приложение 1. материал для занятий

Учитель математики , информатики г.Гавар, Армения

Элективный курс для учащихся 9 класса «Задачи с параметрами и их решение»

Материал для занятийЗанятие 1. Понятие параметра. Уравнение с параметром.Изучая математику, мы решали множество уравнений, в которых требо-

валось найти численное значение неизвестной при данных численных значениях коэффициентов уравнения. Что будет, если вместо постоянных числовых значений коэффициентов будут стоять какие-либо буквенные выражения, значения которых могут меняться?

Заметим, что буквы, входящие в уравнение, не всегда могут быть равноправными: одни могут принимать все допустимые значения и называются коэффициентами или параметрами (их обычно обозначают первыми буквами латинского алфавита: а, в, с, ... или а1, а2, а3, ...), а другие, значения которых надо найти и с которыми мы уже познакомились при решении уравнений, называются неизвестными (их обозначают последними буквами латинского алфавита х, у, z, ...). Приведенные выше обозначения не являются обязательными. Но если в условии не указано, какие буквы являются параметрами, а какие — неизвестными, то такие обозначения используют.

Определение. Пусть дано равенство с переменными х и а f(x;a)=0. Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение f(x;a)=0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Определение. Под областью определения уравнения f(x;a) =0 с параметром а будем понимать все такие системы значений х и а, при которых f(x;a) имеет смысл.

Например: 1) ах = 3.О. О. У. а – любое число,

х – любое число.

2)

О. О. У. а 0, х 3.

Определение. Решить уравнение f(x;a) =0 с параметром а – это значит для каждого действительного значения а найти все решения данного уравнения или установить, что их нет.

Договоримся все значения параметра а, при которых f(x;a) не имеет смысла, включать в число значений параметра, при которых уравнение не имеет решений.

Специальных способов решения задач с параметрами не существует: применяются те же способы, что и в задачах без параметров. Можно использовать аналитические и графические способы решения.

1

Прежде всего, нам необходимо научиться различать параметр и переменную. Для этого рассмотрим простейшие уравнения с параметром (без ветвлений).

Решить уравнения: 1) 2х = а, х = ;

2) х – 3а = 0, х = 3а,

3) , х = 12а,

4) 2х – 2а = х + а, 2х – х = а + 2а, х = 3а.Теперь перейдем к решению уравнений с ветвлениями.Итак, нам необходимо решить уравнение f(x;a) =0 (с переменной х и

параметром а) (1). А это значит нужно решить семейство уравнений, получающихся из уравнения (1) для каждого действительного значения а. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Это можно сделать, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнение на каждом из этих подмножеств.

Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра будем называть контрольными.

Рассмотрим на примерах, как эти контрольные значения обнаруживаются, как с их помощью множество значений параметра разбивается на подмножества и как затем на каждом из этих подмножеств решается заданное уравнение.

Пример 1. Решить уравнение (а – 1) х = 3.Решение. О. О. У. а – любое число, х – любое число.Здесь контрольным значением параметра является то значение, при

котором коэффициент при х обращается в нуль. Таким значением служит: а = 1.

Рассмотрим два случая.1) Если а = 1, то уравнение примет вид 0 ∙х = 3. Это уравнение не

имеет корней.

2) Если а 1, то .

Ответ:1) если а = 1, то корней нет;

2) если а 1, то .

Ученикам предлагается устно назвать решения уравнения при

конкретных значениях а (- 1; - ; 1; 2 и т. д.)

Пример 2. Решить уравнение а2х – а = х – 1(самостоятельно с последующей проверкой).

2

Решение. О. О. У. а – любое число, х – любое число.а2х - х = а – 1, (а2 – 1) х = а - 1. Контрольные значения: а = - 1, а = 1.

1) если а = 1, то 0 ∙х = 0, т. е. х – любое число;2) если а = - 1, то 0 ∙х = - 2, т. е. корней нет;


Ответ:

1) если а 1, то ;

2) если а = 1, то х – любое число;3) если а = - 1, то корней нет.

Пример 3. Решить уравнение 2а (а -2) х = а -2.Решение. О. О. У. а – любое число, х – любое число.Контрольные значения: а = 0, а = 2.

1) если а = 0, то 0 ∙х = - 2, т. е. корней нет;2) если а = 2, то 0 ∙х = 0, т. е. х – любое число;

3) если а 0 и а 2, то .

Ответ:1) если а = 0, то корней нет;2) если а = 2, то х – любое число;

3) если а 0 и а 2, то .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. О. О. У. а 0, х – любое число.Так как а 0, то а + х = а2 + ах, х – ах = а2 – а, (1 – а) х = а2 – а.Контрольное значение: а = 1.

1) если а = 1, то 0 ∙х = 0, т. е. х – любое число;

4) если а 1, а 0 то , , х = - а.

