55
Лекц№10 Олон хувьсагчийн функцийн давхар ба далд уламжлал, дээд эрэмбийн уламжлал, ОХФ- ийн Тейлорын томъёо, ОХФ-ийн экстремум

математик анализ лекц№10

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: математик анализ лекц№10

Лекц№10 Олон хувьсагчийн функцийн давхар

ба далд уламжлал, дээд эрэмбийн уламжлал, ОХФ-ийн Тейлорын

томъёо, ОХФ-ийн экстремум

Page 2: математик анализ лекц№10

z=F(u,v) функцийн u,v хувьсагчууд нь х ба у-ээс хамаарсан функцүүд u=(x,у), v=(х,у) гэж үзье. Тэгвэл z функц нь х ба у-ээс хамаарсан давхар функц болно.

Одоо функцүүд нь тасралтгүй тухайн уламжлалуудтай гэж үзээд,

ба тухайн уламжлалуудыг олох зорилго тавья. Үүний тулд х-хувьсагчид х өөрчлөлт өгч, у-хэмжигдэхүүнийг тогтмол гэж үзье. Тэгвэл u ба v функцүүдийн тухайн өөрчлөлтүүд нь

болох ба z функцийн өөрчлөлтийг хz-ээр тэмдэглэвэл:

, , , , ,z F u v F x y x y f x y

, , , , ,F u v x y x y z

x

z

y

, , , , ,x xu x x y x y v x x y x y

Page 3: математик анализ лекц№10

үүнд

u ба v функцүүд тасралтгүй функцүүд учир

Иймд

(1) тэнцлийн баруун зүүн талыг x-д хуваавал

, , 1x x x x x x x

F Fz F u u v v F u v u v u v

u v

0 00 0

lim 0, lim 0x x

x x

u uv v

0 0lim lim 0x xx u

u v

0 0

lim lim 0 2x u

u v

3x x x x xz u v u vF F

x u x v x x x

Page 4: математик анализ лекц№10

(3) тэнцэлд x0 үеийн хязгаарт шилжвэл

болох ба

Мөн үүнтэйгээр төстэйгөөр

0 0 0 0 0lim lim lim lim limx x x x x

x x x x x

z u v u vF F

x u x v x x x

4z F u F v

x u x v x

5z F u F v

y u y v y

Page 5: математик анализ лекц№10

a) z=f(x,y) функцийн хувьсагчууд нь зөвхөн нэг хувьсагчаас хамаарсан болог. x=(t), y=(t) гэвэл

тул

b) Хэрэв (6) томъёог x=t гэж үзвэл

болох ба z=f(x,y)=z(x) нэг хувьсагчийн функц болно.

, , ,y dy x dx

z f t t z tt dt t dt

' 6dz z dx z dy

zdt x dt y dt

x x

y x

Page 6: математик анализ лекц№10

Иймд (6) томъёо нь

болно. (7) томъёог бүтэн уламжлалын томъёо гэнэ.

Ерөнхий тохиолдолд олон хувьсагчийн давхар функцийн тухайн уламжлалуудыг (4) ба (5) томъёонуудтай төсөөтэй зарчмаар олно.

' 7dz z z dy

zdx x y dx

1 2 1 2

1 1 2 1 2 1

, ,..., , , ,..., , 1,

, ,..., ,..., , ,..., ,..., 8

n i i m

m n m n

z F x x x x t t t i n

z F t t t t t t f t t

Page 7: математик анализ лекц№10

1

1 1 1 1

1

1

...

......

...

n

n

n

m m n m

xxz z z

t x t x t

xxz z z

t x t x t

Page 8: математик анализ лекц№10

Одоо z=F(u,v), u=u(х,у), v=v(х,у) үед давхар функцийн дифференциалын томъёо гаргая.

u udu dx dy

x y

v vdv dx dy

x y

z zdz dx dy

x y

Page 9: математик анализ лекц№10

утгуудыг (4) ба (5) томъёонуудаас олж, сүүлийн томъёонд орлуулбал

,z z

x y

.

F u F v F u F vdz dx dy

u x v x u y v y

u u F v v Fdx dy dx dy

x y u x y v

F F Z Zdu dv du dv

u v u v

Page 10: математик анализ лекц№10

Мөн үүнтэй төсөөтэйгээр олон хувьсагчийн давхар функцийн дифференциалын томъёог (8) функцийн хувьд бичвэл:

11 1

1 1 1 1

1 1 11

1 1 1

1 11 1

... ... ...

