第 19 课　特殊三角形

基础知识 自主学习

1 ．等腰三角形： (1) 性质： 相等， 相等，底边上的高线、中线、 顶角的角平分线“三线合一”； (2) 判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰 三角形．2 ．等边三角形： (1) 性质： 相等，三内角都等于 ； (2) 判定：三边相等、三内角相等或有一个角是 60° 的等腰三 角形是等边三角形．

要点梳理

两腰 两底角

三边 60°

3 ．直角三角形：在△ ABC 中，∠ C ＝ 90°.

(1) 性质：边与边的关系： ( 勾股定理 )a2 ＋ b2 ＝ ； (2) 角与角的关系：∠ A ＋∠ B ＝ ； (3) 边与角的关系： 若∠ A ＝ 30° ，则 a ＝ ____ c ， b ＝ ____c ； 若 a ＝ c ，则∠ A ＝ 30° ；

若∠ A ＝ 45° ，则 a ＝ b ＝ ____c ； 若 a ＝ b ，则∠ A ＝ 45° ； 斜边上的中线 m ＝ c ＝ R. 其中 R 为三角形外接圆的半

径． (4) 判定：

c2

90°C B

A

2

1

b c

a

2

3

2

1

2

2

2

1

③ 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

① 有一个角是直角的三角形是直角三角形；② 如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 满足 a2 ＋ b2 ＝ c2 ，那么这个三角形是直角三角形；

[ 难点正本　疑点清源 ] 1 ．等腰三角形的特殊性 “等边对等角”是今后我们证明角相等的又一个重要依据．

“等角对等边”可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据． 等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形拥有等腰三角形的所有性质，但不分顶角、底角、腰、底边．因为等边三角形任何一个角都为 60° ，任何一条边都可看做腰或底边． 解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线合一”的基本图形．在添加辅助线时，要根据具体情况而定，表达辅助线的语句，不能限制条件过多，如一边上的高并且要平分这条边；作一边上的中线并且垂直平分这条边；作一个角的平分线并且垂直对边等等，这些都是不正确的．

2 ．直角三角形的特殊性 直角三角形是重要的基本图形之一，它的特征和识别应用非常广泛，把勾股定理运用到实际生活中解决实际问题，常常渗透着数形结合、方程思想． 在利用勾股定理时，一定要看清题中所给的条件是不是直角三角形，所给的边是直角边还是斜边，如果题目无法确定是直角边还是斜边，则需要分类讨论．勾股定理的逆定理是把数转化为形，是通过计算判定一个三角形是否为直角三角形． 实际问题可根据实际情况转化为直角三角形去解，图中无直角时，可通过添加辅助线来构造直角三角形．若图形中有特殊角，如 30° 、 45° 、 60° 的角，在作辅助线时，要注意保留其完整性，以便应用特殊三角形的性质．

题型分类 深度剖析

【例 1 】　 (1) 方程 x2 － 9x ＋ 18 ＝ 0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ( 　　 )

A ． 12 B ． 12 或 15 C ． 15 D ．不能确定 答案　 C

解析　解方程 x2 － 9x ＋ 18 ＝ 0 ，得 x1 ＝ 3 ， x2 ＝ 6 ，周长为 3 ＋ 6 ＋6 ＝ 15 ，应选 C.

(2) 如果等腰三角形的一个内角是 80° ，那么顶角是 ________ 度． 答案　 80 或 20

解析　顶角是 80° ，或当底角是 80° 时，顶角是 180° － 2×80° ＝ 20°.

探究提高　在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底， 也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨 论．

题型一　等腰三角形有关边角的讨论

知能迁移 1(1)(2011· 烟台 ) 等腰三角形的周长为 14 ，其一边长为 4 ，那么，它的底边为 ___________________ ．

答案　 4 或 6

解析　①等腰三角形的底边为 4 ；②等腰三角形的两腰为 4 时，则底边等于 14 － 4 － 4 ＝ 6.

　 (2)(2011· 株洲 ) 如图， △ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A ＝ 36° ，AC 的垂直平分线交 AB 于 E ， D 为垂足，连接 EC.

① 求∠ ECD 的度数； ② 若 CE ＝ 5 ，求 BC 长．

解　①∵ DE 垂直平分 AC ， ∴CE ＝ AE ，∠ ECD ＝∠ A ＝ 36°.

