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复变函数 第 15 讲. 本文件可从网址 http://math.shekou.com 上下载. 分式线性映射公式 :. 现讨论在 z 平面内两个圆包围的区域的映射情况 . 根据前面的讨论可知 : (I) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时 , 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域 ; (II) 当二圆周上有一个点映射成无穷远点时 , 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域 ; (III) 当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时 , 这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域. y. i. ( z ). 1. - 1. x. C 2. - PowerPoint PPT Presentation
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1
复变函数第 15讲
本文件可从网址http://math.shekou.com上下载
2
分式线性映射公式 :
3 2 3 21 1
2 3 1 2 3 1
. (6.3.1)w w z zw w z z
w w w w z z z z
2
0 (6.2.1)
d
d ( )
az b a bw ad bc
cz d c d
w ad bc
z cz d
3
现讨论在 z 平面内两个圆包围的区域的映射情况 . 根据前面的讨论可知 :(I) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时 , 这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域 ;(II) 当二圆周上有一个点映射成无穷远点时 , 这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域 ;(III) 当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时 , 这二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域 .
4
例 1 中心在 z=1 与 z 1, 半径为 2的二圆弧所
围区域, 在映射z i
wz i
下映射成什么区域?
x1
i
i
1
C1C2
y
(z)
O
5
[ 解 ] 所设的两个圆弧的交点为 i 与 i, 且相互正交 . 交点 i 映射成无穷远点 , i 映射成原点 . 因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域 , 张角等于 /2.
.22
)21()21(
12
12
,121
i
i
iw
zC 对应点是与正实轴的交点取
此点在第三象限的分角线 C1' 上 . 由保角性知 C2 映射为第二象限的分角线 C2.
6
映射的角形区如图所示
x1
i
i
1
C1C2
y
(z)
O
C2'
C1'
O u
v
(w)
7
例 2 求将上半平面 Im(z)>0 映射成单位圆 |w|<1 的分式线性映射 .
O 1-1 x
y
O 1-1 u
i
v(z)(w)
8
[ 解法一 ] 将上半平面看成半径为无穷大的圆域 , 实轴就是圆域的边界圆周 . 因为分式线性映射具有保圆性 , 因此它必能将上半平面 Im(z)>0 映射成单位圆 |w|<1. 由于上半平面总有一点 z= 要映成单位圆周 |w|=1 的圆心w=0, ,
, 0
| | 1 .
,
.
z z
w w
w
z
w
实轴要映射成单位圆而 与 是关于实轴的一对对称点 与 是与之对应的关于圆周 的一对对称点所以根据分式线性
映射具有保对称点不变的性质知 必映成
9
从而所求的分式线性映射具有下列形式 :
.
zz
kw
)2.3.6()0)(Im(,e
.
,e,1||,1,
1||,||||
zz
w
kkzz
wzzz
kw
i
i
形式为
射的一般因此所求的分式线性映是任意实数
这里即所以这时上的点
对应着而实轴上的点因为
其中 k 为常数 .
10
反之 , 形如上式的分式线性映射必将上半平面 Im(z)>0 映射成单位圆 |w|<1. 因为当 z 取实数时
,1|e|e||
zz
zz
w ii
即把实轴映射成 |w|=1. 又因为上半平面中的 z= 映射成 w=0, 所以 (6.3.2) 必将 Im(z)>0 映射成 |w|<1.
)2.3.6()0)(Im(,e
zz
w i
11
也可以在 x 轴上与在单位圆周 |w|=1 上取三对不同的对应点来求 :[ 解法二 ] 在 x 轴上任意取定三点 :z11, z2=0, z3=1 使它们对应于 |w|=1 上三点 :w1=1, w2=i, w31, 则因 z1z2z3 跟 w1w2w3 的绕向相同 , 由 (6.3.1)式得所求的分式线性映射为
.1101
01
1111
zzi
iww
)3.3.6(1
iziz
w化简后即得
12
注意 : 如果选取其他三对不同点 , 势必也能得出满足要求的 , 但不同于 (6.3.3) 的分式线性映射 . 此可见 , 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的 , 而是有无穷多 . 这从 (6.3.2)中的可以任意取实数值即可明白 . (6.3.3) 就是取 =i,/2 而得到的 . 如果以 =i, =0 代入 (6.3.2), 则
)4.3.6(iziz
w
这也是一个把上半平面 Im(z)>0 映射成单位圆 |w|<1, 且将点 z=i 映射成圆心 w=0 的映射 .
