18
Тема 3 СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Лекция 7 Системы случайных величин При исследовании различных процессов и систем возникают случаи рассмотрения различной совокупности случайных величин – системы двух, трех и большего числа случайных величин. Так, например, цена единицы товара Х и количество товара Y на рынке представляют собой двумерную случайную величину ( Х, Y). Положение корабля на карте характеризуется системой (Х, Y) двух случайных величин: коорди-натами широты Х и долготы Y. Количество очков при одновременном бросании двух игральных костей определяется двумерной случайной величиной (Х, Y): количеством очков Х одной кости и количеством очков Y другой. Двумерная случайная величина может рассматриваться как случайная точка на плоскости (Рис. 3.49). При исследовании спроса товара на рынке цена единицы товара Х, количество товара Y и завод изготовитель Z товара представляют собой трехмерную случайную величину (Х, Y, Z). Положение в пространстве летательного аппарата определяется, в частности, системой (Х, Y, Z) трех случайных величин: широтой Х, долготой Y и высотой Z летательного аппарата. Трехмерная случайная величина может рассматриваться как случайная точка в трехмерном пространстве Рис. 3.50. Количество n видов товаров на рынке представляют собой систему n случайных величин ) , ,... ,..., , ( 2 1 n i X X X X , где i X ) ,..., 1 ( n i количество товара i - го вида. Если некоторая система состоит из n элементов, то моменты времени i X случайных отказов этих элементов образуют n - мерную систему случайных величин ) , ,... ,..., , ( 2 1 n i X X X X .

модуль 1 лекция 7

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: модуль 1 лекция 7

Тема 3

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Лекция 7

Системы случайных величин

При исследовании различных процессов и систем возникают случаи

рассмотрения различной совокупности случайных величин – системы двух,

трех и большего числа случайных величин.

Так, например, цена единицы товара Х и количество товара Y на рынке

представляют собой двумерную случайную величину (Х, Y). Положение

корабля на карте характеризуется системой (Х, Y) двух случайных величин:

коорди-натами широты Х и долготы Y. Количество очков при одновременном

бросании двух игральных костей определяется двумерной случайной

величиной (Х, Y): количеством очков Х одной кости и количеством очков Y

другой. Двумерная случайная величина может рассматриваться как

случайная точка на плоскости (Рис. 3.49).

При исследовании спроса товара на рынке цена единицы товара Х,

количество товара Y и завод изготовитель Z товара представляют собой

трехмерную случайную величину (Х, Y, Z). Положение в пространстве

летательного аппарата определяется, в частности, системой (Х, Y, Z) трех

случайных величин: широтой Х, долготой Y и высотой Z летательного

аппарата. Трехмерная случайная величина может рассматриваться как

случайная точка в трехмерном пространстве Рис. 3.50.

Количество n видов товаров на рынке представляют собой систему n

случайных величин ),,...,...,,( 21 ni XXXX , где iX ),...,1( ni количество

товара i - го вида. Если некоторая система состоит из n элементов, то

моменты времени iX случайных отказов этих элементов образуют

n - мерную систему случайных величин ),,...,...,,( 21 ni XXXX .

Page 2: модуль 1 лекция 7

Упорядоченный набор ),,...,...,,( 21 ni XXXX случайных величин iX

),...,1( ni называют системой n случайных величин, n - мерной случайной

величиной или случайным вектором.

Одномерные случайные величины ni XXXX ,,...,...,, 21 называются

составляющими или компонентами n - мерной случайной величины

),,...,...,,( 21 ni XXXXX . Каждому элементарному событию n - мерная

случайная величина ставит в соответствие n чисел ),,...,...,,( 21 ni xxxx , которые

в результате опыта приняли случайные величины ni XXXX ,,...,...,, 21 . Вектор

),,...,...,,( 21 ni xxxxx называется реализацией

n - мерной случайной величины. Геометрически значения n - мерной

случайной величины представляются, в частности, точками в n - мерном

пространстве действительных чисел nR .

Ограничимся для простаты и наглядности рассмотрением системы двух

случайных величин, так как основные понятия для двумерных случайных

величин обобщаются на случаи большего числа компонент.

