ОВСлободянюк Оптика конспект лекцій 1exp.phys.univ.kiev.ua/ua/Study/Lib/Navch_posibnyky... · швидкості світла у вакуумі: n

О.В.Слободянюк. Оптика (конспект лекцій)

© О.В.Слободянюк, 2003-2011

1

1. ВСТУП

Короткий історичний огляд розвитку оптики: її роль в розвитку цивілізації та місце

в сучасному світі

• Різні уявлення про світло: корпускули чи хвилі? • Сучасні підходи до опису світових явищ: променева, хвильова, квантова

оптика. • Оптика як наука про властивості електромагнітного поля в певному інтервалі

довжин хвиль і частот (енергій квантів) у вакуумі та в речовині. • Шкала електромагнітних хвиль. • Долазерний та сучасний етапи розвитку оптики. • Лінійна та нелінійна оптика. • Видатна роль фотоніки в формуванні постіндустріального інформаційного

суспільства.

Оптика – наука про світло, яка вивчає власне світло (оптичне випромінювання), його поширення та явища, що спостерігаються при взаємодії світла з речовиною.

Використання оптичних явищ для практичних потреб і відповідні оптичні пристрої відомі з сивої давнини. Це, в першу чергу, дзеркала, виготовлені з полірованої міді та бронзи, а пізніше із спеціального «дзеркального» сплаву міді з оловом. Зразки таких дзеркал в чудовому стані знайдено при розкопах поблизу єгипетських пірамід у долині Нілу в культурних шарах датованих приблизно 1800 р. до Р.Х. Дзеркала також згадуються у Біблії в зв’язку з подіями, що мали місце близько 1200 р. до Р.Х.

Оптика в силу своєї наочності – одна з найдавніших наук. Закон прямолінійного поширення світла був відомий ще древнім грекам. Також вони знали закон відбивання. Евклід писав про ці закони в своїй книзі «Катоптрика» близько 300 р. до Р.Х. Оптика розвивалася паралельно з геометрією.

Наприклад, висновок про те, що в однорідному просторі світло поширюється по прямій, можна зробити на основі чисто геометричного підходу з використанням найбільш загальних міркувань симетрії. Припустимо, що світло з точки А поширюється до точки В не по прямій АВ, а по деякій ламаній лінії, максимальне відхилення якої від прямої АВ характеризується радіус-вектором

rr∆ (Рис.1.1).

Рис.1.1. Рис. 1.2.

В однорідному середовищі пряма АВ є віссю симетрії задачі. В силу цього радіус-вектор rr∆ повинен залишатись незмінним при будь-якому повороті навколо цієї осі. Зокрема, це

справедливо для повороту на кут π . Позначимо відповідний оператор повороту 2

∧

C .

Його дія на радіус-вектор rr∆ очевидна (Рис. 1.2):



2

rrrC rrr∆−=∆=∆

∧'

2 )(

З іншого боку, внаслідок осьової симетрії повинно бути

rrC rs∆=∆ )(ˆ

2 .

При одночасному задоволенні цих двох умов маємо rr rr∆−=∆ , звідки отримуємо 02 =∆rr ,

тобто наше припущення про можливість відхилення світла від прямої АВ невірне.

Для пояснення поширення світла в неоднорідному середовищі лише геометричних уявлень недостатньо. Піфагор, Демокріт, Платон, Аристотель та інші давньогрецькі філософи розробляли теорії відомих на той час світлових явищ.

Уявлення про природу світла дістали подальшого розвитку у зв’язку з відкриттям явищ дифракції та інтерференції, описаних Грімальді близько 1665 р., подвійного променезаломлення (Бартолін, 1669) у роботах Ньютона, Гюйгенса, Гука, Юнга, Френеля. Таким чином виникла фізична оптика, яка використовує для тлумачення оптичних явищ певні фізичні моделі.

Історично склалися два підходи до пояснення світлових явищ: корпускулярний та хвильовий.

Корпускулярний: світло являє собою потік корпускул (частинок).

Хвильовий: світло являє собою хвилі, що розповсюджуються в деякому середовищі.

Який підхід адекватно описує оптичні явища?

Спочатку розглянемо прямолінійність поширення світла в однорідному середовищі, відому з сивої давнини, застосовуючи обидва підходи.

Корпускулярний підхід Прямолінійне поширення світла з точки А в точку В пояснюється прямолінійним рухом корпускул по інерції (Рис. 1.3).

Рис. 1.3.

Хвильовий підхід Гюйґенс сформулював принцип, названий його іменем: кожна точка хвильового фронту є джерелом вторинних сферичних хвиль і положення хвильового фронту через деякий малий проміжок часу можна знайти як огинаючу хвильових фронтів цих вторинних хвиль (Рис. 1.4).

Рис. 1.4.

Наступне явище, яке потребує пояснення - це проходження світла через плоску границю, що розділяє два однорідні середовища. Важливість розгляду такого випадку зумовлена тим, що:



3

1) неоднорідне середовище можна представити як послідовність однорідних шарів; 2) достатньо малу ділянку границі між двома однорідними середовищами, що має довільну форму можна вважати плоскою.

Корпускулярний підхід

Розглянемо рух частинки з масою m поблизу плоскої границі, що розділяє два однорідних напівпростори, в одному з яких частинка має сталу потенціальну енергію U1, а в другому - сталу потенціальну енергію U2 (Рис.1.5). Швидкості частинки в першому і в другому середовищах, відповідно V1 і V2, також будуть сталими відповідно до закону збереження енергії

21 EE = або 2

22

1

21

22UmVUmV

+=+ .

Також зберігається складова імпульсу частинки паралельна границі:

2211 sinsin θθ mVmV = .

Отже закон заломлення, який зв’язує між собою так звані кут падіння 1θ та кут заломлення

2θ , має вигляд

2

1

1

2

sinsin

VV

=θθ

. (1.1)

Для того, щоб визначити кут 2θ необхідно знайти швидкість 2V . Це легко зробити із закону збереження енергії. Завдання 1. Знайти відношення швидкості в другому середовищі до швидкості в першому середовищі.

Хвильовий підхід Розглянемо рух через границю плоского хвильового фронту, використовуючи принцип Гюйґенса. На Рис. 1.6 показано моментальні положення цього хвильового фронту розділені часовим проміжком t∆ . За цей час, точка плоского хвильового фронту В, що рухається в першому середовищі зі швидкістю V1, досягне положення В′, а сферечний фронт збурення з точки А, що поширюється в другому середовищі зі швидкістю V2, досягне точки А′, в якій цей фронт дотикається до площини А′ В′, що визначає положення плоского хвильового фронту в другому середовищі.

З трикутників АВВ′ та АА′ В′ маємо

2

2

1

1'

sinsin θθtVtVAB ∆

=∆

= ,

звідки отримуємо закон заломлення



4

1

2

1

2

sinsin

VV

=θθ . (1.2)

Як ми бачимо і корпускулярний і хвильовий підходи дають пояснення явищу заломлення світла на межі двох середовищ, в основі якого лежить припущення, що швидкість поширення світла в цих середовищах різна. Але в отримані формули (1.1) та (1.2) швидкості входять по-різному. Відповідь на питання про те, яка з формул (1.1) або (1.2) відповідає дійсності, можна дістати лише з експерименту, вимірявши швидкості світла в обох середовищах. Виявляється, що правильний зв’язок між кутами падіння і заломлення та швидкостями поширення світла дає формула (1.2) отримана на основі хвильового підходу.

Зауважимо, що хоча формула (1.1) не застосовна до заломлення світла, вона знаходить широке застосування в електронній та іонній оптиці (в оптиці заряджених частинок) при розрахунках електронно-променевих трубок, електронних мікроскопів тощо.

Завдання 2. Запропонувати конфігурацію електричного статичного поля, яка здатна фокусувати пучок електронів та зобразити переріз його еквіпотенціальних поверхонь.. З вищенаведеного не слід робити висновок про незастосовність до світла корпускулярних уявлень. Світлові явища є дуже різноманітними і природа їх досить складна. Деякі з них більш наочно і з достатньою повнотою можуть бути кількісно описані на основі хвильових, а деякі – на основі корпускулярних уявлень. Тому прияйнято говорити про так званий корпускулярно-хвильовий дуалізм природи світла. У сучасній науковій мові поняттю корпускул відповідає поняття світлових квантів або безмасових частинок, що рухаються зі швидкістю світла – фотонів. На сьогодні відомо, що найбільшою є швидкості світла у вакуумі с

мc 8103∗= . В усіх

інших середовищах (в речовинах) швидкість світла менша. Завдання 3. Самостійно вивчити методи визначення швидкості світла (Рьомер, Фізо, Майкельсон та сучасні методи). В оптиці швидкість поширення світла в деякому середовищі вимірюють відносно

швидкості світла у вакуумі: ncV = , де n – показник (коефіцієнт) заломлення, який

показує в скільки разів швидкість світла в середовищі менша за швидкість світла у вакуумі. Іноді n називають абсолютним показником заломлення.

При порівнянні швидкостей світла в двох середовищах використовують відносний показник заломлення N. Наприклад, відносний показник заломлення другого середовища відносно

першого1

221 n

nN = , а першого середовища відносно другого2

112 n

nN = .

Людина не здатна безпосередньо бачитити ані фотони, ані світлові хвилі. Ми бачимо світло, а про його поширення судимо за світловими пучками або, як часто кажуть, променями, що розповсюджуються в атмосфері, наприклад, від прожектора, ліхтарика, лазера, або від Сонця, коли воно світить в розриви поміж хмарами тощо.

Спостерігаючи світлові пучки (промені) ми абстрагуємось від фізичної природи світлових явищ, але можемо успішно вивчати закономірності поширення світлових пучків (променів) і використовувати їх для практики. Відповідний розділ оптики дістав назву променевої або геометричної оптики.



5

Розділ оптики, в якому використовують модельні уявлення про світлові хвилі, називають хвильовою оптикою.

Розділ оптики, в якому використовують модельні уявлення про світлові кванти, називають квантовою оптикою.

З досвіду ми знаємо, що пучки світла переносять певну енергію: на сонці тепліше ніж в тіні, ближче до вогнища знову таки тепліше, а спрямувавши багато світлових пучків на малу ділянку якоїсь поверхні можна її сильно розігріти. Цілком природньо постає питання про вимірювання кількості енергії, що переноситься світловими пучками, абстрагуючись від фізичної природи світла (хвильової, корпускулярної чи, можливо, ще якоїсь). Це є предметом фотометрії.

Оптика при всій своїй різноманітності оптичних явищ не містить якихось специфічно оптичних фундаментальних фізичних принципів або законів.

Фізична оптика спирається на такі фундаментальні розділи фізики як класична електродинаміка у випадку хвильової оптики та квантова електродинаміка у випадку квантової оптики. При розгляді взаємодії світла з речовиною застосовують класичні, напівкласичні та послідовно квантовомеханічні підходи.

Таким чином для опанування сучасної оптики необхідне знання електродинаміки, нерелятивітської і релятивістської квантової механіки та статистичної фізики.

Ми почнемо вивчення оптики з геометричної оптики та фотометрії, які спираються на наочні і легко спостережувані явища та експериментальні факти.


© О.В.Слободянюк, 1998-2010 2_1-3 PROMENEVA OPTIKA_2010_0315

1

2. ПРОМЕНЕВА (ГЕОМЕТРИЧНА) ОПТИКА

2.1. Наближення променевої оптики Основне поняття променевої оптики – промінь.

Промінь – це нескінченно вузький пучок світла. Поняття променя є граничним поняттям, ідеалізацією.

Наближення променевої оптики справедливе у випадку, коли не проявляється дифракція світла, тобто коли розміри отворів і перешкод на шляху fоширення світла набагато більші за довжину хвилі світла.

Принцип Ферма.

В однорідному середовищі світло поширюється прямолінійно, тобто геометрично найкоротшим шляхом (Рис.2.1). Отже час поширення світла між двома точками в однорідному середовищі є мінімальним. Узагальненням цього факту для неоднорідних середовищ є принцип Ферма (Pierre de Fermat, 1657) :

Світло поширюється по шляхам, час поширення по яким є мінімальним (мінімальний оптичний шлях).

Цей час при поширенні з точки 1 до точки 2:

∫=2

112 V

dSt dS – шлях (геометричний шлях) (2.1.1а)

∫=2

112

1 ndSc

t ndS – так званий оптичний шлях (2.1.1б)

Тут n – показник заломлення середовища в кожній точці шляху, n=n(x,y,z), c – швидкість світла у вакуумі.

Виходячи з вельми загального принципу Ферма можна отримати закони відбивання та заломлення світла, до яких різні дослідники приходили шляхом експериментальних досліджень або з розгляду конкретних моделей поширення світла (див. Вступ).

Заломлення та відбивання світла на плоскій границі двох однорідних середовищ.

Нехай маємо плоску границю, що розділяє два однорідних середовища, в яких швидкості поширення світла V1 і V2 різні (Рис.2.2). Розглянемо проходження світла від деякої точки А, що знаходиться в першому середовищі, до деякої наперед заданої точки В у другому середовищі. Будемо спиратися на симетрію задачі і принцип Ферма.

З міркувань симетрії можна зробити висновок, що

Промені падаючий, заломлений та відбитий лежать в одній площині, яка перпендикулярна до границі.

Дійсно, при наявності лише точки А маємо осьову симетрію, причому вісь симетрії співпадає з перпендикуляром, опущеним із точки А на площину. Це означає, зокрема еквівалентність усіх площин симетрії, що містять згадану вісь симетрії. Вибір точки В, що не лежить на цій осі, визначає одну з цих площин, яка і залишається єдиною площиною симетрії задачі, яка за побудовою є перпендикулярна до плоскої границі (Рис.2.2а). Шлях світла вздовж будь-якої траєкторії, що лежить поза цією площиною, яка проходить через точки А і В і яку називають площиною падіння, буде довшим за проекцію цієї траєкторії на площину падіння. Отже дійсна траєкторія світла повністю лежить в цій площині, а оскільки обидва середовища однорідні, то



2

в кожному з них світло поширюється прямолінійно. Зміна напрямку поширення відбувається в так званій точці падіння М.

Рис. 2.2

Напрями променів щодо границі характеризують кутами між нормаллю до границі і напрямом променя: 1θ - кут падіння , 2θ - кут заломлення.

Застосуємо принцип Ферма для знаходження співвідношення між 1θ та 2θ (Рис.2.2б).

Запишемо час проходження світла з точки А до точки В:

21 VMB

VAMt AB += ,

2

22

1

22 )()(V

yxxV

yxxt bbaa

AB+−

++−

= .

Умова екстремуму: 0=dxdtAB ,

0)(

)(

)(

)(22

222

1

=+−

−+

+−

−−

bb

b

aa

a

yxxV

xx

yxxV

xx, 0

sinsin

2

2

1

1 =+−VVθθ

.

Звідки маємо закон заломлення Снеліуса (Willebrord Snell, 1621) 1122 sinsin θθ nn = (2.2.2)

У такий же спосіб можна отримати формулу для відбиття 1111 sinsin θθ nn −=′ , де 1θ ′ - кут відбиття (Рис.2.3). Отже з формул для заломлення завжди можна отримати формули для відбиття, якщо покладемо 12 nn −= . Таким чином, 11 θθ −=′ , тобто кут відбиття за величиною дорівнює куту падіння. Знак «мінус» пов’язують з тим, що напрям повороту від нормалі до відбитого променя (за годинниковою стрілкою) протилежний напряму повороту від нормалі до падаючого променя (проти годинникової стрілки).

Відбивання від плоского дзеркала. Гомоцентричний пучок – це такий пучок, всі

промені якого, або ж їх продовження мають спільний центр.

Плоска границя при відбиванні дає стигматичне зображення точки, тобто при віддзеркаленні від плоскої поверхні пучок залишається гомоцентричним.



3

Кутові відбивачі.

[ ] 021 =×kkrr

Рис. 2.4. Двогранний кут відбиває пучок точно назад.

Три відбивні плоскі поверхні, що утворюють тригранний кут, відбивають падаючий пучок точно назад.

Промінь, який падає на кутовий відбивач, буде відбитий паралельно до падаючого, з деяким поперечним зміщенням.

Заломлення гомоцентричного пучка на плоскій границі.

При заломленні гомоцентричного пучка на плоскій границі, його гомоцентричність порушується: (продовження заломлених променів не перетинаються в одній точці! (Рис.2.5).

Рис.2.5

2.2. Заломлення та відбивання на сферичній поверхні. Нехай маємо сферичну поверхню, яка розділяє два середовища: середовище з більшим показником заломлення – більш оптично густе середовище. Нехай, наприклад, 12 =n (повітря), а

4,21 =n (діамант). Якщо розмістимо в центрі сфери О точкове джерело L, то пучок, що вийде із сфери, буде гомоцентричним, оскільки має місце центральна симетрія. При переміщенні джерела із центру сфери O в будь-яку іншу точку, наприклад L1, симетрія знижується до осьової (аксіальної) з віссю L L1, яка припускає існування негомоцентричних пучків.

Висновок: при заломленні на сферичній поверхні гомоцентричність пучка в

загальному випадку порушується.

Легко переконатися (наприклад, простою побудовою ходу променів з точки L1, що відхилення від гомоцентричності тим більше, чим далі від осі L L1 відхиляються промені, що падають на поверхню сфери. Отже, ми можемо отримати зображення точки близьке до стигматичного



4

лише обмежившись променями, близькими до осі. Таке наближення називають параксіальним, що буквально означає «близький до осі, приосьовий».

Параксіальне наближення

Знайдемо зображення точкового джерела світла L1 , розміщеного поблизу сферичної границі поділу двох середовищ з центром в точці О і з радіусом R. Ця задача має аксіальну симетрію відносно прямої L1О.

Рис. 2.7

Положення точки зображення L2 можна визначити як точку перетину двох променів: того, що йде вздовж осі L1О без заломлення, та променя АL2 , що виникає внаслідок заломлення довільного променя L1А, що виходить з точки L1 під невеликим кутом до осі L1О. Точку перетину променя АL2 з віссю L1О можна, звичайно, визначити геометричною побудовою, використавши закон Снеліуса, для обчислення кута заломлення 2θ . Для знаходження положення точки зображення L2 методами аналітичної геометрії оберемо початок декартової системи координат у точці Р, яку називають полюсом сферичної поверхні і знайдемо зв’язок між координатами 1a та 2a джерела L1 та його зображення L2, яке лежить на перетині двох променів: того, що йде вздовж осі L1О, та променя АL2.

З AOL1_∆ за теоремою синусів )sin()sin( 1

1

1

ψπθπ

−−

=ALOL

.

З AOL2_∆ : 22

2

sinsin

θψ

=OLAL

. Тоді 1

2

2

1

2

2

1

1

sinsin

nn

OLAL

ALOL

==∗θθ .

Ясно, що в загальному випадку 2a залежить від положення точки А. Але в параксіальному наближенні, коли точка А лежить неподалік від осі, можна покласти PLAL 11 ≈ і

PLAL 22 ≈ і послідовно отримати низку рівностей

1

2

2

2

1

1

nn

OLPL

PLOL

=∗ ⇒ 1

2

2

2

1

1

nn

Raa

aRa

=−

∗−+−

⇒ )()( 1212211 RaaaRaaan +−=+− ⇒

⇒ RanaanRanaan 1221221211 +−=+− , остання з яких і дає нам шуканий зв’язок між координатами 1a та 2a джерела L1 та його зображення L2

Нульовий інваріант Аббе.

Помножимо останнє рівняння на 21

1aRa

і дістанемо вираз для так званого нульового

інваріанта Аббе



5

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

22

11

1111aR

naR

n . (2.2.3)

Нульовий інваріант Аббе не змінюється при переході через сферичну поверхню і тому широко використовується при розрахунках оптичних систем. Перетворюючи формулу (2.2.3) зв’язок між координатами точок предмета 1a і зображення 2a можна подати у зручному вигляді

Rnn

an

an 12

1

1

2

2 −=− або Ф

1

1

2

2 =−an

an , де

Rnn 12Ф −

= (2.2.4)

Величина Ф , характеризує сферичну заломлюючу поверхню і називається оптичною силою сферичної поверхні. Для випадку, зображеного на Рис. 2.7, де 12 nn > та 0>R , 0>Ф . Знак R залежить від розташування центру відносно сферичної поверхні (див. Рис. 2.8).

Рис. 2.8.

Зауважимо, що при переміщенні предмета L1 по сфері з центром в точці О, всі зображення цього предмета L2 також будуть переміщуватись по сферичній поверхні з центром в точці О (Рис. 2.9). У параксіальному наближенні малі ділянки цих сферичних поверхонь можна вважати плоскими. Тому кажуть, що в параксіальному наближенні площадка перпендикулярна до осі зображується в площадку перпендикулярну до осі.

Рис. 2.9. Точка-предмет і точка зображення називаються спряженими точками. Відповідно, лінії та площини, що зображаються одна в одну сферичною поверхнею, також називаються спряженими

Фокуси сферичної поверхні.

Нехай, джерело L1 відносимо на нескінченність, −∞→− a . Тоді його зображення буде мати

координату 22

2 fФna ==∞ . Так ми знайшли положення заднього фокуса F ′ сферичної поверхні.

Таким чином, коли віднесемо L1 на нескінченність, то звідти приходитимуть паралельні промені, що зберуться в задньому фокусі F ′ (Рис. 2.10).

Рис. 2.10

Аналогічно, поклавши ∞→2a отримаємо координату переднього фокуса F :

Фnf 1

1 −= .



6

Розбіжний пучок променів, що виходить з переднього фокуса F, після проходження сферичної поверхні перетворюється на пучок паралельних променів.

Отже координати фокусів сферичної поверхні визначаються формулами

Фnf 1

1 −= та Фnf 2

2 = . (2.2.5)

З (2.2.5) випливає корисне співвідношення

1

2

1

2

nn

ff

−= . (2.2.6)

Сферичне дзеркало.

Для того, щоб застосувати формулу (2.2.4) до випадку відбивання від сферичного дзеркала покладемо в ній 12 nn −= .

Тоді R

nnan

an 11

1

1

2

1 −−=−− , звідки отримуємо формулу для сферичного дзеркала

R211

21

=+aa

. (2.2.7)

Опукле дзеркало 0>R Угнуте дзеркало 0<R

Рис. 2.11. Легко бачити, що сферичне дзеркало має лише один фокус:

∞→1a ; 22Rf = , ∞→2a ,

21Rf = .

Для опуклого сферичного дзеркала він уявний, а для угнутого – дійсний (див. Рис.2.11). Лінійне збільшення. З Рис. 2.9 зрозуміло, що сферична поверхня здатна давати зображення предмета збільшене або зменшене. У параксіальному наближенні для предмета, що лежить у площині, перпендикулярній обраній оптичній осі (стрілочка на Рис.2.16) можна ввести так зване лінійне або поперечне збільшення:



7

yyV′

= (2.2.8),

яке можна подати як 2

1

1

2

1

2

sinsin

nn

aa

aa

atgtga

yyV ⋅

′=

′≈

′=′

=θθ

θθ ,

де використано очевидні співвідношення 2θtgay ⋅′=′− 1θtgay ⋅−= та параксіальне наближення.

Оскільки V не залежить від координати y , то зображення геометрично подібне до предмета.

Отже 2

1

nn

aaV ⋅′

= . (2.2.9)

Кутове збільшення

З іншого боку дію сферичної поверхні можна характеризувати так званим кутовим збільшенням, яке за означенням (Рис. 2.18) є

uu

tguutgW

′≈′

= . (2.2.10)

Запишемо:

ahtgu−

= та ahutg =′− )( , [кут )( u′− відраховано за годинниковою стрілкою, тому знак “–”].

звідки )( utgaatguh ′−′=−= або uaau ′′= ,

звідки, в свою чергу,

aa

uu

′=′

.

Тобто кутове збільшення залежить лише від співвідношення відстаней до сферичної поверхні, причому, як легко бачити з порівняння з (2.2.12♥), воно зменшується при зростанні лінійного збільшення V і навпаки. Дійсно,

2

11nn

VW =

або

2

1

nnWV = . (2.2.11)

Зокрема, для сферичних дзеркал 1=WV .

Інваріант Лагранжа-Гельмгольца.

З останнього виразу, (2.2.11) враховуючи означення (2.2.8) і (2.2.10), отримаємо



8

2

1

nn

yy

uu

=′′

,

звідки

unyuyn ′′= 21

тобто добуток цих трьох величин не змінюється при переході через сферичну поверхню, і є інваріантом, який називається інваріантом Лагранжа-Гельмгольца .

Його найчастіше записують у вигляді

unyynu ′′′= ,

де введено позначення nn =1 , nn ′=2 . Нештриховані величини задано в так званому просторі предметів (перед сферичною поверхнею), а штриховані − в так званому просторі зображень (за сферичною поверхнею).

2.3. Центровані оптичні системи

Якщо всі центри сферичних поверхонь оптичної системи лежать на одній осі, то вони утворюють так звану центровану оптичну систему. Для центрованої оптичної системи інваріант Лагранжа-Гельмгольца можна записати так

......222111 ==== iii unyunyuny Найпростішою центрованою оптичною системою є лінза, що виготовляється з оптично прозорого матеріалу і обмежена двома сферичними поверхнями. Пряма, на якій лежать центри кривини цих поверхонь називається оптичною віссю лінзи (іноді її називають головною оптично віссю лінзи). В оптичних приладах, як правило, застосовуються сукупності лінз, які утворюють центровані оптичні системи. Центрована оптична система з декількох лінз, конструктивно об’єднана в одному корпусі, називається об’єктивом. Тонка лінза. Як уже було сказано, лінза утворюється двома сферичними поверхнями. На Рис. 2.12 показано дві сферичні поверхні з центрами в точках О1 та О2 через які проходить оптична вісь лінзи; Р1 , Р2 – полюси сферичних поверхонь; R1, R2 – радіуси кривини; t - товщина лінзи.

Якщо 0→t ( 21 , RRt << ), то маємо так звану тонку лінзу.

Для тонкої лінзи, виходячи з (2.2.4) можна записати:



9

1

1

1

1

Rnn

an

an −

=−′

- для першої поверхні;

2

2

2

2

Rnn

an

an −

=′

− - для другої поверхні.

Після додавання маємо:

2

2

1

1

1

1

2

2

Rnn

Rnn

an

an −

+−

=− . (**)

Враховуючи, що

11

1 ФR

nn=

− і 22

2 ФR

nn=

−

отримаємо для тонкої лінзи

211

1

2

2 ФФan

an

+=− або Фan

an

=−1

1

2

2 , (2.2.8)

де 21 ФФФ += =2

2

1

1

Rnn

Rnn −+

− - оптична сила тонкої лінзи. (2.2.9)

З формули (2.2.8) знаходимо координати фокусів тонкої лінзи відносно її центру

Фnf 1

1 −= та Фnf 2

2 = ,

що співпадає за формою з виразами (2.2.5) для поодинокої сферичної поверхні, але треба пам’ятати, що у випадку лінзи показники заломлення 1n та 2n є показники заломлення середовищ по обидві сторони лінзи. При цьому відношення координат фокусів (а отже і фокусних віддалей) не залежить від оптичної сили лінзи (тобто від показника заломлення матеріалу лінзи і її радіусів кривини), а визначається виключно співвідношенням показників заломлення середовищ, з якими межують сферичні поверхні лінзи

1

2

1

2

nn

ff

−= .

Якщо показники заломлення середовищ по обидві сторони лінзи однакові, 21 nn = , то передня і задня фокусні віддалі лінзи стають однаковими, а формула (**) набирає вигляду:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

21112

11111RRn

naa

,

звідки можна дістати так звану формулу тонкої лінзи або Lensmaker’s Formula

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−

2112

11)1(11RR

Naa

, (2.2.10)

де 1n

nN = – відносний показник заломлення матеріалу лінзи відносно середовища.

При 21 nn = вираз (2.2.10) можна переписати так:

faa111

12

=− , (2.2.11)

де f – координата заднього фокуса лінзи, що чисельно дорівнює фокусній відстані тонкої лінзи.



10

Формулу (2.2.10) називають формулою Гауса.

Якщо тонка лінза знаходиться в повітрі ( 11 =n ), то фокусна відстаньФ

f 1= , де

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

21

11)1(RR

nФ – оптична сила тонкої лінзи, що знаходиться в повітрі.

Оптичну силу Ф вимірюють в діоптріях. Одна діоптрія відповідає фокусній відстані 1 м. Отже для тонкої лінзи в повітрі

faa111

12

=− - формула Гауса

За своєю дією на паралельний пучок променів розрізняють збиральні та розсіювальні лінзи. Збиральна лінза.

Дія збиральної лінзи на паралельний пучок подібна до дії сферичної поверхні, показаної на Рис. 2.10.

Побудову зображень показано на Рис. 2.13-14. На Рис. 2.13 L′ − дійсне перевернуте зображення. Дійсне зображення знаходиться на перетині самих променів. Там можна розмістити екран і побачити це зображення. Його також можна бачити оком з деякої відстані не меншої за відстань найкращого зору (див. нижче).

На Рис. 2.14 А′- уявне зображення точки А. Уявне зображення лежить на перетині продовжень променів. Його не можна спостерігати на екрані, а можна лише бачити оком.

Розсіювальна лінза.

Дія розсіювальної лінзи на промінь паралельний до її осі та розміщення переднього та заднього фокусів розсіювальної лінзи показано на Рис. 2.15. Рис. 2.15.

задній фокус

'F

передній фокус

F



11

*

1

2 3

Якщо зображення і предмет лежать по різні сторони від лінзи, то зображення буде дійсне та перевернуте. Якщо зображення та предмет лежать по один бік від лінзи, то зображення уявне. Для діоптричних систем (лінзи) ff ′⋅ < 0 . Для катоптричних систем (дзеркала) ff ′⋅ > 0 .

Ідеальна оптична система Нехай маємо аксіально-симетричну, зокрема, центровану оптичну систему: Промінь (*), що йшов паралельно осі, може після виходу із системи:

1) віддалятися від осі; 2) наближатися до осі; 3) йти паралельно осі. Рис. 2.19.

Головні фокуси та головні площини.

Точки перетину променів (або їх продовжень) з оптичною віссю називаються головними фокусамиF та F ′ .

Через точки перетину продовжень променів, що падають на систему паралельно її осі, та тих, що виходять з неї, проводимо так звані головні площини. На Рис. 2.20, де показано збиральну (а) та розсіювальну (б) оптичні системи, головні площини позначено буквами H та H ′ . Точки перетину головних площин з оптичною віссю називають головними точками. На Рис. 2.20 вони також позначені буквамиH та H ′ .

Рис. 2.20.

Досить задати точки головних фокусів та головні площини (головні точки), і ми вже задали оптичну систему.

Величини відстаней від F до H та від F ′доH ′ називаються, відповідно, передньою та задньою фокусними відстанями. Фокусну відстань прийнято вважати додатною, якщо напрям відліку від F до H (від F ′доH ′ ) співпадає з напрямом ходу променів.

З побудови видно, що головні площини H та H ′ спряжені і зображаються одна в одну з

лінійним збільшенням yyV′

= ; V = +1.

Отже, головні площини – це такі спряжені площини, які зображаються одна в одну із збільшенням +1. Для сферичної поверхні координати головних площин (головних точок) знайдемо з умов:

F' F

M M'

H H'

H H'

H'

H

M' M

F' F H

H'



12

U 'U

H 'H

Rnn

aa−′

=−′

11 - умова спряженості; 1+=′′

=nanaV - умова збільшення +1.

Легко бачити, для поодинокої сферичної поверхні передня і задня головні площини співпадають і проходять через точку полюса Р. Аналітичний опис ідеальної оптичної системи.

Для аналітичного опису положення точок предметів і точок зображень в просторі предметів (перед системою) і в просторі зображень (за системою) вводять декартові системи координат, початки яких лежать на оптичній осі. Існує два зручні вибори початків систем координат для простору предметів; і для простору зображень. 1. Початки систем координат вміщують у головні точки H та H ′ . При цьому використовують позначення ξ→x , η→y . Для такого вибору справедливі формули отримані нами раніше для сферичної поверхні

f111

=−′ ξξ

nn′⋅

⋅′−=

′ξξ

ηη (2.2.13)

2. Початки систем координат вмістимо в точки фокусів F та F ′ . Відповідно координати точки ( )yxA , та її зображення ( )yxA ,′ пов’язані очевидними співвідношеннями (див. Рис. 2.21)

fx

xf

yy

′′

==′

, (2.2.14)

з яких випливає важлива формула Ньютона

ffxx ′⋅=′⋅ . (2.2.15)

Приклад застосування. Система рівнянь 1+=′

=yyV та ffxx ′⋅=′⋅ дає можливість знайти

координати головних точок H та H ′ відносно початків вміщених у фокусах F та F ′ . Дійсно, звертаючись до (2.2.14), отримаємо :

fxH = та fxH ′=′ ′ (2.2.16) Вузлові точки. Вузлові точки – це такі спряжені точки на оптичній осі, для яких кутове збільшення рівне +1 (Рис. 2.23). Координати вузлових точок NN xx ′′,



13

xδ

x′δ F F′ y

y ′ Рис. 2.25.

знайдемо із системи W = +1; uu =′ (2.2.18) Рис. 2.22.

ffxx NN ′⋅=′⋅ ′ (оскільки точки спряжені)

З інваріанту Лагранжа-Гельмгольца (2.2.12) з врахуванням (2.2.18) отримаємо:

nyny =′′ ; ⇒ ff

nn

yy

′−=

′=′

(2.2.19)

Порівнюючи (2.2.19) з (2.2.14), отримаємо Рис. 2.23.

fxf

xxf

ff

NN

N

′−=⇒′′

==′

− ′ ; fxN −=′ ′ . (2.2.20)

Таким чином, у загальному випадку відстань між вузловими точками така сама, як і між головними, але вони зсунуті відносно головних (Рис. 2.24).

Якщо передня і задня фокусні відстані системи однакові (показники заломлення в просторі предметів і в просторі зображень однакові), то тоді і лише тоді, головні та вузлові точки співпадають.

Головні фокуси, головні точки та вузлові точки називають кардинальними точками ідеальної оптичної системи. Вони однозначно задають ідеальну оптичну систему, а, отже, і визначають властивості будь-якої центрованої оптичної системи в параксіальному наближенні. Для цього достатньо задати будь-які чотири не співпадаючі між собою кардинальні точки. Іноді до переліку так званих кардинальних елементів оптичної системи відносять також головні та фокальні площини, положення яких однозначно визначається головними точками та точками головних фокусів.

Поздовжнє збільшення.

Уведемо поздовжнє збільшення

xxUδδ ′

= , (2.2.21)

де xδ − зміщення предмета вздовж оптичної осі системи; x′δ − величина на яку зміщується вздовж оптичної осі зображення цього предмета (Рис. 2.25).

F'FH

'HN

'N

f

f'f−

'f−

H 'H

Рис. 2.24.



14

Зв’язок між збільшеннями.

Знайдемо зв’язок між поздовжнім та лінійним (поперечним) збільшенням.

З рівняння Ньютона (2.2.15)

0=′⋅+′⋅ xxxx δδ .

Отже:

ff

xf

fx

ffff

xx

xx

xx ′

′′

−=′′′

−=′

−=′

δδ , Рис. 2.26.

звідки, з врахуванням (2.2.14):

ffVU′

−= 2 або nnVU′

= 2 . (2.2.22)

Таким чином, поздовжнє збільшення пропорційне квадрату поперечного.

Із означень лінійного V та кутового W збільшень, з врахуванням (2.2.14) та з Рис. 2.26:

xf

yyV =′

= ; fxfx

uuW

′−′+−

=′

= .

Перемноживши ці вирази та враховуючи (2.2.15), отримаємо:

ff

fxfffxf

fxxxfxf

fxfx

xfVW

′−=

′−′+−

×=′−′

+−×=

′−′+−

×= . (2.2.23)

Отже кутове та лінійне збільшення знаходяться в обернено пропорційній залежності. Якщо показники заломлення в просторі предметів і в просторі зображень однакові, то 1=VW . З (2.2.23) з врахуванням (2.2.22) остаточно маємо

VUW = . (2.2.24)

Зауважимо, що таким співвідношенням зв’язані три збільшення будь-якої ідеальної системи, незалежно від її конкретних параметрів. Поняття про проективні перетворення.

Для поодинокої сферичної поверхні відомі такі співвідношення:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−′

=′

⇒+−−′

=′

−

−′=−

′′

RaRa

yy

RaRa

yy

Rnn

an

an

Перепозначимо xa ′=′ , xa = і запишемо координати точки зображення yx ′′, через координати точки предмета yx, :

Rnn

xn

xn −′

=−′′

; ⇒ xn

Rnn

xn

+−′

=′′

; ⇒ Rnxnn

Rxn

xn

Rnnnx

+−′′

=+

−′′

=′)(



15

RnxnnnR

RxRnxnn

RxnxnxnR

RxRnxnn

RnxnnxnR

Rx

RRnxnn

Rxn

RxRx

yy

+−′=

−+−′

−+′−′

=−

+−′−−′−′

=−

−+−′

′

=−−′

=′

)()()(

)(

)()(

)()( .

Остаточно маємо

RnxnnRxnx+′−

′=′

)(;

RnxnnnRyy

+′−=′

)(; (2.2.25)

Якщо ми захочемо обрати нові початки систем координат на осі системи окремо в просторі предметів і в просторі зображень, то загальний вигляд перетворень буде таким:

constxx старанова += tconsxx старанова ′+′=′

старанова yy = ; старанова yy ′=′ . Тоді всі формули перетворень координат можна записати у такому вигляді:

dcxbaxx

++

=′ ; ydcx

ey ⋅+

=′ ; zdcx

ez ⋅+

=′ , (2.2.26)

де a, b, c, d, e – деякі параметри, що характеризують оптичну систему. Такі перетворення називаються колінеарними, або дробово-лінійними, або проективними. Властивості проективних перетворень.

1) Кожна площина в просторі предметів зображається у вигляді площини в просторі зображень. Дійсно, застосування перетворень (2.2.26) до рівняння площини в просторі предметів

0=+++ DCzByAx дає 0=′+′′+′′+′′ DzCyBxA , тобто в просторі зображень знову отримаємо рівняння площини.

Коефіцієнти DCBA ′′′′ ,,, залежать як від коефіцієнтів DCBA ,,, , так і від параметрів a, b, c, d, e, що характеризують оптичну систему.

2) Кожна пряма відображається в пряму, оскільки вона задається перетином двох площин.

3) Кожна точка простору предметів у просторі зображень зображається точкою, оскільки вона може бути задана перетином площин з прямою (перетином трьох площин).

Таким чином, ідеальна оптична система дає стигматичні зображення.

З вищевикладеного також випливає, що площадка перпендикулярна оптичній осі системи зображується в площадку перпендикулярну осі.

Нарешті, той факт, що лінійне (поперечне) збільшення V не залежить від відстані точки предмета до оптичної осі, гарантує, що зображення предмета, що лежить в площині перпендикулярній до оптичної осі, буде геометрично подібним до самого предмета.

Таким чином, проективні перетворення забезпечують отримання ідеальних зображень, Додавання (комбінація) ідеальних оптичних систем.

Нехай дві ідеальні оптичні системи розміщені послідовно на одній осі (Рис. 2.27). Задача: знайти параметри ідеальної оптичної системи, яка справляє таку саму дію, як ці дві системи, які називають компонентами складеної (комбінованої) ідеальної оптичної системи.



16

∆ − оптичний інтервал (відстань від переднього фокуса першого компонента до заднього

фокуса другого компонента) d − товщина системи (відстань між задньою головною площиною першого компонента та

передньою головною площиною другого компонента). 21 ,, nnn − показники заломлення, відповідно перед першим компонентом, між компонентами, за другим компонентом.

Наше завдання полягає у тому, щоб від координат зображення 2x′ та 2y′ дійти до координат предмета 1x та 1y . Для другого компонента можемо записати:

2

2

2

2

2

2 x fx

fyy

′′

==′

, звідки

2

222 f

yxy′⋅′

=′ ; 2

222 x

ffx′

=′ (2.2.27а)

Предметом для другого компонента буде зображення, яке дає перший компонент. Його координати ∆−′= 12 xx , 12 yy ′= , оскільки координатні системи з початками в фокусах 1F ′ та 2F зміщені вздовж осі х. Отже, (2.2.27а) перепишемо так

∆−′′

=′1

222 x

ffx ; 12

22 y

fxy ′⋅′′

=′ . (2.2.27б)

Розглянемо дію першого компонента:

1

111 x

ffx′

=′ ; 11

11

1

11 y

xfy

fxy =⋅′′

=′ ; (2.2.27в)

Підставимо 1x′ з (2.2.27в) у вираз для 2x′ з (2.2.27б):

1111

22

1

21

222 x

xffff

xff

ffx ⋅⋅∆−′′

=∆−

′′

=′ .

Знайдене значення 2x′ підставимо у вираз для 2y′ з (2.2.27б) разом із виразом для 1y′ :

1111

121

2

21

111

21

2

1121

22

2 yxff

ffyxfx

xfffy

f

xxff

ff

y ⋅⋅∆−′

=′⋅⋅∆−′

=′′⋅∆−′′

=′ .



17

Отже ми одержали формули, які зв’язують координати точки зображення, що його дає складена система, з координатами точки предмета:

1111

222 x

xffffx ⋅⋅∆−′′

=′ ; 1111

212 y

xffff

y ⋅⋅∆−′

=′ . (2.2.28)

З цих формул можна знайти координати переднього фокуса складеної системи F. Якщо предмет розміщено у фокусі, то координати його зображення прямують до нескінченності. Зображення буде на нескінченності, якщо прирівняти до нуля знаменник у формулі для 2x′ :

0111 =⋅∆−′ xff , звідки ∆′

= 111 )( ffFx . (2.2.29)

Введемо нові системи координат yx, та yx ′′, , початки яких лежать, відповідно, у фокусах F та F ′ складеної системи. Оскільки початки координат переміщували лише вздовж осі, то з Рис. 2.27 знаходимо зв’язок між «старими» (з початками в точках 1F та 2F ′ ) і «новими» (з початками в точках F та F ′ ) координатами

∆′

+−=− 111

ffxx , звідки ∆′

−= 111

ffxx , та 1yy = . (2.2.30)

Тут величина ∆′

= 11 ffδ − це відстань між «старими» і «новими» фокусами, тобто відстань

від переднім фокусом 1F першого компонента та фокусом F складеної системи як цілого. Аналогічно для простору зображень маємо:

2yy =′ ; ∆′

+′=′ 222

ffxx ; ∆′

−=′ 22 ffδ . (2.2.31)

З другої рівності (2.2.28) поділивши чисельник і знаменник на ∆ та помінявши доданки місцями одержимо:

xf

ffx

ff

yy

yy

=

∆′

−

∆−

=′

=′

111

21

1

2 , (2.2.32)

де використано (2.2.30) і позначено∆

−= 21 fff .

Остаточно для комбінованої оптичної системи маємо:

fx

xf

yy

′′

==′

; де ∆

−= 21 fff ; ∆′′

=′ 21 fff ; (2.2.33)

У випадку, коли 0=∆ координати фокусів прямують до нескінченості: така система називається афокальною або телескопічною. Оптична сила складеної оптичної системи

Для складеної оптичної системи

fn

fn 12 =′

−=Φ ; (2.2.34)

Підставимо в (2.2.34) ∆′′

=′ 21 fff :

=⋅′′

∆−=Φ 2

21

nff

=⋅′′−′+

− 221

21 nff

ffd=⋅

′′−′−

221

12 nff

dff⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′′

−′

−′′ 21212

22

1ff

dfff

fn =



18

= =′′

−′

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

′ nfn

fnd

fn

nn

fn 1

12

2

2

2

21

2 =ΦΦ−′

−′

− 212

2

1

1n

dfn

fn

21211

ΦΦ−Φ+Φn

d

Таким чином, оптичну силу складеної системи Ф подано через оптичні сили 1Φ і 2Φ компонентів, товщину системи d і показник заломлення середовища між компонентами:

2121 ΦΦ−Φ+Φ=Φnd . (2.2.35)

Товста лінза

Ця формула може бути безпосередньо застосована для знаходження оптичної сили товстої лінзи. У цьому випадку d – це товщина лінзи, тобто відстань між полюсами сферичних поверхонь лінзи, n – показник заломлення матеріалу лінзи, а 1Φ і 2Φ - оптичні сили передньої та задньої сферичних поверхонь лінзи. Варто пам’ятати, що в загальному випадку, коли показники заломлення середовищ по різні боки лінзи різні ( 12 nn ≠ ), у формулу

(2.2.35) слід підставляти 1

11 R

nn −=Φ

2

22 R

nn −=Φ , де 1R і 2R - радіуси кривини передньої та

задньої сферичних поверхонь, взяті з відповідним знаком.

