Динамика

§ 12. Первь1ii закон Ньютона Закон инерции является

nервы.ч больши.м успехом в физике, фактически её действительным началоАt.

А. Эйнштейн

Раздел механики, в котором изучают причины движения тел, называют

динамикой (от греч. dyпaтis - сила).

В основе динамики лежат три закона И. Ньютона, которые были сформу­

лированы им в 1687 г. в труде •Математические начала натуральной фило­софии» .

Первый закон динамики Ньютона (закон инерции) отвечает на вопрос, при каких условиях тело движется равномерно. Этот закон фактически был

открыт ещё Г. Галилеем.

42

Исаак Ньютон

(1643-1727)

-Рис. 2 .1

Более двух тысяч лет назад Аристотель сформули­

ровал закон, согласно которому тело движется с посто­

янной скоростью, только если па него действует другое

тело. Это утверждение основывалось на известных из повседневной жизни фактах, как, например, необхо­

димость непрерывно толкать тележку, катящуюся по

ровной горизонтальной дороге, чтобы её движение пе

замедлялось.

Спустя 19 веков Галилей установил, что тело может двигаться и в отсутствие воздействия на него других

тел. Подобное движение называют движением по инер­

ции.

Галилей писал: •При движении по наклонной. пло· скости вниз наблюдается ускорение, а при движении

вверх - замедление. Отсюда следует, что движение по горизонтали является неизменным, ибо ... оно ничем не ослабляется, не зал~едляется и не ускоряется ...

Когда тело перемещается по горизонтальной. пло· скости, не встречая никакого сопротивления, то дви­

жение его равномерно и продолжалось бы бесконечно,

если бы плоскость простиралась в пространстве без

конца•. Схема движения шарика, соответствующая

рассуждениям Галилея, приведена на рис. 2.1 .

Ньютон в своих законах динамики принял и

развил мысль Галилея. Первый закон Ньютона

формулируется следующим образом:

Тело сохраняет состояние покоя или равно­

мерного прямолинейного движения до тех пор,

пока внешние воздействия не выведут его из

этого состояния.

Все тела в природе подвергаются в той или

иной степени воздействию со стороны других тел.

В наблюдаемых на практике случаях покоя или

равномерного прямолинейного движения воз­

действия, оказываемые на тела, уравновешивают

друг друга. Например, чайник, стоящий на столе,

испытывает воздействие (притяжение) со стороны

Земли, а также воздействие со стороны стола, при­

чём оба эти воздействия компенсируют друг друга,

в результате чего чайник относительно Земли по­

коится (рис. 2.2). Если тело достаточно удалено от всех других

тел, то оно не испытывает внешних воздействий.

Такое тело называют свободным.

Систему отсчёта, по отношению к которой тело

(материальная точка), свободное от внешних воз-

х

Рис. 2.2

z

у

Рис. 2.3

действий, покоится или движется равномерно и прямолинейно, называют

инерциальной системой отсчёта. Экспериментально установлено, что практически инерциальна гелиоцентри­

ческая система отсчёта, начало координат которой находится приблизительно

в центре Солнца, а оси координат проведены в направлении трёх удалённых звёзд, выбранных так, чтобы оси были взаимно перпендикулярны (рис. 2.3).

Инерциальных систем отсчёта имеется бесчисленное множество . Так, если

считать Землю инерциальной системой отсчёта, то любое тело, движущееся

прямолинейно и равномерно относительно Земли, тоже является инерциальной

системой отсчёта.

Предположим, что пассажир находится в поезде, который движется пря­

молинейно и равномерно. Если пассажир подпрыгнет вверх, то опустится на то же место, с которого прыгнул. Оброненный им предмет будет падать

вертикально вниз, т. е. так же, как если бы человек обронил этот предмет,

находясь на земле вне поезда. Из этого и многих других наблюдений следует, что во всех инерциальных системах отсчёта механические явления протека­

ют одинаково (при одинаковых нача.льных условиях), или все инерциальные системы отсчёта равноправны.

Это утверждение называется принципо~t относительности Галилея.

43

Инерциальные системы отсчёта играют большую роль не только в механи­

ке, но и в других разделах физики, поэтому первый за.ков Ньютона нередко

формулируют в виде положения о существовании таких систем .

Существуют системы отсчёта, называемые инерциальиыми, относительно

которых свободные тела движутся равномерно и прямолинейно.

Первый закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчёта. Например,

шар, лежащий на гладком полу каюты корабля, который движется равномерно

и прямолинейно, может покатиться по полу без всякого воздействия на него

со стороны каких-либо тел. Для этого достаточно, чтобы скорость корабля

начала изменяться.

Системы отсчёта, связанные с телами, которые движутся с ускореиием по

отвошеmпо к инерциальной системе отсчёта, называются неинерциалън:ыми.

Система отсчёта, связанная с Землёй (геоцентрическая система отсчёта),

неинерциальна из-за суточного вращения Земли вокруг своей оси и обраще­

ния вокруг Солнца, так как эти движения происходят с ускорением . Однако

ускорения точек поверхности Земли при этих движениях малы. Поэтому гео­

центрическую систему отсчёта можно приближёвно считать инерциальной.

Проверьте себя

1. Сформулируйте первый закон Ньютона. 2. Приведите примеры, подтверждающие справедливость первого закона

Ньютона. 3. Какие системы отсчёта называют инерциальными? 4. Является ли инерциальной система отсчёта, связанная с Землёй?

§ 13. Сипа Каково растяжепие, такова и сила.

Р. Гук

Согласно первому закону динамики тело, на которое не действуют другие

тела (или их действия на него скомпенсированы), находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения по отношению к инерциальной

системе отсчёта . Изменить это состояние может только внешнее воздействие.

