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1. MAGNETISMO Los primeros fenómenos magnéticos observados estaban relacionados, sin duda, con los llamados imanes naturales, que son trozos de mineral de hierro encontrados junto a la antigua ciudad de Magnesia (de donde viene el término magnético). Estos imanes naturales tiene la propiedad de atraer el hierro no imantado, siendo el efecto má pronunciado cerca de a las regiones del imán llamadas polos. Era conocido por los chinos, antes del año 121 de nuestra era, que una barra de hierro, después de haber sido colocada cerca de un imán natural esta adquiría y conservaba la propiedad de los imanes naturales y si dicha barra se suspendida libremente de modo que pudiera girar alrededor de un eje vertical se coloca aproximadamente en la dirección Norte-Sur. El uso de los imanes para facilitar la navegación puede hacerse remontar al siglo undecimo al menos. El estudio de los fenómenos magnéticos se limitó durante muchos años a los imanes obtenidos de esta forma. Hasta que en 1819 no se demostró que existía una relación entre los fenómenos eléctricos y magnéticos: En aquel año, el físico danés Hans Christian Oersted (1770-1851) observó que un imán que puede girar libremente sobre su eje (una aguja magnética) se desvía al encontrarse en la proximidad de un hilo conductor que transporta una corriente. Doce años más tarde, tras intentos que duraron varios años, Faraday observó que se produce en un circuito eléctrico se genera una corriente instantánea, cunado en otro circuito próximo se establece o se interrumpe una corriente eléctrica. Poco tiempo después, se descubrió que al acercarse o alejarse un imán de un circuito eléctrico se produce el mismo efecto. El trabajo de Oersted demostró que pueden producirse efectos magnéticos por el movimiento de carga eléctricas, y el de Faraday y Henry, que pueden obtenerse corrientes por el movimiento de imanes. Actualmente se cree que los llamados efectos magnéticos proceden de las fuerzas originadas entre cargas eléctricas en movimiento. Esto es, las cargas móviles ejercen fuerzas magnéticas entre sí, además las fuerzas puramente eléctricas dadas por la ley de Coulomb. Comenzaremos, por consiguiente, el estudio del magnetismo considerando las fuerzas que existen entre cargas móviles. Puesto que los electrones están en movimiento al rededor del núcleo atómico, y cada electrón parece estar en rotación constante alrededor de un eje que pasa por él, cabe destacar que cada átomo presenta efectos magnéticos y de hecho se ha encontrado que así es. Las posibilidades que las propiedades magnéticas de la materia fueron fueran consecuencia de las partículas minúsculas del átomo, fue sugerida por Ampere en 1820. Claro está que esta teoría no ha sido comprobada aún.

1.1 Campo magnético. Inducción Se puede adoptar el punto de vista de que toda carga en movimiento crea un campo magnético en el espacio que la rodea y este campo es el que ejerce una fuerza sobre otra carga que se mueve en él. Además de un campo magnético que se crea existe un campo electrostático que rodea la carga esté o no en movimiento. Una segunda partícula cargada, situada en estos campos combinados, experimenta una fuerza debida al campo

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eléctrico independientemente de estar en movimiento o en reposo. El campo magnético ejerce una fuerza sobre ella únicamente si está en movimiento. Se dice que existe un campo magnético en un punto si se ejerce una fuerza sobre una carga móvil que pasa por dicho punto. Se puede definir un vector B llamado inducción magnética, que caracteriza el campo magnético del mismo modo que el vector E caracteriza el campo eléctrico. El valor de la inducción magnética B en cualquier punto se define con la relación:

φsenvq

FB

**= Ecuación 1-1

Donde q es el valor de la carga; v su velocidad; φ el ángulo formado por v y la dirección del campo magnético y F la fuerza que actúa sobre la carga móvil en el punto. Si F se expresa en newtons, q en culombios y v en metros por segundo, se dice que B se mide en webers por metro cuadrado. Así un weber por metro cuadrado es la inducción magnética de un campo magnético en el cual una carga de un culombio, que se mueve con una componente de velocidad perpendicular al campo es igual a un metro por segundo, está sometida a una fuerza de un newton.

segmcoul

newton

m

Weber

/*11

2=

O sea, puesto que un culombio por segundo es igual a un amperio:

mamperio

newton

m

Weber

*11

2=

En el sistema cgs, B se mide en maxwells por centímetro cuadrado o gauss. Puede demostrarse que:

2

4

21011

m

weber

cm

Maxwellgauss

−==

O sea

2

410m

webergauss = Ecuación 1-2

Los mayores valores de la inducción magnética que se puede obtener en un laboratorio es del orden de 10web/m2 o sea de 100.000 gauss y el campo magnético terrestre la inducción es solo de algunas cienmilésimas de weber por metro cuadrado, esto es, algunas décimas de gauss.

1.2 Líneas de inducción, Flujo magnético. Un campo magnético al igual que un campo eléctrico, puede representarse por líneas llamadas líneas de inducción, cuya dirección en cada punto es el valor del vector inducción magnética. Por convenio, el número de esta líneas por unidad de superficie normal a su dirección se hace igual al valor de la inducción. Como unidad de inducción se eligió el weber por metro cuadrado, de modo que un weber sería igual a un línea de inducción. Análogamente en el sistema cgs, se eligió como unidad de inducción el maxwell por centímetro cuadrado, de modo que un Maxwell sería igual a una línea.

3

El número total de líneas de inducción que atraviesan una superficie se denomina flujo magnético a través de la superficie y se representa por φ. En el caso especial en que B es uniforma y normal a la superficie infinita A,

AB *=φ Ecuación 1-3

Puesto que B se mide en wb/m2 y A en m2, el flujo se mide en webber. Como la inducción B en un punto es igual al flujo por unidad de área, esta cantidad se denomina frecuentemente densidad de flujo.

1.3 Campo magnético sobre un conductor. Las primeras observaciones registradas sobre campos magnéticos creados por corrientes eléctricas fueron observadas por Oersted, quien descubrió que una aguja imantada que puede girar alrededor de un eje y está próxima a un hilo conductor por el cual circula una corriente eléctrica, tiende a colocarse con su eje longitudinal perpendicular al conductor. Experiencias posteriores realizadas por Biot y Savart, y por Ampere, condujeron a una relación por medio de la cual se puede calcular la densidad de flujo en cualquier punto del espacio que rodea un circuito por el que pasa una corriente. Como se puede ver en la figura 1 el campo magnético que rodea un conductor son figuras concéntricas con el hilo y situadas en planos perpendiculares a él. Se observa que cada línea de inducción es una línea cerrada, y en este aspecto las líneas de inducción difieren de las líneas de fuerza de un campo eléctrico que terminan sobre cargas positivas y negativas. Esta propiedad de las líneas de inducción es cierta, cualquiera que sea la forma del circuito que crea el campo; cada línea de inducción se cierra sobre si misma.

Fig 1-1 Campo magnético sobre un conductor.

1.4 Campo magnético sobre una espira circular. En muchos dispositivos que utilizan una corriente para crear un campo magnético, tales como un electroimán o transformador; el hilo que transporta la corriente está arrollado en una bobina. En la figura 2 se ve el conductor y las líneas de flujo que rodean una espira circular y se encuentran en un plano que pasa por su eje. En realidad, el campo tiene tres dimensiones y podemos hacernos una idea de él imaginando que el plano gira alrededor del eje; hay que recordar que cada línea de inducción es una curva cerrada.

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Fig 1-2 Líneas de inducción que rodean una espira circular.

1.5 Campo magnético en un solenoide. La densidad de flujo producida en cualquier punto por una corriente que circula por un arrollamiento solenoidal, es simplemente la resultante de las densidades de flujo creadas en dicho punto por cada espira del solenoide. Utilizando la ecuación de Biot y Savart se puede demostrar que en cualquier punto del eje o próximo a él y no demasiado cerca de sus extremos se verifica que:

l

NIB 0µ= Ecuación 1-4

Siendo N el número total de espiras, l la longitud del solenoide e I la corriente eléctrica que circula por el conductor. El campo completo se puede ver en al figura 3. Obsérvese en la ecuación 4 el radio del cilindro sobre el cual fue bobinado el conductor no afecta la ecuación.

Fig 1-3 Campo magnético en un solenoide.

1.6 Campo magnético en un toroide. Un arrollamiento tal como se muestra en la figura 4 se denomina toroide. Puede imaginarse que es un solenoide que se ha encorvado hasta adquirir la forma circular, de forma que sus extremos se han unido. Prácticamente todo el flujo magnético se confina en el interior del toroide y la densidad de flujo en cualquier punto, dentro del arrollamiento está dada por la ecuación 4 en la cual l representa la longitud de la

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circunferencia media del toroide. Cabe destacar que el flujo fuera del toroide es cercano a cero.

Fig 1-4 Campo magnético producido en un toroide.

1.7 Excitación magnética. Las propiedades magnéticas de la materia pueden medirse y calcularse fácilmente cuando la sustancia adopta la forma de anillo, porque el campo magnético creado por una corriente eléctrica en el arrollamiento magnetizante está confinada completamente al interior del anillo. Ninguna línea de inducción atraviesa la superficie de la sustancia hacia el espacio exterior. Cuando las sustancias magnéticas son cilíndricas o en forma de U, como sucede con frecuencia, las líneas de inducción atraviesan la superficie en ciertas zonas llamadas polos. Las regiones por donde las líneas de inducción salen del cuerpo se denominan polos nortes, y las regiones por donde entran se llaman polos sur. Un hilo que transporta una corriente o una carga móvil están sometidos a una fuerza cuando se encuentran en la cercanía de un polo magnético. Es decir, los campos magnéticos pueden producirse bien por, corrientes que circulan en los conductores, o por los polos magnéticos. Para llevar a cabo el estudio del magnetismo con suficiente generalidad y tener en cuenta estos dos efecto magnéticos, se define una nueva cantidad vectorial H, a la que se denominará excitación magnética. La expresión completa para H tiene dos términos, uno de los cuales expresa el efecto de las corriente que circulan por los conductores y otro, el de los polos magnéticos. En el caso del anillo de Rowland, en donde no hay polos magnéticos, el segundo término es nulo. El término que expresa el efecto producido por las corrientes que circulan en los conductotes que está formado por la ley de Biot-Savart y se diferencia por el término de m0

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1

R

iidlsendH

θπ

= Ecuación 1-5

La dirección de dH es la misma que dB. Si se aplica la ecuación anterior al anillo de Rowland se puede obtener la expresión completa como sigue:

l

NiH = Ecuación 1-6

Obsérvese que la excitación magnética de una sustancia no depende de la sustancia que forma el anillo. Si se hace un análisis dimensional de la excitación magnética nos podemos dar cuenta que se expresa en amperios vuelta por metro, o en amperios por metro. Si se desean incluir el efecto de N. Al igual que la inducción magnética, el valor

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y dirección de H pude representarse por medio de líneas de fuerza magnética que pasan por el punto. Dentro de un anillo de Rowland las líneas de fuerza magnética tienen la misma forma que las líneas de inducción magnética, aunque no siempre sucede así.

Para un anillo de Rowland de densidad de flujo se expresa como l

NiB µ= y la

excitación magnética como l

NiH = de lo cual se deduce

HB µ= Ecuación 1-7

Hay una clasificación de los materiales magnéticos tomando como referencia el vació que tiene una permeabilidad de igual 7

0 104 −= πµ henrios/metro.

Se define la permeabilidad relativa de un material como la relación del material sobre la permeabilidad del vacío como:

0µµ

µ m

r = Ecuación 1-8

Y se acostumbra no a dar la permeabilidad del material sino la permeabilidad relativa de los materiales.

1.8 Materiales diamagnéticos. Aquellos materiales que experimentan una pequeña fuerza de repulsión son llamados materiales diamagnéticos. De nuestra experiencia se ha encontrado que el bismuto, plata, cobre son de estos tipos de materiales. La permeabilidad de estos materiales es un poco menos a la permeabilidad del vacío en el espacio libre. La permeabilidad de algunos materiales diamagnéticos se puede citar en la siguiente tabla: Tabla 1.1. Materiales diamagnéticos material Permeabilidad

relativa Bismuto 0.999 981 Berilio 0.999 987 Cobre 0.999 991 Metano 0.999 969 Plata 0.999 980 Agua 0.999 991

1.9 Materiales paramagnéticos. También existen materiales que experimentan una fuerza de atracción. Sustancias que son impulsadas hacia el centro de un solenoide con una pequeña fuerza, estos materiales son llamados paramagnéticos. Estos materiales tienen una permeabilidad un poco mayor a la permeabilidad del vacío en el espacio libre. Una lista breve de estos materiales se pueden ver en la tabla 1.2.

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Tabla 1.2. Materiales paramagnéticos material Permeabilidad

relativa Aire 1.000 304 Aluminio 1.000 023 Oxigeno 1.000 330 Manganeso 1.000 124 Paladio 1.000 800 Platino 1.000 014

1.10 Materiales ferromagnéticos. Hay materiales que experimentan no solo una gran fuerza de tracción en el experimento del anillo de Rowland sino que aumentan significativamente el flujo producido en el vacío. Estos materiales son llamados ferromagnético, la fuerza de atracción experimentada por este tipo de material puede llegar a ser 5000 veces la experimentada en el vacío. Solo existen tres materiales ferromagnéticos en la naturaleza ellos son el hierro, níquel y el cobalto; pero afortunadamente estos materiales abundan en la naturaleza y se pueden usar para la construcción de máquinas eléctricas. Desafortunadamente este tipo de material no tiene un comportamiento lineal entre la relación B vs H y se necesita un tratamiento matemático mas extenso para comprender el funcionamiento de este tipo de materiales. Inicialmente, la permeabilidad del material depende de la historia magnética de este. Fenómeno llamado histéresis. En efecto, puede existir flujo en el hiero aún en ausencia de un campo exterior; cuando el material se encuentra en este estado se llama imán permanente. A causa de la relación complicada entre la densidad de flujo y la intensidad de una sustancia ferromagnética, no es posible expresar B como función analítica de H. En lugar de esto, se da la relación entre las dos magnitudes mediante una gráfica o una tabla y esta gráfica se le llama curva de imantación o magnetización de la sustancia (ver figura 5).

Fig 1-5 Curva de magnetización del hierro templado.

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1.11 Dipolos magnéticos: Para entender el comportamiento de los materiales ferromagnéticos debemos echar un vistazo como están construida su estructura molecular. Es bien conocido que los electrones orbitan los núcleos a una velocidad constante. La corriente es definida como una carga que pasa a través de un punto dado en un segundo, un electrón describe una trayectoria circular y este describe un anillo. Cuando se multiplica la corriente por la superficie encerrada por el, se obtiene lo que se conoce como momento orbital magnético. Un electrón está continuamente girando sobre su propio eje a una velocidad determinada. El efecto de spining involucra cargas circulantes y denota un electrón con un momento de spining. El momento magnético de una átomo es obteniendo combinando estos dos efectos y el efecto magnético se determina dependiendo de la cantidad que tengan estos dos momentos. El campo magnético neto produce un campo lejano que es similar a aquel producido por un corriente en una espira. N S

Fig 1-6 Dipolos magnéticos.

1.12 Dominios magnéticos. En las sustancias diamagnéticas y paramagnética, la densidad de flujo debida la las corrientes electrónicas es despreciable comparada con el campo aplicado. Mientras que en las sustancias ferromagnéticas puede ser miles de veces mayor que el campo aplicado. La conclusión es que en una sustancia ferromagnética han de actuar sobre los imanes moleculares alguna influencia alimentadora distinta del campo aplicado. Esto solo puede producirse por una acción mutua entre las moléculas, efecto que es despreciable en las sustancias diamagnéticas y para magnéticas. Este primer señalamiento fue señalado por Pierre Weiss en 1907. Las sustancias ferromagnéticas están formadas por cientos de estos dominios magnéticos que le dan el comportamiento descrito en la figura 5. Cunado se tiene un pedazo de material virgen, estos dipolos se encuentran orientados al azar y el flujo magnético total es nulo debido a que los dipolos tienen orientaciones diferentes. Cuando el pedazo de material es colocado en un campo magnético externo todos los dipolos tienden a alinearse en el mismo sentido del flujo excitador. Una forma de conseguir el campo excitador es colocar una bobina que transporta una corriente eléctrica como en el caso del anillo de Rowland. Se puede ver experimentalmente que algunos dipolos se alinean más o menos en la misma dirección del campo magnético. Estos dominios tienden a hacer crecer el campo magnético a expensas de los dominios vecinos. El crecimiento del dominio solo cambia sus límites. El movimiento del los

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límites, sin embargo, depende de la estructura de los granos del material. También se puede experimentar que los dominios rotan sus dipolos magnéticos en la dirección del campo aplicado. Como resultado, la densidad del campo magnético crece.

Fig 1-7 Dominios magnéticos.

La corriente en la bobina establece un la una intensidad de campo H en el material, la cual se puede considerar como una variable independiente. La intensidad de campo H establece un campo magnético con densidad B. el establecimiento de la densidad B hace crecer los límites de los dominios y este movimiento puede ser reversible. Si se sigue aumentado la excitación magnética H incrementando la corrigen en la bobina, la densidad del campo magnético B llegará a ser más fuerte porque hay mas dipolos magnéticos alineados a favor del campo. Si se aprecia el movimiento de los dipolos en un principio el crecimiento de B es lento, luego se incrementa rápidamente, y luego se muy lento nuevamente (ver fig 5) y finalmente se vuelve casi plano. La curva así generada es conocida como la curva de magnetización o simplemente la curva B vs H de un material magnético. Cada material magnético tiene su propia característica. La zona donde la curva cambia de pendiente se llama el codo. La saturación magnética se presenta después del codo.

1.13 Histéresis. Una curva de imantación, tal como aparece en la figura 5, expresa la relación entre la densidad de campo B y la excitación magnética H, siempre y cuando la muestra se encuentre desimantada y la excitación magnética aumente desde cero. Así, si la corriente en la bobina magnetizante en el arrollamiento de un anillo desimantado aumente de modo continuo, desde cero hasta que la excitación magnética H corresponda a la abcisa Oe, la densidad de flujo B está dada por la ordenada Of. Si partiendo del estado desimantado, la excitación magnética se aumenta, primero desde Og y después se debe disminuir hasta Og, y después se debe disminuir hasta Oe, el estado magnético de la muestra Viena dado por la trayectoria Oabc. La densidad de flujo, se ha reducido hasta Oh en lugar de Of. Si se anula ahora la corriente de magnetizante, la curva continua hasta el punto d, en el cual la densidad de flujo Od.

Fig 1-8 Comportamiento de histéresis.

Se ve que la densidad de flujo en la muestra no depende únicamente de la excitación magnética, sino también de la história magnética de la misma. Por decirlo así, la muestra tiene memoria magnética y recuerda que ha sido imantada hasta el punto b,

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aunque se haya suprimido después la corriente magnetizante. En el punto d se ha convertido en un imán permanente. Este comportamiento de la sustancia evidenciado por hecho de la curva B-H no coincide, al disminuir H, con la obtenida cuando H aumenta, se denomina histéresis. El término significa literalmente quedarse atrás.

Fig 1-9 Comportamiento de la curva de histéresis.

En muchos aparatos eléctricos, tales como transformadores y motores, hay masas de hierro situadas en campos magnéticos cuyo sentido cambia continuamente (excitadas con corriente alterna). Esto es, la excitación magnética H cambia desde 0 hasta cierto valor en un sentido, después se anula, aumenta nuevamente hasta un valor, pero en sentido contrario, disminuye nuevamente hasta cero hasta anularse nuevamente y repite el ciclo indefinidamente. La densidad de flujo se invierte también pero de la forma como se muestra en la figura 9 describiendo una curva cerrada en el plano B-H llamada ciclo de histéresis.

Fig 1-10 Curva de histéresis.

1.14 CIRCUITOS MAGNÉTICOS

Es importante observar que un campo magnético es un fenómeno de parámetro

distribuido; esto es, está distribuido en una región del espacio. Como tal, un análisis riguroso requiere del uso de las variables de distancia tal como están contenidas en los

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símbolos de divergencia y rotacional. Sin embargo, en condiciones apropiadas es posible aplicar un análisis de parámetro concentrado a ciertas clases de problemas de campo magnético, tal como se aplica al análisis de circuitos eléctricos. En el problema de circuito magnético la exactitud y precisión de tal análisis es mucho menor, empero, que en los problemas de circuito eléctrico debido a la variación relativamente pequeña de la permeabilidad entre conductores y aisladores magnéticos, como se mencionó antes.

El análisis de un circuito magnético sigue la tendencia de un análisis sencillo de un

circuito eléctrico de c.c y se aplica a sistemas excitados por señales de c.c. o, mediante una aproximación incremental, a una excitación de c.a. de frecuencia baja. Su utilidad estriba en determinar el tamaño de los componentes magnéticos de un aparato electromagnético durante las etapas de diseño, en calcular inductancias, y en determinar las densidades de flujo en el entrehierro en cálculos de potencia y de par de torsión.

Comencemos con unas cuantas definiciones:

1.15 Potencial magnético.

Para regiones en las que no existen densidades de corriente eléctrica, lo cual es cierto para los circuitos magnéticos que estudiaremos, la intensidad del campo magnético, H, puede ser definida en términos del potencial magnético escalar como

∫=ℑ∇ℑ= dlHH .; Ecuación 1-9

Se ve que ℑ tiene la dimensión de amperios, aunque, a menudo, se emplea "amperios-vueltas" como una unidad para ℑ. Frecuentemente se usa el término fuerza magnetomotriz (fmm) para una elevación de potencial o fuente de energía magnética. Para una caída de potencial, suele usarse el término caída de reluctancia. Existen dos tipos de fuentes de fmm en circuitos magnéticos: la corriente eléctrica y los imanes permanentes. Por lo general, la fuente de corriente eléctrica consta de una bobina de un cierto número de vueltas, N, que porta una corriente conocida como la corriente de excitación. Nótese que el número de vueltas, M es adimensional.

1.16 Flujo magnético. Las líneas de corriente o de flujo en un campo magnético se conocen como líneas de flujo magnético, y se denotan por el símbolo φ, y tienen la unidad weber en el sistema SI. El flujo está relacionado a B por la integral de superficie ∫=

s

dsB.φ Ecuación 1-10

1.17 Reluctancia. La reluctancia es un componente de la impedancia magnética, un tanto análoga a la resistencia en circuitos eléctricos, con excepción de que la reluctancia no es un componente de pérdida de energía. Se define por una relación análoga a la ley de Ohm:

ℜℑ

=φ Ecuación 1-11

La unidad en el sistema SI de la reluctancia magnética es el henry-1. Si suponemos que la unidad de flujo tiene sólo un componente direccional, B, y que es uniforme sobre una sección transversal de un área, Am, tomada perpendicular a la dirección de B, se convierte en Φ = BAm. También suponemos que H no varía a lo largo de la longitud lm en la dirección de B, y se convierte, reordenando, en

12

m

m

m

m

A

l

AB

lH

µφ==

ℑ=ℜ

.

. Ecuación 1-12

1.18 Permeancia. La permeancia, þ , es el recíproco de la reluctancia y tiene la unidad henry en el sistema SI. La permeancia y la reluctancia se emplean ambas para describir las características geométricas de un campo magnético, principalmente para el propósito de calcular inductancias. Basados en 11 y 12, podemos ahora construir las relaciones resumidas en la tabla 1.3. En esta tabla, l es la longitud y A es el área de la sección transversal del paso del caudal de corriente en el circuito eléctrico o del flujo en el circuito magnético. En la tabla 1.3 se puede verificarse que la unidad de reluctancia es H-1

. A causa de que ℑ es análoga a I, y que þ es análoga a R, las leyes para resistencias conectadas en serie o en paralelo son igualmente válidas para las reluctancias.

Tabla 1.3 Analogía entre un circuito magnético y un circuito eléctrico de cc. Circuito Magnético Circuito Eléctrico

Flujo Ф Corriente, I Fmm Ŧ Voltaje, V

Reluctancia Ʀ Resistencia R = 1 / σA Permeancia Ƥ Conductancia G = 1/R

Permeabilidad µ Conductividad σ Ley de ohm Ф=Ŧ/Ʀ Ley de ohm I= V/R

1.19 Circuito magnético de un toroide. Ahora se analizará el anillo de Rowlad para observar la aplicación de la analogía entre variables magnéticas y eléctricas. Si se observa la figura 11 de la izquierda se ve una fuente magnetomotriz que no es más que la bobina sobre el circuito magnético. La fuerza magnetomotriz se representa por una fuente de tensión. La polaridad es representada por una N que representa el polo norte, y representa el lugar por donde salen las líneas de flujo. El polo sur se representado por una S y representa el lugar por donde entran la líneas de flujo. La polaridad se debe determinar de acuerdo a la regla de la mano derecha, el pulgar representa el sentido de la corriente y los cuatro dedos restantes el sentido del flujo. La trayectoria del flujo es representada por unas líneas rectas que unen dos puntos específicos. Al igual que los conductores eléctricos en estas líneas no se presenta ningún tipo de pérdida. El circuito debe tener una reluctancia ℜ, esta varía cada vez que se cambie de material, de área o haya longitudes complicadas de obtener. El circuito total se pude ver en la figura11.

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Fig 1-11 circuito eléctrico equivalente de un toroide.

1.20 Circuitos magnéticos con entrehierro. Un entrehierro en un circuito magnético es una pequeña grieta de material que se llena de aire como se muestra en la figura 12. En esta zona hay un cambio de material y por ende debe haber una reluctancia adicional. En el circuito habrán dos reluctancias, una debida al material magnético de alta permeabilidad y otra debida al aire. Desafortunadamente la permeabilidad del aire es baja (cercana a la del vacío) y por consiguiente la reluctancia en este sector es alta haciendo que allí se pierda gran cantidad de fuerza magnetomotriz aunque la longitud del entrehierro sea pequeña. Otro factor que se debe tenerse en cuenta en el momento de trabajar con entrehierro es la dispersión del flujo que aparece en esta zona. Si se analiza el circuito magnético este presenta una trayectoria cómoda y definida al flujo pero al llegar al entrehierro hay una disminución de la permeabilidad, además todo el circuito magnético está rodeado de aire lo que le da una ampliación del área transversal.

Fig 1-12 Circuito magnético con entrehierro.

1.21 Circuitos magnéticos con varias fuentes. En la figura 1.10 se puede ver un toroide con dos bobinas en la figura de la izquierda se puede ver que el flujo producido por las dos bobinas van en el mismo sentido lo que hace que el flujo se refuerza o el efecto de las dos fuentes sea aditivo. En la figura de la derecha el flujo producido por las dos bobinas va en sentido contrario lo que hace que el flujo total sea la diferencia de los dos. Al presentarse esta situación se puede darse el caso que una fuente consuma fuerza magnetomotriz mientras la otra produzca. O que ambas fuentes generen fuerza magnetomotriz. Para analizar este fenómeno se debe hacer el mismo análisis de las fuentes de tensión que se hacían en los circuitos eléctricos.

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Fig 1-13 circuito magnético con varias fuentes

1.22 Ley de Faraday. Supongamos que hay dos espiras de un hilo conductor como están en la figura 4 y en la bobina de la derecha se han colocado una batería y una resistencia variable; estos dos elementos hacen que la corriente varié en el tiempo. Si la corriente es variable en el tiempo hace que el flujo producido en la espira también sea variable en el tiempo. Si se coloca un voltímetro en los extremos de la bobina de la izquierda se puede observar que hay una tensión inducida que varía con la misma rapidez que lo hace el campo magnético producida por la primera bobina.

Fig 1-14 Experimento de Faraday.

La variación del flujo pude ser debida a una variación temporal del flujo magnético o una variación de la posición relativa en la espira respecto del mismo o una combinación de las dos causas anteriores. En el primer caso se habla de una fem de transformación, ya que este es el tipo de fenómeno que se produce en los transformadores; en el segundo caso, se habla de la fem de movimiento. El valor de la fem inducida depende solo de la magnitud de la variación del flujo, con dependencia de que su variación se deba a variaciones en el tiempo o a cambios geométricos. La ley de la inducción electromagnética fue enunciada por Faraday en 1831 y dice que “el valor absoluto de la fem inducida viene dado por la rapidez de variación del flujo abarcado y que su sentido es tal que tiende a establecer una corriente que se opone a la variación de flujo que la produce”

||edt

dφ= Ecuación 1-13

15

1.23 Ley de Lenz: H. F. E. Lenz (1804-1864) fue un físico alemán que sin conocer los trabajos de Faraday y Henry, repitió casi simultáneamente muchos de sus experimentos. La ley que lleva su nombre constituye una regla útil para conocer el sentido de una fem inducida. Esta ley establece que el “sentido de una fem inducida es tal que se opone al efecto que la produce”. El descubrimiento de lenz hizo que la ecuación de la tensión inducida cambie a

dt

dφ−=e Ecuación 1-14

1.24 Autoinductancia. Volvamos nuevamente al anillo de Rowland que hemos trabajado hasta ahora. Una corriente cambiante en el tiempo establece un campo magnético cambiante en el material magnético. El flujo variante en el tiempo induce una tensión de acuerdo a la ley de Faraday que dice:

dt

dN

φ=e Ecuación 1-15

La autoinductancia o también llamada inductancia o simplemente inductancia de una bobina se define como la relación entre el cambio diferencial en los concatenamientos de flujo y el cambio diferencial de la corriente, es decir:

di

dN

φ=L Ecuación 1-16

Donde L es la inductancia de la bobina medida en Henrios. La tensión inducida puede expresarse en términos de la inductancia como:

dt

diL

dt

di

di

dN ==

φe Ecuación 1-17

Esta es la forma de la ley de inductancia de Faraday que se usa comúnmente en el análisis de circuitos eléctricos. La ecuación de la inductancia establece que la inductancia de una bobina es de 1H si la corriente que varia a razón de 1A/s induce una tensión de 1V en la bobina. El concepto de inductancia es muy útil porque brinda un método abreviado para expresar la fem inducida en la bobina directamente en términos de la corriente que se produce en ella. Sin este concepto, primero tendría que determinarse el flujo en el circuito magnético causado por la corriente y después aplicarse la ley de la inducción de Faraday para obtenerse la fem inducida. Como ℑ=Ni es la fmm aplicada y ℜ=l/µA es la reluctancia del circuito magnético, el flujo en el circuito magnético es

ℜ=

Niφ Ecuación 1-18

Luego, la inductancia se puede expresar como:

ℜ=

2N

L Ecuación 1-19

Si se analiza la ecuación de la inductancia es evidente que la inductancia depende de las dimensiones físicas del circuito magnético y de la permeabilidad del material magnético. Si la inductancia está devanada sobre un material no magnético, la inductancia es constante. Si la bobina está devanada sobre un ferromagnético, la

16

inductancia no es constante, sino que es una función de la densidad del flujo magnético en el núcleo. Sin embargo, al analizar máquinas eléctricas suele presuponerse que es constante, en el entendido que la máquina está operando en la región lineal de la curva B-H, donde la permeabilidad del material es constante. Si se analiza el anillo de Rowland que se ha venido trabajando hasta el momento se puede dar la expresión exacta para el flujo del toroide:

)ln(2 a

bh

Ni

πµ

φ = Ecuación 1-20

Luego, la expresión exacta para la inductancia de un toroide o anillo de Rwland es:

)ln(2

2

a

bh

N

di

dNL

πµφ

== Ecuación 1-21

El circuito eléctrico equivalente del toroide se muestra en al figura 15 donde R es la resistencia de la bobina. Aún cuando la resistencia de la bobina es un parámetro distribuido, es práctica común presentarla como un parámetro concentrado.

Fig 1-15 Circuito eléctrico equivalente en serie del anillo de Rowland.

1.25 Inductancia mutua: Considera el anillo de Rowland que se ve en la figura 16 pero esta vez tiene dos bobinas. Una corriente i1 variante en el tiempo, establece un flujo φ1 en la bobina 1. Cuando se deja abierta la bobina 2. Este flujo induce una tensión en la bobina 2.

Fig 1-16 Circuitos eléctricos acoplado magnéticamente.

Parte del flujo φ1 enlaza la bobina 2 y se puede llamar φ21, este flujo induce una tensión en la bobina 2. Luego:

dt

diL

dt

dN 1

11

11e ==φ

dt

diM

dt

di

di

dN

dt

dN 1

211

1

212

2122e ===

φφ

Donde L1 es la inductancia de la bobina 1,

17

1

21221M

di

dN

φ= Ecuación 1-22

M21 corresponde a la inductancia mutua de la bobina 2 a la bobina 1. De forma semejante, si la bobina 2 conduce una corriente i2 mientras que la bobina 1 se deja abierta y crea un flujo φ2 ; este flujo inducirá una fem en la bobina 2. Parte de este flujo φ12 encadena la bobina 1 e induce una tensión en ella. De la siguiente forma:

dt

diL

dt

dN 2

22

22e ==φ

dt

diM

dt

di

di

dN

dt

dN 2

122

2

121

1211e ===

φφ

Donde L2 es la autoinductancia de la bobina 2 y

2

12112M

di

dN

φ= Ecuación 1-23

Corresponde a la inductancia mutua de la bobina 2 a la bobina 1.

1.26 Bobina real con núcleo de hierro. Ya hemos dicho que las máquinas eléctricas hacen uso del campo magnético como medio de acoplamiento para la conversión de energía. Para obtener máquinas con el menor tamaño posible es preciso obtener campos magnéticos elevados. Como se ha visto en apartados anteriores, eso se puede conseguir usando grandes cantidades de corriente o utilizando materiales de alta permeabilidad magnética. Esa es la razón del uso de materiales ferromagnéticos en la construcción de máquinas eléctricas. De paso, dichos materiales, que poseen excelentes propiedades mecánicas, sirven como elementos estructurales para el soporte de conductores y su aislamiento. Consideremos el anillo de Rowland que tiene N espiras con un núcleo de hierro como aparece en la figura 12 a la cual se le aplica una tensión senosoidal de valor efectivo Va. Supongamos que la bobina es real y el efecto de la resistencia es despreciable. La tensión inducida es

dt

dNa

φ=V

De forma que si la tensión es senosoidal pura, el flujo en el núcleo varía de forma senosoidal y va desfasado 90º en retraso con respecto a la fem E, cuyo valor eficaz vendrá dado por:

)()( wtsent mφφ =

)(wtNwsendt

dN mφ

φ=

Tomando el valor rms de la tensión inducida 2

e rmspe

= ; la frecuencia y la velocidad

angular está relacionadas por fπ2w = . La tensión inducida en valores rms queda expresada como:

pfNφ44.4E = Ecuación 1-24

18

1.27 Forma de onda de la corriente de excitación. Para producir una tensión inducida sobre una bobina se necesita un flujo magnético variable en el tiempo de valor φ, para establecer este flujo se necesita una fuerza magnetomotriz ℑ, y para establecer una fuerza magnetomotriz se necesita una corriente i(t) que también sea variable en el tiempo. Como se explicó en apartados anteriores la relación entre la excitación magnética y el flujo no es una relación lineal sino tiene un comportamiento descrito en la figura 5. de tal forma que la corriente de excitación cambia de forma. Si el material magnético está en la zona lineal, la corriente cambia en la misma proporción que el flujo y por ende la tensión tiene un crecimiento lineal en esta zona. Si la densidad máxima del flujo Bm corresponde con la zona de saturación magnética de la característica B-H del circuito magnético, la relación entre el flujo y la intensidad deja de ser lineal, de forma que si el flujo magnético varía de forma senosoidal en el tiempo, la intensidad no cambia de la misma manera dada la no relación lineal entre las dos variable como se muestra en la gráfica 17

Fig 1-17 Forma de onda de la corriente en vacío de un circuito magnético.

La forma sensiblemente puntiaguda de la onda senosoidal de la intensidad en vacío hace que al desarrollar esta en las componentes de Fourier aparezca un tercer armónico muy pronunciado, que como se verá más adelante, tiene importantes repercusiones en la conexión de transformadores trifásicos y de las máquinas en general. Además se observa un cierto adelanto en los flancos de subida y bajada respecto a la forma de onda del flujo. Esta forma de onda no senosidal de la corrigen impedirá su representación como fasor en el plano complejo, y por tanto la implicación del cálculo simbólico a los circuito magnéticos, perdiendo así una importantísima herramienta de análisis. Para evitar estos percances es conveniente definir una corriente senosoidal equivalente J que cumpla con las dos condiciones siguientes:

- El valor eficaz de dicha corriente es el que mide un amperímetro en serie con la bobina.

- El desfase de la corriente respecto a la tensión aplicada es tal que justifique la potencia activa consumida por la bobina.

Esta potencia activa consumida se debe en parte al efecto Joule en los conductores, de valor I2R, y en parte a las pérdidas por histéresis y corrientes parásitas en el núcleo magnético. Estas pérdidas en el circuito magnético están causadas por los fenómenos de histéresis y corrientes de Foucault. En ambos casos, las pérdidas específicas (W/Kg) son

19

función de la inducción magnética Bm siendo proporcionales a la frecuencia para las pérdidas por histéresis Ph y al cuadrado de la frecuencia para las pérdidas por las corrientes parásitas Pf. Las pérdidas específicas se pueden expresar por la fórmula propuesta por Steinmetz:

2mFmhFhfe fBKfBKpPP +=+= α (w/kg) Ecuación 1-25

El coeficiente α varía entre 1.5 y 2.0 según las características de la chapa. La primera de las dos condiciones anteriores nos define el módulo del favor de intensidad y la segunda su argumento respecto a la tensión aplicada. Estas dos condiciones se pueden dibujar en el diagrama fasorial de la figura 1.15. En dicho diagrama fasorial, el fasor de la intensidad se ha representado como la suma de dos componentes Jµ y JFe La la primera de ellas es la responsable del establecimiento del campo magnético en el núcleo y de vencer “la caída de tensión” magnética mediante la fuerza magnetomotriz N1Iµ. La segunda es la componente desfasada que justifica la existencia de pérdidas de potencia activa en el núcleo magnético.

Fig 1-18 Diagrama fasorial de las corrientes y tensiones en un circuito magnético.

Este diagrama fasorial corresponde con el circuito equivalente de la bobina real que se muestra en la figura 19. La tensión V de la bobina se descompone en la caída de tensión Vr que se produce en la propia resistencia del devanado y la tensión inducida E es debida a la variación del flujo, que se aplica al conjunto formado por la reactancia de magnetización jXo por la que circula la intensidad magnetizante, en paralelo con la resistencia equivalente RFe, por la que circula la componente activa de la intensidad. En el caso del circuito magnético ideal o sin pérdidas el valor de RFe se hace infinito y se obtiene el circuito equivalente de una bobina formada solamente por una resistencia en serie con una inductancia:

Fig 1-19 Circuito equivalente de una bobina real.

20

1.28 Pérdidas magnéticas. En el análisis de las pérdidas de una máquina eléctrica se dividen en tres grandes categorías: pérdidas en el cobre, perdidas mecánicas y pérdidas magnéticas. Las pérdidas mecánicas se originan por la rotación del elemento giratorio (rotor) de una máquina y se pueden dividir en tres categorías, pérdidas por fricción, pérdidas por fricción en las escobillas y pérdidas por ventilación. Las dos pérdidas por fuentes magnéticas (pérdidas en el hierro o pérdidas en el núcleo) son las pérdidas por corrientes parásitas y las pérdidas por histéresis.

1.29 Perdidas por corrientes parásitas. Si un flujo magnético que varía en el tiempo se encadena con una bobina, se induce una tensión en ella de acuerdo a la ley de Faraday. Como la bobina está devanada sobre un material magnético, el mismo flujo variante en el tiempo también induce una tensión en el núcleo. Debida a que el núcleo es también un buen conductor eléctrico se inducen en él unas corrientes eléctricas a lo largo de dicha trayectoria. La ubicación y la trayectoria de esa corriente son tales que encierran el flujo magnético que las produce. En efecto, existen tantas trayectorias cerradas en torno al campo magnético dentro del núcleo como sea imaginable. En la figura 20 se muestran algunas trayectorias para las corrientes inducidas en un material magnético sólido cuando la intensidad de flujo aumenta con el tiempo. El patrón en remolino de tales corrientes circulantes en un material magnético es semejante al de los remolinos que se forman en el aire o agua, y de este hecho se deriva su nombre como corrientes parásitas, corrientes en remolino o corrientes de Foucault.

Fig 1-20 Corrientes parásitas en un núcleo magnético sólido.

Conforme aumenta el flujo en el material magnético, también lo hace la fem inducida en cada trayectoria circular. El incremento de la fem inducida hace incrementar la corriente en esa trayectoria, la energía se convierte en calor en la resistencia de la trayectoria. Al sumar las pérdidas de potencia en cada lazo dentro del material magnético, se obtiene la pérdida total de potencia en el material ocasionada por las corrientes parásitas. Esta pérdida de potencia se llama pérdidas por corrientes parásitas. Las corrientes parásitas establecen también su propio flujo magnético, el cual tiene oponerse al flujo magnético original. Por los tanto, las corrientes parásitas no solo dan

21

como resultado las pérdidas por calentamiento del núcleo, sino que también ejercen un efecto desmagnetizante en el circuito magnético. En consecuencia se debe aplicar mas fuerza magnetomotriz para producir el mismo flujo en el núcleo. El efecto desmagnetizante se incrementa a medida que se nos acercamos al eje del núcleo magnético. El efecto conjunto de la desmagnetización es la concentración del flujo magnético hacia la superficie exterior del material magnético. Esto obliga a que la parte interior del núcleo sea magnéticamente inútil. Los efectos adversos de las corrientes parásitas pueden reducirse al mínimo si el núcleo magnético se construye con alta resistencia en la dirección en la que fluyen las corrientes parásitas. En la práctica esto se consigue construyendo el núcleo magnético apilando piezas delgadas de material magnético. La pieza delgada, conocida como lámina está cubierta con un barniz o laca y se consigue comercialmente en espesores que van desde 0.36mm a 0.70mm. El recubrimiento delgado hace que las láminas estén razonablemente aisladas de forma eléctrica entre sí. El núcleo magnético construido con laminación obliga a las corrientes parásitas a seguir trayectorias largas y estrechas dentro de cada lámina. El resultado neto es la reducción de las corrientes parásitas en el material magnético. Si suponemos que la densidad de flujo varía de forma senosoidal con el tiempo, pero es uniforme en cualquier instante sobre la sección circular del núcleo magnético, puede demostrase que las pérdidas por corrtiens parásitas es:

VBfKP mee

222δ= Ecuación 1-26

Donde Pe son las pérdidas por corrientes parásitas, en vatios (W), Ke es una constante que depende de la conductividad del material magnético, f es la frecuencia, en hertz, δ es el espesor de la lámina, en metros; Bm es la densidad máxima de flujo, expresada en teslas y V es el volumen del material magnético, en metros cubicos.

Fig 1-21 Núcleo magnético laminado.

1.30 Pérdidas por histéresis. Cada vez que se hace recorrer al material magnético su ciclo de histéresis se produce una pérdida de potencia a la que común mente se denomina pérdida por histéresis, la cual surge de la fricción molecular a medida que los dominios magnéticos son forzados a invertir sus direcciones por la fmm aplicada.

22

Después de varios ciclos de magnetización, el ciclo de histéresis se vuelve simétrico, como se aprecia en la figura 10. La energía por unidad de volumen (densidad de energía) que se suministra al campo magnético cuando la densidad de flujo se cambia de –Br (punto a) a Bm (punto c) a lo largo de la trayectoria abc es:

∫−

=Bm

Br

dBHw .1

La cual es simplemente el área sombreada abcdea. A medida que se disminuye la densidad de flujo Bm (punto c) a B (punto e) a lo largo de la trayectoria ce, la densidad de energía liberada por el campo magnético es:

∫=Br

Bm

dBHw .2

La cual es simplemente el área sombreada cdec. Hemos trazado la mitad del ciclo de histéresis. La spérdidas de la densidad de energía durante este semiciclo es w1-w2. La otra mitad, al ser idéntica origina la misma pérdida en la densidad de energía. Por consiguiente, origina la misma pérdida en la densidad de energía. Por consiguiente, la pérdida total de la densidad de energía es:

)(2 21 www −= Que presenta el área total del ciclo de histéresis. En general la ecuación no puede avaluarse analíticamente porque es imposible expresar H como una función simple de B. pero puede graficarse a escala la histéresis y medir su área. Por medio de pruebas en varios materiales ferromagnéticos, Charles Steinmetz propuso que la pérdida por histéresis se puede expresar como:

VfBKP mhh

2= Ecuación 1-27

Donde P es la pérdida por histéresis, en vatios; Kh es una constante que depende del material magnético y n es el exponente de Steinmetz a partir de la experiencia se ha encontrado que n varía de 1.5 a 2.0.

1.31 Fuerza sobre un conductor que transporta una corriente. Cuando un conductor que transporta una corriente se encuentra en un campo magnético, se ejercen fuerzas magnéticas sobre los electrones en movimiento sobre el conductor. Estas fuerzas se transmiten a la sustancia que forma el conductor y, por tanto, el conductor, en conjunto experimenta una fuerza o un movimiento, o ambas a la vez. Un motor eléctrico o el cuadro móvil de un galvanómetro están sometidos durante su funcionamiento al momento ejercido sobre un devanado que transporta la corriente y que se encuentra en un campo magnético. La figura 22 representa una porción del conductor rectilíneo de longitud l y seccion A dentro del cual circula una corriente de intensidad i. Un campo magnético de densidad de flujo B es perpendicular al conductor. Puesto que la fuerza sobre el conductor en conjunto es la resultante de las fuerzas ejercidas sobre las cargas móviles situadas dentro de él. Expresaremos la intensidad de la corriente en el conductor en función del número n de cargas móviles por unidad de volumen, de la carga q de cada una de ellas y de su velocidad v. se ha demostrado que esta relación es:

23

Fig 1-22 Fuerza sobre un conductor.

nqvAi = La fuerza f sobre cada conductor será:

qvBf = El número de cargas en la longitud l será:

nlAN = Por consiguiente, la fuerza resultante será:

nlAqBvNfF == Y puesto que nqvAi = , se puede escribir como:

ilBF = O en forma general la fuerza sobre un conductor depende de la corriente que circula por él, de la longitud del conductor en el campo magnético y de la densidad del campo magnético. La regla de la mano izquierda puede también usarse para encontrar el sentido de la fuerza sobre el conductor situado en un campo magnético. Dado que el sentido convencional de la corriente es el mismo que el movimiento de las cargas positivas, el dedo indice señala el sentido del campo; el dedo medio, el sentido de la corriente y el dedo pulgar, el sentido de la fuerza. La ecuación de la fuerza sobre el conductor se aplica al caso especial de un conductor rectilíneo perpendicular a un campo magnético uniforme. En el caso general, consideramos un pequeño elemento conductor de longitud dl que forma un ángulo α con el campo magnético. La fuerza dF sobre este elemento es:

)(αidlBsendF = Para un conductor rectilíneo de longitud l situado en un campo uniforme, esta expresión se reduce a:

)()( ixBlilBsenF == α Ecuación 1-28

1.32 Fuerza sobre un cuadro rectangular. En la figura 23 se presenta un cuadro rectangular de hilo conductor cuyas dimensiones son a y b. la normal al plano del cuadro forma un ángulo α con la dirección de un campo magnético uniforme. El cuadro puede girar sobre un eje OO y transporta una corriente de intensidad I (ha de idearse un dispositivo para hacer entrar y salir la corrigen del cuadro, o bien, para intercalar un generador. Esto se ha omitido en el esquema para simplificarlo).

24

Los lados cd y ef del cuadrado son perpendiculares al campo. Por lo tanto, se ejercen sobre ellos fuerzas iguales y de sentido apuesto de valor:

iaBF = Dirigidas verticalmente Hacia arriba, la que se ejerce sobre cd, y verticalmente acalla abajo se ejerce sobre ef. Los lados ce y df forman un ángulo α con el campo. Sobre ellos actúan fuerzas iguales y de sentido apuesto, de valor:

)(φibBsenF = Dirigida hacia la derecha la que se ejerce sobre df y hacia al izquierda la que se ejerce sobre ce. (estas fuerzas, en realidad, están dirigidas a lo largo da cada lado del cuadro y son representadas como fuerzas únicas en la figura 1.19).

Fig 1-23 Fuerza ejercida sobre un conductor cuadrado.

La fuerza resultante sobre el conductor cuadrado es cero, puesto que las fuerzas ejercidas sobre los aldos de la espira son iguales y de sentido opuesto. El momento resultante T, por el contrario, no es nulo, ya que las fuerzas sobre cd y ef constituyen un par.

))(()( αbsenxiaBT = El momento es máximo cuando a=90º, o sea, cuando el plano el plano del cuadrado es perpendicular al campo, y es nulo cuando el ángulo es cero, es decir cuando el plano de la espira es perpendicular al campo. La posición reequilibrio estable es aquella en la cual cd es el lado más elevado. Dado que ab es el área A del cuadrado, la ecuación anterior se puede escribir como:

)(αiABsenT = Si el cuadrado es devanado con espiras muy próximas, que tiene N vueltas, entonces, evidentemente:

)(αNiABsenT = Ecuación 1-29

1.33 Par de fuerzas sobre una barra imantada: Se demostró en la sección anterior que el momento que actúa sobre un circuito cerrado de hilo conductor , que transporta una corriente eléctrica de intensidad I y abarca un área A, cuando está colocada con su plano perpendicular al campo magnético de densidad B, esta dado por:

BiAT =

25

Ahora se considera una barra imantada de longitud l y sección A, colocada perpendicularmente en un campo exterior débil. Supongamos que todas las corrientes electrónicas están alineadas con sus planos paralelos al campo y que su alineación no es alterada o afectada por el campo externo. Si hay n circuitos por unidad de volumen, habrá en total nAl de tales circuitos, y si cada uno abarca un área a, el momento resultante que actúa sobre ellos será:

xlinaABxnAlxBiaT )()()( == La magnitud entre paréntesis de la ecuación anterior es de gran importancia. El producto ia (corriente multiplicada por el área) se denomina momento magnético de un circuito. Multiplicando por el número, n, de circuitos por unidad de volumen, se tiene ian, que es el momento magnético por unidad de volumen, o intensidad de imantación. Finalmente, multiplicando por el área A, obtenemos una magnitud que expresa las características peculiares de los polos. Definimos la masa magnética m de cada una de las caras externas por la ecuación:

ianAm = Puesto que i se expresa en amperios, a y A en metros cuadrados y n es un número abstracto dividido por el volumen en metros cúbicos, las dimensiones de la masa magnética son amperios-metro. Finalmente se puede obtener una expresión para el par en una barra magnética por medio de las dos ecuaciones anteriores de la forma:

BmlT = Como ml=(ian)x(Al) se da el momento magnético por unidad de volumen por volumen de imán, esta magnitud representa el momento magnético total del imán. Si el cuerpo magnético exterior es el terrestre, y la barra magnética puede oscilar libremente en un plano horizontal, el efecto del momento Bml será una rotación hasta que el eje del imán sea paralelo a la componente vertical del campo terrestre. Cuando esto tiene lugar se encuentra siempre que un polo señala la dirección norte. Este polo se denomina polo norte del imán, denominándose el otro polo sur. La ecuación BmlT = se puede interpretar como sigue: supongamos que sobre cada polo del imán, o masa magnética m, se ejerce una fuerza

BmF = Teniendo esta fuerza del mismo sentido que B sobre el polo norte, y opuesto a B sobre el polo sur (fig 24). Puesto que los polos están separados por una distancia l, el momento sobre el imán es:

BmlFlT == Como ya se había demostrado. Podemos considerar por tanto, el par, como debido a las corrientes electrónicas, y calcular su momento mediante la ecuación:

xlianABxT )(= O bien como producto por fuerzas ejercidas sobre los polos del imán, y entonces el momento se calculará mediante la ecuación:

BmlT = Ecuación 1-30

26

Fig 1-24 Fuerzas ejercidas sobre una barra imantada.

1.34 Balance de energía general. Vamos a considerar el circuito magnético de la figura 25 que es un convertidor de energía elemental, este consta de un circuito magnético en forma de E y una parte móvil en forma de I, en al parte en forma de E se coloca una bobina con N número de vueltas. Uno de los principales principios de la física es la conservación de la energía y dice “la energía no se crea ni se destruye solo se transforma”. Este fenómeno se puede aplicar al circuito de la figura 25. Las energías que se tienen son: la eléctrica que provienen de la fuente que alimenta la bobina, la energía magnética, y la energía térmica que se disipa en forma de calor estas se puede relacionar por la fórmula:

mecme WWW ∆+∆=∆ Ecuación 1-31

Fig 1-25 Convertidor electromecánico elemental.

Según la ecuación 31, una parte de la energía total aportada al sistema eléctrico se emplea para producir la energía que se cede al sistema mecánico, otra parte se almacena como energía asociada al campo magnético y una tercera parte (normalmente pequeña) se degrada a energía térmica como consecuencia de las irreversibilidades asociadas al proceso (pérdidas en los conductores, pérdidas por histéresis y corrientes de foucault en el hierro y rozamientos mecánicos). Con el objetivo de separar los efectos y analizar lo esencial del fenómeno, se considera que las pérdidas por efecto Joule en los devanados quedan integradas en la fuente de alimentación a base de incrementar la parte resistiva de su impedancia interna en una cuantía determinada, que las pérdidas mecánicas constituyen una parte más de la energía mecánica cedida y que las pérdidas debidas al campo magnético o bien son nulas o se engloban en la energía magnética almacenada en le mismo. Lo que resulta en una máquina eléctrica elemental sin pérdidas.