... ...

... ... ...

т n

nm m

m n m m

n nm n

n m n

xxF F z zdz dt dt dt

t t x t x t

xx x xz z zdt dt dt

x t x t x t t

x xz z zdt dt dx dx

x t t x x

.

Page 11: математик анализ лекц№10

Иймд хэдийгээр х1,x2,…,хn хувьсагчууд нь өөр хувьсагчаас хамаарч байгаа боловч z=F(х1,x2,…,хn) функцийн дифференциалын хэлбэр хэвээр хадгалагдаж байна. Дифференциалын энэ чанарыг инвариант чанар гэж нэрлэдэг

Page 12: математик анализ лекц№10

Далд функцийн уламжлал

у=у(х) тасралтгүй дифференциалчлагдах функц F(х,у)=0 гэсэн тэгшитгэлээр далд хэлбэртэй өгөгдсөн байг. Тэгвэл -г олъё.

Теорем 3.4 F(х,у), F’х(х,у) ба F’y(х,у) функцүүд нь М(х,у) цэгийн ямар нэг орчинд тасралтгүй ба F’y(х,у) 0 болог.

Тэгвэл

байна.

'y

yx

' ,'

' ,x

y

F x yy

F x y

Page 13: математик анализ лекц№10

Дээд эрэмбийн уламжлал дифференциал

z=f(х,у) функцийн тухайн уламжлалууд

нь мөн л х ба у-ээс хамаарсан хоёр хувьсагчийн функцүүд байдаг. Иймд эдгээр тухайн уламжлалуудаас авсан тухайн уламжлалуудыг функцийн 2-р эрэмбийн тухайн уламжлалууд гэж нэрлэнэ. 2-р эрэмбийн тухайн уламжлалуудыг

гэх мэтчилэн тэмдэглэдэг.

,z z

x y

2'' , '' , '' , ''xy yx yyxZ Z Z Z

Page 14: математик анализ лекц№10

уламжлалуудыг функцийн холимог уламжлал гэж нэрлэнэ.

2

2

2

2

2

2

2

2

' , ' '' ,

' , ' '' ,

' , ' '' ,

' , ' '' ,

x x x

y y y

x y xy

y x yx

z zf x y f x y

x x x

z zf x y f x y

y y y

z zf x y f x y

x y y x

z zf x y f x y

y x x y

'' , , '' ,xy yxf x y f x y

Page 15: математик анализ лекц№10

Функцийн 2-р эрэмбийн уламжллуудаас x ба y-ээр авсан тухайн уламжлалуудыг функцийн 3-р эрэмбийн уламжлал гэнэ.

Ж:

Ерөнхийдөө n-р эрэмбийн тухайн уламжлалыг

гэж тэмдэглэнэ.

2

2

3 2

3 2

2

2 2

'' '

'' '

xx

xy

z zz

x x x

z zz

y x x y

n

p n p

Z

x y

Page 16: математик анализ лекц№10

Теорем 3.5: Хэрэв z=f(х,у) функц ба түүний тухайн уламжлалууд М(х,у)

цэг дээр тасралтгүй функцүүд бол энэ цэг дээрх функцийн холимог уламжлалууд тэнцүү байна. Ө.х:

байна.

Хэрэв z=f(х,у) функц М(х,у) цэг дээр тасралтгүй тухайн уламлалуудтай бол функц дифференциалчлагдах бөгөөд бүтэн дифференициал хэлбэртэй байдаг.

' , ' , '' , ''x y yx yxf f f f

2 2z z

x y y x

z zdz dx dy

x y

Page 17: математик анализ лекц№10

х ба у нь үл хамаарах хувьсагчууд бол dх ба dу нь тогтмол бөгөөд dz нь х ба y- ээс хамаарсан 2 хувьсагчийн функц болно. dz функцийн дифференциалыг функцийн 2-р эрэмбийн дифференциал гэж нэрлээд d2z-ээр тэмдэглэнэ. Тодорхойлолт ёсоор

Мөн функцийн 3-р эрэмбийн дифференциалыг

тодорхойлно.