Количественной характеристикой механического воздействия на рассма­

триваемое тело других тел является физическая величина, называемая силой. Обычно силу обозначают буквой F.

44

Под действием сил (внешних воздействий) тела могут: • изменять свою скорость, т. е. приобретать ускорение; например, камень

падает вниз с ускорением, потому что на него действует Земля; • деформироваться; например, пружина, к которой подвешен груз, растя­

гивается.

Выясним, как можно сравнивать силы . Для этого выполним следую­

щий опыт. Закрепим верхний конец пружины неподвижно (рис. 2.4) и измерим длину пружины l 0 , затем

к нижнему концу пружины подвесим

груз. Под действием этого груза (си­

лы F 1) пружина растягивается, и её

длина становится равной l1, а удлине­

ние х1 = l 1 - l0 • Теперь подвесим к пру­

жине два таких груза. В этом случае Рис. 2.4

сила, действующая на пружину, увеличилась в 2 раза (F2 = 2F 1). Как показывает

опыт, и удлинение пружины х2 = l 2 - l0 оказывается в 2 раза больше: х2 = 2х1 • Подвесив к пружине три одинаковых груза (F3 = 3F1) , мы увидим, что удли­

нение пружины Хз = l3 - l0 увеличилось в 3 раза: х3 = 3х1 • Найдём отношения удлинения пружины к действующим силам:

Следовательно, х F = const,

т. е. удлинение пружины пропорционалъво действующей на неё силе.

Под действием внешней силы пружина растягивается, и в вей возникает

сила упругости Fупр (рис . 2.5), которая стремится вернуть пружину в первона­чальное состояние. Сила упругости уравновешивает внешнюю силу F: F yop = F. Это означает, что сила упругости, возникающая при деформации пружины, пропорционалъиа её удлинению:

1 Fупр = kx, 1 (2.1)

где k - коэффициент пропорциональности, называемый

жёсткостью (пружины). Сила упругости растянутой пружины действует вдоль

её оси (см. рис. 2.5) . Вы сами можете подействовать на книгу, лежащую на столе, мускульной силой в любом на­

правлении . Поэтому можно предположить, что сила явля­ется векторной величиной (т. е. характеризуется модулем

и направлением).

Направление силы упругости F упр , возникающей в пру­жине , противоположно направлению перемещения частиц

пружины (см. рис . 2.5), поэтому формулу (2.1) в проекции на ось ОХ записывают так :

(2.2)

х

F

Рис. 2.5

45

Сила упругости пропорциональна удJIИНению пружины и противоположна

ему по направлению.

а

-р "

б

Рис. 2 .6

Это утверждение называют закон.ом Гука (для растя­жения или сжатия).

Английский учёный Р. Гук установил его в 1660 г. Этот закон справедлив только в случае не слишком больших

деформаций. Когда деформация превышает некоторый опре­

делённый для каждой конкретной пружины предел, про­

порциональность между силой и деформацией нарушается.

Деформацию, подчиняющуюся закону Гука, называют

упругой деформацией.

Закон Гука позволяет количественно сравнивать силы,

поскольку отношение модулей двух сил равно отношению

удлинений пружины, вызываемых действием этих сил:

.Fj Х1 F 2 = Х2

Силу упругости, действующую на тело со стороны опоры,

называют силой реакции опоры и обозначают N (рис. 2.6, а), а со стороны подвеса - силой натяжения подвеса (си­

ла F11 на рис. 2.6, б) .

Проверьте себя

1. Приведите примеры взаимодействия тел . 2. Что такое сила? 3. Какие действия вызывает сила? 4. В чём состоит закон Гука? 5. Как сравнивают силы?

§ 14. Второй эакон Ньютона Выл. этот мир глубокой тьмой окутан. Да 6удет свет! И вот яви.лея Ньютон.

А. Поп

Исследуем, как зависит ускорение тела от действующей на него силы. Для

этого изучим движение тележки по столу под действием пружины, по растя­

жению х которой можно судить о силе F, действующей на тележку.

Опыт 1. Пусть тележка удерживается упором. Растягиваем пружину на х (рис. 2. 7, а), убираем упор, тележка начинает двигаться с ускорением ii.1

и за некоторое время проходит путь s. Измерив этот путь s и время t, найдём ускорение а1 тележки по формуле

46

а

б

Рис. 2.7

Опыт 2. Увеличим силу, действующую на тележку, в 2 раза. О силе будем судить по удлинению пружины, которое теперь будет равно 2х. Измерения

и вычисления показывают, что ускорение при этом возрастает в 2 раза, т . е.

На основании этих и подобных опытов был сделан вывод, что ускорение

тела пропорционально действующей на него силе: а - F.

Опыт 3. Теперь повторим опыт 1, взяв две такие же тележки (рис. 2 .7, 15). Найдём ускорение а3, приобретаемое тележками под действием силы F . Опыт показывает, что под действием одной и той же силы F ускорение двух тележек оказалось в 2 раза меньше, чем ускорение одной тележки, т. е.

аз 1 t1i = 2·

Две тележки больше «сопротивляются• изменению их скорости, чем одна. Говорят, что две тележки более инертны, чем одна. Инертность - свойство

тела, проявляющееся в том, что для изменения его скорости требуется время.

Количественной мерой инертности тела является физическая величина,

называемая массой 1 • О теле, которое приобретает меньшее ускорение, говорят, что оно более инертно, т. е. имеет большую массу, а тело, которое приобретает

большее ускорение, - меньшую массу . Поэтому для сравнения масс т1 и т2

1 От лат. massa - глыба, ком.

47

двух тел достаточно измерить модули а1 и а2 уско­

рений, приобретаемых этими телами под действием

одной и той же силы F: mi = 11:! т2 а1

Но чтобы определить массу одного тела, нужно

второе тело выбрать в качестве эталона и его массу

принять за единицу массы.

