ПРИЛОГ 1.. PRILOZI.pdf · 2006. 6. 16. · ПРИЛОГ 1. СТРУКТУРА ИСТРАЖИВАЊА У ОКВИРУ РАДА ''МЕТОДИЧКА ТРАНСФОРМАЦИЈА

ПРИЛОГ 1.

СТРУКТУРА ИСТРАЖИВАЊА У ОКВИРУ РАДА ''МЕТОДИЧКА ТРАНСФОРМАЦИЈА САДРЖАЈА О

ДИОФАНТОВИМ ЈЕДНАЧИНАМА У НАСТАВИ МАТЕМАТИКЕ У СРЕДЊОЈ ШКОЛИ''

I УВОДНА РАЗМАТРАЊА

II ТЕОРИЈСКЕ ПРЕТПОСТАВКЕ

III МЕТОДИЧКА ТРАНСФОРМАЦИЈА IV ПЕДАГОШКИ

ЕКСПЕРИМЕНТ

↓

УВОД →

↓

↓

ПСИХОЛОШКЕ ОСНОВЕ ИСТОРИЈСКИ

ОСВРТ

↓

ПЕДАГОШКЕ ОСНОВЕ →

ПРОГРАМСКЕ ОСНОВЕ

↓ ↓

ОРГАНИЗАЦИОНЕПРЕТПОСТАВКЕ →

ТЕОРИЈСКЕ ОСНОВЕ

↓

МЕТОДИЧКА ТРАНСФОРМАЦИЈА

↓

↓

ПРИМЕНА РАЧУНАРА → МЕТОДИЧКИ

МОДЕЛИ

↓

ПЕДАГОШКИ ЕКСПЕРИМЕНТ

↓

↓

↓

↓

V ЗАКЉУЧНА РАЗМАТРАЊА

↓ ↓ ↓ ↓

ЗАКЉУЧAK

ПРИЛОГ 2. ТАБЕЛА РАЗНИХ ПСИХОЛОШКИХ ПОГЛЕДА НА РАД СА ОБДАРЕНИМА

ОБДАРЕНОСТ КАО:

ВИСОКА ОПШТА ИНТЕЛЕКТУ-

АЛНА СПОСОБНОСТ

ВЕЛИКА КРЕАТИВНОСТ

ВИСОКА СПЕЦИФИЧНА СПОСОБНОСТ

СТВАРАЛАЧКА СПОСОБНОСТ

СПОСОБНОСТ УПРАВЉАЊА ПРОЦЕСИМА МИШЉЕЊА

ПОДРУЧНО-СПЕЦИФИЧНА СТВАРАЛАЧКА СПОСОБНОСТ

ПСИХОЛОШКА КАТЕГОРИЈА

опша интелигенција: нумеричка способност + вербална способност + специјална способност +закључивање, итд.

општа диспозиција креативности: дивергентно мишљење + флуентност

музичка способност, психомоторне способности + вербалне способности + математичке способности, итд.

висока општа инетлектуална способност + велика креативност + преданост задатку (мотивација)

квалитет мишљења, метакогниција, стратегије решавања проблема, општа база знања, специфична база знања, увид

стваралачка способност у специфичним подручјима, таленат у спозајном подручју, подручје уметничког изражавања, психомоторно подручје

КРИТЕРИЈУМИ ОБДАРЕНОСТИ

високи резултати у тесту интелигенције

способност продукције многих идеја

висок резултат у тесту специјалне способности, понашање које указује на способности

постизање властитих и оригиналних резултата

велика способност коришћења стратегија мишљења

висока општа интелектуална способност + врло високе специфичне способности у друштвено дефинисаном подручју обдарености

МЕТОДЕ ИДЕНТИФИ-КАЦИЈЕ

тестови интелигенције

тестови дивергентног мишљења

опажање околине и тестови специјалне способности

обогаћивање искуства + опажање понашања у обогаћеним условима

тестови и интервјуи за откривање начина мишљења

опажања околине, тестови општих и специфичних способности, обогаћивање искуства, опажање понашања у обогаћеним условима

СПОЉНЕ КАРАКТЕРИ-

СТИКЕ ОБДАРЕНОСТИ

лакоћа усвајања знања богатство идеја лакоћа напредовања у

одређеном подручју употреба знања у продукцији идеја

вештина долажења до решења проблема

брзо и лако овладавање специфичном базом знања до нивоа њеног проширења

ВАСПИТНО-ОБРАЗОВНИ ПОСТУПЦИ

акцелерација и/или обогаћивање

тренинг дивергентног мишљења

специфични тренинг вештина

обогаћење искуства, развој мотивације и развој креативности

развијање активне базе знања и метакогнитивни тренинг

развијање специфичне базе знања + развијање еластичне употребе специфичне базе знања + развијање мотивације

ПРИЛОГ 3.

ПРИЛОГ 4.

ПРОГРАМ МАТЕМАТИЧКИХ ТАКМИЧЕЊА УЧЕНИКА СРЕДЊИХ ШКОЛА

САВЕЗНО ТАКМИЧЕЊЕ

I РАЗРЕД:

1. Логика, скупови, функције; 2. Елементарна теорија бројева (дељивост, прости бројеви, Диофантове једначине); 3. Дирихлеов принцип; 4. Трансформације рационалних алгебарских израза; 5. Линеарне једначине, неједначине и системи; 6. Неједнакости; 7. Основне теореме о троуглу, четвороуглу и конструктивни задаци 8. Круг – основне теореме и конструктивни задаци; 9. Вектори – примена на задатке елементарне геометрије; 10. Изометријске трансформације равни;

II РАЗРЕД:

1. Градиво I разреда; 2. Степеновање и кореновање; 3. Квадратне једначине и неједначине и квадратна функција; 4. Ирационалне једначине и неједначине; 5. Планиметрија – изометријске трансформације равни; 6. Трансформације сличности; 7. Тригонометрија (трансформације, једначине и неједначине, функције и инверзне

тригонометријске функције); 8. Експоненцијалне и логаритамске функције, једначине и неједначине; 9. Математичка индукција; 10. Комбинаторика;

III и IV РАЗРЕД:

1. Градиво претходних разреда; 2. Стереометрија; 3. Елементарна теорија бројева (конгруенције, Ојлерова и Вилсонова теорема); 4. Низови, диференцне једначине, гранична вредност низа; 5. Комплексни бројеви; 6. Полиноми; 7. Системи линеарних једначина, детерминанте; 8. Вектори (скаларни, векторски и мешовити производ); 9. Аналитичка геометрија у равни; 10. Вероватноћа (класична дефиниција, условна вероватноћа, геометријска вероватноћа) ;

ПРИЛОГ 5.

ПРОГРАМ СЕМИНАРА ''НЕЛИНЕАРНЕ ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ'' ПЕТРОВАЦ НА МОРУ АВГУСТ 1991. ГОДИНЕ

1. НАСТАВНИ ДАН

1. час: Појам Диофантове једначине. Метод разликовања случајева

2. час: Решавање Диофантових једначина коришћењем дељивости

3. час: Линеарна Диофантова једначина и примене


4. час: Решавање Диофантових једначина коришћењем производа

5. час: Решавање Диофантових једначина коришћењем количника и збира

6. час Решавање Диофантових једначина коришћењем неједнакости


7. час: Решавање Диофантових једначина коришћењем конгруенција

8. час: Решавање Диофантових једначина методом ''најмањег решења''

9. час: Ирационалне и експоненцијалне Диофантове једначине


10. час: Питагорина једначина

11. час: Пелова једначина

12. час: Диофантски проблеми

ПРИЛОГ 6.

УПИТНИК 1.

О ЗАСТУПЉЕНОСТИ САДРЖАЈА О ДИОФАНТОВИМ ЈЕДНАЧИНАМА

Dear colleague, I have found your e-mail address by means of Internet. I am working on my doctoral dissertation DIOPHANTINE EQUATIONS IN TEACHING MATHEMATICS and I need some comparative data regarding diophantine equations and how much they are present in the curriculum in your country. Therefore I would be very grateful if you could answer and return the following questionnaire as soon as possible.

1. Country

QUESTIONS RELATED TO TEACHING MATHEMATICS TO ALL STUDENTS

2. Does the primary school curriculum contain the contents connected with diophantine equations? YES NO

3. Does the secondary school curriculum contain the contents connected with diophantine equations? YES NO

QUESTIONS RELATED TO TEACHING MATHEMATICS TO TALENTED STUDENTS

4. Does the primary school curriculum for extra instruction contain the contents connected with diophantine equations?

YES NO

5. Do the problems connected with diophantine equations appear at primary school mathematics competitions? YES NO

6. Does the secondary school curriculum for extra instruction contain the contents connected with diophantine equations?

YES NO

7. Do the problems connected with diophantine equations appear at secondary school mathematics competitions? YES NO

8. How old are the students when they are introduced to the notion of diophantine equation and the problems reduced to linear diophantine equation?

Are talented students introduced to the methods of solving:

a) linear diophantine equation YES NO b) Pythagora’s equation x2 + y2 = z2 YES NO c) Pell’s equation x2 – py2 = 1 YES NO

9.

d) other non-linear diophantine equations YES NO

QUESTIONS CONNECTED WITH THE EDUCATION OF MATHEMATICS TEACHERS

10. Does the curriculum of universities which educate mathematics teachers contain the contents connected with diophantine equations?

YES NO

11. Are the teachers specially trained for work with talented students at the universities which educate mathematics teachers?

YES NO

If you should have any other useful pieces of information (programmes, texts, …) connected with this matter or the addresses of web sites where such data could be found, would you be so kind as to send them to me? Thank you in advance. Sincerely yours, Vojislav Andrić [email protected]

ПРИЛОГ 7.

ПРОГРАМ МАТЕМАТИЧКИХ ТАКМИЧЕЊА У СЛОВЕНИЈИ

PREGLED PRIPOROČENIH ZNANJ ZA PRIPRAVO NA MATEMATIČNA TEKMOVANJA

1. IZBIRNO IN DRŽAVNO TEKMOVANJE

K pregledu potrebnih znanj tekočega letnika je potrebno dodati snov vseh predhodnih letnikov.

