68
باتن المكتب الكورس م يطللتالية و امملكةء ال في كافة أنحا المنتشرةبور طبرلوتس مكتبة الني هاتف الهني مقابل9300039000 الوحدات مكتبةوابين ا9301177970 لجاردينز الجاردينز مكتبة ا9303193901 الوحدات حمزة ياسر مكتبة301190000 جمع الجنوب مة أبو طوق مكتب393703903 مقابلين الكتبة أم العرى م300030019 جبل عمانكتبة الحكيم م9303337303 مقابلين اللخوجا ا9309939093 الحسين جبلب مكتبة الط9399377393 امرج الحم مكتبة أم القرى م9300930799 الحسين جبل الحسين مكتبة جبل9303993009 حي نزالة طارق بن زياد مكتب30310300 الحسين جبل عقل300191991 حي نزال مكتبة حي نزال9300039397 الحسين جبل كتوعة303109100 حي نزال- و لبةة أب مكتب301370000 السيردر وادي بيا مكتبة النرج س9303100310 النزهةيفل مكتبة عدي فل- 309303099 السير وادي الرائد العربي301000793 النزهة مكتبة حسان303000330 لبيادر ا مكتب ة إقرأ303330301 النزهة الجذور- 303909790 اضية المدينة الريكتبة المدينة م303090999 سحاب مكتبة جهاد303073091 خلدا مكتبة آيةلمعارف دوار ا303100009 لشمالية ا ماركا مكتبة العوايشة- 309979990 خلدا المونتسوري300330030 ياجوزلحياةع ا مكتبة صنا ياجوز- 307100000 خلداري بوك بي المشيرفةكتبة جمال م- 9393199313 عليع ال تد الخير مكتبة زي913310933 333173701 أبو علندة رباع- 309900700 البقعةلجاحظ مكتبة ا399993910 أبو علندة القواسمي- 303130110 البقعةمين مكتبة ا9301100300 الطبية عمر399107377 سلط التبة عبودكو مك9333133379 ليادودة ا إياد- 301037103 سلط الميةساد اكتبة المقد م93333100300 الخربة أبو بكر الص ديق- 9399010903 سلط اللعناسوة مكتبة أمين ا9333390939 لزرقاء الوسام مكتبة السعادةجمع ا م- 9300113131 سلط ال مكتبة معاذ9330937100 لزرقاء ا حمودة مكتبة- 391009930 سلط الوي مكتبة مجد9331701000 لزرقاء ا الجذور- 303133130 سلط الابحب مكتبة ا9333939933 المفرقندلس مكتبة ا- 9301011991 صويلح مك تبة صويلح303331900 مادبا مكتبة شومان9333003371 - 9309303030 صويلحليك ك300393110 إربد مكتبة ا ليقين903790090 - 9303199711 صويلح الواكد303113931 إربد الهدف- 9303317300 أبو نصيرعلم نور مكتبة ال309701111 إربداديكتبة المقد م الكورة- 9330930199 أبو نصيرم مكتبة الس300171010 إربدف إي- 9390070900 أبو نصير أنوار طيبة303013003 إربديص اليقينة بص مكتب- 9333399977 أبو نصيرمستقبل ال309313990 لرمثا اولى المكتبة ا- 9303000330 بدران شفا الزمردة مكتبة303909071 عجلونم الذهبيلوسا مكتبة ا- 300113131 الجبيهةردن مكتبة ا300033111 عجلونلدلتا ا- 301010100 الفحيصيا زيد مكتبة هدا9333009909 جرشلرياضةلم ا عا- 9333173990 شرفية اسراء مكتبة ا9301719009 رك الك رم- 303031073 أم نوارةلمسكاوي مكتبة ا9303971310 رك الكلرفاتي ا- 301319999 لشماليشمي الها امنفلوطي مكتبة ال300171100 رك الك فراس- 303391191 النصر جبللمسكاوي ا391199119 معان التيسير- 331990913 النصر جبل مهنا حسن303717931 معانى الورد ند- 9393000309 الوحدات مكتبة البراق301993331 طفيلة ال عروة- 9333303003 الوحدات- لبيان ا303099009 العقبةلرسالة ا- 301710090 الوحداتوابين ا9301177970 العقبة عطية- 300979199 أﺑﻮ ﺑﻜﺮ ﻣﻨ

الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

  • Upload
    halien

  • View
    230

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

المنتشرة في كافة أنحاء المملكة التالية ويطلب الكورس من المكتبات

9301177970 –األوابين مكتبة –الوحدات 9300039000مقابل الهنيني هاتف –مكتبة اللوتس –طبربور

301190000 –مكتبة حمزة ياسر –الوحدات 9303193901مكتبة الجاردينز –الجاردينز

300030019 –مكتبة أم العرى –المقابلين 393703903 –مكتبة أبو طوق –مجمع الجنوب

9309939093 –الخوجا –المقابلين 9303337303 –مكتبة الحكيم –جبل عمان

9300930799مكتبة أم القرى –مرج الحمام 9399377393مكتبة الطالب –جبل الحسين

30310300 – مكتبة طارق بن زياد –حي نزال 9303993009 –مكتبة جبل الحسين –جبل الحسين

9300039397 –مكتبة حي نزال –حي نزال 300191991 –عقل –جبل الحسين

301370000 –مكتبة أبو لبة -حي نزال 303109100 –كتوعة –جبل الحسين

309303099 -مكتبة عدي فليفل –النزهة 9303100310س مكتبة النرج –بيادر وادي السير

303000330 –مكتبة حسان –النزهة 301000793 –الرائد العربي –وادي السير

303909790 -الجذور –النزهة 303330301 –ة إقرأ مكتب –البيادر

303073091 –مكتبة جهاد –سحاب 303090999 –مكتبة المدينة –المدينة الرياضية

309979990 -مكتبة العوايشة –ماركا الشمالية 303100009 –دوار المعارف –مكتبة آية –خلدا

307100000 -ياجوزمكتبة صناع الحياة –ياجوز 300330030 –المونتسوري –خلدا

9393199313 -مكتبة جمال –المشيرفة بوك بيري –خلدا

309900700 -رباع –أبو علندة 333173701 – 913310933 –مكتبة زيد الخير –تالع العلي

303130110 -القواسمي –أبو علندة 399993910 –مكتبة الجاحظ –البقعة

399107377 –عمر –الطبية 9301100300 –مكتبة األمين –البقعة

301037103 -إياد –اليادودة 9333133379 –مكتبة عبودكو –السلط

9399010903 -ديق أبو بكر الص –الخربة 93333100300 –مكتبة المقداد اإلسالمية –السلط

9300113131 -مجمع السعادة –مكتبة الوسام –الزرقاء 9333390939 –مكتبة أمين العناسوة –السلط

391009930 -مكتبة حمودة –الزرقاء 9330937100 –مكتبة معاذ –السلط

303133130 -الجذور –الزرقاء 9331701000 –مكتبة مجدالوي –السلط

9301011991 -مكتبة األندلس –المفرق 9333939933 –مكتبة األحباب –السلط

9309303030 - 9333003371 –مكتبة شومان –مادبا 303331900 –تبة صويلح مك –صويلح

9303199711 - 903790090 –ليقين مكتبة ا –إربد 300393110 –كليك –صويلح

9303317300 -الهدف –إربد 303113931 –الواكد –صويلح

9330930199 -الكورة –مكتبة المقدادي –إربد 309701111 –مكتبة العلم نور –أبو نصير

9390070900 -إيالف –إربد 300171010 –مكتبة السالم –أبو نصير

9333399977 -مكتبة بصيص اليقين –إربد 303013003 –أنوار طيبة –أبو نصير

9303000330 -المكتبة األولى –الرمثا 309313990 –المستقبل –أبو نصير

300113131 -مكتبة الوسام الذهبي –عجلون 303909071 –مكتبة الزمردة –شفا بدران

301010100 -الدلتا –عجلون 300033111 –مكتبة األردن –الجبيهة

9333173990 -عالم الرياضة –جرش 9333009909 –مكتبة هدايا زيد –الفحيص

303031073 -رم –الكرك 9301719009 –مكتبة اإلسراء –األشرفية

301319999 -الرفاتي –الكرك 9303971310 –مكتبة المسكاوي –أم نوارة

303391191 -فراس –الكرك 300171100 –مكتبة المنفلوطي –الهاشمي الشمالي

331990913 -التيسير –معان 391199119 –المسكاوي –جبل النصر

9393000309 -ندى الورد –معان 303717931 –حسن مهنا –جبل النصر

9333303003 -عروة –الطفيلة 301993331 –مكتبة البراق – الوحدات

301710090 -الرسالة –العقبة 303099009 –البيان -الوحدات

300979199 -عطية –العقبة 9301177970 –األوابين –الوحدات

كربأبو

نريم

Page 2: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

2

المدخل إلى كورس المنير

أحبائي الطالب :

كورس المنير هو طريقكم إلى النجاح والتمي ز ، والوصول إلى العالمة الكاملة .

وقبل أن تبدؤوا بدراسته إليكم بعض المعلومات والنصائح التي تحتاجونها لتستفيدوا من الكورس بشكل كامل :

ن الكتاب كامال بكل أمثلته وتدريباته وأسئلته .ضم ؛ ألن ه يت الكورس يغنيكم عن دراسة الكتاب – 7

الكورس يغنيكم عن أي دوسية أخرى، وهذا ما سترونه بأنفسكم . – 0

أنصحكم باتباع طريقة الدراسة اآلتية للكورس : – 0

قراءة الشرح المبسط في بداية كل درس . -أ

الكورس .ثم حل أمثلة الكتاب وتدريباته الموجودة في –ب

ثم حل األسئلة اإلضافية ثم الوزارية . –ج

، وهي عبارة عن أسئلة وزارية سابقة ، تمك نكم من ) اختبر نفسك (بعد االنتهاء من الدرس يجب أن تحل أسئلة –د

ب على نمط الوزارة ، وستجدون حل أسئلة في نهاية الكورس . )اختبر نفسك( التدر

وحدة؛ ألن ها تعتبر مراجعة شاملة، ومنها ورد أسئلة وزاري ة كثيرة .الا حل أسئلة أخيرا ال تنسو -هـ

ن شرحا كامال لكل درس بكل تفاصيله، وهو يغنيكم عن ( DVD)ي ز هذا الكورس هو أن ه مرفق ب أهم ما يم – 1 يتضم

المركز والدروس الخصوصي ة بشكل فعلي ، وهذا ما سترونه بأنفسكم .

لمن ال يستطيع تشغيل القرص ألي سبب كان، فقد تم تنزيل كاف ة الفيديوهات على اليوتيوب على قناة األستاذ منير – 3

. ) منير أبو بكر (واسم القناة

. صفحة األستاذ منير أبو بكر على الفيس بوكأسئلتكم واستفساراتكم تابعوا لمزيد من الفائدة واإلجابة على – 1

الفيس بوك ورابط قناة اليوتيوب موجود على الغالف الخلفي للكورس. رابط صفحة

كرو ب

ري أبمن

Page 3: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

3

الفهرس

األولالفصل الدراسي

النهايات واالتصال: األولىالوحدة

3 ……………………………………… لنهاياتالفصل األول : ا

3 ..…………… ..………………………… أوال : مفهوم النهاية

71 ..…………………………………… ثانيا : نظريات النهايات

00 ...…………………………… نهاية خارج قسمة اقترانينثالثا :

71 …………..………………………… االتصالالفصل الثاني :

17 …………...…………………… أوال : االتصال عند نقطة

30 ….………………………..…….. ثانيا : نظريات االتصال

01 ….……………..……………………………. أسئلة الوحدة

الوحدة الثانية : التفاضل

01 …..…………………………………… لمشتقةالفصل األول : ا

10 ....……………..………………………… أوال : معدل التغير

99 ………………………………………. ثانيا : المشتقة األولى

00 ….……….…....……..………… شتقاققواعد اإلالفصل الثاني :

00 ....…...……….……...…………… أوال : قواعد االشتقاق

790 …..…………...………………..…… ثانيا : قاعدة السلسلة

777 ….…..……………………… ثالثا : مشتقات االقترانات المثلثية

977 ……………..……………….………………. أسئلة الوحدة

كرو ب

ري أبمن

Page 4: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

4

الوحدة الثالثة : تطبيقات التفاضل

307…….. ….………التفسير الهندسي والفيزيائي للمشتقةالفصل األول :

703 .……………..………………………… أوال : التفسير الهندسي

700 .……………………………………… الفيزيائي تفسيرثانيا : ال

007 ….……..…………………….… تطبيقات االشتقاقالفصل الثاني :

700….…...……………...…………… أوال : التزايد والتناقص

710 …………….....………………..…… ثانيا : القيم القصوى

937 ...………………………………….…تطبيقات : لثالفصل الثا

739 ….….…...………………بيقات اقتصادية على التفاضل تط أوال :

117 ……………..……………….……………… أسئلة الوحدة

397.…… ………..……………….………………إجابات اختبر نفسك

كرو ب

ري أبمن

Page 5: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

5

النهايات مفهوم النهاية

: يتم التعبير عن نهاية اقتران عند نقطة بالرموز التالية

ــا ق)س( = لــــــــنهـــــــ

( ل ) تساوي ( أ ) من العدد (س) عندما تقترب( ق ) وتقرأ بالشكل التالي : نهاية االقتران

: أنواع االقترانات التي ستتم دراسة نهايتها

: اقتران كثير حدود

3س +3+ 0س0ق)س( = مثال :

: اقتران نسبي

ق)س( = مثال :7س + 0

7+ 0س

: اقتران متشعب

: مثال

ق)س( = 9> ، س 7س + 1

9 ≤، س 0س – 3

: قتراناالتوجد ثالثة طرق إليجاد نهاية : نهاية االقترانطرق إيجاد

التعويض والنظريات – 0 الرسم -0 الجداول -7

: ولاالنهاية باإلعتماد على الجدحساب

0من جهة اليمين فإن ق)س( تقترب من العدد 0من خالل الجدول نالحظ عندما تقترب س من العدد

0ــــا ق)س( = نهـــــــ ونعبر عن ذلك بالرموز :

0من جهة اليسار فإن ق)س( تقترب من العدد 0وكذلك عندما تقترب س من العدد

0ـــا ق)س( = ــــــنهــ : ونعبر عن ذلك بالرموز :

ونعبر عن ذلك من كال االتجاهين ) اليسار ، واليمين ( 0كلما اقتربت س من العدد 0أي أن ق)س( تقترب من العدد

بالرموز :

0ا ق)س( = ـــــــــــــــــنه

7 7.7 7.3 .07 00.07 .9970 .970 س 0 0.3 0.7

0 0.7 0.3 0.0 00.00 .9970 .970 .70 ق)س( 1 0.3

2← س

+0← س

-0← س

الأولالفصل

أولا

س ← أ

0 اليمين اليسار

0

كرو ب

ري أبمن

Page 6: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

6

( 3ــا )س + ــــــنهـــــــباالعتماد على الجدول أوجد : سؤال إضافي

س 0.7 0.97 0.997 0 0.00 0.09 0.09

ق)س( 9.7 9.97 9.997 9 3.00 3.09 3.09

الحل :

: ونكتب 9فإن ق)س ( تقترب من العدد من جهة اليمين 0عندما تقترب س من العدد

9 =( 3+ ســا )ـــــــــــــنهـ

: ونكتب 9فإن ق)س ( تقترب من العدد من جهة اليسار 0وعندما تقترب س من العدد

9= ( 3+ سـا )ــــــــنهـــــــ

9( = 3ـــا )س + ــــــــــــنهـونكتب 9تساوي 0من العدد س وبالتالي نهاية ق)س( عندما تقترب

ـــــــا ق)س(ــــــنهـــباالعتماد على الجدول أوجد : وزاريسؤال

س 0.7 0.97 0.997 0.00 0.09 0.09

ق)س( 1.7 1.97 1.997 3.00 3.09 3.09

1ــا ق)س( = ـــــــنهـــــالحل :

نهــــــــــا ق)س(باالعتماد على الجدول أوجد : سؤال إضافي

س 0.7 0.97 0.997 7.00 7.09 7.09

ق)س( 3.7 3.97 3.997 0.00 0.09 0.09

نهــــــــــــاق)س( = 0

نهـــــــــــاق)س( = y 3 نهــــــــــــاق)س( ≠ نهــــــــــــاق)س(

Ε نهــــــــــــاق)س( غير موجودة

: النهاية باالعتماد على الرسمحساب

: توضيحي مثال

نهاية االقتران ق)س( عندما تقترب س اعتمادا على الشكل نبحث عن

: أي 0من العدد

ـــا ق)س( ـــــــــــنهــــ

الحل :

على محور السينات نتخيل شخص يسيرإليجاد النهاية من اليمين

0إلى أقرب موضع من العدد صليمن اليمين وعندما 0باتجاه العدد

ونكتب : 1الصادات يقترب من العدد رنجد صورته على محو

1ـا ق)س( = ــــــــنهــــــ

اليسار اليمين

3← س

+0← س

-3← س

0← س

2← س

+0← س

-0← س

+0← س -0← س

0← س

+0← س

+0← س

0← س

2← س+

اليسار اليمين

0

0

كرو ب

ري أبمن

Page 7: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

7

صل أقرب موضعيمن اليسار وعندما 0العدد سير باتجاهي ونتخيل شخصالنهاية من اليسار وبنفس الطريقة نوجد

1ا ق)س( = نهــــــــــــ ونكتب : 1العدد تقترب من على محور الصادات صورتهتكون 0من العدد

1ـا ق)س( = نهــــــــــــــا ق)س( = ـــنهــــــــــبما أن :

1ـا ق)س( = نهـــــــــــفإن

مالحظات :

إذا لم يحدد السؤال إيجاد النهاية من اليمين أو اليسار فإننا نوجدها من الجهتين (7

ــا ق)س(ـــــــــا ق)س( = نهــــــــــــنهـــــتكون النهاية موجودة إذا كانت : (0

.عندها تكون النهاية غير موجودة ـا ق)س(ــــــنهــــــ ≠ ا ق)س( ـــــــــنهـــــإذا كانت : (0

.الدائرة الفارغة تعني أن االقتران عندها غير معرف (1

عند هذه النقطة .المغلقة تعني أن االقتران معرف الدائرة (3

.فقط عند إيجاد الصورة نأخذ باالعتبار الدوائر المغلقة (1

71صفحة 7 مثال الكتاب

اعتمادا على الشكل الذي يمثل منحنى االقتران : ق)س( = 0 -س - 0س

0 -س جد قيمة كل مما يأتي )إن وجدت(

( 0ق) (1

نهــــــــــــــــا ق)س( (2

نهـــــــــــــــا ق)س( (3

نهــــــــــــــا ق)س( (4

الحل :

، ونعبر عن ذلك برسم 0فإن ق)س( غير معرف عندما س = }0{ -ح هو االقتران مجال أن بما (7

0دائرة مفتوحة على منحنى االقتران ق عندما س =

0نهــــــــــــــــا ق)س( = (0

0نهــــــــــــــــا ق)س( = (0

فإن : 0بما أن نهــــــــــــــــا ق)س( = نهــــــــــــــــا ق)س( = (1

0نهــــــــــــــــا ق)س( =

+أ← س -أ← س

0← س-

0← س+

0← س -

0← س

0← س+

0← س-

0← س

0← س+

0← س-

0← س+

0← س -

0← س

+أ← س -أ← س

كرو ب

ري أبمن

Page 8: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

8

: سؤال إضافي

اعتمادا على الرسم الذي يمثل منحني االقتران ق)س( أوجد ما يلي : (0ق) -7

ـــــا ق)س( ـــــــنهـــــ -0

ق)س( ـاـــــــــنهـــــــ -0

ق)س( ــــــــــاــنهـــــ -1

الحــل :

الدائرة المغلقةتقابلها 0 النقطة س= 0( = 0ق)

0ـاق)س( = نهـــــــــــــ 0ـــا ق)س( = نهــــــــــ

Ε 0ـاق)س( = ــــــنهـــــــ

: سؤال إضافي

أوجد : لرسمباالعتماد على ا

ــا ق)س(ـــنهـــــ -7

ـا ق)س( ــــنهــــ -0

ــا ق)س( ـــنهــــ -0

:الحــــــل

0=ـا ق)س( ـــــــنهــــ y 0₌ ـا ق)س( ــــــــــنهــ =ا ق)س( ــــــــــنهـــ

0 =ا ق)س( ـــــنهـــــــــ y 0₌ ـا ق)س( ــــــنهـــــــ =ـا ق)س( ــــنهــــــــ

نهــــــــــــــــا ق)س( غير موجودة y 0= ا ق)س( ـــــــــــنهــ ، 0= ــا ق)س( ـــــنهــــــ