Двумерные случайные величины

Если опыт описывается не одной случайной величиной X , а двумя

случайными величинами X и Y, то упорядоченную пару ( , )X Y называют

двумерной случайной величиной. В зависимости от типа случайных величин,

по характеру реализаций двумерные случайные величины могут быть

дискретными, непрерывными и смешанными. В первом случае компоненты

двумерной случайной величиной величины X и Y дискретны, во втором –

непрерывны, в третьем – разных типов. Рассмотрим дискретные и

непрерывные двумерные случайные величины.

Дискретная двумерная случайная величина может принимать конечное

или счетное множество значений. Под возможными значениями, которые

Page 3: модуль 1 лекция 7

может принимать дискретная двумерная случайная величина ( , )X Y ,

понимается набор пар действительных чисел ( ji yx , ) ),...,1( mi , ),...,1( nj ,

образующих полную группу несовместных событий. Возможное численное

значение ( ji yx , ), которое может принимать дискретная случайная величина

( , )X Y , определяется вероятностью ijp появления этого числа. Вероятность

того, что дискретная случайная величина примет значение ),( ji yYxX с

вероятностью ijp , определяется математическим выражением:

),( jiij yYxXPp , ),...,1( mi , ),...,1( nj

Так как возможные значения ( ji yx , ) ),...,1( mi , ),...,1( nj реализации

дискретной случайной величины ( , )X Y образуют полную группу

несовместных событий, то сумма вероятностей всех ее возможных значений

равна единице, т.е.

),(11

j

n

ij

i

m

i

yYxXP = 111

n

ij

ij

m

i

p .

Полной вероятностной характеристикой дискретной случайной

величины ( , )X Y , как и в случае одномерной случайной величины, является

закон распределения, устанавливающий связь между возможными

значениями дискретной случайной величины ( ji yx , ) ),...,1( mi , ),...,1( nj и

вероятностями ijp их появления.

Закон распределения дискретной случайной величины ( , )X Y может

быть представлен в виде двумерной матрицы распределения (в табличной

форме)

1y

2y

jy

ny

n

j

iji pp1

1x 11p 12p … jp1 …

np1 1p

2x 21p 21p … jp2 …

np2 2p

… … … … … … … …

Y

X

Page 4: модуль 1 лекция 7

ix 1ip 2ip …

ijp … inp

ip

… … … … … … … …

mx 1mp 2mp …

mjp … mnp

mp

m

i

ijj pp1

1p

2p

jp

np

1

где на пересечении i ой строки для значения компоненты ixX и

j го столбца для значения компоненты jyY указаны вероятности

),( jiij yYxXPp , ),...,1( mi , ),...,1( nj значений ),( ji yYxX

дискретной случайной величины ( , )X Y .

Закон распределения дискретной случайной величины ( , )X Y может

быть представлен также в виде графика распределения Рис 3.51. Если закон

распределения дискретной случайной величины ( , )X Y известен, то можно

найти законы распределения каждой из компонент X и Y (обрат-ное

невозможно). Так как события ),( 1yYxX i , ),( 2yYxX i ,…

…, ),( ni yYxX несовместны и событие )( ixX может появиться только с

одним из несовместных событий )( 1yY , )( 2yY ,… …, )( nyY

образующих полную группу, то вероятность )( ii xXPp события )( ixX ,

по формуле полной вероятности представляется в виде суммы вероятностей

несовместных событий ),( 1yYxX i , ),( 2yYxX i ,… …, ),( ni yYxX :

)( ii xXPp = ),(1

ji

n

j

yYxXP ij

n

j

p1

.

Аналогично определяется вероятность )( jj yYPp события )( jyY

)( jj yYPp = ),(1

ji

m

i

yYxXP ij

m

i

p1

.

Page 5: модуль 1 лекция 7

Таким образом, суммируя элементы матрицы распределения по столбцам,

получим распределение случайной

величины X , а по строкам –

распре-деление случайной

величины Y . Вероятности

)( ii xXPp записывают-ся в

последний столбец матрицы

распределения, а )( jj yYPp в

последнюю строку.