Ответ:1) если а = 1, то х – любое число;2) если а 1, а 0 то х = - а,3) если а =0, то корней нет.

Задания для самостоятельной работы № 1.1. Решить уравнения:

а) (b – 3) х = 6,

3

б) а2х – 2 = 4х + а,

в) ,

г) .

2. Придумать три уравнения, аналогичные решенным, и решить их.

Ответы и решения: а) 1) если b = 3, то корней нет;

2) если b 3, то .

б) 1) если а = - 2, то х – любое число;2) если а = 2, то корней нет;


в) Решение. О. О. У. m 0, х – любое число.

m2x – 3x – m2 = 7m – 8 – 2mx,(m2 + 2m – 3)x = m2 +7m – 8.

1) если m = 1, то 0 ∙х = 0, т. е. х – любое число;2) если m = - 3, то 0 ∙х = - 20, т. е. корней нет;

3) если m 1 и m - 3, то

4) если m = 0, то корней нет.г) Решение. О. О. У. а 0, х – любое число.

2(а + 1)х = 3а(х + 1) + 7,2ах + 2х = 3ах + 3а + 7,2ах + 2х - 3ах = 3а + 7,2х - ах = 3а + 7,(2 – а)х = 3а + 7.1) если а = 2, то 0 ∙х = 13, т. е. корней нет;

2) если а 2, то ,

3) если а =0, то корней нет.

Занятие 2. Линейные уравнения с параметрами. Простейшие дробно-

рациональные уравнения с параметрами вида .

В начале занятия учащимся предлагается самостоятельно решить два уравнения:

1) х(а2 – 1) = (а + 1)(1 – х).Решение. О. О. У. а – любое число,

4

х – любое число.ха2 – х = а – ах – х – 1,ха2 + ах = а – 1,а(а + 1)х = а – 1.1) если а = 0, то 0 ∙х = - 1, т. е. корней нет;2) если а = - 1, то 0 ∙х = 0, т. е. х – любое число;

3) если а 0 и а - 1, то .

2) (а2 – 5а + 6)х = а4 – 16.Решение. О. О. У. а – любое число,

х – любое число.1) если а = 2, то 0х = 0, т. е. х – любое число;2) если а = 3, то 0х = 65, т. е. корней нет;

3) если а 2 и а - 3, то .

Рассмотрим решение уравнений вида с параметрами.

При решении уравнений данного вида будем использовать числовую ось. Она будет служить не только для иллюстрации решения, но и будет являться непременным инструментом работы. Если числовая ось для параметра заполнена, то никакого труда не составляет записать ответ. Завершение заполнения оси будет служить сигналом окончания решения.


Решение. О. О. У. х 2, а – любое число.Решаем уравнение: х + а = 0, х = - а.Исследование. Найдем, при каком значении параметра а х = - а станет

недопустимым и исключим это значение а. Ограничение х 2 в данном случае означает, что – а 2, т. е. а - 2. Если а = 2, то корней нет. Уравнение в этом

случае примет вид: .

Ответ: 1) если а = - 2, то корней нет; 2) если а - 2, то х = - а.


Решение. О. О. У. х - 1, m – любое число.Решаем уравнение: х(х – m) = 0, х1= 0, х2 = m.Исследование. 1) х1= 0 при любом m,

5

2) х2 = m , m - 1.

Ответ: 1) если m = - 1, то х = 0; 2) если m - 1, то х1 = 0, х2 = m.


Решение. О. О. У. х 3, а – любое число.

Решаем уравнение: х2 – а2 = 0, х1= а, х2 = - а.

Исследование. 1) х1= а, а 3. Если а = - 3, то

2) х2 = - а, а - 3. Если а = - 3, то

Ответ:1) если а = - 3 и а = 3, то х = - 3;2) если а - 3 и а 3, то х1 = - а, х2 = а.


Решение. О. О. У. х 2, х 1, b – любое число.Решаем уравнение: х – b = 0, х = b.Исследование: х = b, b 1, b 2.

Если b = 1, то - корней нет.

Если b = 2, то - корней нет.

Ответ:1) если b = 1 и b = 2, то корней нет;2) если b 1 и b 2, то х = b.


6

Решение. О. О. У. х 2, х 1, а – любое число.Решаем уравнение: (х – а)(х + 2а) = 0,х1= а, х2 = - 2а.Исследование. 1) х1= а,

а 1, а 2;

2) х2 = - 2а,

а - ,

а -1;3) если а = 1, то х2 = - 2а, х2 = - 2;4) если а = 2, то х2 = - 2а, х2 = - 4;

5) если а = , то х1 = а, х1 = ;

6) если а = - 1, то х1 = а, х2 = - 1;

Ответ:1) если а = - 1, то х = - 1;

2) если а = - , то х = - ;

3) если а = 1, то х = - 2;4) если а = 2, то х = -4;

5) если а - 1, а - , а 1, а 2, то х1 =а, х2 – 2а.