51صفحة 2 مثال الكتاب

اعتمادا على الشكل الذي يمثل منحنى االقتران المتشعب :

جد قيمة كل مما يأتي ) إن وجدت ( :

(7ق) (7

ـــاق)س(ــــــنهــــــ (0

ــاق)س(ـــــنهـــــــ (0

ـــــاق)س(ـــــنهــــ (1

7 0 0 1

0

0

7

ق )س (

ص

س

1، س > 1

1، س = 2

1، س < 3

= ق)س(

1← س-

+7← س

7← س

+0← س

-0← س

0← س

+3← س -3← س

3← س

7← س

0← س

1← س

7← س -7← س +7← س

0← س +0← س-

0← س

1← س +1← س-

كر 1← س و ب

ري أبمن

Page 9: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

9

الحل :

، ومن الشكل نالحظ ان : 7نالحظ أن ق هو اقتران متشعب عندما س =

0( = 7ق) (7

7ــــــاق)س( = ــــنهـــ (0

0= ــاق)س(ــــنهـــــــ (0

ـــــاق)س( غير موجودة ــــفإن نهــــ ــــاق)س( ــــنهـــــ ـــاق)س( ــــبما أن نهــــــ (1

: إضافي سؤال

يمثل منحنى االقتران اعتمادا على الشكل الذي

₌ ق)س( 0> س ، 3+ س0 -

- 0 ≤ س، 0+ س

جد قيمة كل مما يأتي ) إن وجدت (

( 1ق) (7

(9ق) (0

نهـــــــــــــاق)س( (0

نالحظ من الشكل أن :

9( = 1ق) (7

3( = 9ق) (0

7نهــــــــــــــــاق)س( = ⸫، 7، نهــــــــــــا ق)س( = 7نهــــــــــــاق)س( = (0

71صفحة 1 تدريب الكتاب

على الشكل الذي يمثل منحنى االقتران : ق)س( = اعتمادا 0 - 0س

0 -س

جد قيمة كل مما يأتي ) إن وجدت (

ـــــــاق)س( ــــ( نهـــ0 ( 0ق) (7

ـــــــــاق)س(ــ( نهــ1ـــــــاق)س( ــنهـــ (0

}0{ -الحل : بما أن مجال االقتران ق هو ح

حنى االقتران قن، ونعبر عن ذلك برسم دائرة مفتوحة على م 0فإن ق)س( غير معرف عندما س = (7

0عندما س =

1ــــــاق)س( = ـــنهــــ (0

1ـــاق)س( = ـــنهـــــــ (1

1ــــــــاق)س( = ـــــــــــــاق)س( = نهــــبما أن : نه (3

1ــــــــاق)س( = ـــفإن نهــ

1← س-

7← س+

7← س-

7← س +

3← س-

0← س+

0← س

3← س-

0← س+

0← س-

0← س +

0← س

7← س

ص

س

3 ق)س(

0 1

0← س

0← س-

0← س +

0← س

-1

كرو ب

ري أبمن

Page 10: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

01

73صفحة 3 مثال الكتاب

يمثل منحنى االقتران اعتمادا على الشكل الذي

₌ ق)س( 9> س ، س -

9≤ س، س

جد قيمة كل مما يأتي ) إن وجدت (

(9ق) - ـاق)س(ــــنهــــــــــــــ -

0← س اق)س(نهــــــــــــــــــ -

9← س نالحظ من الشكل أن :

9( ₌ 9ق)

0 =ـاق)س( ـــــــــنهـــــ ⸫، 0=اق)س( ــــــنهــــــــ، 0 =ـاق)س( ـــــنهــــــــــ

9 =اق)س( ــــــــــــــنهــ ⸫، 9=اق)س( ــــــــنهــــــ، 9 =ـاق)س( ـــــنهــــــــــ

سؤال إضافي :

يمثل منحنى االقتران اعتمادا على الشكل الذي

₌ ق)س( 9> س ، 7

9≤ س، س

جد قيمة كل مما يأتي ) إن وجدت (

(9ق) - ــــاق)س(ـنهــــــــــــــ -

9← س

نالحظ من الشكل أن :

9( =9ق)

غير موجودة ــــــــاق)س(ــــــنهــ ⸫، 9، نهــــــــــــــــــاق)س( = 7ــــــــــــــــاق)س( = نه

: وزاري سؤال

: اعتمادا على الرسم الذي يمثل منحني االقتران ق)س( أوجد ما يلي

ــاق)س(نهــــــــــــــ (أ0← س

+

ـاق)س(نهــــــــــــــ (ب 9← س

الحــل :

2← س-

0← س +

2← س

0← س-

9← س +

9← س

ص

س

7

ق)س(

7 0

9← س -9← س 9← س +

ص

س3 2 1

-1

-3

-2

ق)س(

كرو ب

ري أبمن

Page 11: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

00

0 =ــاق)س( ـنهــــــــــ (أ0← س

+

0 =ـاق)س( نهــــــــــــب (

9← س -

0ـاق)س( = نهـــــــــــــ

9← س +

ـانهــــــــــ =ـاق)س( نهـــــــــــ

0 =اق)س( نهــــــــــــ yق)س(

0← س -0← س

0← س +

81صفحة 2تدريب الكتاب على الرسم الذي يمثل منحني االقتران ق)س( أوجد ما يلي : اعتمادا

ــاق)س(نهـــــــــــــــ (7

ــاق)س(نهــــــــــــــ (0

ـاق)س(نهـــــــــــــــ (0

الحــــل :

0₌ ـاق)س( نهــــــــــــــ (7

0 = ـاق)س(نهـــــــــــ y 0 =ـاق)س( ـــــــــــنهــــ

0)

اق)س( غير موجودةنهــــــــــــ y 0- = اق)س(نهــــــــــــ ، 7 =اق)س( نهـــــــــــــ

7₌ـاق)س( نهــــــــــ y 7₌ـاق)س( نهـــــــــــ ، 7₌ اق)س( نهـــــــــــ (0

: وزاري سؤال

على الرسم الذي يمثل منحني االقتران ق)س( أوجد ما يلي : اعتمادا

(0ق) (3

ــاق)س(نهــــــــــــــ (9

نهــــــــــــــــاق)س( (0

الحـــــل :

0( ₌ 0ق)

1 =ـاق)س( نهـــــــــ ، 1 =ـاق)س( نهــــــــــ، 1 =اق)س( نهــــــــــ 0 =نهــــــــــــــــاق)س(

1-← س-

7-← س

0← س+

2← س -

0← س

0← س+

3← س -

0← س

1-← س+

0← س

0← س

7-← س

0← س

-2← س 0← س +0← س

1-← س-

1-← س-

كرو ب

ري أبمن

Page 12: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

02

18صفحة 4 مثال الكتاب على الشكل الذي يمثل منحنى االقتران ق ، جد كال مما يأتي : اعتمادا

7-ـــــا ق)س( = ــــــــقيمة الثابت أ ، حيث نهــــ (7

9ـــــاق)س( = ـــــــقيمة الثابت ب ، حيث نهـــ (0

ــــاق)س( غير موجودة ـــــــقيمة الثابت جـ ، حيث نهـــ (0

الحل :

نالحظ من الشكل عندما 7-ــــا ق)س( = ـــــنهـــــ (7

0-= أ إذن 0- العدد من تقترب س قيمة فإن y -7ق)س(

7-أي ب = y -7 س فإن y 9من الشكل نالحظ عندما ق)س( 9ــــا ق)س( = ـــــنهـــــ (0

ـــــــا ق)س( ـــــــنهــ ــــــا ق)س( ــــــــــــــا ق)س( غير موجودة إذن نهـــــــــــنهــ (0

7، إذن : جـ = y 7وهذا يتحقق عندما س

70صفحة 3 تدريب الكتاب

على الشكل الذي يمثل منحنى االقتران ق ، جد كال مما يأتي : اعتمادا

ــاق)س( ـــــــنهــــــــ (7

9ـــا ق)س( = ــــــقيمة الثابت أ ، حيث نهــــــ (0

ـــــاق)س( غير موجودةـــــالثابت ب ، حيث نهـــقيمة (0

الحل :

7ــاق)س( = ــــــنهــــــــ (7

9ــا ق)س( = ـــــــنهـــــــ (0

وكذلك y 7فإن س y 9نالحظ من الشكل عندما ق)س(

3و أ = 7أي أن أ = y 3س

0= أي ب y 0ــــاق)س( غير موجودة عندما س ـــــــنالحظ من الشكل أن نهــــ (0

سؤال إضافي :

على الرسم الذي يمثل منحني االقتران ق)س( أوجد ما يلي : اعتمادا

(0)ق (7

(7ق) (0

ـاق)س(نهــــــــــــ (0

ـاق)س(نهـــــــــــ (1

لحــــل : ا

7₌ (0)ق (7

1( ₌ 7ق) (0

أ ← س

ب← س

جـ← س

أ ←س

ب← س

+ جـ← س -جـ← س جـ← س

أ ← س

ب ←س

2← س

2← س

أ ← س

ب ←س

0 ← س

3 ← س

كرو ب

ري أبمن

Page 13: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

03

0 =نهــــــــــــــــاق)س( (0

0 =نهــــــــــــــــاق)س( y 0= نهــــــــــــــــاق)س(

0- =ــــــــاق)س( ــــــنهـــ y 0- =ـاق)س( ـــــــــــــنهــــ، 0- =اق)س( ــــــــــــنهـــــــ (1

سؤال إضافي :

على الرسم الذي يمثل منحني االقتران ق)س( أوجد ما يلي : اعتمادا

ـاق)س(نهـــــــــــ (7

اق)س(نهــــــــــــ (0

اق)س(نهــــــــــــ (0

الحــــل :

دةموجو غير( س)نهــــــــــــــــاق (7

9₌ اق)س( ـــــــنهــــــــ (0

7₌ اق)س( ـــــــــــنهــــ

B ـاق)س( غير موجودةـــــــــنهــــ

ـاق)س( غير موجودةنهــــــــــ ومنه ، 0₌ اق)س( نهــــــــــــ، 7₌ ـاق)س( نهـــــــــــ (0

سؤال إضافي :

على الرسم الذي يمثل منحني االقتران ق)س( اعتمادا

أوجد ما يلي :

ـاق)س( ـــــــنهــــــــ (أ

ــاق)س(ـــــــنهــــــ (ب

ـــاق)س(ــــــنهـــــ (ج

(0-ق) (د

الحل :

0ـاق)س( = ـــــــنهــــــــ (أ

3ـــاق)س( = ـــــــنهــــــ (ب

ـــاق)س(ــــنهــــــ≠ ـــــاق)س( ــــــــاق)س( غير موجودة ألن نهــــــــــنهـــــ (ج

3( = 2-ق) (د

7 0 0

0

0

7

ق)س(

-7

-7

س

ص

+2← س 2← س2← س-

+4← س

-4← س

4← س

+4← س

-4← س

-4← س +4← س 4← س

0 ← س

+0 ← س

-0 ← س

-0- ← س

3 ← س-3 ← س+3 ← س

+0 ← س

0 ← س-0 ← س

-0- ← س

0 ← س

2 ← س

كرو ب

ري أبمن

Page 14: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

04

: سؤال إضافي

اعتمادا على الرسم الذي يمثل منحني االقتران ق)س(

أوجد ما يلي :

نهـــــــــاق)س( (أ

ق)س(انهـــــــــ (ب

(7ق) (ج

الحل :

7ــــاق)س( = ـــــــنهـــــ (أ

0ـــاق)س( = ــــــــنهـــــ

ــــــــاق)س( غير موجودة ـــــــــــــــاق)س( فإن نهـــــنه≠ ــــاق)س(ــــبما أن : نهـــــ

7ـــــــــــاق)س( = ــــــ، نه 7ــــــاق)س( = ــــنهــــ (ب

7ـــــــاق)س( = ــــــــــــاق)س( فإن نهـــــــ= نهـــ ـاق)س(ـــــبما أن نهــــــــــ

7( = 7ق) (ج

شتوية 8102 وزاريسؤال

معتمدا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى االقتران ق ،

ـــــــاق)س( ؟ـــــما نهــ

0-ب( 7 (أ

د غير موجودة 0 (ه

ــــــاق)س( غير موجودةـــنهـــــ 7ــــــــــاق)س( ق)س( =ـــــ، نه 0-ـاق)س( = ــــــنهـــــــــ

صيفية 8102 وزاريسؤال

معتمدا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى االقتران ق

ما نهـــــــــــــا ق)س( ؟

7-ب( 7 (أ

د( غير موجودة 0ج(

7-نهـــــــــــــا ق)س( =

0 ← س

1 ← س

1 ← س

2 ← س

2 ← س+2 ← س-2 ← س

+2 ← س

-7

7

0

0

7 0 0

ق

ص

س

+2 ← س

-0 ← س

+0 ← س

0 ← س+0 ← س-0 ← س

+1 ← س-1 ← س

+1 ← س-1 ← س

7-

7

0

0

7 0 0

ق)س(

)س(

ص

س1 3 1 37-

0-

كرو ب

ري أبمن

Page 15: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

05

حل األسئلة

اعتمادا على الشكل الذي يمثل منحنى االقتران : ق)س( = (1 1 - 0س

0 -س

جد قيمة كل مما يأتي ) إن وجدت (

ــــاق)س( ــب( نهــــــ ( 0ق) (أ

ــــــــاق)س(ـــ( د( نهـــ0جـ( ق)

0( غير موجودة ألن االقتران غير معرف عندما س = 0ق) (أ

1ومنه نهــــــــــاق)س( = 1نهــــــــــاق)س( = نهــــــــــاق)س( = (ب

3( = 0جـ( ق)

3نهــــــــــاق)س( = د(

اعتمادا على الشكل الذي يمثل منحنى االقتران ق ، جد قيمة كل مما يأتي ) إن وجدت (( 0

ـــــــــاق)س( ــــــاق)س( ب( نهــــــنهـــــــــ (أ

ـــــــــــاق)س(ــــــــــاق)س( د( نهــــــجـ( نهــــ

الحل :

7= ــــــــاق)س(ـــــنهــ (أ

0= ــــــاق)س(ـــــنهــــ (ب

0= ـــــاق)س(ــــنهـــــ (ج

غير موجودة وذلك ألن : ـــــــاق)س(ــــنهـــ (د

ــــــاق)س(ــــنهــــ ــــــاق)س(ـــــنهــــ

اعتمادا على الشكل الذي يمثل منحنى االقتران ق ، جد قيمة كل مما يأتي ) إن وجدت (( 3

نهــــــــــاق)س( ب( نهــــــــــاق)س( (أ

ـــاق)س( غير موجودة ــــجـ( قيمة أ ، حيث نهـــــ

ــــــاق)س(= صفرا ـــــد( قيمة ب ، حيث نهــ

: الحل

0= نهــــــــــاق)س( (أ

0نهــــــــــاق)س( = (ب

ـــــــاق)س( غير موجودة إذن ــــتكون نهـــ (ج

ـــــــاق)س( ـــــنهـــ ــــاق)س(ـــــنهــــــ

7-أي أ = y -7وهذا يتحقق عندما س

y -0وكذلك س y 0س صفر عندما yــــــــاق)س(= صفرا نالحظ من الشكل أن ق)س( ـــــــنهد(

0، 0-أي : ب =

09صفحة

2← س

3← س

2← س-

2← س +

2← س

3← س

+2← س

2← س

0.0← س

-2← س

0.0← س

+2← س

-2← س

-2← س +2← س

1← س

أ← س

2← س

-2← س ب← س

2← س

1← س

أ← س

أ← س-

أ← س +

ب← س

2← س

كرو ب

ري أبمن

Page 16: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

06

نظريات النهايات

نفسه ونعبر عن ذلك كما يلياالقتران الثابت يساوي الثابت نهاية (7

ين حقيقيينحيث أ و جـ عدد جـ₌ نهــــــــــــــــا جـ

0-₌ 0-نهــــــــــــــــا ، 0₌ 0نهــــــــــــــــا : مثال

االقتران الثاني ، ونعبر عن ذلك يةنهانهاية االقتران األول + =نهاية مجموع اقترانين (0

)س(هـ ـانهــــــــــا ق)س( + نهـــــــــ =ـا ) ق)س( + هـ)س(( نهـــــــــــ

نهاية االقتران الثاني ، ونعبر عن ذلك : -نهاية االقتران األول =فرق اقترانين نهاية (0

ـا هـ)س(نهــــــــ -نهــــــــــا ق)س( =هـ)س(( -ــا ) ق)س( نهــــــــ

نهاية االقتران الثاني ، ونعبر عن ذلك :× نهاية االقتران األول =اقترانين ضربنهاية (1

نهـــــــــــا هـ)س(× نهــــــــــا ق)س( =هـ)س(( × نهـــــــــــا ) ق)س(

سؤال إضافي :

0- =)س( هـــا نهـــــــــــ، 1 =ــا ق)س( إذا كان نهــــــــــــ

هـ)س(( -ـــا ) ق)س( ، نهـــــــــــ ــا ) ق)س( + هـ)س(( نهــــــــــــأوجد :

هـ)س(( × نهــــــــــــــــا ) ق)س( ،

ـا هـ)س(ـــــــــنهـــ ـــــا ق)س( + ـــــنهـــ =ـا ) ق)س( + هـ)س(( ــــــــــالحــــل : نهــ

= 1 +(- 0) = 1

ـا هـ)س(ــــــــــنهـــ -ـــــــــا ق)س( ـــهــن =هـ)س(( -ا ) ق)س( ـــــــــــنهــ

= 1 – (- 0) =9

ــا هـ)س(ـــــــنهـ× ـا ق)س( نهــــــــــ =هـ)س(( × نهــــــــــــا ) ق)س(

= 1 ×-0 = -70

00صفحة 1 مثال الكتاب

، فجد قيمة كل مما يأتي )إن وجدت ( : 0-= ــــــاهـ)س(ـــــ، نهــ 0= ــــــاق)س(ــــــإذا علمت ان نهـ

ــــا)ق)س( + هـ)س((ــــــنهـــ (7

هـ)س((×ــــا )ق)س(ــــــــنهــ (2

الحل :

ثانيا

أ← س

3← س 0← س

أ← س أ← س أ← س

أ← س أ← س أ← س

أ← س أ← س

1← س 1← س

1← س

1← س

أ← س

1← س 1← س

1← س 1← س

1← س

1← س 1← س 1← س

1← س 1← س 1← س

1← س 1← س 1← س

كرو ب

ري أبمن

Page 17: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

07

ـــــــاهـ)س(ـــــــاق)س( + نهـــــــــــــــا)ق)س( + هـ)س(( = نهـــــــــــنهـ (7

=0 +-0 =1

ـــــــاهـ)س(ـــــــنهـ× ــاق)س( ـــــــهـ)س(( = نهـــــ× ـــــــا)ق)س( ـــــــنه (2

=0 ×-0 =-03

01صفحة 2 مثال الكتاب

، فجد قيمة كل مما يأتي : 0( = 7ـــــــــا)س+ــــ، نهـ 7( =7-ــــا)س ـــإذا علمت أن نهــــــ

(7-0ــــــا)ســـــــنهــ (7

س 0ــــاــــــنهــــ (0

الحل :

(7()س+7-= )س 7- 0حيث س ( 7()س+7-ـــــــا)س ــــ( = نهـــ7 – 0ــــــــا)ســـــنهـ (7

0= 0× 7( = 7+ــــــــــا)س ــــنه( × 7-ــــــــــا)س ــــ= نه

(7(+)س+7-س = )س0حيث (( 7(+)س+7-ـا))ســــــس = نهــــــــ0ـــــاــــــنهــ (0

1= 0+ 7( = 7ـــــــا)س+ـــ( + نهــ7-ـــــــــا)ســـ= نهـ

: هامة نتائــــــــج

فإن :، بفرض نهــــــــــــاق)س( = ل ية االقتران نهــــا× ثابت العدد ال₌ اقتران × نهـــاية عدد ثابت : 0نتيجة

ةحقيقي ا داعد، ل أجـ أ ، حيث ل× جـ ₌ نهــــــــــــــــاق)س( × جـ ₌ نهــــــــــــــــاجــ ق)س(

ق)س(1فأوجد : نهــــــــــــــــا 1₌ نهــــــــــــــــا ق)س( إذا كانت مثال :

01₌ 1× 1₌ نهــــــــــــــــا ق)س( × 1₌ ق)س( 1الحــل : نهــــــــــــــا

(ق)س()نهــــــــــــــــا : 8نتيجة ن

نهــــــــــــــــا ق)س(( ) =ن

22صفحة 3 مثال الكتاب

(3-س3-0س1+0( نهـــــــــــــا )س0 0س نهــــــــــــــــا( 7ما يأتي : كل جد قيمة

03₌ 0(0)₌ 0( س)نهــــــــــــــــا = 0نهــــــــــــــــا س (7

3ــــــاـــــــنهـ –س 3ـــــــاـــــنه– 0س1ــــــاـــ+ نهـ 0ــــــاســـــنهـ( = 3-س3-0س1+0ـا )سنهــــــــــ (0