Letnik Geometrija Algebra in analiza Logika in kombinatorika

1.

Elementarni izreki v trikotniku (podobnost, Pitagorov izrek) Središčni in obodni kot

Linearne enačbe in neenačbe Teorija števil (praštevila, deljivost, Evklidov algoritem, linearne Diofantske enačbe)

Dirichletovo načelo Logične naloge (zvijače in strategije)

2.

Tetivni / tangentni štirikotnik Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Vektorji

Potence in koreni, iracionalne enačbe in neenačbe Kvadratna enačba in neenačba Kompleksna števila Diofantske enačbe

3. Trigonometrija Eksponentna in logaritemska funkcija Polinomi (Vietova pravila)

4. Stereometrija Analitična geometrija

Zaporedja in seštevanje zaporedij Funkcije in funkcijske enačbe Indukcija

Klasična kombinatorika (permutacije,кombinacije, variacije, ...)

2. MEDNARODNA TEKMOVANJA

K pregledu potrebnih znanj je potrebno dodati vso snov za izbirno in državno tekmovanje ne glede na letnik.

Geometrija

▪ Trikotnik in krožnica, usmerjeni koti, koncikličnost, kolinearnost, potenca točke na krožnico ▪ Pomembnejši izreki: Talesov, Cevov, Menelajev, Miquelov, Stewartov, krožnica devetih točk ▪ Vektorji, kompleksna števila v geometriji, stereometrija, Eulerjeva formula ▪ Transformacije: vzporedni premik, vrtež, razteg, inverzija, konstrukcije ▪ Analitična geometrija (v trikotniku), Apolonijeva definicija krožnice, geometrijsko mesto točk

(analitično / geometrijsko), krivulje II. reda

Polinomi

▪ Ničle, Vietove formule, deljivost, Hornerjev in Evklidov algoritem ▪ Razcepnost, enačbe tretje in četrte stopnje (resolventa), Lagrangeova interpolacija

Neenakosti

▪ Potenčne sredine, pomembnejše neenakosti: trikotniška, Cauchyjeva, Jensenova, Hölderjeva, Minkowskega, Bernoullijeva

▪ Neenakosti v geometriji

Kombinatorika

▪ Množice, klasična kombinatorika ▪ Seštevanja, preštevanja, identitete z binomskimi simboli

Teorija števil

▪ Kongruence, diofantske enačbe (Pellova enačba) ▪ Pomembnejši izreki: Eulerjev, Fermatov, Dirichletov, Wilsonov, kitajski izrek o ostankih ▪ Celoštevilske funkcije: celi del, Eulerjeva funkcija, ▪ Uporaba kompleksnih števil in hiperboličnih funkcij v teoriji števil

Analiza

▪ Zaporedja: aritmetično, geometrično, Fibbonaccijevo, seštevanje zaporedij, indukcija ▪ Funkcije in funkcijske enačbe ▪ Uporaba kompleksnih števil v trigonometriji

Diferenčne enačbe

▪ Uporaba v kombinatoriki

Rodovne funkcije

▪ Uporaba v kombinatoriki ▪ Seštevanje vrst

Grafi

▪ Poti in cikli, obhodi in sprehodi, planarnost, barvanje povezav in točk

Zvijače

▪ Dirichletovo načelo ▪ Strategije, potencial, barvanja, znanci ▪ Načelo ekstremnega elementa

ПРИЛОГ 8.

НАСТАВНИ ПРОГРАМ МАТЕМАТИКЕ У БОСНИ И ХЕРЦЕГОВИНИ

МАТЕМАТИКА – ЛИЧНИ ИЗБОР УЧЕНИКА III РАЗРЕД

(2 часа седмично – 70 часова годишње)

ТЕМАТСКЕ ЦЈЕЛИНЕ

1. Важне теореме из геометрије (12 часова)

2. Геометријске неједнакости (12 часова)

3. Диофантове једначине вишег реда (12 часова)

4. О геометрији у простору (6 часова)

5. Примјена вектора у планиметрији (10 часoва)

6. Основе линеарног програмирања (6 часова)

Напомена: У сваком полугодишту обавезно је урадили по два двочасовна школска писмена задатка с једночасовним анализама и исправкама.

(12 часова)

ПРОГРАМСКИ САДРЖАЈИ

1. ВАЖНЕ ТЕОРЕМЕ ИЗ ГЕОМЕТРИЈЕ (12 часова)

Теореме: Карноова, Аполонијева, Стјуартова, Лајбницова, Хамилтонова, Симсонова, Ван Обелова, Ердеш-Морделова. Разни задаци у вези с примјеном ових теорема. 2. ГЕОМЕТРИЈСКЕ НЕЈЕДНАКОСТИ (12 часова)

Неједнакост троугла и њена примјена на троугао, четвероугао и многоугао. Важне неједнакости у вези страница, углова (тригонометријске неједнакости), висина, тежишница, дужина симетрала унутрашњих углова троугла (нпр. rR 2≥ ). Неједнакости у правоуглом троуглу. Неједнакост четвороугла. Неке стереометријске неједнакости (неједнакост између бројних средина, неједнакост Коши – Шварц –Буњаковског, неједнакост Бенулијева, Хадвигер – Финслерова, Чебишева, Холдерова, Минковског, Жорданова, Јенсенова, Шурова) код доказивања геометријских неједнакости. Миурхедова теорема и њена примјена код доказивања важних неједнакости у геометрији.

3. ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ ВИШЕГ РЕДА (12 часова)

Нелинеарне Диофантове једначине и неке методе њиховог рјешавања. Метода растављања полинома на факторе, метода дијељења полинома (основна теорема о дијељењу полинома полиномом):

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0; ≠+= xgxgxrxq

xgxf

метода збира степена с парним експонентом ( )( ) ( )( ) bayxgyxf nm +=+ 22 ,, ; 0, Nnm ∈

методе посљедње цифре, методе конгруенције (остатак дијељења), метода неједнакости. Теорема Софи Жермен. Пелова једначина ( )NDyxDyx ∈=− ,,,122 . Еуклидов алгоритам и непрекидни разломци. Фибоначијеви бројеви те једнакости и неједнакости у вези с Фибоначијевим бројевима. Рјешавање (лакших) функционалних једначина. 4. О ГЕОМЕТРИЈИ У ПРОСТОРУ (6 часова)

Продубљивање знања из програма редовне наставе математике - област стереометрије. Рјешавање тежих рачунских задатака и задатака у вези с доказивањем одређених тврдњи за праве и равни у простору (паралелност, нормалност, пресјеци, угао пресјека итд.). Талесова теорема за простор и њен обрат као и примјена. Конструктивни задаци у простору. Разни комбиновани задаци у вези с геометријским тијелима (ваљак у лопти, лопта у пирамиди и купи, купа у лопти, ваљак у купи, ваљак у пирамиди, призма у пирамиди итд).

5. ПРИМЈЕНА ВЕКТОРА У ПЛАНИМЕТРИЈИ (10 часoва)

Продубљивање знања у вези с векторском алгебром с акцентом на скаларни, векторски и мјешовити производ. Примјена вектора код доказивања разних теорема из планиметрије, тригонометрије и стереометрије. Извођење познатих образаца из геометрије помоћу вектора. 6. ОСНОВЕ ЛИНЕАРНОГ ПРОГРАМИРАЊА (6 часова)

Увод у проблем. Линеарне неједначине и системи линеарних неједначина. Максимизирање (минимизирање) линеарног полинома уз задате услове. Рјешавање лакших, практичних проблема у линеарном програмирању.

ПРИЛОГ 9.

ОДРЕДНИЦЕ О ДИОФАНТОВИМ ЈЕДНАЧИНАМА НА ИНТЕРНЕТ САЈТУ

INDEX Antimorph Erdos-Straus Conjecture Mirimanoff's Congruence

Algebra Antimorphic Number Euler Brick Monkey and Coconut Pro...

Applied Mathematics Archimedes' Revenge Euler Quartic Conjecture Monomorph

Calculus and Analysis Archimedes' Cattle Pro... Euler's Sum of Powers... Mordell Conjecture

Discrete Mathematics Ass and Mule Problem Fermat-Catalan Conjecture Multigrade Equation

Foundations of Mathematics Bachet Equation Fermat Elliptic Curve... Pell Equation

Geometry Beal's Conjecture Fermat Equation Perfect Cuboid

History and Terminology Brahmagupta's Problem Fermat's Last Theorem Perfect Pyramid

Number Theory Catalan's Conjecture Frobenius Coin Problem Perfect Tetrahedron

Probability and Statistics Catalan's Diophantine... Frobenius Equation Pillai's Conjecture

Recreational Mathematics Coin Problem Frobenius Number Polymorph

Topology Concordant Form Frobenius Postage Stam... Postage Stamp Problem

Congruent Number Frobenius Problem Prime Diophantine Equa...

Alphabetical Index Congruum FrobeniusF Prouhet-Tarry-Escott P...

Congruum Problem FrobeniusInstance Pythagorean Fraction

DESTINATIONS Convenient Number FrobeniusSolve Pythagorean Quadruple

About MathWorld Diophantine Equation Gauss's Cyclotomic For... Pythagorean Triad

About the Author Diophantine Equation--... Generalized Fermat Equ... Pythagorean Triangle

Headline News (RSS) Diophantine Equation--... Hardy-Ramanujan Number Pythagorean Triple

New in MathWorld Diophantine Equation--... Heronian Tetrahedron Ramanujan-Nagell Equation

MathWorld Classroom Diophantine Equation--... Hurwitz Equation Ramanujan's Square Equ...

Interactive Entries Diophantine Equation--... Idoneal Number Rational Distance Problem

Random Entry Diophantine Equation--... Integer Brick Rational Distances

Diophantine Equation--... Integer Cuboid Shafarevich Conjecture

CONTACT Diophantine Equation--... Integer Triangle Suitable Number

Contribute an Entry Diophantine Equation--... Lagrange Number Thue Equation

Send a Message to the Team Diophantine Equation... Lucas's Theorem Twin Pythagorean Triple

Diophantine Set Markoff Number Wallis's Problem

MATHWORLD - IN PRINT Diophantus Property Markov Equation Waring's Conjecture

Order book from Amazon Diophantus's Riddle Markov Number Waring's Problem

Erdos-Moser Equation Method of Exclusions

ПРИЛОГ 10.