2 2 22 2 2

2 22

z z zd z dx dxdy dy

x x y y

3 3 3 33 3 2 2 3

3 2 2 33 3

z z z zd z dx dx dy dxdy dy

x x y x y y

Page 18: математик анализ лекц№10

Мөн функцийн дээд эрэмбийн холбогдох тухайн уламжлалууд тасралтгүй функцүүд үед n-р эрэмбийн дифференциалыг

формаль бичлэгээр бичиж болно. z=f(х1,x2,...,хn) n-хувьсагчийн функцийн хувьд n-р эрэмбийн дифференциал нь

1

n

n nd z d d z dx dy zx y

11

...

n

nn

n

d z dx dx zx x

Page 19: математик анализ лекц№10

Олон хувьсагчийн функцийн Тейлорын томъёо

z=f(х,у) функц нь М(х,у) цэгийн орчинд (n+1) эрэмбийн тасралтгүй тухайн уламжлалуудтай байг. х хувьсагчид х, у хувьсагчид у өөрчлөлт тус тус олгоё. (t)=(х+tх, у+tу) гэсэн туслах функц авч үзье. x, у, х, у тогтмол үед (t) функц нь t-ээс хамаарсан давхар функц болох ба t=0 цэгийн орчинд (n+1) хүртэлх эрэмбийн уламжлалууд нь мөн тасралтгүй байг.

Page 20: математик анализ лекц№10

(1) функцийн хувьд Маклорены томъёог бичвэл:

1 1

'' 00 ' 0 ...

2!

0, 0 1

! 1 !

n

n n n n

t t t

t t t

n n

Page 21: математик анализ лекц№10

гэж үзээд

давхар функцийн уламжлалыг олъё.

,u x t x v y t y ,t f u v

' ,t x y f x t x y t yx y

2

'' ,t x y f x t x y t yx y

...

,n

n t x y f x t x y t yx y

Page 22: математик анализ лекц№10

Дээрхи томъёоноос 0 ,f x y

' 0 ,x y f x yx y

2

'' 0 ,x y f x yx y

....

0 ,n

n x y f x yx y

1

1 ,n

n t x y f x t x y t yx y

Page 23: математик анализ лекц№10

t=1 үед тул

Дээрхи томъёог 2 хувьсагчийн функцийн Тейлорын томъёо гэнэ.

1 ,f x x y y

2

1

, , ,

1 1, ,

2! !

1, ,0 1

1 !

n

n

f x x y y f x y x y f x yx y

x y f x y x y f x yx y n x y

x y f x x y yn x y

Page 24: математик анализ лекц№10

Тейлорын томъёог дараахи дифференциал хэлбэрээр бичиж болно.

2

1

, ,

1 1, , ... ,

2! !1

,1 !

n

n

f f x x y y f x y

df x y d f x y d f x yn

d f x x y yn

Page 25: математик анализ лекц№10

n=1 үед Тейлорын томъёог задлаж бичвэл

2

2

, , ' ,

1' , [ '' ,

2!2 '' ,

'' , ], 0 1

x

y x

xy

yy

f x x y y f x y f x y x

f x y y f x x y y x

f x x y y x y

f x x y y y

Page 26: математик анализ лекц№10

Олон хувьсагчийн функцийн экстремум

1.Функцийн экстремум байх зайлшгүй ба хүрэлцээтэй нөхцөл

D муж дээр тодорхойлогдсон хоёр хувьсагчийн функц z=f(x,у) авч үзье. Хэрэв М0(х0,у0)D цэгийн ямар нэг орчин олдох бөгөөд энэ орчны бүх цэгүүд дээрх функцийн утга М0(х0,у0) цэг дээрх утгаас ихгүй бол М0 цэгийг функцийн максимумын цэг гэж нэрлэнэ. Ө.х: дараах тэнцэтгэл биш хүчинтэй байна.

Page 27: математик анализ лекц№10

Мөн үүнтэй ижлээр функцийн орчны минимумын цэг M(x*,y*) тодорхойлогдоно.

Функцийн орчны минимумын ба максимумын цэгүүд дээрхи утгуудыг функцийн экстремум гэж нэрлэнэ. Орчны минимум ба максимумын цэгүүдийг экстремумын цэгүүд гэж нэрлэнэ. Функцийн D муж дээрхи экстремум олох бодлогыг томъёолж тэмдэглэвэл:

хэлбэртэй болно.

