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フィボナッチ数列に現れる平方数は 1 と 144 だけであることの証明
フィボナッチ数列とは
フィボナッチ数列 とは，「前の 2 つの数を加えると次の数になる」という数列です。
ただし，1 番目と 2 番目の数は両方とも１です。
1, 1,
1 ＋ 1 ＝ 2 ですから，3 番目の数は 2 になります。
1, 1, 2,
1 ＋ 2 ＝ 3 ですから，4 番目の数は 3 です。
1, 1, 2, 3,
5 番目の数は，2 ＋ 3 ＝ 5 です。
1, 1, 2, 3, 5,
このようにしてできる数列が，「フィボナッチ数列」です。
12 番目までのフィボナッチ数列は，次のようになります。
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
12 番目までのフィボナッチ数列の中に，平方数は何個現れているでしょう。
12 番目までには，1 番目と 2 番目に "1"，12 番目に "144"という平方数が現れています。
"1" と "144"の，2 種類の平方数が現れているわけですね。
では，13 番目以降には，どんな平方数が現れるでしょうか。
実は，どんなにフィボナッチ数列を書いていっても，13 番目以降には永遠に平方数は現れ
ないのです。
このことは，西暦 1964 年にコーンさんによって証明されました。
このページでは，その コーンさんの証明の内容を見ていきます。ただし，初等数学の知識で
理解できるように，（行間を読み取らなくてよいように，）証明を少し変えてあります。
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参考文献
次の書籍やウェブサイトを参考にしました。
フィボナッチ数の小宇宙(ミクロコスモス)―フィボナッチ数、リュカ数、黄金分割
フィボナッチ数列の中の平方数に関して完全に解説している，日本で唯一無二の本かも知れ
ません。
素数が奏でる物語 2つの等差数列で語る数論の世界 (ブルーバックス)
「平方剰余の相互法則の第一補充法則」というカッコいい名前の法則を，この本で理解できま
した。
素数はめぐる 循環小数で語る数論の世界 (ブルーバックス)
循環小数についての本はいろいろ読みましたが，素数との関係がわかりやすく書かれた本
です。
世界は2乗でできている 自然にひそむ平方数の不思議 (ブルーバックス)
フィボナッチ数列の中の平方数に関する証明の概略が書いてあり，霧が晴れた気持ちにな
りました。
144：フィボナッチ数と平方数(http://integers.hatenablog.com/entry/2015/12/18/000000)
フィボナッチ数列と平方数に関して，完全に証明しているサイトです。
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証明の大まかな流れ
フィボナッチ数列に現れる平方数は 1 と 144 だけである ことの証明は，次のような流れ
で進んでいきます。
第 1 章 フィボナッチ数列を，拡張フィボナッチ数列にします。
↓
第 2 章 リュカ数列と，拡張リュカ数列を定義します。
↓
第 3 章 18 個の予備の定理を証明します。
↓
第 4 章 素因数分解に関する定理を証明します。
↓
第 5 章 リュカ数列に現れる平方数は，1 と 4 だけであることを証明します。
↓
第 6 章 リュカ数列に現れる「 2 ×平方数」は，18 だけであることを証明します。
↓
第 7 章 ＜最終定理＞
フィボナッチ数列に現れる平方数は，1 と 144 だけであることを証明します。
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第 1 章 フィボナッチ数列を，拡張フィボナッチ数列にします。
フィボナッチ数列の定義
「フィボナッチ数列」とは，1 番目と 2 番目が 1 で，3 番目からは，「前の 2 つの数を加えると
次の数になる」という数列です。
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, …
フィボナッチ数列の 1 番目が 1 であることを， と表すことにします。
2 番目も 1 ですから， です。
3 番目は 2 ですから， です。
同じように考えると，次のようになります。
……
前の 2 つの数を加えると次の数になるのですから， を自然数として，
＜フィボナッチ数列の定義＞
となります。
拡張フィボナッチ数列とは
ところで，たし算の逆はひき算ですから，たとえば から，
となります。
同じように考えれば， ……を定義することができて，次のよう
になります。
…………
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このように， ……だけでなく， ……もふくめ
た，
…… ……
を，拡張フィボナッチ数列 と名付けることにします。
拡張フィボナッチ数列の定理
先ほど名付けた拡張フィボナッチ数列を，Ｆn と Ｆ-n とをくらべやすいように整理すると，次の
ようになります。
……… ………
が奇数のときは， で， が偶数のときは， となっているようです
ね。
つまり，
＜拡張フィボナッチ数列の定理＞
が 0 以上の整数のとき， が成り立つ。
（証明） に関する数学的帰納法で証明します。
のとき，
左辺 ＝ ，
右辺 ＝ なので，成り立っています。
のとき，
左辺 ＝ ，
右辺 ＝ なので，成り立っています。
のときと， のときに，与式が成り立っていると仮定します。つ
まり，
（…「仮定式①」と名付けます）
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と，
（…「仮定式②」と名付けます）
が，成り立っていると仮定するのです。
このときに， のときの式である，
（…「証明すべき式」と名付けます）
が成り立つことを証明すれば，完成です。
ところで，
です。 （∵フィボナッチ数列の定義）
に を代入すると，
式を整理して，
移項して，
上の式を利用して，
「証明すべき式」の右辺
（∵上の式を利用）
（∵分配法則）
（∵ ）
（∵ ）
（∵仮定式①，仮定式②）
（∵フィボナッチ数列の定義）
＝「証明すべき式」の左辺
よって， のときの式と， のときの式を仮定したときに，
のときの式が成り立つので，数学的帰納法により，＜拡張フィボ
ナッチ数列の定理＞が成り立つことがわかりました。
（証明終）
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第 2 章 リュカ数列と拡張リュカ数列を定義します。
「フィボナッチ数列」 とは，「 1 番目が 1, 2 番目も 1 で，3 番目からは，前の２つの数を加える
と次の数になる」 という数列でした。（→フィボナッチ数列の定義）
「リュカ数列」 は，「前の２つの数を加えると次の数になる」 というところはフィボナッチ数列と
同じで，1 番目の数は 1 であることもフィボナッチ数列と同じですが，2 番目が 1 ではなく，3 で
あることが，フィボナッチ数列と違います。
リュカ数列は，次のように定義されます。
＜リュカ数列の定義＞
リュカ数列を 1 番目から 10 番目まで書くと，次のようになります。
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123，…
リュカ数列も，拡張フィボナッチ数列のように拡張することができます。
…………
このように， ……だけでなく， ……もふくめた，
…… ……
を，拡張リュカ数列 と名付けることにします。
拡張リュカ数列の定理
先ほど名付けた拡張リュカ数列を，Ｌn と Ｌ-n とをくらべやすいように整理すると，次のように
なります。
……… ………
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が偶数のときは， で， が奇数のときは， となっているようですね。
つまり，
＜拡張リュカ数列の定理＞
が 0 以上の整数のとき， が成り立つ。
（証明） 証明の内容は，＜拡張フィボナッチ数列の定理＞ とほとんど同じです。
に関する数学的帰納法で証明します。
のとき，
左辺 ＝ ，
右辺 ＝ なので，成り立っています。
のとき，
左辺 ＝ ，
右辺 ＝ なので，成り立っています。
のときと， のときに，与式が成り立っていると仮定します。つ
まり，
（…「仮定式①」と名付けます）
と，
（…「仮定式②」と名付けます）
が，成り立っていると仮定するのです。
このときに， のときの式である，
（…「証明すべき式」と名付けます）
が成り立つことを証明すれば，完成です。
ところで，
です。 （∵リュカ数列の定義）
に を代入すると，
式を整理して，
移項して，
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上の式を利用して，
「証明すべき式」の右辺
（∵上の式を利用）
（∵分配法則）
（∵ ）
（∵ ）
（∵仮定式①，仮定式②）
（∵リュカ数列の定義）
＝「証明すべき式」の左辺
よって， のときの式と， のときの式を仮定したときに，
のときの式が成り立つので，数学的帰納法により，＜拡張リュカ
数列の定理＞が成り立つことがわかりました。
（証明終）
リュカ数列は，「フィボナッチ数列に現れる平方数は 1 と 144 だけである証明」に，大変重要
な働きをします。
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第 3 章 18 個の予備の定理を証明します。
第 5 章以降の定理を証明するためには，18 個の予備の定理を証明する必要があります。
証明には数学的帰納法を使ったものが数多くあります。
通常の数学的帰納法は，次のようにして，すべての自然数 に対して定理が成り立つことを
証明します。
• のときに定理が成り立つのを証明する。
• のときに定理が成り立つのを証明する。
• のときと， のときに定理が成り立つことを仮定すると，
のときに成り立つことが証明できる。
しかし，拡張フィボナッチ数列や，拡張リュカ数列の定理の場合は， の場合も証明しなく
てはならないので，次の場合にも成り立つことを証明しなければなりません。
• のときと， のときに定理が成り立つことを仮定すると，
のときに成り立つことが証明できる。
また， が自然数ではなく，マイナスをふくめたすべての整数を表している場合は， の
ときと のときに定理が成り立つことを証明しなくても，たとえば のときと の
ときのように，連続していればどんな 2 つの整数を使っても構いません。
では，18 個の予備の定理を 1 つずつ，証明していきましょう。
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＜定理 3-1＞
が整数のとき，
（証明） に関する数学的帰納法で証明します。
のとき，
左辺 ＝ ， （∵リュカ数列）
右辺 ＝ ， （∵拡張・フィボナッチ数列）
左辺＝右辺 なので，成り立っています。
のとき，
左辺 ＝ ， （∵リュカ数列）
右辺 ＝ ， （∵フィボナッチ数列）
左辺＝右辺 なので，成り立っています。
のときと， のときに，与式が成り立っていると仮定します。つ
まり，
（…「仮定式①」と名付けます）
と，
（…「仮定式②」と名付けます）
が，成り立っていると仮定するのです。
このときに， のときの式である，
（…「証明すべき式①」と名付けます）
と， のときの式である，
（…「証明すべき式②」と名付けます）
が成り立つことを証明すれば，完成です。
「証明すべき式①」の左辺
（∵リュカ数列の定義）
（∵仮定式①，仮定式②）
（∵交換）
（∵フィボナッチ数列の定義）
＝「証明すべき式①」の右辺
また，フィボナッチ数列の定義により，
式を変形して，
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変形した式の に を代入して，
（…途中式①と名付けます）
変形した式の に を代入して，
（…途中式②と名付けます）
さらに，リュカ数列の定義により，
式を変形して，
この式の に を代入して，
（…途中式③と名付けます）
「証明すべき式②」の左辺
（∵途中式③）
（∵仮定式①，仮定式②）
（∵交換）
（∵途中式①，途中式②）
＝「証明すべき式②」の右辺
よって， のときの式と， のときの式を仮定したときに，
のときの式と のときの式が成り立つので，数学的帰
納法により，＜定理 3-1＞が成り立つことがわかりました。
（証明終）
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＜定理 3-2＞
が整数のとき，
（証明） に関する数学的帰納法で証明します。
のとき，