Задания для самостоятельной работы № 2.Решить уравнения:

а) , б) , в) , г) .

Ответы и решения:

а)

Решение. О. О. У. х - 5, с – любое число.Решаем уравнение: х + с = 0, х = - с.Исследование.1) х = - с, - с - 5, с 5.2) если с = 5, то корней нет.Ответ: 1) если с = 5, то корней нет;

7

2) если с 5. то х = - с.

б) .

Решение. О. О. У. х 2, b – любое число.Решаем уравнение: (х -1)(х + b) = 0, х1= 1, х2 = - b.Исследование.1) х = - b, - b 2, b - 2.2) если b = - 2, то х = 1.

Ответ: 1) если b = -2, то х = 1;2) если b - 2. то х1 = 1, х2 = - b.

в) .

Решение. О. О. У. х 3, а – любое число.Решаем уравнение: (х – а)(х + 2а) = 0, х1= а, х2 = - 2а.Исследование.1) х1= а, а 3;2) х2 = - 2а, - 2а 3, а - 1,5;3) если а = 3, то х2 = - 2а, х2 = - 6;4) если а = - 1,5, то х1 = а, х1 = - 1,5. Ответ: 1) если а = 3, то х = -6;

2) если а = - 1,5, то х = -1.5; 3) если а 3 и а - 1,5, то х1= а, х2 = - 2а.

г) .

Решение. О. О. У. х 3, х - 5, b – любое число.Решаем уравнение: х + b = 0, х = - b.Исследование.1) х = - b,

b - 3, b 5.

2) если b = - 3, то корней нет;3) если b = 5, то корней нет.

Ответ: 1) если b = - 3 или b = 5, то корней нет; 2) если b - 3, b 5, то х = - b.

8

Занятие 3. Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным.

В начале занятия учащимся предлагается самостоятельно решить

уравнение .

Решение. О. О. У. х - 1, х 3. b – любое число.Решаем уравнение: (х – b)(х – 3b) = 0, х1= b, х2 = 3b.Исследование.1) х1 = b,

b - 1, b 3;

2) х2 = 3b,

b - ,

b 1;3) если b = -1, то х2 = - 3;4) если b = 3, то х2 = 9;

5) если b = - , то х1 = - ;

6) если b = 1, то х1 = 1.

Ответ: 1) если b = -1, то х2 = - 3;2) если b = 3, то х2 = 9;

3) если b = - , то х1 = - ;

4) если b = 1, то х1 = 1.

5) если b - 1, b 3; b - , b 1, то х1= b, х2 = 3b.

Рассмотрим решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся к линейным.


Решение. О. О. У. х - 3, m – любое число.

Решаем уравнение: m = 5х + 15,5х = m - 15,

х = .

Исследование.

9

1) - 3. , m 0.

2) если m = 0, то х = - 3 – недопустимый корень.

Ответ: 1) если m 0, то х = ,

2) если m = 0, то корней нет.


Решение. О. О. У. х - 2, а – любое число.Решаем уравнение: ах + 1 = (2а + 1)(х + 2),ах + 1 = 2ах + 4а + х + 2,(а + 1)х = - 1 – 4а.1) если а = - 1, то 0 ∙х = 3 – корней нет;

2) если а - 1, то


1) , - 1 – 4а - 2а – 2, 2а 1, а ;

2) если а = , то х = - 2 – недопустимый корень.

Ответ: 1) если а = - 1и а = , то корней нет;

2) если а - 1и а , то .


Решение. О. О. У. х 3, х - 3, а – любое число.Решаем уравнение: 2ах(2х – 6) – (х + 4а)(х + 3) = х(4а – 1)(х – 3),(3 + 2а)х = - 6а.

1) если а = - . то 0 ∙х = 9 – корней нет;

2) если а - . то х = - .


1) - - 3, - 6а - 9 – 6а,

- 3; - 6а 9 + 6а; - 12а 9; а - .

2) если а = - , то х = 3 – недопустимый корень.

Ответ: 1) если а = - и а = - , то корней нет;

10

2) если а - и а - , то х = - .

Пример 4. Решить уравнение

Решение. О. О. У. х - 3, с 1.Решаем уравнение: 3сх – 5 + (3с – 11)(х + 3) = (2х + 7)(с – 1),(4с – 9)х = 31 – 2с.

1) если с = , то 0 ∙х = 27,5 – корней нет;

2) если с , то х = .


1) - 3, 31- 2с - 12с + 27, 10с - 4, с - ;

2) если с = - , то корней нет.

Ответ: 1) если с = - , с = 1, с = , то корней нет;

2) если с - , с 1, с , то х = .

Задания для самостоятельной работы № 3.Решить уравнения:

а) ; б) ; в)

.

Ответы и решения:

а) .

