数学九年级上第二章第五节《为什么是 0.618 》课

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§2.5为什么是0.618？

人在春季感到舒畅，那是因为这时的环境温度正好在 22至 24 摄氏度之间，而这种气温与人的正常体温 37 摄氏度正呈现微妙之处：人的正常体温 37 摄氏度与 0． 618 的乘积为 22． 8 摄氏度，人在这一环境温度中，机体的新陈代谢、生理活动均处于最佳状态。

数学美的魅力

建筑艺术生活

你知道黄金比的近似值 0.618 是怎样求出来的吗

数学的美不同于其它的美，它是独特的、内在的，不华丽，但纯结、

祟高 .无处不闪耀光辉的黄金分割

学习目标 黄金比值 0.618 怎么得来的 . 进一步感受方程是刻画现实世界的有

效模型。 会用列方程解决实际问题 . 要用数学美去装点和美化生活 .

§2.5为什么是0.618？

什么是黄金分割？

点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC和 BC,如果

那么称线段AB 被点 C 黄金分割 ,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 ,AC与 AB的比叫做黄金比 .

AC

BC

AB

AC

A BC

如果把 化为乘积式是

AC

BC

AB

AC

BCABAC 2

AC 叫做 AB和BC 的比例中项

探寻 0.618 的由来

如图 2-7,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC和 BC, 如果 那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 ,AC与 AB 的比称为黄金比 .

,AC

BC

AB

AC

A BC

图 2-7

,AC

BC

AB

AC由 得 BCABAC 2

则 xBC 1

∴ xx 112 即 012 xx

( 不合题意 , 舍去 )

,2

511

x

2

512

x

用公式法解这个方程 , 得

我们在应用 5 近似值时 , 一般只取精确到小数点后三位数，因此我们用 236.25

所以 , 黄金比 618.01

618.0

1

x

AB

AC

设 ,1AB

1

∴ 618.02

236.1

2

236.21

x

x,xAC

如图 2-8, 某海军基地位于点 A 处 , 在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B,在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标C. 小岛 D 位于 AC 的中点 , 岛上有一补给码头 ; 小岛 F 位于BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向 . 一艘军舰从 A 出发 ,经B 到 C 匀速巡航 , 一艘补给船同时从 D 出发 , 沿南偏西方向匀速直线航行 , 欲将一批物品送达军舰 .(1) 小岛 D 和小岛 F 相距多少海里 ?

例题赏析 1

A

B

D

CE F

图 2-8

北

东

(2) 已知军舰的速度是补给船的 2倍 , 军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处 , 那么相遇时补给船航行了多少海里 ? （结果精确到0.1 海里）

如图 2-8, 某海军基地位于点 A 处 , 在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B,在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标C. 小岛 D 位于 AC 的中点 , 岛上有一补给码头 ; 小岛 F 位于BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向 . 一艘军舰从 A 出发 ,经B 到 C 匀速巡航 , 一艘补给船同时从 D 出发 , 沿南偏西方向匀速直线航行 , 欲将一批物品送达军舰 .(1) 小岛 D 和小岛 F 相距多少海里 ?

例题赏析 1

A

B

D

CE F

图 2-8 北

东200

?

200

45º

分析 : 连接 DF, 根据题意得 , BCABBCDF ,

90,90 ABCDFC

另外易证 ,

海里海里 200,200 BCAB为等腰直角三角形ΔABC

45 C

DFC ~ ABC 且相似比2

1

AC

DC

( )海里 1002

1 ABDF

同时

例题赏析 1

A

B

D

CE F

图 2-8 北

东

100

(2) 已知军舰的速度是补给船的 2 倍 , 军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E处 , 那么相遇时补给船航行了多少海里 ?( 结果精确到 0.1 海里 , 其中 )

45º

200

200

如图 2-8, 某海军基地位于点 A 处 , 在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B,在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标C. 小岛 D 位于 AC 的中点 , 岛上有一补给码头 ; 小岛 F 位于BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向 . 一艘军舰从 A 出发 ,经B 到 C 匀速巡航 , 一艘补给船同时从 D 出发 , 沿南偏西方向匀速直线航行 , 欲将一批物品送达军舰 .

?

分析 :

∵ 两船速度之比为1

2

补给船

军舰

v

v

1

2

补给船

军舰

s

s∴ 相同时间内两船的行程之比为

x

若设相遇时补给船的行程 DE为 x海里 , 则相遇时军舰的行程应为 海里 . 2

x图上哪一部分对应的是军舰的行程 ?

2x

449.26

例题赏析 1

A

B

D

CE F

图 2-8 北

东

x100

(2) 已知军舰的速度是补给船的 2 倍 , 军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E处 , 那么相遇时补给船航行了多少海里 ?( 结果精确到 0.1 海里 , 其中 )

45º

200

200?

解:

若设相遇时补给船的行程 DE为 x海里 , 则相遇时军舰的行程应 2x为海里 , 即 海里海里 xBEABxDE 2, 另外易证 为等腰直角三角形ΔDFC

)( 100 海里 DFFCFCBEBCEF

1002002200 x)( 2300 海里x

整理 ,得

根据勾股定理可得方程,中在 DEFRt 222 2300100 xx

010000012003 2 xx

3

6100200 1 x

3

61002002 x

4.118

6.281

449.26

∵ DE<AB 即DE<200

>200

( 不合题意 , 舍去 )

答 : 相遇时补给船航行了约 118.4 海里 .

小结 拓展

本节课选取了一些几何和现实生活中的题材 , 我们经历列一元二次方程解决问题的过程 .当我们在建构方程数学模型 , 刻画现实世界、解决实际问题时 , 应注意哪些重要环节 ?

整体地、系统地审清问题

把握问题中的等量关系

正确求解方程并检验解的合理性

你还有哪些新的、有价值的收获吗 ?

开启 智慧

有这样一道阿拉伯古算题 : 有两笔钱 , 一多一少 , 其和等于 20,积等于 96, 多的一笔被许诺赏给赛义德 , 那么赛义德得到多少钱 ?

9620 xx

解 : 设赛以德得到的钱 , 即多的一笔钱数为 x, 则少的一笔钱数为 20-x, 根据题意得 原方程可变形为

9620 2 xx

096202 xx

169614204 22 acb >0

2

420

12

1620--

x

8 ,12 21 xx ( 不合题意 , 舍去 )答 : 赛义德得到的多的一笔钱数为 12.

作业：

P—74页的 1， 2

结束寄语

学无止境没有最好 , 只有更好

下课了 !