27

Consideremos que sucede en un intervalo de tiempo dt durante el cual la intensidad en la bobina varía y la pieza móvil sufre desplazamientos infenitisimales. Entonces, se podrá escribir el balance elemental de la energía como:

mecme dWdWdW += Ecuación 1-32

1.35 Energía electrica absorvida. Si se le aplica las ecuaciones de kirchoff al circuito de la figura 25 nos queda:

)()( tRidt

dtRieVa +=+=

φ

Si multiplicamos ambos lados de la expresión por idt, la energía eléctrica neta aportada a la bobina durante un intervalo de tiempo dt nos queda:

λideidtidtRiVdW ae ==−= )( Ecuación 1-33

1.36 Energía del campo magnético. Para obtener el término de dWm del balance de energía, es necesario primero conocer el valor de la energía almacenada en el campo magnético para una posición determinada de la pieza móvil. Imaginémonos por un momento que, manteniendo la pieza móvil en una posición fija se alienta la bobina con corriente continua. De acuerdo con dicha ecuación, y dado que al no haber movimiento se verifica que en todo momento que dWmec=0 y se podrá escribir:

λiddWdW me ==

Supongamos así mismo que la relación entre las corrientes y enlaces de flujo viene dada, para esa posición fija de la pieza móvil, por la curva de magnetización de la figura 26. Durante el transitorio de la conexión en el que la intensidad cruce desde cero hasta su valor final I1 y los enlaces de flujo desde cero hasta λ1, toda la energía aportada por la fuente se emplea en el incremento de la energía magnética almacenada en el campo, es decir:

∫∫ ==11

00

λλ

λiddWW mm

Cualquier variación posterior de la tensión aplicada provocará una variación en los valores de corriente y flujo que se establezcan en régimen permanente, verificándose que:

∫=∆2

1

λ

λ

λidWm

Fig 1-26 Energía almacenada en un campo magnético.

28

Ambas integrales rayadas A y B en la figura 26 son aplicables a cualquier sistema que comprenda un circuito magnético sin pérdidas. Si se admite que las N espiras de la bobina conectan el mismo flujo, se verifica que ℑ= /Nλ y la expresión se puede reescribir como:

λλλ dNididdWm ℑ=== Ecuación 1-34

1.37 Energia mecanica en un sistema lineal. Para determinar la variación de la energía mecánica es necesario conocer la velocidad y la fuerza en función del tiempo:

∫=∆t

mec vdttfW0

)(

Realizando cambio de variables sobre la ecuación anterior, se obtiene:

∫∫ ==∆)(

)0(0

),()(tx

x

t

mec dxxFdtdt

dxtfW λ

Para analizar las relaciones anteriores se puede utilizar como ejemplo el electroimán que se ilustra en la figura 25. En esta figura se ha representado un gráfico de la relación existente entre los enlaces de flujo λ y la corriente i, para dos condiciones extremas de la posición relativa del yugo del electroimán. Para la misma corriente i, al disminuir la distancia x, disminuye la reluctancia y se incrementan los enlaces de flujo λ. En el gráfico λ-i de la figura 26, la región sombreada representa la integral de la corriente i(λ) con respecto a λ para una posición x fija. Como se ha determinado en la ecuación de la energía mecánica, esta región representa la variación de la energía eléctrica en un circuito magnético que se energiza manteniendo constante la posición del yugo (x). En un sistema conservativo, la energía es una función del estado. Esto quiere decir que en estos sistemas el incremento de energía acumulada no depende de la trayectoria utilizada para alcanzar un determinado estado, sino del valor de las variables en los estados iniciales y finales del proceso.

Fig 1-27 Diagrama λλλλ-i de un electroimán elemental.

Para determinar la energía acumulada en el campo, es necesario calcular la diferencia entre las energías eléctrica y mecánica del sistema después del proceso. Si el sistema

29

mecánico está detenido, no existe variación en la energía mecánica del convertidor y por lo tanto toda la energía eléctrica que entra en la máquina se convierte en energía acumulada en el campo, entonces:

∫ ∆==∆)(

)0(

),(t

mece WdxiW

λ

λ

λλ

La ecuación anterior puede integrarse por partes y se obtiene:

∫−=∆i

mec dixidxiW0

),(),( λλλ

En la ecuación anterior, el término integral de define como la coenergía en el campo y se expresa como ∆W’c. En la figura 1.24 se observa que la coenergía es el área bajo la característica λ-i.

Fig 1-28 coenergía y energía en el campo.

En la figura 28 se observa que un sistema electromecánico donde la posición x es constante cumple la siguiente relación:

'. mecmec WWi ∆+∆=λ

De las definiciones anteriores de energía y coenergía en el campo magnético se destacan las siguientes observaciones:

1) Para la energía, el enlace de flujo λ es la variable independiente, y la corriente i es la variable dependiente.

2) Para la coenergía, la corriente i es la variable independiente y el enlace de flujo λ es la variable dependiente.

Si el sistema físico es lineal, es decir, si la relación entre los enlaces de flujo λ y la corriente i del convertidor electromecánico es proporcional, la energía y la coenergía son iguales, esto se puede observar en la figura 29.

Fig 1-29 convertidor electromagnético lineal.

Se puede determinar que:

Li=λ

30

22

2' Lii

WW mecmec ===λ

Ahora consideremos el caso en el cual el circuito magnético es movido una distancia dx en un tiempo dt en una región donde el campo es mantenido constante. La energía aportada al sistema debe ser cero porque los valores iniciales y finales del flujo son iguales. Entonces para un sistema conservativo se tiene:

0=+ mm dWdxF

La fuerza actuante sobre el circuito magnético es:

dx

dWF m

m −=

Cuando el flujo es mantenido constante. Esta ecuación claramente demuestra que la rata de decrecimiento de la energía almacenada con respecto al desplazamiento determina la fuerza desarrollada por el dispositivo magnético. Si se tiene un circuito donde hay un cambio de flujo dφ y la corriente se mantiene constante la ecuación se convierte en:

φIddWm =

Donde

2

φIddWmec =

La energía puede ser expresada como:

mmec dWdW 2=

Para un sistema conservativo se tiene:

mmmec dWdWdxF 2=+

La fuerza mecánica se puede calcular como:

dx

dWF m

mec = Ecuación 1-35

Manteniendo la corriente constante. La energía puede ser función ya sea de la corriente I o del desplazamiento x[Wm(I,x)] o en función del flujo φ y del desplazamiento x[Wm(φ,x)], una forma conveniente de expresar los términos de las ecuación de fuerza en términos de derivadas parciales como:

x

xWF m

m ∂∂

−=),(φ

Cuando el flujo es mantenido constante

x

xIWF m

m ∂∂

=),(

Cuando la corriente es mantenida constante. Ahora vamos a expresar la fuerza magnética en función de la inductancia de los circuitos magnéticos. La rata de cambio de la energía almacenada, cuando el flujo es constante es:

x

Li

x

iN

dx

dWm

∂∂

−=∂∂

= 2

2

1

2

φ

La fuerza magnética se puede expresar como:

x

LiFm ∂

∂= 2

2

1 Ecuación 1-36

31

Se puede demostrar también que la ecuación anterior se cumple cuando la corriente es mantenida constante. Esta ecuación es muy simple de usar en sistemas magnéticos lineales porque se puede determinar fácilmente la inductancia de un circuito magnético usando el concepto de reluctancia. EJEMPLO 1-1. Encuentre la fueraza magnetomotriz necesaria para establecer un flujo de 10mWb en un anillo de sección circular. El diámetro interno del anillo es de 20cm, y el externo es de 30cm. La permeabilidad relativa del material es de 1200. Cual es la reluctancia de la trayectoria magnética? EJEMPLO 1-2. Una bobina de 400 vueltas está uniformemente distribuida a lo largo de un toroide de sección transversal cuadrada y lleva una corriente de 200A, El radio interno del toroide es de 10cm y el externo es de 12cm. La permeabilidad relativa del material es de 1500. Determinar:

a) El flujo en el anillo. b) La reluctancia del anillo. c) La inductancia equivalente del anillo.

EJEMPLO 1-3. La estructura de hierro que se muestra en la figura tiene una permeabilidad relativa de 2500. La estructura tiene una bobina de 1500 vueltas. Determinar:

a) Cual es la reluctancia de la estructura de hierro. b) Determine la energía almacenada en el sistema si este se excita un con campo

magnético de densidad 1.1T.

EJEMPLO 1-4. Un relevador eléctrico de 12V y 60Hz tiene 1000 vueltas y consume 12mA eficaces de corriente. Suponga que el sistema magnético del relevador actúa como un inductor lineal y no tome en cuenta la resistencia.

a) Cual es la fuerza magnetomotriz que opera en la estructura magnética. b) Cual es el flujo máximo en el relevador. c) Cual es la reluctancia en la estructura magnética.

EJEMPLO 1-5. En la figura se muestra de un inductor que está construido de hierro y tiene un entrehierro de aire.

32

a) Cual es la reluctancia de la trayectoria de hierro. b) Si se aplica una tensión de corriente alterna de 60Hz de 120V eficaces a la

entrada de la bobina. Cual es el flujo magnético máximo en el hierro. c) Cual es la corriente eficaz que se requiere para establecer este flujo.

EJEMPLO 1-6 Un solenoide con núcleo de aire de 300 vueltas y de 0.5m de longitud tiene una capa sencilla de conductores enrollados con un radio de 0.02m. Halle la inductancia L.

Hl

SNL µ

ππµ284

5.0

)02.0(*300*104 22720 ===

−

EJEMPLO 1-7. Halle la inductancia de un solenoide de núcleo de aire que tiene varias capas, si N=300, r1=9mm, r2=25mm, l=20mm

Hxxx

x

rrlr

rNL µ585

10160101801054

)109(*300*6.31

)(1096

6.31333

232

121

21

2

=++

=−++

= −−−

−

EJEMPLO 1-8. Suponga que se tiene un toroide con núcleo de aire como se muestra en la figura con una sección circular de radio 4mm. Halle la inductancia si la bobina tiene 2500 vueltas y el radio medio es de 20mm.

mHr

SNL 14.3

02.02

)004.0(*2500*104

2

22720 ===

−

πππ

πµ

EJEMPLO 1-9. Suponga que un toroide con núcleo de aire tiene 700 vueltas, un radio interno de 1cm, un radio externo de 2cm, y una altura de a=1.5cm. Halle la inductancia.

33

mHx

x

r

raNL 02.1

101

102ln

2

015.0*700*104ln

2 2

227

1

22

0 =

=

= −

−−

ππ

πµ

EJEMPLO 1-10. Un núcleo de hierro colado que se muestra en la figura tiene un radio interno de 7cm y un radio externo de 9cm. Halle el flujo si la fmm en la bobina es de 500Av.

mrl 503.02 == π

mAvl

FH /995

503.0

500===

La curva B-H aparece en la figura adjunta y se tiene una B=1.140T, por consiguiente el flujo es:

mWbBS 456.002.0*14.1 2 ===φ EJEMPLO 1-11. El Circuito magnético de la figura está construido de dos secciones una en forma de C y una segunda en forma de I, estas están construidas de hierro colado. Halle la corriente que debe circular por la bobina de 150 vueltas si la densidad de flujo en el circuito en forma de I debe ser de B2=0.8T.

mxS4

1 102 −= , mxS4

2 106.3 −=

ml 34.012.011.011.01 =++=

ml 12.001.001.014.02 =−−= El flujo en la sección 2 es:

WbxSB4

22 1088.2 −==φ La densidad de flujo en la parte 1 es:

TS

B 44.11

1 ==φ

De la curva de H-B para el hierro colado mAvH /37.4841 = , mAvH /5.21872 =

La fmm total del cirucito magnético es: AvlHlH 18.4272211 =+=ℑ

La corriente en la bobina debe ser: AINI 84.2=⇒=ℑ

34

EJEMPLO 1-12. El circuito magnético de la figura es de hierro colado con una longitud media l1=0.44m y sección transversal 4cm2. La longitud del entrehierro es de la=2mm y la bobina tiene N=400 vueltas. Halle la corriente que debe circular por la bobina para establecer un flujo de φ=0.441 mWb en el espacio de aire. La densidad de flujo para el circuito es

TS

B 1.1==φ

Para el entrehierro de aire se cumple: mAvHHB /2.8753520 =⇒= µ

Para el hierro colado se cumple: mAvH /57.928=

AvlHlH aa 3.215911 =+=ℑ

La corriente que debe circular por la bobina es: 5.39A. EJEMPLO 1-13. El núcleo del circuito magnético de la figura es de hierro colado y tiene una sección transversal S1=4cm2 y una longitud media de l1=0.338m. El espacio de aire tiene una longitud la=2mm y un área aparente Sa=4.84cm2. Determinar el flujo φ, si por la bobina circula una corriente I=1A y tiene N=1000 vueltas. Como se puede apreciar en el ejemplo anterior, en el aire se cae la mayor cantidad de fuerza magnetomotriz, se puede decir que en este se cae una fuerza de 700Av.

mAvl

Ha

a /350000=ℑ

=

THBa 439.0== µ

mWbSBa 212.0==φ

La densidad de flujo en el hierro colado es:

TS

Bh 5321.0==φ

De la gráfica se puede obtener H: Hh=275.078Av/m

AvlH hh 97.92==ℑ

Avhat 97.79297.92700 =+=ℑ+ℑ=ℑ

Como la fuerza magnetomotriz total es menor que los 1000Av aplicados se debe realizar otra aproximación. Vamos a subir la caída en el aire a 850Av.

mAvl

Ha

a /425000=ℑ

=

THBa 534.0== µ

mWbSBa 258.0==φ

35

TS

Bh 646.0==φ

mAvH h /06.364=

AvlH hh 123==ℑ

Avhat 973123850 =+=ℑ+ℑ=ℑ

Que resulta muy cercana a lo 1000 Av de excitación. EJEMPLO 1-14. El circuito magnético de la figura es construido en la sección 1 de una aleación de niquel-hierro y tiene l1=16cm, S1=2.25cm2, y en la segunda parte de acero colado con l2=8cm, S2=8cm2. Halle las densidades de flujo en cada sección.

En las figuras de H vs B se puede apreciar que el acero colado es el peor conductor magnético y por ende allí hay una mayor caída de fuerza magnetomotriz, para empezar la iteración se dice que en al sección 1 hay una caída de 900Av.

mAvl

H /56251

1 =ℑ

= , de la gráfica respectiva se puede calcular la densidad de flujo

B1=0.765T, el flujo se puede calcular como φ=0.172 mWb, la densidad en el segundo segmento es B2=0.215T, la intensidad de flujo H2= 44.42Av/m, la fuerza magnetomotriz que se cae en esta sección es ℑ=3.55Av, la fuerza magnetomotriz total es 903.55 Av. EJEMPLO 1-15. El circuito de la figura es construido de una aleación de níquel-hierro, en la mitad tiene una bobina de 500 vueltas, las longitudes medias son: l2=l3=10cm y l1=4cm. Halle la corriente en la bobina, si se desea establecer un flujo φ3=0.173mWb.

36

Como las trayectorias l3 y l2 son iguales se puede considerar que por las dos secciones va el mismo flujo, por consiguiente el flujo en la sección 1 es:

mWb346.0321 =+= φφφ

La densidad de flujo de las secciones 1 y 3 es 1.15T, la fuerza magnetomotriz en las secciones 2 y 3 es H2=H3=238.22Av/m. Para la sección 1 se tiene una densidad de flujo B1=1.53T y la intensidad de flujo es H1=238.22Av/m; la fuerza magnetomotriz total del circuito es:

AvlHlHlHlH 35.3322113311 =+=+=ℑ la corriente que circula por la bobina es

I=66.7mA. EJEMPLO 1-16. El circuito magnético de la figura tiene un entrehierro con una longitud la=1mm y sección transversal aparente de Sa=1.7cm2. Si en el entrehierro se desea tener un flujo de φ3=0.06mWb que corriente debe tener la bobina de 500v para establecer el cometido; el núcleo está construido de acero colado. La fuerza magnetomotriz en el entrehierro se puede expresar como:

AvlS

lH a

a

aaaa 86.280

0

===ℑµφ

La fuerza magnetomotriz de la trayectoria 3 es:

TS

B 4.03

33 ==

φ;H3=1083.33Vv/m

ℑ3=H3l3=108.3Av La fuerza magnetomotriz total de esta rama es ℑb=ℑa+ℑ3=389.16Av; esta misma fmm se establece en la trayectoria 2; ya que están en paralelo. La intensidad se puede calcular como H2=ℑ2/l2=3891.6Av/m, la densidad de flujo seria B2=0.693T y el flujo sería φ2=0.0945mWb, el flujo total en la trayectoria 1 es la suma de los dos flujos φ1=φ1+φ1=0.1545mWb, la densidad de flujo es B1=0.515, la intensidad de flujo en la zona 1 es H1=1718.75Av/m y la fmm es ℑ1=68.75Av. La fuerza magnetomotriz total es ℑt=ℑ1+ℑb=457.9Av, la corriente I=0.92A. EJEMPLO 1-17. Las dos partes del circuito magnético de la figura son construidas de una aleación níquel-hierro. La parte en forma de I tiene una longitud LI=16cm, y una sección transversal SI=6cm2, La parte en forma de C tiene una longitud LC=34cm y un área transversal de SC=4cm2, tiene dos entrehierros de aire de la=0.5mm con un área Sa=7cm2. Determine la corriente en la bobina 1 si se debe establecer un flujo de 120µWb en el núcleo, la bobina 1 tiene N1=200 vueltas, por la bobina 2 pasa una corriente I2=0.5A, y tiene N2=200 vueltas.

37

La densidad de flujo que se debe tener en el entrehierro es de Ba=0.171, la fuerza

magnetomotriz es AvlS

a

a

aa 41.136

0

==ℑµφ

En la sección en forma de I se tiene una densidad igual a BI=0.2, que genera una intensidad de flujo de HI=41.32Av/m y una fuerza magnetomotriz ℑI=6.61Av. En la sección en forma de C se tiene una densidad igual a BC=0.3, que genera una intensidad de flujo de HC=61.98Av/m y una fuerza magnetomotriz ℑC=21.07Av. La fuerza magnetomotriz total es ℑt=ℑC+ℑI+ℑa =164.09Av. La fuerza magnetomotriz producida por la bobina 2 es 100Av, por consiguiente la fuerza magnetomotriz de la bobina 1 es de 64.09 Av y por la bobina 1 debe circular una corriente de I1=-0.32A. EJEMPLO 1-18. Dos bobinas idénticas están enrolladas como se indica en la figura. El núcleo es construido de un material de níquel-hierro, el circuito magnético tiene una sección S=6cm2 en toda su extensión. Las longitudes medias son l1=l3=14cm, L2=4cm. Halle las fmm en las bobinas para que el flujo en la extremidad derecha sea de 0.7mWb. Si se analiza la sección de la derecha, B3=1.16, H3=239.67Av/m, ℑ3=33.55Av. En la sección del centro la fmm se debe mantener, por consiguiente H2=838.7Av/m, B2=1.437T, φ2=0.858mWb, el flujo en el extremo izquierdo es φ1=φ2+φ3=1.558mWb, la densidad es B1=2.59, no se puede hallar porque el material entra en saturación. Recalculando el flujo nos queda φ1=φ2-φ3=0.158mWb, la densidad de flujo B1=0.263T, la intensidad de flujo es H1=54.33Av/m, la fuerza magnetomotriz es ℑ1=7.6Av. La fuerza magnetomotriz en el lado izquierdo es ℑ=41.15Av, la de la derecha es ℑ=67.1Av. La corriente en la izquierda es I=1.37A, en la derecha es I=2.24A. EJEMPLO 1-19. Cual es la corriente en la bobina, si esta tiene 1600 vueltas y se necesita establecer una densidad de flujo de 0.1T en el entrehierro. Cual es la inductancia del circuito magnético? Cual es la energía almacenada? Asuma que la relación B-H del material es

H

HB

+=

750

5.1, todas las dimensiones están en centímetros.

La fuerza magnetomotriz en el entrehierro es de

AvlB

aa

a 77.9750

==ℑµ

En la trayectoria de la derecha se tiene una fmm

AvlB

Bd 71.55*

5.1

750=

−=ℑ

mWbSB ddd 32.0* ==φ la densidad en la

sección d’ es TBd 05.0' =

38

AvxlB

Bd 89.111046*86.25*

5.1

750 2' ==−

=ℑ −

Para la sección en la izquierda se tiene Avdi 89.11'' =ℑ=ℑ

La densidad de flujo en esta sección es B=0.05T el flujo que se establece es de 0.16mWb, la densidad de flujo en la otra sección es 0.02T, la intensidad de flujo es 10.14Av/m, la fuerza magnetomotriz total es 13.18Av. EJEMPLO 1-20. Un conductor de 4m de largo yace a lo largo del eje y y transporta una corriente de 10A. Halle la fuerza sobre el conductor si el campo en la región es de 0.05T en el eje x.

kijxlxBIF 0.2)05.04(10)( −=== EJEMPLO 1-21. Halle las fuerzas por unidad de longitud sobre dos conductores paralelos, largos si cada uno lleva una corriente de 10A en la misma dirección y la distancia de separación es de 0.2m.

Ter

IB

50 12

−==π

µ

mNelxBIF /1)( 4−== EJEMPLO 1-22. El movimiento de un medidor de D’Arsonoval tiene un campo radial uniforme de 0.1T y un resorte de restauración con un torque τ=5.87e-5θ Nm, donde el ángulo de rotación está en radianes. La bobina tiene 35 vueltas y mide 23mm por 17mm. Que ángulo de rotación produce una corriente de 15mA en la bobina.

NmenBlIw505.2 −==τ

Esta bobina gira hasta que el torque sea igual al del resorte θ55 1087.51005.2 −− = xx

rad349.0=θ

39

2 EL TRANSFORMADOR El transformador es la máquina eléctrica más sencilla de construir, más eficiente y más usada hoy en día. Esta máquina está compuesta por dos devanados, uno que se llamará primario que se conectará a una fuente de corriente alterna y otro que se llamará secundario y se conecta a la fuente. Un transformador puede entonces considerarse como un circuito magnético que tiene dos devanados uno por donde entra energía eléctrica (primario) y otro por donde sale (secundario). En resumen un transformador es una aparto estático (por tal razón hay varios autores que no lo consideran máquina) de inducción electromagnética destinado a transformar niveles de corriente en una intensidad a niveles de otra intensidad.

Fig 2-1. Partes del transformador.

2.1 Ley de faraday aplicada al transformador. Ley de Faraday: en la antigüedad se pudo establecer que se creaba una tensión en un conductor cada vez que se le acercaba o se alejaba un imán permanente y la magnitud de la tensión inducida dependía de la velocidad de acercamiento o alejamiento al igual que su polaridad. También se notó que cuando se acercaba un conductor a otro por el cual circulaba una corriente eléctrica variable en este se inducía una tensión. Estos dos sucesos físicos llevaron a proponer al señor Faraday la ley de las tensiones que dice así: La tensión inducida fem (fuerza electromotriz inducida) en un circuito es numéricamente igual a la derivada respecto al tiempo, del flujo que la atraviesa como se muestra en la ecuación.

tE

∂∂

−=φ

Ecuación 2-1

Ordinariamente se utiliza con esta ecuación el convenio de signos del tornillo corriente de roscas derechas. Si miramos hacia el circuito, se considera positiva la fem cuando ocasiona una corriente que tenga el sentido (convencional) de las agujas del reloj y dφ/dt se considera positiva si hay un aumento del flujo que se aleja del observador.

40

Si el flujo magnético que atraviesa un circuito varía una cantidad finita ∆φ en un intervalo de tiempo ∆t, la fem media inducida está dada por:

tE

∆∆

−=φ

2.2 Principio de funcionamiento. Sea un circuito magnético formado por chapas magnéticas y rodeado por dos bobinas B1 y B2, donde la bobina B1 se conecta a los terminales de un generador de corriente alterna. Esta bobina de ahora en adelante se llamará primaria, y actúa como una inductancia; al ser atravesada por una corriente variable produce un flujo en el circuito magnético que recorrerá todo el circuito magnético y se concentrará en él. Cuando un flujo magnético atraviesa la misma bobina se crea una tensión E1 en los terminales que tiende a oponerse a la tensión de alimentación V1 (ver fig 2.2).

Fig 2-2. Circuito equivalente del transformador Este flujo también atravesará la bobina B2, llamada también bobina secundaria, y creará una tensión E2 inducida en de la misma frecuencia del primario. Si en el secundario se conecta una impedancia, por esta y el devanado va a circular una corriente I2, esta no se puede crear de la nada, sino se transfiere desde el primario, es decir hay una inducción de corriente. Y a su vez la corriente inducida en el secundario aumentará la corriente I1 del primario. Así pues, un transformador puede ser considerado como un grupo de arrollamientos o grupo de devanados eléctricamente independientes y acoplados entre sí por un circuito magnético. Para que el acoplamiento de los circuitos sea máximo, el flujo debe ser alto y debe haber una pequeña reluctancia en el circuito magnético. Esto conlleva a que los transformadores sean construidos de un material que tenga una alta permeabilidad relativa (materiales ferromagnético o algunas de sus aleaciones) y debe ser laminado para evitar altas pérdidas. El flujo φ que atraviesa ambos bobinados del transformador viene dado por la expresión

A

l

NIFmm

r 0µµ

φ =ℜ

= Ecuación 2-2

41

Se entiende por reluctancia la naturaleza del material que se opone a la creación del flujo magnético.

2.3 Estudio de los flujos del transformador. Se considerará el transformador de solo dos devanados para ser estudiado, ya que con más devanados las ecuaciones se complicarían. Sin embargo, lo que se saca para dos devanados puede aplicarse para más de ellos. Supongamos que la bobina del primario está construida de N1 numero de vueltas y el secundario por N2, también suponemos que la bobina 1 toma energía de la fuente de alimentación y el secundario da energía a una impedancia. Por la bobina 1 circulará una corriente I1 y por la bobina 2 circulará una corriente I2. La corriente I1 producirá un flujo φ11 y la corriente I2 producirá el flujo φ22 . Entre la dos bobinas habrán flujos de enlace φ12 y φ21 estos flujos son producidos en la bobina correspondiente al primer subíndice y atravesarán la bobina del segundo. En cada bobina habrán flujos de dispersión φd1 y φd2 debidas a la características del circuito magnético y el aire que las rodea. Lo que conlleva a tener φ1 y φ2 flujos que atraviesan los devanados primario y secundario.

Fig 2-3. Flujos presentes en un transformador

Se pueden hallar las relaciones entre cada uno de los flujos de la siguiente manera:

12111 φφφ += 21111 φφφ += d

21222 φφφ += 12222 φφφ += d

2112 φφφ +=M

La relación de flujo útil φ21 que atraviesa el secundario al flujo total producido por el primario recibe el nombre de coeficiente de acoplamiento del primario al secundario K1.

11

211 φ

φ=K

Análogamente se define el coeficiente de acoplamiento del secundario al primario K2.

42

22

122 φ

φ=K Ecuación 2-3

2.4 Coeficientes de autoinducción de primario y secundario. La inductancia de cualquier devanado es directamente proporcional al número de vueltas, flujo e inversamente proporcional a la corriente, se pueden hallar las inductancias propias de cada devanado y las inductancias de dispersión por medio de:

1

11111

INL

φ=

1

111

INL d

d

φ=

2

22222

INL

φ=

2

212

INL d

d

φ=

La inductancia mutua se puede hallar como

2

121

1

212

IN

INM

φφ== Ecuación 2-4

2.5 Ecuaciones del transformador ideal. En la figura 2-4 se pueden observar las principales variables eléctricas que influyen en un transformador ideal.

Fig 2-4 Variables eléctricas de un transformador.

La tensión inducida en el primario se puede hallar por medio de:

t

IL

t

ILIRe

∂∂

+∂∂

+= 212

111111 ...

De igual manera la tensión inducida en el secundario tiene la forma de:

t

IL

t

ILIRe

∂∂

+∂∂

+= 222

121222 ...

Ahora bien, como L12 y L21 coinciden con la definición de la inductancia mutua M, podemos escribirlas como:

t

IM

t

ILIRe

∂∂

+∂∂

+= 2111111 ...

Y la tensión en el secundario puede hallarse como:

t

IL

t

IMIRe

∂∂

+∂∂

+= 222

1222 ...

43

Las ecuaciones anteriores son muy frecuentes para representar el transformador en la teoría de circuitos. En electrónica suelen representarse las ecuaciones en las que aparecen los coeficientes de autoinducción de fugas las cuales serán deducidas a continuación. De acuerdo con el transformador que se dibujó arriba se pude describir:

'1111 . eIRe += '2222 . eIRe +=

Siendo:

tNe

∂∂

= 11

'1

φ

tNe

∂∂

= 22

'2

φ

Donde F1 y F2 son los flujos que atraviesan los devanados primario y secundario. Puesto que Md φφφ += 11 y Md φφφ += 22 obtenemos :

tN

tNe M

∂∂

+∂∂

=φφ

11

1'1

tN

tNe M

∂∂

+∂

∂=

φφ2

22

'2

Ahora bien:

)()( 11111

11

111 IL

tN

ttN

INL dd

ddd ∂

∂=

∂∂

=∂

∂⇒

∂= φ

φφ

)()( 22222

22

222 IL

tN

ttN

INL dd

ddd ∂

∂=

∂∂

=∂

∂⇒

∂= φ

φφ

Y por lo tanto, finalmente

tN

t

ILIRe M

d ∂∂

+∂∂

+=φ

... 11

1111

tN

t

ILIRe M

d ∂∂

+∂∂

+=φ

... 22

2222

Donde se puede ver que las tensiones e’ son iguales a una caida de tensión en la autoinductancia de dispersión más una caída de tensión debida al flujo en común. De acuerdo con lo acostumbrado en los libros de electrotecnia, se llamaran L1 y L2 a los coeficientes de autoinducción Ld1 y Ld2. Con esta nueva notación las ecuaciones se transforman a:

tN

t

ILIRe M

∂∂

+∂∂

+=φ

... 11

1111 Ecuación 2-5

tN

t

ILIRe M

∂∂

+∂∂

+=φ

... 22

2222 Ecuación 2-6

2.6 El transformador ideal. El transformador ideal es aquella máquina eléctrica que cumple con las siguientes condiciones:

1) La permeabilidad del núcleo es tan elevada que el flujo común está producido por una fmm despreciable.

44

A

l

NIFmm

r 0µµ

φ =ℜ

=

Y hay que recordar que una permeabilidad muy elevada equivale a una reluctancia del circuito magnético casi nula. 2) las resistencias de los devanados primario R1 y secundario R2 son nulas. 3) Las pérdidas por corrientes parásitas en el núcleo son despreciables. 4) El flujo que se establece en el circuito magnético del núcleo atraviesa a ambos

devanados por igual, o dicho de otra manera son nulas. Teniendo en cuenta estas hipótesis, se establecerán a continuación las propiedades más importantes del transformador. 1 ) la relación entre las tensiones inducidas en el primario e1 y secundario e2 es igual a la relación del número de espiras en los devanados primarios N1 y secundarios N2.

tNe M

∂∂

=φ

11 t

Ne M

∂∂

=φ

22

Y dividiendo ambas

ae

e

N

N==

2

1

2

1 Ecuación 2-7

A la relación a se llamará de ahora en adelante la relación de transformación. 2) La relación entre las corrientes del primario I1 y secundario I2 es sensiblemente igual a la inversa de la relación de transformación a. Para demostrar esto se pude decir que la fuerza magnetomotriz que entra al primario es igual a la del secundario.

aI

I

N

NININ

1.

1

2

2

12211 ==⇒==ℜφ Ecuación 2-8

3) Las impedancias conectadas al primario o secundarios se ven reflejadas en el primario o secundario:

12

1

12

1

1

2

22 /

ZaI

Ea

aI

aE

I

EZ ==== Ecuación 2-9

4) La potencia tomada del primario es igual a la potencia entregada a la carga en el secundario

111 IVP = , 21111

1222 PPIVa

IaVIVP =⇒=== Ecuación 2-10

2.7 Circuito equivalente del transformador ideal. De acuerdo a las deducciones anteriores se puede elaborar el circuito equivalente como se muestra en la figura 2.5. Este circuito consta de una fuente de alimentación en el primario, una fuerza contraelectromotriz E1 inducida en el primario que se opone a la tensión de la fuente, una tensión inducida en el secundario E2, una corriente que proviene de la fuente I1 y se traslada al secundario I2. y un símbolo del transformador en medio de ellos.

45

Fig 2-5. Circuito equivalente del transformador ideal.

2.8 El transformador real. Hay unas pequeñas diferencias que tiene el transformador real con respecto al ideal como se van a mencionar a continuación: La primera diferencia entre el transformador real y el ideal es que en el primero no tiene un permeabilidad elevada, es decir que para producir una fem inducida en cualquiera de los devanados se debe tener una corriente pequeña en el primario para producir un flujo. Si se considera que el devanado secundario no tiene ningún tipo de carga (sus terminales están al aire) y se aplica una tensión de alimentación Va al primario, en este se debe inducir una tensión E1 dada por la ecuación:

tNe M

∂∂

=φ

11

Para que haya esta fuerza contraelectromotriz E1 debe existir un flujo φ que crea esta tensión para que se oponga a la tensión Va. Como ahora el transformador no es ideal será preciso reconocer la existencia de una fuerza magnetomotriz F=N1I1≠0 para crear dicho flujo, lo cual implica que el transformador absorba una cierta corriente en el devanado primario, aún en el caso de que el secundario esté abierto. A esta corriente se le llama corriente en vacío y se le designa por I0. Ahora vamos a suponer que se coloca una carga en el secundario; entonces por este devanado circulará una corriente I2 que dará lugar al flujo φ22. El flujo común permanecerá invariable puesto que hallamos con anterioridad que para transformadores ideales se cumple que:

tNe M

∂∂

=φ

11

Es decir, el flujo común permanecerá invariable dado que debe incluir una fuerza contraelectromotriz igual a al tensión aplicada, la cual es independiente de la tensión en el secundario. Por lo tanto al circular una corriente por el secundario, la corriente en el primario aumentará su amplitud para equilibrar la fuerza magnetomotriz creada por ella. Entonces podemos suponer la corriente del primario como respuesta de dos partes. Una la corriente de excitación o vacío I0 y otra la corriente de carga reflejada I’L como se muestra en la siguiente ecuación:

'201 III += Ecuación 2-11

46

Así pues, I0 es la corriente necesaria para crear una fuerza contraelectromotriz que equilibra el voltaje aplicado y I’L da lugar a la fuerza magnetomotriz que compensa la corriente en el secundario I2. Hay que tener en cuenta que la forma de onda de la corriente en vacío es distorsionada debido a los ciclos de histéresis y la relación no lineal entre la densidad de flujo y la excitación magnética de un circuito magnético. Este efecto se puede ver en la figura 2.6 Hay que recordar que la forma no senosoidal de la corriente en vacío produce armónicos de corriente que a su vez generan calentamiento en otros equipo de potencia o en los generadores.

Fig 2-6 Forma de onda de la corriente en vacío de un transformador.

La segunda diferencia entre los transformadores ideales y reales es que las pérdidas en el núcleo no son despreciables. Como hasta ahora hemos visto la corriente en vacío del transformador es empleada solamente para crear un flujo magnético para compensar la tensión aplicada en el primario y para nada se han tenido en cuenta las pérdidas en el núcleo. Sin embargo, es sabido que el núcleo consume cierta energía que se va a gastar en la orientación de los dipolos del núcleo o en los llamados ciclos de histéresis. Y otra parte se induce en el núcleo debido a las corrientes parásitas. Dicho de otra manera así se conecte un transformador en vacío este consume potencia y a esta se le llama las pérdidas del transformador. Como se puede observar la corriente en vacío I0 tiene dos componentes a saber: Im. Corriente de magnetización, esta corriente está en fase con el flujo. IH: que representa las corrientes de Eddy y se encuentra en fase con la tensión aplicada.

Fem III +=0 Ecuación 2-12

Suele suceder que la corriente en vació en los transformadores es del 4 al 8% de la corriente de carga y no se comete un error significativo si se supone que la forma de onda de las corrientes en vacío son senoidales. Si se hace el diagrama fasorial de las corrientes en vacío se pude ver mejor la relación entre ellas.

47

Fig 2-7 Diagrama fasorial de las corrientes en vacío.

2.9 Circuito equivalente de un transformador real. Un circuito equivalente es aquel que puede describir con gran exactitud el comportamiento eléctrico de un aparato. Y a partir de él es fácil obtener las ecuaciones que rigen su comportamiento. Como punto de partida se tomará el circuito del transformador ideal que se ve en la figura 2-5. y se le agregaran algunos elementos que describen con exactitud el comportamiento del real. Como punto de partida se deben agregar unas resistencias y unas inductancias en cada uno de los devanados del transformador. La resistencia es debida a que los devanados son construidos de cobre o aluminio, estos son materiales físicos que tienen una resistividad a lo largo del conductor, es decir no es un elemento concentrado sino distribuido; pero su efecto se puede estudiar como una resistencia R1 y R2 que represente estos efectos. Hay que recordar que siempre que haya una corriente solidaria a esta habrá un flujo magnético. Este flujo se concentra en un circuito magnético compuesto por una fuerza magnetomotriz expresada como el producto de la corriente por el número de vueltas de la bobina y una reluctancia. Hay que recordar que la inductancia se expresa por medio de la formula:

ℜ=

2N

L Ecuación 2-13

Fig 2-8. Transformador ideal con los efectos de resistencia e inductancia de los devanados.

El segundo efecto que se debe tener presente es la corriente en vacío, esta tiene dos efectos una debida a las corrientes parásitas o de Eddy IFe y otra a los ciclos de histéresis IH estos efectos se pueden representar por una inductancia y una resistencia ficticias (no presentes físicamente en el transformador) en paralelo con el devanado primario como se muestra en la figura 2-9.

48

Fig 2-9 Transformador ideal con los efectos de corrientes de Eddy e histéresis.

Las impedancias de magnetización se suelen colocar en el primario del transformador para decir que estas se usan para crear el flujo en el núcleo. Aunque estas se pueden dibujar en el secundario para evitar las operaciones matemáticas que reflejan su efecto al primario.

Fig 2-10 Circuito equivalente total de un transformador real.

Si consideramos nuevamente las corrientes en vacío senosoidales (como se sabe no es totalmente cierto) podemos hacer un diagrama fasorial de las tensiones, y corrientes del transformador real. Para iniciar partimos de la tensión y corriente del secundario. Tomaremos la tensión en el secundario V2 con una referencia a cero grados; la corriente de este devanado I2 está desfasada un ángulo θ2 dado por la impedancia de carga. En la resistencia e inductancias del devanado secundario se presentan unas caídas de tensión VR2 y VX2 debidas a la circulación de la corriente I2 por el devanado secundario. La tensión en al resistencia VR2 está en fase con la corriente y la tensión VX2 está desfasada 90º con respecto a la corriente. La tensión inducida en el secundario E2 es la suma de las tres componentes:

2222 RX VVVE ++= Ecuación 2-14

Fig 2-11 Diagrama fasorial del devanado secundario.

La tensión reflejada en el devanado primario debida a la tensión en el secundario está en fase con este último y su magnitud varia de acuerdo a la relación de transformación como se expresa en la ecuación:

49

2

1

2

1

N

N

E

E=

Como guía para saber la magnitud se debe analizar si el transformador es elevador o reductor. Si el transformador es elevador la tensión en el primario debe ser más alta; por el contrario, si el transformador es reductor la tensión en el primario debe ser mas baja. Algo similar sucede con las corrientes; cuando por el secundario circula una corriente, en el primario hay una que es un reflejo de esta y la llamaremos corriente reflejada del secundario al primario y se halla por medio de la ecuación de la corriente como lo expresa la siguiente ecuación:

2

1

1

2

N

N

I

I=

De forma contraria a lo que sucede con las tensiones, si el transformador es elevador la corriente reflejada en el primario es mas pequeña que la del secundario y si el transformador es reductor la corriente es más grande hay que recordar que solo se afectan las magnitud de la corriente y no el ángulo.

Fig 2-12 Diagrama fasorial de las corrientes y tensiones reflejadas del secundario al primario.

Ahora analizaremos que le sucede a las corrientes y tensiones en el primario, La corriente del primario I1 es la suma de tres efectos a saber, por un lado se tiene la corriente del secundario reflejada al primario I*2, se tiene una corriente en vacío que es la suma de la corriente de magnetización IFe y la corriente de histéresis IH que forma la corriente en vacío I0 como se demuestra en la siguiente ecuación:

*201 III +=

Las tensiones tienen un comportamiento similar a las del secundario; La tensión en la fuente V1 es la suma de la tensión reflejada en el secundario E1 más la caída de tensión en la resistencia del primario VR1, más la caída de tensión en la inductancia del primario VX1 como se muestra en la siguiente ecuación:

1111 RX VVEV ++= Ecuación 2-15

2.10 Circuitos referidos del transformador. En lugar de trabajar con dos circuitos, el primario y el secundario algunos programas de computador usan todos los valores de tensiones, corrientes e impedancias; ya sea en el primario o secundario para facilitar los cálculos a estos circuitos se les llaman modelos

50

simplificados y hay dos uno simplificado al primario y otro simplificado al secundario aunque el que más se usa es el referido al primario. Para obtener el transformador reflejado al primario los valores de corriente, tensiones e impedancias del primario se dejan en su valor predeterminado así como las impedancias de magnetización. En cambio, las tensiones del secundario se deben reflejar al primario por medio de la relación E1=E2*a, donde a es la relación de transformación, la corriente del secundario reflejada al primario se obtiene por medio de I’1=I2/a y las impedancia del secundario se obtienen por medio de Z2’=Z2*a2

y el circuito equivalente se puede ver con exactitud en la figura 2-13.

Fig 2-13 Circuito equivalente del transformador referido al primario.

Algunos autores no les gusta el transformador referido al primario sino al secundario y se sigue el siguiente procedimiento: las corrientes, tensiones e impedancias del secundario no se les aplica ninguna transformación; La tensiones del primario se deben referir al secundario por medio de su ecuación E2=E1/a, las corrientes por medio de I2=I1*a, las impedancias del devanado por medio de Z1’=Z1/a

2 y la impedancias de magnetización por medio de Z0’=Z0/a

2. El circuito equivalente se puede ver en la figura

2-14.

Fig 2-14 Circuito equivalente del transformador referido al secundario.

2.11 Obtencion de los parametros del transformador. La obtención de los cuatro parámetros básicos del transformador, impedancia del primario, impedancia del secundario, impedancia de magnetización y corriente en vació se pueden hallar por medio de dos pruebas sencillas que se llaman prueba en vacío y la prueba de corto circuito. Para el ensayo de circuito abierto se debe alimentar el primario a tensión nominal al mismo tiempo que el secundario no tiene nada conectado entre sus terminales (está en vacío). Como primario, se puede seleccionar el lado de alta tensión o el lado de baja tensión solo se afectan las magnitudes de las corrientes y tensiones y se debe tener en cuenta por que lado se tomaron las medidas. Pero hay algunas normas que indican claramente que esta prueba se debe realizar por el lado de baja tensión, ya que algunas veces es difícil conseguir una tensión aplicable al lado de alta ya sea por seguridad o por presupuesto (por ejemplo, en el caso de transformadores de potencia de 220KV/34.5

51

KV donde es difícil tener la tensión del lado de alta). Además las corrientes que se manejan en esta prueba son bajas. Para poder tener una medición de los parámetros se deben tomar los datos de tensión, corriente y potencia por medio de un voltímetro, amperímetro y un vatímetro. La conexión de estos instrumentos se pude ver en al figura 2-15. Como no sale ninguna potencia del secundario, es evidente que toda la potencia que entra se perderá y esta potencia será la suma de las pérdidas en el cobre del primario y las pérdidas en el hierro. Como puede verse en al figura 2-15, por el secundario no circula ninguna corriente y por ende allí no se presenta ningún tipo de pérdidas, ahora si analizamos el primario hay unas pérdidas en el cobre del primario o en la resistencia R1 y unas pérdidas en la resistencia de magnetización RFe. Como se ha dicho con anterioridad, la corriente en vacío es del orden del 4 al 8% de la corriente nominal; además las impedancias de los devanados son pequeñas comparadas con las impedancias de la rama de magnetización. Con gran precisión se pude suponer que las pérdidas allí registradas son las pérdidas en el hierro PFe.

Fig 2-15. Prueba de circuito abierto.

Como ya sabemos, las pérdidas en el hierro son debidas a las corrientes por ciclos de histéresis y las corrientes de Foucault. Ahora bien, como sabemos estas dependen de la inducción máxima, o dicho de otra manera, por el voltaje aplicado y de su frecuencia. La variación de las perdidas en el hierro PFe con el voltaje es pequeña, por lo que no se incluye en un error grande si se consideran constantes para cualquier tensión aplicada. En cuanto a la frecuencia digamos que un transformador destinados a uso industrial utilizará una frecuencia de 50 o 60 Hz dependiendo del país donde se vaya a instalar. Y así podemos suponer que las pérdidas PFe de los transformadores son las mismas para todas las cargas e iguales a la prueba de vacío. Una vez hechas las consideraciones anteriores se puede hacer el cálculo de la impedancia.

El valor de la impedancia se halla: 1

1

I

VZm =

El ángulo de la impedancia se halla: )(cos11

11

IV

Pm

−=θ

El valor de la resistencia se puede hallar como: )cos(* mmm ZR θ=

Y el valor de la reactancia se halla: )(* mmm senZX θ=

52

2.12 Ensayo de cortocircuito. Ahora vamos a hacer un cortocircuito en el secundario. Al ser la impedancia del cortocircuito muy baja la corriente que circula por este y el primario es elevada y si se deja por mucho tiempo se puede quemar los dos devanados. Para evitar el daño del transformador se debe energizar el primario a una tensión más baja que la nominal, de tal forma que por el secundario y primario circule la corriente nominal, si se logra esto el transformador no corre riesgo de dañarse y la prueba se puede demorar un poco. A la tensión de cortocircuito se le denominará V1cc, y por ende será mucho menor que la tensión de funcionamiento o de régimen permanente o nominal debida a la baja impedancia que se presenta en los devanados del transformador. Como se pude ver en la figura 2-16 hay dos corrientes que circulan por el circuito equivalentes, la primera corresponde a una corriente alta que circula por los devanados primario y secundario debida al cortocircuito del secundario; y una pequeña que circula por la rama de magnetización. Puesto que las pérdidas en el cobre dependen solamente de la corrientes en los devanados y estas con iguales a las nominales, la potencia que se mide en esta prueba es la correspondiente a las pérdidas en el cobre, o dicho de otra manera, es la potencia que se pierde en los devanados del transformador. La otra corriente que vimos anteriormente es la corriente que va por al rama de magnetización. Si se analiza la tensión en bornes del transformador V2 es cero, por ende la tensión inducida en el secundario E2 es pequeña, solo la tensión caída en la impedancia del secundario I2(R2+jX2) . Al hallar la tensión en el primario se puede hallar por medio de aE2 que también es pequeña, la corriente por la rama de magnetización es baja debida al valor bajo de E1 y la alta impedancia de la rama de magnetización.

Fig 2-16 prueba de cortocircuito.

Por medio de las siguientes ecuaciones se puede calcular el valor de la impedancia. La magnitud de la impedancia total es:

211

1 aZZI

VZt +==

El ángulo de la impedancia es:

)(cos11

1

IV

P−=θ

La resistencia total de la prueba es: )cos(θtt ZR =

53

La impedancia total de la prueba es: )(θsenZX tt =

La resistencia del primario y secundario se debe medir por medio del voltímetro y amperímetro como se indica en la figura 2-17. Las reactancias del primario y secundario se debe deben calcular de forma proporcional a estas de la siguiente manera:

22

1

11

RaR

RXX t

+= Ecuación 2-16

La reactancia del secundario se puede calcular como:

122

XXXa t −= Ecuación 2-17

En el caso de que no se tenga como medir las resistencias se debe dividir la resistencia y reactancias totales en dos y hacer las transformaciones al secundario.

21tR

R = 22

2 tRRa =

El valor de la reactancia se puede calcular como:

21tX

X = 22

2 tXXa = Ecuación 2-18

Fig 2-17 Medición de la resistencia de los devanados.

2.13 Polaridad de un transformador. Un transformador puede tener devanados múltiples conectados en serie, para incrementar la tensión de funcionamiento o en paralelo para aumentar la corriente máxima que pueda manejar. Sin embargo, antes de hacer estas conexiones es necesario conocer las polaridades de cada devanado para no hacer conexiones indebidas y hacer cortocircuitos.

Fig 2-18 Polaridad del transformador.

54

Si se examina el transformador de la figura 2-18 donde se le coloca una fuente de alimentación senosoidal se puede notar que la tensión E1 se opone a la tensión de alimentación V1 se pude ver en la figura que el Terminal 1 del primario es conectado al positivo de la fuente y que el Terminal 2 está conectado al Terminal negativo. Como se sabe la corriente es la encargada de crear el flujo magnético en el núcleo y la dirección que hay entre los dos es establecida por la regla de la mano derecha. En pocas palabras, la corriente del devanado primario le da la dirección al flujo. Este flujo debe inducir una tensión E2 en el secundario y esta hará circular una corriente por el devanado secundario. Recordemos que la corriente en el secundario tiende a oponerse al flujo que la produce. Si se sigue esta ley se puede ver que los terminales marcados con el punto representan los terminales positivos en cada devanado.

Fig 2-19 Prueba de polaridad del transformador.

Hay una prueba muy sencilla para determinar la polaridad y consiste en alimentar el devanado primario a una tensión reducida, luego hacer un puente entre los devanados primario y secundario; posteriormente se debe medir la tensión entre los terminales que no estan unidos por el puente. Esta tensión puede ser de dos valores una tensión que es menor a la aplicada en el primario y otra es que la tensión sea más alta que aplicada V1. En el primer caso se está hablando de una polaridad sustractiva y en el segundo de una polaridad aditiva. Como se pude deducir en la figura 2-19, en la polaridad aditiva, el puente está uniendo bornes de diferente polaridad. Mientras que la polaridad sustractiva el puente está uniendo bornes de igual polaridad.

2.14 Regulación de voltaje. Hora vamos a analizar el transformador cuando está en vacío y cuando está con carga y para ello se usará la figura 2-20. En le caso de que el transformador esté sin carga la corriente en el devanado secundario es cero y por ende la caída de tensión en I2(R2+jX2) es cero. Si se analizan las caídas de tensión en el primario, se pude ver que hay una pequeña caída de tensión en la impedancia dada por I1(R1+jX1) que es pequeña porque I1 solo es la componente en vacío. Por lo explicado anteriormente, se ve que la tensión en el secundario se puede calcular como E2=aV1.

Fig 2-20 Transformador con carga y sin carga.

Ahora vamos a analizar el transformador con carga, es obvio que en el secundario hay una corriente I2 que genera una caída de tensión I2(R2+jX2) que no es despreciable. En el primario se genera una corriente I1=I2/a+I0 que genera una caída de tensión

55

I1(R1+jX1) que ya no es despreciable. En el caso de estar con carga la tensión en el secundario ya no se puede calcular de forma simple sino que hay necesidad de usar una expresión más compleja. El cambio de tensión se expresa en forma porcentual y se llama regulación de voltaje y se expresa por la siguiente formula:

100%2

22

PL

PLNL

V

VVR

−= Ecuación 2-19

Donde V2NL es la tensión sin carga en el secundario y V2PL es la tensión en el secundario con carga. La regulación de tensión es una figura de mérito. Para un transformador ideal la regulación de tensión es cero, porque no hay impedancias en los devanados. Mientras que en el transformador real, este valor no puede nunca ser cero, porque este tiene resistencias físicas; pero si la regulación de tensión es baja, se dice que el transformador opera satisfactoriamente.

2.15 Potencias de pérdidas en los transformadores. Si se parte de un transformador ideal se ve por medio de las ecuaciones que lo rigen que la potencia que entra es igual a la que sale; esto se debe a que los devanados no tienen resistencias y además el núcleo magnético no tiene ni ciclos de histéresis ni corrientes de Eddy. La primera potencia que se debe calcular es la potencia de salida, esta es la que toma la carga desde el transformador. La ecuación con la que se puede calcular es:

)cos(22 VIout IVP θ= Ecuación 2-20

Como se puede observar la potencia de salida depende de la tensión de salida, de la corriente de salida y del factor de potencia de la carga; en otras palabras la carga es quien impone las condiciones de trabajo del transformador. La segunda potencia que se puede calcular es la potencia que se disipa en forma de calor en los devanados o pérdidas en el núcleo. Estas corrientes dependen del valor de la resistencia de cada devanado y de la corriente que circula por ellas. En cada devanado hay una resistencia y por ende hay dos factores que afectan estas pérdidas. La ecuación para calcular la totalidad de las pérdidas es:

2221

2121 RIRIPPP CUCUCU +=+= Ecuación 2-21

Como se sabe el transformador tiene dos pérdidas en el núcleo una debida a las pérdidas por las corrientes de remolino y otras debidas a los ciclos de histéresis. Estas dos componentes se pueden calcular en una sola ecuación como sigue:

02

RIP FeFe = Ecuación 2-22

La otra potencia que se debe tener en cuenta es la potencia de entrada que se define como la potencia que la fuente entrega al transformador y se puede calcular como:

)cos(11 VIin IVP θ= Ecuación 2-23

La potencia transferida del primario al secundario es la potencia que debe soportar el circuito magnético. Si el núcleo no se dimensiona de forma adecuada no se puede,

56

simplemente el transformador no sirve para soportar esa potencia. La forma de calcular esta potencia es:

)cos()cos( 2211 VIVIt IEIEP θθ == Ecuación 2-24

2.16 Eficiencia del transfromador. La eficiencia de una maquina en general se puede definir como la relación de la potencia de salida sobre la potencia de entrada. Como se pude deducir la potencia que le entra a un transformador es más alta que la de salida; porque la fuente debe proveer la potencia de salida del transformador más la de pérdidas en el núcleo más la potencia de salida. Por ende, la eficiencia es siempre menor del 100%.

