วงกลม ชุดที่ 1

( เรื่��อง วงกลม )*

ชุ ดที่�� 1

( เรื่��อง วงกลม )*

โดย ว�าที่�� รื่.ต.อนั�นัต� ยอดภิ�ญญาณี�

ว�ชุาคณี�ตศาสตรื่�เพิ่��มเต�ม ค 30205

ว�ชุาคณี�ตศาสตรื่�เพิ่��มเต�ม ค 30205

จุ�ดประสงค์การเร�ยนร��

1. นั�กเรื่�ยนัสามารื่ถบอกบที่นั�ยาม เนั�#อหาและความส'าค�ญของ ว�ชุาคณี�ตศาสตรื่�เพิ่��มเต�ม ค 30205 เรื่��อง วงกลม ได*

2. นั�กเรื่�ยนัสามารื่ถพิ่�ส+จนั�ที่ฤษฎี�บที่ที่�� 41, บที่กล�บและ บที่แที่รื่กของที่ฤษฎี�บที่ที่�� 41, ที่ฤษฎี�บที่ที่�� 42, 43 และ บที่กล�บของที่ฤษฎี�บที่ที่�� 43 และสามารื่ถนั'าไปใชุ*แก*ป2ญหา ได*

วงกลม (The Circle)

บทน�ยามวงกลมซึ่4�งม� O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางและรื่�ศม�

r ค�อ เซึ่ตของจ ด (ที่างเด�นัของจ ด ) บนัพิ่�#นัรื่าบเด�ยวก�นัก�บจ ด O ซึ่4�งที่ กๆ จ ดห�างจากจ ด O เป5นัรื่ะยะที่างเที่�าก�บ r

r rr rr

r rr

O

ส�วนประกอบของวงกลม

ค์อรด (Chord) ค�อ ส�วนัของเส*นัตรื่งซึ่4�งม�จ ดปลาย (End

Point ) อย+�บนั เส*นัรื่อบวงของวงกลมเส�นผ่�านศู�นยกลาง (Diameter)

ค�อ คอรื่�ดซึ่4�งผ่�านัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม

center

radiuschord

diameter


ส�วนโค์�ง (Arc ) ของวงกลมถ*า A, B เป5นัจ ดใดๆ บนัเส*นัรื่อบวงของ

วงกลม เซึ่ตของจ ด ต�#งแต� A ถ4ง B เรื่�ยกว�า ส�วนัโค*งของวงกลม AB ( )

AB

A B

arcA Barc


ค์ร !งวงกลม (Semi - Circle)ค�อ ส�วนัโค*งของวงกลม ซึ่4�งม�จ ดปลายอย+�

บนั เส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางของวงกลม

semi-circle


ส�วนโค์�งน�อย (Minor Arc)

ค�อ ส�วนัโค*งซึ่4�งยาวนั*อยกว�าครื่4�งวงกลม

ส�วนโค์�งใหญ่� (Major Arc)

ค�อ ส�วนัโค*งซึ่4�งยาวมากกว�าครื่4�งวงกลม

A Bminor arc

major arc

A B


เส�%ยววงกลม (Sector)ค�อ อาณีาบรื่�เวณี (region ) ที่��เก�ดจาก

รื่�ศม� 2 เส*นั ก�บส�วนัโค*ง ของวงกลม

sector


จุ�ดศู�นยกลางร�วม (Common Center)

ค�อ จ ดๆ หนั4�งซึ่4�งเป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมต�#งแต�สองวง ข4#นัไป

common center


ค์อรดร�วม (Common Chord)ค�อ ส�วนัของเส*นัตรื่งเส*นัหนั4�งซึ่4�งเป5นั

คอรื่�ดของวงกลมต�#งแต� สองวงข4#นัไป

common chord


เส�นรอบวง (Circumference)

ค�อ รื่ะยะรื่อบวงกลม หรื่�อเส*นัรื่อบรื่+ป (Perimeter ) ของ วงกลม

ทฤษฎี�เก�!ยวก)บค์อรดของวงกลม

ทฤษฎี�บทท�! 41 ถ*าลากส�วนัของเส*นัตรื่งจากจ ดศ+นัย�กลาง

ของวงกลม ไป แบ�งครื่4�งคอรื่�ดซึ่4�งไม�ผ่�านัจ ดศ+นัย�กลาง ส�วนัของเส*นัตรื่งเส*นันั�#นัจะ ต�#งฉากก�บคอรื่�ด

| |

O

A BM

ก'าหนัดให*

จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าสรื่*างเพิ่��อการื่พิ่�ส+จนั�พิ่�ส+จนั�

บทพิ�ส�จุนทฤษฎี�บทท�! 41

ให* O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมวงหนั4�ง

ลาก และ MO AB

AO BO

O.

