкидів. На рисунку 2.4 представлені гістограми
ентропійних перетворень з математичним сподіванням 13a та 2
4a (рисунок
2.4а) і 25,03D 2
4D (рисунок 2.4б).
34
Рисунок 2.4 – Гістограми ентропійних перетворювань а) зміна лише зсувів; б) зміна
лише масштабів
У таблиці 2.4 представлені зміни середніх значень та зміни масштабів
(вибіркових дисперсій).
Таблиця 2.4 – Зміни статистичних показників
5,01a 1
2a
25,01D 1
2D
8,0r
13a 2
4a
25,01D 1
2D
8,0r
5,01a 1
2a
5,03D 2
4D
8,0r
L *D L *D L *D
1,653 1,027 2,359 0,938 2,323 0,967
З аналізу результатів цього експерименту випливає, що зміни зсувів і
масштабів досліджуваних вибірок призводить до зміни зсувів ентропійних
перетворень і зміщення гістограм. При зміні параметрів вимірювань вдвічі середні
значення зсувів ентропійних перетворень змінюються в 1,5 рази.
Експеримент 2.5. Досліджено вплив декорреляции ( 0r ) змін математичних
сподівань, дисперсій і кореляції ( 0r ). На рисунку 2.5 представлені гістограми
ентропійних перетворень при кореляції ( 80,r ) (рисунок 2.5а) і декорреляции
вхідних даних (рисунок 2.5б).
35
Рисунок 2.5 – Гістограми ентропійних перетворювачів
У таблиці 2.5 наведені статистичні показники ентропійних перетворень вибірок
з різною кореляцією ( 8,0r і 0r ).
Таблиця 2.5 – Статистичні показники при різній кореляції
5,01a 1
2a 5,0
1D 1
2D 8,0r 5,0
1a 1
2a 5,0
1D 1
2D 0r
L *D L *D
1,636 1,069 2,146 1,039
З даних таблиці 2.5 і рисунка 2.5 випливає, що руйнування кореляції
вимірювань веде до змін зсувів ентропійних перетворень, до їх зростання теж у 1,5
рази.
2.4 Факторний аналіз інформативності вимірюваних параметрів
Коли мова йде про багатопараметричні об’єкти неруйнівного контролю,
виникає питання про інформативність вимірювальних параметрів. Оскільки кожне
вимірювання супроводжується економічними витратами, то слід дослідити
доцільність цих витрат. Для вирішення цього питання було проведено
36
обчислювальні експерименти, які дозволили оцінити інформативність параметрів
об’єкту неруйнівного контролю при наявності або відсутності зв’язку між ними.
Припустимо, що об’єкт, який потрапив на контроль описується двома
параметрами 1
x та 2
x . Необхідно дослідити інформативність кожного з них при
прийнятті рішення до якого класу норми або браку належить об’єкт контролю. При
цьому слід враховувати залежні чи незалежні параметри 1
x та 2
x . В якості міри
інформативності кожного з параметрів оберемо ймовірність прийняття правильного
рішення щодо стану об’єкту контролю, обчислену за параметром 1
x , 2
x або двома
відразу.
Вважаючи відомими параметри вимірювань об'єктів контролю в стані норми і
браку i
a1
, i
D1
, i
r1
, 2,1i і i
a2
, i
D2
, i
r2
і математичні моделі ентропійних
перетворювачів i
xLH
, jiH
xxL , і iБ
xL , jiБ
xxL 2,1i , ji . сформуємо два
узагальнених ентропійних перетворювача норми і браку
2
1
22
121
2
1
2
1
i ijjiH
iiHН
xxLxLxxL , (2.17)
2
1
22
121
2
1
2
1
i ijjiБ
iiББ
xxLxLxxL . (2.18)
Проведено обчислювальний експеримент при наступних параметрах вимірювань
еталонних об'єктів (дані наведені в таблиці 2.6).
Таблиця 2.6 – Дані для обчислювального експерименту
1
a 2
a 1
D 2
D 12r
Н 0 1 1 0,25 0
Б 1 2 0,5 0,5 0,8
37
Використовуючи ентропійні перетворювачі 21
xxLН
і 21
xxLБ
, та три вибірки
вимірювань, що характеризують об'єкти в стані норми H
kx1
і, H
kx2
і H
kxx21
,
такі ж три вибірки вимірювань об'єктів у стані браку, сформуємо вибірки їх
ентропійних перетворень 1
kLH
, 2
kLH
, 12
kLH
і 1
kLБ
, 2
kLБ
, 12
kLБ
,
10000,...,2,1N і визначимо їх середні значення і середньоквадратичне значення
розкидів. Їх значення для двох ентропійних перетворювачів )(21
xxLH
і )(21
xxLБ
представлені в таблиці 2.7.
Таблиця 2.7 – Статистичні закономірності ентропійних перетворень
Н/Н Н/Б
L *D L *D
4,656 2,177 11,515 8,018
З даних таблиці 2.7 випливає, що при перетворенні вимірювань об'єктів в нормі
ентропійними перетворювачами норми і браку їх зсуви та масштаби істотно
відрізняються – зсуви в два рази, а масштаб в три рази.
На рисунку 2.6 представлені гістограми статистики ентропійних
перетворювачів норми у разі подання на них вимірювань виробу у стані норми, та
бракованих виробів.
Рисунок 2.6 – Гістограми статистики ентропіних перетворювачів норми а)
об’єкти в стані норми; б) браковані об’єкти
38
Статистика ентропійних перетворювань змінюється при прийнятті
помилкового рішення щодо стану об’єкту контролю. Це дає додаткові можливості
для дефектоскопії.
Аналогічно перетворимо вибірки об'єктів у стані браку і оцінимо їх середні
значення і розкид та побудуємо гістограми законів розподілу ймовірностей
статистики перетворювачив (рисунок 2.7). Їх значення представлені в таблиці 2.8.
Таблиця 2.8 – Статистичні закономірності ентропійних перетворень
Б/Б Б/Н
L *D L *D
4,342 1,057 6,449 2,463
Рисунок 2.7 – Гістограми статистики ентропіних перетворювачів браку а) браковані
об’єкти; б) об’єкти в стані норми
У розглянутому випадку відмінності між вибірками ентропійних перетворень
збільшилися порівняно з попереднім експериментом. Ці результати обчислювальних
експериментів підтверджують попередній висновок про можливість використання
ентропійних перетворень в завдання дефектоскопії за експериментальними вимірам.
Ефективність ентропійного методу обробки вимірювань неруйнівного
контролю можна оцінити, маючи вибірками вимірювань H
kLH ,
HkL
Б і Б
kLH ,
39
Б
kLБ
. Так як перша пара отримана шляхом ентропійного перетворення
вимірювань H
kx1
H
kx2
, а друга за вимірами Б
kx1
Б
kx2
, то при їх
приналежності до класу об'єктів Н має виконуватися нерівність Н
kLН
kLБН
, а
приналежність до класу Б буде мати місце при виконанні нерівності
Б
kLБ
kLНБ
. Ймовірності цих подій можна оцінити за формулами
N
kHБ H
kLH
kLNH
HP1
* sgn1
, (2.19)
N
kБН Б
kLБ
kLNБ
БP1
* sgn1
, (2.20)
де )xsgn( – функція одиничного стрибка, рівна одиниці, якщо змінна x
дорівнює або більше нуля і дорівнює нулю, якщо x менше нуля.
У таблиці 2.8 представлені результати проведеного експерименту оцінки
ймовірності прийняття об'єктів норми за норму H
HP* і ймовірність перебраковки
H
БP* ймовірність прийняття аномальних виробів – за брак
ББP*
, і ймовірність
пропуску браку Б
HP*, для випадку, коли об’єкти контролю описуються двома
параметрами.
Таблиця 2.8 – Ймовірності прийняття вірних рішень і помилки першого роду
Стан об'єкта контролю
Норма Брак
H
HP*
HБP*
Б
БP*
БHP*
0,981 0,019 0,97 0,03
40
Це оцінка потенційних можливостей виявлення бракованих і нормальних
об'єктів контролю методом ентропійної обробки вимірювань і прийняття рішень за
двома статистично залежними вимірами )(),(21
kxkx , використаних у проведеному
обчислювальному експерименті.
У реальних умовах контролю рішення повинні прийматися за вибіркою
вимірювань обмеженого розміру )(,)(,)(321
kxkxkx , nk ,...,2,1 . Вони можуть
належати або об'єктам класу Н, або об'єктам класу Б. Використовуючи їх, можна
сформувати дві вибірки ентропійних перетворень )(),(21
* kxkxLH
і )(),(21
* kxkxLБ
,
обчислити їх суми та порівняти між собою. Якщо має місце нерівність
)(),()(),(21
1
**
211
** kxkxLLkxkxLLn
kББ
n
kHH
, (2.21)
то вибірка повинна бути віднесена до об'єктів класу Н, а при протилежній нерівності
– до об'єктів класу Б. Можна також оцінити впевненість прийняття цих рішень,
обчисливши їх умовні ймовірності за формулами
n
kHБ
kLkLnH
HP1
*** )()(sgn1
, (2.22)
n
kБН
kLkLnБ
БP1
*** )()(sgn1
. (2.23)
Оцінимо вплив обмеження обсягу вимірювань на ефективність прийняття
рішень контролю. Для цього сформуємо за даними обчислювального експерименту
таблицю аналогічну таблиці 2.8. Результати, наведені в таблиці 2.9, отримані за
разовими експериментам з об'ємом вибірок 25n , 50n , 100n .
41
Таблиця 2.9 – Ймовірності прийняття правильних рішень про стан об'єкта контролю
H
HP*
ББP*
n=25 n=50 n=100 n=25 n=50 n=100
0,84 0,89 0,97 0,62 0,87 0,95
За даними таблиці 2.9 можна стверджувати, що обсяг вимірювань суттєво
впливає на помилки прийняття рішень щодо стану об’єкту контролю. Виходячи з
показників таблиці 2.9 випливає рекомендація обсягу вимірювань не менш ніж 50.
Сформуємо роздільні функції ентропійних перетворень вибірок вимірювань:
1) функції перетворення вимірів об'єктів у стані норми )(1
xLH
, )(2
xLH
, )(21
xxLH
;
2) функції перетворення об'єктів в аномальному стані (браку) )(1
xLБ
, )(2
xLБ
,
)(21
xxLБ
.
Маючи в своєму розпорядженні три вибірки вимірювань проконтрольованого
об'єкта невідомого класу, можна сформувати вибірки ентропійного перетворення
iH x
kL ,
jiH xx
kL ,
iБ x
kL ,
jiБ xx
kL і використовувати їх для
порівняльного аналізу інформативності вимірюваних параметрів і оцінки прийнятих
рішень. Для цих цілей необхідно визначити ймовірність того, що вимірювання
відносяться до класу об'єктів в стані норми при різних варіантах прийняття рішень,
починаючи з однієї вибірки i - ого параметру
n
k i
n
k iH
iБi x
kLnx
kLx
kLn
HP11
*
)(1sgn
1sgn
1)( , (2.24)
де
i
xkL – позначення різниці ентропійних перетворень.
Якщо 0
i
xkL , тоді вимірювання
ix характеризують приналежність його до
об'єкта класу (Н), а ймовірність цих подій )(*
)(1HP
i – це оцінка інформативності i-ого
параметрау.
42
Дані для проведення обчислювальних експериментів і факторного аналізу
інформативності вимірювань наведені в таблиці 2.10. Вони дозволяють дослідити
вплив на ефективність ентропійних перетворювань математичного сподівання,
дисперсії, коефіцієнту кореляції та всіх цих чинників одночасно. Об’єкт 1O є
еталоном нормального стану контрольованих об’єктів, об’єкт 2O – еталон
бракованого виробу. Об’єкт 3O відрізняється від норми лише математичним
сподіванням, а саме, воно перевищує еталонне вдвічі. Об’єкт 4O має іншу
дисперсію, ніж норма, причому 1
D для нього вдвічі менша, а 2
D – вдвічі більша. Ці
значення співпадають з показниками бракованого виробу. Об’єкт 5O відрізняється
наявністю кореляції, а 6O має половину показників виробу у стані норми, а
половину – бракованих виробів.
Таблиця 2.10 – Параметри об'єктів, що надходять на контроль
Об’єкт
контролю
1a 2
a 1
D 2
D 12r
О1 0 1 1 0,25 0
О2 1 2 0,5 0,5 0,8
О3 1 2 1 0,25 0
О4 0 1 0,5 0,5 0
О5 0 1 1 0,25 0,8
О6 1 1 2 0,25 0,8
За результатами обчислювальних експериментів оцінюється інформативність
параметрів і ефективність їх використання в задачах дефектоскопії. Результати
обчислювальних експериментів представлені в таблицях інформативності варіантів
ентропійних перетворень вимірювань, де
iO
HP * – оцінки умовних ймовірностей
прийняття рішень в стані «Норма», і в стані «Брак» –
iiO
HPO
БP ** 1 .
43
Таблиця 2.11 ( 1000n ) – Ймовірності прийняття контрольованого об'єкту за
«норму» при використання одновимірних та умовних двомірних ентропійних
перетворювань
Причина
Наслідок
1x
2x
21xиx
21xx
)(1
*
ОHP 0,585 0,867 0,817 0,845
)(2
*
ОHP 0,247 0,322 0,297 0,332
)(3
*
ОHP 0,395 0,406 0,548 0,563
)(4
*
ОHP 0,572 0,643 0,789 0,75
)(5
*
ОHP 0,581 0,856 0,812 0,663
)(6
*
ОHP 0,545 0,866 0,616 0,583
З даних таблиці 2.11 випливає, що наявність кореляції між вимірювальними
параметрами призводить до зниження їх інформативності. Тому доцільно при
дефектоскопії виключати з розгляду параметри пов’язані між собою. Крім того, слід
зазначити, що такий спосіб дозволяє виявити найбільш інформативні параметри, які
в подальшому доцільно вимірювань для визначення стану об’єкту контролю. Якщо
об’єкт, що потрапив на контроль відрізняється від об’єкту в стані норми лише
математичним сподіванням своїх параметрів, то використання для дефектоскопії
ентропійних перетворювань дозволить з великою вірогідністю встановити цю
різницю. Різниця в дисперсіях менш помітна, але також виявляться за допомогою
ентропійних перетворювань. Що підтверджує доцільність їх використання в задачах
неруйнівного контролю та дефектоскопії.
44
2.5 Висновки до 2-ого розділу
Ентропійне перетворення вимірювань параметрів різної фізичної, хімічної та
біологічної природи – це спосіб представлення їх в одних і тих же одиницях в
задачах неруйнівного контролю та технічної діагностики при обробці, аналізі та
підготовки даних для підтримки прийняття рішень з експериментальними вибірками
вимірювань з невідомими статистичними закономірностями.
Математичні моделі двох ентропійних багатовимірних перетворювачів
формуються по еталонним вибіркам вимірювань об'єктів, що знаходяться в стані
норми або браку, відрізняються своїми зсувами, масштабами і кореляційними
зв'язками. Багатопараметричні вимірювання кожного контрольованого об'єкту
перетворюються у дві одномірні вибірки ентропійних перетворень, різниця яких
містить інформацію про його стан і оцінюються ймовірність приналежності до класу
бездефектних об'єктів.
Для візуального аналізу формуються оцінки приналежності множини варіантів
вибірок ентропійних перетворень одновимірних і двовимірних вимірювань, на
основі яких робляться висновки про інформативність вимірюваних параметрів, їх
причинно-наслідкові зв'язки, ефективність прийняття рішень про стан
проконтрольованого об'єкту.
Основні наукові результати розділу 2 опубліковано у роботах [13, 14, 22, 24]
45
РОЗДІЛ 3
ДЕФЕКТОСКОПІЯ НА ОСНОВІ ЕНТРОПІЙНИХ ПЕРЕТВОРЮВАНЬ
ВИБІРОК ВИМІРЮВАНЬ БАГАТОПАРАМЕТРИЧНИХ ОБ’ЄКТІВ
3.1 Постановка задачі
Об’єкт, що контролюється, може знаходитесь у стані норми або в різних
варіантах бракованого стану: 1) різняться за всіма трьома показниками (зсув,
масштаб та коефіцієнт кореляції); 2) різняться лише кореляційними властивостями
(руйнування кореляції); 3) різняться математичними сподіваннями або дисперсіями.
Доцільно провести факторний аналіз використання ентропійних перетворень
багатопараметричних об’єктів з метою застосування цього методу на практиці при
вирішенні задач дефектоскопії. Як було зазначено вище ентропійні перетворення
дають змогу представити багатомірні виміри як суми одновимірних та двовимірних.
Також важливо дослідити наскільки погіршиться ефективність запропонованого
методу для задач дефектоскопії, якщо виміри будуть мати обмежений обсяг, та
параметри для ентропійних перетворювачив обчислюватимуться за
експериментальними даними, а не вважатися відомими. Розглядаються
трипараметричні об’єкти неруйнівного контролю та їх однопараметричні kxL iH і
kxL iБ та двопараметричні kx,kxL jiH і kx,kxL jiБ , де ,,,i 321 ,,,j 321
ji ентропійні перетворення. Із них можливо формувати різні моделі ентропіних
перетворювачів норми та браку – однопараметричні, двопараметричні та
трипараметричні, аналізувати та порівнювати ентропійні вибірки об’єкту, що
контролюється двох перетворювачів, оцінювати їх інформативність та причинно-
наслідкові зв’язки.
Функціональна схема формування та обробки системи ентропійних вибірок за
експериментальними вимірюваннями kx,kx,kx 321 трьох параметрів об’єкту, що
контролюється представлена на рисунку 3.1.
46
Рисунок 3.1 – Функціональна схема обробки вибірок вимірювань об’єктів, що
контролюються
Ентопійні вибірки можуть бути одновимірні kxL i , двовимірні kxkxL ji
та тривимірні kx,kxkxL 321 . Якщо має місце нерівність kxLkxL БH , то
вимірювання kx належать об’єкту в стані «норми».
47
3.2 Потенційні можливості методу вирішення задач дефектоскопії на основі
ентропійних перетворювачів трьохпараметричних об’єктів контролю
Вважаючи відомими параметри вимірювань об'єктів контролю в стані норми і
браку i
a1
, i
D1
, i
r1
, 3,2,1i і i
a2
, i
D2
, i
r2
і математичні моделі ентропійних
перетворювачів i
xLH
, jiH
xxL , і iБ
xL , jiБ
xxL 3,2,1i , ji . сформуємо два
узагальнених ентропійних перетворювача вимірювань об’єктів в стані норма, та в
бракованому стані
3
1
33
1321
3
1
3
1
i ijjiH
iiHН
xxLxLxxxL , (3.1)
3
1
33
1321
3
1
3
1
i ijjiБ
iiББ
xxLxLxxxL . (3.2)
Проведено обчислювальний експеримент при наступних параметрах еталонних
ентропійних перетворювачів.
Таблиця 3.1 – Дані для обчислювального експерименту
1
a 2
a 3
a 1
D 2
D 3
D 12r
13r
23r
Н 0 1 2 1 0,25 0,64 0 0,8 0,5
Б 1 2 3 0,5 0,5 0,36 0,8 0,5 0
Використовуючи ентропійні перетворювачі 321
xxxLН
і 321
xxxLБ
, і шість
вибірок вимірювань, що характеризують об'єкти в стані норми H
kx1
і H
kxx32
,
H
kx2
і H
kxx31
, H
kx3
і H
kxx31
, такі ж самі шість вибірок вимірювань
об'єктів у стані браку, сформуємо вибірки їх ентропійних перетворень 1
kLH
,
48
23
kLH
, 2
kLH
31
kLH
, 3
kLH
, 12
kLH
і 1
kLБ
, 23
kLБ
, 2
kLБ
31
kLБ
,
3
kLБ
, 12
kLБ
, скориставшись формулами (3.1) та (3.2) і визначимо їх статистичні
показники для перетворювача норми та перетворювача браку. Також дослідимо
зміну цих показників, якщо на перетворювач норми подати вимірювання, що
характеризують бракований виріб, та навпаки. Результати цих досліджень занесені в
таблицю 3.2, для перетворювача норми, та таблицю 3.3, для перетворювача браку.
Побудовані гістограми статистики ентропійних тривимірних перетворювачів для
чотирьох зазначених випадків (рисунок 3.2). Обсяг вимірювань кожного з
параметрів становить 1000.
Таблиця 3.2 – Статистичні з оцінки параметрів ентропійних перетворювань
вимірювань об’єктів в норми
Н/Н Н/Б
L *D L *D
4,425 1,212 8,933 3,855
Таблиця 3.3 – Статистичні оцінки параметрів ентропійних перетворювань
вимірювань бракованих об’єктів
Б/Б Б/Н
L *D L *D
4,044 1,153 9,114 3,944
49
Рисунок 3.2 – Гістограми еталонних перетворень а) об’єкти в стані норми і
нормальний ентропійний перетворювач; б) браковані вироби і нормальний
ентропійний перетворювач; в) браковані вироби і ентропійний перетворювач браку;
г) об’єкти в стані норми і ентропійний перетворювач браку
З даних таблиць 3.2 та 3.3, а також з рисунку 3.2 випливає, що при
перетворенні вимірювань об'єктів в стані норми ентропійними перетворювачами
норми, та тих самих вимірювань ентропійним перетворювачем браку, статистичні
показники перетворювачів змінюються. Величина зсуву зростає в два рази, а
дисперсія – в три рази. Аналогічна тенденція спостерігається коли виміри
бракованих об’єктів потрапляють вказані перетворювачі.