Решение. О. О. У. х 3, b – любое число.

Решаем уравнение: 2bх – 3 = (b + 1)(х – 3),2bх – 3 = bх – 3b + х – 3,bх – х = - 3b,(b – 1)х = - 3b.1) если b = 1, то 0 ∙х = - 3 – корней нет;

2) если b 1, то х = .


11

1) , ,

; ;

2) если , то корней нет.

Ответ: 1) если , b= 1, то корней нет;

2) если , b 1, то х = .

б) .

Решение. О. О. У. х 3, b – любое число.Решаем уравнение: b2х – 8 = 2b (х – 2),b2х – 8 = 2bх – 4b, b2х – 2bх = 8 – 4b, b(b – 2)х = 8 – 4b.1) если b = 0, то 0 ∙х = 8 – корней нет;2) если b = 2, то 0 ∙х = 0, х 2;

3) если b 0 и b 2, то х = , .


1) , ,

; b - 2.

2) если b = - 2, то корней нет.Ответ: 1) если b = 2, то х 2;

2) если b = - 2, b = 0, то корней нет;

3) если b 0 и b 2, то .

в) .

Решение. О. О. У. х 3, х - 1, а 0, а 1.Решаем уравнение: 2(а -1)(х + 1) + 3а(х – 3) = (х – 5)(а – 1),2ах – 2х + 2а – 2 + 3ах – 9а = ах – 5а – х + 5,4ах + х = 2а + 7,(4а + 1)х = 2а + 7.

12

1) если а = , то 0 ∙х = + 7 – корней нет;

2) если а , то х = .


1) - 1, 2а + 7 - 4а – 1, а - 1,

3; 2а + 7 12а + 3; а 0,4.

2) если а = - 1 и а = 0,4, то корней нет.

Ответ: 1) если а = 0, а = , а = 1 и а = 0,4, то корней нет;

2) если а , а 1, а 0,4, а 0, то х = .

Занятия 4, 5. Квадратные уравнения с параметрами.Рассмотрим решение квадратных уравнений с параметрами.Пример 1. Решить уравнение х2 – вх + 4 = 0.Решение. О. О. У. b – любое число, х – любое число.Найдем дискриминант уравнения: D = b2 – 16.1) если D < 0, т. е. если – 4 < b < 4, то корней нет;2) если D = 0, т. е. если b = 4, то уравнение имеет единственный корень

х = ;

3) если D >0, т. е. если b < - 4 или b > 4, то уравнение имеет два корня:

и .

Ответ: 1) если – 4 < b < 4, то корней нет;

2) если b = 4, то х = ;

3) если b < - 4 или b > 4, то и .

Пример 2. Решить уравнение (а – 1)х2 + 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0.Решение. О. О. У. а – любое число, х – любое число.В данном случае контрольным служит значение: а = 1. Дело в том, что при а = 1 данное уравнение является линейным, а при

а 1- квадратным (в этом и состоит качественное изменение уравнения).

1) Если а = 1, то 6х + 7 = 0, т. е. х = - .

2) Если а 1, то , .

Далее имеем: если а < , т. е. < 0, то корней нет;

если а = , т. е. = 0, то х = ;

13

если а > и а 1, т. е. ≥ 0, то х1,2 = .

Ответ: 1) если а < , то корней нет;

2) если а = 1, то х = - ;

3) если а > и а 1, то х1,2 = .


Решение. О. О. У. с – любое число, х – любое число.Приведем уравнение к целому: сх2 – 3х(2с – 1) = 5(3 – с),сх2 – 6сх + 3х = 15 – 5с,сх2 – 3(2с – 1) х – (15 – 5с) = 0.1) Если с = 0, то 3х =15, х =5.2) Если с 0, то D = 9(2с – 1)2 + 4с(15 – 5с) = 16с2 + 24с + 9 = (4с + 3)2.

Далее имеем: если с - , то D > 0 и уравнение имеет два корня

; ;

если с = - , то D = 0 и .

Ответ: 1) если с 0 и с - , то и ;

2) если с = 0 и с = - , то х = 5.

Пример 4. Определите все значения параметра а, при котором уравнение 2ах2 – 4(а + 1)х + 4а + 1 = 0 имеет один корень.

Решение. О. О. У. а – любое число, х – любое число.

1) Если а = 0, то – 4х + 1 = 0, х = - единственный корень.

2) Если 0 0, то исходное уравнение является квадратным и имеет единственное решение при D = 0.

= 4(а +1)2 – 2а(4а + 1) = 4а2 + 8а + 4 – 8а2 – 2а = - 4а2 + 6а + 4.

- 4а2 + 6а + 4 = 0, 2а2 - 3а - 2 = 0,

а1 = - , а2 = 2.

Ответ: при а = - , а = 0. а = 2.