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

ЖУРНАЛ "КВАНТ" (ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА)

МЦНМО РЕДАКЦИЯ ЖУРНАЛА "КВАНТ"

Артемов С., Гиматов Ю., Федоров В., Много битов из ничего. (N3, 1977) GIF: все страницы (319K) | 12 (73K) 13 (85K) 14 (78K) 15 (81K)

Болтянский В., Пифагоровы тетраэдры. (N8, 1986) GIF: все страницы (242K) | 29 (77K) 30 (83K) 31 (81K)

Вайнтроб А., Сосинский А., Доказательство гипотезы Морделла (N3, 1984) GIF: все страницы (90K) | 19 (90K) Варпаховский Ф., Колмогоров А., О решении десятой проблемы Гильберта (N7, 1970) GIF: все страницы (538K) | 38 (63K) 39 (66K) 40 (76K) 41 (85K) 42 (89K) 43 (82K))

Васильев Н., Гутенмахер В., Пары чисел и действия с ними. (N1, 1985) GIF: все страницы (1107K) | 19 (81K) 20 (78K) 21 (403K) 22 (85K) 23 (367K) 24 (91K)

Геронимус А., Диофантовы уравнения по простому модулю. (N12, 1978) GIF: все страницы (417K) | 2 (81K) 3 (82K) 4 (81K) 5 (85K) 6 (86K)

Геронимус А., Сравнения по простому модулю. (N11, 1978) GIF: все страницы (881K) | 6 (73K) 7 (79K) 8 (80K) 9 (84K) 10 (563K)

Гисин В., Чертежник рисует квадрат (N12, 1990) GIF: все страницы (606K) | 14 (398K) 15 (68K) 16 (74K) 17 (64K)

Дворянинов С., Савин А., Арифметика песочных часов. (N2, 1989) GIF: все страницы (248K) | 47 (74K) 48 (91K) 49 (81K)

Зурабишвили З., Еще раз о пифагоровых тройках (N4, 1981) GIF: все страницы (417K) | 39 (417K)

Крейн М., Диофантово уравнение А.А.Маркова. (N4, 1985) GIF: все страницы (325K) | 13 (81K) 14 (89K) 15 (78K) 16 (76K)

Матиясевич Ю., Формулы для простых чисел. (N5, 1975) GIF: все страницы (1230K) | 5 (64K) 6 (70K) 7 (76K) 8 (377K) 9 (370K) 10 (76K) 11 (66K) 12 (58K) 13 (68K)

Михайлов И., О диофантовом анализе. (N6, 1980) GIF: все страницы (195K) | 16 (71K) 17 (61K) 35 (62K)

Панов А., Генеалогические деревья. (N7, 1987) GIF: все страницы (2926K) | 8 (78K) 9 (683K) 10 (545K) 11 (543K) 12 (532K) 13 (543K)

Соловьев Ю., Неопределенные уравнения первой степени. (N4, 1992) GIF: все страницы (384K) | 42 (69K) 43 (71K) 44 (62K) 45 (55K) 46 (67K) 55 (57K)

Юрашев А., Снова о пифагоровых тройках (N12, 1981) GIF: все страницы (71K) | 41 (71K)

Читатели предлагают задачи (N10, 1974) GIF: все страницы (60K) | 57 (60K)

Читатели предлагают задачи (N12, 1974) GIF: все страницы (61K) | 76 (61K)

ПРИЛОГ 11.

EQUAÇÕES DIOFANTINAS – NÍVEL 3

PROF. RODRIGO VILLARD – RIO DE JANEIRO COLÉGIO PONTO DE ENSINO

1) Sejam r e s inteiros não nulos. Prove que a equação

1)(4)( 222222 =−−−− ysrrsxyxsr não possui soluções inteiras em x e y.

2) Determine todas as soluções da equação

24222 222222444 =−−−++ zyzxyxzyx .

3) Prove que a única solução de 03225 2222 =−−−+ dcdcba com a, b, c e d inteiros é a = b = c = d = 0.

4) Prove que a equação 2332 += xy não possui soluções inteiras.

5) (USAMO) Determine todas as soluções de

322 )())(( bababa −=++ , com 0, ≠ba .

6) (IMO) Determine todos os pares (a, b) tais que 1bab2

a32

2

+− é

inteiro.

7) Ache todos os inteiros x, y tais que 2244 )1()1( ++=++ yyxx .

8) (Ibero) Encontre todas as soluções de 1)1( =−+ zy xx , com x, y, z inteiros maiores que 1.

9) Prove que a equação 122 =++ yxyx possui infinitas soluções com

x e y racionais.

ПРИЛОГ 12.

ПРИЛОГ 13.

ЈЕДАН СПИСАК МОГУЋИХ ПРОБЛЕМА ЗА ПРОГРАМИРАЊЕ

1. Написати програм који ће за дате целобројне коефицијенте а, b и с (а и b су различити од

нуле) дати одговор на три питања:

a) Да ли једначина ах + bу = с има решења у скупу целих бројева? b) Ако има, колико је основно решење (хо, уо). c) Који облик има опште решење једначине?

2. Написати програм који ће за дату вредност природног броја n дати одговор на два питања:

a) Да ли једначина х2 + у2 = n има решења у скупу целих бројева? b) Ако има, која су тражена решења.

3. Написати програм који ће за дату вредност природног броја n дати одговор на два питања:

a) Да ли једначина х2 + у2 + z2 = n има решења у скупу целих бројева? b) Ако има, која су тражена решења.

4. Написати програм који ће за дату вредност природног броја n дати одговор на питање која су решења једначине х2 + у2 + z2 + р2 = n . 5. Написати програм који ће за дате вредности природних бројева m и n израчунавати вредности Питагориних бројева: х = 2mn; у = m2 – n2 и z = m2 + n2. 6. Написати програм који ће за дату вредност к, израчунати све Питагорине тројке чији је први, други или трећи члан број к. 7. Написати програм који ће за дате коефицијенте а, b и с (сви коефицијенти су природни бројеви) и дате природне бројеве p, q и r дати одговор на питања да ли једначина ахр + bуq = сzr има решења у скупу природних бројева мањих од 10к. 8. Написати програм који ће направити таблицу првих 100 основних решења Пелове једначине х2 – ру2 = 1 (р ≤ 100 и п није потпун квадрат). 9. Програм који ће за дати коефицејнт р, одредити најмање решење Пелове

х2 – ру2 = 1, а потом исписати и првих 10 парова решења. 10. Написати програм који ће израчунати странице првих 10 Херонових троуглова чији су мерни бројеви страница узастопни природни бројеви. 11. Познато је да је 33 + 43 + 53 = 63. Написати програм за решавање Диофантове једначине а3 + b3 + c3 = d3 у скупу природних бројева, као и за збирове четвртих, петих ... степена и сличних једначина.

ПРИЛОГ 14. СЛАЈДОВИ POWER POINT ПРЕЗЕНТАЦИЈE

''MATEMATИКА И ИНТЕРНЕТ''

ПРИЛОГ 15. ПРИМЕНА АЛГОРИТМА

''КАКО ЋУ РЕШИТИ МАТЕМАТИЧКИ ЗАДАТАК'' НА ЈЕДНУ ДИОФАНТОВУ ЈЕДНАЧИНУ

ЗАДАТАК: Одредити све целе бројеве х, у и z за које је 2x + 3y = z2.

РЕШЕЊЕ: Прва фаза – разумевања проблема подразумева све оно што се односи на анализу задатих услова. Како су бројеви 2x и 3y позитивни то је и z2 > 0, па се може закључити да је z ≠ 0. С друге стране ако је било који од бројева х и у негативан онда су бројеви 2x и 3y

рационални бројеви мањи или једнаки 31односно,

21 , па њихов збир никада није цео број, што

значи да нема потребе тражити решење за негативно х и за негативно у. Дакле, једина могућа област у којој се налазе решења је, гледајући уређени пар (х, у) као тачку у хОу координатном систему, први квадрант укључујући и координатне осе. Према томе имамо посла са три једначине:

1) Ако је х = 0, онда је 1 + 3y = z2 ; 2) Ако је у = 0, онда је 2x + 1 = z2 ; 3) Ако су х и у природни бројеви, онда је 2x + 3y = z2.

Сада је могуће прећи на другу фазу решавања проблема, а то је прављење плана. С обзиром да су задаци слични са сва три задатка већ виђени, план је да се прва две једначине решавају коришћењем производа (јер се z2 – 1 може лако трансформисати у производ), а трећа даљом анализом и коришћењем конгруенција по модулу 3 и 4.

Трећа фаза је спровођење плана: 1) Ако је z2 – 1 = 3y, онда је z + 1 = 3к и z – 1 = 3y-к. Тада је 3к - 3y-к = 2, па је 3у-к(32к-у - 1) = 2. Дакле у – к = 0 и 32к-у = 3к = 3, па је у = к = 1. Једно решење проблема је (0, 1, ± 2). 2) Ако је z2 – 1 = 2x , онда је z + 1 = 2к и z – 1 = 2х-к. Следи да је 2х-к(22к-х – 1) = 2. Тада је х - к = 1 и 2к – х = 1, па је х = 3, к = 2, а решења проблема су (3, 0, ± 3).

