Losungen zu den Aufgaben

Kapitel I.

1. a) ;rT = (10, 7, 5),

e);rT = (-2,3,2,5),

b);rT = (1 ~ ~) , 3' 2 '

e) ;rT = (8, 21, -2, 1, 3), d) ;rT = (1, -1, -3, -1), f) ;rT = (0, 1, -1, 4, 2).

2. vp = 45 km/h, vn = 70 km/h, vG = 30km/h, tp = 7 h, tn = 4,5 h, tG = 10,5 h, s = 315 km.

3. 0,25 m3 G1, 0,2 m3 G2 und 0,55 m3 G3 ergeben 1 m3 des gewiinsehten Gases. 1 m3 des Gases mit groBtmogliehem Heizwert von 1612,5 keal m-3

ergeben 0,3875 m3 G1 und 0,6125 m3 G2• _ '

4. In Abb. 1 sind SP:= u1 • v!' i:= 2, i ~ n der Reihe naeh zu ersetzen dureh SP:= 0, i:= i, i ~ k.

5. a) Man verwende Abb. 1 mit Uj = aj' Vj = 1 (i = 1(1) n).

b) Man beginne mit M:= a l und realisiere fiir i = 2(1) n: Wenn M < aj'

dann M:= aj.

6. a), b), e) garantieren im allgemeinen keine aquivalente Umformung; z. B. fiir p = q = r = s = 1 erhalt man aus dem unlosbaren System

das lOsbare

Xl + X 2 = 0,

Xl + X 2 = 2

2XI + 2X2 = 2, 2Xl + 2X2 = 2.

d) garantiert stets eine aquivalente Umformung; sind etwa die Gleiehungen deszweitenSystemserfiillt,soistz. B.auehs(pA i -+r qAk) - q(rAi + sAk) = s(pai + qak) - q(rai + sak) , d. h. (ps - qr) Ai = (ps - qr) ai' und damit (wegen ps - qr =1= 0) die Gleiehung Ai = ai des ersten Systems erfiillt.

7. Sind beide Systeme losbar, so lassen sie sieh ineinander iiberfiihren. (Beide sind namlieh demselben System, das die Losungen angibt, aquiva-

144 Losungen zu den Aufgaben

lent.) Sind dagegen beide Systeme unlosbar, so erhalt man durch zuge­lassene Umformungen aus ihnen

bzw.

Xl + a~2X2 = 0, 0=1

Xl + b~2X2 = 0, 0=1,

die fUr a~2 =!= b~2 nicht ineinander iiberfiihrt werden konnen.

Kapitel II.

1. _(-1 0 _~) x- .

_.!. 1 5 2 2

2. ) f(A) = (~ 1~' g(B) = ,h(C, D) = 35 (0 0) (16

o 0 18

3. a; = A . B . z. 4. a) (E-M).a;=y, b) (E-M)T.p=q. 5. Mit A ·B = (uik), (A .B)T = (Vik),BT ·AT = (Wik) ~ird:

uiI.: = skalares Produkt der i-ten Zeile von A und k-ten Spalte von B, vik = uki

= skalares Produkt der k-ten Zeile von A und i-ten Spalte von B; wik = skalares Produkt der i-ten Zeile vonW und k-ten Spalte von AT

= skalares Produkt der i-ten Spalte von B und k- ten Zeile von A = vik·

6. Beispielsweise ist (A o~B) 0lC = (A .BT) 0lC = (A .BT) ·CT =A.W ·CT,

A 01 (B 01 C) = A 01 (B . CT) = A . (B . CT)T = A . C . BT

(s. Aufg. 5), und die Terme ganz rechts sind z. B. verschieden fUr A =B =E und eine Matrix C mit CT =!= C.

7. UT =ET - 2· (w ·wT)T =E - 2· (WT)T ·wT = U, .U· UT = (E - 2 . w . wT ) • (E - 2 . w . wT )

= E - 4· w· wT + 4· w· w T • w· w T = E. ~

1 8. a) A singular, B = (s, 0, •.. , 0) mit einer Losung a; = S =!= 0 von

A·a; = o. b) Man multipliziere mit B-1.