ม�จ ด M เป5นัจ ดก4�งกลางของคอรื่�ด AB

| |A BM

.

ถ*าลากส�วนัของเส*นัตรื่งจากจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม ไปแบ�งครื่4�งคอรื่�ดซึ่4�งไม�ผ่�านัจ ดศ+นัย�กลาง ส�วนัของเส*นัตรื่งเส*นันั�#นัจะต�#ง

ฉากก�บคอรื่�ด

ข�อค์วามพิ�ส�จุน เหตุ�ผ่ล

ซึ่.ต.พิ่.

AO = BO AM =

BM

1. รื่�ศม�ของวงกลมเด�ยวก�นั 2. M เป5นัจ ดก4�งกลางของ

MO = MO

3. เป5นัด*านัรื่�วม

1. ด.2. ด.3. ด.

4. AMO BMO

4. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบด*านั-ด*านั-ด*านั 5. = 5. ผ่ลจากข*อ 4.

พิ่�จารื่ณีาในั AMO และ BMO

6. + = 6. ม มปรื่ะชุ�ดบนัเส*นัตรื่ง 7. = =

7. ผ่ลจากข*อ 5. และข*อ 6. 8. 8. ผ่ลจากข*อ 7.

AB

AMO

BMO

AMO

BMO 180

AMO

BMO 90

MO AB


| |

O

A BM


บทกล)บทฤษฎี�บทท�! 41

ถ*าลากส�วนัของเส*นัตรื่งจากจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม ไปต�#งฉากก�บคอรื่�ดซึ่4�งไม�ผ่�านัจ ดศ+นัย�กลาง ส�วนัของเส*นัตรื่งนั�#นั จะแบ�งครื่4�งคอรื่�ด

O

A BM



บทพิ�ส�จุนบทกล)บทฤษฎี�บทท�! 41


แบ�งครื่4�ง ลาก และ

O.

MO AB

MO ABAO BO

A BM ม�

ที่��จ ด M

ถ*าลากส�วนัของเส*นัตรื่งจากจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม ไปต�#งฉากก�บคอรื่�ดซึ่4�งไม�ผ่�านั จ ดศ+นัย�กลาง ส�วนัของเส*นัตรื่ง

นั�#นัจะแบ�งครื่4�งคอรื่�ด



= AO = BO

1. ต�างก:เป5นัม มฉาก ( ) 2. รื่�ศม�วงกลมเด�ยวก�นั

MO = MO


1. ฉ.2. ด.3. ด.

4. AMO BMO

4. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบฉาก-ด*านั-ด*านั 5. AM =

BM 5. ผ่ลจากข*อ 4.

พิ่�จารื่ณีาในั AMO และ BMO

6. แบ�งครื่4�ง 6. ผ่ลจากข*อ 5.


AMO

BMO MO AB

MO AB

O

A BM


บทแทรกของทฤษฎี�บทท�! 41

ส�วนัของเส*นัตรื่งซึ่4�งลากแบ�งครื่4�งคอรื่�ดและต�#งฉากก�บคอรื่�ดจะผ่�านัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม

A BM

O

|| ||

C



บทพิ�ส�จุนบทแทรกของบทฤษฎี�บทท�! 41


ผ่�านัจ ด O ลาก

O

CM AB

CM ABCM

MO

A BM|| ||

C

ม� และ แบ�งครื่4�ง ที่��จ ด M

ส�วนัของเส*นัตรื่งซึ่4�งลากแบ�งครื่4�งคอรื่�ดและต�#งฉากก�บคอรื่�ดจะผ่�านัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม



1. =

2. =

1. ส�วนัของเส*นัตรื่งที่��ลากจากจ ดศ+นัย�กลางของ วงกลมไปแบ�งครื่4�งคอรื่�ดย�อมต�#งฉากก�บคอรื่�ดนั�#นั 2. ที่��จ ด M

3. = 3. ต�างก:เป5นัม มฉาก 4. ที่�บ 4. ม มที่��ม�ขนัาดเที่�าก�นัย�อมที่�บ

ก�นัสนั�ที่ 5. ผ่�านัจ ด O 5. ผ่ลจากข*อ 4.