Ефективність ентропійного методу обробки вимірювань неруйнівного
контролю можна оцінити, мючи вибірки вимірювань H
kLH
, H
kLБ
і Б
kLH
,
Б
kLБ
. Так як перша пара отримана шляхом ентропійного перетворення
вимірювань H
kx1
H
kx2
H
kx3
, а друга за вимірами Б
kx1
Б
kx2
Б
kx3
, то
50
при їх приналежності до класу об'єктів Н має виконуватися нерівність
Н
kLН
kLБН
, а приналежність до класу Б буде мати місце при виконанні
нерівності Б
kLБ
kLНБ
. Ймовірності цих подій можна оцінити за формулами
N
kHБ H
kLH
kLNH
HP1
* sgn1
, (3.3)
N
kБН Б
kLБ
kLNБ
БP1
* sgn1
, (3.4)
де )sgn(x – функція одиничного стрибка, рівна одиниці, якщо змінна x
дорівнює або більше нуля і дорівнює нулю, якщо x менше нуля.
У таблиці 3.4 представлені результати проведеного експерименту оцінки
ймовірності прийняття об'єктів норми за норму H
HP* і ймовірність перебраковкі
H
БP* ймовірність прийняття аномальних виробів – за брак Б
БP* , і ймовірність
пропуску браку Б
HP* .
Таблиця 3.4 – Ймовірності прийняття вірних рішень і помилки першого роду
Стан об'єкта контролю
Норма Брак
H
HP* H
БP* Б
БP* Б
HP*
0,987 0,013 0,976 0,024
Це оцінка потенційних можливостей виявлення бракованих і нормальних
об'єктів контролю методом ентропійному обробки вимірювань і прийняття рішень
за трьома статистично залежним вимірам )(),(),(321
kxkxkx , використаних у
проведеному обчислювальному експерименті.
51
У реальних умовах контролю рішення повинні прийматися за вибіркою
вимірювань обмеженого розміру )(,)(,)(321
kxkxkx , nk ,...,2,1 . Вони можуть
належати або об'єктам класу Н, або об'єктам класу Б. Використовуючи їх, можна
сформувати дві вибірки ентропійних перетворень )(),(),(321
* kxkxkxLH
і
)(),(),(321
* kxkxkxLБ
, обчислити їх суми та порівняти між собою. Якщо має місце
нерівність
)(),(),()(),(),(321
1
**
3211
** kxkxkxLLkxkxkxLLn
kББ
n
kHH
, (3.5)
то вибірка повинна бути віднесена до об'єктів класу Н, а при протилежній нерівності
– до об'єктів класу Б. Можна також оцінити впевненість прийняття цих рішень,
обчисливши їх умовні ймовірності за формулами:
n
kHБ
kLkLnH
HP1
*** )()(sgn1
, (3.6)
n
kБН
kLkLnБ
БP1
*** )()(sgn1
. (3.7)
Оцінимо вплив обмеження обсягу вимірювань на ефективність прийняття
рішень контролю. Для цього сформуємо за даними обчислювального експерименту
таблицю аналогічну таблиці 3.4. Результати, наведені в таблиці 3.5, отримані за
разовими експериментам з об'ємом вибірок 25n , 50n , 100n .
Таблиця 3.5 – Ймовірності прийняття правильних рішень про стан об'єкту контролю
H
HP* Б
БP*
n=25 n=50 n=100 n=25 n=50 n=100
0,87 0,9 0,96 0,6 0,86 0,94
52
За даними таблиці 3.5 можна зробити висновок, що при обсязі вибірок вимірювань
об’єктів контролю 30n , ймовірність прийняття правильного рішення істотно
зменшується.
3.3 Факторний аналіз ефективності дефектоскопії на основі експериментальних
вимірювань обмеженого обсягу
Ефективність дефектоскопії багатопараметричних об'єктів залежить від
інформативності вимірюваних параметрів і їх причинно-наслідкових зв'язків.
Інформативність можна оцінити шляхом порівняння оцінки ефективності різних
варіантів обробки вимірювань параметрів контрольованих об'єктів. Дослідимо ці
задачі на прикладі контролю трьохпараметричних об'єктів шляхом проведення
обчислювальних експериментів.
Сформуємо роздільні функції ентропійних перетворень вибірок вимірювань:
1) функції перетворення вимірів об'єктів у стані норми )(1
xLH
, )(2
xLH
, )(3
xLH
,
)(21
xxLH
, )(31
xxLH
, )(32
xxLH
;
2) функції перетворення об'єктів в аномальному стані (браку) )(1
xLБ
, )(2
xLБ
,
)(3
xLБ
, )(21
xxLБ
, )(31
xxLБ
, )(32
xxLБ
.
Маючи у розпоряджені три вибірки вимірювань проконтрольованого об'єкту
невідомого класу, можна сформувати вибірки ентропійного перетворення
iH x
kL ,
jiH xx
kL ,
iБ x
kL ,
jiБ xx
kL і використовувати їх для порівняльного аналізу
інформативності вимірюваних параметрів і оцінки прийнятих рішень. Для цих цілей
необхідно визначити ймовірність того, що вимірювання відносяться до класу
об'єктів в стані норми при різних варіантах прийняття рішень, починаючи з однієї
вибірки i - ого параметру
53
n
k i
n
k iH
iБi x
kLnx
kLx
kLn
HP11
*
)(1sgn
1sgn
1)( , (3.8)
де
i
xkL – позначення різниці ентропійних перетворень.
Якщо 0
i
xkL , тоді вимірювання
ix характеризують приналежність його до
об'єкта класу (Н), а ймовірність цих подій )(*
)(1HP
i – це оцінка інформативності i-ого
параметрау. Таких оцінок три ( 3,2,1i ).
Розглянемо тепер варіанти прийняття рішень за різницею двох параметрів
0
ji
xkL
xkL . Їх оцінки інформативності обчислимо за формулами
n
k jiij x
kLx
kLn
HP1
*
)(1sgn
1)( , 3,2,1 ji . (3.9)
Тут теж три оцінки. Ще одна оцінка може бути отримана, якщо використовуються
всі три вимірювані параметра
n
kx
kLx
kLx
kLn
HP1 321
*
1sgn
1)( . (3.10)
У цих семи оцінках не враховуються кореляційні зв'язки між вибірками різних
параметрів. Отже, необхідний аналіз інформативності різниць двовимірних
ентропійних перетворень, розрахованих за формулою
n
k jiij xx
kLn
HP1
*
)(2sgn
1)( , 3,2,1 ji . (3.11)
54
Їх як і одновимірних також сім. Ймовірність )(*
2HP
n
kxx
kLxx
kLxx
kLn
HP1 323121
*
2sgn
1)( (3.12)
Тривимірних різниць перетворень теж сім.
321
)23(1)(
xxkL
xkLHL , (3.13)
312
)13(2)(
xxkL
xkLHL , (3.14)
213
)12(3)(
xxkL
xkLHL . (3.15)
Запишемо вираз для перших трьох варіантів подвійних сум
HLHLHL)13(2)23(1)12(
)( , (3.16)
HLHLHL)12(3)23(1)13(
)( , (3.17)
HLHLHL)13(2)12(3)23(
)( . (3.18)
Сьомий варіант – це сума всіх трьох варіантів тривимірних сум
2
1
33
13
)(i ij jii i
xxkL
xkLkL . (3.19)
За ним розраховуються ймовірності всіх семи варіантів. Всі дані для
проведення факторного аналізу зводяться в три таблиці. У першій – інтегральні
оцінки їх ентропійних перетворень (середні значення H
kL , Б
kL та їх варіантів)
55
і значення ймовірностей при приналежності вимірювань до класів Н і Б ( )(* HP і
)(* БP ) при контролі по одномірним перетворенням.
Для проведення факторного аналізу та оцінки можливостей виявлення
причинно-наслідкових зв’язків між параметрами об’єктів контролю та даними, що
отримуються внаслідок обробки цих параметрів енетропійними перетворювачами
проводились обчислювальні експерименти. Було задано сім об’єктів контролю.
Параметри першого відповідали об’єкту в стані «норми», другий – об’єкту в стані
«браку», інші відрізняються від норми або браку лише певними параметрами,
наприклад, математичним сподіванням, дисперсією або коефіцієнтами кореляції.
Дані для проведення обчислювальних експериментів і факторного аналізу
інформативності вимірювань наведені в таблиці 3.6. Вхідні дані для проведеного
обчислювального експерименту побудовані таким чином, що надають можливість
дослідити вплив кожного з трьох параметрів вибірки вимірювань окремо. А саме:
обчислюючи ймовірності прийняття правильного рішення при порівнянні об’єкту
1O з класом «Норми» – отримаємо спроможність ідентифікувати норму за норму.
При порівнянні об’єкту 2O – виявляємо розпізнання браку. При порівнянні об’єкту
3O – досліджується вплив на ймовірність прийняття правильного рішення, коли
об’єкти контролю відрізняються лише математичними сподіваннями. Влив різниці
дисперсій досліджено на об’єкті 4O . А об’єкти типу 5O та 6O дають можливість
прослідкувати за кореляцію, об’єкт 7O дозволяє дослідити вплив декореляції.
Ентропійний перетворювачі «норми» та «браку» сформовано з параметрами
наведеними в таблиці 3.1, а саме для ентропійного перетворювача «норми»: 01 a ,
12 a , 23 a , 11 D , 2502 ,D , 6403 ,D , 7012 ,r , 8013 ,r , 9023 ,r ; для
перетворювача «браку»: 11 a , 22 a , 33 a , 501 ,D , 502 ,D , 3603 ,D , 8012 ,r ,
7013 ,r , 023 r .
56
Таблиця 3.6 – Параметри об'єктів, що надходять на контроль
1
a 2
a 3
a 1
D 2
D 3D
12r 13
r 23
r
О1 0 1 2 1 0,25 0,64 0,7 0,8 0,9
О2 1 2 3 0,5 0,5 0,36 0,8 0,7 0
О3 1 2 3 1 0,25 0,64 0 0,8 0,9
О4 0 1 2 0,5 0,5 0,36 0 0,8 0,9
О5 0 1 2 1 0,25 0,64 0,8 0 0
О6 1 1 2 2 0,25 0,64 0,8 0 0,7
О7 0 1 2 1 0,25 0,64 0,2 0,3 0,4
За результатами обчислювальних експериментів оцінюється інформативність
параметрів і ефективність їх використання в задачах дефектоскопії. Результати
обчислювальних експериментів представлені в таблицях інформативності варіантів
ентропійних перетворень (одновимірних – таблиця 3.7, двовимірних – таблиця 3.8,
тривимірних – таблиця 3.9) вимірювань, де
iO
HP * – оцінки умовних
ймовірностей прийняття рішень в стані «Норма», і в стані «Брак» –
iiO
HPO
БP ** 1 .
57
Таблиця 3.7 ( 1000n ) – Ймовірності прийняття контрольованого об'єкту за
«норму» або «брак» при використання одновимірних ентропійних перетворень
Причина
Наслідок
1x
2x 3
x 21 xіx 31 xіx
32 xіx 321 xіxіx
)(1
*
ОHP 0,578 0,881 0,65 0,84 0,736 0,851 0,863
)О
Б(P*
1
0,422 0,119 0,35 0,16 0,264 0,149 0,137
)(2
*
ОHP 0,248 0,731 0,31 0,487 0,292 0,533 0,402
)О
Б(P*
2
0,752 0,269 0,69 0,513 0,708 0,467 0,589
)(3
*
ОHP 0,404 0,691 0,42 0,51 0,471 0,541 0,524
)О
Б(P*
3
0,596 0,309 0,58 0,49 0,529 0,459 0,476
)(4
*
ОHP 0,577 0,868 0,68 0,827 0,73 0,856 0,849
)О
Б(P*
4
0,423 0,132 0,32 0,173 0,27 0,144 0,151
)(5
*
ОHP 0,578 0,881 0,65 0,84 0,736 0,851 0,863
)О
Б(P*
5
0,422 0,119 0,35 0,16 0,264 0,149 0,137
)(6
*
ОHP 0,55 0,881 0,65 0,825 0,735 0,851 0,866
)О
Б(P*
6
0,45 0,119 0,35 0,175 0,265 0,149 0,134
)О
H(P*
7
0,578 0,881 0,65 0,84 0,736 0,851 0,863
)О
Б(P*
7
0,422 0,119 0,35 0,16 0,264 0,149 0,137
58
Таблиця 3.8 ( 1000n ) – Ймовірності прийняття контрольованого об'єкту за
«норму» або «брак» при використання двовимірних ентропійних перетворень
Причина
Наслідок
21xx 31
xx
32xx
31
21
xxі
xx
32
31
xxі
xx
21
32
xxі
xx
32
31
21
xxі
xxі
xx
)(1
*
ОHP 0,69 0,883 0,66 0,782 0,896 0,89 0,908
)О
Б(P*
1
0,31 0,117 0,34 0,218 0,104 0,11 0,092
)(2
*
ОHP 0,308 0,69 0,494 0,4 0,487 0,618 0,493
)О
Б(P*
2
0,692 0,31 0,506 0,6 0,513 0,382 0,507
)(3
*
ОHP 0,577 0,646 0,513 0,614 0,662 0,611 0,677
)О
Б(P*
3
0,423 0,354 0,487 0,386 0,338 0,389 0,323
)(4
*
ОHP 0,636 0,879 0,641 0,733 0,871 0,879 0,878
)О
Б(P*
4
0,362 0,121 0,359 0,267 0,129 0,126 0,122
)(5
*
ОHP 0,67 0,915 0,794 0,837 0,912 0,934 0,947
)О
Б(P*
5
0,33 0,085 0,206 0,163 0,088 0,066 0,053
)(6
*
ОHP 0,663 0,875 0,818 0,837 0,866 0,908 0,918
)О
Б(P*
6
0,337 0,125 0,182 0,163 0,134 0,092 0,082
)О
H(P*
7
0,784 0,915 0,794 0,881 0,944 0,934 0,964
)О
Б(P*
7
0,216 0,085 0,206 0,119 0,056 0,066 0,036
59
Таблиця 3.9 ( 1000n ) – Ймовірності прийняття контрольованого об'єкту за
«норму» або «брак» при використанні одновимірних і двовимірних ентропійних
перетворень
Причина
Наслідок
32
1
xxі
x
31
2
xxі
x
21
3
xxі
x
312
321
xxx
іxxx
213
312
xxx
іxxx
213
321
xxx
іxxx
213
312
321
xxx
іxxx
іxxx
)(1
*
ОHP 0,887 0,843 0,789 0,923 0,846 0,895 0,902
)О
Б(P*
1
0,113 0,157 0,211 0,077 0,154 0,105 0,098
)(2
*
ОHP 0,503 0,592 0,308 0,589 0,466 0,386 0,47
)О
Б(P*
2
0,497 0,408 0,692 0,411 0,554 0,614 0,53
)(3
*
ОHP 0,575 0,569 0,602 0,627 0,62 0,639 0,636
)О
Б(P*
3
0,425 0,431 0,398 0,373 0,38 0,361 0,364
)(4
*
ОHP 0,882 0,818 0,743 0,896 0,819 0,873 0,876
)О
Б(P*
4
0,118 0,172 0,257 0,104 0,181 0,127 0,124
)(5
*
ОHP 0,921 0,898 0,763 0,954 0,886 0,905 0,933
)О
Б(P*
5
0,079 0,102 0,237 0,044 0,114 0,095 0,067
)(6
*
ОHP 0,877 0,895 0,794 0,92 0,953 0,931 0,967
)О
Б(P*
6
0,123 0,105 0,206 0,08 0,047 0,069 0,033
)О
H(P*
7
0,921 0,898 0,836 0,956 0,915 0,931 0,952
)О
Б(P*
7
0,079 0,102 0,164 0,044 0,085 0,069 0,048
60
Таблиці містять оцінки інформативності вимірюваних параметрів для
візуального аналізу та підготовки даних для підтримки прийняття рішень. Значення
оцінки
iO
xP * характеризує впевненість у тому, що об'єкт належить до класу
норми, а
iiO
HPO
БP ** 1 – до класу браку. Якщо показник порядку 0,5 –
0,6, то це відомості про малу інформативність цього параметра. Таким об'єктом з
розглянутих є 3
О . Ймовірність того, що він знаходиться в нормі, не перевищує
значення 0,6. Сумнівна інформативність параметра 1
x : його використання покращує
ймовірність прийняття рішення тільки «об'єкт в нормі».
Аналізуючи дані в таблицях 3.7 – 3.9 можна стверджувати, що найбільшу
інформативність дають двомірні ентропійні перетворювачі у разі некорельованості
даних, які до них потрапляють. Якщо приймати рішення про нормальний стан
об'єкта контролю спираючись тільки на три окремо взятих параметра, то найбільш
ефективне рішення приймається, якщо використовувати тільки перший параметр.
При використанні пари параметрів (суми двох незалежних вимірювань), то
очевидно зниження прийняття хибних рішень у випадку першого і другого вимірів.
Якщо розглядати пару другого і третього виміру, то ймовірність прийняття
правильного рішення знижується, що свідчить про наявність сильної кореляції між
цими параметрами.
Розглянутий метод передбачається використовувати при вирішенні задач
класифікації безлічі багатопараметричних об'єктів за експериментальними
вимірюваннями в умовах повної статистичної невизначеності.
61
3.4 Дослідження впливу помилок вимірів на ефективність дефектоскопії
багатопараметричних об'єктів неруйнівного контролю
В реальних умовах контролю інформаційно-вимірювальні технології
проектуються на основі еталонних вибірок, виміри яких спотворено вимірювальним
шумом
)k(n)k(xa)k(n)k(x)k(z , (3.20)
де )k(x – виробничий розкид аx ,
)k(n – вимірювальний шум.
Розкид а та шум )k(n – нормальні випадкові величини з нульовим
математичним сподіванням та дисперсіями 2
xxDaD і 2
nnD . Маючи
шість вибірок вимірювань )k(n)k(x)k(z ii , 22
xn , 1 ,, x
210 2250 x, 250 x, .
Оцінимо математичне сподівання iz , вибіркову дисперсію *
iD та вибіркові
коефіцієнти кореляції *r12 , *r13 , *r23 , сформуємо два ентропійних перетворювача,
замінивши ia ,
iD і ir на їх оцінки )k(z),k(z),k(zL*
H 321 і )k(z),k(z),k(zL*
Б 321 та
проведемо обчислювальні експерименти за даними таблиці 3.6. Досліджено влив
обсягу вимірювань на ймовірності прийняття рішень щодо однаковості об’єктів
контролю. При цьому на ентропійні перетворювачі сформовані за оцінками
параметрів вимірювань подаються дані не спотворені вимірювальним шумом, що
дозволить оцінити вплив неточності вимірювальних параметрів при різному обсязі
вимірювань. В подальшому додається вимірювальний шум різної потужності та
проводяться аналогічні експерименти. Результати дослідження представлені в
таблицях 3.10 – 3.12 для випадку, коли на ентропійні перетворювачі подаються
виміри, які відповідають об’єкту контролю у стані «норми» (об’єкти 1О ). Кількість
реалізацій обчислювальних експериментів становить 1000N .