За единицу массы - килограмм - принята масса

цилиндра из сплава платины и иридия - между­

народного прототипа (эталона) массы (рис. 2.8), Рис. 2 .8 хранящегося в Международном бюро мер и весов в

г. Севре близ Парижа. Массу т тела можно определить, сравнив её с массой т. эталона. Для этого

нужно привести тело во взаимодействие с эталоном и измерить модули приоб­

ретённых ими ускорений. Тогда

т а,

т, а

откуда

т - та. - • а.

Объединив результаты опытов 1, 2 и 3, можно записать: F

а - - , т

или

F а = а.-,

т

где значение коэффициента а. зависит от выбора единиц массы, ускорения и

силы. Единица массы - 1 кг, ускорения - 1 м/с2 , а единица силы нами ещё не определена. Её выбирают такой, чтобы коэффициент а оказался равным

единице (а. = 1). Тогда F

а = - . (2.3) т

Поскольку сила и ускорение - векторы, то это соотношение, называемое

вторым закон.ом Ньютон.а, записывают так:

48

- F а = - .

т (2.4)

Ускорение тела прямо пропорциоваJIЬво действующей на него силе и об­

ратно пропорционально его массе.

Выразим силу F из формулы (2.4):

F = mii. (2 .5)

Единицу силы установим из формулы для модуля силы F = та . Если т = 1кгиа=1 м/с2, то

2 кг. м [F] = 1 кг·l м/с = 1--2 - = 1 Н. с

Единице силы присвоено специальное наименование - ньютон (Н), в честь И. Ньютона.

Ньютон равен силе, под действием которой тело массой 1 кг приобретает ускорение 1 м/с2•

Если на тело одновременно действуют несколько сил, то каждая из них сообщает ему такое же ускорение, что и при отсутствии других сил. В этом за­

ключается принцип независимости действия сил, или принцип суперпозиции.

Результирующее ускорение ii., приобретаемое телом массой т под действи­ем нескольких сил, определяется в соответствии со вторым законом Ньютона:

ii. = F1 + F 2 + ... + F п т

F = -

т'

где F - результирующая (равнодействующая) сила, равная

F = F1 + F2 + ... + Fn.

Второй закон Ньютона является основным законом динамики, поскольку он позволяет по приложенным к телу силам найти его ускорение, а зная его, можно

определить (при известных начальных условиях) положение движущегося тела

в любой момент времени. А это и есть решение основной задачи механики. Второй закон Ньютона справедлив для любых сил и для любых тел, т . е.

является универсальным законом. Его используют при изучении движения

автомобилей, молекул, звёзд, волн, механизмов и др.

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчёта .

Мы уже отмечали, что в законе Гука коэффициент k называется жёст­костью. Теперь установим единицу жёсткости. Из закона Гука F = kx выра-

зим k: k = F и подставим в эту формулу единицы силы и длины: х

lH [k ] = 1 м = 1 Н/м.

Ньютон на метр равен жёсткости такого тела, которое под действием си­

лы 1 Н удлиняется на 1 м.

Проверьте себя

1. Что такое масса? 2. Какова единица массы? 3. Как определить массу тела? 4. Сформулируйте второй закон Ньютона. 5. Расскажите об опытах, иллюстрирующих второй закон Ньютона. 6. Почему второй закон Ньютона считают основным в динамике?

49

УПРАЖНЕНИЕ 11

1. С каким ускорением движется тело массой 2 кг, если на него действует сила 50 Н?

2. Тело массой 3 кг движется с ускорением 1,5 м/с2• Определите силу, дей­ствующую на тело.

3. Материальная точка массой 500 г движется с ускорением 2 м/с2 под действием двух равных по модулю сил, направленных под углом а= 90° друг к другу. Определите модуль этих сил.

4. На материальную точку массой 500 г действуют две силы F1 и F2 , на­правленные под углом а = 60° друг к другу, модули этих сил равны 1,5 Н. Определите ускорение материальной точки.

§ 15. Третий закон Ньютона Если кто нажимает пальцем на камень,

то и палец его также нажимается ка.мнем.

И. Ньютон

Тяжело молоту, тяжело и наковальне.

Пословица

Всякое действие тел друг на друга взаимно. Убедимся в этом на опыте.

Возьмём два одинаковых динамометра и сцепим их крючками (рис. 2.9). Растягивая их, мы увидим, что динамометры показывают одинаковые силы,

их стрелки отклоняются на одинаковое число делений, но в противоположные

стороны. Следовательно, динамометры взаимодействуют с равными по модулю,

но противоположно направленными силами:

F1 = - F2.

Мы рассмотрели взаимодействие покоящихся тел. Теперь выясним, как

взаимодействуют движущиеся тела. На рис. 2.10 изображены два цилиндра с просверлёнными по оси отверстиями . Цилиндры надеты на стержень, вдоль

которого они могут скользить с малым трением. Известно, что отношение масс

цилиндров равно 3 ( : : = 3} Свяжем цилиндры нитью. Установим стержень с цилиндрами на горизонтальный диск, который станем вращать. Скользя вдоль

Рис. 2 .9

50

стержней, цилиндры остановятся,

каждый на некотором расстоянии от

оси вращения. При этом они будут

двигаться по окружностям радиусов

r 1 и r2 с центростремительными уско­

рениями, равными

где п - частота обращения. Найдём

отношение ускорений:

а1 = д_ ~ Г2

Измерения показывают, что отношение д_ Г2

но m:i = 3, следовательно, !!!.. т. ~

или

Согласно второму закону Ньютона

т1а1 = Fi. т2а2= F2.

