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- 106 -
ANHANG I: ZUR NUMERISCHEN LOSUNG DES VERALLGEMEINERTEN ZEITPLANUNGSPROBLEMS
Verzichtet man auf die Forderung (A7: 'i=" VieM), so erhalt man folgende Verallgemeinerung des in Abschn. 2 behandelten Planungsproblems: Gegeben sind zwei positive Vektoren
Parametern (d 1 , ... ,dm) und ('l"""m) sowie der durch letzteren erklarte Raum Z der zulassigen Anlieferplane
Z : = {zeIRm: O<z.<,., VieM} - + = 1 1
Mit der Gesamtbestandsfunktion
( I. 1)
lautet die Zielsetzung
( I. 2) i nf: zeZ
sup{s(t,z)} -. c(~) te IR+ -
von den
Besitzen die Elemente von ~ ein endliches (kleinstes) gemeinsames Vielfaches 1)
so ist
S(t+A.T,~) , \fte[O,T>, V\eIN, VzeZ
und es gilt
max{s(t,z)} tee -
VzeZ G .- !O,T>
Ferner ist mit
(T /T i) =: r i e IN , V i eM
zih := zi+(h-1)"i ' h=l,2, ... ,r i ' VieM
R := {(i,h)eMxIN: z'hee}, IRI = r = \~ 1 r. 1 ' , L1= 1
1) Es wird hier Rationalitat der 'i verlangt; aus praktischer Sicht ist jedoch ohnehin (scharfer) Ganzzahligkeit zu fordern: ,eIN m.
- 107 -
auch
( I. 3) c (z) max{s(t,z)} tee -
max {s(zih'z)} (i ,h)eR -
"'zeZ
wobei zih den Zeitpunkt der h-ten Anlieferung einer Bestellmenge des Guts ieM in dem Intervall e bezeichnet und zi wie schon bisher h=1 impliziere.
Offenbar gilt nun s(zih,~)=s(zi,h+l'~) dann und nur dann, wenn die Summe aller in dem Intervall <zih,zi,h+lJ zugehenden Beschaffungsmengen gerade gleich TiOEdj' dem Abgang wahrend dieses Intervalls, ist. Das verallgemeinerte Problem zeichnet sich jedoch gerade dadurch aus, daB diese Bedingung i.a. nicht fUr alle 1) h=I,2, ... ,r i -l und fUr alle ieM erfUllt sein kann, da r 1#r 2# ... #r m oder zumi ndes t mi n{ r i} < max{ r i}' Demzufol ge existiert i.a. auch kein Plan zeZ mit der in Abschn. 2 bewiesenen Optimalitatsbedingung
(I. 4) S(z'h'z) = c(~) , V(i,h)eR 1 -
und da keine andere analytische Beziehung zwischen den s(z'h'z) 1 -
anstelle von (1.4) als hinreichende Bedingung fUr ein Optimum angegeben werden kann, mUssen die GroBen
( I. 5)
(I.3')
S(zih' ,~) := max {s(zih'~)} , VieM l<h<r. ==1
c(~) = l!1ax{s(zih' ,~)} 1eM
auf numerischem Wege, d.h. mit (1.1), berechnet und iterativ verbessert werden. Die hierfUr erforderlichen Definitionen und Beziehungen fUhren wir in Abschn. 1.1 ein; es folgt ein Nachweis zur Existenz optimaler Plane ~*eZ und die Entwicklung einer notwendigen Optimalitatsbedingung. In Abschn. I.3 geben wir schlieBlich eine untere Schranke fUr c(~l) an.
1) Man kann Vektoren ~ und ~ so konstruieren, daB (1.4) erfUllt ist. Die hierfUr zu machenden Voraussetzuhgen sind jedoch so speziell, daB darauf hier nicht eingegangen werden soll.
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1.1 Definitionen
1m Hinblick auf die erforderliche iterative Verbesserung bestimmter Ausgangslosungen ~eZ ist es wUnschenswert, neben der konstitutiven Form (1.1) auch eine mutative Beziehung zu haben, die im einzelnen erkennen laBt, welche Auswirkungen eine Anderung ~zk#O, keM, auf die Zeitreihe s(zih'~) haben wird. In Anlehnung an (D2.1) wird man zwar nur solche ~zk als zulassig
ansehen, die -zk~~zk<Tk erfUllen und somit
zkeIO,Tk> => zkHZk =: ZkelO,Tk>
gewahrleisten. Da aber zu jedem ~zke<-Tk,-zk> stets ein aquivalentes ~zke<O'Tk-zk>' namlich ~zk:=-zk-~zk' angegeben werden kann, betrachten wir i~ weiteren jedes ~zke<-Tk'O>, keM, als zulassig und erklaren hierzu folgende Teilmengen von R:
(I.6a)
(I.6b)
(I.6c)
Rkh .- {(i ,1)eR: zkh~zil<zkh} Vhe{l, ... ,r k}
Rk := Rk1 + ... +R kr ' Rk := Rk1 +·· .+R kr k k
Damit ist RkUR k die Indexmenge aller von dem Obergang zkh~zkh' h=1,2, ... ,r k, "betroffenen" Anlieferzeitpunkte 1 ) zihee. Der Grund fUr die Unterscheidung zwischen Rkh und Rkh ergibt sich aus der Erlauterung folgender Differenzengleichungen, die -fUr~' := (zl, ... ,zk, ... ,zm) - alle durch ~zke<-Tk'O> hervorgerufenen Anderungen der Zeitreihe s(z.h'z) erschopfend be-
l -schreiben:
(I.7a)
(I.7b)
(1. 7 c) 5 (z. h' z') 1 -
h = 1,2, ... ,r k
1) Zu beachten ist, daB immer (k,h)eR kh , also niemals Rkh=~'
was fUr Rkh nicht zutrifft.