100%in

out

P

PE = Ecuación 2-25

Sin carga, la eficiencia del transformador es cero y se incrementa con el aumento de la carga hasta alcanzar un valor máximo y luego vuelve a decrecer como se muestra en la figura 2-21. Un aumento de carga hace que la eficiencia decrezca. Al pico máximo se le llama eficiencia máxima.

Fig 2-21 Curva de la eficiencia de un transformador.

2.17 Criterio de la máxima eficiencia. Para hallar el criterio de la máxima eficiencia se puede observar el circuito de la figura 26 que tiene todos sus componentes referidos al primario. La corriente de carga equivalente y el voltaje en la carga son θ<pI y la tensión es dada por aV2, por

consiguiente la potencia de salida es: )cos(2 VIpout IaVP θ=

Las pérdidas en el cobre son dadas por:

TpCU RIP2=

Si la pérdidas en el núcleo es PFe entonces la potencia de entrada es:

TPFepin RIPIaVP2

2 )cos( ++= θ

Así la eficiencia del transformador es:

TPFep

p

RIPIaV

IaVE

22

2

)cos(

)cos(%

++=

θ

θ

La única variable en la ecuación anterior es la corriente de carga Ip, para una impedancia de carga dada. Por consiguiente, si se deriva con respecto a Ip y se iguala a cero se obtiene

57

FeTP PRI =2

La ecuación anterior estable que la eficiencia máxima de un transformador se alcanza cuando las pérdidas en el cobre se igualan a las pérdidas en el hierro. Es decir la corriente a al cual se encuentra la eficiencia máxima es dada por:

T

FeP

R

PI = Ecuación 2-26

2.18 Transformadores para instrumentos. Los transformadores para instrumentos se diseñan en aras de poder medir tensiones o corrientes altas en un sistema de potencia con amperímetros y voltímetros estándar de bajo rango y de alta precisión. Estos instrumentos también se usan para aumentar la seguridad en las grandes instalaciones de energía, ya que los niveles de estas dos variables son altos y cualquier descuido puede ser catastrófico. Como se ha podido percibir, hay dos tipos de transformadores de medición y son de tensión o potencial y de corriente.

2.19 Transformador de corriente. Como su nombre lo indica, los transformadores de corriente están diseñados para medir las altas corrientes en un sistema de potencia. El devanado primario tiene pocas vueltas y sus devanados están construidos con un alambre grueso, mientras que el devanado secundario está construido con un alambre fino y de muchas vueltas. En la figura 2-22 se muestra un transformador de corriente tipo ventana, donde es evidente que el primario está constituido por un alambre que pasa por el centro del núcleo y el secundario está confinado a una trayectoria definida. En la figura 2-22 es evidente que un transformador de corriente no es más que un transformador bien diseñado. A medida que el voltaje se eleva, la corriente disminuye. El amperímetro de rango bajo se conecta a través del devanado secundario. Debido a que la resistencia interna del amperímetro es casi nula en comparación con la resistencia del devanado secundario, el amperímetro ha de considerarse como un cortocircuito. Por lo tanto, los transformadores de corriente están diseñados para trabajar en cortocircuito. La corriente de magnetización es baja y la densidad de flujo en el núcleo es baja. En consecuencia, el núcleo de un transformador de corriente nunca se satura en condiciones de operación normal. El devanado secundario de un transformador de corriente nunca debe dejarse abierto, porque el transformador se puede saturar y dar mediciones erróneas. La razón de esto, es que el devanado primario conduce una corriente y no hay una corriente en el secundario que contrarreste la fmm del primario. La corriente en el primario actúa como corriente de magnetización e incrementa el flujo en el núcleo. Cuando el secundario se cierra de nuevo, el ciclo de histéresis puede no ser simétrico con respecto al origen, sino suele estar desplazado en la dirección del flujo residual. El incremento en el flujo residual ocasiona un aumento de la corriente de magnetización, lo que a su vez invalida la corriente de magnetización. Además, con el transcurso del tiempo la corriente en el

58

primario puede causar calentamiento excesivo y destruir su aislamiento. Por añadidura, la saturación puede dar lugar a una tensión excesivamente alto a través del secundario. Es común que la designación de un transformador de corriente reciba la designación como 100:1, lo cual significa que si el amperímetro indica 1A por el primario van circulando 100A.

Fig 2-22 Transformador de corriente. Transformador de potencial. Como su nombre lo indica, un transformador de potencial sirve para medir diferencias de potencial (voltajes) elevadas con un voltímetro estándar de bajo rango. Por lo tanto, un transformador de potencial siempre se debe conectar como reductor. El devanado primario, tiene muchas vueltas y se conecta a una línea de alto voltaje. El devanado secundario, tiene pocas vueltas y se conecta a un voltímetro. Es común que el núcleo de un transformador de potencial se construya del tipo acorazado para mayor precisión, Con el fin de dar una protección adecuada al operador, un Terminal del devanado secundario está conectado a tierra como se ilustra en al figura 2-23. Al conectar un voltímetro a un circuito este se considera como si estuviera abierto debido a la alta resistencia de entrada, la especificación de potencia de un transformador de potencial es baja. Por lo demás el transformador de potencial trabaja como cualquier transformador de potencial constante. La relación a es simplemente la relación de transformación. Por ejemplo, si el transformador de potencial tiene una relación 100:1 y en el secundario se registra una tensión de 120V, el voltaje en la línea es de 12000 V. El diseño del aislamiento entre los devanados representa un problema considerable en el diseño de los transformadores de potencial. De hecho, el devanado primario puede enrollarse en capas. Después se aísla cada capa de las demás a fin de evitar la destrucción del aislamiento. Los aislantes que se usan en los transformadores de potencial son aceite dieléctrico, papel impregnado con aceite, hexafloruro de azufre y resinas epóxicas. Fig 2-23. Transformador de potencial. EJEMPLO 2-1 Un núcleo magnético sostiene un flujo de 5sen(314t) mWb, una longitud de 100cm y un área transversal de 25cm2. Determine:

a) el valor medio cuadrático de la tensión producida en una bobina de 100 vueltas enrolladas en el núcleo.

b) La densidad de flujo. SOLUCIÓN:

a) Vtdt

dNEg )314cos(3.49==

φ

VErms 86.34=

b) TA

B 2==φ

59

EJEMPLO 2-2 La densidad de flujo efectiva en el núcleo de un transformador ideal de 220/110V es de 1.2T. El área de la sección transversal del núcleo es de 80cm2. Calcular el número de vueltas de los devanados primario y secundario si la frecuencia de oscilación es de:

a) 25Hz b) 50Hz c) 60Hz

SOLUCION a) si el transformador se alimenta con una fuente senoidal

mWbftsenA

B )2(6.9 πφφ

=⇒=

f

ENfNE

g

g φφ

44.444.4 =⇒=

N2=206.45;N1=103.22 b) N2=51.61;N1=103.22 c) N2=43.01;N1=86.023

EJEMPLO 2-3 Un transformador reductor ideal de 12KVA, 480/120V opera a plena carga con un factor de potencia de 0.707 en adelanto. El transformador está diseñado en forma tal que se inducen 2V por vuelta en sus devanados. Determinar:

a) El número de vueltas en cada devanado. b) Las corrientes en cada devanado. c) La impedancia de la carga en cada devanado. d) Haga el circuito equivalente.

SOLUCION a) vN 2402/4801 == ; vN 602 =

b) AV

SI 251 == ; AI 1002 =

c) Ω−∠=∠

∠== 452.19

4525

04801

I

VZ , Ω−∠== 452.12

21

a

ZZ

d)

C1195uF

R113.57

60 Hz

V1-480/480V

T11to2

EJEMPLO 2-4 Un transformador de 25KVA tiene 500 vueltas en el primario y 50 vueltas en el secundario, la tensión nominal en el primario es de 120V. Encuentre:

a) Las especificaciones del primario, secundario. b) El flujo en condiciones de carga si la frecuencia de alimentación es de 50Hz. c) La potencia de entrada d) La potencia de salida. e) La eficiencia.

SOLUCIÓN a) V1=120V, V1=12V; I1=208.3A, I2=2083A b) 1mWb

60

c) Pin=25KVA. d) Pout=25KVA e) E=Pout/Pin*100=100%

EJEMPLO 2-5 Un amplificador de potencia puede representarse por una fuente de corriente en paralelo con una resistencia de 200 ohmios. Se conecta un altavoz de 8 ohmios al amplificador de potencia por medio de un transformador de audio de modo de que se transmita la máxima potencia. Cual es la relación de transformación del transformador. SOLUCION

R2100

Is1100mA

R18

T11to2

53.38

1002 =⇒= aa

EJEMPLO EJEMPLO 2-6 En la figura se muestra un transformador con tres devanados que tienen 100 vueltas, 150 vueltas y 300 vueltas. El primario está conectado a una fuente de 120V, en el devanado 150 vueltas se coloca una resistencia de 20 ohmios y en el otro devanado una resistencia de 30 ohmios. Cual es la corriente que se toma de la fuente. Que resistencia equivalente ve la fuente. SOLUCION

Ω=

= 89.8150

10020

2'3R Ω=

= 22.2300

10030

2'2R

Ω== 77.1// '2

'3 RRRt ; AI 79.67

77.1

1201 ==

EJEMPLO 2-7 Un transformador tiene 1000 vueltas en el primario y 100 vueltas en el secundario. La reluctancia del circuito magnético ℜ=1x105 Av/Wb. Suponga que no hay flujo de pérdidas ni de fuga en el circuito y no tenga en cuenta la resistencia en el cable.

a) Si el voltaje en el primario es de 120V con una frecuencia de 60Hz y el secundario se encuentra abierto. Cual es la corriente en este devanado.

b) Si el secundario tiene una resistencia de 30 ohmios. Cual es la corriente en la resistencia.

c) Cual es la corriente en el primario con la resistencia anterior. SOLUCION

a) mWb45.060*1000*44.4

120==φ ; A

NI 045.0

.1 =

ℜ=

φ

b) VEN

N

E

E122

2

1

2

1 =⇒= AR

VI 4.02 ==

c) Aa

II 04.02

1 ==

EJEMPLO 2-8 Un transformador monofásico de 60Hz es de 20KVA y 1320/440V, tiene una eficiencia del 85% a plena carga y un factor de potencia unitario. Sin carga, la corriente del transformador en el lado de alta tensión es de es de 1.5A y la potencia es de 1000W.

a) El lado de 440V tiene 120 vueltas, cuantas vueltas tiene en el lado de 1320V.

61

b) Cual sería la corriente sin carga si se excitara el transformador por el lado de baja tensión.

c) Estime las pérdidas en le cobre del transformador en el nivel de operación de los 15KVA.

d) Determine la reluctancia del núcleo del transformador. SOLUCION

a) vNN

N

E

E3602

2

1

2

1 =⇒=

b) AIN

N

I

Ib 5.4

2

1

1

2 =⇒=

c) %85100*% ==out

out

P

PE ; KWpin 52.23= ; KWPout 20= ;

KWPPPKWPPP cuFecuoutinP 52.252.3 =⇒+==−= ; AV

SIH 15.15== ;

Ω=⇒= 97.102RRIP Hcu ;

para una carga de 15KW

AV

SIH 36.11== ; WRIP Hcu 7.14152 ==

d) AvNI 540==ℑ ; mWbfN

Eg 75.3**44.4

==φ ; Wb

Avx

310144=ℑ

=ℜφ

EJEMPLO 2-9 Un transformador monofásico de 60Hz es de 20KVA y 1320/440V, tiene una eficiencia del 85% a plena carga y un factor de potencia unitario. Sin carga, la corriente del transformador en el lado de alta tensión es de es de 1.5A y la potencia es de 1000W.

e) El lado de 440V tiene 120 vueltas, cuantas vueltas tiene en el lado de 1320V. f) Cual sería la corriente sin carga si se excitara el transformador por el lado de

baja tensión. g) Estime las pérdidas en le cobre del transformador en el nivel de operación de los

15KVA. h) Determine la reluctancia del núcleo del transformador.

SOLUCION

a) vNN

N

E

E3602

2

1

2

1 =⇒=

b) AIN

N

I

Ib 5.4

2

1

1

2 =⇒=

c) %85100*% ==out

out

P

PE ; KWpin 52.23= ; KWPout 20= ;

KWPPPKWPPP cuFecuoutinP 52.252.3 =⇒+==−= ; AV

SIH 15.15== ;

Ω=⇒= 97.102RRIP Hcu ;

para una carga de 15KW

AV

SIH 36.11== ; WRIP Hcu 7.14152 ==

62

d) AvNI 540==ℑ ; mWbfN

Eg 75.3**44.4

==φ ; Wb

Avx

310144=ℑ

=ℜφ

EJEMPLO 2-10 La estructura de hierro de un transformador monofásico de 60Hz tiene una longitud media de 1m y un área en la sección transversal de 40cm2. El hierro tiene una permeabilidad relativa de 5000 y tiene el voltaje nominal cuando opera a una densidad de flujo de 1.4T. El lado 1 tiene 500 vueltas, y el lado 2 tiene 1000 vueltas. No tome en cuenta las pérdidas en el cobre. Determinar:

a) La corriente de magnetización eficaz, si el transformador se excita por el lado de baja tensión a la tensión nominal.

b) Determine la corriente eficaz magnetizante si el transformador se excita por el lado de alto voltaje a tensión nominal.

c) Cual es el voltaje eficaz en el lado de alto voltaje. d) Determine los voltiamperios necesarios para excitar el transformador.

SOLUCIÓN

a) 1

0

8.897 −==ℜ HA

l

µµ, mWbBA 6.5==φ , mAI

NI10=⇒

ℜ=φ

b) mAINI

5=⇒ℜ

=φ

c) 1491.84V44.4 == φfNE d) VAVIS 46.7==

EJEMPLO 2-11 Un transformador opera como elevador y puede manejar 240KVA, tiene una relación de voltaje de 480/4800V y tiene los siguientes parámetros: RH=2.5Ω, XH=5.75Ω, RL=25mΩ, XL=57.5mΩ. El transformador opera al 50% de su carga nominal. Si la carga es puramente resistiva, determinar:

a) La corriente del secundario. b) La corriente en el primario. c) El voltaje en el primario. d) Eficiencia.

SOLUCION a) AIVIS 25=⇒=

b) AIN

N

I

I2501

1

2

2

1 =⇒=

c) 69.162.48642222 ∠=+= IZVE , VEN

N

E

E69.146.4861

2

1

2

1 ∠=⇒= ,

67.172.4961111 ∠=+= IZEV

d) KWPout 120= , KWPin 27.123= , %46.97100% ==in

out

P

PE

EJEMPLO 2-12 Repita el ejercicio 11 si la carga es inductiva con un fp=0.8. SOLUCION

a) AIVIS 86.3625 −∠=⇒=

63

b) AIN

N

I

I86.362501

1

2

2

1 −∠=⇒=

c) VIZVE 89.085.49862222 ∠=+= , VEN

N

E

E89.068.4981

2

1

2

1 ∠=⇒= ,

VIZEV 75.148.5071111 ∠=+=

d) KWPout 96= , KWPin 137.99= , %96.96100% ==in

out

P

PE

EJEMPLO 2-13 Repita el ejercicio 11 si la carga es capacitiva con un fp=0.8. SOLUCION

a) AIVIS 86.3625∠=⇒=

b) AIN

N

I

I86.362501

1

2

2

1 ∠=⇒=

c) 83.119.47662222 ∠=+= IZVE , VEN

N

E

E83.162.4761

2

1

2

1 ∠=⇒= ,

VIZEV 69.373.4731111 ∠=+=

d) KWPout 96= , KWPin 13.99= , %96.96100% ==in

out

P

PE

EJEMPLO 2-14 Repita el problema anterior si el transformador tiene una impedancia de magnetización de 18K+j12KΩ. Cual es el valor efectivo de la corriente de magnetización. SOLUCION

a) AIVIS 86.3625∠=⇒= ,

b) AIN

N

I

I86.362501

1

2

2

1 ∠=⇒=

c) VIZVE 83.119.47662222 ∠=+= , AX

E

R

EI

HH

47.5447.00

2

0

20 −∠=+= ,

AIII L 77.3599.4902 ∠=+= , VEN

N

E

E69.146.4861

2

1

2

1 ∠=⇒= ,

VIZEV 69.373.4731111 ∠=+=

d) KWPout 96= , KWPin 13.99= , %96.96100% ==in

out

P

PE

EJEMPLO 2-15 Un transformador reductor de 100KVA, 2500/250V y 50Hz tiene los siguientes parámetros RH=1.5Ω, XH=2.8Ω, RL=15mΩ, XL=20mΩ, X0H=3.2KΩ, R0H=1.2KΩ. El transformador alimenta una carga que consume el 80% de su carga nominal con un fp=0.866 en atraso. Determine las pérdidas en el cobre y en el núcleo del transformador. SOLUCION

AIVIS 30320∠=⇒= , VIZVE 81.12512222 ∠=+= ,

VEN

N

E

E8.18.25101

2

1

2

1 ∠=⇒= , 303211

2

2

1 ∠=⇒= IN

N

I

I,

64

AIIIl 74.1822.010 −∠=+= , WR

EP

H

N 53.520

21 == , KWIRIRPcu 7.32

222

11 =+=

EJEMPLO 2-16 Un transformador reductor de dos devanados de 2300/230V, 230KVA, y 60Hz tiene los parámetros siguientes: RH=1.2Ω, XH=3Ω, RL=12mΩ, XL=30mΩ, X0H=1.8KΩ, R0H=2K. Si el transformador opera con la mitad de la carga con fp 0.7 en adelanto y el 90% de su tensión nominal. Determinar:

a) La tensión en el primario. b) Si el transformador pierde momentáneamente la carga, cual es la tensión en el

secundario. SOLUCION

a) AIVIS 45500∠=⇒= VIZVE 78.397.2232222 ∠=+=

VEN

N

E

E78.37.22391

2

1

2

1 ∠=⇒= , AIN

N

I

I45501

1

2

2

1 ∠=⇒= ,

AIIIl 2.38167.010 −∠=+= , VIZEV 76.78.21891111 ∠=+=

b) VVN

N

V

V76.79.2181

2

1

2

1 ∠=⇒= .

EJEMPLO 2-17 Un transformador de 320KVA, 240/4800V, 60Hz se le practicaron las pruebas correspondientes y se obtuvieron los siguientes resultados: Tensión Corriente Potencia Prueba de circuito abierto 240 39.5 1200 Prueba de cortocircuito 195 66.67 3925 Encuentre el circuito equivalente visto por:

a) El lado de alta tensión. b) El lado de baja tensión.

SOLUCION

a) Analizando la prueba de circuito abierto Ω== 482

10

P

VR L , VAVIS 9480== ,

VARQQPS 9403222 =⇒+= , Ω== 12.62

10

Q

VX L . Analizando la prueba de

cortocircuito Ω== 92.2I

VZt , Ω== 78.2)cos(θtt ZR , Ω== 86.0)sin(θtt ZX

visto por el lado de alta.

b) Visto por el lado de baja

65

EJEMPLO 2-18 Los siguientes datos fueron tomados de un transformador de 4KVA, 2300/230V, 60Hz. Tensión Corriente Potencia Prueba de circuito abierto 230 11.2 1150 Prueba de cortocircuito 160 20 1150 Determine el circuito equivalente. SOLUCION

Analizando la prueba de circuito abierto Ω== 462

10

P

VR L , VAVIS 2576== ,

VARQQPS 2305222 =⇒+= , Ω== 95.222

10

Q

VX L tomados por el lado de baja

tensión. Analizando la prueba de circuito abierto Ω== 8I

VZt ,

º48.63)cos( ==VI

Paθ , Ω== 57.3)cos(θtt ZR , Ω== 15.7)sin(θtt ZX visto por el

lado de alta, 78.12

== tH

RR , Ω== m

NN

RR t

L 8.17)/(2 2

21

, Ω== 75.32

tH

XX ,

Ω== mNN

RR t

L 5.37)/(2 2

21

,

EJEMPLO 2-19 Un sistema monofásico de potencia alimenta un transformador de 100KVA, 14/2.4 KV a través de un alimentador que tiene una impedancia de 38.3+j140Ω. La impedancia serie equivalente del transformador referido a su lado de bajo voltaje es 0.12+j0.5Ω. La carga en el transformador es de 90KW con fp=0.85 en atraso y la tensión de alimentación es de 2300V. Determinar:

a) Cual es la tensión en la fuente de alimentación. b) Cual es la regulación de tensión del transformador c) Cual es la regulación de tensión del sistema d) Cual es la eficiencia del sistema

SOLUCION a) Para transmitir energía eléctrica siempre se hace a alta tensión y el

transformador debe ser reductor KVAfpPS 88.105/ == ,

66

AIVIS 78.3111.44 −∠=⇒= VIZVE 37.017.24162222 ∠=+=

KVEN

N

E

E37.094.141

2

1

2

1 ∠=⇒= , AIN

N

I

I78.3156.71

1

2

2

1 −∠=⇒= , ,

KVIZEV 23.392.141111 ∠=+=

b) %67.01001

% 110 =−

=V

VVR

c) %57.61001

% 110 =−

=V

VVR

d) KWPout 90= , KWIVP VIin 38.92)cos(11 == θ , %42.97100% ==in

out

P

PE

EJEMPLO 2-20 Cuando los viajeros de EEUU y Canadá visitan Europa, encuentran diferencias en los sistemas de potencia. En los estados unidos las tensiones típicas que se encuentran en los tomas de pared es de 120V a 60Hz, mientras que en Europa es de 220V a 50Hz. Muchos viajeros portan pequeños transformadores reductores para cargar celulares u otros dispositivos. Un transformador típico podría ser dimensionado como 1KVA y 120/240V. Este transformador tiene 500 vueltas sobre el lado de 120V y 1000 vueltas sobre el lado de 240V. Determinar:

a) Si el transformador se compra en EEUU y se lleva a Europa que tensiones se inducen en el secundario.

b) Si el transformador se compra en Europa y se lleva a EEUU que tensiones se inducen en el secundario.

SOLUCION a) mWNfE 9.044.4 =⇒= φφ , en Europa la frecuencia es de 50Hz

VNfE 99.9944.4 == φ

b) VEf

f

E

E1442

2

1

2

1 =⇒=

EJEMPLO 2-21 En la antigüedad se usaba el transformador como regulador de tensión debido a su curva de magnetización que trabajaba cerca de la zona de saturación. Un transformador aislador de 120/120V tiene 145 vueltas. Determinar:

a) la corriente en vacío cuando la tensión de alimentación es de 120V, la tensión en el secundario.

φ [mWb] 0 1 2 3 3.5 NI [Av] 0 10 20 100 300 SOLUCION

67

a) mWbNfE 1.344.4 =⇒= φφ , AvmWbmWbmWb

120300100

5.31.33=ℑ⇒

ℑ,

AN

Io 76.0=ℑ

= , VNfE 12044.4 == φ

EJEMPLO 2-22 Para el circuito de la figura determine la tensión en la carga

SOLUCION La impedancia reflejada al primer transformador es 32*8 2 =a , la impedancia de vista por el segundo transformador es 25.9/)532( 2 =+ a , la resistencia equivalente es 7.35Ω, hallando la tensión en el paralelo es 5.21V, la tensión en la línea de transmisión es 10.42 y la tensión en la carga es 5.21V EJEMPLO 2-23 Un transformador está marcado con 2400/240V y está conectado a una fuente ideal de 2400V. Cierta carga consume 50A con factor de potencia unitario y va a ser conectada al lado de baja tensión del transformador, su tensión nominal es de 200V. Determinar la resistencia que debe ser conectada en serie para lograr el objetivo en:

a) El lado de baja tensión. b) El lado de alta tensión.

SOLUCION

a) Ω=−

= 8.0L

Lf

bI

VVR

b) Ω== 802aRR ba

68

3 MAQUINA DE CORRIENTE CONTINUA.

3.1 Principio de operación del generador de dc. En la figura 3-1 se representa un conductor de longitud l dentro de un campo magnético de densidad B y distribución uniforme, como se muestra en la figura 3-1. Si se pone el conductor en movimiento con una velocidad v. Experimenta una tensión inducida sobre los rieles de magnitud E y cuyo terminal positivo se encuentra en el riel derecho y el terminal negativo se encuentra en el izquierdo. Para demostrar la existencia de una tensión inducida partimos de la ley de Faraday y se hace una reinterpretación de los términos de esta.

Fig. 3-1 Principio básico del generador de c.c.

La ley de Faraday es dada por

tE

∂∂

−=φ

Y la densidad de flujo es dada por:

AB

φ=

El área en su forma infinitesimal es dada por: dxldA *=

La velocidad del conductor es dada por:

dt

dxv =

Reemplazando todos los valores en la ecuación del flujo nos queda:

Blvt

xBl

t

AB

tE −=

∂∂

−=∂

∂−=

∂∂

−=*φ

O en su forma vectorial )(BxvlE = Ecuación 3-1

Como se puede observa en la ecuación 3.1 si en un conductor se mueve en un campo magnético de densidad constante B y con velocidad constante v se genera una tensión constante E y el experimento es en realidad un generador de corriente continua.

3.2 Generador práctico de d.c. La figura 3-1 tiene unas limitaciones prácticas que no se pueden llevar a cabo ni en los laboratorios mas sofisticados sobre la tierra, y son: nunca se puede tener un campo magnético tan grande para poder decir que siempre hay una tensión generada en cualquier momento; Con este arreglo no se puede alcanzar una tensión lo

69

suficientemente alta para alumbrar una bombilla, o por otro lado se debería mover el conductor a una velocidad muy elevada o en su defecto debería haber un conductor muy largo dentro del campo magnético. Para sortear estos inconvenientes se ha ideado el circuito magnético de la figura 3-2. Este Circuito consta de un circuito en forma de C con un entrehierro de aire y un trozo cilíndrico de hierro que puede moverse libremente. En el estator (forma de C) se ha colocado una bobina por donde circula una corriente constante If y genera un flujo magnético φ con densidad constante B en los polos de la máquina. Sobre el rotor (trozo cilíndrico de hierro) se ha dispuesto un conductor de longitud l y se hace girar a una velocidad w. La tensión inducida queda expresada como:

)(BxvlE = Pero la velocidad v se puede entrelazar con la velocidad angula w por medio de:

wrv = Quedando de la forma:

lBwrE = Ecuación 3-2 Es decir la tensión inducida depende de la magnitud de la densidad del flujo en los polos, de la longitud del conductor dentro del campo magnético, del radio de giro y da la velocidad de giro.

Fig 3-2 Circuito magnético de un generador práctico de d.c

3.3 Limitaciones de la construcción física. En la figura 3-3 se puede ver la forma de la tensión inducida en el polo superior. Si se considera que el rotor gira en sentido contrario de las manecillas del reloj, la velocidad va apuntando hacia la izquierda (tangencial a la trayectoria) y se va a tener una polaridad en el conductor de negativo en el fondo del dibujo y positivo en el frente. Ahora se analizará la tensión inducida en el conductor cuando pasa por el polo inferior (sur). Allí se puede ver que la densidad de flujo apunta hacia abajo y la velocidad va hacia la derecha, dando una tensión inducida de magnitud E pero con polaridad opuesta. El terminal positivo en la parte posterior de la espira y el terminal negativo en la parte frontal. Esto se puede aprovechar para conectar los dos conductores, uno en la parte superior y otro en la parte inferior y conectarlos en serie para obtener una tensión de magnitud 2E. Paro para hacer esto se debe colocar un conductor en la parte posterior del rotor; afortunadamente la tensión inducida en este pedazo es cero porque no se encuentra dentro del campo magnético. Gracias a esto no solo se puede construir dos conductores en la misma superficie sino se puede acomodar N conductores que pueden generar una tensión 2EN y así obtener tensiones comerciales elevadas.

70

Fig 3-3 Tensiones generadas en un conductor que gira en un generador práctico de d.c.

Ahora se debe analizar las espiras ya no funcionando separadamente sino como un todo y dar la vuelta completa. El primer inconveniente que se tiene es que el rotor está en movimiento y no se puede hacer una conexión fija entre el rotor y los aparatos de medición o a los que va a alimentar. Para ello se ha construido dos anillos colocados en sobre el eje (llamados anillos rozantes) y dos elementos que hagan contacto con el exterior (llamados escobillas) y así se tiene la tensión fuera del generador (ver fig 3-4).

Fig 3-4. Generador con anillos rozantes.

Si se coloca dos anillos rozantes como se muestra en la figura 3-4 se puede analizar la tensión generada en la espira. Si el lado a-b de la espira está en la parte superior, la tensión inducida en las escobillas es positiva en la escobilla a y negativa en la b (fig 3-4 izquierda). Si se analiza el lado a-b en la parte inferior la polaridad cambia y en vez de tener una tensión continua se tiene una tensión alterna (fig 3-4 derecha).

Fig 3-5. Forma de onda de la tensión generada en una máquina de anillos rozantes.

Como se puede ver en la figura 3-5 la tensión inducida es de forma senosoidal. De esta manera se ha construido un generador de corriente alterna.

71

Afortunadamente quienes trabajaron en la construcción de este tipo de máquinas se idearon un anillo partido por la mitad y colocaron las escobillas en cada mitad. Ahora se puede analizar la vuelta completa de la espira. Si se analiza la tensión generada en el lado de la espira a-b cuando está en la parte superior la escobilla a tiene la tensión negativa y la escobilla b tiene la tensión positiva (ver figura 3-6 izquierda). Cuando se analiza la espira a-b en la parte inferior la polaridad de la escobilla a tiene tensión negativa y la escobilla b tiene la tensión positiva (ver figura 3-6 derecha). A este arreglo ya no se le llama anillos rozantes sino conmutador y sirve básicamente para hacer una rectificación de la tensión generada o es un rectificador mecánico (ver figura 3.7). Hay que tener cuidado con la ubicación de las escobillas ya que cuando las espira está fuera de los polos a 180º hay un cortocircuito en el conmutador, pero la tensión inducida es cero y no se presenta este fenómeno.

Fig 3-6. Rotor con conmutador.

Fig 3-7. Forma de onda de un generador con conmutador.

La diferencia básica de una maquina de corriente contínua y una de alterna es la forma como se conectan las bobinas del rotor al exterior. En una máquina de corriente alterna los conductores del rotor van a unos anillos rozantes y en al de continua a un conmutador. Como se puede ver en la figura 3-6 hay zonas donde no se genera tensión y se estaría desperdiciando este espacio. Pero afortunadamente allí se pueden colocar más espiras y tener tensiones como se muestra en la figura 3-8. Allí se puede observar que las escobillas siempre va a tener un nivel de tensión. El conmutador solo coloca las escobillas al potencial más alto y la tensión en la salida es continua con un pequeño rizado. Si la máquina tiene pocas bobinas en el rotor el rizado va a ser alto, este fenómeno se puede apreciar en los carros de pilas. Si se quiere construir una máquina que tenga una buena calidad de la forma de onda se deben construir máquinas de más de 12 bobinas.

72

Fig 3-8 generador de corriente continua con varias espiras.

3.4 Representación de máquinas en forma plana. En muchos casos es difícil ver algunos detalles en una representación circular de las máquinas (como en al figura 3-9 derecha) y para facilitar su compresión se han creado las representaciones planares (figura 3-9 derecha). Estas son simplemente las mismas partes de la máquina pero representadas en un plano (ver detalles de construcción).

Fig 3-9. Representación circular y planar de una máquina de dos polos.

3.5 Maquinas multipolares. El flujo magnético producido en una máquina de dos polos que tiene un diámetro grande es relativamente difícil de obtener y las máquinas cuando crecen en tamaño también debe crecer el número de polos para tener un óptimo uso del espacio. Para máquinas de unos cuantos vaios el diámetro es pequeño y solo tiene dos polos. Para máquinas de varios kilovatos su diámetro puede ser de metros y el número de polos puede llegar a ser de 18. La pregunta a resolver es una máquina multipolar es ¿Dónde se colocan los principios y finales de la bobina? El final de la espira no se puede colocar diametralmente opuesto al principio, porque ambos lados de la espira se encuentran en polos de la misma polaridad y la tensión inducida en un lado de la espira se anularía con la tensión inducida en el otro lado de la espira. Si un lado de la espira se coloca bajo el polo norte y otro bajo el polo sur las tensiones no se anularían sino se sumarían. Por tal razón es conveniente colocar el principio de la bobina sobre un polo y el final sobre el polo inmediatamente siguiente.

73

Fig 3-10. Máquinas multipolares.

3.6 Relación entre la tensión inducida y el número de polos. Ahora pongamos a viajar un conductor sobre la periferia de una máquina de dos polos. Si se coloca un conductor en la periferia del rotor de una máquina de dos polos se encuentra que se han inducido un ciclo completos en la onda de tensión lo que quiere decir que en una revolución se induce un ciclo de tensión o θm=θe como se puede ver en la figura 3-11.

Fig 3-11. Conductor viajando en una máquina de dos polos.

Si se rota la bobina en el sentido de las manecillas del reloj en una máquina de cuatro polos. Se encuentra que hay dos ciclos completos de tensión por cada revolución. Así, θe=720º mientras que el ángulo mecánico es de θm=360º, es decir que el ángulo eléctrico de la tensión inducida es dos veces el ángulo mecánico de rotación.

Fig 3-12. Conductor viajando sobre una máquina de 4 polos

Si se hace lo mismo con una máquina de seis polos donde los lados de la bobina están separadas 1/6 de circunferencia del rotor. Se puede observar que cada lado de la espira está bajo la influencia de un polo distinto y allí se genera tensión. Sin embargo se puede

74

notar que mientras la máquina da una vuelta θm=360º en la espira se generan tres ciclos completos es decir θe=1080º.

Fig 3-13. Conductor viajando sobre una máquina de 6 polos.

El ángulo mecánico y el eléctrico se pueden relacionar por medio de la ecuación:

mp

e θθ2

= Ecuación 3-3

Si se examina la ecuación anterior se pude observar que cumple con la discusión anterior. Si derivamos con respecto al tiempo ambos lados de la ecuación se puede observar la relación que hay entre las velocidades mecánica y eléctrica y se encuentra que:

me wp

w2

= Ecuación 3-4

Donde we es la velocidad en radianes por minuto de la velocidad eléctrica, wm es la velocidad en radianes por segundos de la velocidad mecánica. Se puede decir que a los ingenieros no nos gusta trabaja con las velocidades en radianes por segundo, sino es más conveniente, darlas en magnitudes del sistema internacional. Es así, la velocidad mecánica se debe expresar en revoluciones por minuto, y la frecuencia eléctrica en hertz. Las ecuaciones que permiten hacer estos cambios se listan como:

mmw ηπ

60

2= Ecuación 3-5

Para la frecuencia eléctrica fwe π2= Ecuación 3-6

Reemplazando las ecuaciones 3.5 y 3.6 en la ecuación 3.4 tenemos:

p

fm

120=η Ecuación 3-7

El valor máximo de la tensión inducida en una espira se puede hallar como:

)(VxBlE = La velocidad lineal se puede expresar como wrV = y la ecuación nos queda

lBwrE =

lBwrp

E2

=

rlBp

E mηπ

120

2=

En una máquina de dc, el valor promedio de la tensión inducida en una bobina con una sola espira es:

75

rlBp

rlBwp

EE mmmc ηππ 30

2=== Ecuación 3-8

3.7 Función de los devanados de armadura. El devanado de armadura es el corazón de la máquina de dc; aquí es donde la potencia eléctrica se convierte en mecánica o la mecánica en eléctrica; es decir la máquina se convierte en generador o en motor y por tal razón no se le llama motor o generador, sino se le llama máquina. Para mejorar el desempeño de la máquina de dc se ha encontrado dos formas de conectar las bobinas de la armadura al colector y estas pueden ser en serie o en paralelo, al igual que todos los circuitos eléctricos. Pero desafortunadamente a los devanados no se llaman de esta forma sino imbricados y ondulados; a continuación se discute la forma de conexión.

3.8 Devanado imbricado. Cundo el principio y final de un bobina se conectan a delgas adyacentes se forma un devanado paralelo o imbricado. En este tipo de devanado, hay tantas trayectorias paralelas como polos en la máquina. Sin embargo, también debe haber tantas escobillas como polos, las escobillas se conectan de forma alternativa una positiva y una negativa. El devanado imbricado es bueno para generar potencia con bajos voltajes y altas corrientes por las ventajas de las trayectorias paralelas.

Fig 3-14. Devanado imbricado.

En los devanados imbricados, cada elemento o bobina elemental está conectado hacia atrás, es decir, recogiendo todos los conductores que corresponde a un par de polos. Los elementos tiene forma de lazo y están conectados en paralelo, por lo que resulta una fuerza contraelectromotriz total baja, ya que hay pocos lados de bobina en serie, y una elevada corriente, puesto que existen muchas ramas en paralelo. Por tal razón, también se les llama devanados en paralelo.

76

Fig 3-15. Devanados imbricado completo.

3.9 Devanado ondulado.

Cuando el principio y final de la bobina está separados por 360º eléctricos se forma un devanado ondulado y se muestra en la figura 3-16 y 3-17. En un devanado ondulado solo existen dos trayectorias paralelas no importa el número de polos que tenga la máquina. Sin embargo, en este tipo de devanado solo requiere dos escobillas. Las tensiones generadas en las bobinas son acumulativas y por esta razón se usan en máquinas donde se requiere una tensión alta y una corriente baja.

Fig 3-16. Devanado ondulado.

En los devanados ondulados, la forma de conexión de los elementos es hacia delante, o sea, que cada elemento pasa sucesivamente por todos los polos. Como puede apreciarse en la figura 3-17 las bobinas elementales tienen forma de ondas y están conectadas en serie y, como consecuencia, se obtendrá una fuerza electromotriz inducida alta ya que hay muchos lados de bobina en serie y una baja intensidad de corriente, puesto que solo hay dos ramas en paralelo. Por esta razón, también se le llama devanados en serie.

3.10 Paso de bobina.

Hay dos aspectos importantes en el momento de construir las bobinas de la armadura y son el paso de bobina y el paso del conmutador. El paso de bobina tiene que ver con la distancia que hay entre los lados adyacentes de la bobina. Esta distancia es medida en términos de ranuras, y es determinada de la misma manera para todas; ya sea para un devanado ondulado o imbricado. Los devanados pueden ser simples, dobles, etc y no importa que la máquina funcione como motor o como generador. La regla fundamental

77

para construir devanados de paso fijos es que para cualquier máquina esta distancia se mantenga constante.

Fig 3-17. Devanado ondulado completo.

Esta se define como la distancia que hay entre dos lados activos de una bobina y debe ser igual (o muy cercano) a la distancia entre dos polos adyacentes. Esto se debe a 1) en un generador la tensión del terminal positivo de una espira debe estar en el fondo y la del negativo debe estar en el frente para que los dos voltajes se adicionen. Y esto solo se logra cuando una espira está en la mitad del polo norte y la otra espira está en el centro del polo sur y los polos deben estar desfasados 180ºE entre ellos. 2) en un motor la fuerza en los conductores que llevan corrientes hacia el fondo debe tener la misma dirección que la fuerza experimentada en el conductor que saca la corriente. Esto solo sucede cuando los conductores están en el centro de los polos norte y sur y están separados 180º cada uno.

La discusión anterior se puede simplificar en la siguiente ecuación:

kP

SYs −= Ecuación 3-9

Donde : Ys es el factor de paso de las bobinas.

S es el número de ranuras del rotor

P es el número de polos de la máquina.

K es una fracción de S/P que debe ser sustraído para hacer Ys entero.

3.11 Paso del conmutador.

El paso del conmutador se refiere a la distancia que hay entre los dos finales de la bobina. Esta distancia debe ser medida en términos de los segmentos del conmutador; ésta distancia es diferente para los devanados ondulados e imbricados.

78

3.12 Paso del conmutador para devanados imbricados:

El paso del conmutador de un devanado imbricado es igual al grado de multiplicidad del devanado, para devanados simples Yc=1; para devanados dobles Yc=2; para devanados triples Yc=3, etc. Esto significa que el principio de la bobina debe ser conectado al segmento 1 y el final al segmento 2 para un devanado simple; el principio al segmento 1 y el final al segmento 3 para un devanado doble y el principio al segmento 1 y el final al segmento 3, etc. La figura 3.8 muestra las diferentes formas de conexión de los devanados.

Fig 3-18. Conexión de devanados al conmutador.

La primera bobina debe ser ubicada de forma exacta en las ranuras del núcleo y su principio y final debe ser ubicado con gran precisión en el conmutador, ya que esta es la guía para las demás bobinas.

Para localizar la primera delga en un devanado imbricado, se debe partir de la ranura mitad de devanado y por medio de una lámina delgada se localizan las delgas que estén a los lados, el principio se conecta a la delga que está a la izquierda y el final a la siguiente Ver figura 3.9.

Fig 3-19. Devanado imbricado.

Para las armaduras con devanados imbricados simples los pasos anteriores y posteriores se calculan por medio de:

12

mP

Cy f = Ecuación 3-10

Donde el signo menos se usa para calcular la delga del principio el signo + para la delga del final. En el caso de los devanados regresivos se usa la formula:

12

±=P

Cy f Ecuación 3-11

Y se deben interpretar de la misma manera que la ecuación anterior.

79

3.13 Relaciones entre el número de delgas del colector, el número de bobinas elementales y el número de ranuras.

Como cualquier bobina elemental tiene un principio y un final y a cada delga del colector están conectadas el principio de una bobina elemental y el principio de otra de estas bobinas, resulta que el número de delgas C, es igual al número de bobinas elementales B o sea:

BC = Ecuación 3-12

Por otra parte, para devanados de inducido de dos capas, que son los más empleados, como cada bobina elemental tiene un lado de bobina en la capa superior y otro en la capa inferior, resulta que en los devanados de dos capas, el número de lados de bobina situados en una misma capa es igual al doble y por ende se tendrán el doble del número de delgas del colector C. Esta condición se cumple, siempre para devanados de dos capas y cualquier que sean el número de bobinas elementales por ranura.

Naturalmente y por razonamiento semejante, se podría deducir fácilmente que en los devanados de una capa el número de lados de bobina es el doble que el número de delgas.

3.14 Paso del conmutador para bobinas onduladas:

Como se recalcó con anterioridad, el principio y final de cada bobina del devanado ondulado deben ser aproximadamente conectadas con 360º de desfase entre cada uno cuando se conecta conmutador. La palabra cercano debe ser interpretado literalmente, ya que en muchos devanados es imposible obtener esta separación con exactitud.

Fig 3-20. Conexión de los finales de bobina al conmutador en un devanado ondulado.

Para entender el porque de la interpretación anterior es esencial considere las siguientes hechos concernientes al devanado ondulado: A) Si se tiene un devanado ondulado para una máquina de dos polos y sus finales están separados 360ºE el principio y final de cada bobina estarían conectados a la misma delga; B) Si las bobinas estuvieran separadas exactamente 360º los elementos de cada bobina separados cada P/2 constituirían un circuito cerrado; C) bajo las consideraciones del numeral anterior, el número de reentrancies seria igual a segmentos/pares de polos; d) todas las escobillas alternadas están separadas 360º eléctricos son cortocircuitadas.

Para que los enunciados anteriores se cumplan se puede asumir la siguiente premisa: un devanado ondulado no es posible construir si al dividir el número de segmentos del

80

conmutador sobre el número de pares de polos resulta en un entero. Sin embargo, un devanado ondulado simple se puede construir si la ecuación siguiente resulta en un entero:

2/

1

P

CYc

±= Ecuación 3-13

Donde Yc= el paso del conmutador

C=numero de segmentos del conmutador

P=numero de polos de la máquina.

La ecuación … puede generalizarse para cualquier tipo de devanado si el grado de multiplicidad de 1 se cambia por m cuyo valor es el grado de multiplicidad del devanado y la ecuación se traduce a:

2/P

mCYc

±= Ecuación 3-14

Para encontrar la delga a donde se debe conectar el principio de bobina, se deben identificar el final de una bobina y el principio de la siguiente, luego se debe identificar la ranura mitad de devanado; con una hoja de bisturí se señalan las dos delgas, principio de bobina se conecta a la delga de la izquierda y el final se coloca a la ranura diametralmente opuesta. Esto es valido para devanados construido para máquinas de dos polos, para máquinas multipolares se debe buscar la ranura que está conectada 360º eléctricos adelante.

3.15 Armaduras con más segmentos que ranuras.

Las armaduras modernas son construidas con más delgas que ranuras por las siguientes razonas: a) si el número de segmentos se incrementa, el voltaje entre segmentos adyacentes disminuye. Para un voltaje terminal dado, se nota una disminución de vueltas de cable conectadas a segmentos adyacentes. El resultado es que para un punto de operación la conmutación es mejorada; es porque el voltaje de reactancia, el cual es función del cuadrado de número de vueltas es enormemente disminuido. B) como el número de ranuras es reducido, el diente será más fuerte, el resultado se traduce en un daño menor ocasionado a las láminas y a las bobinas cuando estos se manejan en el momento del ensamble.

3.16 Ecuación de la fuerza electromotriz.

Considerando el voltaje de salida en las escobillas, figura 3-17 y 3-15, el voltaje de cc promedio resulta ser:

( ) ( ) φπ

φπ

πwNwtdwtsenwNE

210

== ∫ Ecuación 3-15

Puesto que el flujo en un polo se puede expresar como φ=rBl12 . Y la velocidad en términos de wm, tenemos:

81

602

nPNw

PNE m φφ

π==

Finalmente, puesto que N = Z/2a, para ser:

mg wka

PnZE φφ =

=60

Ecuación 3-16

Donde

a2

ZP Kg π

= Ecuación 3-17

3.17 Potencia y par de torsión mecánicos. La potencia y par de torsión de una maquina de dc son dos de sus propiedades más importantes. A continuación derivaremos las dos ecuaciones simples que nos permitan calcular sus relaciones. La fcem, Eg, inducida en la armadura de un devanado es:

a

PZnEg 60

φ=

La potencia eléctrica suministrada a la armadura es igual a:

aaa IVP =

Si embargo la tensión inducida Va es igual a la suma de Eg y IaRa como se muestra en la ecuación:

aaga IREV +=

Donde se puede deducir que la potencia de la máquina es dada por:

aaagaaagaaa RIIEIIREIVP 2)( +=+==

El término aa RI2 representa el calor disipado en la armadura, pero el término ag IE es la

potencia eléctrica convertida en mecánica. Por lo tanto, la potencia mecánica del motor es exactamente igual al producto de la fcem Eg por la corriente de armadura Ia.

agm IEP =

Volviendo la atención al par desarrollado τm se sabe que la potencia mecánica Pm está dada por la expresión:

wPm τ=

Donde w es la velocidad angular de la máquina en rpm, combinando las ecuaciones llegamos a:

a

PIZIEw a

ag 60

ηφτ ==

Despejando el torque desarrollado en la máquina llegamos a:

a

PIZ a

πφ

τ2

= Ecuación 3-18

Y se puede generalizar que el torque desarrollado para un devanado imbricado está dado por la ecuación:

at Ik φτ = Ecuación 3-19

82

a

ZPKt π2

= Ecuación 3-20

Donde se ve claramente que el torque desarrollado por una máquina de c.c es directamente proporcional a la corriente de armadura. De tal forma que si se aumenta el torque del motor se incrementa la corriente de armadura y si se disminuye el torque del motor se disminuye se corriente.

3.18 Devanados de campo básico. Los dos tipos de devanados de campo básicos se pueden ver en la figua 3.... Una máquina en particular puede tener uno de los dos devanados o los dos devanados. Su comportamiento depende de la conexión y características de cada uno de ellos. Se pueden tener dos tipos de devanado.

Fig 3-21 Tipos de devanados de campo.

Devanado de campo en serie serial: El devanado serial consiste en un arrollamiento de poco número de vueltas (Ns) de un alambre grueso. Está diseñado para operar en serie con el circuito de armadura y en las máquinas compuestas sirve para modificar el comportamiento de la máquina, mientras que en la máquina serie sirve para aportar el flujo magnético principal.

Devanado de campo en derivación o shunt: consiste en un arrollamiento con gran número de vueltas (Nf) de alambre delgado. Está diseñado para operar como devanado en paralelo con la armadura, pero también pude ser alimentado por una fuente externa con una tensión igual o diferente a la de armadura.

3.19 Clasificación de las máquinas de dc. De acuerdo a la conexión de los devanados de campo las máquinas de dc se pueden clasificar en: Servomotores: este tipo de motor tiene imanes permanentes en el estator para producir el flujo necesario para funcionar. Este motor es el más sencillo en su construcción, operación y ecuaciones. Maquina de excitación independiente: este tipo de motor es un poco más grande tanto físicamente como en potencia. El flujo es producido por electroimanes o bobinas colocadas en el estator. Para que funcione adecuadamente el estator debe ser alimentado

83

con una fuente de alimentación independiente en el campo y en la armadura. Este motor puede trabajar en la zona lineal, donde su comportamiento es similar al servomotor; o puede trabajar en la zona de saturación donde la relación tensión corriente de flujo es regida por una tabla o por una gráfica. Por lo general los devanados de campo y armadura tienen tensiones de alimentación diferentes. Máquina de excitación en derivación: esta máquina en su construcción y operación es similar a la máquina de excitación independiente, la diferencia principal radica en que las tensiones del devanado de campo y armadura tienen la misma tensión nominal y se pueden alimentar con una sola fuente. Máquina de excitación serie: el campo de esta máquina tiene pocas vueltas y por él debe circular una gran corriente, esta es la misma corriente de la de la armadura. Este tipo de máquina no debe operarse en vacío, ya que como generador la corriente en la armadura es nula por que no hay campo; como motor esta máquina puede embalarse y dañarse. Este tipo de máquina se construye para mover o producir grandes cantidades de potencia. Máquinas de excitación compuesta: este tipo de máquina puede tener la combinación de las máquinas de excitación independiente y serial. El campo principal es producido por el devanado shunt o paralelo y este se puede modificar (reforzar o debilitar) por el devanado serial. Las ecuaciones para su empleo son las más complejas de todas pero su operación es tal vez una de las más confortables.

3.20 Maquina dc trabajando como generador. Como ya se ha mencionado en los ítems anteriores, al hacer girar un conductor en un campo magnético en él se produce una tensión Eg cuyo valor depende de la velocidad de giro v=wr, la densidad de campo B y de la longitud del conductor dentro del campo magnético l y cuya relación se puede escribir como:

)(BxvlEg =

En la figura 3-22 y 3-24 se puede ver este comportamiento más detallado. Si se le coloca una resistencia en el colector de la máquina, por los conductores del rotor circulará una corriente como se muestra en la figura 3-22. Esta corriente producirá un torque dado por la ecuación:

)(ixBlF = Que a su vez va a producir un torque Fxr=τ que está en dirección contraria a la velocidad w. La potencia mecánica de salida está dada por wPm τ= . Y la potencia

eléctrica es dada por age IEP = como se puede notar en la figura el generador está

produciendo potencia mecánica (la tensión y corriente en el conductor están en ele mismo sentido) y está consumiendo potencia mecánica (velocidad w y torque τ están en direcciones contrarias).

84

Fig 3-22. Máquina de dc funcionando como generador.

Como se puede ver en la figura 3-23 para que la máquina funcione como generador se le debe aplicar una potencia mecánica externa proveniente de un primomotor, y en la salida se le puede colocar una carga eléctrica.

Fig 3-23. Máquina funcionando como generador.

Ahora vamos a ver que sucede cuando a la máquina de dc se le hace circular corriente en el otro sentido. Para poderlo hacer se le debe colocar una fuente de tensión Va de un valor más alto que Eg por medio de una fuente de alimentación como se puede ver en la figura 3-24.

Fig 3-24. Máquina de dc trabajando como motor.

Ahora la máquina está consumiendo potencia eléctrica (corriente y tensión en el conductor están en sentido contrario) y genera potencia mecánica (torque y velocidad en el mismo sentido). En conclusión para que una máquina de dc trabaje como motor se le debe colocar una batería externa a los terminales de la armadura y se puede hacer un trabajo útil en el eje del motor como se aprecia en la figura 3-24.

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Fig 3-25. Máquina de dc trabajando como motor.

3.21 Servomotor. Como se dijo anteriormente el servomotor es la máquina más simple de construir, en el estator, el campo magnético es producido por un imán permanente y el rotor está constituido por un devanado imbricado porque desarrolla poca potencia y maneja pequeñas corrientes. Este motor se puede conseguir en potencias desde varios décimas de vatio hasta 1 Hp.