0 0 0

2 20 0 0

, , , , , ,

, , /

f x y f x y x y B M D

B M x y x x y y

* *00; , , , ,x y D B M f x y f x y

min max , 1f x x D

Page 28: математик анализ лекц№10

D=R2 бол (1) бодлого нь нөхцөлт биш экстремумын бодлого болно. Энэ бодлогыг томъёолбол

Теорем 4.1 (Экстремум болох зайлшгүй нөхцөл) f(х,у) функц нь М0(х0,у0) цэг дээр дифференциалчилагддаг бөгөөд М0 цэг нь (2) бодлогын хувьд функцийн экстремумын цэг болог. Тэгвэл

байна.

, min max , , 2f x y x y R R

0 0 0 0, ,0 3

f x y f x y

x y

Page 29: математик анализ лекц№10

Санамж:(3) нөхцлийг хангадаг (х0,у0) цэгүүд нь экстремумын цэг байх албагүй. Жишээлбэл, y=f(х,у)=ху функцийн тухайн уламжлалууд нь (0,0) цэг дээр тэгтэй тэнцуү боловч (0,0) цэг нь экстремумын цэг болж чадахгүй. Учир нь f(0,0)=0 бөгөөд (0,0) цэгийн дурын орчинд функцийн утгууд эерэг ба сөрөг утгуудыг авах боломжтой. Иймд экстремум болох зайлшгүй нөхцөл нь экстремумын хүрэлцээтэй нөхцөл болж чадахгүй байна. Функцийн тухайн уламжлалуудыг тэгтэй тэнцүү байлгах (х,у) цэгүүдийг цаашид экстремум байх сэжигтэй цэгүүд гэж нэрлэнэ.

Page 30: математик анализ лекц№10

Ө.х:(х,у) цэгүүд нь дараах систем тэгшитгэлийн шийд болно гэсэн үг. Үүнд:

Одоо экстремум байх хүрэлцээтэй нөхцлийг томъёолъё. М0(х0,у0) цэг нь экстремум байх сэжигтэй цэг бөгөөд энэ цэг дээр функцийн 2-р эрэмбийн тухайн уламжлалууд оршдог гэж үзье. Дараах тэмдэглэгээг хийе.

,0

4,

0

f x y

xf x y

y

2 2 20 0 0 0 0 02 2

, , ,, , ,

f x y f x y f x yA B C

x yx y

Page 31: математик анализ лекц№10

Теорем4.2(Экстремум байх хүрэлцээтэй нөхцөл)

= АС - В2 болог.

а) Хэрэв >0 үед М0(х0,y0) цэг нь экстеремумын цэг болох ба А > 0 үед минимумын, А < 0 үед максимумын цэг болно.

б) Хэрэв < 0 бол М0(х0,y0) цэг нь экстремумын цэг болж чадахгуй.

Санамж: Хэрэв = 0 бол нэмэлт шинжилгээ хийж экстремумын цэг болох эсэхийг тогтооно.

Page 32: математик анализ лекц№10

Хамгийн бага квадратын арга

Туршилтын үр дүнд хоёр хувьсах хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг дараах таблицаар гаргаж авсан болог. Үүнд:

М1(х1,у1), М2(х2,у2),...,Мn(хn,уn) цэгүүд нь бараг нэг шулуун дээр байрласан гэж үзье. Ө.х: энэ нь у ба х-ийн хамаарал шугаман у=ах+b функцээр ойролцоогоор тодорхойлогдоно гэсэн үг юм. а,b параметрүүдийг энэ шулуун Мi(хi,уi) цэг бүрт аль болох хамгийн ойр байхаар тодорхойлъё.

x x1 x2 x3 …. xn

y y1 y2 y3 …. yn

Page 33: математик анализ лекц№10

Yi=aхi+b гэвэл Yi - yi –ийг xi цэг дээрх хазайлт гэж нэрлэнэ. Үүнд yi нь xi цэг дээрх туршилтын үр дүн. Хамгийн бага квадратын аргын гол зарчим нь эдгээр хазайлтуудын квадратуудын нийлбэр нь хамгийн бага байхаар у=ах+b шулууныг байгуулахад оршдог. Ө.х: а ба b параметрүүдийг дараах бодлого бодож олно гэсэн үг.