Звернемо увагу на те, що при 0→d ця формула перейде у формулу для оптичної сили тонкої лінзи. Нехай, наприклад, 0, 21 >ФФ . Тоді збільшення товщини лінзи призведе до зменшення її оптичної сили Ф і при деякій товщині досягається 0=Φ : лінза стає афокальною (Рис. 2.28). При подальшому збільшенні d товста лінза із збірної перетвориться на розсіювальну.

Таким чином, якою буде складена оптична система: збиральною, чи розсіювальною залежить не лише від оптичної сили її компонентів, а від їх взаємного положення (взаємного положення їх головних площин та фокусів) . Нагадаємо, що оптична сила системи є додатна, якщо промінь, що падає на систему паралельно її оптичній осі після виходу із задньої головної площини буде наближатись до осі (перетинати її) і є від’ємна, якщо він буде віддалятися від осі. Приклад складеної оптичної системи, для якої

0<Ф при тому, що оптична сила обох її компонентів 0, 21 >ФФ , показано на Рис. 2.29 (Увага: на Рис.2.29 задній фокус 1F ′ першого компонента помилково відмічений жирною крапкою не в точці перетину променя, що виходить із задньої головної площини першого компонента, а ближче до неї!).

Рис. 2.29. 2.4. Поняття про аберації реальних оптичних систем Сферична аберація, астигматизм, кома, дисторсія, хроматична аберація. Методи їх усунення та зменшення. (Читати власний конспект та рекомендовану програмою літературу, згадувати лекційні демонстрації) Приклад усунення аберації – телескоп Hubble.

Рис.2.28.

2.4. Поняття про аберації реальних оптичних систем Сферична аберація, астигматизм, кома, дисторсія, хроматична аберація. Методи їх усунення та зменшення. (Читати власний конспект та рекомендовану програмою літературу, згадувати лекційні демонстрації) Приклад усунення аберації – телескоп Hubble –читати на OP08.

О.В.Слободянюк Оптика (конспект лекцій)


1

2.5. Основні поняття фотометрії Фотометрія означає вимірювання світла. Основним поняттям фотометрії є потік випромінювання і споріднене до нього поняття світлового потоку. Потік випромінювання або потік променистої енергії вимірюється відношенням енергії, що переноситься електромагнітним випромінюванням хвилями через деяку поверхню, до часу, за який здійснюється це перенесення (цей час має бути значно більшим за період електромагнітних коливань, T>>τ ):

τe

eQ

=Φ , де eQ - енергія електромагнітних хвиль, τ - час.

Отже, потік випромінювання eΦ є синонімомом потужності випромінювання. Оскільки електромагнітні хвилі можуть мати різні частоти, то потік (потужність) випромінювання, що припадає на інтервал частот від 1ν до 2ν є

( )∫=Φ2

1)12(

ν

νννρ de (*)

де ( )νρ - спектральна густина потужності випромінювання, розрахована на одиничний інтервал частот,

( )ν

νρd

d eΦ= ;

Зрозуміло, що на інтервал довжин хвиль. 1

1 νλ c

= , 2

2 νλ c

= припадає та сама потужність

випромінювання )12(eΦ , яку можна тепер подати через спектральну густину потужності

випромінювання, розраховану на одиничний інтервал довжин хвиль ( )λ

λρd

d eΦ= . Таким чином,

поряд з (*) маємо еквівалентну формулу

( )∫=Φ2

1)12(

λ

λλλρ de . (**)

Отже, можемо характеризувати спектральний склад випромінювання, як функцією розподілу )(νρ , так і функцією розподілу )(λρ , які, взагалі, мають різний вигляд.

ν

νλ



2

Корисно встановити зв’язок між розподілами )(νρ та )(λρ .

Оскільки для потужності випромінювання в деякому елементарному спектральному інтервалі ( ) ( ) λλρννρ ddd e ==Φ ,

то, враховуючи λ

ν c= → λ

λν dd 2

c−= → ( ) ( ) λλρλ

λνρ dd- =2

c ,

остаточно отримаємо

( ) ( )c

2λλρνρ = або ( ) ( )c

2ννρλρ = .

При запису останніх формул знак ''-'' випущено, оскільки він вказує лише на те, що напрямки зміни λ та ν протилежні. В оптиці користуються також спектральними розподілами в залежності від циклічної частоти ω , ( πνω 2= ), та від так званого хвильового числа ν~ .

Хвильові числа вимірюють в обернених сантиметрах: [ ] [ ]смλν 1cм~ 1- = .

Величини ν , ω та ν~ прямо пропорційні одна одній і обернено пропорційні довжині хвилі λ . Довжину хвилі у видимому діапазоні, вимірюють у нанометрах (1 нм = 10-9 м): у нанометрах вимірюють також довжини хвиль в ультрафіолетовій і в ближній ІЧ (до 1000 нм) ділянках спектра. В ІЧ області звичайно користуються мікрометрами (1 мкм = 10-6 м). В старій літературі часто вживають ангстреми (1 Å = 0,1 нм): сьогодні цією одиницею часто користуються для рентгенівського випромінювання).

Світловий потік Якщо потік випромінювання – це чисто фізичне поняття, то про світловий потік можна сказати, що це лише та частина потоку випромінювання, що сприймається людським оком. За допомогою цієї світлової величини потік випромінювання оцінюють за зоровим (світловим) відчуттям, яке він (потік випромінювання) викликає у людини. Поняття світлового потоку і потоку випромінювання різні, оскільки людське здатне сприймати не всю потужність електромагнітного випромінювання, яка в нього потрапляє, а лише певного діапазону частот (довжин хвиль), який ми називаємо видимим. Око є так званим селективним приймачем випромінювання, тобто таким, що є чутливим лише до випромінювання певної вибраної ділянки частот (довжин хвиль). Всередині цієї ділянки чутливість селективного приймача випромінювання, як правило, різна для випромінювання різних частот (довжин хвиль), тобто одна й та сама спектральна густина потужності в різних ділянках спектру викликає різну реакцію приймача. Селективність приймача випромінювання характеризують функцією відносної спектральної чутливості, яку звичайно подають у вигляді кривої відносної спектральної чутливості. Криву відносної спектральної чутливості селективного приймача випромінювання отримують шляхом нормування на максимум кривої його абсолютної спектральної чутливості, яка зв’язує реакцію приймача (струм, напругу або іншу величину на виході приймача) із спектральною густиною випромінювання, що викликає цю реакцію. З цього випливає, що відносна спектральна чутливість є безрозмірною величиною, що змінюється від нуля до одиниці.



3

Світловий потік - це світлова величина, яку оцінюють за дією світла на селективний приймач випромінювання, відносна спектральна чутливість якого визначається функцією відносної світлової ефективності монохроматичного випромінювання ( )λk , що відповідає спектральній чутливості людського ока. 1

Відносна спектральна світлова ефективність ( )λk визначається через спектральну світлову ефективність ( )λV (застаріла назва – видність) шляхом нормування останньої на її максимальне значення maxV

( ) ( )maxV

Vk λλ =

Спектральна світлова ефективність ( )λV є мірою реакції ока (зорового відчуття) на потік випромінювання. За її допомогою встановлюється зв’язок між світловим потоком Φ , одиницею вимірювання якого є люмен, і спектральною густиною потужності випромінювання ( )λρ :

. ( ) ( ) ( ) ( ) λλρλλλρλ dkVdV ∫=∫=∞∞

0max

0Ф , (***)

де ВтЛмV / 683max = - максимальна спектральна світлова ефективність (або фотометричний еквівалент). Спектральна світлова ефективність має максимум при довжині хвилі λ = 555 нм, що відповідає зеленому світлу. Для відшукання потужності (потоку променистої енергії) за відомим світловим потоком використовують обернену величину ЛмВтVM / 1046,1/1 3

max−⋅== , так званий енергетичний

еквівалент світла (його іноді також називають механічним еквівалентом). Зауважимо, що для тієї ж самої спектральної густини потужності випромінювання ( )λρ потік випромінювання

( ) λλρ de ∫=Φ∞

0. (*)

З порівняння формул (*) та (***) видно, що одна й та сама потужність світла на різних частотах дає різні внески у світловий потік: різні спектральні ділянки враховуються з різною “вагою”, яка визначається відносною спектральною світловою ефективністю ( )лk (відносною видністю світла того чи іншого кольору). Максимальний внесок у світловий потік дає зелене світло. Для того, щоб викликати однаковий рівень зорового відчуття потужність червоного або фіолетового світла повинна бути набагато більша (в десятки разів) ніж зеленого.

1 Ця функція отримана шляхом статистичного усереднення результатів експериментальних досліджень очей як у великої кількості різних людей з нормальним зором, так і у по реакції очей однієї і тієї ж людини в різні моменти часу

)(λk

нм,λ

1,0

0,5

400 500 600 700

555 нм



4

Випромінювання з довжинами хвиль поза інтервалом 400-700 нм (0,4-0,7 мкм на рисунку) невидиме оком не дає внеску в світловий потік навіть якщо його потужність значна2.

На рисунку показано )(λρ для лампи розжарювання. Площа під кривою )(λρ пропорційна повному потоку випромінювання, обчисленому за формулою (**). Площа заштрихованої області пропорційна світловому потоку, обчисленому за формулою (***). Цю область легко отримати перемноживши графіки )(λρ та ( )лk . Таким чином, лампи розжарювання дають незначний світловий потік випромінюючи значну потужність в ІЧ ділянці спектра. Люмінесцентні лампи денного світла значно ефективніші за лампи розжарювання, оскільки їх випромінювання припадає переважно на видиму

область спектру і, таким чином, при однаковому потоці випромінювання вони створюють більший світловий потік. Ще більш ефективними є електролюмінісцентні джерела світла з прямим перетворенням електричної енергії у видиме випромінювання. Їх ефективність може наближатись до 100%, якщо для люмінесцентних ламп це 30-35%, а для звичайних ламп розжарювання вона порядку 10%.

Основні світлові величини Освітленість – це світловий потік, який припадає на одиницю освітлюваної поверхні:

dSdE Φ

= .

Одиницею освітленості є люкс: [ ][ ] [ ]люксм

люмен=2

На рисунку σ ′d - елемент площі видимої поверхні джерела, dS - елемент площі поверхні, освітленість якої зумовлена дією елемента σd джерела, причому розміри σd обрані набагато меншими за відстань між σd та dS . Кути θ і ψ визначають напрям поширення світла відносно елемента σd джерела. Відлік кута θ здійснюється від нормалі nr до поверхні джерела, а ψ -

2 При великих інтенсивностях (густинах) потоку випромінювання межі видимої оком ділянки спектру розширяються і лежать в межах 390-760 нм. Але для того, щоб випромінювання з довжиною хвилі 760 нм створило у людини таке саме зорове відчуття яскравості як випромінювання на довжині хвилі 555 нм, його потужність необхідно збільшити приблизно в 20 000 разів!

мкм



5

від деякого обраного на поверхні напряму ox . Кут φ є кут падіння світла на площадку dS . Світловий потік, що поширюється від елемента σd джерела і падає на площадку dS є пропорційний σ ′d і величині елементарного тілесного кута Ωd , що спирається на площадку dS і в вершині якого лежить елемент поверхні джерела σd :

( ) ( ) Ω==′=Ω′=Φ ddBddddBd θσψθςσσσψθ cos,cos, . Коефіцієнт пропорційності ( )ψθ ,B називають яскравістю джерела. Яскравість – це характеристика джерела. Вона в загальному випадку залежить від напрямку, з якого спостерігається елемент поверхні джерела (від кутів θ та ψ ). Отже, яскравість джерела в заданому напрямі

( )Ω′

Φ=

ΩΦ

=dd

ddd

dBσθσ

ψθcos

, ,

Тобто яскравість є світловий потік з одиниці видимої поверхні джерела в одиницю тілесного кута. Джерела, для яких яскравість не залежить від напрямку ( constB = ), називають ламбертівськими джерелами3. Яскравість є характеристикою певної ділянки протяжного джерела. Наприклад, яскравість різних ділянок сонячного диску різна: спадає від центру до периферії і суттєво менша в так званих сонячних плямах. Отже, освітленість площадки dS можна подати так

( ) ( ) ( )22

coscos,coscos,cos,r

dBrSd

SddB

dSddBE ϕθσψθϕθσψθθσψθ

=′

⋅′

=Ω

=

(використано cos

cos ;2 ϕϕ SddSdSSd

rSdd

′=⇒=′

′=Ω )

В наближенні малих (точкових) джерел const=θ . ψθ ,I - сила світла джерела у даному напрямку.

ψθψθ θσ ,, cos IdB =

Якщо джерело точкове, то ΩΦ

=⇒Ω=ΦddIdId ψθψθ ,,

Сила світла в даному напрямку – це світловий потік в одиничному тілесному куті.

3 В 1760 р. Ламберт сформулював твердження, що яскравість поверхні, що ідеально розсіює світло не залежить від напрямку спостереження (закон Ламберта). Насправді поверхонь, для яких закон Ламберта виконується з достатньою точністю небагато: поверхні вкриті окисом магнію, гіпс, серед мутних середовищ – молочне скло, серед самосвітних поверхонь – чорні тіла, деякі люмінофори.



6

Таким чином , освітленість створена точковим джерелом з силою світла ψθ ,I , що знаходиться на відстані r від площадки:

ϕψθ cos2,

rI

E = ,

де ϕ - кут падіння світла на площадку. Закони освітленості:

1) Закон обернених квадратів: Е ~ 2

1r

;

2) Закон ''косінуса'': Е ~ ϕcos ; Ще раз нагадаємо, що всі світлові величини означені через світловий потік Φ , тобто суттєво пов’язані з фізичними властивостями людського ока. Вони застосовуються переважно в галузях пов’язаних з зоровою активністю людини: в світлотехніці, в стандартах освітленості робочих місць, в характеристиках дисплеїв, телевізійних екранів тощо. Там де характеристики випромінювання не потребують прив’язки до людського ока використовують так звані енергетичні фотометричні величини і відповідні одиниці, які означені безпосередньо через потік випромінювання eΦ . Відповідно розглядають енергетичну силу світла eI , енергетичну яскравість eB , енергетичну освітленість eE , які вводяться за тими ж співвідношеннями, що і світлові величини, в яких замість світлового потоку Φ фігурує потік випромінювання eΦ . Послаблення потоку випромінювання При поширенні потоку випромінювання в різних середовищах він послаблюється внаслідок взаємодії з середовищем (поглинання, розсіювання тощо). Знайдемо залежність густини потоку випромінювання (інтенсивності) від довжини шляху в середовищі. Для визначеності будемо розглядати послаблення монохроматичного випромінювання внаслідок поглинання. Наша модель:

• Потік випромінювання розглядається як потік квантів випромінювання (фотонів), густина якого n (тобто через одиницю площі (наприклад, 1 см2 ) перерізу пучка

випромінювання проходить n фотонів за секунду, [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== × TL

n 2час площачастинок число 1][

• Поглинання відбувається в центрах поглинання, які характеризуються певним перерізом поглинання σ , причому вважається, що центр поглинає всі фотони, що потрапляють в цей переріз, [ ]2L][ =σ .

• Концентрація центрів поглинання N не дуже велика (точніше така, що сума перерізів усіх центрів поглинання на шляху потоку випромінювання істотно менша за переріз пучка випромінювання), ]L[][ -3=N .

Отже, інтенсивність (густина потужності випромінювання) є

nhvnEI кв == , де n hvEкв = , тобто nhvnEI кв == , → nI ~ . Зміна густини потоку фотонів на деякому елементарному шляху dx є пропорційною густині потоку n та сумі



7

перерізів центрів поглинання, що містяться в елементарному шарі dx поглинального середовища

Ndxndn σ−= , звідки

Ndxndn σ−=

Nxenxn σ−= 0)( (*) де

)0(0 nn = . Має місце експоненціальне послаблення пучка. В експоненті стоїть шлях, який проходить пучок в послаблюючому середовищі. Формулу (*) можна переписати у вигляді

;)( 0kxeIxI −=

де величина k є характеристикою поглинального середовища, яка називається коефіцієнтом поглинання. Величину k вимірюють в обернених сантиметрах 4: ][][ 11 −− == смLk . k залежить від концентрації поглинаючих центрів та від σ , σNk = Переріз поглинання залежить від енергії фотонів (частоти або довжини хвилі світла). Експериментально експоненціальний закон послаблення світла в залежності від товщини шару l поглинального середовища, що його проходить світло, був встановлений Бугером в 1729 р. (закон Бугера)

lkeII λ−= 0 , де λk - коефіцієнт поглинання, що залежить від частоти. Ця залежність називається спектром поглинання речовини і являє собою одну з найважливіших характеристик речовини, яка дає інформацію про квантові стани, в яких може знаходитись речовина, зокрема про їх енергію. Спектри поглинання вивчаються в усіх природничих науках: фізиками, хіміками, біологами, астрономами, геологами, екологами... Як можна виміряти k ? Необхідно виміряти відношення інтенсивностей світла на вході та на виході з поглинального шару відомої товщини l , виміряної в см. Це відношення характеризують величиною пропускання

0IIT = ,

або так званою оптичною густиною

IID 0lg= .

k обчислюють за формулою

II

lk 0ln1=

4 Не слід плутати обернені сантиметри, якими вимірюють коефіцієнт поглинання, з оберненими сантиметрами, якими вимірюють хвильові числа в спектроскопії.

0IIT =

II

D 0lg=

1 0 0,1 1 0,01 2 0,001 3



8

Щоб виключити послаблення пучка, пов'язане з відбиванням на вхідній та вихідній поверхнях зразка треба взяти зразки різної товщини 21 , ll , тоді маємо два рівняння, з яких можна виключити втрати на відбивання.

Оптична густина двох послідовних шарів – сума оптичних густин кожного з шарів

Двофотонне поглинання.

При двофотонному поглинанні одночасно поглинаються два фотона. Зміна густини потоку фотонів на деякому елементарному шляху dx в цьому випадку буде пропорційна 2n

Ndxndn 22σ−= ,

де 2σ - переріз двофотонного поглинання.

Після інтегрування отримаємо

,1

)(20

0

xkIIxI

+=

де введено позначення Nk 22 σ= , 2k - коефіцієнт двофотонного поглинання.

Залежність )(xI радикально відрізняється від закона Бугера.

Двофотонне поглинання простіше спостерігати для тих енергій фотонів, які недостатні, щоб відбулося однофотонне поглинання. Наприклад, при опроміненні напівпровідника фотонами з енергією меншою, за ширину забороненої зони gEh <ν . Двофотонне поглинання нині широко використовується в біологічних дослідженнях та в біофотоніці, оскільки дозволяє діяти світлом на різного роду флуоресцентні зонди, мітки, живі клітини та інші об’єкти, що знаходяться на значній глибині від поверхні біологічного матеріалу. Наприклад, якщо необхідно подіяти на якійсь об’єкт вглибині живої тканини, що має смугу поглинання приλ = 250 нм, то при однофотонному збуджені світло з такою довжиною хвилі буде поглинуте поверхневим шаром тканини з товщиною порядкуλ . Використання потужного лазерного випромінювання з λ =500 нм , для якого тканина достатньо прозора, дозволяє розв’язати цю задачу. Більше того, це випромінювання можна сфокусувати в потрібній точці, і за рахунок того, що поглинута потужність пропорційна квадрату інтенсивності, досягти високої локалізації дії випромінювання.



9

Основні світлові величини та їх одиниці в системі СІ

Величина Позначення

Зв’язок з інш. величинами

Одиниця назва позначення

Світловий потік Φ люмен лм Світлова енергія Q ∫Φ= dtQ люмен-

секунда лм·с

Світлова ефективність випромінювання

V

e

VΦΦ

= люмен на Ватт

лм·Вт-1

Сила світла (джерела в деякому напрямку)

I ΩΦ

=ddI кандела кд

Яскравість (в заданій точці джерела і в заданому напрямку)

B Ω

Φ=

dddB

иcosσ

кандела на квадратний метр

кд·м-2

Освітленість (в точці поверхні)

E dSdE Φ

= люкс лк

(Докладно про світлові одиниці та про еталон сили світла читати самостійно в підручниках, рекомендованих програмою)


О.В.Слободянюк, 2003-2011 2_6 Optycni Prylady 2011_02192011_0219

1

2.6. Оптичні прилади

Проекційні прилади

Проекційні оптичні прилади дають дійсні зображення.

Камера-обскура

Найдавнішим і найпростішим проекційним приладом, що дає зображення бездоганно

геометрично подібне до предмета, є камера-обскура.

Недоліки– мала світлосила і обмежена роздільна здатність.

Фотоапарат.

А – апертурна діафрагма,

П – польова діафрагма,

Л – люк входу,

Л' – люк виходу,

З, З' – зіниця входу і

зіниця виходу.

Об’єктив фотоапарата являє собою оптичну систему з >0, яка дає дійсне зображення

предметів в деякій площині, в якій розміщують світлову фотоплівку (звичайний фотоапарат)

або матрицю фотоприймачів (цифровий фотоапарат).

Освітленість зображення в цій площині залежить від діаметру D апертурної діафрагми А.

Вона регулює апертуру (переріз) світлового пучка.

На рисунку θ - кут при вершині тілесного кута, який визначає світловий

потік, що потрапляє в апертурну діафрагму від деякої точки предмета і

визначає освітленість відповідної елемента зображення. Оскільки,

світловий потік, що формує будь-який елемент зображення, визначається

тілесним кутом, який спирається на апертурну діафрагму, то зміна її

діаметру викликає зміну освітленості зображення, причому в однакове

число разів для всіх точок зображення.

Розмір і форма поля зору фотоапарата, тобто області простору яка буде

зафіксована на плівці або матриці, визначається так званою діафрагмою

поля зору або польова діафрагмою П. Звичайно, це прямокутна кадрова

рамка за впритул до якою розміщено фотоплівку або матрицю (в

останньому випадку це може бути просто сама матриця).

Вплив апертурної та польової діафрагм на зображення принципово

різні: за допомогою апертурної діафрагми можна змінювати

освітленість зображення без зміни поля зору, а за допомогою польової –

розмір та форму поля зору без зміни освітленості.

Відносний отвір об'єктива f

D .

Освітленість зображення на плівці ~ 2 . Величину 2 іноді називають

світлосилою об’єктива.



2

На фотоплівці маємо точкове зображення B точки B з простору предметів, яка лежить точно в

площині, спряженій з площиною фотоплівки і кружки розсіяння для точок A та C , що лежать

далі і ближче. Розмір кружків розсіяння може бути зменшений зменшенням апертурної

діафрагми. При цьому можна отримати достатньо різке зображення в одній площині ділянки

простору предметів, яка має певну протяжність вздовж оптичної осі. Тому кожному значенню

відносного отвору об'єктива відповідає певна глибина різкості в просторі предметів, тобто

інтервал відстаней від фотоапарата, предмети з якого будуть зображуватись на плівці різко.

Наприклад, для об’єктива HELIOS-44 з фокусною відстанню 58 мм глибина різкості при

максимальному відносному отворі 1:2 і при встановленні відстані 4 м до площини, що

найбільш різко зображається на плівку, становить 3,8÷4,6 м, а при зменшенні відносного

отвору до 1:16 глибина різкості становить 2,2 м ÷ .

В оптичних приладах також розрізняють вхідну і вихідну зіниці З та З’, а також вхідний та

вихідний люки Л та Л’.

Люк виходу – це зображення діючої польової діафрагми в усіх наступних (по ходу світла)

елементах оптичної системи. Люк входу - це зображення діючої польової діафрагми в усіх

попередніх елементах оптичної системи. Ясно, що люк виходу є зображенням люка входу і

навпаки. Люк виходу в проекційних оптичних системах лежить там, де утворюється

зображення.

Вхідна зіниця – це та діюча апертурна діафрагма або її зображення в усіх попередніх елементах

оптичної системи, що її видно під найменшим кутом з точки люку входу, що лежить на

головній оптичній осі оптичної системи.

Вихідна зіниця - це та діюча апертурна діафрагма або її зображення, що її видно під

найменшим кутом з точки люку виходу, що лежить на головній оптичній осі оптичної системи.

Вихідна зіниця є діючою апертурною діафрагмою або її зображенням в усіх наступних

елементах оптичної системи, що видно під найменшим кутом з точки люку виходу, що лежить

на головній оптичній осі оптичної системи. Вихідна зіниця є зображенням вхідної і навпаки.

Людське око.

Людське око діє подібно до фотоапарата. Основним елементом оптичної системи ока є

кришталик. Дійсне перевернуте зображення утворюється на сітківці, що складається з

світлочутливих рецепторів.

Освітленість сітківки регулюється зіницею ока, апертурною діафрагмою, потрібний діаметр

якої встановлюється автоматично.

Також автоматично встановлюється різкість зображення за рахунок скорочення м’язів ока.

При спостереженні віддалених предметів ці м’язи розслаблені.

При наближенні предмета до ока його кутовий розмір (кут, під яким його видно з центру

зіниці) зростає і відповідно зростає лінійний розмір перевернутого дійсного зображення на

сітківці. Найменша відстань, на якій можна спостерігати предмет неозброєним оком (більша

акомодація неможлива) називається відстанню найкращого зору D , яка для нормального ока

становить 25 см. Для короткозорого ока вона менша, для далекозорого – більша.

Так само як і у випадку фотоапарата можна зменшити кружки розсіяння на сітківці за рахунок

зменшення діаметру апертурної діафрагми (безпосередньо перед оком розмістити непрозорий

екран з малим (десяті частки міліметра отвором) і наблизити предмет на відстань меншу за 25

см. При цьому лінійні розміри зображення предмета на сітківці ока збільшаться.



3

Проекційний ліхтар.

Проекційний об’єктив дає на екрані дійсне зображення яскраво освітленої поверхні конденсора

і розміщеного поряд з нею транспаранта (слайда). Оправа конденсора або кадрова рамка слайда

діють як польова діафрагма П: вони обмежують видиме поле зору на екрані, який є люком

виходу системи Л . Люком входу Л є сама польова діафрагма П. Апертурною діафрагмою А є

оправа проекційного об’єктива, або спеціально розміщена поблизу його головних площин

ірисова діафрагма, яка при своїй зміні в одне й те ж саме число разів змінює переріз одночасно

всіх пучків, які проходять від всіх точок предмету на екран. Таким чином апертурна діафрагма

регулює освітленість зображення на екрані (так само як у фотоапараті). З апертурною

діафрагмою А співпадає вихідна зіниця З'.

Зображення джерела, яке може мати дуже неоднорідний розподіл яскравості, за допомогою

конденсора проектують у вихідну змінницю З (в апертурну діафрагму) А, точніше в передню

головну площину об’єктива. Тоді воно виникає і в задній головній площині об’єктива і таким

чином екран начебто освітлюється джерелом, вміщеним у вихідну зіницю. Зрозуміло, що

освітленість екрану буде рівномірною, принаймні на екрані не видно структуру джерела.

На рисунку штриховкою різного напрямку виділимо пучки, що пояснюють утворення

зображення транспаранту на екрані і рівномірність освітлення екрану (за відсутності

транспаранту) при використанні неоднорідного джерела (наприклад, лампи розжарювання, яка

має спіраль). Зокрема можна бачити. Що одна довільно вибрано точка джерела Д, освітлює

весь екран. З іншого боку видно, що поверхня конденсора рівномірно освітлена джерелом (всі

точки джерела дають внесок в освітленість будь-якої точки поверхні конденсора), а відтак і

зображення цієї поверхні на екрані є рівномірно освітленими (так зване “оптичне” поле) Вхідну

зіницю З знаходимо, як зображення вихідної зіниці З за допомогою конденсора.



4

Спектрограф з призмою

У спектрографі з призмою, як і в усіх спектральних приладах з просторовим розділенням

пучків світла з різними частотами (довжинами хвиль) оптична система дає зображення вхідної

(польової) діафрагми у різних кольорах (пучками світла з різними довжинами хвиль). Якщо

вхідна діафрагма має вигляд щілини S, перпендикулярної площині дисперсії, в якій

відбувається відхилення пучків різних частот на різні кути (в зображеному випадку це

площина рисунка), то кожна монохроматична складова дає своє зображення щілини у

відповідному кольорі. Якщо набір частот дискретний, то отримуємо так званий лінійчатий

спектр. (На лекції демонструється спектр випромінювання атомів ртуті, що знаходиться в її

парах). Якщо частоти утворюють континуум, то маємо неперервний спектр (на лекції

демонструється спектр випромінювання лампи розжарювання).

Звичайно на призму спрямовують паралельний пучок, що створюється коліматором, а

зображення щілини в різних довжинах хвиль утворюються в фокальній площині камерного

об’єктива.

Оптичні прилади, що озброюють око

Лупа (збільшувальне скло)

.

а) Предмет розміщено на відстані

найкращого зору D від ока.

б) Предмет розміщено у передньому фокусі

лупи – значно ближче до ока. Зображення,

яке дає лупа, лежить на нескінченності –

найкращі умови для спостереження: око не

напружується

Кутове збільшення, яке дає лупа f

D

Dy

fy

tgU

UtgW

/

/.



5

Це збільшення як правило не перевищує 10, оскільки підвищення збільшення потребує більшої

оптичної сили Ф лупи, що в свою чергу приводить до неприйнятно малих значень радіуса R ,

отже і розміру лупи: Ф

f1

, R

nФ

1. При цьому різко зростають аберації зображення. Тому

для досягнення великих збільшень використовують мікроскоп.

Мікроскоп.

Мікроскоп можна розглядати як комбінацію проекційного пристрою та лупи.

В мікроскопі об'єктив (Об) дає збільшене дійсне зображення y предмета y , яке потім

розглядають за допомогою лупи, яка дістала назву окуляра (Ок).

Тоді кутове збільшення мікроскопа обокок ff

D

a

a

f

DW ,

де a

a

y

yV - лінійне збільшення об'єктива.

А – апертурна діафрагма; П – польова діафрагма.

Вихідна зіниця мікроскопа З є зображенням

апертурної діафрагми окуляром і лежить за ним.

Вихідна зіниця З є самим “вузьким місцем”, через

яке проходять світлові пучки після виходу з

мікроскопа.

При спостереженнях вхідна зіниця ока повинна

співпадати з вихідною зіницею мікроскопа З , щоб

все світло із мікроскопа попало в око.

Мікроскоп можна також розглядати як складну лупу (комбіновану оптичну систему з двох

компонент).

Об

Ок

A

обF a

'a

y

'y

окf

обf обF

окF

Ок 'З



6

Тоді враховуючи, що фокусна відстань такої лупи

(мікроскопа як цілого) обокmikr

fff , знову дістанемо

обок ff

DW

Об'єктив мікроскопа складний. Перша (фронтальна) лінза

має малий радіус, велику оптичну силу і значні аберації.

Інші компоненти призначені для виправлення цих аберацій.

Телескопи (зорові труби )

Телескопи застосовуються для спостереження небесних тіл, тобто таких предметів, що

знаходяться практично на нескінченності: зірок, планет, штучних супутників тощо. Основною

задачею телескопів, за допомогою яких спостерігають планети є отримання значного кутового

збільшення, а тих, за допомогою яких спостерігають зірки – зібрати якомога більше світла від

них.

Зорові труби призначені для спостережень предметів, що знаходяться на земній поверхні. Між

телескопами та зоровими трубами не існує принципової різниці.

Зорова труба Кеплера

Дає перевернуте зображення предмета.

Телескоп Кеплера

Кутове збільшення телескопа (зорової труби)

ок

об

об

ок

f

f

fy

fy

tgu

utgW

/

/

f

yutg

обf

ytgu

Ми розглянули телескоп-рефрактор (використовують лінзи).

Є телескопи – рефлектори (використовують дзеркала, принаймні як об’єктив - головне

дзеркало).

Об Ок

y

'y

обF окF обf



7

Ясно, що переріз пучка, який потрапляє в телескоп, зменшується на його виході в W разів.

Саме за рахунок цього збільшується освітленість зображення на сітківці ока.

Труба Галілея

Труба (телескоп) Галілея, це також афокальна система, як і

труба Кеплера, але на відміну від останньої окуляром є

розсіювальна лінза, передній уявний фокус якої 2F співпадає

з заднім фокусом об’єктива 1F . Має менші габарити і дає

пряме зображення на відміну від труби Кеплера.

Біноклі.

Театральний бінокль являє собою дві труби Галілея, встановлені паралельно.

Польові і морські біноклі побудовані за загальною схемою труби Кеплера, але вони додатково

обладнані оборотними системами, які складаються з призм і виконують такі функції:

1. перевертають зображення і роблять його прямим;

2. суттєво скорочують довжину пристрою;

3. збільшують відстань між центрами вхідних об’єктивів, що забезпечую збільшення так

званого стереоскопічного ефекту при спостереженні.

Телеоб’єктив.

В двокомпонентному телеоб’єктиві, що

складається із збиральної лінзи 1 та

розсіювальної лінзи 2, задня головна

площина знаходиться перед лінзою 1. Задня

фокусна відстань об’єктива обf при цьому

може значно перевищувати його габарити.

В об’єктивах-трансфокаторах можна

змінювати фокусну віддаль (і одночасно

розмір дійсного зображення), змінюючи

відстань між їх компонентами.

'u

Об

Ок

окF

/

обF

окf

'y

обf

u


© О.В.Слободянюк, 2003-2008 3_1 Elekromagnitna pryroda svitla 2011-0306

1

3. ХВИЛЬОВА ОПТИКА

3.1. Електромагнітна природа світла

Електромагнітні хвилі як один із наслідків рівнянь Максвела

Розглянемо рівняння Максвела

tB

cErot

∂∂

−=r

r 1 , (3.1)

jct

Dc

Hrotr

rr π41

+∂∂

= , (3.2)

πρ4=Ddivr

, (3.3)

0=Bdivr

(3.4)

разом із матеріальними рівняннями для ізотропного середовища

EDrr

ε= ; HBrr

µ= ; Ejrr

σ= . (3.5)

Візьмемо ротор від лівої та правої частини рівняння (3.1-2) і обмежимось однорідними

діелектричними середовищами, для яких 0=σ , 0=ρ :

tB

cE

∂∂

−=×∇×∇r

rrr 1 (3.1а)

tD

cH

∂∂

=×∇×∇r

rrr 1 (3.2а)

0=⋅∇ Err

(3.3а)

0=⋅∇ Brr

(3.4а)

tB

cE

∂∂

−=×∇×∇r

rrr 1 → ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

×∇−=×∇×∇t

HEr

rrrr

cµ .

Врахуємо, що ( ) EEErrrrrrr

2∇−⋅∇∇=×∇×∇ , причому ( ) 0=⋅∇∇ Errr

, оскільки 0=⋅∇ Err

, та

cc 2

2

2 tE

tH

∂∂⋅−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

×∇−rr

r µεµ .

В результаті отримаємо хвильове рівняння

0c 2

2

2 =∂∂

−∆tEEr

r εµ . (3.6)



2

З (2) аналогічно отримуємоtD

cH

∂∂

=×∇×∇r

rrr 1 ,

0c 2

2

2 =∂∂

−∆tHHr

r εµ . (3.7)

Якщо ми на деякий час абстрагуємось від векторного характеру величин, які входять до

хвильових рівнянь для електричного та магнітного поля і будемо розглядати замість них

скалярну амплітуду А, то побачимо, що і Er

і Hr

задовольняють одне й те ж хвильове рівняння

виду:

012

2

2 =∂∂

−∆tAA

υ, (3.8)

Отже, поля Er

і Hr

розповсюджуються з однаковою швидкістю εµ

υ c= . Оскільки, з іншого

боку, nc

=υ , то показник заломлення

εµ=n . (3.9)

(Ті самі хвильові рівняння в системі СІ мають вигляд 02

2

00 =∂∂

−∆tEEr

rεµµε та 02

2

00 =∂∂

−∆tHHr

rεµµε ,

причому електрична і магнітна сталі 0ε та 0µ визначаються співвідношеннями мФ9

0

1094

1⋅=

πε та

мГн70 10

4−=

πµ

, кожна з яких окремо не має конкретного фізичного змісту. Лише добуток 00µε приводить до

фізично значимих величин, оскільки 2

2

1600 1091

мс

⋅=µε , звідки с

см=⋅= 8

00

1031µε

− швидкість

світла у вільному просторі)

Розв’язки хвильового рівняння

Найзагальнішими розв’язками хвильового рівняння (3.8) є розв’язки Даламбера вигляду:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±=

υrtAtrA ),( . (3.9)

Це може бути будь-яка функція ),( trA , в якій є аргумент вигляду υrt ± . Саме така структура

аргументу забезпечує поширення хвилі. Дійсно, якщо



3

constrt =±υ

, (3.10)

то зберігається певне стале значення функції ),( trA . Але оскільки t невпинно зростає, то для

виконання умови (3.10) мусить відповідно зростати і r , тобто задане певне значення функції А

поширюється у просторі зі швидкістю υ . Дійсно, якщо взяти диференціал від лівої та правої

частини виразу (3.10), то можна дістати dtdr±=υ . Отже повний загальний розв’язок

хвильового рівняння (3.8) є сума розв’язків, що відповідають хвилям, що розповсюджуються у

взаємно протилежних напрямках з однаковою за модулем швидкістю

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

υυrtArtAtrA 21),( (3.11)

Поверхня, яка відділяє область простору, в якій вже має місце хвильовий рух, від області

простору, куди ще хвиля не дійшла, називається фронтом хвилі або хвильовим фронтом.

За формою хвильового фронту розрізняють два основних типи хвиль: плоскі та сферичні.

Плоскі хвилі.

Розглянемо дві плоскі хвилі, що розповсюджуються у протилежних напрямках. Оберемо

декартову прямокутну систему координат з віссю Oz , перпендикулярною до площини

хвильового фронту. Обмежимось ідеалізованим випадком так званих однорідних плоских хвиль,

плоский фронт яких є нескінченним, а амплітуда в площині фронту є стала. Тоді в обраній

системі координат ),( trA залежить лише від координати z і хвильове рівняння (3.8) набирає

вигляду

012

2

22

2

=∂∂

−∂∂

tA

zA

υ. (3.12)

Загальний розв’язок цього рівняння є

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

υυztAztAtzA 21),( (3.13)

і являє собою суму двох плоских біжучих хвиль, причому знак “–“ відповідає поширенню в

напрямку зростання z, а знак “+“ – в протилежному напрямку. Серед плоских біжучих хвиль

найчастіше розглядають гармонійні плоскі хвилі

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

υω ztAtzA cos),( 0 (3.14а)



4

або

)cos(),( 0 kztAtzA −= ω , (3.14б)

де стала додатно визначена величина 0A називається амплітудою хвилі,

k – хвильове число, λπ2

=k ;

ω – циклічна частота, Tπω 2

= ;

ν – частота, T1

=ν ;

T – період коливань (часовий період),

λ – довжина хвилі (просторовий період);

υ – фазова швидкість (швидкість поширення фази) хвилі.

Між цими величинами існують співвідношення: v

T υυλ == ; vλυ = , ωπ =v2 .

Величину λ1 обернену до просторового періоду хвилі λ іноді називають просторовою

частотою λ

ν 1~ = .

Рівняння плоскої хвилі у безкоординатній формі запишемо так:

( )00 cos),( ϕω +−= rktAtrA rrr , (3.14в)

де kr

– хвильовий вектор, λπ2

=kr

; λ – довжина хвилі в середовищі, n

0λλ = ; 0λ - довжина

хвилі відповідної частоти у вакуумі; n - показник заломлення середовища.

Величина 0ϕω +− rkt rr називається фазою хвилі, а стала величина 0ϕ –початковою фазою.

Поверхня однакової фази задається рівнянням constrkt =+− 0ϕω rr .

Оскільки фаза хвилі на поверхні хвильового фронту однакова, то рівняння хвильового фронту

має такий самий вигляд, як і рівняння поверхні однакової фази, а саме

tconstrk ω+=rr , (3.15)



5

тобто рівняння площини, що рухається в напрямку kmrr . На Рис. 3.1 показано два положення

хвильового фронту плоскої хвилі, що розповсюджується в напрямку нормалі до хвильового

фронту kkmr

r= .

Знайдемо фазову швидкість хвилі – швидкість поширення певної фази хвилі constrkt =−rrω .

Оберемо систему координат так, щоб вісь Oz була паралельна вектору mr . Тоді згадане

фіксоване значення фази, за переміщенням якого ми будемо слідкувати, є

constkzt =−ω .

Після диференціювання за часом маємо 0=− kdzdtω , звідки остаточно отримуємо

kdtdz

фωυ == (3.16)

Величина фυ називається фазовою швидкістю хвилі, тобто

швидкістю поширення фази монохроматичної хвилі.

Якщо збурення є суперпозицією деякої групи плоских

монохроматичних хвиль (так званий хвильовий пакет), то

вводять так звану групову швидкість поширення цієї групи

(пакета хвиль), яка є швидкістю поширення обвідної цієї

групи. У загальному випадку групова швидкість

відрізняється від фазової.

Для найпростішого хвильового пакета, що складається із

двох хвиль із близькими частотами 1ω та 2ω , що

поширюються в деякому напрямі, наприклад, вздовж осі Oz ,

( ωωω ∆+= 12 , 21,ωωω <<∆ ) маємо

)cos()cos(),( 22201110 zktAzktAtzA −+−= ωω .

Для спрощення будемо вважати, що 02010 AAA == . Тоді

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

=2

cos2

cos2),( 221122110

zktzktzktzktAtzA ωωωω

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

=2

cos2

cos2 221122110

zktzktzktzktA ωωωω

Рис. 3.1.



6

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−

= zkktzkktA2

)(2

)(cos2

)(2

)(cos2 212121210

ωωωω

)cos(),()cos(22

cos2 00 kztztAkztzktA −′=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−∆

= ωωω . (3.17)

При цьому було враховано, що ωωω≈

+2

21 та kkk≈

+2

21 .

Із структури отриманого виразу видно, що цей хвильовий пакет можна подати як біжучу хвилю

з деякою середньою частотою ω та середнім хвильовим вектором k , «амплітуда» якої, що

визначає форму обвідної, є

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−∆

=′ zktAztA22

cos2),( 00ω , (3.18)

тобто залежить від часу і координат, причому у формі гармонічної біжучої хвилі з частотою

2ω∆ і хвильовим вектором

2k∆ . Швидкість поширення цієї обвідної приймають за швидкість

хвильового пакету (групи хвиль) з двох хвиль, яку називають груповою швидкістю k∆

∆=

ωυгр

або, враховуючи близькість частот хвиль, що утворюють групу,

dkdωυ =гр . (3.19)

Необхідно зауважити, що оскільки густина потужності хвилі пропорційна квадрату її

амплітуди, для групи з двох хвиль маємо )]cos(1[222

cos4 20

220 kztAzktA ∆−∆+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

−∆ ωω , тобто

на відміну від монохроматичної хвилі, густина потужності якої рівномірно розподілена у

Рис. 3.2. Група з двох хвиль.



7

просторі, густина потужності групи з двох хвиль утворює максимуми, що переміщуються в

просторі з груповою швидкістю dkdωυ =гр . Тому іноді кажуть, що групова швидкість є

швидкістю перенесення енергії групою хвиль. Якщо фазові швидкості поширення всіх

гармонійних складових хвильового пакету однакові, що завжди має місце у вільному

просторі, коли 11 ck=ω , 22 ck=ω , 33 ck=ω ..., то групова швидкість грυ співпадає з фазовою

швидкістю фυ гармонійних складових. У випадку наявності дисперсії хвиль, коли їх фазова

швидкість залежить від частоти, групова і фазова швидкості не співпадають.

Сферичні хвилі

Розглянемо поширення сферичної хвилі. Воно описується тим самим хвильовим рівнянням

012

2

2 =∂∂

−∆tAA

υ, яке тепер зручно розв’язувати у сферичних координатах r ,ψ і θ .

Візьмемо випадок ізотропного випромінювача (немає залежності сферичних кутів ψ і θ ).

Тоді єдиною змінною залишається r :

( ) ( ) 0υ1

2

2

22

2

=∂∂

−∂∂ rA

trA

r. (3.20)

Загальний розв’язок Даламбера для цього рівняння:

r

rtA

r

rtAtrA

)()(),(

21 υυ+

+−

= . (3.21)

Амплітуда сферичної хвилі спадає обернено пропорційно r (відмінність від плоскої

хвилі).

r

rtA )(1 υ−

– сферична розбіжна хвиля, що поширюється (розбігається) від джерела.

r

rtA )(2 υ+

– сферична збіжна хвиля, що збігається до деякого центру.