Значит, F1 = F2.

Рис. 2.10

3. Это значит, что !!!.. = 3; ~

Сила F1 приложена к одному цилиндру, а сила F2 - к другому. Направ­

лены эти силы в противоположные стороны. Поэтому

(2.6)

Это равенство выражает третий закон Ньютона:

Силы, с которыми действуют друг на друга тела, равны по модулю и

противоположны по направлению.

Природа сил, с которыми взаимодействуют тела, одинакова. Так, в опыте

с цилиндрами (см . рис. 2.10) - это сила упругости .

Из третьего закона Ньютона следует, что в природе одиночные силы не

могут существовать, т. е . силы всегда возникают и действуют парами; при·

ложены они к разным телам, и потому складывать их нельзя, т. е. они не имеют равнодействующей.

Проверьте себя

1. Сформулируйте третий закон Ньютона. 2. Приведите примеры, подтверждающие третий закон Ньютона. 3. Могут ли уравновесить друг друга силы, с которыми взаимодействуют два

тела, ведь они равны по модулю и противоположно направлены?

51

§ 16. Закон всемирноrо т•rотени• Причину же свойств силы тяготения

я до сих пор не .мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю.

И. Ньютон

Наблюдения показывают, что на все тела со стороны Земли действует сила

притяжения. Под действием этой силы поднятые тела, если их отпустить, па­

дают на поверхность Земли с ускорением. Но тела притягиваются не только к

Земле, но и дµуг к дµугу. Закон, которому подчиняется это притяжение, был уста­

новлен И. Ньютоном в 1687 г. и называется закон.ом всемирного тяготения.

Сила, с которой две материальные точки притягиваются друг к другу, про­порциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния

между ними.

Математически закон записывается так:

(2.7)

где F - модуль силы, т1 и т2 - массы тел, r - расстояние между ними, G -коэффициент пропорциональности.

Силы притяжения, действующие между материальными точками, направ­

лены вдоль прямой, соединяющей эти точки (рис. 2.11). Коэффициент пропорциональности G называют гравитационной постоян­

ной, а силу F - гравитационной силой.

Выясним физический смысл гравитационной постоянной. Если мас­

са каждого из двух взаимодействующих тел равна 1 кг (т 1 = т2 = 1 кг) и расстояние между ними 1 м (r = 1 м), то получается, что гравитаци-

- _ онная постоянная численно равна модулю си-

т1 F1.2 F 2.1 ni2 лы притяжения между двумя телами мас-

1 " " r сой 1 кг каждое, находящимися на расстоянии 1 м

52

,. друг от друга. • ' Экспериментально было установлено, что

Рис . 2 .11 G = 6,7 .10-11 Н·м2/кг2 •

Рис. 2.1 2

Впервые значение G определил английский физик Г. Кавендиш в 1798 г. с помощью крутиль­ных весов (рис. 2.12).

Его эксперимент состоял в измерении силы при­

т.яжени.я между телами известной массы. Г. Кавен­

диш закрепил два маленьких свинцовых шарика

на противоположных концах длинного стержня,

который подвешивался на тонкой проволоке. Ря­

дом с маленькими шариками были расположены

два больших свинцовых шара. При этом стержень с маленькими шариками

поворачивался. Это означало, что на них действует сила притяжения со сто­

роны больших шаров.

Повороту стержня препятствовала сила упругости, возникающая при за­кручивании подвеса. Эта сила, как было установлено опытным путём, про­порциональна углу поворота подвеса. Поэтому, измерив этот угол, можно было

определить гравитационную силу, с которой взаимодействовали шары.

Закон всемирного тяготения, выраженный формулой (2. 7), может быть использован для вычисления сил взаимодействия:

• между телами любой формы, если их размеры значительно меньше рас­стояния между ними;

• между однородными шарообразными телами (за расстояние между телами в этом случае принимается расстояние между центрами шаров);

• между телом шарообразной формы и телом, которое можно принять за материальную точку .

Сила всемирного тяготения сообщает любому телу, находящемуся вблизи

поверхности Земли, одинаковое ускорение. Это и есть ускорение свободного

падения g (g "' 9,8 м/с2):

F GM а= - =-2- =g,

т R 3

(2.8)

где М - масса Земли, R 3 - радиус Земли.

Если тело находится на высоте h над поверхностью Земли, то R = R 3 + h, и на этой высоте ускорение свободного падения

, GM g = (R

3 + h)2 •

(2.9)

Из формулы (2.9) видно, что ускорение свободного падения уменьшается с увеличением высоты h.

С помощью формулы (2 .8) Г. Кавендиш впервые определил массу Земли:

М = gR~ = 6 · 1024 кг. G

Поэтому говорят, что Г. Кавендиш, найдя значение G, впервые <&взвесил»

Землю.

Одно из проявлений всемирного тяготения тел - это действие силы тяже­сти, которая сообщает телу ускорение свободного падения и (если не учитывать

вращения Земли) направлена к центру Земли:

F = тg. (2.10)

Убедительным подтверждением закона всемирного тяготения было пред­

сказание существования планет Нептун и Плутон и их обнаружение именно

там, где они должны были быть в соответствии с расчётами, основанными на

этом законе.

53

ЗАДАЧА

На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения

составляет четвёртую часть ускорения свободного падения вблизи её поверх -ности? Радиус Земли равен 6400 км.

Решение. На высоте h над поверхностью Земли ускорение свободного падения

У поверхности Земли

Разделив g на g', получим:

g '= GM 2 .

(R3 + h)

GM g = -2- · Rз

g (Jla + h)2 =

g ' R~

Извлечём квадратный корень из правой и левой частей этого уравнения, тогда

Гi _ R3 + h Vi' - Rз '

откуда

h = Rз( Jf -1) = R3 ; h = 6400 км.