บทพิ�ส�จุนบทแทรกของบทฤษฎี�บทท�! 41

AMO 90

AMC 90

CM AB

AMO

AMC

CM MOCM

A BM

O

|| ||

C


ทฤษฎี�บทท�! 42

จากจ ดๆ หนั4�งภิายในัวงกลม ถ*าลากส�วนัของเส*นัตรื่งไปย�งเส*นัรื่อบวงให*ยาวเที่�าก�นัได*มากกว�าสองเส*นัข4#นัไปแล*ว จ ดนั�#นั จะเป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม

A B

OC


จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าสรื่*างเพิ่��อการื่พิ่�ส+จนั�

พิ่�ส+จนั�


ให* O เป5นัจ ดๆ หนั4�งอย+�ในัวงกลมวงหนั4�ง

O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม ลาก ,AB BC ให*จ ด P และ Q เป5นัจ ดก4�งกลางของ และ ลาก และ

ABBC OP OQ

O

P

Q

ม�จ ด A, B และ C เป5นัจ ดอย+�บนัเส*นัรื่อบวงของวงกลม ที่'าให* AO = BO = CO

A B

C

จากจ ดๆ หนั4�งภิายในัวงกลม ถ*าลากส�วนัของเส*นัตรื่งไปย�งเส*นัรื่อบวงให*ยาวเที่�าก�นัได*มากกว�าสองเส*นัข4#นัไปแล*ว จ ดนั�#นัจะเป5นั

จ ดศ+นัย�กลางของวงกลม



AO = BO AP =

BP

1. ก'าหนัดให* 2. จากสรื่*างเพิ่��อการื่พิ่�ส+จนั�

OP = OP


1. ด.2. ด.3. ด.

4. AOP BOP


พิ่�จารื่ณีาในั AOP และ BOP

6. + = 6. ม มปรื่ะชุ�ดบนัเส*นัตรื่ง 7. = =

7. ผ่ลจากข*อ 5. และข*อ 6. 8. 8. ผ่ลจากข*อ 7. 9. จ ดศ+นัย�กลางของวงกลมอย+�บนั

9. ส�วนัของเส*นัตรื่งที่��ลากมาต�#งฉากและแบ�งครื่4�ง คอรื่�ดย�อมผ่�านัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลม

10. จ ดศ+นัย�กลางของวงกลมอย+�บนั

10. พิ่�ส+จนั�ที่'านัองเด�ยวก�นัก�บข*อ 1. ถ4งข*อ 7. 11. O เป5นัจ ดศ+นัย�กลาง

ของวงกลม 11. O เป5นัจ ดรื่�วมบนั และ

APO

BPO

APO

BPO 180

APO

BPO 90

OP ABOP

OQOP OQA BP

OC

Q


ทฤษฎี�บทท�! 43

ในัวงกลมเด�ยวก�นัหรื่�อในัวงกลมที่��เที่�าก�นั คอรื่�ดที่��ยาวเที่�าก�นัย�อมอย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลางเป5นัรื่ะยะที่างเที่�าก�นั

A

B

Q O

C DR

P




ให* O และ P เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมสองวงที่��เที่�าก�นั

OQ = PR ลาก และ

ABCD

OQ AB PR CD

OA PC

O P

และ เป5นัคอรื่�ดของวงกลม O และ P ตามล'าด�บ ที่'าให* AB = CD ลาก ที่��จ ด Q และลาก ที่��จ ด R

A

B

C D

Q

R

ในัวงกลมเด�ยวก�นัหรื่�อในัวงกลมที่��เที่�าก�นั คอรื่�ดที่��ยาวเที่�าก�นัย�อมอย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลางเป5นัรื่ะยะที่างเที่�าก�นั



= AQ = CR

3. และ 4. ผ่ลจากข*อ 2.

AO = CP

5. รื่�ศม�วงกลมที่��เที่�าก�นั

3. ฉ.4. ด.5. ด.