62
Таблиця 3.10 – Ймовірності прийняття нормального об'єкту за «норму» при
використання одновимірних ентропійних перетворень з оцінками параметрів
перетворювачів ( )(1
*
ОHP )
Обсяг
вимірювань
Величина
шуму
1z
2z
3z
21 zіz
31 zіz
32 zіz
3
21
zі
zіz
Еталон )(1
*
ОHP 0,578 0,881 0,65 0,84 0,736 0,851 0,863
10n
20 x 0,347 0,529 0,390 0,504 0,442 0,511 0,518 210 x, 0,329 0,502 0,371 0,479 0,420 0,485 0,492
2250 x, 0,303 0,463 0,341 0,441 0,386 0,447 0,453
250 x, 0,267 0,407 0,300 0,388 0,340 0,393 0,399
25n
20 x 0,462 0,705 0,520 0,672 0,589 0,681 0,690 210 x, 0,439 0,670 0,494 0,638 0,559 0,647 0,656
2250 x, 0,405 0,617 0,455 0,588 0,515 0,596 0,604
250 x, 0,356 0,543 0,400 0,517 0,453 0,524 0,532
50n
20 x 0,538 0,819 0,605 0,781 0,684 0,791 0,803 210 x, 0,511 0,778 0,574 0,742 0,650 0,752 0,762
2250 x, 0,470 0,717 0,529 0,684 0,599 0,693 0,702
250 x, 0,414 0,631 0,465 0,602 0,527 0,609 0,618
63
Таблиця 3.11 – Ймовірності прийняття нормального об'єкту за «норму» при
використання двовимірних ентропійних перетворень з оцінками параметрів
перетворювачів ( )(1
*
ОHP )
Обсяг
вимірювань
Величина
шуму
21zz
31zz
32 zz 31
21
zzі
zz
32
31
zzі
zz
21
32
zzі
zz
32
3121
zzі
zzіzz
Еталон )(1
*
ОHP 0,69 0,883 0,66 0,782 0,896 0,89 0,908
10n
20 x 0,414 0,530 0,396 0,469 0,538 0,534 0,545 210 x, 0,393 0,503 0,376 0,446 0,511 0,507 0,518
2250 x, 0,362 0,464 0,347 0,411 0,470 0,467 0,477
250 x, 0,319 0,408 0,305 0,361 0,414 0,411 0,419
25n
20 x 0,552 0,706 0,528 0,626 0,717 0,712 0,726 210 x, 0,524 0,671 0,502 0,594 0,681 0,676 0,690
2250 x, 0,483 0,618 0,462 0,547 0,627 0,623 0,636
250 x, 0,425 0,544 0,407 0,482 0,552 0,548 0,559
50n
20 x 0,642 0,821 0,614 0,727 0,833 0,828 0,844 210 x, 0,610 0,780 0,583 0,691 0,792 0,786 0,802
2250 x, 0,561 0,719 0,537 0,636 0,729 0,724 0,739
250 x, 0,494 0,632 0,473 0,560 0,642 0,637 0,650
64
Таблиця 3.12 – Ймовірності прийняття нормального об'єкту за «норму» при
використанні одновимірних і двовимірних ентропійних перетворень з оцінками
параметрів перетворювачів ( )(1
*
ОHP )
Обсяг
вимірювань
Величина
шуму 32
1
zzі
z
31
2
zzі
z
21
3
zzі
z
312
321
zzz
іzzz
213
312
zzz
іzzz
213
321
zzz
іzzz
213
312
321
zzz
іzzz
іzzz
Еталон )(1
*
ОHP 0,887 0,843 0,789 0,923 0,846 0,895 0,902
10n
20 x 0,532 0,506 0,473 0,554 0,508 0,537 0,541
210 x, 0,506 0,481 0,450 0,526 0,482 0,510 0,514
2250 x, 0,466 0,443 0,414 0,485 0,444 0,470 0,474
250 x, 0,410 0,389 0,365 0,426 0,391 0,413 0,417
25n
20 x 0,710 0,674 0,631 0,738 0,677 0,716 0,722
210 x, 0,674 0,641 0,600 0,701 0,643 0,680 0,686
2250 x, 0,621 0,590 0,552 0,646 0,592 0,627 0,631
250 x, 0,546 0,519 0,486 0,569 0,521 0,551 0,556
50n
20 x 0,825 0,784 0,734 0,858 0,787 0,832 0,839
210 x, 0,784 0,745 0,697 0,815 0,747 0,791 0,797
2250 x, 0,722 0,686 0,642 0,751 0,688 0,728 0,734
250 x, 0,635 0,604 0,565 0,661 0,606 0,641 0,646
Аналізуючи дані таблиць 3.10 – 3.12 можна зробити висновки, що ефективність
прийняття рішень щодо стану об’єкта контролю в реальних умовах (при наявності
вимірювального шуму) знижується при використані усіх вимірювальних параметрів.
Це пов’язано з накопиченням помилок, які містить кожне вимірювання. Отже,
необхідно встановлювати найефективініші параметри та будувати на їх показниках
вирішальне правило для прийняття рішення щодо стану об’єкту контролю. Для цієї
мети найбільш ефективними виявились одновимірні ентропійні перетворення.
65
Аналогічні таблиці отриманні і для інших випадків параметрів вхідних даних
(об’єктів 2O ,
3O , 4O ,
5O , 6O ,
7O ). Узагальнюючи отримані результати можна
стверджувати, що в порівнянні з потенційними можливостями (таблиці 3.7-3.9)
зменшення обсягу вимірювань суттєво впливає на помилки першого та другого
роду. При 10n ймовірність хибних рішень в середньому зростає на 40%, при
25n – на 20%, а при 50n на 7%, тому, саме обсяг вимірювань 50n є
рекомендованим. Якщо інтенсивність вимірювального шуму становить 210 x, , то це
погіршує ймовірність прийняття правильного рішення в середньому на 5%. При
інтенсивності вимірювального шуму 2250 x, похибки зростають на 12,5%, а при
250 x, на 23%.
Виходячи з вищесказаного, можна скласти алгоритм загальної обробки даних
багатопараметричних об’єктів неруйнівного контролю при використанні для цього
ентропійних перетворень. Функціональна схема такої обробки представлена на
рисунку 3.3.
66
Рисунок 3.3 – Функціональна схема комплексної обробки ентропійних перетворень
(ЕП-ентропійні переторення)
67
3.5 Висновок до 3-ого розділу
Запропонований і досліджений новий метод проектування інформаційної
технології дефектоскопії та технічної діагностики багатопараметричних об’єктів на
основі ентропійних перетворювань вибірок експериментальних вимірювань. Цей
метод відрізняється від методу групового обліку аргументів факторним аналізом
інформативності вимірюваних параметрів шляхом порівняння оцінок ймовірностей
прийняття рішень щодо стану контрольованих об’єктів (або норма, або брак) за
критерієм мінімуму вартості прийняття помилкових рішень (помилок першого і
другого роду). Значення вартості прийняття помилкових рішень контролю
вибираються обернено пропорційним до очікуваних ймовірностей стану,
поступаючи на контроль об’єктів (норма, брак), які являються показниками якості
технології їх виробництва.
Встановлено, що причинно-наслідкові зв’язки між станом контролюючих
об’єктів та їх параметрами впливають на кореляційні зв’язки між вимірюваннями та
відображаються в одновимірних, двовимірних і трьохвимірних ентропійних
перетворюваннях, а також на оцінках ймовірностей, відносно яких приймаються
рішення щодо стану «норми» чи «браку».
Встановлено також, що кореляція між параметрами зменшує їх
інформативність при прийнятті рішень.
Досліджувались розміри вибірок еталонів перетворювачів та вимірювань
контролюючих об’єктів щодо інформативності параметрів при прийнятті рішень та
оцінки їх ймовірностей. Встановлено, що розміри вибірок вимірювань параметрів
еталонних вимірювань в задачах дефектоскопії не повинні бути менше 30-50.
Оскільки контролюються об’єкти з випадковими параметрами, то ентропійні
перетворювачі повинні бути адаптованими: їх параметри контролюються і
уточнюються по мірі накопичення даних про стан об’єктів контролю.
Основні наукові результати розділу 3 опубліковано у роботах [12, 19, 21, 22]
68
РОЗДІЛ 4
СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ КРИТЕРІЇВ НЕПАРАМЕТРИЧНОЇ
СТАТИСТИКИ В ЗАДАЧАХ ДЕФЕКТОСКОПІЇ
4.1 Постановка задачі
В задачах неруйнівного контролю однопараметричних об'єктів інформація про
їх стан міститься у вибірках експериментальних вимірювань, як послідовностях
випадкових величин з невідомими статистичними закономірностями. Шляхом їх
математичної обробки можуть бути отримані дані для прийняття рішення про зміну
стану або якості контрольованих однопараметричних об’єктів за результатами
порівняння вибірок вимірювань або оцінок вимірюваних параметрів. Теорія
математичної статистики пропонує ряд алгоритмів вирішення таких задач.
Найбільш відомими є порівняння середніх значень (критерій Стьюдента),
порівняння вибіркових дисперсій (критерій Снедекора або F-критерій), критерій хі-
квадрат для порівняння гістограм, для порівняння емпіричних функцій розподілу
критерій Колмогорова-Смирнова і n-омега-квадрат [67,68]. Менш досліджені
можливості використання в задачах неруйнівного контролю критеріїв
непараметричної статистики. Маються на увазі насамперед критерії зсуву і
масштабу в умовах невизначеності знань про статистичні закономірності
вимірювань. Відомо, що будь-які випадкові величини можна описати параметром
положення, що характеризує центр групування випадкових величин і параметром
масштабу, що характеризує ступінь розсіювання випадкових величин щодо центру
угрупування. Коли закон розподілу невідомий, гіпотези про параметри стану та
масштабу перевіряються за допомогою спеціальних непараметричних критеріїв
зсуву і масштабу [69]. Ця статистична теорія перевіряє гіпотезу відсутності зсуву
або відсутність змін масштабу в двох вибірках випадкових величин. Стосовно задач
неруйнівного контролю – це підготовка даних лише для прийняття рішення про те,
що другий об’єкт такий самий, як і перший при умові, що імовірність прийняття
69
помилкового рішення першого роду не буде перевищувати обраного значення
(наприклад, 0,05 або 0,02).
Дослідження непараметричних критеріїв зсуву (критерії Кену, ранговий,
Манна-Уїтні-Вілкоксона, Ван-дер-Вардена, медіанний, Мостеллер, Розенбаума,
Хага, Е-критерій) і масштабу (Анасарі-Бредлі, Сіжела-Тьюки, Клотца, квартильний
критерій, Муда, Седвіка-Олссона, Камата) в задачах неруйнівного контролю можуть
бути використані лише для оцінки прийняття рішення про наявність відмінності у
зсувах або масштабах вимірювань вибірок двох об’єктів із заданою ймовірністю. Це
інформація про те, що стан другого об’єкту не відрізняється від першого. І якщо,
перший у стані «норми», то другий у стані «норми».
Вимірювальні параметри зсуву для симетричних законів розподілу вимірів – це
середнє значення (груба оцінка), найбільш ймовірне значення. Всі ці оцінки
випадкові величини зі своїми законами розподілу ймовірностей. Найбільш детально
розроблена статистична теорія оцінки зсувів вибірок нормальних випадкових
величин за критерієм Стьюдента шляхом порівняння середніх значень цих вибірок.
Використання його для порівняння здвигів асиметричних випадкових величин
можливо лише при великих розмірах вибірок ( 100n ).
В задачах дефектоскопії вимірювальні параметри є випадковими величинами.
Їх виробничий розкид як об’єктів з випадковими параметрами та з невідомими
статистичними закономірностями. Тому, в задачах неруйнівного контролю при
порівнянні зсувів поруч із критерієм Стьюдента, повинна використовуватися
обробка вимірювань, яка не залежить від апріорних знань статистичних
закономірностей вимірювань. Це критерії непараметричної статистики.
У інформаційно-вимірювальних технологіях неруйнівного контролю за
експериментальними вимірам можуть бути відомі вимірювання інформативних
параметрів об'єктів у стані норми або у бракованому стані, або обидві вибірки
відразу. Використовуючи ці знання, можна вирішувати завдання відбору об'єктів
тільки в нормі, виявлення об'єктів, що знаходяться в стані браку, а також
вирішувати задачі дефектоскопії без знання статистичних закономірностей вимірів.
70
З безлічі непараметричних критеріїв необхідно відібрати самі інформативні з
мінімальними помилками (першого і другого роду) прийняття рішень.
В задачах перевірки гіпотез про відсутність зсуву рішення приймається
шляхом порівняння обчисленого за вибіркою вимірювань значення критерію W з
його граничними значеннями 01
W та 02
W , які обчислюються за умови, що
ймовірність помилки першого роду про наявність зсуву, якщо насправді його немає,
не повинна перевищувати допустиме значення 01
P , наприклад, 0,05 або 0,03. В
цьому випадку умовна ймовірність прийняття вірного рішення про відсутність зсуву
буде не менш 0,95 або 0,97. Граничні значення визначаються за моделями законів
розподілу критеріїв або таблицям авторів [69].
4.2 Теоретичні основи рангової непараметричної статистики
Рангові критерії формуються шляхом оцінки рангів вимірювань )(1
kR та )(2
kR
кожної з вибірок )(1
kx та )(2
kx у узагальненій впорядкованій вибірці )(iz , де
ni 2,...,2,1
n
i
izkxkR2
111
)()(sgn)( ,
n
i
izkxkR2
122
)()(sgn)( (4.1)
де )zsgn( – функція одиничного стрибка.
Швидкий ранговий критерій – це різниця їх середніх значень
n
k
kRkRn
kRkRW1
21211)()(
1)()( (4.2)
71
Якщо 0M , то при 20n 1
W – нормальна випадкова величина з нульовим
математичним сподіванням та дисперсією, що залежить лише від розмірів вибірок
3
121
nWD . (4.3)
В цьому випадку буде мати місце зсув з ймовірністю 0,956, якщо виконується
нерівність
3
122
1
nW . (4.4)
Спрощений ранговий критерій Вілкоксона – це сума рангів вибірок )(2
kx у
впорядкованій об’єднаній вибірці )(iz
n
k
kRn
kR1
22)(
1)(
n
i
izkxkR2
122
)()(sgn)( . (4.5)
При 20n критерій 2
R – нормальна випадкова величина з математичним
сподіванням та дисперсією
)12(2
2 n
nRM ,
12
)12(2
2
nnRD . (4.6)
Вирішальне правило виявлення зсуву запишеться у вигляді
3
12)12(
22
nnn
nR . (4.7)
72
Ранговий критерій Вілкоксона формується на вибірці різниці )()(12
kxkx та
застосовується лише для вибірок рівної довжини. Оцінюється сума рангів цієї
різниці
n
kc
kxkxR1
12)()(sgn . (4.8)
Це сума випадкових величин з законом розподілу близьким до нормального,
якщо 20n , тоді
c
cc
RD
RMRW
, (4.9)
де 4
)1(
nnRM
c ,
)12)(1( nnnRDc
.
Вирішальне правило записується у вигляді нерівності: якщо 96,1W , то з
ймовірністю 0,95 можна стверджувати, гіпотеза відсутності зсуву підтверджується.
Якщо відомі ранги )(2
kR вимірів вибірки )(2
kx , то критерій Ван-дер-Вардена
визначається за формулою
n
k n
kR
n
kRW
1
14,0
2
14,0
2
12
)(1
12
)(91,4 . (4.10)
При 10n закон розподілу W близький до нормального з нульовим
математичним сподіванням та дисперсією
2
2
1
14,014,0
121
1291,4
)12(2
n
i n
i
n
i
n
nWD .
73
Тоді з ймовірністю 0,95, якщо вибірки )(1
kx та )(2
kx мають нульовий зсув,
буде виконуватись нерівність WDW 96,1 .
Непараметричні рангові критерії порівняння параметрів масштабу (Анасарі-
Бредлі, Сіжела-Тьюки, Клотца, квартильний критерій, Муда, Седвіка-Олссона,
Камата), як правило, будуються на базі відповідних критеріїв зсуву вимірів або
статистики критерію, або правил присвоєння рангів спостерігачу. Критерії масштабу
мають на меті виявлення можливих розходжень в мірах розкиду (зміні)
спостережень двох вибірок. [67] В роботах [67, 69] розглянуто критерії масштабу в
контексті, що порівнювані вибірки мають однакові середні значення.
В якості параметру масштабу оберемо різницю дисперсій вибірок
12
xDxDD , (4.11)
де перша вибірка – еталонна.
Найбільш детально розроблена статистична теорія оцінки масштабу вибірок
нормальних випадкових величин за критерієм Фішера (F-критерій), шляхом
порівняння дисперсій цих вибірок. Використання його для порівняння масштабів
асиметричних випадкових величин можливо лише при великих розмірах вибірок
100n . В роботі [67] наведені алгоритми обчислення за експериментальними
вибірками вимірювань. Критерії масштабу також обчислюються за допомогою
рангів. Масштабним аналогом критерію Вілкоксона є критерій Анасарі-Бредлі. Його
статистика описується виразом
1
1
2121
2
1
2
1n
ii
nnR
nnW . (4.13)
Критерий, запропонований Клотцем [82], є масштабним аналогом критерія
Ван-дер-Вардена. Його статистика
74
,
n
xRL
n
i
i
1
22
12 (4.14)
де )(z – функція, обернена інтегралу ймовірностей Гауса,
)(2i
xR – ранг вимірювань i
x2
у загальному впорядкованому за зростанням ряді.
Для оберненої функції можливо використовувати апроксимацію
14.0
2
14.0
22
12
)(1
12
)(91,4
12
)(
n
xR
n
xR
n
xRiii (4.15)
При рівності дисперсій досліджуваних вибірок 10n , закон розподілу L як
випадкової величини задовільно апроксимується нормальним з математичним
сподіванням ,122
1 2
1
2
n
i n
iLM та дисперсією
n
i n
i
n
in
nLD
2
1
24
1212)12(2
1.
При довжинах вибірок 10n критерій Клотца апроксимується у вигляді
LD
LMLL*
. (4.16)
4.3 Аналіз ефективності критеріїв перевірки гіпотез про відсутність зсуву
нормальних вибірок вимірювань
Завдання статистичного аналізу вирішується за допомогою проведення
обчислювальних експериментів вибірок з різними законами розподілу імовірностей.
75
Обчислювальний експеримент має на меті дослідження змін статистичних
закономірностей критеріїв зсуву при зміні показника зсуву однієї з вибірок та вплив
на ці зміни видів закону розподілу ймовірностей, розмірів вибірок. В якості еталону
для порівняння результатів дослідження обрана вибірка з нормальним законом
розподілу ймовірностей та заданими математичним сподіванням і дисперсією.
Оберемо параметр зсуву, як різницю математичних сподівань вибірок
12
xMxMM , (4.17)
де перша вибірка – еталонна.
Досліджуються вибірки з симетричними законами розподілу – нормальним і
Лапласа, та асиметричними – експоненціальним та Релея. При кожному досліді
формуються за допомогою стандартних програм 4 еталоні вибірки та 4 вибірки, що з
ними порівнюються із заданими зсувом M , однаковими дисперсіями та
однаковими розмірами вибірок. Оцінюються критерій Стьюдента та 10 критеріїв
зсуву при розмірах вибірок 10, 20, 30 та 50. Результати зберігаються у вигляді
таблиці даних одного експерименту – це значення критерію Стьюдента ( t ) і 10
значень досліджувальних критеріїв: Кенуя (1
W ), ранговий (2
W ), Манна-Уїтні-
Вілкоксона ,3W Ван-дер-Вардена (4
W ), медіанний (5
W ), Хага (6
W ), Е-критерій
,7W Мостеллер, Розенбаума.
Експеримент 4.1. Дві вибірки з нормальним законом розподілу ймовірностей, з
нульовим математичним сподіванням, та одиничною дисперсією порівнюються між
собою. За допомогою критерію Стьюдента та перерахованих вище критеріїв
непараметричної статистики оцінювалась ймовірність прийняття рішення, про
рівність зсувів вказаних вибірок вимірювань. Останні два з перерахованих критеріїв,
а саме Мостеллер, Розенбаума, не розглядались, оскільки в [69] вказується на їх
занизьку ефективність. Показники інших критеріїв наводяться у вказаному вище
порядку. Результати досліду представлені в таблиці 4.1, кількість реалізацій –
1000N . Ймовірність обчислюється за формулою
76
N
k
W)k(WsgnP1
0 , (4.18)
де 0W – порогове значення для кожного критерію,
k – номер експерименту.
Таблиця 4.1 – Ймовірність підтвердження гіпотези 0M
n
Стьюдента Кенуя
ранговий
Вілкоксона
Ван-дер-
Вардена
медіанний
Хага
Е-
критерій
t 1
W 2
W 3
W 4
W 5
W 6
W 7
W
10 0,985 0,56 0,643 0,942 0,942 0,737 0,384 0,973
20 0,995 0,584 0,747 0,951 0,954 0,838 0,564 0,978
30 0,995 0,716 0,848 0,964 0,963 0,872 0,757 0,981
50 0,996 0,932 0,906 0,972 0,968 0,883 0,924 0,982
Виходячи з таблиці 4.1 і порівнюючи ефективність непараметричних критеріїв
зсуву з критерієм Стьюдента, можна стверджувати, що найефективнішим серед
непараметричних критеріїв є критерій Ван-дер-Вардена, Вілкоксона та Е-критерій.
Тому надалі доцільно розглядати лише їх. Оскільки експеримент 4.1 має 1000
реалізацій це надає змогу розглянути статистику самого критерію, як випадкової
величини. Для прикладу приведемо гістограми критеріїв Стьюдента (рисунок 4.1а)
та Ван-дер-Вардена (рисунок 4.1б) для довжини вибірки 20n
77
Рисунок 4.1 – Гістограми критеріїв Стьюдента (а) та Ван-дер-Вардена (б)
Закони розподілу критеріїв нормальні, що співпадає з твердженнями їх авторів
у роботах [70] та [71].
4.4 Факторний аналіз критеріїв перевірки гіпотези відсутності зсуву
Проведемо для них факторний аналіз, тобто дослідимо вплив різних чинників
на здатність критеріїв непараметричної статистики підтвердити гіпотезу про
рівність зсувів досліджуваних вибірок випадкових величин.
В роботі [69] розглянуто критерії зсуву для випадку, коли порівнювані вибірки
випадкових величин мають однаковий масштаб. Також в [69] не поставлені жодні
обмеження на дисперсії досліджуваних випадкових величин, то можливе
припущення, що різниця дисперсій двох вибірок не впливає на ефективність
непараметричних критеріїв зсуву.