Пример 4. Определите все значения параметра а, при котором уравнение (а – 1)х2 + ах + а + 1 = 0 не имеет действительных корней.

Решение. О. О. У. а – любое число,

14

х – любое число.1) Если а = 1, то уравнение имеет корень х = - 2;2) Если а 1, то исходное уравнение является квадратным и не будет

иметь действительных корней при D < 0.D = а2 – 4(а – 1)(а + 1) = а2 – 4а2 + 4 = 4 – 3а2.

D < 0, если 4 – 3а2 < 0, 3а2 > 4, а2 > , т. е. а < - и а > .

Ответ: при а < - и а > .

Пример 5. При каких значениях а уравнение ах2 – 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня?


1) Если а = 0, то - 4 х = - 3, х = - единственный корень;

2) Если а 0, то исходное уравнение является квадратным и будет иметь 2 действительных корня при D > 0.

D = - 4а2 – 12а + 16.D > 0, если - 4а2 – 12а + 16 > 0, а2 + а - 4 < 0, - 4 < а < 1.Ответ: при а .

Пример 6. При каких значениях а уравнение а(а + 3)х2 + (2а + 6)х - 3а - 9 = 0 имеет более одного корня?


1) Если а = 0, то 6х – 9 = 0, х = - единственный корень.

2) Если а = - 3, то 0 ∙ х = 0, х – любое число.2) Если а - 3, а 0, то исходное уравнение является квадратным и будет

иметь 2 действительных корня при D > 0. D = 4(а + 3)2 (3а + 1).

D > 0, если 3а + 1> 0, а > - .

Ответ: при а = - 3 и а .

Пример 7. При каких значениях а уравнение(а2 – а - 6) х2 - (а2 +2а - 15)х + (а2 – 2а – 3) = 0 имеет более двух корней?

Решение. О. О. У. а – любое число, х – любое число.Квадратное уравнение не может иметь более двух корней, поэтому

данное уравнение не должно быть квадратным, т. е. а2 – а – 6 = 0, а1 = - 2, а2 = 3.

При а = - 2 получим: 15х + 5 = 0, х = - - единственный корень.

При а = 3 получим: 0 ∙ х = 0, х – любое число, т. е. уравнение имеет бесконечное число решений.

15

Ответ: при а = 3. Пример 8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет единственное решение.

Решение. О. О. У. х 5, х 1,

а – любое число.х2 – (3а +1)х + 2а2 + 3а – 2 = 0 (1)D = (а – 3)2, х1 = 2а – 1, х2 = а + 2.Далее возможны следующие случаи:1) Если D = 0, т. е. а = 3, то уравнение имеет единственный корень х = 5,

который не входит в область определения уравнения. 2) Исходное уравнение будет иметь единственный корень, если один из

корней уравнения (1) будет посторонним, т. е. не войдет в область определения уравнения.

Пусть х1 =1- посторонний корень, тогда а = 1 и х2 = 3.Пусть х1 =5- посторонний корень, тогда а = 3 и х2 = 5 - посторонний

корень.Пусть х2 =1- посторонний корень, тогда а = - 1 и х2 = - 3.Пусть х2 =5- посторонний корень, тогда а = 3 и х1 = 5 - посторонний

корень.Итак, данное уравнение имеет единственное решение при а = 1.Ответ: а = 1.

Задания для самостоятельной работы № 4.1. Решить уравнения: а) х2 – 2х + 1 + а2 = 0; б) bх2 – 2х + 1 = 0;

в) (а – 2)х2 + 2ах + а + 1 = 0.2. При каких значениях параметра а уравнение (а – 1)х2 – 2(а + 1)х + а - 2

= 0 имеет один корень?Ответы:

1) а) при а = 0 х = 1; при а 0 корней нет. б) при b >1 корней нет;

при b = 0 х= ;

при b = 1 х = 1;

при b < 0 и 0 < b <1 х1,2 =

в) при а < - 2 корней нет;

при а = - 2 х = - ;

при а = 2 х = - ;

16

при а х1,2 = .

2) при а = и а 1.

Занятия 6, 7. Использование теоремы Виета при решении задач с параметрами.

Теорема. Для того, чтобы числа х1 и х2 были корнями уравнения ах2 + bх + с = 0 (а 0), необходимо и достаточно выполнения равенств:

.

Здесь сформулированы два утверждения – прямое и обратное.

Теорема. Для того, чтобы корни уравнения ах2 + bх + с = 0 (а 0) были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно

выполнения следующих соотношений: а) D ≥ 0, б) > 0, и оба корня

будут положительными, если дополнительно наложить условие > 0,

и оба корня будут отрицательными, если дополнительно наложить условие

< 0.

Теорема. Для того, чтобы корни уравнения ах2 + bх + с = 0 (а 0) были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно

выполнения следующих соотношений: а) D > 0, б) < 0. При этом

положительный корень будет иметь большую абсолютную величину, если

>0. Если же < 0, то отрицательный корень будет иметь

большую абсолютную величину.

