ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА - 2

При расчете электрических цепей методом применения законов Кирхгофа выбирают условные положительные направления токов, ЭДС и напряжений на участках цепи, которые обозначают стрелками на схеме, затем выбирают замкнутые контуры и задаются положительным направлением обхода контуров. При этом для удобства расчетов направление обхода для всех контуров рекомендуется выбирать одинаковым (например, по часовой стрелке).

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа для электрических цепей, содержащих источники тока, выбирают замкнутые контуры без источников тока.

Для получения независимых уравнений необходимо, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа.

Число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, необходимое для выполнения расчета данной электрической цепи, равно числу неизвестных N.

Число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, берется на единицу меньше числа узлов Nу в цепи: N1 = Ny - 1. При этом токи, направленные к узлу, условно принимаются положительными, а направленные от узла - отрицательными.

Остальные уравнения N2 = N - N1 составляются по второму закону Кирхгофа.

Пример Для электрической цепи постоянного тока (рис. 13) определить

токи I1…I3 в ветвях. ЭДС Е1 = 10 В; Е2= 20 В; сопротивления резисторов: R1 = 10 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 15 Ом.

Решение. Для узла разветвления в соответствии с принятым на схеме

условным положительным направлением составляют уравнение для токов по первому закону Кирхгофа:

I1 + I2 = I3.

Для внешнего и нижнего замкнутых контуров составляют уравнения по второму закону Кирхгофа:

R1 I1 + R3 I3 = E1.R2·I2 + R3·I3 = E2.

Запишем полученные уравнения в матричном виде:

Для решения неоднородных систем линейных уравнений п-го порядка применяется алгоритм Гаусса.

.

0

0

0

111

2

1

3

2

1

32

31

E

E

I

I

I

RR

RR

.

615,0

1

0

100

5,210

111

2

1

0

25,300

5,210

111

1

1

0

75,010

5,210

111

1

1

0

75,010

5,101

111

20

10

0

15200

15010

111

Из последней строки преобразованной матрицы получаем значение тока I3:

I3 = 0,615 А. Подставив это значение во второе уравнение, получаем I2:

I2 = 0,538 А. И, наконец, подставив I2 и I3 в первое уравнение,

получаем I1:I1 = 0,077 А.

Метод применения законов Кирхгофа В любой электрической цепи в соответствии с первым

законом Кирхгофа алгебраическая сумма токов, направленных к узлу разветвления, равна нулю:

,где Ik - ток в k-той ветви.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме напряжений и алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре:

,где Ri - сопротивление участка цепи рассматриваемого контура; Ii - ток в цепи сопротивления Ri;Uj – напряжение на участке цепи.

n

kkI

1

0

n

k

l

jj

m

iiik UIRE

1 11

Метод контурных токов Для расчета сложных электрических цепей широко

используют метод контурных токов, в основу которого положены расчетные (условные) контурные токи, замыкающиеся по смежным контурам разветвленных электрических цепей.

Метод контурных токов позволяет при составлении системы уравнений для расчета электрических цепей не записывать уравнения по первому закону Кирхгофа и тем самым уменьшить общее количество уравнений, необходимых для расчета.

В процессе расчета по этому методу определяют независимые замкнутые контуры и задаются условными положительными направлениями контурных токов. При этом во всех замкнутых контурах для упрощения процесса расчета целесообразно задавать контурным токам одинаковые положительные направления. Число уравнений при расчете по методу контурных токов равно числу контурных токов.

При составлении контурных уравнений по второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров ЭДС источников питания принимаются положительными, если их направления совпадают с направлениями контурных токов, при несовпадении с контурным током их записывают со знаком «-». Со знаком «-» записывают напряжения, а также падения напряжений, направленные против контурного тока, а со знаком «+», если они совпадают с ним.

Применительно к электрической цепи (рис. 14) в соответствии с заданным направлением ЭДС, напряжения, токов в ветвях и контурных токов уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для замкнутых контуров, записывают в следующем виде:

E1 + E2 = (R1 + R2) I11 – R2 I22;

-E2 = (R2 + R3) I22 – R2 I11 + U. В результате решения полученной системы уравнений и

определяют контурные токи I11 и I22. При этом токи во внешних (несмежных) ветвях

электрической цепи оказываются численно равными соответствующим контурным токам: I1 = I11; I3 = I22. Ток в смежной ветви определяют из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа для точки разветвления электрической цепи: I1 - I2 - I3 = 0, откуда

I2 = I1 - I3 = I11 - I22.

Пример Для электрической цепи постоянного тока (рис. 13)

определить токи I1 … I3 в ветвях. Для удобства расчетов изменим положение ветвей так, как это изображено на рис. 15.

Решение. Запишем уравнения контурных токов I11 и I22:

(R1 + R3) I11 + R3 I22 = E1;R3 I11 + (R2 + R3) I22 = E2.

В матричной форме эти уравнения имеют следующий вид:

Применим алгоритм Гаусса для решения системы уравнений:

Из последнего уравнения I22 = 0,538 А. Подставим это значение в первое уравнения, тогда

I11 = 0,077 А. Ток I3 определим как сумму токов I11 и I22:

I3 = I11 + I22 = 0,615 А.