Fig 3-26. Estructura interna del servomotor.

Gracias a su campo constante la tensión inducida se puede expresar como:

mgg kE η= Ecuación 3-21

Es decir para este tipo de máquina la tensión generada es directamente proporcional a la velocidad. El torque generado también una relación semejante y se puede expresar con la ecuación:

at Ik=τ Ecuación 3-22

El circuito equivalente de la máquina se puede ver en la figura 3-27, la ecuación que relaciona las variables de la armadura se puede escribir como.

aaga IREV ±=

Donde el signo “+” se usa para cuando la máquina funciona como motor y “-“ cuando funciona como generador.

86

Fig 3-27 Circuito equivalente de la máquina de dc. a) funcionando como motor, b) funcionando

como generador. En algunas aplicaciones al servomotor funcionando como generador pero se le llama tacogenerador. Esta máquina es muy precisa y se usa elemento de medición por este razón se le debe sacar poca corriente. El tacogenerador se usa como dispositivo para medir velocidad gracias a al propiedad de que la tensión generada es proporcional a la velocidad.

3.22 Máquina de excitación independiente. La máquina de excitación independiente difiere con respecto al servomotor (maquina de imanes permanentes) en que el flujo producido en los polos debe ser de gran potencia. Este flujo se produce en el estator y en cada polo se devana una bobina de muchas vueltas. El flujo producido depende de la corriente que circula por el devanado de campo If, el número de vueltas Nf y la reluctancia de la máquina ℜ.

ℜ= ff IN

φ Ecuación 3-23

Fig 3-28. Máquina de excitación independiente.

Como se puede ver en la figura 3-28 la máquina de excitación independiente tiene dos devanados, uno que corresponde a la armadura y tiene los mismos componentes que un servomotor, y el segundo es el del campo.

Fig 3-29. Circuito equivalente de una máquina de excitación independiente.

Vamos a ver que relación hay entre el flujo φ y la corriente de campo If. Si se eleva gradualmente la corriente de excitación y se mide la densidad de campo en los polos se ve una gráfica como la que aparece en la figura 3-30. Inicialmente hay un flujo remanente que aparece en los polos debida a excitaciones anteriores y persiste así no se

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tenga una corriente de campo. Al ir incrementado la corriente de campo la densidad de flujo también va a aumentar, pero este aumento se hace solo en un intervalo o zona de linealidad, luego se llega a un codo de saturación donde todos los dipolos están alineados en el mismo sentido que el flujo magnético producido en el campo y si se sigue aumentado la corriente de campo, se llega a la zona de saturación, donde se hace necesario que la corriente de campo If aumente grandemente para producir un pequeño aumento de la densidad de flujo B.

Fig 3-30. Comportamiento de la densidad de flujo B contra If.

¿Cómo se relaciona el voltaje inducido con el flujo? Sabemos que la ecuación de la tensión inducida para un motor en general Es:

a

PZEg 60

ηφ= Ecuación 3-24

Donde se ve que la tensión inducida es directamente proporcional al flujo φ. Por consiguiente, si se traza la relación de Eg contra If obtenemos una curva similar a la curva de saturación y este resultado se puede apreciar en la figura 3-31.

Fig 3-31 Relación If vs Eg en un generador de excitación independiente.

El voltaje nominal de la máquina de dc casi siempre se encuentra un poco más arriba del codo de saturación. Por ejemplo el voltaje nominal de la máquina de la que se tomó la gráfica de la figura 3-31 es de 250V. Si se cambia la corriente de campo se puede variar la tensión inducida Eg en el generador como se quiera. Además el generador trabaja sobre la zona lineal, lo que permite una mejor relación. Además si se le invierte la polaridad a la corriente de campo, también se le cambia la polaridad a la tensión generada. Si se analiza el ecuación 3.24 se ve que la tensión inducida Eg es directamente proporcional a la velocidad. Lo que permite describir que si se aumenta la tensión generada Eg la velocidad variará en igual proporción. Si se invierte la dirección de rotación, la polaridad de la tensión inducida se cambiará. No obstante, si se invierten

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conjuntamente la corriente de excitación y el sentido de rotación de la máquina la polaridad de la tensión inducida no cambiará.

3.23 Máquina de excitación independiente funcionando como generador.

Para que una máquina de dc de excitación independiente trabaje como generador debe tener una máquina motriz que le suministre potencia mecánica, a esta máquina se le puede llamar primomotor y puede ser un motor de gasolina, una turbina de vapor, una rueda pelton, una central nuclear etc. En la figura 3-32 se puede ver esta conexión.

Fig 3-32. Máquina de excitación independiente funcionando como generador.

Para que una máquina de excitación independiente funcione como generador el devanado de campo debe ser alimentado con una fuente externa para producir un flujo y adicionalmente el generador debe girar para que en los bornes del generador se tenga una tensión Va. Para diferenciar los dos devanados se debe medir la resistencia, el circuito con mayor resistencia corresponde al campo y el de menor resistencia corresponde al de armadura. En la figura 3-33 se puede ver el circuito equivalente de esta máquina. El circuito de campo debe ser alimentado con una fuente externa Vf, este circuito tiene una inductancia Lf y una resistencia Rf propias del devanado y por él circula una corriente If

que genera un flujo φ.

Fig 3-33. Circuito equivalente de una máquina de dc de excitación independiente.

El circuito de armadura tiene un rotor donde se genera una tensión Eg al girar, este debe conectarse al exterior por medio de unas escobillas, internamente tiene una resistencia Ra y una inductancia La. En el exterior se tiene disponible una tensión Va que se puede aplicar a la carga. Si la máquina no alimenta una carga, la corriente de armadura Ia es cero, se puede ver con facilidad en la figura 3-33 que la tensión en bornes es igual a la tensión generada Eg. Si se le coloca una resistencia en los bornes del generador y la tensión en bornes se

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mantiene constante e igual a la nominal se producirá una corriente Ia lo que hace que la caída de tensión en la resistencia de armadura RaIa aumente. Para mantener la tensión en bornes constante se debe aumentar la tensión generada Eg. Esta tensión se puede aumentar por medio de dos métodos, el primero es aumentando la velocidad de giro del primomotor, pero este es poco usado, ya que cuando se compra un grupo motor-generador, el motor se regula de tal manera que opere a la máxima eficiencia y en lo posible no se debe variar esta, ya que la operación del grupo se encarece. La única alternativa que nos queda para controlar la tensión en los bornes es variar la corriente de campo. Las ecuaciones que rigen la máquina de excitación independiente trabajando como generador son:

aaga IREV −= Ecuación 3-25

La tensión inducida Eg se expresa como: ηfgg IKE = Ecuación 3-26

Si la máquina se encuentra operando en la zona lineal, y sino se debe dar una gráfica o una tabla donde se encuentre esta relación. El torque del primomotor produce una potencia mecánica dada por:

wPm τ= Ecuación 3-27

El torque mecánico que el generador le produce al primomotor depende de la corriente de armadura o de la carga que tenga el generador en este momento y se puede expresar como:

fatm IIk=τ Ecuación 3-28

3.24 Operación del generador independiente funcionando en vacío.

Para cambiar la tensión en vacío de un generador de excitación independiente se debe cambiar la corriente de campo. Esta se puede variar por dos métodos, variando la resistencia externa de campo o variando la tensión de alimentación del campo. En la figura 3-34 se puede apreciar esta característica Si se aumenta la corriente de campo se aumenta la tensión y si se disminuye la corriente de campo se disminuye la tensión generada. Su funcionamiento se puede resumir en las ecuaciones:

gagaaga EREIREV =−=−= 0

ηfgg IKE =

Fig 3-34. Control de la tensión en vacío de un generador de excitación independiente.

90

3.25 Operación del generador independiente funcionando con carga.

Vamos a investigar que le sucede al generador cuando se le coloca carga y la corriente de campo se mantiene constante, en este caso la tensión en bornes Va se ve disminuido debido a la caída de tensión que hay en la resistencia de armadura RaIa, su ecuación se puede ver como:

aaga IREV −=

Fig 3-35. Generador de excitación independiente trabajando con carga.

3.26 Operación del generador independiente operando idealmente.

Para que un generador se considere que debe trabajar idealmente en sus terminales se debe mantener la tensión en bornes constante dependientemente de su carga. Como ya se ha visto anteriormente, al colocarse una carga en bornes y la corriente de campo mantenerse constante la tensión en bornes se baja, para volverla a subirla se debe aumentar la corriente de campo como se ilustra en la formula siguiente y en la figura 3-36.

↑−↑= aaga IREV

Fig 3-36. Generador trabajando con Va constante.

3.27 Maquina de excitación independiente trabajando como motor.

En la figura 3-37 se puede ver una máquina de excitación independiente trabajando como motor. Observe que se deben tener dos fuentes de alimentación, una para el campo llamada Vf y otra para la armadura llamada Va. Normalmente la tensión de

91

alimentación del campo Vf es de valor diferente que la tensión en la armadura Va y por eso se hacen necesarias dos fuentes de alimentación.

Fig 3-37. Máquina de excitación independiente funcionando como motor.

En el circuito equivalente de la figura 3-37 se puede ver que sucede con la corriente de armadura, en este caso la corriente va desde la fuente hacia la máquina, mientras que en la máquina trabajando como generador ve desde el interior de la máquina hacia el exterior. La ecuación de la armadura se puede enunciar como:

aaga IREV +=

Fig 3-38. Máquina de excitación independiente funcionando como motor.

La tensión inducida Eg se expresa como:

ηfgg IKE = Ecuación 3-29

Si la máquina se encuentra operando en la zona lineal, y sino se debe dar una gráfica o una tabla donde se encuentre esta relación. El la potencia mecánica que la máquina de dc le entrega a la carga se puede expresar como:

wPm τ= Ecuación 3-30

El torque electromagnético que la máquina entrega a la carga se puede expresar como:

fatm IIk=τ Ecuación 3-31

El objetivo primordial de un motor es entregar un torque a velocidad constante o dicho de otra manera mantener la velocidad de giro constante. Si tomamos las ecuaciones de tensión inducida y la ecuación que rige la armadura y de estas dos se despeja la velocidad se puede llegar a:

ft

aaa

Ik

IRV −=η Ecuación 3-32

Donde podemos ver que la velocidad del primomotor se puede variar por medio de la tensión en los bornes Va, por medio de la resistencia de armadura RaIa o por medio de la corriente de campo If.

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3.28 Generador en derivación o shunt. Un generador con excitación en derivación es una máquina cuyo devanado de campo en derivación está conectado en paralelo a los terminales de la armadura, de modo que el generador puede ser autoexcitado. La ventaja de tener este tipo de generado es que no se necesita una fuente de alimentación externa para el campo y además la tensión nominal del campo debe ser la misma que la de armadura.

Fig 3-39. Generador en derivación.

Como se logra la autoexcitación? Cuando se pone en marcha un generador en derivación, se induce una pequeña tensión en la armadura Va debida al flujo remanente en los polos. Este pequeño voltaje produce una pequeña corriente de excitación en el campo If en derivación. La pequeña fuerza magnetomotriz NfIf resultante actúa en el mismo sentido que el flujo remanente y hace que el flujo aumente. El incremento del flujo aumenta aún más la tensión inducida Eg. Este incremento progresivo continua hasta Eg alcanza un valor máximo determinado por la resistencia de campo Ref y el grado de saturación. CONTROL DE TENSIÓN DEL GENERADOR EN DERIVACION. Es fácil controlar la tensión inducida en un generador con excitación en derivación. Simplemente se debe variar la corriente de excitación mediante un reóstato Ref conectado en serie con el campo como se muestra en la figura 3-40.

Fig 3-40. Control de tensión de un generador de excitación independiente.

Podemos determinar el valor sin carga de Eg si conocemos la curva de saturación de la máquina en vacío y la resistencia total del circuito de campo (Rf+Ref). Para hallar el punto de funcionamiento del generador trazamos una línea recta correspondiente a la resistencia total del circuito de campo (Rf+Ref) que nos da la pendiente de la curva y esta pasa por el origen. Luego se superpone con la característica del generador y donde se intercepten da el punto de funcionamiento en vacío.

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Fig 3-41 punto de funcionamiento del generador en derivación.

3.29 Control de la tensión de un generador derivación. Aumentando la resistencia del reóstato, la resistencia total del circuito de campo aumenta, esto hace que la pendiente de la recta aumente, el punto de intersección entre las gráfica se va corriendo hacia la izquierda lo que hace que la tensión Eg disminuya. Si por el contrario se disminuye la resistencia en el reóstato, la pendiente de la recta disminuye y el punto de intersección entre las dos gráficas se corre hacia la derecha, lo que hace aumentar la tensión generada. En conclusión se puede decir que para aumentar la tensión generada en un generador en derivación se debe disminuir la resistencia de campo externa Ref y para disminuir la tensión generada se debe aumentar la resistencia Ref.

Fig 3-42. Control de tensión en un generador autoexcitado.

Si se continúa aumentando la resistencia de campo se alcanza un valor crítico donde la pendiente de la línea de la resistencia iguala la curva de saturación en su región no saturada. Cuando se alcanza esta resistencia el voltaje inducido cae repentinamente a cero y permanece así para cualquier Ref mayor.

3.30 Generador en derivación con carga. Al colocarsele carga al generador la corriente produce una caída de tensión RaIa en la resistencia de armadura. Esto hace que la tensión en bornes caiga, al caer esta tensión la corriente de campo también diminuya lo que agudiza la caída de tensión generada. Este efecto se puede ver en la figura 4.43. Este “corrimiento” hace que el cálculo de la tensión generada sea un poco complicado. El cálculo de las dos tensiones se debe hacer de forma gráfica o por medio de iteraciones. El primer método se usaba en la antigüedad y hoy en día gracias al adelanto de los computadores se puede hacer de forma repetitiva.

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Fig 3-43 Tensión generada y tensión en bornes de un generador autoexcitado

Como se puede ver en la gráfica 3-43 se debe disminuir la resistencia de campo externa Ref para aumentar la tensión en bornes.

3.31 Motor derivación (shunt) bajo carga. Considere un motor de dc que funciona sin carga. Si se aplica repentinamente una carga mecánica al eje la pequeña corriente sin carga no produce un par de torsión lo suficiente para soportar la carga y el motor empieza a desacelerarse. Esto hace que la fcem Eg diminuya y el resultado es una corriente más alta, y por ende una corriente de carga Ia más alta que conlleva un torque de torsión más alto. Cuando el par de torsión desarrollado por la máquina es igual al par que necesita la carga externa para mantenerse girando, entonces la velocidad permanece constante. En resumen, conforme la carga mecánica se incrementa, la corriente de la armadura Ia aumenta y la velocidad disminuye. La velocidad del motor en derivación permanece constante al funcionar sin carga y con carga, solo hay un decaimiento cercano al 15% en motores pequeños. En máquinas grandes la disminución es incluso menor, debido en parte a la bajísima resistencia de la armadura Ra, Ajustando el reóstato de campo se puede mantener la velocidad absolutamente constante a medida que cambia la carga. Los cálculos de un motor en derivación son más censillos que el generador porque la tensión en bornes normalmente se mantiene constante y al final resulta el comportamiento como un motor de excitación independiente.

3.32 Generador compuesto. El generador compuesto fue desarrollado para evitar que el voltaje en terminales de un generador de dc diminuyera al aumentar la carga. Por lo tanto, aún cuando se puede tolerar una caída razonable del voltaje en las terminales del generador conforme se incrementa la carga, este es un efecto serio en los circuitos de iluminación. Por ejemplo, el sistema de distribución de energía en un barco suministra energía tanto a las máquinas como a las lámparas incandescentes. La corriente suministrada por el generador fluctúa continuamente, en respuesta a las cargas variables. Estas variaciones de corrientes producen cambios correspondientes en el voltaje en los terminales Va del generador, lo que provoca que las luces parpadeen. Los generadores compuestos eliminan este problema.

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Un generador compuesto es similar a un generador en derivación, excepto que tiene bobinas de campo adicionales conectadas en serie con la armadura. Estas bobinas en serie son construidas de un alambre grueso para soportar la corriente de la armadura Ia y de pocas vueltas, puesto que se debe modificar el campo en pequeña proporción para mantener la tensión en bornes constante. Por estos dos motivos la resistencia del devanado de campo en serie es pequeña. En la figura 3-44 se puede ver esta construcción.

Fig 3-44. Circuito y construcción de una máquina compuesta.

Cuando la máquina compuesta trabaja en vacío la corriente de carga Ia es pequeña y el flujo producido por esta bobina es prácticamente cero. Las bobinas de campo en derivación llevan al corriente nominal If la cual produce el flujo y este a su vez genera la tensión Eg; hasta el momento el generador compuesto funciona como si fuera un generador en derivación. A medida que el generado se carga la tensión en bornes Va tiende a disminuir, pero la corriente de carga Ia crea un flujo adicional en los polos debido al devanado serial. La fuerza magnetomotriz fmm de este devanado refuerza el campo magnético producido en el campo en derivación. Por consiguiente, el flujo en el campo bajo carga se eleva por encima de su valor original sin carga, el cual a su vez eleva el valor de la tensión Eg y que a su vez mantiene constante el valor de la tensión en bornes Va. Si las bobinas en serie están diseñadas de amanera adecuada, el voltaje en los terminales permanece prácticamente constante cuando el generador va sin carga hasta la carga nominal. En algunos casos no solo se debe compensar la tensión de caída en la armadura IaRa sino también la caída de tensión debida a la reacción de armadura. Muchas veces

3.33 Generador serie. Una máquina dc serie es una máquina cuyo devanado de campo consta de unas pocas vueltas conectadas en serie con la armadura. El circuito de una máquina serie y su

96

apariencia constructiva se muestran en la figura 24. En una máquina dc serie, la corriente de inducido, la corriente de campo y la corriente de línea son iguales.

Fig 3-45. Apariencia y circuito equivalente de un generador serie.

La ecuación correspondiente a la armadura es dada por:

asaga IRREV )( ++= Ecuación 3-33

La característica de una motor dc serie es muy diferente de la característica de un motor derivación o compuesto estudiado hasta ahora. El comportamiento especial de una máquina serie se debe al hecho de que el flujo es directamente proporcional a la corriente de inducido, al menos hasta llegar a la saturación. Cuando se incrementa la carga del motor también aumenta el flujo. Como se estudio al principio, un aumento de flujo en el motor ocasiona una disminución en su velocidad; el resultado es una caída drástica de la característica par velocidad de una motor serie. El par inducido para cualquier máquina de dc está dado por.

at Ik φτ =

En esta máquina, el flujo es directamente proporcional a la corriente de inducido. Entonces se puede escribir:

acIk=φ

El par producido nos queda: 2asIk=τ Ecuación 3-34

En otras palabra, el par en el motor serie es proporcional al cuadrado de la corriente de armadura. Como resultado de esta relación, es fácil observar que un motor serie produce más par por amperio que cualquier otro tipo de máquina de corriente continua. El motor serie se utiliza en aplicaciones que requieren pares muy altos, como por ejemplo vehículos de tracción como trenes, elevadores y motores de tracción en locomotoras. MOTOR SERIE. Para determinar la característica de un motor serie, el análisis se basará en la premisa que la curva de magnetización es lineal, y luego se considerará los efectos de la saturación con un análisis gráfico. Supongamos que la curva de magnetización es lineal y es dada por la ecuación:

acIk=φ

Lo que implica que el flujo en el motor serie comienza por aplicar la ley de voltajes de Kirchhoff:

asaga IRREV )( ++=

97

La corriente de inducido en base al torque se puede expresar como:

s

aK

Iτ

= Ecuación 3-35

También se sabe que la tensión generada Eg es dada por:

agg IkE φ=

Sustituyendo las ecuaciones en la ecuación de la armadura nos queda:

s

sagak

RRKVτ

φη )( ++=

La relación par velocidad resultante después de varias manipulaciones matemáticas nos queda:

s

sa

s

a

K

RR

K

Vw

+−=

τ Ecuación 3-36

Nótese que un motor serie no saturado, la velocidad del motor varia con el inverso de la raíz cuadrada del par. Se tiene un problema en los motores de dc serie y es que cuando se va decrementando el par aplicado la velocidad de la máquina tiende a infinito. En la práctica el par nunca debe llegar a cero porque es necesario vencer el torque de fricción y ventilación pero sin embargo la velocidad es alta y puede dañar los cojinetes. Para controlar de velocidad de un motor dc serie solo hay una forma efectiva y es cambiar el voltaje terminal Va. Si se aumenta el voltaje en los terminales del motor el primer término de la ecuación aumenta y resulta en una mayor velocidad para cualquier par dado. Su velocidad también puede ser cambiada insertando resistencias en serie con la armadura, pero esta práctica resulta un tanto antieconómica porque se disipa arta potencia en estas resistencias.

3.34 Ejemplos EJEMPLO 3-1 Un servomotor tiene un voltaje de 24V y una corriente de 10A, la resistencia de armadura es de 0.1 Ω y la velocidad es de 1200rpm. Determinar:

a) La potencia de alimentación. b) La fem c) La potencia generada d) La potencia de salida e) El par de salida f) La eficiencia g) Constantes de la máquina.

SOLUCION a) Pin=VI=240W b) VIRVE aaag 23=−=

c) Pt=EgI=230W d) Pout=230W

e) Nmw

P

r

83.1==τ

98

f) %83.95100% ==in

out

P

PE

g) rpmVE

Kg

g /191.0==η

EJEMPLO 3-2 El voltaje sin carga de un generador de cc de imanes permanentes que gira a 1800rpm es de 120V, la resistencia de armadura es de 0.02Ω. Las pérdidas por rotación son de 2.5KW. Si el generador está diseñado para 200A. Calcular:

a) El voltaje en terminales para la carga especificada. b) La regulación de voltaje. c) El par aplicado. d) La eficiencia.

SOLUCION a) VIREV aaga 116=−=

b) %44.3100% 0 =−

=a

aa

V

VVR

c) KWIEP agt 24== , KWPPP mtin 5.26=+=

d) KWIVP aaout 2.23== , %54.87100% ==in

out

P

PE

EJEMPLO 3-3

Un servomotor de 80V, 25A tiene una resistencia de de armadura de 0.1Ω. El motor se usa para elevar una carga de 500lb, sobre una polea de 5cm de diámetro, no tome en cuenta las pérdidas de la máquina. Determinar:

a) Cual es la rapidez de elevación, cuando el motor consume la corriente nominal. b) Ahora se invierte la polaridad del voltaje de armadura y el motor baja. Se le

ajusta el voltaje para que el descenso se haga con la misma corriente que tenia en la subida. Que tensión se requiere?

SOLUCION a) Analizando la carga: m=250Kg, F=1125N, NmFxr 63.30==τ , analizando el

motor VIRVE aaag 5.77=−= , WIEP agt 5.1937== , segradP

w t /25.63==τ

,

rpmw 99.60330

==π

η

b) La velocidad de bajada no importa, se puede considerar que la tensión inducida Eg=0; se debe aplicar un torque de igual magnitud pero al contrario y la tensión aplicada debe ser de: VIRV aaa 5.2== .

EJEMPLO 3-4 Un servomotor de dc funciona a 1000rpm con un voltaje de línea de 120V y una corriente de 2A y una potencia de salida de 2hp. Indique el efecto en la velocidad del motor (aceleración o desaceleración) que los cambios siguientes producen en la máquina, solo se efectúa un cambio a la vez y el anterior se anula.

a) El voltaje se cambia a 60V. b) Se duplica la potencia de salida. c) Se duplica el torque de salida.

99

SOLUCION a) Desacelera. b) Se desacelera. c) Se desacelera.

EJEMPLO 3-5

Un servomotor tiene una resistencia de armadura de 1Ω, se alimenta de una fuente de 45V, la constante de la máquina es de 0.2V/rpm. Determinar la velocidad en rpm con una potencia generada de 500W. SOLUCION

a) La ecuación de la armadura es aaga IREV += , si se multiplica en ambos lados

por la corriente de armadura la ecuación queda 2aaagaa IRIEIV += , Ia1=25A,

Ia2=20A. cualquiera de las dos corrientes son válidas y se selecciona la segunda porque es la que menor daño representa para el motor. La tensión generada es

Eg=25V, la velocidad es rpmK

E

g

g 125==η .

EJEMPLO 3-6 Un servomotor tiene una información de placa de 180V, Ia=9.5A y 1150rpm, la resistencia de armadura es de 1.03Ω y puede generar una potencia de 2hp. Determine:

a) La velocidad del rotor sin carga. b) Corriente de arranque c) La tensión en bornes para que la máquina gira a 500rpm en vacío. d) La tensión en bornes para que la máquina gire a 500rpm con plena carga.

SOLUCION

a) VIRVE aaag 21.170=−= , rpmVE

Kg

g /148.0==η

, en vacío la corriente de

armadura se puede considerar como cero, lo que implica que Eg=Va=180V y la

velocidad se da como rpmK

E

g

g 2.1216==η

b) Si se enciende el motor en ese momento la velocidad es cero η=0, la tensión generada también lo es Eg=Kgη y la corriente de arranque es:

AIIRV arrarraa 75.174=⇒= .

c) Para que el motor gire en vacío a una velocidad de 500 rpm la tensión generada es VKE gg 74== η , en vacío Ia=0 y la tensión de alimentación es

VIREV aaga 74=−= .

d) Para que gire el motor a 500rpm la tensión Eg=74V, la corriente de plena carga es Ia=9.5A y la tensión de alimentación es VIREV aaga 78.83=+= .

EJEMPLO 3-7 Un motor de dc tiene el campo magnético producido por un imán permanente, se alimenta a 12.6V y gira a 1200rpm en vacío; este se usa para mover una ventanilla en un automóvil, el motor requiere 10.2A al bajar la ventanilla y gira a 800rpm. Determinar:

a) La resistencia de armadura. b) Par necesario para bajar la ventanilla.

SOLUCION

100

a) Haciendo el análisis en vacío Eg=Va=12.6V, la constante de la máquina es

rpmVE

Kg

g /0105.0==η

, la tensión inducida con carga es VKE gg 4.8== η

despejando los valores de la ecuación de la armadura Ω==−

41.0a

a

gaR

I

EV.

b) WIEP agt 68.85== , Nmw

Pt 022.1==τ

EJEMPLO 3-8 Un motor de imán permanente de 12V se usa para elevar una carga, este motor gira a una velocidad de 800rpm y consume una corriente de 8.1A. Cuando la carga se atasca el motor consume 22A. El par necesario para bajar la carga es del 80% de la corriente de subida. Determinar:

a) La resistencia de armadura. b) La corriente cuando baja la carga. c) La velocidad de bajada de la carga.

SOLUCION a) Si el motor se atasca la velocidad es cero, por ende la tensión generada es cero.

La resistencia de armadura es Ω== 54.0a

aa

I

VR .

b) Si el par se reduce en un 80% el torque también se reduce en la misma proporción AII apca 48.6*8.0 ==

c) VIRVE aaag 63.7=−= ,

EJEMPLO 3-9 Un ingeniero adquirió un motor con campo producido por un imán permanente. La placa de identificación indica 90V y 9.2A pero no da la potencia nominal. El ingeniero aplicó una tensión de 90V al motor sin carga la corriente consumida fue de 0.5A y la velocidad fue de 1843 rpm. A continuación el ingeniero impuso una carga mecánica hasta que el motor tomó una corriente de 9.2A la velocidad fue de 1750 rpm. El ingeniero supuso que las pérdidas eran constantes y sobre esta base determinó la potencia de salida, la ressitencia de armadura medida es de 1.3Ω. Cual es esa potencia. SOLUCION Hallando la potencia en vacío y considerando que las pérdidas en el cobre son despreciables VIRVE aaag 35.89=−= , WIEP agfv 67.44== . La potencia de salida con

carga es VIRVE aaag 04.78=−= , WIEP agt 97.717== , WPPP fvtout 3.673=−= .

EJEMPLO 3-10 Un motor de dc de excitación separada desarrolla una potencia de 1.5hp y tiene la siguiente información de placa: 180V, 2500rpm, 7.5A, Ra=0.563Ω, La=12mH, If=0.56A, Rf=282Ω. Considera la corriente de campo constante para todo el problema, determinar:

a) Determine las pérdidas totales del motor cuando este opera en las condiciones de placa de identificación.

b) Determine la corriente que se requiere para generar una potencia de 1.2hp con una tensión de 180V.

101

c) Determine el voltaje de alimentación que se requiere para alcanzar una velocidad sin carga de 2800rpm.

SOLUCION a) VIRVE aaag 8.175=−= , WIEP agt 5.1318== , WPout 1119= ,

WPPP outtm 5.199=−=

b) WPPP outmt 7.1094=+= , 2aaagaa IRIEIV += , Ia1=6.2A, Ia2=315.22A, la

corriente es la menor posible para evitar altas pérdidas en el cobre de la armadura Ia=6.2A.

c) rpmVE

Kg

g /07032.0==η

, VKE gg 89.196== η .

EJEMPLO 3-11 Se tiene una máquina tetrapolar de cc de 120KW y 240V funciona como generador y tiene una resistencia de armadura de 0.01Ω cuya curva de magnetización fue tomada a 1200 rpm es dada por:

f

f

gI

IE

5.65.7

2400

+=

a) Grafique la velocidad para una velocidad de 800rpm. b) Que corriente de campo se necesita para generar la tensión nominal en vacío. c) Que corriente de campo se necesita para generar la tensión nominal a plana

carga. d) Cual es la eficiencia.

SOLUCION

a) 1200

800

5.65.7

2400

f

f

gI

IE

+= la gráfica de las dos velocidades se puede ver en la

figura:

b) AE

EI

g

g

f 14.25.62400

5.7=

−= .

c) AV

PIa 500== , VIRVE aaag 245=+= , A

E

EI

g

g

f 27.25.62400

5.7=

−= .

d) KWIEP agin 5.122== , KWIVP aaout 120== , %95.97100% ==in

out

P

PE

EJEMPLO 3-12 Se tomaron los datos siguientes datos en una máquina de excitación separada de 15KW, 120V y Ra=0.1Ω a su velocidad especificada de 1200rpm. If [A] 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 Eg [V] 6 70 112 130 140 145 149 152 155 157 158 159

102

a) Grafique la velocidad para una velocidad de 800rpm. b) Que corriente de campo se necesita para generar la tensión nominal en vacío. c) Que corriente de campo se necesita para generar la tensión nominal a plana

carga. d) Cual es la eficiencia.

SOLUCION

a)

b)

130120112

5.11 fI, AI f 22.11)112120(

112130

15.1=+−

−−

=

c) AV

PIa 125== , VIRVE aaag 5.132=+= ,

1405.132130

25.1 fI,

AI f 63.15.1)1305.132(130140

5.12=+−

−−

=

d) KWIEP agin 5.122== , KWIVP aaout 120== , %95.97100% ==in

out

P

PE

EJEMPLO 3-13 Un generador de c.c con excitación independiente de 120V y 1200rpm tiene los siguientes parámetros Ra=0.05Ω, Rf=10Ω, Vf=120V y Nf=100 vueltas por polo, La fmm de desmagnetización es del 20% de la corriente de carga. Se sabe que la fem inducida sin carga se puede especificar por la relación:

f

f

gI

IE

8.05

200

+=

El generador entrega su carga especificada de 50A con un voltaje de 120V. Determinar: a) La resistencia de campo para generar la tensión nominal en vacío. b) La resistencia de campo para generar la tensión nominal con carga. c) El par inducido con carga. d) La regulación de tensión.

SOLUCION

a) AE

EI

g

g

f 76.58.0200

5=

−= , Ω=−= 83.10f

f

f

ef RI

VR .

b) VIRVE aaag 5.122=+= , AE

EI

g

g

f 68.0200

5=

−= , teniendo en cuenta la

desmagnetización AI

II affe 1.6

100

2.0=+= .

c) KWIEP agin 12.6== , Nmw

Pin 7.48==τ .

103

d) %08.2100% 0 =−

=a

aa

V

VVR

EJEMPLO 3-14 Un generador con excitación independiente de 50KW, 250V y 600rpm tiene una resistencia de armadura de 0.05Ω. El generador alimenta la carga especificada a la tensión especificada. El circuito de campo tiene una resistencia de 100Ω y se conecta a una fuente de 200V, las pérdidas por rotación son de 5KW. Determine:

a) eficiencia b) par aplicado c) regulación de tensión.

SOLUCION

a) AV

PI

a

a 200== , VIRVE aaag 260=+= , KWIEP agin 52== ,

KWIVP aaout 40== , %92.76100% ==in

out

P

PE .

b) Nmw

Pin 63.827==τ .

c) %4100% 0 =−

=a

aa

V

VVR .

EJEMPLO 3-15 El par desarrollado por un motor de cc de excitación separada es de 20Nm cuando la corriente de armadura es de 25A. Si el flujo se reduce en un 20% de su valor original y la corriente se armadura se incrementa en un 40%. Cual es el par desarrollado por el motor. SOLUCION

fat IIK=τ , NmIIK

IIK

fat

fat 4.228.0*4.1*

201

1

=⇒= ττ

EJEMPLO 3-16 Un motor de excitación independiente de 120V toma una corriente de 2A sin carga y 7A cuando trabaja a plena carga y el rotor gira a 1200rpm. La resistencia de armadura es de 0.8Ω y la del campo es de 240Ω. Determinar:

a) Las pérdidas de potencia por rotación. b) La velocidad sin carga. c) La potencia de salida. d) La regulación de velocidad. e) La eficiencia.

SOLUCION a) WVEP agm 8.236==

104

b) Con carga VIRVE aaag 4.114=−= , rpmVE

Kg

g /095.0==η

, sin carga

VIRVE aaag 4.118=−= , rpmK

E

g

g 3.1246==η .

c) WIEP agout 8.800== .

d) %58.38100% 0 =−

=c

c

ηηη

η .

e) WIVP aaout 840== , %23.95100% ==in

out

P

PE .

EJEMPLO 3-17 Un motor de excitación independiente de 240V, 20hp, 2000 rpm tiene una eficiencia del 76% a plena carga. La resistencia del circuito de armadura es de 0.2Ω, la corriente de campo es de 1.8A. Calcule:

a) La resistencia de arranque para limitar la corriente de arranque a 1.5 veces la corriente nominal.

b) La corriente a plena carga. c) El par en el eje a plena carga. d) Velocidad sin carga. e) Regulación de velocidad.

SOLUCION a) En el momento del arranque la velocidad del motor es cero, por consiguiente

Eg=0, si se debe colocar una resistencia de arranque en serie con la armadura su ecuación queda Ω=⇒+−= 37.2)( arraarraag RIRRVE .

b) La potencia de salida es KWIEP agout 92.14== , la potencia de entrada es

KWIVP aain 63.19== , AIIRIEIV aaaagaa 64.682 =⇒+= .

c) Nmw

Pout 23.71==τ .

d) VIRVE aaag 27.226=−= , rpmVE

Kg

g /113.0==η

, rpmK

V

g

a 2123==η

e) %15.6100% 0 =−

=c

c

ηηη

η

EJEMPLO 3-18

Un motor de excitación independiente tiene una resistencia de armadura de 0.2Ω, una tensión de línea de 150V y una resistencia de campo de 100Ω. La curva de magnetización se muestra en la tabla adjunta y fue tomada a 1200rpm, si se aplica una carga su velocidad se reduce en un 5%. Determinar: If [A] 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 Eg [V] 6 70 112 130 140 145 149 152 155 157 158 159

a) La velocidad sin carga. b) La corriente con carga. c) Potencia de salida. d) Si se reduce la tensión de alimentación a 120V y se mantiene el par, determine la

nueva velocidad. SOLUCION

105

a) Calculando la corriente de campo AR

VI

f

f

f 5.1== la tensión generada con esta

corriente es 130V. Analizando la ecuación de la armadura VVE ag 150== la

velocidad en vacío es rpmE

E

g

g 6.13842

1

2

1 =⇒= ηηη

.

b) rpmc 37.1315=η , VEg 5.142= , AR

EVI

a

ga

a 5.37=−

= .

c) KWIEP agout 34.5==

d) Si se mantiene el par se mantiene la corriente de armadura, hallando nuevamente

la tensión inducida VIRVE aaag 5.112=−= , rpmE

E

g

g 4.10382

1

2

1 =⇒= ηηη

EJEMPLO 3-19 Un generador shunt de 230V, 1800rpm, 4.6KW tiene una resistencia de armadura de 0.2Ω y una resistencia en el circuito de campo de 65Ω. La fem inducida debida al flujo residual es de 10V. Si el generador se conecta en cortocircuito antes de operarlo. Calcular:

a) La corriente de corto circuito. b) El torque en corto.

SOLUCION

a) El flujo residual produce una corriente de AR

EI

a

g

a 50==

b) WIEP agin 500== , Nmw

Pin 65.2==τ

EJEMPLO 3-20 Un generador shunt de 23KW, 230V y 900 rpm. Si se cae de repente la carga la tensión en bornes es de 240.5V. La corriente de campo es de 5A. Calcular:

a) La resistencia de armadura. b) Regulación de tensión. c) Resistencia de campo.

SOLUCION

a) AV

PI

a

l 100== , Ia=105A, Ω=−

= 1.0a

ag

aI

VER

b) %65.45100% 0 =−

=a

aa

V

VVE

c) Ω== 26f

af

I

VR .

EJEMPLO 3-21 Cual es la resistencia crítica del circuito de campo para la curva de magnetización siguiente: If[A] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Eg[V] 160 235 245 282 290 300 320 325 330 336

106

Cual debe ser la resistencia de campo para que el generador tenga una tensión en bornes de 220V SOLUCION

a) Ω== 160f

af

I

VR

b)

235220160

21 fI, AI f 8.1= ,

Ω== 2.122f

af

I

VR

EJEMPLO 3-22 La curva de magnetización de una máquina de c.c. tipo shunt se muestra en la tabla siguiente: If[A] 0 1 2 3 4 5 6 7 Eg[V] 0 40 80 106 120 128 135 142 La potencia de la máquina es de 6KW, 120V, 50A 1800rpm, la corriente que circula por el campo es de 5A y los otros datos de la máquina son: Ra=0.19Ω, Radj=0 a 30 Ω, Vf=120V, Rf=24Ω, Nf=1000 espiras.

a) Si el generador está en vacío, en que rangos está la tensión generada. b) Si la velocidad puede ser de 1500 rpm o de 2000 rpm las tensiones máximas y

mínimas cuando el reóstato está en su valor mínimo. c) Si la corriente de armadura del generador es de 50A, la velocidad de 1700rpm y

el voltaje Terminal es de 106V cual es la corriente de campo del generador. d) Si el generador a plena carga tiene una reacción de armadura de 400Av cual es

el voltaje en terminales. SOLUCION

a) La tensión máxima se alcanza cuando no se tiene solo la resistencia de campo Rf=24Ω con una tensión de 131.29V y la tensión mínima se alcanza cuando se coloca la resistencia crítica Rf=40Ω y se obtiene una tensión de 40V.

b) rpmE

E

g

g 4.1092

1

2

1 =⇒= ηηη

, rpmE

E

g

g 88.1452

1

2

1 =⇒= ηηη

c) A 1700 rpm VIRVE aaag 5.115=+= , a 1800 rpm rpmEE

Eg

g

g 3.1222

1

2

1 =⇒=ηη

,

la corriente de campo es

1283.122120

54 fI, AI f 28.4= .

d) La corriente efectiva del campo es AII ffe 88.31000/400 =−= ,

120106

488.33

gE, AEg 32.118= , VIREV aaga 82.108=−=

EJEMPLO 3-23 Un motor de dc tiene la siguiente información en placa: 180V, 7.3A, 1.5hp, 1750rpm y una resistencia de armadura de 1.03Ω, en el campo 100V, 0.5A. Determinar: a) La resistencia de campo. b) Que resistencia debe ser colocada en serie con el campo para que opere en forma de

generador shunt.

107

c) Determine la eficiencia en las condiciones de placa. d) El motor tiene una carga descrita por τ=2+0.002η+1x10-6η2 Nm determine la

velocidad de operación. SOLUCION

a) Ω== 200f

f

fI

VR

b) Ω=−= 160f

f

aef R

I

VR

c) VIRVE aaag 03.188=+= WIEP agin 6.1372== , WIVP aaout 1314== ,

%73.95100% ==in

out

P

PE .

d) Arpm

VEK

g

g .215.0==

η, Nm

w

Pin 49.7==τ , 2052.2A

Nm

IIK

fa

t ==τ

,

ft

aIK

I2-61x100.0022 ηη ++

= ,

rpmxrpmx6

2127 1005.1,8.1699010003.11051.094.178 −==⇒=−− − ηηηη

EJEMPLO 3-24

Un motor shunt de dc tiene la siguiente información en placa 50hp, 500V, 80A, 0.18Ω, 8.2mH, y 1200-1350 rpm, en el campo 200V, 10A, 15H de inductancia. Determinar:

a) La eficiencia para las condiciones de placa. b) Deduzca la fórmula para calcular las pérdidas por rotación en función de la

velocidad. c) Determine la corriente en la armadura necesaria para producir una potencia de

20hp de salida a una velocidad de 300rpm con una corriente de campo de 10A. d) Funciona el motor correctamente por periodos largos de tiempo. e) Si la velocidad de la máquina se lleva a 1350rpm mediante la reducción de la

corriente de campo. Cual es la potencia máxima bajo estas condiciones. SOLUCION

a) VIRVE aaag 6.485=−= , KWIVP aain 45== , KWPout 3.37= ,

%31.86100% ==in

out

P

PE

b) KWIEP agt 84.38== , KWPPP outtm 54.1=−= ,

rpmWKKP mmm /28.1=⇒= η .

c) Arpm

VEIK

g

fg .243.0==

η, VIKE fgg 9.72== η , Nm

w

Pout 09.178==τ ,

2226.2

A

Nm

IIK

a

ft ==τ

, Nmw

Pout 91.474==τ , AIK

Ift

a 34.213==τ

.

d) La máquina puede funcionar por periodos de tiempo que tenga una relación

375.0=T

ton .

108

e) Con las condiciones del punto anterior la máquina no se puede operar a 1350rpm. Retomando nuevamente la máquina a su carga nominal VEg 6.485= ,

Arpm

V

I

EK

f

g

g .04.0==

η, A

K

EI

g

g

f 99.8==η

EJEMPLO 3-25 La siguiente información fue sacada de una máquina de dc shunt de 1hp, 1150/1380rpm, 5A, 200V, 2.43Ω, 0.04H. Los datos del campo son: If=0.54A con velocidad básica, If=0.33A, para la velocidad máxima, 180V, 282Ω, y 86H. Determinar:

a) Si el campo opera realmente con 200V que resistencia debe agregarse en serie con el campo para no exceder los límites de funcionamiento.

b) Determine las pérdidas por rotación en la armadura. c) Si las pérdidas se consideran proporcionales a la velocidad, determine la

ecuación del par de salida en función de la velocidad. d) Si se ajusta la corriente de campo a 0.54A y el voltaje de armadura a 180V.

Determine la corriente de alimentación de la máquina si impulsa una carga con

un torque dado por: 240

2η

τ += Nm

SOLUCION

a) Ω=−= 37.88f

f

aef R

I

VR

b) VIRVE aaag 85.187=−= , WIEP agt 25.939== , WPPP outtm 25.193=−= .

c) rpmWKKP mmm /168.0=⇒= η .

d) Nmw

Pout 19.6==τ , 229.2

A

Nm

IIK

fa

t ==τ

, Arpm

V

I

EK

f

g

g .302.0==

η,

rpmIK

RVIKft

aafg 57.1028)240/2

( =⇒+

−= ηη

η .

EJEMPLO 3-26 Un generador compuesto en derivación larga de 240V y 48KW tiene una resistencia de campo serial de 0.04Ω y una resistencia en el devanado shunt de 200Ω. Cuando el generador suministra la carga especificada a la tensión especificada la potencia de entrada es de 50KW. Determine:

a) La resistencia del circuito de armadura. b) La eficiencia c) El torque de entrada si el primomotor gira a 1500rpm. d) Las pérdidas en el cobre.

SOLUCION a) Ω=⇒+=− 009.0)(2

aasaoutin RRRIPP .

b) %96100% ==in

out

P

PE .

c) Nmw

Pin 3.318==τ .

d) KWPPP cuoutin 2==− .

109

EJEMPLO 3-27 Un generador compuesto en conexión derivación larga de 50KW, 250V y 600rpm está equipado con una resistencia de desvió en el campo. La máquina alimenta la carga especificada con la tensión especificada. La resistencia de armadura y del campo serie son de 0.05Ω y 0.01Ω respectivamente. Hay 100 vueltas por polo en el devanado shunt y dos vueltas en el devanado serie. Las pérdidas por rotación son de 4.75KW. Las mediciones de corriente a través del campo shunt es de 5A y por la resistencia de desvió es de 41A. Determinar:

a) La corriente de campo en el devanado serie. b) La eficiencia. c) El par aplicado a la máquina.

SOLUCION a) AIIVP aaaout 200=⇒= , AI s 164=

b) VIRIRVE ssaaag 4.276=++=

c) KWPIEP magin 41.61=+= , Nmw

Pin 37.977==τ

EJEMPLO 3-28 Un motor compuesto en derivación corta de 240V y 1450rpm tiene los parámetros siguientes: Ra=0.4Ω, Rs=0.2Ω, Rf=80Ω. Si la máquina toma 30A a plena carga y trabaja a su velocidad nominal, las pérdidas por rotación son de 500W, determine el par en el eje del motor y la eficiencia. SOLUCION

VIRVV Lsaf 234=−= , AR

VI

f

f

f 92.2== , VIRVE aafg 17.223=−= ,

KWPIEP magout 54.5=−= , Nmw

Pin 48.36==τ , KWIVP Lain 2.7== ,

%94.76100% ==in

out

P

PE

EJEMPLO 3-29 Un motor compuesto en derivación larga de 440V tiene los siguientes parámetros: Ra=0.5Ω, Rs=0.25Ω, If=2A. La velocidad a plena carga es de 1200rpm y la corriente de carga es de 32A. El motor toma 7A sin carga. Encontrar:

a) Velocidad del motor cuando el flujo cae al 80% de su valor nominal. b) Cuales son las especificaciones de eficiencia y caballos de fuerza del motor a

plena carga. SOLUCION

a) VIRRVE asaag 5.417)( =++= , Arpm

V

I

EK

f

g

g .173.0==

η,

rpmIK

E

fg

g 3.1508==η .

110

b) KWIVP Lain 08.14== , KWIEP agm 18.2== KWPIEP magout 12=−= ,

%22.85100% ==in

out

P

PE , Nm

w

Pout 49.95==τ

EJEMPLO 3-30 Se conocen los siguientes datos de un motor de excitación compuesta diferencial corta Va=200V, Ia=60A, Ra=0.12Ω, Rs=0.04Ω, Rf=120Ω, Radj=200Ω, Nf=2000 espiras, Ns=12 espiras, η=1500rpm. Y la curva de saturación se puede ver en la siguiente tabla: Eg [V] 200 210 220 230 240 250 If [A] 1.21 1.29 1.38 1.47 1.58 1.72 Asuma que la máquina no tiene reacción de armadura. Determinar:

a) Cual es la velocidad de giro en vacío cuando la máquina tiene Radj=55Ω. b) Cual es la velocidad a plena carga cuando Radj=55Ω. c) Cual es la resistencia de campo para que la máquina funcione a plena carga y su

velocidad sea la misma de la parte a). SOLUCION

a) ARRR

VI

sadjf

f

f 14.1=++

= , VIRVE asag 200) =−= ,

2000

21.114.10

gE, VEg 43.188= , rpm

E

E

g

g 93.15912

1

2

1 =⇒= ηηη

b) VIRVV asaf 6.197=−= , An

nI

RR

VI

f

sa

adjf

fe

fe 77.0=−+

= ,

2000

21.177.00

gE,

VEg 27.127= , VIRVE aafg 53.190=−= , rpmE

E

g

g 58.22452

1

2

1 =⇒= ηηη

.

c) VEE

Eg

g

g 2.2022

1

2

1 =⇒=ηη

,

2102.202200

29.121.1 fI, AIef 227.1= ,

Ω=⇒−+

= 51.4adj

f

sa

adjf

fe

fe Rn

nI

RR

VI .

EJEMPLO 3-31 Un generador de c.c. con conexión serie de 12KW, 120V tiene una resistencia de campo serie de 0.05Ω. la fem generada es de 135V cuando el generador alimenta la carga nominal a su tensión especificada. Determinar:

a) Cual es la resistencia en la armadura. b) Si la carga se reduce a un 80% de la nominal, cual es la fem inducida. c) Si la fem inducida es de 130V cuando el generador suministra una potencia de

4167W. Cual es el voltaje en terminales. SOLUCION

a) Ω=−−

= 1.0s

a

ag

a RI

VER

b) S la carga se reduce, se reduce la corriente en la misma proporción Ia=80A, VIRRVE asaag 108)( =+−= .

111

c) A

V

I

EK

a

g

g 35.1==η , AIAIIRRIEIV aaasaagaa 33.833,33.33)( 212 ==⇒+−= , la

corriente correcta es 33.33A para evitar altas pérdidas en el devanado de armadura. VVWIV aaa 1254167 =⇒= .

EJEMPLO 3-32 Un generador serie opera en la región lineal donde el flujo es directamente proporcional a la corriente de campo. La resistencia en la armadura es de 20mΩ, y la del devanado serie es de 80mΩ. La máquina gira a 1200rpm, el voltaje es de 75V, y la corriente de armadura es de 20A. Determinar:

a) Cual es la corriente en la armadura para tener un voltaje de 120V a una velocidad de 1200rpm.

b) Si se requiere un voltaje terminal de 120V, con una corriente de 25A. Cual debe ser la velocidad del motor.

SOLUCION

a) VIRRVE asaag 73)( =+−= , Arpm

V

I

EK

a

g

g .003.0==

η, A

K

EI

g

g

a 88.32==η

b) rpmIK

E

ag

g 1578==η .

EJEMPLO 3-33 Un motor en serie opera con 12.6V, tiene una resistencia combinada de campo y armadura de 0.4Ω y gira 2000rpm cuando la corriente es de 6.8A No tome en cuenta las pérdidas por rotación. Determinar:

a) El par de salida. b) A que velocidad produce el motor el doble del torque. c) Determine la corriente de alimentación para una potencia de salida de 30W.

SOLUCION

a) AIRRVE asaag 88.9)( =+−= , WIEP agout 18.67== , Nmw

Pout 32.0==τ .

b) segradP

w out /96.104==τ

c) AIIRRIVIE aasaaaag 59.2)( 2 =⇒+−=

EJEMPLO 3-34

Un motor de dc conectado en serie de 80V tiene una resistencia de armadura de 1Ω y el campo serial de 1Ω. Cuando el motor gira a 10000rpm consume una carga de ¾ hp. No tome en cuenta las pérdidas por rotación. Determinar:

a) La corriente del motor. b) Proporcione la ecuación de la fem del motor en función de la velocidad en rpm y

la corriente. SOLUCION

a) AIIRRIVIE aasaaaag 03.9)( 2 =⇒+−=

b) rpmWKKP mmm /05595.0=⇒= η

EJEMPLO 3-35

112

Un motor de dc conectado en serie impulsa una carga cuya velocidad es proporcional a la velocidad. La resistencia combinada de la armadura y campo son de 3Ω. Con un voltaje de alimentación de 100V, la potencia de salida del motor es de 50W y la velocidad de salida es de 100rpm. Deduzca una ecuación del voltaje que se requiere para obtener otras velocidades. Suponga que el flujo es proporcional a la corriente. No tenga en cuenta las pérdidas por rotación. SOLUCION

AIIRRIVIE aasaaaag 51.0)( 2 =⇒+−= , rpmA

V

I

EK

a

g

g .92.1==

η,

rpmWKKP mmm /5.0=⇒= η

113

4 La máquina síncrona Esta máquina consta de un estator en forma cilíndrica hueca, que dispone de ranuras practicadas en la periferia interior donde se colocan las bobinas del inducido. El rotor es la parte móvil de la máquina y está colocada en el hueco del estator de forma que los dos ejes coincidan. El rotor de la máquina puede ser construido de dos formas: la cilíndrica y de polos salientes como se aprecia en la figura 4-1.

Fig 4-1. Formas constructivas de la máquina síncrona.

La finalidad del rotor es producir un campo magnético con distribución senoidal. Para la construcción de un rotor liso o cilíndrico las espiras se colocan en las ranuras practicadas en el rotor y su conexión es como se muestra en la figura 4-2.

Fig 4-2. Construcción de un rotor de una máquina síncrona de rotor cilíndrico.

Un rotor de polos salientes es visto en la figura 4-3 en este se pueden apreciar con gran exactitud que los polos se “salen” del rotor propiamente dicho. Para que este tipo de rotor de una distribución de forma senosoidal deben practicársele algunos deformaciones en el rotor, dicho de otra forma el entrehierro no debe ser constante.

114

Fig 4-3. Construcción de un rotor de polos salientes. En cualquiera de los dos casos, las bobinas del rotor se conectan en serie entre sí y se conectan a unos anillos rozantes que son fabricados de un material conductor (aleaciones de cobre). Estos deben montarse fijos al rotor, deben girar con el rotor pero deben estar aislados eléctricamente entre ellos y con el rotor. En los anillos rozantes se conectan unas escobillas de carbón o grafito, estas están fijas en la carcasa y conectadas a una fuente de alimentación de corriente continua. Si se hace girar el eje de la máquina a velocidad constante, el flujo abarcado por una bobina en el estator variará de forma senosoidal (debido a la distribución de flujo senoidal en el rotor) induciéndose por los tanto una onda de tensión senoidal de frecuencia fija y proporcional a la velocidad.