Проверьте себя

1. Как изменится сила притяжения между двумя шарами, если расстояние междУ их центрами увеличить в 3 раза? уменьшить в 4 раза?

2. Как изменится сила притяжения междУ двумя шарами, если один из них заменить другим, масса которого вдвое меньше?

3. Почему мы не замечаем притяжения тел друг к другу, хотя притяжение этих же тел к Земле наблюдать легко?

УПРАЖНЕНИЕ 12

1. Во сколько раз ускорение свободного падения на Земле больше ускорения свободного падения на Марсе? Радиус Марса составляет 0,53 радиуса Земли, а масса Марса равна 0,11 массы Земли .

2. Чему равно ускорение свободного падения на Луне? Масса Луны равна 7,3 · 1022 кг, а радиус - 1, 74 · 106 м.

3. На каком расстоянии от поверхности Земли ускорение свободного падения равно 1 м/с2?

54

§ 17. Вес. Невесомоаь. Переrруэка

Я почувствовал, что какая-то

непреоборимая сила всё больше и больше вдавливает меня в кресло ... трудно пошевелить рукой и ногой.

Ю. А. Гагарин

Когда тело покоится относительно Земли, то сила тяжести тg, действу­

ющая на него, уравновешивается силой реакции опоры N (рис . 2.13, а) или силой натяжения подвеса F. (рис. 2.13, 6). Так как под действием силы N(Fв) тело деформируется, то возникает ещё одна сила - сила упругости деформи­

руемого тела, которая приложена к опоре (подвесу) и направлена вертихально

вниз. Её называют весом тела и обозначают Р.

Согласно третьему закону Ньютона Р = -N (Р = -Fи).

Сила, с которой тело действует на подвес или опору вследствие притяжения

к Земле, называется весом тела.

Выясним, зависит ли вес тела от того, как движется это тело вместе с опо­

рой . Пусть тело находится на полу лифта. Рассмотрим три случая.

la = O. j Ускорение лифта равно нулю (рис. 2.14, а). Лифт ~ижется равномер­но и прямолинейно или покоится. В этом случае вес тела Р1 равен по модулю

силе реакции опоры N 1 : Р1 = N 1 • Но N 1 = тg. Следовательно,

Р1 = тg.

Если тело и опора иеподвижны или движутся равномерно и прямолинейно,

то вес тела по модулю равен действующей на него силе тяжести.

1

• тg

а б

Рис. 2.13

55

у а = О а+

у а-1

у

о о

а б в

Рис. 2.14

la J.J. g.I Ускорение лифта ii направлено вертикально вниз. Запишем второй закон Ньютона для тела в этом случае (рис. 2.14, 6):

№ + тg = тii,

или, в проекциях на ось ОУ:

N 2v + тgv = таv.

Так как N 2v = N 2, тgv = -тg, av= -а, то

N 2 - тg = -та.

Отсюда

N2 = т(g - а).

Вес тела Р2 по модулю равен силе реакции опоры №: Р2 = N 2 (третий за­кон Ньютона), следовательно,

Р2 = т(g - а).

Если тело вместе с опорой движется с ускорением ii, направленным так же, как ускорение свободного падения, то его вес меньше действующей на тело силы тяжести.

В случае, если лифт движете.я вниз с ускорением свободного падения (а = g), то вес тела, находящегося в нём, равен нулю :

Р~ = т(g - g) = О.

Состояние тела, в котором его вес равен нулю, называют невесомостью.

В таком состоянии, например, находятся предметы в космическом корабле,

летящем по околоземной орбите с выключенными двигателями.

В состоянии невесо.;,~ости находится любое тело, движущееся с ускорением свободного падения. Чтобы испытать это состояние, достаточно совершить пры-

56

жок: между моментом отрыва от поверхности земли и моментом приземления

человек будет невесом.

1 а t .J.. g. I ускорение а лифта направлено вертикально вверх. Так как на тело действуют те же силы, что и при движении с ускорением вниз, то второй

закон Ньютона будет иметь вид (рис. 2.14, в):

N 3 - тg =та,

или

N 3 = т(g + а).

При этом вес тела

Р8 = т(g +а). Если тело вместе с опорой движется с ускорением ii., направленным

противоположно ускорению свободного падения, то его вес больше действую­

щей на него силы тяжести.

Увеличение веса тела, вызванное ускоренным движением опоры (или под­

веса), называют перегрузкой.

Перегрузке подвергается космонавт на участке разгона взлетающей ракеты.

Перегрузку испытывают пассажиры лифта в начале его подъёма, когда лифт

движется с ускорением, направленным вверх.

Проверьте себя

1. Что такое вес тела? 2. В чём различие между весом тела и силой тяжести, действующей на

него? 3. Как изменяется вес тела при ускоренном движении вверх? вниз? 4. Когда тело находится в состоянии невесомости? 5. Камень, выпущенный из руки, во время падения находится в состоянии

невесомости. Будет ли камень находиться в состоянии невесомости, если его бросить вверх? под углом к горизонту?

6. Исчезает ли сила притяжения тела к Земле при его переходе в состояние невесомости?

7. Что такое перегрузка? Когда она возникает?

УПРАЖНЕНИЕ 13

1. Человек стоит на напольных весах. Внезапно он приседает. Как изменятся во время приседания показания весов?

2. Груз массой 5 кг поднимают с помощью каната вертикально вверх с ускорением 2 м/с2 • Какова сила натяжения каната?

3. С каким ускорением надо поднимать гирю, чтобы её вес увеличился вдвое? С каким ускорением надо опускать гирю, чтобы её вес уменьшился вдвое?

57

§ 18. Перва• космическа• скорость Конечно, это будет русская ракета,

и, конечно, полетит на ней русский человек.