Пример 3.8. В Урне пять шаров: три красных, один белый и один синий. Из урны

наудачу извлекают два шара. Определить закон распределения для системы из двух шаров

– белого и синего. Найти при этом законы распределения белого шара и синего шара.

Решение. Пусть случайная величина X характеризует отсутствие )0(X или

извлечение )1(X белого шара, а случайная величина Y характеризует отсутствие

)0(Y или извлечение )1(Y синего шара при извлечении наудачу из урны

одновременно двух шаров.

Для вычисления вероятности значений дискретной двумерной случайной величины

( , )X Y определим число n возможных способов извлечения 2 шаров из 5: 102

5Cn .

Вычислим вероятности значений дискретной двумерной случайной величины ( , )X Y :

10

3)0,0(

2

5

2

311

C

CYXPp , где 2

3C − число случаев благоприятствующих

тому, что из урны будут извлечены 2 красных шара;

10

3)1,0(

2

5

1

1

1

312

C

CCYXPp , где 1

1

1

3 CC − число случаев благоприятству-

ющих тому, что из урны будут извлечены 1 из 3 красный шар и 1 синий;

10

3)0,1(

2

5

1

3

1

121

C

CCYXPp , где 1

3

1

1 CC − число случаев благоприятству-

ющих тому, что из урны будут извлечены 1 белый шар и 1 из 3 красный;

10

1)1,1(

2

5

1

1

1

122

C

CCYXPp , где 1

1

1

1 CC − число случаев благоприятству-

ющих тому, что из урны будут извлечены 1 белый и 1 красный шар.

1x 2x 3x x

2y

1y

y

11p

ijp

12p

21p

22p

31p

32p

Рис.3.51

Page 6: модуль 1 лекция 7

Представим закон распределения дискретной двумерной случайной величины

( , )X Y в табличной форме

1y = 0

2y = 1

n

j

iji pp1

1x = 0 0,3 0,3 0,6

2x = 1 0,3 0,1 0,4

m

i

ijj pp1

0,6

0,4

1

Сложив вероятности по столбцам, получим закон распределения X , а по строкам Y .

Непрерывной двумерной случайной величиной называют систему двух

случайных величин ( , )X Y , составляющие которой X и Y непрерывные

случайные величины.

Универсальной характеристикой пригодной для описания как

дискретных, так и непрерывных двумерных случайных величин, является

функция распределения, называемая также интегральной функцией.

Функция распределения двумерной случайной величин

и ее свойства

Функцией распределения двумерной случайной величины ( , )X Y

называют функцию ),( yxF , которая для каждой пары чисел ),( yx

определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение,

меньшее x , при этом Y примет значение, меньшее y :

),(),( yYxXPyxF

Здесь под событием ),( yYxX понимается одновременное

выполнение (произведение) двух событий )( xX и )( yY . Поэтому в

геометрической интерпретации функция

),( yxF представляет собой вероятность

попадания случайной точки ( , )X Y в

бесконечный квадрат Рис. 3.52 с вершиной

Y

X

(X,Y)

(x,y)

x

y

0

Рис.3.52

X

Y

Page 7: модуль 1 лекция 7

),( yx , расположенный левее и ниже этой вершины.

Функция распределения ),( yxF двумерной дискретной случайной

величины находится суммированием вероятностей ),( jiij yYxXPp ,

),...,1( mi , ),...,1( nj , для которых xxi , yyi :

),(),( yYxXPyxF ),( ji

xx yy

yYxXPi j xx yy

ij

i j

p .

В геометрической интерпретации функция распределения ),( yxF

представляет собой некоторую поверхность; для двумерной дискретной

случайной величины это Рис. 3.53 ступенчатая поверхность.

Функция ),( yxF обладает следующими основными свойствами.

1. ),( yxF − положительная ограниченная функция, значения которой

удовлетворяют неравенству

1),(0 yxF

Это свойство следует непосредственно из определения двумерной

функции распределения ),( yxF , так как ),(),( yYxXPyxF , а

вероятность 1),(0 yYxXP .

2. ),( yxF − неубывающая функция по каждому аргументу при

фиксированном другом аргументе:

),( 2 yxF ),( 1 yxF , если 12 xx ; ),( 2yxF ),( 1yxF , если 12 yy .