4.1 Tensión inducida en una espira. Vamos a observar que sucede con la tensión inducida en un conductor que se coloca en la periferia del estator. Como vimos el flujo en el rotor tiene una distribución de forma senoidal como:

)sin()( max wtt φφ = Ecuación 4-1

Donde la velocidad w y la velocidad de giro η de la máquina están relacionadas por:

60

2

60

min1

2

1

min

πη

πη =

=

segrad

revrev

seg

radw Ecuación 4-2

De acuerdo a la ley de faraday la tensión inducida en un conductor está dada por:

tE

∂∂

−=φ

Para nuestro caso la tensión inducida es:

)cos(*)sin(

maxmax wtw

t

wtE φ

φ−=

∂∂

−= Ecuación 4-3

Como nos hemos dado cuenta hasta el momento la bobina tiene dos lados activos (lugares donde se induce la tensión) o conductores y estos lados puede ser colocados de tres formas: paso diametral, paso acortado y paso alargado.

4.2 Tensión inducida en una espira de paso diametral. La primera forma de colocar los lados activos en el estator es que el segundo lado activo se coloque justo en frente del primer lado activo, en este caso se está hablando de que la bobina tiene un paso diametral como se ve en la figura 4-4.

115

Fig 4-4. Bobina de paso diametral. En este caso la tensión inducida en el otro lado activo viene dada por:

)cos()cos(*)sin(

maxmaxmax wtewtw

t

wtE ==

∂∂

= φφ

La tensión total de la espira es la suma de las dos tensiones inducida como: )cos(2 max21 wteEEEt =+= Ecuación 4-4

Si se observa el diagrama fasorial de la suma de las dos tensiones se puede ver que la tensión total es la suma algebraica de las dos tensiones.

1800 21 ∠−∠= EEEt

4.3 Tensión inducida en una espira de paso acortado. Una bobina de paso acortado es una bobina que tiene un paso menor al diametral, en este caso se dice que la bobina tiene un ángulo β menor de 180º como se puede ver en la figura 4-5.

Fig 4-5. Bobina de paso acortado.

En la espira del lado derecho la espira se induce una tensión dada por:

)2

cos(max1

β+= wteE Ecuación 4-5

En el lado inferior se induce una tensión dada por:

)2

cos(max2

β−= wteE Ecuación 4-6

La tensión total en la espira es dada por:

)2

cos()2

cos( maxmax21

ββ−−+=−= wtewteEEEt Ecuación 4-7

Si se hace la suma fasorial de las dos tensiones se puede ver la tensión total de la espira: )180(0 21 β−∠−∠= EEEt

Como se puede ver en el diagrama fasorial de la figura 4-5 la tensión en la espira es menor que la tensión inducida en una bobina de paso diametral, pero la ventaja de este montaje es que la resistencia total de la bobina es menor, lo que implica una eficiencia mayor para la máquina. Además el conductor usado para construir la bobina es menor y por ende el precio de producción de la máquina baja un poco.

4.4 Tensión inducida en una espira de paso alargado.

116

Una bobina de paso alargado es una bobina que tiene un paso mayor al diametral, en este caso se dice que la bobina tiene un ángulo β mayor que 180º como se puede ver en la figura 4-6.

Fig 4-6. Bobina de paso alargado.

La tensión total en la espira es dada por:

)cos()cos( maxmax21 β++=+= wtewteEEEt Ecuación 4-8

Si se hace la suma fasorial de las dos tensiones se puede ver la tensión total de la espira: )180(0 21 β+∠−∠= EEEt

Como se puede ver en el diagrama fasorial de la figura 4-6 la tensión en la espira es menor que la tensión inducida en una bobina de paso diametral, pero la desventaja de este montaje es que la resistencia total de la bobina es mayor, lo que implica una eficiencia menor. Además el conductor usado para construir la bobina es mayor y por ende el precio de producción de la máquina aumenta un poco. Como es de esperarse las máquinas de corriente alterna se construyen con bobinas de paso diametral y bobinas de paso acortado, pero casi nunca se construyen de paso alargado.

4.5 Factor de paso. El voltaje inducido en una espira de paso acortado está dada por:

)2

cos()2

cos( maxmax21

ββ−−+=−= wtewteEEEt

Cada uno de los factores de la ecuación anterior se pueden volver a expresar usando las propiedades trigonométricas como:

+−+= )2

()()2

cos()cos()2

cos()()2

()cos(max

ββββsenwtsenwtwtsensenwteEt

= )2

()(max

βsenwtseneEt

Ecuación 4-9

Al factor sen(β/2) se le llama factor de paso.

4.6 Problemas de los armónicos y devanados de paso fraccionario.

Existe una buena razón para emplear devanados de paso fraccionario y esta tiene que ver con el efecto de la distribución no senoidal del flujo en el entrehierro en maquinas reales como se puede ver en la figura 4-7. En una máquina de polos salientes se puede

117

ver este efecto, como la reluctancia de la trayectoria del campo magnético es mucho menor en el centro del polo que en sus extremos, el flujo se concentra en este punto, haciendo que la densidad de flujo sea mayor allí. Como consecuencia, el voltaje inducido no es senoidal y tiene componentes armónicos de alta frecuencia. La onda de voltaje resultante es simétrica con respecto al campo magnético del rotor, por lo tanto no tiene armónicos pares, pero si tiene todos los armónicos impares (tercero, quinto, séptimo, etc) los cuales deben ser eliminados con el diseño de la máquina. En general, los armónicos de frecuencias altas tienen menor amplitud, de tal manera que después de cierto límite se pueden ignorar sus efectos. La forma de onda de la tensión se puede expresar por medio de:

++

++

+++=

7

)77(

5

)55(

3

)33()()( max

αααα

wtsenwtsenwtsenwtsenEte

Cada uno de los armónicos de la onda de tensión puede ser expresado como:

h

hwtsenhE

)()( = Ecuación 4-10

La forma de onda se pude volver a expresar como:

+++=7

)7()7cos(

5

)5()5cos(

3

)3()3cos()()cos()( max

αααα

senwtsenwtsenwtsenwtEte

Si el acortamiento de paso total 2β se expresa como una fracción del paso polar como:

k

πβ =2 Ecuación 4-11

La expresión de la tensión inducida queda como:

+++=7

)7()2

7cos(

5

)5()2

5cos(

3

)3()2

3cos()()

2cos()( max

απ

απ

απ

απ sen

ksen

ksen

ksenk

Ete

Si se observa con cuidado la expresión anterior se nota que cada uno de los armónicos se ha reducido por un factor igual a cos(kβ). Lo que implica que la forma de onda es un poco más senoidal.

Fig 4-7. Armónicos en una onda de tensión.

4.7 Devandos distribuidos. Como se puede ver en las figura 4-4, 4-5, y 4-6 si las máquinas fueran construidas con una sola bobina la tensión generada en esta seria baja y se desperdiciaría mucho espacio. Una solución a este problema es que el devanado del motor no se haga en una sola ranura sino en varias y así se construye un devanado de forma distribuida y se aprovecha mejor el flujo en el entrehierro.

118

En la figura 4-8 se puede ver dos bobinas que están conectadas en serie y ubicadas en diferentes ranuras. Si se considera que las bobinas tienen un paso diametral y el ángulo que hay entre las ranuras es de 20º la tensión inducida en cada espira será:

01 ∠= EE ; 202 ∠= EE ; 203 −∠= EE

Entonces el voltaje inducido en cada fase seria:

321 EEEEt ++=

EEEEEEt 879.220180201800 =−∠+∠+∠−∠=

Fig 4-8. Bobina distribuida.

Como se puede ver la tensión inducida total es menor que la suma algebraica esta relación se puede expresar como:

e

rd

E

EK = Ecuación 4-12

Donde Kd es llamado factor de distribución, Ee es la tensión esperada, Er es la tensión real. Y como es de esperarse kd es menor que uno, será 1 cuando todo el devanado está sobre una ranura. Para halla de forma analítica el valor de kd se supone que cada bobina está alojada en una ranura y cada ranura está separada un ángulo γ, la tensión inducida en cada bobina estará desfasada un ángulo γ con respecto a al anterior como se muestra en la figura 4-9.

Fig 4-9 . Diagrama fasorial de la tensión inducida en un devanado distribuido.

Si cada factor está desfasado un ángulo γ, el ángulo total de desfase en la bobina será nγ. y podemos expresar la tensión real como:

=2

sin2

γnL

Er Ecuación 4-13

Y la tensión esperada se puede expresar como:

=2

sin2

γL

Ee Ecuación 4-14

Hallando la relación de kd se obtiene:

119

=

==

2*

2*

2

2γ

γ

γ

γ

senn

nsenn

Lsen

nLsen

nE

EK

e

rd

De tal manera que el factor de distribución viene dado por:

=

2*

2γ

γ

senn

nsen

Kd Ecuación 4-15

4.8 Tensión inducida en una máquina síncrona. Asumamos que el flujo total en cada polo de un rotor cilíndrico que se mueve a una velocidad constante w es φp. El flujo máximo que atraviesa una espira de paso diametral es φpkd donde kd es el factor de paso. El campo gira sobre el eje del motor, de tal manera que si este flujo es visto desde el estator depende del tiempo y se puede expresar como:

)cos()( wtkt ppφφ = Ecuación 4-16

Donde w=2πf y se expresa en radianes por segundo. La tensión inducida en una bobina que tiene N vueltas es expresada por medio de la ley de Faraday como:

)()(

)( wtsenwNKdt

tdNte pp φ

φ=−=

El valor máximo de la tensión es:

ppwNKE φ=max

El valor rms de la tensión es:

ppg fNKE

E φ44.42

max == Ecuación 4-17

Para una máquina de paso acortado y devanado distribuido y que tenga P polos, la tensión se puede expresar como:

ppdg fkNnka

PE φ44.4= Ecuación 4-18

4.9 Relación entre la frecuencia de la tensión inducida y el número de polos.

Ahora pongamos a viajar un conductor sobre la periferia de una máquina de dos polos. Si se coloca un conductor en el estator de una máquina de dos polos se encuentra que se han inducido dos ciclos completos en la onda de tensión lo que quiere decir que en una revolución se induce un ciclo de tensión o θm=θe como se puede ver en la figura 4-10.

120

Fig 4-10. Conductor viajando en una máquina de dos polos.

Si se hace girar el rotor de una máquina de 4 polos. Se encuentra que hay dos ciclos completos de tensión por cada revolución. Así, θe=720º mientras que el ángulo mecánico es de θm=360º, es decir que el ángulo eléctrico de la tensión inducida es dos veces el ángulo mecánico de rotación como se muestra en la figura 4-11.

Fig 4-11. Conductor viajando sobre una máquina de 4 polos

Si se hace girar una máquina de seis polos donde los lados de la bobina están separadas 1/6 de circunferencia del rotor. Se puede observar que cada lado de la espira está bajo la influencia de un polo distinto y allí se genera tensión. Sin embargo, se puede notar que mientras la máquina da una vuelta θm=360º en la espira se generan tres ciclos completos es decir θe=1080º como se muestra en la figura 4-12.

Fig 4-12. Conductor viajando sobre una máquina de 6 polos.

El ángulo mecánico y el eléctrico se pueden relacionar por medio de la ecuación:

me

pθθ

2= Ecuación 4-19

121

Si se examina la ecuación 4-19 se pude observar que cumple con la discusión anterior expuestas en las figura 4-10, 4-11 y 4-12. Si derivamos con respecto al tiempo ambos lados de la ecuación se puede observar la relación que hay entre las velocidades mecánica y eléctrica y se encuentra que:

me wp

w2

= Ecuación 4-20

Donde we es la velocidad en radianes por minuto de la velocidad eléctrica, wm es la velocidad en radianes por segundos de la velocidad mecánica. Se puede decir que a los ingenieros no nos gusta trabaja con las velocidades en radianes por segundo, sino es más conveniente, darlas en magnitudes del sistema internacional. Es así, como la velocidad mecánica la expresamos en revoluciones por minuto, y la frecuencia eléctrica la expresamos en hertz. Las ecuaciones que permiten hacer estos cambios se listan como:

mmw ηπ

60

2= Ecuación 4-21

Para la frecuencia eléctrica fwe π2= Ecuación 4-22

Reemplazando las ecuaciones 4-21 y 4-22 en la ecuación 4-20 tenemos:

p

fm

120=η Ecuación 4-23

4.10 Par producido en una maquina síncrona. Como ya se mencionó anteriormente, si por un conductor circula una corriente I y el conductor está en presencia de un campo magnético con densidad B en él se experimenta una fuerza dada por:

)(IxBlF = En la máquina síncrona se debe esperar que suceda la misma relación, en este caso en el rotor hay una densidad de flujo dada por Br y es producida por una corriente que circula por los devanados del estator. Cuando en el estator de una máquina síncrona se hace circular una corriente I, el devanado es de forma distribuida; se crea un flujo con distribución de forma senoidal con densidad Br. La ecuación del par se puede expresar como:

)( sr xBBk=τ Ecuación 4-24

En forma de magnitudes eléctricas se puede expresar como: )(γτ senBkB sr= Ecuación 4-25

El término k es una constante que depende del sistema de unidades utilizado para expresar Br y Bs. Esta ecuación se emplea únicamente para análisis cuantitativos del par en una máquina de corriente alterna, por lo tanto, el valor de k carece de importancia en muchos aspectos. El campo magnético neto en la máquina es la suma vectorial de los campos del rotor y del estator y es expresado como:

srnet BBB += Ecuación 4-26

122

Este hecho se puede utilizar para establecer una expresión equivalente para el par producido en la máquina como:

)()())(()( ssnetrsetrsr xBBkxBBkBBnxBkxBBk −=+==τ

Como el producto cruz de un vector por si mismo es cero la expresión anterior se puede expresar como:

)( netr xBBk=τ

De tal manera que el par producido en la máquina también se puede expresar como el producto vectorial entre Br y Bnet con la misma constante k. la magnitud de esta expresión es:

)(δτ senBkB netr= Ecuación 4-27

Donde δ es el ángulo entre Br y Bnet.

4.11 Maquinas sincronas generalidades. La mayor parte de la potencia eléctrica para el uso diario se produce en generadores síncronos polifásicos, que son, individualmente, las máquinas eléctricas más grandes en producción. Por ejemplo, son bastante comunes los generadores síncronos con potencia de varios cientos de megavolt-amperes (MVA), Y se espera que en el futuro próximo estén funcionando máquinas de varios miles de mega voltiamperes. Se les llama máquinas síncronas porque operan tanto a velocidades como a frecuencias constantes bajo condiciones de régimen estacionario. Al igual que muchas máquinas rotatorias, las máquinas síncronas son capaces de funcionar, ya sea como motor o como generador. Se emplean como motores de impulso a velocidad constante, y cuando se requiere un impulso a velocidad variable, se usa un motor síncrono con un cambiador de frecuencia apropiado, tal como un inversor o cicloconverlidor. La operación de un generador síncrono se basa en la ley de Faraday de inducción electromagnética, y un generador síncrono de corriente alterna trabaja en forma muy similar a un generador de cc, en cuanto a que la generación de la fem es causada por el movimiento relativo entre los conductores y el flujo magnético. Evidentemente, un generador síncrono no tiene un colector como en el caso del generador de cc. El generador síncrono, en su forma elemental, se muestra en la figura 4-13. Las dos partes básicas de una máquina síncrona son la estructura del campo magnético, que porta un devanado excitado con cc, y la armadura. Con frecuencia, la armadura tiene un devanado de tres fases en los que se genera la fem de ca. Casi todas las máquinas síncronas modernas tienen ranuras estacionarias y estructuras del campo rotatorias. El devanado de cc en la estructura del campo rotatorio está conectado a una fuente externa a través de anillos rozantes y escobillas. Ciertas estructuras del campo no tienen escobillas pero, en su lugar, existe una excitación mediante un generador de corriente continua acoplado en el mismo eje de la máquina. En ciertos aspectos el estator que lleva los devanados de la armadura es similar al estator de un motor de inducción polifásico.

123

Fig 4-13 Partes principales de una máquina sincronía.

4.12 Números de polos El número de polos de un generador síncrono depende de la velocidad de rotación de la máquina y de la frecuencia a la que se quiera generar dicha tensión. Considere, por ejemplo el conductor de un estator que es barrido sucesivamente por los polos norte y sur del rotor. Si se induce un voltaje positivo cundo el polo norte esté frente al conductor, de forma análoga se inducirá una tensión negativa en el conductor cuando el polo sur está frente a él. Por lo tanto, cuando cada vez que un par de polos norte y sur pasan por el frente de un conductor se estará induciendo un ciclo de tensión completo. Y se puede decir que hay una relación entre la velocidad de giro y la frecuencia del generador que es dada por:

p

f120=η

Donde: η es la velocidad de giro del motor en rpm. f: frecuencia a la que se quiere generar. p: número de polos de la máquina.

Fig 4-14 Inducción de tensión en un conductor.

124

4.13 Características principales del estator. Desde el punto de vista eléctrico, el estator de un generador síncrono es idéntico al de un motor de inducción trifásico. Se compone de un núcleo laminado que contiene un conjunto de ranuras que portan un devanado trifásico. El estator se compone de segmentos dentados aislados construidos de acero al silicio de alta calidad. Cada lámina puede tener un espesor de 0.5mm y están recubiertos de barniz aislante para disminuir las pérdidas por los ciclos de histéresis y corrientes de Hedy.

Fig 4-15 Estator de una máquina síncrona.

4.14 Conexión de los devanados del estator. El devanado de una máquina sincronía casi siempre se debe conectar en Y ya que se tienen las siguientes ventajas:

1) El voltaje de fase es de solo un 58% ( 3/1 ) de la tensión de línea. Esto significa que hay una pequeña tensión entre un terminal de conexión de la máquina y tierra, lo cual quiere decir que el aislamiento del conductor devanado en las ranuras es menor y por consiguiente la producción de energía es mas eficiente.

2) Cuando un generador está sometido a carga, el voltaje inducido en cada fase se distorsiona y la forma de onda deja de ser senosoidal. La distorsión se debe principalmente a la aparición del tercer armónico cuya frecuencia es de tres veces la fundamental. Con una conexión Y los armónicos distorcionantes entre la fase y el neutro se cancelan entre sí. Por consiguiente, los voltajes de línea permanecen senosiodales en todas las condiciones de carga.

Fig 4-16 Conexión en Y de un generador trifásico.

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4.15 Características principales del rotor. Los generadores síncronos se construyen con dos tipos de rotores: rotores de polos salientes y rotores cilíndricos lisos. Por lo general, los de polos salientes son impulsados por turbinas hidráulicas de baja velocidad, y los cilíndricos, por turbinas de vapor de alta velocidad. 1. Rotores de polos salientes. La mayoría de las turbinas hidráulicas tienen que girar a

bajas velocidades (entre 50 y 300 r/min.) para extraer la máxima potencia de una cascada. Como el rotor está directamente acoplado a la rueda hidráulica, y como se requiere una frecuencia de 50 o 60 Hz, se necesita un gran número de polos en el rotor. Los rotores de baja velocidad siempre tienen un gran diámetro a fin de proporcionar el espacio necesario para los polos. Los polos salientes están montados en un gran armazón circular de acero, la cual está fijo en un eje vertical rotatorio (Fig. 4-17). Para garantizar un buen enfriamiento, las bobinas de campo están hechas de barras de cobre desnudo, con las vueltas aisladas entre sí por tiras de cima. Las bobinas están conectadas en serie, con polos adyacentes de polaridades opuestas.

Además del devanado de campo de cd, con frecuencia se agrega un devanado de jaula de ardilla, insertado en las caras polares. En condiciones normales, este devanado no transporta corriente porque el rotor gira a velocidad síncrona. Sin embargo, cuando la carga en el generador cambia de repente, la velocidad del rotor comienza a fluctuar y se producen variaciones de velocidad momentáneas por encima y por debajo de la velocidad síncrona. Esto induce un voltaje en el devanado de jaula de ardilla que hace que fluya una gran corriente adentro de él. La corriente reacciona con el campo magnético del estator y produce fuerzas que amortiguan las oscilaciones del rotor. Por esta razón, el devanado de jaula de ardilla también se conoce como devanado amortiguador. El devanado amortiguador también tiende a mantener equilibrados los voltajes trifásicos entre las líneas, aun cuando las corrientes sean desiguales debido a las condiciones de carga desequilibrada.

Fig 4-17 Generador síncrono de polos salientes

2. Rotores cilíndricos. Es bien sabido que las turbinas de vapor de alta velocidad son

más pequeñas y más eficientes que las de baja velocidad. Lo mismo sucede con los generadores síncronos de alta velocidad. Sin embargo, para generar la frecuencia requerida no podemos utilizar menos de dos polos y esto fija la velocidad más alta posible. En un sistema de 60 Hz es de 3600 rpm. La siguiente velocidad mas baja es

126

de 1800 r/min, que corresponde a una maquina de 4 polos. Por consiguiente, estos generadores de turbina de vapor poseen ya sea 2 o 4 polos.

El rotor de un generador de turbina es cilíndrico, largo y sólido de acero que contiene una serie de ranuras longitudinales fresadas en la masa cilíndrica. Se utilizan bobinas de campo concéntricas, firmemente insertadas en las ranuras y retenidas por anillo extremos de alta resistencia para crear los polos N y S. La alta velocidad de rotación produce grandes fuerzas centrifugas, las cuales imponen un limite máximo en el diámetro del rotor. En el caso de un rotor que gira a 3600 r/min, el límite elástico del acero requiere que el fabricante limite el diámetro a un máximo de 1.2m. Por otra parte, para construir los poderosos generadores de 1000 MVA a 1500 MVA, el volumen de los rotores tiene que se grande. En consecuencia, los rotores de alta potencia y alta velocidad tienen que ser muy largos.

Fig 4-18. Generador síncrono de rotor cilíndrico.

4.16 Excitación de campo y excitadores La excitación de campo de cd de un gran generador síncrono es una parte importante de su diseño global. La razón es que el campo debe garantizar no solo para producir un voltaje terminal de ca estable, sino que también debe responder a cambios repentinos de carga para mantener la estabilidad del sistema. La prontitud de respuesta es una de las características importantes de la excitación de campo. Para lograrla, se utilizan dos generadores de cd: un excitador principal y un excitador piloto. También se emplean excitadores extáticos sin partes rotatorias. El excitador principal alimenta la corriente de excitación al campo del generador síncrono por medio de escobillas y anillos colectores. En condiciones normales, el voltaje del excitador queda entre 125 y 600 V. Es regulado manual o automáticamente por señales de control que varían la corriente Ic, producida por el excitador piloto La capacidad de potencia del excitador principal depende de la capacidad del generador síncrono. Por lo general, se requiere un excitador de 25 kW para excitar un alternador de 1000 kVA (2.5% de su capacidad), mientras que un excitador de 2500 kW es suficiente para un alternador de 500 MW (sólo 0.5% de su capacidad). En condiciones normales, la excitación varía automáticamente. Responde a los cambios de carga con el objeto de mantener un voltaje de línea de ca constante o para controlar la potencia reactiva suministrada al sistema de servicio eléctrico. Una perturbación seria

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en el sistema puede producir una caída de voltaje repentina a través de los terminales del alternador. Entonces el excitador debe reaccionar con rapidez para evitar que el voltaje de ca disminuya. Por ejemplo, el voltaje excitador tiene que elevarse al doble de su valor normal en sólo 300 o 400 milisegundos. Esta es una respuesta muy rápida, considerando que la potencia del excitador puede ser de varios miles de kilowatts.

Fig 4-19 Generador síncrono con excitadores.

4.17 Curva de saturación del generador síncrono sin carga. En la figura 4-20 se ve la curva de tensión contra corriente de campo de un generador síncrono de dos polos que opera sin carga. Esta máquina debe se impulsada por un turbina a velocidad constante para que la frecuencia de generación sea de 60Hz. Los conductores del estator corresponden a un devanado trifásico conectado en Y con las fases R, S, T y un neutro N. Para que haya una tensión generada la máquina debe estarse moviendo y por el devanado de campo debe circular una corriente para producir un flujo en el entrehierro. Incrementando gradualmente la corriente de campo o de excitación se puede apreciar que la tensión Va entre la fase y el neutro va creciendo, pero este crecimiento no se hace de forma constante. Al principio se ve una dependencia casi lineal entre la tensión y la corriente de campo. Sin embargo, a medida que el hierro se satura la tensión no crece al mismo ritmo sino se presenta un codo y posteriormente la tensión crece a otro ritmo diferente.

Fig 4-20. Curva de saturación de un generador síncrono.

4.18 Circuito equivalente de la máquina síncrona. En el enunciado anterior habíamos dicho que hay una tensión generada en bornes de la máquina cuando se hace circular una corriente por el devanado de campo y la máquina se hace girar a velocidad constante. Ahora nos interesa colocarle carga al generador,

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pero para sorpresa nuestra la tensión en bornes no se mantiene constante sino que empieza a decrecer. La razón de este decline tiene tres razones: la primera razón es que el conductor está construido de un material físico (cobre) que por perfecto conductor que sea él tiene una resistencia distribuida a lo largo del conductor; esta resistencia depende de lo argo del conductor l, del material construido δ y del área transversal A, y se puede hallara como:

A

lRs δ

= Ecuación 4-28

Como se puede apreciar de la formula 4-28, los generadores que generan pequeñas potencias manejan pequeñas corrientes, los conductores con que se construyen son delgados, por estas razones la resistencia del generador síncrono de pequeño tamaño tiene un valor grande. Las maquinas de gran potencia se construyen con conductores gruesos que puedan manejar grandes corrientes y su sección es ancha, por ende la resistencia es baja comparada con los conductores de una máquina de tamaño pequeño. El otro fenómeno que se presenta en los bobinados de la máquina es que las bobinas son conductores que está devanados sobre un núcleo magnético, Al presentarse este fenómeno produce una inductancia que se puede calcular como:

ℜ=

2N

L Ecuación 4-29

Es decir que todo devanado de una máquina síncrona tiene una inductancia, como el generador síncrono genera tensiones senoidales a una frecuencia de 60 o 50Hz y por ende la inductancia se transforma una reactancia que tiene un valor de:

fLX s π2= Ecuación 4-30

La reactancia de un generador síncrono de gran tamaño tiene un valor pequeño, mientras los generadores de pequeños tamaños tiene una gran reactancia. Esta reactancia se deduce a partir de la fórmula de la reluctancia. El tercer efecto que se produce se llama la reacción de armadura o de inducido, esta es una deformación que se produce en el campo principal debido a los flujos producidos en el devanado del estator cuando están con carga. Si el generador no tiene carga por los devanados de la armadura no hay corriente y si no hay corriente el flujo principal no se deforma. Si por el devanado de armadura circula una corriente, esta deforma el campo magnético principal y la concentración del flujo no es igual en todo el polo magnético como se puede observar en la figura 2-21. Este efecto lo que produce es una disminución de tensión en los bornes del generador.

Fig 4-21. Deformación del campo producido por la corriente en el estator.

129

El comportamiento de la reacción de armadura es similar al de una reactancia, cuando el generador está sin carga, el efecto de la reacción de armadura se apreciable, cuando el generador está con carga se presenta una caída de tensión proporcional a la corriente. El efecto de la reacción de armadura se puede representar con una reactancia adicional a la reactancia propia de la armadura, el circuito equivalente se muestra en la figura 4-22.

Fig 4-22. Circuito equivalente de un generador síncrono.

4.19 Perdidazas en las máquinas síncronas. Un generador síncrono es una máquina síncrona trabajando como generador, es decir cambia la energía mecánica en eléctrica trifásica. La fuente de potencia mecánica se llama el primomotor que puede ser un motor diesel, una turbina de vapor, una turbina hidráulica, o un equipo auxiliar. Cualquiera que sea la fuente, debe cumplir la propiedad básica de que su velocidad sea constante, independiente de la potencia suministrada al generador. Si esto no se cumple la frecuencia resultante del sistema de potencia podría presentar fallas. No toda la potencia mecánica que entra al generador se convierte en potencia eléctrica a la salida de la máquina. La diferencia de potencia entre la salida y la entrada se convierte en pérdidas de la máquina. La figura 4-23 muestra un diagrama de flujo de potencia para un generador síncrono. La potencia mecánica de entrada es la potencia al eje en el generador síncrono,

minin wP τ= Ecuación 4-31

Pin: potencia de entrada. τin: torque de entrada. Wm: velocidad mecánica. Mientras que la potencia mecánica de convertida internamente en eléctrica está dad por:

)cos(3 θLTout IVP = Ecuación 4-32

Vt: voltaje en terminales. IL: corriente de carga. θ: ángulo entre la potencia y la corriente.

Fig 4-23. Diagrama de flujo de potencia en una máquina síncrona.

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La diferencia entre la potencia de entrada y salida se invierten en las potencias de pérdidas por fricción, en el núcleo, mecánicas, y pérdidas misceláneas de la máquina. La potencia eléctrica real de salida del generador se puede expresar en cantidades de línea como:

)cos(3 θLLout IVP = Ecuación 4-33

Y las potencias de salida expresada como cantidades de fase como: )cos(3 θffout IVP = Ecuación 4-34

La potencia reactiva de salida puede ser expresada en cantidades de línea y de fase como:

)(3 θsenIVQ LLout = y )sin(3 θffout IVQ = Ecuación 4-35

Si se desprecia la resistencia de inducido Ra, puesto que Xs>>Ra se puede deducir una ecuación útil para aproximar la potencia de salida del generador. Para obtener una ecuación, es preciso examinar el diagrama fasorial de la figura 4-24 donde se muestra un diagrama fasorial simplificado de un generador de rotor cilíndrico en el cual se ha ignorado la resistencia estatórica. Nótese que el segmento vertical bc se puede expresar como EAsen(δ) o como XsIAcos(θ), por tanto:

s

AA

X

senEI

)()cos(

δθ =

Fig 4-24. Diagrama fasorial simplificado de un generador síncrono de rotor cilíndrico.

Al sustituir esta expresión en la fórmula de la potencia se obtiene:

s

ga

X

senEVP

)(3 δ= Ecuación 4-36

Si se supone que no hay resistencia de armadura en el estator de la máquina, también se debe suponer que no hay pérdidas en el cobre y se puede afirmar que Pconv=Pout como se aprecia en la figura 4-24. La ecuación de potencia muestra que la potencia producida por un generador síncrono depende del ángulo δ entre las tensiones Va y Eg. El ángulo δ se conoce como el ángulo de par de la máquina. Nótese también que la potencia máxima que puede suministrar el generador ocurre cuando δ=90 o cuando sen(δ)=1.

s

A

X

EVP

φ3max = Ecuación 4-37

La potencia máxima indicada por esta ecuación se conoce como el límite de estabilidad estática del generador. Normalmente, los generadores reales nunca llegan a estar cerca de este límite, este ángulo a lo sumo puede llegar a estar entre 15º y 20º.

131

Examinando nuevamente la ecuación de potencia y si Va es constante, la potencia real de salida de la máquina es directamente proporcional a las cantidades Iacos(θ) y Egsen(δ) y la potencia reactiva de salida es directamente proporcional a la cantidad Iasen(θ). Estos datos son útiles para dibujar los diagramas fasoriales de los generadores síncronos cuando la carga varía. El torque inducido en la máquina síncrona se puede expresar como:

)( SRind xBBk=τ

O como: )( netRind xBBk=τ

De tal manera que la ecuación se puede expresar como: )(δτ senBkB SRind =

Donde δ es el ángulo entre los campos magnéticos del rotor y neto (también llamado ángulo de par). Puesto que BR produce el voltaje EA y Bnet produce Vφ es igual al ángulo δ entre BR y Bnet. Una expresión alternativa para el par inducido en un generador síncrono se puede expresar como:

sm

A

indXw

senEV )(3 δτ φ= Ecuación 4-38

Pérdidas por fricción y ventilación. Esta prueba se debe realizar con el motor desenergizado y la máquina se debe mover con un motor auxiliar a la velocidad de sincronismo. Para hacer la prueba debe medirse primero las pérdidas de la máquina auxiliar girando a la velocidad de sincronismo, en lo preferible se puede hacer con una máquina de c.c de excitación independiente como se muestra en la figura 4-25 y se pueden calcular como

VIP =0 . Ecuación 4-39

Fig 4-25. Determinación de las pérdidas de una máquina auxiliar.

Ahora, se debe acoplar la máquina de c.c al generador síncrono, se debe llevar el conjunto a la velocidad de sincronismo, tomar los datos de tensión y corriente de la máquina de d.c. del conjunto con VIP =1 y ahora se pueden calcular las pérdidas de la máquina síncrona como

01 PPPfv −= Ecuación 4-40

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Fig 4-26. Determinación de las pérdidas por fricción y ventilación de la máquina asíncrona.

Pérdidas en el núcleo: esta prueba determina las pérdidas que se presentan en el núcleo debidas a las corrientes parásitas y a los ciclos de histéresis. Para hacer estas mediciones la máquina síncrona debe ser conectada a la red y debe girar a la velocidad de sincronismo. Como se muestra en la figura 4-27.

Fig 4-27. Determinación de las pérdidas en el núcleo de la máquina de inducción.

Pérdidas en el cobre del estator: estas son las pérdidas en el cobre que se disipan en forma de calor en los devanados del estator de la máquina y se pueden calcular por medio de:

sscus RIP23= Ecuación 4-41

Donde: Is es la corriente medida o calculada por fase. Rs es la resistencia por fase de la máquina. Medición del ángulo de par: este ángulo se puede verificar por medio de una lámpara estroboscópica. Con la máquina parada se debe hacer una muesca como referencia en el rotor de la máquina. Con la lámpara apuntando hacia el eje y la máquina funcionando a velocidad síncrona se hace una muesca en el estator como referencia. Estas dos muescas no se deben mover cuando la máquina está en vació. Al colocarle carga hay una ligera diferencia entre las dos muescas, esta diferencia representa el ángulo de desfase δ entre la tensión generada EA y la tensión en bornes Vφ. También se puede notar que al aumentar la carga este ángulo va aumentando.

4.20 Generador síncrono operando solo. El comportamiento del generador síncrono operando bajo carga varía dependiendo del factor de potencia de la carga o si el generador opera solo o en paralelo. En esta sección se analizará operando solo.

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Como se ha visto con anterioridad, el generador síncrono tiene el circuito equivalente por fase como se ve en la figura 4-28, este consta de un campo que debe energizarse con corriente continua y crea un campo magnético de distribución senosoidal de forma

)()( max θφφ sent =

Y que genera tres tensiones senosoidales en el estator de forma: )cos(wtVVa =

)120cos( += wtVVb

)120cos( −= wtVVc

El circuito de campo está conformado de una fuente de d.c, Vf, una resistencia externa Ref que sirve para variar la corriente de campo y un devanado de campo; cuyo circuito equivalente tiene una inductancia Lf y una resistencia Rf. Este circuito está acoplado magnéticamente con el devanado en el estator donde se generan las tres tensiones de fase. Cada una de estas fases está compuesta por un generador monofásico donde se genera una tensión Eg, y cada uno de los devanados tiene una resistencia interna Rs y una reactancia síncrona Xs.

Fig 4-28. Circuito equivalente de un generador síncrono.

Como se ha dicho con anterioridad para que se pueda producir una potencia eléctrica debe haber un generador de potencia mecánica que mueva el generador o dicho de otra manera debe haber un primomotor como se ilustra en la figura 4-29.

Fig 4-29. Primomotor acoplado a un generador síncrono.

4.21 Efecto de los cambios de carga sobre el generador síncrono operando solo.

Para entender el funcionamiento de un generador síncrono cuando se encuentra funcionando solo, es preciso examinar el generador alimentando una carga y vamos a ver lo que sucede. Lo primero que se debe hacer para alimentar una carga es que el generador debe estar girando a la velocidad de sincronismo, esta velocidad es impuesta por un primomotor acoplado al eje de la máquina y a su vez él es el responsable de la frecuencia de

134

generación. Lo segundo que debe existir es que el generador debe tener una tensión en bornes Va igual a la tensión nominal de la carga. Estos dos parámetros deben mantenerse constantes durante toda la operación del generador, pero al colocarse carga estas dos variables cambian porque cambia su entorno. Vamos a examinar el generador cuando se le coloca una carga con factor de potencia unitario o con carga meramente resistiva como se muestra en el circuito equivalente de la figura 4-30. Lo primero que sucede es que hay una corriente de carga IL porque se cierra el circuito, esta corriente hace caer la tensión en terminales Va, además la componente de IL que está en fase con la tensión Eg produce un torque de carga Tc lo que hace que la velocidad del primomotor baje y por ende la frecuencia también cae. Como el generador siempre debe operar a frecuencia constante y tensión en bornes constante, estas dos variables deben corregirse para normalizar la operación del generador.

Fig 4-30. Generador síncrono con carga resistiva.

Para llevar nuevamente el generador a la frecuencia nominal se debe aumentar la potencia del primomotor y para aumentar la tensión se debe aumentar la corriente de campo. Estas dos variables se deben modificar siempre en este mismo orden para no descompensar el funcionamiento del generador. Ahora vamos a ver que sucede cuando al generador se le coloca una carga activa, es decir se le coloca en bornes una resistencia. Para el análisis se parte de la ecuación del estator que se enuncia como:

Lssga IjXREV )( +−= Ecuación 4-42

Y se representa un diagrama fasorial como se muestra en la figura 4-31.

Fig 4-31. Diagrama fasorial con carga resistiva.

Como el factor de potencia de una carga resistiva es 1, esto significa que el ángulo entre la tensión y la corriente es cero, o dicho de otra manera, la tensión y corriente están en fase. En el circuito equivalente se presenta una caída de tensión en la resistencia del estator dada por RsIL esta caída está en fase con la tensión en bornes del generador Va, también en el estator se presenta una caída jXsIL que está desfasada 90 con respecto a RsIL y la suma de las tres nos da la tensión generada Eg. Ahora vamos a analizar que sucede si se aumenta la carga, es decir se aumenta la corriente de carga. Lo primero que sucede es que las caídas de tensión en la resistencia RsIL aumenta y la caída en la reactancia XsIL también aumenta. Lo que conlleva a que la

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tensión en bornes se reduzca. Pero como la carga siempre debe alimentarse a tensión nominal se debe compensar esta caída de tensión aumentando la tensión generada Eg o lo que es igual se debe aumentar la corriente de campo. Otro fenómeno que sucede es que el ángulo de potencia δ aumenta y por ende la potencia absorbida por la carga aumenta y la velocidad del primomotor disminuye, lo que significa que la frecuencia de la tensión generada disminuye y se debe aumentar la velocidad para volver a generar a la frecuencia nominal.

Fig 4-32. Aumento de la corriente de carga.

Ahora vamos a analizar que sucede si se disminuye la carga, es decir se disminuye la corriente de carga. Lo primero que sucede es que las caídas de tensión en la resistencia RsIL disminuyen y la caída en la reactancia XsIL también disminuye. Lo que conlleva a que la tensión en bornes se aumente. Pero como la carga siempre debe alimentarse a tensión nominal se debe reducir este aumento de tensión diminuyendo la tensión generada Eg o lo que es igual se debe disminuir la corriente de campo. Otro fenómeno que sucede que el ángulo de potencia δ diminuye y por ende la potencia absorbida por la carga diminuye y la velocidad del primomotor aumenta, lo que significa que la frecuencia de la tensión generada aumenta y se debe disminuir la velocidad para volver a generar a la frecuencia nominal.

Fig 4-33. Disminución de la corriente de carga.

Ahora examinaremos el generador con una carga inductiva o dicho de otra manera con una corriente que tiene un ángulo θ de atraso con la tensión en bornes Va. El diagrama fasorial se presenta en la figura 4-34, donde se puede apreciar que la caída de tensión en la resistencia RsIL también presenta un ángulo θ de desfase con la tensión en bornes Va, la caída de tensión en la reactancia síncrona XsIL está tiene un ángulo de 90º con respecto a la caída de tensión en la resistencia, la tensión generada Eg es la suma de las tres componentes. Como se puede apreciar el ángulo δ entre la tensión generada y la tensión en bornes aumenta, este aumento se debe a la potencia que se disipa en la resistencia del estator. Para mantener la tensión en bornes constante se debe aumentarse la corriente de campo y la frecuencia se debe compensar aumentando la velocidad del primomotor.

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Fig 4-34. Diagrama fasorial por fase de un generador síncrono con un factor de potencia en atraso. Ahora se analizará en generador síncrono con una carga capacitiva o con factor de potencia en adelanto, en este caso la corriente IL tiene un ángulo de desfase θ pero está adelantada a la tensión en bornes Va. Las caídas de tensión y en la resistencia RaIL está adelantad a la tensión Va y la caída de tensión en la reactancia XsIL también lo está, como se puede ver en la figura 4-35 la tensión generada Eg es menor en magnitud que Va y se puede decir entonces que el generador trabaja subexcitado. Sin embargo el ángulo de potencia δ aumenta debido a la potencia adicional que se disipa en la resistencia del estator. En conclusión al generador se le debe reducir la tensión generada y aumentar la velocidad en el primomotor.

Fig 4-35. diagrama fasorial por fase de un generador síncrono con un factor de potencia en adelanto.

4.22 Generadores en paralelo. En el mundo de hoy es difícil encontrar que un generador suministre su carga y trabaje de forma aislada. Tal situación se encuentra en algunas aplicaciones que se salen de lo normal, como en el generadores de emergencia o cargas que están muy lejos de los centros de generación. En todas las demás aplicaciones los generadores se encuentran trabajando en paralelo. Esta operación puede ser ventajosa por:

- Varios generadores pueden suministrar más carga que un solo generador. - Al tener muchos generadores en paralelo se aumenta la confiabilidad del sistema

puesto que la falla de cualquiera de ellos no causa la pérdida de la totalidad de la carga.

- Al tener varios generadores en paralelo se pueden sacar varios generadores por periodos largos de tiempo sin afectar en gran medida el sistema.

- Con un solo generador la eficiencia puede reducirse, ya que habría momentos en que este no opera a plena carga, especialmente en las noches.

4.23 Condiciones para que los generadores operen en paralelo.

137

Para conectar dos fuentes de tensión continua en paralelo solo se debe cumplir que la polaridad entre las fuentes sea la correcta y que las tensiones de las dos fuentes sean las misma, como se aprecia en la figura 4-36.

Fig 4-36. Puesta en paralelo de dos fuentes de tensión de d.c.

Si la polaridad de alguna de las dos fuentes está mal determinada, habrá una corriente circulante entre las dos fuentes; esta será grande debido a que los conductores tienen una resistencia muy baja. Otro requisito que se debe cumplir es que las dos fuentes deben tener igual nivel de tensión, si la tensión no es igual también se presentará una corriente circulante entre las dos fuentes, esa corriente depende de la diferencia de tensiones entre las fuentes si la diferencia es mínima, la corriente circulante será pequeña y manejable, si por el contrario la diferencia de tensión es grande la corriente circulante será grande y lo que sucederá es que una de las fuentes se dañará o una perderá carga y la otra ganará carga. Cuando se conectan dos fuentes monofásicos en paralelo se deben cumplir las dos condiciones anteriores, adicional a estos el ángulo de desfase entre las dos fuentes debe ser el mismo. Si no es igual, también habrá una corriente circulante entre los dos generadores y la corriente es proporcional al ángulo de desfase entre las dos ondas generadas.

Fig 4-37. Conexión de dos fuentes senoidales en paralelo.

Otra condición que se deben cumplir cuando se conectan dos fuentes senoidales en paralelo es que las dos fuentes deben tener igual frecuencia, si no se cumple esta condición, se presentará nuevamente una corriente circulante entre las dos fuentes. Esta corriente en el momento de conexión puede ser pequeña pero al pasar el tiempo puede ir aumentado y disparar las protecciones.

Fig 4-38. Conexión de fuentes senoidales con frecuencias diferentes.

En el caso de conectar dos generadores trifásicos en paralelo a demás de los cuatro requerimientos anteriores se debe cumplir que la secuencia de fases sea la misma, es decir que la fase A1 se conecte con la fase A2, B1 con B2 y C1 con C2. Si no se cumple este requerimiento no solo habrá corrientes circulantes sino un cortocircuito estruendoso.

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Fig 4-39. Generadores trifásicos conectados en paralelo.

Un aparato que sirve para hacer la conexión en paralelo de dos generadores es un sincronoscopio que es un elemento de fácil construir pero de gran utilidad, el sincronoscopio son tres bombillos (normalmente de neón) que se disponen en forma de triangulo y se conectan como se muestra en la figura 4-40.

Fig 4-40. Sincronoscopio.

Como se puede ver en la figura 4-40 el sincronoscopio tiene tres bombillas conectadas, las dos de abajo están conectadas a diferentes fases de los generadores, el de arriba está conectada a la misma fase de los dos generadores, el instante preciso de conexión se consigue cuando las lámparas inferiores están encendidas a su máxima tensión y la lámpara superior está apagada. Con este dispositivo no solo se logra saber el instante de sincronismo sino también cuando las cuando las secuencias de fases son diferentes (los bombillos prenden y apagan todos a la vez, hay secuencia diferentes y cuando empiezan a girar la secuencia es correcta), cuando hay frecuencias diferentes (en este caso los bombillos “giran” en sentido horario o antihorario, la velocidad de giro depende de la diferencias de frecuencia de los dos generadores, si la velocidad del generador entrante tiene mayor frecuencia el sincronoscopio gira en sentido antihorario y si tiene menor frecuencia que la red gira en sentido horario).

4.24 Procedimiento para colocar dos generadores en paralelo. Primero, se debe ajustar la tensión del generador entrante hasta que sea igual a la del generador que está operando. Esto se logra usando dos voltímetros (uno para cada

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generador) y se debe ajustarse la corriente de campo del generador entrante hasta alcanzar la tensión del que está operando. Segundo, se debe comprobar que las secuencias de fases de los generadores entrante y el que está operando sea la misma. La comprobación de estas dos secuencias se puede hacer de varias maneras. Usando un secuencimetro, este aparto usa dos bombillas de neón y estas alumbran más de acuerdo a la secuencia (ver figura 4-41), se deben conectar los tres terminales de prueba en las fases A1, B1 y C1, luego se deben pasar los tres terminales de prueba a los terminales del segundo generador A2, B2 y C2 y debe encender el mismo bombillo. Si enciende el otro bombillo es seña de que la secuencia está invertida y se deben cambiar el orden de dos fases del generador entrante.

Fig 4-41. secuencimetro.

Tercero, verificar que la frecuencia del generador conectado a la red y el entrante tengan igual frecuencia. Para realizar esto se deben tener dos frecuencimetros conectados a cada generador y se debe verificar que las dos lecturas sean idénticas. Si la frecuencia del generador entrante es más baja, se debe subir la velocidad en vacío del generador (aumentar la tensión del generador d.c); y si es más alta se debe bajar velocidad al primomotor. Cuarto, las máquinas deben tener igual instante de sincronismo o igual fase, para hacer esto se debe colocar un secuencimetro entro los dos generadores y verificar que el instante de sincronismo sea igual.

4.25 Generadores operando en paralelo con sistemas de potencia grande.

Cuando se conecta un generador sincrónico a un sistema de potencia de gran tamaño, este último se puede considerar que es tan grande que nada de los que le sucede al generador influiría en el sistema de potencia. Un ejemplo de este sistema sucede cuando la planta de chitota (ubicada en Bucaramanga) se conecta a la red. En este caso se está hablando de conectar 15KVA con casi 1200MVA del sistema nacional, al entrar este sistema la tensión o la frecuencia de funcionamiento del generador poco influye en el sistema. Con el concepto anterior se puede considerar que el sistema nacional es un barraje infinito. El concepto de barraje infinito en un sistema de potencia tan grande que el voltaje y frecuencia no varían nunca. Independientemente de cuanta potencia activa o reactiva se está tomando de él.

140

Para entender el concepto de un generador cuando se conecta a un gran sistema de potencia, es preciso examinar un sistema que consta de un barraje infinito y un generador en paralelo que se usan para alimentar una carga. Se supone que el primomotor del generador tiene un gobernador de velocidad y el campo se controla manualmente por medio de un reóstato (ver fig 4-42).

Fig 4-42. Generador para acoplarse a la red.

Cuando se conecta un generador en paralelo con un sistema de gran tamaño, la frecuencia y el voltaje están determinados por el sistema de potencia y estos se mantienen constantes, para nuestro caso la tensión se debe mantener en 208V y la frecuencia en 60Hz y el generador entrante debe tener estables estos parámetros. Como se muestra en la figura 4-43. Entonces sus características potencia real-frecuencia y potencia reactiva –voltaje pueden graficarse espalda con espalda con un eje vertical en común. Este diagrama se llama, de forma informal, el diagrama de casas como se muestra en la figura 4-43.

Fig 4-43. Representación del sistema de potencia y generador entrante con un diagrama de casas.

Como apenas se conectó en paralelo el generado a la carga se dice que el generador está flotando en el sistema de potencia y este generador se considera que toma una potencia activa Pg igual a cero y una potencia reactiva Qg igual a cero. Pero en realidad el generador entrante toma una pequeña potencia activa y reactiva de la red pero se puede considerar despreciable. Ahora vamos a analizar que sucede si la velocidad del primomotor aumenta, en este caso, la frecuencia en vació del generador entrante aumenta y lo que hace es que el generador empieza a tomar carga del sistema de potencia. Esto se puede verificar en el vatímetro que se conecta en el generador (ver figura 4-44). Otra forma de verse este incremento de potencia es usando el diagrama de fasorial del generador. La potencia activa que genera una máquina síncrona trabajando como generador está dada por:

s

A

X

senEVP

)(3 δφ=

141

Fig 4-44. Toma de potencia activa por parte del generador.

Como la tensión en los bornes Va no cambia (barra infinita) la componente que varia es Egsen(δ) y su crecimiento es proporcional a la potencia consumida.

Fig 4-45. Diagrama fasorial para el incremento de potencia activa.

Este incremento de potencia también influye en la corriente que aporta el generador, como se puede ver en la figura 4-45, la corriente ya no está en fase con la tensión sino que está en adelanto, lo que supone que no solamente el generador toma potencia activa sino que también aporta reactivos al sistema o consume potencia reactiva.

Ahora vamos a deducir que sucede cuando el generador toma más de la potencia de la carga que esté conectada a él. Si esto ocurre la potencia extra generada fluye hacia el sistema de potencia o barraje infinito. Desafortunadamente la toma de potencia del sistema de potencia está limitada por la capacidad del primomotor o del generador propio. Nunca se debe exceder el torque que puede suministrar el primomotor o nunca se debe sobrepasar la corriente nominal del generador, cualquiera de los dos sobrepasos se verá reflejado en un deterioro de cualquiera de las dos máquinas. Ahora vamos a analizar que le sucede al generador cuando la velocidad de la máquina motriz se reduce. En este caso se bajaría la frecuencia del generado operando en vacío y el generador empieza a tomar potencia del sistema, lo que sucede es que el generador se motoriza. Este fenómeno se puede considerar como maléfico porque el generador en vez de generar potencia va a consumirla, cada una de las subestaciones de generación tienen un relé de inversión de potencia que se activa cuando la potencia generada es negativa. Este fenómeno se puede ver en el gráfico de la figura 4-46. y el vatímetro empezaría a marcar en el otro sentido.

Fig 4-46. Generador motorizado.

142

Después de que se ha calibrado el generador para que solo consuma potencia activa se presentará un ángulo de desfase entre la tensión en bornes del generador y la corriente de carga como se ve en la figura 4-45. La pregunta que se puede hacer ¿Cómo se puede ajustar el generador de modo que suministre potencia reactiva Q al sistema? Esto puede lograrse ajustando la corriente de campo del generador. Para poder entender la razón de este fenómeno es necesario considerar las restricciones de operación del generador en estas circunstancias. La primera restricción del generador es que la potencia que debe suministrar el primomotor al generador debe mantenerse constante cunado se varía If. La potencia en el generador está dada por la ecuación P=τindwm. Ahora se puede considerar que el motor primario de un generador síncrono tiene una característica par velocidad fijada en un punto de ajuste dado por el gobernador. Esta carga solo cambia cuando se modifica el punto de ajuste del gobernador. Puesto que el generador está conectado a un barraje infinito, su velocidad no puede cambiar. Si la velocidad del generador no cambia y los puntos de ajuste del gobernador no han sido variados, la potencia suministrada por el generador debe permanecer constante. Si la potencia suministrada es constante, mientras se varía la corriente de campo, no pueden cambiar las distancias proporcionales a la potencia en el diagrama fasorial de la figura 4-47 y por tal razón no cambia ni IAcos(θ) ni Egsen(δ). Cuando se incrementa la corriente de campo el flujo φ en la máquina se incrementa y entonces la tensión generada Eg se incrementa. Si Eg se incrementa pero Egsen(δ) se mantiene constante entonces el fasor Eg debe desplasarse a lo largo de la línea de potencia constante como se muestra en la figura 4-47, Puesto que Va permanece constante, el ángulo jXsIA cambia como se muestra, por lo tanto, cambia el ángulo y la magnitud de IA. Nótese que como resultado, se incrementa la distancia proporcional a Q (IAsen(θ)). En otras palabras, incrementando la corriente de campo en un generador síncrono que opera en paralelo con un sistema de potencia infinito, se incrementa la potencia reactiva de salida del generador.