3= 3 – 79 – 71+ 9= 3ـــــاـــــنهــ –ــــــا س ــــــنهـ3 – 0ـــــاس(ـــــ)نهــ1+ 0ــــاس(ـــــ= )نهـــ

أ ← س أ ← س

1← س 1← س 1← س

1← س

2← س 2← س

2← س

2← س

2← س 2← س

2← س 2← س

2← س 2← س

2← س 2← س

3 ← س 3 ← س

أ ← س أ ← س

3 ← س

3 ← س 3 ← س

2 ← س

2 ← س 2 ← س 2 ← س 2 ← س 2 ← س

2 ← س 2 ← س 2 ← س 2 ← س

3 ← س 3 ← س

أ ← س

1← س 1← س

كرو ب

ري أبمن

Page 18: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

08

ــــــاق)س( = ق)أ(ـــــنهــــ إذا كان الاقتران كثير حدود تحسب نهايته بالتعويض المباشر : 3نتيجة

22صفحة 4 مثال الكتاب

( 3س + 3+ 0س0ــــــا)ــــــجد قيمة نهــــ

الحل :

( اقتران كثير حدود فإن : 3س + 3+ 0س0بما أن ق)س( = )

73= 3( + 7)3+ 0(7)0( = 7ــــــــاق)س( = ق)ــــــــنه

22صفحة 1تدريب الكتاب جد نهاية ما يأتي :

( 0س + 1+ 0س3 -1س) نهــــــــــــــــا (7

الحــل :

اقتران كثير حدود فإن :( 0س + 1+ 0س3 -1) سبما أن ق)س( =

( 7-نهـــــــــــــــا ق)س( = ق)

= (-7)1- 3 (-7)0 +1(-7 + )0

= 7 - 3 -1 +0 = 7

بما أن االقتران كثير حدود فإن : (79 –+س 0()سس 3+ 0س3ـــــا)ـنهـــــــ (0

( 7-نهـــــــــــــا ق)س( = ق)

( =3(-7)0 +3(-7(( ) )-7)0 ( +-7 )– 79 ( = )3-3(×)7-7-79 = )0 ×-79 =-09

بما أن االقتران كثير حدود فإن : 0س(3+ 0نهـــــــــــــــا)س (0

11-= 0(1-= ) 0( 3 – 7= ) 0((7-) 3+ 0(7-= ) ) ( 7-نهـــــــــــــاق)س( = ق)

22صفحة 5 مثال الكتاب

: 0ــــــــا)ق)س((ــــــ، فجد قيمة نهــ 0( = 7ــــــا)ق)س( + س +ـــــإذا علمت أن نهــــ

الحل :

0( = 7ـــــــا)ق)س( + س +ــــنهـــ

0= 7ــــــــــاـــــــــاس + نهـــــــاق)س( + نهـــــــــنهـــــــ

1= 0 – 0ـــــــاق)س( = ـــــــومنه نه 0= 7+ 0ــــــاق)س( + ــــنهـ

01= 0(1= ) 0ــــــاق)س((ــــــ= )نهـ 0ــــــا )ق)س((ـــــــنهــإذن :

أ ← س

1 ← س

2← س 2← س

2← س

2← س 2← س 2← س

2← س 2← س

2← س 2← س

1 ← س

1- ← س

1- ← س

1- ← س

1- ← س

1- ← س

1- ← س

كرو ب

ري أبمن

Page 19: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

09

22صفحة 2 تدريب الكتاب

0)ق)س((0ـــــــاــــــ، فجد قيمة نهـــ 3= (0-0ـــــــا)ق)س(+ ســــــإذا كانت نهـ

الحل :

3= 0ــــــا ــــنهـــ - 0ـا ســـــــــــــا ق)س( + نهــــــــــ( = نهـــــ 0 – 0ــــــا ) ق)س( + ســـــنهـــ

3= 0ـــــا ــــــنهــــ - 0ـــــا س(ـــــــــــا ق)س( + )نهــــــــنهـــ 3= 1-ـــا ق)س( ـــــ= نهــــــ 0-7 -ــــــــا ق)س( ـــــ= نهـ 0- 0(7-ــــــا ق)س( + ) ــــــنهــــ 0= 1+ 3نهـــــــــــــا ق)س( =

(0) 0= 0ـا ق)س((ـــــــــنهــــ) 0= 0) ق)س(( 0ــا ـــــــنهـــــ 0

=0×97 = 010

82صفحة 6 مثال الكتاب

إذا كان

فجد قيمة كل مما يأتي )إن وجدت(

ــــــاق)س(ــــ( نهـــ0 ( 0ق) (7

ـــــــاق)س(ــــ( نهـ0ـــــــاق)س( ــــنهـــ (0

الحل :

1= 0(0( = )0ق) (7

1= 7+ 7×3( = 7س + 3ـــــــا)ـــــــــــــا ق)س( = نهـــــــــنه (0

0= 0(0= ) 0ـــــاســــــــــا ق)س( = نهــــــــنهــ (0

هي القيمة التي يتشعب عندها االقتران لذلك نحسب النهاية من اليمين واليسار 0نالحظ أن س= (1

77= 7+ 0×3( = 7س + 3ــــا)ــــــــاق)س( = نهــــــــــــنهــــــ

1= 0(0= ) 0ــــــــاســــــــــــاق)س( = نهــــــــنهـ

ــــاق)س( غير موجودة ـــــــــاق)س( فإن نهــــــــــنهـــــ ــــــاق)س( ـــــبما أن نهـــ

: 4نتيجة

) فإن إذا كان لدينا اقتران متشعب ق) س ( وكان هذا االقتران يتشعب عند نقطة ) أ

نهــــــــــــــــاق)س ( ₌ نهــــــــــــــــاق)س( تكون موجودة إذا كانت نهــــــــــــــــاق)س (

1-← س1-← س

0، س 7س + 3

0، س 0س

ق)س( =

1← س

3← س 2← س

1← س 1← س

3← س 3← س

2← س-

2← س -

2← س+

2← س +

2← س-

2← س +

2← س

أ ← س أ← س+

أ ← س -

1-← س1-← س1-← س1-← س

1-← س1-← س1-← س

1-← س1-← س1-← س

1-← س

1-← س1-← س

كرو ب

ري أبمن

Page 20: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

21

: هو االقتران المعروف بأكثر تعريف االقتران المتشعب

قاعدة من

يمثل الشكل المبين اقتران متشعب له قاعدتين ونقطة تشعب

9عند النقطة س =

00صفحة 3تدريب الكتاب

7)

=ق)س( إذا كان

0≥ س، 7+ 0 س

0< س، 0- س1

ا ق)س( ــــــــــد( نهـــا ق)س( ، ـــــــــــجـ( نهـــا ق)س( ، ــــــــــــب( نهـــ، ( 0ق)أ( أوجد قيمة ما يلي :

الحل : 3₌ 7+ 1₌ 7 + 0(0( ₌ )0ق) (أ

0₌ 7+ 7₌ 7+ 0(7)( ₌ 7+ 0 سـا )ــــنهــــــــــ₌ ـــــــــا ق)س( ــــنهـ (ب

17₌ 0- 71₌ 0 - 1×1( ₌ 0- س1نهــــــــــــــا )₌ ـــــا ق)س( ــنهـــــجـ(

:لذلك نحسب النهاية من اليمين واليسار هي القيمة التي يتشعب عندها االقتران 0نالحظ أن س = د(

79₌ 7+ 0₌ 7+ 0(0)( ₌ 7+ 0 سنهــــــــــــــا )₌ ـــــــا ق)س( ــــنهـــ

97₌ 0- 70₌ 0 - 0×1( ₌ 0- س1نهــــــــــــــا )₌ ـــــــــا ق)س( ـــــنهـ

79ــــا ق)س( = ـــنهــــــ إن ف ـــــا ق)س(ــنهـــــــــ= ـــــــا ق)س( ــــبما أن نهـــ

إذا كان : (0

ــــــاق)س( )إن وجدت(ــــــفجد نهــ، حيث ص = مجموعة األعداد الصحيحة

ص سأي صحيحا وأجزاء عشرية أي س ليست عددا 0والتساويه فهي تساوي العدد 0بما أن س تقترب من العدد

70( = 7+ 0×1ــــــا)ــــــ( = نهـــ7س+1ــــــا)ــــــــاق)س( = نهـــــــنهــــــــ

سؤال إضافي :

إذا كان :

أوجد نهــــــــــــاق)س(

الحل :

اقتران متشعب

نقطة التشعب

شكل قاعدة االقتران الثانية شكل قاعدة االقتران األولى

3← س 4← س 1← س

1← س 1← س

4← س 4← س

3← س-

3← س -

3← س+

3← س +

3← س+

3← س -

3← س

ص س، 1س +

ص ، س 7س + 1

ق)س( =

3← س

3← س 3← س 3← س

7، س 7س +

7، س 0س -س 0 ق)س( =

1← س

كرو ب

ري أبمن

Page 21: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

20

0= 7+ 7( = 7نهــــــــــــــــاق)س( = نهــــــــــــــا)س+

0= 7 – 0( = 0س –س 0نهـــــــــــــــاق)س( = نهــــــــــــــــا)

7اق)س( = فإن نهــــــــــــــــ بما أن نهــــــــــــــاق)س( = نهــــــــــــــاق)س(

22صفحة 7مثال الكتاب

إذا كان :

ـــــــاهـ )س( موجودة ، فما قيمة الثابت أ ؟ ــــــوكانت نهــ

الحل :

ــــا هـ)س(ـــــــــاهـ)س( = نهـــــــــــاهـ)س( موجودة فإن نهـــــــــــبما أن نهـــ

B (7ا)أس + ــــــــ( = نهــــــ7+ 0ا)ســــــــنهــــــ

7أ + 0= 7+ 0(0ومنه : )

7أ + 0= 09

0أ = ، أ 0= 03

09صفحة 4 تدريب الكتاب

إذا كان : (7

ـــاق)س( موجودة ، فما قيمة كل الثابتين : أ ، ب ؟ــــــ، نهــــ 71ــــاق)س( = ـــــــوكانت نهـــ

الحل :

71( = 3+ 0ـــــا)ب ســــــــومنه نهــ 71= ــــاق)س(ـــــــنهــــ

7= ومنه ب 0ب = 0ومنه 3 – 71ب = 0ومنه 71= 3+ 0(0ب)

ـــاق)س( ـــــــــــــــاق)س( = نهـــــــــــــاق)س( موجودة فإن نهـــــــــبما أن نهــــ

( بالتعويض 3+ 0)ب ســــــاأ( = نهـــــــ –س 3ـــــا)ـــــــنهـــ

0-= 9 – 3ومنه أ = 9أ = -3ومنه 3+ 0(7)7أ = – 7×3

إذا كان : (0

ـــــــاق)س( موجودة ، فما قيمة الثابت أ ؟ ـــــــوكانت نهـ

الحل :

0، س 7+ 0س

0، س= 09

0، س 7أس +

هـ)س( =

3←س

3←س

3←س-

3←س +

3←س-

3←س +

7، س أ -س 3

7، س 3+ 0ب س ق)س( =

1←س 3←س

1←س-

1←س +

3←س 3←س

1←س

1←س-

1←س +

أ ، س 0س3

أ ، س 19 ق)س( =

أ ←س

1← س-

1← س -

1← س+

1← س

1← س+

1← س-

1← س +

كرو ب

ري أبمن

Page 22: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

22

ــاق)س(ـــــــــاق)س( = نهــــــــــــــــاق)س( موجودة فإن نهـــــــــــبما أن نهـــ

بالتعويض 19ــــــا ــــــــ= نهــ 0س3ــــــاــــــــنهــ

0ومنه أ = 9= 0ومنه أ 19= 0أ3

سؤال إضافي :

إذا كان : (7

أذا كانت نهـــــــــــــاق)س( موجودة ، فما قيمة أ ؟

)س(قــــا ـــــــ)س( = نهــقــاــــــنهــــ)س( موجودة فإن قـــاـــــــبما أن نهـــ

B (0 -ا)أس ــــــــ= نهــــــ 0س اــــــــنهــــــ

1= 7+ 0ومنه أ = 0 –= أ 7ومنه 0 –( 7= أ ) 0(7)

: وزاري سؤال

، فجد : 1ـــــــاهـ)س( = ـــنهــــ ، 9-ــــــاق)س( = ــــإذا كانت نهـــــ

ـــــــا)ـــــنهـــ(س)ق

(س)هـ س (3+ 0)هـ)س(( -

الحل :

(س)نهـــــــــاق

(س)نهــــــــــاهـ ـــاس (ـــــنهـــــــ3+ 0ـــــاهـ)س((ـــــ)نهـــ -

=-9

1 - (1)0 +3×0 =-0 -71 +73 =-0

: وزاري سؤال

، فجد : 0- =ــــــــا هـ)س( ـــــ، نهـــــ 3 =ـــــــــا ق)س( ــــنهــــإذا كانت

ق)س( + )هـ )س(( 0ـــــا ) ـــــنهــــــــ0 ( س -

الحـل :

( = س - 0ق)س( + )هـ )س(( 0ـــــا ) ـــــنهــــــــ

س ــــاـــــنهـــــــــ - 0ــــــا )هـ )س((ـــــق)س( + )نهـــــــ0ـــــــــا ـــــ= نهــــ

ـــاهـ)س( (ـــــــــا ق)س( +) نهــــــــــــــنهــــــــ 0= س ــاــــنهـــــــــــ - 0

=0 ×3 ( + -0)0 – (-0 )= 71 +0 +0 = 03

: وزاري سؤال

؟فأوجد قيمة الثابت ل 3( = 0+ 0ل سنهــــــــــــــــــا ) إذا كانت

أ ←سأ ←س -

+ أ ←س

أ ←س+

3 ←س

3 ←س

3 ←س 3 ←س 3 ←س

3 ←س 3 ←س

7، س 0س

7، س 0 -أس ق)س( =

1←س 1←س-

1←س +

1←س-

1←س +

1←س

أ ←س-

2- ←س 2- ←س

2- ←س

2- ←س 2- ←س 2- ←س

2- ←س 2- ←س

1- ←س

2- ←س

2- ←س

كرو ب

ري أبمن

Page 23: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

23

3= 0 ــــــــاــــــنهــ+ 0ل س ــاــــــنهـــــــ( = 0+ 0)ل ســــــا ـــــنهـــــــ

3= 0 ــــــــــاـــنهـــ+ 0ـــــــا )س( (ـــ) نهــــــ= ل 0 ـــــــاـــنهـــــ + 0س ــــا ـــل نهـــــــــ

3= 0+ 0(7-ل )

1= 0 – 3ل =

: وزاري سؤال

(ـــــــا ق)ســـنهـــــأوجد إذا كان :

00= 3+ 0(3( = ) 3+ 0ـــا ) ســــــــــــا ق)س( = نهـــــــــــنهــــ

: وزاري سؤال

ـــــــــا ق)س( موجودة ـــــنهـــفما قيمة الثابت م التي تجعل إذا كان :

ـــــــا ق)س( ــــــــــــا ق)س( = نهــــــــنهــــتكون النهاية موجودة عندما :

0ســا ـــــ= نهــــــــم س ــــــا ــــــنهــــ

0ومنه م = 1م = y 0 0(0= ) 0×م y 0س(ــــا ـــــ= )نهـــــس ـــــا ـــــــم نهـــــ

: وزاريسؤال

على الرسم الذي يمثل منحني االقتران ق)س( أوجد اعتمادا

ما يلي :

ـــــا ق)س( نهـــــــــــ (أ

- 0ــــا ) )ق)س((نهـــــــــــ (ب7

1 ( ( 3 –) س

الحــل :

0ـــــا ق)س( = نهــــــــــــ (أ

: نالحظ الرسم من (ب

0ــــــا ق)س( = ـــنهـــــــــــــا ق)س( = نهــــ

- 0ــــا ) )ق)س((ــنهــــــــ7

1 - 0ــــا ق)س((ــــــ( ( = )نهــــــ 3 –) س

7

1ــــــا س + ـــــنهـــــ

3

1

( =0)0 - 7

1 ×-7 +

3

1 =1 +

7

1 +3 =1 +

7

1 +

3

1 =1+

9

1 =1 +0 =1

إضافي : سؤال

79-ــاهـ)س( = ـــــنهــــــــ، 3ـــاق)س( = ــــــإذا كانت نهـــــــ

هـ)س( + س هـ)س((0–ق)س( ـــــــــا)ـــــفجد : نهـ

1- ←س 1- ←س 1- ←س

1- ←س 1- ←س 1- ←س 1- ←س

0 ←س 0 ←س

0 ←س

2 ←س+

2 ←س+

2 ←س+

2 ←س+

1- ←س

2 ←س+

1- ←س+

1- ←س -

1- ←س 1- ←س 1- ←س

0≤ س، 3+ 0 س

0> س، 3

= ق)س(

0≤ س، 0 س

0> س، م س

ق)س( = 2 ←س

2 ←س 2 ←س

2 ←س

2 ←س-

2 ←س-

2 ←س-

كرو ب

ري أبمن

Page 24: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

24

ـــــاهـ)س( ــــنهــــ× ــاس ــــــــا هـ)س( + نهـــــــــــــنهــــــ 0– ق)س( ــاـــــــ= نهــــــ

=3 - 0×-79 +0 ×-79 =03 - 09 =3

شتوية 8102 وزاريسؤال

3-ــــــــــاهـ)س( = ــــــ، نهـ 1ــــــــاق)س( = ــــــإذا كانت نهــ

هـ)س(( 0هـ)س( + س –ق)س( 0ــا)ـــــفجد نهـــــــ

الحل :

ـــــاهـ)س( ــــــنهــــ× 0ـــــاســــــــاهـ)س( + نهــــــــــنهــــــ –ـــــاق)س( ــــــــنهــــ0

0 ×1 – (-3( + )0)0 ×-3 =79 +3 - 09 =-0

صيفية 8102 وزاريسؤال

تساوي : 0نهــــــــــــــــــا)ق)س((، فإن : 70ق)س( = 0إذا كانت نهــــــــــــــــا (7

799د( 01ج( 711ب( 01 (أ

الحل :

1فيكون نهــــــــــــــــاق)س( = 0نقسم الطرفين على 70نهـــــــــــــاق)س( = 0

01= 0(1= ) 0= )نهــــــــــــــــاق)س(( 0نهـــــــــــــــا)ق)س((

، فجد : 9( = 0، ل) 0( = 0إذا كان ق ، ل كثيري حدود ، وكان ق) (0

ق)س( + 3هــــــــــــا)ن0

( + 0ق)3= ( 0س – (س)ل 0

0(0) – (0)ل

=3 ×0 +0

9 – 1 =73 +0 – 1 =70

2 ←س

2 ←س

2 ←س 2 ←س 2 ←س 2 ←س

3 ←س 3 ←س

3 ←س 3 ←س

3 ←س 3 ←س

2 ←س

2 ←س

2 ←س 2 ←س 2 ←س

2 ←س

كرو ب

ري أبمن

Page 25: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

25

حل األسئلة 07صفحة

، فجد قيمة كل مما يأتي )إن وجدت( 0-₌ ـــا هـ)س( ــــ، نهــــــ 9₌ ــــا ق)س( ــــنهـــــإذا علمت أن (1

هـ)س(( 0 -ـــــا ) ق)س( ـــــهـ)س(( ب( نهـــــ 0ق)س( + 1ـــا )ـــنهـــــــ (أ

ق)س( 3ــاـــــــــنهـــ د( هـ)س(( × ــــــا )ق)س( ــــنهــــ جـ(

( 3-س 0+ 0ـــــــا))هـ)س((ــــنهـــ و( ( 7ق)س( + 0ـــا)ــــــهـ( نهــــ

( 1س + 0هـ)س( + 0ق)س( + 0ا)ـــــــز( نهـــــــ

الحل :

هـ)س( 0ق)س( + نهـــــــــــــا 1نهـــــــــــــا =هـ)س( ( 0ق)س( + 1نهـــــــــــــا ) (أ

09= 1 – 00= 0-× 0+ 9× 1 =نهـــــــــــــا هـ)س( 0نهـــــــــــــا ق)س( + 1 =

نهـــــــــــــا هـ)س( 0-نهـــــــــــــا ق)س( هـ)س(( = 0 -ا ) ق)س( ـــــــنهــــــــــ (ب