- 109 -
Zur Erlauterung: Zunachst ist klar, daB mit fizke<-Tk'O> der Anteil von keM an s(t,~), Skt' fUr alle te{lz kh ,zkh>,h=I, ... ,r k} urn (fizkdk+xk)<x k VE zunimmt, fUr alle Ubrigen tee hingegen urn IfiZkldk VE fallt, vgl. Abb. 1.1; hieraus werden (I.7b,c) sofort verstandlich, wenn man berUcksichtigt, daB Rkh={(i,l)eR: zile
[zkh,zkh>}' Vhe 1, ... ,r k ' und daB (I.7c) fUr alle Zil¢{ Iz kh , zkh>,h=1,2, ... ,r k}, i#k, gilt.
o
, " , ,
" , " , ,
',I ~~ ______ ~~~L-______ ~~~ ___ t
Abbildung 1.1: Auswirkung von llzk<O auf Skt
FUr die Werte S(zkh'~') wird die aus Zkh€!zkh,zkh> resultierende Erhohung urn (fizkdk+x k) VE durch zkheRkh und den dadurch veranlaBten Abzug von xk in eine Minderung urn !llzk!d k VE verwandelt. Zugleich muB jedoch dem durch die Vorverlegung aller zkh urn !fizkl ZE urn ~zkl'l:dj VE verringerten GesamtabfluB Rechnung getragen werden. Endlich sind in (I.7a) noch alle Sprungstellen
anderer Anteile Sit' ieM:i#k, Uber den Intervallen <zkh,zkh l zu berUcksichtigen, und nach Definition ist gerade Rkh={(i,l)eR:
zile<Zkh,zkhj}, h=I,2, ... ,r k·
Man denke sich eine Funktion f:R ... IN, die jedem Tupel (i,h)eR genau eine Zahl a(i ,h)e{1,2, ... ,r} umkehrbar eindeutig zuordnet. Bezeichnet man dann die durch die natUrliche Ordnung der Zahlen a(i ,h) erklarte Reihenfolge der Elemente (i ,h)eR als Ordnung von R, (R), und die Menge aller (R) mit {rPr}, so kann man in Anlehnung an (02.4) definieren:
- 110 -
(DI.I) Ein Plan zeZ heiBe schwach vertragZich mit (R), wenn
a(i,h) < a(j,l) => zih ~ Zjl ' V(i,h),(j,l)eR
Die Teilmenge aller mit festem (R)e{rPr} schwach vertraglichen Plane sei mit Z(R) bezeichnet.
(DI.2) Ein Plan ~(R)ez(R) heiBe effizient bezugZich (R) oder (R)-effizient, wenn
~(~(R)) ~ ~(~) , V~eZ1R)
Mit (1.5), S. 107, und
( I. 8)
definieren wir ferner
(DI.3) Ein Plan zeZ heiBe vom Rang v, wenn die Bedingungen
(1.9) s(zih' ,~) = ~(~)
(1.10) Uih , = {(i,h')}
von genau v Elementen ieM erfUllt sind, v=O,I, ... ,m. Ein Plan vom Rang v=m heiBe BasisZosung.
Basislosungen besitzen also die (1.4) vergleichbare Eigenschaft
(1.4') S(z'h"Z) 1 -
1.2 Basislosungen
~(~) , VieM
Die folgenden AusfUhrungen sollen zeigen, daB zu jedem Planungsproblem mit T<oo stets eine nichtleere, endliche Menge von Basislosungen existiert. Aus dem Beweis hierzu ergeben sich zugleich Aussagen Uber die endliche Konvergenz iterativer Verfahren zur Erzeugung von Basislosungen sowie eine notwendige Bedingung fUr die Optimal itat des Plans z~eZ mit ~(~f) ~c(~), VzeZ.
- 111 -
Urn die Darstellung zu vereinfachen, fUhren wir folgende Teilmengen von Z zusatzlich ein:
ZB die Menge der Basislosungen ~eZ ZE die Menge der (R)-effizienten Plane ~eZ, Y(R)e{rPr}
SATZ 1.1
Zu jedem Planungsproblem mit T<oo existiert mindestens eine Basislosung: ZB # ~
Diese Behauptung folgt unmittelbar aus dem weitergehenden
HILFSSATZ 1.1.1
Sei ~eZ vom Rang v<m; dann existiert stets ein ~'eZ vom Rang (v+1) mit c(~') < c(~).
den wir durch Konstruktion beweisen: Die Existenz von Planen zeZ vom Rang v~l darf vorausgesetzt werden, da 1) T<oo ; fUr einen solchen Plan sei VcM die Teilmenge der ieM, deren Tupel (i ,h') den Bedingungen (1.9) und (1.10) genUgen, l~IVI=v<m, und keM: k~V, so daB entweder
oder
i(Zkh' ,~) < c(~) ,
jedenfalls aber fUr
die strenge Ungleichung
g(zkh'~) := max {g(zkh'~)} < c(~) l~h~rk
erfUllt sein muB, wobei fUr genUgend nahe bei Null gewahlte 6Z k<0 offenbar Rkh=U kh , Yhe{1,2, ... ,r k} und mit ~'=(zl" .. ,zk+6Zk' ... ,zm) auch
1) Man setze etwa Zl=O; dann gibt es bei T<oo immer ein £>0, so daB ein durch zi :=(i-1)"£, YieM, erklarter Plan z die Eigenschaft c(~)=s(zm1'~) und Um1 ={(m,1)}, ~ v~l. besitzt.