5

② 解法一： ∵AB ＝ AC ，∠ A ＝ 36° ，∴∠ B ＝∠ ACB ＝72°. ∵∠ECD ＝∠ A ＝ 36° ， ∴∠BCE ＝∠ ACB －∠ ECD ＝ 36° ， ∴∠BEC ＝ 180° － 36° － 72° ＝ 72° ＝∠ B ， ∴ BC ＝ EC ＝ 5. 解法二：

∵AB ＝ AC ，∠ A ＝ 36° ， ∴∠B ＝∠ ACB ＝ 72° ， ∴∠BEC ＝∠ A ＋∠ ECD ＝ 72° ，

∴∠BEC ＝∠ B ， ∴BC ＝ EC ＝ 5.

题型二　等腰三角形的性质【例 2 】　如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ BAC ＝ 90° ，点 D 是

BC 的中点，且 AE ＝ BF ，试判断△ DEF 的形状．

　作等腰三角形的底边中线，构造等腰三角形“三线合一”的基本图形，是常见的辅助线的作法之一．

归纳小结

解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！

解：连接 AD ，在等腰 Rt△ABC 中， ∵AD 是中线， ∴AD⊥BC ，∠ DAE ＝∠ BAC ＝ 45° ， AD ＝ BD.

又∵∠ B ＝∠ C ＝ 45° ， ∴∠B ＝∠ DAE.[2 分 ] 在△ BDF 和△ ADE 中， ∴△BDF≌△ADE(SAS) ． [4 分 ] ∴DF ＝ DE ，∠ 1 ＝∠ 2.

又∵∠ 3 ＋∠ 1 ＝ 90° ， ∴∠2 ＋∠ 3 ＝ 90° ，即∠ EDF ＝ 90°.

∴△DEF 也是等腰直角三角形． [6 分 ]

知能迁移 2 　 已知：如图， D 是等腰△ ABC 底边 BC 上一点，它到两腰 AB 、 AC 的距离分别为 DE 、 DF. 当 D 点在什么位置时， DE ＝ DF ？并加以证明．

理由如下：∵ AB ＝ AC ，∴∠ B ＝∠C.

∵DE⊥AB ， DF⊥AC ， ∴∠DEB ＝∠ DFC ＝ 90°.

∵ 点 D 是 BC 的中点， ∴BD ＝ CD ， ∴△BDE≌△CDF(AAS) ， ∴DE ＝ DF.

解　当点 D 在 BC 的中点时， DE ＝ DF.

题型三　等边三角形【例 3 】　 (1) 已知：如图， P 、 Q 是△ ABC 边 BC 上两

点，且 BP ＝ PQ ＝ QC ＝ AP ＝ AQ ，求∠ BAC 的度数．

∴∠PAQ ＝ 60° ，∠ APQ ＝ 60°.

∵AP ＝ BP ，∴∠ B ＝∠ BAP ＝ ×60° ＝ 30°.

同理：∠ C ＝∠ CAQ ＝ 30° ， ∴∠BAC ＝ 30° ＋ 60° ＋ 30° ＝ 120°.

解　∵ AP ＝ PQ ＝ AQ ，∴△ APQ 是等边三角形．

(2)(2010· 大兴安岭 ) 如图所示，已知△ ABC 和△ DCE 均是等边 三角形，点 B 、 C 、 E 在同一条直线上， AE 与 BD 交于点 O ， AE 与 CD 交于点 G ， AC 与 BD 交于点 F ，连接 OC 、

FG ， 则下列结论： ①AE ＝ BD ； ②AG ＝ BF ； ③FG∥BE ； ④∠BOC ＝∠ EOC.

其中正确结论的个数 ( 　　 )

A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个

归纳小结　在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质，每个角都相等，每条边都相等，这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件．

D

解析　由△ BCD≌△ACE ， 可得① AE ＝ BD 成立； 由△ ACG≌△BCF ， 可得② AG ＝ BF 成立； ∵△ACG≌△BCF ， ∴CG ＝ CF ， 又∠ ACD ＝ 60° ， ∴△FCG 是等边三角形， ∴∠CFG ＝ 60° ＝∠ ACB ， ∴③FG∥BE 成立； 过 C 画 CM⊥BD ， CN⊥AE ，垂足分别是 M 、 N ， ∵△BCD≌△ACE ， ∴CM ＝ CN ， ∴ 点 C 在∠ BOE 的角平分线上， OC 平分∠ BOE ， 即④∠ BOC ＝∠ EOC 成立．

知能迁移 3 　如图，在等边△ ABC 中，点 D 、 E 分别在边BC 、 AB 上，且 BD ＝ AE ， AD 与 CE 交于点 F.