=9 – 0 ×-0 =9 + 1 =70

ــــا هـ)س( ــــنهـــــــــ× ـــا ق)س( ـــهـ)س(( = نهــــــــــ× ـــا )ق)س( ـــــج( نهـــــــ

=9 ×-0 =-71

19= 9× 3اق)س( = ـــــنهـــــــــ 3ق)س( = 3ـاــــــــنهــــــــد(

7ـاق)س( + ـــــنهــــــــ0= 7ق)س( + 0ـــاــــــ( = نهــــــ7ق)س( + 0ـــا)ـــــــهـ( نهـــــ

=0 ×9 +7 =73

3ــاــــــنهــــــ –ـــاس ــــنهــــ 0+ 0ــــــاهـ)س((ــــــ( = )نهــ 3-س 0+ 0ــــــا))هـ)س((ـــنهــــو(

( =-0)0 +0×0 – 3 =-9 +0 – 3 =-1

( = 1س + 0هـ)س( + 0ق)س( + 0ــــا)ــــــــنهـــز(

1 ـــاــــــــــــاس + نهــــــــــنهـــ0ـــاهـ)س( + ـــــــــنهــــ 0ـــاق)س( +ـــــــنهـــــ0 =

=0× 9 +0×-0 +0×0 +1 = 71 -1 +1 +1 =09

جد قيمة كل مما يأتي : (2

بما أن االقتران كثير حدود فإن : ( 3-س 1+ 0س3 – 1س0ــــا)ــــــنهـــ (أ

=0(-0)1 -3 (-0)0 +1 ×-0 – 3 =0×71 +19 – 70 – 3 =19 +19 - 70 =10

بما أن االقتران كثير حدود فإن : ( 0-س3+0()س7+0ـــا)ســـــــنهــــ (ب

( ( =7)0 +7( ( × )7)0 +3×7 – 0 = )0 ×1 =9

3 ←س

3 ←س 3 ←س

3 ←س 3 ←س

3 ←س 3 ←س

3 ←س

3 ←س 3 ←س 3 ←س

3 ←س 3 ←س 3 ←س

3 ←س 3 ←س

3 ←س 3 ←س 3 ←س

3 ←س 3 ←س 3 ←س 3 ←س

3 ←س

3 ←س 3 ←س 3 ←س 3 ←س

3 ←س

2- ←س

1 ←س

3 ←س 3 ←س

3 ←س 3 ←س 3 ←س

كرو ب

ري أبمن

Page 26: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

26

(0+ 0ــــا)ســــــــجـ( نهـــ 3 7= 3(0+ 7-= ) 3(0+ 0(7-= ) ) 3((0+0ـــا)ســـــــ= )نهـــ

0ـــا)ق)س((ــــــــ، فجد نهــــ 03= (7س + 0ق)س( +0ــــا)ـــــــــإذا كانت نهــ (3

03( = 7س + 0ق)س( +0ــــــا)ــــــــــنه

03= 7ــاس + ــــــنهـــــ0اق)س( + ـــــــنهـــــــ0

03= 7+ 1 –ـــــــاق)س( ــــــــــنه0ومنه 03= 7+ 0-×0ـاق)س( + ــــــــنهـــــــ0

79ــــــــــــاق)س( = ــــــــفيكون نه 0 ىنقسم عل 09= 0+ 03ـــــــــاق)س( = ـــــــنهـ0

7999= 0(79= ) 0اق)س((ــــــــ= ) نهــــــــــ 0ــــــا)ق)س((ـــــــــــإذن نهـــ

فأوجد قيمة الثابت م 03( ₌ 7س +3+ 0م ســـا ) ـــــــــــــــنهـإذا كانت (4

الحــل :

03 =( 7س +3+ 0م ســـــــــا ) ــــــنهــ

03 = 7+ 0× 3+ 0(0)م

0م +73 + 7 = 03 ومنه 0م + 71 = 03 ومنه 0م = 03 – 71 = 0 ومنه م = 7

إذا كان : (5

فجد قيمة كل مما يأتي : الحل :

ــــاق)س(ــــــــــــــاق)س( جـ( نهـــــــــــــــــاق)س( ب( نهــــــــــنهــــ (أ

1= 0(7) – 3( = 0س – 3ـــــا)ــــــــــــــاق)س( = نهــــــــــــنهـــ (أ

3-= 7+ 9-= 7+ 0-×1( = 7س + 1ـــــــا )ـــــــــــاق)س( = نهـــــــــــنهــــ (ب

7( = 7+ 9×1)( = 7س+1ـــا)ــــــــــــــاق)س( = نهــــــــــــجـ( نهــــ

3= 0(9) – 3( = 0س – 3ــــا)ـــــــــــــــــاق)س( = نهـــــــــــنهـــ

ـاق)س( غير موجودةـــــــاق)س( فإن نهــــــــــــــنهـــــــ ـــــاق)س(ـــــبما أن نهـــــ

إذا كان : (2

مما يأتي : كل فجد قيمة

(0ــــاهـ)س( جـ ( هـ)ـــــــــــــاهـ)س( ب( نهــــــــــنهــ (أ

الحل :

≠ مالحظة هامة : عند وجود إشارة ) وال نهتم بقاعدة ) =( وذلك ألن النهاية هي قيمة تقترب ( فإننا نعوض بها دائما

وال تساوي

7 ـــــاـــــنهـــــ + 0 ســـا ــــنهـــــــ =( 7+ 0 ســـــــا)ــــنهـــ =ـــا هــ)س( ـــــنهـــــــ (أ

01 = 7+ 03 = 7+ 0(3) =7 ـــاــــــنهـــــــ + 0 س(ـا ــــــ)نهـــــــــ =

1- ←س

2-←س 2-←س

2-←س

2-←س 2-←س

2-←س 2-←س

3 ←س

3 ←س

0، س 1س + 4

0، س 2س – 0 ق)س( =

0 ←س 2- ←س 1 ←س

1 ←س 1 ←س

2- ←س 2- ←س

0 ←س-

0 ←س0 ←س +

+

0 ←س0 ←س -

0 ←س +

3، س 1+ 2س

3= ، س 8 )س( = هـ

3 ←س 0 ←س

0 ←س

0 ←س 0 ←س

1- ←س

-0 ←س

0 ←س 0 ←س 0 ←س

2-←س 2-←س

2-←س 2-←س

كرو ب

ري أبمن

Page 27: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

27

7 ــــــاـــــنهــــ + 0 ســا ــــنهــــــــ =( 7+ 0 ســـــا)ـــنهـــــــ =نهــــــــــــــا هــ)س( (ب

79 = 7+ 0 = 7+ 0(0) =7 ـــــــاـــــنهـــ + 0 س(ـــــــا ـــــ)نهـــ =

9 =( 0هـ ) جـ(

إذا كان : (2

ــــا ق)س( موجودة ، فما قيمة الثابت أ ؟ ـــــــــوكانت نهــ

الحل :

ـاق)س(ـــــــاق)س( = نهـــــــــــــــــــاق)س( موجودة فإن : نهـــــــــــــــبما أن نهــــ

+ أ 0(0)3= 1+ 0×+ أ( ومنه أ0س3ا)ــــــــ( = نهــــــــ1أس+ـا)ـــــــــنهــــــ

71ومنه أ = 1 – 09أ = –أ 0+ أ ومنه 09= 1أ + 0

إذا كان : (8

)إن وجدت ( : فجد قيمة كل من النهايات اآلتية

اق)س(ـــــــــــاق)س( ب( نهـــــــــــــــــنه (أ

ــــــــــاق)س(ــــــــــــاق)س( د( نهــــــجـ( نهـ

الحل :

7= 7+ 0(9( = )7+ 0ا)ســــــــــــــاق)س( = نهــــــــــــــــنهـــــ (أ

هي قيمة يتشعب عندها االقتران لذلك نحسب النهاية من اليمين واليسار 0بما أن س= (ب

3= 7+ 0(0( = ) 7+ 0ــــا)ســــــــــاق)س( = نهــــــــــــنهــــــــ

79= 0× 3س = 3ــــاــــــــــــــــاق)س( = نهـــــــــــنه

ــــــاق)س( غير موجودة ـــــــــــــاق)س( فإن نهـــــــــــنهـــ ـــــــاق)س( ــــــبما أن نهــ

09= 1× 3س = 3ـــــــاـــــــــــاق)س( = نهـــــــنهـــ جـ(

قيمة يتشعب عندها االقتران فإن : 1د( بما أن س=

09= 1× 3س = 3ـــــاــــــــــاق)س( = نهـــــــــــنهـــــ

09= 1 – 0(1( = )1 – 0ـــــــــا)ســــــ= نهـ ـــــــاق)س(ــــنهـــ

09ـــــاق)س( = ـــــفإن نهـــــ 09ـــــاق)س(=ــــــــــــاق)س( = نهـــــــــبما ان نهـــ

إذا كان : (2

3 ←س 3 ←س 3 ←س

3 ←س

0، س 1أس +

0+ أ ، س0س3 ق)س( =

2 ←س

2 ←س 2 ←س-

2 ←س +

2 ←س-

2 ←س +

0، س 7+ 0س

1س 0س ، 3

1، س 1 – 0س

ق)س( =

2 ←س 0 ←س

6 ←س 4 ←س

0 ←س 0 ←س

2 ←س-

2 ←س -

2 ←س+

2 ←س +

2 ←س-

2 ←س +

2 ←س

4 ←س 4 ←س

6 ←س-

6 ←س -

6 ←س+

6 ←س +

6 ←س-

6 ←س +

6 ←س

0أ ، س -س 0

0، س 79 ق)س( =

3 ←س

3 ←س

كرو ب

ري أبمن

Page 28: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

28

ـــــاق)س( موجودة ، فجد قيمة الثابت أ ؟ـــــوكانت نهــــ

ــــــاق)س( موجودة فإن ـــــبما أن نهـــ

ــاق)س( ــــــــــــاق)س( = نهـــــــــــــــــنهــــ

79أ( = –س 0ـــــــا)ـــــــنهـــ

79أ = – 0×0

79أ = – 1

1 -= 79 – 1أ =

1 اختبر نفسك فجد : 1ـــــــــــاهـ)س( = ـــــــ، نهـ 1-ــــــاق)س( = ـــــــإذا كانت نهــــ (7

س( –هـ)س( 0 –)س( 0ـا)قـــــــنهـــــــــ

)س(( 0ــــــا)س ق)س( + هـــــــ، فإن نهــ 7ـــاهـ)س(=ـــــــــ، نهــ 0ــاق)س( =ـــــــإذا كانت نهــــ (0

تساوي :

0د( 3ج( 79ب( 3 (أ

، 7-ل)س( = ـــــــــاــــــ، نهـ 0ــــــــــاق)س( =ـــــــإذا كانت نه (0

ـــــــا)ق)س( + ل)س( ( تساوي :ــــــــفإن نهــ

1-د( 0-ج( 1ب( 0 (أ

، فما قيمة الثابت ل ؟ 1ــا)س + ل( = ـــــنهــــــــإذا كان ل عددا ثابتا وكانت (1

0د( 1ج( 1ب( 9 (أ

تساوي : 0(0 – 0ـــــــــا ) ســــــنهـــ (3

0د( 7ج( 0-ب( 1- (أ

فإن قيمة ك تساوي : 1ك( = 0س + 9ـــا)ــــإذا كان ك عددا ثابتا وكانت نهــــــ (1

1د( 0ج( 7ب( 7- (أ

2 ←س

2 ←س

2 ←س-

2 ←س +

2 ←س-

0 ←س 0 ←س

0 ←س

1- ←س

2 ←س

0 ←س 0 ←س

0 ←س

3 ←س 3 ←س 3 ←س

1 ←س

اإلجابات آخر الكورس أسئلة وزارية

كرو ب

ري أبمن

Page 29: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

29

نهاية خارج قسمة اقترانين

شكل كسر بسطه ومقامه كثيري حدود على: هو اقتران تعريف االقتران النسبي

مثال : ق)س( = 0س + 0

7+ 0س

تساوي نهاية البسط على نهاية المقام ونعبر عن ذلك بالرموز : نسبينظرية : نهاية اقتران

ــــــــا ــنهــــ(س)ق

(س)هـ ـــا هــ)س( = صفرـــالنهاية غير موجودة إذا نهــــــــــ ———————=

00صفحة 1 مثال الكتاب

، فجد قيمة كل مما يأتي : 0-ــــاهـ)س(= ــــــــ، نهــ 1ــاق)س( = ـــــــــنهــــ إذا علمت أن

(س)قــــــا ــــــنهـ (7

(س)هـ =——————— =

1

-0 =-0

س0+ (س)قــــــا ـــــــنهـ (0

0+ (س)هـ =—————————— =—————————————

=1 +0

-0 +0 =

0

9 النهاية غير موجودة

نتائج هامة :

: نواتجعند دراسة نهاية االقتران الكسري نميز أربع

: الناتج األولعدد

عدد وهو ناتج مقبول

مثال :

ـا ـــــــنهــــــــ 7+ 0س0س +

=——————— =(0)0 +7

0 +0 =

3

3 (01)هذا السؤال صفحة 7 =

: الناتج الثانيصفر

عدد وهو ناتج مقبول ويساوي الصفر

مثال :

نهــــــــــــا 1- 0س

7س + =——————— =

(0)0 - 1

0 +7 =

صفر 0

= صفر

: الثالث الناتجعدد

صفر وهو ناتج غير مقبول والنهاية غير موجودة

مثال :

نهــــــــــــا 0س +

1- 0س =——————— =

0 +0

(0)0-1 =

3صفر

النهاية غير موجودة

ــــــــاق)س(ــــنهـــ

س() ــــاهــــــنهـــــــ

أ yس

أ yس أ yس

7+ 0ــــا ســـــنهـــــ

0ـا س+ـــنهــــــــــy 2س

أ yس

y 2س

7ــــــــــا س+ـــنهـy 2س

y 2س y 2س

1 -0ــــا ســـنهـــــــ

1- 0ســــــا ــــنهـــــy 2س

y 2س y 2س

0س + ـــــــا ــــنهــــ

y 2س

نهـــــــــــاق)س(

نهـــــــــــاهـ)س(y1س

y1س

س( 0ـــــــا)ق)س( + ــــنهــــ

س0(

y1س y1س

y1س

y1س y1س

(0ـا)هـ)س(+ـــنهــــــــــy1س

س 0ــــــــا ـــــا ق)س( + نهـــــنهــــــــــ

س0( 0 + ـــا هـ)س( ـــنهــــــــ

y1س y1س

y1س

ثالثا

كرو ب

ري أبمن

Page 30: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

31

: الناتج الرابعصفر

صفر وهو ناتج غير مقبول ولذلك نلجأ إلى كتابة االقتران بصورة مكافئة بإحدى الطرق التالية :

التحليل إلى العوامل : مثال :

ــــــــا ــــــنهـــ 0س + 1-0س

0-0س ـــــــــاــــ= نهـ

(0)0-1(0) +0

(0)0-0 =

صفر

صفر ( 01) هذا السؤال صفحة

ــــــــا ـــــنهـــ0س + 1-0س

0-0س ـــــــا ـــــ= نهــــ

(0-س)(0-س)

(0س+)(0-س) ـــــــا ــــنهــــ =

0-س

0س+ =

0-0

0+0 صفر=

التحليل إلى عوامل مشتركة : مثال :

ــــــــا ــــــنهـــ س 0-0س

79-س3 ـــا ـــــ= نهــــــــ

(0)0-0(0)

3(0)-79 =

صفر

صفر

لل بإخراج العوامل المشتركة :الناتج غير مقبول ونح

ــــــا ــــــنهـــــس 0-0س

79-س3 ــــا ـــــ= نهـــــــ

(0 -س )س

(0-س)3 ــــا ـــــ= نهـــــــ

س

3 =

0

3

( التالي : 3كما في المثال ) الضرب في مرافق الجذر التربيعي :

03صفحة 5الكتاب مثال

ـــــــا ــــــنهــــ 7 -س

7 -س ــــا ـــــ= نهـــــــ

7 - 7

7 - 7 =

صفر

صفر

الناتج غير مقبول لذلك نضرب ونقسم على مرافق الجذر أي بالمقدار + 7س

+ 7س

ـــــا ــــــنهــــــ 7 -س

7 -س ـــا ـــــ= نهــــــــ

7 -س

7 -س ×

+ 7س

+ 7س 7 -( = س 7س + ()7 -س حيث )

ـــــــاــــنهـــــــ 7 -س

(7س + )(7-س)نهــــــــــــــــا =

7

+ 7س =

7

7 +7 =

7

0

توحيد المقامات :

تذكرة في توحيد المقامات :

البسط األول

المقام األول ±

البسط الثاني

المقام الثاني =

المقام األول×البسط الثاني±المقام الثاني ×ولالبسط األ

جداء المقامين

هذا مثال : ذلك لتوضيح0

1 +

0

3 =

0×3 +0×1

1×3 = ——— =—

: مثال

= ————— = —————نهـــــــــــــــــا صفر

صفر

غير مقبول ولذلك نوحد المقامات

y 3س y 3س

y 3س y 3س y 3س

y 2س y 2س

y 2س y 2س y 2س

y 1س y 1س

y 1س y 1س

y 1س

7

س0 -

7

0س+

7 - س

7

0×7 -

7

7+0

7 - 7 y1 س

73 +9

09

00

09

كرy 1س و ب

ري أبمن

Page 31: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

30

———————— = نهـــــــــــــــــا —————نهـــــــــــــــــا

ـــــاـــنهـــــــس0-0س+

(0س+)(7-س)س0 نهــــــــــــا =

س 0 - 0

(0س+)(7-س)س0 =

نهــــــــــــا(7-س )0-

(0س+)(7-س)س0

ـــــــاــنهـــــ -0

(0س+) س0 =

-0

0(7) (7+0) =

-0

0

: وزاري سؤال

ـا ـــــــــــنهـــــــــ جد قيمة ما يلي : 0س1- 0س

71 - 0س

نهــــــــــــــــــــــا 0س1- 0س

71 - 0س =

صفر

صفر مشتركة النتيجة غير مقبولة ونحلل إلى عوامل

نهــــــــــــــــــــــا ( 1 -س )0س

(1س+)(1-س) ــــا = نهـــــــــــــ

1س + =

(1)0

1 +1 =— =0

سؤال إضافي :

جد قيمة مايلي : نهــــــــــــــــــا 1- س - 0س

0 -س =

صفر

صفر العواملالنتيجة غير مقبولة ونحلل إلى

نهـــــــــــــــا 1- س - 0س

0 -س نهــــــــــــــا =

(0س + )(0-س )

0 -س 3( = 0)س + = نهـــــــــــــا

سؤال إضافي :

جد قيمة مايلي : نهــــــــــــــــــا 0+ س0 - 0س

0 -س =

صفر

صفر العواملالنتيجة غير مقبولة ونحلل إلى

نهـــــــــــــــا 0+ س0 - 0س

0 -س نهــــــــــــــا =

(7-س )(0-س )

0 -س 7( = 7-= نهـــــــــــــا )س

سؤال إضافي :

جد قيمة مايلي : نهــــــــــــــــــا 0+ س1 - 0س

0 -س =

صفر

صفر العواملالنتيجة غير مقبولة ونحلل إلى

نهـــــــــــــــا 0+ س1 - 0س

0 -س نهــــــــــــــا =

(0 -س )(0-س )

0 -س 9( = 0 -= نهـــــــــــــا )س

(س0)×7 - (0س+)×7

(0س+)س0

7

س0 -

7

0س+

7 - س7 - س y1 س

y1 س

y1 س

y1 س

y4 س

y4 س

y4 سy4 س

y3 س

y3 سy3 سy3 س

y2 س

y2 سy2 سy2 س

y3 س

y3 سy3 سy3 س

719

y1 س

y1 س

كرو ب

ري أبمن

Page 32: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

32

سؤال إضافي :

جد قيمة مايلي : نهــــــــــــــــــا 0 -س

س0 - 1 =

صفر

صفر النتيجة غير مقبولة ونحلل إلى عوامل مشتركة

نهـــــــــــــــا 0 -س

س0 - 1 نهــــــــــــــا =

(0-س )

(س - 0)0 -( = -= نهـــــــــــــا )

