Embed Size (px)
Citation preview
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11B« Γεωμετρική οπτική - οπτικά όργανα»
Διάθλαση– Πρίσματα – Φακοί
Μαρία Κατσικίνη[email protected]/~katsiki
Διάθλαση του φωτόςπροσπίπτουσα
θ θ
ανακλώμενη
δ
διαθλώμενη
η1
η2
ΑΑ.. Η προσπίπτουσα, η διαθλώμενη και η κάθετη στο σημείο πρόσπτωσηςείναι συνεπίπεδες.
ΒΒ.. Η γωνία διάθλασης εξαρτάται από τη γωνία πρόσπτωσης και από τουςδείκτες διάθλασης των δύο μέσων σύμφωνα με το νόμο του Snell:
ΝόμοιΝόμοι τηςτης διάθλασηςδιάθλασης
δηθη sinsin 21 =
Διάθλαση του φωτός
προσπίπτουσα
θ θ
ανακλώμενη
δ
διαθλώμενη
η1
η2
προσπίπτουσα
θ θ
ανακλώμενη
δ
διαθλώμενη
η1
η2
η1 < η2 η1 > η2
διάδοση από οπτικώς αραιότερομέσο σε οπτικώς πυκνότερο
διάδοση από οπτικώς πυκνότερομέσο σε οπτικώς αραιότερο
δ < θ δ > θ
ΆσκησηΝα βρεθεί η γωνία διάθλασης(α) μιας δέσμης που διαδίδεται από τον αέρα σε γυαλί με δείκτη διάθλασης 1.50. Η γωνία πρόσπτωσης είναι 40ο. (β) μιας δέσμης που διαδίδεται από γυαλί στον αέρα. Η γωνία πρόσπτωσης είναι20ο.
40ο
δ
αέραςηα=1
γυαλίηγ=1.5
20ο
δ
γυαλίηγ=1.5
αέραςηα=1
°=⇒⋅==°⋅⇒=
4.25sin5.1
40sin1sinsin 21
δδδηθη
°=⇒⋅==°⋅⇒=
9.30sin1
20sin5.1sinsin 21
δδδηθη
θ1
δ1
ηδ1
ΆσκησηΝα δειχτεί ότι η διαθλώμενη δέσμη από ένα πλακίδιο δείκτη διάθλασης η εξέρχεταιαπό αυτό παράλληλα στην προσπίπτουσα.
1111 sinsinsinsin δηθδηθηα =⇒=
θ2
1η διαχωριστική επιφάνεια
2121 sinsinsinsin θδηθηδη α =⇒=
2η διαχωριστική επιφάνεια
11
22
11 22&
2121 sinsin θθθθ =⇒=
Ολική ανάκλαση
θ θ
δ
η1
η2
διάδοση από οπτικώς πυκνότερο μέσο σε οπτικώς αραιότερο (η1>η2)
θ θ
δ
η1
η2
θ θ
η1
η2
1
2sinηηθορ =
δ
°= 90δΟρική γωνίαπρόσπτωσηςγια να συμβεί
ολικήανάκλαση
Ολική ανάκλαση
θ θ
η
αέρας
δ
ηθ 1
sin =
Διαχωριστική επιφάνειανερού – αέρα(ηνερού = 1.33)
°=⇒= 8.4833.1
1sin θθ
αέρας
νερό
ΆσκησηΜία φωτεινή ακτίνα διαδιδόμενη μέσα σε γυάλινο κύβο (η=1.6) προσπίπτει στηνπάνω επιφάνειά του υπό γωνία 55ο ως προς την κατακόρυφο. Αν επικαθίσει έναστρώμα λαδιού στην πάνω επιφάνεια του κύβου, η ακτίνα υφίσταται ολικήανάκλαση. Ποιός είναι ο δείκτης διάθλασης του λαδιού;
θ=55ο
η=1.6
η<1.6
Ορική γωνία για να συμβεί ολική ανάκλασηστη διαχωριστική επιφάνεια γυαλιού - λαδιού
31.155sin6.1sinsin =⋅=⋅=⇒= θηηηηθ γλγ
λ
ΆσκησηΈνα επίπεδο κάτοπτρο έχει τοποθετηθεί στον πυθμένα ενός διαφανούς δοχείουπου περιέχει νερό και σχηματίζει γωνία 10ο με το οριζόντιο επίπεδο. Μια στενήμονοχρωματική δέσμη προσπίπτει στην επιφάνεια του νερού με γωνία θ. Εάν οδείκτης διάθλασης του νερού είναι 4/3 να προσδιοριστεί η μέγιστη γωνία θ για τηνοποία το φως μετά την ανάκλαση στο κάτοπτρο θα αναδυθεί από την επιφάνειατου νερού.