2

1, min

n

i ii

F a b ax b y

Page 34: математик анализ лекц№10

Энэ бодлогыг экстремум байх зайлшгүй ба хүрэлцээтэй нөхцлийг ашиглаж бодвол:

Энэ системийг дараах хэлбэрт бичвэл:

1

1

.2 0

.2 0

n

i i ii

n

i ii

F a bax b y x

aF a b

ax b yb

2

1 1 1

2

1 1

n n n

i i i ii i i

n n

i n ii i

a x b x x y

a x b y

Page 35: математик анализ лекц№10

Энэ системийг бодож (а*,b*) гэсэн сэжигтэй цэгийг олно. Одоо энэ цэг нь минимумын цэг гэдгийг харуулъя. Үүний тулд экстремум байх хүрэлцээтэй нөхцлийг бичнэ.

2 22

2 1 1

, ,2 0, 2

n n

i ii i

F a b F a bA x B x

a ba

2

2

2 22 2 2

1 1 1 1

,2

4 4 4n n n n

i i i ii i i i

F a bC n

b

AC B n x x n x x

Page 36: математик анализ лекц№10

Нөгөө талаас

гэсэн тэнцэтгэл биш хүчинтэй байдаг гэдгийг ашиглавал > 0 болно. Иймд (а*,b*) цэг нь функцийн минимумын цэг болох ба уг шугаман хамаарлыг у=а*х +b*х гэж тогтооно. Хэрэв туршилтын үр дүнгүүд нь ойролцоогоор квадратлаг парабол дээр оршино гэж үзвэл х ба у-ын хамаарлыг у=ах2+bх+с гэсэн квадратлаг функцийн хэлбэрээр эрнэ.

2 2 21 2 1 2.. ...n nx x x x x x

n n

Page 37: математик анализ лекц№10

Хамгийн бага квадратлаг аргаар а,b,с-г олохын тулд

энэ бодлогын зайлшгүй нөхцлийг

гэж бичиж а,b,с-ийн уртуудыг тодорхойлно.

2 2

2

1 1, , min

n n

i i i ii i

F a b c Y y ax bx c y

4 3 2 2

1 1 1 1

3 2

1 1 1 1

2

1 1 1

0

0

0

n n n n

i i i i ii i i i

n n n n

i i i i ii i i i

n n n

i i ii i i

Fa x b x c x x y

aF

a x b x c x x ybF

a x b x c n yc

Page 38: математик анализ лекц№10

Нөхцөлт экстремумын бодлого

y=f(х,у) функцийн экстремумыг (х,у)=0 гэсэн нөхцөлд олъё. Ө.x:

бодлогыг бодно гэсэн үг юм. Хэрэв (6) нөхцлөөс у=у(х) илэрхийллийг олж чаддаг гэж үзээд (5)-д орлуулбал энэхүү (5)-(б) бодлого нь нөхцөлт биш экстремумын бодлого болж хувирна.

, min max 5

, 0 6

f x y

x y

Page 39: математик анализ лекц№10

Энэ бодлогын хувьд экстремум байх зайлшгүй нөхцлийг бичвэл

Нөгөө талаас у=у(х)-ийн хувьд (x,у)=(x,у(x))0 тул энэ илэрхийллээс уламжлал авбал:

, min maxz z x f x y x

0 7dz f f dydx x y dx

0 8dy

x y dx

Page 40: математик анализ лекц№10

(8) илэрхийллийн баруун зүүн талыг ямар нэг тэгээс ялгаатай А тоогоор үржүүлж (7) тэнцэтгэл дээр нэмбэл:

болох ба бүлэглэн дараах хэлбэрт бичье.

тоог нөхцлийг хангасан байхаар сонгож авъя.

0f f dy dyx y dx x y dx

0f d f d dyx dx y dy dx

0fx x

Page 41: математик анализ лекц№10

Тэгвэл

систем тэгшитгэлийг (x,y) гэсэн эксремумын цэг хангана. (9) нөхцлийг Лагранжийн функцийн тусламжтайгаар Лагранжийн функц зохиовол

0

0 9

, 0

fx xfy y

x y

, , , , 10L x y f x y x y

Page 42: математик анализ лекц№10

-г Лагранжийн үржигдэхүүн гэнэ. Тэгвэл (9) нөхцлийг дахин бичвэл:

Иймд хэрэв (х,у) цэг нь (5)-(6) бодлогын хувьд экстремумын цэг бол, энэ цэг нь Лагранжийн функцийн экстремумын цэг болно. (10) системийг хангадаг (х,у) цэгүүдийг Лагранжийн функцийн сэжигтэй цэгүүд гэж нэрлэнэ.