Для гармонійних сферичних хвиль

( )00 cos),( ϕω +±= krt

rAtrA , (3.22)

де k – модуль хвильового вектора, r – відстань до центру хвилі,



8

0A – це амплітуда сферичної хвилі при 1=r .

Головний висновок: A ∼ r1 !

Він повністю узгоджується із законом обернених квадратів у фотометрії, оскільки потужність

пропорційна квадрату амплітуди, тобто густина потужності ~ 21 r .

При застосуванні моделі сферичних хвиль в оптиці необхідно пам’ятати про її певну обмеженість: в

оптиці немає елементарних ізотропних випромінювачів, оскільки це не узгоджується із поперечним

характером електромагнітних хвиль. Елементарні випромінювачі в оптиці найчастіше

дипольні. З класичної електродинаміки випливає, що, коли електричний дипольний

момент Pr

змінюється за гармонійним законом tPtP ωcos)( 0

rr= ( elP =0

r), то на

великих відстанях від диполя модуль напруженості електричної складової

електромагнітного поля, що його випромінює

такий диполь E ∼ θsinr

P&&r

,

де θ - є кут між напрямком поширення хвилі

напрямком дипольного моменту. Отже, для

кожного напрямку поширення амплітуда хвилі

спадає обернено пропорційно до відстані від

центру диполя. Потужність випромінювання

диполя Р в заданому напрямі пропорційна

квадрату амплітуди, отже

Р ∼ θ22

2

sinr

P&&r

.

Переріз діаграми направленості випромінювання елементарного електричного диполя подано на Рис. 3.3.

Р ∼ ( P&&r

)2 ∼ 4ω

На відміну від поперечних, наприклад, для поздовжніх акустичних хвиль в повітрі

елементарний ізотропний випромінювач цілком можливий.

Рис. 3.3. Переріз діаграми направленості випромінювання елементарного диполя



9

Представлення хвиль у комплексній формі.

Дійсний вираз для плоскої хвилі ( ) ( )00 cos, ϕω +−= rktAtrA rrr зручно подати у вигляді

( ) ( )]Re[, 0rktieAtrArrr −−= ω , (3.23)

де 000

ϕieAA −= – комплексна амплітуда, що містить інформацію про початкову фазу.

Оскільки рівняння Максвела і хвильове рівняння лінійні, ми надалі будемо проводити всі

математичні дії з комплексною величиною ( ) ( )rktieAtrArrr −−= ω

0, , а потім для отримання кінцевого

результату будемо знаходити дійсну частину отриманого виразу або його модуль.

Для сферичної хвилі аналогічно комплексне представлення має вигляд ( ) ( )krtierAtrA −−= ω0, .

Комплексне представлення напруженостей полів у плоских електромагнітних хвилях:

( ) ( )rktieEtrErrrrr −−= ω

0, та ( ) ( )rktieHtrHrrrrr

−−= ω0, , де 00 , HE

rr – комплексні амплітуди.

Поперечність плоских електромагнітних хвиль.

Спочатку з’ясуємо дію операторів диференціювання по часу t∂∂ , та оператора ∇

r на поля E

r та

Hr

плоскої хвилі.

( ) titi eiet

ωω ω −− −=∂∂

. , (3.24)

( ) kieekiekkkjkiiez

ky

jx

ie rkirkirkizyx

rkirkirrrrrrrrr rrrrrrrrrr

==++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ , (3.25)

×=×∇ kiee rkirkir

Kr rrrr

(3.26)

Отже, для поля Er

маємо:

EitE rr

ω−→∂∂

EkiErrrr

→∇

Рис. 3.4.



10

[ ] [ ]EkiErrrr

×=×∇

Підставляємо все це до системи рівнянь Максвела:

[ ] Bc

iEkirrr ω

=× [ ] Hc

Ekrrr

µω=×

[ ] Dc

iHkirrr ω

−=× [ ] Ec

Hkrrr

εω−=×

( ) 0=⋅ Ekrr

0=⋅ Ekrr

( ) 0=⋅Bkrr

0=⋅Hkrr

HBrr

µ= EDrr

ε=

Отже вектори kHErrr

,, утворюють праву трійку векторів (Рис.3.4).

При цьому kErr

⊥ і kHrr

⊥ , тобто електромагнітні хвилі поперечні, крім того HErr

⊥ .

Візьмемо модулі від перших двох рівнянь і використаємо υω

=k :

Hc

kE µω= ⇒ H

cE µυ=

Ec

kH εω= ⇒ E

cH ευ=

Враховуючи, що εµυ

== nc , дістанемо

HE µε = , (3.27)

тобто напруженості електричного та магнітного полів в електромагнітній хвилі прямо

пропорційні одна одній.

Висновки:

1. електромагнітні хвилі поперечні.

2. магнітне та електричне поля змінюються синфазно, зокрема одночасно досягають

максимальних та нульових значень.



11

Густина потоку енергії електромагнітного поля

З електрики відомо : ( )22

81 HEW µεπ

+= – густина енергії.

Враховуючи зв'язок між Er

та Hrв електромагнітній хвилі її енергію W можна подати так:

22

44HEW

πµ

πε

== . (3.28)

Вектор Умова-Пойнтінга – вектор густини потоку електромагнітної енергії:

[ ]HEcSrrr

×=π4

. (3.29)

У системі СІ

[ ]HESrrr

×= . (3.29а)

В ізотропному просторі kSrr

. На Рис. 3.5 s=1 − площадка одиничної площі, нормальна до

напрямку поширення хвилі.

З іншого боку густина потоку енергії:

kkWSr

rυ= ;

де υ – швидкість хвилі; W – густина енергії, а εµυ c= .

У циліндрі об'єму sV υ= зосереджено енергію WV .

Густина енергії електромагнітного поля

Частоти оптичного випромінювання Гц 10 15∼v .

Миттєве значення напруженостей поля донедавна спостерігати було неможливо!

Нехай ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

2;

2pp ττ

- проміжок часу, за який спостерігаємо.

ωπτ 2

=>>Tp pτ – час реєстрації



12

Шукаємо густину енергії електричного поля електромагнітної хвилі як середнє значення

густини енергії за час спостереження pτ :

dttEW

p

pp∫−

>=<2

2

2

e 8)(1

τ

τ πε

τ

( )tititi eEeEeEtrE ωωω −−− +== *000 2

1Re),(rr

( )( )dteEeEeEeEW

p

p

titititi

p∫−

−−−− ++>=<2

2

*00

*00e 4

18

1τ

τ

ωωωω

πε

τ

dteEEEEEeEW

p

p

titi

p∫

−

− +++>=<2

2

22*00

*0

*00

220e )(

81

τ

τ

ωω

πε

τ

Середні значення двох доданків з частотами 2ω є нульові.

πε

τπε

τ 6142

81

202

0e

EEW p

p

=>=< ; (3.30)

Отже, густина енергії електричного поля електромагнітної хвилі пропорційна квадрату

модуля комплексної амплітуди 0E .

Аналогічно, середня за часом густина магнітної енергії

20

16πµ H

Wm = . (3.31)

Із врахуванням попереднього повна густина енергії електромагнітної ( світлової ) хвилі є

πε

8

20E

W = . (3.32)

Середнє значення вектора Пойнтінга:

[ ] ∗×= 00Re8

HEcSrrr

π. (3.33)

Якщо знаємо потік енергії, то можемо розрахувати 00 ;;; HHEE



13

Задача.

Імпульсний лазер дає енергію 0,1 Дж за 10 нс (імпульси вважатимемо прямокутними)

Площа перерізу лазерного пучка 2см 1,0=S ( 2Rπρ = → ммR 8,1≈ )

Знайти амплітуду електричного поля світлової хвилі в пучку.

Відповідь: мBE 103 70 ⋅=

Це дуже велика напруженість. Відомо, що статична напруга смкB 30 пробиває сухе повітря.

Також відомо, що електричне поле в атомі мBEa108 1010 ÷≈ ( оцінка:

Бa a

eE04πε

≈ , де смаБ810−≈

- борівський радіус атома )

Корисна практична формула для подібних оцінок

( )nмВтI

мВE

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=2

0 4,27 (3.34)

де I – густина потужності електромагнітної хвилі , n – показник заломлення середовища.

Поляризація плоскої хвилі.

Хвиля поширюється вздовж осі Oz . Проекції її електричного вектора на напрямки х та у

показано на рисунку Рис. 3.6. Їх величини можна подати так

⎩⎨⎧

+⋅=+⋅=

)cos()cos(

0

0

yyy

xxx

tEEtEE

ϕωϕω

. (3.35)

Знайдемо явний вигляд траєкторії проекції кінця вектораEr

на

площину перпендикулярну напрямку поширення. Після

виключення часу t із системи рівнянь (3.35) маємо:

δsinδcos2 2

00

2

0

2

0

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

y

y

x

x

y

y

x

x

EE

EE

EE

EE , де xy ϕϕδ −= . (3.36)

Отже, траєкторією кінця вектора Er

буде еліпс (Рис. 3.7):



14

Таким чином, у загальному випадку електромагнітна хвиля має еліптичну поляризацію.

Важливими частинними випадками еліптичної поляризації є лінійна ( πδ ±= ,0 ) та колова

(циркулярна), коли 2/πδ ±= і 00 yx EE = (Рис. 3.8).

Еліптичні і циркулярні поляризації

розрізняють за напрямом обертання

електричного вектора. Одну з них називають

правою, а іншу лівою. Оскільки цей вибір

довільний, то різні автори дотримуються

різних означень. Тому до термінів «ліва» і «права» поляризації треба ставитись з обережністю.

Традиційно, поляризацію називають правою, якщо для спостерігача, що дивиться назустріч

пучку світла, обхід еліпса (кола) здійснюється за годинниковою стрілкою, і лівою, якщо обхід

еліпса (кола) при тому ж напрямі спостереження здійснюється проти годинникової стрілки.

Якщо на наведеному вище Рис. 3.8 пучок спрямовано на читача, то при 2/πδ = маємо ліву

колову поляризацію, а при 2/32/ ππδ =−= - праву.

У вільному просторі можуть бути будь які типи поляризації. Якщо є границі, або

електромагнітні хвилі розповсюджуються в середовищі, то їх поляризація визначається

симетрією границь або симетрією середовища.

Неполяризованому світлу на відміну від поляризованого не може бути поставлена у відповідність

стаціонарна замкнена траєкторія проекції кінця вектораEr

. Якщо на фазовій площині xE , yE проекції

кінців вектора Erнеполяризованого світла через малі однакові проміжки часу зображати точками, а

потім їх з'єднати ламаною лінією, то отримаємо

приблизно таку картинку, як показано на Рис. 3.9.

Принципова відмінність фазового портрету

неполяризованого світла від фазового портрету

поляризованого світла полягає в тому, що

траєкторія проекції кінця вектораEr

з плином часу

може наближатись як завгодно близько до

довільної точки А фазової площини, чого, в

принципі, не може бути у випадку замкнених

траєкторій, що відповідають поляризованому

світлу. Рис. 3.9.


О.В.Слободянюк, 2003-2011

1

3.2. Відбивання та заломлення на границі поділу двох непровідних середовищ

Постановка задачі:

Плоска електромагнітна хвиля падає на плоску границю поділу двох непровідних середовищ.

Яке електромагнітне поле виникне в обох середовищах унаслідок падіння на згадану межу?

Будемо виходити з граничних умов для тангенціальних

складових напруженостей поля.

tt EE 21 ; tt HH 21 (3.37)

Напруженість електричного поля падаючої хвилі:

rktiii ii

eEE )()()(

0

)( (3.38а)

Напруженість електричного поля відбитої хвилі:

rktirr rr

eEE )()()(

0

)(

1 (3.38б)

Напруженість електричного поля хвилі, що проходить:

rktitt tt

eEE )()()(

0

)( (3.38в)

Верхні індекси вказують на падаючу (i), відбиту (r), та заломлену (t) хвилі.

У будь-який момент часу в усіх точках границі поділу виконується рівність:

rktitrktirrktii ttrrii

eEeEeE )()()()()()( )(

0

)(

0

)(

0 (3.39)

Це можливо, тоді і лише тоді, коли

ttt tri )()()( (3.40)

та

rkrkrk tri )()()(

. (3.41)

З (3.40) випливає, що )()()( tri , тобто частота при

відбиванні та заломленні не змінюється.

Оскільки rrr n

та nr

однакове для всіх точок границі поділу,

то доцільно обрати початок відліку О в площині границі поділу. Тоді rr

і надалі пишемо

r

, маючи на увазі, що цей вектор лежить в площині границі поділу.

Оберемо початок відліку О′ так, щоб )(ikr

. Тоді

в (3.41) rkrkrk tri )()()( 0 і автоматично

rk r )( , rk t

)( , отже, всі три вектори )(ik

,

)(rk

,)(tk

лежать в одній площині,

перпендикулярній до границі поділу.

Ця площина називається площиною падіння.

Оберемо тепер початок відліку О′′ на границі поділу

і в площині падіння. Тоді з (3.41) та з рисунка маємо:

sinsinsin )()()( tri krkik .

Враховуючи

r

nr



2

1

)(ik ; 1

)(rk ; 2

)(tk

одержимо irir , sinsin та 1

2

2

1

sin

sin

n

ni sinsin 21 nin . (3.42)

Таким чином, із граничних умов ми одержали закони відбивання і заломлення:

1) Промені падаючий, відбитий та заломлений (хвильові вектори , , )()()( tri kkk

падаючої,

відбитої та заломленої хвиль), лежать в одній площині, перпендикулярній до границі;

2) ir (кут відбивання дорівнює куту падіння) ;

3) sinsin 21 nin - закон заломлення Снеліуса.

Зв’язок між амплітудами падаючої, заломленої та відбитої хвиль.

Доцільно вектори E

та H

подати у вигляді складових паралельних та перпендикулярних

до площини падіння, яка є площиною симетрії задачі.

На Рис. 1 показано орієнтацію цих складових відносно площини падіння при погляді вздовж

одиничного вектора s

, що задає напрям

поширення падаючої хвилі, причому кожній зі

складових вектора E

, а саме векторам E

та ||E

відповідають ортогональні складові магнітного

поля H

та ||H

, відповідно.

Оскільки EsH

, то

EsH

)1(

||

)1( ; ||

)2()2( EsH

,

де S

Ss

; kS

|| ; 1 , n ;

Рис.3.13. Вигляд уздовж напрямку вектора S

.

Можна говорити, що падаюча плоска хвиля представлена у вигляді суперпозиції двох хвиль 1 і

2 взаємно ортогональних поляризацій. Оскільки поляризації цих хвиль узгоджені із симетрією

задачі, то ці поляризації не змінюються при відбиванні і заломленні. Ці хвилі можна

розглядати незалежно. Такі хвилі називають нормальними хвилями.

Рис.3.14 Нормальна хвиля (1) Вісь у направлена на читача. Рис.3.15. Нормальна хвиля (2)

θ

)(is

)(rs

)(rs



3

Граничні умови для тангенціальних складових

)()()( tri EEE

)()()( tri HHH

можна переписати в декартових компонентах

(1) )()()( t

x

r

x

i

x EEE ; )()()( t

x

r

x

i

x HHH (3)

(2) )()()( t

y

r

y

i

y EEE )()()( t

y

r

y

i

y HHH (4) (3.43)

Амплітуди падаючої, відбитої та заломлених хвиль надалі позначатимемо, відповідно буквами

A

, R

і T

.

rktii i

eАE )()(

;

rktir r

eRE )()(

; (3.44)

rktit t

eTE )()(

Тоді з Рис.3.14-15 знайдемо

iAE i

x cos||

)( ; AE i

y

)( ;

rRE r

x cos||

)( ; RE r

y

)(;

θcos||

)( TE t

x; TE t

y

)(;

iAH i

x cos1

)( ; 1||

)( AH i

y; (3.45)

rRH r

x cos1

)( ; 1||

)( RH r

y;

cos2

)( TH t

x;

2||

)( TH t

y.

Підставимо ці вирази в (1), (2), (3), (4):

(1) coscoscos |||||| TrRiA ;

(2) TRA ; (3.46)

(3) coscoscos 111 TrRiA ;

(4) 2||1||1|| TRA .

Беремо рівняння (2) та (3) з (3.46) і розв’язуємо їх для перпендикулярних ( ) складових

амплітуд:

coscoscoscos 2211 RArRiA

Ar

iR

coscos

coscos

21

21 Anin

ninA

nrn

nin

coscos

coscos

coscos

coscos

21

21

21

21 (3*) (3.47)

Таким чином знайшли зв’язок амплітуд падаючої та відбитої нормальних хвиль 1, у яких

вектор E

перпендикулярний площини падіння.

Амплітуду T хвилі, що пройшла, знайдемо з (2) після підстановки туди R :

Anin

inA

nin

ninT

coscos

cos21

coscos

coscos

21

1

21

21 ( *2 ) (3.48)

)(ts

)(ts



4

Візьмемо тепер (1) та (4) з (3.46):

2||1||1|| nTnRnA 2

1||

2

1||||

n

nR

n

nAT

θcosθcoscoscos2

1||

2

1||||||

n

nR

n

nArRiA , (3.49)

помножимо на 2n

coscoscoscos 1||1||2||2|| nRnArnRinA

і остаточно отримаємо: (3.50)

||

12

12||

coscos

coscosA

nin

ninR , (1*) (3.51)

та

||

12

1||

12

12

2

1||

coscos

cos2

coscos

coscos1 A

nin

nA

nin

nin

n

nT .( *4 ) (3.52)

Скористаємося законом заломлення in

n

sin

sin

2

1 ; тоді ( *1 ), ( *2 ), ( *3 ) та ( *4 ) можемо подати

у вигляді:

Ai

iA

ii

iiR

sin

sin

sincoscossin

coscossinsin, (3.53)

причому, оскільки з рисунка видно, що i , то зручніше написати

|||| Aitg

itgR , (1**) (3.54)

Ai

iT

sin

cossin2, (2**) (3.55)

Ai

iR

sin

sin, (3**) (3.56)

||||cossin

cossin2A

ii

iT . (4**) (3.57)

Формули 1**

÷ 4**

(3.54-57) називають формулами Френеля.

З формули (1**) видно, що при деякому куті падіння брi (кут Брюстера) відбита хвиля з

E

|| площині падіння відсутня. Отже у відбитому світлі маємо лише поляризацію

перпендикулярну (3**) площині падіння, тобто світло відбите під кутом Брюстера повністю

поляризоване. При переході через брi фаза відбитого світла стрибком змінюється на

(амплітуда | |R змінює знак на протилежний).

Якщо 0i , то також 0 , тобто маємо невизначеність типу 0

0. Тому при нормальному

падінні користуються іншими формулами, які безпосередньо випливають із формул 1*÷ 4

* :

||

12

12|| A

nn

nnR ; ||

12

1||

2A

nn

nT ; A

nn

nnR

12

12 ; Ann

nT

12

12. (3.58)

Зауважимо, що знак “–“ у виразі для R є артефактом, пов’язаним з процедурою отримання

формул Френеля для похилого падіння, зокрема записом проекцій векторів у формулі (3).



5

Оскільки при нормальному падінні задача має аксіальну симетрію, внаслідок якої всі площини,

що проходять через нормаль до границі, є еквівалентними, саме поняття площини падіння

перестає існувати, а разом з ним і відмінність між компонентами поля паралельними та

перпендикулярними до неї. Отже, будемо надалі для випадку нормального падіння

користуватись виразами

Ann

nnR

12

12 та Ann

nT

12

12, (3.59)

що справедливі для будь-якої поляризації падаючих хвиль.

Наприклад, при нормальному падінні від границі скло ( 5,12n ) - повітря ( 11n )

відбивається 1/5 амплітуди падаючої хвилі, або ж 4% її інтенсивності.

Коефіцієнти відбивання та пропускання для інтенсивності.

Інтенсивність (густина потоку енергії) визначається вектором Пойнтінга:

HEc

S

4, причому EH

cSS

4

.

Оскільки при 1 EH , то 22

44nE

cE

cS . (3.60)

Густина потоку енергії падаючої хвилі у напрямку границі поділу визначається

нормальною складовою вектора Пойнтінга:

iSS ii

n cos)()(, (3.61)

а від границі відходить рівний їй за величиною потік енергії (закон збереження енергії!).

Густини потоку енергії відбитої та заломленої хвиль, які характеризується нормальними

складовими відповідних векторів Пойнтінга:

)()()( i

n

t

n

r

n SSS , (3.62)

де rSS rr

n cos)()(, cos)()( tt

n SS .

При цьому 2

1

)(

4Rn

cS r ;

2

2

)(

4Tn

cS t . (3.63)

Уведемо коефіцієнти відбивання та пропускання як відношення нормальної складової

відбитого потоку до нормальної складової падаючого (відбивання) та відношення

нормальної складової потоку, що пройшов, до нормальної складової падаючого потоку

(пропускання):

)(

)(

i

n

r

n

S

S;

)(

)(

i

n

t

n

S

S, (3.64)

де )(i

nS нормальна складова густини потоку, що наближається до границі;

)()( , t

n

r

n SS нормальні складові густини потоку, що віддаляється від границі.

Ясно, що за законом збереження енергії

1,

де 2

2

A

R;

2

2

1

2

cos

cos

A

T

in

n. (3.65)

Виходячи із зв’язку між R та A , можна знайти:



6

|||| Aitg

itgR або |||||| ArR , (3.66)

де | |r - амплітудний коефіцієнт відбивання, ||

||

||A

Rr . (3.67)

Тоді

itg

itg2

2

|| ; 2

|||| r (3.68)

i

i2

2

sin

sin;

2r . (3.69)

Підставивши до (3.65) значення TRA ,, можна записати:

ii

i22||

cossin

2sin2sin; (3.70)

i

i2sin

2sin2sin. (3.71)

При цьому 1|||| і: 1, тобто закон збереження енергії виконується окремо для

кожної поляризації у повній відповідності із сказаним вище про незалежність нормальних

хвиль. Отже, остаточно:

(3.72)

Це те, що корисно пам’ятати .

Також корисно пам’ятати графіки

залежностей та | | від кута падіння,

наприклад для межі повітря –скло

( 11n ; 5,12n ).

У цьому випадку при нормальному падінні

на межу =0,04 (амплітудний коефіцієнт

відбивання при цьому r =0,2). Кут

Брюстера 056брi .

1

2

2

12

2

12

2

2

2

2

||

; ;1

; ;sin

sin ;

n

nNNtgi

nn

nn

i

i

itg

itg

бр

II



7

Обчислимо кут Брюстера:

itg 2

брi ; 0||R .

inn

ii бр

sinsin

cos2

sinsin

12

брбр inin sincos 12

1

2)(n

nitg бр . (3.73)

При куті Брюстера напрямки хвильових векторів

заломленої й відбитої (амплітуда якої прямує до

нуля) хвиль є взаємно перпендикулярними.

Коефіцієнти відбивання та пропускання для лінійно поляризованого світла.

Нехай на границю поділу двох середовищ падає лінійно поляризоване світло, електричний

вектор якого складає кут i з площиною падіння1, тобто

iAA cos|| ; iAA sin ; ||A

Atg i . (3.74)

Коефіцієнт відбивання такого світла можна обчислити так :

,sincossincos 22

||

2

)(

)(2

)(

||

)(

||

)(

)(

)(

)(

||

)(

)()(

||

iiii

n

r

nii

n

r

n

i

n

r

n

i

n

r

n

i

n

r

n

r

n

S

S

S

S

S

S

S

S

S

SS

де було використано перетворення

i

i

n

i

n SS 2)()(

|| cos i

i

ni

n

SS

2

)(

||)(

cos; i

i

n

i

n SS 2)()( sin i

i

ni

n

SS

2

)()(

sin

і введено позначення

)(

||

)(

||

|| i

n

r

n

S

S та

)(

)(

i

n

r

n

S

S.

Отже, коефіцієнт відбивання

ii

22

|| sincos . (3.76)

Аналогічно, для коефіцієнта пропускання можна отримати

ii

22

|| sincos , де )(

||

)(

||

|| i

n

t

n

S

S та

)(

)(

i

n

t

n

S

S (3.77)

1 Цей кут називають азимутом поляризації

2

rбрi



8

При 045i маємо ||

2

1 та )(

2

1|| . (3.78)

Коефіцієнти відбивання та пропускання для неполяризованого світла.

Для неполяризованого (природного світла) має місце хаотична зміна вектора A

. Усереднення

квадратів синуса і косинуса за кутом i дає 2

1. Отже для неполяризованого світла:

)()()(

||2

1 i

n

i

n

i

n SSS . (3.79)

Таким чином, коефіцієнти відбивання неполяризованого світла (на рисунку його показано

штрихованою лінією) :

||2

1. (3.80)

Із-за того, що коефіцієнти відбивання та | | різні, неполяризоване світло після відбивання

стає частково поляризованим. Мірою часткової поляризації є степінь поляризації:

||

||

II

IIP , (3.81)

де I та | |I - інтенсивності, що відповідають положенню площини пропускання лінійного

поляризатора (аналізатора) || та до площини падіння. Степінь поляризації P змінюється в

межах 1,0 .

Часткова поляризація при відбиванні.

Відбиті інтенсивності обох поляризацій пропорційні відповідним коефіцієнтам відбивання.

Тому

||

||P . (3.82)

Найбільше значення P =1, спостерігається, коли | | зникає, тобто при падінні світла під

кутом Брюстера.

Якщо немає відбивання, то нормальна хвиля з E

|| площині падіння проходить, не

послаблюючись.

Ця обставина часто використовується в лазерній оптиці, зокрема, під кутом Брюстера

розміщують поверхні вікон газорозрядних активних елементів, щоб зменшити втрати

потужності, пов’язані з відбиванням. Випромінювання таких лазерів (наприклад, гелій-

неонового лазера, що використовується в лекційних демонстраціях) лінійно поляризоване.

Зміна положення площини поляризації при відбиванні.

Якщо на границю падає лінійно поляризоване світло, то

відбите і заломлене світло залишається лінійно

поляризованим, але внаслідок того, що коефіцієнти

відбивання та пропускання різні для компонент та ||

||A

Atg i ;

| |R

Rtg r ;

||T

Ttg t , (3.83)



9

та ||

r

t

Брi

азимути поляризації r та t відбитої та заломленої хвилі в загальному випадку змінюються

порівняно з азимутом поляризації падаючого світла i .

Залежність азимутів поляризації від кута падіння подана для

випадку, коли азимут поляризації падаючої хвилі i = 45 .

Зауважимо, що при куті Брюстера, коли | |R = 0, r досягає

90 і продовжує зростати, оскільки | |R змінює знак на

протилежний.

Ще раз підкреслимо, що при відбиванні і заломленні лінійно

поляризованої хвилі на границі з діелектричним

середовищем відбита й заломлена хвилі залишаються лінійно

поляризованими.



10

3.3. Повне внутрішнє відбивання на границі двох середовищ, ПВВ

(Total Internal Reflection TIR, Полное Внутреннее Отражение, ПВО).

У випадку падіння світла з боку більш оптично густого

середовища з показником заломлення 1n на границю з оптично

менш густим середовищем з показником заломлення 2n ( 12 nn )

маємо

inn sinsin 12

При 090 1sin , а крii і тоді 21 sin nin кр , звідки

Nn

niкр

1

2sin . (3.83)

При збільшенні кута падіння i відбувається перерозподіл

інтенсивності між відбитим та заломленим пучками. На Рис. інтенсивності пучків умовно

показані їх шириною.

Залежність коефіцієнтів відбивання та пропускання для двох ортогональних поляризацій

та ||, що визначається формулами (3.72) показана на нижченаведених рисунках.

Коли 2

і крii , то з формул (3.53-57) випливає, що

|||| AR ; AR

2

||

2

|| AR ; 22

AR .

kpii kpii kpii



11

Таким чином, маємо 1|| ; 1 - повне відбивання!

Оскільки, звичайно повне відбивання спостерігають при падінні світла з якогось середовища

(скла, води) на його границю з повітрям, то таке відбивання називають повним внутрішнім

відбиванням (ПВВ). При ПВВ світло повністю повертається в перше середовище.

Але виявляється, що у другому середовищі навіть при і > ікр є поле. Але потік енергії через

границю двох середовищ дорівнює нулю. Розглянемо це питання більш докладно. Виходячи з

попереднього, для напруженості електричного поля

заломленої хвилі, формально можна записати:

)()(

0

)()(

0

)()()()(

,zkxktitrktitt

tz

tx

t

eEeEtrE

zkxktiE tttcossinexp( )()()(

0

, (3.84)

де N

isinsin ; 1

sincos

2

2

N

ii , а k .

Таким чином,

zN

iix

N

itiEtrE

tt 1sinsin

exp,2

2

22

)(

0

)(

zN

ix

N

iitiE

t1

sinexp

sinexpexp

2

2

22

)(

0

( ) (3.85)

Якщо взяти “+” в показнику третьої експоненти, то амплітуда хвилі буде необмежено

зростати із зростанням z (при віддаленні від границі). Тому продовжимо розгляд цього

виразу лише зі знаком “–“.

Позначимо амплітуду поля в другому середовищі

1sin

exp)(2

2

2

)(

0

)(

N

izEzE

tt . (3.86)

Таким чином, напруженість поля експоненціально спадає при віддаленні від границі. За

глибину проникнення поля в друге середовище приймають величину 2

22 , тобто ця

глибина є порядку довжини хвилі в другому середовищі.

Перепишемо ( )(3.85) так

xtizEi

N

xtizEtrE

ttexp)(sinexp)(,

)(

0

2

)(

0

. (*) (3.87)

Вираз (*) описує неоднорідну хвилю, що поширюється вздовж границі в напрямку зростання x

із швидкістю i

N

sin 2 . Ця хвиля не є поперечна, що не суперечить твердженню про

поперечність хвиль у вільному просторі або в однорідному середовищі зробленому раніше,

оскільки в нашому випадку середовище суттєво неоднорідне (є границя). Поверхні

однакової фази цієї хвилі перпендикулярні до осі ОХ .

Досліди, що демонструють проникнення світла в друге середовищі при ПВВ.

1. Дослід Мандельштама та Зелені.

Флюоресценція (світіння) тонкого шару водного розчину

флюоресцеїну там, куди проникає поле із скляної призми.



12

2. Дослід Квінке

Тунелювання світла через малий проміжок d називають

також порушене повне внутрішнє відбивання

( FTIR – Frustrated Total Internal Reflection).

3. Реєстрація електромагнітного поля з довжиною хвилі

порядку 1 см, у повітрі поблизу основи парафінової

призми, від якої спостерігається ПВВ.

Виникнення різниці фаз між ортогональними компонентами відбитого світла.

Оскільки при повному внутрішньому відбиванні N

isinsin ; 1

sincos

2

2

N

ii , то

обчислені за формулами (1*, 3*) амплітудні коефіцієнти відбивання стають комплексними:

||

δ

||222

222

||||

sincos

sincosAeA

NiiiN

NiiiNR

i

AeANiii

NiiiR

iδ

22

22

sincos

sincos (3.86)

Отже, при повному внутрішньому відбиванні між ортогонально поляризованими нормальними

хвилями з E та | |E виникає різниця фаз || , тобто відбите світло буде еліптично

поляризоване.

Оскільки iN

Nitg

cos

sin

2 2

22||

; i

Nitg

cos

sin

2

22

, то

i

Niitg

2

22

sin

sincos

2. (3.87)

Зокрема, при 2

світло буде циркулярно поляризованим, оскільки амплітуди R та | |R

взаємно ортогональних хвиль однакові.

Для досягнення 2

при ПВВ необхідно, щоб 12

1 2

n

N, тобто 41,2n .

Це дуже великий показник заломлення: таких матеріалів мало (наприклад, алмаз).

Тому, щоб отримати 2

при відбиванні від скла, використовують не одне, а два відбивання,

як це відбувається в спеціальній призмі, так званому ромбі Френеля. Якщо на ромб Френеля

нормально до його вхідної грані спрямувати лінійно поляризоване світло, вектор поляризації

якого складає кут 45 з площиною падіння, то при кожному з двох повних внутрішніх

відбивань буде виникати різниця фаз 4

і на виході отримаємо циркулярно

поляризоване світло. Ромб Френеля дозволяє

отримати циркулярно поляризоване світло

одночасно для дуже широкого інтервалу

частот.



13

Застосування повного внутрішнього відбивання.

Застосування повного внутрішнього відбивання надзвичайно різноманітне і широке. У

геометричній оптиці згадувались давно відомі призми ПВВ.

Сьогодні в телекомунікаціях застосовуються волоконні світловоди (оптоволокно), які збирають

в оптоволоконні кабелі. На явищі ПВВ заснована і дія планарних світловодів.

Світловод:

планарний світловод

Повним внутрішнім відбиванням від середовища із градієнтом показника заломлення

пояснюється ціла низка атмосферних явищ, серед яких утворення міражів внаслідок

неоднорідного нагрівання повітря над поверхнею землі.

Повне внутрішнє відбивання від середовища з

градієнтом показника заломлення.


© О.В.Слободянюк, 2001-2011 3_4-5 Interferentsiya_2011-0225

1

3.4. Інтерференція світла Розглянемо дію двох пучків світла, яку вони справляють, наприклад, на освітленість якоїсь площадки кожен окремо і разом.

Будемо вважати, що освітленість пропорційна інтенсивності (густині потужності).

Якщо діє лише перший пучок 1I , то освітленість 1E .

Якщо діє лише другий пучок 2I , то освітленість 2E .

Світимо обома пучками одночасно. Якщо тепер

освітленість 21 EEE += , то робимо висновок про адитивність освітленостей, а отже і відповідних інтенсивностей, тобто 21 III += .

Може виявитися, що 21 EEE +≠ , тобто адитивність освітленостей, а отже і відповідних інтенсивностей ( 21 III +≠ ), не має місця, причому може бути як 21 EEE +> , так і 21 EEE +< (відповідно, 21 III +> .або 21 III +< ).

У цьому випадку кажуть, що має місце інтерференція світла. Світлові пучки не діють незалежно один від одного (вони заважають один одному: inter – між собою, взаємно, ferіо – ударяти, вражати).

Таким чином для інтенсивностей світлових пучків у загальному випадку принцип суперпозиції не має місця. Тому, про явище інтерференції іноді говорять як про порушення принципу суперпозиції для інтенсивностей 1.

Світлові пучки, здатні інтерферувати називають когерентними або, більш точно, взаємно когерентними.

3.4.1. Інтерференція двох колімованих пучків монохроматичного світла (двох плоских хвиль)

Розглянемо найпростіший випадок інтерференції двох плоских хвиль. Нехай маємо два пучки паралельних променів (два колімованих пучки), яким відповідають дві плоскі хвилі однакової частоти, напрямки поширення (хвильові вектори) яких утворюють між собою невеликий кут:

)(101

11rktieEErrrr

−−= ω та )(202

22rktieEErrrr

−−= ω . (1) У ділянці простору, де ці пучки перекриваються, відповідно до принципу суперпозиції для напруженостей маємо

21 EEErrr

+= (2) Як було показано раніше, відповідна густина потужності (інтенсивність) визначається середнім за часом квадратом модуля напруженості

∗= EEIrr

, (3)

де зірочка (*) означає операцію комплексного спряження , а верхня риска ( ) – усереднення за часом, причому усереднення проводиться на часовому проміжку тривалості рτ , який відповідає часу реєстрації світла тим чи іншим приймачем випромінювання ((фотоприймачем, фотодетектором):

1 При цьому принцип суперпозиції для напруженостей полів Er

і Hr

світлової хвилі залишається справедливим!



2

dtEEEE

p

pр∫−

∗=2

2

* 1τ

ττ

rrrr. (4)

Отже при одночасній дії обох пучків (плоских хвиль) у точці спостереження маємо

2121

2

2

2

1 EEEEEEIrvrrrr

∗∗ +++=

або

212121 EEEEIIIrvrr

∗∗ +++= , (5) де використано означення для інтенсивності.

Зрозуміло, що інтерференція буде спостерігатися лише тоді, коли останні два доданки будуть відмінні від нуля. Величина цих доданків залежить від кута між векторами 1E

r та 2E

r. Зокрема,

при 21 EErr

⊥ ці доданки рівні нулю, тобто взаємно ортогонально поляризовані пучки не здатні інтерферувати між собою.

Легко бачити, що 2121 EEEErvrr

∗∗ + − дійсна величина, оскільки в рівнянні (5) всі інші величини дійсні. Вона має розмірність інтенсивності. .

Безпосередньою підстановкою напруженостей плоских монохроматичних хвиль однієї частоти з (1) можна отримати

δcos2 2121 IIIII ++= , (6)

де 1212 )( ϕϕδ −+−= rkk rrr є різниця фаз цих двох плоских хвиль, а

2

11 EIr

= і 2

22 EIr

= .

Оскільки δcos змінюється в межах від –1 до +1 інтенсивність I може змінюватись від свого мінімального значення 2

212121min )(2 IIIIIII −=−+= до максимального значення 2

212121max )(2 IIIIIII +=++= .

На Рис. 3.1 показано залежність відносної (нормованої на максимальне значення) інтенсивності maxII при різних співвідношеннях 21 II інтенсивностей пучків, що інтерферують. Зрозуміло, що інтерференцію можна спостерігати лише тоді, коли ми здатні зареєструвати відмінність між MAXI та MINI , тобто різницю MINMAX II − .

Майкельсон запропонував критерій, що кількісно характеризує інтерференцію, який називають видністю інтерференції

MINMAX

MINMAX

IIIIV

+−

= , (7)

де MAXI та MINI - максимальне і мінімальне значення інтенсивності при інтерференції.

Підставляючи MAXI та MINI в рівняння (7) одержимо

0 5 10 15 200,0

0,5

1,0

Інтенсивність,

I/I m

ax

Різниця фаз, δ



3

21

212IIII

V+

= (8)

Отже, у випадку інтерференції двох колімованих монохроматичних пучків (плоских хвиль) видність залежить від співвідношення інтенсивностей пучків, що інтерферують. Видність буде максимальною при 21 II = . Максимуми інтенсивності досягаються в тих точках простору, в яких різниця фаз приймає значення

ππππδ m2)...2(3),2(2,2,0 ±±±±= , (умова максимумів) (9) де m - натуральне число. Мінімуми інтенсивності досягаються в тих точках простору, в яких різниця фаз приймає значення

ππππδ 2)21()...5,3,0 +±±±±= m , (умова мінімумів). (10) Просторовий розподіл максимальних і мінімальних значень інтенсивності утворює так звану інтерференційну картину. Чергування максимумів і мінімумів дає світлі і темні смуги, які називають інтерференційними смугами. Важливими характеристиками інтерференційних картин є форма інтерференційних смуг і так звана ширина інтерференційних смуг, за яку приймають найменшу відстань між сусідніми максимумами (світлими смугами) або мінімумами ( темними смугами).

Визначимо форму і ширину інтерференційних смуг при інтерференції двох плоских хвиль однакової частоти, напрямки поширення (хвильові вектори) яких утворюють між собою невеликий кут α ( на рисунку цей кут перебільшено).

Рівняння поверхонь однакової різниці фаз const=δ є constrkk =−

rrr)( 12

або (11) constrk =∆

rr , Це площини перпендикулярні до вектора k

r∆ .

Оберемо вісь ОХ паралельну до вектора kr

∆ і перпендикулярну до поверхонь однакової різниці фаз. При такому виборі

constkx =∆=δ , а зміні фази на 2π відповідає відстань між сусідніми поверхнями однакової різниці фаз

πδ 2=∆∆=∆ xk , звідки

kx

∆=∆

π2 ,

2sin2 αkk =∆ , (12)

αα kkk =≈∆2

2 ,

звідки αλ

αλππ

αππ

===∆

=∆ 2222

kkx



4

Нехай поверхні однакової різниці фази відповідають максимумам інтерференції. Тоді відстань між ними є шириною інтерференційних смуг, які можна спостерігати на екрані при інтерференції двох плоских хвиль: (екран ⊥ бісектрисі кута α ):

αλ

=∆x . (13)

Оскільки в переважній більшості практичних випадків хвилі, що інтерферують, з високою точністю можна вважати плоскими, формулу (13) можна застосовувати практично завжди, якщо кут α малий. При великих кутах α треба використовувати точну формулу

2sin2 αλ

=∆x . (14)

3.4.2. Інтерференція сферичних хвиль від двох точкових джерел Нехай маємо два однакових джерела 1 і 2, що випромінюють сферичні хвилі однакової частоти.

У точці спостереження створювані джерелами поля є

)(

1

011

1ϕω +−−= krtier

EE та )(

2

022

2ϕω +−−= krtier

EE . (15)

Покладемо спочатку 12 ϕϕ = .

Тоді інтенсивність у точці спостереження є

[ ]43421

δ

)(cos2 122121 rrkIIIII −++= , (16)

де )( 12 rrk −=δ - різниця фаз, а 120 rr −=∆ - так звана геометрична різниця ходу цих двох хвиль.

Різниця фаз і геометрична різниця ходу зв’язані співвідношенням

02

∆=λπδ , (17)

де λ − довжина хвилі світла в середовищі, n0λλ = , де 0λ − довжина хвилі світла у вільному просторі, а n − показник заломлення середовища.

Різницю фаз зручно подавати через так звану оптичну різницю ходу ∆ , тобто різницю оптичних шляхів. Для розглядуваного випадку маємо 01212 )( ∆=−=−=∆ nrrnnrnr , відповідно,

∆=∆=∆=0

00

0222λπ

λπ

λπδ n . (18)

Наша задача має осьову симетрію – вісь 1-2.

Поверхні однакової різниці фаз,

constrrk =−= )( 12δ , (19)

так само як і поверхні однакової різниці ходу



5

constrr =− 12 (20)

являють собою гіперболоїди обертання з віссю 1-2 (на рисунку показано гіперболи – сліди перетину гіперболоїдів площиною, що проходить через вісь 1-2)

У точках простору, де виконується умова максимуму

mπδ 2= або 0max λm=∆ , (21)

де m - ціле число, будуть спостерігатись інтерференційні максимуми.

Число m називають порядком інтерференції. Таким чином, порядок інтерференції є оптична різниця ходу, виміряна у довжинах хвиль, або різниця фаз, виміряна у 2π , причому береться

ціла частина різниці ходу, ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ∆=

0λm або різниці фаз ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=πδ2

m .

Інерференційні мінімуми спостерігаються при умові

πδ )12( += m або 2

)12( 0min

λ+=∆ m . (22)

На екрані 1 (див. наступний рисунок), розміщеному паралельно осі 1-2 поблизу поверхні, що відповідає нульовій різниці ходу ( 0=m ) (площина, що проходить через середину відрізка 12 перпендикулярно до нього), будуть спостерігатися практично прямі інтерференційні смуги (які поступово викривляються при збільшенні порядку інтерференції m , оскільки вони є ділянками гіпербол). На екрані 2 спостерігаються гіперболи, які при подальшому переході до екрана 3, розміщеного перпендикулярно осі симетрії 1-2, переходять в еліпси, а потім і в кола.

За допомогою розглянутої побудови легко визначати форму інтерференційних смуг у різних інтерференційних дослідах, якщо знайдено положення джерел світла, які породжують хвилі, що інтерферують.



6

Таким чином, дві світлові хвилі однакових частот (плоскі або сферичні) є взаємно когерентиними, оскільки здатні давати стаціонарну інтерференційну картину (таку положення якої на змінюється за час, необхідний для її спостереження).

3.5. Методи одержання когерентних пучків світла В оптичному диапазоні елементарними випромінювачами є атоми і молекули, причому будь яке реальне нелазерне джерело світла (наприклад, газорозрядна лампа) містить колосальну кількість атомів (молекул), що випромінюють світлові хвилі незалежно один від одного (одна від одної). Електромагнітне поле, що створюється реальним джерелом світла в точці спостереження є сумою полів світлових хвиль, що надходять в точку спостереження від вищезазначених елементарних випромінювачів.