右辺
（∵拡張フィボナッチ・拡張リュカ数列）
＝左辺 なので，成り立っています。
のとき，
右辺
（∵フィボナッチ・リュカ数列）
（∵定理 3-1）
（∵結合法則）
（∵フィボナッチ数列の定義）
＝左辺 なので，成り立っています。
のときと， のときに，与式が成り立っていると仮定します。つ
まり，
（…「仮定式①」と名付けます）
と，
（…「仮定式②」と名付けます）
が，成り立っていると仮定するのです。
このときに， のときの式である，
（…「証明すべき式①」と名付けます）
と， のときの式である，
（…「証明すべき式②」と名付けます）
が成り立つことを証明すれば，完成です。
「証明すべき式①」の右辺
（∵フィボナッチ，リュカ数列の定義）
（∵分配法則）
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（∵交換）
（∵仮定式①，仮定式②）
（∵分配法則）
（∵フィボナッチ数列の定義）
＝「証明すべき式①」の左辺
「証明すべき式②の右辺」
（∵フィボナッチ，リュカ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵交換）
（∵仮定式②，仮定式①）
（∵分配法則）
（∵フィボナッチ数列の定義）
＝「証明すべき式②の左辺」
よって， のときの式と， のときの式を仮定したときに，
のときの式と のときの式が成り立つので，数学的帰
納法により，＜定理 3-2＞が成り立つことがわかりました。
（証明終）
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＜定理 3-3＞
が整数のとき，
（証明） に関する数学的帰納法で証明します。
のとき，
右辺
（∵拡張フィボナッチ・拡張リュカ数列）
＝左辺 なので，成り立っています。
のとき，
右辺
（∵フィボナッチ・リュカ数列）
（∵5=4+1, 定理 3-1）
（∵結合法則）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵ 1+1=2）
（∵4=2+2）
（∵分配法則）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵定理 3-1）
＝左辺 なので，成り立っています。
のときと， のときに，与式が成り立っていると仮定します。つ
まり，
（…「仮定式①」と名付けます）
と，
（…「仮定式②」と名付けます）
が，成り立っていると仮定するのです。
このときに， のときの式である，
（…「証明すべき式①」と名付けます）
と， のときの式である，
（…「証明すべき式②」と名付けます）
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が成り立つことを証明すれば，完成です。
「証明すべき式①」の右辺
（∵フィボナッチ・リュカ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵交換）
（∵仮定式①，仮定式②）
（∵分配法則）
（∵リュカ数列の定義）
＝「証明すべき式①」の左辺
「証明すべき式②の右辺」
（∵フィボナッチ・リュカ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵交換）
（∵仮定式②，仮定式①）
（∵分配法則）
（∵リュカ数列の定義）
＝「証明すべき式②の左辺」
よって， のときの式と， のときの式を仮定したときに，
のときの式と のときの式が成り立つので，数学的帰
納法により，＜定理 3-3＞が成り立つことがわかりました。
（証明終）
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＜定理 3-4＞
が整数のとき，
（証明） が偶数の場合と奇数の場合に分けて証明します。
＜ が偶数の場合＞
として， ですから，
を証明すればよいことになります。
に関する数学的帰納法で証明します。
のとき，
左辺
（∵フィボナッチ数列）
＝右辺 なので，成り立ちます。
のときに，与式が成り立っていると仮定します。つまり，
（…「仮定式」と名付けます）
が，成り立っていると仮定するのです。
このときに， のときの式である，
（…「証明すべき式①」と名付けます）
と， のときの式である，
（…「証明すべき式②」と名付けます）
が成り立つことを証明すれば，完成です。
「証明すべき式①」の左辺
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵交換）
（∵分配法則）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵交換）
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（∵分配法則）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵仮定式）
＝「証明すべき式①」の右辺
「証明すべき式②」の左辺
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵交換）
（∵分配法則）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵交換）
（∵分配法則）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵仮定式）
＝「証明すべき式②」の右辺
よって， のときの式を仮定したときに， のときの式と
のときの式が成り立つので，数学的帰納法により，＜定理 3-4
＞は が偶数の場合に成り立つことがわかりました。
＜ が奇数の場合＞
として，
ですから，
を証明すればよいことになります。
に関する数学的帰納法で証明します。
のとき，
左辺
（∵拡張・フィボナッチ数列）
＝右辺 なので，成り立ちます。
のときに，与式が成り立っていると仮定します。つまり，
（…「仮定式」と名付けます）
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が，成り立っていると仮定するのです。
このときに， のときの式である，
（…「証明すべき式①」と名付けます）
と， のときの式である，
（…「証明すべき式②」と名付けます）
が成り立つことを証明すれば，完成です。
「証明すべき式①」の左辺
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵交換）
（∵分配法則）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵交換）
（∵分配法則）
（∵フィボナッチの定義）
（∵仮定式）
＝「証明すべき式①」の右辺
「証明すべき式②」の左辺
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵交換）
（∵分配法則）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵交換）
（∵分配法則）
（∵フィボナッチの定義）
（∵仮定式）
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＝「証明すべき式②」の右辺
よって， のときの式を仮定したときに， のときの式
と のときの式が成り立つので，数学的帰納法により，＜
定理 3-4＞は が奇数の場合に成り立つことがわかりました。
偶数のときも奇数のときも＜定理 3-4＞が成り立つことがわかった
ので，＜定理 3-4＞は証明されました。
（証明終）
＜定理 3-5＞
が整数のとき，
（証明） 左辺
（∵定理 3-1）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵ 1 + 1 = 2）
（∵ 式の展開）
（∵ 1 - 5 = -4）
（∵ 分配法則）
（∵ 分配法則）
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵定理 3-4）
＝右辺
（証明終）
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＜定理 3-6＞
Ｆ 3の倍数＝偶数，Ｆ 3の倍数でない＝奇数
（証明） を整数として，次の式を証明できればＯＫです。
＝偶数， ＝奇数， ＝奇数
に関する数学的帰納法で証明します。
のとき，
＝偶数，
＝奇数，
＝奇数
よって与式は成り立っています。
のとき，与式が成り立っていると仮定します。
つまり，
＝偶数， ＝奇数， ＝奇数
（…「仮定式」と名付けます）
が成り立っていると，仮定するのです。
このときに， のときの式である，
＝偶数， ＝奇数， ＝奇数
と，
のときの式である，
＝偶数， ＝奇数， ＝奇数
が成り立つことを証明すれば，完成です。
＝奇数＋奇数＝偶数，
（∵仮定式）
＝奇数＋偶数＝奇数，
（∵仮定式と上の式）
＝偶数＋奇数＝奇数，
（∵上の式）
＝奇数-偶数＝奇数，
（∵仮定式）
＝偶数-奇数＝奇数，
（∵仮定式と上の式）
＝奇数-奇数＝偶数，
（∵上の式）
よって，証明すべき式は，すべて証明されました。
（証明終）
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＜定理 3-7＞
Ｌ 3の倍数＝偶数，Ｌ 3の倍数でない＝奇数
（証明） 定理 3-6 と，ほとんど同じ内容です。
を整数として，次の式を証明できればＯＫです。
＝偶数， ＝奇数， ＝奇数
に関する数学的帰納法で証明します。
のとき，
＝偶数，
＝奇数，
＝奇数
よって与式は成り立っています。
のとき，与式が成り立っていると仮定します。
つまり，
＝偶数， ＝奇数， ＝奇数
（…「仮定式」と名付けます）
が成り立っていると，仮定するのです。
このときに， のときの式である，
＝偶数， ＝奇数， ＝奇数
と， のときの式である，
＝偶数， ＝奇数， ＝奇数
が成り立つことを証明すれば，完成です。
＝奇数＋奇数＝偶数，
（∵仮定式）
＝奇数＋偶数＝奇数，
（∵仮定式と上の式）
＝偶数＋奇数＝奇数，
（∵上の式）
＝奇数-偶数＝奇数，
（∵仮定式）
＝偶数-奇数＝奇数，
（∵仮定式と上の式）
＝奇数-奇数＝偶数
（∵上の式）
よって，証明すべき式は，すべて証明されました。
（証明終）
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＜定理 3-8＞
が 3 の倍数でなければ， と は互いに素で，
が 3 の倍数であれば， と の最大公約数は 2 になる。
（証明） 大変面白い証明内容です。
定理 3-5により，次のことがわかっています。
が整数のとき，
よって， は， か です。
と の最大公約数を とすると，
と表すことができます。ただし， と とは互いに素です。
の式を，定理 3-5の式に代入すると，
か になります。
式を変形して，
か
分配法則を適用して，
か
よって， は か の約数のうち，平方数であるものなので， か
です。
最大公約数は必ず正なので， は か です。
ところで，定理 3-6と定理 3-7により，
Ｆ 3の倍数＝偶数，Ｆ 3の倍数でない＝奇数
Ｌ 3の倍数＝偶数，Ｌ 3の倍数でない＝奇数
よって， が の倍数でないならば， も も奇数なので， を約数に
持つことはありません。したがって， は になり， と は互いに素に
なります。
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また， が の倍数ならば，定理 3-6と定理 3-7により， も も偶
数なので， を約数に持ちます。したがって， は になり， と
の最大公約数は になります。
（証明終）
＜定理 3-9＞
が整数のとき，
（証明） に関する数学的帰納法で証明します。
のとき，
右辺
（∵フィボナッチ数列）
（∵リュカ数列の定義）
＝左辺 なので，成り立っています。
のとき，
右辺
（∵フィボナッチ数列）
（∵ 2 = 1 + 1）
（∵リュカ数列の定義）
（∵リュカ数列の定義）
＝左辺 なので，成り立っています。
のときと， のときに，与式が成り立っていると仮定します。
つまり，
（…「仮定式①」と名付けます）
と，
（…「仮定式②」と名付けます）
が，成り立っていると仮定するのです。
このときに， のときの式である，
（…「証明すべき式①」と名付けます）
と， のときの式である，
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（…「証明すべき式②」と名付けます）
が成り立つことを証明すれば，完成です。
「証明すべき式①」の右辺
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵交換）
（∵仮定式①，仮定式②）