01صفحة 2 مثال الكتاب

جد قيمة النهاية في كل مما يأتي )إن وجدت(

ــــــاـــــــنهــــ (73-س

73س + =

3 -3

3 +73 =

صفر

09 = صفر

ـــــــاــــــــنهــ (03

7-س =

3

7 -7 =

3

صفر النهاية غير موجودة

1 تدريب الكتاب03صفحة

جد قيمة النهاية لكل مما يأتي )إن وجدت(

ــــــاـــــــنهـــ (703- 0س

3س + =

(7)0 -03

7 +3 =

7 -03

1 =

1 =-1

ــــــاــــــــنهــ (01-س 0

0س + =

0×0 -1

0 +0 =

صفر

3 = صفر

ـــاـــــــنهـــــ (07 - 0س0س +

=(0)0 - 7 0 +0

=9 1

03صفحة 3 مثال الكتاب

ـــا ــــــجد نهـــــــس79 - 0س3

0 -س =

صفر

صفر الناتج غير مقبول لذلك نحلل البسط

ـــــا ـــــــنهـــــس79 - 0س3

0 -س ـــــا ــــــ= نهـــــ

(0 -س )س30 -س

79= 0× 3س = 3ــاـــــ= نهـــــــ

23صفحة 4مثال الكتاب

جد قيمة كل مما يأتي :

ـــــا ــــــنهـــــ (71س + 3+ 0س0 - 0س

ــــــا ــــــنهـــ= (0س+)(0س+)(0س+)(0-س)

ــــاـــــــ= نهـــــ (0س+)(0-س)

=-7

-1 =

7

1

ـــــــا ــــــنهــ (09 - 0س0-س

ـــا ــــــ= نهــــــ (1س+0+0س)(0-س)

0-س 70( = 1س+0+ 0ــــا)ســـ= نهــــــ

y0 س

y1 س

y1 س

y2 س

y3 س

y2 س

y2 سy2 س

y-3 سy-3 سy-3 س

y2 سy2 سy2 س

y2 س

y3 س

y3 سy3 سy3 س

-01

كرو ب

ري أبمن

Page 33: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

33

01صفحة 2تدريب الكتاب

)إن وجدت ( جد قيمة كل مما يأتي

ـــاـــــــنهــــ (7س0+0س0س +

ــــاـــــــ= نهـــــ (0س +)س0س +

0-ــــــاس = ــــــ= نهـــ

ـــــاـــــــــنهــ (0س0-0س79-س 3

ــــــا ـــــــ= نهـ (0-س)س(0-س )3

ـا ــــــ= نهـــــــ س 3

=0 3

ــــــا ـــــنهـــ (0س03+1س0س+

ـــاــــــنهــــــ = (03+0س)س0س+

ـــــــا ـــــــ= نهـ (0س +0- 0س)(0س+)س

0س+

97-( = 0( + 0-)0- 0(0-))0-(= 0س +0- 0ــــاس)ســـــــ= نهــــ

23صفحة 3 تدريب الكتابــــــا ـــنهـــ (7

73 -س0

+ 3- 09س =

صفر

صفر نضرب بمرافق الجذر التربيعي

ـــــا ـــــــنهــــ 73 -س0

+ 3- 09ســا ــــــ= نهـــــــ

73 -س0 + 3- 09س

×+ 3+ 09 س + 3+ 09س

ــــا ـــــــنهــــــ (3+ 09س + )(73-س0)

03 - 09س+ ـاـــــــ= نهـــــــــ

(3+ 09س + )(3-س)03 -س

0 ×79 =09( = 3 +09 +3)0( = 3+ 09س + )0ــــا ـــــــ= نهــــــ

ــــــاــــــــنهــــ (0 + 0- 0س

0-س =

صفر

صفر نضرب بمرافق الجذر التربيعي

ـــاــــــــنهـــــــ + 0- 0س

0-س ــــاـــــــــ= نهـــــ

+ 0- 0س0-س

× + 0+ 0س

+ 0+ 0س

ــاـــــــ= نهــــــــ 1- 0س +

(0+ 0س + )(0-س) ــــاــــــــ= نهـــــ

0-س

(0+ 0س + )(0-س)

ــــاـــــــ= نهـــــــ 7

( + 0+ 0س) =

7

( 0 +0 +0) =

7

1

09صفحة 6مثال الكتاب

= ————ــــا ــــــجد نهــــصفر

صفر الناتج غير مقبول لذلك نوحد المقامات

ـــــا ــــــــ= نهـــ ———ـــــــا ــــــ= نهــ ————ــــا ـــــــنهــــ س - 0

(1-س0)س0

y-3 سy-3 سy-3 س

y2 سy2 سy2 س

y-3 س

y0 س

y0 سy0 س

y0 سy0 س

y0 س

y2 س

y2 سy2 س

y2 سy2 س

y2 س

7

س -

7

0

y2 س 1 -س 0

7

س -

7

0

y2 س 1 -س 0

س - 0

س0

y2 سy2 س 1 -س 0

y-3 سy-3 س

y-3 س

كرو ب

ري أبمن

Page 34: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

34

ـــــاـــــــــنهـــ س - 0

(0-س)س1 ـــا ــــــــ= نهـــــ

-7

س1 =

-7

9

4تدريب الكتاب 09صفحة

= ——————ـــــــا ــــجد نهــــصفر

صفر الناتج غير مقبول لذلك نوحد المقامات

ـــــــا ـــــنهــــ= ——————ــــــا ـــــنهــــــ (7س+) - 0

(0-س)(7س+)0 ــــــــاــــ= نهــ

7-س - 0

(0-س)(7س+)0

ـــــاـــــــــنهــــــ س - 0

(0-س)(7س+)0 ـــــا ــــــــنهـــــ=

-7

(7س+)0 =

-7

0(0+7) =

-7

0

: سؤال إضافي

ــــــا ـــــــــنهـــــجد س - 1 -س 0 -س

=صفر

صفر نضرب بمرافق الجذر التربيعي

ــــــا ـــــــــنهـــــس - 1 -س 0 -س

نهــــــــــــــا = س - 1 -س 0 -س

×س - 1س+

س - 1س+

= نهــــــــــــــا (س - 1) - 0س

(س - 1 س +)(0 -س ) = نهــــــــــــــا

+ س 1- 0س

(س + س - 1 )(0 -س )

= نهــــــــــــــا (0 -س ) (0س + )

(س + س - 1 )(0 -س ) ــا نهــــــــــ=

(0س + ) ( 1 - س + س)

=0 +0

( 1 - 0 +0) =

3

1

: سؤال إضافي

ــــــا ـــــــــنهـــــجد + 0- 7س

0 -س =

صفر

صفر نضرب بمرافق الجذر التربيعي

ــــــا ـــــــــنهـــــ + 0- 7س

0 -س ــــــا ـــــــــنهـــــ =

+ 0- 7س 0 -س

× + 0+ 7س

+ 0+ 7س

= نهـــــــــــــــا 1 - 7س +

(0+ 7س + ) (0 -س )= نهـــــــــــــا

0 -س

(0+ 7س + ) (0 -س )

= نهــــــــــــــــا 7

( + 0+ 7س) =

7

(0 +7 +0) =

7

3

: سؤال إضافي

ــــــا ـــــــــنهـــــجد + 0- 3س

1 -س =

صفر

صفر نضرب بمرافق الجذر التربيعي

ــــــا ـــــــــنهـــــ + 0- 3س

1 -س ــــــا ـــــــــنهـــــ =

+ 0- 3س 1 -س

× + 0+ 3 س

+ 0+ 3س

ــــــا ـــــــــنهـــــ= 0- 3س +

(0+ 3س + )(1 -س ) = نهــــــــــــــا

1-س

(0+ 3س + )(1 -س )

= نهـــــــــــــــــــــا 7

( + 0+ 3س) =

7 ( 1 +3 +0)

=7 0+0

=7

1

-1

y2 سy2 س

1

1س + -

7

0

y2 س 0-س

1

1س + -

1

3

2-س

-1

y2 سy2 سy2 س

y2 سy2 س

y2 س

y2 سy2 س

y2 سy2 س

y2 سy2 س

y3 س

y3 سy3 س

y3 سy3 س

y3 س

y4 س

y4 سy4 س

y4 سy4 س

y4 س

كرو ب

ري أبمن

Page 35: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

35

: وزاري سؤال

ــــــــا ) ـــــجد قيمة ما يلي : نهــــ79س + 0

03+ 0س ( س+

ــــــا ) ـــــنهــــــ 79س + 0

03+ 0س( =) س+

0(-3) +79

(-3)0 +03 ( +-3 = ))

صفر

39 3-= 3-= صفر 3-

: وزاري سؤال

جد قيمة ما يلي :

ــــــــــا ـــــنهــ 0 + 3- 1س

10- 0س =

صفر

صفر غير مقبول لذلك نضرب بمرافق الجذر التربيعي

ـــــــا ـــــنهـــــ 0 + 3- 1س

10- 0س ×

0 + 3+ 1س

0 + 3+ 1س =

ــــــــــــا ــــنه 03- 1س +0

(3+ 1س + 0)( 10 - 0س) ــــــــــا ــــ= نهـ

07-س 0

(3+ 1س + 0)( 10 - 0س)

نهــــــــــــا (3-س )0

(3+ 1س + 0)(3س+)(3-س) = نهـــــــــــا

0

(3+ 1س + 0)(3س+)

=0

(3+3)(0×3 +1 +3) =

0

71×79 =

0

719

: وزاري ؤال س

= ( ———————ـا )ــــــنهــــــجد قيمة ما يلي : صفر

صفر غير مقبول لذلك نوحد المقامات

ـــا ) ــــــــنهــــ(3-س)×0+ (79س+1)

(79س+1)(3-س)س0ــــا ـــــــ= نهـــ (

79-س0+ 79س+1

(79س+1)(3-س)س0

ـــاــــــــ= نهــــس1

(79س+1)(3-س)س0ـــاـــــــــنهــــ =

0

(79س+1)(3-س)

=0

(9-3)(1×9+79) =

0

-3 ×79 =

0

-39 = -

7

: وزاري سؤال

ـــا)ـــجد نهـــــــــ0س +

س ( 1 – س +

ـــا)ــــــنهـــــــــ0س +

س ـــــاـــــ( = نهــــ 1 – س+

0س +

س 1 – ســــــــا ـــــــ+ نهــ

=-0 +0

-0 -0 -1 =-0 -0 =- 77

0

0y س

0y 0 سy س

0y 0 سy س

0-y س

0-y س

7y س

7y س

7

3-س +

0

79س+1

س0

7y 7 سy س

7y 7 سy س

3-yس

3-y3 س-y3 س-yس

30

كرو ب

ري أبمن

Page 36: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

36

: وزاري سؤال

ـــا ــــــجد نهـــــــ0 -س 0 - 0س

70 -س 1 =

صفر

صفر نحلل الكسر إلى العوامل

ــــا ـــــــــنهــــــ (7س +)(0-س)

(0-س )1 ـــــــا ــــــ= نهـــ

(7س +)

1 =

(0 +7)

1 =7

: وزاري سؤال

ــــا ــــــــــجد نهـــــ0(3-س 0)- 71

0 - 0س =

71 -(0×0 -3)0

(0)0 - 0 =

71 -7

1 - 0 =

73

-3 =-0

: وزاري سؤال

ــــــا ــــــــجد نهـــــ1 -س 0 - 0س

س0 - 70 =

صفر

صفر نحلل الكسر إلى العوامل

ــــا ـــــــنهـــــــ1 -س 0 - 0س

س0 - 70 ـــــا ــــــ= نهــــــ

(7س +)(1-س )

(س - 1)0

ـــا ــــــــ= نهــــــ (7س +)-

0 =

-(1 +7)

0 =

-3

0

: سؤال إضافي

ـا)ـــــــــنهــــــــ (7 1س + 0

0س + ( = )0 -س 1+

0(-0) +1

-0 +0 +1(-0 )- 0 )

= صفر

-7 09-= 09-= صفر 0 - 79 -

ـــــاـــــــنهـــــ (0 1 + 0 - 7س

0 -س =

صفر

صفر نضرب بمرافق الجذر التربيعي

ــــــــاــــــــ= نهــ 1 0 - 7 + س

0 -س ×

10+ 7+ س

10+ 7 + س= نهــــــــــــــــا

0- 7س +1

(0+ 7 + س 1)(0-س)

ــــــاــــــــ= نهــــ (0 -س )1

(0+ 7س + 1)(0 -س )

ـــاـــــــ= نهــــــ 1

( 1 + 0+ 7س) =

1

( 1×0 +7 +0) =

1

1

3y س

3y س

2y س

4y س

4 y س

4y س

3y س

4y س

3-y س

2y س

2y س

2y س

2y س

2y س

-1

كرو ب

ري أبمن

Page 37: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

37

شتوية 8102 وزاريسؤال

جد قيمة النهاية في كل مما يأتي :

ـــا)ــــــــــنهــــــ (7 0 + س 0+ 7س

3 -س +

0

0 -س )

= 0(3) +7 +0(3)

3 - 3 +

0

3 - 0 = )

71 +79

-0 +7 =

71

-0 +7 =-3 +7 =-1

ـــــاـــــــنهــــــ (01-س

+ 0 - 3س =

صفر

صفر نضرب بمرافق الجذر التربيعي

ـــاــــــــــــ= نهـــ1-س

+ 0 - 3س ×

+ 0+ 3س

+ 0+ 3س

ـــــا ـــــــ= نهــــ(0+ 3س + )(1 -س )

0 - 3س + ــــاـــــــ= نهــــ

(0+ 3س + )(1 -س )

1 -س

1 +3 +0 =1( = 0+ 3س + ـــــــا)نهـــــــــ=

صيفية 8102 وزاريسؤال

ما يأتي ) إن وجدت ( :ي كل مجد قيمة النهاية ف (7

نهـــــــــــــــا ) 0 + 0س

س - 0 +79 – 1 + 3س ( = )

(-0)0 + 0

0 - -0 +79–1(-0 + )3 )

( = 0+ 0

1 +79 +79 +3 + = )01 +3 =0 +1 +3 =73

= ————نهــــــــــــــــا (0صفر

صفر نوحد المقامات

= ——= —— نهـــــــــــــــا= ————نهــــــــــــــــا

حل األسئلة 00صفحة

، فجد قيمة كل مما يأتي )إن وجدت( 0ـــــاهـ)س(=ـــــــ، نهــــ 0ـــا ق)س(=ـــــــــإذا كانت نهــــــ (7

ـــا ــــــــنهـــــ (أ(س)ق

(س)هـ =

0

0 =

7

0

ـــــــا ــــــــــنهـ (ب7+ (س)هـ

3-س +(س)ق =

7+ (س)ـاهـــــــــنهـــــ

3-ــــــاس ـــــ+ نهـــ(س)ـــــا قـــــنهــــ =

y2 س

y2 س

y2 س

y2 سy2 س

y2 سy2 س

0y س

4y س

4y س

4y 4 سy س

4y س

3-y س

— 12 6

— - 1

س — 1 4 س 4y س – 4

س – 4

س 4y 4س)س –4 (

-1 -1 س 4y س4

-1 4×4

— -1

16

كرو ب

ري أبمن

Page 38: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

38

=0+7

0 +0 -3 =

79

9 النهاية غير موجودة

)إن وجدت( :جد قيمة النهاية في كل مما يأتي عند النقطة المبينة إزاء كل منها (0

ــــا ــــنهـــــــــــا ق)س( = ــــــنهـــ (أ7+ 0س

9س + =

(9)0 +7

9 +9 =

7

9

ــــا ـــــــــــاهـ)س( = نهـــــــــــنهــ (بس3+ 0س

7 -س =

(7)0 +3×7

7 - 7 =

1

9 النهاية غير موجودة

ــا ـــــــــا ل)س( = نهـــــــــــــنهــــ (ج1-س 0-0س

س0 - 70 =

صفر

صفر نحلل إلى العوامل

ــــا ــــ= نهــــــ(7س+)(1-س)

(س - 1)0 ـــــاــــ= نهــــ

(7س + )-

0 =

- (1+7)

0 =

-3

0

ـــــاـــــــــا م)س( = نهـــــــــــد( نهــــ 03-0س

س0 - 0س0ــا ــــــ= نهــــــــ

(0س+0+0س)(0-س)

(0-س )س0

ــــــا ـــــ= نهـــ (0س+0+0س)

س0 =

((0)0+0(0)+0)

0(0) =

03

0 =0

= ——————ــــــا ـــــــــــا ك)س( = نهـــــــــهـ( نهـــ صفر

صفر نوحد المقامات

ـــاــــــ= نهــــــــ —————ــــا ــــــــنهـــــ 0س+ -3

(0-س)3×(3-س)0

ــــا ـــــــ= نهـــــ س -3

(0-س)(3-س)79

ـــــــاـــــــ= نهــ -7

(0-س)79 =

-7

79(3-0) =

-7

39

ـــــا ــــــــــا د)س( = نهــــــــــــو( نهــــ + 0- 7س

9-س =

صفر

صفر التربيعي نضرب بمرافق الجذر

ــــا ـــــــــ= نهـــ + 0- 7س

9-س ×

+ 0+ 7س

+ 0+ 7س

ــــــا ــــــــ= نهـــ 0- 7س+

(0+ 7س + )(9-س )ــــــا ــــــ= نهـــ

9-س

(0+ 7س + )(9-س )

ـــــــاــــــــ= نهـ 7

( + 0+ 7س) =

7

( 9 +7 +0) =

7

1

ـــــاـــــــــــا و)س( = نهـــــــــز( نهــــ 3-س

0- + 0س =

صفر

صفر نضرب بمرافق الجذر الترابيعي

y0 سy0 س

y1 سy1 س

y4 س-1

y4 س

y4 س y4 س

y3 سy3 سy3 س

7

0 -س -

7

3

71-س 0(0 -س) - 3

(0 -س )3

y8 س

y8 س

y7 سy7 س

y7 سy7 س

14-س 2-1

y7 سy7 س

y7 س

y7 س

y8 سy8 س

y8 س

y8 س

y3 س

كرو ب

ري أبمن

Page 39: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

39

1 y س

ـــــــاــــــنهـــ 3-س

0- + 0س ــــــاــــ= نهــــ

3-س

0- + 0س ×

0 + + 0س

0 + + 0س

ـــــــا ـــــ= نهـــ (0س + + 0)(3 -س )

(0س+) - 0 ـــــاــــ= نهـــــ

(0س + + 0)(3 -س )

س - 3

1-( = 3 +0+0)-(= 0س + + 0) –ـــــــا ـــــــ= نهــ

ــــــا ـــــــإذا كان ق)س( = س ، فجد نهـــ (0 (0)ق - (س)0ق

0+ س

الحل :

0)س( = س 0، ق 0( = 0فإن ق)س = بما أن ق)س(

ــــــا ــــــنهــــــ (0)ق - (س)0ق

0+ ســــــا ـــــ= نهــــــ

0 - 0س0+ س

= صفرصفر نحلل

ـــــــا ـــــنهـــــ= (0س+)(0-س)

0+ س 1-= 0 - 0-( = 0 –ــــــــا )س ـــــ= نهــــ

، فبين أن : 0= ، نهـــــــــاهـ)س( 3-إذا علمت ان : نهـــــــــــا ق)س( = (1

ـــــا ـــــنهـــــ (س)هـ0 - (س)ق0

3+ س + (س)ق =-1

=

(س)ــــــاهـــــنهـــ0 - (س)ـــاقــــنهـــــ0

3ــــــاس + ــــ+ نهـــ (س)ــــاقــــنهــــ =

0×-3 - 0×0

-3 +3 +3 =

-09 3

=-1

إذا كان ق)س( = (37

0- ســــــــا ــــ، فجد نهـــ

(س)ق - (س+هـ)ق

هــ

ق)س( = 7

0- س، ق)س+هـ( =

7

0-(+هـ س)

= ————————= نهــــــــــــا صفر

صفر نوحد المقامات

———————ــــــا = نهــــــــ

ــــــــا ــــ= نهـــــ 0هـ+-س-0-س

(0- س+هـ)(0-س )هــــــا ــ= نهــــــــ

هـ-

(0- س+هـ)(0-س )هـ

ـــــــا ــــ= نهــــ -7

(0- س+هـ)(0-س ) =

-7

(0-9س+)(0-س ) =

-7

(0-س )(0-س )

=-7

0(0-س ) والناتج هو المشتقة األولى لـ ق)س( كما سيمر معنا في بحث المشتقة األولى

جد نهــــــــــــا (10 -+ س 0س

7 - 0س =

صفر

صفر غير مقبول لذلك نحلل

y7 سy7 س

0← س

0← س 0← س

0← س 0← س

1 y هـ

1 y هـ

1 y هـ

1 y هـ

1 y هـ

1 y هـ

7

0 -س+هـ - 1

2-س

هــ

(0- س+هـ)-(0-س)

(0- هـ س+)(0-س )

هــ

y7 سy7 س

y7 س

3-← س

3-← س

3-← س 3-← س

3-← س

0← س 0← س

-1

كرو ب

ري أبمن

Page 40: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

41

نهــــــــــــا (7 -س ) (0س + )

(7-س)(7س+) ـــــاـــــ= نهـــــــ

(0س + )

(7س+) =

(7 +0)

(7+7) =

0

0

2 اختبر نفسك

( ——————ـــا )ـــــنهـــــــــــجد (1

ــا )ـــــجد نهـــــــــ (21 -س

س س ( – 3+

ــــــا ـــــجد نهـــــ (30 -س

+ 0 - 7س

ـــــــا ــــجد نهــــ (4س0 - 1

79-س 0+ 0س

س + 1 – 7ـــــا) ــــــنهـــــجد (09س + 0

0س + )

ـــــا ــــــــنهـــــ (6س1- 0س0

0 -س تساوي :

1د( 0ج( ب( صفر 1- (أ

1y س

7

س0 +

7

0س +

س 2y 7 -س

2-y س

3y س

2y س

4-y س

2y س

1y س

اإلجابات آخر الكورس أسئلة وزارية

كرو ب

ري أبمن

Page 41: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

40

االتصال االتصال عند نقطة

تعريف االتصال :

عند نقطة س = أ إذا تحققت ثالثة شروط : يكون االقتران ق)س( متصال

أعدد حقيقي ، أي أن االقتران معرف عندما س = : ق)أ( الشرط األول

ــــا ق)س( موجودةــــــــــا ق)س( وبالتالي نهـــــــــــــا ق)س( = نهــــــــــ: نهــــــــ الشرط الثاني

ـــــا ق)س( = ق)أ(ــــــ: نهــــ الشرط الثالث

توضيح الاتصال من خلال الرسم :

االقتران ق)س( وجود ثقب من خالل منحنى ظنالح

0عند النقطة س = في المنحنى

0أي أن االقتران غير معرف عند النقطة س=

( غير موجودة0وبالتالي ق)

والنتيجة ق)س( غير متصل لعدم تحقق أحد شروطه

االقتران هـ)س( أن : منحنىمن نالحظ

)س(هـــــــا ـــــــــنهــــ≠ )س( هـــــا ــــــــنهـــــ

: في منحنى االقترانوذلك بسبب وجود قفزة

والنتيجة هـ )س( غير متصل 0عند النقطة س=

عدم وجود انقطاعمن منحنى االقتران ع )س( نالحظ

: وكذلك نجد أو قفزة في المنحنى

0( = 0ع)

0ـــــــا ع)س( = ــــــــــا ع)س( = نهـــــــــــنهـــــ

0ـــا ع)س( = ـــــــأي نهــــــ

ع)س( متصل ( تحققت كل الشروط فاالقتران0)س( = ع )ع ـــــا ــــــوبما أن نهــــ

+أ yس -أ yس

أ yس

أ yس

+y2س -y 2س

+y2س -y 2س

y2س

y2س

الثانيالفصل

أولا

كرو ب

ري أبمن

Page 42: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

42

وجود فجوة في المنحنى)س( لمن منحنى االقتران نالحظ

وبالتالي : 0عند النقطة س =

( 0ل ) ≠ ــــــــــا ل )س( ـــــنه

فاالقتران ل ) س( غير متصل .