- 112 -
Nun existiert zu jedem ieV immer ein hi e{1,2, ... ,r k} derart, daB zih,<zkh.<zih,+Tk' woraus mit s(zih' ,!)=c(!), YieV, folgt
1
=>
Also genUgt
(1.11)
g(Zkh'!) > c(!) - TkoIJ=l dj + Xk
g(Zkh'!) - c(!)
\~ 1 d. l.J= J
der Forderung -Tk<nzk<O fUr die GUltigkeit der Beziehungen (1.7), und man findet mit (1.7a)
(1.12a) S(Z~h't) = i(zkh,!)+nzkdk+xk-nzkI~=ldj-. E Xi (l,l)eR kh
S(Zkh,!)+6Z kdk+X k-(g(Zkh'!)-C(!))-. E Xi (l,l)eR kh
~ g(zkh'!) - g(zkh'!) + c(!) + 6z kdk
~ c(!) + 6z kdk < c(!) , h=1,2, ... ,r k
Weiter gilt mit (1.7b)
(I.12b) i(Zih,z1 = i(zih'!) + 6z kdk + xk
~ c(z) + 6z kdk < c(!) , V(i,h)eR~
denn: Nach Definition von (k,h) und nach Konstruktion {I.II) ist
g(Zkh'!) - Vo(Edj-d k) ~ c(!) - Vo(Edj-d k)
fUr alle ve[6z k,O> und alle he{I,2, ... ,r k}, und da
(i,h)eR~lcR~ ~> (zih-zkl) =: V'e[6Z k,O>
gilt zunachst fUr z+.- (zl, ... ,zkH', ... ,zm)
- 113 -
- + - +-s(zih'~ ) - s(zkl+IJ',~ ) < c(~) + v'.d k
Da aber bereits
- + -s(zih'~ ) = s(zih'~) + V'.d k + xk
gilt auch (I.12b). SchlieBlich hat man
g(zkh'~) - c (~) - xk => zih,-zkh. < < lIz k
1 I~=l dj
=> I i eV => (i,h')~Rk [ J
so daB mit (I.7c) auch
(I.12c) 5 ( z . h' ,z') 1 -
Mit (1.12) ist gesichert: Die durch (1.11) modifizierte Losung
~':=(zl, ... ,zk+llzk, ... ,zm) besitzt die Eigenschaft
(1.13)
Gilt nun fUr das mit (1.11) konstruierte lIz k auch Rkfi=~' so ist Rkfi = Ukfi und daher
(1.12a')
d.h. V:=V+k, und ~' besitzt einen Rang groBer/gleich (v+1). Falls Rkh ~ ~, gilt
(I.12a Ol )
so daB C (~')
< c (~) =>
=>
1st dann V=V, so kann man zu Zl wie oben zu zein lIZ j , jeM, bilden, mit dem die Losung abermals verbessert wird, vgl. (1.13), etc. Da s(t,~) nach Voraussetzung T<oo nur r<oo Sprungstellen
- 114 -
aufweist, mu6 eine endliehe Zahl von Wiederholungen dieses Vorgangs zu einem Bestellplan mit einem Rang gro6er/gleieh (v+1) fUhren, w.z.z.w.
Damit ist aueh Satz 1.1 bewiesen und gezeigt:
KOROLLAR 1.1.1
Zu jeder Losung ~eZ vom Rang v<m existiert eine bessere Basislosung ~'eZB:
~~ZB => 3~' eZ B: c(~') < c(~)
Hieraus leitet man weiter ab:
KOROLLAR 1.1.2
Falls eine optimale Losung ~·eZ existiert, ist diese stets aueh Basislosung, ~·ezB:
=>
Nun gilt trivial
H1LFSSATZ 1.2.1
Die Menge der (R)-effizienten Losungen ist endlieh: IZEI < 00
denn naeh Voraussetzung T<oo gilt r<oo, also aueh l{rPr}l<oo und somi t I ZE I <00.
HILFSSATZ 1.2.2
Jede Basislosung ist (R)-effizient: ZB ~ ZE
Beweis: Sei ~EZB; dann ist - vgl. (I.6)-die Existenz' eines lIZk~O, keM, mit RknRk ~ 0 und z':=(z1, ... ,Zk+llZk, ... ,zm) bereits hinreiehende Bedingung fUr (R') ~ (R). Wegen der Gegenlaufigkeit von (I.7a) und (I.7e) ist die Existenz eines solehen lIz k jedoeh gerade notwendige Bedingung fUr c(~' )<c(~). Also
- 115 -
sind ct~') < cC~J und (R') = (R) fUr alle ~eZB widersprUchlich; mithin ist ~eZB auch (R)-effizient: ~eZB ~ ~eZE' w.z.z.w.