（∵リュカ数列の定義）
＝「証明すべき式①」の左辺
「証明すべき式②の右辺」
（∵フィボナッチ数列の定義）
（∵分配法則）
（∵交換）
（∵仮定式②，仮定式①）
（∵リュカ数列の定義）
＝「証明すべき式②の左辺」
よって， のときの式と， のときの式を仮定したときに，
のときの式と のときの式が成り立つので，数学的帰
納法により，＜定理 3-9＞が成り立つことがわかりました。
（証明終）
＜定理 3-10＞
が整数のとき，
（証明） 定理 3-9 により，次のことがわかっています。
この式において， に を代入すると，
（→「式ア」とします）
また，定理 3-4 により，次のことがわかっています。
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に を代入して，
（→「式イ」とします）
同じく，定理 3-4 により，
において， に を代入して，
（→「式ウ」とします）
与式の左辺－右辺
（∵「式ア」）
（∵定理 3-1）
（∵分配法則，式の展開）
（∵式の整理）
（∵式ウ，イを利用するための整理）
（∵式ウ，イ）
よって，与式の左辺と右辺が等しいので，＜定理 3-10＞が成り立つこと
がわかりました。
（証明終）
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次の＜定理 3-11＞以降の定理では，「……が で割り切れる 」 という定理が数多く出て
きますが，割り算ができるためには， が ではないことが前提です。
しかし，リュカ数列の定義により， であるし，
ですから， 以降も正なので， ではありません。
また， であるし，拡張リュカ数列の定理 により， なので， が で
ないなら， も ではありません。
以上のことから， は にはならないことがわかり，安心して割り算できることがわかりまし
た。
＜定理 3-11＞
が偶数のとき， は で割り切れる。
（証明） 定理 3-10 により，次のことがわかっています。
が整数のとき，
が偶数のとき， ですから，次のような式になります。
が偶数のとき，
移項して，
よって，「 が で割り切れる 」 ことを証明するためには，「
が で割り切れる 」 ことを証明するだけでよいです。
ところが， ですから， は で割り切れるので，＜
定理 3-11＞が成り立つことがわかりました。
（証明終）
＜定理 3-12＞
が整数のとき， は で割り切れる。
（証明） 定理 3-2 により，次のことがわかっています。
が整数のとき，
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この式の に を代入して，
よって，
なので，
したがって， なので， は で割り切れるので，
＜定理 3-12＞が成り立つことがわかりました。
（証明終）
＜定理 3-13＞
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割り切れる。
（証明） 定理 3-3 により，次のことがわかっています。
が整数のとき，
この式の， に を， に を代入すると，
フィボナッチ数列の定義 と リュカ数列の定義 により， です
から，
両辺に 2 を加えて，
分配法則により，
（…「式ア」と名付けます）
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定理 3-12により，次のことがわかっています。
が整数のとき， は で割り切れる。
（…「式イ」と名付けます）
定理 3-11により，次のこともわかっています。
が偶数のとき， は で割り切れる。
（…「式ウ」と名付けます）
「式イ」と「式ウ」から，
が偶数のとき， は で割り切れる。
「式ア」から，
が偶数のとき， は で割り切れる。
ところで，定理 3-7 により，次のことがわかっています。
Ｌ 3の倍数でない＝奇数
仮定により， は 3 の倍数でないのですから， は奇数です。よって，
2 を で割り切ることはできません。
したがって， が で割り切れることになります。
したがって，＜定理 3-13＞が成り立つことがわかりました。
（証明終）
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＜定理 3-14＞
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割り切れる。
（証明） 定理 3-2 により，次のことがわかっています。
が整数のとき，
この式の， に を， に を代入すると，
リュカ数列の定義 と フィボナッチ数列の定義 により， です
から，
両辺に 2 を加えて，
分配法則により，
（…「式ア」と名付けます）
ところで，定理 3-12により，次のことがわかっています。
が整数のとき， は で割り切れる。
（…「式イ」と名付けます）
また，定理 3-11により，次のこともわかっています。
が偶数のとき， は で割り切れる。
（…「式ウ」と名付けます）
「式イ」と「式ウ」から，
が偶数のとき， は で割り切れる。
「式ア」から，
が偶数のとき， は で割り切れる。
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ところで，定理 3-7 により，次のことがわかっています。
Ｌ 3の倍数でない＝奇数
仮定により， は 3 の倍数でないのですから， は奇数です。よって，
2 を で割り切ることはできません。
したがって， が で割り切れることになります。
よって，＜定理 3-14＞が成り立つことがわかりました。
（証明終）
＜定理 3-15＞
が整数で， が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割り切れる。
（証明） に関する数学的帰納法で証明します。
のとき，
（∵リュカ数列）
が で割り切れることを示せばよいのですが，定理 3-13である，
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割り切れる。
から，これは成り立ちます。
のとき，
（∵リュカ数列）
（∵リュカ数列の定義）
（∵ 3 = 2 + 1 ）
が で割り切れることを示せばよいのですが， 定理 3-11により，次のこと
がわかっています。
が偶数のとき， は で割り切れる。
また，定理 3-13により，次のこともわかっています。
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割り切れる。
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よって， が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割り切れ，
も で割り切れることがわかるので，
が で割り切れることになり，成り立ちます。
次に， のときと， のときに，与式が成り立っていると仮定
します。つまり，
が で割り切れる （…「仮定式①」と名付けます）
と，
が で割り切れる （…「仮定式②」と名付けます）
が，成り立っていると仮定するのです。
このときに， のときの式である，
が で割り切れる
（…「証明すべき式①」と名付けます）
と， のときの式である，
が で割り切れる
（…「証明すべき式②」と名付けます）
が成り立つことを証明すれば，完成です。
「証明すべき式①」
が で割り切れる
が
で割り切れる （∵リュカ数列の定義）
が
で割り切れる （∵交換）
ところが，仮定式①と仮定式②により，これは成り立ちます。
「証明すべき式②」
が で割り切れる
が
で割り切れる （∵リュカ数列の定義）
が
で割り切れる （∵リュカ数列の定義）
ところが，仮定式②と仮定式①により，これも成り立ちます。
よって， のときの式と， のときの式を仮定したときに，
のときの式と のときの式が成り立つので，数学的帰
納法により，＜定理 3-15＞が成り立つことがわかりました。
（証明終）
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＜定理 3-16＞
が整数で， が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割り切れる。
（証明） に関する数学的帰納法で証明します。
のとき，
（∵フィボナッチ数列）
が で割り切れることを示せばよいのですが，定理 3-14である，
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割り切れる。
から，これは成り立ちます。
のとき，
（∵フィボナッチ数列）
（∵フィボナッチ数列の定義）
が で割り切れることを示せばよいのですが， 定理 3-12により，次のこと
がわかっています。
が整数のとき， は で割り切れる。
また，定理 3-14により，次のこともわかっています。
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割り切れる。
よって， が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割り切れ，
も で割り切れることがわかるので， が
で割り切れることになり，成り立ちます。
次に， のときと， のときに，与式が成り立っていると仮定しま
す。つまり，
が で割り切れる （…「仮定式①」と名付けます）
と，
が で割り切れる （…「仮定式②」と名付けます）
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が，成り立っていると仮定するのです。
このときに， のときの式である，
が で割り切れる
（…「証明すべき式①」と名付けます）
と， のときの式である，
が で割り切れる
（…「証明すべき式②」と名付けます）
が成り立つことを証明すれば，完成です。
「証明すべき式①」
が で割り切れる
が
で割り切れる （∵フィボナッチ数列の定義）
が
で割り切れる （∵交換）
ところが，仮定式①と仮定式②により，これは成り立ちます。
「証明すべき式②」
が で割り切れる
が
で割り切れる （∵フィボナッチ数列の定義）
が
で割り切れる （∵フィボナッチ数列の定義）
ところが，仮定式②と仮定式①により，これも成り立ちます。
よって， のときの式と， のときの式を仮定したときに，
のときの式と のときの式が成り立つので，数学的帰
納法により，＜定理 3-16＞が成り立つことがわかりました。
（証明終）
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＜定理 3-17＞
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割ると あまる。
（証明） すべての整数は，6 で割ったときのあまりは，0, 1, 2, 3, 4, 5 のいずれかで
す。
このあまりの中で，偶数で 3 の倍数でないものは，2, 4 のみです。
よって， を 6 で割ったときのあまりが 2 または 4 のとき， は 4 で割る
と 3 あまることを証明すればＯＫです。
ところで，リュカ数列は，1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ……のように，はじめの 2
つが 1 と 3 で，そのあとは，直前の 2 個の和を次々と求めていってできる数
列ですが，これをちょっと変えて，「直前の 2 個の和」ではなく，「直前の 2 個
の和を 4 で割ったときのあまり」にすると，次のような数列になります。
1, 3, 0, 3, 3, 2, 1, 3, ……
この数列を，6 個ずつ段にして書くと，次のようになります。
1, 3, 0, 3, 3, 2,
1, 3, 0, 3, 3, 2,
1, 3, 0, 3, 3, 2,
………………………
………………………
つまり， を 6 で割ったときのあまりが 2 または 4 のとき， は，4 で割っ
たときのあまりが 3 になります。
よって， が 偶数で 3 の倍数でないとき， は 4 で割ると 3 あまること
が証明されました。
（証明終）
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＜定理 3-18＞
が 3 の倍数でなくしかも 4 の倍数であるとき， は でも でも割り切れない。
（証明） 定理 3-7により，次のことがわかっています。
Ｌ 3の倍数＝偶数，Ｌ 3の倍数でない＝奇数
よって， が 2 で割り切れないことはわかりました。
あとは， が 3 でも割り切れないことがわかれば，証明終了です。
ところで，リュカ数列は，1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ……のように，はじめの 2