6. AOQ CPR

6. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบฉาก-ด*านั-ด*านั 7. OQ =

PR 7. ผ่ลจากข*อ 6.

1. AB = CD

1. โจที่ย�ก'าหนัดให* 2. AB = CD

2. สมบ�ต�การื่ค+ณี 21

21

AQO

CRP OQ AB PR CD

A

B

Q O

C DR

P


บทกล)บทฤษฎี�บทท�! 43

ในัวงกลมเด�ยวก�นัหรื่�อในัวงกลมที่��เที่�าก�นั คอรื่�ดที่��อย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลางเป5นัรื่ะยะที่างเที่�าก�นั ย�อมยาวเที่�าก�นั

A

B

Q O

C DR

P|

|

C




ให* O และ P เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมสองวงที่��เที่�าก�นั

AB = CD ลาก และ

AB CDOQ AB PR CD

OA CP

O P

เป5นัคอรื่�ดของวงกลม O, เป5นัคอรื่�ดของวงกลม Pลาก , ที่'าให* OQ = PR

A

B

C D

Q

R

|

|

ในัวงกลมเด�ยวก�นัหรื่�อในัวงกลมที่��เที่�าก�นั คอรื่�ดที่��อย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลางเป5นัรื่ะยะที่างเที่�าก�นั ย�อมยาวเที่�าก�นั



= AO = CP

1. และ

2. รื่�ศม�ของวงกลมที่��เที่�าก�นั OQ = PR

3. โจที่ย�ก'าหนัดให*

1. ฉ.2. ด.3. ด.

4. AOQ CPR

4. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบฉาก-ด*านั-ด*านั 5. AQ =

CR 5. ผ่ลจากข*อ 4.

6. 2 AQ = 2 CR

6. สมบ�ต�การื่ค+ณี


7. AB = CD

7. ส�วนัของเส*นัตรื่งที่��ลากมาต�#งฉากก�บคอรื่�ด ย�อม แบ�งครื่4�งคอรื่�ด (AB = 2AQ = 2BQ, CD = 2CR = 2DR)

AQO

CRP OQ AB PR CD

A

B

Q O

C DR

P|

|

1. วงกลมวงหนั4�งม�เส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางยาว 10 ซึ่ม. ถ*าคอรื่�ดเส*นัหนั4�งยาว 6 ซึ่ม.

คอรื่�ดนั�#อย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมก��ซึ่ม.


จะต*องหาสรื่*างเพิ่��อการื่หาว�ธ์�หา

แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว

ให* O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมวงหนั4�ง ซึ่4�งม�เส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางยาว 10 ซึ่ม. (AC = 10 ซึ่ม.)รื่ะยะห�างของ ก�บ จ ดศ+นัย�กลาง O ลาก มาแบ�งครื่4�งคอรื่�ด AB

ABDO

O

D| |

และ AB = 6 ซึ่ม.

A

C

B

ข�อค์วาม เหตุ�ผ่ล1.

2. DO2 = AO2 - AD2

1. ส�วนัของเส*นัตรื่งที่��ลากจากจ ดศ+นัย�กลาง มาแบ�งครื่4�งคอรื่�ดย�อมต�#งฉากก�บคอรื่�ดนั�#นั 2. ที่ฤษฎี�บที่พิ่�ที่าโกรื่�ส

3. DO2 = 52 - 32

3. แที่นั AO = 5 ซึ่ม. และ AD = 3 ซึ่ม. แก*สมการื่

พิ่�จารื่ณีาในัรื่+ปสามเหล��ยมม มฉาก ADO

DO AB

DO2 = 25 - 9 DO2 = 16 DO =

4 ซึ่ม. คอรื่�ด AB อย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลาง O = 4 ซึ่ม.

| |

O

A BD

C แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว

2. จากรื่+ป ก'าหนัด AB = 10 ซึ่ม. , AC = 8 ซึ่ม.

จงหา DO


DO2 = AO2 - AD2

DO2 = 52 - 42

DO2 = 9 DO = 3

ซึ่ม.