Пример 1. Не решая уравнения х2 – (2а + 1)х + а2 + 2 = 0, найдите при каком значении параметра а один из корней в два раза больше другого.

Решение. Пусть х1 и х2 - корни исходного уравнения. По условию х1 = 2х2. Чтобы найти корни х1 и х2, удовлетворяющие условию задачи, необходимо решить систему:

D > 0, 4а – 7 > 0.

х1 + х2 = 2а + 1, , а > , а > ,

х1 ∙ 2х2 = а2 + 2; ; ; а = 4.

Ответ: при а = 4.

Пример 2. При каких значениях р отношение корней уравнения х2 + рх – 16 = 0 равно – 4?

Решение. По теореме Виета и условию задачи имеем систему17

х1 + х2 = - р, х1 + х2 = - р, х1 ∙ х2 = - 16, х1 ∙ х2 = - 16,

= - 4; х2 = - 4 х1.

Подставив х2 = - 4 х1, из третьего уравнения системы в первое и второе уравнения, получим

х1 - 4 х1 = - р, - 3 х1 = - р, х1 = ,

х1 ( - 4 х1) = - 16; - 4 = - 16; = 4.

Следовательно, = 4, откуда р2 = 36, р1,2 = 6.

Ответ: р1,2 = 6.

Пример 3. Найдите все значения параметра а, при которых разность корней уравнения 2х2 – (а + 1)х + а + 3 = 0 равна 1.

Решение. Корни данного уравнения существуют и один больше другого, если D > 0.

Пусть х1 и х2 - корни данного уравнения х2 > х1 . Тогда х2 - х1 = 1, или (х2 - х1)2 = 1.Так как (х2 - х1)2 = = , то

= 1. (*)

По теореме Виета: х1 + х2 = , х1 ∙ х2 = .

Следовательно, равенство (*) можно записать так: .

Решая это уравнение, получим: а = - 3, а = 9.При а = - 3 D < 0, т. е. данное уравнение не имеет корней.При а = 9 D > 0.Ответ: а = 9.Пример 4. Найдите все значения параметра а, при которых сумма

квадратов корней уравнения х2 – ах + а + 7 = 0 равна 10.Решение. Корни данного уравнения существуют, если D ≥ 0.Пусть х1 и х2 - корни данного уравнения. Запишем для них теорему

Виета: х1 + х2 = а, х1 ∙ х2 = а + 7.

По условию сумма этих квадратов равна 10, т. е. , , откуда а = 6 или а = - 4.

При а = 6 дискриминант исходного уравнения отрицателен (D = 62 - 4∙(6 + 7) = =36 – 52 = - 18). Следовательно, а = - 4.Ответ: при а = - 4.Пример 5. Найдите все значения параметра а, при которых оба корня

уравнения (а – 1)х2 + х + (а – 2)( а2 + 4) = 0 имеют противоположные знаки.

18

Решение. Для данного уравнения дискриминант D =1 – 4(а – 1)(а – 2)(а2 + 4) не является полным квадратом и имеет очень громоздкий вид. Поэтому вычисление корней для решения этой задачи затруднительно, а их исследование – тем более. Так как по условию задачи корни имеют противоположные знаки, то их произведение отрицательно. По теореме Виета

запишем произведение корней и решим неравенство <

0. Так как при всех а выражение а2 + 4 положительно, то разделим обе части неравенства на эту величину. При этом знак неравенства сохраняется.

Получаем неравенство < 0, решение которого .

Ответ: при .Пример 6. При каких положительных значениях а корни уравнения

5х2 – 4(а + 3)х + 4 = а2 противоположны по знаку? Найдите эти корни.Решение. Корни квадратного уравнения противоположны по знаку, если

выполняется совокупность следующих систем неравенств:а) 16(а + 3)2 – 4 ∙5(4 – а2) > 0, (3а + 4)2 > 0,

4(а + 3) > 0, а > - 3, 4 – а2 < 0; а2 > 4;

б) 16(а + 3)2 – 4 ∙5(4 – а2) > 0, (3а + 4)2 > 0, 4(а + 3) < 0, а < - 3, 4 – а2 < 0; а2 > 4;

Решив неравенства, находим а > 2.Решим квадратное уравнение:

. При а > 2 > 0.

, .

Ответ: а > 2, .

Задания для самостоятельной работы № 5.1) Определите все значения параметра с, при которых сумма корней

квадратного уравнения х2 – 3сх + с2 = 0 равна .

2) При каких значениях параметра а разность корней уравнения 2х2 – (а + 2)х + (2а – 1) = 0 равна их произведению?

3) Определите все значения параметра а, для которых отношение корней уравнения (а2 – 5а + 3)х2 + (3а - 1)х + 2 = 0 равнялось 2.