つが 1 と 3 で，そのあとは，直前の 2 個の和を次々と求めていってできる数
列ですが，これをちょっと変えて，「直前の 2 個の和」ではなく，「直前の 2 個
の和を 3 で割ったときのあまり」にすると，次のような数列になります。
1, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, ……
この数列を，4 個ずつ段にして書くと，次のようになります。
1, 0, 1, 1,
2, 0, 2, 2,
1, 0, 1, 1,
2, 0, 2, 2,
………………………
………………………
つまり， が 4 の倍数のとき， は，3 で割ったときのあまりが 1 か 2 に
なり，3 で割り切れることはありません。
よって， が 3 の倍数ではない 4 の倍数のとき， は 2 でも 3 でも割り
切れないことが証明されました。
（証明終）
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第 4 章 素因数分解に関する定理を証明します。
この章は，次の 4 個の定理を証明するための章です。
＜定理 4-1＞
が整数のとき， を素因数分解したときに， 4 で割ると 3 あまるような素因数は
現れない。
＜定理 4-2＞
が整数のとき， を素因数分解したときに， 4 で割ると 3 あまるような素因数は
現れない。
＜定理 4-3＞
が整数のとき， を素因数分解したときに， 4 で割ると 3 あまるような素因数
は，3 しか現れない。
＜定理 4-4＞
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整数を素因数分解する
と，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる。
この 4 個の定理を証明するために，「補題 4-1」，「補題 4-2」，「フェルマの小定理」，「フェル
マの小定理の別の見方」，「因数定理の利用１」，「因数定理の利用２」，「因数定理の利用３」，
「定理 4-1」，「定理 4-2」，「定理 4-3」, 「定理 4-4」の順に証明していきます。
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＜補題 4-1＞
が素数で， が と互いに素な整数のとき， を で割っ
たあまりはすべて異なる。
（証明） もし， と とが，同じあまりを持っていると仮定します。
ここで， としても，一般性を失いません。
と の， で割ったときのあまりをどちらも とすると，
のように表すことができますから，
ですから，
は で割り切れることになります。
よって， の素因数の中に がふくまれているはずですが， は
と互いに素なので を素因数に持っておらず， は， も も から
の間にある数なので， と の差（つまり， のこと）が， 以上に広がるこ
とはありえず， は 未満の数になるので， を素因数に持っていませ
ん。
したがって， も を素因数に持っていないことになり，矛盾していま
す。
矛盾の原因は， の中で， で割ったときに，同じ
あまりがあるのが存在すると仮定したからなので，あまりはすべて異なること
が証明できました。
（証明終）
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＜補題 4-2＞
整数 を 整数 で割ったときのあまりを とす
ると， は で割り切れる。
（証明）
………………………
とします。一般的に， です。
に関する数学的帰納法で証明します。
のとき， ですから， は で割り切れるので，成
り立っています。
のとき， は で割り切れると仮定
します。
そこで， とします。
です。 （…「式ア」と名付けます。）
すると， のとき，
（∵「式ア」）
（∵ ）
（∵式の展開）
（∵式の整理）
（∵分配法則）
ですから， は で割り切れま
す。
よって，＜補題 4-2＞は証明されました。
（証明終）
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＜フェルマの小定理＞
が素数で， が と互いに素な整数のとき， は で割り切れる。
（証明） は， と互いに素で， も と互いに素ですから，
も， と互いに素なので， で割ったときに割り切
れることはありません。
そこで，
………………………
とします。
すると， は 0 ではなく，しかも補題 4-1の，
が素数で， が と互いに素な整数のとき，
を で割ったあまりはすべて異なる。
により，すべて異なっています。
すると， は，順番は変わっているかも知れませんが，
全体としては， と同じです。
ですから，
（…「式ア」と名付けます。）
となります。
ところで，補題 4-2により，次のことがわかっています。
整数 を 整数 で割ったときのあまりを
とすると， は
で割り切れる。
いまは， 整数 を 整数 で割ったときのあまり
を としたのですから，
は で割り切れる。
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整理して，
は で割り
切れる。
上の式に は 個ありますから，
は で割り切れる。
「式ア」により， ですから，
は で割り切れ
る。
分配法則により，
は で割り切れる。
よって， の素因数の中に がふくまれ
ていることになりますが， の素因数の中に がふくまれ
ることはないので， の中に がふくまれている，つまり，
は で割り切れることになり，フェルマの小定理が証明されました。
（証明終）
＜フェルマの小定理の別の見方＞
が素数で， が整数のとき， は で割り切れる。
（証明） が と互いに素な整数のときは，フェルマの小定理により， は
で割り切れるので， も で割り切れることになり，
＜フェルマの小定理の別の見方＞が証明できました。
が と互いに素でないときは， は を素因数に持つので， とす
ることができ， も
で割り切れることになり，＜フェルマの小定理の別の見方＞が証明できまし
た。
（証明終）
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＜因数定理の利用１＞
が 4 で割ると 3 あまる素数のとき，
を で割ると，あまりは になる。
（証明） を 2 次式 で割ったときの商を とします。
あまりは 1 次式になるので， とすると，
この式は恒等式なので， にどんな値を代入しても，式は成り立ちます。
そこで，（ を 0 にしたいために） に虚数である を代入すると，
ところで， は 4 で割ると 3 あまる素数なので， とすると，
ところで， なので，
また，
よって，
したがって，
になるので， となり，＜因数定
理の利用１＞は証明されました。
（証明終）
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＜因数定理の利用２＞
が 4 で割ると 3 あまる素数のとき，
を で割ると，あまりは になる。
（証明） を 2 次式 で割ったときの商を とします。
あまりは 1 次式になるので， とすると，
この式は恒等式なので， にどんな値を代入しても，式は成り立ちます。
そこで，（ を 0 にしたいために） に虚数である を代入すると，
ところで， は 4 で割ると 3 あまる素数なので， とすると，
ところで， なので，
また，
よって，
したがって， なので，
になるので， となり，＜因数定理の利
用２＞は証明されました。
（証明終）
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＜因数定理の利用３＞
が 4 で割ると 3 あまる素数のとき，
を で割ると，あまりは になる。
（証明） を 2 次式 で割ったときの商を とします。
あまりは 1 次式になるので， とすると，
この式は恒等式なので， にどんな値を代入しても，式は成り立ちます。
そこで，（ を 0 にしたいために） に虚数である を代入すると，
ところで， は 4 で割ると 3 あまる素数なので， とすると，
ところで， なので，
また，
よって，
したがって， になるので，
となり，＜因数定理の利用３＞
は証明されました。
（証明終）
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＜定理 4-1＞
が整数のとき， を素因数分解したときに， 4 で割ると 3 あまるような素因数は
現れない。
（証明） 背理法によって証明します。
が，4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定します。
すると， は で割り切れます。 （…「仮定ア」と名付けます。）
ところで， を で割ったとき，割り切れる場合と割り切れない場合がありま
すが，どちらにしても矛盾することを，これから証明します。
まず， を で割ったとき，割り切れる場合を考えます。 商を とすると，
となりますが，そのとき， となり，
を で割ると 1 あまることになります。
つまり， を で割っても，割り切れないことがわかり，「仮定ア」に矛
盾します。
次に， を で割ったとき，割り切れない場合を考えます。
このときの証明には，＜因数定理の利用１＞を使います。
＜因数定理の利用１＞によって，次のことがわかっています。
が 4 で割ると 3 あまる素数のとき，
を で割ると，あまりは になる。
いま， が，4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定し
ているのですから，その を使って，
（…「式イ」と名付けます）
という式を作ることができます。ただし， は多項式です。
ところで，＜フェルマの小定理の別の見方＞によって，
が素数で， が整数のとき， は で割り切れます。
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また，「仮定ア」により， は で割り切れるのですから，
も で割り切れます。
「式イ」である，
において， は で割り切れ， も で割り切れるので
すから， も， で割り切れることになります。
つまり， は という素因数を持っていなければならないのですが，
は という素因数を持っているわけがないので， が， という素因数を
持っていることになり， は で割り切れることになります。
しかし，いまは， が で割ったとき，割り切れない場合を考えているの
ですから，これは矛盾です。
よって， を で割ったとき，割り切れる場合と割り切れない場合があり
ますが，どちらにしても矛盾することが，証明できました。
矛盾の原因は， が，4 で割ると 3 あまるような素因数を持っている
と仮定したことにあります。
仮定が否定されたので， は，4 で割ると 3 あまるような素因数を
持っていない，つまり， を素因数分解したときに，4 で割ると 3 あま
るような素因数は現れないことがわかりました。
（証明終）
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＜定理 4-2＞
が整数のとき， を素因数分解したときに， 4 で割ると 3 あまるような素因数は
現れない。
（証明） 背理法によって証明します。
が，4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定します。
すると， は で割り切れます。 （…「仮定ア」と名付けます。）
ところで， を で割ったとき，割り切れる場合と割り切れない場合がありま
すが，どちらにしても矛盾することを，これから証明します。
まず， を で割ったとき，割り切れる場合を考えます。 商を とすると，
となりますが，そのとき， となり，
を で割ると 4 あまることになります。（ただし， のときは，
ですから，1 あまります。）
つまり， を で割っても，割り切れないことがわかり，「仮定ア」に矛
盾します。
次に， を で割ったとき，割り切れない場合を考えます。
このときの証明には，＜因数定理の利用２＞を使います。
＜因数定理の利用２＞によって，次のことがわかっています。
が 4 で割ると 3 あまる素数のとき，
を で割ると，あまりは になる。
いま， が，4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定し
ているのですから，その を使って，
（…「式イ」と名付けます）
という式を作ることができます。ただし， は多項式です。
ところで，＜フェルマの小定理の別の見方＞によって，
が素数で， が整数のとき， は で割り切れます。
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また，「仮定ア」により， は で割り切れるのですから，