Aus diesen beiden Hilfssatzen folgt unmittelbar
SATZ 1.2
Die Menge der BasisHisungen ist endlich: IZBI < 00
und hieraus schlieBlich
KOROLLAR 1.2.1
T<oo ist hinreichende Bedingung fUr die Existenz einer optimalen Losung ~·ezB'
Ziel numerischer Losungsverfahren muB also die (wirtschaftliche) Erzeugung von Basislosungen sein. Damit wird sichergestellt, daB die bis zum Abbruch der Suche gefundene beste Losung zumindest potentiell optimal und nicht mehr trivial verbesserungsfahig ist. Die wesentlichen Grundlagen fUr die Entwicklung solcher Verfahren sind in dem Beweis zu Hilfssatz 1.1.1 ent-ha lten.
Die Parallelen zwischen den Ergebnissen von Abschn. 2 und 1.2 sind offensichtlich; vgl. insbesondere (1.4) und (1.4') sowie die Aussagen von Satz 2.2 und Hilfssatz 1.2.2. Zu der Permutationsindifferenz des Satzes 2.3 existiert jedoch fUr das verallgemeinerte Problem keine Parallele. Das Gegenbeispiel in Tab. 1.1 zeigt, daB es nicht einmal moglich ist, die Aussage von Hilfssatz 1.2.2 auf (M)-Effizienz von ~eZB zu erweitern: Die Forderungen (M') = (M), c(~') < c(~), ~,~' eZB' sind nicht widersprUchlich, d.h. es konnen zu einer Permutation (M) durchaus mehrere Basislosungen unterschiedlicher Qualitat existieren; andererseits scheint i.a. die weitaus Uberwiegende Mehrzahl aller (R)-effizienten Losungen ~eZE nicht in ZB enthalten und somit bereits von vornherein suboptimal zu sein.
- 116 -
Tabelle 1. 1: ~,~' eIB: c(~')<c(~) 1\ (11' )=(M)
1 2 3 4 l: . 1.-
Ti 20 10 12 15
di 25 30 25 20 100
xi 500 300 300 300 1. 400
Dieses Problem besitzt u. a. die Basislosungen
z = (0,3,10,11) mit c(~) = 1. 060
z'= (0,6,7,9) mit c(~' ) = 1. 035
1.3 Abschatzung zu c(~*)
Da sich das verallgemeinerte Problem i .a. nur naherungsweise ("suboptimal") losen 1 aBt, interessieren t~aBstabe, an hand derer die Qualitat einer gegebenen Losung abgeschatzt werden kann. Einen Ausdruck reZativer Qualitat haben wir bereits mit dem Konzept der Basislosung eingefUhrt: Ein Plan ~eIB kann, einfach ausgedrUckt, "nicht ohne weiteres" verbessert werden. In Form einer Schranke soll nun auch ein (konservatives) MaB fUr die absoZute Qualitat einer Losung angegeben werden, d.h. wir interessieren uns fUr eine moglichst groBe Iahl Y mit
min{max{s(t,z)}} > Y zel tee -
bzw., cf. (1.1), mit
max {min n~-1 d.·(z·h- z .) modT.}} ~ L~-1 xJ' - Y zel (i,h)eR J- J 1 J J - J-
benotigen also eine Abschatzung zu (zih-Zj) mod Tj' Sei nun wieder T<oo, zel und i ,jeM. Dann gilt
(1.14)
denn mit
is t
=>
und mit
- 117 -
(Zj,T+I- Zi) modTi = Zj,T+l - zih
(zih-Zj) mOdTj + (Zj,T+l-zi) modT i = Tj
folgt (I.14).
Vereinfacht man mit der Definition 1)
( 1. 15) a ., : = mi n {( Z . h - Z .) mod T . } lJ l<h<r.l J J
= = 1
die Schreibweise, so ergibt sich aus (1.15) fUr den einfachsten Fa1l 2) (m=2)
(I.16 )
und aus
min {I~ . (i ,h)eR J=1
(I.14)
a12 ~ T2 - a21
a21 ~ Tl - a 12
so daB (1.16) ein Supremum vom Wert min{H I2 ,H 21 } besitzt:
I d1 H12 := d2"a 12 ,: d1"(Tl-a I2) => a12 = Tl"Cf1+Ci2 =>
(LI7a)
=>
1) Wegen (zih-zi) mod Ti = 0, \lhelN, ist aii=O, \lieM. 2) Wegen aii=O entfallen a.d.r.S. von (1.16) die Summanden d1"a 11
und d2"a 22 .