(1) 求证： AD ＝ CE ； (2) 求∠ DFC 的度数．

解　 (1) 在等边△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ BAC ＝∠ CBA ＝ 60° ， 又 BD ＝ AE ， ∴△ABD≌△CAE ， ∴AD ＝ CE.

(2)∵△ABD≌△CAE ， ∴∠BAD ＝∠ ECA.

∵∠DFC 是△ AFC 的外角， ∴∠DFC ＝∠ ECA ＋∠ DAC

＝∠ BAD ＋∠ DAC

＝∠ BAC ＝ 60°.

题型四　直角三角形、勾股定理【例 4 】　 (1) 如图，已知△ ABC 中，∠ ABC ＝ 90° ， AB

＝ BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线 l1 、 l2 、 l3

上，且 l1 、 l2 之间的距离为 2 ， l2 、 l3 之间的距离为 3 ，则 AC 的长是 __________

172

解析 分别过 A、C画 AD⊥ l3，CE⊥ l3，

垂足分别为 D、E，

易证明△ ABD≌ △ BCE，

所以 AD＝BE＝3，BD＝CE＝3＋2＝5.

在 Rt△ ABD中，AB＝ 32＋52＝ 34，

在 Rt△ ABC中，AB＝BC，

所以 AC＝ 2AB＝ 2× 34＝2 17.

应选 A.

(2) 如图，在钝角三角形 ABC 中， BC ＝ 9 ， AB ＝17 ，

AC ＝ 10 ， AD⊥BC ，交 BC 的延长线于 D ，求AD

的长．

9

1017

解 在 Rt△ ABD中，设 CD＝x，

则 AD2＝AB2－BD2＝172－(9＋x)2.

在 Rt△ ACD中，AD2＝AC2－CD2＝102－x2，

∴ 172－(9＋x)2＝102－x2，解得 x＝6，

∴ 在 Rt△ ACD中，AD＝ 102－62＝8.

答：AD的长是 8.

归纳小结 　在线段的长无法直接求出时，可利用另一线段把这一线段表示出来，然后利用勾股定理得到一个方程，最后得解，这是利用勾股定理解决线段长的常用方法．

知能迁移 4 　 (1) 如图，直线 l 上有三个正方形 a 、 b 、 c ，若a 、 c 的面积分别为 5 和 11 ，则 b 的面积为 ( 　　 )

A ． 4 　　 B ． 6 C ． 16 D ． 55

答案　 C

(2)(2011· 鸡西 ) 已知三角形相邻两边长分别为 20 cm 和 30 cm ，第三边上的高为 10 cm ，则此三角形的面积 为 __________cm2.

答案 (100 2＋50 3)或(100 2－50 3)

解析 如图①，在 Rt△ ABD中，AB＝30，AD＝10，

则 BD＝ 302－102＝ 800＝20 2，

在 Rt△ ACD中，AC＝20，AD＝10，

则 CD＝ 202－102＝ 300＝10 3，

∴ BC＝20 2＋10 3.

∴ S△ ABC＝12BC·AD＝

12(20 2＋10 3)× 10＝100 2＋50 3.

如图②，同理可得 BC＝20 2－10 3，

∴ S△ ABC＝12BC·AD＝

12(20 2－10 3)× 10

＝100 2－50 3.

基础自测

1 ． (2011· 济宁 ) 如果一个等腰三角形的两边长分别是 5 cm 和 6 c

m ，那么此三角形的周长是 ( 　　 )

A ． 15 cm B ． 16 cm

C ． 17 cm D ． 16 cm 或 17 cm

答案　 D

解析　这个三角形的周长是 5 ＋ 5 ＋ 6 ＝ 16 或 6 ＋ 6 ＋ 5 ＝ 1

7.