も で割り切れます。
「式イ」である，
において， は で割り切れ， も で割り切れるので
すから， も， で割り切れることになります。
つまり， は という素因数を持っていなければなりません。
しかし， は，「整数2 ＋ 1 」という形をしているの
で，定理 4-1の，
が整数のとき， を素因数分解したときに， 4 で割ると 3 あ
まるような素因数は現れない。
により， を素因数に持っていません。
は という素因数を持っていなければならないのですが，
の方は を素因数に持っていないので， の方が， という素
因数を持っていることになり， は で割り切れることになります。
しかし，いまは， が で割ったとき，割り切れない場合を考えているの
ですから，これは矛盾です。
よって， を で割ったとき，割り切れる場合と割り切れない場合があり
ますが，どちらにしても矛盾することが，証明できました。
矛盾の原因は， が，4 で割ると 3 あまるような素因数を持っている
と仮定したことにあります。
仮定が否定されたので， は，4 で割ると 3 あまるような素因数を
持っていない，つまり， を素因数分解したときに，4 で割ると 3 あま
るような素因数は現れないことがわかりました。
（証明終）
48/81 ページ
＜定理 4-3＞
が整数のとき， を素因数分解したときに， 4 で割ると 3 あまるような素因数
は，3 しか現れない。
（証明） 背理法によって証明します。
が，「 3 以外の」 4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っている
と仮定します。
すると， は で割り切れます。 （…「仮定ア」と名付けます。）
ところで， を で割ったとき，割り切れる場合と割り切れない場合がありま
すが，どちらにしても矛盾することを，これから証明します。
まず， を で割ったとき，割り切れる場合を考えます。 商を とすると，
となりますが，そのとき， とな
り， を で割ると 36 あまることになります。
ただし， は「 3 以外の」 4 で割ると 3 あまる素数ですから，7, 11, 19, 23,
31, 43, …などが考えられ, が 31 以下のときは，36 あまるわけではありませ
んが，割り切れないことは間違いありません。
つまり， を で割っても，割り切れないことがわかり，「仮定ア」に矛
盾します。
次に， を で割ったとき，割り切れない場合を考えます。
このときの証明には，＜因数定理の利用３＞を使います。
＜因数定理の利用３＞によって，次のことがわかっています。
が 4 で割ると 3 あまる素数のとき，
を で割ると，あまりは になる。
いま， が，4 で割ると 3 あまるような素因数 を持っていると仮定し
ているのですから，その を使って，
（…「式イ」と名付けます）
という式を作ることができます。ただし， は多項式です。
ところで，＜フェルマの小定理の別の見方＞によって，
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が素数で， が整数のとき， は で割り切れます。
また，「仮定ア」により， は で割り切れるのですから，
も で割り切れます。
「式イ」である，
において， は で割り切れ， も で割り切れるの
ですから， も， で割り切れることになります。
つまり， は という素因数を持っていなければなりませ
ん。
しかし， は，「整数2 ＋ 1 」という形をして
いるので，定理 4-1の，
が整数のとき， を素因数分解したときに， 4 で割ると 3 あ
まるような素因数は現れない。
により， を素因数に持っていません。
は という素因数を持っていなければならないのです
が， の方は を素因数に持っていないので， の方が， と
いう素因数を持っていることになり， は で割り切れることになります。
しかし，いまは， が で割ったとき，割り切れない場合を考えているの
ですから，これは矛盾です。
よって， を で割ったとき，割り切れる場合と割り切れない場合があり
ますが，どちらにしても矛盾することが，証明できました。
矛盾の原因は， が，4 で割ると 3 あまるような素因数を持ってい
ると仮定したことにあります。
仮定が否定されたので， は，4 で割ると 3 あまるような素因数を
持っていない，つまり， を素因数分解したときに，4 で割ると 3 あま
るような素因数は，3 しか現れないことがわかりました。
（証明終）
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＜定理 4-4＞
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整数を素因数分解する
と，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる。
（証明） 背理法で矛盾を導く方法で，証明していきます。
ある整数が 4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整数を素因数分
解したときに，「 4 で割ると 3 あまる素数が 1 個もふくまれていない」と仮定し
ます。
…「仮定式」と名付けます
4 で割ると 3 あまる整数というのは奇数ですから，素因数として 2 を持つこ
とはありません。
しかも，仮定式から，素因数に「 4 で割ると 3 あまる素数」も，1 個もふくまれ
ていないと仮定しました。
素因数として 2 も持っておらず，「 4 で割ると 3 あまる素数」も持っていない
となると，この整数の素因数は，すべて「 4 で割ると 1 あまる素数」だけになり
ます。
つまり，「仮定式」から，
4 で割ると 3 あまる整数＝ とすることができます。
ただし， は，すべて 4 で割ると 1 あまる素数です。
ところが，補題 4-2によって，
整数 を 整数 で割ったときのあまりを
とすると， は
で割り切れる。
この式の，整数 を にして， を 4
にすると， はすべて 1 になりますから，補題 4-2は，
素数 を 整数 で割ったときのあまりを
とすると， は で割り切れる。
となります。整理して，
素数 を 整数 で割ったときのあまりを
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とすると， は で割り切れる。
つまり，4 で割ると 3 あまる整数＝ ＝ 4 で割ると，1 あま
る
となり，矛盾します。
矛盾の原因は，"4 で割ると 3 あまる整数を素因数分解したときに，「 4
で割ると 3 あまる素数が 1 個もふくまれていない" と仮定したことにありま
す。
よって， 4 で割ると 3 あまる整数を素因数分解すると，必ず 4 で割ると
3 あまる素数が 1 個はふくまれていることになり，＜定理 4-4＞ は証明さ
れました。
（証明終）
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第 5 章 リュカ数列に現れる平方数は，1 と 4 だけであることを証明します。
リュカ数列は，1, 3, 4, 7, 11, 18, … と続きます。
この中で，1 番目である 1 と，3 番目である 4 だけが，平方数であることを証明していきます。
＜n が偶数の場合＞
リュカ数列の偶数番目には，平方数は現れない。
（証明） 背理法で証明します。
リュカ数列の偶数番目に，平方数が現れると仮定します。
この章では，リュカ数列 において， が偶数のときは は平方数にな
らず， が 4 で割ると 1 あまる整数のときは のときのみ平方数にな
り， が 4 で割ると 3 あまる整数のときは のときのみ平方数になるこ
とを証明していきます。
自然数の平方数は， と，い
つまでも続いていきますが，隣同士の平方数と平方数の間は，
と，どんどん広がっていきます。
もっとも間がせまいのは， のときです。
ところで，定理 3-10により，次のことがわかっています。
が整数のとき，
つまり， 偶数 です。
は平方数ですから， 偶数 も平方数ならば，平方数と平方数の間が 2 し
かはなれていないことになり，矛盾します。
矛盾の原因は，リュカ数列の偶数番目に，平方数が現れると仮定したことで
した。
よって，リュカ数列の偶数番目には，平方数が現れないことが証明できまし
た。
（証明終）
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＜n が 4 で割ると 1 あまる数の場合＞
が 4 で割ると 1 あまる数の場合，リュカ数列 が平方数になるのは， のと
きだけである。
（証明） のとき， は，確かに平方数です。
そこで， ，つまり， のときに， が平方数になったと仮定
し，背理法で矛盾を導きます。
は，4 でわると 1 あまる整数ですから， は 0 より大きい 4 の倍数で
す。そこで， とすると， は 0 より大きい偶数です。
ここで， を素因数分解してみます。
を素因数分解したときに，3 が何回現れるかに注目します。 回現れたと
し， とします。ただし，3 が 1 回も現れないこともあるので， は 0
であることも考えられます。
は偶数だったので，素因数分解すると 2 がふくまれています。 を で
割ったときの商が ですが，3 で何回割っても， の中の素因数である 2 は
そのまま残っているので， の中にも，素因数 2 は残っています。つまり，
は偶数です。
また， は を 3 で割れるだけ割った残りですから， の中に，もう 3 は
ふくまれていません。つまり， は 3 の倍数ではありません。
で， ですから，
と表せることになります。
ただし， は 0 以上の整数で， は 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数で
はない数です。
ここで，定理 3-15により，次のことがわかっています。
が整数で， が偶数で 3 の倍数でないとき，
は で割り切れる。
この式を，何回も利用します。
に を代入して，
は で割り切れる。… 1 回目
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に を代入してマイナスにして，
は で割り切れる。… 2 回目
に を代入して，
は で割り切れる。… 3 回目
このように，i 番目ならば に を代入して，しかも偶数回目のと
きはマイナスにして，式をどんどん， 回目まで作っていきます。
回目は奇数回目ですから（ のときも， なので奇数で
す），マイナスにはせず， に を代入することになり，
は で割り切れる。… 回目
ところで，
でしたから， です。よって， 回目の式の中の，
は になり， は になります。
よって， 回目の式を書き直すと，
は で割り切れる。… 回目
もう一度，式だけ並べると，次のようになります。
は で割り切れる。… 1 回目
は で割り切れる。… 2 回目
は で割り切れる。… 3 回目
………………………………………………
………………………………………………
は で割り切れる。… 回目
これらの，1 回目の式から 回目の式までを足します。
すると，1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合
い，2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い，と
いうように，どんどん打ち消し合って，結局，
は で割り切れる。
となります。
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ところで， です。 また，定理 3-17により
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割ると あまる。
から，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
となります。
ところで，定理 4-4 により，次のことがわかっています。
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整
数を素因数分解すると，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ
る。
ということから， には，4 で割ると 3 あまる素数がふくまれるは
ずです。
しかし， が平方数なら，定理 4-1によって，
が整数のとき， を素因数分解したときに，4 で割ると 3
あまるような素因数は現れない。
と矛盾します。
矛盾の原因は， が 4 で割ると 1 あまる数で， のときに， が
平方数であると仮定したことにあります。
よって， が 4 で割ると 3 あまる数のとき，リュカ数列 が平方数