К. :Э. Циолковский

В своей работе •Математические начала натуральной философии• И. Нью­

тон рассматривает, как будет двигаться тело, находящееся на высокой горе,

если сообщать ему в горизонтальном направлении разные скорости. Чем больше

скорость, тем дальше от горы упадёт тело . А при достаточно большой скоро­

сти оно никогда не упадёт (рис. 2.15), т. е. станет искусственным спутником (ИС) Земли.

Н аиА~еньшая скорость, которую нужно сообщить телу (по касательной

к круговой траектории относительно Земли), чтобы оно превратилось вис­

кусственный спутник Земли, называется первой косА~ической скоростью.

Определим эту скорость. На больших высотах воздух разрежен и практиче­

ски не оказывает сопротивления движущимся телам. Поэтому можно считать, что на спутник действует только гравитационная сила, направленная к центру

Земли (рис. 2.16):

F = G тМ (Rз + h)2 '

где R 3 - радиус Земли, h - высота спутника над поверхностью Земли, М -масса Земли, т - масса спутника.

58

Эта сила сообщает спутнику центростремительное ускорение

uz ац = Rз + h.

Так как F = та (второй закон Ньютона), то

1 1

\

1

\ \

, , ,

' ' '

, , ,

' ' '

' '

... ____ _

Рис. 2.15

GmM ти2

(R3

+ h)2 = R 3 + h ·

' ' \ \

1 1 L ,_

' 1 1 ,

1 1

1

1 1

/ /

\ \

/

'

" "

...

-- -- -

~

-- -- --Рис. 2 .16

/

" /

1

1 1

1

/ /

Отсюда находим скорость, с которой спутник движется по орбите:

v = Jя~1: h' (2.11)

Если спутник движется вблизи поверхности Земли (h = 0), то

v = JO::· (2.12)

Учитывая, что у поверхности Земли ускорение свободного падения

GM g = я; ,

для первой космич,еской скорости будем иметь:

v = JgRз .

Так как g = 10 м/с2 , а R3 = 6 400 ООО м, то v:::: 8000 м/с = 8 км/с. 12 апреля 1961 г. первый в мире космонавт, гражданин Советского Союза

Ю. А. Гагарин на корабле-спутнике «Восток~ совершил один оборот вокруг Земли и благополучно приземлился. Этой дате посвящён День космонавтики, который отмечается в нашей стране 12 апреля.

Проверьте себя

1. Какую скорость называют первой космической? Чему она равна? 2. Как направлены скорость и ускорение искусственного спутника Земли?

УПРАЖНЕНИЕ 14

1. Какова первая космическая скорость для планеты радиусом R = 4000 км, если ускорение свободного паде­ния у её поверхности g = 6 м/с2?

2. Чему равна первая космическая скорость для планеты, у которой масса и радиус в 2 раза больше, чем у Земли?

3. Какова первая космическая скорость вблизи по­верхности Луны, если её радиус R = 1 780 км, а ускорение свободного падения у её поверхности в 6 раз меньше, чем у поверхности Земли?

4. Чему равна первая космическая скорость для пла­неты радиусом R = 2500 км, средняя плотность которой р = 4,5·103 кг/м3?

Юрий Алексеевич Гагарин

(1934- 1968)

59

§ 19. C11na трения Угря в руках не удержишь.

Что кругло - легко катится.

Пословицы

Сила трения препятствует движению соприкасающихся тел относительно

друг друга. Ознакомимся на опытах с особенностями силы трения, возника­

ющей между соприкасающимися поверхностями твёрдых тел. Эта сила назы­вается силой сухого трения.

Опыт 1. Поместим на стол брусок массой т. Прикрепим к нему нить, сое­динённую с динамометром (рис. 2.17). Потянем брусок с помощью динамометра с некоторой силой F. Брусок не движется. Это означает, что действие всех сил,

приложенных к бруску, скомпенсировано: сила тяжести тg уравновешивается

силой реакции опоры N, а силу натяжения нити F должна уравновешивать какая-то другая сила - это и есть сила трения покоя.

Сила, препятствующая возникновению движения одного тела по поверх­ности другого, называется силой трения покоя.

"Увеличим силу, с которой динамометр действует на брусок. Брусок по­прежнему остаётся в покое. Значит, большая действующая сила опять уравно­вешивается силой трения покоя, т. е. сила трения покоя также увеличилась.

При некотором значении действующей силы брусок начинает скользить по

поверхности стола. Следовательно, сила трени.я покоя может принимать значения от нуля до некоторого 1ttаксималъного значения.

На рис. 2.18 изображён гимнаст, который удерживается на канате силой трения покоя. Сила трения покоя фиксирует на месте туго завинченную гай­ку, гвоздь в доске. Без трения покоя невозможно было бы движение людей по земле. При ходьбе и беге на подошвы ног действует сила трения покоя, если

только ноги не скользят (рис. 2.19, а). Сила трения покоя является причиной начала движения, т. е. причиной возникновения ускорения, направленного

- -в сторону движения. Сила F, равная по модулю силе трения покоя Fтр.п, но

противоположно направленная, сообщает ускорение опоре (Земле) . Так как

масса Земли велика, то сообщаемое ей силой F ускорение мало. Чтобы лучше

. ··~ ' ~ -~··· . . , .

Рис. 2.17

60

а б Рис. 2 .18 Рис. 2.19

понять сказанное, представим, что спортсмен бежит по дорожке, установленной на роликах. Отталкивая дорожку, спортсмен заставляет её двигаться в противо­

положном направлении (рис. 2.19, б). Если тело движете.я по поверхности другого тела, то на него действует сила

трения скольжения.