2 ． (2011·铜仁 ) 下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是 ( 　　 )

A ．等腰三角形两底角相等 B ．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互 相重合 C ．等腰三角形是中心对称图形 D ．等腰三角形是轴对称图形

答案　 C

解析　等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．

3 ． (2011·芜湖 ) 如图，已知△ ABC 中，∠ ABC ＝ 45° ， F 是高 AD 和 BE 的交点， CD ＝ 4 ，则线段 DF 的长度为 ( 　　 )

A ． 2 　　　 B ． 4 C ． 3 　　　 D ． 4

答案　 B

解析　在 Rt△ABD 中，∠ ABD ＝ 45° ，可得 AD ＝ BD ，易证△ BDF≌△ADC ，所以 DF ＝ CD ＝ 4.

4．(2011·凉山)如图，在△ ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，

点 D为 BC的中点，DE⊥AB，垂足为点 E，则 DE等于

( )

A. 1013 B.

1513 C.

6013 D.

7513

解析 连接 AD.∵ AC＝AB＝13，D为 BC中点，

∴ AD⊥ BC.

在 Rt△ ABD中，BD＝12BC＝5，

∴ AD＝ 132－52＝12.

又∵ S△ ABD＝12BD·AD＝

12AB·DE，

∴ DE＝AD·BD

AB ＝5× 12

13 ＝6013.

答案 C

5 ． (2011· 鸡西 ) 如图，在 Rt△ABC 中， AB ＝ CB ， BO⊥AC ，把△ ABC折叠，使 AB落在 AC 上，点 B 与 AC 上的点 E重合，展开后，折痕 AD 交 BO 于点 F ，连结 DE 、 EF. 下列结论：

①tan∠ADB ＝ 2 ； ② 图中有 4对全等三角形； ③ 若将△ DEF沿 EF折叠， 则点 D 不一定落在 AC 上； ④BD ＝ BF ； ⑤S 四边形 DFOE ＝ S△AOF ， 上述结论中正确的个数是 ( 　　 )

A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个

答案　 C

解析 沿 AD折叠，有△ ABD≌△ AED，

BD＝ED，∠AED＝∠ABD＝90°.

若设 BD＝ED＝a，则 CD＝ 2a，

AB＝BC＝a＋ 2a，

所以 tan∠ADB＝ABBD＝

a＋ 2aa ＝1＋ 2，

结论①错误；

图中有△ ABO≌△ CBO，△ ABD≌△ AED，

△ ABF≌△ AEF，△ BDF≌△ EDF

共 4对全等三角形；

画 DG∥ AB交于 AC于 G，△ DEG是等腰直角三角形，

△ DEF沿 EF折叠，点 D一定落在 AC上，结论③错误；

AD平分∠BAC，∠BAD＝22.5°，∠BDA＝67.5°，

∠BFD＝22.5°＋45°＝67.5°，BF＝BD；

S 四边形DFOE＝S△ DEF＋△ OEF

＝12a·a·sin45°＋

12a·

22 a·sin45°＝

24 a2＋

14a2，

S△ AOF＝12

2

2 a＋a ·2

2 a＝14a2＋

24 a2，

S 四边形DFOE＝S△ AOF；

结论②④⑤正确.

答题规范

考题再现　在△ ABC 中，高 AD 和高 BE 相交于 H ，且 BH

＝ AC ，求∠ ABC 的度数．学生作答 解：如图 1 ， 在 Rt△BHD 和 Rt△ACD 中， ∠C ＋∠ CAD ＝ 90° ， ∠C ＋∠ HBD ＝ 90° ， ∴∠HBD ＝∠ CAD.

又∵ BH ＝ AC ，∴△ BHD≌△ACD ， ∴BD ＝ AD.

∵∠ADB ＝ 90° ，∴∠ ABC ＝ 45°.

9 ．三角形的高可能在形外

图 1

规范解答 解：这里的∠ ABC 有两种情况，∠ ABC 是锐角 ( 图 1)

或 ∠ABC 是钝角 ( 图 2) ． 如图 2 ，在 Rt△BHD 和 Rt△ACD 中， 易得∠ DCA ＝∠ DHB.

又∵ AC ＝ BH ， ∴△DHB≌△DCA ， ∴AD ＝ DB ， ∴∠DBA ＝ 45° ， ∴∠ABC ＝ 135°.