نتيجة هامة : يكون منحنى االقتران غير متصل عند وجود ثقب أو قفزة أو

فجوة

هامة : اتمالحظ

يكون االقتران كثير الحدود عند نقطة متصل دائما

عداد التي تجعل المقام صفرا األعداد ما عدا األ عند جميع االقتران الكسري يكون متصال

في االقتران المتشعب ندرس النهاية من اليمين واليسار عند نقاط التشعب ألنها قد تكون نقاط عدم اتصال بسبب

وجود ثقب أو فجوة أو قفزة

19صفحة 1مثال الكتاب

إذا كان

0فابحث اتصال االقتران ق عندما س =

الحل

0ق)س( اقتران متشعب عندما س =

3= 3 – 79= 3- 0×3( = 0ومنه ق) 0ق معرف عندما س= (7

3= 7+ 0(0( = )7+ 0ــــــــا)ســــــــــــاق)س( = نهـــــــــنهــــ (0

3= 3 – 79= 3- 0×3(= 3 –س 3ـــــــــا)ــــــ= نهــــــــاق)س( ــــــنهـــ

3ــــــــاق)س( = ــــــــنهـ

3( = 0ــــــــاق)س( = ق)ـــــنهـ (0

0، فإن االقتران ق متصل عندما س= 0بما أن االقتران ق حقق شروط االتصال جميعها عندما س =

1تدريب الكتاب 10صفحة

إذا كان :

7> س، 0+ 0س

0> س≥ 7، س 0 ₌ق)س(

0< س، 79 - 0س

0س = ( 0 ، 7( س = 0 ، 9( س = 7فابحث اتصال االقتران عند كل مما يلي :

0و س = 7نالحظ أن االقتران متشعب عند النقاط س =

y2س

0، س 7+ 0س

0، س 3 -س 3 ق)س( =

-y2س -y2س

+y2س +y2س

y2س

كر y2س و ب

ري أبمن

Page 43: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

43

0= 0+ 0(9( = )9ق) y 9عندما س = (1

0= 0+ 0(9( = )0+ 0ـــــــا ) ســـــــــــا ق )س( = نهـــــــنهـــ

9قتران متصل عند النقطة س = فاال 0( = 9ـــــا ق )س(= ق)ــــــبما أن نهـــ

0= 7× 0( = 7ق) y 7عندما س = (2

نقطة تشعب نوجد النهاية من اليمين واليسار 7بما أن س =

0= 0+ 0(7= )0+ 0ســـــــا ـــــــــــا ق )س( = نهـــــــنهـــ

0ـــــا ق )س( = ـــــــنهـــ y 0= 7× 0= س0ــــــا ــــــــــــا ق )س( = نهـــــــــنهـــ

(7ــــا ق )س( = ق)ـــــــبما أن نهــــ

Е = 7االقتران ق )س ( متصل عندما س

( غير موجودة لعدم وجودها في قاعدة االقتران0ق) y 0عندما س = (3

Е = 0االقتران ق)س( غير متصل عندما س

24صفحة 2مثال الكتاب

إذا كان :

7-فابحث اتصال االقتران هـ عندما س =

الحل :

1( = 7-، هـ) 7-هـ معرف عندما س = (7

0= 0+ 7-( = 0ــــا)س + ـــــــــــاهـ )س( = نهـــــــــــنهــــــ (0

(7-هـ ) ـــاهـ)س( ـــــنهــــــ (0

7-متصل عندما س = االقتران هـ غير

2تدريب الكتاب 01صفحة

إذا كان :

0االقتران ق عندما س = فابحث اتصال

1( = 0ق) (7

ـــــــا ــــــــــا ق)س( = نهـــــــــنهـــــ (0 (0-س)س

0-س 0س = ــــــاـــــ= نهــــ

0( إذن ق)س( غير متصل عندما س = 0ق) ــــاق)س( ـــــنهـــــ (0

y0س y0س

y0س

-y1س

y1س +y1س

y1س

+y1س

-y1س

س 0- 0س

0-س 0، س

0، س= 1

ق)س( =

y-1س y-1س

y-1س

y2س y2س y2س

y2س

7، س 0س +

7-= ، س 1 هـ)س( =

كرو ب

ري أبمن

Page 44: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

44

39صفحة 3مثال الكتاب

إذا كان :

، فجد قيمة الثابت أ ؟ 0وكان ق متصال عندما س =

ــاق)س( موجودة ــــ) وهي القيمة التي يتشعب عندها ق( فإن نهــــــــ 0الحل : بما أن ق متصال عندما س=

ـــــــا ق)س( ـــــا ق)س( = نهــــــــــنهـــــــــــ

(7ــــــا)س + ــــــ( = نهــــ 3ــــــا )أس + ــــــنهـــــ

1= 3أ + 0ومنه 7+ 0= 3أ + 0

7-ومنه أ = 0-أ = 0ومنه 3 – 1أ= 0

39صفحة 4مثال الكتاب

إذا كان :

، فجد قيمة الثابت أ ؟ 0وكان ق متصال عندما س =

(0ــــــاق)س(= ق)ـــــعندها ق( فإن نهــــ) وهي القيمة التي يتشعب 0الحل : بما أن ق متصال عندما س=

0أ0( = 79+ 0ـــا)ســـنهـــــــــ

0أ0= 79+ 9ومنه 0أ0= 79+ 0(0)

0-، 0ومنه أ = 0= 0ومنه أ 0أ0= 79

73صفحة 5مثال الكتاب

: إذا كان

، فجد قيمة كل من الثابتين : أ ، ب 0وكان ق متصال عندما س =

( 0ــــاق)س( = ق)ــــــ، فإن نهــــــ 0الحل : بما أن ق متصال عندما س =

(0ق)أس +ب( = 0ــــــــــــا)ـــــ( ومنه نه0ق) ـــــــاق)س( =ـــــنهـــ

( 7………… ) 9أ+ ب = 1ومنه 9+ ب = 0×أ0

(0ق)ب س ( = 0+ 0ــــــــا)أســــــنهـ( ومنه 0ـــــــــاق)س( = ق)ـــــنهــ

( 0……………… ) 9ب = 1أ + 1ومنه 9= 0×ب0+ 0(0أ)

0س، 3أس +

0، س 7س + ق )س( =

y3س

+y3س -y3س

+y3س -y3س

2، س 10+ 3س

2=، س س 2أ )س( = ق

y2س

y2س

2، س أس + ب 2

2س = ، 8

2ب س ، س3+ 2أس

)س( = ق

y2س

-y2س

+y2س +y2س

-y2س

كرو ب

ري أبمن

Page 45: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

45

( ينتج :7( من )0المعادلة )بطرح

9ومنه ب = 9ب = 3-ومنه 9ب = 1 –ب

( 7نعوض في المعادلة )

0فيكون أ = 1نقسم على 9أ = 1ومنه 9= 9أ + 1

3تدريب الكتاب 30صفحة

إذا كان : (7

، فجد قيمة الثابت أ 0-وكان االقتران ق متصال عندما س =

ــاق)س(ــــنهـــــــــــــاق)س( = ـــفإن نهـــــــــ 0-الحل : بما أن ق متصال عندما س =

( 1+ 0س0ـا)ــــنهـــــــــــ( = 1ــا )أس + ـــــنهــــــــــ

1+ 71-= 1أ + 0-ومنه 1+ 0(0-) 0= 1أ + 0-

0ومنه أ = 0-نقسم على 79-أ = 0-ومنه 1 – 70-أ = 0-ومنه 70-= 1أ + 0-

إذا كان : (0

، فجد قيمة كل من الثابتين : أ ، ب 7وكان ق متصال عندما س =

( 7ــــــاق)س( = ق)ــــــ، فإن نهــــ 7الحل : بما أن ق متصال عندما س =

3( = 0ــــــــــا)أس + ـــــ( ومنه نه7ـــاق)س( = ق)ـــــنهـــــــــ

1أي أ = 1= 0-3ومنه أ = 3= 0أ +

3ب( = –ــــــــــا)س ــــــ( ومنه نهـ7ــــــــــاق)س( = ق)ــــــنهـ

1-أي ب = 1= 7 – 3ب = -ومنه 3ب = – 7

وزاري :سؤال

فأوجد ما يلي : 77( = 0وكان ق) 0اقترانا متصال عند س = إذا كان ق

( 9 –ق)س( 0ـــــا )ســـــنهـــــــ

الحل :

9 –ـــــــــاق)س( ـــــنهـ× 0ــــاســــــ( = نهـــــ 9 –ق)س( 0ــــــا )ســـــنهــــــ

77( = 0ــــاق)س( = ق)ـــــبما أن ق متصال فإن نهــــ 9 –ــــــاق)س( ـــــنهــــ 0=

=0 ×77 – 9 =00 – 9 =07

-0، س 1+ 0س0

-0، س 1+ سأ ق )س( =

+y-2س -y-2س

-y-2س +y-2س

7، س 0أس +

7، س = 3

7، س ب -س

ق)س( =

y1س

-y1س -y1س

+y1س +y1س

y3س

y3س y3س y3س

y3س y3س

كرو ب

ري أبمن

Page 46: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

46

وزاري :سؤال

إذا كان

7الثابتين أ ، ب التي تجعل االقتران ق متصال عند س =فجد قيمة كل من

الحل :

بما أن االقتران متصل فإن :

3( = 7ــــــــاق)س( = ق)ــــــــــــاق)س( = نهــــــــنهـــ

ومنه 3( = 1-ب 1- 0ـــــــا)ســـــــــــــــاق)س( = نهـــــــنهـ

3+ 3ب = 1- ومنه 3= 1 –ب 1 – 7 ومنه 3= 1 –ب 1 – 0(7)

0 -فيكون ب = 1-نقسم على 70ب = 1-ومنه

ومنه : 3+ ب ( = 0أ س0ـــــــــــا)ـــــــــــــاق)س( = نهــــــنهــ

ومنه 3= 0 –أ 0 ومنه 3أ + ب = 0 ومنه 3+ ب = 0(7أ)0

3أ = فيكون 0نقسم على 79أ =0 ومنه 0+ 3أ = 0

سؤال إضافي

إذا كان :

أوجد قيمة )أ( ليكون االقتران ق متصال

الحل :

ــــــاق)س( ـــــــــــــا ق)س( = نهـــــــــنهـــــ : فإن 7ق متصال عند س = ليكون

( 0ـــــــــا)ســـــــ( = نه0 -)أس ــــــــــاـــــــنه

1أ = ومنه 0+ 7أ = ومنه 7= 0 -أ ومنه 0(7)= 0 - 7×أ

: وزاري سؤال

إذا كان :

0فجد قيمة الثابت )أ( التي تجعل االقتران ق متصال عند س =

الحل :

(0يكون االقتران متصأل عندما : نهــــــــــــاق)س( = ق)

7، س + ب 0أ س0

7، س= 3

7، س 1-ب 1- 0س

ق)س( =

+y1س -y1س

+y1س +y1س

-y1س -y1س

7، س 0س

7، س 0 -أس

)س( = ق

-y 1س +y 1س

-y 1س +y 1س

0 ≠، س 7أس +

0، س = 3

ق)س( =

y 2س

كرو ب

ري أبمن

Page 47: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

47

( 0( = ق) 7ـــــــــا)أس + ــــنهـــ

0فيكون أ = 0نقسم على 1أ = 0ومنه 7 – 3أ = 0ومنه 3= 7+ 0× أ

وزاري :سؤال

إذا كان

0ابحث في اتصال ق)س( عندما س =

1= 3 – 0= 3 – 0(0( = )0ق)

1= 3 – 0(= 3- 0ـــــا)ســــــــــــاق)س( = نهــــــــــنهـــ

1= 7+ 0( = 7ـــــــا)س + ـــــــــــــــاق)س( = نهــــــــنهـ

1ـــــــــــاق)س( = ــــــــــــــاق)س( منه نهــــــــــــــاق)س( = نهــــنهـ

0فإن ق)س( متصل عندما س = 1( = 0ـــــــاق)س( = ق)ـــــوبما أن نهــ

وزاري :سؤال س ( - 0 )+0س

9< س، س

9= س، 1 ₌ق)س( إذا كان

9س + ب ، س > - 3

، ب ؟ إذا كان ق متصال عند س = صفر ، فما قيمة كل من الثابتين

1( = 9الحل : ق)

يكون االقتران ق متصال عندما :

ونكتب 1( = 9ـــــــــا ق)س( = ق ) ــــــــــــا ق)س( = نهــــــــــنهـــ

(9ق)ــــــــا ق)س( = ــــــنهـ

ــــــــا ـــــــنهـس ( - 0 )+0س

ــــــــا ــــــــنهـ ( ومنه 9ق) = س (( - 0 )س+)س

(9ق)= س

(9( = ق) - 0نهــــــــــــــــا )س+

=9 +0 - =1 y 0- =1 y =-1

1( = 9+ ب = ق) 9 – 3س +ب ( = - 3ــا ) ـــــــــــــــــا ق)س( = نهــــــــــــــــنهـ

7ب = y 3 – 1ب = y 1+ ب = 3

y 2س

0، س 3 - 0س

0، س 7س +

ق)س( =

-y 3س -y 3س

+y 3س +y 3س

y 3س +y 3س -y 3س

y 3س

+y0س -y0س

+y0س

+y0س

+y0س

+y0س

-y0س -y0س

كرو ب

ري أبمن

Page 48: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

48

صيفية 8102 وزاري سؤال

إذا كان

، فما قيمة كل من الثابتين أ ، ب ؟ 0وكان االقتران ق متصال عندما س =

الحل :

فإن : 0عندما س = االقتران ق متصال بما أن

: ونكتب 7( = 0ـــــــــا ق)س( = ق ) ــــــــــــا ق)س( = نهــــــــــنهـــ

( 0= ق) ــــــا ق)س(ـــــــــنهـــ

0-أ = y 0 – 7أ = y 7+ أ = y 0( 0) س + أ ( = ق )ــــــا ـــــــــنهـــ

(0= ق) ــــــا ق)س(ـــــــــنهـــكذلك

7= + ب أ0+ 0(0) ( ومنه 0+ ب ( = ق) س +أ 0س) ــــــا ـــــــــنهـــ

0-ب = y 0- 7ب = y 7+ ب = y 0 – 1 7+ ب = 0-× 0+ 0ومنه

53صفحة حل األسئلة على الشكل الذي يمثل منحنى االقتران ق المعرف اعتمادا (1

س قيم حدد ، الحقيقية األعداد مجموعة على

: متصل غير عندها ق االقتران يكون التي

: عندما متصل غير ق االقتران يكون: الحل

0= س ، 7= س

إذا كان : (2

7فابحث اتصال االقتران ق عندما س =

0= 7×0( = 7)ق

= صفر 7 – 0(7( = )7- 0ســــا)ــــــــــاق)س( = نهــــــــــــنهــــ

0= 7× 0س = 0ـا ــــنهــــــــــ= ــــــــاق)س( ــــــنهـ

7ــــــــاق)س( فإن ق)س( غيرمتصل عندما س= ــــــنه ـــــــاق)س(ـــــــنهـ أن بما

7، س 7- 0س

7، س س 0 ق )س( =

-y1س -y1س

+y1س +y1س

+y1س -y1س

0، سس + أ

0، س= 7

0، س + ب س +أ 0س

ق)س( =

+y3س -y3س

-y3س

-y3س

+y3س

+y3س

كرو ب

ري أبمن

Page 49: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

49

كان إذا (3

₌ق)س(

3

7س + 7≠ س،

0 ، س = 7

7فابحث اتصال االقتران هــ عندما س =

0( = 7الحل: ق)

فإننا نعوض بها دائما وال نوجد النهاية من اليمين واليسار ≠ ( عند وجود إشارة )

ـــــا ــــــــــــــا ق ) س ( = نهـــــــــنهـ3

7س + =

3

7 +7 =

3

0

Е (7ق)≠ ــــــا ق ) س ( ـــــــنهــاالقتران غير متصل ألن

إذا علمت أن : (4

7-س = ب( ، 7أ( س = فابحث اتصال االقتران ق عندما :

الحل :

7عندما س = (أ

1= 0+ 7= 0+ 0(7)( = 7ق) (7

1= 7 - 3= ( س - 3ـا)ــــــــــــــــاق)س( = نهـــــــــــــــــنهـ (0

1= 0+ 7= 0+ 0(7( = )0+ 0ــــــــــا)ســـــــــــــــــاق)س( = نهـــــــنه (0

1( = 7)قـاق)س( = ــــــــــــــــاق)س( = نهــــــــــــــبما أن نه (1

7فإن االقتران متصل عندما س =

7-عندما س = (ب

1= 7 - - 3( = 7-ق) (7

1= 0+ 7= 0+ 0(7-( = )0+ 0ــــــــا)ســـــــــــــاق)س( = نهـــــــنهـــ (0

7-( إذن ق)س( غير متصل عندما س = 7-ق) اق)س( ـــــــبما أن نهـــــــــ (0

إذا كان : (0

، فجد قيمة الثابت م 0وكان االقتران متصال عندما س =

(0ــاق)س( = ق) ــــــ، فإن نهــــــــ 0الحل : بما أن ق)س( متصال عندما س =

y1س y1س

y1س

-7، س 0+ 0س

7س 7-، س - 3

7، س 0+0س

ق)س( =

-y1س -y1س

+y1س +y1س

+y1س -y1س

-y-1س -y-1س

-y -1س

س - 0

0-س 0، س

0، س= 0م س +

ق)س( =

y 3س

كرو ب

ري أبمن

Page 50: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

51

ــــــــا)ـــــــنهـ س - 0

0-س 0م + 0= (

0-= 0-7-م = 0ومنه 0م +0= 7-ومنه 0م +0= 7-ــــــا ــــــنهــــ

7-فيكون م = 0نقسم على 0-م = 0

إذا كان : (6

، فجد كل من الثابتين : أ ، ب 0وكان االقتران هـ متصال عندما س =

( 0) ـــــــــاهـ )س( = هــــــفإن : نهــ 0الحل : بما أن االقتران هـ متصال عندما س =