.E

E

I

I

)RR(R

R)RR(

2

1

22

11

323

331

.538,0

4,0

10

6,01

93,0

4,0

73,10

6,01

33,1

4,0

33,21

6,01

20

10

3515

1525

Метод узлового напряжения (узловых потенциалов)

Узловое напряжение между двумя точками разветвлений (узлами) определяют в соответствии с выражением

где - алгебраическая сумма произведений ЭДС и проводимостей соответствующих ветвей; - алгебраическая сумма произведений напряжений и проводимостей соответствующих ветвей; - алгебраическая сумма токов источников тока в ветвях;Gk = 1/Rk - проводимость k-той ветви цепи, равная величине, обратной ее сопротивлению; - сумма проводимостей всех ветвей.

,G

JGUGE

Us

tt

n

k

m

i

l

jjiikk

1

1 1 1

n

kkkGE

1

m

iiiGU

1

l

jjJ

1

s

ttG

1

Рассмотрим применение метода узлового напряжения на примере схемы, изображенной на рис. 16, а. При заданном условном положительном направлении напряжения U12, действующего между узлами 1 и 2, ЭДС в замкнутом контуре, образованном из соответствующей ветви и замыкающего напряжения Un, при обходе контура по заданному положительному направлению принимается со знаком «+», если совпадает с направлением обхода, а если не совпадает - со знаком «-».

Напряжения, не совпадающие при обходе соответствующего контура с направлением напряжения между узлами U12, принимаются со знаком «-», а совпадающие - со знаком «+». Знаки в расчетной формуле не зависят от направления токов в ветвях электрической цепи. С учетом этого выражение для напряжений между узлами 1 и 2 цепи записываем в следующем виде:

Для расчета токов в ветвях электрической цепи составляют замкнутый контур, состоящий из рассматриваемой ветви цепи, замыкаемой напряжением U12 между узлами, с учетом действительного его направления.

Тогда Е1 = R1·I1 + U12, отсюда определяется величина тока I1 в данной ветви цепи. Аналогичным образом определяются токи в других ветвях электрической цепи.

.GGGG

GUGEGEU

4321

33221112

Пример Для электрической цепи постоянного тока (рис. 15) определить

величину токов в ветвях цепи, воспользовавшись методом узловых потенциалов. Напомним, что Е1 = 10 В; Е2= 20 В; сопротивления резисторов: R1 = 10 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 15 Ом.

Решение. Запишем формулу для вычисления напряжения между узлами 1 и 2 цепи:

.В,////

//

R/R/R/

R/ER/E

GGG

GEGEU 239

6013

2

151201101

20201010

111 321

2211

321

221112

Тогда токи в ветвях оказываются равными:

I1 = (E1 – U12)/R1 = 0,77/10 = 0,077 A.

I2 = (E2 – U12)/R2 = 10,77/20 = 0,538 A.

I3 = U12 /R3 = 9,23/15 = 0,615 A.

Нетрудно убедиться в том, что результат идентичен полученному ранее (методом уравнений Кирхгофа или методом контурных токов).

Основные сведения о нелинейных электрических цепях постоянного тока

К нелинейным электрическим цепям постоянного тока относятся электрические цепи, содержащие нелинейные сопротивления, обладающие нелинейными вольтамперными характеристиками I(U), т. е. нелинейной зависимостью тока от приложенного к нелинейному сопротивлению напряжения.

Различают неуправляемые нелинейные сопротивления (лампы накаливания, газотроны, бареттеры, полупроводниковые диоды и т. д.), которые характеризуются одной вольтамперной характеристикой, и управляемые (многоэлектродные лампы, транзисторы, тиристоры и др.), которые характеризуются семейством вольтамперных характеристик.

Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока обычно осуществляют графоаналитическим методом. При этом можно использовать и аналитический метод расчета, который, однако, достаточно сложен.

Для выполнения расчета нелинейных электрических цепей должна быть известна вольтамперная характеристика соответствующего нелинейного сопротивления, представленная в виде графика или таблицы.

При расчете электрических цепей с последовательным включением нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений R1 и R2 вольтамперные характеристики соответствующих сопротивлений I1(U) и I2(U) представляются в общей координатной системе и по ним строится общая вольтамперная характеристика I(U) всей нелинейной электрической цепи.

Абсцисса каждой из точек при заданном токе I (заданной ординате) находится как сумма соответствующих падений напряжения (U = U1 + U2) на этих сопротивлениях R1 и R2.

Итак, по общей вольтамперной характеристике I(U) нелинейной цепи при заданном значении напряжения U и последовательном соединении сопротивлений легко определяют ток I в нелинейной цепи, а по заданному току I находят напряжение U и напряжения U1 и U2 на каждом из последовательно соединенных сопротивлений.

При параллельном соединении нелинейных (или линейных и нелинейных) сопротивлений R1 и R2 также строят общую вольтамперную характеристику I(U) нелинейной электрической цепи.

При этом ординату каждой из точек общей вольтамперной характеристики при заданном подводимом к цепи напряжении U (заданной абсциссе) определяют как сумму токов в цепях соответствующих сопротивлений (I = I1 + I2), так как при параллельном соединении на всех сопротивлениях действует одно и то же напряжение U. Следовательно, при параллельном включении сопротивлений по общей вольтамперной характеристике I(U) и заданном значении напряжения U нетрудно определить и ток I в нелинейной электрической цепи. При заданном общем токе I также легко определить и напряжение U, подводимое к данной нелинейной электрической цепи, и токи I1 и I2, протекающие в цепи каждого из параллельно соединенных сопротивлений.

Следует отметить, что изложенная методика расчета нелинейных электрических цепей при последовательном и параллельном соединении сопротивлений справедлива для любого числа сопротивлений, включенных в цепь последовательно или параллельно.