O

A CD

B

3. จากรื่+ป ก'าหนัด AB = 26 นั�#ว , AC = 24 นั�#ว

จงหา DO


DO2 = AO2 - AD2

DO2 = 132 - 122

DO2 = 169 - 144DO2 = 25

DO = 5 นั�#ว

O

A CD

B

4. จากรื่+ป ก'าหนัด AO = 25 นั�#ว , AC = 48 นั�#ว

จงหา DO


DO2 = AO2 - AD2

DO2 = 252 - 242

DO2 = 625 - 576DO2 = 49

DO = 7 นั�#ว

O

A CD

B

5. ในัวงกลมวงหนั4�ง ม�คอรื่�ดยาว 18 ซึ่ม. อย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลาง 12 ซึ่ม.

ความยาวของเส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางของวงกลมยาวก��ซึ่ม.


AO2 = DO2 + AD2

AO2 = 122 + 92

AO2 = 144 + 81

AO2 = 225

AO = 15 ซึ่ม.

ความยาวของเส*นัผ่�านัศ+นัย�กลาง

= 30 ซึ่ม.

O

A BD

C

6. ในัวงกลมวงหนั4�ง ม�คอรื่�ดสองเส*นัยาวเที่�าก�นัและขนัานัก�นั ถ*าอย+�ห�างก�นั 10 นั�#ว

ม�เส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางของวงกลมยาว 26 นั�#ว คอรื่�ดยาวก��นั�#ว


EF = 10 นั�#ว AD = 26 นั�#ว

EO = FO = 5 นั�#ว

AO = 13 นั�#ว

AE2 = AO2 - EO2

AE2 = 132 - 52

AE2 = 169 - 25

AE2 = 144 AE = 12

นั�#ว AB = CD

= 24 นั�#ว

O

A BE

DC F

7. รื่+ปส��เหล��ยมผ่�นัผ่*า ม�ด*านักว*างยาว 3 นั�#ว และด*านัยาวยาว 4 นั�#ว บรื่รื่จ ในัวงกลม

รื่�ศม�ของวงกลมยาวก��นั�#ว


AC2 = AB2 + BC2

AC2 = 42 + 32

AC2 = 16 + 9 AC2 = 25 AC = 5

นั�#ว รื่�ศม�ของวงกลม =

2.5 นั�#ว

A B

CDO

8. แบ�งครื่4�งและต�#งฉากก�บ จงเข�ยนัวงกลม 4 วง ให*แต�ละวงผ่�านัจ ด A

และ B

แบบฝึ.กห)ดเพิ�!มเตุ�มเก�!ยวก)บการหาค์วามยาว CD AB

A B

C

D

9. AB, CD เป5นัคอรื่�ดที่��ขนัานัก�นัในัวงกลม O ถ*า AB = 8 ซึ่ม. , CD = 6 ซึ่ม. และ

ห�างจาก เป5นัรื่ะยะ 7 ซึ่ม. จงหารื่�ศม�ของวงกลม O


พิ่�จารื่ณีาในั COQCO2 = CQ2

+ OQ2

CO2 = 32 + (7 - x)2

CO2 = 9 + 72 – 14x + x2

CO2 = x2 – 14x + 58 …(1)

AB CD

พิ่�จารื่ณีาในั AOPAO2 = OP2

+ AP2

AO2 = x2 + 42

AO2 = x2 + 16 ..…. (2)

A BP

O}}

C D3 Q

4

7 - x

x7

9. (ต�อ)


CO = AO เป5นัรื่�ศม�วงกลมเด�ยวก�นั

(1 ) = (2) x2 – 14x + 58 = x2 + 16 - 14x = - 42 x = 3

แที่นัค�า x = 3 ในั (2) AO2

= 32 + 16 AO2 = 9 + 16

AO2 = 25 AO = 5 ซึ่ม. รื่�ศม�ของวงกลม = 5 ซึ่ม.

A BP

O}}

C D3 Q

4

7 - x

x7

1. และ เป5นัเส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางของวงกลม O ต�างก:ต�#งฉากซึ่4�งก�นัและก�นั

จงพิ่�ส+จนั�ว�า ADBC เป5นัรื่+ปส��เหล��ยมจ�ต รื่�ส


จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าพิ่�ส+จนั�

เอกสารฝึ.กห)ดชุ�ดท�! 1

ให* และ เป5นัเส*นัผ่�านัศ+นัย�กลางของวงกลม O ซึ่4�งต�างก:ต�#งฉากซึ่4�งก�นัและก�นัADBC เป5นัรื่+ปส��เหล��ยมจ�ต รื่�ส

AB CD

AB CDAD BD BC AC

O

ลาก , , และ

D

C

BA


(ม�ต�อ)

AO = BO =

1. รื่�ศม�ของวงกลมเด�ยวก�นั 2. ต�างก:เป5นัม มฉาก ( ) DO =

DO 3. เป5นัด*านัรื่�วม

1. ด.2. ม.3. ด.

