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广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2. 201 1 . 11 . 4. 课程安排. 复习内容: 引力红移实验、Einstein转盘、等效原理之LPI 新内容: 等效原理=>度规理论、 LIF 条件 、7.6节、Einstein方程简介 下次课:物理时间和长度、Schwarzchild度规. h——>0 第二个信号发出=第一个信号到达. Doppler effect 匀速 加速 v= g(h/c) SR匀加速系——7.6节. t. t '. P. P'. z. 回顾. Einstein引力场=弯曲时空? 四点. 转盘——非欧几何——空间弯曲 - PowerPoint PPT Presentation
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广义相对论课堂 15等效原理和弯曲时空度规理论
2
2011.11.4
课程安排• 复习内容:引力红移实验、 Einstein 转盘、
等效原理之 LPI
• 新内容:等效原理 => 度规理论、 LIF 条件、7.6 节、 Einstein 方程简介
• 下次课:物理时间和长度、 Schwarzchild度规
h——>0第二个信号发出 = 第一个信号到达
• Doppler effect– 匀速
• 加速– v= g(h/c)– SR 匀加速系—— 7.
6 节
t t '
z
P
P'
回顾
Einstein 引力场 = 弯曲时空?四点
• 转盘——非欧几何——空间弯曲• 闵氏时空一体几何• 引力时间膨胀 = 时间弯曲• 潮汐引力• ( 我补充 Schild)
• 前 3 不一定时空弯曲
Einstein 转盘:数量杆数目• L0= 桌面测得外围周长• L= 转盘系测得自身盘周长
0000
-1/2
2
2
LLLLL
L
C
V-1
,
量杆 rod=ruler 尺子
Einstein 等效原理
WEP
LLI=Local Lorentz Invariance
LPI=Local Position Invariance
LPI=Local Position Invariance
• The outcome of any local non-gravitational experiment is independent of where and when in the universe it is performed.– 局域非引力同 LLI——EEP vs SEP– 何地——引力红移实验 GRE– 何时——物理学常数– 上两者合起来——时空 position
火箭红移实验同时检验 LPI
(自动)雷达异频收发机
○
EEP— 》 Metric Theory
Metric theory
• 1 、 Spacetime is endowed with a symmetric metric gμν.
• 2 、测地线– The trajectories of freely falling test bodies
are geodesics of that metric.
• 3 、 local SR = LLI – In local freely falling reference frames, the
non-gravitational laws of physics are those written in the language of special relativity.
第一点:时空有一个度规结构
WEP+LLI
线元——度规张量分量、函数
• Weinberg 坐标变换讲述——例:平面几何极坐标—— Hartle 2.6– 习题 7.7
张量的坐标变换定义
第一点之二:度规——坐标
度规张量 g
度规分量度规函数
度规 = 实对称矩阵• 看成矩阵• 实对称矩阵 gμν=gνμ
– ds2=gμνdxαdxβ=1/2(gμν+gνμ) dxαdxβ+1/2(gμν-gνμ)dxαdxβ
– 对角化归一化– 习题 7.8– 四维时空独立分量几个?
• 10
度规函数相当于场的势函数• 弱场• 1+
• c=1
Metric theory 讲了 1 ,第 8 章 2下面讲 3
• 1 、 Spacetime is endowed with a symmetric metric gμν.
• 2 、测地线– The trajectories of freely falling test bodies
are geodesics of that metric.
• 3 、 local SR = LLI – In local freely falling reference frames, the
non-gravitational laws of physics are those written in the language of special relativity.