Fig 4-47. Repartición de potencia reactiva.

Para resumir la operación cuando un generador está operando en paralelo con un barraje infinito:

- La frecuencia y tensión en bornes del generador están impuestos por el sistema de potencia al cual está conectado el generador.

- La potencia activa que toma el generador se puede controlar por el aumento o disminución de velocidad en vacío del primomotor.

- La cantidad de potencia reactiva que el generador toma del sistema de potencia es controlada por la corriente de excitación del campo.

143

4.26 Funcionamiento de generadores en paralelo de igual tamaño.

Cuando un generador funciona solo, las potencias real P, y reactiva Q entregadas por el generador eran fijas, restringida a ser iguales a la potencia pedida por la carga; la frecuencia y tensión en bornes eran regulados por el gobernador de la máquina y la corriente de campo. Cuando el generador trabaja en paralelo con un barraje infinito la frecuencia y el voltaje terminal quedan restringidos por el sistema de potencia, la potencia activa P y reactiva Q eran regulados por medio del gobernador y la corriente de campo. Si un generador es conectado en paralelo con otro de igual tamaño, el sistema resultante se puede observar en la figura 4-48, en el cual la restricción básica señala, que las suma de la potencia real y reactiva entregada por los generadores debe ser igual a la potencia activa y reactiva de la carga. La frecuencia del sistema no queda restringida a mantenerse constante, como tampoco queda limitada a ser constante la potencia de un determinado generador pero la potencia activa y reactiva que consume la carga se mantiene constante.

Fig 4-48. Generadores de igual potencia conectados en paralelo.

La figura 4-49 muestra el diagrama potencia-frecuencia de este sistema, inmediatamente después de que el generador G2 ha sido conectado con la línea. Acá la potencia real del sistema Ptot se expresa como:

21arg GGactot PPPP +==

La potencia reactiva del sistema se puede expresar como:

21arg GGactot QQQQ +==

Fig 4-49. Diagrama de casas de un generador conectado a otro de igual tamaño.

Ahora vamos a ver que sucede si se le cambia la posición al gobernador del generador G2, en este caso la curva potencia frecuencia del generador G2 es desplazada hacia arriba, como se muestra en la figura 4-50, recuerde que la potencia total del sistema suministrada a la carga no debe cambiar. A la frecuencia original f1, las potencias suministradas ahora por G1 y G2 serán mayores que la potencia consumida por la carga.

144

Ahora el sistema no puede funcionar a la misma frecuencia anterior. De hecho, solo existe una frecuencia a la cual la suma de las dos potencias de los generadores es igual a a Pcarga. Esa frecuencia será llamada f2 es mayor que la frecuencia original del sistema. A dicha frecuencia, G2 entrega mayor potencia que antes, en tanto G1 suministra menos potencia que antes.

Fig 4-50. Generador 2 tomando carga.

Por consiguiente, cuando funcionan dos generadores en paralelo, el aumento en la posición del gobernador de uno de ellos

1) Aumenta la frecuencia del sistema. 2) Aumenta la potencia suministrada por ese generador, mientras disminuye la

potencia reactiva que entrega el otro generador.

El aumento en la posición de un gobernador aumenta la potencia de ese generador y la frecuencia del sistema. La disminución en la posición del otro gobernador hace que la potencia de ese generador disminuya la potencia de la máquina y la frecuencia del sistema disminuya. Así que para ajustar la repartición de carga sin modificar la frecuencia del sistema, aumente la posición del gobernador de un generador y simultáneamente, disminuya la posición del gobernador del otro generador. Igualmente, para ajustar la frecuencia del sistema sin modificar el reparto de carga simultáneamente aumente o disminuya la posición de los gobernadores de ambos gobernadores.

Fig 4-51. Sistema estable para la repartición de potencia activa.

La figura 4-52 muestra el diagrama potencia reactiva-tensión de dos generadores de igual tamaño, inmediatamente después de que el generador G2 ha sido conectado con la línea.

Fig 4-52. Dos generadores de igual tamaño acoplados.

Hay que notar que cuando el generador G2 se acaba de conectar la potencia activa QG2 es muy pequeña o se considera como despreciable.

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Ahora vamos a mirar que sucede cuando se le aumenta la corriente de campo del generador G2, el comportamiento resultante es análogo a la situación de la potencia activa y está representado en la figura 52. Cuando funcionan dos generadores en paralelo y se aumenta la corriente de campo del generador G2.

1) Se eleva el voltaje Terminal del sistema. 2) Aumenta la potencia real Q suministrada por ese generador, en tanto se

disminuye la potencia reactiva que entrega el otro generador.

Fig 4-53. Generador 2 tomando carga reactiva.

El ajuste de la potencia reactiva y del voltaje terminal funciona de forma similar: para modificar la repartición de la potencia reactiva sin cambiar el voltaje terminal, simultáneamente aumenta la corriente de campo de un generador y disminuya la del otro. Para modificar el voltaje Terminal sin afectar la repartición de la carga reactiva, aumente y disminuya al mismo tiempo ambas corrientes de campo.

Fig 4-54. Sistema estable para la repartición de potencia reactiva.

Resumiendo, cuando se tiene dos generadores funcionan en paralelo:

1) El sistema queda restringido a que la potencia total que aportan los dos generadores sea igual a la magnitud consumida por la carga. Ni la frecuencia del sistema Fsis ni el voltaje Terminal VT se ven limitados a permanecer constantes.

2) Para ajustar el reparto de la potencia real entre los generadores sin que varié la frecuencia del sistema fsis, simultáneamente, debe aumentarse la posición del gobernador mientras disminuye la del otro. La máquina cuya posición del gobernador fue aumentada tomará mas carga.

3) Para ajustar fsis sin variar la repartición de la potencia activa, simultáneamente deben aumentarse y disminuirse las posiciones de ambos gobernadores.

4) Para ajustar el reparto de la potencia reactiva entre los generadores sin que se modifique VT, simultáneamente, debe aumentarse la corriente de campo de un generador y disminuya la del otro. La máquina cuyo campo fue incrementado toma mas carga reactiva.

5) Para ajustar VT sin modificar el reparto de la potencia reactiva, se deben aumentarse y disminuirse simultáneamente las corrientes de campo de ambos generadores.

4.27 Fluctuación u oscilación de los alternadores.

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Como es de esperase cada vez que se sincronizan dos generadores se produce una corriente instantánea de sincronización siempre que la corriente de campo de un alternador aumente o su primomotor aumente su velocidad. El efecto de la corriente de sincronización es producir una potencia instantánea de sincronización que hace que el generador que produce tensión regrese al sincronismo y que los alternadores que reciben la potencia avancen al sincronismo. Parecería que estas tendencias aunadas con las características de disminución de velocidad de los primomotores del alternador, deberían producir una situación extrema de estabilidad y equilibrio. Si, durante el tiempo de potencia, al alternador se le impulsa ligeramente adelante del sincronismo, entregará al instante potencia de sincronización a los demás alternadores. Estos reciben la potencia instantánea pero, debido a su inercia, su respuesta es lenta. Entonces el generador que está en adelanto produce más y más corriente de sincronización para tratar de llevar al sincronismo a los demás alternadores. La potencia que se suministra puede ser tan grande y la demanda de par tan grande y contraria del alternador que su aceleración es tan grande que, en lugar de regresar al sincronismo, en realizad se quede atrás de los otros alternadores. Al retrasarse, su primomotor puede estar en el tiempo de retroceso, lo cual no ayuda en nada y al retrasarse recibe instantáneamente potencia procedente de la barra de distribución y actúa como motor. La potencia de sincronización que recibe, más el esfuerzo adicional del primomotor en su tiempo de potencia dan lugar una vez más a que el generador original se impulse todavía más adelante que la primera vez. La inercia de los demás alternadores, no respondiendo inmediatamente a la potencia instantánea que recibieron, hace que el alternador en adelanto produzca aún más corriente de sincronización que antes. De hecho, el alternador está fluctuando para que la velocidad de sincronismo se estabilice sin poder encontrarla. Esta oscilación periódica que se repite o fluctuación de pénduleo por arriba y debajo de la velocidad de síncrona del alternador que está impulsándose por un motor recíprocamente, continúa amplificándose en cada oscilación con respecto a la anterior. Si se conactan instrumentos tales como amperímetros o voltímetros se puede observar la oscilación a mediad que aumenta y disminuye la corriente, y la potencia se invierte periódicamente en el vatímetro. En respuesta a la recepción y generación de la potencia de sincronización. Ya que esta condiciones, por las razones antes expuestas no cesan por si solas y no se auto eliminan es necesario tomar medidas en el diseño combinado del alternador y su impulsor para eliminarlas.

4.28 Motores sincronos. Para entender el concepto básico de un motor síncrono de dos polos se debe ver la figura 5-55. La corriente de campo If del motor produce un campo magnético de estado estacionario Br. Un conjunto de voltajes trifásicos se le aplica al estator de la máquina, que produce un flujo giratorio en el estator. Como se puede ver en seguida:

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Fig 4-55. Estructura del generador síncrono.

El sistema trifásico se alimenta con tres señales de tensión senoidales que están desfasadas 120º. Las señales vienen dadas por las ecuaciones

)cos(wtVVa =

)120cos( += wtVVb

)120cos( −= wtVVc

Estas señales se aplican a un devanado trifásico que tiene una impedancia por cada uno de los devanados, esta conexión puede ser en delta o estrella según la conexión del motor; como las bobinas forman un circuito cerrado por cada devanado va a circular una corriente que se puede expresar como:

)cos( θ+= wtIIa

)120cos( θ++= wtIIb

)120cos( θ+−= wtIIc

Donde la magnitud I se puede expresar como sZ

VI = .

Como se sabe toda corriente eléctrica lleva consigo asociado un campo magnético, para la máquina de inducción se puede expresar como:

)cos( θφφ += wta

)120cos( θφφ ++= wtb

)120cos( θφφ +−= wtc

Donde la magnitud del flujo se puede expresar como ℜ

=NI

φ .

Estos campos son colocados en el estator desfasados 120º cada uno, de tal manera que sobre el rotor haya un campo magnético total dado por:

cbat φφφφ ++=

Cada uno de los flujos ubicados en el rotor se pueden expresar como:

)]cos()[cos(2

1)cos()cos( βθβθβθφφ −++++=+= wtwtwta

)]120120cos()120120[cos(2

1)120cos()120cos( −−+++++++=+++= βθβθβθφφ wtwtwtb

)]120120cos()120120[cos(2

1)120cos()120cos( −+−++−−++=−+−= βθβθβθφφ wtwtwtc

De tal manera que si se suman las dos componentes por separado el flujo total queda:

)cos(2

3βθφφφφφ −+=++= wtcbat Ecuación 4-43

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Y a partir de esa ecuación se puede decir que en el estator de la máquina se genera un campo magnético giratorio con distribución senosoidal que varia en el tiempo y de acuerdo a la posición mecánica. Este campo tiene una amplitud de 1.5 veces el campo de un motor monofásico que consume la misma potencia. Y la densidad de campo Bs se obtiene dividiendo el campo entre el área efectiva de cada polo:

)cos(2

3βθ

φφ−+== wt

AAB t

s

Como se puede apreciar hay dos campos magnéticos presentes en la máquina, síncrona uno producido en el estator Bs y otro en el rotor Br. Como en el mismo caso de dos imanes, uno tiene a seguir al otro en la máquina síncrona sucede lo mismo. En este caso el campo del rotor sigue al campo magnético del estator, puesto que el campo magnético del estator es giratorio el campo magnético del rotor tiende a girar a la misma velocidad que el del estator. Cuando ud tiene dos imanes unidos y trata de despegarlos haciendo que el uno se deslice sobre el otro se nota que una fuerza para deslizar los dos imanes va aumentando a medida que hay menos área de contacto entre los dos. Lo mismo sucede cuando se le coloca carga al rotor, en este caso el ángulo de contacto entre el rotor y el estator va disminuyendo y la fuerza de atracción entre los dos campos va aumentando. El principio de operación del motor síncrono es que el rotor “persigue” al campo magnético giratorio del estator sin alinearse completamente con él. Puesto que el generador síncrono y el motor son construidos de la misma manera o dicho de otra forma la máquina síncrona puede trabajar como motor o como generador y sus ecuaciones son las mismas. Solo que el flujo de potencia es al contrario, el generador transforma potencia mecánica en eléctrica y el motor convierte potencia eléctrica en mecánica.

4.29 Circuito equivalente de un motor síncrono. Como ya se dijo anteriormente el motor de inducción es el mismo que el generador síncrono solo difieren en el sentido de cómo es la dirección del sentido de flujo de potencia. Puesto que la dirección del flujo de potencia en la máquina es invertida, cabe destacar que también se invertirá el sentido de la corriente en el estator de la máquina. El circuito equivalente es exactamente el mismo que el generador síncrono, excepto que la dirección de la corriente de Ia es invertida. El circuito equivalente trifásico es mostrado en la figura 4-56 al igual que el circuito equivalente monofásico. Cabe destacar que para sacar el equivalente monofásico se debe conocerse que la máquina está conectado en estrella o en triángulo. Debido a que la dirección de Ia cambia las ecuaciones correspondientes al estator deben cambiar para satisfacer las leyes de Kirchhoff para el circuito equivalente. Según la consideración anterior la ecuaciones de la máquina funcionando como generador eran:

assga IjXREV )( ++= Ecuación 4-44

Invirtiendo la corriente para que se comporte como motor la ecuación anterior nos queda:

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assag IjXRVE )( +−= Ecuación 4-45

Fig 4-56. Circuito equivalente de un motor síncrono.

4.30 El motor sincrono desde la perspectiva del campo magnético.

Para empezar a conocer la operación de un motor síncrono, es preciso dar otra mirada al generador síncrono conectado a un barraje infinito. El generador tiene un motor primario que gira su eje, causando la rotación de la máquina. El par aplicado τapp desde el motor primario tiene la misma dirección del movimiento debido a que el motor primario hace que el generador rote, en primera instancia. El diagrama fasorial de un generador operando con una gran corriente de campo se muestra en la figura 4-57. Como se describe anteriormente Br produce la tensión Eg, Bnet produce a la tensión Va y Bs compensa a Estat(=-jXsIa). En la figura 4-57 la rotación del diagrama fasorial y del diagrama de campo magnético se produce en el sentido contrario de las manecillas del reloj, siguiendo la convención matemática estándar de los ángulos.

Fig 4-57. Diagrama fasorial del generador síncrono.

El par producido en el generador se puede encontrar a partir del diagrama de campo magnético correspondiente. El par inducido de la máquina se puede expresar como:

)( netrind xBBk=τ

Resolviendo el producto cruz, el torque se puede reescribir como: )(δτ senBkB netrind =

Nótese que, partiendo del diagrama del campo magnético, el par inducido en esta máquina está en sentido de las manecillas del reloj, opuesto a la dirección de rotación. En otras palabras, el par inducido en el generador es un par contrario, opuesto a la rotación causada por el par externo aplicado τapp.

150

Suponga que en lugar de girar el eje en la dirección del movimiento, el motor primario pierde potencia de repente y comienza a frenar el eje de la máquina. Si sucede esto, el rotor se retrasa debido al obstáculo en su eje y queda detrás del campo magnético neto de la máquina. Como el rotor, y por lo tanto BR, se atrasa y queda detrás de Bnet, la operación de la máquina cambia de repente por la ecuación )( netrind xBBk=τ , cuando Br

queda detrás de Bnet, la dirección del par inducido se invierte y va en sentido contrario a las manecillas del reloj. En otras palabras, el par de la máquina sigue ahora la dirección de movimiento y la máquina está actuando como motor. El ángulo δ del par creciente resulta en un par cada vez más grande que sigue la dirección de rotación, hasta que, con el tiempo, el par inducido del motor iguala al par de carga sobre su eje. En este punto la máquina opera de nuevo en estado estacionario y a velocidad síncrona, pero ahora como motor. El diagrama fasorial correspondiente a la operación como generador se muestra en la figura 4-57, El correspondiente a la operación como motor se ve en la figura 4-58. La razón por lo que la caída de tensión en la reactancia del estator jXsIa apunta desde Va hacia Eg en el generador y desde Eg hacia Va en el motor es que la dirección de referencia de Ia se invirtió en la dirección del circuito equivalente del motor. La diferencia básica entre la operación del motor y el generador en las máquinas síncronas puede verse en el diagrama de campo magnético o en el diagrama fasorial. En un generador, Eg está en adelanto con respecto a Va y Br adelanta a Bnet. En un motor, Eg, se atrasa con respecto a Eg y Br está detrás de Bnet. En un motor, el par inducido sigue la dirección del movimiento; en un generador el par inducido es un par contrario, opuesto a la dirección del movimiento.

Fig 4-58. Diagrama fasorial de un motor síncrono.

4.31 Operación en estado estacionario del motor síncrono. Los motores síncronos alimentan, generalmente, cargas que funcionan a velocidad constante. La tensión en bornes y la frecuencia del sistema de alimentación serán constante independientemente de la potencia absorbida por el motor, es decir se conectan a un barraje infinito. La velocidad de giro del motor está directamente relacionada con la frecuencia eléctrica, por tal motivo su velocidad será constante, independiente de la carga acoplada a su eje. La velocidad debe permanecer estable desde su funcionamiento en vacío al para máximo que el pueda entregar. La ecuación del par es:

)(δτ senBkB netrind =

O en función de sus magnitudes eléctricas:

151

)(3

δτ senXw

VE

ss

ag= Ecuación 4-46

El par máximo se obtiene cuando sen(δ)=1 es decir δ=π/2 Cuando el par aplicado sobre el motor excede su valor máximo, el rotor no puede seguir la velocidad de giro del campo, pierde velocidad y queda expuesto a continuos cambios de sentido de par, lo que da lugar a bruscas vibraciones del motor como consecuencia de la pérdida de sincronismo. El par máximo vendrá expresado como:

ss

ag

Xw

VE3max =τ Ecuación 4-47

Relación que nos indica que cuanto mayor valor tenga la corriente de excitación, mayor valor tendrá el par máximo y por lo tanto hay mayor estabilidad.

4.32 Respuesta ante los cambios de carga en el motor. Cuando un motor está acoplado a la red, la velocidad es la de sincronismo y el par necesario para hacer girar la carga a dicha velocidad. Si la carga sobre el eje del motor aumenta, el rotor sufrirá inicialmente una desacelecación que da lugar a un aumento del ángulo de par δ y como consecuencia un mayor par. Este aumento del par acelerará el rotor y el motor volverá a la velocidad de sincronismo, pero el ángulo de par será superior al inicial. La representación fasorial correspondiente a las condiciones iniciales del motor es mostrado en el figura 4-59.

Fig 4-59. Diagrama fasorial del motor síncrono.

A medida que aumenta la carga, el vector representativo de la fem Eg0 se desplaza más respecto a su posición inicial. Como esta fem solo depende del flujo del inductor y de la velocidad, parámetros que no han sido modificados, el valor de la fem Eg0 permanece constante con la carga. Al modificarse la posición de Eg0, cambia el vector representativo de la caída de tensión jXsIa y por lo tanto la corriente absorbida. El vector representativo de la corriente no solo cambia de módulo sino también de ángulo de desfase con respecto de Va.

152

Fig 4-60. Generador síncrono ante cambios de carga.

Es importante observar que los segmentos proporcionales a la potencia aumentan igualmente.

4.33 Respuesta ante el cambio de la corriente de campo en el motor.

Otro efecto es la modificación de la corriente de campo, manteniendo constante la potencia entregada por el motor. Como el cambio de corriente de campo no afecta la velocidad y como la carga acoplada al eje no ha sido modificada, la potencia entregada no se alterará. Cunado la corriente de campo aumenta, la fcem Eg aumentará igualmente pero desplazandose a o largo de una línea de potencia constante.

Fig 4-61. cambio de la corriente de excitación.

Las distancias proporcionales a la potencia en el diagrama fasorial serán constantes Egsen(δ) e Iacos(θ). A medida que el calor de Eg aumenta, la corriente de inducido disminuye y posteriormente aumenta en función de los valores que toma la fem Eg, la corriente está en atraso, en fase o en adelanto y el motor se comporta como una carga inductiva-resistiva, o resistiva-capacitiva. La representación de un sistema de ejes de corriente de inducido en función de la corriente de campo, constituye las llamadas curva en V del motor. Existen distintas curvas correspondientes a los distintos niveles de potencia. Como podemos deducir de la representación vectorial, la corriente mínima de inducido se representa con factor de potencia unidad. Controlando la corriente de campo del motor se puede regular la potencia reactiva absorbida o entregada a la red. Existe un valor límite de la corriente de campo por debajo del cual el motor no puede entregar la potencia demandada, perdiendo el sincronismo. Estos puntos determinan el llamado límite de estabilidad del motor.

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Fig 4-62. Curvas en V de un motor síncrono.

4.34 Arranque de los motores síncronos. Existen distintas técnicas para el arranque del motor, basadas en los siguientes principios:

- Arranque por medio de un motor de lanzamiento hasta la conexión en paralelo con la red, exactamente igual que su funcionamiento como generador.

- Arranque como motor asíncrono y su posterior sincronización al excitar el circuito inductor.

- Arranque por reducción de frecuencia en el estator hasta un valor suficientemente bajo para que el rotor pueda engancharse con el campo magnético giratorio antes de que cambie de sentido el par.

El procedimiento de arranque por medio de una motor auxiliar se basa en la conexión del motor a la red como generador. Una vez conectado, se prescinde del motor de lanzamiento, el motor se desacelera y el campo magnético del rotor se retrasa respecto del campo resultante, pasando a funcionar como motor. El arranque como motor asíncrono o de inducción es el procedimiento más generalizado, usando para ello un devanado amortiguador. El devanado retórico amortiguador da al motor síncrono las características de arranque de un motor asíncrono, y como tal se pone automáticamente en marcha al conectarlo a la red. El motor, en estas condiciones de funcionamiento, no alcanza la velocidad de sincronismo pero si una velocidad muy próxima a ella funcionando en vacío. Durante el proceso de arranque, el devanado inductor debe estar en cortocircuito con el fin de evitar las sobretensiones que se originan si estuviese a circuito abierto. Una vez completado su periodo de aceleración, el rotor girará con un deslizamiento mínimo. En este instante, se procederá a alimentar el circuito de la excitación. La presencia del campo inductor y del inducido, proporcionan un par pendular, que después de cierto tiempo llevará el rotor a la velocidad de sincronismo. El arranque por control de frecuencia consiste en alimentar el estator de la máquina con una frecuencia lo suficientemente baja para que el rotor pueda seguirlo. Posteriormente se incrementa de forma paulatina la frecuencia hasta llegar a valores nominales. Cuando el motor síncrono funciona a una frecuencia menor la fem generada Eg será menor, por lo que la tensión aplicada al estator deberá reducirse de la misma forma para mantener la corriente del estator en niveles admisibles.

154

4.35 Ejercicios EJEMPLO 4-1 A que velocidad debe girar una máquina síncrona de seis polos para que genere tensión a 50Hz. SOLUCION

rpmp

f1000

120==η

EJEMPLO 4-2 El voltaje inducido en vacío en un generador de 60Hz es de 11000V con una corriente de 5A. Calcular el voltaje en circuito abierto para una frecuencia de 50Hz y una corriente de campo de 2.5A. SOLUCION

HzA

VKfIKE gfgg .

66.36=⇒=

VfIKE fgg 5.4582== EJEMPLO 4-3

Una carga conectada en ∆ de 21Ω se conecta a través de una línea de transmisión de 0.1Ω a una fuente de alimentación de 120V trifásica. Determinar:

a) La potencia de salida de la fuente. b) Las pérdidas en la línea de transmisión. c) La eficiencia del sistema.

SOLUCION

−

−

=

−<

<

3

2

1

2.211.01.0

1.02.211.0

1.01.02,21

120120

120120

120

I

I

I

I1=5.66<0.43A, I2=5.66<119.52A, I3=5.66<-120A a) WVIP 6.20373 == b) WRIP 6.93 2 == c) WRIPout 24.20183 2 == ;

EJEMPLO 4-4

Una carga conectada en Y de 7Ω se conecta a través de una línea de transmisión de 0.1Ω a una fuente de 240V. Determinar:

d) La potencia de salida de la fuente. e) Las pérdidas en la línea de transmisión. f) La eficiencia del sistema.

SOLUCION a) Como es un sistema balanceado trifásico por medio del modelo monofásico podemos hallar la corriente en la fase a cero grados:

AZ

VI

f

f

f 08.33 ∠==

b) La pérdidas son WRIP ffcu 73.3423 2 ==

c) La eficiencia del sistema es:

155

KWIVP ffin 33.243 == , KWRIP Lfout 99.233 2 == , %6.98100*% ==in

out

P

PE

EJEMPLO 4-5

Una carga en ∆ de 15Ω se conecta en paralelo con una carga en Y de 5Ω y el conjunto se conecta a través de una línea de transmisión de 0.2Ω a una fuente de 460V. Determinar:

a) La potencia consumida por la carga en delta. b) La potencia consumida por la carga en Y. c) La potencia total consumida por el conjunto. d) El voltaje Terminal en la carga.

SOLUCIÓN Haciendo la conversión de la carga conectada en Y a ∆ Ω== ∆ 153RRy ,

Colocando las dos cargas en ∆ en paralelo Ω== 5.72/15tR , el circuito en delta

es similar al presentado en el ejemplo 5 y las ecuaciones son:

−

−

=

−<

<

3

2

1

9.72.02.0

2.09.72.0

2.02.09,7

120460

120460

460

I

I

I

I1=58.36<2.57A, I2=58.36<117.4A, I3=58.36<-120A a) Como las dos cargas en ∆ son iguales, la potencia total consumida es

MWIV 7.43 = cada carga consume la mitad 2.35MW. b) La potencia consumida por la carga en Y es la misma que la delta 2.35MW. c) La potencia consumida total es 4.7MW. d) El voltaje en terminales de la carga es: VIRV 7.437== .

EJEMPLO 4-6 Un generador síncrono de rotor cilíndrico de 150MVA, 11KV, trifásico, conectado en Y tiene una resistencia de armadura despreciable. La curva de magnetización viene dada por la tabla siguiente: If [A] 100 200 300 400 500 600 700 Vg [KV] 1.9 3.8 5.8 7.8 9.8 11.3 12.6 Determinar:

a) La corriente en vacío para generar la tensión nominal. b) Si se necesita generar una tensión de fase de 5.8KV, cual es la corriente de

campo necesaria. SOLUCION

a) Haciendo un interpolador lineal cerca de la tensión del generador no da:

6.12118.9

600500 fI; la corriente de campo es AI f 580500)8.911(

8.93.11

500600=+−

−−

=

b) La tensión de línea a partir de la de fase se puede hallar como:

KVVV fl 054.103 == , interpolando nos queda:

6.12054.108.9

600500 fI otra forma de hallar la solución es hallar la ecuación de la

recta que une los dos puntos bmEI gf += , m=66.66; b=-153.33; por

consiguiente la corriente se puede hallar como: If=516.94A

156

EJEMPLO 4-7 Un generador síncrono trifásico de 10.8KVA, 208V, conectado en delta alimenta la carga nominal con un fp 0.8 en atraso. La impedancia síncrona es de 0.5+j1.5Ω. La resistencia de campo es de 20Ω y la relación tensión generada corriente de campo es dada por:

f

f

gI

IE

5.65.7

2400

+=

a) La corriente de campo para generar la tensión nominal en vacío. b) La corriente de campo para alimentar la carga nominal con fp=0.8 en adelanto a

la tensión nominal. SOLUCION

a) despejando la corriente de campo en función de la tensión generada, la ecuación

nos queda AE

EI

g

g

f 49.15.62400

5.7=

−= .

b) La corriente de fase en la carga es 17.3<36.86A, la tensión generada es VIZVE asag 41.703.201 ∠=+= , la corriente de campo es If=1.38A.

EJEMPLO 4-8 Un generador síncrono de 60KVA, 440V, 60Hz, conectado en Y, tiene una resistencia de 0.15Ω y una reactancia síncrona de 3.5Ω por fase. Calcular el porcentaje de regulación de voltaje para la carga especificada y un factor de potencia unitario. SOLUCION

Hallando la corriente de línea AV

SIl 073.78

3∠== , la tensión generada es

dada por VIZVE asag 031.4686.382 ∠=+= , la regulación de tensión es

%73.50100*% 0 =−

=a

aa

V

VVR .

EJEMPLO 4-9

Una carga trifásica conectada en Y tiene una impedancia por fase de 2+j1Ω, un voltímetro mide 146V entre la línea A y el neutro. Determinar:

a) El voltaje de línea. b) La corriente de línea c) El factor de potencia de la carga. d) La potencia aparente. e) La potencia real.

SOLUCION

La corriente de línea es dada por: AZ

VI

L

l 56.2629.65 −∠== ,

a) La tensión de línea es: VVV fl 87.2523 == .

b) la corriente de línea es 65.29<-26.56 A. c) factor de potencia: 89.0)56.26cos( ==fp en atraso. d) Potencia aparente: KVAIVS ff 6.283 == . e) Potencia real: KWfpSP 45.25* == .

157

EJEMPLO 4-10

Tres generadores monofásicos de 230V están conectados en ∆ para formar una fuente trifásica. Una carga balanceada conectada en estrella tiene impedancias por fase de 2+j7Ω. Determinar:

a) El voltaje de fase en la fuente. b) El voltaje de línea del sistema. c) El voltaje de fase en la carga. d) La corriente de línea del sistema. e) La corriente de fase de la fuente. f) Factor de potencia de la carga. g) Potencia de la carga.

SOLUCION a) tensión de fase en la fuente: 230V. b) Voltaje de línea 230V.

c) Voltaje de fase de la carga: VV

V lf 8.132

3== .

d) Corriente de línea: 18.24<-74.05A. e) Corriente de fase: 10.53<-44.05A. f) Factor de potencia: 0.275 en atraso.

g) Potencia de la carga: WfpIVP ll 17.19983 == .

EJEMPLO 4-11 Una carga trifásica balanceada conectada en estrella tiene una corriente de línea de 8<0A, el voltaje de línea es de 120<-90V. Determinar:

a) Los voltajes trifásicos que se medirían con un voltímetro. b) La potencia real, compleja y reactiva de la carga trifásica. c) Determine los valores de R, L o C de la carga.

SOLUCION a) la tensión es 120V en las tres fases.

b) WVIP 3.831)cos(3 == θ , VAfp

PS 606.1662 −<== ,

VARsenSQ 85.1439)(* == θ

c) Ω−∠== 6015I

VZ , Rl=7.5Ω, C=204.19µf.

EJEMPLO 4-12 Un motor síncrono de 30KVA, 230V, conectado en Y, opera a plena carga con un factor de potencia en adelanto de 0.707. Una carga inductiva trifásica conectada en Y, que tiene una impedancia de 3+j4Ω por fase, está conectada en Y en paralelo con el motor. Calcular:

a) El factor de potencia de la carga. b) La potencia reactiva y activa del conjunto. c) La corriente de línea del conjunto.

SOLUCION

158

Hallando la potencia en la carga conectada en Y: AI

VI

f

f

l 13.53558.26 −∠== ,

KVAVIS 13.5357.103 ∠== . a) al potencia total de la carga es: KVASSS cmt 13.5349.40 ∠=+= , el fp=0.6 en

atraso. b) St=40.49<53.13KVA c) Il=101.64<-53.13 A.

EJEMPLO 4-13 Un generador trifásico conectado en estrella está entregando energía a una línea trifásica. El voltaje entre líneas es de 460V, las corrientes de línea son de 7.73A y la potencia es de 5.12KW. Determinar:

a) Voltaje de fase. b) Corriente de fase. c) Factor de potencia de la fase. d) Impedancia de la carga.

SOLUCION a) la tensión de fase es 265.59. b) la corriente de fase es 7.73A.

c) VAVIS 6.61583 == , 83.0==S

Pfp .

d) Ω∠== 9.3335.34I

VZ .

EJEMPLO 4-14 Se tiene una máquina que en vacío tiene una tensión de 460V, con una carga consume una corriente de 7.73A y 5.12KW con fp unitario con la misma excitación de campo. Determinar:

a) La regulación de tensión. b) La impedancia de la máquina.

SOLUCION

a) la tensión de salida es VI

SV 42.382

3== , la regulación de tensión es

%28.20100*% 0 =−

=a

aa

V

VVR

b) si se considera la resistencia de la máquina despreciable Ω=⇒+= 64.33)(42.382460 222

sss XXI .

EJEMPLO 4-15

Un generador trifásico conectado en Y tiene una impedancia de 0.152+j9.33Ω, con carga entrega una tensión de 230V y una corriente de 9.5A con un ángulo de cero grados. Determinar:

a) La tensión generada. b) La regulación de tensión.

SOLUCION

159

a) VZIVE safg 5.3357.160 ∠=+= por fase.

b) %9.20100*% 0 =−

=a

aa

V

VVR

EJEMPLO 4-16 Un generador síncrono trifásico de 480V, 200KVA con factor de potencia 0.8 en atraso, 60Hz, dos polos, conectado en Y tiene una impedancia síncrona de 0.04+j0.25. A 60Hz sus pérdidas por fricción son de 6KW y las pérdidas en el núcleo son de 4KW. El circuito de campo tiene una tensión de 200V y una corriente de 10A . La resistencia de ajuste del campo está entre 20 y 200Ω. La curva en vacío se muestra en la tabla siguiente: If [A] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Eg [V] 0 130 250 360 430 500 535 550 570 580

a) Que corriente se requiere para que el generador en vacío genere una tensión de 480V.

b) Que voltaje generado debe tener la máquina para generar la potencia nominal a tensión nominal.

c) Cual debe ser la potencia y par del primomotor. d) Dibuje el diagrama fasorial del generador.

SOLUCION

a) 500480430

54 fI; la corriente de campo es

AI f 71.44)430480(430500

45=+−

−−

=

b) La tensión de fase es 277.13V, la corriente de fase es

AV

SI f 85.3656.240

3−∠== , la tensión generada es

VZIVE safg 86.3668.323 −∠=+= por fase.

c) KWIEP VIagg 59.233)cos(3 == θ , la potencia de entrada es 243.59KW, el par

del primomotor es NmW

P

s

in 14.646==τ

d)

EJEMPLO 4-17

Un generador de 500V, 150KVA, conectado en ∆ tiene una resistencia efectiva de 0.2Ω entre dos de sus líneas. Una corriente de campo de 12A produce una corriente de cortocircuito de 173.2A y una tensión en circuito abierto de 450V. Calcule la regulación de voltaje a plena tensión cuando el generador alimenta su carga nominal con factor de potencia unitario. SOLUCION

Hallando la impedancia del generador

160

, AI f 100= , Ω= 5.4fZ , Ω=⇒+= 49.422ssss XXRZ

La regulación de tensión es

, VZIVE safg 062.694 ∠=+= , %9.38100*% 0 =−

=a

aa

V

VVR

EJEMPLO 4-18

Un generador trifásico conectado en Y alimenta una carga conectada en ∆ de 7.2KVA, 208V, fp=0.7 en adelanto por medio de una línea de transmisión que tiene una impedancia de 0.5+j5Ω. La impedancia síncrona de la máquina es de 0.3+j6Ω. Las pérdidas de la máquina son de 1700W. Si el generador alimenta la carga nominal determinar:

a) La eficiencia. b) El torque del primomotor si este gira a 1200rpm.

SOLUCION

VZIVVLaL 85.2687.1631 ∠=+= , V

VV f 85.5661.94

31 ∠== ,

VZIVEsafg 17.9905.166 ∠=+=

a) eficiencia KWfpSPout 04.5* == , KWVIP VIt 67.5)cos(3 == θ ,

KWPPP mtin 37.7=+= , %88.88100*% ==in

out

P

PE .

b) Nmw

P

s

in 12.45==τ

EJEMPLO 4-19 Se tiene un generador síncrono conectado en Y al que se le realizaron las pruebas pertinentes y dieron los siguientes resultados: Valores nominales: 2000KVA, 2300V Prueba de corriente continua: 1.5V, 10A. Prueba de circuito abierto: 950V, If=10A, Ia=nominal. Determinar la impedancia por fase del generador. SOLUCION

Ω== 075.02I

VRs , A

V

SIn 04.502

*3== , Ω== 09.1

3I

VZs ,

Ω=−= 08.122sss RZX

EJEMPLO 4-20

Se tiene un generador síncrono conectado en ∆ se le realizaron las pruebas pertinentes y dieron los siguientes resultados: Valores nominales: 1000KVA, 6000V Prueba de corriente continua: 10V, nominal. Prueba de circuito abierto: 275V, If=25A, Ia=nominal. Determinar la impedancia por fase del generador. SOLUCION

, AV

SIn 5.55

*3== , Ω== 63.7

3

I

VZs , Ω=−= 625.722

sss RZX

161

EJEMPLO 4-21 Se pretende conectar dos generadores en paralelo, el generador número 1 genera tensión a 220V y una frecuencia de 60Hz, el alternador 2 tiene una frecuencia de 59.5Hz y una tensión de 222V. Si se tiene el interruptor abierto, calcular:

a) El voltaje máximo y mínimo a través del interruptor. b) La frecuencia a través de cada foco. c) El número de pulsaciones por minuto

en los focos. SOLUCION

el oscilograma se puede ver en la figura de la izquierda

a) Vmax=V1+V2=441V. b) f=f1-f2=0.5Hz

c) min

12021 pul

Pf

T =⇒==

EJEMPLO 4-22

Se tienen dos generadores idénticos que tienen una impedancia de 0.1+j0.9Ω. Calcular la corriente circulante si se conectan los dos generadores en paralelo y tienen las siguientes características:

a) Generador A 220cos(2π60+0), generador B 220cos(2π60+30). b) Generador A 210cos(2π60+0), generador B 220cos(2π60+0). c) Generador A 220cos(2π60+0), generador B 220cos(2π59.3). d) Diferente secuencia.

SOLUCION

a) AZZ

VVI 87.62

21

21 =+−

=

b) AZZ

VVI 52.5

21

21 =+−

=

c) Usando el teorema de la superposición )65.83377cos(47.12121

11 −=

+= t

ZZ

VI ,

)58.83372cos(89.12221

22 −=

+= t

ZZ

VI , AIII 36.244)max( 21max =−=

d) AZZ

VVI 4.210

1200

21

21 =+

∠−∠=

EJEMPLO 4-23

Se conectan dos generadores monofásicos en paralelo alimentando una carga de 0.85Ω. El generador A se ajusta para generar en vacío 124V y tiene una reactancia de 0.1Ω. El generador 2 se ajusta para generar en vacío 125V y tiene una reactancia igual a 0.05Ω. Sin tomar en cuenta las corrientes de campo calcular:

a) Las corrientes que aporta cada generador. b) La tensión en la carga. c) La potencia de cada generador.

SOLUCION

162

a)

+−

−+=

2

1

1.085.085.0

85.005.85.0

124

125

I

I

jj

jI1=1659.6<-88.8, I2=1659.47<-90.57,

b) IL=I1-I2=51.26<0.17A. c) KWVIP VI 344.4)cos(1 == θ , KWVIP VI 047.2)cos(2 −== θ ,

KWRIPL 23.22 == EJEMPLO 4-24

Un generador síncrono tiene una reactancia síncrona de 0.4Ω por fase. El generador está conectado a una barra infinita que tiene un voltaje de 14KV y el voltaje de excitación se ajusta a aumenta en un 14%. Determinar:

a) el ángulo δ de par o momento de torsión cuando el generador suministra 420MVA.

b) El ángulo de desplazamiento mecánico. SOLUCION

a) s

ga

X

senEVP

)(3 δ= , Eg=1.14*Va=15.96KV, sen(δ)=0.25, δ=14.47º

EJEMPLO 4-25 Se tiene la siguiente información de un generador síncrono Eg=12KV, Va=14KV, Xs=2Ω y Eg adelanta a Va en 30º. Determinar:

a) Calcule la potencia activa total del generador b) Trace el diagrama fasorial por fase. c) Calcule el factor de potencia de la carga.

SOLUCION

a) MVAX

senEVP

s

ga 126)(3

==δ

b) c) Usando el teorema de los cosenos

KVXI sa 0011.7)30cos(*14*12*21412 22 =−+= , usando el teorema de los

senos para hallar el ángulo de la caída IaXs

º98.8814

)(

0011.7

)30(=⇒= IaXs

IaXssensenθ

θ.

d) El factor de potencia se puede calcular como 999.0)9098.88cos( =− en atraso. EJEMPLO 4-26 Un generador síncrono trifásico de 11KV, conectado en Y, tiene una reactancia síncrona de 6Ω por fase y una resistencia despreciable. Para una corriente de campo dada el voltaje en circuito abierto es 12KV para la condición de potencia máxima. Calcular:

a) La potencia máxima desarrollada por el generador. b) Corriente de armadura

163

c) Factor de potencia para la condición de potencia máxima. SOLUCION

a) MWX

EVP

s

A 333

max == φ

b) KVXI sa 79.41112 22 =−= , AIa 3.798=

c) Fp=1. EJEMPLO 4-27 Un motor síncrono trifásico de 400V, conectado en Y, entrega 12hp en el eje y opera con un fp de 0.866 atrasado. Las pérdidas por fricción, ventilación son de 1200W. Si la reactancia de la armadura es de 0.75Ω por fase. Calcular el voltaje inducido. SOLUCION

P=8.95KW, KVAfp

PS 34.10== , º30)(cos 1 == −

fpθ , AV

SIa 85.25

3== ,

VXI sa 38.19= , VXIVXIVE saasaag 21.241)90cos(2)( 22 =+−+= θ .

EJEMPLO 4-28 Un motor síncrono trifásico de 1000KVA, 11KV, conectado en Y, tiene una reactancia de dispersión de 10Ω y una resistencia despreciable. Calcular el voltaje inducido para:

a) factor de potencia 0.8 atrasado. b) Factor de potencia unitario. c) Factor de potencia 0.8 adelantado

SOLUCION

a) Para el fp 0.8 atrasado: MVAS 86.361∠= , AV

SIa 86.3630.30

3−∠== ,

VXI sa 303= , KVXIVXIVE saasaag 18.11)90cos(2)( 22 =+−+= θ

b) Para el fp unidad: MVAS 01∠= , AV

SIa 030.30

3∠== , VXI sa 303= ,

KVXIVE saag 004.11)( 22 =+=

c) Para el fp 0.8 en adelanto: MVAS 86.361 −∠= , AV

SIa 86.3630.30

3∠== ,

VXI sa 303= , KVXIVXIVE saasaag 82.10)90cos(2)( 22 =+−+= θ

164

5 MAQUINAS DE INDUCCION TRIFASICA

La máquina de inducción es el convertidor electromecánico más utilizado en la industria. Su invención se le debe a Tesla a finales del siglo XIX y nace como solución al problema de utilizar la corriente alterna. Tesla había sugerido la idea de las ventajas que poseía la corriente alterna, cuyos niveles de tensión2 pueden ser variados mediante transformadores, sobre la corriente continua cuyas dificultades de transmisión para la época ya comenzaban a ser evidentes. La defensa de la corriente continua era realizada por Edison, famoso inventor norteamericano que contaba con un inmenso prestigio. Sin embargo, la visión comercial de Whestinghouse impulsa las ideas de Tesla para la construcción de la primera gran central hidroeléctrica que se construye en las Cataratas del Niagara utilizando generadores de corriente alterna, que utilizan transformadores para elevar la tensión, transmiten mediante líneas en alta tensión y la reducen para alimentar a los motores de inducción que accionan la creciente carga industrial. Desde ese crucial momento y hasta la actualidad, la máquina de inducción ha ido copando la inmensa mayoría de aplicaciones en la industria, en el comercio y en el hogar. Las maquinas de inducción trifásicas comprenden tanto motores como generadores. Los motores de inducción (o motores asíncronos) trifásicos son los motores mas utilizados en la industria. Son simples, resistentes, baratos y fáciles de mantener. Funcionan a velocidad esencialmente constante desde cero hasta plena carga. La velocidad depende de la frecuencia, por lo que estos motores no se adaptan con facilidad al control de velocidad. Sin embargo, cada vez se utilizan más los controladores electrónicos de frecuencia variable para controlar la velocidad de motores de inducción comerciales. En este capitulo se ven los principios básicos del motor de inducción trifásico y desarrollaremos las ecuaciones fundamentales que describen su comportamiento. Después analizaremos su construcción general y la forma en que están hechos sus devanados. Los motores de inducción con rotor tipo jaula de ardilla, con rotor devanado y lineales con capacidades de unos cuantos caballos de fuerza hasta varios miles. En este capitulo también veremos que los motores de inducción trifásicos pueden operar como generadores de inducción trifásicos.

5.1 Componentes principales Un motor de inducción trifásico (Fig. 5-1) consta de dos partes principales: un estator estacionario y un rotor giratorio. El rotor está separado del estator por un pequeño entrehierro que van de 0.4 mm a 4 mm, según la potencia del motor.

165

Fig 5-1. Motor de inducción de rotor bobinado.

El estator consta de un armazón de acero que soporta un núcleo cilíndrico hueco compuesto de laminaciones apiladas. Varias ranuras equidistantes entre sí, hechas en la circunferencia interna de las laminaciones, proporcionan el espacio para el devanado del estator.

Fig 5-2. Estator de una máquina de inducción.

El rotor también se compone de laminaciones ranuradas. Estas están apiladas cuidadosamente para crear una serie de ranuras para el devanado del rotor. Se utilizan dos tipos de devanados del rotor: (1) devanados trifásicos convencionales hechos de alambre aislado y (2) devanados de jaula de ardilla. El tipo de devanado da lugar a dos clases principales de motores: motores de inducción de jaula de ardilla (también llamados motores de jaula) y motores de inducción de rotor devanado.

Fig 5-3. Rotor de un motor de inducción jaula de ardilla.

Un rotor de jaula de ardilla se compone de barras de cobre desnudo, un poco más largas que el rotor, las cuales están insertadas en las ranuras por uno de sus extremos. Los

166

extremos opuestos se sueldan a dos anillos de cobre para que todas las barras estén en cortocircuito entre sí. Toda la construcción (barras y anillos extremos) se asemeja a una jaula de ardilla, de donde se deriva el nombre. En motores pequeños y medianos, las barras y los anillos extremos son de aluminio moldeado a presión y forman un bloque integral. Un motor de inducción de rotor devanado tiene una estructura similar al devanado del estator. El devanado está distribuido unifórmenle sobre las ranuras y casi siempre está conectado en Y con tres terminales de conexión que se conectan a unos anillos rosantes que giran con el rotor. Los anillos colectores (también se les llama así) se conectan a las escobillas para poder introducir resistencias en serie y variar el comportamiento de la máquina. Estas resistencias también se pueden conectar en el momento del arranque, frenado e inversión de giro para su control. En la figura 5-4 se puede ver el diseño de una máquina de rotor devanado.

Fig 5-4 Rotor de anillos rozantes.

5.2 Campo magnético giratorio. Existen dos formas de demostrar que cuando un estator de una máquina trifásica se alimenta con tensiones trifásicas separadas 120º se produce un campo magnético giratorio con distribución senosoidal y el primer enfoque es meramente matemático como lo mostramos a continuación: El sistema trifásico se alimenta con tres señales de tensión senoidales que están desfasadas 120º. La señales vienen dadas por las ecuaciones

)cos(wtVVa =

)120cos( += wtVVb Ecuación 5-1

)120cos( −= wtVVc

Estas señales se aplican a un devanado trifásico que tiene una impedancia por cada uno de los devanados, esta conexión puede ser en delta o estrella según la conexión del motor; como las bobinas forman un circuito cerrado por cada devanado va a circular una corriente que se puede expresar como:

)cos( θ+= wtIIa

)120cos( θ++= wtIIb Ecuación 5-2

)120cos( θ+−= wtIIc

Donde la magnitud I se puede expresar como sZ

VI = .

167

Como se sabe toda corriente eléctrica lleva consigo asociado un campo magnético, para la máquina de inducción se puede expresar como:

)cos( θφφ += wta

)120cos( θφφ ++= wtb Ecuación 5-3

)120cos( θφφ +−= wtc

Donde la magnitud del flujo se puede expresar como ℜ

=NI

φ .

Estos campos son colocados en el estator desfasados 120º cada uno, de tal manera que sobre el rotor haya un campo magnético total dado por:

cbat φφφφ ++= Ecuación 5-4

Cada uno de los flujos ubicados en el rotor se pueden expresar como:

)]cos()[cos(2

1)cos()cos( βθβθβθφφ −++++=+= wtwtwta

)]120120cos()120120[cos(2

1)120cos()120cos( −−+++++++=+++= βθβθβθφφ wtwtwtb

)]120120cos()120120[cos(2

1)120cos()120cos( −+−++−−++=−+−= βθβθβθφφ wtwtwtc

De tal manera que si se suman las dos componentes por separado el flujo total queda:

)cos(2

3βθφφφφφ −+=++= wtcbat Ecuación 5-5

Y a partir de esa ecuación se puede decir que en el estator de la máquina se genera un campo magnético giratorio con distribución senosoidal que varia en el tiempo y de acuerdo a la posición mecánica (espacio). Este campo tiene una amplitud de 1.5 veces el campo de un motor monofásico que consume la misma potencia. La otra forma de percibir el concepto de campo magnético rotatorio se puede ver en la figura 5-5 donde se ven los campos producidos en cada una de las fases dependiendo del tiempo y un campo magnético total que gira en el rotor. Cuando el ángulo de desfase es 0º la fase “a” tiene una tensión de cero voltios, la fase “b” tiene una tensión con una amplitud del 86% de la amplitud y la tensión en la fase “c” tiene una tensión del 86% pero en el ciclo negativo. En la gráfica a en la superior derecha de la figura 5-5 se puede la distribución del flujo magnético; el flujo total es la sumatoria de cada una de las fases y se representa como una flecha de color verde. Cuando se ha recorrido wt=30º las señales de corriente ya han cambiado, la fase “a” tiene una amplitud del 50% la fase “b” también tiene amplitud del 50% y la amplitud de la fase “c” tiene una amplitud del 100%. La sumatoria de los campos ya ha girado 30º en sentido contrario a las manecillas del reloj y coincide con el campo producido en la fase “c” como se muestra en la figura 5-5B.

168

Fig 5-5 Campo magnético giratorio en una máquina de inducción. Si se analiza cada una de las secuencias de la figura 5-5 en orden A, B, C, …… se puede apreciar que el campo magnético resultante tiene un desfase de 30º en cada movimiento y así se puede observar el flujo magnético resultante.

Fig 5-6 Apariencia del campo magnético giratorio de una máquina de dos polos

Como se puede apreciar en la figura 5-6 el campo magnético producido en el entrehierro de una máquina trifásica alimentada con tensiones senoidales desfasadas 120º no es cilíndrico sino avalado y esta es una condición necesaria para que haya tensiones inducidas en el rotor.

169

5.3 Campo magnético producido por una máquina de varios polos.

Fig 5-7 Campos magnéticos de una máquina de inducción de cuatro y seis polos.

En la figura 5-7 se pueden ver los campos magnéticos producidos por una máquina de cuatro y 6 polos. La diferencia fundamental entre una máquina de dos polos y una de cuatro es que en la segunda máquina el campo es más ovalado que en la segunda y este campo se pueden ver los dos polos rotativos producido en la máquina. En la máquina de seis polos se pueden ver los tres polos que giran en el estator. El ángulo mecánico y el eléctrico se pueden relacionar por medio de la ecuación:

mp

e θθ2

= Ecuación 5-6

Si se examina la ecuación anterior se pude observar que cumple con la discusión anterior. Si derivamos con respecto al tiempo ambos lados de la ecuación se puede observar la relación que hay entre las velocidades mecánica y eléctrica y se encuentra que:

me wp

w2

= Ecuación 5-7

Donde we es la velocidad en radianes por minuto de la velocidad eléctrica, wm es la velocidad en radianes por segundos de la velocidad mecánica. Se puede decir que a los ingenieros no nos gusta trabaja con las velocidades en radianes por segundo, sino es más conveniente, darlas en magnitudes del sistema internacional. Es así, como la velocidad mecánica la expresamos en revoluciones por minuto, y la frecuencia eléctrica la expresamos en hertz. Las ecuaciones que permiten hacer estos cambios se listan como:

mmw ηπ

60

2= Ecuación 5-8

Para la frecuencia eléctrica fwe π2= Ecuación 5-9

Reemplazando las ecuaciones 5-7 y 5-8 en la ecuación 5-9 tenemos:

p

fm

120=η Ecuación 5-10

170

5.4 Tensión inducida en el rotor. El devanado del estator está construido por tres arrollamientos desfasados 120º en el espacio y de 2p pares de polos, al introducir por ellos unas corrientes provenientes del estator se crea un flujo con distribución senosoidal que gira de acuerdo al tiempo y al ángulo mecánico y es dada por la ecuación:

)cos(2

3βθφφ −+= wtt

De acuerdo a la ley de Faraday, la fem inducida en un conductor de longitud L que se mueve con velocidad V dentro de un campo magnético B, tiene un valor:

mNFKLVxBdLVxBe φ11144.4).().( === ∫ Ecuación 5-11

Es decir en cada una de las barras o devanados que conforman el rotor se crea una tensión. Como ya se sabe, las barras conductoras o los devanados se encuentran en corto circuito; ellas tienen una resistencia RR y una inductancia LR y por ende en cada una de las barras se crea una corriente IR dada por:

rr

Rr

jwLR

eI

+= Ecuación 5-12

Como el rotor se encuentra parado, hay un movimiento relativo de flujo entre el rotor y el estator. El sentido de la fuerza que aparece en los conductores del rotor se obtiene aplicando la conocida ley vectorial o ley de L’place que es:

).(LxBiF = Ecuación 5-13

Multiplicando la fuerza por el radio de giro del rotor y en número de conductores existentes en el mismo se obtendrá el par total de la máquina que tenderá a mover el rotor en el mismo sentido en que gira el campo magnético en el rotor y es dado por.