10ο
θ
δ
δ+10
δ+10+10=δ+20 90-δ-20=70-δ
°=⇒=== 6.484
3
341
sin1
2ορορ θ
ηηθ °=⇒+= 6.28206.48 δδ
90-(70-δ)=20+δ
°=⇒==⇒= 7.39638.0sin3
4sinsinsin 21 θδθδηθη
δ
Οπτικές ίνες
in
outc η
ηθ =sin
50μm120μm
ηοut=1.47
ηin=1.50θ θr
Χρησιμοποιούνται : στις τηλεπικοινωνίες για τη μεταφορά σημάτωνστα ενδοσκόπια (ιατρική)
Οπτικές ίνες
θ
θ
Ενδοσκόπηση - βιοψία
Ενδοσκόπιο
Το πρίσμα
Α
η
θ1 δ1 δ2
θ2
ε
διαθλαστικήγωνία
γωνίαεκτροπής
Α
Πρίσμα: δύο επίπεδα που χωρίζουν διαφανές μέσο(π.χ. γυαλί) από το περιβάλλον του (συνήθωςαέρας)
κύριατομή
θη
θ
δέσμη
μονοχρ
ωματικο
ύ
φωτός
Γωνία εκτροπής πρίσματος
Α
η
θ1 δ1 δ2
θ2
ε
Β
Δ
Γ
( ) ( )2211 δθδθε −+−=
21AAˆ δδΓΒΔ +=⇒=′
αμοιβαία κάθετες πλευρές
A−+=⇒⇒−+−=⇒
21
2211
θθεδθδθε
Δ΄
η γωνία εκτροπής εξαρτάται από τηγωνία πρόσπτωσης και από τηγωνία ανάδυσης (εξόδου) η οποίαμε τη σειρά της εξαρτάται από τηγωνία πρόσπτωσης …
35 40 45 50 55 60 65 70
52
54
56
58
60
62
64
ε (o )
θ1 (o)
γωνία ελάχιστηςεκτροπής
Α
Γωνία ελάχιστης εκτροπής
A−+= 21 θθεΑ
η
θδ δ
θε
Β
Δ
Γ
21 δδ +=A
γωνία ελάχιστης εκτροπής (εm)για γωνία πρόσπτωσης = γωνία ανάδυσης
22
AA m
m
+=⇒−=εθθε
Snell στο Δ:
2sin
2sin
2sin
2sinsinsin1
A
AAA
m
m
+
=⇒⋅=+
⇒⋅=⋅
ε
ηηεδηθ
δ2=A
Χρήσιμη μέθοδος προσδιορισμού του δείκτη διάθλασης ενός υλικού
Γωνία ελάχιστης εκτροπής
2sin
2sin
A
Am +
=
ε
η
35 40 45 50 55 60 65 70
52
54
56
58
60
62
64
ε (o )
θin (o)
Γωνία ελάχιστης εκτροπής
°= 5.52mε
66.1=η
Α=60ο
Λεπτό πρίσμα
Α
η
A−+= 21 θθε
Α
η
θ1 δ1 δ2
θ2
ε
Β
Δ
Γ
Α μικρήπρόσπτωση σχεδόν κάθετη
δ1 : μικρή δ2 : μικρή21 δδ +=A
Snell στο Δ:
Snell στο Γ:1111 sinsin1 δηθδηθ ⋅=⇒⋅=⋅
2222 sin1sin δηθθδη ⋅=⇒⋅=⋅( )A1−= ηε
Τύπος λεπτώνπρισμάτων
Άσκηση
Στο σχήμα τα πρίσματα ΒΑΓ και ΑΒΔ έχουν διαθλαστικές γωνίες x=45ο και y=90ο
και δείκτες διάθλασης και αντίστοιχα. Φωτεινή ακτίνα πέφτεικάθετα στην ΓΒ. Να βρεθεί η εκτροπή της ακτίνας.