局部惯性系Local Inertial Frame
物理意义条件
局部惯性系意义• WEP 自由下落
– preferred 轨迹——测地线 §8– 力学起点 IF :
• LIF– local time!– 时间延伸—— FFF——IF
• 测试粒子——实验—— LLI– = 推导第一步
GR on SR
局部惯性系 2 个条件Cartersian or Lorentz
• 条件一: g'μν(x'p)=ημν
– 局域平直时空– 势的绝对值无意义——零点任意
• 条件二:– 意义:偏导数 = 势梯度 = 引力 =0
• 条件一 + 条件二!• 非条件:二阶偏导数——不全为 0
– 意义: 20 个独立的组合(第 454 页)曲率 Einstein 方程
0x
g
pxx
局部惯性系例子• 极坐标 (r=1,0)
• 习题 2.7
• 球面球极坐标——例 7.2
• 匀加速系 (ξ1=0)
• 转动系——习题 7.3
r=0 r=1
条件1
条件2
球面上的 LIFCartersian
图直观地看 ( 极点俯视 ),
一点 ( 极点 ) 满足 2 条件
......dydxds
3/sin
yxa
ydxxdyd,
yxa
ydxxdyd
y/x)(tan,ayx
sin ay,cosax
222
3
2222
1-22
EEP— 》 Metric Theory
推导第一步WEP 给出 LIF
• WEP 自由下落– preferred 轨迹——测地线 §8– 力学起点 IF :
• LIF– local time!– 时间延伸—— FFF——IF
• 测试粒子——实验—— LLI– = 推导第一步
推导第二步LLI 强烈约束
• 二阶张量场为例– ψ(1) 、 ψ(2)......– φ(1)(P)η、 φ(2)(P)η......– φ(1)(P) 标量场—— Point
•例: boson 、 fermion 、 Faraday
推导第三步LPI== 》系数 =1
• 第一种可能 = 最简单– φ(A)(P) 常数 = 》 ψ(1)=φ(1)(P)η常系数– 归一化——坐标 + 耦合常数(如单位电荷) rescalin
g 重新标度• 第二种可能
– 所有标量场是不同比例的同一个标量场• φ(A)(P)=C(A)φ(P)
– 例:精细结构常数、长度测量– 归一化——单位重新定义 = 耦合常数 rescaling+ 场“
共形” conformal 变换• 总结两种可能 )( rescaling LIFηψ
ηψψ -1
推导第四步微分几何、张量分析
度规张量
张量的坐标变换定义
(任意坐标))(
g
ηψ
rescaling LIF
Clifford Will
• Thorne 学生——精确解• Will, C.M., Theory and experiment in gravitationa
l physics, (Cambridge University Press, 1993), 2nd edition 图书馆有第 1 版
• The Confrontation between General Relativity and Experiment– Living Rev. Relativity, 9, (2006), 3
• http://www.livingreviews.org/lrr-2006-3– Living Reviews in Relativity
• Max Planck Institute for Gravitational Physics• (Albert Einstein Institute)• Am M¨uhlenberg 1, 14424 Golm, Germany
坐标
有印象就行各种问题自然出现
(弯曲)时空的一般描述Hartle 第 7 章
也可平直时空中的曲线、加速、转动系(纯数学)空间• 匀加速系 (ξ1=0)
• 转动系——习题 7.3
不存在全局惯性系global
• 有局部,但与全局坐标变换非处处相同• 全局笛卡尔直角坐标系——球面 ×
• 没有全局的参考系(平直时空的惯性观者),但是有全局坐标系
• 参考系 / 观者 = 相同运动态的钟尺系统 /网格 =
• 微分几何数学可严格证明——有曲率则不存在
全局坐标系及其由来• 任意、只要提供了几何点的独一无二的标记,例如任意单值函数
• 可以从几何或物理角度,例如双曲极坐标、同一匀加速的观者群
• 活动标架--一条世界线=一个观者(已经确定了时间轴)+三个空间轴– 例:匀加速系
• 特定情况从对称性、 Einstein 方程解得 vs任意
• 奇性——坐标 vs 几何
坐标的意义• 不要太在意名称
– Hartel (7.4) vs (7.5)– 一般约定– 上下文
• 物理上某些坐标的意义在初始推导时设定了,其他要从线元分析得出——第 7.6 节
光锥、世界线和因果结构 7.5
• 局部惯性系--平直时空• 无穷小间隔——绝对
– 例如匀加速系– 习题 5.23(a)
• 类光--局部光锥• 类时-局部光锥内,速度小于当地光速• -世界线-固有时,公式• 全局整体--因果结构
7.6 长度、面积、体积和四体积
重点(固有)长度 ==> 坐标意义!
长度、面积、体积和四体积• 非对角-- Landau+Cook
• 对角=正交• 类似三维欧式空间面积和体积
–矢量分析——直观 Schey– 例:球面面积、球体体积
• 固有三体积和四体积– Jacobian
四体元• 推导
– 标正基下—— Jacobian– 度规的行列式——度规的定义
• 张量密度—— Weinberg
• 类时 ×类空– 物理上无意义– 四维 Gauss/Stokes 定理
类时间隔长度固有时 vs 坐标时
线元意义?取一个钟
坐标差值 == 》坐标意义——特定钟——非同地
匀加速系坐标变换和线元
回想推导过程:坐标怎么来的• ξ0 ?• ξ0=τ
– 线元 ==> 坐标钟的固有时– 不同坐标钟
• ξ1
钟固有时≠坐标时
匀加速系坐标网格
Einstein 方程简介• Riemann 曲率张量 R—— 》 Ricci 曲率标
量——》 Einstein 张量 G——g 二阶偏导数• 类似Maxwell 方程组—— Faraday—— 四
势矢量
引力时间膨胀• 静态弱场——自由落体思想推论
• 一般度规
一般度规下引力时间膨胀
类空间隔长度固有长度 vs 坐标长度
线元意义?同时线 / 面
雷达回波测距
正交时空坐标系下类空长度
• 同时线 / 面• 雷达回波
–光速为 1