)(rxF=τ Ecuación 5-14

Multiplicando la fuerza por el radio del rotor y el número de conductores existentes en el mismo se obtendrá el par total de la máquina que tenderá a mover el rotor en el mismo sentido que gira el campo magnético en el estator.

iLBr=τ Ecuación 5-15 Si hay torque en el rotor éste experimentará una aceleración limitada por el momento de inercia J del rotor y el torque desarrollado en el momento del arranque. Esta relación se puede expresar como:

ατ J= Ecuación 5-16 La aceleración produce un cambio de velocidad dada por:

0ww f −=α Ecuación 5-17

wf es la velocidad final del estator y w0 es cero porque el rotor se encontraba en reposo. Este cambio de velocidad provoca que la velocidad relativa entre el campo en el estator y el rotor disminuya y por ende la tensión inducida en las barras colectoras disminuye a:

mr NFKE φ12144.4= Ecuación 5-18

Donde la frecuencia de la tensión inducida en el rotor se puede expresar como:

21 sFF =

171

Y la tensión se puede expresar en función de la tensión inducida en el reposo como:

rrm sEE = Ecuación 5-19

Donde Erm es la tensión inducida en el rotor cuando se encuentra en movimiento. Al haber una disminución de la frecuencia en la tensión, hay una disminución de la reactancia del rotor dada por:

rrm sXX = Ecuación 5-20

Y si la tensión disminuye, la corriente en el rotor también disminuirá, la nueva corriente se puede expresar como:

222rr

rrm

XsR

sEI

+= Ecuación 5-21

Lo que hace disminuir el torque desarrollado en el rotor. La fem anterior Erm producirá corrientes en el rotor con una frecuencia frm, de tal manera que estas a su vez crearán un campo giratorio, cuya velocidad respecto a su propio movimiento dado por:

p

frmrm

120=η Ecuación 5-22

Gracias a que el rotor está devanado con el mismo número de polos del estator. Como la máquina gira con una velocidad η rpm, la velocidad del campo magnético giratorio del rotor con respecto a una referencia en reposo será η2+η en consecuencia, la velocidad absoluta del campo del rotor será:

60

)(

60. rmsrm

s

rms Ppsfrfrm

ηηηη

ηη −=

−==

ηηη −= 12

112 )( ηηηηηη =+−=+ Ecuación 5-23

Lo que indica que el campo del rotor gira en sincronismo con el campo del estator para producir el flujo resultante en el entrehierro. Debe notarse que esta interacción solo es posible si la fmm están enclavadas sincrónicamente, es decir si las ondas de la fmm del estator y el rotor giran a la misma velocidad η1, por lo que se requiere que el número de polos con el que se confeccionan ambos devanados sean iguales, lo que representa una exigencia constructiva de estas máquinas. No es necesario que el número de fase del estator y del rotor deban ser iguales, ya que el campo magnético giratorio dentro del cual se mueve el rotor es independiente del número de fases del estator. Los motores con rotor devanado o con anillos se construyen normalmente para tres fases, es decir igual que el estator; sin embargo el rotor en jaula de ardilla está formado por un gran número de barras puestas en corto circuito, dando lugar a un devanado polifásico de m2 fases.

172

5.5 Operación de un motor de inducción trifásico La clave para la operación de un motor de inducción es la producción de un campo magnético rotatorio. Como se discutió en los párrafos anteriores, donde se demostró que la excitación de un estator trifásico produce un campo magnético rotatorio en el entrehierro de la máquina, y que el campo gira a una velocidad síncrona dada por la ecuación 5-22. Al girar el campo magnético, “corta” a los conductores del rotor. Mediante este proceso se inducen voltajes en los conductores. Los voltajes inducidos hacen surgir las corrientes en el rotor, las cuales interactúan con el campo del entrehierro para producir un par. El par se mantiene todo el tiempo mientras que existan el campo magnético rotatorio y las corrientes inducidas en el rotor. Por consiguiente, el rotor comienza a girar en la dirección del campo rotatorio. El rotor llegará a una velocidad de régimen permanente, n, tal que n<ns. Evidentemente, cuando n=ns, no habrá corrientes inducidas y, por lo tanto, tampoco habrá par. Un enfoque alternativo para explicar la operación del motor de inducción polifásico es considerar la interacción del campo magnético del estator (excitado) con el campo magnético del rotor (inducido). La excitación del estator produce un campo magnético rotatorio, que gira en el entrehierro a una velocidad síncrona. El campo induce corrientes polifásicas en el rotor, con lo que, por lo tanto, da origen a otro campo magnético en rotación, el cual también gira a la misma velocidad síncrona que la del estator y con respecto al estator. Así pues, se tienen dos campos magnéticos rotatorios, que giran a una velocidad síncrona con respecto al estator pero estacionarios entre sí. Por consiguiente, y de acuerdo con el principio de alineamiento de los campos magnéticos, el rotor experimenta un par. El rotor gira en la dirección del campo rotatorio del estator.

5.6 Deslizamiento. A menudo la velocidad mecánica real, η, del rotor se expresa como una fracción de la velocidad síncrona, ηs, cuya relación nos da el deslizamiento, s, definido como

s

s

n

nns

−= Ecuación 5-24

Donde ns es como se dio en la ecuación 5-22, y que se repite abajo por resultar conveniente:

P

fns

120=

El deslizamiento también puede ser expresado como un porcentaje, de la manera siguiente:

100*%s

s

n

nns

−= Ecuación 5-25

En reposo, el campo magnético rotatorio producido por el estator tiene la misma velocidad relativa con respecto a los devanados del rotor y con respecto a los del estator. Así, la frecuencia de las corrientes del rotor, fr, es la misma que la frecuencia de las corrientes del estator, fS. A la velocidad síncrona, no existe un movimiento relativo entre el campo rotatorio y el rotor, y la frecuencia de la corriente del rotor es cero. A otra velocidad, la frecuencia del rotor es proporcional al deslizamiento; esto es,

Sr sff = Ecuación 5-26

173

Donde fr es la frecuencia de las corrientes del rotor y fS es la frecuencia de la corriente (o del voltaje) de entrada del estator. Así llegamos a las siguientes conclusiones:

1. El campo magnético giratorio del estator gira a la velocidad síncrona, ηs (con respecto a un observador estacionario). 2. La fmm del rotor produce un campo magnético rotatorio que también gira a la velocidad síncrona y en la misma dirección que el campo producido por la fmm del estator. De este modo los campos rotatorio producidos por el estator y el rotor son estacionarios uno con respecto al otro. 3. El campo rotatorio producido por el rotor gira a una velocidad (ws-wm) con respecto al rotor, en donde wm es la velocidad mecánica real del rotor. 4. Las corrientes (y los voltajes) inducidos en el rotor son de la frecuencia del deslizamiento.

5.7 Circuito equivalente de la máquina de inducción. Si se desea establecer las ecuaciones de comportamiento eléctrico del estator y del rotor, será preciso tener en cuenta que los arrollamientos tienen unas resistencias RR en el rotor y RS en el estator ohmios por fase porque estos devanados son construidos de un material físico y ellos tienen una resistividad ρ, esta resistencia está distribuida a lo largo del conductor pero para nuestro estudio se pueden considerar concentradas, al fin al cabo nos interesa el efecto que estas producen en el funcionamiento de la máquina. Además existen flujos de dispersión en los devanados del estator y rotor que dan lugar a las autoinductancias LdS y LdR. En consecuencia, las reactancias de los arrollamientos en reposo cuando la frecuencia de la red es wS=2πfS serán:

SdSSdSS fLwLX π2== Ecuación 5-27

SdRSdRR fLwLX π2== Ecuación 5-28

Sin embargo, al girar el rotor, la frecuencia del rotor varía al valor frm, dando lugar a la reactancia Xrm que en función de Xr vale:

rRdRrdRrm sXfLwLX === π2 Ecuación 5-29

En la figura 5-8 se muestra un esquema simplificado por fase del rotor, donde se han introducido los parámetros anteriores.

Fig 5-8. Circuito equivalente del rotor por fase.

Se observa que el estator de la máquina de inducción está alimentado por una tensión Va y debe vencer las caídas de tensión en la impedancia de este devanado, el flujo

174

producido en el estator, induce en este devanado y en el del rotor una tensiones Es y Er respectivamente. La impedancia del rotor está formada por la resistencia Rr y la reactancia Xr, estando este circuito en corto gracias a los anillos colectores. Las ecuaciones de kirchoff correspondientes a los devanados del estator y del rotor se pueden escribir:

ssss IjXREV )(1 ++= Ecuación 5-30

rrrr IjXRE )( += Ecuación 5-31

Debe tenerse presente que las frecuencias de los dos devanados son diferentes fr y fs respectivamente. Cuando se excita un motor de inducción trifásico equilibrado por medio de una fuente trifásica equilibrada, las corrientes en los devanados de fase deben ser de magnitud iguales y tener una diferencia de fase de 120º eléctricos. Debe cumplirse lo mismo para las corrientes de los devanados del rotor, puesto que se transfiere energía por inducción a través del entrehierro que hay entre el estator y el estator. Sin embargo, la frecuencia de la tensión inducida en el rotor es proporcional a su deslizamiento. Como los devanados del rotor y estator están acoplados magnéticamente, un motor de inducción se asemeja a un transformador trifásico con el devanado secundario en movimiento. La similitud se acentúa más cuando el rotor está en reposo. Así, un motor de inducción puede representarse por fase mediante un circuito equivalente con cualquier deslizamiento s como se muestra en la figura 5-8 que se vuelve a redibujar en la figura 5-9 y se le ha agregado la rama de magnetización. Esta rama representa es las pérdidas en el núcleo por una resistencia ficticia llamada Rm y los ciclos de histéresis por medio de la reactancia Xm.

Fig 5-9. Circuito equivalente del motor de inducción.

Donde:

V1 : es la tensión de alimentación por fase. Rs : es la resistencia del estator. Xs : es la reactancia del estator. Es : es la tensión inducida en el devanado del estator. Er : es la tensión inducida en el devanado del rotor en condiciones de

deslizamiento s=1.. Rr : es la resistencia del rotor. Xr : es la reactancia del estator en condiciones de deslizamiento s=1. Is : es la corriente en el estator por fase. Ir : es la corriente en el rotor por fase. Io : es la corriente en vació que se puede expresar como la suma de

175

las corrientes del efecto Eddy y las corrientes para vencer los ciclos de histéresis.

Im : corriente de magnetización por fase. Ic : corriente de pérdidas en el núcleo por fase.

La tensión inducida en el devanado del estator está dada por:

swsss KfNE φ44.4= Ecuación 5-32

Donde: Ns . son el número de vueltas del devanado del rotor. f : es la frecuencia del estator, se tomará como 60Hz. Kws . es el factor de devanado para el arrollamiento del estator. φs : es la amplitud máxima del flujo por fase en el entrehierro.

La tensión inducida en los devanados del rotor en condiciones de s=1, está dada por:

swrrr KfNE φ44.4= Ecuación 5-33

Donde: Nr : son el número de vueltas del devanado del rotor. f : es la frecuencia del estator, se tomará como 60Hz. Kwr : es el factor de devanado para el arrollamiento del estator. φs . es la amplitud máxima del flujo por fase en el entrehierro.

Con base en el circuito equivalente por fase de la figura 5-9 es evidente que la corriente en el rotor está dada por:

rr

r

rr

r

rmr

rmrm

jXs

R

E

jsXR

sE

jXR

EI

+=

+=

+= Ecuación 5-34

A partir de la ecuación anterior, podemos desarrollar otro circuito equivalente para un motor de inducción que se ajuste aún más al modelo de un transformador, este modelo se vuelve a dibujar en la figura 5-10. En este circuito la resistencia hipotética Rr/s en el circuito del rotor se denomina resistencia efectiva, la cual es la misma que la resistencia real del rotor cuando éste se encuentra en reposo (en condiciones de rotor fijo). Por otro lado, cuando el deslizamiento se aproxima a cero en condiciones sin carga la resistencia efectiva Rr/s es muy elevada y tiende a infinito. Si se define la relación de transformación del transformador a como:

wr

ws

Nk

Nka = Ecuación 5-35

Fig 5-10. Circuito equivalente modificado del motor de inducción.

176

En el circuito de la figura 5-10 se han representado las corrientes y tensiones inducidas y la inductancia del rotor en rotor como fijas. Practicándole otra trasformación, se puede representar el motor de inducción en su modelo del circuito por fase referido al rotor como se muestra en la figura 5-11. A este circuito se le han practicado las siguientes modificaciones:

rr RaR2' =

rr XaX2' =

2'

a

II r

r =

Para este circuito equivalente se cumple:

rrrr

r XjIs

RIE +=

mc III +=φ

Donde:

o

sc

R

EI = e

o

sm

jX

EI =

La corriente por fase del devanado del estator y el voltaje aplicado son:

rs III += φ

)(1 rrss jXRIEV ++=

Fig 5-11. Circuito equivalente del motor de inducción trifásico equilibrado referido al lado

primario. En este circuito, sRI rr /2 representa la potencia por fase inducida en el rotor. Sin

embargo, las pérdidas del cobre por fase en el rotor deben ser rr RI2 . Luego, la potencia

por fase desarrollada por el motor es:

)1

(222

s

sRIRI

s

RI rrrr

rr

−=−

)1

(s

sRR

s

Rrr

r −+=

La ecuación anterior establece el hecho de que la resistencia hipotética Rr/s puede dividirse en dos componentes: la resistencia real del rotor Rr y una resistencia adicional de valor :

)1

(s

sRr

− Ecuación 5-36

La resistencia adicional se denomina resistencia de carga o resistencia dinámica. La resistencia de carga depende de la velocidad del motor y se dice que representa la carga

177

sobre el motor porque la potencia mecánica desarrollada por éste es proporcional a ella. En otras palabras, la resistencia de carga es el equivalente eléctrico de la carga mecánica sobre el rotor. En la figura 5-12 se muestra el circuito equivalente del motor con las modificaciones mencionadas anteriormente en términos de la resistencia de carga. Este circuito es reconocido como el circuito equivalente exacto de un motor de inducción trifásico equilibrado por fase.

Fig 5-12. Circuito equivalente por fase exacto del motor de inducción trifásico.

5.8 Características de rendimiento. La corriente del rotor Ir y la corriente del estator Is pueden determinarse a partir del modelo del circuito mostrado en al figura 5-12, donde Rr y Xr están referidos a los bobinados del estator. Una vez conocidos los valores de Ir y de Is, los parámetros de rendimiento de un motor de inducción trifásico pueden determinarse como sigue: Pérdidas en el cobre del estator.

sscus RIP23= Ecuación 5-37

Por otra parte, las pérdidas en el cobre en el rotor se dan por:

rrcur RIP23= Ecuación 5-38

Las pérdidas en el núcleo se expresan como:

0

2

0

2 33

R

V

R

VPc sr ≈= Ecuación 5-39

La potencia en el entrehierro (potencia que pasa por medio del flujo magnético desde el estator al rotor)

s

RIP s

rg

23= Ecuación 5-40

La potencia desarrollada se puede determinar como:

)1()1(

3 2sP

s

sRIPPP g

srcurgd −=

−=−= Ecuación 5-41

A partir de la potencia desarrollada se puede encontrar el par desarrollado:

s

g

s

g

r

dd

w

P

sw

sP

w

P=

−

−==

)1(

)1(τ Ecuación 5-42

La potencia de entrada se puede encontrar como:

gcurcussssin PPPIVP ++== )cos(3 θ Ecuación 5-43

Donde θs es el ángulo entre Is y Vs, la potencia de salida Pout se puede expresar como:

178

vdout PPP −= Ecuación 5-44

La eficiencia se puede expresar como:

cusgc

vd

out

in

PPP

PP

P

PE

++−

== Ecuación 5-45

Si se considera que Pg>>(PCUS+Pout) y Pd>> Pv, la eficiencia se puede expresar aproximadamente como:

sP

sP

P

PE

g

g

g

d −=−

== 1)1(

Ecuación 5-46

Normalmente, el valor de X0 es grande, y a fin de simplificar los cálculos, R0, que es mucho más grande, puede eliminarse del modelo el circuito. Si )( 222

0 ss XRX +>> ,

entonces rs VV ≈ y a fin de simplificar aún más la inductancia de magnetización X0

puede expresarse el modelo del estator como se muestra en la figura 5-13.

Fig 5-13. Circuito aproximado equivalente por fase.

La corriente rms del rotor se puede expresar como:

2/122 ])()/[( srrs

sr

XXsRR

VI

+++= Ecuación 5-47

la potencia de salida nos queda:

])()/[(

33

22

22

srrs

srrrd

XXsRR

VRIRP

+++== Ecuación 5-48

Y el torque desarrollado nos queda:

])()/[(

322

2

srrss

sr

s

dd

XXsRRsw

VR

sw

P

+++==τ Ecuación 5-49

5.9 Comportamiento del torque del motor. Si la ecuación del par contra velocidad se dibuja entre -∝ e ∝ se obtiene la figura 5-14 en ella se pueden distinguir tres zonas perfectamente diferenciables a saber:

a) zona -∝ <s<0 es una zona de funcionamiento como freno. El funcionamiento en esta zona ocurre cuando se forza al rotor a girar en sentido contrario al del campo magnético mediante un par externo.

b) Zona 0 <s<1 es una zona donde la máquina funciona como motor: esta es donde el motor de inducción funciona normalmente y la potencia eléctrica de la fuente se convierte en potencia mecánica.

c) Zona 1 <s<∝ es una zona de funcionamiento como generador: en esta zona el rotor gira en el mismo sentido que el campo electromagnético, de modo que el

179

deslizamiento es negativo y la resistencia Rr/s tiene un valor negativo y genera potencia. En este caso se debe imponer un torque mecánico externo en le mismo sentido de giro del campo.

Fig 5-14. Zonas de operación de una máquina de inducción.

5.10 Zona de bajo deslizamiento. En la región de operación normal del motor asíncrono, cerca de la velocidad de sincronismo o de deslizamientos unidad, el denominador de la ecuación de torque predomina el término Rr/s; por lo tanto, una aproximación de la ecuación de torque podría ser:

rs

dRw

Vs 13

=τ Ecuación 5-50

Donde se ve claramente que el torque es directamente proporcional al deslizamiento e inversamente proporcional a la resistencia del rotor. La potencia mecánica generada en la región de poco deslizamiento es:

r

dsdroutR

VsswswP

21)1(3)1( −=−== ττ Ecuación 5-51

La dependencia del par generado respecto al deslizamiento permite predecir la potencia de salida y la velocidad en toda la región de poco deslizamiento.

5.11 Torque desarrollado en la zona de bajo deslizamiento. Cunado el motor opera cerca del deslizamiento nominal y este es menor del 10%, la

resistencia hipotética del rotor )1

(s

sRr

− es considerablemente más grande que la del

rotor Rr y la ecuación 5-50 se puede expresar como:

2

23

Rw

sV

s

ad =τ Ecuación 5-52

Por las siguientes consideraciones:

1) el torque desarrollado por el motor es proporcional al deslizamiento cuando el voltaje en los terminales del rotor y la resistencia del rotor se mantienen constantes. En la zona lineal, la relación de torques desarrollados por la máquina es igual a la relación de los deslizamientos.

180

2) El torque desarrollado es inversamente proporcional a la resistencia del rotor a un deslizamiento dado cuando el voltaje en bornes es mantenido constante. En otras palabras, el torque desarrollado para cualquier deslizamiento puede ser ajustado variando la resistencia del rotor. Esto se puede ver muy fácilmente en los motores de rotor devanado.

3) En un valor definido de operación con un deslizamiento y resistencia del rotor, el torque desarrollado por el motor es proporcional a la tensión aplicada al cuadrado.

4) Para una operación con torque constante gajo un voltaje de alimentación fijo el deslizamiento del rotor es directamente proporcional a la resistencia del rotor.

5.12 Corriente del rotor con bajos deslizamientos. Si se analiza la ecuación 5-47 se puede observar que el término mas influyente a bajos deslizamientos es Rr/s y se puede también ver que la corriente en el motor es directamente proporcional a la tensión aplicada. Si se considera que Rr/s>>Xr la corriente se puede aproximar a.

r

ar

R

sVI = Ecuación 5-53

Y se puede apreciar que: 1) La corriente varía linealmente con el deslizamiento cuando le motor opera con bajos deslizamientos. 2) la corriente en el rotor varía inversamente con la resistencia Rr.

5.13 Efecto de la resistencia del rotor. Para tener una alta eficiencia y velocidad de operación relativamente constante se requieren valores bajos de Rr.. Pero para un par de arranque grande y corrientes de arranque pequeñas se deben tener valores relativamente grandes de resistencia en el rotor. Este problema para el proyectista se resuelve de dos maneras. La primera, requiere un rotor diferente al de jaula de ardilla. En un rotor devanado, labran ranuras en el rotor y allí se enrollan devanados trifásicos que se conectan a unos anillos rozantes que por medio de escobillas dejan disponibles los terminales de conexión al operario. Con un rotor devanado se puede maximizar el torque de arranque con resistencias externas y después retirarlas cuando el motor funciona en régimen normal. Sin embargo la máquina de rotor devanado es más costosa y requiere de más mantenimiento que el rotor jaula de ardilla. La segunda alternativa es construir los rotores jaula de ardilla con dos barras, una delgadas cerca de la periferia del motor y otras más gruesas en el fondo. Con los primeros se tiene una resistencia relativamente grande y una inductancia de dispersión pequeña porque el espacio de aire cercano al rotor limita el flujo de fuga que circula a las corrientes de los conductores del rotor. Por consiguiente, los conductores delgados ofrecen buenas características de arranque pero son deficientes en marcha. Por otra parte, los conductores más gruesos y profundos tienen una resistencia más baja y una inductancia de dispersión más grande. Los rotores de este tipo brindan mejores

181

características de marcha pero, producen un par de arranque pequeño porque la gran inductancia predomina durante el arranque.

Fig 5-15 rotor jaula de arilla con dos jaulas.

Sin embargo, se pueden tener ambas características a la vez o más bien se pueden moldear los conductores a fin de tener una parte de gran resistencia y poca inductancia cerca de la superficie y una parte de poca resistencia y gran inductancia a mayor profundidad en el rotor.

Fig 5-16 tipos de barras en las jaula de ardilla.

5.14 Clases de diseño nema. Los proyectistas pueden usar algunas de las formas de las barras conductoras y cada una de ellas le da al motor características diferentes cuando funcionan con carga o en el momento del arranque. Los constructores americanos de máquinas eléctricas establecieron la norma NEMA que agrupa algunas características en común que tienen los motores y creo unas categorías, así cualquier fabricante puede “matricular” sus motores en cada una de ellas y estas son:

- Diseño A. es considerado como un motor estándar y se puede aplicar en máquinas que necesiten una velocidad constante en plena carga. El motor puede ser arrancado a la tensión nominal. En este momento el motor puede desarrollar una torque de arranque entre 1.25 y 1.75 veces el torque nominal. La corriente de arranque esta entre 5 y 7 veces la corriente nominal. El deslizamiento a plena carga es menos del 5% porque la resistencia del devanado es baja. La regulación de velocidad está entre el 2% y 4%. En la construcción del motor las barras son colocadas cerca de la periferia del rotor con el fin de reducir la reactancia de dispersión. Este tipo de motores manejan cargas con bajos momentos de inercia

182

y posee altas aceleraciones. Se aplican típicamente en ventiladores, sopladores, bombas rotatorias.

- Diseño B, el motor bajo esta categoría es considerado como uno de propósito general y puede ser arrancado a tensión nominal. La resistencia del rotor de una máquina clase B es un poco más alta que la respectiva de la clase A, las barras son colocadas mas profundas en las ranuras que en los motores clase A. Por tal motivo la reactancia de dispersión es más alta y por tal razón el torque de arranque es un poco menor mientras que un aumento en la resistencia del rotor lo aumenta. Los dos cambios realizados anteriormente se compensan mutuamente de tal manera que el torque del motor clase A y clase B. la ganancia que se obtiene es que la corriente esta en 4.5 y 5.5 veces la corriente de carga. Al fin y al cabo los motores de clase A y clase B se remplazar entre si. La regulación de velocidad de un motor esta entre 3% y el 5 % .

- Diseño C, los motores clase c se fabrican con rotores de doble jaula y son diseñados a arrancarse a plena tensión. La jaula del rotor de alta resistencia limite la corriente de arranque 3.5 a 5 veces la corriente a plena carga. El torque de arranque esta entre 200% y 265% del torque a plena carga. la relación de velocidad esta entre el 4% y el 5% .este tipo de motor es usado en aplicaciones que requieren altos torques de arranque.

- Diseño D, el motor en esta categoría tiene una alta resistencia en el rotor de tal manera que puede desarrollar entre 250 y 300% del torque nominal. La alta resistencia en el rotor es creada por medio de aleaciones de alta resistencia para construcción de las barra del rotor además se reduce su sección transversal. Bajo diseño específico la corriente de arranque puede estar entre 3 y 8 veces la corriente nominal, la eficiencia de este tipo de motor es baja. La regulación de velocidad puede alcanzar el 10%.

- Diseño F, es también un motor de doble jaula este motor tiene un bajo torque en le momento de carga y toma la corriente de arranque mas baja de todos los motores. por otra parte el torque de arranque es 1.25 veces el torque nominal, mientras que la corriente de arranque esta entre 2 y 4 veces la corriente nominal. El regulación de velocidad esta sobre el 5%. Estos motores puede ser arrancados aplicando la tensión nominal. Estos motores son diseñados para remplazar los motores en la categoría clase B y son fabricados a tamaños superiores 25 hp.

- tiene un par de arranque normal pero tiene una corriente de arranque menor. Esta categoría tiene un deslizamiento en plana carga menor del 5%. Se aplican típicamente en ventiladores, sopladores, bombas rotatorias, ciertos transportadores, máquinas herramientas para cortar metales y maquinaria diversa.

- El diseño C tiene un par de arranque alto y una corriente de arranque relativamente pequeña; trabaja con deslizamiento bajo a potencia nominal. Esta los motores en esta categoría se aplican a máquinas que tengan una alto momento de inercia como: sopladores centrífugos grandes, volantes y tambores de trituración, arranque de bombas de embolo, compresores y transportadores.

- El diseño D, tiene un par de arranque alto y su corriente de arranque es pequeña, pero trabaja con un deslizamiento grande, cercan al 11% cuando trabaja a potencia nominal. Este tipo de motores se puede usar en máquinas que tengan un momento inicial grande y con cargas altas. Así como también para máquinas donde el par de arranque varía considerablemente a lo largo de un periodo de carga. Sus aplicaciones características son en prensas punzadoras, cizallas,

183

máquinas herramientas para conformar, grúas, malacates, montacargas, caballetes de bombeo en pozos petroleros.

- El diseño E, que no se encuentra, es un nuevo diseño NEMA para motores de gran eficiencia. El motor tiene una corriente de arranque grande.

5.15 Determinacion de los parametros de la maquina. A continuación se enumeran los pasos para determinar los parámetros del circuito equivalente de un motor de inducción de una forma práctica.

Obtención de la resistencia del estator. Para llevara a cabo este procedimiento se debe alimentar dos de sus fase con corriente continua como se muestra en la figura 5-17. Cuando haga los cálculos hay que tener cuidado con la conexión del estator.

Fig 5-17. Medición de la resistencia del estator.

En la figura 5-19 se puede ver que sucede con las conexiones del estator, estas pueden ser en Y o ∆ y hay que hacer las correcciones respectivas. Si se observa el circuito de la figura 5-18 se puede ver el circuito equivalente por fase, si se alimenta el estator de la máquina con corriente continua no hay transferencia de energía al rotor porque el rotor está quieto y no hay variación del flujo con respecto al tiempo. Adicionalmente la reactancia del estor es igual a cero porque la máquina se está alimentando con corriente continua, entonces el único parámetro que se mide es la resistencia del rotor. Hay que recordar que la reactancia de magnetización y la resistencia son ficticias y no aparecen con corriente continua porque no hay flujo variante en el tiempo.

Fig 5-18 Medición de la resistencia del estator.

Ahora hay que observar como fue la conexión del motor cuando se le hizo la prueba y esta puede ser en Y o ∆ como se muestra en la figura 5-19.

184

Fig 5-19 Conexión en ∆∆∆∆ o Y de una máquina de inducción.

Hay que recordar que para hacer la medición de la resistencia del rotor se debe aplicar una tensión reducida con el fin de calentar los devanados de la máquina. Medición de la impedancia de magnetización: para realizar esta medida se tiene que llevar la máquina a velocidad síncrona, esto se puede lograr por medio de un motor de corriente continua adicional, hay que recordar que la máquina asíncrona nunca gira a la velocidad de sincronismo. Los parámetros que se deben medir son potencia, tensión y corriente como se muestra en la figura 5-20.

Fig 5-20. Medición de la impedancia de magnetización.

En la figura 5-21 se puede observar como es el comportamiento del circuito equivalente y que es lo que se mide. Si la máquina se lleva a la velocidad nominal la

resistencia ∞=−

)1

(s

sRr lo que da la impresión de que el rotor no esté conectado, o

dicho de otra manera la corriente en el rotor es cero.

Fig 5-21 Medición de la impedancia de magnetización del rotor.

Como se puede ver la impedancia que se mide es la impedancia de magnetización, porque la impedancia del estator es muy pequeña en comparación con la impedancia de magnetización. Esta prueba se debe hacer a tensión nominal y se deben anotar la tensión entre línea Vca, corriente de línea Ica y potencia trifásica P; los cálculos para hallar la impedancia son:

185

Conexión en Y:

cacaIVS 3= 22

PSQ −=

( )P

VR ca

m

23/

= ;( )

Q

VX ca

m

23/

= Ecuación 5-54

Conexión en ∆:

cacaIVS 3=

22PSQ −=

( )P

VR ca

m

2

= ;( )

Q

VX ca

m

2

= Ecuación 5-55

Medición de las impedancias del rotor y estator. Para realizar esta prueba la máquina debe energizarse a tensión reducida, debe mantenerse el rotor bloqueado y hacer circular la corriente nominal de la máquina. Con esta medición se puede medir conjuntamente las impedancias del rotor y del estator. El montaje que se debe realizar aparece en la figura 5-22.

Fig 5-22. Prueba de rotor bloqueado.

En esta prueba se deben tomar la potencia trifásica Prb, corriente de línea Irb, y la tensión de línea Vrb. Como se pude ver en el circuito de la figura 5-23 si se tiene el rotor bloqueado el deslizamiento del rotor ηr es cero, el deslizamiento se convierte en s=1 y por ende la resistencia del rotor. Como la impedancia de magnetización es muy grande comparada con la de magnetización se puede considerar que por esta última no circula corriente y la impedancia que se mide es la del rotor más la del estator.

186

Fig 5-23. Análisis de la prueba de rotor bloqueado.

La impedancia del rotor junto con el estator se pueden calcular como:

f

f

srtI

VZZZ =+=

Para una conexión en Y Vf=Vrb/1.732, If=Irb Para una conexión en ∆ Vf=Vrb,If=Irb/1.732 El ángulo de la impedancia se puede calcular como:

)3

(cos 1

rbrb

rb

VI

P−=θ

La resistencia total se puede calcular como: )cos(θtt ZR =

La resistencia del rotor ya se midió con la prueba de corriente continua.

str RRR −=

La reactancia total del rotor y estator se puede calcular como: )(θsenZX tt =

La reactancia del estator y del rotor se pude considerar la mitad en el rotor y la mitad en el estator:

2t

rs

XXX ==

5.16 Criterios de funcionamiento de los motores de inducción. El funcionamiento de un motor de inducción puede caracterizarse por los siguientes criterios principales:

1) Eficiencia 2) Factor de potencia 3) Par de arranque 4) Corriente en el arranque 5) Para máximo

En las consideraciones de diseño, deberán incluirse las perdidas por calentamiento a causa de I

2R, las perdidas en el núcleo, y el medio de disipación del calor. No esta

dentro del alcance de este libro presentar una discusión detallada sobre los efectos de los cambios en el diseño y, por consiguiente, de las variaciones de los parámetros sobre cada una de las características del funcionamiento. Aquí resumiremos los resultados como tendencias. Por ejemplo, la eficiencia de un motor de inducción es aproximadamente proporcional a (1-s). Así pues, el motor será mas compatible con una carga que gire con el deslizamiento mas bajo. A causa de que la eficiencia depende claramente de las perdidas, I

2R, R’r y Rs deben ser pequeñas. Pero esto impone un

187

requerimiento en conflicto con la corriente bajo carga (I’r) porque el par depende del producto de B e I’r. En otras palabras, un intento para disminuir las pérdidas en el núcleo más allá de un cierto límite dará como resultado un aumento en las perdidas I2

R para una carga dada. A partir de los circuitos equivalentes puede verse que es posible mejorar el factor de potencia al disminuir las reactancias de perdida y aumentar la reactancia magnetizante. Sin embargo, no es recomendable reducir las reactancias de dispersión a un mínimo, puesto que la corriente de arranque del motor esta esencialmente limitada por estas reactancias. De nuevo, notamos las condiciones en conflicto para un factor de potencia elevado y una corriente de arranque reducida. Así mismo, el par máximo será más elevado cuando las reactancias de perdida sean mas bajas.

5.17 El punto nominal. La corriente nominal de una máquina está determinada por la clase de aislamiento de sus bobinas, las pérdidas generadas por esta corriente, y el sistema de refrigeración encargado de disipar al medio ambiente estas pérdidas. Los materiales aislantes que recubren los conductores de las bobinas se degradan más rápidamente en relación directa con la temperatura, a este fenómeno se lo conoce como envejecimiento. El calor generado por pérdidas resistivas en los conductores crece con el cuadrado de la corriente que circula por las bobinas. La temperatura en el interior de la máquina, y más concretamente en el aislamiento de las bobinas, está determinado por la capacidad de la máquina para transmitir el calor al medio ambiente. Esta capacidad se conoce como impedancia térmica y depende de la geometría de la máquina, de los materiales y del sistema de enfriamiento. La corriente nominal por lo tanto, es aquella corriente que al circular por las bobinas, produce pérdidas que incrementan la temperatura interior de la máquina hasta el valor máximo. Con el valor máximo de la temperatura interior, el envejecimiento del material del aislamiento es tan lento que permite alcanzar a la máquina su período de vida útil, sin que se produzcan fallas en el mismo.

5.18 Perdidadas en las máquinas de inducción. Pérdidas por fricción y ventilación. Esta prueba se debe realizar con el motor desenergizado y la máquina se debe mover con un motor auxiliar a la velocidad de sincronismo. Para hacer la prueba debe medirse primero las pérdidas de la máquina auxiliar girando a la velocidad de sincronismo, en lo preferible se puede hacer con una máquina de c.c de excitación independiente como se muestra en la figura 5-24 y se pueden calcular como

VIP =0 . Ecuación 5-56

188

Fig 5-24. Determinación de las pérdidas de una máquina auxiliar.

Ahora, se debe acoplar la máquina de c.c al motor de inducción, se debe llevar el conjunto a la velocidad de sincronismo, tomar los datos de tensión y corriente de la máquina de d.c. del conjunto con VIP =1 y ahora se pueden calcular las pérdidas de la máquina de inducción como:

01 PPPfv −= Ecuación 5-57

Fig 5-25. Determinación de las pérdidas por fricción y ventilación de la máquina asíncrona.

Pérdidas en el núcleo: esta prueba determina las pérdidas que se presentan en el núcleo debidas a las corrientes parásitas y los ciclos de histéresis. Para hacer estas mediciones la máquina de inducción debe ser conectada a la red y debe girar a la velocidad de sincronismo. Como se muestra en la figura 5-26.

Fig 5-26. Determinación de las pérdidas en el núcleo de la máquina de inducción.

Pedidas en el cobre del estator: estas son las pérdidas en el cobre presentadas en el cobre del estator y se pueden calcular por medio de:

sscus RIP2= Ecuación 5-58

Donde: Is es la corriente medida o calculada por fase. Rs es la resistencia por fase de la máquina.

189

Pérdidas en el cobre en el rotor: las pérdidas en el cobre del rotor PCUR incluyendo el contacto en las escobillas para un motor de rotor devanado y puede ser determinado desde el deslizamiento en por unidad por medio de:

sPPPP NcusinCUR )( −−= Ecuación 5-59

Cuando la máquina funciona como generador: sPPPP NcusoutCUR )( −−= Ecuación 5-60

5.19 Eficiencia de los motores de induccion. La eficiencia de cualquier proceso mecánico está adquiriendo bastante importancia conforme el costo relativo de energía continúa ascendiendo. Los motores de inducción obedecen también estos principios que cualquier otro dispositivo. La eficiencia representa la relación entre la potencia en la salida dividida sobre la potencia de entrada y se puede expresar en al ecuación:

100*%in

in

P

perdidasPE

∑−= Ecuación 5-61

Se emplean dos métodos para determinar la eficiencia en las máquinas de inducción, y esto depende de si el motor se puede cargar plenamente o si se debe usar con una simulación de carga.

5.20 Eficiencia a partir de pruebas sin carga y con el rotor bloqueado.

Un motor de inducción está relacionado de muchas maneras con un transformador. Como consecuencia, la prueba en circuito abierto y con rotor bloqueado son bastante aplicables. La prueba sin carga proporciona las pérdidas mecánicas y magnéticas. Como ya se mencionó, las pérdidas en el cobre del estator no son despreciables porque hay corrientes de línea despreciables incluso cuando se trabaja con carga ligera o nula. La ecuación aplicable para los motores trifásicos se puede expresar como:

ssLLrot RIIVP 23)cos(3 −= θ

Y también

∑ = )cos(3 θLLIVP Ecuación 5-62

Esta situación se cumple porque el rotor sin carga trabaja a un deslizamiento muy pequeño y por tanto percibe voltaje, una corriente y unas pérdidas en el cobre significativamente pequeñas. La prueba con rotor bloqueado, proporciona los parámetros reflejados del rotor. La energía total demandada por el motor a una tensión reducida durante esta prueba se disipa en las pérdidas en el cobre del estator y del rotor. El voltaje es bajo y las pérdidas en el núcleo son pequeñas, puesto que solo circula una pequeña parte del flujo magnético básico. Con esta prueba se puede medir la resistencia equivalente por fase del estator más la del rotor reflejada al estator.

23 br

bres

I

PR = Ecuación 5-63

190

Puesto que esta relación se cumple sin que importe si el estator está conectado en estrella o en delta, o si el rotor es de jaula de ardilla o devanado, es decir, se puede usar de forma universal. El procedimiento para determinar la eficiencia es el siguiente: Pruebas de rotor bloqueado: tomar los valores de corriente Irb, tensión Vrb y potencia Prb. Hay que recordar que la prueba se debe hacer a tensión reducida y hacer circular la corriente nominal por el estator.

Fig 5-27. Prueba de rotor bloqueado.

Tomar la prueba sin carga: tomar los valores de corriente Iv, tensión Vv y potencia Pv. Hay que recordar que la prueba se debe realizar con el motor energizado a tensión y frecuencia nominal y el rotor no debe tener carga.

Fig 5-28. Prueba sin carga.

Medición de la resistencia del estator: esta resistencia se debe hacer por medio de la prueba de corriente continua, se deben tomar los datos de corriente Icc y tensión Vcc. La

resistencia del medida se calcula como: cc

ccm

I

VR = y la resistencia en el estator se calcula

como:

Conexión delta 2

3 ms

RR = conexión Y

2m

s

RR =

Fig 5-29. Medición de la resistencia del estator.

191

Hallar las pérdidas por rotación: estas pérdidas se pueden calcular a partir de la prueba de en vacío como:

svvrot RIPP23−= 5-64

Hallar la eficiencia con la carga estipulada: para hallar la eficiencia con una carga deseada, se debe colocar la carga y tomar los valores de tensión Vc, corriente Ic y potencia Wc. a partir de los datos se pueden calcular las pérdidas en el cobre:

sccuc RIP23=

La eficiencia se puede determinar como:

100*100*%in

cucrotc

in

in

P

PPW

P

perdidasPE

−−=

−= ∑

Ecuación 5-65

5.21 Arranque de los motores de induccion La mayoría de los motores de inducción, grandes o pequeños, son lo suficientemente fuertes como para que puedan ser arrancados directamente de la línea sin incurrir daño alguno a los devanados del motor aunque, cuando este está parado. La corriente de arranque suele ser de alrededor de cinco a siete veces la corriente nominal. Sin embargo, en los motores de inducción grandes, las corrientes de arranque elevadas son objetables en dos aspectos. Primero, la fuente que suministra energía eléctrica al motor de inducción pudiera no ser de una capacidad lo suficientemente grande. Segundo, porque con una corriente de arranque grande, la caída de voltaje en la línea puede ser excesiva, resultando en un voltaje reducido para el motor debido a las caía de tensión que aparecen en la línea. Debido que el par varia según el cuadrado del voltaje, el par de arranque puede resultar tan pequeño, con el voltaje de línea reducido, que el motor no pudiera arrancar bajo carga. Así pues, formulados los requerimientos básicos para el arranque: la corriente de la línea debería ser limitada por la capacidad de la fuente, pero solo hasta el punto en que el motor pueda desarrollar par suficiente para el arranque (bajo carga, si fuera el caso).

5.22 Arranque a plena tensión. Este arranque es el más sencillo de todos, consiste en conectar las tres fases a la red, alimentar a tensión y frecuencia nominales. Al conectarse a la red el deslizamiento del motor es el más alto, la impedancia del rotor reflejada en el estator es baja y por consiguiente hay una corriente alta en este momento, esta corriente está entre 5 y 8 veces la corriente nominal con un factor de potencia muy bajo (cercano a 0.6 en atraso) lo que implica que la potencia activa desarrollada por el motor es baja y por ende el torque también lo es, este puede estar entre 0.5 y 1.5 veces el torque nominal dependiendo de la clase del motor. En la figura 29 se puede ver el comportamiento de los dos parámetros del motor.

192

Fig 5-30. Comportamiento de la corriente y torque del motor de inducción a plena tensión.

Como se sabe la velocidad del rotor wr al momento de arrancar es igual a cero y por consiguiente el deslizamiento queda como:

1=−

=s

rs

w

wws

De acuerdo a esto, el circuito equivalente queda como:

Fig 5-31. Circuito equivalente para hacer el cálculo de la corriente de arranque a plena tensión.

Si se analiza el circuito equivalente se puede decir que la corriente de arranque se puede calcular usando la malla externa del circuito equivalente y queda:

)()(1

rsrs

arrXXjRR

VI

+++= Ecuación 5-66

El torque en el momento del arranque se puede calcular como:

])()[(

322

2

srrss

srarr

XXRRw

VR

+++=τ Ecuación 5-67

El comportamiento de la corriente y el torque se pueden graficar en al figura 5-29. Cuando usar arranque a plena tensión:

– la potencia del motor es débil con respecto a la de la red, para limitar las perturbaciones que provoca la corriente solicitada.

– la máquina accionada no requiere un aumento progresivo de velocidad y dispone de un dispositivo mecánico (por ejemplo, un reductor) que impide el arranque brusco.

– el par de arranque debe ser elevado. Cuando no usar arranque a plena tensión:

– la caída de tensión provocada por la corriente solicitada pueda perturbar el buen funcionamiento de otros aparatos conectados a la misma línea.

– la máquina accionada no pueda admitir sacudidas mecánicas. – la seguridad o la comodidad de los usuarios se vea comprometida (por ejemplo,

en el caso de las escaleras mecánicas), será imprescindible recurrir a una

193

artimaña para disminuir la corriente solicitada o el par de arranque. En estos casos, el medio más utilizado consiste en arrancar el motor bajo tensión reducida.

5.23 Arranque con resistencias en serie con la red. Consiste en limitar las corrientes de arranque colocando unas resistencias en serie con la red como se muestra en la figura 31, cuando el motor haya adquirido una velocidad próxima a la de régimen estas deben cortocircuitarse para que el motor desarrolle su potencia nominal; las potencias de pérdidas que se disipan en las resistencias son altas. Al arrancar el motor por este método se tiene una reducción de la corriente y del par en el momento de arranque; por tal razón se debe escoger de forma rigurosa el valor de las resistencias, las resistencias son de unos pocos ohmios y de gran potencia, lo que hace más difícil la consecución de estos elementos. Adicionalmente, las resistencias disipan bastante calor, exigiendo que para cierto tamaño de los motores se haga necesario construir grandes salas con buena ventilación para alojarlas. Una alternativa que se puede implementar es cambiar las resistencias por reactancias (bobinas) reduciendo el tamaño de las instalaciones y las especificaciones en cuanto a ventilación, pero con las reactancias se disminuye el factor de potencia pudiendo incurrir en multas por consumos excesivos de reactivos.

Fig 5-32 Arranque con resistencias en serie con la armadura.

Para que el arranque funcione adecuadamente se debe cerrar el interruptor S1y un tiempo después se debe cerrar S2 con el fin de poderle sacar la máxima potencia la motor de inducción. Este tipo de arranque se puede implementar a cualquier tipo de motor de inducción que tenga 3, 6, 9 o 12 terminales. Para motores grandes es necesario hacer el arranque con varias resistencias.

Fig 5-33. Comportamiento del motor ante un arranque con resistencias en serie.

194

El circuito equivalente del motor se puede reemplazar por el mostrado en la figura 5.

Fig 5-34 Circuito equivalente del motor de inducción con resistencias de arranque en serie con el

estator. La resistencia de arranque se puede calcular por:

221 )()( rsrs

arr

arr XXRRI

VR +++−= Ecuación 5-68

Donde la Iarr se debe estipular en el momento del arranque y depende de las características que tenga la carga, en general Iarr=NIn donde 1<N<3. El torque en el momento del arranque se puede calcular como:

])()[(

322

2

srrsarrs

srarr

XXRRRw

VR

++++=τ Ecuación 5-69

El comportamiento de la corriente y el torque se pueden graficar en al figura 5-33. Durante la fase de aceleración con las resistencias, la tensión que se aplica a los bornes del motor no es constante. Equivale a la tensión de la red menos la caída de tensión que tiene lugar en la resistencia de arranque. La caída de tensión es proporcional a la corriente absorbida por el motor. Dado que la corriente disminuye a medida que se acelera el motor, sucede lo mismo con la caída de tensión de la resistencia. Por tanto, la tensión que se aplica a las bornes del motor es mínima en el momento del arranque y aumenta progresivamente. Dado que el par es proporcional al cuadrado de la tensión en bornes del motor, este aumenta más rápidamente que en el caso del arranque estrella-triángulo, en el que la tensión permanece invariable mientras dura el acoplamiento en estrella. Este tipo de arranque es, por tanto, apropiado para las máquinas cuyo par resistente crece con la velocidad, por ejemplo los ventiladores. Su inconveniente consiste en que la punta de corriente es relativamente importante durante el arranque. Sería posible reducirla mediante el aumento del valor de la resistencia, pero esta medida conllevaría una caída de tensión adicional en las bornes del motor y, por tanto, una considerable reducción del par de arranque. Por el contrario, la eliminación de la resistencia al finalizar el arranque se lleva a cabo sin interrumpir la alimentación del motor y, por tanto, sin fenómenos transitorios.

5.24 Arranques a tensión reducida. Consiste en reducirle la tensión en el momento del arranque. Con esto se reduce notablemente la corriente, pero también se reduce el torque que el motor puede desarrollar. Una reducción del 60% del voltaje nominal ocasiona una reducción al 36% de los valores de par y la corriente de arranque se reduce en un 60%. Una reducción del

195

70% de la tensión nominal reduce la corriente de arranque en un 70% y el par se reduce al 49%. Para llevar a cabo el arranque se ha dibujado el circuito de potencia en la figura 34 y los pasos as seguir son: se debe cerrar la cuchilla S1 para alimentar el transformador, y se le debe aplicar tensión reducida al motor (la cuchilla S2 debe estar conectada a baja tensión). Una vez el motor tenga la suficiente velocidad se debe energizar a su tensión nominal colocando la cuchilla S2 a la tensión de la red. Este arranque al igual que el anterior se puede usar para cualquier tipo de motor, sólo hay que conectarle los tres terminales del estator.

Fig 5-35 Arranque a tensión reducida.

En la figura 5-35 se puede observar el comportamiento de un motor que se arranca a una tensión igual a la mitad de la nominal. El motor se debe arrancar a la mitad de la tensión, la corriente de arranque también se reduce a la mitad. En el momento del cambio de tensión se produce un pico en la corriente por el cambio de tensión; pero este pico no es problemático porque es de corta duración, siempre se debe dejar que el motor adquiera una buena velocidad. Si no se deja alcanzar una buena velocidad el pico va a ser fuerte y prácticamente se perdería todo el equipo. Se supone que a mayor número de taps del transformador, el arranque va a ser más suave y los picos se pueden controlar mejor. Este tipo de arranque se puede usar para motores mayores de 100hp.

Fig 5-36. Comportamiento del motor ante un arranque a tensión reducida.

La tensión que se debe aplicar en el momento del arranque se puede calcular por medio de:

22 )()( rsrsarrarr XXRRIV +++= Ecuación 5-70

Donde la Iarr se debe estipular en el momento del arranque y depende de las características que tenga la carga, en general Iarr=NIn donde 1<N<3.

196

El torque en el momento del arranque se puede calcular como:

])()[(

322

2

srrss

arrrarr

XXRRw

VR

+++=τ Ecuación 5-71

El comportamiento de la corriente y el torque se pueden graficar en al figura 5-35.

5.25 Arranque estrella triángulo. Este tipo de arranque se puede practicar sólo en motores que tengan 6 bornes. Al arrancar el motor el estator se debe conectar en Y, energizando conectando la cuchilla S2 en Y; la tensión que aparece en los devanados del estator es la tensión de línea, la corriente se reduce a un tercio de la corriente de arranque con respecto a la conexión en delta, el torque también se reduce a una tercera parte. Después de un tiempo se debe hacer el cambio a delta, cambiar de posición la cuchilla S2, para que el motor pueda desarrollar su par nominal.

Fig 5-37 Arranque estrella triángulo.

La corriente de arranque se reduce en términos de Id = 1,5 a 2,6 In lo que mejora el desempeño de las instalaciones y el torque puede considerarse como τd = 0,2 a 0,5 τn. Por tal razón se recomienda arrancar primero el motor y luego acoplar la carga. La velocidad del motor se estabiliza cuando se equilibran el par del motor y el par resistente, normalmente entre el 75 y 85% de la velocidad nominal. En ese momento, los devanados se acoplan en triángulo y el motor rinde según sus características naturales. Un temporizador se encarga de controlar la transición del acoplamiento en estrella y el acoplamiento en triángulo. El cambio de la cuchilla S2 (conexión a triángulo) se produce con un retardo de 30 a 50 milisegundos tras el arranque de la máquina.

Fig 5-38 Comportamiento del motor ante un arranque Y-∆∆∆∆.

197

Si se hace un cambio prematuro entre la Y y la delta se puede perder el esfuerzo, ya que el pico de corriente es alto y no protege al motor como se puede ver en la figura 37 izquierda. La corriente en el momento del arranque se puede calcular como:

)()(

3/1

rsrs

arrXXjRR

VI

+++= Ecuación 5-72

El torque en el momento del arranque se puede calcular como:

])()[(

)3/(322

21

srrss

rarr

XXRRw

VR

+++=τ Ecuación 5-73

5.26 Arranque con devanados parciales.

Este tipo de arranque se puede implementar sólo en motores de doce o de nueve bornes y además el motor debe estar trabajando a la tensión más baja. El arranque consiste en energizar sólo la mitad del devanado del estator por medio de 1M y después que el motor haya alcanzado la velocidad de régimen se debe energizar la otra mitad para que el motor pueda desarrollar la potencia nominal; esto se logra energizando 2M. Al realizar este tipo de arranque, el motor toma 65% de la corriente nominal y el torque de arranque se reduce a un 45%.

Fig 5-39 Arranque con devanados parciales.

Este tipo de motor está dotado de un devanado estatórico desdoblado en dos devanados paralelos con nueve o doce bornes de salida. Equivale a dos “medios motores” de igual potencia. Durante el arranque, un solo “medio motor” se acopla en directo a plena tensión a la red, lo que divide aproximadamente por dos tanto la corriente de arranque como el par. No obstante, el par es superior al que proporcionaría el arranque estrella-triángulo de un motor de jaula de igual potencia. Al finalizar el arranque, el segundo devanado se acopla a la red. En ese momento, la punta de corriente es débil y de corta duración, ya que el motor no se ha separado de la red de alimentación y su deslizamiento ha pasado a ser débil. Este sistema, es poco utilizado en Europa, es muy frecuente en el mercado norteamericano.

198

Fig 5-40. Comportamiento del motor con arranque con devanados parciales.