Силу трения скольжения можно определить с помощью той же установки,

которую мы использовали для изучения трения покоя (см. рис. 2.17). Добь­ёмс.я, чтобы, начав движение, брусок перемещался равномерно. При этом

сила трения скольжения будет уравновешена силой, с которой динамометр действует на брусок.

Выясним, от чего зависит сила трения скольжения.

Опыт 2. Поставим на брусок гирю той же массы, что и сам брусок (рис. 2.20). При этом сила, с которой брусок действует на стол перпендикулярно по­

верхности, увеличиваете.я в 2 раза. Но эта сила согласно третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции опоры, действующей на брусок со стороны стола . Следовательно, и сила реакции опоры увеличилась в 2 раза. Измерив в этом случае силу трения (она равна показаниям динамометра), обнаружим, что она тоже увеличилась в 2 раза.

Рис . 2.20

61

Рис. 2.21

Нагружая брусок различными гирями

и измеряя каждый раз силу трения, мы

обнаружим, что модуль силы трения про­

порционален модуJIЮ СИJIЫ реакции опоры:

1 Fтi> = µN, 1 (2.13)

где µ - коэффициент пропорциональности,

называемый коэффициентом трения. Его

значение зависит от материала соприка­

сающихся тел и от качества обработки их

поверхностей. Коэффициент µ определяют опытным путём.

Опыт 3. Повернём брусок так, чтобы он опирался на доску поверхностью, имеющей другую площадь. Измерив F т~> при равномерном движении бруска, увидим, что она не изменилась, следовательно, сила трения не зависит от

площади соприкосновения трущихся поверхностей.

Силу трения скольжения можно уменьшить во много раз с помощью смазки.

Смазку используют в подвижных деталях автомобилей, тракторов и других

устройств. Силы трения возникают не только в том случае, когда мы двигаем пред­

мет, но и тогда, когда катим его. При этом сила трения качения в десятки раз

меньше силы трения скольжения, что широко используется на практике. Так,

катки, помещённые между поверхностями двух тел, помогают в значительной мере уменьшить силу трения. Если тяжёлый предмет стоит на катках, его

намного легче толкать или тащить на канате (рис. 2.21). Картина Н. К. Рериха •Волокут волоком• (на рис. 2.22 представлена её

репродукция) иллюстрирует сказанное.

Рис. 2.22

62

ЗАДАЧА

Брусок соскальзывает с наклонной плоскости с ускорением а = 1 м/с2 , угол наклона плоскости а = 45°. Каков коэффи­циент трения между бруском и наклонной плоскостью?

Решение. На брусок действуют три силы: сила тяжести тg, сила трения Fтр

и сила реакции опоры N (рис. 2.23), ко­торые сообщают бруску ускорение а, на­

правленное вдоль наклонной плоскости

вниз. Второй закон Ньютона для данного

случая в векторной форме имеет вид

тg + F тр + N = та. Рис . 2 .23

Запишем его в проекциях на оси ОХ и ОУ, направленные так, как показано на рис. 2.23:

тgх + Fтрх + N x = тал тg11 + Fтр11 + N 11 = та11 •

Выразим проекции векторов через их модули:

тgх = тgsina, Fтрх = -Fтр, N x = О, ах= а;

тg11 = -тgcosa, Fтр11 = О, N 11 = N, а11 =О.

Тогда будем иметь:

тgsina - Fтр = та,

N - тgcosa = О.

(1) (2)

Но Fтр = µN. Так как из соотношения (2) следует, что N = тgcosa, то для силы трения получим:

Fтр = µтgcos a.

С учётом этого уравнение (1) можем записать в виде

тgsina - µтgcosa = та,

откуда

gsina - а µ = gcosa ; µ == О,Sб.

Проверьте себя

1. Какую силу называют силой трения покоя? 2. Какие значения может принимать сила трения покоя? 3. Какую силу называют силой трения скольжения?

63

4. Приведите примеры проявления силы трения в природе и её применения в технике.

5. Каков физический смысл пословиц: «Не подмажешь - не поедешь», «Из навощённой нити трудно плести сеть», «Камень тяжёл, когда лежит на

своём месте, если же его покатить, он станет лёгким», «Если двое возь­мутся - валун с места сдвинут, если трое - на другое место перенесут•?

УПРАЖНЕНИЕ 15

1. При экстренной остановке поезда, двигавшегося со скоростью 72 км/ч, тормозной путь составил 100 м. Чему равен коэффициент трения между ко­лёсами поезда и рельсами?

2. Автобус массой 4 т трогается с места и, пройдя путь 120 м, приобретает скорость 15 м/с. Определите коэффициент трения, если сила тяги двигателя автобуса F = 10 кН.

3. С каким ускорением будет двигаться по горизонтальной плоскости тело массой т = 2 кг, если к нему приложена сила, направленная вверх под углом а = 45° к горизонту и равная 5 Н? Коэффициент трения между телом и пло­

скостью равен 0,1 . 4. Прикладывая силу, направленную под углом 30° к горизонту, человек

тянет санки массой 40 кг. Санки при этом равномерно перемещаются по горизонтальной поверхности. Определите модуль действующей силы, если

коэффициент трения санок о снег равен 0,1. 5. Тело начинает скользить с верхней точки наклонной плоскости, высота

которой равна h, а угол с горизонтом а. Найдите скорость тела у основания плоскости, если коэффициент трения равенµ.

ИЗ ИСТОРИИ СОЗДАНИЯ ДИНАМИКИ

Сдел.ал., ч.то мог, пусть другие сделают л.уч.ше.

И. Ньютон

Научные основы динамики, а с ней и всей механики создавались в XVII в. Основоположник механики Г. Галилей открыл законы инерции и свободного падения тел, обосновал принцип относительности.