3) Ако је 2x + 3y = z2, онда следи да је z непаран број и да је за х = 1, z2 = 3y + 2, што је немогуће, јер квадрати природних бројева при дељењњу са 3 дају остатак 0 или 1. Ако је х ≥ 2, онда је очигледно z2 ≡ 1 (mod 4) и 2x ≡ 0 (mod 4), па је тада и 3y ≡ (-1)у ≡ 1 (mod 4), што значи да је у паран број. Слично је z2 = 2x + 3y ≡ 2х (mod 3). Како је z2 ≡ 0 или z2 ≡ 1 (mod 3), то је и х паран број. Тада је 22а + 32b = z2, па су 2а, 3b и z Питагорини бројеви. Следи да је 2а = 2mn, 3b = m2 – n2, z = m2 + n2, па је m = 2а-1 и n = 1. Добија се да је тражена Питагорина тројка (2а, 3b, z) = (2а, 22а-2 – 1, 22а-2 + 1). Како једначина 3b = 22а-2 – 1, има само једно решење а = 2 и b = 1, то су још два решења (4, 2, ± 5).

У четвртој фази се провером утврђује да сва добијена решења задовољавају полазну једначину. ∆

ПРИЛОГ 16.

РАДНИ МАТЕРИЈАЛ 1.

РЕШАВАЊЕ ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

КОРИШЋЕЊЕМ ПОСЛЕДЊЕ ЦИФРА БРОЈА nk

1. Природан број n завршава се једном од десет цифара из скупа {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } .Одредити којим цифрама се у том случају завршавају бројеви n2, n3, n4, ... n10, n11, n12 и попуни наредну таблицу:

ПОСЛЕДЊА ЦИФРА БРОЈА n → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Последња цифра броја n2 →











2. Ако је n природан број, којим цифрама се завршава број n2 ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

А В С D E F G H I J

3. Које цифре не могу бити последње цифре квадрата природног броја ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


4. Ако је n природан број, којим цифрама се завршава број n4 ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


5. Које цифре не могу бити последње цифре броја n4 ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


6. Ако је n природан број, којим цифрама се завршава број n5 - n ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


7. Којим цифрама се завршава број n4к + а - nа (ако је а ∈{ 1, 2, 3, 4}) ?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


8. Ако је n природан број, онда је последња цифра броја 5n једнака 0 или 5, последња цифра броја 10n је 0. Доказати.

9. Доказати да се квадрати природних бројева завршавају цифрама 0, 1, 4, 5, 6 или 9.

10. Квадрати природних бројева никада се не завршавају цифрама 2, 3, 7 и 8. Доказати

11. Ако је n природан број, онда је последња цифра броја n4 једнака 0, 1, 5 или 6. Доказати.

12. Доказати да се четврти степен природног броја никада не завршава цифрама 2, 3, 4, 7, 8, 9.

13. Ако је n природан број, онда је последња цифра броја n5 - n нула, тј број n5 - n је дељив са 10. Доказати.

14. За сваки природан број а, бројеви nа и n4к + а завршавају се истом цифром. Доказати.

15. Користећи наредну таблицу одреди да ли постоје природни бројеви х и у, такви да је х2 + 5у = 1234567 ?

5у ↓ х2→ 0 1 4 5 6 9

0

5

16. Направи одговарајућу таблицу и ако је n природан број, одреди којим цифрама се завршавају бројеви 2n2, 4n2, 6n2, 8n2 .

n2 0 1 4 5 6 9

2n2

4n2

6n2

8n2

17. Попуни дату таблицу тако што ћеш у првој колони 1 уписати могуће последње цифре броја 5х2, а прву врсту 1 могуће последње цифре броја 2у2. У преостала празна поља таблице упиши последњу цифру збира бројева по хоризонтали и вертикали и користећи таблицу испитај да ли једначина 5х2 + 2у2 = 1999 има решења у скупу целих бројева ?

5х2 ↓ 2у2→

18. Користећи наредну таблицу, на сличан начин као у претходном задатку испитати да ли постоје цели бројеви х и у такви да је х4 + у4 = 123456789 ?

Х4 ↓ у4→

19. Доказати да једначина х4 + 3у4 = 777…777 (број седмица је n) нема целобројних решења ни за један природан број n.

20. Да ли једначина х2 + 4у4 = 98765432 има решења у скупу целих бројева ?

21. За које вредности једноцифреног природног броја n, једначина х4 + 4у2 = 10к + n има решења по х и у скупу целих бројева ?2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


1 У таблици су колоне постављене вертикално, а врсте хоризонтало 2 Слова А, В, С... испод бројева се дају ради лакшег контролисања одговора.

Колико решења има дата једначина ?

коначно бесконачно

А B

22. Постоје ли цели бројеви х, у и z, такви да је х4 + у4 + z4 = 999…999 (број деветки је произвољан) ?

23. Да ли једначина 3х4 + 4у8 + 5z16 = 987654321 има решења у скупу целих бројева ?

24. Одреди да ли једначина х4 - у4 = 12345678 има решења у скупу целих бројева ?

25. Доказати да једначина х4 – 2у4 = 7 нема решења у скупу целих бројева .

26. Утврди да ли једначина х4 - 6у2 = 8 има решења у скупу целих бројева ?

27. Одредити све једноцифрене природне бројеве n за које једначина х2 + 5у = n има бесконачно много целобројних решења по х и у.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


28. Да ли једначина х5 – х + у2 = 12345678 има решења у скупу целих бројева ?

да не

A B

29. Доказати да једначина х4 + у6 = у2 + 123456789 нема решења у скупу целих бројева.

30. Доказати да једначина х8 – у8 = z1999 – z3 + 7 нема решења у скупу целих бројева.

31. Постоје ли цели бројеви х, у и z такви да једначина х24 + у20 = z16 - z12 + 4 има решења ?

да не

A B

32. Користећи резултате, теореме и методе из претходних задатака састави самостално неколико сличних задатака покушавајући да у њима буде и неких идеја које у претходним задацима нису коришћене.

КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ

1) Да ли једначина х7 - х3 + у2z4 = 12345678 има решења у скупу целих бројева ?

2) Једначина х4у8 - z5 + z = 2 нема целобројних решења. Доказати.

3) Одредити све једноцифрене бројеве n за које једначина х4 + у5 – у + 5z = n има бесконачно много целобројних решења.

4) Oдредити просте бројеве р и q тако да је р4 – q4 = q6 + 1.

ПРИЛОГ 17. РАДНИ МАТЕРИЈАЛ 2.

РЕШАВАЊЕ НЕКИХ ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА

КОРИШЋЕЊЕМ НЕЈЕДНАКОСТИ

1. НАСТАВНИ ЧАС

Неке класе Диофантових једначина могу се успешно решавати коришћењем неједнакости, као инструмента за разликовање случајева, јер се скуп могућих решења дате Диофантове једначине уз помоћ неједнакости може значајно сузити и на тај начин омогућити, много рационалније решавање.

ПРИМЕР 1. Постоји ли четвороцифрен природан број који је једнак четвртом степену збира својих цифара ?

РЕШЕЊЕ: Нека је тражени четвороцифрени број abcd . Тада је према условима

задатка 4)dcba(abcd +++= . Како је 54 < 1000 ≤ abcd < 104, закључује се да је

5 < а + b + c + d < 10. Дакле, а + b + c + d је 6, 7, 8 или 9. Како је 64 = 1296, 74 = 2401, 84 = 4096 и 94 = 6561, јасно је да услове задатка испуњава само број 2401 = 74, јер је у свим осталим случајевима збир цифара већи од 9. ∆

1. Одредити цифре а, b и с и природан број n, тако да је 4ncccbba =++ . Колико има решења?

2. У једнакостима * + * = * - * = * ⋅ * = ** : * уместо звездица ставити цифре 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 тако да се свака цифра употреби само једном и да све једнакости буду тачне.

3. Збир двоцифреног броја и броја написаног истим цифрама у обрнутом поретку је потпун квадрат. О ком броју је реч? Колико има решења?

4. Одредити све троцифрене бројеве који при дељењу са 11 дају остатак једнак збиру квадрата својих цифара.


ПРИМЕР 2. Одредити све уређене парове (х, у) природних бројева х и у тако да је у - х3 = у4 - 16х.

РЕШЕЊЕ: Дата једначина је еквивалентна са 16х - х3 = у4 - у, односно х(16 - х2) = у(у3 - 1). Како је х(4 - х)(4 + х) = у(у - 1)(у2 + у + 1) и како је у ≥ 1, то је у(у - 1) )(у2 + у + 1) ≥ 0, то мора и х(4 - х)(4 + х) ≥ 0. Дакле х ≤ 4. Осим тога производ у(у - 1) )(у2 + у + 1) је паран број, што значи да је х = 2 или х = 4.

Ако је х = 2, онда је 24 = у4 - у па једначина нема решења.

Ако је х = 4, онда је 0 = у4 - у = у(у - 1)(у2 + у + 1), па је у = 1. ∆

5. Одредити све двоцифрене природне бројеве који су једнаки збиру куба цифре десетица и квадрата цифре јединица.

6. Одредити све парове (х, у) природних бројева х и у тако да важи једнакост: 10х + 11у = х + 2000.

7. Постоји ли троцифрен природан број који је једнак збиру четвртог степена цифре стотина, куба цифре десетица и квадрата цифре јединица?

8. Да ли постоји природан број који је једнак збиру квадрата својих цифара?


ПРИМЕР 3. Одредити природан број n и прост број р, тако да је збир свих делилаца броја р4 једнак n2.

РЕШЕЊЕ: Ако је р = 2, онда је 1 + р + р2 + р3 + р4 = 31 , па једначина нема решења у скупу природних бројева, јер 31 није квадрат ниједног природног броја.

Ако је р ≥ 3, и ако се дата једнакост помножи са 4, онда се добија да је 4n2 = 4+4р + 4р2 + 4р3 + 4р4 . Како је р2 + 4р3 + 4р4 < 4 + 4р + 4р2 + 4р3 + 4р4 = n2 < 4 + 4р + 9р2 + 4р3 + 4р4, то је (2р2 + р)2 < 4n2 < (2р2 + р + 2)2 .