31 =η 22 =η
x
yη1
η2Β Δ
ΑΓ
45ο °=⇒=⇒
⇒=⇒=
602
2
2
3sin
sin245sin3sin45sin 21
δδ
δδηη
δ=60ο
45ο30οδ’
°=′⇒′⋅=⇒′⋅= 45sin12
12sin130sin2 δδδη
* παράλληλη μετατόπιση
Διασκεδασμός
Διασκεδασμός: Εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από το μήκος κύματος
wikipedia
Προσεγγιστικός τύποςτου Cauchy:
( )2λ
λη BA+=
Διασκεδασμός
η
λ
Αεε
( )A1−= ηε
κοκιωδ ηη >
κοκιωδ εε >
φάσμα
Διασκεδασμός
Δείκτης διάθλασηςμπλε (486.1 nm) ηF
κίτρινο (587.6 nm) ηD
κόκκινο (656.3 nm) ηC
Κύριος διασκεδασμός : ηF – ηC
Διασκεδαστική ικανότητα ή αναλυτική ισχύς:1−
−=
−=
D
CF
D
CFDη
ηηεεε
HeH
ΗΛΙΑΚΟ ΦΑΣΜΑ
για λεπτό πρίσμα
Φακοί
Σύστημα δύο γυάλινωνσφαιρικών και ομοαξονικώνδιαθλαστικών επιφανειών
Συγκλίνοντες φακοί (συγκεντρωτικοί) Αποκλίνοντες φακοί
αμφίκυρτος
επιπεδόκυρτος
μηνίσκος αμφίκοιλοςεπιπεδόκοιλος
μηνίσκος
Χαρακτηριστικά των λεπτών φακών
κύριοςάξονας
Κ1 Κ2
R1R2
Ο οπτικόκέντρο
δευτερεύωνάξονας
F
κύριαεστία
Λεπτός φακός: το πάχος του θεωρείται αμελητέο
Εστιακό επίπεδο: επίπεδο κάθετο στον κύριο άξονα που περιέχει την κύρια εστία
F
Εστιακή απόσταση: απόσταση κύριας εστίας – κέντρου
Συγκλίνων φακός
Παράλληλη δέσμη που διέρχεται από συγκλίνοντα φακό συγκλίνει στοεστιακό σημείο (εστία) του φακού.
F
f
εστιακή απόσταση
Αποκλίνων φακός
Παράλληλη δέσμη που διέρχεται από αποκλίνοντα φακό αποκλίνει έτσιώστε οι διαθλώμενες από το φακό ακτίνες να φαίνεται ότι προέρχονται απότο εστιακό σημείο (εστία) του φακού.
F
f
εστιακή απόσταση
Απεικόνιση με συγκλίνοντα φακό
F
Για την απεικόνιση με ένα φακό αρκούν δύο ακτίνες
(1) Ακτίνα που διαδίδεται πάνω στον κύριο άξονα δεν εκτρέπεται
(1)
(2) Ακτίνα που διαδίδεται παράλληλα στον κύριο άξονα ότανδιαθλασθεί από τον φακό διέρχεται από την κύρια εστία του
F
(2)
(3) Ακτίνα που διέρχεται από την κύρια εστία του φακού, ότανδιαθλασθεί από τον φακό διαδίδεται παράλληλα στον κύριο άξονα
(3)
(4) Ακτίνα που διέρχεται από το κέντρο του φακού δεν εκτρέπεται
(4)
Απεικόνιση με αποκλίνοντα φακό
F
Για την απεικόνιση με ένα φακό αρκούν δύο ακτίνες
(1) Ακτίνα που διαδίδεται πάνω στον κύριο άξονα δεν εκτρέπεται
(1)
(2) Ακτίνα που διαδίδεται παράλληλα στον κύριο άξονα όταν διαθλασθείαπό τον φακό φαίνεται ότι προέρχεται από την κύρια εστία του
F
(2)
(3) Ακτίνα που διέρχεται από φακό έτσι ώστε η προέκτασή της ναδιέρχεται από την κύρια εστία, διαδίδεται παράλληλα στον κύριο άξονα
(3)
(4) Ακτίνα που διέρχεται από το κέντρο του φακού δεν εκτρέπεται
(4)
Απεικόνιση αντικειμένου με συγκλίνοντα φακό
FF
αντικείμενο
είδωλο
FF
αντικείμενο
είδωλο
Απεικόνιση αντικειμένου με αποκλίνοντα φακό
FF
αντικείμενο είδωλο
FF
Μαθηματική περιγραφή της απεικόνισης φακού
FF
αντικείμενο
είδωλο
ΣΥΜΒΑΣΗ ΠΡΟΣΗΜΟΥ
Η πρόσπτωση θεωρείται ότι γίνεται από τα αριστερά προς τα δεξιά
Οι ακτίνες καμπυλότητας θεωρούνται θετικές για κυρτές επιφάνειες καιαρνητικές για κοίλες
s s΄
f