13
例 3 求将上半平面 Im(z)>0 映射成单位圆 |w|<1 且满足 w(2i)=0, arg w'(2i)=0 的分式线性映射 .[ 解 ] 由条件 w(2i)=0 知 , 所求的映射要将上半平面中的点 z=2i 映射成单位圆周的圆心 w=0. 所以由 (6.3.2) 得2
.2
i z iw e
z i
2
4( ) e ,
( 2 )i i
w zz i
因为 故有
(2 ) .4
i iw i e
14
从而得所求的映射为
2e , (2 )
2 4
arg (2 ) 0, .2 2
i iz i iw w i e
z i
w i
2
2
z iw i
z i
15
例 4 求将单位圆 |z|<1 映射成单位圆 |w|<1的分式线性映射 .
x1
y(z)
O O u
v
(w)
1
1
16
[ 解 ] 设 z 平面上单位圆 |z|<1 内部的一点映射成 w 平面上的单位圆 |w|<1 的中心 w=0. 这时与 1
| | 1
( 0 ). ,
1, 0, , .
z
w w
z w z w
点 对称于单位圆周 的点 应该被映射成
平面上的无穷远点即与 对称的点 因此
当 时 而当 时 满足这些条
件的分式线性映射具有如下的形式
,1
'11
zz
kz
zk
z
zkw
kk '其中
17
由于 z 平面上单位圆周上的点要映成 w 平面上单位圆周上的点 , 所以当 |z|=1,|w|=1. 将圆周 |z|=1 上的点 z=1 代入上式 , 得
|,1||1|
1||11
|'|
又因
wk
所以 |k'|=1, 即 k'=ei.
这里是任意实数 .
,1
'
z
zkw
18
因此 , 将单位圆 |z|<1 映射成单位圆 |w|<1 的分式线性映射的一般表示式是
e . (| | 1) (6.3.5)1
i zw
z
.1e
e
e1
ee||
i
i
i
iiw
反之 , 形如上式的映射必将单位圆 |z|<1 映射成单位圆 |w|<1. 这是因为圆周 |z|=1 上的点 z=ei ( 为实数 ) 映射成圆周 |w|=1 上的点 :
同时单位圆 |z|<1 内有一点 z= 映射成 w=0.所以 (6.3.5) 必将单位圆 |z|<1 映射成单位圆 |w|<1.
19
例 5 求将单位圆映射成单位圆且满足条件w(1/2)=0, w'(1/2)>0 的分式线性映射 .[ 解 ] 由条件 w(1/2)=0 知 , 所求的映射要将z=1/2 映射成 |w|<1 的中心 . 所以由 (6.3.5)得
34
e
21
1
21
21
21
1e
21
,
21
1
21
e
21
2
i
z
i
i
z
zzw
z
zw
20
zz
z
zw
w
ww
w i
212
21
1
21
.0,021
arg
,021
,21
arg
,34
e21
所以所求映射为即
从而为正实数由于故
21
例 6 求将 Im(z)>0 映射成 |w2i|<2 且满足条件 w(2i)=2i, arg w'(2i)/2 的分式线性映射 .
[ 解 ] 容易看出 , 映射 =(w2i)/2 将 |w2i|<2映射成 ||<1. 但将 Im(z)>0 映射成 ||<1 且满足 (2i)=0 的映射易知为
,41
e2)2(
22
e2
2
22
e
iiw
iziziw
iziz
i
i
i
由此得
故有
22
.22
)1(222
22
.0,2
)2(arg
.2
)4arg()e2arg()2(arg
,41
e2)2(22
e2
2
izz
iwiziziw
iw
iiw
iiw
iziziw
i
ii
或
于是所求映射为
从而得由于已知
23
2i
(z)
O
()
2i
(w)
izz
iw22
)1(2
iziz
22
w=2(i+)
24
§4 几个初等函数所构成的映射
25
1. 幂函数 w=zn(n2 为自然数 ) 在 z 平面内处处可导 , 它的导数是
1
dd nnz
zw
0dd
zw因而当 z0 时 ,
所以 , 在 z 平面内除去原点外 , 由 w=zn 所构成的映射处处共形 . 映射的特点是 : 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域 , 但张角变成了原来的 n 倍
26
O
(z)
0
O
(w)
n0
w=zn
(z) (w)
OOn2 上岸
下岸
w=zn
27
例 1 求把角形域 0<arg z</4 映射成单位圆 |w|<1 的一个映射 .[ 解 ] =z4 将所给角形域 0<arg z</4 映射成上半平面 Im()>0. 又从上节的例 2 知 , 映射
.
.1||
4
4
iz
izw
wii
w
所求映射为
因此圆将上半平面映射成单位
28
(z)
O4
O
()
1
(w)
z4
ii
w
iz
izw
4
4
29
例 2 求把下图中由圆弧 C2 与 C3 所围成的交角为的月牙域映射成角形域 0<arg w<0+ 的一个映射 .