Для доказательства этого утверждения по аргументу x представим

событие ),( 2 yYxX суммой двух несовместных событий Рис. 3.54

4,0

2x 1x 3x x

1y

2y

y ),( yxF

1,0 3,0

4,0 7,0

0,1

Рис.3.53

Page 8: модуль 1 лекция 7

),( 2 yYxX = ),( 1 yYxX + ),( 21 yYxXx . Тогда по теореме

сложения несовместных событий:

),( 2 yYxXP = ),( 1 yYxXP + ),( 21 yYxXxP .

Отсюда, учитывая определение функции ),( yxF , следует

),( 2 yxF ),( 1 yxF + ),( 21 yYxXxP .

Так как вероятность события 0),( 21 yYxXxP , то

),( 2 yxF ),( 1 yxF , если 12 xx .

Аналогично доказывается утверждение, что функция ),( yxF не убывает

по аргументу y .

3. При предельных значениях аргументов функция ),( yxF равна

нулю.

),( yF = ),(xF = ),(F = 0.

Действительно при предельных значениях аргументов функция ),( yxF

определяет вероятность невозможного события :

),( yF = ),( yYXP = Р( ) = 0,

),(xF = ),( YxXP = Р( ) = 0,

),(F = ),( YXP = Р( ) = 0.

4. При предельных значениях одного из аргументов функция

),( yxF определяет одномерную функцию распределения по другому

аргументу:

),( 21 yYxXx

),( 2 yYxX

),( 1 yYxX

2x 1x

y

Y

X

Рис.3.54

Page 9: модуль 1 лекция 7

),(xF = )(xF − функция распределения случайной величины X .

),( yF = )(yF − функция распределения случайной величины Y .

Покажем справедливость этого утверждения для функции

распределения ),( yxF когда y . По определению двумерной функции

распределения ),(xF = ),( YxXP , где под событием ),( YxX

понимается одновременное выполнение (произведение) двух событий −

события )( xXA и достоверного события )(Y .

Для наглядной иллюстрации произведения событий A и

воспользуемся диаграммой Эйлера-Венна Рис. 3.55, в

которой достоверное событие изображается

прямоугольником; элементарные случайные собы- тия

– точками прямоугольника; случайное событие A –

областью внутри него. Из этой диаграммы видно, что

произведение событий AAA . Таким образом, для двумерной

функции распределения ),(xF выполняются соотношения:

),(xF = ),( YxXP = )()()(),( xFxXPAPAP .

Аналогично показывается справедливость ),( yF = )(yF .

5. При предельных значениях аргументов функция ),( yxF равна

единице

1),(F .

Действительно, при предельных значениях аргументов X и Y

двумерной случайной величины ( X ,Y ) функция ),( yxF есть вероятность

достоверного события , т.е.

),(F = ),( YXP = 1)(P .

Пример 3.9. По таблице распределения системы двух случайных величин (Х,Y)

примера 3.8 найти двумерную функцию распределения ),( yxF .

Решение. По определению,

),(),( yYxXPyxF ),( ji

xx yy

yYxXPi j

, где 2,1i , 2,1j .

А

Рис.3.55

Page 10: модуль 1 лекция 7

Поэтому при значениях 0x и 0y , значениях 0x и любом значении Y из

области возможных значений, значениях 0y и любом значении Х из области

возможных значений, функция распределения ),(),( yYxXPyxF = 0.

При 10 x и 10 y

3,0)0,0(),( 11 yYxXPyxF ;

При 10 x и y1

)0,0(),( 11 yYxXPyxF + )1,0( 21 yYxXP + 0,3 = 0,6;

При x1 и 10 y

)0,0(),( 11 yYxXPyxF + )0,1( 11 yYxXP =0,3 + 0,3 = 0,6;

При x1 и y1

)0,0(),( 11 yYxXPyxF + )1,0( 21 yYxXP +

+ )0,1( 11 yYxXP + )1,1( 21 yYxXP = 0,3 + 0,3+ 0,3+ 0,1=1

Таким образом, двумерная функция распределения ),( yxF представляется таблицей

),( yxF 0y 10 y y1

0x 0 0 0

10 x 0 0,3 0,6

x1 0 0,6 1

и описывает ступенчатую поверхность Рис.3.56.