9= ــــا)س + أ( ـــــــ( ومنه نهــــــ0) ــــــاهـ )س( = هـــــــنهـــــ

1أي أ = 1= 0 – 9ومنه أ = 9+ أ = 0

9= (1ب س + ــــــــــا)ـــــ( ومنه نهـ0) ـــــــــاهـ )س( = هــــــــنهـ

7فيكون ب = 0نقسم على 0= 1 – 9ب = 0ومنه 9= 1ب + 0

: كان إذا (7

، فجد كل من الثابتين : أ ، ب 7وكان االقتران هـ متصال عندما س =

( 7ــــا ل)س( = ل)ـــــفإن : نهـــــــ 7الحل : بما أن االقتران هـ متصال عندما س =

(7ل)ب( = -ـــــــــا)أس ـــــــ( ومنه نهـ7ــــــــــا ل )س( = ل)ــــــــنهـ

( 7…………… ) 1ب = -أ

(7ل)(= 0+ ب + 0ــــــــــا)أســــــ( ومنه نهـ7ـــــا ل)س( = ل)ــــــنهـــــ

(0…………) 0ومنه أ + ب = 0 – 1أ + ب = ومنه 1= 0أ + ب +

( ينتج :0( و)7بجمع )

( فينتج : 0نعوض في ) 0فيكون أ = 0نقسم على 1أ = 0

7-ومنه ب = 0- 0ومنه ب = 0+ ب = 0

( ؟0فما قيمة ق)، 1ق)س( + س =0ـــــــا ــــــ، وكانت نهـــ 0إذا كان ق متصال عندما س = (8

1 س = ــــــــــاــــــنه ـــــا ق)س( +ـــــــنهـــ y 0 1س = ق)س( +0ــــا ــــــــــــــنه

1= 0ـــــــا ق)س( +ــــــــنه0

0ا أن االقتران ق متصال عند س = ، وبم 0ــــا ق)س( = ــــــــــنهــ y 1ـــــا ق)س( = ـــــــنهــ0

0ـــــا ق)س( = ـــــــــنهــ( = 0ق)

y 3س

y 3س

-0

0+ أ ، س س

0، س = 9

0، س 1ب س +

ق)س( =

y 2س

-y 2س -y 2س

+y 2س +y 2س

7، س ب -أس

7، س = 1

7، س 0+ ب + 0أس

ل)س( =

-y 1س -y 1س

+y 1س +y 1س

y2س y2س

y2س y2س

y2س

y2س

y2س

y2س

y 1س

كرو ب

ري أبمن

Page 51: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

50

3 اختبر نفسك إذا كان : (7

7عندما س = ابحث في اتصال االقتران ق

إذا كان : (0

فما قيمة الثابت أ ؟ ،0-وكان ق متصال عند س =

7-فابحث في اتصال ل عند س = إذا كان : (0

إذا كان : (1

فما قيمة الثابت ل التي تجعل ق متصال

7، س 0س

7، س 7س+ 0 ق )س( =

-0، س 3+ 0س

-0، س 7أ س+ ق )س( =

-7، س 3+ س

0س 7-، س 0 - 0

0 >، س 1 -0س

ق)س( =

0، س 3+ 0س

0، س ل ق )س( =

كرو ب

ري أبمن

Page 52: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

52

نظريات االتصال إذا كان االقترانان ق ، هـ متصلين عندما س = أ فإن :

( هـ ± ق )متصل عندما س = أ ()س

( هـ× ق )متصل عندما س = أ ()س

أ ≠ متصل عندما س = أ ، إذا كان هــ ()س( هــ

بمختصر العبارة مجموع أو فرق أو جداء أو قسمة اقترانين متصلين عند نقطة هو اقتران متصل عند نفس النقطة

55صفحة 1 مثال الكتاب إذا كان :

9هـ( )س( ، فابحث اتصال االقتران ل عندما س = × وكان ل)س( = )ق

9عند ما س = الحل :

9ق اقتران كثير حدود متصل لكل قيم س ، لذا فهو متصل عندما س = (7

9نبحث اتصال االقتران هـ عندما س = (0

9= 9× 3( = 9هــ)

9= 9×3س( = 3ــــــــا)ـــــــــــــــاهـ)س( = نهـــــــــنهـ

9= 0(9= ) 0ــــــــــاســـــــــــــاهـ)س( = نهــــــنهــ

ــــــاهـ )س( = صفرا ــــــــاهـ )س( ، فإن نهـــــــــــــــــاهـ )س( = نهــــــــــــــبما أن نهـ

9( = 9) ـــــــاهـ )س( = هــــــــوكذلك نهـ

= 9هـ)س( اقتران متصل عندما س

9، ألنه حاصل ضرب اقترانين متصلين عندما س= 9االقتران ل متصل عندما س = (0

1 تدريب الكتاب 31صفحة

0+ 0إذا كان ق )س( = س

،

0عندما س = )س(هـ ( ×فابحث اتصال م )س ( = )ق

الحل :

0ق اقتران كثير حدود متصل لكل قيم س ، لذا فهو متصل عندما س = (7

0نبحث اتصال االقتران هـ عندما س = (0

0 = 7- 0( = 0هــ)

0=7- 0( = 7 -ـــــــا)س ــــــــــاهـ)س( = نهـــــــــنهــــ

0 = 0-3س( = – 3ــــــا)ـــــــــــاهـ)س( = نهـــــــــــنهـــ

0ـــــــاهـ )س( = ــــــــــــاهـ )س( ، فإن نهـــــــــــــاهـ )س( = نهــــــــبما أن نهـ

9س ، س3

9، س 0س )س( = هـ

-y0س -y0س

+y0س +y0س

y0س +y0س -y0س

y0س

-y3س -y3س

+y3س +y3س

y3س +y3س -y3س

ثانيا

0، س 7 -س

0، س س - 3 )س( = هـ

س ،3+ 0س )س( =ق

كرو ب

ري أبمن

Page 53: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

53

0( = 0) ـــــــاهـ )س( = هـــــــوكذلك نهـ

= 0هـ)س( اقتران متصل عندما س

0، ألنه حاصل ضرب اقترانين متصلين عندما س= 0االقتران م)س( متصل عندما س = (0

25صفحة 2 مثال الكتاب

73+ 0إذا كان ق )س( = س

،

3هـ ()س( عندما س = -فابحث اتصال االقتران م )س ( = )ق

الحل :

3باستخدام نظريات االتصال ، نبحث اتصال كل من االقترانين ق ، هـ عندما س =

ألنه اقتران كثير حدود 3ق)س( متصل عندما س = (7

73= 3×0( = 3هـ ) (0

03= 0ــــــــاســـــــــاهـ)س( = نهـــــــنهـــــ

73س = 0ـــــــــاــــــنهـــــــاهـ )س( = ــــــنهــ

ــــــــــاهـ)س( غير موجودةـــــــــــاهـ)س( فإن نهـــــــنهــ ـــــــاهـ)س(ـــــبما أن نهـ

هـ()س( –يجاد م)س( = )ق إلذلك سنقوم ب 3عندما س = أن هـ)س( غير متصلهذا يعني

إذا كان

3نبحث اتصال م)س( عندما س =

03= 73+ 73- 03= 73+ 3×0- 0(3)( = 3م)

03= 73+ 3×0- 0(3)ـــــــام)س( = ـــــ، نهــ 73ــــــام)س( = ــــــــنهـ

3ــــــــام)س( غير موجودة ، لهذا فإن م غير متصل عندما س = ــــنهـ

2 تدريب الكتاب30صفحة

0+ 2ق )س( = س إذا كان

،

7-هـ)س( عندما س = × اتصال االقتران م)س( = ق)س( فابحث

7-نبحث اتصال م)س( عندما س =

10( = 1+ 0(7-()) 3+ 0(7-( = ))7-م) (7

10(=1+ 0(7-())3+ 0(7-))( =1+ 0()س3+0)ســــــــاــــــــــــــام)س( = نهــــــنه (0

071(=7 - -03()3+0(7-س(= )) – 03()3+0)ســـــــاــــــــــــــام)س(= نهـــــــنهـ

y3س

-y0س -y0س

+y0س +y0س

y0س +y0س -y0س

+y0س -y0س

y0س

-y-1س -y-1س

+y-1س +y-1س

3، س 73

3، س 73س +0- 0س )س( = م

-7، س 1+ 0س

-7، س س - 03 )س( = هـ

(1+ 0()س3+0)س

7-≥ س،

7-< س، س( – 03()3+0)س

3، س 0س

3، س س0 )س( = هـ

₌ هـ)س( × م)س( = ق )س(

مالحظة :

بناءا على ، تم تعديل اإلشارات :

على تصويبات وزارة التربية

كرو ب

ري أبمن

Page 54: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

54

7-ـــــــام)س( فإن م)س( غير متصل عندما س = ـــــنهــ ــــــــام)س( ـــــبما أن نهــ

03صفحة 3 مثال الكتاب

مما يأتي غير متصل : جد قيم س)إن وجدت( التي يكون عندها كل اقتران

7س + 3+ 0ق)س( = س (7

ق اقتران كثير حدود متصل لقيم س جميعها ، لذا ال يوجد له نقاط عدم اتصال

هـ)س( = (07 - 0س

0 -س

هـ اقتران نسبي متصل لقيم س جميعها باستثناء أصفار مقامه ، لذا نجد أصفار مقامه :

0ومنه س = 9= 0 –س

= 0هـ غير متصل عندما س

ل)س( = (0س3

7 - 0س

7-، 7ومنه س = 7= 0ومنه س 9= 7 – 0ل اقتران نسبي ومنه س

= 7-، س= 7ل غير متصل عندما س

3تدريب الكتاب 19صفحة

متصل : جد قيم س)إن وجدت( التي يكون عندها كل اقتران مما يأتي غير

وهو اقتران كثير حدود متصل لجميع قيم س 9س + 0- 0ق)س( = س (7

هـ )س( = (07-س

1س +3+ 0س اقتران نسبي متصل لجميع قيم س ما عدا أصفار المقام لذا نوجد أصفار مقامه :

0- ، س = 0- س= y( = صفر 0()س+0)س+ y= صفر 1س +3+ 0س

0-أو س = 0-)س( غير متصل عندما س = هـ

ل)س( = (0س - 3

7 - 0س

7ل غير متصل عندما س = ، 7ومنه س = 7= 0ومنه س 9= 7 – 0ل اقتران نسبي ومنه س

وزاري :سؤال

، 1+ 0إذا كان هـ )س( = س

0ل ) س ( فابحث في اتصال االقتران ق)س( عند س = –)س( وكان ق)س( = هـ

الحل :

ألنه اقتران كثير حدود 0هـ)س( متصل عند س =

79= 0 – 70( = 0) – 0(0)0( = 0ل)

79= 0 – 70( = 0) – 0(0)0س( = – 0س0ــــــــا)ــــــــــــــا ل)س( = نهـــــنهـ

79= 9+ 0( = 9ا)س + ـــــــا ل)س( = نهــــــــــــــــنهـــــــــ

79ــــــا ل)س( = ـــــا ل)س( ومنه نهــــــــــــال)س( = نهــــــــــــــــنهـــــــــ

-y-1س +y-1س

-y2س -y2س

+y2س +y2س

y2س +y2س -y2س

س - 0س0 0≥ س،

0س < ، 9س +

)س( = ل

كرو ب

ري أبمن

Page 55: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

55

0( فإن ل)س( متصل عندما س = 0ــــــــا ل)س( = ل)ـــــبما أن نهـ

ومنه ق)س( متصل ألنه حاصل طرح اقترانين متصلين

طريقة ثانية لحل التمرين :

₌ل)س( –ق )س(= هـ)س(

₌ق )س(

= صفر 9+ 9-= 1+ 0+ 0( 0)0-( = 0ق)

= صفر 9+ 9-= 1+ 0+ 0( 0)0-( = 1+س + 0س0-نهـــــــــــــا ق)س( = نهـــــــــــــا )

س) نهـــــــــــــا ق)س( = نهـــــــــــــا = صفر 0 – 0 – 0(0( = )0 –س – 0

( = صفر0بما أن نهـــــــــــــا ق)س( = نهـــــــــــــا ق)س( = ق )

Е 2س = متصل عند النقطةق)س( االقتران

وزاري :سؤال

71-هــ)س((=1 –نهـــــــــــــا)ق)س( ، 1(=0وكان ق) 0، هـ اقترانين متصلين عند س = إذا كان ق

فأجب عن كل مما يأتي :

(0جد قيمة هــ) -7

جد قيمة الثابت ل التي تجعل نهــــــــــــــا -0ل - 0((س)ق)

(س)هــ =1

الحل :

(0ــاهــ)س( = هـــ)ــــوكذلك نهـــــ 1(=0ـــاق)س( = ق)ـــفإن نهـــــ 0ق ،هــــ متصلين عند س = أن بما (7

بالتعويض 71y-ــــــا هــ)س( = ــــنهــ1 -ــــا ق)س( ــــهــ)س((= نهـــــ1 –ـــا)ق)س( ـــــنهــــــ

ــاهــ)س( = ـــــــنهــــ y 71-ـا هــ)س( = ـــــــــنهــ1 – 1 1+71

1 =3 y (0هــ) 3ـــــا هـ)س( = ــــ= نهــ

نهــــــــــــــا (0ل - 0((س)ق)

(س)هــ =

ل - 0((س)نهــــــــــــــاق)

(س)نهـــــــــــــاهــ =

ل - 0(1)

3 =1

16ل = y 20 – 36ل = y 09ل = – y 01 09ل = -0(1)ومنه

+y2س

-y2س

-y2س

-y2س

+y2س +y2س

y2س

y2س

y2س y2س

y2س y2س y2س

y2س

y2س

y2س

y2س y2س

y2س

0≥ ، س (س – 0س0) -( 1+ 0)س

0، س < (9س + ) -( 1+ 0)س

0≥ س، 1+ س + 0س0-

0 -س – 0س 0< س،

y2س

كرو ب

ري أبمن

Page 56: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

56

وزاري :سؤال

، 0 – 0ق)س( = س إذا كان :

0هـ)س( ، فبين أن ل)س( متصل عند س = × وكان ل)س( = ق)س(

الحل :

( = صفر 0ل)

( = صفر 0 – 0)0(( = 0 – 0نهـــــــــــال)س( = نهـــــــــــا)س)س

( = صفر 0 – 0) 0-(( = 0 – 0س)س -نهـــــــــــــال)س( = نهــــــــــــــا )

ال)س( = صفر ــــنهــــــــــــ ⸫

( = صفر 0)لال)س( = ــــوبما أن نهــــــــــ

0ل)س( متصل عندما س = ⸫

وزاري :سؤال

ـــــــا ـــــ، نهـــ 1( = 3) ، وكان هـ 3إذا كان ق ، هـ اقترانين متصلين عند س =+ س (س)ق

(س)هــ0 ( 3فجد ق) 7=

1( = 3ــــاهـ)س( = هـ)ــــ( ، نهـــــ3ــــاق)س( = ق)ــبما أن ق ، هـ متصلين فإن : نهـــــــ

ــــــا ـــــــنهــــ+ س (س)ق

(س)هــ0 ومنه 7=

ـــــاســـــ+ نهــــ (س)ــــا قـــــــنهــــ

(س)ـــــــاهـــــــنهــ0 =7

3+ (3)ق

0 ×1 3( = 3ومنه ق) 3- 70( = 3ومنه ق) 70= 3( +3ومنه ق) 7=

وزاري :سؤال

، 0س - 1هـ)س( = إذا كان :

0ل)س( ، فابحث في اتصال االقتران ق)س( عند س = × وكان ق)س( =هـ)س(

الحل :

ألنه كثير حدود 0االقتران هـ)س( متصل عند س =

79= 7+ 0= 7+ 0(0( = )0ل)

79= 0 – 0×1( = 0-س 1ـــــــــا)ـــــــــــــــال)س( = نهــــــــنهــ

79= 7+ 0( = 7+ 0ســـــــــا)ــــــــــــــال)س( = نهـــــــــنهــ

0س ، س

0صفر ، س =

0 >س ، س -

هـ)س( =

0، س (0 – 0س)س

0، س = صفر

0 >، س ( 0 – 0س)س -

ل )س( =

-y 3س -y 3س

+y 3س +y 3س

y 3س

y 3س

y 0س

y 0س

y 0س

0، س 0 -س 1

0 ، س 7+ 0س

ل)س( =

-y 3س -y 3س

+y 3س +y 3س

y 0س

y 0س y 0س

y 0س

كرو ب

ري أبمن

Page 57: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

57

79ــــــــال)س( = ــــــــــــــال)س( ومنه نهــــــــــــــــــال)س( = نهــــــنهـ

0( فإن ل)س( متصل عند س =0ـــــــــال)س(= ل)ـــــــوبما أن نهـ

ق)س( متصل ألنه حاصل ضرب اقترانين متصلين ⸫

وزاري :سؤال

إذا كان ق)س( = س0 - 1

79-س 0+ 0س جد قيم س التي تجعل ق)س( غير متصل

الحل :

القيم التي تجعل ق)س( غير متصل هي أصفار المقام :

9( = 0 –()س 3ومنه )س + 9= 79 –س 0+ 0س

0، س = 3-ومنه قيم س هي : س =

وزاري :سؤال

إذا كان ق)س( = 0 -س

1س + 1- 0س فإن قيمة س التي تجعل ق)س( غير متصل هي :

0د( 0-ج( 0ب( 1- (أ

الحل :

9= 1س + 1 – 0س

0ومنه س = 9= 0-ومنه س 9= 0(0 –)س

وزاري :سؤال

إذا كان ق)س( = س

(0 -س )(7س + ) فإن قيم س التي تجعل ق)س( غير متصل هي :

9د( 0-، 7ج( 0، 7-، 9ب( 0، 7- (أ

0، 7-الحل : قيم س =

إضافي سؤال

معتمدا الشكل المجاور الذي يمثل منحنى االقتران ق ،

ما مجموعة قيم س التي يكون عندها منحنى ق غير متصل

الحل :

} 0، 7 {مجموعة قيم س هي :

y 3س

-y 3س +y 3س y 3س

-7

7

0

0

7 0 0

ق

ص

س1

1

-0-0-1-7

-0

كرو ب

ري أبمن

Page 58: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

58

شتوية 8102 وزاريسؤال

إذا كان : (7

س ،0ق)س( =

0وكان ل)س( = )ق + هـ()س( ، فابحث في اتصال االقتران ل عندما س =

الحل :

77= 0 – 71= 0 – 0×3( = 0ل)

0= 1+ 7+ 1= 0×0+ 7+ 0(0س( = )0+ 7+ 0ســــــــــا)ـــــــــــــــال)س( = نهـــــــنهــ

77= 0 – 0×3( = 0 –س 3ــــــــــا)ـــــــال)س( = نهــــــــنهـــــــــ

ة دـــــــــال)س( غير موجوـــــــــــــــال)س( فإن نهـــــــنهــ≠ ـــــــــال)س( ـــــــبما أن نه

ـــــــال)س( غير موجودة ــــــل)س( غير متصل ألن نهـ ⸫

إذا كان ق)س( = (0 (1-س )س

(7 -س )(0س + ) فإن مجموعة قيم س التي تجعل ق)س( غير متصل هي :

} 0، 7-{د( }7، 0-{ج( } 7-، 0-{ب( } 1، 9{ (أ

الحل :

} 7، 0-{ومنه مجموعة قيم س هي : 9( = 7 –()س 0)س +

0، س 7+ 0س

0، س 0 -س 3 هـ)س( =

0س ، س0+ 7+ 0س

0س ، س 0+ 0 –س 3 ل)س( =

0س ، س0+ 7+ 0س

0، س 0 –س 3 ل)س( =

-y 2س

y 2س

y 2س

-y 2س

+y 2س +y 2س

+y 2س -y 2س

كرو ب

ري أبمن

Page 59: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

59

حل األسئلة 61صفحة

، 7 –س 3+0س3إذا كان ق)س( = (1

0حث اتصال االقتران ل عندما س = بق)س( + هـ)س( ، فا0وكان ل)س( =

0نبحث اتصال االقتران ل)س( عندما س =

10= (0+ 0) + (7 – (0)3+0(0)3)0( = 0)ل -

(0(+) س + 7 –س 3+0س3)0ــــــــاــــــ)س( = نهـــــا لـــــنهــــــ -

= 0(3(0)0+3(0) – 7) + (0 +0 =)10

(7س + 3(+) 7 –س 3+0س3)0ــــــــاــــــــ)س( = نهـا لـــــنهـــــــــ -

=0(3(0)0+3(0) – 7 (+)3(0) +7 )= 10

10)س( = ــــــــا لـــــــنهـ )س( فإنـــــــا لــــــــــــــا ل)س( = نهــــــــنهــ بما أن -