' , , 0

' , , 0

' , 0

x

y

L x y

L x y

L x y

Page 43: математик анализ лекц№10

Сэжигтэй цэг бүр (5)-(б) бодлогын хувьд орчны минимумын ба орчны максимумын цэг болох албагүй. (5)-(6) бодлогын хувьд экстремум байх хүрэлцээтэй нөхцлийг дараах дүрмээр тогтооно. (x0,y0) цэг нь Лагранжийн функцийн сэжигтэй цэг болог. Ө.х:

0 нь (x0,y0) цэгт харгалзах Лагранжийн үржигдэхүүн.

0 0 0

0 0 0

, ,0

, ,0

L x y

xL x y

y

Page 44: математик анализ лекц№10

1. Хэрэв > 0 үед

a) >0 бол (x0,y0) цэг нь орчны минимумын цэг

б) <0 бол (x0,y0) цэг нь орчны максимумын цэг

2. Хэрэв 0

а) <0 бол (x0,y0) цэг нь орчны максимумын цэг

б) >0 бол (x0,y0) цэг нь орчны минимумын цэг

2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0

2 2

22 0 0 0 0

20 0 0 0

, , , , , ,, ,

' , ' ,, 2

' , ' ,x x

y y

L x y L x y L x yA B C

x yx y

x y x yA C B A B C

x y x y

Page 45: математик анализ лекц№10

Одоо n-хувьсагчийн функцийн экстремумын бодлогын зайлшгүй ба хүрэлцээтэй нөхцлийг томъёолъё. Нөхцөлт биш экстремумын бодлогыг n хэмжээст евклид огторгуйд бичвэл

Үүнд: х = (х1,х2,...,хn)Rn

Теорем 4.3 (Экстремум байх зайлшгүй нөхцөл) f(x) функц нь xRn цэг дээр дифференциалчлагддаг болог. Хэрэв х* нь (11) бодлогын хувьд экстремумын цэг бол

байна.

min, 11nf x x R

* * *

1 2

... 0 12n

f x f x f x

x x x

Page 46: математик анализ лекц№10

системийн шинжүүдийг экстремум байх сэжигтэй цэгүүд гэж нэрлэнэ. Үүнд: ' 0f x

1 2

2 2 2

21 2 11

2 2 2

22 1 22

2 2 2

21 2

' , ,...,

...

...'' .

... ... ... ...

...

n

n

n

n n n

f f ff x

x x x

f f fx x x xx

f f ff x x x x xx

f f fx x x x x

Page 47: математик анализ лекц№10

Теорем 4.4 f(х) функц нь х*Rn цэг дээр хоёр дахин дифференциалчлагддаг болог.

а) Хэрэв х* цэг нь (11) бодлогын хувьд орчны минимумын цэг бол f"(x*) матриц нь сөрөг биш тодорхойлогдсон байна. Ө.х:

b) Хэрэв х" нь орчны максимуман цэг бол f"(х*) нь эерэг биш тодорхойлогдсон байна.

*'' , 0, nf x h h h R

*'' , 0, nf x h h h R

Page 48: математик анализ лекц№10

Теорем 4.5 f(х) функц нь х*Rn цэг дээр дифференциалчлагддаг бөгөөд х* нь сэжигтэй цэг болог.

а) Хэрэв f "(х*) матриц нь эерэг тодорхойлогдсон, ө.х:

бол х* нь f(х) функцийн Rn дээрх орчны минимумын цэг болно

b) Хэрэв f "(х*) матриц сөрөг тодорхойлогдсон, ө.х: бол х* нь f(х) функцийн Rn дээрх орчны максимумын болно.

*'' , 0, , 0nf x h h h R h

*'' , 0, , 0nf x h h h R h

Page 49: математик анализ лекц№10

Санамж: Хэрэв сэжигтэй цэг дээр f "(x*) матриц тэмдэг тодорхойлогдоогүй бол х* нь экстремумын нэг болж чадахгүй.