Нехай у точку спостереження P надходять хвилі від різних точкових джерел, що знаходяться на різних відстанях від точки спостереження і випромінюють з різними частотами і з різними початковими фазами, а до того ж з різними початковими (при 1=r ) амплітудами

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=+−= ](exp[Re)cos()( 00

nnnn

nnnnn

n

nn rkti

rErkt

rEPE ωϕω (23)

Вони створять у точці спостереження P сумарне поле

∑ +−=n

nnnnn

n rktr

EPE )cos()( 0 ϕω

або у комплексні формі

])(exp[)( 0∑ −−=n

nnnn

n rktir

EPE ω , (24)

де )exp(00 nnn iEE ϕ=

Відповідна густина потужності (інтенсивності) в точці спостереження P є

,)(

)](exp[])(exp[])(exp[

])(exp[])(exp[)()()(

20

002

20

*0* 0

∑ ∑

∑∑

∑∑

==

=−×−−×−+=

=−−−==

′≠′

′′′′

′

′′′′

′

′

′

n nn

n

nnnn

nnnnnnnn

nn

n

n

nnnn

nnnnn

n

nn

PIrI

irkrkitirrEE

rE

rktir

Erkti

rEPEPEPI

n

n

n

n

ϕϕωω

ωω

(25)

тобто вона дорівнює сумі інтенсивностей )(PI n , що створює кожний елементарний випромінювач у точці спостереження P , оскільки сума доданків при nn ≠′ дорівнює нулю внаслідок того, що при великий кількості елементарних випромінювачів показники експонент приймають майже неперевний ряд значень у межах що суттєво перевищують π2 .

Тим не менше інтерференцію спостерігали і до створення лазерів. Для одержання від нелазерного джерела двох світлових пучків, здатних інтерферувати між собою, застосовують метод поділу хвильового фронту хвилі і метод поділу амплітуди хвилі.



7

3.5.1. Метод поділу хвильового фронту хвилі

Уявимо точкове джерело, що створює світлову хвилю. Всі точки її хвильового фронту когерентні. Якщо ми зможемо розділити хвильовий фронт на дві частини (використовуючи відбивання або заломлення) і направити обидві ці частини в деяку область простору, то в цій області вони здатні інтерферувати, оскільки походять з хвильового фронту одного й того ж самого елементарного випромінювача. Це є метод поділу хвильового фронту хвилі. Ці міркування можна застосувати до кожного елементарного випромінювача, з яких складається джерело. Якщо джерело складається з елементарних випромінювачів, що створюють у точці спостереження інтерференційні картини з близькою формою і шириною смуг, і зсуви цих картин одна відносно одної малі порівняно з шириною смуг, то ми зможемо спостерігати стаціонарну інтерференційну картину. Спосіб поділу фронту реалізується в наведених нижче інтерференційних дослідах з біпризмою Френеля (демонструється на лекції), білінзою Бійє та Месліна, а також у дослідах з дзеркалами Френеля (демонструється на лекції), Ллойда тощо. Створеним таким чином когерентним пучкам можна співставити дійсні чи уявні джерела, що значно полегшує аналіз інтерференційних картин. Цілком зрозуміло, що елементарні випромінювачі, що беруть участь у створенні інтенференційної картини, повинні розміщуватись достатньо компактно (розміри джерела повинні бути малими), а частоти їх випромінювання повинні бути близькими. Інтерференційні схеми з поділом фронту хвилі

Білінза Бійє Дослід Месліна

Метод поділу хвильового фронту використовується і в досліді Юнга, в якому інтерферуючі пучки походять з різних ділянок хвильового фронту, які припадають на отвори 1 і 2, але в одну й ту ж саму область простору вони приходять не внаслідок відбивання або заломлення, а за



8

рахунок того, що відповідно до приципа Гюйгенса ці ділянки є джерелами вторинних сферичних хвиль, які здатні інтерферувати (явище дифракції). У досліді Юнга, в дослідах з біпризмою Френеля та білінзою Бійє інтерференційні смуги - це прямі лінії, а в досліді Месліна – половинки кілець. Видність інтерференції в інтерференційних схемах з поділом хвильового фронту. На видність інтерференції в таких схемах суттєво (і в першу чергу) впливає розмір джерела. Нехай в інтерференційному досліді (для визначеності в досліді з біпризмою Френеля) маємо не одне точкове джерело, а два точкових джерела А і В, які разом утворюють неточкове джерело, що складається з двох точкових. Нехай маємо початкові джерела , окрім того, будуть джерела А1 та А2 і В1 та В2. Оскільки джерела А і В некогерентні, то кожне з них даватиме свою інтерференційну картину. Кожному з них буде відповідати пара когерентних джерел: джерелу А взаємно когерентні джерела А1 та А2, а джерелу В - взаємно когерентні джерела В1 та В2. Ці картини є однаковими , але будуть зсунуті на величину, що дорівнює відстані між джерелами А і В. Якщо ця відстань стане рівною половині ширини інтерференційної смуги, то максимуми однієї картини накладуться на мінімуми іншої і видність стане рівною нулю. На рисунку показана залежність видності від «розмірів» такого неточкового джерела, тобто відстані d між його крайніми точками А і В. Вона є періодичною, тому що при переміщенні однієї картини відносно іншої періодично максимуми однієї будуть попадати на максимуми іншої і видність знову буде досягати максимального значення. Якщо взяти джерело у вигляді відрізка АВ (заповнити проміжок між крайніми точками А і В однаковим взаємно некогерентними джерелами), то хід наших міркувань залишиться таким самим, а результат як показує розрахунок, що підтверджується дослідом, буде дещо іншим: при наявності осциляцій видність в середньому буде зменшуватись із збільшенням розмірів джерела (відстані d між його крайніми точками). Розлянемо тепер вплив немонохроматичності світла: нехай єдине точкове джерело А випромінює не однієї, а двох близьких довжин хвилі, δλλλ,λ 121 += (близьких частот 1ν та 2ν ) . Його можна уявити як два некогерентних джерела, що знаходяться в одній точці простору, кожне з яких дає свою інтерференційну картину. Ясно, що смуги обох картин, які відповідають нульовій різниці ходу ( 0=m ), будуть співпадати, але ширина смуг в обох картинах буде різною, оскільки αλ=∆x , і при одному й тому ж куті сходження пучків для різних довжин хвиль 21 λ,λ маємо різну ширину смуг. Отже, видність буде задовільною при малих порядках



9

інтерференції, тобто для смуг поблизу центральної з 0=m , а далі різниця періодів буде все більше даватися взнаки і врешті решт максимуми однієї картини просторово співпадуть з мінімумами іншої і видність в цих місцях спаде до нуля. При подальшому збільшенні m (далі від нульової смуги) видність знову почне зростати і буде змінюватись періодично, подібно до змін видності при зміні відстані d між точковими джерелами А і В, розглянутим вище (вигляд графіка буде такий самий, лише по осі абсцис треба відкладати замість d різницю частот). Знайдемо умову, при якій m-тий максимум інтерференційної картини для однієї довжини хвилі співпадатиме з (m – 1) максимумом для другої:

21 λ)1(λ −= mm ( )δλλ)1(λ 11 +−= mm

δλδλλλλ 111 −+−= mmm δλλ m= .

Відповідно перше накладання максимуму однієї картини на мінімум другої і зникнення інтерференції відбудеться при

δλλ

2=m . При подальшому збільшенні m (а значить і

різниці ходу) видність покращується, досягаючи максимального значення 1, а потім знову йде до нуля. Відповідна періодична залежність видності V від m (або від різниці ходу або від різниці фаз) подібна до залежності видності V від відстані між двома точковими джерелами. Приклад. Довжини хвиль двох компонент жовтого дублету натрію 589,0 нм та 589,6 нм. Перше зникнення інтерференції відбувається при 490=m , наступне при 980490 +=m . Якщо, наше єдине точкове джерело випускає світло в усьому інтервалі частот між крайніми довжинами хвиль 21 λ,λ , яким відповідають частоти 1ν та 2ν в розподілі спектральної густини

)(νρ на рисунку, то видність при віддаленні від нульової смуги буде в середньому спадати за тим же законом, за яким спадає видність при збільшенні відстані d між крайніми точками джерела-відрізку АВ (знову по осі абсцис треба відкладати замість d різницю частот, які обмежують спектральний інтервал). Для білого світла буде добре видно лише центральну білу (ахроматичну) смугу, та перші дві темні, а далі будуть йти забарвлені (райдужні смуги з видністю, що спадає з віддаленням від центру картини (збільшенням x ). В білому світлі (400-700 нм) оком можна спостерігати 3-5 смуг. Якщо поставити світлофільтр, що виділяє вузький спектральний інтервал, то кількість темних і світлих смуг зростає до декількох десятків.

Висновок: видність погіршується , коли спектральний інтервал або розміри джерела великі.



10

3.5.2. Двопучкова інтерференція з поділом амплітуди хвилі в клині та плоскопаралельній пластинці Розглянемо інтерференцію світла відбитого від верхньої та нижньої поверхні плоскопаралельної пластинки або клина. Це є інтерференція з поділом амплітуди. На Рис. промені 1 і 2 відбиті від верхньої та нижньої поверхні скляної пластинки репрезентують взаємнокогерентні пучки, що утворилися в результаті поділу амплітуди падаючого пучка при відбиванні і заломленні на верхній поверхні пластинки. Розрахуємо оптичну різницю ходу (різницю оптичних шляхів)∆ між променями 1 і 2:

ADnСВАС −+=∆ )( . З Рис.3._ видно, що

θcoshCBAC ==

ihtgiABAD sin2sin θ== . Отже, оптична різниця ходу є

θθθθ

θθ

θcos2

cossin12sin

cossin

cos2

2

hnhnnnh =−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=∆ , або

θcos2hn=∆ . (26) Для виключення кута i було використано закон заломлення θsinsin ni = . Отже різниця ходу є Відповідна різниця фаз, пов’язана з цією різницею ходу є

∆=0

2λπδ . (27)

До цієї різниці фаз треба ще додати різницю фаз, яка виникає із-за того, що відбивання на верхній поверхні відбувається від межі повітря-скло, а на нижній – від межі скло-повітря. Тому амплітудні коефіцієнти відбивання для обох поляризацій

)()(

2 θθ

+−

=itgitgr ;

)sin()sin(

1 θθ

+−

=iir

на нижній і верхній поверхні мають протилежні знаки, оскільки в одному випадку кут падіння більший за кут заломлення, а в іншому – менший. Зміна знака на протилежний еквівалентна виникненню різниці фаз π: πie=−1 . Таким чином, остаточно різниця фаз між променями 1 і 2 є

πλπδ +∆=0

2 .

Ця додаткова зміна фази на π відповідає зміні різниці ходу на 20λ . На цій підставі можна ввести різницю ходу ∆′ , яка формально враховує цю додаткову різницю фаз за рахунок умов відбивання2, тобто 20λ±∆=∆′ , або

2cos2 0λθ +=∆′ hn . (28)

2 У зв’язку з цим у підручниках поширений не дуже вдалий вираз «втрата півхвилі»



11

Цю різницю ходу ходу використавши закон заломлення θsinsin ni = можна подати через кут падіння i :

2sin2 022 λ

+−=∆′ inh (28′)

Знайдена різниця ходу при constn = може змінюватися за рахунок зміни товщини h та/або кута падіння θ ( i ).

Розрізняють два граничних випадки утворення інтерференційних смугпри відбиванні від поверхонь тонких пластинок.

Смуги однакових (рівних) товщин.

Якщо зафіксувати θ , тобто освітлювати пластинку (клин) паралельним пучком, то смуги можуть виникнути лише завдяки зміні h. Такі смуги утворюються, наприклад, при інтерференції на клині.

Якщо ми прослідкуємо за точками, де

0λm=∆ , constm =+=∆′2

00

λλ , то смуга

йтиме по однаковій товщині. Це смуги однакових товщин (іноді кажуть рівної товщини). У клині вони еквідистантні (їх ширина однакова на різних ділянках клина).

Кільця Ньютона (див. нижче) є прикладом таких смуг однакових товщин, але оскільки в цьому випадку геометричне місце точок, де товщина однакова, є коло, то смуги мають форму кілець.

Смуги однакових (рівних) нахилів.

Нехай consth = (плоскопаралельна пластина). Освітлювати будемо широкими пучками, щоб забезпечити різні значення кута падіння θ або, іншими словами, різні нахили пучків, щодо поверхні пластинки. У цьому випадку смуги будуть кільцями, оскільки є осьова симетрія (вісь симетрії – нормаль до поверхні пластинки). Різниця ходу для пар променів, що утворюють однаковий кут нахилу щодо пластинки – однакова. Такі смуги називають смугами однакових нахилів (рівного нахилу). Їх можна спостерігати на нескінченності або у фокальній площині збірної лінзи. Форму смуг для випадків клина і плоскопаралельної пластинки можна пояснити також розглядаючи пару уявних джерел, що утворилися при відбиванні від нижньої та верхньої поверхонь. Якщо до них застосувати сказане вище про форму смуг від двох точкових джерел (спостереження з різних напрямків щодо лінії, що з’єднує джерела), то можна бачити, що плоскопаралельна пластинка дасть кільця, а клин – практично прямі смуги.



12

Область локалізації інтерференційної картини в клині. Інтерференційна картина буде локалізована, там, де перетинаються когерентні промені або їх продовження. При зменшенні кута клина (клин прямує до плоско-паралельної пластини), область локалізації прямує на нескінченність. Кільця Ньютона. Кільця Ньютона є інтерференційними смугами однакових товщин, що виникають при відбиванні світла під границь повітряного прошарку, утвореного між нижньою поверхнею опуклої лінзи і плоскою поверхнею скляної пластинки, до якої притиснута ця лінза. Відповідно до осьової симетрії задачі інтерференціїні муги однакових товщин мають форму кілець з центром у точці контакту лінзи з пластинкою.

Відповідна різниця ходу для відбитого світла2

cos2 0λθ +=∆′ hn , де

Rr

RrRrRRh mm

m 211

2

2

222 ≈⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−−= .

Умова мінімумів при нормальному падінні світла є

2222

22 0

00

20 λλλλ

+=+=+=∆′ mRrh m

або 0

2

λmRrm = ,

звідки дістанемо радіус темного кільця з номером m

Rmrm 0λ= . (29) тобто на відміну від розлянутого вище лінійного клина, смуги однакових товщин не є еквідистантними: їх ширина зменшується при віддаленні від точки контакту.



13

В області контакту нижньої поверхні лінзи зі скляною пластинкою, тобто при нульовій геометричній різниці ходу спостерігається темна пляма, завдяки «втраті півхвилі», описаній вище. У світлі, що пройшло, в центрі спостерігається світла пляма. Видність кілець у відбитому світлі значно вища, за видність у світлі, що пройшло. Це пов’язано з тим, що у відбитому світлі інтенсивності інтерферуючих променів хоч і не великі, але приблизно однакові, а у світлі, що пройшло інтенсивність одного з променів набагато більша за інтенсивність іншого.

1)1(

12

2

1 ≈−

=RI

I

2104 −⋅=R

22

1 1RI

I=

′′

Просвітлення оптики

Такий термін застосовують до методу зменшення коефіцієнта відбивання на границі двох середовищ. Ідея методу полягає в нанесенні тонкої плівки з такою товщиною, щоб хвилі відбиті від її верхньої та нижньої поверхні послаблювали одна одну внаслідок деструктивної інтерференції. Для цього треба щоб оптична різниця ходу для променів відбитих від нижньої та верхньої поверхонь плівки дорівнювала чверті довжини хвилі, а показник заломлення підібраний так, щоб інтенсивності відбитих пучків були приблизно однаковими, тобто:

22 λ

==∆ hn та 12 II ≈ .

Товщина плівки при 44

0 λλ==

nh , де 0λ - довжина хвилі у вакуумі.

Можна показати, що показник заломгигигилення плівки повинен бути 2`1 nnn = . Для цього треба записати умову рівності для інтенсивностей пучків 1I та 2I з врахуванням виразів для коефіцієнтів відбивання на обох границях

22

21

1 )()(

nnnnR

−−

= та 22

22

2 )()(

nnnnR

+−

= .

В англомовній літературі використовують більш адекватний термін − antireflection coating.



1

3.6. Інтерференція частково когерентного світла Введемо поняття квазімонохроматичного світла. Для плоскої хвилі: )(

0),( rktieEtrErrrrr

−−= ω . Якщо constE =0

r, то хвиля монохроматична. Але це

певна ідеалізація. Введемо поняття квазімонохроматичного світла, Якщо )(

0 )()( tietEtE ϕ=r

, тобто амплітуда залежить від часу, хвиля перестає бути монохроматичною. Нехай, наприклад,

)cos1()( 00 tEtE Ω+= ε , причому 1<ε . Легко бачити, що тепер хвиля не буде монохроматичною, оскільки крім коливань на основній частоті 0ω з’являться коливання на частотах Ω−0ω та

Ω+0ω з амплітудою 02Eε :

tititititititi eEeEeEeeeEetEtE )(0

)(0000 22

)](211[)cos1()( Ω−−Ω+−−−Ω−Ω− ++=++=Ω+= ωωωωω εεεε .

Більш складну часову залежність амплітуди )(0 tEr

можна подати як суму гармонійних

складових. Тоді ясно, що кожна гармонійна складова )(tEr

з частотою nΩ породжує складові на частотах nΩ−0ω та nΩ+0ω . В результаті виникає ряд бокових частот, як показано на рисунку.

Якщо виконується умова 10

<<∆ωω , то кажуть що це

квазімонохроматичне світло (“квазі “- означає подібний). Надалі ми будемо вважати, що світло квазімонохроматичне, якщо прямо не зазначено інше.

Оберемо деяку точку простору, в якій перший пучок створює поле )(1 tEr

, а другий пучок створює поле )(2 tE

r. За принципом суперпозиції поле )(tE в цій точці при одночасній дії обох

пучків:

21)( EEtErrr

+= .

Відповідна інтенсивність:

2121

2

2

2

1 EEEEEEEEIrvrrrrrr

∗∗∗ +++== , (1)

або

212121 EEEEIIIrvrr

∗∗ +++= . (1′)

Зрозуміло, що інтерференція буде спостерігатися лише тоді, коли останні два доданки будуть відмінні від нуля. Величина цих додатків залежить від кута між векторами 1E

r та 2E

r. Зокрема,

при 21 EErr

⊥ ці доданки рівні нулю, тобто взаємно ортогонально поляризовані пучки не здатні інтерферувати між собою.



2

Введемо позначення 1221 ГEE =∗rr

та 2121 ГEE =∗vr

.

Легко бачити, що 2112 ГГ + - дійсна величина, оскільки в рівнянні (1′) всі інші величини

дійсні. Отже, величини 12Г і 21Г - комплексно спряжені і їх можна подати у вигляді δieГГ 1212 = і δieГГ −= 2121 .

Отже для інтерференції двох пучків квазімонохроматичного світла маємо

δcos2 1221 ГIII ++= , (2)

де δ - деяка різниця фаз, а 12Г – модуль так званої взаємної когерентності першого та другого пучків. Ця остання величина характеризує здатність світлових пучків до інтерференції. Щоб величина взаємної когерентності не залежала від інтенсивностей пучків, що інтерферують, її нормують на ці інтенсивності і записують рівняння (2) так:

δγ cos2 122121 IIIII ++= , (3)

де 21

1212 II

Г=γ - модуль степеня взаємної когерентності. (4)

Це основне рівняння інтерференції двох світлових пучків.

Як ми бачили у попередньому розділі, для випадку двох плоских монохроматичних хвиль однієї частоти δcos2 2121 IIIII ++= , (5)

де 1212 )( ϕϕδ −+−= rkk rrr.

З порівняння (5) і (3) можна зробити висновок, що для двох монохроматичних хвиль однієї частоти 12γ =1, тобто вони повністю (взаємно)когерентні.

Оскільки δcos змінюється в межах від –1 до +1 інтенсивність I може змінюватись від свого мінімального значення MINI до максимального значення MAXI (див. рисунок). Зрозуміло, що інтерференцію можна спостерігати лише тоді, коли ми здатні зареєструвати відмінність між

MAXI та MINI . Знайдемо видність у загальному випадку квазімохроматичного світлового поля.

Підставляючи MAXI та MINI з рівняння (3) (при 1cos ±=δ ) одержимо

1221

212γ

IIII

V+

= (7)

Отже, видність, як і раніше, в першу чергу залежить від співвідношення інтенсивностей пучків, що інтерферують, тобто при даному 12γ видність буде максимальною при 21 II = .

Але сама здатність світлових пучків інтерферувати залежить лише від 12γ !!!

Якщо 112 =γ , то кажуть що світлові пучки (відповідні світлові поля) повністю когерентні (наприклад, у вищезгаданому випадку інтерференції двох монохроматичних хвиль однієї частоти).

Якщо 012 =γ , то світлові пучки (світлові поля) повністю некогерентні.

Якщо 12γ лежить у проміжку [1,0] , то говорять про часткову когерентність.



3

Необхідно чітко усвідомлювати, що на практиці можливість спостереження інтерференції з мінімальною видністю обмежується точністю вимірювання інтенсивностей MAXI та MINI , або, як прийнято говорити, співвідношенням сигнал/шум. На рисунку для випадку малої видності (верхня крива) точками схематично показано результати окремих експериментальних вимірів при різних δ . Якщо сигнал ( MAXI – MINI ) не може бути помічений на фоні шумової доріжки, то ми не можемо впевнено говорити про наявність інтерференції.

Можна поставити питання про степінь взаємної когерентності світлового поля в двох різних точках простору 1 та 2 (більш точно, про степінь взаємної когерентності ділянок поля поблизу цих точок).

Як її виміряти?

Поставимо екран, що затуляє все поле крім точок 1 і 2 і будемо спостерігати інтерференцію поблизу точки Р. Саме за наявністю інтерференції поблизу точки Р, а точніше за її видністю, ми будемо судити про узгодженість (когерентність) рухів поля в точках 1 і 2.

Степінь когерентності 12γ для точки Р

21

2

2

2211

12

)()(1

II

dttEtEp

pp∫

−

∗ ++

=

τ

τ

τττ

γ , (8)

де pτ - час реєстрації, а 21 ,ττ - проміжки часу, за які світло поширюється з точок 1 , 2 в точку спостереження Р.

Нехай кут між векторами 21 , EErr

є не дуже великий, так що ми можемо вважати їх колінеарними. Тоді можна записати у скалярному наближенні (комплексні амплітуди – скалярні величини):

21

2

2

21

12

)()(1

)(II

dttEtEp

pp∫

−

∗ +

=

τ

τ

ττ

τγ , де 12 τττ −= . (9)

При цьому корисно розглянути два випадки.

1. Оберемо точку спостереження Р так, щоб вона була рівновіддалена від точок 1 і 2. Тоді 12 ττ = та )0(12γ не залежить від затримок 12 ,ττ і ми маємо інформацію про взаємну когерентність поля в точках поблизу отворів 1 і 2. При цьому мірою когерентності в точках 1 і 2 є величина 12γ , яка, в принципі, залежить від взаємного розташування цих отворів, розділених певним просторовим інтервалом,

)0,( 121212 rrγγ = , rr rr∆=12 .

Виміряну таким чином когерентність називають просторовою, а величину 12γ – степенем просторової когерентності 2. Введемо на шляху одного з пучків, наприклад того, що йде з точки 2, оптичну лінію затримки (наприклад, за допомогою системи дзеркал), яка дозволить нам, рухаючи дзеркало



4

3, змінювати час 2τ , а отже і затримку 1212 ττττ −== між світлом, що надходить в точку спостереження з отворів 1 і 2. Будемо наближати отвір 2 до отвору 1 доти, поки вони не співпадуть. Тоді в точку спостереження Р буде приходити два пучка світла з однієї області поля поблизу точки 1, але один з них буде затримано відносно іншого на величину τ , яку можна змінювати за допомогою оптичної лінії затримки.

При цьому степінь взаємної когерентності 12γ перейде в степінь автокогерентності

11γ , що характеризує так звану часову когерентність поля, яка залежить від τ :

21

11

11

2/

2/

)(*)(1

)(II

dttEtEp

pp

⋅

+

=∫

−

τ

τ

ττ

τγ

(10)

Величина 11γ , яку ще називають степенем часової когерентності, є мірою часової когерентності, тобто узгодженості коливань поля, які приходять у точку спостереження з деякою часовою затримкою. Іншими словами, коливань, розділених у часі деяким часовим проміжком (інтервалом).

Таким чином, у загальному випадку інтенсивність у точці спостереження

δγ cos2 122121 ⋅⋅⋅⋅++= IIIII , (3′)

де ),,,( 21211212 ττγγ rr rr= або ),,( 121211212 τγγ rr rr

= , де 1212 rrrr rrrr−==∆ і 1212 τττ −= .

При цьому можна розглядати два граничних випадки:

1) 012 =τ , ),(12 rr rr∆γ − просторова когерентність, що залежить від просторового положення

точок поля;

2) 012 =∆= rr rr , ),( 1211 τγ rr - часова когерентність, залежить від часу затримки приходу в точку спостереження пучків з однієї точки поля.

Неважко помітити, що величину 11γ також можна інтерпретувати як таку, що визначає узгодженість рухів поля (взаємну когерентність) у різних точках поля рознесених вздовж напрямку поширення світла. У зв’язку з цим 11γ іноді називають степенем повздовжньої когерентності, а величину 12γ - степенем поперечної когерентності.

Радіус, час, довжина та об’єм когерентності. Кількісною характеристикою просторової когерентності є так званий радіус когерентності.

Його вводять у такий спосіб. Будемо вважати рухи поля в двох точках простору 1 і 2 когерентними, якщо нормований степінь просторової когерентності для них більший за деяку наперед задану величину, яка достатня для досягнення бажаної видності інтерференції, MIN)( 1212 γγ > .

Оскільки 12γ зменшується при збільшенні віддалі між точками, ми можемо побудувати в площині хвильової поверхні, на якій лежать точки 1 і 2, коло з центром, наприклад , в точці 1, і з таким радіусом, щоб у точці 2, що лежить на цьому колі, степінь взаємної когерентності щодо центру кола (точки 1) дорівнював MIN)( 12γ .Тоді для точок хвильової поверхні, що лежать всередині



5

кола MIN)( 1212 γγ > і всі вони когерентні по відношенню до точки 1, а для точок поза колом

MIN)( 1212 γγ < і їх можна вважати некогерентними з точкою 1. Таким чином, на хвильовій поверхні виділяється зона когерентності з радіусом когерентності rr∆ .

Кількісними характеристиками часової когерентності є час когерентності і пов’язана з ним довжина когерентності. Оскільки степінь часової когерентності 11γ зменшується при збільшенні часової затримки

12τ , то можна знайти таку затримку 12τ при якій 11γ буде більше за деяку наперед задану величину, яка достатня для досягнення бажаної видності інтерференції, MIN)( 1211 γγ > . Цю затримку і приймають за час когерентності 12ττ =ког . Через час когеренності можна виразити довжину когерентності як відстань, яку проходить світло за час когерентності когτ когког cl τ= , (11) і яка являє собою не що інше як відстань між точками поля рознесеними вздовж напрямку поширення, узгодженість рухів поля в яких (взаємна когерентність) не менша за наперед задану MIN)( 12γ . Підкреслимо, що довжина когерентності - характеристика часової когерентності, а не просторової, як іноді помилково вважають студенти. Іноді вводять так званий об’єм когерентності за формулою

когкогког lSV = , (12) де 2)( когког rS ∆= π .

Світло, що приходить в точку спостереження з будь-яких двох точок такого об’єму, здатне утворити інтерфернційну картину з видністю, що не менша за деяку наперед задану. Необхідно відзначити, що поняття степеня когерентності тісно пов’язане з часом усереднення. Для ілюстрації розглянемо приклад: Нехай в точці спостереження є два монохроматичних поля з різними частотами

Прийшли дві хвилі , створили в точці спостереження амплітуди 10E

v та 20E

r.

Вважатимемо , що 12 ωω ≈

2112 ,ωωωω <<−

Нехай 1Ev

паралельне до 2Ev

. Тоді можемо розглядати амплітуди як скалярні величини (амплітуди комплексні).

Обчислимо степінь взаємної когерентності

dtII

eEeEP

P

ititi

p

21

2

2

)(2

)(1

12

222111∫

−

−+−+

=

τ

τ

τωϕωϕω

τγ = ωτϕϕ

τ

τ

ωωτϕϕ

ωτ

τω

τii

p

pti

p

ii eeeP

P

−−

−

∆−− ∫ ∆

∆

= )(2

2

)( 2121 2sin21

.

Отже,

)(202

)(101

22

11

ϕω

ϕω

+−

+−

=

=ti

ti

eEE

eEErr

rr



6

p

p

τω

τω

γ

2

2sin

12 ∆

∆

= (14)

і

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+∆

++= ϕτωγ pIIIII2

cos2 12221 . (15)

Задамо ( )MIN12γ : все, що більше за ( )MIN12γ , будемо вважати когерентним. Можливість спостереження інтерференції залежить від часу усереднення. Якщо 0=∆ω , тобто )( 21 ωω = маємо монохроматичні хвилі однакової частоти, тоді 112 =γ . При 0=∆ω вираз (15): переходить в

)cos(2 2121 ϕ∆++= IIIII ,

)1( 12 =γ .

На рисунку подано залежність 12γ від ω∆ відповідно до формули (*). Видно, що при одному й тому ж значенні ω∆ , величина 12γ буде різною залежно від часу усереднення (інерційності реєстратора інтенсивності). Легко показати, що у випадку накладання двох монохроматичних хвиль з різними частотами 12 ωω ≈

2112 ,ωωωω <<− (як у розлянутому вище прикладі обчислення степеня когерентності (15)) інтенсивність на екрані буде описуватись формулою

[ ] [ ]434214444 34444 21

rr

δδ

ωωω kxtIIIIxkktIIIII ∆−∆++=−−−++= cos2)()(cos2 212112122121 (19)

Останній доданок в рівнянні (19) має вигляд біжучої хвилі: інтерференційна картина рухається в

напрямку осі ОХ із швидкістю k

V∆∆

=ω

, тим більшою, чим більша різниця частот! Якщо цей рух

достатньо повільний, то ми можемо спостерігати інтерференційні смуги, що рухаються по екрану. При великій різниці частот, внаслідок усереднення завдяки інерційності реакції ока інтерференційний доданок зникає: ми бачимо екран рівномірно освітлений інтенсивністю 21 III += . Якщо ми розмістимо

в площині екрану достатньо малоінерційний ( рτ << ω∆1 ) точковий фотоприймач ( тобто з розмірами

набагато меншими за ширину інтерференційних смуг x∆ ) , то можна буде спостерігати зміни інтенсивності з частотою ω∆ . Як ми вже бачили, в силу неточковості джерел та немонохроматичності їх випромінювання в реальних інтерференційних експериментах видність інтерференційних картин, як правило, менша за одиницю навіть при однаковій інтенсивності пучків, що інтерферують.

Оскільки видність 1221

212γ

IIII

V+

= , при 21 II = дорівнює 12γ , то вимірюючи або

розраховуючи видність при 21 II = ми будемо безпосередньо одержувати модуль степеня взаємної когерентності 12γ . Легко збагнути, що збільшення розмірів джерела в дослідах з поділом фронту хвилі погіршує просторову когерентність, а збільшення спектрального інтервалу погіршує часову когерентність.



7

Видність інтерференційної картини від протяжного джерела Розрахуємо видність інтерференційної картини від протяжного джерела. Візьмемо для визначеності інтерференційну схему Юнга (Рис.1). Нехай маємо протяжне джерело світла у вигляді відрізка прямої довжиною b2 . Відстань між отворами d2 . Відстань від джерела до екрана з отворами L . Відстань від точки спостереження P до екрана з отворами D . В площині джерела введено координату u . В площині екрана, на якому спостерігаємо інтерференцію введено координату x . Обидві координати відлічуються від штрихової лінії, точки якої рівновіддалені від отворів

21,SS . При цьому вважаємо, що LbDd <<<< , . Розрахуємо різницю ходу для світла, що проходить від деякої точки джерела двома шляхами до точки спостереження P :

21 ∆+∆=∆ ,

xDddxDdxDrr 2)()( 2222

121 ≈−+−++=−=∆

отже xDd2

1 =∆

і аналогічно можна знайти

uLd2

2 =∆ .

Остаточно

uLdx

Dd 22

+=∆ .

Інтенсивність, що її дає в точці спостереження P елементарна ділянка джерела du з координатою u при одному з відкритих отворів 1S або 2S , є

duuidI )(= . Рис. 1. Якщо відкриті обидва отвори, то інтенсивність в точці спостереження )(xP є результатом інтерференції двох пучків однакової інтенсивності, що надійшли від ділянки джерела du з

координатою u , і залежить від різниці фаз ∆=∆= kλπ2δ :

[ ] =⋅++= duuiuiuiuixdI δcos)()(2)()()( ( )duui δcos1)(2 + .

Повну інтенсивність у точці )(xP знайдемо інтегруванням по всій довжині джерела

( ) ∫∫+

−

+

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=+=

b

b

b

b

duL

udkD

xdkuiduuixI )2()2(cos1)(2δcos1)(2)(

∫ ∫∫+

−

+

−

+

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

b

b

b

b

b

b

duL

udkuiD

xdkduL

udkuiD

xdkduuixI )2(sin)()2(sin2)2(cos)()2(cos2)(2)(

Якщо яскравість усіх точок відрізку однакова, тобто

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+≥+<<−−≤

=bu

bubibu

ui ,0

, ,0

)( 0 ,

Dddx

<<<<

)(xPd2b2

b+

b−

DL2S

1Sxu



8

то

Ldk

Lbdk

Lbdk

DxdbibixI 2

)2(sin)2(sin)2(cos24)( 00

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Остаточно, розподіл інтенсивності в інтерференційній картині від протяжного джерела у вигляді відрізка сталої яскравості

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

Lbdk

Lbdk

DxdkbixI )2(

)2(sin)2(cos14)( 0 ,

де видність

Ldbk

Ldbk

V 2

2sin

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= . (1)

Видність максимальна, коли 0→b . Тоді 02→

Ldbk і 1=V .

Видність 0=V при π2λπ2

=⋅Ldb , звідки λ

4dLbкр = , а повний розмір джерела, при якому

інтерференція зникає (так званий критичний розмір джерела):

λdLbкр 2

2 = . (2)

Обчислена нами видність інтерференційної картини поблизу точки )(xP (1) є дуже цінною тому, що вона дорівнює степеню взаємної когерентності світлового поля в отворах 1S та 2S , тобто степеню взаємної когерентності поля створеного протяжним джерелом у вигляді відрізку прямої в точках 1S та 2S ,. Звичайно задають певне бажане значення видності когVV ≥ .

З рівняння (1) записаного у вигляді 0

0

θθsin

=V можемо знайти значення 0θ , що відповідає

заданому когV : Ldb2

λπ2θ0 ⋅= .

Наприклад, значенню 5,0=когV відповідає 9,1θ0 = . За величиною 0θ можна оцінити важливі параметри, наприклад, такі як максимальний лінійний розмір джерела, при якому ще можна забезпечити задану видність когV ,

d

Lbπ2λθ2 0= , (4)

або максимальний кутовий розмір джерела (кут під яким його видно з площини, в якій лежать точки поля, модуль степеня взаємної когерентності для яких буде не менше за наперед задане значення 12γ = когV ):

dLb

когλ

π2θ2 0 ⋅==ϕ . (5)



9

Залежність видності від відстані між отворами 1S та 2S при фіксованому розмірі джерела.

На Рис.2 показано залежність видності V інтерференційної картини в точці спостереження P (або, що те ж саме, модуля степеня взаємної когерентності 12γ поля в точках 1S та 2S ) від відстані d2 між отворами для двох точкових джерел на кутовій відстані когϕ одне від одного (синя жирна лінія) і для протяжного джерела у вигляді відрізка, крайні точки якого видно під тим самим кутом когϕ (червона лінія) (цей випадок відповідає стандартному експерименту, коли за джерело править рівномірно освітлена щілина шириною b2 ). Подібні залежності мають місце і для джерела у вигляді диска. Значення d2 , що відповідає першому нулю видності V , коли інтерференційна картина повністю зникає, для всіх цих випадків можна визначити загальною формулою

ког

Adϕλ2 = , (6)

де 5,0=A для двох точкових джерел;

1=A для лінійного джерела - смужки; 22,1=A для диска. Рис. 2.

Величина d2 дає оцінку радіуса когерентності когr поля в площині екрану з отворами для наперед заданого значення 12γ = когV , якому відповідає певне значення 0θ ,

bLdrког π2λθ2 0== (6а)

або

когкогr

ϕπλθ0= , (6б)

де когϕ - кут, під яким видно джерело з площини екрану. Природний критерій когерентності.

Часто користуються так званим природним критерієм когерентності, що має цілком визначений фізичний зміст, а саме, вважають когерентним поле випромінювання в тих точках

1S та 2S , для яких різниця ходу від крайніх точок джерела не перевищує /2λ :

2λ22δ2δδ 2 ===∆=∆ b

Ldu

Ld

(7)

Відповідний кутовий розмір джерела ( так званий кут когерентності):

dLb

ког 4λ2/2)λ( ==ϕ , (8)

а радіус когерентності, що відповідає природному критерію когерентності:

bLdrког 4λ2/2)λ( == . (9)

V

d2когϕλ2

когϕλ

когϕλ

2



10

Цьому критерію відповідає /2πθ0 = (необхідно порівняти (9) та (6а)) , тобто мінімальна

гранична видність інтерференційної картини 6,0π2

θθsin

0

0 ≈==когV , що є цілком достатнім

для спостережень.

При цьому радіус когерентності не перевищує ког

dϕλ2 = . (10)

Наприклад, джерело світла розміром з булавочну головку на відстані простягнутої руки дає на зіниці ока просторово когерентне світлове поле. Те саме співвідношення засвідчує, що світло зірок, яке нас досягає, незважаючи на велетенські розміри зірок, має високу просторову когерентність завдяки їх віддаленості. (Завдання для самостійної роботи: Намалювати графік ( )δI для 6,0=когV ). Вимірювання кутового діаметру зірок.Зоряний інтерферометр Майкельсона. Майкельсон використав цю обставину для вимірювання кутової відстані між компонентами подвійних зірок і кутового діаметру самих зірок. Метод, запропонований уперше Фізо і реалізований Майкельсоном, полягає в спостереженні залежності видності інтерференційної картини, яку дають дві щілини, розміщені у вхідній зіниці телескопа, від відстані d2 між ними. При мінімально можливій відстані d2 , маємо високий степінь взаємної когерентності світлового поля в щілинах і можемо спостерігати інтерференційну картину, яка накладається на дифракційне зображення зірок (зірки)1 у фокальній площині телескопа. Якщо відстань d2 між щілинами збільшувати, то при деякому її значенні bLd /λ2 0 = інтерференційна картина зникає, як видно з графіків на Рис.2). Це відбудеться при

02

λdког =ϕ . (11)

Рис. 3. Щоб отримати кутову відстань між компонентами подвійних зірок, величину когϕ відповідно до (6) треба подвоїти, а для знаходження кутового діаметра – помножити на 1,22.

Таким способом Майкельсону вдалося виміряти кутову відстань між компонентами деяких подвійних зірок, але для визначення кутового діаметра поодиноких зірок не вистачало діаметра зіниці існуючих телескопів, щоб досягти великих значень d2 : інтерференція спостерігалась і при максимальному практично досяжному значенні d2 .

Тоді Майкельсон побудував інтерферометр, що дістав назву зоряного інтерферометра Майкельсона (Рис. 4 ). Цей інтерферометр за рахунок винесених дзеркал дозволив збільшити відстань між ділянками поля, взаємна когерентність яких вимірюється, до величини d ′2 , яка значно перевищувала діаметр об’єктива телескопа, і яку можна було досить просто змінювати пересуваючи дзеркала. При цьому ширина інтерференційних смуг, що визначається 1 Дифракційне зображення зірки являє собою світлу пляму оточену світлими концентричними кільцями, освітленість яких швидко спадає з радіусом.

d2'2d

Рис.4.



11

виключно відстанню d2 між щілинами, встановленими як і раніше в зіниці телескопа, залишалась незмінною. Тепер перше зникнення інтерференційної картини можна було зафіксувати при значно більших відстанях між точками світлового поля, і, відповідно, виміряти меншу величину кута когерентності.

02λdког ′

=ϕ . (12)

Першою зіркою, кутовий діаметр якої було виміряно, стала Бетельгейзе: 704,0 ′′=ϕ . Аналогічний метод використовується в радіоастрономії для вимірювання кутових розмірів космічних радіоджерел. Сигнали з двох антен радіотелескопів, рознесених на значну відстань, наприклад, встановлених у Північній Америці і в Австралії, обробляються так, щоб визначити степінь їх взаємної кореляції, тобто степінь взаємної когерентності. Роздільна здатність такого радіоінтерферометра (VLBI – Very Large Base Interferometer) визначається формулою (12), і може бути дуже великою завдяки великій базі інтерферометра d ′2 незважаючи на те, що довжини радіохвиль можуть лежати в дециметровому або метровому діапазоні. Протягом останніх років з’явились когерентно зв’язані між собою оптичні телескопи, віддалені один від одного на десятки метрів, що дозволяє значно підвищити роздільну здатність.

На Рис. показано The W. M. Keck Observatory. It is a two-telescope astronomical observatory at the 4,145 meter (13,600 ft) summit of Mauna Kea in Hawai'i. The primary mirrors of each of the two telescopes are 10 meters (400 inches) in diameter, currently the world's largest telescopes for optical and near-infrared astronomy (until completion of the 10,4 m Spanish Gran Telescopio in the Canaries). The telescopes can also operate together to form a single astronomical interferometer. The Keck I and Keck II telescopes can work together as the Keck Interferometer. The 85 m separation between the two telescopes gives them the effective angular resolution in one direction of an 85 m mirror. Along this axis, the Keck Interferometer has a spatial resolution of 5 milliarcseconds (mas) at 2.2 micrometres (µm), and 24 mas at 10 µm



12

Апертура інтерференції

У навчальній літературі поряд з кутом когерентності когϕ досить поширена така характеристика когерентності як апертура інтерференції. Апертура інтерференції - це кут, під яким з джерела видно дві точки на хвильовому фронті, для яких задано певний степінь когерентності 12γ = когV , (Рис. 5):

Ld2ω= . (13)

Оскільки видність

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

Ldb

Ldb

V2

λπ2

2λπ2sin

,

то з критерію природної когерентності маємо

2λ22

≤L

bd , звідки 4λ2

bLd ≤ , тобто

bког 4λ)2/( ω ≤λ . (14)

Для кута когерентності при застосуванні того самого природного критерію когерентності маємо з формули (8).

Lb

ког2/2)λ( =ϕ .

Легко бачити, що добуток кута когерентності на апертуру інтерференції при застосуванні одного й того самого природного критерію когерентності (14):

Lкогког 2λω =⋅ϕ , (15)

тобто залежить лише від співвідношення довжини хвилі і відстані від площини, в якій визначається взаємна когерентність

Часова когерентність.

Розрахуємо нормований степінь часової когерентності для простої моделі так званих цугів хвиль, або світлових імпульсів, що на відміну від ідеальної монохроматичної гармонічної хвилі, яка нескінченна в часі і в просторі, мають тривалість 0τ (див. Рис. 6) в часі і довжину 00 τcl = в просторі.

Для такого цугу tvetEE 02

0 )( π−= , (16)

де ( )

( ) ( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

><<−

−<=

2/2/2/

2/

,0,

,0)(

0

00

0

00

τττ

τ

tt

tEtE .

Степінь часової когерентності

Рис. 6.

Рис. 5.

2d ω



13

∫−

+=2/

2/2111 )()(*11 P

P

dttEtEIIP

τ

τ

ττ

γ , (17)

де Pτ - час реєстрації (час усереднення), а τ - часова затримка одного цугу відносно іншого (див. Рис. 7). Нехай виконується умова τττ >>> 0р .

Підставляючи (16) в (17) і враховуючи, що підінтегральна функція в чисельнику відмінна від нуля лише на проміжку ττ −0 , де цуги «перечіпляються» один з одним, а в знаменнику лише на проміжку ( )2/,2/ 00 ττ− дістанемо

( ) τπτ

τ

τ

τ

τπ

τττ

τ

ττγ 0

0

0

00

2

0

02/

2/

20

220

11 1

1

)( vi

P

vi

P edtE

dteE−

−

−

−=

∫

∫=

Для модуля нормованого степеня часової когерентності маємо

011 1)(

τττγ −= , (18)

тобто із збільшенням затримки він лінійно спадає від 1 до нуля (див. Рис. 8). Відповідно, чим більша затримка, тим гірша видність. Якщо ж затримка більша, ніж 0τ , то інтерференції немає: тобто пучки вже не є взаємно когерентні. Відповідна довжина когерентності – це довжина цугу 00 τ⋅= cl . Якщо різниця ходу більша за довжину цугу, то цуги різних пучків приходять в точку спостереження поодинці в різний час - нема з ким інтерферувати!