Између броја (2р2 + р)2 и броја (2р2 + р + 2)2 налази се само један тачан квадрат, а то је (2р2 + р + 1)2 , па је зато 4n2 = (2р2 + р + 1)2 = 4р4 + 4р3 + 5р2 + 2р + 1 = 4р4 + 4р3 + 4р2 + 4р + 4. Следи да је р2 - 2р - 3 = 0. Одавде је р = 3 или р = - 1, па је очигледно да условима задатка одговара само р = 3, односно n = 11. ∆

9. Oдредити све целе бројеве х и у такве да је х2 – 5х + 4 + 2у4 = 0. 10. Дата је једначина ху + уz + zx - xyz = 2. Oдредити све уређене тројке

(х, у, z) природних бројева х, у и z које задовољавају дату једначину. 11. Колико уређених парова (х, у) целих бројева х и у задовољава једнакост

х4 + х3 + х2 + х = у2 + у.


ПРИМЕР 4. Одредити све природне бројеве х и у тако да важи једнакост х! + 2у = 1999.

РЕШЕЊЕ: С обзиром да је само 1! непаран број, а сви остали факторијели парни, то се јасно раздвајају следећи случајеви:

1) Ако је х = 1, онда је х! = 1, па је 2у = 1998, што значи да је у = 999.

2) Ако је х ≥ 2, онда је х! паран, па је х! + 2у такође паран, а како је 1999 непаран једначина у овом случају нема решења.

Према томе једино решење је (х, у) = (1, 999). ∆

ПРИМЕР 5. Одредити све природне бројеве х, у и z такве да је 1z1

y1

x1

=++ .

РЕШЕЊЕ: Не умањујући општост, због симетричности једначине, може се

претпоставити да је х ≤ у ≤ z. Тадаz1

y1

x1

≥≥ , па је x31

z1

y1

x1

z3

≤=++≤ . Очигледно је

1 < х ≤ 3, па се разликују два случаја: х = 2 или х = 3.

Ако је х = 2, онда је 21

z1

y1

=+ и y2

21

z1

y1

z2

≤=+≤ , па је 2 < у ≤ 4. За

у = 3, z = 6, a y = 4 и z = 4.

Ако је х = 3, онда је 32

z1

y1

=+ и y2

32

z1

y1

z2

≤=+≤ , па је х ≤ у ≤ 3. Дакле,

у = 3, па је и z = 3. Сва решења (х, у, z) дате једначине су: ( 2, 3, 6); (2, 6, 3); (3, 2, 6); (3, 6, 2); (6, 2, 3); (6, 3, 2); (2, 4, 4); (4, 2, 4); (4, 4, 2) и (3, 3, 3). ∆

12. Постоје ли природни бројеви х и у чији је производ пет пута већи од њиховог збира? 13. Дата је једначина: ⋅1! + 2! + ... + ⋅х! = у2 . Колико решења у скупу природних

бројева има дата једначина? 14. Постоје ли цели бројеви бројеви х, у и z такви да је х! + у! = z! ?

ДОМАЋИ ЗАДАТАК

15. Дешифровати квадрирање (5с + 1)2 = abcd ако једнаким словима одговарају једнаке цифре, а различитим словима различите цифре. (1996)

16. Дата је једначина: 1⋅1! + ... + х⋅х! = у4 . Колико решења у скупу природних бројева има дата једначина?

17. Постоје ли природни бројеви а,b,c, d такви да је 1d1

c1

b1

a1

2222=+++ ?

18. Природни бројеви а, b, c, d, е испуњавају услов: 2 ≤ а < b < c < d < е. Доказати да

једначина 1e1

d1

c1

b1

a1

22222=++++ нема решења.

19. Одредити све природне бројеве а, b, c, d, е такве да је 1e1

d1

c1

b1

a1

=++++ , aко

бројеви испуњавају услов: 2 < а < b < c < d < е . (1995)

20. Одредити природне бројеве а, b, c такве да је .1ca1

bc1

ab1

=++ (1996)

21. Нека су х1, х2,...хк природни бројеви такви да је х1 < х2 < ... < хк (к ≥ 2). Доказати да

једначина 1x1...

x1

x1

2k

22

21

=+++ нема решења.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Војислав Андрић: Нелинеарне Диофантове једначине – КММ «Архимедес», Београд, 1992.

[2] Група аутора: 1000 задатака са математичких такмичења – Друштво математичара Србије, Београд, 2003.

[3] Владимир Мићић, Зоран Каделбург, Душан Ђукић: Увод у теорију бројева - Друштво математичара Србије, Београд, 2004.

ПРИЛОГ 18.

РАДНИ МАТЕРИЈАЛ 3.

РЕШАВАЊЕ ДИОФАНТОВИХ ЈЕДНАЧИНА КОРИШЋЕЊЕМ ДЕЉИВОСТИ

Све једначине, па према томе и Диофантове имају облик А = В, где су А и В неки алгебарски изрази који садрже целобројне константе и променљиве. Једна од основних идеја за решавање Диофантових једначина почива на једноставној чињеници да ако је А = В, онда и дељивост израза А има особине које су идентичне са дељивошћу израза В. На пример, ако је А израз који је дељив са 3, а при дељењу са 4 даје остатак 1, онда те особине мора имати и израз В.

Идеја је да се дата једначина А = В трансформише у еквивалентну једначину Ак = Вк тако да један од израза Ак или Вк има уочљива својства у погледу дељивости.

Најједноставнији примери примене ове идеје су случајеви када је једна страна једначине увек парна, а анализом друге стране се сужава скуп могућих решења и долази до коначног решења.

ПРИМЕР 1. Одредити све просте бројеве р и q тако да важи једнакост р + q = q2 – 40.

РЕШЕЊЕ: Ако се дата једначина р + q = q2 – 40 трансформише, добија се да је р + 40 = q2 – q = q(q - 1). Како десна страна једначине представља производ два узастопна природна броја, то је она увек парна, па такав мора бити и број р + 40. Јасно је да то важи само за р = 2, па је q(q – 1) = р + 40 = 2 + 40 = 42, а q = 7. ∆

На сличан начин се решавају ситуације и када се ради о дељивости са другим бројевима или када се из дељивости са 2 не може ништа значајно закључити.

ПРИМЕР 2. Одредити све двоцифрене бројеве који су једнаки збиру квадрата цифре десетица и куба цифре јединица.

РЕШЕЊЕ: Ако је тражени број xy , онда је 10х + у = х2 + у3. Еквивалентном

трансформацијом се добија да је 10х – х2 = х(10 – х) = у3 – у = (у - 1)у(у + 1). Десна страна једначине представља производ три узастопна природна броја, па је увек дељива са 6, што значи да то мора бити и лева. Дакле х = 4 или х = 6.

Ако је х = 4, онда је 24 = (у – 1)у(у + 1), па је у = 3, а тражени број 43 = 42 + 33.

Ако је х = 6, онда је 24 = (у – 1)у(у + 1), па је у = 3, а тражени број 63 = 62 + 33. ∆

Веома интересантни су примери који третирају дељивост која није дата индиректно, него директно.

ПРИМЕР 3. Одредити све двоцифрене природне бројеве који су девет пута већи од збира својих цифара.

РЕШЕЊЕ: Нека је тражени број ab . Тада је 10а + b = 9(a + b). То значи да је тражени број 10а + b дељив са 9, па је и збир његових цифара а + b дељив са 9. Јасно је да збир цифара а + b може бити само 9 или 18. Бројеви који долазе у обзир су дакле, 9⋅9 = 81 или 9⋅18 =162. Како је 162 троцифрен број, једино решење је 81 = 9 (8 + 1). ∆

У претходним примерима коришћена је дељивост без остатка, што не мора бити увек пракса. Некада се до решења долази управо анализом остатка који при дељењу неким бројем даје једна односно друга страна једнакости. Најинтересантније једначине код којих се овакав начин решавања примењује су једначине које садрже квадрате природних бројева, јер се њихови остаци при дељењу са 3 или 4 лако могу анализирати и добијени закључци једноставно применити.

ПРИМЕР 4. Одредити све уређене парове (х, у) природних бројева х и у тако да важи једнакост: х! + 5у = 6666.

РЕШЕЊЕ: Јасно је да број 6666 при дељењу са 5 даје остатак 1. Тада и број х! + 5у при дељењу са 5 мора давати остатак 1. Како је 5у увек дељиво са 5, остаје да се види када је остатак при дељењу х! са 5 једнак 1. Зна се да је за х ≥ 5 број х! увек дељив са 5, па у обзир долазе вредности х мање од 5, дакле 1, 2, 3, 4. Како само 1! = 1 и 3! = 6 при дељењу са 5 дају остатак 1, то су тражена решења 5у = 6665 или 5у = 6660. Значи да су сва решења уређени парови: (1, 1333) ; (3, 1332). ◊

ПРИМЕР 5. Да ли постоје природни бројеви х, у, z и к такви да важи једнакост х2 + у2 + z2 = 8к – 1?

РЕШЕЊЕ: Број 8к – 1 = 8(к – 1) + 7, при дељењу са 4 даје остатак 3. Како квадрати природних бројева при дељењу са 4 дају остатак 0 (ако су парни) или 1 (ако су непарни) то је остатак при дељењу броја х2 + у2 + z2 са 4 једнак 3 само ако су сва три броја х, у и z непарни. Нека је зато х = 2а + 1, у = 2b + 1 и z = 2с + 1 (а, b, c ∈ Ν). Тада је х2 + у2 + z2 = (2а + 1)2 + (2b + 1)2 + (2c + 1)2 = 4a2 + 4a + 1 + 4b2 + 4b + 1 + 4c2 + 4c + 1 = 8k – 1. Дакле, 4a(а + 1) + 4b(b + 1) + 4c(c + 1) = 8k – 4. Aко се и лева и десна страна једнакости подели са 4 добија се а(а + 1) + b(b + 1) + с(с + 1) = 2к – 1. Десна страна једнакости је увек паран број (јер представља збир три производа од по два узастопна природна броја), а лева страна је увек непаран број, па једначина нема решења у скупу природних бројева. ∆

ЗАДАЦИ ЗА УВЕЖБАВАЊЕ

1) Одредити све просте бројеве р и све природне бројеве х тако да важи једнакост х! + 2 = р2.

2) Да ли постоје природни бројеви х, у и к такви да је х2 + у2 = 10к – 1?