((.Мы создаём совершенно новую науку, предмет которой является чрез­

вычайно стары~~ ... В природе нет ничего древнее движения, но именно отно­сительно него философами написано весьма мало значительного. Поэтому я многократно изучал на опыте его особенности, вполне этого заслуживающие,

но до сего времени либо неизвестные. либо недоказанные», - писал Г. Галилей в своём главном сочинении «Диалог о двух системах мира - Птолемеевой и

Коперниковой ». Работам Галилея предшествовали труды польского учёного Н. Коперника

(14 73- 1543), создавшего гелиоцентрическую картину мира. Позже немецкий

64

учёный И. Кеплер (1571-1630) открыл законы движения планет . Эти законы

помогли И. Ньютону установить закон всемирного тяготения, о чём он писал:

«Если я видел дальше, чем другие, то лишь потому, что стоял на плечах

гигантов".

И. Ньютон в книге «Математические начала натуральной философии»,

вышедшей в 1687 г. и названной французским учёным Ж. Лагранжем «ве­личайшим из произведений человеческого разума», впервые изложил основы

классической механики в единой системе. Он сформулировал три закона ди­

намики и закон всемирного тяготения, вывел ряд следствий из этих законов.

Начиная с этого времени развитие механики происходило настолько бы­

стро и успешно, что к XIX в. её стали признавать главной наукой о природе. На основе законов динамики были:

• созданы методы расчёта технических конструкций; • описаны движения звёзд; • объяснены некоторые тепловые явления. Во второй половине XIX в. большинство учёных считали, что все законы

природы сводятся к механическим законам и что любое явление природы

имеет свои механические «пружины». Цель физики и состоит в отыскании

этих «пружин».

Однако в ХХ в. было выяснено, что законы Ньютона справедливы не всег­

да, например, они не вьmолняются при движении электронов внутри атомов.

Для описания этого движения была создана так называемая квантовая меха­

ника.

В это же время опытным путём было установлено, что скорость света не за­

висит от выбора системы отсчёта. Поэтому возникла необходимость уточнения

динамики Ньютона. Это сделал в 1905 г. А. Эйнштейн, создав специальную теорию относительности (СТО) .

С момента выхода в свет «Математических начал ... » Ньютона прошло более 300 лет . Благодаря труду многих учёных XIX и ХХ вв. были открыты новые законы природы, созданы новые теории (электродинамика, общая и

специальная теория относительности и др.). Картина мира наполнилась более

богатым и глубоким содержанием. Тем не менее А. Эйнштейн подчёркивал:

«Пусть никто не думает, что великое создание Ньютона может 6ыть ниспровергнуто теорией относительности или какой-нибудь другой тео­

рией. Ясные и широкие идеи Ньютона навечно сохранят своё значение фун­

дамента, на котором построены наши современные физические представ­

ления" .

Сам же Ньютон так оценивал свой вклад в развитие науки: «Не знаю, кем

я могу казаться миру, но сам себе я кажусь только мальчиком, играющим на

морском берегу, развлекающимся тем, ч.то от поры до времени отыскиваю

ка.11~ешек более цветистый, ч.ем обыкновенно, или красивую раковину, в то

время как великий океан истины расстилается передо мной неисследован­

ным».

65

Научный вклад Ньютона высоко оценён и современниками, и потомками. Надпись на его могильной плите гласит: ~здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, прилежный, мудрый и верный истолкователь природы, который

почти божественным разумом первый доказал с факелом математики дви­

жение планет, пути комет и приливов океанов". Пусть смертные радуются, что существовало такое украшение рода человеческого• .

• САМОЕ ВАЖНОЕ в rnABE 2

• Инерциальные системы отсчёта (ИСО) - системы отсчёта, в которых тело, свободное от внешних воздействий, покоится или движется равно­мерно и прямолинейно.

• Первый закон Ньютона. Тело (материальная точка) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока

внешние воздействия не выведут его из этого состояния.

• Второй закон Ньютона. В инерциальной системе отсчёта ускорение тела пропорционально равнодействующей силе (векторной сумме всех действующих сил) и обратно пропорционально массе тела:

- F а =-.

т

• Третий закон Ньютона. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению:

- -F1 = -F2.

• Принцип относительности Галилея. Во всех инерциальных системах отсчёта механические явления протекают одинаково (при одинаковых

начальных условиях). • Закон Гука. Модуль силы упругости пропорционален удлинению пру­жины:

Fупр = kx. • Закон все.11шрного тяготения. Сила притяжения двух материальных

точек пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату

расстояния между ними:

F - 0 т1т2 - r2 .

• Модуль силы трения скольжения пропорционален модулю силы реакции опоры:

Fтр = µN.

ЧАСТЬ 1. МЕХАНИRА

Гл а в а 2. Динамика § 12. Первый закон Ньютона . .. . .... .. .. . .. . ....... . ............. ... ... . .. ..... . .. . . ... ... ..... . 42 § 13. Сила . . . .. . .... . .... ... ........ . ........ ... . . . . .. . ... .. . . . . . . . . ..... . ..... . .. ...... . .... .. ... ... .. . 44 § 14. Второй закон Ньютона . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 § 15. Третий закон Ньютона ............. . ....... ................................................ 50 § 16. Закон всемирного тяготения . ... ..... . .. . ..... . ........ . ........ ... ............ .. . .. .... 52 § 17. Вес. Невесомость. Перегрузка . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. . .. .......................... . .. ... . ... 55 § 18. Первая космическая скорость . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 § 19. Сила трения ...................................... . .. . .. . .. ... ......... ... .... . .. . . .. . .... . .. .. 60

Из истории создания дина.чики .............. . ........................... . ............ 64 Ca.11ioe важное в главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66