Ближчою до реальності є модель, в якій припускається, що цуги можуть бути різної довжини і частота (ймовірність) появи цугу з тривалістю 0τ є випадковим процесом, що описується розподілом Пуасона

)( 0

00

ττ

τττ

−

= ef .

Для такої моделі

0)( 11ττ

τγ−

= e . (19) Відповідний графік не є пряма, а експонента. Часу затримки 0ττ = відповідає зменшення степеня когерентності (і видності) в e разів. Про 100 фемтосекунд та про 4 метри! Вплив немонохроматичності світла на видність інтерференції. Зв’язок між шириною спектру та когерентністю

В параграфі 3.5 ми розглянули найпростіший випадок інтерференції світла двох близьких довжин хвиль δλλλ,λ 121 += і знайшли умову, при якій відбувається перше накладання максимуму однієї інтерференціїної картини на мінімум другої і зникнення інтерференції

δλλ

2=m . (20)

Рис. 7.

0τ

0ττ−

e

1

)(τγ II

τ

Рис. 8.

Рис. 9.



14

При подальшому збільшенні m (а значить і різниці ходу) видність покращується, досягаючи максимального значення 1, а потім знову йде до нуля. Відповідна періодична залежність видності V від m (або від різниці ходу, або від різниці фаз) (Рис. 10) подібна до залежності видності V від відстані між двома точковими джерелами. Тепер виконаємо розрахунок видності для випадку інтерференції двох пучків однакової інтенсивності спектральна густина для яких відмінна від нуля і постійна в інтервалі ],[ 21 λλ (див. Рис. 11).

Для деякої різниці ходу ∆

∆=∆= kλπ2δ ;

λπ2

=k ; λλπ22 ddk −= .

Таким чином, довжині хвилі 0λ середній в інтервалі 0λλ <<∆ відповідає хвильове число 0k , середнє в інтервалі k∆ . Отже, внесок в інтенсивність у точці спостереження від випромінювання з малого інтервалу dkkk +, є

( )dkkikdI δcos1)(2)( +=

( )∫+

−

∆+=2δ

2δ

0

0

cos1)(2)(

kk

kk

dkkkikI

Якщо 0)( iki = , тоді =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∆⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∆+=

2δsin

2δsin2δ2)( 00

00

kkkkikixI

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆

∆+=∆∆

∆+= 000

00 cos

2δ

2δsin

1δ2cos2δsin22δ2 kk

k

kikkiki .

(було використано ]2)sin[(]2)cos[(2sinsin βαβαβα −+=− ) Отже, видність

∆

∆=

∆

∆=

20

0

20

0

λδλλδλsin

2δ

2δsin

π

π

k

k

V (21)

Для хорошої видності інтерференційної картини, треба щоб 1λδλ

20

0 <<∆ , звідки:

m0

20

maxλλδλ =

∆<< , (26)

де maxδλ - максимальна гранична ширина спектрального інтервалу, при якому ще можна спостерігати інтерференційну картину при заданих середній довжині хвилі 0λ та різниці ходу ∆ або порядку інтерференції m .

Рис. 10.

Рис. 11.



15

Можна поставити питання про максимальну різницю ходу max∆ , при якій ще можна спостерігати інтерференційну картину при заданих середній довжині хвилі 0λ та ширині спектру δλ:

δλλ2

0max<<∆ . (27)

Важливі формули, які варто пам’ятати:

∆=

20

maxλδλ - дає максимально можливий спектральний інтервал при заданій різниці ходу

δλλ2

0max =∆ - дає максимально можливу різницю ходу при заданому спектральному інтервалі.

При досягненні цих граничних значень видність інтерференції стає рівною нулю.

Зв’язок між тривалістю імпульсу та шириною його спектру

Ми вже бачили, що модуль степеня часової когерентності )(11 τγ і, відповідно, видність залежать як від довжини цугів хвиль (тривалості світлових імпульсів), так і від ширини спектрального інтервалу світла, що інтерферує: при одній і тій же часовій затримці (різниці фаз, різниці ходу) видність тим менша, чим коротші імпульси (цуги) і чем ширший спектральний інтервал. Виникає питання: а чи немає безпосереднього зв’язку між тривалістю світлового імпульсу та шириною його спектру?

Такий зв’язок існує. Функцію tvietEtE 020 )()( π−= , що описує світловий імпульс, можна подати

через інтеграл Фур’є: ∫∞

∞−

−= dvevftE vtπ2)()( . Для відшукання )(vf - амплітуди гармоніки на

частоті v , яка дає внесок у сигнал )(tE , виконаємо зворотне

перетворення: ∫∞

∞−

= dtetEvf vtπ2)()( .

Нехай маємо світловий імпульс із прямокутною обвідною2 Рис. 12, що задається функцією

( )( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

><<−

−<=

2/2/2/

2/

,0,

,0)(

0

00

0

00

τττ

τ

tt

tEtE (22)

Знайдемо Фур’є-спектр такого імпульсу

===

= ∫∞

∞−

−− dtetE

etEtEпідставимо

vf tvvitvi

)(202

0

0

0)(

)()()( π

π

=−

−==

−−−

−

−∫ )(2 0

)()(

0

2/

2/

)(20

00000

0

0

vvieeEdteE

vvivvitvvi

π

τπτπτ

τ

π [ ]00

0000 )(

)(sinτπτπτ

vvvvE

−−

(23)

Щоб знайти спектральну густину потужності, треба взяти квадрат модуля )(vf :

[ ] 2

00

0020

20

2

)()(sin)()(τπτπτρ

vvvvEvfv

−−

== (24)

2 В радіоелектроніці такий імпульс називають радіоімпульсом. Його характеризують формою обвідної (формою модулюючого відеоімпульсу)та несучою частотою, або, як іноді кажуть, частотою заповнення 0v ).

Рис. 12.



16

Графік цієї функції схематично подано на Рис. 13. За ширину спектру імпульсу приймають частотний інтервал між 0ν та першим мінімумом. Отже ширина спектру обернено пропорційна тривалості імпульсу

0

1τ

∼∆v . (25)

Залежність ширини спектру ν∆ від тривалості імпульсу 0τ можна прослідкувати за Рис. 14 (на цьому рисунку тривалості імпульсу 0τ позначено як iτ )

Якщо маємо немодульовану синусоїду нескінченної довжини, то вона має нескінченно вузький спектр.

Якщо промодулюємо синусоїду прямокутними імпульсами, то отримаємо цуги.

Рис. 14

Рис. 13.



17

Спектр модульованого сигналу ширший за спектр немодульованої синусоїди, що являє собою −δ функцію. Наприклад, щосекунди перериваючи рукою пучок випромінювання неперервного

лазера раз на ми розширюємо його спектр на 1 Гц.

Ширина спектру випромінювання лазера, що генерує імпульси тривалістю 100-150 фс у видимій області становить величину порядку 10 нм (Фемтосекундний комплекс в ІФ НАНУ).

Ширина спектру фемтосекундних імпульсів наближається до ширини видимої області спектру.

Треба пам’ятати, що прийнята для цих розрахунків модель незастосовна до випадку, коли тривалість цугів є порядку періоду світлових коливань.

Враховуючи , що 0

1τ

∼∆v і vc

=λ , критерій хорошої видності

інтерференційної картини (27)може бути поданий також у вигляді:

ccv 02

20

λΔλ τ=<<∆ , тобто 00 τ⋅=≤∆ cl ,

або

0

20λδλ

l= ,

де 00 τ⋅= cl - довжина когерентності = довжина цугу. Спектр випромінювання згасаючого осцилятора. Візьмемо іншу, більш близьку до реальності модель - модель випромінювання згасаючих осциляторів, коли напруженість електричного поля змінюється за законом (Рис. 15):

tvit eetEtE 00 2/0 )()( πτ −−= .

Відповідна спектральна густина:

20

20

2

20

20

)(41)(

vvEv

−+=

τπτρ . (28)

Це так звана Лоренцева форма лінії.

Її напівширина 0

1πτ

=∆v . (29)

Рис. 16.

Лоренц

Гаус

Лоренц

Рис. 17.

Гаус

Рис. 15

t

)(tE



18

Така форма часто зустрічається в теорії і спостерігається в експерименті. Ще одна форма лінії, що часто зустрічається - це гаусова форма лінії

2

20

2)(

0ρ)(ρ δvv

ev−

−= - (30)

Її напівширина 2ln2δ2=∆v .

Наприклад, так зване уширення спектральних ліній випромінювання газів відбувається за рахунок зіткнень атомів або за рахунок ефекту Доплера. Перший механізм дає лоренців контур лінії, а другий – гаусів. Порівняння обох контурів для однієї й тієї ж напівширини та площі під кривою подано на Рис. 16. Спектральні лінії випромінювання розрідженого газу охолоджених атомів (кінетична енергія дуже мала і зіткнення відсутні ) описується лоренцівським контуром з напівшириною, що визначається часом життя атома в збудженому стані. Таке розширення лінії називається природним. На Рис. 17 подано залежність видності інтерференційної картини від різниці ходу для розподілів Гауса та Лоренца.

Завдання для самостійної роботи:

1) одержати формулу (28)

20

20

2

20

20

)(41)(

vvEv

−+=

τπτρ

2) знайти зв’язок між )(11 τγ та )(vρ (між степенем автокогерентності (часової когерентності) та спектральною густиною потужності). Відповідь:

vdev vi∫=∞

∞

−

-

211 )()( τπρτγ



1

3.7. Двопучкові (двопроменеві) інтерферометри

Інтерферометр – це прилад для здійснення і спостереження інтерференції світла.

Двопучковий означає інтерференцію двох пучків. Ми вживатимемо цей термін як фізично більш точний у порівнянні з терміном двопроменевий (російською – двухлучевой), який поширився в російській літературі як буквальний переклад з німецької. В англомовній та французькомовній літературі, коли мова йде про інтерференцію оперують поняттям пучка.

У принципі, будь-яке експериментальне розміщення чи пристрій з розглянутих нами раніше (дослід Юнга, біпризма Френеля, бідзеркала Френеля, білінза Бійє, розміщення для спостереження кілець Ньютона тощо) є реалізацією інтерферометрів. Але власне інтерферометри – це спеціально сконструйовані пристрої, які виконані як визначена сукупність елементів та вузлів, певним чином розміщених і функціонально зв’язаних між собою. Серед розглянутих нами раніше можна вказати зоряний інтерферометр Майкельсона, який є двопучковим інтерферометром з поділом світлового фронту.

Ми почнемо свій розгляд з мабуть найвідомішого у фізиці інтерферометра - інтерферомета Майкельсона, в якому використовується поділ амплітуди.

Інтерферометр Майкельсона (з поділом амплітуди)

Принципову схему інтерферометра Майкельсона зображено на Рис. 1 .

Світло потрапляє в інтерферометр через вхідну діафрагму (вхідну зіницю), розміщену у фокальній площині коліматорного об’єктива Об1. Поділ амплітуди відбувається на одній з поверхонь світлоподільної пластинки, на яку наносять частково відбивне покриття (ℜ=0,5). Утворені таким чином два когерентні пучки однакової інтенсивності проходять різні шляхи до дзеркал 1 і 2, які відбивають їх назад до світлоподільної пластинки, яка спрямовує половину інтенсивності кожного з когерентних пучків в напрямку вихідного об’єктива Об2. Різниця ходу, якої набувають ці два пучки в інтерферометрі, дорівнює подвоєній різниці довжин гілок (плеч) інтерферометра )(2 21 ll −=∆ . Оскільки один з пучків проходить через світлоподільну пластинку лише один раз, а інший – тричі (див. Рис. 2), то виникає додаткова різниця ходу пропорційна товщині світлоподільної пластинки та її показнику заломлення, що залежить від довжини хвилі, ∆∼ ( )λdn . Тому при роботі з білим світлом на шляху другого пучка встановлюють компенсаційну пластинку, точно таку як світлоподільна, але без покриття. Для роботи інтерферометра з монохроматичним світлом, наприклад, від неперервного лазера, компенсаційна пластинка не потрібна.

)(2 12 ll −=∆

2f

1f 12об

1l

2l1об

'12

вхідна зіниця

Рис. 1. Рис. 2.



2

Для полегшення аналізу інтерференційних картин, що дає інтерферометр Майкельсона, будують зображення дзеркала 1 в світлоподільній поверхні. На Рис. 1 воно позначене як 1′. Його нахил щодо дзеркала 2 сильно перебільшений для наочності. Така побудова дозволяє звести аналіз до розглянутих раніше випадків інтерференції з поділом амплітуди при відбиванні від тонких шарів. Чи будуть спостерігатись смуги однакових нахилів, чи смуги однакових товщин – залежить від взаємного положення дзеркал 1 і 2. Відповідно до цього можна розглядати інтерференцію в клині або в плоскопаралельній пластинці утвореній дзеркалом 2 та зображенням дзеркала 1′.

Якщо дзеркало 2 та зображення дзеркала 1′ утворюють клин, то інтерференційна картина локалізована поблизу площини, в якій лежить зображення дзеркал вихідним об’єктивом Об2 і має вигляд еквідистантних прямих паралельних ребру згаданого клина. Це смуги рівних товщин. Для їх спостереження вхідна зіниця обирається маленькою, щоб забезпечити умову сталості кута падіння на поверхню клина.

Якщо дзеркало 2 та зображення дзеркала 1′ утворюють плоскопаралельну пластинку, а вхідну зіницю максимально розкривають, щоб забезпечити широкий інтервал кутів падіння на поверхню пластинки, можна спостерігати смуги однакових нахилів, що мають форму кілець, локалізовані у фокальній площині вихідного об’єктива Об2.

Застосування: можна вимірювати часову когерентність; здійснювати аналіз спектру світла: розділяти близькі спектральні компоненти, вимірювати спектральну ширину ліній; вимірювати довжини світлових хвиль (порівнювати їх з еталоном метру), вимірювати показники заломлення речовин, вміщених у гілки інтерферометра, та їх малі зміни.

Інтерферометр Майкельсона та його численні удосконалені різними авторами модифікації широко використовуються для контролю оптичних елементів: наприклад, якщо замість першого дзеркала поставити сферичну поверхню лінзи, то в результаті можемо отримати кільця Ньютона безконтактним способом.

Видатну роль відіграли історичні досліди Майкельсона і Морлі з визначення швидкості Землі відносно світового ефіру.(чи існує зсув інтерференційних смуг за рахунок руху Землі відносно ефіру?), які стали наріжним каменем спеціальної теорії відносності.

Вимірювання часової когерентності.

Оскільки 121

21 γ2IIII

V+

= , а в інтерферометрі Майкельсона завжди 21 II = , то видність )(11 τγ=V .

Отже можна безпосередньо вимірювати залежність степеня часової когерентності від затримки

cll 12 −=τ , де 12 , ll - довжина гілок інтерферометра.

На використанні інтерферометра Майкельсона заснована Фур’є – спектроскопія.



3

Фур’є – спектрометр Принцип Фур’є-спектроскопії ґрунтується на зв’язку між степенем часової когерентності

)(11 τγ та спектральною густиною потужності )(vρ :

∫∞

∞

=-

211 )()( ττγρ τπ dev vi

-

Рухаючи одне з дзеркал інтерферометра поступально, змінюємо τ , отримуємо )(11 τγ , а потім, виконуючи перетворення Фур’є, можемо знайти )(vρ .

Нехай інтерферометр Майкельсона настроєно так, що в фокальній площині об’єктива 2 можна спостерігати кільця однакових нахилів. Інтенсивність в центрі інтерференційної картини залежить від різниці ходу, тобто від положення дзеркал. Позначимо різницю шляхів світла в гілках інтерферометра через .x Тоді можна записати вираз для інтенсивності в центрі інтерференційної картини від однієї монохроматичної складової світла з довжиною хвилі λ на вході інтерферометра

]cos1[)( 0 δ+= IxI ,

де x2~22 νπλπδ =∆= , а ν~ - хвильове число,

λν 1~ = .

Якщо на вході інтерферометра маємо набір хвиль з різними хвильовими числами, який можна описати спектральною густиною інтенсивності )~(νI , то сигнал, виміряний фотоприймачем в центрі інтерференційної картини, є

)(~)]2~2cos(1[)~()( ~00

xFFdxIxF +=+∝ ∫∞

ννπν ,

де окремо виділено постійну складову сигналу, що не залежить від x , та його змінну складову )(~ xF .Для того, щоб знайти спектральну густину інтенсивності )~(νI необхідно зробити

перетворення Фур’є від змінної складової )(~ xF

dxxxFI )]2~2cos()()~(0

~ νπν ∫∞

∝ .

Реальне переміщення дзеркала завжди скінченне (на практиці не перевищує декількох десятків сантиметрів), причому роздільна здатність такого Фур’є-спектрометра тим більша, чим більший інтервал переміщення дзеркала (чим більша максимальна різниця ходу між пучками). Можна показати, що мінімальний спектральний інтервал min

~νδ між двома монохроматичними компонентами, який здатний розділити Фур’є-спектрометр при достатньо високій інтенсивності світла на вході визначається максимальною досягнутою різницею ходу max∆ , а саме

)(1)(~

max

1min см

см∆

=−νδ .

Наприклад, при переміщенні дзеркала на 50 см досягається різниця ходу max∆ = 100 см, отже мінімальний спектральний інтервал min

~νδ = 0, 01 см-1! Фур’є-спектрометри широко застосовуються для вимірювання інфрачервоних спектрів.



4

Інтерферометр Жамена.

Інтерферометр Жамена (Рис.3) складається з двох плоскопаралельних пластинок, які утворюють між собою невеликий плоский кут ϕ .

Різниця ходу ϕin

id22 sin

sin−

−=∆ ,

де i =45°- кут падіння на поверхню першої пластини. Інтерферометр дає смуги однакових нахилів, майже прямі, локалізовані на нескінченності, тому спостерігаємо їх у фокальній площині лінзи або через зорову трубу. Варто звернути увагу на те, що смуги смуги однакових нахилів, що їх дає поодинока плоскопаралельна пластинка мають форму кілець, що узгоджується з аксіальною симетрією такої інтерференційної схеми. Схема інтерферометра Жамена має лише площину симетрії, в якій лежать нормалі до поверхонь плоско паралельних пласти (площина Рис. 3). З такою симетрією узгоджуються відрізки гіпербол поблизу ахроматичної (незабарвленої) смуги нульового порядку ( )1( =m (див. в розділі 3.4 про інтерференцію сферичних хвиль від двох точкових джерел). Інтерферометр Жамена дозволяє вимірювати дуже малі зміни показника заломлення 610−=∆n . В 1965-66 рр на кафедрі оптики Київського університету Г.Л. Конончук виміряв таким інтерферометром зміну показника заломлення в рубіновому активному елементі імпульсного лазера безпосередньо в процесі його роботи. Інтерферометри Рождєствєнского та Маха-Цандера

Такі інтерферометри, застосовують, коли потрібна велика відстань між пучками, наприклад при дослідженнях аномальної дисперсії в парах натрію (метод гаків Рождєствєнского: великі кювети, піч для підігріву тощо) або для дослідження обтікання тіл або ударних хвиль в аеродинамічних трубах, діагностика плазми (переважно інтерферометри Маха-Цандера).

В усіх розглянутих вище інтерферометрах пучки, що інтерферують, отримують методом поділу амплітуди.

Рождєствєнского

Рис. 3.



5

Інтерферометр Релея.

Інтерферометр Релея – один з небагатьох в якому використовують поділ фронту.

Він подібний як до інтерферометра Юнга , так і, ще більшою мірою, до зоряного інтерферометра Майкельсона.

На відміну від попередніх інтерферометрів з поділом амплітуди для інтерферометра Релея існують обмеження на розміри джерела. Тому інтерференційна картина в ньому має малу освітленість.

В оптичному практикумі за допомогою інтерферометра Релея досліджують залежність показника заломлення повітря від тиску.

3.8. Багатопучкова (багатопроменева) інтерференція Інтерференція між пучками з постійною різницею фаз і однаковою амплітудою При інтерференції двох пучків від двох джерел маємо: Поверхні рівних фаз – гіперболоїди обертання. Асимптоти перетинаються в точці О.

Різниця фаз ∆=νπδ 2

2sin2)cos1( 2 δδ III =+= на нескінченності.

Розподіл інтенсивності залежно від різниці фаз δ або різниці ходу ∆ характеризується функцією синуса або косинуса. Розглянемо інтерференцію багатьох пучків

Амплітуди, що приходять у точку спостереження від різних джерел

01 AA = ; δieAA 02 = ;δδ )1(

02

03 ..... −== NiN

i eAAeAA Сумарна амплітуда в точці спостереження.

)......1( )1(20

δδδ −Σ ++++= Niii eeeАA - це геометрична прогресія з δieq =



6

ϕδ

δ

δδ

δδ

δ

δ

δ

δi

i

iN

ii

iNiN

i

iN

e

N

Ae

e

ee

eeAeeAA

2sin

2sin

11

02

2

22

22

00 =−

−=

−−

= −

−

Σ .

)(0

2

2

20

2

0*

2sin

2sin

2sin

2sin

NIINN

N

NI

N

IAAI =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

== ΣΣΣ δ

δ

δ

δ

,

де )( NI - нормована інтерференційна функція при багатопучковій інтерференції. Таким чином, головні максимуми при багатопучковій інтерференції утворюються при тих же різницях фаз (різницях ходу), що й для двопучкової інтерференції, але мають в N2 разів більшу інтенсивність і в N разів вужчі ніж при двопучковій інтерференції.

0 10 20 300

5

10

15

Інтенсивність

Різниця фаз, δ

Двопучкова та багатопучкова (4 пучки) інтерференція.



7

Багатопучкова інтерференція такого типу має місце при роботі багатоелементних антен радіотелескопів та радарів (так звані радіолокаційні станції з фазованими гратками). Наприклад, для багатоелементної антени, показаної на рисунку, справедливі співвідношення.

πδλπδ 22

0 m=+∆= , де θsin2d=∆ , θ – кут між напрямом головного максимуму

відповідного порядку і віссю ланцюжка випромінювачів. Змінюючи початкову фазу 0δ можна оглядати весь простір, досягнувши також великої роздільної здатності по куту θ за рахунок звуження максимумів випромінювання внаслідок багатопучкової інтерференції.

Частина багатоелементної антени найбільшого у світі радіотелескопу декаметрового диапазону УТР-2 (Радіоастрономічний інститут НАН України, Харків) Лінійні розміри 2x1 км, ефективна площа 150000 м2; ширина диаграми направленості 0.5°; довжини хвиль 7-38 м; електронне керування напрямом прийому по обом координатам. Інтерференція багатьох пучків з постійною різницею фаз і спадною амплітудою Наприклад маємо плоскопаралельну пластинку.



8

Різниця фаз постійна: θcos2hn=∆ , ∆=λπδ 2

)(r - відбитий ; )(i - падаючий.

)(0

)(1

ir rAA = τ=′tt δiir eArttA )(

0)(

2 ′′= rr −=′ δiir eArttA 2)(

03)(

3 )( ′′= 22 rrrrR =′=′′=

δiir eArttA 3)(0

5)(4 )( ′′= ∑ −

=q1

1

δ)1()(0

32)( )( −−′′= piiprp eArttA

[ ] )(0

)2()2(2242)( )()()(1 iippiiir AererererttrA LL δδδδρ

−−′++′+′+′′+=

У квадратних дужках маємо геометричну прогресію з знаменником δierq 2)( ′=

Тому )(02

)(

)(11 i

iir A

ererttrA

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′−′′+=′

δδ

ε ; ∑≡ε

)(02

)(

)(11 i

iir A

ererttrA

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

′−′′+= δ

δε

Коефіцієнт відбивання для інтенсивності

2sin1

2sin

2sin

)1(41

2sin

)1(4

2

2

22

22

)(

)(

δ

δ

δ

δ

F

F

RR

RR

IIR i

r

+=

−+

−==

де R – коефіцієнт відбивання для інтенсивності

поверхонь пластини, 2)1(4

RRF

−= – так звана

ефективна кількість пучків, що інтерферують. Якщо R прямує до 1, то ∞→F Зв’язок між R та F ілюструється таблицею

R F 0,046 0,2 0,27 2 0,67 20 0,87 200

Коефіцієнт пропускання для інтенсивності

2sin1

12

)(

)(

δFIIT i

t

+== .

Відповідний графік подано на рисунку для тих значень



9

R та F, що наведені в таблиці. У точках mπ2 пропускання дорівнює одиниці, а в інших буде зменшуватись тим більше, чим більше R . Максимуми стоять на тих місцях що і для двопучкової інтерференції. На наступному рисунку показано графік пропускання )(δT для 2=F та 20=F .

0 5 10 15 200,0

0,5

1,0T

δ



10

Інтерферометр Фабрі – Перо. Інтерферометр Фабрі – Перо являє собою плоскопаралельну пластинку обмежену двома поверхнями з високим коефіцієнтом відбивання. Звичайно така пластинка утворююється двома товстими скляними пластинами між якими вставлено кільце, що забезпечує необхідну товщину повітряної пластинки.

В інтерферометрі Фабрі-Перо при освітленні широкими пучками отримуємо смуги рівного нахилу . Форма смуг – концентричні кільця. Темні і світлі кільця дуже вузькі. Різниця ходу між сусідніми пучками θcos2hn=∆

∆=λπδ 2 ; ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∆=λ

m - порядок інтерференції.

Максимальна різниця ходу має місце при 0=θ . Відповідно, у центрі маємо кільце з найбільшим m . Інтерферометр Фарбі - Перо – можна використовувати як спектральний прилад високої роздільної здатності.

Проблема його використання полягає в тому, що лінії (кільця) находять одна на одну. Тому необхідно попередньо виділяти вузьку ділянку спектру. ))(1( λλλ dmm +−==∆ ;

2211 λλ mm ==∆

Рис. 25а



11

Для одного інтерферометра пропускання схематично показано на Рис. 25а. Можна взяти два інтерферометри з різними товщинами 1d і 2d та розмістити їх послідовно. На Рис. 25б схематично показано пропускання двох інтерферометрів зі співівдношенням товщин 12 2dd = . На Рис. 25в схематично показано пропускання трьох послідовно розміщених інтерферометрів зі співівдношенням товщин 12 2dd = та 123 42 ddd == а б

в

Якщо взяти багато інтерферометрів , то можна зробити інтерференційний фільтр з дуже вузькою смугою пропускання одного з головних максимумів

Рис. 25б


© О.В.Слободянюк, 2001-2011 3_10 Dyfraktsiya Frenelia_2011-0225

1

3.10. Дифракція світла

Дифракція світла у вузькому сенсі – це явище огинання світлом непрозорих перешкод внаслідок чого світло проникає в область геометричної тіні. В більш широкому сенсі – це виявлення хвильових властивостей світла при наявності перешкод в умовах, коли наближення геометричної оптики стає незадовільним (наприклад, коли не можна вважати, що λ менше розміру отвору в екрані, щілини, перешкоди тощо). Дифракція звичайно спостерігається як нерізкість геометричної тіні предмета, причому часто поблизу очікуваної границі тіні спостерігаються світлі і темні смуги, які нагадують смуги, бачені нами при дослідженні інтерференції.

Принцип Гюйгенса – Френеля.

Огинання перешкод світлом може бути пояснено на основі принципа Гюйгенса (1678).

Принцип Гюйгенса: Кожна точка хвильового фронту є джерело вторинних хвиль: наступне положення хвильового фронту може бути знайдено як огинаюча цих вторинних сферичних хвиль через деякий проміжок часу1.

Але складна структура освітленості на границі тіні не може бути пояснена на основі цього принципу.

Виходячи з майже очевидного інтерференційного походження згаданих світлих і темних смуг на границі геометричної тіні, Френель ( 1816) суттєво доповнив принцип Гюйгенса, припустивши можливість інтерференції вторинних хвиль, що випромінюються кожним елементом деякої хвильової поверхні.

Відповідно до принципу Гюйгенса-Френеля будемо розглядати амплітуду в точці спостереження Р , як суму амплітуд (з урахуванням фази) вторинних хвиль, що приходять в точку спостереження від відкритої частини хвильового фронту). Оскільки, вторинні хвилі можуть інтерферувати між собою, то інтенсивність в точці Р залежить не лише від амплітуд вторинних хвиль, але і від співвідношень фаз між ними.

Нехай маємо точкове джерело монохроматичного світла L , яке створює сферичний фронт хвилі (хвильову поверхню), і точку спостереження Р.

Отже, симетрія задачі є аксіальна.

Розглядаємо все в скалярному наближенні. Внесок в амплітуду в точці Р від площадки dS хвильової поверхні буде

( ) dSerAKdA ikr

p χ= , (3.10.1)

де A – комплекскна амплітудиа на цій площадці; r - відстань від неї до точки Р;

λπ2

=k - хвильовий вектор; ( )χK - так

званий коефіцієнт (фактор) нахилу, що враховує залежність амплітуди вторинних хвиль від напряму. Багато задач дифракції можуть бути розв’язані при самих загальних припущеннях

1 При цьому зворотні вторинні хвилі до уваги не беруться. Принцип Гюйгенса є загальним геометричним і механічним принципом: в ньому не згадується ні довжина хвилі, ні характер хвиль, а лише той факт, що існує збурення, яке розповсюджується із скінченною швидкістю.



2

щодо ( )χK : максимальне при 0=χ і плавне зменшення при збільшенні χ , причому ( )χK → 0 при χ → π/2.

Отже, амплітуду в точці Р запишемо так :

( )∫∫=S

ikrp dSe

rAKA χ . (3.10.2 )

Цей вираз являє собою математичний запис принципу Гюйгенса – Френеля.

Для A можна записати

0

0

0 ikrerA

A = ,

де 0r − радіус хвильового фронту, а 0A − амплітуда на хвильовому фронті при 10 =r .

Отже, остаточно:

( )∫∫=S

ikrikr

p dSr

eKreA

A χ0

00

. (3.10.3 )

Перед тим, як застосувати принцип Гюйгенса-Френеля для пояснення дифракційних явищ, необхідно переконатися, що він узгоджується з прямолінійним поширенням світла в вакуумі.

Пояснення прямолінійного поширення світла. Метод зон Френеля.

Френель вказав наближений метод обчислення інтеграла (3.10.3), що спирається на осьову симетрію задачі (вісь LР) і полягає в заміні інтегрування по поверхні хвильового фронту обчисленням суми інтегралів по так званим зонам Френеля.

Ці зони будують в такий спосіб. Із точки спостереження Р описують сфери з радіусами

,...2

,...,2

3,2

2,2

, λλλλ jbbbbbr ++++= , де b = СР (див. Рис. 3.10.1 та Рис. 3.10.2).

Рис. 3.10.2.

Ці сфери і ділять сферичний хвильовий фронт на зони Френеля: центральну колову та інші кільцеві.

Можна показати, що радіус j-тої зони є

λbr

brjRj +=

0

0 , де j = 1,2,3.... (3.10.4 )

Радіус j-тої зони Френеля Rj може бути знайдений з трикутників LQM та PQM на Рис.3.10.3, де точка Q вказує границю цієї зони. Запишемо систему з двох рівнянь для відшукання Rj :

20

20

2 )( jj drrR −−= (* та



3

222 )( jjj dbrR +−= ,

де 2λjbrj += .

Виключаючи з цієї системи величину jd і утримуючи доданки з λ та нехтуючи доданками з 2λ , оскільки br ,0<<λ , отримаємо вираз (3.10.4).

Дійсно, Рис. 3.10.3

222

220

20

20 2

2222 jjjj dbdbjbjbddrrr −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++=−+−

λλ,

22)(2 0

λbjdbr j =+ → 2)( 0

λjbr

bd j +=

і підставляючи jd у формулу (* отримаємо вираз (3.10.4).

У тому ж наближенні площі зон приблизно однакові. Дійсно, площа −j тої зони є

λπλλππbr

brbr

brj

brbr

jRRS jjj +=

+−

++=−= +

0

0

0

0

0

0221 ])1[(][ .

Оскільки λjbr >>,0 , то можна припустити, що в межах будь-якої зони ( )χK є стале, тобто для j-тої зони коефіцієнт нахилу є ( )χjK .

Для обчислення інтеграла (3.10.4) запишемо елемент площі dS у вигляді ϕθθ ddrdS sin20= , де

ϕ - азимутальний кут (див. Рис. 3.10.2). З Рис. 3.10.2 також видно, що за теоремою косинусів

θcos)(2)( 002

02

02 brrbrrr +−++= .

Продиференцюємо цей вираз, дістанемо

θθdbrrrdr sin)(22 00 +=

звідки ϕθθ dbrr

rdrd)(

sin00 +

= .

Отже, ϕdbrr

rdrrdS)( 00

20

+= або ϕdrd

brrr

dS+

=0

0 . (3.10.5)

Ми можемо подати інтеграл (3.10.4) як суму внесків від окремих зон:

∑=

=n

jjp PAA

1

)( . (3.10.6)

L P

Q

M N r0 b

rj

Rj

dj



4

парне..-n,k21

,21

...22222

1-n

54

332

11непарнеnkk

kkk

kkk n −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=∑ K

При запису внеску окремої зони )( pAj врахуємо вираз (3.10.5) та те, що jK =const , а інтегрувати будемо по ϕ в межах від 0 до 2π і по r в межах від 2/)1( λ−+ jb до 2/λjb + :

∫ ∫ =+

=+

−+

π λ

λ

ϕ2

0 0

02

2)1(0

0

)()(

0

drbrrrre

dKjreA

PAikrjb

jb

ikr

j ∫+

−+

=+

2

2)1(0

00

2λ

λ

πjb

jb

ikrj

ikr

dreKbr

eA

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

+−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

+= −

+−++ 22

0

)(02)1(()2(

0

0 121200 λλλλ ππ ikikj

brik

jjbikjbik

j

ikr

eebr

eAK

kiee

ikK

breA

breAKiee

breAKiee

breAKi

brik

jjiji

brik

j

ijibrik

j +−=−

+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−=

++

+−+

0

)(01

0

)(02

22

2

0

)(0

000

)1(2)1(1 λλλ ππλ

λπλ

λπ .

(3.10.7)

Таким чином, у прийнятому наближенні внески сусідніх зон мають протилежні знаки, а їх модулі залежать лише від jK , що зменшується із збільшенням j.

Тепер можемо переписати (3.10.6) так

∑=

++

−+

=n

jj

jbrik

p Kbr

eAiA

1

1

0

)(0 )1(2

0

λ ; (3.10.8)

Отже для знаходження амплітуди pA нам необхідно оцінити величину знакозмінного ряду

∑=

++ −−+−+−=−n

jn

nj

j KKKKKKK1

154321

1 )1()1( K . (3.10.9)

Для цього скористаємось таким прийомом (Шустер, 1891).

Спочатку кожний доданок з непарним номером розділимо на 2 і перепишемо (3.10.9) у вигляді

(3.10.9’)

Зробимо припущення, що кожен доданок ряду більший за середнє значення сусідніх

211 +− +

> jjj

KKK . (3.10.10)

Тоді кожна дужка в (3.10.9’) від’ємна і

221 nKK+<∑ , якщо n непарне,

і (3.10.9*)

nn K

KK−+< −∑ 22

11 , якщо n парне.

Тепер розділимо на 2 кожний доданок з парним номером і перепишемо (3.10.9) інакше

K+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−−=∑ 22222

65

443

221

KKKKKKKK (3.10.9’’)



5

Останній член цього ряду є nn K

K+− −

21 , якщо n непарне, і

2nK

− , якщо n парне.

Тоді при тому самому припущенні (3.10.10) кожна дужка в (3.10.9’’) від’ємна, а сам ряд

∑ +−−> −n

n KKK

K22

121 , якщо n непарне,

і (3.10.9**)

∑ −−>22

21

nKKK , якщо n парне.

Оскільки коефіцієнт нахилу змінюється повільно і кожне jK дуже мало відрізняється від попереднього та наступного (зокрема, 12 KK ≈ і nn KK ≈−1 ), то на підставі (3.10.9*) та (3.10.9**) можна вважати, що

∑ +=22

1 nKK , якщо n непарне,

і (3.10.9♥)

∑ −=22

1 nKK , якщо n парне.

Оскільки за припущенням, зробленим раніше, для останньої n-тої зони, коли χ → π/2, то ( )χK → 0.

Отже, в (3.10.9♥) 0=nK і остаточно для суми знакозмінного ряду (3.10.9) маємо

∑=2

1K .

Отже, амплітуда в точці спостереження від всього хвильового фронту

breA

KiAbrik

p +=

+

0

)(0

1

0

λ , (3.10.11)

а від першої (центральної) зони

breA

KiPAbrik

+=

+

0

)(0

11

0

2)( λ . (3.10.12)

Амплітуда в точці спостереження при повністю відкритому хвильовому фронті pA дорівнює половині внеску від першої зони )(1 pA :

2)(1 pAAp = (3.10.13)

Таким чином, повне збурення в точці спостереження Р дорівнює половині збурення, зумовленого дією першої зони. Отже інтенсивність в точці спостереження визначається малою ділянкою фронту поблизу прямої LP, розмір якої порядку радіуса першої зони Френеля 1R . Для чисельної оцінки 1R візьмемо мbr 10 == , мкм6,0=λ .

4477

0

01 105,51030103

2106 −−−

−

⋅=⋅≈⋅=⋅

=+

= λbr

brR м, тобто при таких відстанях діаметр

першої зони Френеля порядку міліметра. Це узгоджується з уявленнями про прямолінійне поширення світла в вакуумі.



6

Перепишемо вираз (3.10.13) для амплітуди в точці спостереження при повністю відкритому хвильовому фронті pA з урахуванням формули (3.10.12):

breAKiA

brik

P +=

+

0

)(0

1

0

λ (3.10.13′)

З іншого боку амплітуду в цій самій точці можна записати просто як таку, що створена точковим джерелом L на відстані br +0 від нього

breAA

brik

P +=

+

0

)(0

0

. (3.10.14)

З порівняння виразів (3.10.13′) та (3.10.14) випливає, що фактор нахилу 1K має розмірність оберененої довжини ]/[1][ LK = , а його модуль обернено пропорційний довжині хвилі λ ,

λ/11 =K .

Користуючись розбиттям сферичного хвильового фронту точкового джерела на зони Френеля можна зразу пояснити осциляції інтенсивності в точці Р при зміні розмірів круглого отвору в непрозорому екрані розміщеному між джерелом L та точкою спостереження P. Якщо в отворі вміщується парна кількість зон Френеля, то в центрі дифракційної картини маємо мінімум освітленості, оскільки дія пари сусідніх зон майже повністю компенсується. Якщо в отворі вміщується непарна кількість зон Френеля, то в центрі дифракційної картини маємо максимум, оскільки дія однієї зони завжди залишається нескомпенсованою. Кількість зон, що вміщуються в отворі можна змінювати за рахунок зміни розмірів самого отвору, що технічно досить складно, або за рахунок переміщення екрану з отвором фіксованого розміру вздовж прямої LP (при цьому змінюється співвідношення між r i b, яке визначає розмір зон на хвильовому фронті, який торкається краю отвору). Останній спосіб використовувався в лекційному експерименті.

На практиці зручно користуватися векторними діаграмами, за яким можна визначити амплітуду в точці спостереження. Їх можна побудувати так. Хвильовий фронт поділяємо на кільцеві підзони. Внесок кожної з них в амплітуду в точці спостереження зображаємо вектором Ad

r, модуль якого

пропорційний модулю амплітуди, а кут, який він утворює з деяким напрямом (наприклад з віссю ОХ) дорівнює різниці фаз між цим внеском і внеском з точки С хвильового фронту, що лежить на прямій LP. Коли фаза змінюється на π , це означає, що ми досягли границі першої зони і т.д. Якщо перейдемо до граничного випадку нескінченної кількості підзон, то в результаті отримаємо векторну діаграму, що являє собою плоску спіраль, оскільки коефіцієнт нахилу ( )χK монотонно зменшується при віддаленні від осі LP. На наведеній діаграмі показано )(1 pA - внесок першої зони (вектор вгору), )(2 pA - протилежний йому за знаком внесок другої зони (вектор униз), )( pA - внесок повністю відкритого фронту, який зображено

вектором, що з’єднує початок діаграми з її полюсом (вектор вгору). Зразу видно, що внесок першої зони вдвічі більший за внесок повністю відкритого фронту.

За допомогою такої діаграми зручно розв’язувати практичні задачі дифракції, зокрема легко показати, що в центрі геометричної тіні від круглого диску, розміщеного на осі LP завжди буде світла пляма ( так звана пляма Пуассона).

Пляма Пуассона.

З векторної діаграми видно, що початок вектора, який описує дію відкритої частини хвильового фронту в центрі геометричної тіні від круглого диску при збільшенні діаметра



7

диску рухається по спіралі і завжди направлений до центру спіралі. Це означає, що в центрі геометричної тіні від круглого диску, розміщеного на осі LP завжди буде світла пляма, освітленість якої буде монотонно зменшуватись із збільшенням діаметра диска. Існування світлої плями в центрі геометричної тіні від круглого диску передбачив Пуасон, користуючись методом Френеля, і висунув цей наслідок теорії Френеля як аргумент проти неї, оскільки на його думку це суперечило досліду. Араго виконав відповідний експеримент, що підвердив існування плями, а тим самим і справедливість теорії Френеля.

Між іншим, ця подія практично поклала край тривалій суперечці між прибічниками корпускулярної та хвильової теорії світла на користь останніх. Зонна пластинка. Зонна пластинка – це пристрій, за допомогою якого можна затулити всі парні (або всі непарні) зони Френеля для певної точки спостереження. Легко зрозуміти, що в цьому випадку всі внески в амплітуду в точці спостереження від усіх відкритих зон будуть приходити в одній фазі (це видно як з виразу (3.10.8), де всі ступені (-1) будуть парними або непарними, так і з векторної діаграми, оскільки всі вектори-внески парних, або непарних зон однаково направлені. Зонна пластинка діє як тонка лінза: вона може фокусувати колімований пучок (плоску хвилю), давати зображення тощо. Зонну пластинку звичайно виготовляють фотографічним способом. Для цього фотографують намальований на папері рисунок чорних та білих кілець, радіуси яких jR змінються за законом (3.10.4), і отримують зменшений відбиток на фотоплатівці або на фотоплівці. З (3.10.4) легко отримати формулу, яка зв’язує положення точки предмета (джерела) і точки зображення.

λbr

brjR j +=

0

0 → 20

11

jRj

brλ

=+ , (3.10.15)

Аналогія між дією лінзи та дією зонної пластинки стає більш наочною, якщо ввести

позначення λj

Rf ij

2

= . Тоді формулу (3.10.15) можна переписати як

jfbr111

0

=+ , (3.10.16)

а величину jf тлумачити як фокусну віддаль зонної пластинки. Цікаво, що зонній пластинці притаманні аберації подібні до аберацій звичайної лінзи.

Поряд з такою амплітудною зонною пластинкою, відома також фазова зонна пластинка, яка повністю прозора, але вносить різницю фаз π між хвилями, що проходять через сусідні зони. Вона пропускає вдвічі більше світла і в, принципі, може замінити звичайну лінзу, основною перевагою перед якою буде мала товщина і відповідно менша маса. Із фазовою зонною пластинкою часто плутають так звану лінзу Френеля, оскільки обидва пристрої являють собою прозорі пластини на поверхні яких можна бачити більш менш виражений рельєф у вигляді концентричних кілець. Така лінза була запропонована Френелем саме для зменшення маси і товщини порівняно із звичайною лінзою такого ж діаметру і з такою ж оптичною силою. Ідея полягає в тому, що звичайну лінзу (для простоти плоско-опуклу) можна розрізати площинами, перпендикулярними її осі на круглі шайби однакової товщини (нехай d), з яких центральна буде являти собою маленьку плоско-опуклу лінзу того ж самого радіусу, що і вихідна лінза, але значно меншої товщини, а інші будуть мати бічну поверхню у вигляді кільцевих сегментів сферичної поверхні вихідної лінзи. Видаляючи внутрішню частину цих шайб, тобто круглі плоскопаралельні пластинки з радіусом, що дорівнює радіусу меншої з двох плоских поверхонь такої шайби, отримаємо кільця, кожне з яких має одну плоску



8поверхню перпендикулярну осі, а одну сферичну, радіус якої є радіусом поверхні вихідної лінзи. Якщо відполірувати плоскі ділянки кілець і привести їх всі в одну площину разом із плоскою поверхнею центрального сегменту, то отримаємо багатоелементну лінзу товщиною d того ж самого діаметра і з тією ж оптичною силою, що і вихідна лінза. Дифракція на прямолінійному краї непрозорого екрану

На початку цього розділу ми відзначали, що часто поблизу очікуваної границі геометричної тіні спостерігаються світлі і темні смуги, які нагадують смуги, бачені нами при дослідженні інтерференції. Такі смуги досить просто спостерігати поблизу границі геометричної тіні від прямолінійного краю тонкого непрозорого екрану. Для цього треба забезпечити малі розміри джерела і достатню якість краю. Нове лезо бритви забезпечує задовільну якість дифракційної картини, розподіл освітленості в якій на екрані для спостереження, де знаходиться точка спостереження Р, схематично показано на Рис.