0
(w)
O1
C1 C2
(z)
O
i
i
30
O
()
0
(w)
O1
C1 C2
(z)
O
i
i
iziz
i 0eiw
iziz
ewi )
2( 0
1
31
[ 解 ] 先求出把 C1,C2 的交点 i 与 i 分别映射成平面中的 =0 与 =, 并使月牙域映射成角形域 0<arg<; 再把这角形域通过映射 w=expi 转过一角度 0, 即得把所给月牙域映射成所给角形域的映射 .将所给月牙域映射成平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数 :
iziz
k
其中 k 为待定的复常数 .
32
.
.arg0
,.
,,1
.11
1
)2
(
1
1
00
iziz
eiziz
iew
Ciziz
iik
ikii
kzC
iziz
k
ii
由此得所求的映射为映射成角形域它把所给的月牙域根据保角性平面上的正实轴
映射成就把映射这样使取
映射成上的点此映射把
33
例 3 求把具有割痕 Re(z)=a, 0Im(z)h 的上半平面映射成上半平面的一个映射 .
xO
y (z)
C(a+ih)
B Da O u
v (w)
ah a a+hB C D
34
xO
y (z)
C(a+ih)
B Da O u
v (w)
ah a a+hB C D
O
(z1)
CB D
ih
h2
C O B
D(z2)
CO Bh2
D(z3)
O
(z4)
CB Dh +h
z1=za
z2=z12
z3=z2+h2
34 zz
w=z4+a
ahazw 22)(
35
[ 解 ] 不难看出 , 解决本题的关键显然是要设法将垂直于 x 轴的割痕的两侧和 x 轴之间的夹角展平 . 由于映射 w=z2 能将顶点在原点处的角度增大到两倍 , 所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的 .首先 , 把上半 z 平面向左作一个距离为 a 的平移 :z1=za.第二 , 再应用映射 z2=z1
2, 便得到一个具有割痕 h2Re(z2)<+, Im(z2)=0 的 z2 平面 .第三 , 把 z2 平面向右作一距离为 h2 的平移 : z3=z2+h2, 便得到去掉了正实轴的 z3 平面 .
36
ahazw
wazw
az
zzz
22
4
4
434
)(
:
.,
:,
.,,
映射就得到所求出把所有的映射复合起来
平面中的上半平面便得到的平移平面向右作一距离为把最后
平面便得到上半通过映射第四
37
2. 指数函数 w=ez 由于在 z 平面内w'=(ez)'=ez0
所以 , 由 w=ez 所构成的映射是一个全平面上的共形映射 . 设 z=x+iy, w=ei, 则
= ex, = y, (6.4.2)由此可知 : z 平面上的直线 x= 常数 , 被映射成 w 平面上的圆周 = 常数 ; 而直线 y= 常数 , 被映射成射线 = 常数 .带形域 0<Im(z)<a 映射成角形域 0<arg w<a. 特别是带形域 0<Im(z)<2 映射成沿正实轴剪开的 w 平面 :0<arg w<2. 它们间的点是一一对应的 .
38
ai
O x
y(z)
arg w=auO
v (w)
2i
O x
y (z)
O u
v (w)
w=ez
z=lnw
39
由指数函数 w=ez 所构成的映射的特点是 : 把水平的带形域 0<Im(z)<a(a) 映射成角形域 0<arg w<a. 因此 , 如果要把带形域映射成角形域 , 常常利用指数函数 .
40
例 4 求把带形域 0<Im(z)< 映射成单位圆 |w|<1 的一个映射 .[ 解 ] 由刚才的讨论知 , 映射 =ez 将所给的带形域映射成平面的上半平面 Im()>0. 而根据 (6.3.4) 又知 :
i
iw
w
ii
w
z
z
e
e
.1||
0)Im(
因此所求的映射为成单位圆
映射将平面的上半平面映射
41
例 5 求把带形域 a<Re(z)<b 映射成上半平面Im(w)>0 的一个映射 .[ 解 ] 带形域 a<Re(z)<b 经过映射
后可映射成带形域 0<Im()<. 再用映射 w=e, 就可把带形域 0<Im()< 映射成上半平面 Im(w)>0. 因此所求映射为
π( )
iz a
b a
π( )
iz a
b aw e
42
O
(z)
a b
(w)
O
i()
O
)(π
azabi
w=e
)(π
aabi
ew
43
作业 第六章习题第 246 页开始
第 12 题 第 14 题下一讲开始讲
积分变换