Олон хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум.

Математик анализын хүрээнд авч үздэг нөхцөлт экстремумын сонгодог бодлого нь дараах хэлбэртэй болдог.

1 2, ,..., min max 12nf x x x

Page 50: математик анализ лекц№10

(12), (13) бодлогыг вектор хэлбэрт хураангуйлж бичвэл:

хэлбэртэй болно. Энэ бодлогыг бодох ерөнхий арга болох Лагранжийн дүрмийг тодорхойлъё.

1 1 2

2 1 2

1 2

, ,..., 0

, ,..., 0 13

...

, ,..., 0

n

n

n n

g x x x

g x x x

g x x x

min max , 0, 1,2,..., 14if x g x i m m n

Page 51: математик анализ лекц№10

Үүний тулд Лагранжийн функц зохионо.

Теорем 4.6 (Нөхцөлт экстремум байх эайлшгүй нөхцөл) нь бодлогын хувьд экстремумын

цэг болог.

функцүүд нь х* цэгийн орчинд тасралтгүй дифференциалчлагддаг байг. Тэгвэл нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байх * тоо ба *Rn вектор олдох бөгөөд

0 0

1

0 1 2

, , ,

, , ,...,

n

i ii

mm

l x f x g x

R R

* nx R

1, ,..., mf x g x g x

Page 52: математик анализ лекц№10

нөхцөл биелэгдэнэ.

Хэрэв векторууд нь шугаман хамааралгүй бол 0 = 1 гэж үздэг.

Теорем 4.7 (2-р эрэмбийн зайлшгүй нөхцөл)

х* цэг нь (14) бодлогын хувьд орчны минимумын (максимумын) цэг бөгөөд энэ цэг дээр дараах нөхцлүүд биелэгддэг гэж үзье. Үүнд:

1. функцууд нь х* цэгийн орчинд тасралтгүй дифференциалчлагддаг ба х* цэг дээр хоёр дахин дифференциалчлагдах

* * *

0, ,0, 1, 15

i

L xi m

x

* * *1 2' , ' ,..., 'mg x g x g x

*1, ,..., mf x g x g x

Page 53: математик анализ лекц№10

2. градиентууд шугаман хамааралгүй. Тэгвэл (15) нөхцлийг хангаж буй (*

0, 0) хос болон

нөхцлийг хангах бүх hRn-ийн хувьд

нөхцөл биелэгдэнэ.

* * *1 2' , ' ,..., 'mg x g x g x

*' , 0, 1, 16ig x h i m

2 * * *

0

2

, ,, 0, 0

L xh h

x

Page 54: математик анализ лекц№10

Теорем4.8(2-р эрэмбийн экстремумын хүрэлцээтэй нөхцөл) x*Rn цэгийн хувьд дараах нөхцлүүд биелэгддэг болог. Үүнд:

1. .

2. функцууд нь х* цэг дээр 2 дахин дифференциалчлагдах

3. нөхцлийг хангах тэгээс ялгаатай бүх h векторуудын хувьд

нөхцөл биелэгдэнэ. Тэгвэл х* нь (14) бодлогын орчны минимумын (максимумын) цэг болно.

* 0, 1,ig x i m

1 2, , ,..., mf x g x g x g x

*' , 0, 1,ig x h i m

2 * * *

0

2

, , ,, 0, 0

L xh h

x

Page 55: математик анализ лекц№10

Дээр дурдсан теоремуудыг ашиглан (14) бодлогыг бодохын тулд дараах дүрмийг баримтална.

1. Лагранжийн функц зохионо.

2. (15) гэсэн зайлшгүй нөхцлийг бичиж алгебрийн тэгшитгэлүүдийн системийг бодож бодлогын сэжигтэй цэгийг олно. Мөн эдгээр цэгт харгалзах Лагранжийн үржигдэхүүнийг тодорхойлно. Үүнд:

а) 0=0 тохиолдол нь практикт ховор тохиолдоно. Энэ нь (13) гэсэн систем нийцгүй тохиолдолд гарч ирнэ.

b) 00 үед 0 = 1 гэж үзэх нь тохиромжтой.

3. Олон сэжигтэй цэгүүд экстремумын цэг мөн эсэхийг хүрэлцээтэй нөхцлийн тусламжтайгаар шалгана.