Losungen zu den Aufgaben 145

9. a) A ist singular.

b) 3 3 6 1

5 5 5 1 1 2

0 A-l= 5 5 5

4 3 3 1 ,

5 10 5 2 2 1 4 1

5 10 5 2

8 1

4

5 5 1

0 3

x = A-l'a: 5 5 4 '

0 7

5 5 2

1 1

5 l 5

0) C 5 5 -1) --A-l = 1~ 2 2

-3 -6 -2 , 14 -2 -5 -2

-5 1 -2 1

~d-""f-D' CD· G} 10. a) Folgt aus (A . B) . X = E.

b) Genau dann ist A-l·A=E, wenn (A-l·A)T=AT.(A-l)T=E ist. (Siehe Aufg. 5.)

11. (A ·B)-l =B-l·A-l, X =B-l·A-l·B ·A.

12. 2 -1 -1 1 5 -4 -3 2

1 1 C-l = 0 2 1 2' Spaltenvertauschung erforderlich.

2 3 -1 1 2 2

10 Drews, Llneare Gleichungssysteme

146 L6sungen zu den Aufgaben

13. ZumBeispielA-I.B = A-I·B·A . A-I = A-I·A·B . A-I = B . A-I.

14. Man verwende Aufgabe 5, (E - S)T = E + S, (E - S) . (E + S) = (E + S) . (E - S) = (E - S2)!

15. A .Eik : In der k·ten Spalte steht die i-te Spalte von A, sonst Nullen. A· (E + c ·Eik): Zur k-ten Spalte von A wurde das c-fache der i-ten Spalte addiert.

16. e.T . ek = {1 fiir i = k, e .. ekT = E'k t 0 fUr i =l= k, t t ,

{o fiir k =l= l, E·k.EI =e .. ekT.el.e T=

1 m t m E im fiir k = l,

Eik·A ·Elm = akl .Eik ·Ekl .Elm = akl .Eim ·

17. a) Uk = E k+1,l + ... +E",n-k fiirl ;;; k;;; n - 1, U1O-l =E1O,l' Uk = 0 fiir k;::O; n.

b) y. Wr = W r+1' c) yk = W k- l fiir 1 ;;; k ;;; n - 1, yk = 0 fiir k ;::0; n.

18. a) (E - y). (E + Y + '" + V"-l) =E - yn =E (s. Aufg. 17). b) (D - Y)-l = D-I + D-l. Y .D-l + (D-l. y)2 .D-l + ...

+ (D-l. Y)1O-I. D-l.

Kapitel III.

1. ( 9 3

9 ) -0,75 ) Xl 4

x2 0 1 0 1 50 + 0

• t:=:::::; 7,14 + 0

. t X3

7 6499 95

13,26 -0,34J lX4 J l490 280

mit 0 ;;; t ;;; 12.

2. xT"", (65,78; 154,71; 91,30) (in 106 M).

3. (xl' X 2' X3) = (0, -1, 2) + (1, 3, -4) . t mit 1/3 ;;; t ;;; 1/2; Xl m3 Gl, X 2 m3 G2 und X3 m3 G3 ergeben 1 m 3 des gewiinschten Gases.

4. d:= a22 - a12a2l ;

fiir d =l= 0 genau eine L6sung: (Xl) = (ala22 - a2a12) . ..!.. x2 a2 - ala21 d

Losungen zu den Aufgaben

Fiir d = 0 und a2 - ala21 = 0 unendlich viele Losungen:

(:~) = (al ~ aut) (t beliebig).

Fiir d = 0 und a2 - a1a21 =1= 0 keine Losung. 5. Beide Systeme mit a4 = 4 sind unlosbar. Systeme mit a4 = 6:

fiir aQ = 4: SoT = (-8,1,3, -2,0,0), fiir a6 = 6: SoT = (-11,2,4, -2,0,0). SHT = (-2,2,2,2,1,0)· tl + (-8,3,3,0,0,1). t2.

6. $oT = (1,7; 0,7; 0; -0,4; 0). SHT = (-0,5; 0,5; 1; 0; 0)· tl + (-1,7; -0,7; 0; 0,4; 1)· t2, tl = 2, t2 = 1.

7. aJT = (-8,2,5,2,1). 8. aJT = (1, -4, 1,0) + (1, 1, -1, 1) . t.

147

9. Fur a4 = 15, as = -12: aJT = (3,3,3). Die beiden anderen Systeme sind unlosbar.

10. Nur fiir b) nicht. 11. Die Matrix (aI' a2, aa, a4 ) ist regular. aI' a2, aa, b sind linear abhangig,

aI' a2, a4, b linear unabhangig. 12. A· aJ = 0 bzw. AT. aJ = 0 hat nichttriviale Losungen. 13. Die Koeffizientenmatrizen haben der Reihe nach den Rang 4, 3, 5, 3

bzw.3.