3) Одредити све уређене парове (х, у) природних бројева х и у такве да је х! + у2 = 987654.

4) Нека су х и у природни бројеви. Доказати да постоји бесконачно много природних бројева к, за које једначина х2 + у2 = 4к има решења, али и бесконачно много вредности к за које једначина х2 + у2 = 4к нема решења.

5) Доказати да једначина 15х2 – 7у2 = 9 нема решења у скупу целих бројева.

6) Реши Диофантову једначину х3 – 2у3 – 4z3 = 0.

ЗАДАЦИ С МАТЕМАТИЧКИХ ТАКМИЧЕЊА

7) Дешифровати множење а bbbabba =⋅⋅ (1991, ако су а и b цифре у декадном

запису бројева .bbbиab

8) Не вршећи множење 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10⋅11 = 399*6*** у добијеном броју написати одговарајуће цифре. (1997.)

9) Кифла кошта пола динара, погачица 2 динара, а ђеврек 5 динара. Да ли је могуће за тачно 100 динара купити тачно 100 пецива? (1999.)

КОНКУРСНИ ЗАДАЦИ

10) Одредити све природне бројеве који су девет пута већи од збира својих цифара.

11) Одредити све уређене парове (х, у) природних бројева х и у тако да важи једнакост 2х – 3у = 7.

12) Одредити све троцифрене бројеве који су 11 пута већи од збира квадрата својих цифара.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Владимир Мићић: Диофантове једначине – Приручник за додатну наставу математике, Завод за уџбенике, Београд, 1979. [2] Владимир Мићић, Зоран Каделбург, Душан Ђукић: Диофантове једначине – Увод у теорију бројева – Друштво математичара Србије, Београд, 2004. [3] Војислав Андрић: Нелинеарне Диофантове једначине –

КММ ''Архимедес'', Београд, 1992.

[4] Група аутора: 1000 задатака са математичких такмичења – Друштво математичара Србије, Београд, 2003.

ПРИЛОГ 19.

АНКЕТНИ УПИТНИК 2.

I ОПШТИ ПОДАЦИ

12. Име и презиме ученика

13. Адреса (место, улица и број)

14. Кућни и мобилни телефон

15. Да ли код куће имаш рачунар? Да не

16. e-mail адреса

отац 17.

Занимање родитеља мајка

II ПОДАЦИ О ОБРАЗОВАЊУ ОСНОВНОЈ ШКОЛИ

5. разред 6. разред 7. разред 8. разред

18. Општи успех (уписати просечну оцену)

19. Успех из математике

20. Да ли си у учествовао на такмичењима? да не да не да не да не

21. Успеси на такмичењима (навести највиши ранг)

22. Да ли си похађао-ла додатну наставу да не да не да не да не

23. Да ли си похађао-ла Припреме за такмичења да не да не да не да не

ПРИЛОГ 20.

АНКЕТНИ УПИТНИК 3.

1)

2) 1.

Наведи три наставна предмета које највише волиш тако што ћеш најзанимљивији означити уписати у прво поље, а остале у одговарајућем поретку у остала поља 3)

ПРИЛОГ 21.

ИНИЦИЈАЛНИ ТЕСТ CDIN/04

ПРЕЗИМЕ И ИМЕ:

МЕСТО:

ШКОЛА:

РАЗРЕД:

ГРУПА:

УПУТСТВО ЗА РАД

Предстоји обрада значајних садржаја везаних за Диофантове једначине и примене. Циљ теста који је пред вама је да проверимо у коликој мери владате основним знањима из математике потребним за реализацију поменутих садржаја. Питања и задаци су из градива које сте учили у основној школи. Пажљиво прочитајте питање - задатак, размислите и одлучите се за одговор – решење. Питања – задатке не морате решавати редом који су дати у тесту. Ако неко питање – задатак не можете одмах да решите, немојте се на њему дуго задржавати, већ га прескочите и пређите на следеће. Уколико вам буде преостало времена, можете се таквим питањима – задацима касније вратити и покушати да их поново решите. Код неких задатака су понуђени одговори, а ваш задатак је да заокружите тачне одговоре. Код неких питања – задатака се тражи да напишете тачне одговоре, тј. допуну. У празном простору је дозвољено извршити потребна израчунавања, а добијени резултат уписати на место које је за то предвиђено. Молимо вас да пишете читко и прегледно. За време рада на тесту није дозвољено окретање, дошаптавање и ометање других ученика. Ваш савестан рад ће помоћи да се отклоне евентуални недостаци у вашим предзнањима и успешно савлада тема која предстоји. Рад на тесту траје 45 минута. Почните са радом. Срећно!

Одговори:

a)

b)

c)

d)

e)

1.

Из скупа бројева {2005, 1998, 1000, 324, 256, 144 } издвој оне који су дељиви са: а) 2; b) 3; c) 4; d) 5;e) 6; f) 9.

f)

Одговор: Уместо звездице могуће је ставити цифре:

2.

Уместо звездице у броју 2005* стави одговарајуће цифре тако да добијени број буде дељив са 6.

Одговор:

3.

Скуп А чине сви природни бројеви мањи од 100. Написати елементе скупа В, ако је В подскуп скупа А и ако су елементи скупа В прости бројеви.

В = { }

Одговор:

4.

Број 360 напиши као производ простих бројева.

360 =

Одговори:

НЗС

5.

Одредити најмањи заједнички садржалац и највећи заједнички делилац бројева: 72 и 108.

НЗД

Одговори:

a)

b)

6.

Дати су природни бројеви {3, 4, 6, 7, 14, 18, 24 }. Написати три пара узајамно простих бројева.

c)

Одговор:

7.

Одредити све уређене парове природних бројева х и у таквих да је х2 – у2 = 24.

Одговор:

8.

Одредити све двоцифрене природне бројеве који су 7 пута већи од збира својих цифара.

Одговори:

да не

9.

Постоје ли цели бројеви х и у такви да је 3х + 6у = 100000000 (заокружи тачан одговор).

Зашто:

Одговори:

a) (5, 0) ; (3, 2)

b) х = 2к + 1 ; у = 9 – 2к (к ∈ Ζ)

c) х = 5 – 2к2 ; у = 2к (к ∈ Ζ)

d) (5, 0) ; (3, 2); (3, -2)

10.

Ако су х и у цели бројеви, онда је опште решење Диофантове једначине 2х + у2 = 10. (заокружи тачан одговор).

e) (3, 2); (3, -2); (-3, 4); (-3, -4)

ПРИЛОГ 22.

БАТЕРИЈА ТЕСТОВА ИНТЕЛИГЕНЦИЈЕ 3

УПУТСТВА ЗА РЕШАВАЊЕ БАТЕРИЈЕ ТЕСТОВА Данас ћете радити задатке који треба да покажу колико добро можете да мислите и да решавате различите проблеме. Решавање ових задатака нема везе са вашим школским знањем. Време решавања задатака је ограничено, и зато треба да радите брзо и тачно. Време за решавање задатака је такво да ће ретко ко моћи да уради све до краја, па се зато немојте узбуђивати ако не урадите све задатке, треба да се потрудите да урадите тачно колико више можете.

У овој свешчици се налазе три врсте задатака и за сваку ћете добити посебно упутство. Потребно је поштујете упутства. Прво ћете видети пример, а затим ћете сами урадити неколико задатка за вежбу. Тек после тога прелазите на праве задатке. Попуните сада податке на првој страници свеске: презиме и име, датум рођења, назив школе, разред, место школе; упишите колика вам је била просечна оцена у претходном разреду (ако не знате тачно, упишите заокружено) и данашњи датум.

ПРЕЗИМЕ И ИМЕ:

ДАТУМ РОЂЕЊА

ШКОЛА:

РАЗРЕД:

МЕСТО:

ПРОСЕЧНА ОЦЕНА У ПРЕТХОДНОМ РАЗРЕДУ:

ДАТУМ РАДА:

3 С обзиром да је ова батерија тестова у употреби, као илустрацију дајемо примере и задатке који се у тесту употребљавају за вежбу

ТЕСТ В Р 1

УПУТСТВО ЗА ТЕСТ ВЕРБАЛНЕ АНАЛОГИЈЕ (ВР 1) Погледајте сви пример, на њему је објашњен начин решавања теста. У првом реду примера су речи ОЛОВКА, двотачка, ПИСАЊЕ, знак једнакости, ГУМИЦА, двотачка и онда неколико тачкица; на десној страни, у загради наведене су речи мастило, хартија, школа, ученик, брисање, цртање. Задатак се чита овако: "Оловка" према "писање" стоји у истом односу као "гумица" према "тачкице". Шта мислите, коју од пет речи са десне стране, треба ставити уместо тачкица тако да се добије исти однос као између речи "оловка" и "писање"? То је реч "брисање", и онаје у вашем примеру подвучена. Дакле, реч која треба да стоји уместо тачкица не уписује се, већ се подвлачи међу речима понуђеним у загради са десне стране. Да поновимо, ваш задатак је да откријете у каквом су односу прве две дате речи; у истом таквом односу је трећа реч и једна од речи наведених у загради. Кад ту реч пронађете, треба да је подвучете. Тиме ће однос између две речи у другом пару бити исти као и однос две речи у првом пару. Покушајте сада сами да решите задатке из вежбе. Пример: оловка : писање = гумица : ........... (мастило, хартија, школа, брисање, цртање) Вежба: А: обућа : нога = рукавица : ............... (кожа, рука, зима, прсти, ципела, крзно) Б: велики : мали = широк : ............... (узан, улица, кратак, дубина, плећа, појас)

ТЕСТ СЕРИЈЕ БРОЈЕВА УПУТСТВО ЗА ТЕСТ СЕРИЈЕ БРОЈЕВА

Погледајте сви пример А. Са леве стране се налази шест бројева, и то 3, 6, 9, 12, 15 и 18, и они чине један низ. Ви треба да откријете правило по коме се нижу бројеви, и да продужите низ следећим бројем. Десно су написани бројеви 19, 20, 21, 22 и 23, и они су обележени словима а, b, c, d и е; међу овим бројевима се крије тачан одговор. Ваш задатак је да између пет бројева обележених словима откријете онај број који наставља низ од шест бројева са леве стране. Ви треба да заокружите слово којим је тај број обележен.