4. ADO BDO

4. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบด*านั-ม ม-ด*านั 5. BDO BOC

AOC 5. พิ่�ส+จนั�ที่'านัองเด�ยวก�นัก�บ ข*อ 1. ถ4ง ข*อ 4. 6.ADO BDO

BOC AOC 6. สมบ�ต�การื่ถ�ายที่อด

7. AD = BD = BC = AC

7. ผ่ลจากข*อ 6.

AOD

BOD AB CD

OB

D

A

C



8. = = = 9. + = +

8. ผ่ลจากข*อ 4. 9. ผ่ลจากข*อ 8.

10. + = 10. ในัรื่+ปสามเหล��ยมม มฉากผ่ลบวกของม ม ที่��เหล�อจะได* 11. + = 11. ผ่ลจากข*อ 9.

12. = 12. + = 13. ADBC เป5นัรื่+ปส��เหล��ยมจ�ต รื่�ส

13. ผ่ลจากข*อ 7. และข*อ 12.

OB

D

A

C

DAO

ADO

BDO

DBO

ADO

BDO

DAO

ADO

DAO

ADO 90

90

ADO

BDO 90

ADB 90

ADO

BDO

ADB

2. เป5นัคอรื่�ดของวงกลม O จ ด C อย+�บนัเส*นัรื่อบวง ที่'าให* AC = BC ลาก

จงพิ่�ส+จนั�ว�า




ให* O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมวงหนั4�ง ม� เป5นัคอรื่�ด

AB COCO AB

ABCO

CO ABลาก และ AO BO

O

C เป5นัจ ดอย+�บนัเส*นัรื่อบวง ที่'าให* AC = BC

ลาก

BA

C

|| ||M


(ม�ต�อ)

AO = BO AC = BC

1. รื่�ศม�ของวงกลมเด�ยวก�นั 2. โจที่ย�ก'าหนัดให*

CO = CO


1. ด.2. ด.3. ด.

4. ACO BCO


พิ่�จารื่ณีาในั ACO และ BCO

ACO

BCO

O

B

C

A M|| ||




= CM = CM

6. ผ่ลจากข*อ 5. 7. เป5นัด*านัรื่�วม

8. ACM BCM

8. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบด*านั-ม ม-ด*านั

6. ม.7. ด.9. = 9. ผ่ลจากข*อ 8. 10. + = 10. ม มปรื่ะชุ�ดบนัเส*นัตรื่ง

พิ่�จารื่ณีาในั ACM และ BCM

O

B

C

A M|| ||

11. = =

11. ผ่ลจากข*อ 9. และข*อ 10. 12. 12. ผ่ลจากข*อ 11.

ACM

BCM

AMC

BMC

AMC

BMC 180

AMC

BMC 90

CO AB

3. ก'าหนัด ม�จ ด P และ Q เป5นัจ ดก4�งกลางของ และ ม� ผ่�านั

จ ด P จงพิ่�ส+จนั�ว�า ผ่�านัจ ดศ+นัย�กลาง O




ให* O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมวงหนั4�ง ม� ผ่�านัจ ดศ+นัย�กลาง O ลาก ถ*า ไม�ผ่�านัจ ด Q สมมต�ให* พิ่บ ที่��จ ด R

AB CD AB CDOQ

AB CDAB CD

PQ

PQOP OP OP CD

O

(R)

PQ

ม�จ ด P และ Q เป5นัจ ดก4�งกลางของ และ ตามล'าด�บ

ลาก

BC

AD

PQ



1. P เป5นัจ ดก4�งกลางของ 2.

1. โจที่ย�ก'าหนัดให* 2. ส�วนัของเส*นัตรื่งที่��ลากจากจ ดศ+นัย�กลางของ วงกลมมาแบ�งครื่4�งคอรื่�ด ย�อมต�#งฉากก�บคอรื่�ดนั�#นั