Основні характерні риси дифракційної картини від прямолінійного краю непрозорого екрану такі:

1. Біля границі геометричної тіні спостерігаються світлі і темні смуги паралельні краю екрана, причому найближча до екрана світла смуга має освітленість вищу за освітленість на значній відстані від екрану, видність наступних смуг швидко зменшується при віддаленні від краю екрана: звичайно можна спостерігати не більше десятка смуг;

2. Освітленість на самій границі геометричної тіні становить 0,25 від освітленості на значній відстані від екрану, тобто там де спостерігається дія практично повністю відкритого хвильового фронту;

3. Освітленість плавно спадає в область геометричної тіні.

Осциляції освітленості поблизу границі геометричної тіні є, безперечно, найбільш яскравою рисою дифракційної картини на прямолінійному краї непрозорого екрану. Якісно їх виникнення можна пояснити за допомогою зон Френеля2. Якщо точка спостереження Р знаходиться на границі геометричної тіні, то з неї видно лише половину хвильового фронту (кожна зона Френеля справляє лише половину своєї дії). Отже амплітуда світлового збурення в цій точці дорівнює половині збурення від всього хвильового фронту, а освітленість в цій точці – дорівнює 0.25 освітленості при повністю відкритому хвильовому фронті. При віддаленні точки спостереження від краю геометричної тіні зони Френеля поступово повністю відкриваються, починаючи з першої (центральної). З повним відкриттям першої зони можна пов’язати виникнення першої найяскравішої смуги. Оскільки внесок першої зони в амплітуду вдвічі перевищує внесок повністю відкритого фронту, то можна очікувати, що освітленість першої смуги буде перевищувати освітленість, яку дає повністю відкритий хвильовий фронт (звичайно дія першої зони значною мірою компенсується дією відкритих части інших зон). Відкриття двох перших зон, дія яких майже повністю взаємно освітленості компенсується, призводить до зменшення освітленості до рівня меншого за освітленість при повністю

2 Саме концентричних зон Френеля, а не лунок, або «полосатых зон Френеля», які деякі автори використовують для «пояснення» і навіть для побудови спіралі Корню (див. нижче). Останні елементарно суперечать фундаментальній аксіальній симетрії задачі про визначення дії різних ділянок сферичного хвильового фронту в точці спостереження. Вісь симетрії при цьому проходить через точкове джерело і точку спостереження.



9

відкритому хвильовому фронті – маємо першу темну смугу. Легко помітити, що кожне повне відкриття наступної зони Френеля супроводжується все меншим відносним збільшенням її внеску, що пояснює зменшення перепадів освітленості і погіршення видності смуг при віддаленні від краю екрана. Монотонне спадання освітленості при заглибленні в область геометричної тіні не може бути пояснено в наближенні зон Френеля. Кількісний опис явищ дифракції становить значні математичні труднощі й завжди є наближеним.

Задовільний кількісний опис дифракції на прямолінійному краї непрозорого екрану було дано Френелем. Ми тут відтворимо лише деякі моменти його розгляду. Френель виходив з загального дифракційного інтегралу і при деяких наближеннях виразив його через введені ним інтеграли Френеля. В термінах інтегралів Френеля розв’язок задачі виглядає наступним чином.

Комплексна амплітуда в точці спостереження Р завжди може бути подана у вигляді )()( iSCBPA += ,

а відповідна інтенсивність як )()( 222 SCBPI += ,

де

⎭⎬⎫⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎩⎨⎧

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += )(

21)(

21 WSWCbC FF ,

⎭⎬⎫⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎩⎨⎧

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += )(

21)(

21 WSWCbS FF

В цих виразах

ττπ dWCW

F ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0

2

2cos)( та ττπ dWS

W

F ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0

2

2sin)( - це інтеграли Френеля, величина яких

визначається їх змінною верхньою межею δλ

cos112

00

xba

W ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= , яка залежить від

координати x точки спостереження Р, яку відраховують від початку, що лежить на границі геометричної тіні. В області поза геометричною тінню 0>x , а в області тіні 0<x . Відповідний знак має і зміннаW .

При прямуванні W до нескінченності інтеграли Френеля прямують до величини 21 :

( ) ( )21

=∞=∞ PP SC .

Остаточно, для інтенсивності в точці спостереження Р

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +==

22

0 )(21)(

21

21)()( WSWCIWIPI FFP

де 200

222

0 )(4

baA

bBI+

==

Цей результат можна унаочнити за допомогою спіралі Корню, оскільки квадрат відстані від точки спіралі з параметром W до полюса спіралі Р– (– 0,5, – 0,5) можна подати так

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

22

0 21)(

21)(2 WSWC

II

FF .



10

Амплітуда повністю відкритого хвильового фронту дорівнює відстані між полюсами (вектор +−PP ): при цьому 0II = .

На границі геометричної тіні маємо 041 II = .

Якщо точка спостереження знаходиться в освітленій області, то амплітуда світлового збурення в ній визначається вектором А1. При віддаленні від границі геометричної тіні довжина його зростає і досягає максимального значення АМАХ, яке перевищує амплітуду при повністю відкритому хвильовому фронті, що відповідає першій світлій смузі. Після проходження цієї точки довжина вектора зменшується, потім знову збільшується і продовжує осцилювати по мірі наближення кінця вектора А1 до полюса +P : маємо загасаючі коливання інтенсивності при віддаленні від краю екрана. На великій відстані від екрана маємо інтенсивність І0 (як без екрана).

При заглибленні в область геометричної тіні довжина вектора А2 монотонно зменшується, чому відповідає плавне зменшення інтенсивності.



1

Дифракційна формула Френеля-Кірхгофа

Кірхгоф надав строге математичне обґрунтування принципу Гюйгенса – Френеля для скалярних хвиль. Результатом є так звана дифракційна формула Френеля-Кірхгофа (або дифракційний інтеграл Френеля-Кірхгофа)

[ ]∫∫ −−=+

S

rrik

P dSrnrnrr

eiAA ),cos(),cos(2 0

0

)( 0 rrrr

λ, (11.1)

відповідно до якої, комплексна амплітуда PA в точці спостереження Р є сумою комплексних амплітуд від вторинних джерел розміщених на деякій незамкненій поверхні S, границі якої співпадають з краєм отвору в непрозорому екрані. Як і раніше, вважається, що світлове збурення в отворі створюється точковим джерелом Р0. Отже інтегрування виконується по поверхні S, причому внесок елемента площі dS в амплітуду в точці Р залежить від кутів між вектором нормалі nr та векторами 0r

r та rr 1.

Відзначимо, що дифракційна формула Френеля-Кірхгофа симетрична щодо перестановки джерела світла і точки спостереження ( 0r

r та rr входять у формулу однаковим чином). Це означає, що точкове джерело, вміщене в точку Р0, справляє в точці Р таку саму дію, яку б справляло в точці Р0, джерело такої ж інтенсивності, вміщене в точку Р. Як поверхню інтегрування S можна взяти і частину сферичного хвильового фронту, який приблизно заповнює отвір2. Для останнього випадку 0, 0 =rn rr , отже 1),cos( 0 =rn rr . Окрім того, покладемо ),( 0 rr rr

∠−= πχ .

Тоді формула запропонована Кірхгофом переходить у формулу, подібну до формули Френеля,

[ ]∫∫ +−=S

krikr

P dSr

er

eiAA χλ

cos12 0

0

. (11.2)

Із порівняння формул (11.1) та (11.2) знаходимо для коефіцієнта нахилу )(χK , який було введено в теорії Френеля, вираз

)cos1(2

)( χλ

χ +−=iK . (11.3)

Для центральної зони 0=χ і λiKK −== )0(1 .

Це співпадає з результатом дії центральної зони, який дає теорія Френеля.

1 Відзначимо, що дифракційна формула Френеля-Кірхгофа симетрична щодо перестановки джерела світла і точки спостереження ( 0r

r та rr входять у формулу однаковим чином). Це означає, що точкове

джерело, вміщене в точку Р0, справляє в точці Р таку саму дію, яку б справляло в точці Р0, джерело такої ж інтенсивності, вміщене в точку Р. Цей висновок іноді називають теоремою взаємності Гельмгольца. 2 Точніше треба взяти як частину сферичного хвильового фронту, що заповнює отвір, так і частину конічної поверхні з вершиною в точці Р0, яка з’єднує край отвору зі згаданим сферичним хвильовим фронтом на тих ділянках, де сам цей фронт не торкається країв отвору. При великих радіусах кривини фронту внеском цієї частини конічної поверхні можна знехтувати.



2

Отже, якщо позначити )()cos1(2

χχλ

Ki=+− , то маємо формулу Френеля, але різниця між

цими формулами полягає в тому, що за Френелем 02

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛πK , а за Кірхгофом 0)( =πK .

З попереднього також можна зробити висновок про розподіл світла, що зазнало дифракції на комплементарних екранах, тобто таких, що доповнюють один одного, а саме, отвори одного точно співпадають з непрозорими частинами іншого: розміщені відповідним чином, вони утворюють суцільний непрозорий екран. Це так званий принцип Бабіне, який можна записати у вигляді ,21 AAA =+ де 1A і 2A - амплітуди в точці спостереження при наявності одного з екранів, а A - амплітуда при їх відсутності (при повністю відкритому хвильовому фронті).

Класифікація дифракційних картин: дифракція Френеля та дифракція Фраунгофера Характер дифракційних явищ залежить не лише від розмірів перешкоди і від довжини хвилі світла їх співвідношення, але й від відстаней від перешкоди до джерела і до точки спостереження. Виявляється, що характер дифракційної картини визначається кількістю зон Френеля N, які при спостереженні припадають на границі перешкоди (відкриваються отвором в екрані, як в нашому випадку, або затуляються перешкодою). В цьому легко переконатися під час лекційної демонстрації, коли спостерігаємо дифракційну картину від вузького прямокутного отвору (щілини), освітленого лазерним світлом, на різних відстанях від цього отвору (Див. Рис. 11.1). Коли рухаємо білий екран, на якому спостерігаємо дифракційну картину, то змінюємо положення точки спостереження: 21 PPP →→ . Прийнято розрізняти дифракцію Френеля та дифракцію Фраунгофера. На малих віддалях від щілини (точка P ) на екрані бачимо вузьку освітлену смужку, що повторює форму щілини відповідно до законів геометричної оптики без ознак дифракції.

Наближення геометричної оптики, 1>>N (для точки спостереження відкрито або затулено дуже багато зон)

Наближення Френеля, 1≈N (для точки спостереження відкрито або затулено невелику кількість зон, в тому числі значну частину першої зони).

Наближення Фраунгофера, 1<<N (для точки спостереження відкрито або затулено малу частину першої зони)

Рис. 11.1 При віддаленні екрана від перешкоди на краях геометричної тіні з’являються дифракційні смуги, які потім розповсюджуються аж до центру дифракційної картини (точка Р1). При цьому дифракційна картина зберігає подібність до отвору, на якому відбувається дифракція: освітлена смужка видовжена в тому ж напрямку, що і щілина, а при зменшенні ширини щілини зменшується і ширина цієї смужки. Така поведінка дифракційної картини відповідає випадку



3

дифракції Френеля, коли для точки спостереження відкрито невелику кількість зон, в тому числі значну частину першої зони. Подальше віддалення екрана від перешкоди (точка Р2) призводить до радикальної зміни дифракційної картини: подібність до отвору, на якому відбувається дифракція, втрачається, а при зменшенні ширини щілини ширина картини зростає і на екрані бачимо смужку, видовжену в напрямі, перпендикулярному до щілини. Така поведінка дифракційної картини відповідає випадку дифракції Фраунгофера, коли для точки спостереження відкрито малу частину першої зони. Повернемось до дифракційного інтеграла Френеля-Кірхгофа (11.1). Виходячи з його властивостей зробимо декілька припущень і наближень, які відповідають більшості практично важливих задач. На Рис. 11.2 показано непрозорий екран з отвором. Введемо декартову систему координат з початком О в деякій точці отвору та осями Ох та Оу, що лежать в площині екрану. Вісь Оz при цьому перпендикулярна до площини екрана. Ясно, що в загальному випадку при інтегруванні по відкритій частині хвильового фронту величина rr +0 буде змінюватись на багато довжин хвиль, що спричинить швидкі осциляції множника )](exp[( 0 rrik + . У той же час, якщо відстані від екрана до точок Р0 та Р великі порівняно з розмірами отвору, то множник [ ]),cos(),cos( 0 rnrn rrrr

− при інтегруванні в межах отвору змінюється мало. Рис. 11.2 Якщо додатково припустити, що кути, утворені відрізками Р0О та РО із прямою Р0Р, не дуже великі [ 1),( δ=∠ rn rr , 20 ),( δπ −=∠ rn rr ], то можна цей множник подати так

[ ] =− ),cos(),cos( 0 rnrn rrrr≈

+≈

+−=+

2cos2

2cos

2cos2coscos 121212

21δδδδδδδδ δcos2

замінити на δcos2 , де δ є кут між прямою Р0Р та віссю Оz [ 2/)( 21 δδδ += ]. Нарешті, можна

замінити множникrr0

1 на 00

1ba

і винести останній з під знаку інтеграла ( 0a та 0b - довжини

відрізків Р0О та РО). Тепер можна записати амплітуду в точці спостереження Р у вигляді

dSeba

AA

S

rrikiP ∫∫ += )(

00

0cosδ

λ. (11.4)

Обчислимо величину rr +0 , що стоїть у фазовому множнику. Координати відповідних точок кінців відрізків 0r та r є

),,( 0000 zyxP , ),,( zyxP , )0,,( ηξQ , а самі довжини відрізків

20

20

20

20 )()ξ-( zyxr +−+= η

2222 )()ξ-( zyxr +−+= η 20

20

20

20 zyxa ++= ;



42222

0 zyxb ++= ; причому 0,, rr<<ξη .

2200

20

20

20

20 )(2 ηξηξ +++−++= yxzyxr 22

0020 )(2 ηξηξ +++−= yxa

2220

222222 )(2)(2 ηξηξηξηξ +++−=+++−++= yxbyxzyxr ; Ми розглядаємо не дуже великі отвори в екрані, і при великих віддалях точок PP ,0 , так що

rr ,, 0<<ηξ , а отже і ba ,, 0<<ηξ (параксіальне наближення ). В цьому наближенні

[ ] ≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

+−=+++−=

21

20

22

20

000

2122

00200

)(21)(2aa

yxayxar ηξηξηξηξ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−

++

+−≈ L4

0

200

20

22

20

000 2

)(2

1a

yxaa

yxa ηξηξηξ (11.5)

При наближеному обчисленні кореня з точністю до 2x було використано формули

L+−

++=+ 2

!2)1(1)1( xnnnxx n

L+−+=+ 221

81

211)1( xxx

Аналогічно можна отримати

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−

++

+−≈ L4

0

2

20

22

20

0 2)(

21

byx

bbyxbr ηξηξηξ (11.6)

Підставимо отримані значення r і 0r у вираз (11.4)

dSbyx

ayx

babyx

ayxik

baeAiA

S

baik

P

∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

+−

++

++

+−

+−×

×−=+

30

2

30

200

0

22

0

22

00

00

00

)(

2)(

2)(

22expcos

00

ηξηξηξηξηξηξδ

λ (11.7)

де ηξdddS = . Вираз (11.17) для амплітуди PA в точці спостереження P можна подати у вигляді

ηξδλ

ηξ ddeba

eAiA ikfbaik

P ∫∫+

−= ),(

00

)(

cos00

, (11.8)

де

30

2

30

200

0

22

0

22

00

00

2)(

2)(

22),(

byx

ayx

babyx

ayxf ηξηξηξηξηξηξηξ +

−+

−+

++

++

−+

−= . (11.9)

Якщо знехтувати квадратичними по координатам ηξ , доданками у фазі (так зване наближення Фраунгофера), то

00

00),(b

yxa

yxf ηξηξηξ +

−+

−≈ . (11.10)

У цьому наближенні ми нехтуємо сферичністю фронтів падаючої на отвір хвилі і вторинних хвиль. Це наближення відповідає параксіальному наближенні променевої оптики. Тому іноді говорять, що дифракція Фраунгофера – це дифракція в параксіальному наближенні. Це повністю узгоджується з класифікацією, наведеною на Рис. 1.11: в малу частину центральної зони Френеля поблизу прямої PP0 можна вважати плоскою, і тоді набіг фази при віддаленні точки Q від прямої PP0 буде лінійним по зміщенню з осі. У граничному випадку, коли точкове джерело прямої 0P і точка спостереження прямої P віддаляються на нескінченні



5

віддалі від екрану з отвором, квадратичні по координатам ηξ , доданки у фазі (11.9) зникають, а у виразі (11.10) знак наближеної рівності «≈» треба замінити на знак «=». Цей випадок відповідає плоским фронтам падаючої на отвір хвилі і вторинних хвиль. Тому часто про дифракцію Фраунгофера говорять як про дифракцію в паралельних променях, хоча саме явище дифракції Фраунгофера може спостерігатися не лише тоді, коли джерело і точка спостереження знаходяться на нескінченності. Для якісного переходу від дифракційної картини типу Френеля до картини типу Фраунгофера достатньо, щоб внесок у фазу ),( ηξf квадратичних по координатам ηξ , доданків був набагато меншим за π2 :

πηξηξηξηξ 22

)(2

)(22 3

0

2

30

200

0

22

0

22

<<⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

+−

++

+byx

ayx

bak (11.11)

У випадках, коли умова (11.11) не виконується, маємо дифракцію Френеля. Тоді ми не зможемо знехтувати квадратичними доданками, що відповідає випадку, коли в отворі вміщується значна частина центральної зони Френеля або одиниці і десятки зон Френеля, внесок яких у фазу не лиши порівняний з π2 , а може й набагато перевищувати його. пучками Ясно, що обчислення інтегралу у випадку наближення Фраунгофера набагато простіше. На щастя, дифракція Фраунгофера відіграє більш важливу роль в оптиці, зокрема в теорії оптичних приладів, ніж дифракція Френеля. Дифракція Фраунгофера на прямокутному отворі Розглянемо дифракцію Фраунгофера на прямокутному отворі з розмірами сторін ba, (Рис. 11.3). Нехай 0=δ . Тоді (11.8) можна переписати у вигляді

ηξηξ ηξ ddeFAA ikfP ∫= ),(

0 ),( , (11.12)

де через 0A позначено амплітудний множник, що стоїть перед інтегралом. Вираз (11.10) зручно подати у вигляді Рис. 11.3

)()sin(sin)sin(sin),(00

00 ηξηθϕξθϕηξηξηξ qpb

yxa

yxf yyxx +−=−−−−=+

−+

−= , (11.13)

де введено позначення

xax

θsin0

0 =− , yay

θsin0

0 =− ,

xbx ϕsin0

= , yby ϕsin0

= ;

)sin(sin00

0xxb

xaxp θϕ −=−= ;

)sin(sin00

0yyb

yayq θϕ −=−= . Рис. 11.4

Із врахуванням (11.13) формулу (11.12) для амплітуди в точці спостереження P можна подати у вигляді

( )∫ +−= ηξ),( ηξ0 ddeAqpA qpik

P , (11.14)

де інтеграл береться по площі прямокутного отвору. Його можна подати як добуток інтегралів по кожній з незалежних змінних ηξ , :



6

=),( qpAP =∫ ∫− −

−−2/

2/

2/

2/

ηξ0 ηξ

a

a

b

b

ikqikp dedeA

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

×⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

×=ikq

bikqbikq

ikp

aikpaikpA 2

exp2

exp2

exp2

exp0

2

2sin

2

2sin

0 bkq

bkq

akp

akpabA

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

× .

Розподіл інтенсивності за напрямками при дифракції на прямокутному отворі: 22

0

2

2sin

2

2sin

),(⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

×

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= bkq

bkq

akp

akpIqpI P . (11.15)

Маємо два однакових за формою множники, що описують дифракцію по двом взаємно ортогональним напрямкам. Проаналізуємо для якогось одного напрямку, наприклад, для Oy (множник, що містить b ).

Головний максимум завжди буде при 02=

bkq , тобто при умові

( ) 02

θsinsinλπ2

=−b

yyϕ , (11.16)

звідки yy θ=ϕ , тобто головний максимум спостерігається в напрямку пучка, що падає на отвір. Умова мінімумів:

mbkq π=2

⇒ mbq πλπ

=2

2 ⇒ mqb λ= ,

звідки

bmq λ

min = ⇒ ( ) mbyy π

2θsinsin

λπ2

=−ϕ ; (11.17)

2 ,1 ,0 ±±=m Кут yϕ називають кутом дифракції. Розглянемо випадок нормального падіння світла, 0θy = . Рис. 11.5 Тоді умова мінімумів:

mb y λsin =ϕ , (11.18) звідки напрямок на перший мінімум

bλsin =ϕ (11.19)

Якщо збільшуємо b , то точка bλ йде вліво (Рис. 11.5) – центральний дифракційний максимум звужується. Рис. 11.6

Отже при дифракції на прямокутному отворі маємо однаковий за виглядом розподіл інтенсивності по двом ортогональним напрямкам, положення мінімумів і максимумів в якому залежить від розміру отвору у відповідному напрямку (Рис. 11.6).

Зокрема, коли ∞→a , то приходимо до дифракції на щілині:



7

2

0

2

2sin

)(⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= bkq

bkqIqIP (11.20)

У практично найбільш поширеному випадку нормального падіння світла ( 0θ = )

ϕϕ sinλπ

2sin

λπ2

2bbbkq == , де індекс y опущено, оскільки відхилення світла відбувається

лише в одному, перпендикулярному до щілини напрямку. Формулу (11.20) можна переписати у вигляді, що дає явну залежність інтенсивності від кута дифракції ϕ ,

2

0

sinλπ

sinλπsin

)(⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=ϕ

ϕϕ

b

bII P . (11.21)

Умова мінімумів при цьому mb λsin =ϕ , (11.22)

звідки напрямок на перший мінімум

bλsin =ϕ (11.23) Рис. 11.7

Дифракція Фраунгофера на круглому отворі

Розглянемо дифракцію Фраунгофера на круглому отворі радіуса R . Ця задача має аксіальну симетрію і для того, щоб обчислити інтеграл

( )∫ +−= ηξ),( ηξ0 ddeAqpA qpik

P (11.20) по ділянці хвильового фронту, обмеженій колом радіуса R , зручно користуватися полярними координатами ηϕρξϕρ == sin,cos . У результаті можна отримати формулу

( )2

10

2

s)s(2)(

ϕϕϕϕ

inkRinkRJIAI PP == , (11.24)

де )(1 xJ - функція Беселя першого порядку. Кутовий радіус темних кілець (нулів функції Беселя):

Rm

mλ

2161,0 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+≈ϕ , (11.25)

де R – радіус отвору. Рис. 11.8 Для першого темного кільця

Dλ1,22=ϕ , (11.26)

де D – діаметр отвору. Кут ϕ приймають за міру розбіжності пучка, що пройшов через круглий отвір діаметру D .

0,0

0,5

1,0

4b/λ3b/λ2b/λb/λ

I/I0

sinϕ



8

Дифракційна ґратка Існує ряд практично важливих випадків дифракції Фраунгофера, коли необхідно розрахувати дифракційну картину, якщо в отворі розміщено якійсь транспарант, що призводить до просторової модуляції амплітуди вторинних хвиль, які формують дифракційну картину.

У таких випадках для кількісного опису цієї просторової модуляції вводять так звану функцію зіниці ),( ηξF , означення якої безпосередньо випливає з рівності

),(),(),( 0 ηξηξηξ AFA = , (11.27)

що пов’язує комплексну амплітуду безпосередньо за отвором ),( ηξA з комплексною амплітудою ),(0 ηξA безпосередньо перед отвором. (Рис. 11.9) . У загаль-ному випадку функція зіниці ),( ηξF є комплексна. Її модуль визначає зміну модуля амплітуди світла при проходженні ділянки зіниці поблизу точки з координатами ),( ηξ , а її фаза визначає набіг фази для світлової хвилі, що пройде через цю ділянку3. Ми надалі будемо вважати, що constAA == 00 ),( ηξ . Тоді

( ) ( ) ( ) ηξη,ξ, ηξ0 ddeFAqpA qpik

P+−∫= (11.28)

Рис. 11.9 З цієї формули видно, що комплексна амплітуда при дифракції Фраунгофера (іноді кажуть амплітуда в дальній зоні) визначається двовимірним Фур’є-перетворенням функції зіниці ),( ηξF . Важливим випадком дифракції Фраунгофера є дифракція на так званих дифракційних ґратках, які використовуються, зокрема, як дисперсійні елементи в спектральних приладах з просторовим розділенням. Ми розглянемо дифракцію як на амплітудних та і на фазових ґратках.

Синусоїдальна ґратка.

Ми спочатку розглянемо так звану синусоїдальну амплітудну ґратку, тобто ґратку з одноперіодичним гармонійним пропусканням. Нехай в прямокутному отворі з розмірами сторін λ>>Ba, розміщено транспарант, пропускання якого не залежить від координати η , але гармонійно залежить від координати ς . Тоді функція зіниці

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

− ξπ2ξπ2

00 ε411ξπ2cosε

211ξη,ξ d

id

ieeT

dTTF , (11.29)

тобто пропускання ( )ξT не залежить від q (одновимірна періодична структура), причому глибину модуляції обирають 1ε < , а величину постійної складової амплітудного коефіцієнта пропускання (середню величину пропускання амплітуди ) 5,00 <T . Тоді величина пропускання амплітуди в будь-якій точці отвору буде лежати у фізично розумних межах між 0 та 1, ( ) 10ξ ≤<= TT .

Після підстановки виразу (11.26) в інтеграл (11.25) отримаємо

( ) ( ) ( ) ξε411η ηξη,ξ, ξ

2/

2/

ξπ2ξπ2

0

2/

2/

η0

ηξ0 deeeTdeAddeFAqpA ikp

a

a

di

diB

B

ikqqpikP

−

−

−

−

−+− ∫∫∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++×== , (11.30)

3 Варто звернути увагу на аналогію з комлексними коефіцієнтами передачі, що використовується при описі проходження сигналів через чотириполюсники в радіоелектроніці.



9

який можна подати у вигляді трьох доданків

ξ4εξ

4εξ)1()1()0()( ξ

2/

2/

ξπ2

0ξ

2/

2/

ξπ2

0

2/

2/

ξ0 deeTAdeeTAdeTAAAApA ikp

a

a

di

Bikp

a

a

di

B

a

a

ikpBP

−

−

−−

−−

− ∫∫∫ ++=−++= ,(11.31)

де позначено

∫−

−=2/

2/

η0 η

B

B

ikqB deAA . (11.32)

Розглянемо кожний доданок окремо.

Амплітуда першого доданку

22ξ)0(

22

0

2/

2/

ξ0 ikpa

eeaTAdeTAA

ikpaikpa

B

a

a

ikpB

−

−==

−

−

−∫ , (11.33)

звідки

2

0

2

2sin

)0( akp

akpII = . (11.34)

Для І(0) маємо головний максимум при 0=p ⇒ 0θsinsin =− xxϕ ⇒ ϕ=θ , тобто світло проходить через

щілину не відхиляючись (Рис. 11.10). Амплітуда другого доданку Рис. 11.10

2π224

εξ4ε)1(

2π2

2π2

00

2/

2/

)ξ-π2(

0 akpd

i

eeabTAdeTAA

akpd

iakpd

ia

a

kpd

i

B

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−×=∫=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− ,

(11.35)

звідки

2

02

2π2

2π2sin

ε)1(akp

d

akpdII

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

′= . (11.36)

Аналогічно, для третього доданку 2

02

2π2

2π2sin

ε)1(akp

d

akpdII

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

′=− . (11.37)

Умова максимуму для І(1) є

02

π2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

akpd

, (11.38)



10

звідки ( ) 0θsinsinπ2=−− xxk

dϕ ⇒ λθ)sin(sin )1( =−ϕd ,

або λθ)sin(sin )1( =−ϕd (11.39)

При нормальному падінні 0θ = маємо λsin )1( =ϕd . (11.40)

Аналогічно, для І(-1) умова максимуму нормальному падінні λsin )1( −=−ϕd (11.41)

Отже маємо три максимуми (Рис.11.11): • нульовий (недифраговане світло); • два бокових.

Із зростанням глибини модуляції ε , потужність бокових максимумів зростає. Коли 0ε = , то вони відсутні. Синусоїдальну ґратку можна одержати так: при інтерференції двох паралельних пучків (плоских хвиль) отримаємо синусоїдальний розподіл освітленості на фотопластинці, сфотографуємо та проявимо, так щоб амплітудне пропускання T було в кожній точці фотопластинки було пропорційне освітленості цієї точки при експонуванні, тобто пропорційне інтенсивності при двопучковії інтерференції (інтерференції двох плоских хвиль). Зміною кута сходження пучків α та довжини хвилі λ можна отримати бажаний період αλ /=d , який є не чим іншим, як шириною інтерференційних смуг. Рис.11.11

Отримані таким способом ґратки називають голографічними. Ґратка з прямокутним профілем пропускання.

Розглянемо амплітудну ґратку, подібну до розглянутої вище ( λ>>Ba, ), але з прямокутним профілем пропускання, як показано на Рис.11.12а. Рис.11.12а → Застосуємо два різні підходи до аналізу її дії.

1. Оскільки функція зіниці ( )ζT періодична, то за теоремою Фур’є її можемо подати у вигляді суперпозиції амплітудних синусоїдальних ґраток з кратними періодами (Рис.11.12б) Рис.11.12б →

( ) ∑∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

0ζ2expζ

mm m

diTT π . (11.42)

Тоді картину дифракції на такий ґратці можна розглядати як суму картин дифракції на кожній із цих синусоїдальних граток, періоди яких

...,,, 321 ddd послідовно зменшуються в ціле число разів порівняно з основним періодом d



11

λsin =ϕd , λsin2

=ϕd , λsin3

=ϕd , ....

причому нульові порядки ( 0=m ) для всіх дифракційних картин співпадають (Рис.11.13).

Рис.11.13

2. Знайдемо розподіл амплітуди в дифракційній картині безпосередньо за формулою

( ) ( ) ( ) ηξη,ξ, ηξ0 ddeFAqpA qpik

P+−∫=

поклавши ( ) ( )ζη,ξ TF = , де

( ) ( )ndTT += ζζ , ...3,2,1=n (11.43)

є функція періодична в напрямку ζ :

( ) ( ) ( ) ηξζ, ηξ0 ddeTAqpA qpik

P+−∫= .

Після інтегрування по η отримаємо

( ) ( ) ( ) ζζζζη,0

ζ0

0

ζ2/

2/

η0 ∫∫∫ −−

−

− ′==a

ikpa

ikpB

B

ikqP deTAdeTdeAqpA , (11.44)

де позначено

∫−

−=′2/

2/

η00 η

B

B

ikq deAA , а ϕsinθsin −=p .

В силу періодичності пропускання (11.43) вираз (11.44) можна подати як суму інтегралів на кожному періоді ґратки

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++++′= ∫∫∫∫

−

Nd

dN

d

d

d

d

d

p AA)1(

3

2

2

00)( ... (11.45)

і з врахуванням співвідношень Nda = , ζζ ′+= dn та d<′< ζ0 , остаточно записати

( ) ∑∫=

−′− =′′′=1-N

0n

ζ

00)( ζζ iknpdikp

d

p edeTAA Σ−

−

=−− AA

eeA pikpd

ikNpd

p )(1

)(1

11

(11.46)

Перший множник у виразі (11.46) описує дифракцію на одному періоді ґратки.

( )∫ ′′′= ′−d

ikpp deTAA

0

ζ0

1)( ζζ . (11.47)

Для амплітудної ґратки з прямокутним профілем пропускання при ширині прозорих проміжків (щілин) b цей перший множник має вигляд

∫ ′′= ′−b

ikpp deAA

0

ζ0

1)( ζ , (11.48)

тобто описує дифракцію Фраунгофера на щілині шириною b , яка була розглянута вище. Отже, для нього можна записати



122

0)1()(

2

2sin

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= bkp

bkpII p . (11.49)

Другий множник ΣA у виразі (11.46) описує не що інше, як багатопучкову інтерференцію N пучків однакової амплітуди, розглянуту раніше (розділ 3.8),

ϕδ

δδ i

i

iNniknpd e

dkp

dkNp

eeeeA −

==

−Σ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−−

=== ∑∑2

sin

2sin

111-N

0n

1-N

0n. (11.50)

Отже, повну інтенсивність для заданого значення p можна подати як )(

)(2)1(

)()( NppP INIpI = , (11.51)

де 2

)()(

2sin

2sin

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=dkpN

dkNpI N

p (11.52)

− нормована інтерференційна функція при багатопучковій інтерференції, яка описує результат інтерференції від N еквідистантних джерел однакової інтенсивності.

Умова головних максимумів для цієї функції є 02

sin =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ dkp . Нагадаємо, що ( )θsinsin −= ϕp .

Отже, умова головних максимумів для такої ґратки є

( ) πϕ md=− θsinsin

2λπ2 або

dmλθsinsin =−ϕ

або

λ)θsin(sin md =−ϕ . (11.53) Величина )θsin(sin −=∆ ϕd − це різниця ходу між так званими відповідними променями, відстань між якими в площині ґратки дорівнює її періоду d . При нормальному падінні ( 0=θ ) умова головних максимумів для дифракційної ґратки є

λsin md =ϕ . (11.54)

Формулу (11.52) для випадку нормального падіння можна подати у вигляді 2

)(

sinλπsin

sinλπsin

)(sin⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=ϕ

ϕϕ

dN

dNI N , (11.55)

а формулу (11.51) для повної інтенсивності дифрагованого в напрямку ϕ світла з врахуванням формул (11.21) і (11.55) можна подати у вигляді



13

22

20

sinλπsin

sinλπsin

sinλπ

sinλπsin

)(⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

dN

dN

b

bNIIP (11.56)

На Рис.11.14 послідовно (зверху донизу) показано третій множник )1(I з (11.56), що описує

кутовий розподіл інтенсивності при дифракції на одній щілині, четвертий множник )(NI , що

описує багатопучкову інтерференцію світла, яке прийшло з N щілин, і їх добуток )()1( NII , який

0 ,0

0 ,5

1 ,0

0 2 b /λb /λ- 2 b /λ -b /λ

I ( 1 )

s in ϕ



14

0 ,0

0 ,5

1 ,0

0 2 b /λb /λ- 2 b /λ -b /λ

I ( 1 0 )

s in ϕ

Рис.11.14. дає кутовий розподіл інтенсивності в дифракційній картині. При побудові графіків прийнято

10=N , ширина щілини 3/db = . Внаслідок цього відсутні головні дифракційні максимуми третього порядку 3±=m , оскільки обвідна )1(I , показана на нижньому рисунку штриховою лінією, має нульове значення при b/sin λϕ = . Графіки на Рис. 11.14 побудовано для однієї довжини хвилі. Для двох довжин хвиль 1λ (показано синім кольором) та 12 15.1 λλ = 1λ (показано червоним) маємо графіки зображені на на Рис. 11.15. Недифраговане світло обох довжин хвиль розповсюджується в одному напрямку 0=ϕ , утворюючи центральний «білий максимум

0 ,0

0 ,5

1 ,0

0 2 b /λb /λ-2 b /λ -b /λ

I ( 1 )I ( 1 0 )

s in ϕ



15

нульового порядку ( 0=m ).

0 ,0

0 ,5

1 ,0

0 2 b /λb /λ-2 b /λ -b /λ

I (1 )I (1 0 )

s in ϕ

Рис. 11.15 Внаслідок, того, що кут дифракції тим більший, чим більша довжина хвилі, кути дифракції для

2λ в одному і тому ж порядку дифракції завжди більші, ніж для 1λ . Це призводить до того, що чим далі від нульового порядку, тим більше розходження для різних довжин хвиль і може статися так, що максимум порядку m для однієї довжини хвилі співпаде з максимумом іншого порядку для іншої довжини хвилі. На Рис. 11.15 максимум 6=m для 2λ практично співпадає з максимумом 7=m для 1λ . Таким чином, Рис. 11.15 показує, що дифракційна ґратка може бути використана для просторового розділення світла різних довжин хвиль (частот), тобто для спектрального аналізу світлових пучків. Для цього можна використовувати головні максимуми будь-якого порядку крім першого. Проте з того ж Рис. 11.15 видно, що інтенсивність цих максимумів значно менша за інтенсивність центрального максимуму 0=m , що призводить до неефективного використання світла при аналізі його частотного спектру. Цей недолік частково усувається в так званих фазових ґратках. Фазова дифракційна ґратка Якщо має місце періодична одновимірна зміна фази, а не амплітуди, то маємо так звану фазову дифракційну ґратку. Наприклад, якщо в межах однієї щілини ширини b фаза змінюється лінійно з координатою ξ , то можна записати:

( )( )⎩

⎨⎧

><=<<⋅

=bTbeT

Ti

ξξξξ

ξ ,0 ,0

0 ,ξ β 0 (11.57)

Нехай 0β kp= . Тоді ( ) ( ) ( )∫∫∫ ==== −−−−

bppik

bikpkpi

bikp deTAdeeTAdeTAA

0

ξ 00

0

ξξ 00

0

ξ0

1 00 ξξξξ



16

( )

( )( )

( )

( ) ( )

( )

( ) 2

0

2

2

000

000

0

ξ

000

000

0

2 2

1

bppik

bppikbppikbppikbppik

ebppik

eebATppik

eTAppik

eTA

−−−−−−−−−

−

−=

−−−

=−−

= . (11.58)

Отже, для множника )1(I знаходимо 2

0

0

0)1(

2)(

2)(sin

ppkb

ppkb

II−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

= . (11.59)

Таким чином, центральний максимум обвідної )1(I буде зміщений від положення 0=p (показана чорною кривою) для звичайної ґратки в положення 0pp = (показана червоною кривою) (див. Рис. 11.16а на наступній сторінці). Цей зсув можна зробити таким, щоб центральний максимум обвідної 1I співпадав з одним із головних максимумів ( =m 1,2, 3...) функції )()( pI N (Рис. 11.16б) і, таким чином, сконцентрувати потужність у спектрі відповідного порядку (на Рис. 11.16г у спектрі 2-го порядку), оскільки )()1( NIII = , (порівняйте два розподіли )()1( NIII = на Рис. 11.16в при положенні обвідної 0=p та на Рис. 11.16г при положенні обвідної 0pp = .

За рахунок цього досягається основна перевага фазових ґраток: краще використання світла за рахунок його концентрації в потрібний порядок. Зазначену вище лінійну зміну фази в межах кожної щілини можна реалізувати розмістивши в кожній щілині скляну призму з невеликим кутом заломлення при вершині. Можна показати, що, наприклад, при нормальному падінні на відбивну ґратку з профілем, показаним нижче,

αϕ sin2sin0 −=− pp , (11.60)

тобто кут дифракції на одному періоді ґратки (напрям центрального максимуму обвідної і, відповідно, напрям концентрації дифрагованого світла) співпадає з напрямом дзеркального відбивання падаючого на похилу відбивну ділянку світла (так званий кут блиску відбивної дифракційної ґратки).

На Рис. 11.16 зверху донизу а, б, в, г.



17

Рис. 11.16 Зверху донизу а, б, в, г.



18

Дифракційна ґратка як дисперсійний елемент для аналізу спектру

Розглянемо дифракційну ґратку, що працює на пропускання. Якщо на таку ґратку направити паралельний пучок променів від щілини, орієнтованої паралельно штрихам гратки (на Рис. 11.17 ширина щілини значно перебільшена), то на екрані у фокальній площині збиральної лінзи, що розміщена безпосередньо за ґраткою, будуть спостерігатися зображення вхідної щілини, утворені паралельними пучками дифрагованого світла різних порядків дифракції. Розподіл інтенсивності на екрані при направленні на вхідну щілину світла двох довжин хвиль 1λ та 12 15.1 λλ = показано на Рис. 11.15 і був докладно обговорений. Рис. 11.17 Отже, дифракційна ґратка забезпечує просторове розділення дифракційних пучків різних частот (довжин хвиль) за рахунок відхилення пучків різних довжин хвиль на різні кути. Таким чином можна дослідити спектр світла, що падає на ґратку. Дифракційна ґратка як дисперсійний елемент характеризується кутовою дисперсією, роздільною здатністю та областю вільної дисперсії. Кутова дисперсія:

За означенням кутова дисперсія для будь-якого спектрального приладу з просторовим (кутовим) розділенням пучків різних частот (довжин хвиль) є

λddD ϕ

ϕ = . (11.61)

Для дифракційної ґратки її можна знайти так: від умови головних максимумів

( ) λθsinsin md =−ϕ

беремо диференціал

λcos mddd =ϕϕ ,

звідки

ϕϕ cosdmD = (11.62)

Залежність ϕD від ϕ при малих кутах дифракції ϕ незначна. Роздільна здатність дифракційної ґратки (resolution) Роздільна здатність (для будь-якого спектрального приладу) за означенням

λλ

d=ℜ , (11.63)

де λ – середня довжина хвилі, для якої визначається роздільна здатність, Рис. 11.18



19

а λd – мінімальний спектральний інтервал між двома монохроматичними монохроматичним компонентами, який може виявити спектральний прилад. Наприклад, на рисунку Рис. 11.18 показано два головні дифракційні максимуми, що відповідають довжинам хвиль λ та λλ d+ . Якщо ми здатні розрізнити ці два максимуми, то кажемо, що спектральні компоненти λ та

λλ d+ є розділеними. Критерій Релея. Релей запропонував ясний фізичний критерій розділення дифраційних максимумів: якщо головний дифракційний максимум для однієї довжини хвилі співпадає з першим мінімумом дифракційної картини від другої довжини хвилі, то такі компоненти вважаються розділеними. Перепишемо формулу (11.63) у вигляді:

ϕϕϕ

ϕD

ddd

dλ

λλ

δλλ

===ℜ

δλ - елементарний приріст довжини хвилі; Рис. 11.19 ϕd - напрям на перший дифракційний мінімум при дифракції Фраугофера на щілині шириною

a′ (це ширина пучка, що пройшов через ґратку в даному напрямі):

ad

′=λϕ .

Тоді

ϕϕ DaDa ′=′=ℜλλ . (11.64)

Відповідно до цієї формули роздільна здатність будь-якого спектрального приладу з просторовим розділенням спектральних компонент пропорційна ширині пучка після дисперсійного елементу і його кутовій дисперсії. Вона і буде нами використана в подальшому не лише для дифракційної ґратки. Рис. 11.20

Якщо a - розмір корисної апертури в площині, в якій здійснюється диисперсія пучків різних часто по кутам (у випадку спектрального приладу з дифракційною ґраткою це розмір заштрихованої частини дифракційної ґратки у напрямку перпендикулярному штрихам), то, як видно з (Рис. 11.20) ϕcosaa =′ . (11.65) Для ґратки, враховуючи (11.65) та вираз для кутової дисперсії (11.62), знайдемо

Nmd

amd

ma ===ℜϕ

ϕcos

cos , де було враховано, що Nda= - кількість штрихів ґратки.

Отже, теоретична роздільна здатність дифракційної ґратки пропорційна кількості штрихів N та порядку дифракційного максимуму m :

Nm=ℜ . (11.66) При практичному застосуванні формули (11.66) треба пам’ятати, що N - це число штрихів, на які падає світло! Необхідно також наголосити, що до застосування критерію Релея не слід підходити догматично. Треба мати на увазі, що реальна роздільна здатність залежить не лише від спектрального приладу, а й від відносної та абсолютної інтенсивності монохроматичних



20

складових, які ми хочемо розділити, а в кінцевому підсумку від так званого співвідношення сигнал/шум. Якщо ми будемо вимірювати розподіл потужності в дифракційному максимумі, щоб встановити наявність «провалу» на його вершині, який свідчив би про наявність двох спектральних компонент , то при слабкому сигналі розкид точок на графіку залежності інтенсивності від довжини хвилі (шум) може бути набагато більший за очікувану величину сигналу (глибину «провалу», що відповідає критерію Релея) і ми не зможемо його помітити. Якщо одна з них набагато переважає за інтенсивністю іншу, то остання просто «загубиться» на в шумах на схилі потужної складової.