Експеримент 4.2. Дві вибірки з симетричними законами розподілу
ймовірностей (нормальним, лапласовським) або асиметричними законами розподілу
ймовірностей (Релея, експоненціальний) перевіряються за допомогою критеріїв
непараметричної статистики на виявлення різниці в зсувах. Вхідні дані мають
однакове математичне сподівання 0M , дисперсія другої вибірки вдвічі
перевищує дисперсію першої. В таблиці 4.2 наведені ймовірності прийняття
рішення, що зсув відсутній.
Таблиця 4.2 – Ймовірності прийняття рішення 0M , 50n
Критерії
Стьюдента Вілкоксона В-д-В Е
Нормальні випадкові величини
78
0M , 11 , 2
2 0,997 0,939 0,952 0,994
Лапласовськи випадкові величини
0M , 11 , 2
2
0,995
0,893
0,836
0,957
З аналізу таблиці випливає, що критерії непараметричної статистики зсуву не
зменшують своєї ефективності при умові, що вхідні дані мають різну дисперсію.
Отже, можна використовувати критерії виявлення різниці зсувів незважаючи на
дисперсії.
Питання кореляції вхідних даних не розглянуто в роботах [70-76], а в реальних
умовах неможливо гарантувати, що дані, які потрапляють на контроль –
некорельовані, тому доцільно дослідити вплив величини коефіцієнту кореляції
10,r , 5,0r , 90,r на ефективність непараметричних критеріїв зсуву.
Експеримент 4.3. Дві вибірки нормальних випадкових величин з нульовим
математичним сподіванням та одиничною дисперсією, статистично пов’язані між
собою. Досліджено вплив величини коефіцієнту кореляції на ймовірність прийняття
рішення про відсутність різниці зсувів. В таблицю 4.3 занесені значення ймовірності
прийняття рішення, що вхідні данні мають однаковий зсув, при 0M , 50n .
Таблиця 4.3 – Значення ймовірності рівності зсувів за кожним критерієм у випадку
кореляції вибірок
№ r
Критерій
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1 Стьюдента 0,983 0,934 0,9 0,876 0,815 0,754 0,543 0,422 0,298 0,154
2 Вілкоксон 0,962 0,955 0,92 0,843 0,804 0,795 0,619 0,493 0,2 0,196
3 В-д-В 0,96 0,95 0,93 0,845 0,813 0,765 0,578 0,473 0,212 0,134
79
4 Е 0,942 0,943 0,871 0,534 0,315 0,3 0,292 0,189 0,12 0,113
Графіки, побудовані за результатами таблиці 4.3. приведені на рисунку 4.2.
Рисунок 4.2 – Залежність ймовірності розпізнавання 0M від величини кореляції
За даними таблиці 4.3 можна стверджувати, що навіть незначна кореляція між
випадковими величинами призводить до неспроможності критеріїв розпізнати
однакові чи різні зсуви мають вхідні дані.
Доцільно розглянути випадок, коли вхідні вибірки підпорядковуються різним,
але близьким за формою, законам розподілу ймовірностей, при цьому мають рівні
параметри.
Експеримент 4.4. Дві вибірки з нормальним і лапласовським розподілами
ймовірностей мають рівні зсуви та масштаби ( 121 , 021 aa ). В таблиці 4.4
наведено значення ймовірності прийняття рішення, що вибірки випадкових величин
мають однаковий зсув. Це значення обчислено за кожним критерієм при різних
довжинах вибірок 10n , 20n , 30n , 50n .
80
Таблиця 4.4 – Значення ймовірності прийняття рішення про однаковість зсувів при
нормальному і лапаласовському законах розподілу вхідних даних
n Критерії
Стьюдента Вілкоксона Ван-дер-
Вардена
Е-критерій
10 0,973 0,942 0,938 0,957
20 0,981 0,953 0,95 0,972
30 0,985 0,96 0,953 0,973
50 0,988 0,969 0,962 0,98
За даними таблиці 4.4 можна стверджувати, що у випадку відсутності різниці
зсувів між вхідними даними, досліджені критерії підтверджують гіпотезу 0M ,
навіть, якщо вибірки підпорядковуються різним законам розподілу ймовірностей.
Це поширює можливості їх застосування при неруйнівному контролі та
дефектоскопії.
4.5 Дослідження ефективності непараметричних критеріїв в задачах
розпізнавання різниці зсувів
Експеримент 4.5. Дві вибірки з нормальним (лапласовським, логістичним)
розподілом ймовірностей з однаковими дисперсіями, що дорівнюють одиниці, та
математичне сподівання однієї вибірки фіксоване і дорівнює нулю, а другий –
змінюється від нуля до одиниці, з кроком в 0,1, перевіряються за допомогою
перерахованих критеріїв на однаковість зсувів.
81
В результаті проведення обчислювальних експериментів були отримані
таблиці ефективності непараметричних критеріїв зсуву. Приклад такої таблиці для
двох вибірок з логістичним розподілом ( 121 , 0
1a ) наведено нижче. У
таблиці 4.5 записані значення ймовірності прийняття рішення про однаковий зсув в
залежності від величини відхилення математичного сподівання однієї вибірки від
математичного сподівання іншої при заданій ймовірності прийняття правильного
рішення 0,95. Оскільки в реальних умовах практично виключені випадки, коли обсяг
оброблювальних даних становить 1000, то доцільно дослідити ефективність
зазначених критеріїв при обмежених обсягах вимірювань. Для цього експеримент
4.5 було повторено при 10n , 20n , 50n , та отримані таблиці для випадків,
коли вхідні дані підлягали нормальному, логістичному або лапаласівському
розподілу ймовірностей. Приклад такої таблиці наведено для випадку нормальних
досліджувальних вибірок вимірювання. Результати дослідження впливу обсягу
вимірювань на ефективність розпізнавання різниці зсувів для зазначених критеріїв
представлені в таблиці 4.5.
Таблиця 4.5 – Ймовірність прийняття рішення про наявнисть зсувів
2a
Критерій
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
Стьюдента
10n 0,015 0,019 0,02 0,025 0,032 0,053 0,079 0,116 0,135
20n 0,005 0,005 0,028 0,042 0,048 0,103 0,184 0,249 0,357
50n 0,004 0,163 0,518 0,865 0,982 0,997 0,999 0,999 0,999
Вілкоксона
10n 0,058 0,058 0,069 0,095 0,145 0,187 0,258 0,313 0,395
20n 0,049 0,06 0,086 0,149 0,243 0,342 0,435 0,553 0,682
50n 0,028 0,073 0,145 0,295 0,501 0,676 0,816 0,927 0,971
82
В-д-В
10n 0,058 0,059 0,071 0,08 0,128 0,174 0,243 0,305 0,377
20n 0,046 0,06 0,09 0,137 0,22 0,325 0,439 0,567 0,678
50n 0,032 0,065 0,185 0,303 0,52 0,673 0,835 0,928 0,972
Е
10n 0,027 0,032 0,053 0,064 0,067 0,106 0,139 0,177 0,218
20n 0,021 0,033 0,043 0,069 0,1 0,137 0,194 0,262 0,338
50n 0,018 0,058 0,063 0,089 0,134 0,18 0,254 0,308 0,412
З аналізу таблиці 4.5 випливає, що критерій Стьюдента реагує на різницю в
зсувах вже при 30,M , в той час, як критерії Ван-дер-Вардена та Вілкоксона
розрізняють неоднорідність при 50,M Найгіршим виявився Е-критерій, який
реагує, лише у випадку, коли .1M Але для коротких вибірок вимірювань
доцільніше використовувати критерії Ван-дер-Вардена, який виявився достатньо
ефективним, навіть при обсязі даних 10n .
Е-критерій має низьку ефективність розпізнавання при наявності у
досліджуваних величинах зміни зсувів, тому не рекомендується для застосування на
практиці. Критерії Ван-дер-Вардена і Вілкоксона ідентичні за своїми властивостями.
Ефективність розпізнавання ними нерівності зсувів двох вибірок випадкових
величин становить 0,8-0,9 для вибірок з довільними і навіть різними видами законів
розподілу ймовірностей, але ці критерії не застосовуються для корельованих
вибірок. Отже, для виявлення різниці в зсувах двох вибірок випадкових величин
рекомендується використовувати критерій Стьюдента, Вілкоксона або Ван-дер-
Вардена.
4.6 Аналіз ефективності критеріїв перевірки гіпотез про відсутність різниці
масштабів нормальних вибірок вимірювань
83
Критерії масштабу досліджуються аналогічно критеріям зсуву. При кожному
досліді формуються за допомогою стандартних програм 4 еталоні вибірки та 4
вибірки, що з ними порівнюються із заданою різницею масштабів D , однаковими
математичними сподіваннями та однаковими розмірами вибірок. Оцінюються
критерій Фішера та 7 критеріїв масштабу (Ансарі-Бредлі, Сіжела-Тьюки, Клотца,
квартильний критерій, Муда, Седвіка-Олсона, Камата) при розмірах вибірок 10, 20,
30 та 50. В таблиці 4.6 наведені значення ймовірності прийняття рішення, про
відсутність різниці масштабів, у випадку порівняння двох вибірок випадкових
величин з нормальним законом розподілу ймовірностей та однаковими параметрами
(нульовим математичним сподіванням та одиничною дисперсією). Результати
досліду представлені в таблиці 4.6, кількість реалізацій – 1000N . Ймовірність
обчислюється за формулою (4.17)
Таблиця 4.6 – Ймовірність підтвердження гіпотези 0D
n
Фішера Ансарі-
Бредлі
Сіжела-
Тьюки
Клотца Квартиль-
ний
Муда Седвіка-
Олсона
Камата
F 1
W 2
W 3
W 4
W 5
W 6
W 7
W
10 0,987 0,968 0,949 0,986 0,9 0,95 0,94 0,941
20 0,99 0,97 0,957 0,988 0,922 0,952 0,959 0,952
30 0,992 0,973 0,959 0,99 0,945 0,955 0,96 0,955
50 0,993 0,986 0,96 0,991 0,957 0,971 0,965 0,988
З даних таблиці випливає, що ефективність критеріїв масштабу практично не
залежить від обсягу вибірок вимірювань. За цим показником вони суттєво
відрізняються від критеріїв зсуву, ефективність яких залежить від обсягу
вимірювань. В порівнянні з параметричним критерієм Фішера найбільш
ефективним, серед критеріїв масштабу непараметричної статистики, є критерій
Клотца.
Оскільки експеримент аналогічний до експерименту 4.1 має 1000 реалізацій, то
це надає змогу розглянути статистику самого критерію, як випадкової величини.
84
Для прикладу приведемо гістограма критерію Клотца (рисунок 4.3) для довжини
вибірки 20n
Рисунок 4.3 – Гістограми критеріїв Фішера (а) та Клотца (б)
З рисунку 4.3 видно, що статистика критерію підпорядковується нормальному
розподілу ймовірностей (з математичним сподіванням -0,035 для критерію Фішера,
та 0,093 для – Клотца, і середньоквадратичним відхиленням 1,015 та 0,845
відповідно). Ця гіпотеза перевірена за критерієм хі-квадрат та отримала
підтвердження (показних критерію хі-квадрат 542110,z при пороговому значенні
34,1240z , тобто виконується умова
0zz ).
Закон розподілу критерію співпадають з твердженнями його авторів у роботі
[82].
4.7 Факторний аналіз критеріїв перевірки гіпотези відсутності різниці
масштабів
Проведемо для них факторний аналіз, тобто дослідимо вплив різних чинників,
а саме: коефіцієнтів кореляції, обсягу вимірювань, рівність математичних сподівань
на здатність критеріїв непараметричної статистики підтвердити гіпотезу про
85
рівність масштабів досліджуваних вибірок випадкових величин. Дослідження
побудуємо аналогічно до пункту 4.4.
Експеримент 4.6. Дві вибірки з симетричними законами розподілу
ймовірностей (нормальним, лапласовським) або асиметричними законами розподілу
ймовірностей (Релея, експоненціальний) перевіряються за допомогою критеріїв
непараметричної статистики на виявлення різниці в масштабах. Вхідні дані мають
однакову одиничну дисперсію 0D , математичне сподівання другої вибірки в
двічі перевищує математичне сподівання першої. В таблиці 4.7 наведені
ймовірності прийняття рішення, що масштаби рівні.
Таблиця 4.7 – Ймовірності прийняття рішення 0D , 50n
Критерії
Фішера Ансарі-
Бредлі
Сіжела-
Тьюки
Клотца Квартиль-
ний
Муда Седвіка-
Олсона
Камата
Нормальні ВВ
0D ,
021 aa
0,993
0,986
0,96
0,991
0,957
0,971
0,965
0,988
Нормальні ВВ
86
Критерії
Фішера Ансарі-
Бредлі
Сіжела-
Тьюки
Клотца Квартиль-
ний
Муда Седвіка-
Олсона
Камата
0D , 01 a
12 a
0,95 0,977 0,979 0,987 0,971 0,96 0,951 0,596
Лапласовськи ВВ
0D ,
021 aa
0,943
0,968
0,956
0,973
0,958
0,964
0,943
0,567
Лапласовськи ВВ
0D , 01 a
12 a
0,921
0,957
0,945
0,97
0,955
0,942
0,932
0,515
З аналізу таблиці випливає, що критерії непараметричної статистики масштабу
не зменшують своєї ефективності при умові, що вхідні дані мають різні математичні
сподівання. Отже, можна використовувати критерії виявлення різниці масштабів
незважаючи на зсуви. Але помітно, що для асиметричних законів розподілу
ймовірностей у критеріїв Фішера, Камата, Седвіка-Олсона, Сіджела-Тьюки, падає
ефективність. Тому доцільно рекомендувати до використання критерій Клотца,
Муда, Ансарі-Бредлі при відсутності апріорної інформації про закони розподілу
вхідних даних та величини їх математичних сподівань.
Питання кореляції вхідних даних не розглянуто в роботах [78-91], а в реальних
умовах неможливо гарантувати, що дані, які потрапляють на контроль
некорельовані. Тому доцільно дослідити вплив величини коефіцієнта кореляції
10,r , 5,0r , 90,r на ефективність непараметричних критеріїв масштабу.
Експеримент 4.7. Дві вибірки нормальних випадкових величин з нульовим
математичним сподіванням та одиничною дисперсією, пов’язані між собою.
Досліджено вплив величини коефіцієнту кореляції на ймовірність прийняття
рішення про відсутність різниці масштабів. В таблицю 4.8 занесені значення
ймовірності прийняття рішення, що вхідні дані мають однаковий масштаб, при
0D , 50n .
87
Таблиця 4.8 – Значення ймовірності рівності зсувів за кожним критерієм у випадку
кореляції вибірок
r
Критерій
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Фішера 0,993 0,932 0,865 0,778 0,618 0,496 0,378 0,254 0,135 0,08
Клотца 0,991 0,894 0,781 0,72 0,629 0,593 0,453 0,371 0,322 0,112
Ансарі-
Бредлі
0,986 0,971 0,972 0,971 0,974 0,873 0,67 0,572 0,213 0,03
Муда 0,971 0,903 0,846 0,712 0,659 0,632 0,516 0,453 0,302 0,213
Графіки, побудовані за результатами таблиці 4.8. приведені на рисунку 4.4.
Рисунок 4.4 – Залежність ймовірності розпізнавання 0D , від величини кореляції
За даними таблиці 4.8 можна стверджувати, що кореляція між випадковими
величинами призводить до неспроможності критеріїв розпізнати однакові чи різні
масштаби мають вхідні дані. Але критерій Ансарі-Бредлі виявляє високу
ефективність про коефіцієнті кореляції до 0,7.
88
Доцільно розглянути випадок, коли вхідні вибірки підпорядковуються різним,
але близьким за формою, законам розподілу ймовірностей і при цьому мають рівні
параметри.
Експеримент 4.8. Дві вибірки з нормальним і лапласовським розподілами
ймовірностей мають рівні зсуви та масштаби ( 121 , 021 aa ). В таблиці 4.9
наведено значення ймовірності прийняття рішення, що вибірки випадкових величин
мають однаковий зсув. Це значення обчислено за кожним критерієм при різних
довжинах вибірок 10n , 20n , 30n , 50n
Таблиця 4.9 – Значення ймовірності прийняття рішення про однаковість масштабів
при нормальному і лапаласовському законах розподілу вхідних даних
n Критерії
Фішера Клотца Ансарі-Бредлі Муда
10 0,811 0,933 0,951 0,932
20 0,682 0,997 0,955 0,933
30 0,578 0,998 0,956 0,927
50 0,399 0,998 0,933 0,87
За даними таблиці 4.9 можна стверджувати, що у випадку відсутності різниці
зсувів між вхідними даними, досліджені критерії підтверджують гіпотезу 0D
навіть якщо вибірки підпорядковуються різним законам розподілу ймовірностей.
Слід зазначити, що параметричний критерій Фішера реагує на види законів
розподілу ймовірностей при збільшені об’ємів вхідних даних, але це не протирічить
теорії, оскільки критерій Фішера не є критерієм непараметричної статистики. Це
поширює можливості їх застосування при неруйнівному контролі та дефектоскопії.
4.8 Дослідження ефективності непараметричних критеріїв в задачах
розпізнавання різниці масштабів
89
Експеримент 4.9. Дві вибірки з нормальним (лапласовським, логістичним)
розподілом ймовірностей з однаковими математичними сподіваннями, що
дорівнюють нулю та дисперсія однієї вибірки фіксована одиниця, а другий –
змінюється від одиниці до двох, з кроком в 0,1, перевіряються за допомогою
перерахованих критеріїв на однаковість зсувів.
В результаті проведення обчислювальних експериментів були отримані
таблиці ефективності непараметричних критеріїв масштабів. Приклад такої таблиці
для двох вибірок з логістичним розподілом ( 021 аа , 01 D ) наведено нижче. У
таблиці 4.10 записані значення ймовірності прийняття рішення про однаковість
масштабів в залежності від величини відхилення дисперсії однієї вибірки від
дисперсії іншої при заданій ймовірності прийняття правильного рішення 0,95.
Оскільки в реальних умовах практично виключені випадки, коли обсяг
оброблювальних даних становить 1000, то доцільно дослідити ефективність
зазначених критеріїв при обмежених обсягах вимірювань. Для цього експеримент
4.9 було повторено при 10n , 20n , 50n , та отримані таблиці для випадків,
коли вхідні дані підполягали нормальному, логістичному або лапаласівському
розподілу ймовірностей. Приклад такої таблиці наведено для випадку нормальних
досліджувальних вибірок вимірювання. Результати дослідження впливу обсягу
вимірювань на ефективність розпізнавання різниці зсувів для зазначених критеріїв
представлені в таблиці 4.10.
Таблиця 4.10 – Ймовірність прийняття рішення про зміні масштабів
2D
Критерій
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8
10n 0,013 0,163 0,451 0,743 0,839 0,925 0,951 0,955 0,99
90
Фішера
20n 0,01 0,234 0,488 0,722 0,831 0,918 0,946 0,947 0,98
50n 0,007 0,225 0,492 0,736 0,837 0,924 0,949 0,95 0,985
Клотца
10n 0,014 0,123 0,251 0,461 0,731 0,893 0,975 0,998 0,999
20n 0,012 0,129 0,256 0,464 0,733 0,895 0,975 0,998 0,999
50n 0,009 0,152 0,275 0,478 0,74 0,898 0,976 0,998 0,999
Ансарі-
Бредлі
10n 0,032 0,071 0,224 0,422 0,661 0,804 0,895 0,962 0,981
20n 0,03 0,077 0,229 0,426 0,663 0,806 0,896 0,9617 0,982
50n
0,014 0,103 0,251 0,442 0,672 0,811 0,899 0,963 0,982
Муда
10n 0,05 0,057 0,127 0,391 0,628 0,849 0,955 0,981 0,988
20n 0,048 0,066 0,135 0,396 0,631 0,8507 0,956 0,981 0,989
50n 0,029 0,118 0,183 0,43 0,652 0,859 0,958 0,982 0,99
З графіків і таблиць видно, що критерій Анасарі-Бредлі має високу
ефективність розпізнавання відмінності масштабів (0,96) і не втрачає своїх
властивостей розпізнавання навіть для корельованих вибірок з коефіцієнтом
кореляції, який не перевищує 0,7. Критерій Камата менш ефективний і не придатний
для корельованих вибірок. Крім того, його ефективність зменшується втричі, якщо
довжина вихідних вибірок менше 70. Критеріі Сендвіка-Олссона, Сіжела-Тьюкі
малоефективні, помилки першого роду досягають значення 0,5. Неможливо
використовувати їх для корельованих вибірок або вибірок з різними законами
розподілу ймовірностей. Критерій Клотца має високу ефективність. Розпізнає
різницю в масштабах 0,1 з величиною помилки першого роду до 0,12. Але він не
придатний для корельованих вибірок або вибірок з різними законами розподілу
ймовірностей. Критерій Кейпена малоефективний і до використання не
рекомендується.