- 118 -
(Lllb)
In Matrizenschreibweise:
(Lllc)
Da mit (1.14) nur einzelne Terme, nicht aber deren Summen abgeschatzt werden konnen, ergibt sich bereits fUr m=3 eine wesentlich veranderte Situation: Durch (1.15) ist fUr jedes Paar
i,jeM:ilj ein zih erklart, das zwar (zih-Zj) mOdTj Uber {l, ... ,r i } minimiert, nicht aber den Term 1)
(1.15)
den man mit (1.14) zu
( 1. 14 I )
abschKtzt. Da ein Kriterium fUr die "optimale" Wahl eines zihee
mit simultanem Bezug auf (Zih-Zk) modTk und (Zih-Zj) mOdTj fehlt bzw. nur durch - an dieser Stelle unzweckmaBige - Einbeziehung der "Gewichte" di , dj , dk geschaffen werden konnte, muB
(1.18) min {I~ 1 d,,(z'h- z ,) modT.} (i,h)eR J= J 1 J J
anders als in (1.16) durch ein System von m·(m-l) Ungleichungen abgeschatzt werden:
( 1. 16 I )
< min { dj,a ij + dk,a ijk
dj,a ikj + dk,a ik
1) FUr das weitere, vgl. u. (1.1gb), sei vereinbart: aij=aijj
- 119 -
Mit (1.14') liefern die reehten Seiten von (1.16') folgendes System:
d1 d2 d3
Hll 0 0 0
H12 0 a 12 T3-a 31 ( i = 1 )
H13 0 T2- a2l a 13
H21 a21 0 T3-a 32
(L17e') H22 0 0 0 ( i = 2 )
H23 T1- a 12 0 a23
H31 a31 T2- a 32 0
H32 Tl -a 13 a32 0 ( i =3 )
H33 0 0 0
Als allgemeine Abschatzung zu (1.18) bildet man also
(L19a) \fieM:
(L19b) < minn:~_l do.a ok o} keM J- J 1 J kFi
wobei dureh die reehten Seiten (I.19b) analog zu (I.17e') nunmehr allgemein m quadratische Teilmatrizen w~m), ;=1,2, ... ,m, erklart sind, die in ihrer Gesamtheit mit W(m) bezeiehnet seien.
Nun gilt aber (1.19) fUr aZZe Plane ~eZ, wahrend wir eine Zahl suehen, die urn einen mogliehst kleinen Betrag groBer ist als
(L19a') max{min{ min n~~-l dJo,(zih-zJo) mOdTJo}}} zeZ ; eM l<h<r ° J-
==1
- 120 -
also etwa ein Supremum zu
(1.1gb') min { min {L~-1 do'a ok o}} ieM keM:k#i J- J 1 J
Oa ganze Zeilen des aus wi m) , ... ,w~m) zusammengesetzten Gleichungssystems W(m) ~ (1.1gb) nicht simultan abgeschatzt werden konnen, bedienen wir uns der verallgemeinerten paarweisen Abschatzung (Io17a,b), die mit
/I To -
1
die Form do, do
T i ,_l __ J • Y i • j eM: i # j di+d j
( 1.20)
haben und die Elemente der Matrix W(m) bilden, deren erste Teilmatrix wi m) folgendes Aussehen hat:
d1 d2 d3 d4
Hll 0 0 0 0
H12 0 T1'd 1 T3'd 1 T4'd 1
d1+d 2 d1+d 3 d1+d 4
H13 0 T2'd 1 T I,d 1 T4'd 1
d1+d 2 d1+d 3 d1+d 4
H14 0 T2,d I T3'd i T I,d 1
dl +d 2 d1+d 3 dl +d 4
HIm 0 T2'd 1 T3'd i T4'd 1
d1+d 2 dl +d 3 d1+d4
Mit (I. 20) ist W(m) Zeile fUr Zeile nicht kleiner als die einer beliebigen Losung abgeleitete l1atri x ~J(m); forma 1 :
dm
0
Tm'd 1
d1+dm
Tm'd 1
d1+d m
Tm'd 1
dl+d m
T I'd m
d1+d m
aus
- 121 -
~ Hik ' Vi,keM:i~k
Damit gilt aber auch
max{min{ min n:~-1 dJ,,{zih-zJ') mOdT J.}}} < zeZ ieM l<h<r. J-- ==,
<
und mit
max{min{ min {L~-1 d,,{z·h-z.) modT.}}} zeZ ieM l<h<r. J- J , J J - ==,
,m x. - min{max{s(t,z)}} L J'=1 J zeZ tee -
sow;e
d.· d. x. - T •• _' __ J
J J di+dj
d. x.' (1 _ -'-)
J d;+d j
d. x .• _J_ J di+d j
folgt schlieBlich:
SATZ 1.3
FUr die optimale Losung z*eZ des verallgemeinerten Problems mit T<oo gilt
(1. 21)
>
FUr das in Tab. 1.1 angegebene Zahlenbeispiel liefert (1.21) die Schranke Y=980, so daB man die Losung ~'=(O,6,7,9) mit c{~' )=1.035 als annahernd optimal bezeichnen darf.
- 122 -
AN HANG II: OPTIMIERUNG BEl SIMULTANEN KAPAZITXTS- UND BUDGETRESTRIKTIONEN - ZAHLENBEISPIEL
FUr ein Planungsproblem seien die Daten in Tab. 11.1 bekannt.
Tabelle 11. 1 : Zahlenbeispiel
di(VE) Di (VE) bi(GE) Bi (GE) C 1 i C2 i Pi(GE/VE)
1 50 5.000 300 30.000 500 0,20 6,00 2 200 20.000 100 10.000 300 0,15 0,50 3 100 10.000 250 25.000 400 0,10 2,50 4 150 15.000 50 5.000 200 0,30 0,33
500 50.000 700 70.000 1. 400 ( B 100 ZE )
Ohne BerUcksichtigung von Restriktionen findet man hierfUr
mit (L2);
mit (L3);
ID = 32.500 IB = 46.786 nit = 2,027 K(nit.U)= 5.675 ~r(nit) = 16.033 ~r(n*) = 23.081
* ~ = (2,45; 1,58; K.(~*) = 5.587 cF(~*) = 28.080
1,77; 1,94)
1m weiteren werden zunachst die Randwerte a1=Ib Idb und a2=bd IdI ermittelt (Abschn. 11.1) und anschlieBend optimale und Naherungslosungen fUr verschiedene reprasentative Tupel (e'C)eIR~ nach (L2) und (L3) berechnet (Abschn. 11.2). Grundlage der AusfUhrungen sind die Definitionen und Ergebnisse von Abschn. 3.4.3.