Двумерная функция распределения ),( yxF позволяет достаточно

6,0

1 0 x

y ),( yxF

3,0

6,0

1

0,1

Рис.3.56

Page 11: модуль 1 лекция 7

просто определить вероятность попадания случайной точки ( X ,Y ) в

прямоугольник R со сторонами, параллельными координатным осям.

Для наглядной иллюстрации определения вероятности

),(}),{( 2121 yYyxXxPRYXP

рассмотрим Рис. 3.57,

где ),( 22 yxF обозначает вероятность попадания случайной точки ( , )X Y в

бесконечный квадрат, расположенный левее и ниже вершины ),( 22 yx .

),( 21 yxF обозначает вероятность попадания случайной точки ( , )X Y в

бесконечный квадрат, расположенный левее и ниже вершины ),( 21 yx .

),( 12 yxF обозначает вероятность попадания случайной точки ( , )X Y в

бесконечный квадрат, расположенный левее и ниже вершины ),( 12 yx .

),( 11 yxF обозначает вероятность попадания случайной точки ( , )X Y в

бесконечный квадрат, расположенный левее и ниже вершины ),( 11 yx .

Из Рис. 3.57 видно, что вероятность попадания случайной точки ( X ,Y )

в прямоугольник R определяется по формуле:

),(}),{( 2121 yYyxXxPRYXP

= ( ),( 22 yxF − ),( 21 yxF ) − ( ),( 12 yxF − ),( 11 yxF ) =

= ),( 22 yxF − ),( 21 yxF − ),( 12 yxF + ),( 11 yxF ).

),( 11 yx

),( 22 yxF

),( 22 yx

),( 12 yx

R

),( 12 yxF

),( 21 yxF

),( 11 yxF

1x 2x

1y

2y

Y

X

Рис.3.57

Page 12: модуль 1 лекция 7

Пример 3.10 [ , стр. 175]. Задана двумерная функция распределения ),( yxF

двумерной случайной величины ( , )X Y

.000

,2/0,2/0),(

yилиxпри

yxприSinySinxyxF

Найти вероятность попадания случайной точки ( , )X Y в прямоугольник Рис.3.58,

ограниченный прямыми 0x , 4/x , 6/y ,

3/y .

Решение. Определим вероятность попадания

случайной точки ( , )X Y в прямоугольник, ограничен-

ный прямыми 01x , 4/2x , 6/1y , 3/2y

по формуле

),( 2121 yYyxXxP

= ( ),( 22 yxF − ),( 21 yxF ) − ( ),( 12 yxF − ),( 11 yxF ) =

= 3

034

SinSinSinSin6

064

SinSinSinSin =

= 2

30

2

3

2

2

2

10

2

1

2

2= 26,0

4

26.

Плотность распределения непрерывной двумерной случайной

величины и ее свойства

Плотность распределения непрерывной двумерной случайной

величины является исчерпывающей характеристикой системы двух

непрерывных случайных величин ( , )X Y .

Рассмотрим непрерывную двумерную случайную величину ( , )X Y с

функцией распределения ),( yxF , которая в силу непрерывности случайных

величин Х и Y предполагается непрерывной и дифференци-руемой по

совокупности переменных x и y. Вычислим вероятность попадания

случайной точки ( , )X Y на элементарный прямоугольник

Рис. 3.59 со сторонами x и y, примыкающий к точке ),( yx .

0

2/

2/ 4/

6/

3/

y

x

Рис.3.58

Page 13: модуль 1 лекция 7

),( yyYyxxXxP

= ),( yyxxF ),( yyxF ),( yxxF ),( yxF ).

Рассмотрим отношение этой вероятности к площади элементарного

прямоугольника yx . Это отношение характеризует среднюю плотность

вероятности (среднюю плотность

распределения) двумерной случайной

величины ( , )X Y в элемен-тарном

прямоугольнике:

yx

yyYyxxXxP ),(

yx

yxFyxxFyyxFyyxxF ),(),(),(),(.

