БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА по направлению 15.03.03 … · электрод Источник переменного напряжения Уравнения

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра ВеликогоИнститут прикладной математики и механики

Кафедра «Механика и процессы управления»

«КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИИССЛЕДОВАНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ГИРОСКОПА В

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ ПОДВЕСЕ»

БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТАпо направлению 15.03.03 — «Прикладная механика»

Выполнил:студент гр. 43602/2 Р. Р. ФасаховНаучный руководитель:асс. каф. МПУ ИПММ И. А. Попов

Санкт-Петербург2017 г.



21.06.2017 Р.Р. Фасахов, СПбПУ 2

Введение. Электростатический подвес

ЭП – устройство, удерживающее твердое тело во взвешенном состоянии за счет действия электрических сил

Фиксированныеэлектроды

Проводящее твердое тело

Электростатический подвес Сферический гироскопGravity Probe B

Цель работы – применение МКЭ к решению задачи о сферическом роторе в электростатическом подвесе



Одноосный ЭП с постоянным напряжением


Энергия электрического поля:



Одноосный ЭП с постоянным напряжением


Эквивалентная электрическая схема

Электрическая сила:

▪ Электрическая сила монотонна▪ 𝑭 𝒚 = 𝒎𝒈 имеет единственное решение▪ Потенциальная энергия имеет максимум▪ Положение равновесия неустойчиво, как

следствие теоремы Ирншоу▪ Необходимо следящее управление

потенциалами электродов



Пассивный электростатический подвес


Схема одноосного пассивного ЭП

Гибкий провод

Фиксированный электрод

Источник переменного напряжения

Уравнения движения

Энергия: кинетическая, потенциальная,магнитного, электрического полей

↓Функция Лагранжа, диссип. ф-я Рэлея

↓Уравнения Лагранжа-Максвелла

↓



График П(y)График f(y)

Устойчивость принцип Л-Д

Н/У

Пассивный электростатический подвес


Предположение 𝑦 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 в первом уравнении, тогдаЗаменяем sin2(𝜔𝑡 + 𝜙) на его среднее значение


Положения равновесия

Максимальный удерживаемый вес



Конечно-элементное моделирование связанных задач


Программная система КЭ анализа ANSYS Mechanical

Задача электромеханики

Прямое решение связанной задачиDirect Coupled-Field

Analysis

Элементы-преобразователи

Transducer ElementsTRANS126

Параллельное решение двух

связанных задачMulti-field Analysis

Прямое разложение по собственным

формамReduced order

modelling

• Совмещение в одном конечном элементе как трансляционных, так и электрических степеней свободы.

• Решение не разделяя электрическую и механическую задачи

• Преобразовывают электрическую энергию в механическую и наоборот

• Схематизация поля плоскими конденсаторами

• Параллельное решение двух задач

• Значения усилий и перемещений интерполируются между несвязанными моделями

• Разложение электромеханических задач с помощью собственных форм



Конечно-элементное моделирование пассивного ЭП


Методом прямого решения связанной задачи

Межэлектродное пространство: SOLID226

Элементы цепи: CIRCU94

Точечная масса: MASS21

Параметры системы:• Амплитуда источника напряжения 𝑢0 = 10 В• Частота источника напряжения 𝜔 = 40 кГц• Сопротивление резистора R = 300 Ом• Индуктивность L = 2 мГн• Номинальный зазор 𝛿0 = 3 мкм• Масса удерживаемого твердого тела m = 6.25 г• Площадь фиксированного электрода S = 50 см2

SOLID226

12-ти узловойUX, UY, UZ, VOLT

CIRCU94

2-х узловойVOLT

Расчетная конечно-элементная постановка





Методом прямого решения связанной задачи

Убывание общего решения

Результаты КЭ анализа в сравнении с прямым численным интегрированием уравнений движения при фиксированном теле



Электрические силы

Зазор

Сила



Электромеханические элементы-преобразователи TRANS126

Схематизация электрического поля элементами

1. Предварительный КЭ расчет электрической емкости межэлектродной полости

2. Передача точек графика «зазор-емкость» в элемент либо в виде коэффициентов полинома 4 степени

3. Элемент определяет зависимость электрической силы от зазора

Расчетная конечно-элементная постановка

1

23





Электромеханические элементы-преобразователи TRANS126Результаты КЭ анализа в сравнении с прямым численным интегрированием уравнений движения