3. 3. โจที่ย�ก'าหนัดให* 4. 4. เส*นัตรื่งที่��ขนัานัก�นัย�อมต�#ง

ฉากก�บเส*นัตรื่ง เด�ยวก�นั 5. CR =

DR 5. รื่�ศม�ที่��ลากมาต�#งฉากก�บคอรื่�ดย�อมแบ�งครื่4�งคอรื่�ด 6. CQ = DQ 6. โจที่ย�ก'าหนัดให*จ ด Q เป5นัจ ดก4�งกลางของ 7. จ ด R ที่�บ จ ด Q 7. ผ่ลจากข*อ 5. และ ข*อ 6.

8. แสดงว�า ผ่�านัจ ด Q หรื่�อกล�าวได* อ�กอย�างหนั4�งว�า ผ่�านัจ ดศ+นัย�กลาง O

8. ผ่ลจากข*อ 7.


ABOP AB

AB CDOR CD

CD

OPPQ

O

BC

A(R)

PQ

D

4. และ เป5นัคอรื่�ดที่��ยาวเที่�าก�นัของวงกลม O ต�อ และ พิ่บก�นัที่��

จ ด E จงพิ่�ส+จนั�ว�า BE = DE




ให* O เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมวงหนั4�ง ม�คอรื่�ด AB ยาวเที่�าก�บคอรื่�ด CDBE = DE ลาก , และลาก

AB CD AB CD

AB CD

OP AB OQ CD EO

O

P

Q

ต�อ , ออกไป

พิ่บก�นัที่��จ ด E

C

A

B

D

E



= EO = EO

1. และ 2. เป5นัด*านัรื่�วม

OP = OQ

3. คอรื่�ดที่��ยาวเที่�าก�นั ย�อมอย+�ห�างจาก จ ดศ+นัย�กลางเที่�าก�นั

1. ฉ.2. ด.3. ด.4. EOP EOQ

4. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบฉาก-ด*านั-ด*านั 5. PE = QE 5. ผ่ลจากข*อ 4.

6. PB = QD

6. ต�างก:ยาวเป5นัครื่4�งหนั4�งของคอรื่�ดที่��ยาวเที่�าก�นั 7. PE - PB =

QE - QD 7. สมบ�ต�การื่บวก

8. BE = DE 8. ผ่ลจากข*อ 7.


EPO

EQO OP AB OQ CD

O

C

AP

B

DQ

E

5. และ เป5นัคอรื่�ดในัวงกลม O และวงกลม P ถ*าคอรื่�ดที่�#งสองนั�#ยาวเที่�าก�นั

และอย+�ห�างจากจ ดศ+นัย�กลางเที่�าก�นั จงพิ่�ส+จนั�ว�าวงกลม O เที่�าก�บวงกลม P


จะต*องพิ่�ส+จนั�ว�าพิ่�ส+จนั�


ให* O และ P เป5นัจ ดศ+นัย�กลางของวงกลมสองวง ม� เป5นัคอรื่�ดของวงกลม O , เป5นัคอรื่�ดของวงกลม P

AO = CP

AB CD

ABCD

OQ AB PR CD AOCP

O P

ซึ่4�ง AB = CD

ลาก , ที่'าให* OQ = PR

A B C DQ R

|| ||

| |

ลาก ,



AQ = CR =

4. และ

3. ส�วนัของเส*นัตรื่งที่��ลากจากจ ดศ+นัย�กลาง มาต�#งฉากก�บคอรื่�ดย�อมแบ�งครื่4�งคอรื่�ด OQ =

PR 5. โจที่ย�ก'าหนัดให*

3. ด.

4. ม.5. ด.

6. AOQ CPR

6. ม�ความส�มพิ่�นัธ์�แบบด*านั-ม ม-ด*านั 7. AO =

CP 7. ผ่ลจากข*อ 6.

1. AB = CD

1. โจที่ย�ก'าหนัดให* 2. AB = CD

2. สมบ�ต�การื่ค+ณี 21

21

OQ AB PR CD


AQO

CRP

A BQ

O

||

C DR

P

||

| |

จุบ ชุ�ดท�! 1


Documents

วงกลม ชุดที่ 1