Отсюда следует, что при переходе к пределу при 0x и 0y мы

получим плотность распределения (плотность вероятности) двумерной

случайной величины ( , )X Y в точке ),( yx , которая обозначается, в

частности, через ),( yxp :

),( yxp =yx

yyYyxxXxP

yx

),(lim

00

yx

yxFyxxFyyxFyyxxF

yx

),(),(),(),(lim

00 yx

yxF ),(2

.

Таким образом, по определению, плотностью распределения двумерной

случайной величины ( , )X Y называется вторая смешанная производная ее

функции распределения.

),( yxpyx

yxF ),(2

= ),( yxFxy .

Плотность распределения ),( yxp двумерной случайной величины

( , )X Y называют также дифференциальной функцией.

Для достаточно малых приращений dx и dy плотность распределения

),( yxp удовлетворяет условию

0 x xx x

yy

y

y

Рис.3.59

Page 14: модуль 1 лекция 7

),( dyyYydxxXxP dxdyyxp ),( .

Поэтому выражение называют элементом вероятности двумерной

случайной величины ( , )X Y .

Геометрически плотность распределения ),( yxp двумерной случайной

величины ( , )X Y представляет собой поверхность Рис. 3.60, называемую

поверхностью распределения

Элемент вероятности dxdyyxp ),( представляет собой прямоугольную

призму Рис. 3.60 с площадью основания dydx

Плотность распределения ),( yxp обладает следующими свойствами.

1. ),( yxp − неотрицательная функция

0),( yxp .

Это следует из определения ),( yxp , в соответствии с которым для достаточно малых

приращений x и y

),( yxp 0),(

yx

yyYyxxXxP,

поскольку вероятность 0),( yyYyxxXxP .

2. Плотность распределения ),( yxp связана с функцией распределе-ния

),( yxF , интегральным соотношением:

x y

dudvvupyxF ),(),( .

xm

ym

dxdyyxp ),(

),( yxp

y

y

y y

x x

x

x

Рис.3.60

Page 15: модуль 1 лекция 7

Для доказательства этого утверждения используем определение плотности распределения

),( yxp , в соответствии с которым, если ),( yxF дифференцируема, то

yx

yxF ),(2

= ),( yxp .

Определим вторую смешанную производную от функции распределения, используя

правило дифференцирования под знаком интеграла, когда пределы интеграла зависят от

параметра*

yx

yxF ),(2

= dvduvupyx

xy

),( = duyupx

x

),( = ),( yxp .

3. Частные (маргинальные) плотности распределения )(xp и )(yp

составляющих Х и Y непрерывной двумерной случайной величины ( , )X Y

определяются через двумерную плотность распределения ),( yxp по

формулам:

)(xp = dyyxp ),( , )(yp = dxyxp ),( ,

Покажем справедливость формулы для определения плотности распределения

)(xp . В соответствии с четвертым свойством двумерной функции распределения

),( yxF : ),(xF = )(xF . Тогда по определению одномерной плотности распределения, с

учетом дифференцирования интеграла по параметру верхнего предела, получим.

__________________________________________________________________________

* Дифференцирование под знаком интеграла, когда пределы интеграла зависят от

параметра )(

)(

),(

y

y

dxyxfdy

d)),((

)()),((

)(),()(

)(

yyfy

yyyf

y

ydx

y

yxfy

y

.

)(xp =dx

xdF )(=

x

xF ),(= dudyyup

x

x

),( = dyyxp ),( .

Аналогично

)(yp =dy

ydF )(=

y

yF ),(=

y

dvdxvxpy

),( == dxyxp ),( .

Следует отметить, что определить двумерную плотность

распределения ),( yxp по известным плотностям распределения )(xp и

Page 16: модуль 1 лекция 7

)(yp составляющих Х и Y непрерывной двумерной случайной величины

( , )X Y в общем случае невозможно.

4. Двумерная плотность распределения ),( yxp удовлетворяет

условию нормировки

1),( dxdyyxp .

Действительно, в соответствии со вторым свойством двумерной плотности

распределения, этот интеграл определяет двумерную функцию распределения при

предельных значениях аргументов X и Y двумерной случайной величины

( X ,Y ). Следовательно, этот интеграл

1),(),( Fdxdyyxp .

