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广广广广广广广 15 广广广广广广广广广广广广广 2 2011.11.4

广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

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广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2. 201 1 . 11 . 4. 课程安排. 复习内容: 引力红移实验、Einstein转盘、等效原理之LPI 新内容: 等效原理=>度规理论、 LIF 条件 、7.6节、Einstein方程简介 下次课:物理时间和长度、Schwarzchild度规. h——>0 第二个信号发出=第一个信号到达. Doppler effect 匀速 加速 v= g(h/c) SR匀加速系——7.6节. t. t '. P. P'. z. 回顾. Einstein引力场=弯曲时空? 四点. 转盘——非欧几何——空间弯曲 - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

广义相对论课堂 15等效原理和弯曲时空度规理论

2

2011.11.4

Page 2: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

课程安排• 复习内容:引力红移实验、 Einstein 转盘、

等效原理之 LPI

• 新内容:等效原理 => 度规理论、 LIF 条件、7.6 节、 Einstein 方程简介

• 下次课:物理时间和长度、 Schwarzchild度规

Page 3: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

h——>0第二个信号发出 = 第一个信号到达

• Doppler effect– 匀速

• 加速– v= g(h/c)– SR 匀加速系—— 7.

6 节

t t '

z

P

P'

Page 4: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

回顾

Page 5: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

Einstein 引力场 = 弯曲时空?四点

• 转盘——非欧几何——空间弯曲• 闵氏时空一体几何• 引力时间膨胀 = 时间弯曲• 潮汐引力• ( 我补充 Schild)

• 前 3 不一定时空弯曲

Page 6: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

Einstein 转盘:数量杆数目• L0= 桌面测得外围周长• L= 转盘系测得自身盘周长

0000

-1/2

2

2

LLLLL

L

C

V-1

量杆 rod=ruler 尺子

Page 7: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

Einstein 等效原理

WEP

LLI=Local Lorentz Invariance

LPI=Local Position Invariance

Page 8: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

LPI=Local Position Invariance

• The outcome of any local non-gravitational experiment is independent of where and when in the universe it is performed.– 局域非引力同 LLI——EEP vs SEP– 何地——引力红移实验 GRE– 何时——物理学常数– 上两者合起来——时空 position

Page 9: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

火箭红移实验同时检验 LPI

(自动)雷达异频收发机

Page 10: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

EEP— 》 Metric Theory

Page 11: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

Metric theory

• 1 、 Spacetime is endowed with a symmetric metric gμν.

• 2 、测地线– The trajectories of freely falling test bodies

are geodesics of that metric.

• 3 、 local SR = LLI – In local freely falling reference frames, the

non-gravitational laws of physics are those written in the language of special relativity.

Page 12: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

第一点:时空有一个度规结构

WEP+LLI

Page 13: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

线元——度规张量分量、函数

• Weinberg 坐标变换讲述——例:平面几何极坐标—— Hartle 2.6– 习题 7.7

张量的坐标变换定义

Page 14: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

第一点之二:度规——坐标

度规张量 g

度规分量度规函数

Page 15: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

度规 = 实对称矩阵• 看成矩阵• 实对称矩阵 gμν=gνμ

– ds2=gμνdxαdxβ=1/2(gμν+gνμ) dxαdxβ+1/2(gμν-gνμ)dxαdxβ

– 对角化归一化– 习题 7.8– 四维时空独立分量几个?

• 10

Page 16: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

度规函数相当于场的势函数• 弱场• 1+

• c=1

Page 17: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

Metric theory 讲了 1 ,第 8 章 2下面讲 3

• 1 、 Spacetime is endowed with a symmetric metric gμν.

• 2 、测地线– The trajectories of freely falling test bodies

are geodesics of that metric.

• 3 、 local SR = LLI – In local freely falling reference frames, the

non-gravitational laws of physics are those written in the language of special relativity.

Page 18: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

局部惯性系Local Inertial Frame

物理意义条件

Page 19: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

局部惯性系意义• WEP 自由下落

– preferred 轨迹——测地线 §8– 力学起点 IF :

• LIF– local time!– 时间延伸—— FFF——IF

• 测试粒子——实验—— LLI– = 推导第一步

Page 20: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

GR on SR

Page 21: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

局部惯性系 2 个条件Cartersian or Lorentz

• 条件一: g'μν(x'p)=ημν

– 局域平直时空– 势的绝对值无意义——零点任意

• 条件二:– 意义:偏导数 = 势梯度 = 引力 =0

• 条件一 + 条件二!• 非条件:二阶偏导数——不全为 0

– 意义: 20 个独立的组合(第 454 页)曲率 Einstein 方程

0x

g

pxx

Page 22: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

局部惯性系例子• 极坐标 (r=1,0)

• 习题 2.7

• 球面球极坐标——例 7.2

• 匀加速系 (ξ1=0)

• 转动系——习题 7.3

r=0 r=1

条件1

条件2

Page 23: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

球面上的 LIFCartersian

图直观地看 ( 极点俯视 ),

一点 ( 极点 ) 满足 2 条件

......dydxds

3/sin

yxa

ydxxdyd,

yxa

ydxxdyd

y/x)(tan,ayx

sin ay,cosax

222

3

2222

1-22

Page 24: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

EEP— 》 Metric Theory

Page 25: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

推导第一步WEP 给出 LIF

• WEP 自由下落– preferred 轨迹——测地线 §8– 力学起点 IF :