Mit B=100, ID=32.500 und IB=46.786 sowie (2.10"), S. 35, kann
- 123 -
man bereits angeben
dI = ~(1) = 325 Ib = ~(1) = 467,86
Die fUr die Berechnung von db und bd, vgl. S. 68f, mal3geblichen Daten aus Tab. 11.1 sind in hierfUr geeigneter Form in Tab. 11.2 zusammengestellt.
Tabelle 11.2: Daten zur Berechnung von ( bd , db)
di Vi = d. Ir.d. 1 J.
bi IIi b;lr.b j
1 50 7170 300 30170
2 200 28170 100 10170
3 100 14170 250 25170
4 150 21170 50 5170
500 1 700 1
Von der Struktur v(~) -c mit
e ty.~!OI) ) eO (1) Ix!
verl angt man
(11.1) S(v.,v(~» = c(v(~» 1 -c -c ~(1) , 'dieM
(11.2) e(v(~» -c W(O'.Y.~~»
(11.3) e(v(~» c min {max{w(t,v(M»}}
(M)e{mPm} te~ -c
Es wurde bereits ausgefUhrt, vgl. S. 67f, daB diese Bedingungen widerspruchsfrei sind. (11.1) zeichnet genau m! bezUglich der Kapazitatsrestriktion optimale Strukturen aus; mit (11.2) wird diese Klasse auf jene (m-1)! Strukturen verringert, fUr die das Maximum der impZizierten Zeitreihe w(.) auf den Zeitpunkt t=O fallt; unter diesen gibt es (mindestens) eine Struktur mit minimalem implizierten Maximum, die in der durch (11.3) ausgezeichneten Klasse enthalten ist. Bei der Berechnung von Ix! werden
- 124 -
die Eigenschaften (11.1) und (11.2) durch Konstruktion gesichert, wahrend (11.3) durch Enumeration zu etablieren ist.
FUr beliebige Permutationen (M)e{mPm} ist (11.1) dann erfUllt, wenn
(ILl')
wobei die Summationsreihenfolge durch (M) bestimmt, d.h. v(M) -c mit U~) vertraglich - vgl. (D2.4) - ist: :!.~M)ev(M)' Zur Siche-rung von (11.2) bzw. aquivalent
W(D,:!.~M)) ~ W(t,:!.~M)) , Vte<O,T> (hier: =1)
verlangt man ferner
(11.2')
l:Jh'_ l b. -b. - , h ' 1
l:~= 1 bh
> VjeM
wodurch die Menge der zulassigen Partitionen auf diejenigen begrenzt wird, die den Bedingungen
(11.4)
(11.5) ( d a l: hm _ 1 If. = l: mh _ 1 \j. = 1 ) -'h -'h
genUgen. Hieraus ergibt sich, daB in dem obigen Zahlenbeispiel die optimale Ordnung (M) nur mit i 1=1 oder i 1=3 beginnen kann, wobei i 2=2 oder i 2=4 sein muB:
(M) v U1) e(v(M)) -c -c
1 - 2 - 3 - 4 0 4/10 6/10 9/10 535 1 - 2 - 4 - 3 0 4/10 9/10 7/10 600
1 - 4 - 2 - 3 0 7/10 9/10 3/10 610 1 - 4 - 3 - 2 0 9/10 5/10 3/10 530 'l
3 - 2 - 4 - 8/10 4/10 0 7/10 565 3 - 4 - 2 - 1 8/10 7/10 0 3/10 575
- 125 -
Da keine weiteren Permutationen mit den Eigenschaften (11.4) und (11.5) existieren, findet man aus dieser Liste
• (FJ) 0 9 5 3 ( M) = (1, 4 , 3 , 2) ; ~c = (TO ' TO ' TO ' TO")
e(v(Fl)) = IxI = 530 -c
=> a2 = lxI/dl 530/325 1,6308
FUr die Ermittlung von v (4) e gel ten die obigen AusfUhrungen und
Beziehungen analog, und man findet
(M) v (~1) -e c(~~M))
2 - 1 - 4 - 3 6/14 0 12/14 7/14 382,14 2 - 1 - 3 - 4 6/14 0 11/14 12/14 428,57
2 - 3 - 1 - 4 11/14 0 5/14 12/14 403,57
4 - 3 - 1 - 2 11/14 13/14 5/14 0 410,71
4 - 1 - 2 - 3 6/14 8/14 13/14 0 378,57 4 - 1 - 3 - 2 6/14 13/14 11/14 0 435,71
Also is t
(M) (4,1,2,3) ; v(M) 6 8 13 0 (14 ' 14 ' 14 ' 14) = -e
c(v(M)) -e = ell = 378,57
=> a l = Ib /ell = 467,86 / 378,57
11.2 Optimierung mit (e,c)
Mit ni!=2,027 ist ,i!=B/n*=49,33 und daher
'V * * e(,) ,·Ib 23.081 'Y i! it c(, ) = , ·eII = 16.033
1,236
26.147 18.676
i!