14. a) a I · tl + a2 · t2 + as' ta + a· t4 = 0 mit t4 = -1 (=1= 0). b) Es ist z. B. a l · UI + a2 • U 2 + as . Us + a4 • U 4 = 0 mit u4 =1= 0,

denn aI' a2, as, a4 miissen linear abhangig sein, aber aI' a2, as sind linear unabhangig.

c) Die in b) gewonnenen Linearkombinationen kann man einsetzen. d) aI' a2, as, a sind linear unabhangig, denn sonst erhielte man a als

Linearkombination von aI' a2, as. Unter fiinf Spalten der erweiterten Matrix befinden sich mindestens vier der urspriinglichen.

Kapitel IV.

1. a) aJT = (1, 5, 7). b) aJT = (1,0; 4,9; 6,8). c) aJT = (1,0; 5,0; 7,0).

2. aJT = (1,50; 2,00; -1,50; 0,50). 3. r = 1/2; aJ'f I'>i (3,152; 2,239; -1,276; 2,454) mit 12 < 0,43 . 10-2•

10*

148 L6sungen zu den Aufgaben

4. r = 3/7; aus

x T ~ (1,71928; -0,70498; 0,26907) mit 12 < 0,7 . 10-5 folgt

x T ~ (1,72; -0,70; 0,27).

5. AT erfiillt das Zeilensummenkriterium (3.3) und ist somit nach Satz (3.4a) regular; dann ist auchA regular. (Aufg. II.l0b.)

6. a) IIA. xii = m~x {I i; aikXk/} :;;;:; ~ax { i laikllxkl} ,k=l ,k=l

:;;;:; max { i; laikl . max {IXkll} = max { i; laikl} '11xll ,k=l k ,k=l

=IIAII·llxll·

b) IIA· xii =iillk~laikXkl :;;;:;iE k~llaikllxkl =k#l (}llaikl) IXkl

:;;;:;kil (m:x {}llaikl}) IXkl = IIAII ~#lIXkl = IIAII ·llxll·

7. (E - M) . x = y habe eine L6sung x = (~i) > o. Fiir

A CC (E-M). C " ... ,)

,;It dann ,I . e ~ • mit e ~ (l)-In A sind wie in E - M die Hauptdiagonalelemente positiv, dagegen aile iibrigen Elemente nichtpositiv. Daher bedeutet A· e = y > 0,

daB A das Zeilensummenkriterium (3.3) erfiillt, und somit regular ist. -Man konstruiere E - M z. B. so, daB (E - .:11) • e = 0 ist; dann ist E - M singular.

8. Man beginne mit a := 0 und realisiere fiir i = l(l)n

1. das Bilden der zur Maximumbestimmung jeweils mit a zu verglei. chenden Zahl S (man beginne hierzu mit S:= 0 und realisiere fiir k = l(l)n, aber k =1= is:= S + laikl), danach

2. S:= S/Iaiil und sodann I

3. den Vergleich mit (dem bisherigen) a.

Lasungen zu den Aufgaben 149

Kapitel V.

1. a) (Xl' X 2, UI, U2, Ua) = (3,2,0,6,0), Zmax = 17.

b) (Xl' X 2, Xa, X 4' Ul, U 2, Ua) = (0,0,7,1,4,0,0), Zmax = 25.

c) Keine optimale Lasung, sondern zuHissige Lasungen mit beliebig groBem Wert von Z; z. B. Z = 23 + 15t fUr

(Xl' X 2' Xa' UI' Uz, Ua) = (4 + 4t, 3 + 3t, 3 + t, 0, 0, 4t).

d) (Xl> X2' Xa. Ul ' U 2, ua) = (3,4,0,0, 4, ~) . t + (7,0, 16,0,4,0) . (1 - i) mit 0 :;;; t :;;; 1, Zmax = 18.

,

2. Mit Ail = ( 2 -1) erhiilt man -1 1

3. a) (xl> X 2, Xa, u1' u2) = (2, 1, 3, 0, 2), Zmax = 13.

b) Keine zuliissige Lasung.

c) (Xl' X 2' Xa' Ul ' U 2) = (3,2,0,4,5) . t + (2, 1, 3,0,2) . (1 - t) mit o :;;; t :;;; 1, Zmax = 15.