Плотной закраске соответствуют ВЧ

колебания напряжения

Медленные колебания напряжения

соответствуют реакции на механическое

движение тела

Происходит «накачка» системы энергией

Динамический анализ демонстрирует

медленную сходимость• Динамический анализ методом Ньютона-Рафсона• Время счета: 13 мс• Шаг интегрирования: dt = 1

400⋅ 𝑇, 𝑇 = 1/𝜔 – период



Анализ решений полученных методом многих масштабов



1. Нормализуем уравнения движения

↓2. Регуляризуем уравнения методом многих масштабов

↓3. Строим асимптотическое решение

Уравнения нулевого приближения

консервативны

Уравнения первого приближения содержат

диссипативную функцию «отрицательного» трения,

раскачивающую амплитуду

𝑑𝑣1𝑑𝑡

= 𝑣2

𝑑𝑣2𝑑𝑡

= −𝜕Π

𝜕𝑣1

𝑑𝑣1(1)

𝑑𝑡= 𝑣2

(1)

𝑑𝑣2(1)

𝑑𝑡= −

𝜕2Π

𝜕𝑣12 𝑣1

(1)−

𝜕Ψ(1)

𝜕𝑣2



Рисунки на роторе сферического гироскопа для детектирования положения ротора

оптическими датчиками

Сферический электростатический подвес


Сферический гироскопGravity Probe B

• Электростатический сферический гироскоп ЭСГСпроектирован: ЦНИИ «Электроприбор», СПб, 1968 г.Ротор: тонкостенная бериллиевая сфера (эллипс), асферитизация при вращении

Зазор ~50 мкм,Диаметр ~5 ммВес ротора ~20 г

• Gravity Probe B – самый точный гироскоп в миреСпроектирован: Стэнфорд, 1996 г.Ротор: кварцевая сфера + тонкое ниобиевое покрытие 1270 нм, сферичность < 40 атомных слоев

Gravity Probe B – миссия по измерению эффектов геодезической прецессии гироскопов на орбите вокруг Земли



Сферический трехосный пассивный ЭП


Упрощенная схема трехосного подвесаЭквивалентная электрическая схема

Допущения1. Центр тяжести сферического ротора совпадает с его

геометрическим центром2. Каналы X, Y, Z подвеса строго ортогональны друг другу3. Результирующая пондеромоторных сил каждого из

каналов X, Y, Z в любой момент времени действует вдоль оси своего канала

4. Результирующий вектор момента сил равен нулю

Электрическое поле: TRANS126

Элементы цепи: CIRCU94

Точечная масса: MASS21

Вид расчетной модели в ANSYS



Конечно-элементное моделирование трехосного ЭП


Отсутствие демпфирующих слагаемых приводит к

«раскачке» системы

Параметры системы:• Амплитуда источника напряжения 𝑢0 = 30 кВ• Частота источника напряжения 𝜔 = 500 кГц• Сопротивление резистора R = 3640 Ом• Индуктивность L = 80 мГн• Номинальный зазор 𝛿0 = 40 мкм• Масса удерживаемого твердого тела m = 1 мг• Площадь фиксированного электрода S = 3 см2

• Динамический анализ методом Ньютона-Рафсона

• Время счета: 30 мс• Шаг интегрирования: dt = 1

64⋅ 𝑇,

𝑇 = 1/𝜔 – период источника ЭДС

Переходные процессы

Для демпфирования механических колебаний в реальных системах присутствуют следящие контуры демпфирования и питания



Заключение

• Исследована модель одноосного пассивного ЭП, проведен КЭ анализ

• Продемонстрированы возможности моделирования связанных задач электромеханики методом конечных элементов

• Проведен анализ приближенных решений методом многих масштабов пассивного ЭП

• Проведен КЭ анализ динамики сферического ротора в трехосном ЭП




Список литературы1. Лукьянов Д. П., Распопов В. Я., Филатов Ю. В. Прикладная теория гироскопов. —

СПб. : ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2015. — 316 с.

2. Мартыненко Ю. Г. Движение твёрдого тела в электрических и магнитных полях. — М. : Наука, 1988. — 357 с.

3. Тамм И. Е. Основы теории электричества. — М. : Физматлит, 2003. — 616 с.

4. История создания электростатического гироскопа. Памяти главного кон-структора А.С. Анфиногенова / О. И. Парфенов [и др.]. — СПб. : ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2011. — 204 с.

5. Мартыненко Ю. Г. Аналитическая динамика электромеханических систем. — М. : МЭИ, 1984. — 64 с.


спасибо за внимание

Documents

БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА по направлению 15.03.03 … · электрод Источник переменного напряжения Уравнения