- 126 -
Wir ermitteln nunmehr optimale bzw. Naherungslosungen fUr folgende Tupel von Beschrankungswerten:
(a) (e,c) > (~(Tit) , CO(Tit »
(b) (e,c): _ "'( it) C ~ C T
( c) (e,c): "'it_Oit e(T )<e<e (T ) "'it_Oit C(T }<c<c (T )
1m Fall (a) liegt eine aktive Restriktion nicht vor; im Fall (b) dominiert eine starke Kapazitatsrestriktion, wahrend im Fall (c) eine harmonische Ausstattung mit Lagerraum und Finanzmitteln vorliegt.
II.2(a) Inaktive Restriktionen
Wegen bCO(T it } ist yit:=y~M}. t1an findet also mit (L2):
(Ba.l)
=>
~(Tit) = Ib OT it = 23.081
CO(T It } = db OT It = 18.676
iiit = nit, K(iiltoll) = K(nltoll} = 5.675
FUr die Berechnung einer vergleichbaren Losung mit Hilfe des statischen Modells ist (L3) zunachst in der Weise zu erweitern, daB beide Restriktionen als schwache Ungleichungen explizit eingefUhrt werden l }. Bezeichnet dann vI den Multiplikator der Kapazitatsbeschrankung und v2 den der Budgetrestriktion, so lauten die KUHN/TUCKER-Bedingungen fUr eine optimale Losung des erweiterten Problems in kompakter Form2):
1
(11.6) IJ=1 -it m OJ m [2Clj r c Xj I j =1 _it I'- 1 ~
nj J- p.oC2.-2vl-2v20P' -J J J
1
IJ=1 -it
Ij=1 Bi
Ij= 1 2Cl. :2
(11.7) p.o[ J )~e Yi ii~ J p.oC2.-2vl-2v20P. -
J J J J
1) Zur Formulierung des erweiterten Modells, zur Ableitung der folgenden KUHN/TUCKER-Bedingungen, und zum Beweis der Eindeutigkeit des durch diese erklarten stationaren Punkts vgl. etwa GUE/THOMAS (1968, S. 49ff).
2} Die Nichtnegativitatsbedingungen iij~o, YjeM, erUbrigen sich hier wegen (11.8), S.u.
- 127 -
(11.8) ~1 ~ 0, ~2 ~ 0
Aus diesen Bedingungen ist (wieder durch Probieren) die optimale Losung zu berechnen. Solange nur einer der beiden Multiplikatoren von Null verschieden, d.h. nur eine der beiden Beschrankungen aktiv, ist, bereitet dies keine Schwierigkeiten. Sind jedoch beide Multiplikatoren simultan so zu bestimmen, daB (11.6) und (11.7) als Gleichungen (aktive Restriktionen) gel ten, so ist diese Aufgabe manuell kaum mehr zu bewaltigen 1).
Ein Tupel, das der Voraussetzung (a) entspricht, ist etwa (e,e) = (25.296 , 18.840). HierfUr findet man mit (11.6) bis (11.8), der modifizierten Losung (L3'),
(Ba.2) ~1
1
2
3 4
-0,036
-* ni
3,010 2,530 2,615 2,752
10,907
~2 -0,045
-* -* Yi xi
9.967 1. 661 3.952 7.905 9.560 3.824 1. 817 5.450
25.296 18.840
II.2(b) Dominante Kapazitatsrestriktion
KC!J.*) 5.904
Der Voraussetzung (b) entspricht u.a. das Tupel (e,e) = (27.700 , 15.100). Wegen a>a 2 gilt hier v*:=v(~), und man findet mit (L2): -c
(Bb. 1) n . - IDle = 2,152 T'-. - Bin = 46,468
~(T) = e ; eO(1) 1'txl = 24.628 < e => n*:=max{n*,n} = n K (n*'11) = 5.684
Aus einer Verminderung der Lagerkapazitat urn 5,8% gegenUber ~(T*) ergibt sich also ein Lagerkostenzuwachs von 0,15% gegenUber K(n*.ll).
1) Aus diesem Grunde treten hier und im weiteren fUr (e,c) keine glatten Zahlen auf - diese Werte wurden retrograd errechnet, urn groBere Rundungsfehler zu vermeiden.