4. Die Mischung enthalte Xi Einheiten F i • Die LO-Aufgabe lautet

0,5Xl + 0,2X2 + Xa + 0,3X4 ~ 10, Xl + 0,4xa + 0,5X4 ~ 15,

0,2Xl + 0,i5x2 + 0,2X4 ~ 5,

Z = 20XI + 6x2 + 33x3 + 10x4 min!

Mit etwas Geschick bei der Auswahl der Hauptelemente erhiilt man in vier (drei) Simplexschritten

(Xl' X2, X3, X4' YI' Y2, Ya) = (0,5,0,30,0,0; 3,5), Zmin = 330.

5. a) A· (51· t + 52· (1 - t)) = A . 51· t + A . 52· (1 - t) :;;; b· t + b· (1 - t) = b,

eT • (51· t + 52· (1 - t)) = eT • 51 . t + e T • 52 . (1 - t) = Zmax,(t + 1 - t).

b) A, (51' tl + ... + 5n' tn) :;;; b· (ti + ... + tn) = b.

c) eT • (51 . tl + ... + 5n . in) :;;; zo(tl + ... + tn) = zo'

150 Lasungen zu den Aufgaben

( , 1 1) 1 1 d) b = A . s = A· 51' 2 + S2' 2 ~ b . 2 + b . 2' also muB

A . S1 = A . S2 = b sein.

6. a) Z = cT • X ~ yT . A . x ~ yT . b = bT . Y = V.

b) Fur eine beliebige zulassige Lasung x = S' der primalen Aufgabe gilt nach a): cT. S' ~ bT '1'j, daher cT. S' ~ cT. S.

ZU beachten ist, daB in den Aufgaben 5 und 6 beim Rechnen mit Ungleichun­gen stets nichtnegative Faktoren t, 1 - t, ti' x, yT verwendet wurden. In Aufgabe 6a) wurden Ungleichungen addiert!

Kapitel VI.

1. a)

(xik) = C 1 7), 3 Zrnax = 137.

1 7

b)

(x,,) ~ (50 85

1~) , 15 Zrnax = 745. 35

c) 40 .}I(30 40

(to 20 40 0 40 ) . (1 -. 'i (xik) = 20 40 20 40

10 10 20

mit 0 ~ t ~ 1, Zrnax = 160.

2. Da die Summe der a-Gleichungen gleich der Summe der b-Gleichungen ist, liiBt sich jede der Gleichungen als Linearkombination der m + n - 1 ubrigen darstellen und ist daher mit ihnen zugleich erfullt.

3. a) 1st in der i-ten Zeile clk = Cjk + P (k = 1(1)n), so gilt Z' = Z + p·aj;

entsprechend Z" = Z + q . bj •

b) Nach a) unterscheiden sich die Werte der Zielfunktionen nur urn (von den Xik unabhangige) Konstanten.

c) Man subtrahiere zunachst das kleinste Element in jeder Zeile von allen Elementen dieser Zeile; in der neuen Matrix subtrahiere man das kleinste Element in jeder Spalte von allen Elementen der Spalte.

Sachverzeichnis

Algorithmus, GauBscher 10 -, verketteter 20,30 allgemeine Losung eines

Gleichungssystems 59 Anweisung 19 aquivalente Gleichungssysteme 28 Ausgangstabelle 110, 131

Basislosung 107 -, zulassige 107 Basisvariable 107

Diagonalmatrix 58 Diagonalmethode 132 direktes Verfahren 83 Dreiecksmatrix, untere 58 duale Optimierungsaufgabe 129

Einheitsmatrix 45 Elemente einer Matrix 15 Endtabelle 114 Ergebniskastchen 18 Ergibtzeichen 18

Fehler 91 FluBbild 18

GauBscher Algorithmus 10 GauB-Seidelsches Verfahren 84 gestaffelte Matrix 76 -s Gleichungssystem 13 Gleichheit von Matrizen 40

Gleichung, iiberfliissige 68 Gleichungssystem, gestaffeltes 13 -, homogenes 59 -, inhomogenes 59, 64 -, lineares 30, 38 -, zugehoriges homogenes 59 -e, aquivalente 28

Hauptdiagonalelemente 45 Hauptelement 108 Hauptsatz iiber homogene Glei­

chungssysteme 77 Hauptzeile 108 homogenes Gleichungssystem 59

inhomogenes Gleichungssystem 59, 64

inverse Matrix 49 iteratives Verfahren 83

Koeffizientenmatrix 37 Komponenten eines Vektors 11

lineare Abhangigkeit 73 - Optimierungsaufgabe 104 - Unabhangigkeit 73 -s Gleichungssystem 30,38 Linearkombination 73 Losung eines Gleichungssystems

28 -, allgemeine 59

- -, spezielle 59

Literaturhinweise

Aufgaben aus der Angewandten Mathematik, I, II, Akademie-Verlag, Berlin 1972,1973.