4) В уравнении х2 – 2х + с = 0 найдите значения с, при которых его корни х1 и х2 удовлетворяют условию 7х2 - 4х1 = 47.

5) В уравнении 4х2 – 15х + 4а2 = 0 найдите а так, чтобы один корень был квадратом другого.

Ответы:

1) при с = ; 2) при а = 1; - ; 3) при а = ; 4) с = - 15; 5) а = .

19

Занятия 8, 9. Использование свойств квадратичной функции при решении задач с параметрами.

При решении многих задач требуется знание следующих теорем о расположении корней квадратного трехчлена на координатной прямой.

Пусть f(х) = ах2 + bх + с = 0 (а 0) имеет действительные корни х1 и х2, а х0 – какое-нибудь действительное число.

Теорема 1. Чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число х0 (т. е. лежали на координатной прямой левее, чем точка х0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 1):

а > 0, а < 0,D ≥ 0, D ≥ 0,

< х0, < х0,

f(х0) > 0, f(х0) < 0. Рис. 1Теорема 2. Чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем

число х0, а другой больше, числа х0, (т. е. точка х0 лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 2):

а > 0, а < 0,f(х0) < 0, f(х0) > 0.

Рис. 2

Теорема 3. Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число х0 (т. е. лежали на координатной прямой правее, чем точка х0), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 3):

а > 0, а < 0,D ≥ 0, D ≥ 0,

> х0, > х0,

f(х0) > 0, f(х0) < 0. Рис. 3

Теорема 4. Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М, но меньше, чем число А (М < А), т. е. лежали в интервале между М и А, необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 4):

а > 0, а < 0,D ≥ 0, D ≥ 0,f(М) > 0, f(М) < 0,f(А) > 0, f(А) < 0,

М < < А, М < < А.

Рис. 4Теорема 5. Чтобы только больший корень квадратного трехчлена лежал в

интервале МА (М < А), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 5):а > 0, а < 0,

20

f(М) < 0, f(М) > 0,f(А) > 0, f(А) < 0.

Рис. 5Теорема 6. Чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в

интервале МА (М < А), необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 6):а > 0, а < 0,f(М) > 0, f(М) < 0,

f(А) < 0, f(А) > 0.

Рис. 6Теорема 7. Чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем

число М, а другой больше, чем число А (М < А), т. е. отрезок МА лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно выполнение условий (рис. 7):

а > 0, а < 0,f(М) < 0, f(М) > 0,f(А) < 0, f(А) > 0.

Рис. 7Пример 1. Найдите все значения параметра а, при которых только один

корень квадратного трехчлена х2 – 2(а + 1)х + 6а – 3 больше 2.Решение. Найдем корни квадратного трехчлена:

= (а + 1)2 + 3 – 6а = а2 + 2а + 1 + 3 – 6а = а2 – 4а + 4 = (а – 2)2.

Уравнение будет иметь два корня, если > 0, т. е. при а 2.

Тогда х1 = а + 1 – а + 2 = 3, х1 = а + 1 + а - 2 = 2а – 1.

Так как х1 > 2, то х2 ≤ 2, т. е. 2а – 1 ≤ 2, а ≤ .

Ответ: при а ≤ .

Пример 2. Найдите все значения параметра b, при которых один корень уравнения х2 – (2b + 1)х + b2 + b – 2 = 0 находится между числами 0 и 2, а второй между числами 3 и 5.

Решение. Корни данного уравнения: х1 = b - 1, х2 = b + 2.Очевидно, что х1 < х2. Значит, 0 < b - 1 <2, 1 < b < 3, 3 < в + 2 < 5; 1 < b < 3; 1 < b < 3.Ответ: при 1 < b < 3.Пример 3. Найдите все значения параметра m, при которых корни

уравнения (m - 5)х2 – 3 m х + m – 2 = 0 имеют разные знаки.Решение. m - 5 > 0 m – 5 < 0

21

f(х) = (m - 5)х2 – 3 m х + m – 2, f(0) = (m - 5) ∙ 02 – 3 m ∙ 0 + m – 2 = m – 2.Корни уравнения будут разных знаков, если: (m – 5) f(0) < 0,

(m – 5) (m - 2) < 0, 2 < m < 5.

Ответ: при 2 < m < 5.Пример 4. Найдите все те значения параметра а, при которых оба корня

уравнения х2 – 6а х +(2 – 2а + 9а2) = 0 действительны и больше 3.Решение. В данном уравнении а = 1 > 0.Применяя теорему 3, получаем систему неравенств:

D ≥ 0, 9а2 – (2 – 2а + 9а2) ≥ 0,

> 3, т. е. 3а > 3,

f(3) > 0, 9 – 18 а + 2 – 2а + 9а2 > 0.

Решая эту систему, находим а > .

Ответ: при а > .