Роздільну здатність дифракційної ґратки можна також оцінити й безпосередньо з виразу (11.52)

2

)()(

2sin

2sin

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=dkpN

dkNpI N

p

Умова максимумів πmdkp =2

→ d

mp λ= .

При зміні довжини хвилі λ на величину δλ маємо відповідну зміну p

dmp δλδ =′ .

Умова мінімумів

π2

ndkNp = → Nd

np λ= .

Відстань між головним максимумом та першим мінімумом є Nd

p λδ = .

За критерієм Релея pp δδ =′ , звідки випливає Ndd

m λδλ= , звідки отримуємо вираз

Nmd

==ℜλλ ,

що співпадає з (11.66). Ясно, що для підвищення роздільної здатності порядок дифракції m треба робити якомога більшим. Цього можна досягти збільшенням кута падіння світла на ґратку (Рис. 11.21). Для дифракційної ґратки ( ) λsinsin md =− θϕ , звідки видно, що максимальний порядок головного дифракційного максимуму для даної ґратки і довжини хвилі має місце при 1θsin → та при

1sin →ϕ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=λ

2dm . Рис. 11.21

При нормальному падінні 0sin =θ , λsin md =ϕ і максимальне значення m , що відповідає

максимальному куту дифракції є ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=λdm .

Отже, роздільна здатність при ковзному падінні буде вдвічі більша, ніж при нормальному падінні. Зауважимо, що формулу (11.66) можна переписати для нормального падіння як



21

λλadNNm ===ℜ , а для ковзного як

λa2

=ℜ . Неважко помітити, що в обох формулах у

чисельнику стоїть величина, що дорівнює максимальній різниці ходу max∆ , яка тільки може виникнути між дифрагованими хвилями, що дають дифракційну картину. Це хвилі, що розповсюджуються від крайніх точок ґратки, розділених відстанню a . Тоді для теоретичної роздільної здатності дифракційної ґратки можна записати

λmax∆

=ℜ . (11.67)

де в загальному випадку ( )θϕ sinsinmax −=∆ a .

Таким чином, теоретична роздільна здатність дифракційної ґратки пропорційна максимально можливій різниці ходу max∆ , яка визначається виключно розміром освітленої заштрихованої частини ґратки (її корисною апертурою) і обернено пропорційна довжині хвилі. Чисельно вона дорівнює максимальному порядку інтерференції, який досягається при використанні дифракційної ґратки (не плутати з максимальним порядком головних дифракційних максимумів m , що визначається формулою (11.53))

maxm=ℜ (11.68)

Таким чином, для визначення теоретичної роздільної здатності дифракційної ґратки на заданій довжині хвилі зовсім не потрібно рахувати повну кількість штрихів ґратки, яка досягає сотень тисяч: достатньо знати розмір заштрихованої частини ґратки.

На практиці більш актуальним є мінімальний спектральний інтервал між двома спектральними лініями, що їх може розрізнити спектральний прилад. При наперед відомій величині теоретичної роздільної здатності цей інтервал в довжинах хвиль визначається безпосередньо з означення (11.63):

λδλ ℜ= . (11.69)

У переважній кількості випадків більший інтерес являє мінімальний інтервал у хвильових числах min

~vδ , що його може розділити спектральний прилад, оскільки воно пропорційне частоті і енергії світлового кванта (нагадаємо, що хвильове число (wave number) є ][/1][~ 1 смсмv λ=− ). Ґрунтуючись на зв’язку між v~δ та δλ , на означенні (11.63) та на формулі (11.67), запишемо

maxmax2

1λ

λλ

1λ1

λδλ

λδλ~δ

∆=

∆=

ℜ===v , (11.70)

де max∆ - максимальна різниця ходу, яка виникає в даному спектральному приладі.

Таким чином існує напрочуд простий зв’язок між мінімальним інтервалом у хвильових числах, що його може розділити спектральний прилад, та максимальною різницею ходу, яка виникає у спектральному приладі при даному вимірюванні

)(1)(~

max

1min см

смv∆

=−δ (11.71)

Цю формулу варто запам’ятати НАЗАВЖДИ! Як видно з попереднього, вона застосовна не лише для спектрального приладу з дифракційною ґраткою, але й для будь-якого спектрального приладу з просторовим розділенням спектральних компонент, а як буде видно з подальшого, вона застосовна до будь-яких спектральних приладів взагалі.



22

Формулою (11.71) дуже просто користуватись. Наприклад, ми бачимо,що ґратка має заштриховану поверхню 20х20 см. Для неї при нормальному падінні світла 1

min 05,0~ −= смvδ , а при ковзному падінні 1

min 025,0~ −= смvδ . Область вільної дисперсії

У спектрі ґратки з прямокутним профілем можуть перекриватися спектри різних порядків.

Знайдемо допустимий критичний інтервал (коли вже перекриються).

( ) ( )λλλ1 ∆+=+ mm

λλλλ ∆+=+ mmm

Спектральний інтервал

mλλ =∆ (11.72)

називається: областю вільної дисперсії.

Чим більший порядок, тим менша область вільної дисперсії – сильніше перекриватимуться спектри різних порядків. У нижченаведеній таблиці подано характеристики деяких спектральних притладів

Характеристики спектральних приладів.

m N 0

A ,λ∆ ℜ 0

A ,δλ Дифракційна ґратка 3 510 ∼1700 5103 ⋅ ∼0,017 Ешелон Майкельсона 4101⋅ 30 0,50 5103 ⋅ ∼0,017 Інтерферометр Майкельсона (Фур’є– спектрометр)

610

2

0,005

6102 ⋅

0,025

Інтерферометр Фабрі – Перо (h= 25 мм, ℜ= 0,9)

510 30 0,05 6103 ⋅ ∼0,0017

Призма 54 1010•

•− ∼0,1

Кутова дисперсія λd

dD ϕϕ = ;

Кут ϕd , на який просторово розводяться дві лінії, з різницею довжин хвиль λd Лінійна відстань у спектрі ϕfddl = , де f − фокусна відстань об’єктива, у фокальній площині якого локалізований спектр;

Обернена лінійна дисперсія fDddlDl ϕ==λ

;

Роздільна здатність Nm=ℜ



23

Ешелон Майкельсона Ешелон Майкельсона складається з кількох десятків ( N ∼30) плоских скляних пластин, однакової товщини, як показано на Рис. 11.22, так, що утворюються сходинки (звідки походить і назва). При пропусканні через нього широкого колімованого пучка утворюється N пучків однакової інтенсивності і з однаковою різницею ходу∆ між сусідніми пучками. В результаті отримаємо вже добре нам відому багатопучкову інтерференцію.

Рис. 11.22

Роздільна здатність ешелона Майкельсона може бути такою ж, як і дифракційної ґратки, оскільки невелике значення N компенсується душе високим порядком інтерференції m . Але використання високих порядків призводить до дуже малої області вільної дисперсії. Відомі і відбивні ешелони Майкельсона, в яких світло направляють на вкриті сріблом або алюмінієм поверхні сходинок і дифракційну картину отримують у відбитому світлі. Фур’є – спектрометр Фур’є-спектрометр являє собою інтерферометр Майкельсона, в якому можна поступально рухати одне дзеркало, наприклад, 1M .

Раніше Фур’є-спектрометр працював так: при поступальному русі дзеркала 1M зі сталою швидкістю v фотоприймач, розміщений у фокальній площині об’єктива Об2, реєструє інтенсивність )(tI , яка є результатом двопучкової інтерференції і залежить від часу, оскільки неперервно змінюється різниця фаз. Залежність інтенсивності від часу )(tI записується на паперову стрічку, що також рухається зі сталою швидкістю. Нехай спочатку на вході інтерферометра маємо монохроматичне світло з частотою ω.

( ) =+= δcos1)( 0ItI

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+=

λπ2cos10I

. 12 ll −=∆



24

tv2=∆

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += tItI v2

λπ2cos1)( 0 ,

де v - швідкість руху дзеркала. На паперовій стрічці записується крива

( )tItI Ω+= cos1)( 0 ,

де v2ωv2λπ2

c==Ω .

Тоді частота світла, що потрапляє в спектрометр,

може бути знайдена за формулою v2

ω Ω=

c .

Для немонохроматичного пучка зі спектральною густиною інтенсивності ( )ωI кожна монохроматична складова дає свою інтерференційну картину

( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= ∫

∞

ωωv2cos1ω)(0

dtc

ItI

( ) ( ) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= ∫∫

∞∞

ωωv2cosωωω00

dtc

IdI

∼+= II0 ;

( ) ωωv2cosω)(0

dtc

ItFI ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∼= ∫

∞

∼

Щоб знайти ( )ωI треба зробити Фур’є - перетворення від )(tF .

( ) dttc

tFI ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∼ ∫

∞ ω2cos0

ω

Так працював Фур’є -спектрометр раніше . Зараз вони працюють без паперової стрічки. У сучасному Фур’є – спектрометрі є допоміжний пучок від реперного лазера і можна безпосередньо контролювати положення x рухомого дзеркала в будь-який момент часу і співставляти його з інтенсивністю, причому цей масив даних заноситься в пам’ять комп’ютера, який здійснює необхідне Фур’є перетворення:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆+==∆

λπ2cos1)()( 0IxII

( ) ωλπ2cos1ω)(

0

dxIxI ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ += ∫

∞

( ) dxxc

F(x)I ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∼

τ

0

ωcosω ;

Фур’є-спектрометр раніше переважно застосовувався в ІЧ області. Сьогодні він вже вийшов з інфрачервоної області у видиму і рухається в ультрафіолетову.



25

Інтерферометр Фарбі – Перо:

λθcos2 mnh =⋅=∆ ( n =1, якщо в проміжку повітря)

θ- кут, під яким промені падають на плоскопаралельну пластинку.

θsin2θ hnmD =

Скануючий інтерферометр Фарбі – Перо схожий на спектрограф Фур’є, тільки в ньому не двопучкова інтерференція, а багатопучкова. Можна змінювати різницю ходу переміщенням (зміною товщини h ) або зміною показника заломлення газу в проміжку (повітря) n за рахунок зміни тиску. Призма. Роздільну здатність призми визначимо за загальною формулою (11.64). На Рис. 11.__ зображено хід симетричний хід променів через призму з кутом при вершині δ . Він відповідає мінімальному куту відхилення пучка minϕ при якому аберації призми мінімальні. Для розрахунку кутової дисперсії використаємо відому формулу

2δsin2

δsin max +

=

ϕ

n . (*

Візьмемо диференціал від правої та лівої частин виразу (* :

ϕ

ϕ

ddn

2δsin2δcos

21

+

= .

Нижній індекс при ϕ опущено, оскільки далі скрізь йдеться лише про кут найменшого відхилення. Поділимо ліву і праву частини на λd і після елементарних перетворень із врахуванням очевидного з рисунка співвідношення δϕ −= i2 отримаємо

λλϕλϕ

ϕ ddn

iddndn

ddD

cos2δsin2

2δcos

2δsin2

=+

== .

Ширина пучка, що пройшов через призму,

iliDAiOAABa cos

2δsin2

cos

2δsin2

cos ====′ ,

де використано позначення lDA = . Отже, роздільна здатність призми



26

λcos

2δsin2cos

2δsin2

ddnlil

ddn

iaD ==′=ℜ

λϕ Рис. 11.__

або

λddnl=ℜ , (**)

де )λ(nn = . У книжках часто пишуть, що l - довжина основи призми. Це формально справедливо для розглянутого нами простого випадку трикутної призми, вся апертура якої заповнена світловим пучком. Але, по перше, не для всякої, навіть трикутної призми, можна вказати основу (див. Рис. 11._), а, по друге, як ми вже знаємо, роздільна здатність залежить від дійсної ширини пучка. Насправді з фізичної, а не з конструкторської точки зору, величина l визначає максимальну геометричну різницю ходу, яка досягається в призмі, а разом з нею і максимальну оптичну різницю ходу nl ⋅=∆ . Ясно, що це різниця ходу між крайніми променями пучка, що проходить через призму. Якщо трикутна призма повністю не заповнена, то у формулу (**) треба підставляти різницю шляхів нижнього крайнього і верхнього крайнього променів пучка

12 lll −= . Можна зробити таке узагальнення: роздільна здатність призми чисельно дорівнює похідній за довжиною хвилі від максимальної оптичної різниці ходу max∆ , що досягається в призмі:

λmax

dd∆

=ℜ .

У будь-якому разі, і роздільна здатність призми і мінімальний спектральний інтервал, що може бути нею розділений, визначаються, як завжди, максимальною оптичною різницею ходу max∆ .



27

Роздільна здатність оптичних приладів.

Телескоп.

Коли ми можемо вважати, що дві зірки ми розділили? За критерієм Релея, центральний максимум дифракційного зображення однієї зірки має припадати на перше темне кільце (мінімум) дифракційного зображення другої зірки. Відповідний кут є

Dλ22,1=ϕ .

Тут D - диаметр зіниці (об’єктива) телескопа. У фотоапараті так само, як у телескопі. Якщо хочемо мати високу роздільну здатність в фотоапараті – треба, щоб був великий об’єктив. Око. Для ока те саме, що для фотоапарата. При діаметрі зіниці 2 мм – кутова роздільна здатність теоретично (і практично!) -1′ . Мікроскоп. Випадок некогерентного освітлення об’єкта. Все обмежується роздільною здатністю об’єктива мікроскопа, яка визначається кутом дифракції на апертурі об’єктива

Dλ22,1=ϕ

Тоді мінімальна відтсань між двома точками, що можна спостерігати окремо в проміжному дійсному зображенні, є

lD

ly λ22,1min =⋅=′ ϕ

або

uy

′=′ λ61,0min , (хх)

де використано, що uutglD ′≈′=/ , оскільки цей кут малий.

1



28

Ернст Аббе сформулював умову одержання досконалого зображення об’єктивом мікроскопа, яка дістала назву умови синусів Аббе unyuyn ′′′= sinsin

яка виражає вимогу, щоб хвилі, які проходять через різні зони оптичної системи, приходили в точку зображення в однаковій фазі. З умов синусів Аббе мінімальна відстань між двома точками предмета, які можна побачити окремо, є

ununyy

sinsinmin

min′′′

= .

Після підстановки miny′ з (хх) маємо

unun

uy

sinsinλ61,0min

′′′

= .

Враховуючи, що uutg ′≈′ , 1=′n (повітря), остаточно для мінімальної відстані між двома точками предмета, які можна побачити окремо,

uny

sinλ61,0min = .

unsin - це так звана числова апертура об’єктива мікроскопа (чим вона більша, тим більша роздільна здатність мікроскопа). Тому іноді вживають іммерсію: між об’єктом і об’єктивом капають краплю рідини з великим показником заломлення (не перевищує 2).

Ясно, що miny є порядку довжини хвилі. Випадок когерентного освітлення об’єкта.

1й порядок 0λsin ≥und

und

sinλ0≥

unsin - числова апертура

0й порядок d

mλsinθsin =− ϕ

В мікроскопі діє принцип фільтрації просторових частот

Шляхи підвищення роздільної здатності: зменшувати довжину хвилі і збільшувати числову апертуру.

2



29

Мікроскопія ближнього поля.

Дальне поле починається там, де починається дифракція Фраунгофера.

Перший метод.

За допомогою скануючого оптичного мікроскопа ближнього поля можна дістати роздільну здатність /50λ .

Робиться отвір порядку нм 10 . Починають рухати і дивлячись у цей отвір через об’єктив сканують і вимірюють інтенсивність. Після цього на екран комп’ютера виводять розподіл інтенсивності., і отримують, таким чином, зображення. Другий метод. Нагрівають і розтягують оптоволокно. Після цього його обламують, отримують зонд, яким після цього проводять сканування.



30

Дифракція на багатовимірних структурах 1. Розглянемо ланцюжок атомів в кристалі

=−=∆−∆=∆ 0112 αcosαcos aa

( ) лбcosбcos 01 ma ≡−=

0α - кут ковзання a - період ґратки

2. Розглянемо двовимірну ґратку.

( )( )⎩

⎨⎧

=−=−

λβcosβcosλαcosαcos

20

10

mama

1αcosβcos 22 =+ 1αcosβcos 0

20

2 =+ 3. Розглянемо тривимірну структуру.

* ( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=−=−=−

λγcosγcosλβcosβcosλαcosαcos

30

20

10

mamama

рівнянь 5, а параметрів 6

1γcosαcosβcos 222 =++ * 1γcosαcosβcos 0

20

20

2 =++ Тому один з параметрів є залежний від інших. Нехай це буде довжина хвилі. Тоді

222000 γcosβcosαcos2λ

lnmlnma

++++

−= ( )321 ; ; mlmnmm ===

λ - при яких може бути все це (*) виконано.

Формула Вульфа – Брега.

Виділимо в просторовій структурі площини, в яких лежать вузли кристалічної ґратки, в яких розміщено атоми (йони) (на Рис.. θ - кут ковзання (на відміну від кута падіння) Тоді різниця ходу:

λθsin2 md ==∆ - формула Вульфа – Брега. Нехай d і λ фіксовані. Тоді це буде тільки тоді, коли и відповідає умові Вульфа – Брега. Якщо λ порядку d , тоді m порядку одиниці.



31

Лауеграми. (дифрактограми рентгенівського випромінювання , одержані методом Лауе).

- при фіксованому λ різні плями різної інтенсивності відповідають різним площинам кристалу.

Метод Дебая.

Про фотонні кристали (див. додаткову прозірку)

Про фотонні кристали Опал

Холестеричний рідкий кристал



32

Одновимірний (1D) фотонний кристал

Багатошарові діелектричні дзеркала та світлофільтри, Брегівські дзеркала в напівпровідникових лазерах, холестеричні рідкі кристали. Двовимірний (2D) фотонний кристал



33

Оптоволокно з двовимірного (2D) фотонного кристалу Діаметр отвору 4 мкм, діаметр серцевини 5 мкм



34

Структура зон двовимірного фотонного кристалу (ТЕ-мода)

Спектр відбивання двовимірного фотонного кристалу (ТЕ-мода)



35

Структура зон двовимірного фотонного кристалу ТМ-мода

Спектр відбивання двовимірного фотонного кристалу (ТМ-мода)



36

Гаусові пучки.

[ ]( )rktiyxEE rr−⋅−= ωexp),( - хвиля розповсюджується вздовж z.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−= 2

2

02

22

0 ρexp

ρexp),( rEyxEyxE ;

В цих формулах (див. також рисунок):

ρ(z)ρ = - радіус пучка, який залежить від відстані до так званої перетяжки, в якій пучок має найменший переріз (найменший радіус), що дорівнює ρ(0)ρ0 = . Початок координат при описі гаусова пучка звичайно обирають в перетяжці, тобто при 0=z . В перетяжці хвильовий фронт плоский!

Розрізняють так звану ближню зону і дальню зону гаусова пучка. Границею між ними вважають відстань від перетяжки, на якій хвильовий фронт має максимальну кривину

λπρ2

0 =z .

Дальня зона відповідає наближенню Фраунгофера в теорії дифраціїї. Самі гасові пучки відповідають наближенню параксіальної оптики. Лінії однакових амплітуд (густин енергії) гаусового пучка – гіперболи. На Рисунку показано дві з них, що відповідають зменшенню амплітуди в e разів порівняно з амплітудою на осі пучка. Їх асимптоти перетинаються в точці (0,0,0). За кутову розбіжність гаусова пучка приймають половину кута між цими асимптотами:

0πρλθ ≈ .

Гаусові пучки – найкраще наближення до паралельного пучка з обмеженим перерізом, яке пропускає дифракція.



37

При проходженні гаусових пучків через лінзи вони залишаються гаусовими, але їх параметри змінюються. Якщо поставимо на шляху гаусового пучка в дальній зоні збиральну лінзу, то вона його перетворить на гаусів пучок з перетяжкою поблизу заднього фокуса.

- менша перетяжка – більша розбіжність



38

Голографія

Першу голограму у 1947 р. отримав угорсько-англійський фізик Денніс (Денеш) Габор (Gabor) в ході експериментів зі збільшення роздільної здатності електронного мікроскопа.. Назвою «голографія» ( з грецької ὅλος hólos, "цілий" + γραφήgrafē «рисую, пишу») Д. Габор підкреслив, що винайдений ним метод дозволяє зареєструвати повну оптичну інформацію про досліджуваний об'єкт4.

Найпростіша голограма – це голограма точки. Це зонна пластинка отримана оптичним шляхом.

Як можна отримати зонну пластинку оптичним шляхом?

Запис голограми. Нехай на фотопластинку одночасно нормально падає опорна плоска хвиля та предметна сферична хвиля, утворена внаслідок розсіяння опорної хвилі точковим предметом (маленькою кулькою або порошинкою – принцип Гюйґенса!). Оскільки вони когерентні, то утворюють інтерференційну картину у вигляді концентричних кілець, радіуси

яких змінюються за тим самим законом jr ∼ j , де j − номер зони Френеля, що й у випадку

зонної пластинки Френеля. Після проявлення та закріплення фотопластинки одержимо зображення, подібне до зонної пластинки Френеля але не з різкими кільцевими зонами (прозорі або непрозорі), а з плавною зміною пропускання властивою двопучковій інтерференції − доречною буде аналогія з синусоїдальною амплітудною ґраткою. Ця фотопластинка являє собою голограму, на якій записано розподіл амплітуди і фази предметної сферичної хвилі відносно амплітуди і фази опорної плоскої хвилі,

4 За це Д.Габор одержав Нобелівську премію з фізики 1971 р.



39

Відтворення предметної хвилі (отримання зображення). Якщо тепер точковий предмет прибрати, а голограму поставити на те саме місце, де експонувалася фотопластинка, і направити на неї знову опорну плоску хвилю, яку тепер називають відтворюючою, то за голограмою (по ходу пучка) отримаємо опорну плоску хвилю (нульовий порядок дифракції), розбіжну сферичну хвилю ідентичну предметній хвилі, розсіяній порошинкою, якої насправді вже немає, а також збіжну сферичну хвилю, яка дає дійсне зображення неіснуючого точкового предмета. Ясно, що розбіжна хвиля дає уявне зображення, яке можна спостерігати оком через голограму (при цьому заважатиме відтворююча хвиля), а в центрі збіжної хвилі на екрані можна буде спостерігати дійсне зображення предмета, який реально не існує! Фактично така голограма діє так само, як зонна пластика Френеля, на яку падає плоска хвиля. Зрозуміло, що якщо оголосити плоску хвилю при запису голограми предметною (від предмета, що лежить на нескінченності), а сферичну − опорною, а при відтворенні освітити її розбіжною сферичною хвилею, то за голограмою будемо спостерігати поряд з опорною розбіжною хвилею плоску предметну хвилю, якій будуть відповідати дійсне й уявне зображення точки-предмета, що лежать на нескінченності.

Так само виготовляють голограми і здійснюють відтворення предметних пучків від більш складних, ніж точкові, об’єктів.

Запис голограми Відтворення зображення

Рівняння Габора. Будемо розглядати все в скалярному наближенні.

Поле, що створюється в площині фотопластинки (майбутньої голограми) предметною хвилею, яка надходить від об’єкта

)()()( ρϕρρrrr ieAE =Π ,

де ρr - радіус-вектор, що повністю лежить в площині голограми.

На ту саму пластинку падає плоска опорна хвиля )( 0rktieAEr

−ΟΟ = ω ,

яка в площині голограми створює поле ρρrr

0)( kieAE ΟΟ = .



40

Сумарне поле на поверхні фотопластинки

)()()( ρρρrrr

ΠΟ += EEE

Розподіл освітленості пропорційний інтенсивності (густині потужності), яку знайдемо як квадрат модуля комплексної амплітуди

2)()( ρρrr EI =

)()()()()()()( *0

*0

220 ρρρρρρρ

rrrrrrrΠΠΠ +++= EEEEEEI .

Таким чином, експонуємо фотопластинку, проявляємо, фіксуємо. Маємо негатив. Виготовимо позитив. Нехай нам вдалося все зробити так, щоб пропускання кожної ділянки фотопластинки-позитива, яка тепер являє собою голограму, було пропорційне інтенсивності, яка діяла на цю ділянку фотопластинки при записі голограми:

)()( 0 ρρrr ITT = .

Тепер поставимо пластинку-голограму точно на те місце, де стояла фотопластинка при запису голограми, і спрямуємо на неї ту саму опорну хвилю, що й при записі.

Знайдемо поле безпосередньо за голограмою:

)()()()()( 000 ρρρρρεrrrrr EITET == .

За принципом Гюйгенса-Френеля-Кірхгофа поле за голограмою однозначно визначається фазами і амплітудами вторинних джерел на поверхні голограми.

Маємо три якісно різні доданки

)()()()( 321 ρερερερεrrrr

++= .

)(])()([)( 022

001 ρρρρεrrrr EEET Π+= - недифрагована на голограмі опорна хвиля, )(1 ρε

r ~ )(0 ρrE .

)()([)( 2002 ρρρε

rrrΠ= EET - це поле ідентичне полю предметної хвилі. Воно формує уявне

зображення предмета, яке можна спостерігати оком. ρρρρρεrrrrr

0220

*0

*2003 )()()()( kieAETEET ΟΠΠ == - це поле комплексно спряжене щодо поля предметної

хвилі. Воно формує дійсне зображення, яке звичайно спотворене із-за множника ρr

0220

kieA Ο .

Спотворення відсутнє, якщо 0=ρrr

ok , тобто коли опорний і відтворюючий пучок перпендикулярні до площини голограми.

Властивості голограм і голографічних зображень.

Зображення об’ємне: можна оглядати під різними кутами.

При пошкодженні частини голограми або навіть її видаленні зображення залишається повним (звідси назва), але втрачаються дрібні деталі і, іноді, контраст.

Відтворюючи зображення на іншій, ніж при запису, довжині хвилі, можна дістати збільшення або зменшення зображення.

І багато інших цікавих і корисних властивостей, про які читати самостійно...


© О.В.Слободянюк, 2001-2011 4_1 Klasychna teoriya dyspersiyi_2011-0225

1

4. ПОШИРЕННЯ СВІТЛА В СЕРЕДОВИЩІ ТА ВЗАЄМОДІЯ СВІТЛА З РЕЧОВИНОЮ

Поширення світла в деякому середовищі (в речовині) можна уявити так:

• електромагнітне поле світлової хвилі діє на електричні заряди, які є в середовищі (в речовині) і спричинює їх вимушені коливання;

• при цьому енергія електромагнітного поля зменшується, і переходить до зарядів, що коливаються і внаслідок цього самі випромінюють електромагнітні хвилі, і повертають, принаймні, частину енергії в електромагнітне поле;

• світлове поле в середовищі і на виході з нього формується в результаті додавання полів падаючої хвилі та вторинних хвиль.



2

4.1. Класична теорія дисперсії світла. Класична теорія дисперсії світла заснована на розгляді вимушених коливань заряджених частинок речовини – електронів та іонів під дією змінного електричного поля світлової хвилі.

Класична тому, що рух заряджених частинок розглядається з позицій класичної (не квантової) механіки, а світло описується рівняннями класичної (не квантової) електродинаміки

Ми обмежимось розглядом дисперсії, пов’язаної з рухом електронів.

Найпростіший випадок – гази, оскільки можна знехтувати взаємодією між атомами.

В оптичному діапазоні основний внесок в дисперсію дають слабо зв’язані зовнішні, або так звані оптичні електрони, частоти власних коливань яких (відповідно до класичної моделі) лежать в оптичному діапазоні .

Для простоти спочатку припустимо, що атом має лише один оптичний електрон.

Отже, наша модель – газ із атомів, що не взаємодіють між собою, в яких єдиний оптичний електрон зв’язаний з іонним залишком квазіупружною силою і поводить себе як осцилятор із загасанням.

Рівняння руху такого електрона Eerrkrmr

&rr&&r ′+−−= β , (1) де E

r′ - електричне поле, що діє на електрон. В загальному випадку це поле (так зване локальне

поле) відрізняється від макроскопічного поля Er

, що входить до рівнянь Максвела.

Ми знехтували силою Лоренца [ ]HceF

rrr×= υ , оскільки швидкість електрона в атомі набагато

менша за швидкість світла1.

Отже,

Emerrrrr&r&&r ′=++ 2

02 ωγ , (2)

де mk

=20ω - власна частота коливань електрона ,

m2βγ = - константа загасання..

Наш план такий.

Оскільки має місце низка співвідношень

ε=n ;

EDrr

ε= ;

PEDrrr

π4+= ;

pNP rr= ; (3)

rep rr= ;

)(41)( ωπωε Ner+= ,

то якщо ми знайдемо )(ωr як розв’язок рівняння (2), то зможемо знайти )(ωε , а відтак і

1 Оцінка для швидкості електрона в планетарній моделі атома водню:

13712

==c

ec h

υ .



3

дисперсію показника заломлення )(ωn .

Нехай на середовище падає плоска хвиля tirkti erEeEE ωω −−− == )()(0

rrrr rr

.

Амплітуда поля )(rE rr змінюється від точки до точки: отже, на електрон в різних точках його

траєкторії буде діяти різне поле.2 Ми будемо вважати, що довжина хвилі λ падаючої хвилі набагато більша за розміри області, в якій рухається електрон (в нашому випадку за амплітуду коливань 0r ):

0r>>λ - так зване довгохвильове наближення.

Також вважатимемо, що локальне поле Er′ не відрізняється від макроскопічного поля E

r, Er′= E

r.

Частинний стаціонарний розв’язок рівняння (2) при зроблених вище наближеннях є tierr ω−= 0 ,

де 0r - амплітуда вимушених коливань оптичного електрона,

ωγωωω

i

Eme

r2

)( 220

0 −−=

r

r . (4)

Отже індукований змінним електричним полем світлової хвилі на частоті ω дипольний момент одиниці об’єму є

Ei

meN

Prr

ωγωω 2220

2

−−= , (5)

і, враховуючи низку співвідношень (3), отримаємо для діелектричної проникності на частоті ω

ωγωω

πωε

imeN

2

41)( 22

0

2

−−+= . (6)

Оскільки )(ωε комплексне, то є дисипація енергії світлової хвилі, тобто поглинання.

Оскільки )(ωε комплексне, то зручно ввести комплексний показник заломлення κinn +=~ .

Оскільки )(ωεε = , то і )(ωnn = , )(ωκκ = .

Оскільки κκε inn 222 +−= , то дійсна частина діелектричної проникності є

)(4)(

41 22

0222220

2

22 ωωγωωω

πκ −

+−+=− m

eNn , (7)

а уявна

ωγγωωω

πκ 22222

0

2

4)(

4

+−= m

eNn . (7′)

2 Врахування цієї обставини призводить до залежності показника заломлення від хвильового вектора, яку називають просторовою дисперсією, щоб відрізнити її від шуканої нами залежності показника заломлення від частоти, яку іноді називають частотною дисперсією.



4

Явний вигляд функцій )(ωnn = та )(ωκκ = дуже складний. Тому ми обмежимось аналізом двох частинних випадків:

1) далеко від резонансу;

2) поблизу резонансу.

1) Розглянемо вирази (7, 7′) далеко від резонансу, тобто від власної частоти 0ω , там де 22

02 ωωωγ −<< . В цій області )Re()Im( εε << і поглинанням можна знехтувати (область прозорості) . Для дійсної частини ε в області прозорості маємо

)(

41 22

0

2

2

ωω

π

−+= m

eNn – Формула Зельмейєра, (8)

звідки показник заломлення для газів далеко від 0ω є

)(

21)( 22

0

2

ωω

πω

−+= m

eNn . (9)

(Тут використано формулу xx211)1( 2

1+≈+ .)

З формули (9) видно, що показник заломлення для газів залежить від тиску, оскільки тиск NkTp = .3

Крім того видно, що в області прозорості n зростає із зростанням ω (Рис. 1).

Це так звана нормальна дисперсія:

0>ωd

dn .

Для більшості прозорих у видимій області речовин частоти 0ω для оптичних електронів лежать у далекій УФ області спектру. Тоді для видимої області можемо вважати, що 0ωω << і в цьому наближенні з формули (8) отримати

)1(4

1)(

41 2

0

2

20

2

220

2

2

ωω

ω

π

ωω

π++≈

−+= m

eNmeN

n .

Враховуючи, що cT λ

ππω 22== останнє рівняння можна переписати як )1(1)( 2

2

λλ ban ++= , а

беручи до уваги, що показники заломлення для газів дуже мало відрізняються від 1, записати вираз для показника заломлення, відомий як формула Коші:

3 В оптичному практикумі поставлено лабораторну роботу по дослідженню залежності показника заломлення повітря від тиску за допомогою інтерферометра Релея.

0ωω

1)( −ωn

Рис. 1. Залежність показника заломлення від частоти далеко від власної частоти 0ω



5

)(λn 2λBA+= , (10)

де λ – довжина хвилі у вакуумі, A і B – сталі, значення яких для кожної речовини повинно бути визначене з досліду.

Ця формула дуже добре описує хід дисперсії газів в області їх прозорості. Наприклад, показник заломлення повітря в області довжин хвиль від 294,8 нм до 759,4 нм змінюється в межах від 1,0003065 до 1,0002905. При цьому розраховані за формулою Коші для повітря значення )(λn відрізняються від експериментально виміряних не більше, ніж на дві одиниці останнього розряду (2·10-7)!

2) Розглянемо тепер вирази (7, 7′) поблизу резонансу, тобто в околі власної частоти 0ω , коли можна вважати, що 0ωω ≈ . Виконуючи низку простих перетворень, отримаємо

])[(21

4)(4

241

))((4)()(

41)(

4)(

41

220

2

220

220

0

2

002220

20

2

22022222

0

2

22

γωω

ωπ

γωωω

ωωπ

ωωωωγωωωωω

πωω

γωωω

πκ

+∆

∆−=

+∆

∆−≈

≈−++−+

+=−+−

+=−

meN

meN

meN

meN

n (11)

і, аналогічно,

])[( 220

2

γωω

γπκ

+∆≈ m

eNn , (12)

де 0ωωω −=∆ .

Будемо вважати, що максимальне значення (при ω∆ =0) уявної частини ε набагато менше за одиницю, 1<<κn . Тоді й максимальне значення (при ω∆ =0) другого доданку у дійсній частині ε , 22 κ−n є також значно меншим за одиницю, 12 <<κ .

В цьому випадку, з (11) використовуючи формулу xx211)1( 2

1+≈+ , отримаємо

])[(1 22

0

2

γωω

ωπ

+∆∆

−= meN

n , (13)

а з (12), враховуючи, що κκ ≈n (оскільки +=1n мала величина):

])[( 220

2

γωγ

ωπκ

+∆≈ m

eN. (14)

Формули (13,14) мають простий вигляд4 і дозволяють зробити деякі важливі загальні висновки про поведінку показника заломлення )(ωn поблизу смуги поглинання, форма якої визначається частотною залежністю показника загасання )(ωκ . Графіки функцій )(ωn – 1 та )(ωκ наведено на Рис. 2. Вони побудовані шляхом «зшивання» вищенаведених результатів аналізу двох граничних випадків 1) та 2). 4 Слід пам’ятати, що ця простота значною мірою досягнута внаслідок прийнятих нами наближень.



6

Контур смуги поглинання )(ωκ , що описується формулою (14) називають лоренцевським . Його напівширина на половині висоти дорівнює сталій загасання γ . Можна показати, що точки

γω ±=∆ є точками перегину кривої Лоренца.

Графік залежності показника заломлення від частоти називають кривою дисперсії або дисперсійною кривою. Його зручно подавати у вигляді )(ωn – 1. Показник заломлення

спочатку зростає при збільшенні частоти ( 0>ωd

dn , нормальна дисперсія) і набуває

максимального значення при γω −=∆ , а потім зменшується і досягає мінімуму при γω =∆ .

Ця ділянка, на якій показник заломлення зменшується при збільшенні частоти ( 0<ωd

dn )

називається ділянкою аномальної дисперсії. Вона лежить всередині смуги поглинання При

подальшому зростанні частоти показник заломлення зростає ( 0>ωd

dn , нормальна дисперсія) і

асимптотично наближається до одиниці.

Можна зробити висновок, про те, що дисперсія світла зумовлена наявністю загасання світлової хвилі і в області прозорості показник заломлення зростає при наближенні до смуги поглинання.

Цей висновок справедливий в усіх випадках наявності частотної області, в якій світлова хвиля загасає. Його застосовність виходить за рамки наближень, при яких було отримано криві, представлені на Рис. 2.

Нормальна дисперсія відома давно, її легко спостерігати, наприклад, пропускаючи біле світло через призму. Відповідний дослід демонструється на лекції, а в практикумі є лабораторна робота по вивченню дисперсії світла в склі методом призми.

γ−

)(ωк

γ

Рис. 2. Крива дисперсії 1)( −ωn та лоренцівський контур смуги поглинання )(ωк

1)( −ωn ω∆



7

Аномальну дисперсію спостерігати складніше. Експериментально вона була відкрита в 1862 р. Леру, який пропускав біле світло через призму, наповнену парами йоду. Виявилось, що в такій призмі, на відміну від призми з суцільного скла сині промені заломлювались менше за червоні. Кількісні дослідження дисперсії поблизу смуг поглинання, в тому числі аномальної дисперсії здійснені для багатьох речовин різними методами, найбільш відомими з яких є «метод гаків» Д.С. Рождєствєнського (читати самостійно в книжках, рекомендованих програмою), який вдосконалив метод Вуда.

У загальному випадку речовина може мати багато смуг поглинання. Дослід показує, що навіть для одноатомного газу з одним оптичним електроном може спостерігатися декілька смуг поглинання. Формулу (6) можна узагальнити на цей випадок, щоб вона описувала хід )(ωε , а отже і хід показника заломлення і поглинання в широкій області частот

∑ −−+=

k kk

k

k

imeN

ωγωω

πωε

2

41)( 22

0

2

, (15)

або

∑ −−+=

k kk

k

if

meN

ωγωωπωε

241)( 22

0

2

, (16)

де kk me , k0ω - заряд, маса та резонансна частота осциляторів, які ставляться у відповідність смугам поглинання. Величини kf називаються силами осциляторів, вони пропорційні внеску кожного осцилятора з резонансною частотою k0ω в дисперсію і в поглинання і задовольняють умову∑ =

kkf 1, яка називається правилом сум.

Зауважимо, що до дисперсійної формули (16) приводить і квантова теорія дисперсій, в якій частоти

k0ω мають зміст частот світла, що поглинається або випромінюється при переходах між основним

стаціонарним станом атома 0E та одним з його збуджених станів kE відповідно до правила Бора:

h0

0EEk

k−

=ω ,

а константа kγ залежить від часу життя атома у відповідному збудженому стані.

Дисперсія світла в конденсованому середовищі

У конденсованому середовищі діюче поле E′ суттєво відрізняється від макроскопічного поля E за рахунок взаємодії атомів (молекул) речовини між собою. Розрахунок діючого поля являє собою складну задачу. Із курсу електрики відомо, що для найпростішого випадку оптично ізотропного середовища (рідина або кубічний кристал) 3/4 PEE π+=′ . Якщо таке поле підставити в рівняння (1), то для частот, віддалених від резонансної, замість формули (8) можна прийти до формули Лоренц-Лоренца (вона була одержана Х.Лоренцем та Л.Лоренцем)

)(3

4

21

220

2

2

2

ωω

π

−=

+− m

eN

nn

. (17)



8

Треба пам’ятати, що наявність вищезгаданої взаємодії може сильно змінювати і резонансні частоти і сталі загасання для конденсованого середовища порівняно з тими ж величинами для ізольованих молекул.

Оскільки в правій частини формули Лоренц-Лоренца (17) стоїть концентрація молекул, якій пропорційна густина середовища ρ , то величина

211

2

2

+−

⋅nn

ρ,

яку називають питомою рефракцією, для даної речовини не повинна суттєво змінюватись при зміні її густини. У багатьох випадках ця умова дуже добре виконується. Наприклад, для повітря зміна тиску 200 разів призводить до зміни питомої рефракції лише на 0,1%. Іноді питома рефракція майже не змінюється при переході від газоподібного до рідкого стану: для кисню ця зміна не перевищує 1%.

Дисперсія світла в металах і в плазмі У металах, на відміну від діелектриків існують електрони, що не зв’язані з певним атомом, а можуть вільно рухатись по металу. Це електрони провідності. Їх називають ще вільними електронами. Зміщення таких вільних електронів не супроводжується виникненням

квазіупружної сили, яка повертала б їх назад. Це означає, що величина mk

=20ω =0. Така сама

ситуація має місце для електронів в плазмі. В обох випадках локальне поле, що діє на електрони, не відрізняється від макроскопічного. Тому можна скористатися виразом (6), отриманим для розріджених газів, який в застосуванні до металів та плазми набирає вигляду

)2(1

2

41)(

2

2

2

γωωω

ωγω

πωε

iimeN

p

+−=

+−= , (18)

де meNp

22 4πω = – плазмова частота. (19)

Величина pω залежить лише від концентрації N вільних електронів в металі або плазмі. Її називають плазмовою частотою. Відповідно до формули (18) характер поширення хвиль в металах суттєво різний на низьких і високих частотах. На низьких частотах, при γω << (для міді, наприклад, ця умова виконується на довжинах хвиль > 1 мм) у формулі (18) можна знехтувати одиницею порівняно з другим доданком, в знаменнику якого використано умову γω << і записати

ωγω

ωε2

)(2pі≈ .

Отже при низьких частотах (фактично це вже радіодиапазон) показник заломлення є комплексний з однаковими дійсною та уявною частинами, оскільки 0Re 22 =−= κε n . Фізична причина загасання – дисипація енергії хвилі, пов’язана з неповерненням її від електронів, які передають енергію коливанням гратки (джоулеве тепло).



9

Отже, 12

>>≈≈ωγω

κ pn . При цьому світло проникає в метал на глибину набагато меншу за

довжину хвилі (так званий скін-ефект). При цьому коефіцієнт відбиття світла близький до одиниці. Дійсно, користуючись формулою для амплітудного коефіцієнта відбиття світла при нормальному падінні дістанемо

11

++−+

=κκ

ininr , (20)

а коефіцієнт відбиття для інтенсивностей

22

22

)1()1(

11

11*

κκ

κκ

κκ

+++−

=+−−−

⋅++−+

=⋅=nn

inin

ininrrR . (21)

Ясно, що при 1, >>κn одиницею в чисельнику і знаменнику можна знехтувати і маємо 1≈R , тобто практично все випромінювання відбивається від поверхні металу. Дійсно, радіохвилі практично повністю відбиваються від металів.

Виникає питання: чи немає тут якогось протиріччя: чим більший показник поглинання, тим більша частина енергії відбивається?

Ні. Чим більший показник поглинання, тим на меншій товщині поглинаючого шару амплітуда хвилі спадає практично до нуля. Наприклад, для 1=κ на шляху довжиною λ амплітуда хвилі спадає в π2e разів (приблизно в 400 разів), а інтесивність – приблизно в 3х105 разів. Для більшості металів у видимій області κ =2-5, а в ІЧ області значно більше (для срібла при λ =6 мкм κ =40! Таким чином, існування такого «вузького горла» для дисипації енергії у вигляді обмеженої пропускної здатності малого об’єму металу, в якому існує поле, унеможливлює поглинання суттєвої частини енергії падаючої на метал електромагнітної хвилі.

Взагалі, так звані слабко поглинаючі речовини в товстих шарах здатні поглинути практично всю енергію світла (розчини барвників, світовий океан тощо). А сильно поглинаючі речовини НЕ ЗДАТНІ цього зробити із зазначених вище причин і поглинають лише малу частину енергії що, падає на їх поверхню.

Загальне правило: на кожній частоті, де є дуже великий показник поглинання, відбивання є дуже великим (закон збереження енергії!).

У протилежному випадку високих частот, коли γω >> рівняння (18) набирає вигляду

2

22 1)(

ωω

ωε pn −== . (22)

При високих частотах наявність дисперсії в металах пов’язана з інерційністю руху електронів, а не з дисипацією енергії: електрони встигають зробити багато вимушених коливань за середній час між зіткненнями )2/(1 γτ = , але їх внесок у поляризацію зменшується із збільшенням частоти, оскільки амплітуда коливань зменшується із-за інерційності руху електронів.

Структура рівняння (22) спонукає у наближенні високих частот розглядати окремо випадки pωω < та pωω > , оскільки плазмова частота в рівнянні (22) відіграє роль свого роду критичної

частоти, при якій діелектрична проникність проходить через нуль і змінює свій знак.

При pωω < діелектрична проникність від’ємна, а показник заломлення – чисто уявний.