になるのは， のときだけであることが証明できました。
（証明終）
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＜n が 4 で割ると 3 あまる数の場合＞
が 4 で割ると 3 あまる数の場合，リュカ数列 が平方数になるのは， のと
きだけである。
（証明） 証明は，＜n が 4 で割ると 1 あまる数の場合＞ と非常によく似ています｡
のとき， は，確かに平方数です。
そこで， ，つまり， のときに が平方数になったと仮定し，背
理法で矛盾を導きます。
は，4 でわると 3 あまる整数ですから， は 0 より大きい 4 の倍数で
す。そこで， とすると， は 0 より大きい偶数です。
ここで， を素因数分解してみます。
を素因数分解したときに，3 が何回現れるかに注目します。 回現れたと
し， とします。ただし，3 が 1 回も現れないこともあるので， は 0
であることも考えられます。
は偶数だったので，素因数分解すると 2 がふくまれています。 を で
割ったときの商が ですが，3 で何回割っても， の中の素因数である 2 は
そのまま残っているので， の中にも，素因数 2 は残っています。つまり，
は偶数です。
また， は を 3 で割れるだけ割った残りですから， の中に，もう 3 は
ふくまれていません。つまり， は 3 の倍数ではありません。
で， ですから，
と表せることになります。
ただし， は 0 以上の整数で， は 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数で
はない数です。
ここで，定理 3-15により，次のことがわかっています。
が整数で， が偶数で 3 の倍数でないとき，
は で割り切れる。
この式を，何回も利用します。
に を代入して，
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は で割り切れる。… 1 回目
に を代入してマイナスにして，
は で割り切れる。… 2 回目
に を代入して，
は で割り切れる。… 3 回目
このように，i 番目ならば に を代入して，しかも偶数回目のと
きはマイナスにして，式をどんどん， 回目まで作っていきます。
回目は奇数回目ですから（ のときも なので奇数で
す），マイナスにはせず， に を代入することになり，
は で割り切れる。… 回目
ところで，
でしたから， です。よって， 回目の式の中の，
は になり， は になります。
よって， 回目の式を書き直すと，
は で割り切れる。… 回目
もう一度，式だけ並べると，次のようになります。
は で割り切れる。… 1 回目
は で割り切れる。… 2 回目
は で割り切れる。… 3 回目
………………………………………………
………………………………………………
は で割り切れる。… 回目
これらの，1 回目の式から 回目の式までを足します。
すると，1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合
い，2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い，と
いうように，どんどん打ち消し合って，結局，
は で割り切れる。
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となります。
ところで， です。 また，定理 3-17により
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割ると あまる。
から，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
となります。
ところで，定理 4-4 により，次のことがわかっています。
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整
数を素因数分解すると，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ
る。
ということから， には，4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる
はずです。
しかし， が平方数なら，定理 4-2によって，
が整数のとき， を素因数分解したときに，4 で割ると 3
あまるような素因数は現れない。
と矛盾します。
矛盾の原因は， が 4 で割ると 3 あまる数で， のときに が
平方数であると仮定したことにあります。
よって， が 4 で割ると 3 あまる数のとき，リュカ数列 が平方数
になるのは， のときだけであることが証明できました。
（証明終）
以上のことから，リュカ数列の偶数番目には平方数は現れず， が 4 で割ると 1 あまる数の
ときは，1 番目の 1 のみ， が 4 で割ると 3 あまる数のときは，3 番目の 4 のみが平方数であ
ることがわかりました。
結局，リュカ数列に現れる平方数は，（ 1 番目の）1 と，（ 3 番目の）4 だけであることが証明
できました。
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第 6 章 リュカ数列に現れる「 2 ×平方数」は，18 だけであることを証明しま
す。
リュカ数列は，1, 3, 4, 7, 11, 18, … と続きます。
この中で，6 番目である 18 は，2×32 ですから，「 2 ×平方数」の形をしています。
リュカ数列には， の他には「 2 ×平方数」の形をしているものはないことを証明して
いきます。
証明は，n を 8 で割ったときのあまりによって，分けて証明します。
n を 8 で割ったときのあまりは，0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 が考えられますが，まず，
あまりが 1, 3, 5, 7 の場合。つまり，n が奇数の場合。
次に，あまりが 0, 4 の場合。つまり，n が 4 の倍数の場合。
次に，あまりが 6 の場合。
最後に，あまりが 2 の場合。
このように分けて，証明していきます。
＜奇数番目の場合＞
リュカ数列が奇数番目の場合，「 2 ×平方数」は現れない。
（証明） が奇数のときに， が「 2 ×平方数」になったと仮定し，矛盾を導きま
す。
が「 2 ×平方数」 だとすると， は偶数です。
定理 3-7によって，
Ｌ 3の倍数＝偶数，Ｌ 3の倍数でない＝奇数
ですから， は 3 の倍数です。
よって， は 奇数で，しかも 3 の倍数です。
このような は，6 で割ると 3 あまる数です。
ところで，リュカ数列は，1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ……のように，はじめの 2
つが 1 と 3 で，そのあとは，直前の 2 個の和を次々と求めていってできる数
列ですが，これをちょっと変えて，「直前の 2 個の和」ではなく，「直前の 2 個
の和を 8 で割ったときのあまり」にすると，次のような数列になります。
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1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, ……
この数列を，6 個ずつ段にして書くと，次のようになります。
1, 3, 4, 7, 3, 2,
5, 7, 4, 3, 7, 2,
1, 3, 4, 7, 3, 2,
5, 7, 4, 3, 7, 2,
1, 3, 4, 7, 3, 2,
5, 7, 4, 3, 7, 2,
………………………
………………………
つまり，
Ｌ 6で割ると3あまる数 は，8 で割ると 4 あまるような数です。
よって， と表すことができますから，
2 ×平方数＝
となり，
平方数＝
つまり，「 4 で割ると 2 あまる平方数がある。」
ということになります。
ところが，偶数の平方数は， のようになり，4 で割ると割り
切れ，
奇数の平方数は， のように
なり，4 で割ると 1 だけあまります。
結局， 「 4 で割ると 2 あまる」ような平方数はありえず，矛盾しています。
矛盾の原因は， が奇数のときに， が「 2 ×平方数」になったと仮
定したことにあります。
よって，リュカ数列の奇数番目には，「 2 ×平方数」は現れないことにな
り，証明が完成しました。
（証明終）
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＜ 4 の倍数番目の場合＞
リュカ数列が 4 の倍数番目の場合，「 2 ×平方数」は現れない。
（証明） 証明は，第 5 章の ＜n が 4 で割ると 1 あまる数の場合＞ と非常によく似
ています｡
が 4 の倍数のとき， が「 2 ×平方数」 になったと仮定して，矛盾を導
きます。
は 4 の倍数です。そこで， とすると， は偶数です。
ここで， を素因数分解してみます。
を素因数分解したときに，3 が何回現れるかに注目します。 回現れたと
し， とします。ただし，3 が 1 回も現れないこともあるので， は 0
であることも考えられます。
は偶数だったので，素因数分解すると 2 がふくまれています。 を で
割ったときの商が ですが，3 で何回割っても， の中の素因数である 2 は
そのまま残っているので， の中にも，素因数 2 は残っています。つまり，
は偶数です。
また， は を 3 で割れるだけ割った残りですから， の中に，もう 3 は
ふくまれていません。つまり， は 3 の倍数ではありません。
で， ですから，
と表せることになります。
ただし， は 0 以上の整数であり， は偶数でしかも 3 の倍数ではない数
です。
ここで，定理 3-15により，次のことがわかっています。
が整数で， が偶数で 3 の倍数でないとき，
は で割り切れる。
この式を，何回も利用します。
に を代入して，
は で割り切れる。… 1 回目
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に を代入してマイナスにして，
は で割り切れる。… 2 回目
に を代入して，
は で割り切れる。… 3 回目
このように，i 番目ならば に を代入して，しかも偶数回目のと
きはマイナスにして，式をどんどん， 回目まで作っていきます。
回目は奇数回目ですから（ のときも なので奇数で
す），マイナスにはせず， に を代入することになり，
は で割り切れる。… 回目
ところで，
でしたから， です。よって， 回目の式の中の，
は になり， は になります。
よって， 回目の式を書き直すと，
は で割り切れる。… 回目
もう一度，式だけ並べると，次のようになります。
は で割り切れる。… 1 回目
は で割り切れる。… 2 回目
は で割り切れる。… 3 回目
………………………………………………
………………………………………………
は で割り切れる。… 回目
これらの，1 回目の式から 回目の式までを足します。
すると，1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合
い，2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い，と
いうように，どんどん打ち消し合って，結局，
は で割り切れる。
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となります。
ところで， です。 また，定理 3-17により
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割ると あまる。
から，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
となります。
を 2 倍して，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
ということも成り立ちます。
ところで，定理 4-4 により，次のことがわかっています。
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整
数を素因数分解すると，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ
る。
ということから， には，4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる
はずです。
しかし， が「 2 ×平方数」なら， となるような整数 があ
り，そのとき， となって， は平方数です。
つまり，平方数＋4 には，4 で割ると 3 あまる素数がふくまれるはずで