0)س( متصل عندما س = ل فإن 10= (0)ـــــــا ل)س( = لـــــــنهــ وبما أن

، 1+ 0س3إذا كان ق)س( = (2

9هـ()س( ، فايحث اتصال االقتران ل عندما س = ×وكان ل)س( = )ق

ألن ق اقتران كثير حدود 9ق)س( متصل عندما س = (7

1= 0(9) – 1( = 9هـ) (0

1= 1+ 9( = 1ــــــــا)س + ــــــــــــــاهـ)س( = نهـــــــنهـــ

1= 0(9) – 1( = 0س – 1ــــــــا)ــــــــاهـ)س( = نهــــــــنهــــــــ

1ـاهـ)س( = ــــــــــاهـ)س( فإن نهــــــــــــــــاهـ)س( = نهــــــــــــــــبما أن نهــــــــ

9فإن هـ)س( متصل عندما س = 1( = 9ـاهـ)س( = هـ)ــــوبما أن نهــــــــ

هـ ، اقترانين متصلين ق ضرباالقتران ل)س( متصل ألنه حاصل

هـ )س( = إذا كان : (30 -س

03 - 0س

3هـ()س( عندما س = ×فابحث اتصال )ق

وذلك ألنها من أصفار المقام لذلك ال يمكن تطبيق نظريات االتصال 3ن هـ )س( غير متصل عندما س = إ

هـ()س( :×)قلذلك نوجد

0، س 0س +

0، س 7س + 3 هـ )س( =

-y2س -y2س

+y2س +y2س

y2س +y2س -y2س

y2س

9، س 1س +

9، س 0س – 1 هـ )س( =

0، س ( 0(+) س + 7 –س 3+0س3)0

0( ، س7س + 3(+) 7 –س 3+0س3)0 ق)س( + هـ)س( = 0ل)س( =

-y0س -y0س

+y0س +y0س

y0س +y0س -y0س

y0س

0، س س - 0

0، س 0 -س )س( = ق

كرو ب

ري أبمن

Page 60: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

61

3هـ()س( عندما س =×نبحث اتصال )ق

(= 3هـ()×)ق ( 3 - 0)

(3+3) =

هـ()س( = ×ــــا)قـــــــنهــ -( 3 - 0)

(3+3) =-

هـ()س( = ×ــــا)قـــــــنهــ ( 3 - 0)

(3+3) =

هـ()س( ×ــــــــا)قـــــــنهـ هـ()س( ×ـــــــا)قـــــــنهـ

3هـ غير متصل عند س = × ق

س = أ ؟ إذا كان )ق+هـ()س( متصال عندما س = أ ، فهل نستنتج أن كال من ق ، هـ متصل عندما (4

الحل : إذا كان )ق+ هـ( متصال فال يشترط أن يكون كال من ق ، هـ متصال وهناك أمثلة كثيرة على ذلك

يأتي متصال :جد قيم س التي يكون عندها كل اقتران مما (5

وهو اقتران كثير حدود متصل لجميع قيم س والتوجد قيم ال يكون 7+ 0س( = س)ق (أ

متصل غير عندها االقتران

هـ )س( = (ب0-س

1س +3- 0س اقتران نسبي متصل لجميع قيم س ما عدا أصفار المقام لذا نوجد أصفار مقامه :

0، س = 0س= y( = صفر 0-()س0-)س y = صفر 1س +3 – 0س

0أو س = 0هـ)س( غير متصل عندما س = ⸫

ل)س( = (ج0س+

7- 0س +

3

س هذا اقتران نسبي متصل لجميع قيم س ما عدا أصفار المقام

نوجد أصفار مقامه :

7± س = y= صفر 7- 0من الكسر األول نجد : س

ومن الكسر الثاني نجد س = صفر س = صفر و 7±ل)س( غير متصل عندما س = ⸫

0 -س )

(3س+)(3-س) 3، س س( – 3()

0 -س

(3س+)(3-س) 3، س (3 –)س

هـ()س( = ×)ق

-0

(0 -س )-

(3س+) 3، س

(0 -س )

(3س+) 3، س

هـ()س( = ×)ق

-y0س

+y0س

-y0س +y0س

كرو ب

ري أبمن

Page 61: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

60

77= 0+ 9= 0+ 0(0( = ) 0+ 0ســـــــــا)ــــــــــام)س( = نهــــــــنهـــــ

1= 0 - 1س ( = - 1ـــــــا)ـــــــــــــام)س( = نهــــــــــنهـ

0ــــــــام)س( فإن م)س( غير متصل عندما س = ــــــنهـ ـــــــام)س( ـــــبما ان نهــ

، هـ)س( = 0إذا كان ق)س( = س + (20-س

0 - 0س

0هـ)س( ، فابحث اتصال ل عندما س = × ل)س( = ق)س(

ألنه كثير حدود 0ق)س( اقتران متصل عند س = الحل :

0، 0-ومنه س = 0= 0ومنه س 9= 0 – 0هـ)س( غير متصل عند أصفار المقام وهي س

= 0عند س = وبالتالي ل)س( غير متصل 0هـ)س( غير متصل عندما س

2، س 3+ 3س

2، س س - 6 )س( = م

-y2س -y2س

+y2س +y2س

-y2س +y2س

كرو ب

ري أبمن

Page 62: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

62

4 اختبر نفسك

كان ق)س( = إذا (77-س

0 -س عدم االتصال لالقتران ق)س( هي ، فإن مجموعة نقط

}0-{د( } 0-، 7- {ج( }0 {ب( }0، 7{ (أ

إذا كان : (0

ل)س( = س ،

0وكان هـ)س( = ق)س( + ل)س( ، فبين أن هـ)س( متصل عند س =

إذا كان ق)س( = (00س

(3س + )(7 -س ) فإن جميع قيم س التي تجعل ق)س( غير متصل هي :

7، 3-، 9د( 3، 7-، 9ج( 7، 3-ب( 3، 7- (أ

إذا كان : (1

، 7-س 0ق)س( =

0هـ)س( عند س = × فابحث في اتصال ق)س(

( 0فإن هـ )، 17هـ)س(( = 1ــــــا)ق)س( +ــــــ، نهــ 3( =0إذا كان ق ، هـ اقترانين متصلين وكان ق) (3

79د( 00جـ ( 0ب( 19 (أ

إذا كان : (1

س ،0+ 3ق)س( =

0 فابحث في اتصال ل)س( = ق)س( + هـ)س( عند س =

0 <، س 7س+ 1

0، س 3+ 0س

هـ)س( =

y 2س

0 ≤، س 3 - 0س

0 >، س 7س +

هـ)س( =

0، س 7+ 0س

0 <، س 3 ق)س( =

كرو ب

ري أبمن

Page 63: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

63

23صفحة الوحدة حل األسئلة

على الشكل الذي يمثل منحنى االقتران ق ، جد قيمة كل مما ادا اعتم (1

يأتي :

(0ق) (أ

ـــاق)س(ــــــــــنهـــــ (ب

ـــــــاق)س(ـــــــــنهـ (ج

قيم س التي يكون عندها منحنى االقتران ق غير متصل (د

( 0+ س – 0ــــــا))ق)س((ـــــــهـ( نهــ

الحل :

-( = 0ق) (أ0

0 =-7.3

0ــــــاق)س( = ــنهـــــــ y 0ــــــــــاق)س( = ـــــــنهـ، 0ــــــاق)س( = ـــــــنهــــ (ب

ـــــــــــاق)س( غير موجودةـــــنهـ y 0= ــــــــاق)س(ــــــنهـــ ، 0-ــــــــاق)س( = ــــــنهــ (ج

بسبب وجود قفزة 2=س قيماالقتران يكون غير متصل عند (د

ـــــــا))ق)س((ـــــــهـ ( نهـ 0ـــــــاق)س((ــــــ= )نهـ ( 0 س+ -

0 ـــــــــــاــــــنه –

0س +

=ـــــــــاق)س( ـــــنهــ من الشكل نالحظ أن : لكن 7

0 y نعوض

= ) 0ـــــــــــا س +ـــــنه – 0ـــــــاق)س((ــــــ)نهـ 7

0 )0 – 9 +0 =

7

1 +0 =

0

1

، فجد قيمة كل مما يأتي : 0-ـــــــاهـ)س(=ــــــ، نهــ 00=0+ 0ــــا)ق)س((ـــــــــإذا كانت نهــــ (2

هـ)س((×ـــــا)ق)س(ــــــ)س(+س( ب( نهــــ هـ0ــــا)ق)س(+ـــــــنهــــ (أ

الحل :

03= 0- 00= 0ــــــا)ق)س((ـــــــنهــ y 00=0+ 0ـــــــا)ق)س((ـــــــنهـ : نوجد أوال (أ

y 0ــاق)س( = ــــــنهــــــــــ

ـــــــاس ــــــــــــــاهـ)س( + نهـــــنهــ0ـــــــاق)س(+ـــــس( = نهـــ هـ)س(+0ــــــا)ق)س(+ـــــــنهــ

=0 +0×-0 +7 =0-1+7 =-0

ـــــــاهــ)س(ـــــنهـــــ× ـــــــاق)س( ـــــهـ)س(( = نهــ×ــــــــا)ق)س(ـــــنهـ (ب

=0 ×-0 =-0

y-1س

y2س

y0س

-y2س

y-1س +y-1س

y2س +y2س

y0س y0س y0س

y0س

y0س y0س

y1س y1س

y1س y1س

y1س y1س

y1س

y1س y1س y1س y1س

y1س y1س y1س

-y-1س

كرو ب

ري أبمن

Page 64: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

64

3)

إذا كان

؟ 7فجد قيمة كل من الثابتين أ ، ب التي تجعل االقتران ق متصال عند س =

الحل :

3( =7ق)

3( = 7ــــــــا ق)س( = ق ) ـــــــــــــا ق)س( = نهــــــــــنهـــ

(7… )3ب = أ +y 0 3+ ب = 0(7أ )y 0 (7ق)=( + ب 0أ س0ـــا )ــــــــــــا ق)س( = نهـــــــــنهــــــــ

3= 1 –ب y (7)0 -1( 7ق) ( =1-ب 1- 0س)ـــــــا ــــــــــــــــا ق)س( = نهــــــــــنهـ

3-ب = y 70-ب = y 1 3 - 3-ب = y 1 3= 1-ب 1- 7

3أ = y 79أ = y 0 3= 0-أ y 0 3( = 0-أ + )0( فنجد 7نعوض ب في )

جد قيمة النهاية )إن وجدت ( في كل مما يأتي عند قيم س المبينة إزاء كل منها : (4

= ب(هـ)س(س3-0س

y3، س

ــــــــاــــــــــــــاهـ)س( = نهــــــــــنهــس3-0س

=

صفر

صفر غير مقبول نحلل

ــــــا ــــــ= نهــــــ ( 3 -س )س

( 3 -س )0 ـــــــــا ـــــ= نهــ

س

0 =

3

0

جـ( ل)س( = 7س +0 - 0س

y 7، س

ـــــــــا ــــــــــــــا ل)س(= نهــــــــنهــــ 7س +0 - 0س

=

(7)0-0(7) +7

07 - 0(7) =

صفر

0 = صفر

د( م)س( = 03 - 0س

0 -س y 0، س

ــــــام)س( = ـــــنهـــــ صفر

صفر غير مقبول لذلك نحلل إلى العوامل

ــــــا ــــــــنهـــ 03 - 0س

0 -س = نهــــــــا

(0س + 0+0س)(0-س)

0 -س (0س + 0+ 0ـــــا)ســــــ= نهـــــ

( =0)0 +0×0 +0 =03

y 1س عندما ——————)س( = ك( هـ

)س( = ك ــــــاــــــــنهـــــ صفر

صفر ير مقبول لذلك نوحد المقامات غ

y0س y0س

y0س y0س

y1س y1س

7

0-س -

7

0

9 -س 0

y4س

-y1س

+y1س

-y1س

-y1س

+y1س +y1س

y3س

y3س y3س

7، س + ب 0أ س0

7، س = 3

7 > ، س 1-ب 1- 0س

)س( = ق

79- س0

79- س0

س0 - 70

كر س0 - 70و ب

ري أبمن

Page 65: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

65

ــــــاـــــ= نهـــــ ——————ــــــا ـــــ)س( = نهــــــكـــــا ـــــــنهـــــ (0-س)- 0

(9-س0)(0-س)0

ـــــــاــــــنهــــ= 0+س - 0

(9-س0)(0-س)0 ــــاـــــــنهـــــــ=

س -1

(1-س )(0-س)1

ـــــاــــــنهــــــ= -7

(0-س)1 =

-7

1(1-0) =

-7

9

و ( د)س( = 0+3- 1س

10 - 0س y 3س عندما

ــــا د)س( = ــــــنهــــــــ 0(3)+1 -3

(3)0 - 10 =

صفر

صفر غير مقبول لذلك نضرب ونقسم على مرافق البسط

ــــا ـــــــنهــــــــ = 0+3- 1س

10 - 0س ×

0+3+ 1س

0+3+ 1س ــــــــاــــــ= نهـــ

03- 1س+0

(3+ 1س+0 )( 10 - 0س) =

ـــــــــــاـــــــنهـ 07-س0

(3+ 1س+0 )(3س+)(3-س) ــــــــاـــــــــنهـــ =

(3-س)0

(3+ 1س+0 )(3س+)(3-س)

ـــــــــاــــــ= نهــ0

(3+ 1س+0 )(3س+) =

0

(3+3)( 0(3)+1 +3) =

0

71×79 =

0

719

س3+ 0إذا كان ق)س( = س (5

،

7، فابحث اتصال االقتران ل عندما س= وكان ل)س(= )ق+هـ()س(

الحل :

ألنه اقتران كثير حدود 7ق)س( متصل عندما س =

0= 1+ 7×3( = 7) هـ

0= 1+ 7×3( = 1س + 3ـــــا)ـــــــــــــــاهـ)س( = نهــــــــــنهــ

0= 7+ 9(= 0+ س 9ــــــــا)ــــــــــــــاهـ)س( = نهـــــــــنهــ

0ــــــاهـ)س( = ـــــــــفإن نهــ ، ـــــــاهـ)س( ــــــــــــــــــاهـ)س( = نهـــــــــبما أن نهـ

7( فإن هـ متصل عندما س = 7) ــــــــاهـ)س( = هــــــــوبما أن نهـ

ألنه حاصل جمع اقترانين متصلين ق ، هـ 7= إذن ل)س( متصل عندما س

طريقة ثانية نقوم بإيجاد ل)س( = )ق+هـ()س(

7

0-س -

7

0

y4س y4س 9 -س 0

y4س y4س

-7

y4س

y7س

y7س

y7س

y7س

-y1س -y1س

+y1س +y1س

y1س -y1س +y1س

y1س

y4س

y7س

y7س

1س +3 7≥ س،

7< س، 0+ س 9 )س( = هـ

س +3+0س

1س +3 7≥ س،

7< س، 0+ س 9س+3+0س )س( = ل

كرو ب

ري أبمن

Page 66: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

66

73= 1+79+ 7= 1( + 7)79+0(7( = )7ق)

73= 1+79+ 7= 1( + 7)79+0(7( = )1س +79+0ـــــا)ســـــــــــــا ل)س( = نهــــــــــــنهــ

73= 9(+7)3+0(7+) 0(7(= )9س+ 3+ 0+ س0ســــــا)ـــــــــــــــــا ل)س( = نهـــــــــنهـ

73( = 7ـــــــــا ل)س( = ق)ــــــــــــــا ل)س( = نهـــــــنهـبما أن

7ل)س( متصل عندما س = ⸫

0= سابحث اتصال االقتران ق عندما منحنى االقتران قعلى الشكل الذي يمثل اعتمادا (6

1( = 0ق) ألن 0غير متصل عندما س = االقتران ق

( 0ق ) ≠ 0ــــــا ق)س( = ــــــــــــــا ق)س( = نهـــــــــــــبينما نهـــــ

، 1( = 3وكان هـ) 3إذا كان كل من االقترانين : ق ، هـ متصال عندما س=(7

ـــــــا ــــــنهــــ+ س (س)ق

(س)هـ0 (3، فجد ق) 7=

=

ـــــا ســــــنهــــ + (س)ـــــا قــــنهـــــ

(س)ـــــاهــــــنهــــ0 =7

1( = 3) ــــــاهـ)س( = هـــــــبما أن هـ متصل فإن نهـــ

(س)ــــاقـــــنهـــــ

+3

0×1 =7 y 70= 3ــــــاق)س( +ـــــنهـــ

3= ( 3ـــاق)س( = ق)ــــــبما أن ق متصل فإن نهــــــ 3= 3 – 70نهــــــــــــــاق)س( =

إذا كان ق)س( = (87

س +

0-س

س0 - 0س فما قيم س التي اليكون عندها االقتران ق متصال ؟

الحل:

م غير متصل عند أصفار المقايكون بما أن االقتران كسري فإن االقتران ق

9من الكسر األول نجد س =

0أو س = 9س= y 9( = 0- س)س y 9س = 0-0ثاني نجد سومن الكسر ال

} J }9 ،0ق غير متصل عند القيم س

-y1س

+y1س

+y1س -y1س

y0س

y0س

y0س

y0س

y0س

y0س

y0س y0س

-y3س +y3س

y0س

1س +79+0س 7≥ س،

7< س، 9+ س3+0س +0س )س( = ل

-y1س

+y1س

كرو ب

ري أبمن

Page 67: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

67

عض ،ذا السؤال من خمس فقرات من نوع االختيار من متعدد ، لكل فقرة أربعة بدائل واحد منها فقط صحيح هيتكون (9

دائرة حول رمز البديل الصحيح :

، فإن قيمة م هي : 3( = 3+س 1 – 0ـــــــا )م ســـــ( إذا كان م عددا ثابتا ، وكان نهــ7)

1-د( 1جـ( 7-ب( 7أ(

1ومنه م = 3= 7ومنه م + 3= 3+ 7×1 – 0(7الحل : م)

تساوي : 0(1-0ـــــــا)ســــ( نهـــ0)

03د( 703جـ( 03-ب( 703-أ(

الحل :

03-= 0(0-= ) 0( 1- 7= ) 0(1-0(7-= )) 0(1-0ـــــــــا)ســــــنهـ

( إذا كان ق)س( = 0)س3 - 0س

0س +0 - 0س ال يكون عندها االقتران ق متصال هي :فإن قيم س التي

}0-،7-{د( }0،7{جـ( }9،3-{ب( }9،3{أ(

الحل :

0، س = 7ومنه س= 9( = 0-()س7-ومنه )س 9= 0س+0-0نوجد أصفار المقام س

إذا كان( 1)

= ـــــاهـ)س(ـــــفإن نهـــ

غير موجودة د( 7جـ( 1ب( 0أ(

الحل :

7= 7 – 0( = 7 –ــــــــا)س ـــــــــــاهـ)س(= نهــــــــنهـــــ

1= 0(0= ) 0س اــــــــــاهـ)س(= نهــــــــــــــنهــــــــ

ــــاهـ )س( غير موجودة ـــــــا هـ )س( فإن نهـــــــــــنهــــــــــ ≠ــاهـ)س( ــــــبما أن نهـــــــــ

0ــــــا)ق)س((ــــــــــ، فإن قيمة نهـ 0ق)س(( = 0ــــــا)ــــــــــ( إذا كانت نهـ3)

0د( 03جـ( 97ب( 0أ(

الحل :

0ـــــا ق)س( = ـــــــومنه نهــــ 0ــــــاق)س( = ــــــــــنهـ 0ومنه 0ق)س(( = 0ــــا)ـــــــــنهـــ

0= 0(0= ) 0ـــــــــاق)س((ـــــــ= )نهـ 0ـــــا)ق)س((ـــــــــنهــ

y1س

y-1س

y2س

y1س

-y2س -y2س

+y2س +y2س

y2س -y2س +y2س

y2س

y2س y2س y2س

y2س y2س

0 س، 7 - س

0= س، 0

0 <، س 0س

)س( = هـ

y2س

كرو ب

ري أبمن

Page 68: الأستاذ منير أبوبكر 0775457925 - awa2el.net · رينم ذاتسلأا ةانق ىلع بويتويلا ىلع تاهويديفلا ة فاك ليزنت مت دقف

األستاذ منير أبو بكر الرياضيات في المنير الفندقي والسياحي ، األدبي

68

كرو ب

ري أبمن