Η s θεωρείται θετική όταν το αντικείμενο βρίσκεται αριστερά του φακού
Η s΄ θεωρείται θετική όταν το είδωλο σχηματίζεται δεξιά του φακού (πραγματικό) και αρνητική όταν σχηματίζεται αριστερά του φακού (φανταστικό)
Η f θεωρείται θετική για συγκλίνοντα φακό και αρνητική για αποκλίνοντα
Χρήσιμες εξισώσεις
ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΩΝ ΤΩΝ ΦΑΚΩΝ
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−==
21 R
1
R
11
f
1P η
• η εστιακή απόσταση είναι ίδια για τις δύο πλευρές του φακού αν αυτός είναι λεπτός• η εστιακή απόσταση εξαρτάται από το υλικό που είναι κατασκευασμένος ο φακόςκαι από την καμπυλότητά του
ΕΞΙΣΩΣΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ
ssf ′+=
111
Ισχύς του φακού
Μονάδα μέτρησης : 1 διοπτρία (=1m-1)
ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ
s
s
h
hm
′−=
′=
Φακοί σε σειρά
∑= iPP
P1 P2
Η ισχύς ενός συστήματος λεπτών φακών που βρίσκονται σεεπαφή ισούται με το άθροισμα των ισχύων των φακών του
συστήματος
ΆσκησηΈνας συγκλίνων φακός έχει εστιακή απόσταση 15cm. Για ένα αντικείμενο σεαποστάσεις 20cm και 5cm προσδιορίστε (γραφικά και ποσοτικά): α) τη θέση τουειδώλου, β) τη μεγέθυνση, (γ) το είδος του ειδώλου (πραγματικό ή φανταστικό) (δ) αν το είδωλο είναι ορθό η ανεστραμμένο
F F
cms
sssf
60
1
20
1
15
1111
=′⇒
′+=⇒
′+=
320
60−=−=
′−=
s
sM
(α)
(β)
(γ) πραγματικό (s΄>0)
(δ) ανεστραμμένο (Μ<0)
F F
cms
sssf
5.7
1
5
1
15
1111
−=′⇒
′+=⇒
′+=
5.15
5.7=
−−=
′−=
s
sM
(α)
(β)
(γ) φανταστικό (s΄<0)
(δ) ορθό (Μ>0)
ΆσκησηΑποκλίνων φακός f=-10cm σχηματίζει ένα πραγματικό είδωλο ύψους 1cm σεαπόσταση 15cm προς τα δεξιά του φακού. Προσδιορίστε τη θέση και το μέγεθοςτου αντικειμένου. Είναι ορθό το είδωλο ή ανεστραμμένο;
cms
sssf
6
15
11
10
1111
−=⇒
+=−⇒′
+=
5.26
15=
−−=
′−=
s
sM
ορθό είδωλο (Μ>0)
6cm δεξιά του φακού
h =h΄ / 2.5 =0.4 cm
ΆσκησηΣε συγκλίνοντα φακό (R1=30m, R2=40m) πέφτει λευκό φως. Εάν ηC=1.58 καιηF=1.61 να μελετηθεί η εικόνα που θα παρατηρηθεί μέσω του φακού.
( )
( ) m6.29f40
1
30
1158.1
f
1
R
1
R
11
f
1
CC
21C
C
=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−−=⇒
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= η
FC
( )
( ) m1.28f40
1
30
1161.1
f
1
R
1
R
11
f
1
FF
21F
F
=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−−=⇒
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= η
FF
Χρωματική εκτροπή
ΆσκησηΌταν ένα αντικείμενο τοποθετείται 50cm από ένα λεπτό συγκλίνοντα φακόδημιουργείται πραγματικό είδωλο σε απόσταση 33.33cm από το φακό. Όταν έναςλεπτός αποκλίνων φακός τοποθετηθεί σε επαφή με τον συγκλίνοντα η απόστασητου ειδώλου γίνεται 50cm. Ποια είναι η εστιακή απόσταση του αποκλίνοντοςφακού;
111
11 cm05.0P
33.33
1
50
1P
s
1
s
1
f
1P −=⇒+=⇒
′+==
P1 P2
121tot221 cm01.005.004.0PPPPPPP −−=−=⇒−=⇒+=
1tottot
tottot cm04.0P
50
1
50
1P
s
1
s
1P −=⇒+=⇒
′+=
cm10001.0
1f
f
1P 2
22 −=−=⇒=