す。 ところが，定理 4-2によって，
が整数のとき， を素因数分解したときに，4 で割ると 3
あまるような素因数は現れない。
となり，矛盾しています。
矛盾の原因は，リュカ数列の 4 の倍数番目に，「 2 ×平方数」が現れ
ると仮定したことにあります。
よって，リュカ数列の 4 の倍数番目には，「 2 ×平方数」は現れないこ
とが証明できました。
（証明終）
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＜n が 8 で割ると 6 あまる数の場合＞
が 8 で割ると 6 あまる数の場合，リュカ数列 が「 2 ×平方数」 になるのは，
のときのみである。
（証明） 証明は，第 5 章の ＜n が 4 で割ると 1 あまる数の場合＞ と非常によく似
ています｡
のとき， は，確かに「 2 ×平方数」になっています。
そこで， ，つまり， のときに， が 「 2 ×平方数」になったと
仮定し，矛盾を導きます。
は，8 でわると 6 あまる整数ですから， は 0 より大きい 8 の倍数で
す。そこで， とすると， は 0 より大きい4の倍数です。
ここで， を素因数分解してみます。
を素因数分解したときに，3 が何回現れるかに注目します。 回現れたと
し， とします。ただし，3 が 1 回も現れないこともあるので， は 0
であることも考えられます。
は 4 の倍数だったので，素因数分解すると 2 が 2 個以上ふくまれていま
す。 を で割ったときの商が ですが，3 で何回割っても， の中の素因
数である 2 はそのまま残っているので， の中にも，素因数 2 は 2 個以上
残っています。つまり， は 4 の倍数です。
また， は を 3 で割れるだけ割った残りですから， の中に，もう 3 は
ふくまれていません。つまり， は 3 の倍数ではありません。
で， ですから，
と表せることになります。
ただし， は 0 以上の整数で， は 0 より大きい 4 の倍数でしかも 3 の倍
数ではない数です。
ここで，定理 3-15により，次のことがわかっています。
が整数で， が偶数で 3 の倍数でないとき，
は で割り切れる。
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この式を，何回も利用します。
に を代入して，
は で割り切れる。… 1 回目
に を代入してマイナスにして，
は で割り切れる。… 2 回目
に を代入して，
は で割り切れる。… 3 回目
このように，i 番目ならば に を代入して，しかも偶数回目のと
きはマイナスにして，式をどんどん， 回目まで作っていきます。
回目は奇数回目ですから（ のときも， なので奇数で
す），マイナスにはせず， に を代入することになり，
は で割り切れる。… 回目
ところで，
でしたから， です。よって， 回目の式の中の，
は になり， は になります。
よって， 回目の式を書き直すと，
は で割り切れる。… 回目
もう一度，式だけ並べると，次のようになります。
は で割り切れる。… 1 回目
は で割り切れる。… 2 回目
は で割り切れる。… 3 回目
………………………………………………
………………………………………………
は で割り切れる。… 回目
これらの，1 回目の式から 回目の式までを足します。
すると，1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合
い，2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い，と
66/81 ページ
いうように，どんどん打ち消し合って，結局，
は で割り切れる。
となります。
ところで， です。 また，定理 3-17により
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割ると あまる。
から，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
となります。
を 2 倍して，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
ということも成り立ちます。
ところで，定理 4-4 により，次のことがわかっています。
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整
数を素因数分解すると，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ
る。
ということから， には，4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる
はずです。
ところで，定理 3-18によって，
が 3 の倍数でなくしかも 4 の倍数であるとき， は でも
でも割り切れない。
ということから， には，3 という素数はふくまれません。よっ
て，
には，3 ではない「4 で割ると 3 あまる素数」がふくまれる
はずです。
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しかし， が「 2 ×平方数」なら， となるような整数
があり，そのとき， となって， は平方数で
す。
つまり，平方数＋36 には，3 ではない「4 で割ると 3 あまる素数」が
ふくまれるはずです。
ところが， が平方数なら，定理 4-3によって，
が整数のとき， を素因数分解したときに，4 で割る
と 3 あまるような素因数は, 3 しか現れない。
と矛盾します。
矛盾の原因は， が 8 で割ると 6 あまる整数のとき，リュカ数列
（ただし を除く）に「 2 ×平方数」が現れると仮定したこと
にあります。
よって， が 8 で割ると 6 あまる整数のとき，リュカ数列 は
のときのみ「 2 ×平方数」になることが証明できました。
（証明終）
＜n が 8 で割ると 2 あまる数の場合＞
が 8 で割ると 2 あまる数の場合，リュカ数列 に「 2 ×平方数」は現れない。
（証明） が 8 で割ると 2 あまる数のとき，リュカ数列 に 「 2 ×平方数」が現れ
ると仮定し，矛盾を導きます。
は 8 で割ると 2 あまる数なので， とします。
拡張リュカ数列の定理により，次のことがわかっています。
が 0 以上の整数のとき， が成り立つ。
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のとき， は偶数ですから， となるので，
となります。
よって， に「 2 ×平方数」は現れないことを証明する代わりに，
に「 2 ×平方数」は現れないことを証明してもＯＫです。
ところで， が 8 で割ると 2 あまる数のとき， で
す。このとき， となり，たとえば
のように， は，8 で割ると 6 あまる数です。
もっときちんと説明すると，
なので， は，8
で割ると 6 あまる数です。 したがって，
が 8 で割ると 6 あまるマイナスの数の場合，平方数は現れない。
ということを証明することになります。
その証明は，「n が 8 で割ると 6 あまる数の場合」と似ています。
そこで， で， は，8 でわると 6 あまる整数ですから，「 －8の倍
数＋6」 とできます。そこで， とすると， は 0 より大きい偶数
（本当は 4 の倍数）です。
ここで， を素因数分解してみます。
を素因数分解したときに，3 が何回現れるかに注目します。 回現れた
とし， とします。ただし，3 が 1 回も現れないこともあるので， は
0 であることも考えられます。
は偶数だったので，素因数分解すると 2 がふくまれています。 を
で割ったときの商が ですが，3 で何回割っても， の中の素因数である
2 はそのまま残っているので， の中にも，素因数 2 は残っています。つ
まり， は偶数（本当は 4 の倍数）です。
また， は を 3 で割れるだけ割った残りですから， の中に，もう 3
はふくまれていません。つまり， は 3 の倍数ではありません。
で， ですから，
と表せることになります。
ただし， は 0 以上の整数で， は 0 より大きい偶数（本当は 4 の倍
数）でしかも 3 の倍数ではない数です。
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ここで，定理 3-15により，次のことがわかっています。
が整数で， が偶数で 3 の倍数でないとき，
は で割り切れる。
この式を，何回も利用します。
1 回目はそのままで，
は で割り切れる。… 1 回目
に を代入してマイナスにして，
は で割り切れる。… 2 回目
に を代入して，
は で割り切れる。… 3 回目
このように，i 番目ならば に を代入して，しかも偶数
回目のときはマイナスにして，式をどんどん， 回目まで作っていきま
す。
回目は奇数回目ですから（ のときも， なので奇数
です），マイナスにはせず， に を代入することにな
り，
は で割り切れる。… 回目
ところで，
でしたから， です。よって， 回目の式の中の，
は になり， は になります。
よって， 回目の式を書き直すと，
は で割り切れる。… 回目
もう一度，式だけ並べると，次のようになります。
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は で割り切れる。… 1 回目
は で割り切れる。… 2 回目
は で割り切れる。… 3 回目
………………………………………………
………………………………………………
は で割り切れる。… 回目
これらの，1 回目の式から 回目の式までを足します。
すると，1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち
消し合い，2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち
消し合い，というように，どんどん打ち消し合って，結局，
は で割り切れる。
となります。
ところで， です。 また，定理 3-17により
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割ると あま
る。
から，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
となります。
を 2 倍して，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
ということも成り立ちます。
ところで，定理 4-4 により，次のことがわかっています。
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その
整数を素因数分解すると，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふ
くまれる。
ということから， には，4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ
るはずです。
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ところで， は，本当は 4 の倍数で，しかも 3 の倍数ではない
ので，定理 3-18 が利用できます。
が 3 の倍数でなくしかも 4 の倍数であるとき， は
でも でも割り切れない。
このことから， には，3 という素数はふくまれません。
よって，
には，3 ではない「4 で割ると 3 あまる素数」がふくま
れるはずです。
しかし， が「 2 ×平方数」なら， となるような整数
があり，そのとき， となって， は平方数
です。
つまり，平方数＋36 には，3 ではない「4 で割ると 3 あまる素
数」がふくまれるはずです。
ところが， が平方数なら，定理 4-3によって，
が整数のとき， を素因数分解したときに，4 で
割ると 3 あまるような素因数は, 3 しか現れない。
と矛盾します。
矛盾の原因は， が 8 で割ると 2 あまる数のとき，リュカ数列
に「 2 ×平方数」 が現れると仮定したことにあります。
よって， が 8 で割ると 2 あまる数のとき，リュカ数列 には
「 2 ×平方数」は現れないことが証明できました。
（証明終）
以上のことから， が奇数であるときと，4 の倍数のときと，8 で割ると 2 あまる数のとき，リュ
カ数列 には「 2 ×平方数」となる数は現れず， が 8 で割ると 6 あまる数のときには，
という「 2 ×平方数」が現れることがわかりました。
結局，リュカ数列に現れる「 2 ×平方数」は，6 番目の 18 のみであることが証明できました。
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第 7 章 ＜最終定理＞