Пример 5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение (а – 2)х2 – 2(а + 3) х + 4а = 0 имеет один корень больше 3, а другой меньше 2.

Решение.Согласно теореме 7 составим две системы неравенств:

а - 2 > 0, а - 2 < 0,а) f(2) < 0, б) f(2) > 0, f(3) < 0, f(3) > 0.

Расшифруем систему а) и решим ее: а - 2 > 0, f(2) = (а – 2) ∙4 – 2 ( а + 3) ∙2 + 4а < 0, f(3) = (а – 2) ∙3 – 2 ( а + 3) ∙3 + 4а < 0,

Откуда 2 < а < 5.Вторая система решений не имеет.Ответ: при 2 < а < 5.Пример 5. При каких значениях параметра с оба корня уравнения

х2 – 2сх + с2 – 1 = 0 заключены между числами – 2 и 4?Решение. Попробуем найти корни уравнения: х1,2 = с = с 1.По условию: - 2 < с + 1 < 4, - 3 < с < 3, - 2 < с - 1 < 4; - 1 < с < 5; - 1 < с < 3.Ответ: при - 1 < с < 3.Пример 6. При каких значениях параметра а все решения уравнения

(а – 1)х2 – (а + 1)х + а = 0 удовлетворяют условию 0 < х < 3?Решение.

22

Пусть f(х) = (а – 1)х2 – (а + 1)х + а. Если а 1, то необходимым и достаточным условием, для того, чтобы функция f(х) имела свои корни, принадлежащие интервалу, будет выполнение системы неравенств:

D ≥ 0, (а – 1) f(0) > 0, (а – 1) f(3) > 0, 2 < х0 < 5;

где х0 = .

Решив эту систему, получим < а < .

Если а = 1, то – 2х + 1 = 0, х = ,

Ответ: при < а < , а = 1.

Пример 7. При каких значениях параметра а корни квадратного

трехчлена (2 -а)х2 – 3ах + 2а действительны и оба больше ?

Решение. Используя теорему3, получим две системы неравенств: 2 – а > 0, 2 – а < 0, 9а2 – 8а(2 – а) ≥ 0, 9а2 – 8а(2 – а) ≥ 0,

а) > , б) > ,

> 0; < 0.

Решая систему (а), находим ≤ а < 2; система (б) решений не имеет.

Ответ: а .

Задания для самостоятельной работы № 6.1) При каких значениях параметра с корни уравнения х2

+ 4сх + (1 - 2 с + 4 с2) = 0 действительны и меньше - 1?2) При каких значениях параметра а корни уравнения

ах2 – (2а + 1)х + 3 а – 1 = 0 больше 1?3) При каких значениях параметра а корни х1 и х2 уравнения

(3а + 2)х2 + (а - 1)х + 4а + 3 = 0 удовлетворяют условиям х1 < - 1 < х2

<1?4) При каких значениях параметра а оба корня уравнения

2х2 + ах + а2 – 5 = 0: 1) меньше 1; 2) больше - 1?5) При каких значениях параметра а корни уравнения

(а + 1)х2 - 3ах + 4а = 0 принадлежат интервалу (2;5)?6) При каких значениях параметра а один из корней уравнения

(а - 5)х2 - 2ах + а - 4 = 0 меньше 1, другой больше 2?

23

Ответы и решения:1) Так как с = 1 > 0, то применим теорему 1, составим систему: D ≥ 0, 4с2 – (1 – 2с + 4 с2) ≥ 0,

< - 1, т. е. - 2с < - 1,

f(- 1) > 0, 1 - (1 – 2с + 4 с2) > 0.Решая эту систему, находим: с > 1.Ответ: с

2) Рассмотрим случай а 0. При таких а решим систему: (2а + 1)2 – 4а(3а – 1) ≥ 0,

> 0,

а(а – (2а+1) + 3а – 1) > 0.

Решая эту систему, находим, что а .

Если а 0, уравнение имеет один корень х = - 1, который требованиям задачи не удовлетворяет.

Ответ: при а .

3) ( - 1; - ).

4) а .

5) - ≤ а < - 2.

6) 5 < а < 24.

Занятие 10. Зачет.На последнем занятии учащимся предлагается контрольная работа.

1. Решите уравнение .

2. Решите уравнение .3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет единственное решение.

4. Найдите при каком значении с в уравнении х2 + (2с - 1)х + а2 + 2 = 0 один из корней в два раза больше другого.

5. При каких значениях m корни уравнения 4х2 – (3m + 1)х – m – 2 = 0 заключены в интервале (- 1; 2)?

Ответы:

1) при а = - 1, а = - корней нет;

при а - 1, а х = .

24

2) при b ≥ 1 корней нет;

при b < 1 х = .

3) с = - 2 и с = .

4) с = - 4.

5) при m .

25

Documents

приложение 1. материал для занятий