4.9 Статистичний аналіз змін зсуву та масштабу непараметричним критерієм
Буша-Вінда
91
Раніше розглядалися критерії зсуву та критерії масштабу, які дозволяли
перевіряти гіпотези щодо одного з параметрів, фіксуючи умови для іншого
параметра. Однак на практиці можливі випадки, коли не можна апріорі знати, які
параметри порівнюваних вибірок можуть відрізнятися між собою математичні
сподівання, дисперсії або те і інше одночасно. Одним з рангових комбінованих
критеріїв є критерій Буша-Вінда [92]. Критерій Буша-Вінда, призначений для
перевірки гіпотези про рівність невідомих математичних сподівань і дисперсій двох
вибірок вимірювань, є комбінацією аналогів критеріїв Ван-дер-Вардена S і Клотца
T .
n
i
n
i
i
m
i
n
xR
nS
2
1
2
1
2
1
12
)(
)1
2(2 , (4.16)
n
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i
n
xR
nT
2
1
4
2
1
2
1
22
12
1212
)(
122
. (4.17)
Критерій W дорівнює комбінації S і T виду
TSW 12ln212ln2 , (4.18)
де x – інтеграл ймовірностей Гауса.
Показники Буша-Вінда W є випадковими величинами і при 30n справедлива
модель їх статистичних закономірностей із законом розподілу хі-квадрат з чотирма
ступенями свободи, якщо математичне сподівання і дисперсія двох порівнюваних
вибірок рівні. В цьому випадку з імовірністю 95,0P буде виконуватись нерівність
25,9W ( 30n ) і 32,9W ( 50n ). Шляхом проведення обчислювальних
експериментів досліджено вплив обсягу вимірювань і видів законів розподілу
ймовірностей двох вибірок з рівними математичними сподіваннями і дисперсіями на
92
статистичні закономірності критерію Буша-Вінда. Встановлено, що якщо дві
досліджувані вибірки випадкових величин мають однакові закони розподілу
ймовірностей і однакові параметри зсуву і масштабу, то статистичні закономірності
критеріїв Клотца і Буша-Вінда відповідають висновкам їх авторів, тобто
нормований критерій Клотца має нормальний розподіл з нульовим математичним
сподіванням і одиничною дисперсією, а критерій Буша-Вінда – закон розподілу хі-
квадрат з чотирма ступенями свободи (гістограми на рисунку 4.13). При обсягах
вимірювань 50n , та кількості реалізацій експерименту 1000.
Рисунок 4.13 – Гістограма критерію Буша-Вінда для двох вибірок вимірювань з
однаковим законами розподілу а) нормальні закони розподілу; б) релеївські закони
розподілу; в) експоненціальні закони розподілу, зсувом і масштабом (зсув і масштаб
дорівнюють одиниці)
Однак шляхом дослідження двох вибірок вимірювань, які мають однакові зсув
і масштабам, але відрізняються видами їх законів розподілу (нормальний і
логістичний, нормальний і Лапласа), було встановлено, що статистичні
закономірності критерію Буша-Вінда істотно відрізняються від теоретичних. На
93
рисунку 4.14 представлені гістограми критерію Буша-Вінда при порівнянні двох
вибірок з однаковими математичними сподіваннями і дисперсіями з законами
розподілу нормальним і логістичним, нормальним і Лапласа, довжина кожної
вибірки 100n .
Рисунок 4.14 – Гістограми критерію Буша-Вінда при порівнянні вибірок з
нормальним і логістичним розподілами (а), нормальним розподілом і розподілом
Лапласа (б) та напівнормальним розподілом і експоненціальним розподілом (в)
Закони розподілу ймовірностей для статистики критерію у вказаних випадках
перевірялися за допомогою правилу хі-квадрат. Згідно з ним статистики рисунку
4.14 підпорядковуються нормальному розподілу з параметрами (рис. 4.14а –
9413,WМ , 5042,WD ; рис. 4.14б – 1444,WМ , 1133,WD ; рис. 4.14в
– 6444,WМ , 2133,WD ).
94
Таким чином, критерій Буша-Вінда є критерієм зсуву і масштабу тільки при
порівнянні вибірок з однаковими видами законів розподілу, тобто це критерії
однорідності вибірок вимірювань випадкових величин, які можуть
використовуватися для виявлення змін статистичних закономірностей вибірок
вимірювань при повній відсутності інформації про закони розподілу ймовірності і їх
параметри. Відомо, що якщо дві досліджувані вибірки випадкових величин мають
однакові закони розподілу ймовірностей і однакові параметри зсуву і масштабу, то
незалежно від виду цих законів критерій Буша-Вінда, як випадкова величина, має
закон розподілу хі-квадрат з чотирма ступенями свободи. Для підтвердження цього
факту були проведені обчислювальні експерименти, та їх результати забражені у
вигляді гістограм. Досліджувались дві вибірки з нормальними законами розподілу
ймовірностей, з однаковими одиничними дисперсіями. Гістограми показника Буша-
Вінда при порівнянні вибірок з однаковим нульовим математичним сподіванням
представлені на рисунку 4.15(а), та на рисунку 4.15(б) зображено гістограму
показника Буша-Вінда у випадку, коли означені вибірки мають зсув 8,01
а.
Рисунок 4.15 – Гістограми показника Буша-Вінда для вибірок з нормальним
законом розподілу ймовірностей ( 30n ) а) однакові параметри МС=0, дисперсії –
одиниці; б) – вибірки мають зсув 8,01
а
дисперсії одиничні
95
Рисунок 4.15 підтверджує висновки про статистику критерію Буша-Вінда, у
випадку дослідження вибірок з однаковими законами розподілу ймовірностей.
На рисунку 4.16 представлені гістограми показника Буша-Вінда при порівнянні
нормальних вибірок з нульовим зсувом та різними дисперсіями (а) і зі зміною як
математичного сподівання 8,0/1 a , так і дисперсії 8,0/
1 (б).
Рисунок 4.16 – Гістограми показника Буша-Вінда для вибірок з нормальними
законами розподілу ймовірностей а) однаковий зсув, різний масштаб; б) різні зсуви
та масштаби
На рисунку 4.17 показані гістограми показника Буша-Вінда для вибірок з
експоненціальним (4.17а) і релеївським (4.17б) розподілами при зміні зсувів
8,0//11 a , 654,01
4/
1
2
1
b
ba
, і масштабів
8,0//11 , 745,0/
2
1
1
b
b .
96
Рисунок 4.17 – Гістограми показника Буша-Вінда для вибірок з
експоненціальним (а) і релеївським (б) розподілом
На рисунках 4.15, 4.16, 4.17 показані графіки закону розподілу ймовірності хи-
квадарат для однорідних вибірок (рис. 4.15а) і неоднорідних вибірок (рис. 4.15 б,
4.16, 4.17). Параметр закону розподілу ймовірності хі-квадрат (ступінь свободи N )
обраний по максимуму гістограми ( 2max
NW ). В даному випадку число ступенів
свободи на рис. 4.15а дорівнює 4, N =12 (рис. 4.15 б), N =8 (рис. 4.16а), N =13 (рис.
4.16б), N =6 (рис. 4.17а), N =8 (рис. 4.17б). Гіпотеза про вигляд закону розподілу
ймовірності критерію перевірялася за критерієм хі-квадрат. Показник хі-квадрат для
вибірок з нормальним законом 9738,z , з релеївським – 65264,z , з
експоненціальним – 84347,z при пороговому значенні 952,700z .
Проведено аналіз залежності середніх значень WWM * і середньо
квадратичних відхилень WD* критерію Буша-Вінда при порівнянні вибірок з
різними ступенями неоднорідності. У таблиці 4.14 наведені ці дані для нормальних
вибірок розміром 30n , отримані шляхом обробки результатів обчислювальних
експериментів (1000 реалізацій).
Таблиця 4.14 – Статистика критерію Буша-Вінда
1/a 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
97
W 3,68 4,12 5,12 6,43 7,64 9,37 11,02 13,12 15,42 17,32 19,21
WD* 2,50 2,81 3,52 4,04 4,51 4,85 5,23 5,64 5,95 6,19 6,4
1/ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
W 3,62 3,79 1,30 4,98 5,62 6,28 6,98 7,78 8,27 8,90 9,46
WD* 2,58 2,58 2,67 2,78 2,81 2,83 2,86 2,97 2,87 2,84 2,89
1/a
1/
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
W 3,88 4,29 4,81 5,65 6,40 7,34 8,31 9,16 9,87 10,76 14,71
WD* 2,63 2,90 2,93 3,27 3,31 3,57 3,65 3,84 3,59 3,77 3,91
Для однорідних вибірок математичне сподівання WМ і дисперсія WD
показника Буша-Вінда при 30n дорівнюють 4 і 8 відповідно. За результатами
експериментів оцінки математичних сподівань і середньоквадратичні відхилення
дещо менші теоретичних значень (4 і 2,83).
При зміні зсуву в 2 рази середнє значення W показника збільшилося з 3,68 до
19,21 (приблизно в 5 разів), середньоквадратичне значення змінилося приблизно в
1,8 рази. При збільшенні масштабу в 2 рази, середнє значення змінюється з 3,62 до
9,46 (в 3 рази), середньоквадратичне значення практично не змінилося (2,58 і 2,89).
При одночасній зміні зсуву і масштабу в 2 рази ці показники збільшилися в 3 і 1,5
рази. В таблицях 4.15 і 4.16 наведені результати обчислювальних експериментів для
експоненціального і релеївського розподілу ймовірності відповідно, з яких
випливає, що середнє значення і середньоквадратичне відхилення показника Буша-
Вінда приблизно таке ж, як і для нормальних вибірок.
Таблиця 4.15 – Статистика критерію Буша-Вінда
1/a
1/
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
W 3,67 3,59 3,77 4,01 4,51 5,06 5,60 6,11 6,87 7,55 7,9
98
WD 2,40 2,52 2,36 2,565 2,785 3,102 3,308 3,39 3,43 3,62 4,3
Таблиця 4.16 – Статистика критерію Буша-Вінда
1/a
1/
0
0
0,093
0,316
0,183
0,447
0,268
0,548
0,351
0,632
0,43
0,707
0,507
0,775
0,581
0,837
0,724
0,949
0,792
1
W 3,61 4,11 4,75 5,47 6,087 6,991 7,94 8,667 10,32 11,37
WD 2,49 2,81 3,03 3,753 3,877 4,106 4,19 4,492 4,872 4,882
Оскільки релеївський і експоненціальний розподіл є одно параметричними, то
при зміні значення параметра в 2 рази одночасно зміняться зсув і масштаб. Для
експоненціального розподілу значення параметра і дисперсії також збільшується в 2
рази. Для релеївського розподілу значення параметра змінюється в 3 рази, а його
дисперсія в 2 рази.
Шляхом проведення обчислювальних експериментів досліджувалася
чутливість критерію як залежність середнього значення показника W від зміни
зсуву і масштабу для вибірок різної довжини (n ). На рисунку 4.18 представлені
залежності середнього значення критерію Буша-Вінда W від зсуву для вибірок з
нормальним розподілом. Залежність показника Буша-Вінда від зміни зсуву можна
описати лінійною моделлю виду 1
abaW при 2,0
1
a
99
Рисунок 4.18 – Криві чутливості критерію Буша-Вінда для вибірок з
нормальним розподілом при зміні зсуву
Такі ж експерименти були проведені для нормальних вибірок при зміні
масштабу. Залежності, отримані в результаті цих експериментів, наведені на
рисунку 4.19.
Рисунок 4.19 – Криві чутливості критерію Буша-Вінда для вибірок з
нормальним розподілом при зміні масштабу
100
Критерій Буша-Вінда є набагато більш чутливим до змін зсуву, ніж до змін
масштабу. При зміні зсуву навіть на коротких вибірках ( 10n ) спостерігається
перевищення показником W порогового значення 0
W .
На рисунку 4.20 приведені залежності чутливості при одночасній зміні зсуву і
масштабу нормальних випадкових величин.
Рисунок 4.20 – Криві чутливості критерію Буша-Вінда для вибірок з
нормальним розподілом при зміні зсуву і масштабу
Аналогічні дані були отримані при обчислювальних експериментах з
вибірками інших симетричних і асиметричних законів розподілу ймовірностей.
Встановлено, що чутливість критерію непараметричної статистики Буша-Вінда
залежить не лише від обсягу вибірок вимірювань, але і від вигляду закону розподілу
ймовірності.
Для використання комбінованого критерію непараметричної статистики Буша-
Вінда, на практиці необхідно дослідити влив зміни статистичних характеристик
вхідних даних на ефективність зазначеного критерію. З цією метою було проведено
обчислювальні експерименти, в яких для різних видів законів розподілу
ймовірностей (нормальний, логістичний, Лапласа, Релея та експоненціальний) один
із показників фіксувався (зсув або масштаб), а інший змінювався з кроком 0,1.
101
Також розглянуто випадок коли обидва показника змінювались одночасно. В
наслідок цих досліджень були отримані таблиці ймовірностей прийняття рішення
щодо однаковості статистичних показників для всіх зазначених випадків та в
залежності від обсягу вхідних вимірювань. Приклад такої таблиці для нормальних
випадкових величин представлений у вигляді таблиці 4.17, при початкових умовах:
нульове математичне сподівання та одинична дисперсія.
Таблиця 4.17 – Ймовірності прийняття рішення щодо наявності змін статистичних
показників вхідних даних
За даними таблиці 4.17 та аналогічними їй можна стверджувати, що обсяг
вимірювань суттєво впливає на ефективність досліджуваного критерію. Його
доцільно використовувати у випадках коли 20n . Крім того випливає, що критерій
більш чутливий до зміни масштабів, ніж до зміни зсувів.
a 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Р
10n 0,09 0,09 0,1 0,05 0,06 0,07 0,05 0,09 0,09 0,09
20n 0,05 0,05 0,09 0,05 0,1 0,14 0,2 0,17 0,17 0,24
50n 0,05 0,05 0,09 0,15 0,17 0,39 0,54 0,64 0,77 0,86
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Р
10n 0,07 0,07 0,09 0,12 0,18 0,2 0,35 0,36 0,49 0,61
20n 0,02 0,09 0,15 0,22 0,27 0,35 0,55 0,62 0,69 0,81
50n 0,03 0,07 0,18 0,33 0,41 0,66 0,84 0,88 0,95 0,99
a та 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Р
10n 0,07 0,12 0,12 0,14 0,15 0,15 0,22 0,21 0,24 0,36
20n 0,06 0,07 0,11 0,15 0,23 0,32 0,36 0,52 0,57 0,64
50n 0,02 0,06 0,15 0,25 0,58 0,83 0,91 0,93 0,98 0,99
102
4.10 Непараметричні критерії в задачах факторного аналізу параметрів
експериментальних вибірок
З розглянутих непараметричних критеріїв для використання в задачах
неруйнівного контролю та технічної діагностики найбільш інформативними є
критерії зсуву Ван-дер-Вардена, з критеріїв масштабу Клотца і критерій зсуву та
масштабу Буша-Вінда. Непараметричні критерії розглянуті як спрощений замінник
стандартних параметричних критеріїв. Рангові критерії використовуються не лише у
випадку відсутності інформації про вид закону розподілу ймовірностей, але і тоді,
коли спостереження можуть бути лише впорядковані. Якщо задані еталонні вибірки
вимірювань, то використовуючи вказані критерії, можна проводити факторний
аналіз параметрів досліджуваної вибірки шляхом оцінки та порівняння між собою
одночасно всіх трьох критеріїв. Очевидно, що якщо немає змін зсуву, масштабу і
відсутня кореляція, то це зафіксується в значеннях всіх трьох непараметричних
критеріях. Для більш широких досліджень та аналізу виду закону розподілу
ймовірностей досліджуваної вибірки можна додати до вказаними непараметричним
критеріям параметричні критерії Стьюдента і Фішера.
При проведенні обчислювального експерименту досліджувалась
інформативність цих критеріїв шляхом оцінки ймовірності наявності або відсутності
різниці між зсувами або масштабами у вибірках 50n (кількість реалізацій 1000).
Стан вибірок характеризувався зміною зсуву M та масштабу D .
Оцінювались умовні ймовірності D
MP
для критеріїв Стьюдента, Ван-дер-
Вардена, Буша-Вінда та M
DP
для критеріїв Фішера, Клотца та Буша-Вінда.
103
Таблиця 4.18 – Симетричні закони розподілу ймовірностей. Оцінки ймовірності
правильності стану про наявність або відсутність різниці зсуву та масштабу
Вхідні дані Критерії зсуву Критерії
масштабу
Комплекс
Стан ЗРЙ Стьюдента Ван-дер-
Вардена
Фішера Клотца Буш-
Вінда
0M
0D
норм. та норм. 0,994
0,006
0,983
0,017
0,992
0,008
0,957
0,043
0,973
0,027
норм. та
логістичний
0,988
0,012
0,957
0,043
0,991
0,009
0,953
0,047
0,934
0,066
норм. та
Лапласа
0,974
0,026
0,956
0,044
0,604
0,396
0,856
0,144
0,901
0,099
1M 0D
норм. та норм. 0,002
0,998
0,027
0,973
0,989
0,011
0,96
0,04
0,002
0,998
норм. та
логістичний
0,007
0,993
0,046
0,954
0,991
0,009
0,959
0,041
0,007
0,993
норм. та
Лапласа
0,086
0,914
0,042
0,958
0,973
0,027
0,932
0,068
0,008
0,992
0M
1D
норм. та норм. 0,884
0,116
0,969
0,031
0,003
0,997
0,015
0,985
0,098
0,902
норм. та
логістичний
0,784
0,216
0,958
0,042
0,006
0,994
0,017
0,983
0,102
0,898
норм. та
Лапласа
0,645
0,355
0,947
0,053
0,035
0,965
0,018
0,982
0,106
0,894
1M
1D
норм. та норм. 0,268
0,732
0,17
0,83
0,113
0,887
0,145
0,855
0,003
0,997
норм. та
логістичний
0,271
0,729
0,204
0,796
0,127
0,873
0,14
0,86
0,004
0,996
норм. та
Лапласа
0,381
0,619
0,241
0,759
0,265
0,735
0,204
0,796
0,007
0,993
Як і слід було очікувати, всі відібрані критерії, не залежно від видів законів
розподілу ймовірностей, з великою вірогідністю (більш 0,95) дозволяють приймати
правильні рішення про відсутність у вибірках вимірювань різниці зсувів та
масштабів ( 0M , 0D ). Зсуви у вибірках виявляються з більшою ймовірність,
якщо дисперсії однакові ( 0D ) критеріями Стьюдента, Ван дер Вардена та Буша-
Вінда, а зміни масштабів критеріями Клотца, Фішера та Буша-Вінда.
Найпотужнішим критерієм виявлення змін зсуву та масштабу є критерій Буша-
104
Вінда. Погіршує ефективність прийняття рішень за критеріями Стьюдента та Ван
дер Вардена наявність різниці дисперсій у вимірювальних величинах.
Таблиця 4.19 – Асиметричні закони розподілу ймовірностей. Ймовірність
правильності гіпотези
Ван-дер-Вардена Клотца Буша-
Вінда
ЗРЙ 0M 0D 0M 0D 0M0D
1 Експоненціальний
та експоненціальний
0,953 0,907 0,97
2 Релея та Релея 0,965 0,916 0,97
3 напівнормальний
та напівнормальний
0,945 0,925 0,93
Таблиця 4.20 – Асиметричні закони розподілу ймовірностей. Ймовірність
правильності гіпотези
ЗРЙ Параметри
вибірок
Ван-дер-
Вардена
Клотца Буша-
Вінда
1 експоненціальний,
Релея
1M
7270,D 0,214 0,412 0,073
2 експоненціальний,
напівнормальний
1M
2290,D 0,201 0,783 0,111
3 напівнорамльний,
Релея
1M
416,0D 0,198 0,683 0,103
4 експоненціальний,
Релея
1D ,
513,0M 0,612 0,164 0,073
5 експоненціальний,
напівнормальний
1D ,
3030,M 0,789 0,045 0,095
6 напівнорамльний,
Релея
1D ,
365,0M 0,752 0,058 0,089
105
Аналізуючи дані таблиці 4.19 та 4.20 можна зробити висновок, що вказані
критерії непараметричної статистики мають високу ефективність розпізнавання
наявності різниці між зсувами або масштабами вибірок випадкових величин, що
досліджуються, не залежно від видів їх законів розподілу ймовірностей. При
відсутності різниці між параметрами зсуву та масштабу, критерії розпізнають це, з
ймовірністю 9,0 (таблиця 4.19). Оскільки, вказані асиметричні закони розподілу
ймовірностей є однопараметричними, тому не можливо підібрати таке значення
параметру, щоб у вибірках, що їм підпорядковуються, відрізнялось або лише
математичне сподівання, або лише дисперсія. Тому, ймовірність прийняття рішення
щодо рівності параметрів вибірок з асиметричними законами розподілу
ймовірностей зменшується (таблиця 4.20). Розпізнавання критерію Ван-дер-Вардена
різниці математичних сподівань падає за рахунок наявності різниці між дисперсіями
у досліджуваних вибірках випадкових величин.