La corriente en el momento del arranque se puede calcular como:

)]()[(21

rsrs

arrXXjRR

VI

+++= Ecuación 5-74

El torque en el momento del arranque se puede calcular como:

])()[(2

322

21

srrss

rarr

XXRRw

VR

+++=τ Ecuación 5-75

5.27 Arranque electrónico (soft starter):

La alimentación del motor durante el arranque se realiza mediante una subida progresiva de la tensión, lo que posibilita un arranque sin sacudidas y reduce la punta de corriente. Para obtener este resultado, se utiliza un graduador de tiristores montados en contraposición y se usan dos por 2 en cada fase. La subida progresiva de la tensión de salida puede controlarse por medio de la rampa de aceleración, que depende del valor de la corriente de limitación, o vincularse a ambos parámetros. Garantiza:

– el control de las características de funcionamiento, principalmente durante los períodos de arranque y parada.

– la protección térmica del motor y del arrancador. – la protección mecánica de la máquina accionada, mediante la supresión de las

sacudidas de par y la reducción de la corriente solicitada.

La corriente puede regularse de 2 a 5 In, lo que proporciona un par de arranque regulable entre el 10% y el 70% del par de arranque en directo. Permite arrancar todo tipo de motores asíncronos. Puede cortocircuitarse para arrancar por medio de un contactor y mantener al mismo tiempo el dominio del circuito de control. A todo ello hay que añadir la posibilidad de: – desaceleración progresiva, – parada o frenada.

199

Fig 5-41. Principio de funcionamiento del arrancador suave.

El principio de funcionamiento consiste en ir aumentado paulatinamente la tensión aplicada al estator de la máquina, en un primer instante el ángulo de conducción de los tiristores es pequeño (pequeña tensión) y a medida que el motor adquiere velocidad el arrancador va aumentando el ángulo de disparo (aumenta la tensión aplicada) hasta llegar a la tensión nominal. En pocas palabras este tipo de arranque es semejante al arranque por tensión reducida, solo que sin transformador. Este tipo de arranque tiene un costo menor al uso de arranque con auto transformador y sus usos son más versátiles. Para arrancar el motor se debe programar el tiempo de aceleración o la corriente máxima de arranque y el arrancador ejecuta la pendiente de arranque sin que la corriente nunca sobrepase los límites establecidos. Hay que recordar la reducción alta del torque de arranque.

5.28 Arranque por resistencias rotóricas en los motores de anillos rozantes.

Un motor de anillos no puede arrancar en directo (devanados rotóricos cortocircuitados) sin provocar puntas de corriente inadmisibles. Es necesario insertar en el circuito rotórico resistencias que se cortocircuiten progresivamente, al tiempo que se alimenta el estator a plena tensión.

Fig 5-42 Arranque con resistencias en el rotor.

El cálculo de la resistencia insertada en cada fase permite determinar con rigor la curva de par-velocidad resultante: para un par dado, la velocidad es menor cuanto mayor sea la resistencia. Como resultado, la resistencia debe insertarse por completo en el

200

momento del arranque y la plena velocidad se alcanza cuando la resistencia está completamente cortocircuitada. La corriente absorbida es prácticamente proporcional al par que se suministra. Como máximo, es ligeramente superior a este valor teórico.

Correspondiente a un par de arranque de 2 τn es aproximadamente de 2 In. Por tanto, la punta es considerablemente más débil, y el par máximo de arranque más elevado, que en el caso de un motor de jaula, en el que el valor normal se sitúa en torno a 6 In para

1,5 τn. El motor de anillos con arranque rotórico se impone, por tanto, en todos los casos en los que las puntas de corriente deben ser débiles y cuando las máquinas deben arrancar a plena carga. Por lo demás, este tipo de arranque es sumamente flexible, ya que resulta fácil adaptar el número y el aspecto de las curvas que representan los tiempos sucesivos a los requisitos mecánicos o eléctricos (par resistente, valor de aceleración, punta máxima de corriente, etc.).

5.29 Control de velocidad de los motores de inducción.

Durante mucho tiempo, las posibilidades de regulación de la velocidad de los motores asíncronos han sido muy escasas. En la mayoría de los casos, los motores de jaula se utilizaban a su velocidad nominal. Los únicos motores que disponían de varias velocidades fijas eran los de acoplamiento de polos y los de devanados separados, que todavía se emplean de manera habitual. Actualmente, los convertidores de frecuencia permiten controlar a velocidad variable los motores de jaula. De este modo, pueden utilizarse en aplicaciones que, hasta hace poco, quedaban reservadas para los motores de corriente continua. Velocidad de sincronización: La velocidad de sincronización de los motores asíncronos trifásicos es proporcional a la frecuencia de la corriente de alimentación e inversamente proporcional al número de pares de polos que constituyen el estator.

p

f120=η

N: velocidad de sincronización en r.p.m. f: frecuencia en Hz p: número de pares de polos. La siguiente tabla contiene la velocidad de rotación del campo giratorio, o velocidad de sincronización, correspondiente a las frecuencias industriales de 50 Hz y 60 Hz y a la frecuencia de 100 Hz, en base al número de polos. La velocidad de un motor de jaula, según se ha descrito anteriormente, depende de la frecuencia de la red de alimentación y del número de pares de polos. Por consiguiente, es posible obtener un motor de dos o varias velocidades mediante la creación de combinaciones de bobinados en el estator que correspondan a distintos números de polos.

201

numero Velocidad de rotacion [rpm] polos 50 Hz 60Hz

2 3000 3600 4 1500 1800 6 1000 1200 8 750 900 10 600 720 12 500 600 14 375 450

Motores de acomplamiento de polos: Este tipo de motores sólo permite relaciones de velocidad de 1 a 2 (4 y 8 polos, 6 y 12 polos, etc.). Consta de seis bornes. Dependiendo de sus características, los motores pueden ser de potencia constante, par constante o par y potencia variables. Para una de las velocidades, la red se conecta a las tres bornes correspondientes. Para la segunda, dichos bornes están conectados entre sí y la red se conecta a los otros tres bornes. Normalmente el arranque se realiza de manera directa, tanto para alta como para baja velocidad. En ciertos casos, si las condiciones de uso lo requieren y el motor lo permite, el dispositivo de arranque pasa automáticamente a baja velocidad antes de activar la alta velocidad o antes de la parada. Dependiendo de las corrientes absorbidas durante los acoplamientos a Baja Velocidad o Alta Velocidad, uno o dos relés térmicos pueden encargarse de la protección. Generalmente, el rendimiento de este tipo de motores es poco elevado y su factor de potencia es bastante débil. Cuando es necesario que varios motores de este tipo funcionen de manera conjunta, no se recomienda su conexión en paralelo. De hecho, aunque los motores sean de idéntica potencia y fabricación, se producen circulaciones de corriente que los relés de protección no pueden asimilar correctamente. Motores de devanados estatóricos separados: Estos motores, que constan de dos devanados estatóricos eléctricamente independientes, permiten obtener cualquier relación de dos velocidades. Dado que los devanados Baja Velocidad deben soportar las restricciones mecánicas y eléctricas derivadas del funcionamiento del motor a Alta Velocidad, sus características eléctricas dependen de ello. En ocasiones, un determinado motor funcionando a Baja Velocidad puede absorber una corriente superior que cuando lo hace a Alta Velocidad. También es posible obtener motores de tres o cuatro velocidades mediante el acoplamiento de los polos en uno de los devanados estatóricos o en ambos. Esta solución requiere que los bobinados dispongan de tomas adicionales.

202

Fig 5-43. Regulación de velocidad por medio de dos devanados separados.

5.30 Regulación de velocidad en los motores de anillos.

Regulación de velocidad por deslizamiento: La conexión de una resistencia permanente en los terminales del rotor de un motor de anillos reduce su velocidad de manera proporcional al valor de la resistencia. Se trata de una solución sencilla para alterar la velocidad. Las resistencias “de deslizamiento” pueden cortocircuitarse en varias posiciones para obtener una regulación discontinua de la velocidad o la aceleración progresiva y el arranque completo del motor. Deben soportar la duración del funcionamiento, especialmente cuando su función consiste en hacer variar la velocidad. Por este motivo, su volumen al igual que su coste, puede ser considerable. Este proceso es sumamente simple y se utiliza con frecuencia. No obstante, conlleva dos inconvenientes importantes: - durante la marcha a velocidad reducida, gran parte de la energía tomada de la red se disipa y se pierde en las resistencias. - la velocidad que se obtiene no es independiente de la carga, pero varía con el par resistente que se le aplica al eje del motor. Para una resistencia dada, el deslizamiento es proporcional al par. Por ejemplo, la bajada de velocidad que se obtiene mediante una resistencia puede ser del 50% a plena carga y sólo del 25% a media carga, mientras que la velocidad en vacío permanece prácticamente invariable. Si un operador vigila permanentemente la máquina, puede modificar bajo pedido el valor de la resistencia para establecer la velocidad de una zona determinada. Esta práctica funciona en el caso de los pares relativamente importantes, pero la regulación resulta prácticamente imposible en el caso de los pares débiles. De hecho, si se inserta una resistencia muy fuerte para obtener un punto “velocidad débil a par débil”, la menor variación del par resistente hace aumentar la velocidad de cero a cerca del 100%. Esta característica es muy inestable. En el caso de las máquinas con variación particular del par resistente en función de la velocidad, el ajuste puede ser igualmente imposible.

Fig 5-44 regulación de velocidad por anillos rozantes.

203

SISTEMAS DE VARIACIÓN DE VELOCIDAD.

5.31 Variación de velocidad por medio del convertidor de frecuencia

Principio: El objetivo del convertidor de frecuencia consiste en alimentar los motores asíncronos trifásicos de jaula. Se basa en un principio similar a la técnica MLI (1) que garantiza la rotación regular y libre de sacudidas de las máquinas, incluso a baja velocidad, gracias a una forma de corriente de salida muy próxima a la senoidal. Descripción del funcionamiento: El puente rectificador y los condensadores de filtrado convierten la tensión alterna monofásica o trifásica de la red en tensión continua. En la siguiente etapa, un puente ondulador de transistores conmuta la tensión continua para generar una serie de impulsos de ancho variable. El ajuste del ancho de los impulsos y de su repetición permite regular la tensión y la frecuencia de alimentación del motor para mantener una relación V/f (tensión/frecuencia) constante y, por tanto, el flujo deseado en el motor. La inductancia del motor realiza el alisado de la corriente (consulte el esquema inferior).

Fig 5-45. Partes del convertidor de frecuencia.

El control de la modulación se lleva a cabo por medio de un microprocesador y un ASIC (2). La modulación depende de las tensiones y las frecuencias, por tanto, de las velocidades solicitadas en la salida. Los convertidores de frecuencia son muy fáciles de utilizar para alimentar un motor de jaula estándar. El par que se obtiene permite accionar todo tipo de máquinas, incluyendo las de fuerte par resistente. En caso de par de arrastre, existe una opción que permite el funcionamiento en los cuatro cuadrantes. El convertidor de frecuencia hace posible que el motor funcione en ambos sentidos de la marcha y permite la opción de frenado. La frecuencia de salida puede ser superior a la de alimentación. El variador también se utiliza como arrancador o freno para la puesta en marcha y la parada progresiva adaptada a una rampa. Integra la protección térmica del motor y la protección contra cortocircuitos. El diálogo con el operador se simplifica gracias a los diodos LED, visualizadores de 7 segmentos, y consolas de puesta en servicio y la posibilidad de interconexión con un ordenador del tipo PC. El diálogo con los automatismos puede realizarse por medio de un enlace serie o de un bus multipunto.

204

Fig 5-46. Comportamiento del motor con arrancador electrónico.

5.32 Variación de velocidad por medio del variador de tensión Esta solución tiende a desaparecer como resultado de los avances conseguidos por los convertidores de frecuencia. El par que suministra un motor asíncrono es proporcional al cuadrado de la tensión de alimentación. El principio de funcionamiento consiste en reducir el par resistente a la velocidad deseada. La modulación de tensión se obtiene mediante la variación del ángulo de encendido de dos tiristores montados en oposición en cada fase del motor.

Fig 5-47. Regulación de tensión por medio de tensión.

Este sistema de variadores de tensión se utiliza principalmente para variar la velocidad de los pequeños ventiladores. Durante el deslizamiento del motor, las pérdidas en el rotor son proporcionales al par resistente e inversamente proporcionales a la velocidad. Por tanto, el motor debe tener capacidad para disipar estas pérdidas y no debe presentar puntos de inflexión que desestabilizarían la velocidad. Normalmente, los pequeños motores de hasta 3 kW cumplen estas condiciones. Además, hace falta un motor de jaula resistente, motoventilado en caso de que trabaje a baja velocidad. Es posible utilizar este variador como arrancador para las máquinas con pares resistentes débiles.

Fig 5-48. Variación de velocidad por medio de la tensión de armadura.

205

Regulación de velocidad por deslizamiento: La conexión de una resistencia permanente en los bornes de un motor de anillos reduce su velocidad de manera proporcional al valor de la resistencia. Se trata de una solución sencilla para alterar la velocidad. Las resistencias “de deslizamiento” pueden cortocircuitarse en varias posiciones para obtener la regulación discontinua de la velocidad o la aceleración progresiva y el arranque completo del motor.

Fig 5-49. Regulación de velocidad por deslizamiento.

Deben soportar la duración del funcionamiento, especialmente cuando su función consiste en hacer variar la velocidad. Por este motivo, su volumen al igual que su coste, puede ser considerable. Este proceso es sumamente simple y se utiliza con frecuencia. No obstante, conlleva dos inconvenientes importantes: – durante la marcha a velocidad reducida, gran parte de la energía tomada de la red se disipa y se pierde en las resistencias. – la velocidad que se obtiene no es independiente de la carga pero varía con el par resistente que aplica la máquina al eje del motor. Para una resistencia dada, el deslizamiento es proporcional al par. Por ejemplo, la bajada de velocidad que se obtiene mediante una resistencia puede ser del 50% a plena carga y sólo del 25% a media carga, mientras que la velocidad en vacío permanece prácticamente invariable.

Fig 5-50. Control de velocidad por deslizamiento.

Si un operador vigila permanentemente la máquina, puede modificar bajo pedido el valor de la resistencia para establecer la velocidad de una zona determinada. Esta práctica funciona en el caso de los pares relativamente importantes, pero la regulación resulta prácticamente imposible en el caso de los pares débiles. De hecho, si se inserta una resistencia muy fuerte para obtener un punto “velocidad débil a par débil”, la menor variación del par resistente hace aumentar la velocidad de cero a cerca del 100%. Esta característica es muy inestable. En el caso de las máquinas con variación particular del par resistente en función de la velocidad, el ajuste puede ser igualmente imposible.

206

5.33 Frenado de los motores de inducción. Como se sabe de antemano, los frenados eléctricos de los motores sirven para reducir la velocidad y no para mantener el eje del rotor quieto. Para frenar el motor de inducción se pueden tener tres formas, a saber: Frenado natural: es el frenado más simple, económico y sencillo que existe y consiste en dejar que la energía cinética almacenada en el rotor se invierta en otro tipo de energía. Es decir, se deja que el rotor se pare por sí sólo. Este es el más económico, ya que no necesita contactores ni energías adicionales en ese momento. Además no expone al motor a cargas adicionales. Para realizar este tipo de frenado simplemente se debe quitar la energía (desconectar las tres fases de alimentación).

Fig 5-51. Frenado natural.

Frenado con inyección de corriente continua: como se explica en el principio de funcionamiento, el rotor sigue el campo magnético rotatorio del estator y a medida que se le va colocando carga el rotor aumenta su deslizamiento. ¿Que sucedería si el campo del estator se deja estático? el campo giratorio en el estator también tendería a quedarse quieto. Al colocarle un campo fijo en el estator y el rotor estar girando (sucede en el momento del frenado) la tensión inducida en el rotor es alta, y se inducirán altas corrientes en el rotor; por tales razones, el torque que se genera en el momento del frenado puede ser alto, dependiendo de la magnitud de la corriente en el momento del frenado, es decir depende de la resistencia del estator y de la magnitud de la tensión en el momento del frenado. Al realizarse este tipo de frenado es importante tener en cuenta que la corriente de frenado no debe ser superior a la corriente nominal y además el tiempo de frenado debe ser lo más corto posible, pues la potencia que genera la fuente de dc se disipa toda en forma de calor en el devanado del estator.

Fig 5-52 Frenado con corriente continua.

207

Con este frenado se debe tener un cuidado especial, ya que se puede mezclar corriente alterna con continua y dañar no solo el motor sino los rectificadores o los bancos de batería. El frenado se debe realizar abriendo inicialmente 1M y luego activando 2M por un pequeño intervalo de tiempo. El proceso consiste en enviar corriente rectificada al estator previamente separado de la red. Dicha corriente crea un flujo fijo en el espacio. Para que el valor del flujo corresponda a un frenado adecuado, la corriente debe ser aproximadamente 1,3 veces la corriente nominal. Generalmente, el excedente de pérdidas térmicas causado por esta ligera sobreintensidad se compensa por el tiempo de parada que sigue al frenado. Dado que el valor de la corriente queda establecido por la única resistencia de los devanados del estator, la tensión de la fuente de corriente rectificada es débil. Dicha fuente suele constar de rectificadores o proceder de los variadores. Estos elementos deben poder soportar las sobretensiones transitorias producidas por los devanados recién desconectados de la red alterna. Frenado a contra corriente: este tipo de frenado consiste en invertirle el sentido de rotación al campo del estator; en pocas palabras consiste en invertirle la secuencia al campo o invertirle dos fases en el estator como se ve en la Fig 3. Si se analiza el circuito de frenado a contracorriente y el de inversión de giro se ve que son exactamente iguales. Por ende el frenado consiste en invertirle el sentido de giro por un pequeño instante de tiempo y si hay necesidad, se puede invertir el sentido de rotación para proteger a los operarios que trabajan en la planta.

Fig 5-53. Frenado a contracorriente para un motor de inducción.

Antes de adoptar este sistema, es imprescindible comprobar que el motor sea capaz de soportar frenados por contracorriente. Además de las restricciones mecánicas, este procedimiento impone ciertas limitaciones térmicas importantes en el rotor, ya que la energía correspondiente a cada frenado (energía de deslizamiento tomada de la red y energía cinética) se disipa en la jaula. En el momento del frenado, las puntas de corriente y de par son claramente superiores a las que se producen durante el arranque. Para obtener un frenado sin brusquedad, suele insertarse una resistencia en serie con cada fase del estator durante el acoplamiento en contracorriente. A continuación, el par y la corriente se reducen como en el caso del arranque estatórico. Los inconvenientes del frenado por contracorriente de los motores de jaula son tan importantes que este método sólo se utiliza en ciertas aplicaciones con motores de escasa potencia.

208

Motor de anillos: Para limitar la punta de corriente y de par, antes de acoplar el estator del motor a contracorriente, es obligatorio volver a insertar las resistencias rotóricas utilizadas durante el arranque. También suele ser necesario añadir una sección adicional denominada de frenado. El par de frenado puede regularse fácilmente mediante la elección de una resistencia rotórica adecuada. La tensión rotórica en el momento de la inversión es casi el doble que en el momento de parada, lo que puede obligar a tomar precauciones especiales de aislamiento. Al igual que sucede con los motores de jaula, el circuito rotórico produce una gran cantidad de energía que, en gran medida, se disipa en las resistencias. Es posible controlar automáticamente la parada al alcanzar la velocidad nula por medio de uno de los dispositivos mencionados anteriormente o mediante la acción de un relé de tensión o de frecuencia insertado en el circuito rotórico. Este sistema permite retener una carga arrastrante a velocidad moderada. La característica es muy inestable (fuertes variaciones de velocidad por débiles variaciones de par).

5.34 Inversión de giro en los motores de inducción.

Para invertir el sentido de giro de los motores de inducción se debe invertir el sentido de giro del campo en el estator, es decir, se debe invertir la secuencia de las fases de alimentación del estator. En el momento de inversión de giro se producen las corrientes altas que pueden exponer al motor a sobre temperaturas. Las corrientes en el momento de la inversión son un poco mayores que las de arranque, ya que el deslizamiento es menor que cero (negativo). Es aconsejable limitar las corrientes de inversión de giro con los mismos métodos que se realizan los arranques. El circuito y la explicación se encuentran en practicas anteriores.

Fig 5-54. Frenado a contracorriente para un motor de nueve devanado.

5.35 Generador de inducción aislado. Un generador de inducción puede ser auto-excitado proporcionando la potencia reactiva magnetizante por medio de un banco de condensadores (o capacitores). En tal caso, no se necesita una fuente externa de ca. El voltaje y la frecuencia de operación del generador están determinados por la velocidad del generador, su carga y la capacidad del banco de condensadores. Como en el caso del generador en derivación de cc, para

209

que el generador de inducción se auto-excite, su rotor debe tener el suficiente flujo remanente (ver figura 1). La operación de un generador de inducción auto-excitado puede entenderse a través de la figura 2. En vació, la corriente del condensador, Ic=V1/Xc, debe ser igual a la corriente de magnetización, Im=V1/Xm. Debido a que V1 es una función de Im, para una operación estable, la línea IcXc=ImXc debe intersecar a la curva de magnetización, que es un trazo de V1 versus Im, como se muestra en la figura 2. El punto de operación P queda entonces determinado, y

cm XIV =1

Puesto que Xc=1ω/C=1/(2πfC), podemos reescribir la ecuación así:

12 fCVI m π=

De la ecuación se sigue que la frecuencia de operación esta dada por

12 CV

If m

π= Ecuación 5-76

Bajo carga, la potencia generada V1I’2cosφ’2 proporciona la perdida de potencia en Rm, y la potencia utilizada por la carga R. Las corrientes reactivas se relacionan entre si de la siguiente manera:

22111 '' φsenI

X

V

X

V

X

V

mc

++= Ecuación 5-77

Lo cual determina la capacitancia para una carga dada.

Fig 5-55. Generador de inducción autoexcitado.

5.36 Generador de inducción conectado a un sistema de potencia.

Para entender la operación como generador, consideremos una maquina trifásica de inducción a la cual se le acopla mecánicamente un motor de fuerza motriz. Cuando el estator es excitado, se produce un campo magnético rotatorio en sincronismo y el rotor comienza a girar, como en un motor de inducción, mientras toma potencia eléctrica de

210

la fuente de suministro. Entonces se debe encender el primomotor (para que el rotor gire en la dirección del campo rotatorio). Cuando la velocidad del rotor exceda a la velocidad del sincronismo, la dirección de la potencia eléctrica se invertirá. La potencia comienza a fluir hacia la fuente al tiempo que la maquina comienza a operar como un generador.

Fig 5-56. Generador conectado a un sistema de potencia.

Fig 5-57. Circuito equivalente de un generador conectado a un sistema de potencia.

El campo magnético giratorio se produce por efecto de la corriente magnetizante suministrada al devanado del estator desde la fuente trifásica. Este abastecimiento de la corriente magnetizante debe estar disponible cuando la maquina opera como un generador de inducción. Para generadores de inducción operando en paralelo con una fuente trifásica, el voltaje y la frecuencia están fijados por el voltaje y la frecuencia de operación de la fuente que abastece la corriente de excitación. A diferencia de un generador síncrono, para una carga dada, la corriente de salida y el factor de potencia están determinados por los parámetros del generador de inducción. Por lo tanto, cuando un generador de inducción desarrolla una cierta potencia, también entrega una cierta corriente en fase y una cierta corriente en cuadratura. Sin embargo, la componente en cuadratura de la corriente generalmente no tiene una relación definida con la componente en cuadratura de la corriente de carga. La corriente en cuadratura debe ser suministrada por los condensadores conectados en paralelo con el generador de inducción. Los generadores de inducción no son adecuados para abastecer cargas que tengan bajos factores de potencia en atraso. Tiempos atrás, los generadores de inducción se utilizaron en sistemas de generación de velocidad variable y frecuencia constante. Los generadores de inducción grandes han encontrado aplicación en plantas de potencia hidroeléctricas y aerogeneradores.

5.37 Ejemplos EJEMPLO 1

211

El estator de una máquina de inducción tiene seis polos y se alimenta con una fuente de tensiones senoidales trifásicas balanceadas. Cual es la velocidad de giro del campo magnético en el estator si la frecuencia de alimentación del es de:

a) 50Hz b) 60Hz.

Respuesta:

a) Para una frecuencia de 60Hz la velocidad de giro viene dada por:

rpmP

fs 1200

6

60*120120===η

b) Y para una frecuencia de 50Hz es

rpmP

fs 1000

6

50*120120===η

EJEMPLO 2 Cual es la frecuencia de la corriente del rotor de una máquina de inducción de seis polos que gira a una velocidad de 1000 rpm y se alimenta con una fuente de 60Hz. Respuesta:

166.01200

10001200=

−=

−=

s

rssη

ηη

Hzsff sr 6.960*16.0 ===

EJEMPLO 3 Si a una máquina de anillos rozantes de dos polos y se aliementa a 60Hz se le midió la tensión en el rotor cuando este está parado y el rotor está energizado y dio 20V; se necesita estimar la tensión en el rotor cuando gira con una velocidad de 1700 rpm. Hallar esta tensión. Respuesta: Como el rotor de la máquina gira cercana a la velocidad de sincronismo pero nunca es igual se puede decir que la frecuencia sincrona es 1800 rpm y por ende la tensión en el rotor es:

VsEroErs

rs 111201800

17001800=

−=

−==

ηηη

EJEMPLO 4 Calcular la velocidad del rotor a plena carga de una maquina de inducción de 2 polos si el deslizamiento es del a) 5%, b) 7%. Respuesta: La velocidad de sincronismo se puede calcular como:

212

rpmP

fs 3600

2

60*120120===η

La velocidad el rotor se puede calcular como: a) rpms sr 34203600*)05.01()1( =−=−= ηη

b) rpms sr 33483600*)07.01()1( =−=−= ηη

EJEMPLO 5 Cuantos polos tiene una máquina cuyo rotor gira a 1650 rpm y se laiementa con una fuente trifásica e 60Hz. La velocidad del rotor es cercana y menor que la velocidad de sincronismo, por ende en número de polos se puede calcular como:

36.41650

60*120120==⇒= P

P

fsη

Como el número de polos de una máquina debe ser pare y entero, la máquina puede tener 4 polos o 6 en ese caso se calculan las velocidades para cada par de polos:

rpmP

fs 1800

4

60*120120===η

rpmP

fs 1200

6

60*120120===η

Como la velocidad del rotor debe ser cercana y menor a la velocidad del rotor la máquina debe tener 4 polos. EJEMPLO 6 Un motor de inducción de seis polos, trifásico, de 60 Hz gira con un deslizamiento de 4% a una cierta carga. Determinar (a) la velocidad de sincronismo, (b) la velocidad del rotor, (c) la frecuencia de las corrientes del rotor, (d) la velocidad del campo en rotación del rotor con respecto al estator, y (e) la velocidad del campo en rotación del rotor con respecto al campo en rotación del estator.

a) La velocidad de sincronismo viene dada por:

rpmns 12006

60*120==

b) La velocidad del campo magnético se puede obtener rpmnsn s 11521200*)04.01()1( =−=−=

c) La frecuencia de las corrientes del rotor es dada por: Hzf r 4.260*04.0 ==

d) Los seis polos del estator inducen seis polos en el rotor. El campo en rotación producido por el rotor gira a una velocidad síncrona correspondiente, ns, relativa al rotor de modo que

s

r

r snsP

f

P

fn ===

120120

Pero la velocidad del rotor con respecto al estator es

snsn )1( −=

De aquí que la velocidad del campo del rotor con respecto al estator sea

213

rpmnssnnnn ssrs 1200)1(' =−+=+=

e) La velocidad del campo del rotor con respecto al campo del estator es 0' =−=− ssss nnnn

EJEMPLO 7

Un motor de inducción de 6 polos, 60 Hz gira a 1152 rpm. Determine la velocidad de sincronismo y el porcentaje de deslizamiento.

La velocidad de sincronismo viene dada por:

rpmP

fs 1200

6

60*120120===η

El deslizamiento se puede calcular como:

%41001200

11521200=

−=

−=

s

rssη

ηη

EJEMPLO 8 El rotor de una máquina asíncrona de 440V, 5oHz, polos gira a 720 rpm. Determine: a) la velocidad síncrona. Rta 750 rpm b) La frecuencia del rotor. Rta 2 Hz

EJEMPLO 9 Si la frecuencia del rotor de una máquina asíncrona de 6 polos, 50Hz trifásica es de 3 Hz, determina:

a) El deslizamiento. Rta 0.06 b) La velocidad del rotor. Rta 940 rpm

EJEMPLO 10 El rotor de una máquina asíncrona de 4 polos, 60Hz, gira a 1710 rpm, determine:

a) la velocidad síncrona. Rta 1800 rpm b) La frecuencia del rotor. Rta 3Hz c) Velocidad de giro del campo magnético en el rotor. Rta 179.07 rad/seg

EJEMPLO 11 Un motor jaula de ardilla trifásico de 5hp, 220V, 60Hz, 1728 rpm tiene los siguientes parámetros

Rs=0.48 Ω, Rr=0.41 Ω, Xs=0.67Ω, Xr=0.67Ω,Xm=25Ω, El estator está conectado en Y y el deslizamiento a velocidad nominal es del 7% a plena carga, Determine:

a) La corriente en vacío. b) Factor de potencia en vacío. c) Corriente de arranque. d) Factor de potencia en el arranque. e) Corriente a plena carga. f) Factor de potencia a plena carga.

Solución:

a) el circuito equivalente de motor es

214

En vacío se cumple que ηs=ηr y por ende el deslizamiento es 0=−

=s

rssη

ηη, le

resistencia ∞=−

)1

(s

sRr y la corriente del estator viene dada por

AXXjR

VI

mss

a 93.8894.4)(0 −<=

++=

b) El factor de potencia en vacío es dado por: )(018.0)93.88cos( atrasofp =−=

c) En el momento del arranque ηr=0, 1=−

=s

rssη

ηη, y por ende 0)

1( =

−s

sRr , la

corriente de arranque es dada por AXXjR

VI

rss

a 41.5694.78)(0 −<=

++=

d) El factor de potencia viene dado por: )(055.0 atrasofp =

e) S el deslizamiento es del 7% entonces: s07%, Ω=−

45.5)1

(s

sRr

Las ecuaciones de la máquina quedan como:

+−

−+=

Ir

Is

jj

jj

67.2586.525

256.2548.0

0

127

Is=20.18<-23.69A, Ir=19.16<-10.83A f) Factor de potencia con carga:

)(916.0 atrasofp = EJEMPLO 12. Las impedancias de un motor de inducción de 16kw, 690/440V, 50Hz, 4 polos son:

Rs=0.5 Ω, Rr=0.75 Ω, Xs= Xr =2.6Ω, Xm=50Ω, Va=440V Si la máquina está conectado en ∆ y a plena carga tiene un deslizamiento del 10%, determinar :

a) Corriente en vacío. b) Corriente de arranque. c) Corriente en funcionamiento a plena carga.

Solución: a) Corriente en vacío:

ηs=ηr, 0=−

=s

rssη

ηη, ∞=

−)

1(

s

sRr , A

XXjR

VI

mss

a 45.896.7)(0 −<=

++=

215

b) La corriente de arranque es:

ηr=0, 1=−

=s

rssη

ηη, 0)

1( =

−s

sRr , A

XXjR

VI

mss

a 48.7679.74)(0 −<=

++=

c) La corriente a plena carga es:

+−

−+=

Ir

Is

jj

jj

62.525.750

506.525.0

0

400

Is=36.63<-54.55A, Ir=32.3<-46.95A EJEMPLO 13. Un motor de inducción de 4 polos, 400V, 60Hz, trifásico conectado en Y, tiene los siguientes parámetros:

Rs=2Rr=0.2 Ω, Xs=2.5Xr=0.5Ω,Xm=20Ω, Va=230.9V Si la máquina gira a 1755 rpm, determinar:

a) Potencia de salida. b) Par o torque de salida.

Solución: a) a partir del circuito equivalente se puede determinar la potencia de salida:

rpmP

fs 1800

120==η , 025.0=

−=

s

rssη

ηη, 9.3)

1( =

−s

sRr

+−

−+=

Ir

Is

jj

jj

2.20420

205.202.0

0

9.230

Is=54.61<-19.99A, Ir=53.04<-8.79A

Kws

sRIP rr 9.32

13 2 =

−=

b) el torque viene dado por:

Nmw

P1.179==τ

EJEMPLO 14 Un motor de inducción trifásico conectado en ∆ de 230V, 60Hz, dos polos opera con un deslizamiento del 3% mientras la corriente de línea es de 22A, las resistencias y reactancias del estator 0.1Ω y 0.2Ω, las pérdidas por dispersión son de 1.15Ω, calcular:

a) Resistencia del rotor. b) Potencia desarrollada.

Solución:

216

( )22

15.02.01.0

2307.12

++

+

=

s

Rr

, Rr=0.124Ω

c) La potencia e salida es:

Kws

sRIP rr 93.1

13 2 =

−=

EJEMPLO 15 Un motor de inducción trifásico de 208V, 50Hz, 12 polos, conectado en ∆ tiene una impedancia en el estator de 0.06+j0.8 Ω, y una impedancia en el roto de 0.1+j0.3Ω cuando el rotor está quieto, la reactancia de magnetización es de 150Ω. Cuando el motor opera a plena carga tiene un deslizamiento del 5%, determinar:

a) La potencia del motor b) El torque en el eje

Solución: a) la potencia es dada por:

9.1)1

( =−s

sRr ,

+−

−+=

Ir

Is

jj

jj

3.1502150

1508.15001.0

0

208

Is=90.57<-29.35A, Ir=90.38<-28.59A

Kws

sRIP rr 46.56

13 2 =

−=

c) El torque es dado por:

Nmw

P780.04==τ

EJEMPLO 16 Un motor de inducción trifásico de 6 polos, 230V 60Hz, conectado en Y tiene los siguientes parámetros de su circuito por fase:

Rs=0.5 Ω, Rr=0.25 Ω, Xs= 0.75, Xr =0.5Ω, Xm=100, Rm=500Ω La fricción por fricción y ventilación son de 150W y tiene un deslizamiento a plena carga del 11%. Determinar:

a) La potencia de entrada. b) Las pérdidas en el cobre el rotor y estator. c) Al potencia transferida. d) La potencia desarrollada. e) La potencia de salida. f) El torque de salida g) La eficiencia.

217

Solución. A partir del circuito equivalente tenemos:

Las ecuaciones del circuito equivalente quedan:

02.2)1

( =−s

sRr

+−

−+−

−+

=

r

o

s

I

I

I

j

jj

jj

5.027.5025000

500100500100

010075.1005.0

0

0

230

Is=76.24<-25.29A Io=75.84<-24.06A Ir=75.5<-24.06A

a) potencia de entrada

KWVIPin 7.47)cos(3 == θ

b) Las pérdidas en el cobre del estator KWRIP sscus 7.83 2 ==

Las pérdidas en el cobre del rotor. KWRIP rrcur 27.43 2 ==

c) Al potencia transferida. KWPPPP mcusint 87.38=−−=

KWs

RIP r

rt 86.383 2 ==

d) La potencia desarrollada.

KWs

sRIP rrd 54.34

13 2 =

−=

KWPPP curtd 59.34=−=

e) La potencia de salida. KWPPP fvdout 09.33=−=

f) El torque de salida

mNw

P

r

out .58.29==τ

g) La eficiencia.

%37.69100% ==in

out

P

Pe

EJEMPLO 17 Un motor de inducción trifásico conectado en ∆ de 208V, 50Hz, 12 polos, tiene una impedancia del estator de 0.1+j0.3 Ω/fase y una impedancia a rotor bloqueado de 0.06+j0.8 Ω/fase. Las resistencias de pérdidas en el núcleo son de 150Ω/fase y la reactancia de magnetización es de 750Ω/fase. Las pérdidas por fricción y ventilación son de 2KW. Cuando el rotor opera a su deslizamiento nominal del 5%, determine:

218

a) La potencia de entrada. b) Las pérdidas en el cobre del estator. c) Las pérdidas del cobre en el rotor. d) La potencia en el entrehierro. e) La potencia desarrollada. f) La eficiencia g) El torque en el eje. h) La potencia nominal.

Solución.

14.1)1

( =−s

sRr

+−

−+−

−+

=

r

o

s

I

I

I

j

jj

jj

8.02.7517500

750150750150

01503.1501.0

0

0

208

Is=107.7<-34.99A Io=107.14<-34.42A Ir=106.92<-34.48A

a) potencia de entrada

KWVIPin 05.55)cos(3 == θ

b) Las pérdidas en el cobre del estator KWRIP sscus 48.33 2 ==

Las pérdidas en el cobre del rotor. WRIP rrcur 20573 2 ==

c) potencia transferida.

KWs

RIP r

rt 15.413 2 ==

d) La potencia desarrollada.

KWs

sRIP rrd 09.39

13 2 =

−=

e) La potencia de salida. KWPPP fvdout 09.37=−=

f) El torque de salida

mNw

P

r

out .74.745==τ

g) La eficiencia.

%38.67100% ==in

out

P

Pe

EJEMPLO 18

219

Una máquina de inducción trifásica de 10hp, 4 polos, 440V, conectado en ∆ gira a 1725rpm a plena carga. Las pérdidas del cobre en el estator son 212W y las pérdidas rotacionales son de 340W, determine:

a) La potencia desarrollada. b) La potencia transferida c) Las perdidas en el cobre d) La potencia de entrada. e) La eficiencia

WPout 7460=

KWPPP fvoutd 8.7=+=

W

s

s

PP d

cur 3391

=

−=

KwPPP cusdt 139.8=+=

KWPPP custin 351.8=+=

%33.89100% ==in

out

P

PE

EJEMPLO 19 Un motor de inducción trifásico de 208V, 60Hz, 6 polos, conectado en Y tiene los siguientes parámetros:

Rs=0.21 Ω, Rr=0.33 Ω, Xs= 0.6Ω, Xr =0.6Ω, Xm=450Ω, Rm=210Ω Cuando el motor se encuentra a plena carga gira con un deslizamiento del 5% a plena carga. Cual es el torque de arranque, la corriente de arranque usando el ciruito equivalente aproximado. Solución: Usando el circuito equivalente aproximado

Torque de arranque.

mNXXsRRsw

VR

srrss

srd .45.47

])()/[(

322

2

=+++

=τ

Corriente de arranque.

AXXRR

VI

srsr

aarr 3.69

)()( 22=

+++=

EJEMPLO 20. Un motor de inducción trifásico de 230V, 4 polos, 60Hz, conectado en Y tiene los siguientes parámetros:

Rs=10.12 Ω, Rr=21.97 Ω, Xs= 38.61Ω, Xr =11.51Ω, Xm=432.48Ω, Cuando el motor trabaja a su velocidad nominal de 1550 rpm, las pérdidas en el núcleo son de 10.72 vatios, las pérdidas por fricción y ventilación son de 5.9W, determinar:

a) La corriente del estator. Rta=0.766<-34.170 b) La corriente de magnetización. Rta 0.558<-99.76

220

c) La corriente en el rotor. Rta 0.7<-14.55 d) La potencia de entrada. Rta 252.5W e) Las pérdidas en el cobre del rotor. Rta 32.3W f) La potencia de salida. Rta 194.1W g) El torque. Rta 1.19 Nm h) La eficiencia. Rta 76.87%

EJEMPLO 21 Las constantes por fase de un motor de inducción de 600V, 60Hz, 4 polos conectado en Y son Rs=0.75 Ω, Rr=0.8 Ω, Xs= 2.0 Ω, Xr =2.0 Ω, Xm=50Ω, Calcular: a) El par de arranque. b) El par máximo. c) El par cuando trabaja con un deslizamiento del 7% Solución: a) el torque de arranque de la máquina de inducción está dado por:

0=rη , 1=−

=s

rssη

ηη, 0)

1( =

−s

sRr , rpm

P

fs 1800

120==η ]/[49.188 segradws =

mNXXsRRsw

VR

srrss

srarr .02.83

])()/[(

322

2

=+++

=τ

b) El torque máximo se logra cuando:

196.0)( 22

=++

=XsXrR

Rs

r

r

mNXXRRw

V

srsss

s

md .12.198])([2

322

2

=+++

=τ

c) Torque cuando trabaja con un deslizamiento del 7%

mNXXsRRsw

VR

srrss

srd .11.78

])()/[(

322

2

=+++

=τ

EJEMPLO 22 Un motor de inducción trifásico de 120V, 60Hz, 6 polos conectado en ∆ tiene una impedancia del estator de 0.2+j0.25 y una impedancia del rotor de 0.1+j0.15 cuando este está quieto. Encuentre el par máximo y su corriente. a) el circuito equivalente es dado por:

El torque máximo está dado por:

mNXXRRw

V

srsss

s

md .5812.265])([2

322

2

=+++

=τ

el deslizamiento es dado por:

221

242.0)( 22

=++

=XsXrR

Rs

r

r

31.0)1

( =−s

sRr

A

XXRs

R

VI

srsr

aa 86.223

)()( 22=

+++=

EJEMPLO 23 Un motor de inducción trifásico de 230V, 60Hz, 4 polos, conectado en ∆ opera a 1710 rpm cuando se encuentra a plena carga. La potencia desarrollada por la máquina es de 2hp y la corriente es de 4.5A. Si el rango de voltaje de la fuente varía ±10% determinar:

a) el rango de torques b) el rango de corrientes

En el cual se mueve el motor.

rpmP

fs 1800

120==η , 05.0=

−=

s

rssη

ηη, ]/[07.179

301710 segradwm ==

π

El torque desarrollado a un voltaje de 230V es:

mNd .33.807.179

746*2==τ

Cuando el voltaje aplicado se reduce en un 10% el torque desarrollado es:

mNd .95.6230

230*9.033.8

2

=

=τ

Y la corriente correspondiente es:

AI 05.4230

230*9.05.4 ==

De forma similar cuando la tensión aumenta en un 10% mNd .08.101.1*33.8 2 ==τ

Y la corriente es: AI 95.41.1*5.4 ==

EJEMPLO 24 Los resultados de las pruebas en vacío y con el rotor bloqueado de un motor de inducción trifásico, conectado en Y, son las siguientes: Prueba en vacío: Voltaje línea a línea = 440V Potencia de entrada = 1770W Corriente de entrada = 18.5A Prueba con el rotor bloqueado: Voltaje línea a línea = 45V Potencia de entrada = 2700W Corriente de entrada = 63A Determinar los parámetros del circuito equivalente aproximado. A partir de los datos de la prueba en vacío:

222

VV 2313

4000 == WP 590)1770(

3

10 == I0=18.5A

La impedancia de magnetización es:

Ω== 8.136390

)231( 2

mR

Ω=−

= 6.12)590()5.18()231(

)231(222

2

mX

A partir de los datos de la prueba con el rotor bloqueado:

VVs 98.253

45== AI s 63= WPs 900

3

2700==

Las resistencias se pueden calcular como:

Ω==+= 23.0)63(

90022

21 RaRRe

Ω=−

=+= 34.0)63(

)900()63()98.25(2

222

22

1 XaXX e

EJEMPLO 25 Los datos de una máquina de inducción trifásica de 208V, 60Hz, conectada en ∆ son:

vacío Bloqueado Potencia [W] 450 59.4 Corriente [A] 1.562 2.77 Voltaje [V] 208 27

La resistencia del devanado de estator es de 2.4Ω Impedancia de magnetización:

VAIVS caca 7.5123 ==

VARPSQ 6.24522 =−=

( )Ω== 14.96

2

P

VR ca

m ;( )

Ω== 16.1762

Q

VX ca

m

La impedancia a rotor bloqueado:

VV f 27= , AI f 59.1= , Ω== 98.16f

f

tI

VZ ,

Ω== 73.7)cos(θtt ZR , Ω= 33.5rR , Ω=== 55.72

trs

XXX

EJEMPLO 26 Un motor de inducción trifásico conectado en estrella se aliementa de una fuente de 50 Hz, tiene la curva par-velocidad mostrada en figura. Se pide: Considerando despreciable la impedancia equivalente del estátor y la rama derivación, obtener los valores siguientes: Par máximo (rta 350Nm), deslizamiento de par máximo (rta 40%), Par de arranque (rta 241.4 Nm), velocidad de sincronismo (rta 1000rpm) número de polos de la máquina (rta 6).

223

EJEMPLO 27 Un motor de inducción trifásico de 230V, 60Hz y 6 polos gira a 1152 rpm, conectado en Y y trabajando en condiciones nominales. Con dicho motor se han realizado los siguientes ensayos: Ensayo de corriente continua: la resistencia medida entre dos fases es de 0.8 W. Ensayo de rozamiento: se determina que las pérdidas por rozamiento son de 345 Ensayo en vacío: a 230 V se absorben 589.6 W y 1351 Var. Se pide: 1ª Resistencia equivalente por fase del estator. 2ª Corriente absorbida por el motor en vacío y factor de potencia. 3ª Velocidad de giro en vacío y deslizamiento correspondiente. 4ª Pérdidas en el cobre en el estator y en el rotor (exactas) en vacío. 5ª Pérdidas nominales en el hierro. EJEMPLO 28 Un motor de inducción trifásico de rotor devanado de 400V, 60 Hz y tres pares de polos trabajando en condiciones nominales tiene un deslizamiento del 3 % y absorbe una corriente de 33.5 A con factor de potencia 0.9225. Su rendimiento en esas condiciones es del 86.62 %. Con dicho motor se han realizado los siguientes ensayos: Ensayo de rozamiento: se determina que las pérdidas por rozamiento son de tipo cuadrático y que las pérdidas a velocidad nominal son de 198.5 W. Ensayo DC: Resistencia equivalente entre dos fases del estator de 1 W. Se pide, cuando el motor se alimenta a 400 V y con deslizamiento nominal, lo siguiente:

a) Frecuencia de las tensiones y corrientes inducidas en el rotor. Velocidad de giro.

b) Impedancia equivalente del motor: módulo y argumento. c) Potencia eléctrica de entrada, potencia útil y potencia mecánica. d) Pérdidas en el cobre en el rotor y en el estator. Potencia de entrehierro.

Pérdidas en el hierro. EJEMPLO 29 Una máquina asíncrona trifásica de 3 pares de polos, rotor devanado, alimentada a 50c/seg., trabaja como motor y desarrolla a plena carga una velocidad de 980 r.pm. Su

velocidad de par máximo es de 730 r.p.m. Siendo Xs+Xrr

= 15Ω , I0

despreciables,

calcular: a) Relación entre los pares de arranque, máximo y de plena carga.

224

( )Nm

s

s

arr

23.12

1

max

2maxmax =

+=

ττ

( )Nm

ss

ss

pc

pc

arr

pc 14.11

22max

2max =

+

+=

τ

τ

Nmpc

07.1max =ττ

c) Relación entre el par de arranque calculado anteriormente y el que tendría si al

devanado del rotor se le conecta en serie una resistencia m2R

x = 5 Ω por fase.

Nmpc

81.0max =ττ

EJEMPLO 30 Dado un motor asíncrono trifásico conectado en estrella, 380V, 50c/sg. cuyas características son, Rr

= 2Ω ; Xs= 8Ω , velocidad de plena carga 1425 r.p.m y

considerando Re<< R

r/s , calcular:

a) Velocidad de sincronismo, nº de pares de polos y deslizamiento a plena carga. Rta 1500 rpm, 4 polos, 5%.

b) Frecuencia de la corriente inducida a plena carga. Velocidad de par máximo. Rta 2,5 Hz, 25%.

c) Par de arranque, máximo y de plena carga. Rta τarr=27Nm, τmax=27Nm, τpc=0.81Nm.

EJEMPLO 31. Un motor de inducción trifásico conectado en estrella, de rotor devanado, 3 pares de polos, 960 r.p.m., 440V y 50 c/sg. , tiene los siguientes parámetros referidos al estator.

Rs

= 0,045Ω ; Xs= 0,2Ω ; Rr

= 0,04Ω ; Xr

= 0,1 Ω

Las pérdidas mecánicas son despreciables y el ensayo en vacío da como resultados V= 440V ; P

Fe = 5400W ; cosφ

v = 0,2.

Se pide: a) Determinar para las condiciones de plena carga, la potencia de entrada, el

factor de potencia y la corriente de línea. Rta 176,557 KW, 0.91 atraso, 251,96A.

b) También en las condiciones de plena carga, el par, las pérdidas en el cobre, la potencia mecánica desarrollada y el rendimiento del motor. Rta 1563,95Nm, 213.96Kw, 6551W, 0.96%.

c) El deslizamiento a par máximo y el valor del par máximo. Rta 13.18%, 2653.5 Nm

d) Si se quiere que el par máximo se obtenga en el arranque, calcular la resistencia a añadir al rotor (referida al estator). Rta 0.26Ω.

e) En la situación d) y suponiendo el motor trabajando a un par igual a τpc

calculado en el apartado b), calcular la nueva velocidad de funcionamiento y el rendimiento del rotor en esta situación. Rta 700rpm, 70%.

EJEMPLO 32.

225

Un motor de inducción trifásico de 6 polos, 50c/sg., tiene un par máximo 2,5 veces el par nominal a un deslizamiento smax

= 0.3. Se pide calcular el par de arranque, el par

máximo y trazar la curva τ-ω en función del par nominal en los siguientes casos: a) en las condiciones del enunciado. b) manteniendo los voltajes aplicados y reduciendo la frecuencia de

alimentación a 25c/sg. c) manteniendo la frecuencia de 50c/sg. y reduciendo los voltajes aplicados a la

mitad d) reduciendo tanto la frecuencia como el voltaje a la mitad.

EJEMPLO 33 Un motor asíncrono trifásico conectado en triángulo de 4 C.V., 970 r.p.m. está Alimentado a 220V, 50c/sg., siendo Rs despreciable. El resultado del ensayo a rotor parado ha sido Vcc

= 33,3 V ; Icc

= 8,16 A ; Pcc

= 92 W y considerando que las pérdidas

mecánicas despreciables Calcular:

e) El par máximo, de plena carga y de arranque τmax=98.5 Nm, τpc=29.98 Nm, τmax=98.5 Nm, τarr=37.88 Nm,

Razonar el comportamiento del motor en los siguientes casos f) Con par resistente constante de 44Nw-m g) Con par resistente constante de 32 Nw-m h) Con par resistente constante de 24Nw-m i) Funcionando a plena carga el par resistente aumenta hasta 104 Nw-m

EJEMPLO 34. Un motor asíncrono trifásico de rotor devanado conectado en estrella, 6 polos, 50c/sg.,

Rs

= 1Ω , Rr

= 1Ω, Xs

= 2,5Ω, Xr

= 2Ω Va=380V.

El motor está conectado mecánicamente a una carga que impone un par resistente de 70Nw-m (constante con la velocidad) Se pide:

a) Justificar el arranque o no del motor. Rta el motor no arranca. b) Calcular la resistencia Rr adicional que habrá que conectar en serie con el

rotor para arrancar el motor. Rta 0.6 Ω c) Calcular la velocidad de giro del motor cuando está conectada la resistencia

adicional. Rta 900 rpm. Una vez arrancado el motor se quita la resistencia Rr adicional

y se cortocircuitan los

devanados del rotor Se pide: d) Calcular la velocidad a la que girará el motor. Rta 938Nm e) Calcular la potencia mecánica que el motor está dando. 6875 W.

EJEMPLO 35. Un motor asíncrono trifásico conectado en ∆, 980 r.p.m, 6 polos, 380V, 50c/seg, de rotor devanado, ha dado los siguientes resultados al realizarle los ensayos a rotor libre y a rotor parado:

226

A rotor libre 380V, 5A, 600W A rotor parado 49V, 10A, 300W Considerando las pérdidas mecánicas nulas y Rs

= 1Ω, calcular:

a) Circuito equivalente, Rta R0=722Ω, X0=134Ω, Rr=2Ω, Xr=Xs=3.96Ω b) Deslizamiento a plena carga y a par máximo. Par máximo, par de arranque y

par de plena carga. Representar la curva τ-ω. Rta spc=0.02, Smax=0.25, τmax=230Nm, τarr=115Nm, τpc=40.3Nm

c) La nueva velocidad de funcionamiento y la velocidad de par máximo si disminuye la tensión de alimentación a 380/√3, conservando el par de plena carga. Rta ηpc=930rpm.

d) La nueva velocidad de funcionamiento y la velocidad de par máximo si se pone en serie con el devanado del rotor una resistencia Rr

= 2Ω y el motor se

alimenta a una tensión nominal de 380V, conservando el par de plena carga. Rta 950 rpm, 960 rpm.

EJEMPLO 36. Un motor asíncrono trifásico conectado en ∆ tiene las siguientes características, Potencia nominal 22 Hp; Numero de pares de polos p=3 ; Rr

= 1Ω ; Xr= 4Ω ; Rs

= 0Ω ;

Pfe = 400Ω ; pérdidas mecánicas despreciables. Si se alimenta de una línea trifásica de

380V, 50c/s. Calcular: a) La velocidad de plena carga. Rta s=6.4%, 960 rpm. b) La velocidad de par máximo. Rta s=25%, 750rpm c) La velocidad de potencia máxima. Rta s=19.5%, 805 rpm d) La velocidad de rendimiento máximo. Rta s=3%, 970 rpm e) La relación entre el par máximo y el par de arranque. Rta 2.125.