Примери: (а) (b) (c) (d) (e) А: 3 6 9 12 15 18 19 20 21 22 23

(а) (b) (c) (d) (e) B: 20 18 16 14 12 10 6 8 10 12 14 (а) (b) (c) (d) (e) C: 10 11 13 14 16 17 18 19 20 21 22 (а) (b) (c) (d) (e) D: 4 6 9 13 18 24 27 28 29 30 31

ТЕСТ F2

УПУТСТВО ЗА РАЗЛАГАЊЕ КВАДРАТА

Погледајте цртеж који служи као пример. У њему је са десне стране један квадрат тј, четвороугао, а са леве су делови тог квадрата. Вио треба да у сваки четвороугао уцртате како треба саставити делове са леве стране па да четвороугао буде њима правилно испуњен. У примеру је то већ урађено - у квадрат је уцртана права линија која га дели тачно тако да се добију делови тј. ова два мања правоугаоника са леве стране. Да ли је то јасно? Ова мрежа коју видите служи вам за то да се лакше оријентишете.Сада решите сами ова три задатка у вежби. Пример:

Вежба:

1 2

ПРИЛОГ 23.

ФИНАЛНИ ТЕСТ CDFI/05

ДАТУМ:

МЕСТО:

ШКОЛА:

РАЗРЕД:

ГРУПА:

УПУТСТВО ЗА РАД

Циљ теста који је пред вама је да проверимо у коликој мери сте овладали основним знањима о Диофантовим једначинама. Задаци су из градива које сте радили на додатној настави. Пажљиво прочитајте питање - задатак, размислите и одлучите се за одговор – решење. Питања – задатке не морате решавати редом који су дати у тесту. Ако неко питање – задатак не можете одмах да решите, немојте се на њему дуго задржавати, већ га прескочите и пређите на следеће. Уколико вам буде преостало времена, можете се таквим питањима – задацима касније вратити и покушати да их поново решите. Код неких задатака су понуђени одговори, а ваш задатак је да заокружите тачне одговоре. Код неких питања – задатака се тражи да напишете тачне одговоре, тј. допуну. У празном простору је дозвољено извршити потребна израчунавања, а добијени резултат уписати на место које је за то предвиђено. Молимо вас да пишете читко и прегледно, тако што ћеш задатке решавати на посебном папиру. Када задатак решиш погледај шта се у задатку тражи и упиши одговор. За време рада на тесту није дозвољено окретање, дошаптавање и ометање других ученика. Ваш савестан рад ће помоћи да се отклоне евентуални недостаци у вашим предзнањима и успешно савлада тема која предстоји. Рад на тесту траје 120 минута. Почните са радом. Срећно!

Вредности израза а + b + c - n су (заокружи тачне одговоре):

1. Дешифровати сабирање 3nabcaba =++ и

израчунати вредност израза а + b + c - n.

(а ≠ 0, n je природан број; једнаким словима одговарају једнаке цифре, а различитим словима одговарају различите цифре). 0 3 3 4 10 10

Тражени двоцифрени бројеви су:

2. Одредити све двоцифрене природне бројеве који су једнаки збиру куба цифре јединица и квадрата цифре десетица.

Дата једначина има (заокружи тачан одговор):

2 3 4 5 6 7

3. Нека је х12 + х2

2 + ... + х100

2 = 127. Колико решења има дата једначина ако су х1≥ х2≥ ... ≥ х100 природни бројеви?

решења.

Решења дате једначине су следећи уређени парови:

4. Одредити све уређене парове (х, у) природних бројева тако да важи једнакост: 1! + ... + х! = у2 .

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

5. Колико уређених парова (х, у) целих бројева х и у задовољава једнакост х4 + х2 + 2 = у2 + у. (заокружи тачан одговор) 0 1 2 3 4 5

Решења дате једначине су:

х

у

6. Одредити три природна броја х, у и z тако да је њихов збир једнак њиховом производу.

z

ПРИЛОГ 24.

СТАТИСТИЧКА ОБРАДА ПОДАТАКА

СТАТИСТИЧКА ВЕЛИЧИНА ОЗНАКА ВЕЛИЧИНЕ НАЧИН ИЗРАЧУНАВАЊА

Бројност Популације n

Максималан број бодова који је могуће добити на тесту k

Средња вредност Резултата x

n

xx

n

1ii∑

==

Стандардна Девијација σ

n

)xx(n

1i

2i∑

=−

=σ

Коефицијенат Варијације V

x100V σ⋅

=

Проценат освојених Бодова % % =

kn

x100n

1ii

⋅

⋅∑=

Стандардна грешка аритметичке средине σ x 1n

x−σ

=σ

Апсолутна разлика аритметичких средина d x 21 xxxd −=

Стандардна грешка разлике аритметичких средина σd x 2

22

1 )x()x(xd σ+σ=σ

Критички oднос t

xdxdt

σ=

Степени слободе d f df = n1 + n2 - 2

Ниво значајности на 0,05 Узима се из таблица

Ниво значајности на 0,01 Узима се из таблица

ПРИЛОГ 25. ПРОЈЕКАТ ИНТЕРНЕТ САЈТА ''ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ''

ИНТЕРАКТИВНО УЧЕЊЕ МАТЕРИЈАЛИ ЗА НАСТАВНИКЕ ЛИНКОВИ

↓ ↓ ↓ ♦ Појам Диофантове једначине ♦ Психолошке основе ♦ Математичке

енциклопедије ♦ Метод разликовања случајева ♦ Педагошке основе ♦ Историја

математике ♦ Математички ребуси ♦ Организационе

основе ♦ Математички часописи

♦ Диофантове једначине са простим бројевима ♦ Историјски осврт ♦ Математичка

литература ♦ Диофантове једначине у скупу целих бројева ♦ Програмске основе ♦ Математичка

такмичења ♦ Метод последње цифре ♦ Теоријске основе ♦ Математичке

секције ♦ Метод производа ♦ Диофантове једначине

и Интернет ♦ Математички проблеми

♦ Метод количника ♦ Методичка трансфо-

рмација ♦ Математичке асоцијације

♦ Метод збира ♦ Литература ♦ Математички сајтови

у Србији ♦ Метод неједнакости ♦ Комуникација ♦ Занимљиви

математички сајтови ♦ Метод парности ♦ Форум наставника ♦ Претраживачи

♦ Метод дељивости

♦ Метод конгруенција

♦ Метод дискриминанте

♦ Метод ''најмањег'' решења

♦ Диофантов метод

♦ Диофантове једначине с једном променљивом

♦ Линеарна Диофантова једначина

♦ Квадратне Диофантове једначине

♦ Питагорини бројеви

♦ Херонови троуглови

♦ Пелова једначина

♦ Диофантове једначине степена већег од 2

♦ Ирационалне Диофантове једначине

♦ Експоненцијалне Диофантове једначине

♦ Велика Фермаова теорема

♦ Диофантове једначине на такмичењима

♦ Диофантски проблеми

♦ Историја идеја о Диофантовим једнач.

♦ Алгоритми за решавање

♦ Комуникација

♦ Форум ученика

НАПОМЕНЕ: 1. Пројекат садржи само први ниво гранања. Остали нивои гранања ће бити дефинисани у

току израде сајта. 2. У грани Интерактивно учење дате су наставне теме, од којих неке садрже више најмањих

организационих целина - методских јединица, а неке представљају само методске јединице. Поједине методске јединице су дате на два нивоа: за основну и средњу школу.

Свака методска јединица садржи:

♦ Кратак теоријски увод ♦ Уводне примере који су решени ♦ Задатке за самосталан рад ученика ♦ Проблеме са математичких такмичења ♦ Конкурсне задатке ♦ Проблеме за истраживање ♦ Проблеме које предложе корисници ♦ Решења ♦ Литературу (ако постоји) ♦ Линкове ка теоријским садржајима (ако постоје на Интернету) ♦ Линкове ка алгоритмима за проверу тачности решења (ако постоје на Интернету) ♦ Линкове ка историјату теме (ако постоји на Интернету) ♦ Могућност комуникације са администратором сајта у вези са било којим питањем

везаним за тему. Администратор добијена питања селектира и прослеђује на надлежне адресе.

План је да се у фази развоја сајта интерактивним учењем добију решења свих проблема датих у грани Интерактивно учење и да решења буду презентирана на три нивоа: први ниво би садржао само скуп решења дате једначине, други идеју за решавање, а трећи комплетно решење проблема. Сајт ће се константно обогаћивати новим проблемима који би се објављивали у делу Предложени проблеми, а сви учесници форума би га добијали по аутоматизму.

3. У грани Материјали за наставнике најмања организациона целина је тема. Свака од тема

садржи по неколико подтема које су најниже организационе јединице на сајту. Свака тема или подтема садржи:

♦ Теоријски део ♦ Литературу (ако постоји) ♦ Линкове ка теоријским садржајима (ако постоје на Интернету) ♦ Линкове ка историјату теме (ако постоји на Интернету) ♦ Могућност комуникације са администратором сајта у вези са било којим питањем

везаним за тему. Администратор добијена питања селектира и прослеђује на надлежне адресе.

4. Обе гране садрже форум за ученике, односно наставнике. Форуми су намењени за

дискусије о појединим проблемима. Код ученика то могу бити идеје за решавање Диофантових једначина и прикази свих начина решавања проблема, а код наставника размена искустава, сценарија успелих часова, предлози за нове методичке трансформације.

5. У грани Линкови биће дате директне везе са најорганизованијим сајтовима који третирају

одговарајућу проблематику. 6. Сајт ће бити отворен за све врсте предлога, измена и допуна које имају за циљ његов бољи

изглед, квалитетније садржаје и корисније линкове.

ПРИЛОГ 26. НАСЛОВНА СТРАНА САЈТА

''ДИОФАНТОВЕ ЈЕДНАЧИНЕ''

ПРИЛОГ 27.