• LIF– local time!– 时间延伸—— FFF——IF

• 测试粒子——实验—— LLI– = 推导第一步

Page 26: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

推导第二步LLI 强烈约束

• 二阶张量场为例– ψ(1) 、 ψ(2)......– φ(1)(P)η、 φ(2)(P)η......– φ(1)(P) 标量场—— Point

•例: boson 、 fermion 、 Faraday

Page 27: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

推导第三步LPI== 》系数 =1

• 第一种可能 = 最简单– φ(A)(P) 常数 = 》 ψ(1)=φ(1)(P)η常系数– 归一化——坐标 + 耦合常数(如单位电荷) rescalin

g 重新标度• 第二种可能

– 所有标量场是不同比例的同一个标量场• φ(A)(P)=C(A)φ(P)

– 例:精细结构常数、长度测量– 归一化——单位重新定义 = 耦合常数 rescaling+ 场“

共形” conformal 变换• 总结两种可能 )( rescaling LIFηψ

ηψψ -1

Page 28: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

推导第四步微分几何、张量分析

度规张量

张量的坐标变换定义

(任意坐标))(

g

ηψ

rescaling LIF

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Clifford Will

• Thorne 学生——精确解• Will, C.M., Theory and experiment in gravitationa

l physics, (Cambridge University Press, 1993), 2nd edition 图书馆有第 1 版

• The Confrontation between General Relativity and Experiment– Living Rev. Relativity, 9, (2006), 3

• http://www.livingreviews.org/lrr-2006-3– Living Reviews in Relativity

• Max Planck Institute for Gravitational Physics• (Albert Einstein Institute)• Am M¨uhlenberg 1, 14424 Golm, Germany

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坐标

有印象就行各种问题自然出现

Page 31: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

(弯曲)时空的一般描述Hartle 第 7 章

也可平直时空中的曲线、加速、转动系(纯数学)空间• 匀加速系 (ξ1=0)

• 转动系——习题 7.3

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不存在全局惯性系global

• 有局部,但与全局坐标变换非处处相同• 全局笛卡尔直角坐标系——球面 ×

• 没有全局的参考系(平直时空的惯性观者),但是有全局坐标系

• 参考系 / 观者 = 相同运动态的钟尺系统 /网格 =

• 微分几何数学可严格证明——有曲率则不存在

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全局坐标系及其由来• 任意、只要提供了几何点的独一无二的标记,例如任意单值函数

• 可以从几何或物理角度,例如双曲极坐标、同一匀加速的观者群

• 活动标架--一条世界线=一个观者(已经确定了时间轴)+三个空间轴– 例:匀加速系

• 特定情况从对称性、 Einstein 方程解得 vs任意

• 奇性——坐标 vs 几何

Page 34: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

坐标的意义• 不要太在意名称

– Hartel (7.4) vs (7.5)– 一般约定– 上下文

• 物理上某些坐标的意义在初始推导时设定了,其他要从线元分析得出——第 7.6 节

Page 35: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

光锥、世界线和因果结构 7.5

• 局部惯性系--平直时空• 无穷小间隔——绝对

– 例如匀加速系– 习题 5.23(a)

• 类光--局部光锥• 类时-局部光锥内,速度小于当地光速• -世界线-固有时,公式• 全局整体--因果结构

Page 36: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

7.6 长度、面积、体积和四体积

重点(固有)长度 ==> 坐标意义!

Page 37: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

长度、面积、体积和四体积• 非对角-- Landau+Cook

• 对角=正交• 类似三维欧式空间面积和体积

–矢量分析——直观 Schey– 例:球面面积、球体体积

• 固有三体积和四体积– Jacobian

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四体元• 推导

– 标正基下—— Jacobian– 度规的行列式——度规的定义

• 张量密度—— Weinberg

• 类时 ×类空– 物理上无意义– 四维 Gauss/Stokes 定理

Page 39: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

类时间隔长度固有时 vs 坐标时

线元意义?取一个钟

坐标差值 == 》坐标意义——特定钟——非同地

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匀加速系坐标变换和线元

Page 41: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

回想推导过程:坐标怎么来的• ξ0 ?• ξ0=τ

– 线元 ==> 坐标钟的固有时– 不同坐标钟

• ξ1

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钟固有时≠坐标时

Page 43: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

匀加速系坐标网格

Page 44: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

Einstein 方程简介• Riemann 曲率张量 R—— 》 Ricci 曲率标

量——》 Einstein 张量 G——g 二阶偏导数• 类似Maxwell 方程组—— Faraday—— 四

势矢量

Page 45: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

引力时间膨胀• 静态弱场——自由落体思想推论

• 一般度规

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一般度规下引力时间膨胀

Page 47: 广义相对论课堂 15 等效原理和弯曲时空度规理论2

类空间隔长度固有长度 vs 坐标长度

线元意义?同时线 / 面

雷达回波测距

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正交时空坐标系下类空长度

• 同时线 / 面• 雷达回波

–光速为 1