Отже, за вказаними критеріями встановлюється наявність або відсутність
різниці між зсувами, масштабами або тим та іншим одночасно для вибірок вхідних
даних, що характеризують параметри об’єкту контролю, для випадків коли вхідні
дані підпорядковуються симетричним або асиметричним законом розподілу
ймовірностей. А також встановити наявність кореляції між даними та випадок, коли
вибірки, що порівнюються між собою, підпорядковуються різним законам розподілу
ймовірностей. Для підтримки прийняття одного з вищевказаних рішень
запропоновано алгоритм обробки вимірювань параметрів об’єктів контролю. Блок-
схема алгоритму представлена на рисунку 4.21.
106
Рисунок 4.21 – Блок-схема алгоритму підтримки прийняття рішення про стан
об’єкту контролю за трьома критеріями непараметричної статистики
Алгоритм обробки експериментальних даних для підтримки прийняття рішень
щодо стану та статистичних показників об’єктів неруйнівного контролю,
складається з наступних пунктів.
1. Сортування вхідних даних за зростанням
2. Обчислення рангів за формулами (4.1), (4.5)
107
3. Обчислення значень критеріїв Клотца, Стьюдента, Ван-дер-Вардена, Фішера
та Буша-Вінда за відповідними формулами.
4. Порівняння отриманих в п.3 значень з пороговими, значення яких надаються
в таблицях математичної статистики.
5. Якщо умова п. 4 виконуються, то на вихід потрапляє 1, якщо ні – 0.
6. Комбінація із пяти нулів та одиниць являє собою дані для підтримки
прийняття рішення щодо стану об’єкту контролю.
Для симетричних законів розподілу ймовірностей можливі наступні комбінації
з нулів та одиниць, якщо отримана ймовірність ≤ 0,7 – це нуль, а в іншому випадку –
одиниця. Для зручності представимо ці дані у вигляді таблиці 4.21 обсяг вимірювань
становить 50n а кількість реалізацій 1000.
Таблиця 4.21 – Варіанти результатів використання трьох критерів
№ Критерій
Ван-дер-Вардена
Критерій
Клотца
Критерій
Буша-Вінда
1 0,983 0,957 0,973
2 0,017 0,96 0,002
3 0,969 0,015 0,008
4 0,015 0,016 0,003
5 0,886 0,878 0,011
Тобто, якщо на вхід потрапляють некорельовані дані з однаковими
симетричними законами розподілу ймовірностей та відсутністю різниці між зсувами
та масштабами, то за всіма запропонованими критеріями отримаємо одиниці. При
комбінації 00110 слід вважати, що вхідні дані це некорельовані випадкові величини
з однаковими масштабами, але які мають різницю в зсувах. При комбінації 11000 –
некорельовані випадкові величини з однаковими зсувами, але різними масштабами.
При комбінації 00000 – маємо некорельовані випадкові величини з різницею між
зсувами та масштабами. При комбінації 01010 – вхідні дані є корельованими
випадковими величинами. Якщо вхідні дані підпорядковуються нормальному та
108
лапласовському законам розподілу ймовірностей, але при цьому мають однакові
зсув та масштаб, отримаємо послідовність 11011. У випадку 00010 – вхідні дані є
незалежні випадкові величини з нормальним та лапласовським законами розподілу
ймовірностей, які мають різницю в зсуві та масштабі.
У випадку, коли вибірки вимірювань за обчисленим коефіцієнтом асиметрії
належать до класу асиметричних законів розподілу ймовірностей, алгоритм їх
обробки лишається незмінним, але для встановлення причино-наслідкових зв’язків
необхідно інакше тлумачити отримані послідовності. 11111 – незалежні випадкові
величини з однаковими зсувами, масштабами та законами розподілу ймовірностей.
При комбінації 01010 – вхідні дані є корельованими випадковими величинами, з
коефіцієнтом кореляції ≥ 0,65. 11000 – незалежні випадкові величини з однаковим
законом розподілу ймовірностей, при цьому різниця в масштабах суттєво перевищує
різницю між зсувами. 00110 – незалежні випадкові величини з однаковим законом
розподілу ймовірностей, при цьому різниця між зсувами суттєво перевищує різницю
між масштабами. При різних законах розподілу ймовірностей, наприклад,
релеївський та на півнормальний, але при рівних значеннях зсувів та масштабів
маємо послідовність – 11010.
4.11 Висновок до 4-ого розділу
Шляхом проведення обчислювальних експериментів серед багатьох критеріїв
непараметричної статистики було обрано три з найбільшою ефективністю
розпізнавання відмінностей параметрів вхідних даних. А саме: критерій Ван-дер-
Вардена, який є ефективнішим за інші 11 непараметричних критеріїв зсуву на 18%.
Мається на увазі, що цей критерії здатен розпізнавати наявність різниці в зсувах,
незважаючи на види законів розподілу ймовірностей вхідних даних, яка на 18%
менша, ніж інші критерії непараметричної статистики зсуву. Серед
непараметричних критеріїв масштабу обрано критерій Клотца, як ефективніший за
109
інші на 15%. Та комплексний критерій Буша-Вінда, оскільки він дозволяє
розпізнавати наявність різниці, як в зсуві так і в масштабі, що особливо важливо для
випадку, коли вхідні дані підпорядковуються асиметричним законам розподілу
ймовірностей, які мають лише один параметр, а отже його зміна призводить до
відмінностей зсуву та масштабу одночасно.
Досліджено розмір вибірок, що надходять для обробки, та наявність кореляції
між ними. Встановлено, що кореляційні зв’язки зменшують ефективність критеріїв
непараметричної статистики.
Запропонований і досліджений новий метод підготовки даних для підтримки
прийняття рішень щодо стану об’єкту неруйнівного контролю, на основі
застосування одночасно трьох критеріїв непараметричної статистики: критерію
зсуву Ван-дер-Вардена, критерію масштабу – Клотца та комплексного критерію
Буша-Вінда. Цей підхід відрізняється від поодиноко застосування вказаних
критеріїв в задачах дефектоскопії та неруйнівного контролю, тим, що дозволяє
встановлювати, які саме зміни відбулися в об’єкті, що контролюється.
Основні наукові результати розділу 4 опубліковано у роботах [8, 9, 15, 16, 18,
20, 23]
110
РОЗДІЛ 5
ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНА ТЕХНОЛОГІЯ КЛАСИФІКАЦІЇ В
ЗАДАЧАХ ДЕФЕКТОСКОПІЇ МНОЖИНИ БАГАТОПАРАМЕТРИЧНИХ
ОБ’ЄКТІВ НЕВІДОМОГО СТАНУ ЗА ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИМИ
ВИБІРКАМИ
5.1 Постановка задачі
В наш час наукова діяльність в техніці, медицині, біології, фізики та інших
областях тісно пов'язана з обробкою й аналізом масивів даних, які містять
інформацію про об'єкти предметної області. У ході аналізу таких даних, наприклад,
в дослідженнях та діагностиці складних багатопараметричних технічних систем,
досліднику доводиться вирішувати типові завдання виявлення структурних
особливостей у даних, які несуть інформацію про стани систем, а також
цілеспрямованого пошуку цих особливостей в даних з метою ідентифікації шуканих
станів. Зусилля багатьох дослідників спрямовані на автоматизацію вирішення цих
завдань шляхом створення ефективних математичних методів та їх реалізації в
алгоритмах класифікації, званих «розпізнаванням з учителем» [93], і алгоритмах
автоматичної класифікації, званих «розпізнаванням без вчителя» або кластеризації
[93, 66]. Розробка таких методів представляє для дослідників серйозну проблему,
яка називається «проблемою побудови процедури класифікації» [93], або
«проблемою машинного навчання» [66], центральним питанням якої є вибір
(побудова) заходів відмінностей (однорідності) вибірок вимірів
багатопараметричних об’єктів [66]. Розглянемо підхід до побудови міри
відмінностей, яка призначена для виявлення структурних особливостей у значеннях
характеристик елементів досліджуваних множин, та розробці на її основі алгоритмів
класифікації, наприклад, трьохпараметричних об’єктів за експериментальними
даними.
Розглянемо об'єкти класифікації, що знаходяться під впливом трьох чинників,
що зумовлюють їх стан. Перша причина пов'язана зі зміною параметру )k(x1 та
111
статистично пов’язана з вимірюваннями )k(x2 та )k(x3
які зв’язуються законами
розподілу
1
2121 x
xWxWxxW ,
1
3131 x
xWxWxxW .
Друга причина пов’язана із змінами параметру )k(x2 та описується виразами
2
1212 x
xWxWxxW ,
2
3232 x
xWxWxxW . Відповідно за третьою причиною
3
1313 x
xWxWxxW ,
3
2323 x
xWxWxxW . У цьому випадку для вибірок з
нормальним розподілом умовний закон запишеться у вигляді
2
2
2
1 12
12
ijji
ij
i
iiij
j
jj
j
rDD
r
D
axr
D
ax
exp
x
xW
. (5.1)
Введемо наступні позначення для спрощення запису законів розподілу
1
111
D
axz
,
2
222
D
axz
,
3
333
D
axz
, та їх кореляційні залежності 2
2311 1 rA ,
2
1322 1 rA , 2
1233 1 rA , 23131212 rrrA , 23121313 rrrA , 13122323 rrrA . У цьому
випадку випадкові величини 1z , 2z , 3z мають нульове математичне сподівання та
одиничну дисперсію, а їх трьохвимірний закон розподілу ймовірностей запишеться
у вигляді
231312
2
23
2
13
2
12
3
231312
2
23
2
13
2
12
322331132112
2
333
2
222
2
111
321
212
212
222
rrrrrr
rrrrrr
zzAzzAzzAzAzAzAexp
zzzW
. (5.2)
112
Цей закон розподілу ймовірностей можливо представити у вигляді
21
3
1
21321 zz
zW
zz
WzWzzzW .
Вважаючи відомими коефіцієнти кореляції, можна записати вираз для умовних
законів розподілу ймовірностей
22
1 2
11
zexpzW , (5.3)
2
12
2
1122
2
121
2
1212
1
r
zrzexp
rzz
W , (5.4)
2
1
2
12
132312
2
23
2
13
231312
2
23
2
13
2
12
12
12
2
22
12
2312
12
133
21
3
1
212
2112
11
r
rrrrr
rrrrrrr
zr
Az
r
Az
exp
zzz
W . (5.5)
Умовні математичні сподівання та дисперсії дорівнюють 01 zM ,
1121
2 zrz
zM
, 2
12
1312231
12
231213
21
3
11z
r
rrrz
r
rrr
zzz
M
, 11 zD , 2
121
2 1 rz
zD
,
2
12
132312
2
23
2
13
21
3
1
21
r
rrrrr
zzz
D
.
Ці знання дозволяють формувати тривимірні вибірки випадкових величин для
проведення обчислювальних експериментів. Якщо 11 z , 2
2
121122 1 rrz ,
3322113 bzbzbz , де i – нормальні випадкові величини з нульовим
математичним сподіванням та одиничною дисперсією ( 321 ,,i ). Коефіцієнти 1b , 2b ,
3b визначимо з системи рівнянь
113
.rbbbbb
,brbr
,rbbr
1221
2
3
2
2
2
1
212123
122113
21
(5.6)
Вирішивши систему рівнянь (5.6) отримаємо коефіцієнти 2
12
2312131
1 r
rrrb
,
2
12
1312232
1 r
rrrb
,
2
2
12
231213
2
2
12
121323
2
12
122313122
3
1111
r
rrr
r
rrr
r
rrrrb .
Маючи у розпорядженні деяке число трипараметричних об’єктів з
випадковими параметрами та вибірками їх вимірювань, необхідно виділити класи
об’єктів з однаковими параметрами. Цю задачу можна вирішити шляхом
ентропійних перетворень вибірок вимірювань та перевіркою гіпотез про рівність їх
зсувів, масштабів і кореляційних зв’язків на основі критеріїв Ван-дер-Вардена,
Клотца та Буша-Вінда.
Розглянемо цю задачу на прикладі наступних двох видів різниці об’єктів.
Перший від відмінностей:
1) об’єкти відрізняються лише параметром зсуву;
2) об’єкти відрізняються лише параметром масштабу;
3) об’єкти відрізняються лише статистичними зв’язками (коефіцієнтом
кореляції).
Другий вид відмінностей (зсувів, масштабів та кореляції):
1) об’єкти відрізняються одним (невідомим) параметром;
2) об’єкти відрізняються двома (невідомим) параметрами;
3) об’єкти відрізняються всіма (трьома) параметрами.
Проведемо навчальний обчислювальний експеримент, щоб отримати
інформацію про відмінності відповідних ентропійних перетворень, їх гістограми,
мінімальні, максимальні та середні значення, вибіркові дисперсії та коефіцієнти
варіації та розмахів. Якщо коефіцієнт варіації – це відношення *
*
в MDk , то
114
коефіцієнт розмаху – *
minmaxр D/LLk . Вважаючи параметри трьох еталонних
гаусових вибірок вимірювань відомими (див. таблицю 5.1) визначимо їх ідеальний
ентропійний перетворювач kx,kx,kxLэ 321.
Таблиця 5.1 – Параметри еталонного ентропійного перетворювача
Параметри 1a
2a 3a
1D 2D 3D
12r 13
r 23r
Еталон 10 20 30 1 2 3 0,8 0,8 0,8
231312
2
23
2
13
2
12
232331132112
2
333
2
222
2
111
131211231312
2
23
2
13
2
12
3
3211
212
222
2122
1
rrrrrr
xxAxxAxxAxAxAxA
DDDrrrrrrlnkx,kx,kxL ***
(5.7)
де 111111 zDakx ,
212122 zDakx ,
313133 zDakx .
Маючи у розпорядженні три вибірки вимірювань незалежних нормальних
випадкових величин з нульовим математичним сподіванням та одиничною
дисперсією k1 , k2 , k3 , сформуємо три вибірки взаємокорельованих
випадкових величин kkz 11 , krkrkz 2
2
121122 1 ,
kbkzbkzbkz 3322113 . Змінюючи їх параметри дослідимо статистичні
закономірності ентропійних перетворювачів відповідно до вказаних вище типів
відмінностей змодельованих вибірок від еталону. За першим видом маємо три
варіанти відмінностей: 1) 111 a , 212 a , 313 a ; 2) 511 ,D , 522 ,D , 533 ,D ; 3)
012 r , 023 r , 013 r . Обсяг вимірювань становить 1000n .
Статистичні показники ентропійного перетворювача представимо у вигляді
таблиці 5.2.
115
Таблиця 5.2 – Статистичні показники ентропійного перетворювача
*L LD* *
maxL *
minL вk рk
Еталон 3330 5,834 3330 3289 0,018 7,773
1 3337 5,889 3342 3294 0,017 7,7
2 3422 6,112 3446 3399 0,017 7,7
3 5,141 1,487 3,653 11,281 0,237 6,252
За даними таблиці 5.2 можна стверджувати, що, незважаючи на зміни
математичного сподівання та дисперсії вхідних даних, зсув та масштаб
ентропійного перетворювача лишаються практично незмінними, а при зміни
кореляції відбувається суттєве змінення математичного сподівання, та зменшується
дисперсія перетворювача. На рисунку 5.1 зображено гістограми тривимірних
ентропійних перетворень еталону (рисунок 5.1а) та випадку, коли вхідні дані
відрізняються зсувом при незмінних масштабах та коефіцієнтах кореляції еталону
(рисунок 5.1б)
Рисунок 5.1 – Гістограми тривимірних ентропійних перетворень а) еталонний
ентропійний перетворювач; б) ентропійний перетворювач при зменшені
математичного сподівання вхідних даних
116
З аналізу рисунка 5.1 випливає, що вид закону розподілу ймовірностей
ентропійного перетворювача не залежить від зміни статистичних показників
вхідних даних.
Дослідимо вплив на перетворювач другого виду відмінностей, а саме: змінимо
параметри лише першої з трьох еталонних вибірок (див. таблицю 5.1): 1) 111 a ,
511 ,D , 5012 ,r ; 2) першої та другої еталонних вибірок 111 a , 511 ,D , 5012 ,r ;
212 a , 522 ,D , 7023 ,r ; 3) усіх трьох вибірок 111 a , 511 ,D , 5012 ,r ; 212 a ,
522 ,D , 7023 ,r ; 313 a , 533 ,D , 031 r . Статистичні показники ентропійного
перетворювача представимо у вигляді таблиці 5.3
Таблиця 5.3 – Статистичні показники ентропійного перетворювача
*L LD* *
maxL *
minL вk рk
Еталон 3330 5,834 3330 3289 0,018 7,773
1 4769 7,323 4776 4707 0,015 9,312
2 2805 5,05 2809 2771 0,018 7,58
3 2638 4,413 2642 2609 0,016 7,363
Аналізуючи дані таблиці 5.3 приходимо до висновку, що різниця одного
параметру впливає на статистичні показники ентропійного перетворювача набагато
сильніше, ніж загальне збільшення чи зменшення математичного сподівання або
дисперсії.
Для перевірки можливості використання критерію Буша-Вінда для виявлення
відмінностей статистичних закономірностей ентропійних перетворювачів дослідимо
ймовірності прийняття рішень щодо однаковості об’єктів контролю у порівнянні з
еталоном, при умові, що другий об’єкт моє відмінності від еталону першого і
другого класу, при параметрах вказаних вище. Обсяг вимірювань становить
1000n , кількість реалізацій 1000. Результати досліду представлені в таблиці 5.4.
117
Таблиця 5.4 – Ймовірності прийняття рішень щодо однорідності ентропійних
перетворювачів за критерієм Буша-Вінда
Еталон 1 клас відмінностей
(параметри, що змінюються)
2 клас відмінностей
(параметри, що змінюються)
МО Дис. Кор. 1x
1x та 2x
1x , 2x ,
3x
P 0,994 0,003 0,007 0,894 0,793 0,433 0,004
За даними таблиці 5.4 можна зробити висновок щодо високої ефективності
сумісного використання комплексного непараметричного критерію Буша-Вінда та
ентропійних перетворень в задачах дефектоскопії. Оскільки критерій в сукупності з
ентропійними перетвореннями дають змогу визначити зміни як лише одного з
параметрів вимірювань, так і зміну статистичних показників однієї вибірки
багатовимірного об’єкту неруйнівного контролю.
5.2 Обробка ентропійних перетворень багатопараметричних вимірювань в
задачах підготовки даних для підтримки прийняття класифікаційних рішень
Якщо відомі вибірки вимірювань параметрів M об’єктів, то шляхом їх
ентропійного перетворення отримаємо M одновимірних вибірок і вони мають бути
класифіковані. Для вирішення цього завдання скористаємося статистичними
критерієм близькості Буша-Вінда для виділення об'єктів, параметри яких
відповідають заданим вимогам. В якості еталону візьмемо вибірку )k(L1 та
порівняємо її з вибірками )k(L j , N..,,j 32 , обчисливши 1M показників Буша-
Вінда. Вони є випадковими величинами і при розмірах вибірок 30n описуються
законом розподілу хі-квадрат з чотирма ступенями свободи, якщо зсуви і масштаби
порівнюваних вибірок рівні. У цьому випадку з ймовірністю 0,95 буде виконаються
118
нерівність 59,W [9]. Таким чином з N об'єктів можна виділити клас аномальних і
використовувати ці знання в задачах дефектоскопії контрольованих об'єктів.
Використовуючи послідовність критеріїв )m(W виділимо з неї ті, які
відносяться до першого класу
)m(WWsgnmR* 01, (5.8)
де )xsgn( – функція одиничного стрибка
Очевидно, що їх відносне число може служити оцінкою технології
виробництва цих об'єктів
M
m
* )m(WWsgnM
P1
011
1. (5.9)
На основі ентропіних перетворювачів описаних в другому розділі були
проведені ентропійні перетворення багатопараметричних об’єктів та досліджена їх
статистика для множини об’єктів. Припустимо, що після класифікації N виборів
виявлено об’єкти четирьох видів.
В якості оброки ентропійних перетворювань пропонується використовувати
комплексний критерій непараметричної статистики Буша-Вінда. Як було показано в
розділі 4 цей критерій виявляється найефективнішим при обробці даних з
невідомими статистичними показниками.
Вважаючи першу вибірку еталонною, обчислимо критерій Буша-Вінда n
mW1
для трьох розмірів 502510 ,,n та побудуємо гістограми ( 1000M ), а також
оцінимо їх математичні сподівання й дисперсії. Дані для проведення експериментів
наведені в таблиці 5.5.
119
Таблиця 5.5 – Параметри об’єкту першого класу
11
a 12a 13
a 11D 12
D 13D 12
r 13r 23
r
Норма 10 20 30 1 2 3 0,8 0,8 0,8
Рисунок 5.2 – Гістограми показника Буша-Вінда по ентропійним
перетворенням
Порогові значення 0W для цих довжин вибірок дорівнюють 8,65; 9,09 та 9,5.