ПРИМЕР ЗА УЧЕЊЕ ИСТРАЖИВАЊЕМ

ЗАДАТАК 1. Нека су х и у цели бројеви, а n природан број. Једноставним експериментом добија се да једначина х2 + у2 = n има решења ако је n ∈{1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, ...} и нема решења ако је n∈{3, 6, 7, 11, 12, 14, 15, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 30, 31, 33, ... }. Да ли за коначно или бесконачно много вредности природног броја n једначина има решења? Да ли за коначно или бесконачно много вредности природног броја n једначина нема решења? За које вредности броја n једначина има, а за које нема решења?

ИСТРАЖИВАЊЕ: Ако је n = z2, добија се Питагорина једначина х2 + у2 = z2, која има бесконачно много тривијалних решења (х, 0, х).4

Поред тога има и решење, које се генеришу формулама: х = 2pq, y = p2 - q2, z = p2 + q2, где су p и q неки природни бројеви. За свако p и q ( p > q) добија се једна тројка (х, у, z) која представља решење једначине.

Међутим, ако је n = 22k +1 (к ∈ Ν) jeдначина има решење х = у = 2к., па се за свако од бесконачно много могућих к добија по једно решење дате једначине.

Уколико се анализирају бројеви за које једначина х2 + у2 = n евидентно нема решења, онда је очигледно један од "сумњивих" низ 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31... кога чине бројеви облика 4к + 3 (к ∈ Ν). Зато треба покушати са решавањем једначине х2 + у2 = 4к + 3. Како је 4к + 3 непаран број, то је један од бројева х и у паран, а други непаран, па једначина постаје (2а)2 + (2b + 1)2 = 4a2 + 4b2 + 4b + 1 = 4k + 3. Дакле, 4a2 + 4b2 + 4b = 4k + 2, што није могуће, јер је лева страна дељива са 4, а лева није. То значи да постоји бесконачно много природних бројева n за које једначина х2 + у2 = n нема решења.

Анализом бројева за које једначина х2 + у2 = n има решења, види се да међу вредностима које узима n има бројева и облика 4к (4, 8, 16, 20, 32, 36, ...), облика 4к + 1 (5, 9, 13, 17, 25, 29, 37, ...) и облика 4к + 2 (2, 10, 18, 26, 50, ...). Поставља се опет питање да ли и њих има коначно или бесконачно много?

Јасно је да ако је n = 22a +1 (а ∈ Ν), онда је n облика 4к (к ∈ Ν) и има бесконачно много решења, јер је једно од могућих решења х = у = 2а.

Слично је и у ситуацији када је n = 20а2 = 4к (к ∈ Ν), јер је х = 2а, у = 4а, такође једно од бесконачно много могућих решења.

4 Овом истраживању се може приступити и коришћењем диофантске теореме: За сваки природан број n једначине х2 + у2 = n и х2 + у2 = 2n имају једнак број решења. Како је о том приступу већ било речи, користи се овај класичнији, али исто тако успешан приступ.

Дакле, постоји бесконачно много природних бројева n облика 4к за које једначина х2 + у2 = n има решење. На пример n ∈{20, 80, 180, 320, ... , 20а2, ...}

Ако је n = 4к + 1 = 8а2 + 4а + 1, онда је х = 2а и у = 2а + 1 једно решење јер је (2а)2 + (2а + 1)2 = 8а2 + 4а + 1, па решења има бесконачно много, јер се за свако а добија по једно n облика 4к + 1.

Значи, постоји бесконачно много природних бројева n облика 4к + 1 за које једначина х2 + у2 = n има решење. На пример n ∈{13, 41, 109, ... , 8а2 + 4а + 1 ...}

Уколико је n = 4к + 2 = 8а2 + 2, онда је х = 2а + 1 и у = 2а - 1 једно од могућих решења, јер је (2а + 1)2 + (2а - 1)2 = 8а2 + 2. Таквих решења има бесконачно много.

Дакле, постоји бесконачно много природних бројева n облика 4к + 2 за које једначина х2 + у2 = n има решење. На пример n ∈{10, 34, 74, 130, ... , 8а2 + 2, ...}

Анализом бројева за које једначина х2 + у2 = n нема решења, види се да међу вредностима које узима n има бројева облика 4к (12, 24, 28, 44, ...), облика 4к + 1 (21, 33, 57, 69, ... ) и облика 4к + 2 (6, 14, 22, 30, 34, ...). Поставља се опет питање да ли и њих има коначно или бесконачно много?

Ако је n = 4(4к + 3), онда су х и у парни бројеви па је х = 2а и у = 2b. Taда је х2 + у2 = 4а2 + 4b2 = 4(4к + 3), па је а2 + b2 = 4к + 3, што значи да једначина нема решења.

Дакле, ако је n = 4(4к + 3), тј n ∈ {12, 28, 44, 60, 76, 92, ... }, онда једначина х2 + у2 = n нема решења.

За неке бројеве n облика 4к + 1, на пример за n ∈ {21, 33, 57, 69, ...} једначина нема решења. Бројеви 21, 33, 57, 69, ... су дељиви са 3, при чему је 21 = 3⋅7, 33 = 3⋅11, 57 = 3⋅19, 69 = 3⋅23, ... Занимљиво је да су други фактори сваког од ових бројева прости бројеви и то облика 4к + 3. Вреди испитати да ли једначина х2 + у2 = n има решења ако је n = 3р, где је р прост број облика 4к + 3.

Разликују се три случаја:

1) Ако су х и у дељиви са 3, тј. х = 3а и у = 3b (а, b ∈ Ν), онда је х2 + y2 = 9а2 + 9b2 = 3р = 3(4к+3). Тада је 3(а2 + b2) = р = 4к+3. Како је лева страна дељива са 3, а десна није (р је прост број већи од 3, па није дељив са 3), то једначина нема решења.

2) Ако је х = 3а и у = 3b ± 1 (а, b ∈ Ν), онда је х2 + y2 = 9а2 + 9b2 ± 6b + 1 = 12к + 9. Тада је 9а2 + 9b2 ± 6b = 12к + 8 или 3(3а2 + 3b2 ± 2b) = 3(4к+2) + 2. Лева страна једнакости је дељива са 3, а десна није, па једначина нема решења.

3) Ако је х = 3а ± 1 и у = 3b ± 1 (а, b∈Ν), онда је х2 + y2 = 9а2 ± 6а+1+9b2 ± 6b + 1 = 12к + 9. Тада је 9а2 ± 6а + 9b2 ± 6b = 12к + 7 или 3(3а2 ± 2а + 3b2 ± 2b) = 3(4к+2)+ 1. Лева страна једнакости је дељива са 3, а десна није, па једначина нема решења.

Како је број n облика 3р где је р прост број облика 4к+3 (к је природан број), онда је 3р облика 3(4к + 3) = 12к + 9 = 4(3k + 2) + 1 = 4m + 1. Како је број простих бројева облика 4к + 3 бесконачан, значи да једначина х2 + у2 = n за бесконачно много вредности n = 3р = 3(4к + 3) нема решења.

Уколико је n облика 4к + 2, онда дата једначина х2 + у2 = n нема решења ако је n ∈{6, 14, 22, 30, 38, ...}. Како су уочени бројеви облика 2(4к + 3) = 8к + 6 = 4m + 2 треба испитати шта се догађа са решењима једначине х2 + у2 = 8к + 6. Како је 8к + 6 паран број, то постоје два случаја:

1) Ако су х и у непарни бројеви онда је х = 2а + 1 и у = 2b + 1, па је х2 + у2 = (2а + 1)2 + (2b + 1)2 = 4а2 + 4а + 1 + 4b2 + 4b + 1 = 8к + 6. Тада је 4а2 + 4а + 4b2 + 4b = 8к+4. Дељењем са 4 добија се а(а + 1) + b(b + 1) = 2к + 1, што није могуће, јер је лева страна једнакости паран, а десна непаран број.

2) Ако су х и у парни бројеви онда је х = 2а и у = 2b, па је х2 + у2 = 4а2 + 4b2 = 8к + 6, што није могуће, јер је лева страна једнакости дељива са 4, а десна није пошто при дељењу са 4 даје остатак 2.

Дакле, ако је n = 8k + 6, тј n ∈{6, 14, 22, 28, 34, 42, ...}, добија се бесконачно много вредности за које једначина х2 + у2 = n нема решења. ∆5

Једначина х2 + у2 = n може се истраживати и по модулу 3, тј. могу се посматрати ситуације када је n облика 3к, 3к + 1, односно 3к + 2. За истраживање је интересантна и једначина х2 + у2 + z2 = n која се опет може посматрати за разне вредности броја n. На пример када је n облика 4к, 4к + 1, 4к + 2 и 4к + 3, јер је ситуација унеколико промењена у односу на једначину х2 + у2 = n.

*

Ова врста учења карактеристична је и за оне ситуације када се даровитом ученику зада један проблем, а он вам поред решења траженог проблема донесе читаву малу математичку теорију до које је дошао радом на датом проблему. Зато стваралачко учење можда и не спада у методичке моделе које треба приказати, јер је оно спонтано и бар у настави математике се не може унапред планирати. Додуше, искусан наставник може по ранијим ситуацијама претпоставити где су моменти када вреди покушати са овим обликом учења. Али шта ће се добити никада се не зна, јер резултати могу бити минимални, а понекад изванредни, чак неочекивани.

Учење истраживањем као и већина претходних није нека нова посебна категорија учења, јер садржи елементе учења решавањем проблема и учења откриањем. Ова врста учења претпоставља учениково искуство, али и таленат да синтетизује оно што је већ рађено и оде корак даље ка нечем новом.

5 Сигурно је да се истраживање може наставити и поставити и на другим диофантским проблемима, па би било интересантно направити мали попис могућих "истраживачких подухвата"

Documents

ПРИЛОГ 1.. PRILOZI.pdf · 2006. 6. 16. · ПРИЛОГ 1. СТРУКТУРА ИСТРАЖИВАЊА У ОКВИРУ РАДА ''МЕТОДИЧКА ТРАНСФОРМАЦИЈА