В частности, если все возможные значения двумерной случайной

величины ( X ,Y ) принадлежат конечной области значений D , то

D

dxdyyxp 1),( .

5. Вероятность попадания случайной точки ( X ,Y ) в область D

вычисляется через плотность ее распределения по формуле:

( , )P X Y R( )

( , )R

p x y dxdy .

Действительно. Пусть ),(}),{( 2121 yYyxXxPRYXP рис.3.57. Как

показано выше эта вероятность определяется по формуле:

1 2 1 2( , )P x X x y Y y ( ),( 22 yxF − ),( 21 yxF )−( ),( 12 yxF − ),( 11 yxF )

Откуда, принимая во внимание определение двумерной функции распределения, следует

1 2 1 2( , )P x X x y Y y

2 2 1 2

( , ) ( , )

x y x y

p x y dxdy p x y dxdy

2 1 1 1

( , ) ( , )

x y x y

p x y dxdy p x y dxdy

2 2 2 1 2 2

1 1 1 1

( , ) ( , ) ( , )

x y x y x y

x x x y

p x y dxdy p x y dxdy p x y dxdy .

Page 17: модуль 1 лекция 7

Пример 3.11. Случайная точка ( , )X Y с равномерной постоянной плотностью

распределена внутри квадрата R Рис.3.61. Определить совместную плотность

распределения ),( yxp и одномерные плотности распределения ( )p x и ( )p y .

Решение. Так как все возможные значения двумерной

случайной величины ( X ,Y ) принадлежат конечной

области значений R , то

{( , ) }P X Y R( )

( , ) 1R

p x y dxdy .

Поскольку площадь R равна 2, то равномерная постоянная

двумерная плотность распределения ),( yxp случайной

величины ( , )X Y определяется выражением

1/ 2 ( , )( , )

0 ( , )

при x y Rp x y

при x y R.

Определим плотность распределения ( )p x . При заданном x в интервале 0 1x

плотность ),( yxp отлична от нуля, когда (1 ) 1x y x . В интервале 1 0x

плотность ),( yxp отлична от нуля, когда (1 ) 1x y x . При 1x или 1x

плотность ),( yxp равна нулю, поэтому

112 (1 )

112 (1 )

1 0 1

( ) 1 1 0

0 1 1.

x

x

x

x

dy x при x

p x dy x при x

при x или x

Иначе

1 | | | | 1

( )0 | | 1.

x при xp x

при x

График плотности распределения ( )p x показан на Рис. 3.62. Распределение ( )p x

представляет собой распределение Симпсона. Аналогично определяется распределение

( )p y

1 | | | | 1

( )0 | | 1.

y при yp y

при y

0

R 1

1

-1

-1

y

x

Рис.3.61

0

1

1

-1

( )p x

x

Рис.3.62

Page 18: модуль 1 лекция 7

Пример 3.12. Случайная точка ( , )X Y с равномерной постоянной плотностью

распределена внутри круга радиуса R Рис.3.63. Определить совместную плотность

распределения ),( yxp и одномерные плотности распределения ( )p x и ( )p y .

Решение. Так как все возможные значения двумерной

случайной величины ( X ,Y ) принадлежат конечной области

круга D, то двумерная плотность распределения ),( yxp

аналогично примеру 3.11 определяется выражением

2 2 2 2

2 2 2

1/( , )

0 .

R при x y Rp x y

при x y R.

Определим плотность распределения ( )p x . При заданном x в интервале R x R

плотность ),( yxp отлична от нуля, когда 2 2 2 2R x y R x , поэтому

2 2

2 2

2 2

2 2

2( )

R x

R x

dyp x R x

R R

При | | ( ) 0.x R p x Аналогично определяется распределение ( )p y .

2 2

2 2

2 2

2 2

2( )

R y

R y

dxp y R y

R R

При | | ( ) 0.y R p y

Закон распределения двумерных случайных величин ( X ,Y )

определяется распределением каждой из величин и зависимостью между

ними. Степень зависимости между величинами X и Y определяется

условным законом распределения.

0

R

y

x

D

Рис.3.63 Рис.3.63