- 128 -
1m Vergleich hierzu liefert (L3') folgende Werte:
(Bb. 2) III
1
2
3
4
-0,152
-* n i
2,744 3,555 2,632 3,893
12,824
112
-* Yi
10.933 2.813 9.498 1. 284
24.528
= 0 K(~*) = 6.241
-* xi
1. 822 5.625 3.800 3.853
15.100
Erachtet man die Lagerkosten dieser Losung als zufriedenstellend, K = K(~*) 6.241, so liefert die invertierte Losung (L2')
(Bb.3) 'V n(K) 3,1567 'V B/'il = 31,6786 n . - = T . -
und eO(~) = 16.790 mit ~(~) = 10.296 oder ~(~) = 14.821 mit con) = 11. 99 3
II.2(c) Harmonische Restriktionen
Offenbar erfUllt folgende Losung des statischen Modells die Voraussetzung (c):
(B c. 1) III -0,055 112 -0,042 K(~*) 6.003
-* -* -* n. Yi xi 1
1 3,002 9.993 1. 666 2 2,745 3.643 7.287 3 2,658 9.404 3.763 4 3,186 1. 568 4.708
---11,591 24.612 17.424
- 129 -
Sei also (e,e) = (24.612 , 17.424), so daB ein substitutiver Anlieferplan erforderlich wird. Bessere der beiden einseitigen
Strukturen ist wegen
e/db = 45,55 < 46,44 = e/txf
offen bar v(M) mit der Extremallosung -c
-. T +
2,15 => K(n+.ll) = 5.684
so daB durch Ermittlung einer optimalen substitutiven Struktur maximal
K(n+.ll) - K(n*.ll) 9 GE ;:; 0,15%
pro Planperiode eingespart werden konnen. Gesucht ist nun eine substitutive Struktur v* mit
( II. 9) e e
min{~ , ~} -. e (~) c (~ )
- * -T -> (T )
FUr die angenommenen Beschrankungswerte ist a=e/e=I,4125. Geht (M) man dann von der besseren einseitigen Struktur v als Anfangs--c
losung aus, so is t \1egen
(0 9 5 3 v (~1) ~ = , TO , TO TO) = -c
+ txf 530 + dI = 325 e (~) = = , c (~) = + + 1,6308 => e (~)/c (~) = a2 > a
zunachst e+(~) bestimmend fUr T, und entsprechend (11.9) sucht man ein v* mit
24.612
49,33 wobei
Nach Konstruktion von v(~) ist nun -c
498,9256
* T = T => K(ri.U) = K(n*.U)
- 130 -
FUhrt man dann ein 8v 1>0 bzw. aquivalent (aber mit unverandertem Bezugspunkt v1=v 1=0)
8V 2 = 8V 3 = 8V 4 -8v 1
ein, so ist - + ~m + w(O,y') = e (y) - 8V 1°L.j=2 bj < e (y)
und
wobei c + (y' ) > + c (y) A
Aus dem Ziel
(11.10) e + (y' ) 1 efT *
ergibt sich
* + e Toe (y) -8V 1 =
*I4 T j=2 bj 0,0776
und man prUft leicht nach, daB fUr diesen spezifischen Wert - + w(O,y') = e (y'),
das Maximum der Zeitreihe w(o) also weiterhin an der Stelle t=O liegt. Die resultierende Struktur
y' = (0 ; 0,8224 ; 0,4224 ; 0,2224)
ist also effizient; ferner genUgt sie mit e+(y' )=498,9256 und c+(y' )=328,88 zwar nicht den Anforderungen fUr bedingte Optimalitat (bezUglich v(~)),
(11.11) + + e (y')/c (y') = a ere
vermittelt aber wegen ErfUllung der Eigenschaft (11.10) eine mit ~=T· global optimale Losung, in der weder enoch c eine wirksame (aktive) Restriktion darstellen.
- 131 -
Das allgemeine Verfahren zur Berechnung (bedingt) optimaler substitutiver Strukturen laBt sich folgendermaBen beschreiben: Man reduziert schrittweise das oder die e+(~) definierenden lokalen Maxima w(v.,v) - und damit zugleich die entsprechenden
1 -
s(vi ,~) -, wodurch die in M komplementaren w(Vj'~) und S(Vj'~)
- und damit zugleich c+(~) - erhoht werden. Dadurch findet eine zunehmende Plafondierung der maximalen w(v. ,v) und zu-
1 -
gleich eine zunehmende Differenzierung der s(v.,v) statt: 1 -
Die Zahl der ieMw' - +
~'w := {ier·,: w(v i ,~)=e (~)}
nimmt im gleichen MaBe zu, wie die der jeM s '
Ms := {ier'l: sty· ,v)=c+(v)} 1- -
abnimmt, da nach Definition der effizienten Struktur stets gilt
i~Mw => ier,s' i~Ms => ieMw
Die Lange jedes einzelnen Schrittes ist dabei immer entweder
durch den Obergang eines jeMs in die Teilmenge Mw oder
durch ErfUllung der Forderung (3.39) fUr bedingte oder (3.40) fUr absolute (globale) Optimalitat
bestimmt. Da bei vollstandiger Plafondierung der ursprUnglich impZizierten Zeitreihe w(.) Uber m Zwischenschritte die nichtsubstitutive und daher auch nichtoptimale Struktur v(~) erreicht -e wUrde, folgt hieraus zusammen mit den Ergebnissen des Abschn. 3.4.3.2, daB jede einseitige Ausgangslosung ~~M) in hochstens m Schritten in eine bedingt oder absolut optimale Struktur UberfUhrt werden kann. Dasselbe gilt, bei sinngemaB umgekehrter BegrUndung, auch fUr alle Ausgangslosungen v(M). -e
- 132 -
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Band 43
Band 44
Band 45
Band 46
Band 47
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Die »braune Reihe« Die Schriftenreihe "Beitrage zur betriebswirtschaftlichen Forschung" dient vornehmlich der VerOffentlichung von besonders qualifizierten Arbeiten des wissenschaftlichen Nachwuchses, ohne dabei bestimmte Schulen oder Richtungen der Betriebswirtschaftslehre zu bevorzugen. Die Reihe ist zwar in erster Linie der wissenschaftlichen Forschung verpflichtet, kann aber auch der betrieblichen Praxis wertvolle Anregungen geben.
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Entscheidungsorientierte Informationsbewertung 1975. 216 S. Folieneinband
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