Визначимо число критеріїв 01 Wn
mW . Відношення M
M i є оцінкою ймовірності
прийняття правильних рішень класифікації: 11
1
MM
P*, 1
22
MM
P*,
13
3
MM
P*.
Результати експерименту представлені в таблиці 5.6.
120
Таблиця 5.6 – Статистичні показники критерію Буша-Вінда
n 10 25 50
*P 0,637 0,982 0,993
W 3,552 5,435 8,863
wD 0,684 1,071 1,427
Статистика показника Буша-Вінда відповідає теоретичним розрахункам
авторів, тобто підкоряються розподілу ймовірностей хі-квадрат з чотирма
ступенями свободи, при 30n . Розпізнавання об'єктів, як належать до класу 1,
зростає при збільшенні обсягу вибірки вимірювань.
Припустимо, що відомі параметри об'єктів другого класу, що відрізняються від
параметрів першого класу 21a ,
22a , 23a ;
21D , 22D ,
23D ; 12r ,
23r , 13r . Сфоруємо M
вибірок ентропійного перетворення )m(W2 з різними варіантами змінених
параметрів і проведемо факторний аналіз їх впливу на статистичні закономірності
критерію Буша-Вінда. Досліджено вплив на ефективність класифікації тільки зсувів,
тільки масштабів і тільки коефіцієнтів кореляції, а також їх різні поєднання. У
таблиці 5.7 наведені результати обчислювальних експериментів. Вони містять
показники ймовірностей розпізнавання об'єктів класу 2, як об'єктів, що відносяться
до перших класу, а також статистику показника Буша-Вінда.
Таблица 5.7 – Ститистичні показники критерію Буша-Вінда
421 a 522 a 623 a
5.021 D 122 D
5.123 D 6.012 r
7.023 r 8.013 r
321 a 422 a 523 a
121 D 222 D 323 D
6.012 r 7.023 r
8.013 r
321 a 422 a
523 a 5.021 D
122 D 5.123 D
012 r 027 r 013 r
421 a 522 a 623 a 121 D
222 D 323 D 7.012 r
8.027 r 9.013 r
n 10 25 50 10 25 50 10 25 50 10 25 50
*P 0,993 0,589 0,02 0,954 0,641 0,046 0,997 0,613 0,045 0,996 0,98 0,9
W 2,76 2,876 2,598 5,542 8,076 13,877 6,47 8,308 14,17 3,305 4,127 6,011
wD
0,993 1,292 1,478 1,816 2,633 2,902 1,039 2,624 3,111 1,274 2,133 2,471
121
За результатами таблиці 5.7 побудовані гістограми (рисунок 5.3) показника
Буша-Вінда для різних довжин вибірок вихідних даних ( 502510 ,,n ), у випадку,
коли об'єкти класу 2 відрізняються від об'єктів класу 1 за всіма трьома показниками
(математичним сподіванням, дисперсією та коефіцієнтом корреляції).
Рисунок 5.3 – Гістограми показника Буша-Вінда по ентропійним
перетворенням при розпізнаванні об'єктів класу 2, як об'єктів класу 1
З аналізу таблиці 5.7 і рисунку 5.3 випливає, що зміна будь-яких показників
вхідних величин тягне за собою зміну статистичних показників ентропійних
перетворень і показників критерію Буша-Вінда. При збільшенні тільки зсувів
зростає математичне сподівання показника Буша-Вінда, при збільшенні дисперсії
зростає також математичне сподівання. При руйнуванні кореляції математичне
сподіванная показника Буша-Вінда зростає в 3 рази, і також збільшується дисперсія.
У випадку, коли змінюються всі статистичні показники вхідних даних розпізнавання
об'єктів відбувається з більшою похибкою.
Спостерігається висока ймовірність розпізнавання класу об’єкту контролю при
використані критерію непараметричної статистики Буша-Вінда для обробки
122
ентропінйих перетворень багатопараметричних об’єктів. При обсягах вимірювань
50n , ймовірність похибки не перевищує 3-5%.
5.3 Дослідження потенційних можливостей класифікації ентропійних вибірок
випадкових величин
Задачу оцінки потенційних можливостей класифікації можна вирішити шляхом
проведення обчислювальних експериментів. Сформуємо по двадцять
трипараметричних вибірок вимірювань з обсягом n , маючи у розпорядженні
параметри ,a11
12a , 13a ,
11D , 12D ,
13D , 12r ,
13r , 23r і
21a 22a ,
23a , 21D ,
22D , , , ,
. Оберемо три перших з них і оцінимо їх параметри, наприклад *a11 , *a12 , *a13 , *D11 ,
*D12 , *D13 , *r12 , *r13 , *r23 та сформуємо ентропійний перетворювач об’єктів 1-ого класу за
формулою (5.7).
Експеримент 5.1. Мета експерименту – дослідження еталонних вибірок
ентропійних перетворень. У цьому випадку передбачається, що еталонний
перетворювач сформований з параметрами 11a , , , , , , , ,
створюються достатньо довгі еталонні вибірки ентропійного перетворення,
будується гістограма та оцінки статистичних показників для випадків ентропійних
перетворювачів за відомими параметрами вимірювальних вибірок та оцінками цих
параметрів.
У результаті проведення цього експерименту отримано гістограму
ентропійного перетворювача (5.7) ( 2000n ), яка зображена на рисунку 5.4, при
значеннях параметрів 011 a , 012 a , 013 a , 111 D , 112 D , 113 D , 012 r , 013 r ,
023 r .
23D 21r 31r
32r
12a 13a 11D 12D 13D 12r 13r 23r
123
Рисунок 5.4 – Гістограма ентропійного перетворювача ( 2454,L* ,
221,LD* , 7632,Lmin , 38510,Lmax , 2870,kv , 2526,kr )
Перевіримо обране значення подавши на ентропійний перетворювач (5.7)
двадцять тривимірних нормальних вибірок з параметрами 011 a , 012 a , 013 a ,
111 D , 112 D , 113 D , 012 r , 013 r , 023 r , довжиною 50n , та оцінимо за
формулою (5.8) ефективність розпізнання класів об’єкту контролю за сформованим
правилом. У результаті отримаємо ймовірність 9490,ПКP , що не суперечить
обраній ймовірності прийняття правильних рішень.
Для перевірки експериментального перетворювача скористуємось тими ж
умовами, але ймовірність прийняття правильного рішення щодо класу об’єкта
контролю оцінюватимемо за формулою (5.12). В цьому випадку отримаємо
9260,ПКP* . Тобто відсутність інформації щодо параметрів вхідних даних
збільшує ймовірність прийняття хибного рішення відносно класу об’єкту контролю
на 2,3%.
Експеримент 5.2. Мета – оцінка працездатності методу класифікації
багатопараметричних об’єктів за експериментальними вимірюваннями.
Сформуємо аналогічно формулі (5.7) перетворювачі для другого та третього
класів випадкових величин та за їх допомогою класифікуємо двадцять об’єктів
контролю кожного з вказаних класів. Об’єкти контролю описуються тривимірними
вибірками нормальних випадкових величин. Параметри першого класу: 011 a ,
124
012 a , 013 a , 111 D , 112 D , 7012 ,r , 8013 ,r , 9023 ,r . Параметри другого класу:
021 a , 022 a , 023 a , 121 D , 122 D , 123 D , 012 r , 013 r , 023 r , тобто різниця
між першим та другим класами полягає у наявності або відсутності кореляції між
вимірювальними параметрами. Параметри третього класу: 131 a , 132 a , 133 a ,
231 D , 232 D , 233 D , 9012 ,r , 7013 ,r , 8023 ,r . Вироби, що потрапили до
третього класу суттєво відрізняються від виробів першого та другого класів за всіма
показниками.
Результат класифікації представимо у вигляді таблиці 5.8. Оскільки в цьому
обчислювальному експерименті мова йде про потенційні можливості класифікації,
то обсяг вибірок вимірювань, що досліджуються, оберемо 2000n , а параметри, що
формують ентропійні перетворювачі, вважатимемо відомими. Отже, згідно
класифікації за допомогою ентропійних перетворень маємо:
Таблиця 5.8 – Кількість об’єктів кожного класу
Клас 1 Клас 2 Клас 3
Ентропійний перетворювач 1 класу 79 1 0
Ентропійний перетворювач 2 класу 2 17 1
Ентропійний перетворювач 3 класу 1 2 17
За даними таблиці 5.8 можна стверджувати, що запропонований метод класифікації
працездатний. При його використанні похибки другого роду не перевищують 7%.
Це надає право рекомендувати його для використання при розв’язанні задач
дефектоскопії.
Оцінимо вплив обмеження обсягу вимірювань та невідомість точних значень
параметрів вимірювань на ефективність прийняття рішень контролю. Для цього за
вказаними у обчислювальному експерименті 5.1 параметрами об’єкту контролю
сформуємо вибірки вимірювань обсягом 25n , 50n , 100n . Дані експерименту
зведені в таблиці 5.9.
125
Таблиця 5.9 – Ймовірності прийняття правильних рішень про клас «норми» об'єкту
контролю
Ймовірність обчислена за точними
параметрами об’єкту контролю
Ймовірність обчислена за оцінками
параметрів об’єкту контролю
n=25 n=50 n=100 n=25 n=50 n=100
0,902 0,978 0,989 0,873 0,972 0,981
За даними таблиці 5.9 можна зробити висновок, що при обсязі вибірок
вимірювань об’єктів контролю 25n , ймовірність прийняття правильного рішення
зменшується, а при обсягах вимірів 50n відсутність точної інформації щодо
значень параметрів вхідних даних практично не впливає на якість класифікації за
ентропійним перетворювачем тривимірних випадкових величин.
5.4 Факторний аналіз ефективності класифікації об’єктів контролю на основі
ентропійних перетворень вимірювань багатопараметричних об’єктів
Для використання багатопараметричних ентропійних перетворювачів в задачах
дефектоскопії необхідно дослідити вплив різних чинників на якість класифікації. З
цього приводу доцільно провести факторний аналіз, та встановити найбільш вагомі
параметри.
Дані для проведення обчислювальних експериментів наведені в таблиці 5.9. За
еталони прийняті об’єкт 1O (1 клас), об’єкт 2O (2 клас), об’єкт 9O (3 клас).
126
Таблиця 5.9 – Параметри об'єктів, що надходять на контроль
11a
12a 13a
11D 12D
13D 12r
13r 23r
О1 0 0 0 1 1 1 0,7 0,8 0,9
О2 0 0 0 1 1 1 0 0 0
О3 1 0 0 2 1 1 0 0 0,9
О4 0 1 0 1 2 1 0 0,8 0
О5 0 0 1 1 1 2 0,7 0 0
О6 1 1 0 2 2 1 0,5 0,5 0,9
О7 1 0 1 2 1 2 0,5 0,8 0,5
О8 0 1 1 1 2 2 0,7 0,5 0,5
О9 1 1 1 2 2 2 0,9 0,7 0,8
Як було зазначено вище, кожен вимірювальний параметр є носієм інформації
про стан об’єкту контролю і при цьому втілює в своїх статистичних показниках
наслідки тієї чи іншої причини різниці об’єктів, що досліджуються. З цих міркувань
данні для проведення обчислювальних експериментів факторного аналізу
побудовані таким чином, щоб кожен об’єкт відрізнявся від прийнятого за «норму»
статистичними показниками параметру )k(x1 , )k(x2 , )k(x3 або їх комбінаціями.
Окремо досліджено питання про руйнування кореляції. Оскільки наявність
статистичного зв’язку між параметрами об’єкту контролю суттєво впливає на
вигляд гістограми ентропійного перетворювача та його середнє значення.
Під час експерименту оцінювалась ймовірність ідентифікації об’єкту
контролю, що досліджується, як належного до класу об’єктів 1O , 2O або 9O
Ймовірність прийняття рішень обчислювалась за формулами (5.8) та (5.9)
відповідно до випадку коли ентропійний перетворювач було сформовано за точними
значеннями параметрів об’єкту контролю та для випадку, коли в їх якості виступали
оцінки цих значень за експериментальними даними. Результати експерименту
зведені в таблицю 5.10. Кількість реалізацій становить 1000.
127
Таблиця 5.10 – Ймовірність прийняття гіпотези про клас об’єкту контролю
(розрахунки за точними значеннями параметрів) ( 50n )
ОК 1O
2O 3O
4O 5O
6O 7O
8O 9O
1O
OP j
0,962 1 0,43 0,514 0,468 0,612 0,673 0,654 0,916
2O
OP j
0,991 0,997 0,57 0,638 0,412 0,589 0,573 0,645 0,897
9O
OP j
0,901 0,857 0,489 0,507 0,456 0,634 0,645 0,873 0,989
Таблиця 5.11 – Ймовірність прийняття гіпотези про клас об’єкту контролю
(розрахунки за оцінками значень параметрів) ( 50n )
ОК 1O
2O 3O
4O 5O
6O 7O
8O 9O
1O
OP j*
0,911 1 0,257 0,302 0,315 0,498 0,511 0,493 0,887
2O
OP j*
0,903 0,945 0,263 0,314 0,298 0,487 0,521 0,479 0,891
9O
OP j*
0,893 0,713 0,433 0,493 0,302 0,501 0,574 0,799 0,901
З аналізу даних таблиці 5.11 випливає, що найбільш впливовішим на висновки
щодо стану об’єкту контролю є кореляційний зв'язок. Відмінність математичного
сподівання та дисперсії впливає на результати несуттєво. Тому при використані
цього методу на практиці можливо дослідити найменші відхилення кореляції
параметрів, що вимірюються. Це дає можливість встановлювати причино-наслідкові
зв’язки, але разом з тим, цей метод вимагає проведення детальніших досліджень
щодо відмінності між математичними сподіваннями та дисперсіями. Саме з цією
метою пропонується поєднати тривимірні ентропійні перетворення та комбінований
критерій непараметричної статистики Буша-Вінда. При використанні обох вказаних
128
методів ймовірність помилки при підготовці даних для підтримки прийняття рішень
щодо стану об’єкту контролю, зменшується.
Порівняння таблиці 5.10 та 5.11 дає змогу оцінити вплив нестачі апріорної
інформації при формуванні ентропійних перетворювачів. Згідно вказаних
ймовірностей можна стверджувати, що відсутність інформації щодо статистичних
показників вимірювальних параметрів зменшує ймовірність прийняття правильних
рішень в середньому на 5,1%. Але разом з тим, запропонований метод класифікації
дозволяє уточнювати параметри перетворювачів при накопиченні інформації про
статистичні показники об’єктів неруйнівного контролю.
Якщо данні таблиць 5.10 та 5.11 інтерпретувати у кількості виробів, що було
віднесено до кожного з трьох класів, при умові, що об’єктів з параметрами
вказаними в таблиці 5.5 було по двадцять кожного виду, то отримаємо наступні
результати, які зведені в таблиці 5.12
Таблиця 5.12 – Ймовірність прийняття гіпотези про клас об’єкту контролю
(розрахунки за точними значеннями параметрів) ( 50n )
ОК 1O 2O
3O 4O
5O 6O
7O 8O
9O
Клас 1 29 28 13 15 13 17 19 18 28
Клас 2 28 29 16 19 12 16 17 18 25
Клас 3 26 24 15 14 13 18 18 24 28
За даними таблиці 5.12 можна зробити висновок про працездатність
запропонованого методу класифікації об’єктів неруйнівного контролю. Але
наявність помилок та, як було зазначено вище, не велика чуттєвість до змін лише
зсувів чи масштабів у статистичних показниках вимірювальних об’єктів, вимагає
вдосконалення цього методу шляхом поєднання класифікації за ентропійними
перетвореннями з комплексним критерієм непараметричної статистики Буша-Вінда.
129
Загальну схему запропонованої інформаційно-вимірювальної технології
зображено на рисунку 5.5.
Рисунок 5.5 – Структура інформаційно-вимірювальної технології обробки
експериментальних даних
Виходячи з означення інформаційної технології можна стверджувати, що
запропонована структурна схема інформаційної технології відповідає вимогам
збору, зберігання, обробки, за допомогою нових алгоритмів, та подання інформації.
При застосуванні запропонованої технології на практиці оброблялись дані 102
багатопараметричних об’єктів, параметри яких мають різну фізичну природу та
одиниці вимірювань. Приклад даних, що оброблялись наведені в таблиці 5.13. Ці
дані є результатами вимірювань, що проводились в КБ «Південне».
130
Таблиця 5.13 – Дані проконтрольованих об’єктів
Об’єкти
контролю
Параметри, що контролюються
1x 2x
3x 4x
5x 6x
7x 8x
9x 10x
11x
1О 4,8 30 63 901 19 128 1440 3236 132 4,3 199
2О 6,4 25 51 810 27 190 1415 2645 122 3,8 185
3О 4,9 33 83 1093 17 219 1310 2754 135 4,73 194
4О 5,7 25 94 1038 17 237 1425 2898 152 5,14 188
… … … … … … … … … … … …
102О 4,5 35 77 1052 23 233 1392 3104 128 4,42 181
Необхідно було поділити ці об’єкти на класи, не маючі жодної апріорної
інформації щодо їх кількості або еталонних виробів. В результаті застосування
запрпанованої інформаційної технології ці об’єкти було поділено на три класи. До
першого класу увішйло 32 об’єкта, до другого – 25 об’єктів та до третього – 45
об’єктів. Якщо порівнювати ці результати з класифікацією проведеною на
підприємстві, то маємо різницію між першим та другим класом у одну одиницю.
Тобто до першого класу належать 33 об’єкти, а до другого – 24. Маємо помилку у
3%.
5.5 Висновки до розділу
Використання комплексного критерію непараметричної статистики Буша-
Вінда сукупно з ентропіними перетвореннями дає змогу, з високим ступеням
вирогідності (0,95) класифікувати об’єкти неруйнівного контролю. Ці методи
дозволяють ділити вироби не лише на нормальні та дефектні, а й встановлювати чим
саме кожний виріб відрізняється від «норми». Встановлені таким чином причинно-
налідкові зв’язки між вимірювальними параметрами об’єктів контролю та їх
відношенням до певного класу, дозволяють корегувати технологію виробництва.
При цьому побудовані на основі розглянутих методів вирішальні правила можуть
131
адоптуватись та уточнюватись у процесі проведення неруйнівного контролю та
накопичення даних про об’єкти, що контролюються.
Основні наукові результати розділу 5 опубліковано у роботах [17, 26]
132
ВИСНОВКИ
У дисертаційній роботі розглядається науково-технічна задача підготовки
даних для підтримки прийнятті рішень щодо стану об’єкту контролю. При цьому
було отримано наведені нижче наукові та практичні результати.
1. Зроблено аналіз існуючих методів і підходів обробки даних
багатопараметричних об’єктів, в умовах апріорної невизначеності, що дозволило
визначити необхідність побудови вирішальних правил неруйнівного контролю та
технічної діагностики без нормування експериментальних даних.
2. Розроблено інформаційну технологію підготовки даних для візуального
аналізу та прийняття рішень про дефектність багатопараметричних об’єктів
неруйнівного контролю з випадковими параметрами шляхом обробки ентропійних
перетворень експериментальних вимірювань вдосконаленим методом групового
обліку аргументів в умовах апріорної невизначеності щодо статистичних
закономірностей, впливу перешкод та обмежень на обсяг вимірювань.
3. Досліджено статистичні закономірності ентропійного перетворення вибірок
випадкових величин при змінах зсувів, масштабів та коефіцієнтів взаємної кореляції
вибірок експериментальних вимірювань об’єктів, що контролюються. Доведена
можливість їх використання при вирішенні задач проектування інформаційних
технологій дефектоскопії.
4. Запропоновано новий метод проектування інформаційних технологій
дослідження дефектності і технічної діагностики багатопараметричних об’єктів
неруйнівного контролю шляхом доповнення методу групового обліку аргументів
факторним аналізом інформативності параметрів, що вимірюються, на основі оцінок
ймовірностей прийняття помилкових рішень. Отримані результати дозволяють не
нормувати експериментальні дані, що суттєво розширює можливості аналізу,
оскільки враховуються зв’язки між параметрами.
5. Встановлено, що причинно-наслідкові зв’язки між станом об’єктів, що
контролюються, та їх параметрами впливають на кореляційні залежності
133
вимірювань та відображаються у вибірках їх ентропійних перетворень та оцінках
ймовірностей рішень, що за ними приймаються. Цей факт дозволяє зменшувати
ймовірність помилкових рішень щодо стану об’єкту контролю.
6. Шляхом ентропійного перетворення багатопараметричні вибірки
вимірювань трансформуються в однопараметричні, це дозволяє для оцінки їх
однорідності використовувати непараметричні критерії зсувів та масштабів.
Встановлено, що з 11 непараметричних критеріїв зсуву найбільш ефективним є
критерій Ван дер Вардена, а серед критеріїв масштабу – критерій Клотца.
7. Вперше пропонується використовувати одночасно критерії Ван дер Вардена,
Клотца та Буша-Вінда, який дозволяє виявляти зміни зсуву та масштабу ентопійних
вибірок вимірювань, в задачах класифікації множени об’єктів контролю, при
відсутності вибірок вимірювань еталонних зразків. Це дозволить не лише підвищити
достовірність рішень, що приймаються, але й проводити порівняльний аналіз
вимірювань параметрів, що контролюються, та оцінити їх причино-наслідкові
зв’язки.