BOREWITSCH, S. J., Determinanten und Matrizen, BSB B. G. Teubner Ver­lagsgesellschaft, Leipzig 1972 CObersetzung aus dem Russischen}.

BOSECK, R.o Einfiihrung in die Theorie der linearen Vektorraume, 3. Auf!., VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973.

BREHMER, S., und R. BELKNER, Einfiihrung in die analytische Geometrie und lineare Algebra, 4. Auf!., VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974.

DIETRICH, G., und R. STAHL, Matrizen und Determinanten und ihre An­wendungen in Technik und Okonomie, 2. Auf!., Fachbuchverlag, Leip~ig 1968.

GASTINEL, N., Lineare numerische Analysis, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1972 CtThersetzung aus dem Franzosischen}.

KERNER, I. 0., Numerische Mathematik und Rechentechnik, Teil 1 und 2, BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1970, 1973.

KIESEWETTER, R., und G. MAEss, Elementare Methoden der numerischen Mathematik, Akademie-Verlag, Berlin 1974.

KOCHENDORFFER, R., Determinanten und Matrizen, 5. Auf!., BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1967.

KREKO, B., Lehrbuch der linearen Optimierung, 6. Auf!., VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973.

MANTEUFFEL, K., und S. SEIFFART, Einfiihrung in die lineare Algebra und lineare Optimierung, BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1970.

PIEHLER, J., Einfiihrung in die lineare Optimierung, 4. Auf!., BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1970.

VOGEL, W., Lineares Optimieren, 2. Auf!., Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig 1970.

Sachverzeichnis 153

Losung eines Gleichungssystems, triviale 59

- einer LO-Aufgabe, optimale 105 - - -, zulii.ssige 106

Matrix 15 -, gestaffelte 76 -, inverse 49 -, orthogonale 55 -, quadratische 45 -, regulare 47 -, schiefsymmetrische 57 -, singulare 47 -, symmetrische 55 -, transponierte 16 Matrizen, vertauschbare 57 Maximalfehler 92 Multiplikation einer Matrix mit

einer Zahl 43

Nichtbasisvariable 107 Norm einer"Matrix 101 - eines Vektors 101 Normalaufgabe 105 normierter Vektor 55 Nullteiler 56 Nullvektor 45

Operationskastchen 18 optimale Losung 105 - Tabelle 119 Optimierungsaufgabe, duale 129 -, lineare 104 -, primale 129 orthogonale Matrix 55

primale Optimierungsaufgabe 129 Produkt einer Matrix mit einem

Spaltenvektor 38 - zweier Matrizen 40

quadratische Matrix 45

11 Drews, Lineare Gleichungssysteme

Rang einer Matrix 74 regulare Matrix 47 Restriktionen 104

Satz iiber die Losbarkeit inhomo­gener linearer Gleichungs­systeme 77

schiefsymmetrische Matrix 57 Schlupfvariable 106 sekundare Zielfunktion 126 Simplexmethode 106 Simplexschritt 111 Simplextabelle 107 singulare Matrix 47 skalares Produkt 17 Spalte einer Matrix 15 Spaltennorm 102 Spaltenvektor 11, 16 spezielle Losung eines

Gleichungssystems 59 Startkastchen 18 Stoppkastchen 18 Summe zweier Matrizen 43 symmetrische Matrix 55

Tabelle, optimale 119 transponierte Matrix 16 Transportproblem 104, 130 Transporttabelle 136 triviale Liisung eines Gleichungs­

systems 59 Turmzug 133

Untermatrix 72

Vektor 11 -, normierter 55 -en, linear abhangige 73 -en, - unabhangige 73 Verfahren, direktes 83 -, GauB-Seidelsches 84 -, iteratives 83 Verflechtungssystem 8

154 Sachverzeichnis

verketteter AIgorithmus 20, 30 vertauschbare Matrizen 57 Verzweigungskastchen 18

Zeile einer Matrix 15 ZeiIennorm 101 Zeilensummenkriterium 89

Zeilenvektor 16 Zielfunktion 105 -, sekundare 126 zugehoriges homogenes

GIeichungssystem 59 zulassige BasislOsung 107 - Losung 106

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