综上：∠ ABC ＝ 45° 或∠ ABC ＝ 135°.

图 2

老师忠告　1 ．同学们都知道，三角形的高有可能在形外，但在实际解

题中，常因忽略这一点而造成错误．为什么常常会忽略三角形的高可能在形外呢？一个主要原因就是同学们头脑中已形成思维定势，一画三角形就不由自主地画成锐角三角形，从而造成漏解的失误．

2 ．在解答几何问题时，如果没有给出具体的图形，都应该先考虑是否有多种情况，有些命题在一种情况下成立是真命题，而在另一种情况下就可能不成立，是假命题．

10．易出错的等腰三角形问题

考题再现　已知△ ABC 是等腰三角形，由 A 所引 BC 边上的高恰好等于 BC 边长的一半，试求∠ BAC 的度数．

学生作答

解：如图 3，

∵ AD⊥BC，AD＝12BC＝BD＝CD，

∴ ∠BAD＝∠B＝∠C＝∠CAD＝45°，

∴ ∠BAC＝90°.

图 3

规范解答　 解：题目中并没有指明 BC 是等腰△ ABC 的底或腰． 当 BC 为底时，可求得∠ BAC ＝ 90° ； 当 BC 为腰时，还应对∠ B 的大小进行讨论：

图 4 图 5

(1)顶角 B是锐角时，如图 4，

∵ AD＝12BC＝

12AB，AD⊥BC，

∴ ∠B＝30°，从而∠BAC＝∠C＝75°.

(2)当顶角 B为直角时，高 AD和腰 AB重合，

与已知矛盾，故∠B≠ 90°.

(3)顶角 B为钝角时，如图 5，

∵ AD＝12BC＝

12AB，AD⊥BC，

∴ ∠DBA＝30°，

从而∠BAC＝∠C＝12∠DBA＝

12× 30°＝15°.

因此，本题正确答案为：∠BAC的度数为 90°

或 75°或 15°.

老师忠告　1 ．对于等腰三角形问题，当给出的条件 ( 如边、角情况 ) 不

明时，一般要分情况逐一考察，否则，容易出现错解或漏解的错误．

2 ．当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角为直角时，腰上的高与另一腰重合；当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外．这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时，应考虑的几个方面 .

思想方法 感悟提高方法与技巧 1. 掌握分类的思想和方法，可深入理解，有效记忆，便于应用．例如：从三角形三边长的比较，可把三角形分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形又分为等边三角形和其它等腰三角形；而从最大内角的大小出发，又可以把三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 由于两种分类的标准不同，所以一个具体的三角形，在两种分类中，必各属于其中的一类．如等腰直角三角形，在第一种分类中，属于其它等腰三角形；在第二种分类中，属于直角三角形． 2. 在一个三角形中“等边对等角，等角对等边”，当所要求

证的两边、两角位于同一个三角形中，利用等腰三角形来论证它们的相等关系是常用的方法．

3. 等腰三角形“三线合一”的性质，运用广泛而又灵活，在于

三线中只要有任两线重合，则可判定三角形等腰，即第三线也重合． 4. 证明等边三角形的方法一般有两种：一是直接论证三边或三角相等；二是先证明是等腰三角形，再证明其中一角为 60°. 5. 在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半，同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形，这一特征在解题中时有运用；在直角三角形中，含锐角 30° 、 45° 这两类是较为特殊的，它们的边、角有一些特殊的数量关系，应该熟记在心．

失误与防范 1 ．在解有关等腰三角形的问题时，有一种习惯上的认识，总认为腰大于底，这是造成错解的原因．实际上底也可以大于腰，此时也能构成三角形． 2 ．有关等腰三角形的问题，若条件中没有明确底和腰时，一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论，还要特别注意构成三角形的条件；同样，在底角没有被指定的等腰三角形中，应就某角是顶角还是底角进行讨论．我们要细心谨慎，注意运用分类讨论的方法，将问题考虑全面，不能想当然． 3 ．在已知三角形三边的前提下，判断这个三角形是否为直角三角形，首先要确定三条边中的最大边，再根据勾股定理的逆定理来判定．在解题时，往往受思维定式的影响，误认为如果是直角三角形，则 c就是斜边，从而造成误解．

完成考点跟踪训练 22