フィボナッチ数列に現れる平方数は，1 と 144 だけであることを
証明します。
いよいよ，フィボナッチ数列には，平方数は 1 と 144 しか現れないことを証明するときがやっ
てきました。
まず， が偶数のときを考えます。そして， が奇数のときは，4 で割って 1 あまるときと，4
で割って 3 あまるときに分けて考えます。
＜偶数番目の場合＞
が偶数の場合， のときに平方数となる。
（証明） なかなか面白い証明内容ですよ。
定理 3-2より，次のことがわかっています。
が整数のとき，
この式の， に を代入すると，
よって，
結局，
となるので， が偶数のとき， とすれば， となります。
ところで，定理 3-8により，次のことがわかっています。
が 3 の倍数でなければ， と は互いに素で，
が 3 の倍数であれば， と の最大公約数は 2 になる。
そこで，まず が 3 の倍数でないときのことを考えてみます。
が 3 の倍数でないとき， ですから， も 3 の倍数でありません。
が平方数であるとすると，素因数分解すると
のようになりますが，たとえば 2 個が， と に 1 個ずつふくまれてし
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まうと， と が互いに素という条件に反してしまうので， は 2 個と
も， か にふくまれている必要があります。
このように考えると， も も平方数であることがわかります。
が平方数となるのは，第 5 章 で， のときと のときだけ
であることが証明されています。すると， ， または
となりますが，6 は 3 の倍数なのでダメです。
のときは，確かに は平方数なのでＯＫです。
これで， が偶数でしかも 3 の倍数でないときは， のみが平方数
であることが証明できました。
次に， が 3 の倍数であるときを考えます。
が 3 の倍数であるとき， ですから， も 3 の倍数です。
このとき， と の最大公約数は 2 ですから，
とすることができます。ただし， と は互いに素です。
このとき， です。
が平方数ならば， とすれば， となり， も
平方数です。
そこで，先ほどの 3 の倍数でないときと同じ考え方により， も も 平方
数になります。
よって， 「 2 ×平方数」， 「 2 ×平方数」なので，
も も，「 2 ×平方数」 であることがわかりました。
ところで， が「 2 ×平方数」となるのは，第 6 章 で， のとき
だけであることがわかっています。
したがって， ですから， となり，12 は 3 の倍数なの
でＯＫで，確かに も平方数になっているのでＯＫです。
これで， が偶数でしかも 3 の倍数のとき， は のときの
み平方数になることがわかりました。
結局， が偶数のとき， は のときに平方数にな
ることが証明できました。
（証明終）
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＜n が 4 で割ると 1 あまる数の場合＞
が 4 で割ると 1 あまる数の場合， のときに平方数となる。
（証明） 証明は，第 5 章の ＜n が 4 で割ると 1 あまる数の場合＞ と非常によく似
ています｡
のとき， は，確かに平方数です。
そこで， ，つまり， のときに， が平方数になったと仮定
し，矛盾を導きます。
は，4 でわると 1 あまる整数ですから， は 0 より大きい 4 の倍数で
す。そこで， とすると， は 0 より大きい偶数です。
ここで， を素因数分解してみます。
を素因数分解したときに，3 が何回現れるかに注目します。 回現れたと
し， とします。ただし，3 が 1 回も現れないこともあるので， は 0
であることも考えられます。
は偶数だったので，素因数分解すると 2 がふくまれています。 を で
割ったときの商が ですが，3 で何回割っても， の中の素因数である 2 は
そのまま残っているので， の中にも，素因数 2 は残っています。つまり，
は偶数です。
また， は を 3 で割れるだけ割った残りですから， の中に，もう 3 は
ふくまれていません。つまり， は 3 の倍数ではありません。
で， ですから，
と表せることになります。
ただし， は 0 以上の整数で， は 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数で
はない数です。
ここで，定理 3-16により，次のことがわかっています。
が整数で， が偶数で 3 の倍数でないとき，
は で割り切れる。
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この式を，何回も利用します。
に を代入して，
は で割り切れる。… 1 回目
に を代入してマイナスにして，
は で割り切れる。… 2 回目
に を代入して，
は で割り切れる。… 3 回目
このように，i 番目ならば に を代入して，しかも偶数回目のと
きはマイナスにして，式をどんどん， 回目まで作っていきます。
回目は奇数回目ですから（ のときも， なので奇数で
す），マイナスにはせず， に を代入することになり，
は で割り切れる。… 回目
ところで，
でしたから， です。よって， 回目の式の中の，
は になり， は になります。
よって， 回目の式を書き直すと，
は で割り切れる。… 回目
もう一度，式だけ並べると，次のようになります。
は で割り切れる。… 1 回目
は で割り切れる。… 2 回目
は で割り切れる。… 3 回目
………………………………………………
………………………………………………
は で割り切れる。… 回目
これらの，1 回目の式から 回目の式までを足します。
すると，1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し合
い，2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合い，と
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いうように，どんどん打ち消し合って，結局，
は で割り切れる。
となります。
ところで， です。 また，定理 3-17により
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割ると あまる。
から，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
となります。
ところで，定理 4-4 により，次のことがわかっています。
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整
数を素因数分解すると，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ
る。
ということから， には，4 で割ると 3 あまる素数がふくまれる
はずです。
しかし， が平方数なら，定理 4-1によって，
が整数のとき， を素因数分解したときに，4 で割ると 3
あまるような素因数は現れない。
と矛盾します。
矛盾の原因は， のときに が平方数であると仮定したことに
あります。
よって， が 4 で割ると 1 あまる数の場合， のときのみ平方数
になることが証明できました。
（証明終）
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＜n が 4 で割ると 3 あまる数の場合＞
が 4 で割ると 3 あまる数の場合， に平方数は現れない。
（証明） 証明は，第 6 章の ＜n が 8 で割ると 2 あまる数の場合＞ と非常によく似
ています｡
が 4 で割ると 3 あまる数のときに， が平方数になったと仮定し，矛盾
を導きます。
拡張フィボナッチ数列の定理により，次のことがわかっています。
が 0 以上の整数のとき， が成り立つ。
のとき， ですから，
となります。
よって， に平方数は現れないことを証明する代わりに， に平方数は
現れないことを証明してもＯＫです。
ところで， が 4 で割ると 3 あまる数のとき， です。こ
のとき， となり，たとえば
のように， は，4 で割ると 1 あまる数です。
もっときちんと説明すると，
なので， は，4 で
割ると 1 あまる数です。 したがって，
が 4 で割ると 1 あまるマイナスの数の場合，平方数は現れない。
ということを証明することになります。（この章の 「n が 4 で割ると1 あまる数
の場合」と似ています）
そこで， で， は，4 でわると 1 あまる整数ですから，「 －4の倍数
＋1」 とできます。そこで， とすると， は 0 より大きい偶数です。
ここで， を素因数分解してみます。
を素因数分解したときに，3 が何回現れるかに注目します。 回現れたと
し， とします。ただし，3 が 1 回も現れないこともあるので， は 0
であることも考えられます。
は偶数だったので，素因数分解すると 2 がふくまれています。 を で
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割ったときの商が ですが，3 で何回割っても， の中の素因数である 2
はそのまま残っているので， の中にも，素因数 2 は残っています。つま
り， は偶数です。
また， は を 3 で割れるだけ割った残りですから， の中に，もう 3
はふくまれていません。つまり， は 3 の倍数ではありません。
で， ですから，
と表せることになります。
ただし， は 0 以上の整数で， は 0 より大きい偶数でしかも 3 の倍数
ではない数です。
ここで，定理 3-16により，次のことがわかっています。
が整数で， が偶数で 3 の倍数でないとき，
は で割り切れる。
この式を，何回も利用します。
1 回目はそのままで，
は で割り切れる。… 1 回目
に を代入してマイナスにして，
は で割り切れる。… 2 回目
に を代入して，
は で割り切れる。… 3 回目
このように，i 番目ならば に を代入して，しかも偶数回
目のときはマイナスにして，式をどんどん， 回目まで作っていきます。
回目は奇数回目ですから（ のときも， なので奇数で
す），マイナスにはせず， に を代入することになり，
は で割り切れる。… 回目
ところで，
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でしたから， です。よって， 回目の式の中の，
は になり， は になります。
よって， 回目の式を書き直すと，
は で割り切れる。… 回目
もう一度，式だけ並べると，次のようになります。
は で割り切れる。… 1 回目
は で割り切れる。… 2 回目
は で割り切れる。… 3 回目
………………………………………………
………………………………………………
は で割り切れる。… 回目
これらの，1 回目の式から 回目の式までを足します。
すると，1 回目の式の と 2 回目の式の が打ち消し
合い，2 回目の式の と 3 回目の式の が打ち消し合
い，というように，どんどん打ち消し合って，結局，
は で割り切れる。
となります。
ところで， です。 また，定理 3-17により
が偶数で 3 の倍数でないとき， は で割ると あまる。
から，
は 4 で割ると 3 あまる数 で割り切れる。
となります。
ところで，定理 4-4 により，次のことがわかっています。
ある整数が，4 で割ると 3 あまる整数で割りきれるとき，その整
数を素因数分解すると，必ず 4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ
る。
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ということから， には，4 で割ると 3 あまる素数がふくまれ
るはずです。
しかし， が平方数なら，定理 4-1によって，
が整数のとき， を素因数分解したときに，4 で割ると
3 あまるような素因数は現れない。
と矛盾します。
矛盾の原因は， が 4 で割ると 3 あまる数のとき， が平方数
であると仮定したことにあります。
よって， が 4 で割ると 3 あまる数のとき，平方数は現れないこと
が証明できました。
（証明終）
以上のことから，フィボナッチ数列 において， が偶数のときは の
ときに平方数となり， が 4 で割ると 1 あまる数のときは のときに平方数となり， が
4 で割ると 3 あまる数のときは平方数が現れないことがわかりました。
結局，フィボナッチ数列に現れる平方数は，1 と 144 だけであることが証明できました。
おしまい。
（証明終）
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