134
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Заке Ш. Теория статистических выводов. М. Мир, 1975 – 775с.
2. Де Гроот М. Оптимальные статистические решения / М. Де Грот. – М. : Мир,
1974. – 491 с.
3. Теоретические основы информационно-измерительных систем: Учебник / В.
П. Бабак, С. В. Бабак, В. С. Ерёменко и др. – К. , 2014. – 832 с.
4. Бабак В. П. Контрольно-измерительные системы для неразрушающего
контроля / В. П. Бабак. – К. : 1987. – 105 с.
5. Маєвський С. М. Основи побудови систем аналізу сигналів у неруйнівному
контролі / С. М. Маєвський, В. П. Бабак, Л. М. Щербак. – К. : Либідь, 1993. – С. 127-
128.
6. Переверзев Е. С. Случайные сигналы в задачах оценки состояния технических
систем / Е. С. Переверзев, Ю. Ф. Данией, Г. П. Філей. – К. : Наукова думка, 1992. –
252 с.
7. Малайчук В. П. Математическая дефектоскопия / В. П. Малайчук, А. В.
Мозговой. – Днепропетровск : Системные технологии, 2005. – 180 с.
8. Малайчук В. П. Критерии непараметрической статистики Клотца и Буша-
Винда в задачах периодического контроля технических объектов / В. П. Малайчук,
Н. А. Лысенко, А. И. Федорович // Системні технології. Регіональний міжвузівський
збірник наукових праць. – 2010. – № 2 (67). – С. 127-135.
9. Федорович А. И. Критерии Буша-Винда в задачах мониторинга технических
объектов / А. И. Федорович // Системні технології. Регіональний міжвузівський
збірник наукових праць. – 2010. – № 4 (69). – С. 36-44.
10. Малайчук В. П., Кошулян А. В., Федорович А. И. Обработка измерений в
задачах дефектоскопии линейно протяженных объектов по критерию минимума
условного риска / В. П. Малайчук, А. В. Кошулян, А. И. Федорович // Вісник
академії митної служби України. – 2010. – № 2 (44). – С. 117-122.
135
11. Федорович А. И. Исследование статистики собственных чисел матриц
Ганкеля / А. И. Федорович // Системні технології. Регіональний міжвузівський
збірник наукових праць. – 2010. – № 5 (70). – С. 55-61.
12. Малайчук В. П., Федорович А. И. Уменьшения влияния помех различного
вида при помощи сингулярно-спектрального анализа / В. П. Малайчук, А. И.
Федорович // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових
праць. – 2011. – № 4 (75). – С. 62-66.
13. Малайчук В. П., Федорович А. И. Математическое моделирование
Марковских гамма-последовательностей / В. П. Малайчук, А. И. Федорович //
Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. – 2011. –
№ 6 (77). – С. 12-19.
14. Малайчук В. П., Федорович А. И. Математические модели суммарно-
разностных преобразований дискретных временных рядов / В. П. Малайчук, А. И.
Федорович // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових
праць. – 2012. – № 3 (80). – С. 79-85
15. Федорович А. И. Исследование непараметрических критериев сдвига в
задачах неразрушающего контроля / А. И. Федорович // Системні технології.
Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. – 2014. – № 2 (91). – С. 18-22.
16. Федорович А. И. Исследование непараметрических критериев масштаба в
задачах неразрушающего контроля / А. И. Федорович // Системні технології.
Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. – 2015. – № 3 (98). – С. 132-
138.
17. Fedorovich A. Classification of facilities multi parameters experimental
measurements of their parameters / A. Fedorovich // European science review. – 2015. –
№ 7-8 July-August. – P. 140-142.
18. Петренко А. Н., Федорович А. И. Критерий непараметрической статистики
Буша-Винда в задачах периодического контроля технических объектов / А. Н.
Петренко, А. И. Федорович // XII Міжнародна молодіжна науково-практична
конференція “Людина і космос” : збірник тез. – Дніпропетровськ, 2010. – С. 220.
136
19. Петренко А. Н., Федорович А. И. Уменьшения влияния различного типа помех
на полезный сигнал при помощи сингулярно-спетрального анализа / А. Н. Петренко,
А. И. Федорович // XIIІ Міжнародна молодіжна науково-практична конференція
“Людина і космос” : збірник тез. – Дніпропетровськ, 2011. – С. 226.
20. Федорович А. И. Критерий Буша-Винда в задачах мониторинга технических
объектов / А. И. Федорович // Материалы ХVIII международной конференции и
выставки «Современные методы и средства неразрушающего контроля и
технической диагностики» (г. Ялта). – Киев, 2010. – С.13-16.
21. Федорович А. И. Уменьшения влияния помех различного вида при помощи
сингулярно-спетрального анализа / А. И. Федорович // III международная
конференция «Космические технологии: настоящее и будущее» : Збірник тез. –
Дніпропетровськ, 2011. – С. 86.
22. Федорович А. И. Математическое моделирование нестационарных
автокоррелированных последовательностей в задачах неразрушающего контроля /
А. И. Федорович // XV Міжнародна молодіжна науково-практична конференція
“Людина і космос”: збірник тез. – Дніпропетровськ: НЦАОМУ, 2013. – С. 285.
23. Федорович А. И. Критерии непараметрической статистики сдвига в задачах
распознавания объектов неразрушающего контроля / А. И. Федорович // XVІ
Міжнародна молодіжна науково-практична конференція “Людина і космос”: збірник
тез. – Дніпропетровськ: НЦАОМУ, 2014. – С. 251.
24. Никитенко Д. В., Федорович А. И. Энтропийные преобразования
нормированных случайных величин / Д. В. Никитенко, А. И. Федорович // XVІІ
Міжнародна молодіжна науково-практична конференція “Людина і космос”: збірник
тез. – Дніпропетровськ: НЦАОМУ, 2015. – С. 198.
25. Подольская В. А., Федорович А. И. Метод группового учёта аргументов в
задачах дефектоскопии многопараметрических объектов контроля / В. А.
Подольская, А. И. Федорович // XVІІ Міжнародна молодіжна науково-практична
конференція “Людина і космос”: збірник тез. – Дніпропетровськ: НЦАОМУ, 2015. –
С. 200.
137
26. Подольская В. А., Федорович А. И. Компьютерная модель для исследования
энтропийных преобразований измерений в задачах дефектоскопии
многопараметрических объектов/ 1-ой Всеукраїнської науково-технічної
конференції «Комп’ютерне моделювання та оптимізація складних систем»
Днепропетровск. 2015. − С. 149-152.
27. Ермолов И. Н. Методы и средства неразрушающего контроля качества:
Учебное пособие для инженерно-техн. спец. Вузов / И. Н Ермолов, Ю. Я. Останин.
– М. : Высшая школа, 1988. – 368 с.
28. Неразрушающий контроль. В 5 кн. Кн. 1. Контроль проникающими
веществами: Практ. Пособие. Общие вопросы / Высшая школа. – М., 1992. – 242 с.
29. Неразрушающий контроль : В 7 т. / М. : Машиностроение, 2003. – Т. 1.
30. Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий : В 2 кн. / Под
ред. В.В. Клюева. – М. : Машиностроение, 1986. – 1 кн.
31. Современные физические методы и средства неразрушающего контроля :
Материалы семинара. – М.: МДНТП, 1988. – 152 с.
32. Технические средства диагностирования : Справочник / Под общ. ред. В.В.
Клюева. – М. : Машиностроение, 1989. – 672 с.
33. Макулов А. С. Планирование контроля качества продукции / А. С. Макулов. –
Уфа: УАИ, 1977. – 122 с.
34. Чупырин В. Н. Организация и технология технического контроля в
машиностроении. Технологическое проектирование технического контроля / В. Н.
Чуприн // Контроль. Діагностика . – 1999. – №9. – С. 44–47.
35. Ермолов И. Н. Теория и практика ультразвукового контроля / И. Н. Ермолов –
М. : Машиностроение, 1981. – 240 с.
36. Айвазян С. А. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная
обработка данных. / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. – М. : Финансы и
статистика, 1983. – 471 с.
37. Бендат Дж. Прикладной анализ случайных данных / Дж. Бендат, А. Пирсол. –
М. : Мир, 1989. – 540 с.
138
38. Кривошеев И. А. Статистический метод обработки сигналов акустической
эмиссии в горном массиве / И. А. Кривошеев, Г. А. Иванов // Дефектоскопия. –
2002. – №2. – С. 62-65.
39. Молоденкова И. Д. Обработка экспериментальных данных / И. Д.
Молоденкова. – Саратов : Издательство Саратовского университета, 1990. – 34 с.
40. Монтгомери Д. К. Планирование эксперимента и анализ данных / Д. К.
Монтгомери. – Л. : Судостроение, 1980. – 384 с.
41. Обработка информации и принятие решений в условиях неопределенности:
Сборник научных трудов – Фрунзе: ИЛИМ, 1980. – 120 с.
42. Тьюки Д. Анализ результатов наблюдений / Д. Тьюки. – М. : Мир, 1981. – 693
с.
43. Айвазян С. А. Классификация многомерных наблюдений / С. А. Айвазян, З.
И. Бежаева, О. В. Староверов. – М. : Статистика, 1974. – 240 с.
44. Дрейзин В. Э. О статистическом подходе к решению многопараметровых
метрических задач неразрушающего контроля / В. Э. Дрейзин. // Дефектоскопия. –
1981. – №3. – С. 5–14.
45. Миховски М. Многопараметровая система неразрушающего контроля / М.
Миховски, А. Попов, Г. Динев // Дефектоскопия. – 1991. – № 12. – С. 2-9.
46. Жвиренайте Д. Критерии оценки информативности признаков в
распознавании образов. Статистические проблемы управления / Д. Жвиренайте. //
Институт математики и кибернетики АН ЛитССР. – 1986. – №74. – С. 76–103.
47. Малайчук В. П. Основы теории обработки сигналов в технических системах
управления и контроля / В. П. Малайчук. – Днепропетровск : Изд-во ДГУ, 1990. –
116 с.
48. Барабаш Ю. Л. Коллективные статистические решения при распознавании /
Ю. Л. Барабаш . – М.: Радио и связь, 1983. – 224 с.
49. Емельянов С. В. Многокритериальные методы принятия решений /С. В.
Емельянов, О. И. Ларичев. – М.: Издательство «Знание», серия «Математика,
кибернетика», 10/1985. – 32 с.
139
50. Лбов Г. С. Старцева Н.Г. Классификация и принципы сравнения алгоритмов
построения решающих правил распознавания // Статистический анализ и обработка
экспериментальных данных. – Новосибирск: НЭТИ. – 1988. – С. 59-64.
51. Мушик Э. Методы принятия технических решений / Э. Мушик, П. Мюллер. –
М. : Мир, 1990. – 208 с.
52. Статистические методы оценивания и проверки гипотез: Межвуз. сб. научн.
тр. – Пермь : Издательство ПГУ, 1990. – 174 с.
53. Sengupta J. K. Optimal Decisions under Uncertainty / J. K. Sengupta. – Berlin
Heidelberg and New-York: Springer Verlag, 1981. – 156 p.
54. Малайчук В. П. Обработка информации в средствах и системах
неразрушающего контроля / В. П. Малайчук, А. В. Мозговой. – Днепропетровск :
Изд-во ДГУ, 1992. – 168 с.
55. Малайчук В. П. Автоматизированная система проектирования технологий
неразрушающего контроля / В. П. Малайчук, А. В. Мозговой, А. Н. Петренко. //
Материалы девятой междунар. конф. и выставки «Современные методы и средства
неразрушающего контроля и технической диагностики». – 2001. – С. 13–15.
56. Миховски М. Развитие неразрушающего контроля как информационной
системы для диагностики / М. Миховски, А. Попов, А. Киров // Дефектоскопия. –
1993. – № 6. – С. 52-63.
57. Куренков Н. И. Энтропийный подход к решению задач классификации
многомерных данных / Н. И. Куренков, С. Н. Ананьев // Ежемесячный
теоретический и прикладной научно-технический журнал «Информационные
технологии». – М. : «Новые технологии», 2006. – № 8. – С. 50-55.
58. Куренков Н. И. Энтропийный анализ многомерных данных / Н. И. Куренков,
Б. Д. Лебедев // Современные проблемы механики гетерогенных сред. Сб. ИПМ
РАН к 10-летию его основания. – М. : РАН, 2000. – С. 27-29.
59. Вильсон А. Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем / А.
Дж. Вильсон. – М. : Наука, 1978. – 247 с.
60. Гоппа В. Д. Введение в алгебраическую теорию информации / В. Д. Гоппа. –
М. : Наука, 1995. – 112 с.
140
61. Ивченко Б. П. Теоретические основы информационно-статистического
анализа сложных систем / Б. П. Ивченко, Л. А. Мартыщенко, М. А. Монастырский. –
СПб. : Лань, 1997. – 320 с.
62. Лбов Г. С. Методы обработки разнотипных экспериментальных даннях / Г. С.
Лбов. – Новосибирск : Наука, 1981. – 158 с.
63. Трухаев Р. И. Модели принятия решений в условиях неопределенности / Р. И.
Трухаев. – М. : Наука, 1981. – 258 с.
64. Цыпкин Я. З. Информационная теория идентификации / Я. З. Цыпкин. – М. :
Наука, 1995. – 336 с.
65. Torkkola K. Feature Extraction by Non-Parametric Mutual Information
Maximization / K. Torkkola // Journal of Machine Learning Research. – 2003. –V. 3. – P.
1415-1438.
66. Xu Rui. Survey of clustering algorithms / Rui Xu, , D. Wunsch II // IEEE
Transactions on Neural Networks. – 2005. – V. 16, № 3. – P. 645.
67. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика/ А. И. Кобзарь. – М. :
ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 816 с.
68. Большев Л. Н. Таблицы математической статистики / Л. Н. Большев, Н. В.
Смирнов. – М. : Наука, 1983. – 416 с.
69. Горбунова А. А. Критерии проверки гипотез об однородности дисперсий при
наблюдаемых законах, отличных от нормальны / А. А. Горбунова, Б. Ю. Лемешко,
С. Б. Лемешко // Материалы Х международной конференции «Актуальный проблем
электронного приборостроения» АПЭП – 2010. – Новосибирск, 2010. – С. 36-41.
70. Lord E. The use of range in place of standard deviation, in the t-test / E. Lord //
Biometrika. – 1947. – V. 34. P. 41-67.
71. Ван дер Варден Б. Л. Математическая статистика / Б. Л. Ван дер Варден ; пер.
с нем. – М. : Изд-во иностранной литературы, 1960. – 434 с.
72. Кенуй М. Г. Быстрый статистический вычислительный упрощенный метод
оценки и проверки / М. Г. Кенуй. – М. : Статистика, 1979. – 69 с.
73. Гаек Я., Шидак З. Теория ранговых критериев / Я. Гаек, З. Шидак ; пер. с
англ. – М. : Наука, 1971. – 376 с.
141
74. Mann H. B. On a test of whether one of two random variables is stochastically
larger that the other / H. B. Mann, D. R. Whitney // AMS. – 1947. –V. 18. – P. 50-60.
75. Šidak Z. Tables for two normal-scores rank tests for two-sample location problem /
Z. Šidak // Appl Math. – 1973. – V. 18, № 5. – P. 333-345.
76. Haga T. A two-sample rank test on location / T. Haga // Annal. Inst. Stat. Math. –
1959/60. – V. 11. – P. 211-219.
77. Šidak Z. A sample non-parametric test of the difference in location of two
population / Z. Šidak, I. Vondranek // Appl Math. – 1957. – V. 2, № 5. – P. 215-221.
78. Ansari A. R. Rank-test for dispersion / A. R. Ansari, R. A. Bredly // AMS. – 1960.
– V. 31, № 4, P. 1174-1189.
79. Siegel S. A nonparametric sum og ranks procedure for relative spread in unpaired
samples / S. A Siegel, J. W. Tukey // IASA. – 1960. – V. 55, № 291. – P. 429-445.
80. Capan I. Asymptotic efficiency of certain locally most powerfull rank tests / I.
Capan // AMS. – 1961. – V. 32, № 1, P. 88-100.
81. Šidak Z. Tables for two normal-scores tests for the two-sample scale problem / Z.
Šidak // Applik. Math. – 1973. – V. 18, № 5. – P. 346-363.
82. Klotz I. Nonparametric test for scale / I. Klotz // AMS. – 1962. – V. 33. – P. 489-
512.
83. Savage I. R. Contributions to the theory of rank order statistics the two-sample case
/ I. R. Savage // AMS. – 1956. – V. 27. – P. 590-615.
84. Šidak Z. Tables for the two sample Savege rank test optimal for exponential
densities / Z. Šidak // Applik. Math. – 1973. – V. 18, № 5. – P. 364-374.
85. Sukhatme B. V. On certain two-sample nonparametric tests for variance / B. V.
Sukhatme // AMS. – 1957. – V. 28, № 1. – P. 188-194.
86. Mood A. On the asymptotic efficiency of certain nonparametric tests / A. Mood //
AMS. – 1954. – V. 25. – P. 514-522.
87. Laubsher N. F. Exast critical values for Mood’s distribution free test statistic for
dispersion and its normal approximation / N. F. Laubsher, F. E. Steffence, E. M. De Lange
// Technometrics. – 1968. – V. 10, № 3. – P. 497-507.
142
88. Sukhatme B. V. Testing the hypothesis that two population differ only in location /
B. V. Sukhatme // AMS. – 1958. – V. 29, № 1. – P. 60-78.
89. Sukhatme B. V. On certain two-sample nonparametric tests for variances / B. V.
Sukhatme // AMS. – 1957. – V. 28, № 1. – P. 188-199.
90. Sandvik L. A nearly distribution – free test for comparing dispersion in paired
samples / L. Sandvik, B. Olsson // Biometrika. – 1982. – V. 69, № 32. – P. 484-485.
91. Kamat A. R. A two-sample distribution – free test / A. R. Kamat // Biometrika. –
1956. – V. 43. – P. 377-387.
92. Bush J. R. An asymptotically optimal nonparametric statistic for testing equally of
two normal population means and variances / J. R. Bush, H. S. Wieand // Commun. Stat.-
Theor. Math. – 1982. – V. 11, № 1. – Р. 1-12.
93. Айвазян С. А. Прикладная статистика: Классификация и снижение
размерности / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин. – М. : Финансы и
статистика, 1989. – 608 с.
94. Малайчук В. П. Безэталонная обработка измерений в задачах ультразвукового
динамического контроля труб / В. П. Малайчук, А. В. Мозговой, С. М. Клименко //
Техническая диагностика и неразрушающий контроль. – 2007. – № 3. – С. 33-39.
95. Налимов В. В. Теория эксперимента / В. В. Налимов. – М. : Наука, 1971. – 208
с.
96. Федоров В. В. Теория оптимального эксперимента / В. В. Федотов. – М. :
Наука, 1971. – 312 с.
97. Крамер Гаральд. Математические методы статистики / Гаральд Крамер ; [пер.
з англ. А. С. Монина, А. А. Петрова]; под. ред. А. Н. Колмогорова. – [2-е изд.]. – М. :
Мир, 1975. – С. 453-460.
98. Четыркин Е. М. Вероятность и статистика / Е. М. Четыркин, И. Л. Калихман. –
М. : Финансы и статистика, 1982. – 190 с.
99. Малайчук В. П. Обработка многомерных нестационарных случайных
пространственно-временных рядов в задачах мониторинга / В. П. Малайчук, А. В.
Мозговой // Прилади та методи контролю якості. – 2005. – № 15. – С. 90-93.
143
100. Гливенко В. И. Курс теории вероятностей: учебн. для гос. ун-тов / В. И.
Гливенко. – М : Гостехиздат, 1939. – 220 с.
101. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г.
Корн, Т. Корн. – М. : Наука, 1970. – 720 с.
102. Ван дер Варден Б. Л. Математическая статистика / Б. Л. Ван дер Варден. – М. :
Издательство иностранной литературы, 1960. – 434 с.
103. Тюрин Ю. Н. Непараметрические методы статистики / Ю. Н. Тюрин. – М. :
Издательство «Знание», серия «Математика, кибернетика», 4/1978. – 64 с.
104. Леман Э. Л. Проверка статистических гипотез / Э. Л. Леман. – М. : Наука,
1979. – 407 с.
105. Тарасенко Ф. П. Непараметрическая статистика / Ф. П. Тарасенко. – Томск :
Издательство Томского ун-та, 1976. – 294 с.
106. Крамер Г. Математические методы статистики / Г. Крамер. – М. :
Издательство «Мир», 1975. – 648 с.
107. Уилкс С. Математическая статистика / С. Уилкс. – М. : Наука, 1967. – 632 с.
144
ДОДАТОК А
Акт впровадження на Державне підприємство «Конструкторське бюро «Південне»
ім. М.К. Янгеля»
145
146
ДОДАТОК Б
Акт впровадження в ДНУ ім. О. Гончара
147
148