Це означає, що електромагнітні хвилі з частотами pωω < , але γω >> (тобто в інтервалі



10

)pωωγ <<< , не можуть поширюватись в середовищі із-за сильного загасання. Слід підкреслити, що це загасання амплітуди хвилі не пов’язане з поглинанням світла (дисипацією енергії). Це випливає із того що, діелектрична проникність при цьому дійсна, а до дисипації енергії поля призводить лише уявна частина діелектричної проникності. Якщо пригадати походження рівняння (22), то такому вигляду воно завдячує тим, що було знехтувано дисипативним членом з γ у рівнянні руху електрона.

Загасання амплітуди хвилі без дисипації енергії означає, що при pωω < відбувається повне відбиття падаючої на середовище хвилі. Це добре видно з рівняння (21): при чисто уявному показнику заломлення коефіцієнт відбиття 1=R .

При pωω > діелектрична проникність додатна, а показник заломлення – дійсний. Отже немає а ні загасання, а ні дисипації енергії: метал стає прозорим. Звичайно плазмова частота металів лежить в рентгенівській області, але трапляються винятки. Наприклад, для натрію довжина хвилі, що відповідає pω , становить 210 нм, що добре узгоджується з теоретичною

оцінкою pω за формулою (19), зробленою виходячи з відомої концентрації N вільних електронів. Прозорість лужних металів в УФ області спектру була експериментально виявлена Р. Вудом у 1933 р. В області прозорості відгук металів на електромагнітне збурення визначається зв’язаними електронами і подібний до відгуку прозорих діелектриків.

У проміжній області частот між крайніми випадками, розглянутими вище (тобто при γω ≈ ), треба користуватися повним (не спрощеним) виразом (18). У цій області показник заломлення має дійсну і уявну частини, що залежать від частоти. Це призводить до того, що світлові хвилі різних частот при поширенні в металах по різному загасають. Дуже тонкі шари деяких металів можуть бути прозорі навіть у видимій області спектру. Хрестоматійним прикладом є золото, яке на відбивання є жовтим, але тонкі шари якого пропускають синьо-фіолетову ділянку спектра.

Оптичні константи n і κ є основними оптичними характеристиками металів, якими оперує металооптика. Експериментальні методи їх визначення засновані на дослідженні стану поляризації відбитого від поверхні металу світла, зокрема його еліптичності (еліпсометрія).

Рівняння (18) та (22) так само застосовні до дисперсії світла в плазмі. Одним із яскравих прикладів є пояснення характеру поширення радіохвиль в іоносфері Землі (іоносферній плазмі). Плазмова частота в цьому випадку лежить в радіодіапазоні (довжини хвиль порядку десятків метрів), оскільки концентрація електронів N в іоносфері значно менше ніж в металах. Тому хвилі з довжинами більшими за 10 м (короткі радіохвилі) відбиваються від іоносфери, що використовується для дальнього радіозв’язку, в той час як метрові (ультракороткі хвилі) вільно проходять через іоносферу.

Дисперсія рентгенівських променів.

При дуже високих частотах ( ∞→ω ) діелектрична проникність будь-якої речовини прямує до одиниці, оскільки внаслідок інерційності електронів не встигає відбутися поляризація середовища на таких частотах. Якщо частота ω значно більша за власні частоти всіх



11

електронів в атомах даної речовини, то їх можна вважати вільними і знехтувавши 0ω у формулі (6) одержати вираз

2

2

24

1)()(ω

πωωε m

eNn

Σ

−== , (23)

де тепер ΣN означає повну кількість усіх електронів в одиниці об’єму, а не лише вільних або слабо зв’язаних. Це означає, що в рентгенівській області спектру всі речовини стають прозорими, а їх показних заломлення меншим за одиницю. Наприклад, для скла на довжині хвилі ≈λ 0,1 нм 61051 −⋅−=n . Його можна визначити вимірюючи кут повного зовнішнього відбивання на границі повітря-скло. Явище повного зовнішнього відбивання широко використовується в рентгенівській оптиці, наприклад, для передачі рентгенівського випромінювання по скляним трубкам.


© О.В.Слободянюк, 2003-2008 4_3 Rozsiyannia svitla V0507-08

1

4.3. Пружне та непружне розсіяння світла в середовищі При поширенні світлового пучка (електромагнітної хвилі) у вільному від речовини просторі (іноді кажуть

у пустоті, у вакуумі) не змінюються ні напрям його розпосюдження, ні частотота, ні поляризація, ні його повна енергія пучка. Натомість якщо світловий пучок поширюється в речовині або на його шляху трапляються частинки речовини, то може спостерігатися зміна початкового напрямку розповсюдження світла, яке сприймається як самостійне світіння речовини. При цьому енергія виводиться з пучка, що призводить до його ослаблення (зменшення потужності пучка, що розповсюджується в початковому напрямі). Наприклад, пучок світла від прожектора або від лазера добре видно вночі або в затемненому приміщенні, причому в тумані або в диму його інтенсивність в напрямку поширення швидко спадає. В той же час популярне у фільмах про зоряні війни зображення лазерних пучків, якими в космосі вражають один одного супротивники, не відповідає дійсності.

Розрізняють пружне та непружне розсіяння світла. При пружному розсіянні світла внутрішня енергія центру розсіяння не змінюється, а при пружному – змінюється. Внаслідок цього при непружному розсіянні частота розсіяного світла змінюється порівняно з чсастотою падаючого світла, а при пружному – практично не зазнає змін.

Релеєвське розсіяння світла Основні властивості релеєвського розсіяння були вивчені Тіндалем і пояснені Релеєм. Тіндаль

спостерігав розсіяння на частинках, малих порівняно з довжиною хвилі в досліді, схема якого показана на рисунку

Якщо падаюче світло монохроматичне, то розсіяне світло має той самий колір (ту ж саму частоту, довжину хвилі). 1. Якщо падаюче світло біле, то розсіяне світло набуває блакитного забарвлення. 2. Світло, що пройшло, набуває червонуватого забарвлення. 3. Розсіяне під кутом /2π=ϕ світло є

лінійно поляризоване, причому вектор Er

лежить в площині, перпендикулярній початковому напрямку поширення. 4. Інтенсивність світла, розсіяного вперед і назад вдвічі більша, ніж розсіяного під прямим кутом до напряму поширення.



2

Класичне пояснення. Нехай плоска хвиля частоти ω розповсюджується в деякому середовищі. Змінне електричне поле цієї хвилі збуджує вимушені коливання електронів середовища (так званих оптичних, відносно слабо зв’язаних електронів) з частотою ω . Таким чином виникає змінний дипольний момент, який спричинює випромінювання вторинних хвиль тієї ж самої частоти ω в різних напрямках, в тому числі відмінних від початкового напрямку поширення.

Поле випромінювання змінного електричного диполя

Вектор Er

лежить в площині напряму Pr

і напряму спостереження.

З електродинаміки відомо, що напруженість поля випромінювання диполя pE &&∼

20ωpp =&& , Ep α= , α - поляризуємість

Отже 2αω∼E

Просторовий розподіл поля випромінювання диполя

θsinrpE ∼

r

в напрямку вздовж осі диполя випромінювання немає.

r - відстань від диполя до точки спостереження

Отже напруженість електричного поля випромінювання диполя:

θsin2

pr

E ω∼

а інтенсивність

θsin222

4

pr

I ω∼ .

Виходячи з властивостей випромінювання диполя, індукованого падаючою хвилею,

легко пояснити основні риси досліду Тіндаля. 1. Незмінність частоти розсіяного світла пояснюється тим, що частота випромінювання

індукованих диполів співпадає з частотою падаючого світла. Таке розсіяння називають пружним.

2. Блакитний колір розсіяного світла пояснюється тим, що інтенсивність розсіяного світла пропорційна четвертому ступеню частоти 4ω (або 4λ1/ ) – закон Релея:



3

короткохвильве (синє) світло розсіюється значно сильніше за довгохвильове (червоне).

3. Червонувате забарвлення світла, що пройшло, пояснюється тим, що при проходженні через мутне середовище з пучка за рахунок розсіяння виведено більшу частину короткохвильового світла (синього, блакитного), а червоне світло зазнало меншого послабленн.

4. Лінійна поляризація розсіяного під кутом 2/π=ϕ світла пояснюється тим, що всі вектори E

r розсіяного світла лежать у площині перпендикулярній до напряму

поширення падаючого пучка світла. 5. Інтенсивність розсіяння вперед і назад вдвічі більша за інтенсивність розсіяння в

перпендекулярному напрямі, оскільки вперед і назад випромінюють всі індуковані світлом діполі, а в заданому перпендикулярному напрямі лише ті, що мають проекцію дипольних моментів на напрям перпендикулярний напряму спостереження, тому інтенсивність випромінювання в заданому перпендикулярному напрямі пропорційна середній величині суми проекцій дипольних моментів на напрям перпендикулярний напряму спостереження, що становить половину від інтенсивності розсіяння вперед і назад (середнє значення ϑ2cos є 2

1 ).

Але! Виявляється, що оптично однорідне середовище не розсіює світла! Причина: інтерференція вторинних хвиль розсіяного світла.

Розглянемо малий, порівняно з довжиною хвилі об’єм середовища на хвильовому фронті AA ′ падаючої плоскої хвилі V1.

Нехай це об’єм в напрямі ϕ випромінює вторинну хвилю певної амплітуди і фази. На хвильовому фронті AA ′ можна завжди виділити інший об’єм V2, який в тому самому напрямі випромінює вторинну хвилю тієї ж амплітуди, але таку, що проходить в точку спостереження в протифазі, тобто різниця ходу цих хвиль повинна бути 2/λ . З рисунка видно, відстань між цими об’ємами V1 та V2 повинна бути

ϕ2sinλ

=l .

Якщо середовище повністю однорідне, то взаємне гасіння буде мати місце для вторинних хвиль, які випускаються будь-якою парою рівновеликих об’ємів, розміщених на хвильовому фронті на відстані l . Таким чином

можна отримувати повне гасіння вторинних (розсіяних) хвиль в будь-яких напрямках, крім початкового ( 0=ϕ ), в якому всі вторинні хвилі розповсюджуються в фазі і додаються, утворюючи хвилю, що проходить вперед.

Таким чином, якщо середовище однорідне і вторинні хвилі когерентні, то розсіяне світло не виникає. Оскільки при пружному (релеєвському) розсіянні вторинні хвилі когерентні, то для виникнення релеєвського розсіювання потрібні оптичні неоднорідності середовища.

Релей здійснив розрахунок інтенсивності світла природного неполяризованого

світла, розсіяного на сферичних частинках, розміри яких малі порівняно з довжиною хвилі.

Інтенсивність розсіяного світла

( ) ( )ϕεεεεεπ 2

2

0

02

04

220

2

0 cos1λ2

9+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−′

=r

VNII

Інтенсивність І пропорційна: 1. інтенсивності падаючого світла І0 ( 0

20

2000 , IEpEp ∼∼∼ )



4

2. концентрації N частинок 3. обернено пропорційна 4λ 4. обернено пропорційна квадрату відстані 0r до розсіючого об’єму 5. множнику ( )ϕ2cos1+ , який легко отримати з розподілу випромінювання для

диполя: ϕ22 cosθsin =∼I оскільки θ2/π −=ϕ , враховуючи, що індуковані диполі мають рівномірні орієнтації в площині перпендикулярній напрямку поширення пучка

6. V ′ - об’єм, а ε - діелектрична проникність частинки, 0ε - діелектрична проникність середовища.

Величина 2

0

0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−εεεε є мірою оптичної неоднорідності:

при 0εε = (отже при 0nn = , ( ε=n )) розсіяння зникає. Спочатку намагались пояснити блакитний колір неба наявністю в атмосфері

частинок пилу, які розсіюють світло за законом Релея 4λ/1∼I . Але виявилось, що і

абсолютно чисте повітря також розсіює світло за законом Релея. Таке розсіяння має

місце в чистих (не мутних, тобто без домішок) газах і рідинах з оптичними

неоднорідностями самих цих середовищ.

Найбільш яскраво це видно в явищі критичної опалесценції: різкому зростанні

розсіяння світла в речовині поблизу критичної точки. Цей дослід з ампулою,

наповненою ефіром, демонструється в курсі молекулярної фізики: при підході до

критичної точки, ампула, внаслідок сильного розсіяння, стає непрозорою.

Смолуховський пояснив критичну опалесценцію тим, що при критичній

температурі стисливість середовища ( )TPV ∂∂ / є дуже велика, отже легко виникають

флуктуації густини, а отже і ε , оскільки απε N41+= , де N - концентрація молекул, α -

їх поляризуємість. При флуктуації густини ρ∆ виникають флуктуації N∆ , а отже і

діелектричної проникливості ε∆ .

Інтенсивність розсіяння (за Айнштайном)

( ) ( )ϕεπ 22*2

04

2

0 cos1λ

12

+∆= VVr

II

*V - середній об’єм флуктуації, малий порівняно з довжиною хвилі, але такий, що

містить багато молекул.

ε∆ може виражатись густиною і температурою (або тиском Р та ентропією S),

флуктуаціями концентрації в рідинах тощо.

( )θcos1λ2

22

20

40 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= kTr

VII Tβρερπ



5

де Tβ - ізотермічна стисливість T

VV ρ∂∂1 .

Саме флуктуаціями ε∆ пояснюється блакитний колір неба і червоний колір

Сонця при заході. Червоний колір Сонця при заході посилюється при сильній запиленості

та задимленості: тоді до розсіяння на флуктуаціях додається релеєвське розсіянні

Провокацйне питання: А чому хмари, які теж являють собою оптично неоднорідне

середовище, переважно білі, а не блакитні?

Справа в тому, що теорія Релея добре працює до розміру неоднорідностей порядку сотої

довжини хвилі (для сферичних частинок 0,03λ ). Для опису розсіяння на частинках з розмірами

порядку довжини хвилі застосовують теорію Мі, яка строго розвинута для частинок сферичної

форми. В цій теорії два параметри: приведений радіус частинки ka , де c

k ω= – модуль хвильового

вектора падаючої хвилі, a – радіус частинки, та n=ε – комплексний показник заломлення

речовини, з якої складається частинка. Характер розсіяння суттєво визначається цими параметрами.

При 1<<ka маємо релеєвське розсіяння.

Основні риси розсіяня Мі такі:

1. Переріз розсіяння Мі при ka порядка одиниці має декілька максимумів залежно від

приведеного радіуса. Можуть спостерігатися резонанси розсіяння Мі, коли переріз

розсіяння досягає величини 26 aπσ = . При зростанні ka варіації перерізу розсіяння

зменшуються і 22 aπσ → . Відмінність цього граничного перерізу σ від від площі

геометричної тіні частинки 2aπσ = зумовлена дифракцією: на великих відстанях від

частинки світло проникає в область геометричної тіні.

2. Із збільшенням розміру частинок ka з’являється асиметрія діаграми розсіяння (розсіяння

відбувається переважно вперед), а при 1>>ka також вона стає «порізаною»: з’являються

бокові пелюстки, зумовлені інтерференцією світла, розсіяного різними ділянками

розсіюючої частинки.

3. Залежність інтенсивності розсіяного світла від довжини хвилі у випадку росіяння Мі стає

слабкою. Тому крапельки води або кристалики льоду в хмарах практично однаково

розсіюють світло будь-якої ділянки видимого діапазону. Тому удень з освітленої сторони

хмари білі ( з тіньової – сірі).

Про розсіяння Мі прочитати самостійно.



6

Спектри молекулярного розсіяння світла Якщо середовище складається з молекул одного виду (немає включень іншої речовини), то тоді розсіяння зумовлене лише перевипромінюванням цих молекул. Таке розсіяння називають молекулярним. Докладне вивчення спектрів молекулярного розсіяння монохроматичного світла показало, що розсіяне світло містить, крім частоти падаючогго світла також світло дещо інших частот: спостерігається спектр, який складається з незміщеної лінії релеєвського розсіяння і симетрично розташованих відносно неї так званих компонент Мандельштама – Брілюена. Розсіяння Мандельштама – Брілюена Різні флуктуації в макроскопічно однорідній речовині змінюються з часом. Часові

зміни оптичних неоднорідностей призводять до зміни амплітуди і фази розсіяного світла

( ) ( )( )tkrttEE ss ϕω ++= cos0

Це означає, що порушується монохроматичність розсіяного світла (у ньому з’являються додаткові компоненти). У рідинах найбільш інтенсивне розсіяння світла відбувається на великих флуктаціях, загасання яких мале, наприклад, на пружних хвилях1.

Адіабатичні флуктуації густини або

флуктуації тиску можна розглядати як сукупність пружних хвиль, що розповсюджуються в різних напрямках та з різними частотами (розклад в інтеграл Фур’є по плоским хвилям).

Пружні хвилі однакової частоти, що розповсюджуються в протилежних напрямках утворюють стоячі хвилі. Маємо просторову періодичну модуляцію густини, а отже і показника заломлення.

Якщо в середовище направити плоску монохроматичну хвилю

( )rktEE rr−= cos 00 ω ,

то вона дифрагує на стоячій пружній (звуковій) хвилі. Максимум дифракції буде в напрямку, що визначається умовою Брега

λ2θsin2 =Λn ,

де Λ - довжина пружної (звукової) хвилі. Амплітуда світла, дифрагованого в цьому напрямі змінюється за законом tcosΩ , де Ω - частота пружної (звукової) хвилі (оскільки амплітуда індукованої звуковою хвилею просторової модуляції густини періодично змінюється в часі з частотою Ω ). 1 Пружні хвилі в рідині можна створити штучно, наприклад, використовуючи ультразвукове збудження.



7

Тому в полі світла маємо

( ) ( )[ ]ttEtΩtEtE s Ω−+Ω+∼≈ 00000 coscos21 coscos)( ωωω

тобто в розсіяному світлі з’являються компоненти Ω+0ω та Ω−0ω . Перша компонента носить назву антистокової, а друга – стоксової компоненти Мандельштама – Брілюена. Вони утворюють так звану тонку структуру лінії Релея.

Для частоти звукової хвилі можна записати

( )( ) ( )/2θsin

cV2/2θsin

λ4V

/2θsin2λ1V22V 0n

πn

n

ωππ===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Λ

=Ω

Отже зміна частоти залежить від 0ω (!) та від напрямку спостереження: максимальне Ω при розсіянні назад! Відносна частота

( )/2θsincV2

00

n=Ω

=∆

ωωω .

Для максимального значення

80 103

10 3cV2

⋅×∼=

∆ nωω

cм /10V 2∼ в газах, cм /10х 3∼ - рідини cм /10V 4∼ в рідинах та кристалах cм /103c 8⋅∼ , тобто 0

46 1010 ωω −− ÷=∆ для нм 500λ = або 14 102~ −⋅= смν

12 110~ −− ∼=∆ смν



8

Комбінаційне розсіяння світла Комбінаційне росіяння світла (в іноземній літературі відоме як ефект Рамана або раманівське росіяння – Raman scattering) було відкрито в 1928 р. практично одночасно і незалежно Ландсбергом і Мандельштамом в Москві при виченні розсіяння світла в кристалах кварцу і Раманом та Крішнаном в Індії при дослідженні розсіяння світла в рідинах. При комбінаційному розсіянні світла (КРС), яке можливе в ідеально оптично однорідних середовищах, спектр розсіяного світла містить комбінації частот падаючого світла Iω та частот Ω власних коливань розсіючого середовища

Ω±= Is ωω . Класичне пояснення. Поляризуємість молекули на частоті видимого світла змінюється при внутрішньомолекулярних коливаннях, які відбуваються з частотою Ω :

)cos1()( 0 tt Ω+= εαα .

Коли молекула знаходиться в полі світлової хвилі з частотою Iω , то амплітуда світа,

що його розсіює (перевипромінює) молекула є

tEttEttE IIIIs ωεαωα cos)cos1(cos)()( 000 Ω+==

])cos[(21])cos[(

21cos)( 0000 tEtEtEtE IIIIIIs Ω++Ω−+ ωεωεωα .

Тким чином, у спектрі розсіяного світла з’являються комбінаційні частоти

Ω−= IS ωω та Ω+= IAS ωω Квантова модель.

Стоксів процес: при віртуальному переході вгору із основного стану молекули зникає фотон лазерного випромінювання, а при поверненні молекули на перший збуджений коливальний стан виникає так званий стоксовий фотон, енергія якого менша за енергію лазерного фотона на величину коливального кванта.

)1(Sωh

Lωh 1=v стоксів процес

Ωh



9

антистоксів процес )1(

ASωh Lωh

1=v Ωh

В антисоксовому процесі зникає коливальний квант і народжується антистоксовий фотон з більшою енергією. КРС є типовим непружним розсіянням, оскільки при КРС змінюється внутрішня енергія розсіючого центра. При цьому виконуються закони збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу. Розглянемо просту корпускулярну модель. Фотон, що має енергію νhEф = та імпульс

khpфrr

= розсіюється на деякому розсіюючому центрі (атом, молекула, наночастинка, мікрочастинка тощо). Фотон є безмасовою частинкою. Якщо застосувати прості механічні міркування, то можна вважати, що маємо розсіянння частинки на центрі маса якого набагато більша за масу частинки. Тоді можна записати

цц EhEh ′+′=+ νν

цфцф pppp ′+′=+rrrr

цфцф LLLL ′+′=+rrrr

Розсіяння називається пружним, якщо внутрішня енергія частинок після розсіяння не змінюється. В нашому випадку це означає цц EE ′= . Тому зміна енергії фотона обумовлена лише зміною модуля імпульсу фотона. При зіткненні легкої частинки з масивною ця величина змінюється дуже мало. Отже, νν ′≈ hh →

νν ′≈ , тобто частота світла практично не змінюється 2 . При при релеєвському розсіянні νν ′= . Розсіяння називається непружним, якщо внутрішня енергія частинок після розсіяння змінюється. Саме це відбувається у випадку КРС. При цьому в зміна енрегії фотона дорівнює різниці внутрішніх енергій розсіюючого центру до і після розсіяння 2 Помітна зміна частоти спостерігається при пружному розсіянні рентгенівських фотонів на електронах (ефект Комптона). Це можливо тому, що рентгенівськи фотони мають значний імпульс, а електрони є найлегші з частинок, з яких складаються атоми.



10

цц EEhh −′=−′ νν , а частотний зсув h

EE цц −′±=−′ νν .

o При релеєвському розсіянні світла, яке можливе лише в оптично неоднорідних

середовищах, частота (довжина) хвилі розсіяного світла sω не відрізняється від частоти падаючого світла Iω . Таке розсіяння світла називають пружним.

o При комбінаційному розсіянні світла (КРС), яке можливе також і в ідеально оптично однорідних середовищах спектр розсіяного світла містить комбінації частот падаючого світла Iω та частот Ω власних коливань розсіючого середовища

Ω+= Is ωω . Тому КРС називають непружним розсіянням, оскільки є обмін енергією між падаючою хвилею (потоком фотонів) та внутрішніми ступенями вільності середовища. При пружному релеєвському розсіянні розсіяне світло є когерентним з падаючим. При непружному комбінаційному розсіянні світла когерентність втрачається: КРС є некогерентним розсіянням.



11

Деякі додаткові речі 1. Як відрізнити молекулярне розсіяння від розсіяння на неоднорідностях, наприклад, включеннях іншої

речовини в кристалах? Інтенсивність молекулярного розсіювання зростає з температурою.

2. Чим зумовлена неповна поляризація розсіяного під кутом 2р/=ϕ світла? Анізотропією молекул:


© О.В.Слободянюк, 2003-2007 4_4_Posherennia svitla d fnizotropn seredovyshchakh V0508-08

1

4. 4. Поширення світла в анізотропних середовищах

До цього часу ми розглядали ізотропні середовища. Тепер розглянемо прозорі анізотропні діелектричні немагнітні середовища. Це переважно кристали. Немагнітні: HB

rr= )1( =µ , прозорі 0=σ .

Поширення електромагнітних хвиль в кристалі визначається рівняннями Максвела,

dtD

cHrot

rr ∂=

1 ; dtH

cErot

rr ∂

−=1 (1)

0=Ddivr

; 0=Hdivr

(2) і матеріальним рівнянням

EDrr

ε= , (3) де ε являє собою тензор другого рангу, що забезпечує лінійні зв’язки між компонентами векторів D

r і Er

. iiji ED ε=

Можна показати, що в області прозорості тензор ε симетричний ( jiij εε = ) , а також, що 0>ijε .

Для такого тензора можна обрати таку ( власну ) систему координат, в якій всі його компоненти окрім діагональних обертаються на нуль:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

3

2

1

000000

€ε

εε

ε

( В ізотропному середовищі εεεε === 321 , тобто тензор ε перетворюється на скаляр ) Про так звану зовнішню симетрію тензора другого рангу ε дають уяву його характеристична поверхня1

123

22

21 =++ zyx εεε (4)

або так звана вказівна поверхня

13

2

2

2

1

2

=++εεεzyx , (5)

які в загальному випадку є еліпсоїдами загального вигляду. У випадку вказівної поверхні це еліпсоїд, довжина півосей якого пропорційна кореням квадратним із головних значень iε . Вже звідси треба очікувати залежності швидкості поширення світла від напрямку поширення: якщо, наприклад, електричний вектор

електромагнітної хвилі OxEr

, то 1

1 ευ c

= , а якщо OzEr

, то 3

3 ευ c

= .

Для подальшого розгляду зручно взяти матеріальне рівняння у вигляді: DErr

η= або jiji DE η= ( 3′ ) де η - так званий тензор діелектричної непроникності, обернений до тензора ε , тобто

Ι= ˆˆˆεη . Якщо електромагнітне поле поширюється в кристалі у вигляді плоскої хвилі, то маємо:

))(exp(),( 0 rktiEtrE rrrr−−= ω

1Аналогічно в механіці для унаочнення симетрії тензора інерції будують еліпсоїд інерції.



2

))(exp(),( 0 rktiDtrD rrrr−−= ω (6)

))(exp(),( 0 rktiHtrH rrrr−−= ω ,

де ω - частота, а kr

- хвильовий вектор, mnc

mk rrr ωλπ

==2

, де kkm r

rr= , а

υcn = , так само,

як і для ізотропного середовища .

Дія диференціальних операторів divrot, та dt∂ на вирази для плоских хвиль відома:

rot ×→×∇ kirr

div ⋅→⋅∇ ki

rr

dt∂ ωi−→

Отже, з рівнянь Максвела (1,2) отримаємо

Dc

Hkrrr ω

−=× Hc

Ekrrr ω

=× (7)

0=Dkr

0=Hkr

(8) З рівнянь (7) та (8) випливає, що kD

rr⊥ ; kH

rr⊥ , а з рівняння (7) , що DH

rr⊥ , EH

rr⊥ .

Висновок: в анізотропному середовищі зберігається ортогональність і синфазність векторів E

r

і Hrта векторів D

r і H

r, але векторD

r більше не колінеарний з вектором E

r. 2

Перепишемо (7) у вигляді:

[ ] Dc

Hmnc

rrr ωω−=× ; [ ] H

cEmn

c

rrr ωω=× ,

звідки отримаємо

[ ] DHmnrrr

−=× , [ ]EmnHrrr

×= . (9)

Виключаючи з (9) Hrодержимо рівняння для E

r

[ ][ ] DEmmnrrrr

−=××2

праву частину якого перетворимо за формулою ( ) ( )baccab

rrrr⋅−⋅

( ) ( ) 2nDmmEEmmr

rrrrrr−=−

і, оскільки ( )mm rr =1, можна записати

( ) 2nDEmmEr

rrrr=− (10)

2 В магнітному середовищі також втрачається колінеарність векторів B

r і Hr

.



3

Тепер використаємо матеріальне рівняння ( 3′ ) у формі kjkj DE η= , щоб виключити Er

:

( )( ) Dn

Dmmrrrr

21ˆˆ =⋅⋅− ηη або ( ) ikjkjiik D

nDmm 2

1=− ηη (11)

Рівняння (11) визначає швидкість і поляризацію хвилі, що може розповсюджуватись в анізотропному кристалі в напрямі mr . Щоб дослідити характер цих хвиль введемо декартову систему координат 321 ,, XXX , причому

mOX r3 . Тоді 0, 21 =mm , 03 =D і векторне рівняння (11) запишеться так

⎩⎨⎧

=+=+

−

−

22

222121

12

212111

DnDDDnDD

ηηηη

(12)

або

2

12

2

1

2221

1211

DD

nDD −=

ηηηη

.

Двовимірний тензор ijη є симетричним ( 2112 ηη = ) і має 2 власних значення 2−n , які знаходимо за стандартною процедурою, як розв’язки відповідного секулярного рівняння

022212

122

11 =−

−−

−

nn

ηηηη

. (13)

( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−±+=− 2

122

2211221122,1 2

21 ηηηηηn (14)

Таким чином, в одному й тому ж напрямку mr може розповсюджуватися дві хвилі з

швидкостями ( )1

1 nc

=υ , ( )2

2 nc

=υ . Такі хвилі називають нормальними хвилями.

Кожному власному значенню ( )2−

qn відповідає свій власний вектор ( )qDr

, причому власні вектори, що відповідають різним власним значенням, є взаємно ортогональні. Отже, для нормальних хвиль в анізотропному середовищі ( ) ( )21 DD

rr⊥ .

Компоненти вектора індукції ( )1Dr

можна знайти за відомим показником заломлення )1(n з будь-якого із рівнянь

( )( ) ( ) ( ) 01212

11

2111 =+− − DDn ηη

або (15)

( )( )( ) ( ) 01

22

1221

112 =−+ − DnD ηη

Аналогічно можуть бути знайдені компоненти вектора ( )2Dr

. Оберемо осі 1X та 2X в площині хвильового фронту так, щоб 012 =η .

Тоді показники заломлення номальних хвиль ( )11

11η

=n , ( )22

21η

=n ,

а відповідні вектори індукції



4( )

11 XD

r, ( )

22 XD

r.

Висновки:

1) В анізотропних кристалах для кожного напрямку поширення mr світло може поширюватись у вигляді двох взаємно ортогональних лінійно поляризованих хвиль з різними фазовими швидкостями.

2) Оскільки напрям переносу енергії визначається вектором Пойнтінга [ ]HEn

cSrr

rr

×∆

= , то

у загальному випадку mr не паралельно Sr

, тобто в анізотропних кристалах напрями хвильової нормалі і променя не співпадають.

Еліпсоїд індексів [еліпсоїд нормалей, оптична індикатриса ]

Рівняння вказівної поверхні (5)

13

2

2

2

1

2

=++εεεzyx

в оптиці анізотропних середовищ прийнято записувати у вигляді

123

2

22

2

21

2

=++Nz

Ny

Nx , (16)

де 321 ,, NNN - так звані головні показники заломлення анізотропного кристала, що чисельно дорівнюють кореням квадратним із головних значень тензора діелектричної проникності, iiN ε= . Звичайно, ці значення беруться на частоті ω світлової хвилі.



5

Еліпсоїд (16) називають еліпсоїдом індексів (інші назви: еліпсоїд ( хвильових ) нормалей, оптична індикатриса). За допомогою еліпсоїда індексів легко знайти показники заломлення 1n та 2n для ортогональних нормальних хвиль, які розповсюджуються в довільному напрямку, що задано вектором хвильової нормалі mr (див. Рис. ). Для цього треба зробити центральний переріз еліпсоїда індексів площиною перпендикулярною вектору mr і визначити довжину півосей еліпса, що утворився. Співвідношення між головними значеннями тензора діелектричної проникності, від яких залежить форма еліпсоїда індексів, визначаються симетрією середовища. Для ізотропних середовищ і кристалів кубічної сингонії εεεε === 321 , тобто тензор діелектричної проникності є скаляром, а оптична індикатриса являє собою сферу. Всі центральні перерізи сфери є кола. Отже, всі показники заломлення однакові для всіх напрямків: двопроменезаломлення немає. В таких середовищах в будь-якому напрямі може поширюватись лише одна світлова хвиля з частотою ω , яка має довільну поляризацію. В анізотропних середовищах оптична індикатриса є еліпсоїд. Тому в них в загальному випадку в будь-якому напрямі можуть поширюватись з різною швидкістю дві світлові хвилі однакової частотиω із взаємно ортогональними лінійними поляризаціями. Однак в цих середовищах існують особливі напрямки, так звані оптичні осі, вздовж яких світло розповсюджується так само як в ізотропному середовищі (лише одна світлова хвиля з частотою ω з довільною поляризацією). Якщо для середовища 21 εε = ≠ 3ε , то оптична індикатриса є еліпсоїд обертання, рівняння якого

12

2

2

22

=++

eo Nz

Nyx

.

(17) Для таких середовищ існує лише один особливий напрямок з такими властивостями (оптична вісь), що співпадає з напрямком осі обертання еліпсоїда. Дійсно, серед центральних перерізів еліпсоїда обертання існує лише один єдиний коловий: його площина перпендикулярна осі обертання (для формули (17) це вісь Oz). Для напрямку поширення mr Oz показники заломлення 1n та 2n для двох ортогональних нормальних хвиль співпадають і дорівнюють ON , тобто маємо виродження в задачі на власні значення [формули (12÷14)]. Це означає, що будь-який вектор mD rr

⊥ буде власним вектором двовимірного тензора у формулі (12). Такі середовища, зокрема кристали3, називають оптично одновісними або просто одновісними. Якщо для середовища 1ε ≠ 2ε ≠ 3ε , то оптична індикатриса є еліпсоїд загального вигляду рівняння якого є

33

2

22

2

21

21

Nz

Ny

Nx

++ . (18)

Еліпсоїд загального вигляду має два колових центральних перерізи і відповідно дві оптичні осі. Відповідні середовища, переважно низькосиметричні кристали, називають оптично двовісними або просто двовісними. Зауважимо, що трьохвісних кристалів не буває. У випадку оптично одновісних кристалів один з показників заломлення 1n не залежить від напряму і завжди дорівнює головному показнику заломлення oN , а другий 2n змінюється залежно від напряму в межах від oN , коли mr Oz, до eN , коли mr ⊥Oz.. Перший з них прийнято називати звичайним, і позначати, наприклад, on або oN . Другий називають

3 Це тетрагональні, гексагональні, та тригональні кристали, тобто такі серед елементів симетрії яких є одна поворотна вісь 6-го, 4-го або 3-го порядку з якою співпадає єдина оптична вісь таких кристалів.



6

незвичайним і позначають en 4 . Такі назви пов’язані з тим, що хвиля з показником заломлення

on поводить себе так як зазвичай проводить себе хвиля в ізотропному середовищі: швидкість поширення не залежить від напрямку і напрям відповідного променя (вектора Пойнтінга) завжди співпадає з хвильовою нормаллю mr . Хвиля з показником заломлення en демонструє відхилення від такої звичайної для ізотропних середовищ поведінки: швидкість її поширення залежить від напрямку і напрям відповідного променя не співпадає з хвильовою нормаллю mr . Величину двопроменезаломлення одновісних кристалів характеризують величиною

oe NNN −=∆ . Якщо 0)( >− oe NN , то одновісний кристал вважають оптично додатним, якщо 0)( <− oe NN , то оптично від’ємним . Форма оптичної індикатриси для цих двох випадків

представлена на Рис. .

Рис. . Оптичні індикатриси одновісних кристалів. (Сплюснутість чи витягнутість еліпсоїдів сильно перебільшені)

Прикладом оптично додатнього одновісного кристалу є кварц, від’ємного – кальцит (ісландський шпат). Для більшості одновісних кристалів величина N∆ становить 10-2÷10-3. Лише для деяких (кальцит, рутіл) ця величина перевищує 0,1.

Хвилі та промені.

В ізотропних середовищах фазова та групова швидкості співпадають за напрямом, mS rr.

В анізотропних середовищах це не так, напрями вектора нормалі та вектора Пойнтінга не співпадають, 0≠×mS rv

(див. Рисунок). Між величинами групової швидкості u та фазової швидкості υ існують співвідношення

cqsm=== rr

υψ

υcos

u ,

де SSs r

rr= і

cuq = – величина обернена показнику

заломлення для променів.

Можна легко показати, що рівняння Максвела можуть бути записані як для світлових хвиль, так і для світлових променів:

4 Від французьких слів ordinaire – звичайний, та éxtraordinaire - незвичайний.



7

для світлової хвилі: DHmnrrr

−=× HEmnrrr

=× DE

rrη=

для світлового променя: EHSqrrr

−=× HDSqrrr

=× EDrr

ε=

Таким чином, в прозорому немагнітному кристалі система рівнянь для хвилі переходить в систему рівнянь для променя при підстановках:

DErr

→ , EDrr

→ , HHrr

→ , Smrr

→ , qn → , εη ˆˆ → і навпаки. Відповідно можна розглядати два типи поверхонь, що унаочнюють розповсюдження світла в анізотропних середовищах: еліпсоїд індексів (еліпсоїд нормалей, оптична індикатриса) та еліпсоїд Френеля. Для унаочнення розповсюдження світла в анізотропних середовищах для різних задач можуть використовуватись і інші поверхні, приклади яких наведено нижче.

Поверхні, що унаочнюють розповсюдження світла в анізотропних середовищах

Еліпсоїд індексів

1ˆ =⋅ rr rr η 1=jiij xxη

13

2

2

2

1

2

=++εεεzyx

123

2

22

2

21

2

=++Nz

Ny

Nx

Еліпсоїд Френеля. 1ˆ =⋅ rr rr ε

1=jiij xxε

123

22

21 =++ zyx εεε

1223

222

221 =++ zNyNxN

Інші поверхні



8

Оптична активність. Явище оптичної активності спостерігається як поворот площини поляризації лінійно поляризованого світла після проходження через так звану оптично активну речовину. Моделі, що пояснюють оптичну активність молекул

Проста класична модель - модель спіральних пружинок різного знаку спіральності. Для одних при падінні лінійно поляризованого світлі з вектором E

r паралельним осі пружинки індуковані

дипольний електричний pr та дипольний магнітний mr моменти мають однакові напрями вздовж осі спіралі, а для пружинок з протилежним напрямом закрутки - дипольний електричний pr та дипольний магнітний mr моменти направлені протилежно один одному. Наявність індукованих дипольного електричного pr та дипольного магнітного mr моментів призводить до того, що їх перевипромінюванні поля додаються до поля хвилі, що падає на пружинку, в результаті чого сумарний вектор E

r виявляється повернутим на деякий кут,

знак якого залежить від знаку спіральності.

Послідовна теорія оптичної активності може бути побудована з використанням стандартних підходів квантової електродинаміки, в якій будь-який процес взаємодії поля з речовиною трактується як зникнення деяких початкових станів ел.-магн. поля (зникнення фотонів у певній моді поля) і поява кінцевих станів поля (народження фотонів в інших модах поля) при виконанні законів збереження енергії, імпульса та момента імпульса для системи речовина-поле.

Обертання площини поляризації може розглядатися як двофотонний процес, при якому один фотон зникає, а народжується інший з тим же хвильовим вектором, але з іншою поляризацією.


© О.В.Слободянюк, 2003-2008 5_1_Vyprominiuvannia nagrityhk til_V0312-09

1

5. 1. Випромінювання нагрітих тіл

Закони теплового випромінювання. Теплове випромінювання – випромінювання нагрітих тіл.

Рівноважне випромінювання – це таке, що існує при термодинамічній рівновазі між випромінюванням і системою тіл, що знаходяться при однаковій температурі. Рівноважне випромінювання має певну спектральну густину випромінювання, яку називають рівноважною. До поняття рівноважного випромінювання можна прийти шляхом таких міркувань. Візьмемо декілька тіл з різною початковою температурою і вмістимо їх у всередині замкненої оболонки, яка виключає будь-який обмін енергією з зовнішнім простором (таким чином, всі процеси всередині оболонки є адіабатичними). Нехай, наприклад, поверхня оболонки ідеально відбиває падаюче на неї випромінювання. Для визначеності, яка не обмежує загальності, будемо вважати, що ці тіла безпосередню не дотикаються а ні одне до одного, а ні до оболонки, а всередині оболонки є абсолютний вакуум. Обмін енергією між тілами може відбуватися лише за шляхом випускання та поглинання електромагнітних хвиль. Досвід показує, що через деякий достатньо великий проміжок часу ця система тіл прийде до стану теплової рівноваги, в якому всі тіла мають однакову температуру. Промениста енергія, що випускається тілами за кожний проміжок часу стає в середньому рівною променистій енергії, що поглинається ними за той самий проміжок часу, тобто встановлюється термодинамічна рівновага. При цьому густина енергії випромінювання між тілами (і в порожнині взагалі) досягає певної величини, яка відповідає температурі тіл, що встановилась. Макроскопічно такий стан випромінювання в порожнині залишається незмінним у часі. Таке випромінювання, що знаходиться в термодинамічній рівновазі з тілами, що мають певну температуру, називається рівноважним. Властивості рівноважного випромінювання, зокрема його спектральний розподіл, залежать лише від температури тіл. Тому можна говорити про температуру рівноважного випромінювання, за яку приймають температуру речовини, з якою це випромінювання знаходиться в термодинамічній (іноді кажуть в тепловій) рівновазі.

Нагадаємо, що густина енергії електромагнітного поля є

( )22

81 HEW µεπ

+= ,

а спектральний розподіл випромінювання характеризується спектральною густиною енергії випромінювання на одиничний інтервал частот ( )νw (або довжин хвиль )(w λ )

( )ν

νν ddW

== ww ,

так що повна (інтегральна) густина енергії випромінювання є

( )∫∞

=0

w νν dW .

Кірхгоф у 1860 р. показав, що рівноважна спектральна густина енергії випромінювання ( )νw залежить лише від температури Т і не залежить від властивостей і природи тіл,

що знаходяться в порожнині, а також від природи і властивостей стінок порожнини.

Це твердження іноді називають першим законом Кірхгофа випромінювання. Воно безпосередньо випливає з другого начала термодинаміки і тому має універсальний характер. Дійсно, припустимо протилежне, себто ( )νw залежить від природи тіла, в рівновазі з яким знаходиться випромінювання. Візьмемо дві порожнини, що знаходяться при однаковій температурі і



2

містять різні тіла, які знаходяться в рівновазі з випромінюванням, що заповнює відповідні порожнини. За нашим припущенням ( ) ( )νν 21 ww ≠ . Сполучимо порожнини між собою, так, щоб вони могли обмінюватись випромінюванням між собою. Якщо густини енергії випромінювання в цих порожнинах різні, то виникне направлений потік енергії випромінювання, внаслідок чого виникне різниця температур між порожнинами (тілами). Цю різницю температур можна використати для одержання роботи. При здійсненні роботи згадана різниця температур зникне і система двох порожнин досягне нового стану термодинамічної рівноваги, але при температурі нижчій за початкову, оскільки частина енергії системи була витрачена на виконання роботи. Таким чином, при прийнятому нами припущенні виконується робота за рахунок адіабатного охолодження термоізольованої системи, що суперечить другому началу термодинаміки. Якщо розміщувати на шляху випромінювання, яким обмінюються порожнини, фільтр, що пропускає випромінювання у вузькому інтервалі частот ],[ ννν d+ , то хід наведених вище міркувань для кожного обраного частотного інтервалу не зміниться.

Отже, перший закон Кірхгофа доведено, тобто ( )νw може залежати лише від температури.

Для експериментального дослідження спектрального складу рівноважного випромінювання можна взяти порожнину, стінки якої підтримуються при певній температурі, і в одній із стінок зробити невеликий отвір. Випромінювання, що виходить через цей отвір, має точно такий спектральний склад як і рівноважне випромінювання в порожнині. Від рівноважного воно відрізняється лише тим, що поширюється в певному напрямку в межах певного тілесного кута. Рівноважне ж випромінювання в порожнині просторово однорідне, ізотропне і неполяризоване, тобто в кожній точці порожнини, зайнятій випромінюванням, воно має однакову спектральну густину, а всі напрями поширення і всі напрями коливань напруженостей електромагнітного поля рівноймовірні.

Слід підкреслити, що в той час, коли спектральний склад випромінювання, що виходить через отвір в описаній вище порожнині, має універсальний характер і не залежить від природи стінок порожнини та тіл, що в ній знаходяться, для теплового випромінювання з відкритої поверхні тіла це не так: його спектральний розподіл залежить не лише від температури, але й від матеріалу поверхні.

Випромінювальна здатність тіла νE визначається потужністю власного випромінювання нагрітого тіла з одиниці його поверхні в одиничному інтервалі частот. Якщо потужність власного випромінювання нагрітого тіла з одиниці його поверхні в інтервалі частот

],[ ννν d+ є

ννν dEd e =Φ , (1)

то при νd =1 νν Ed e =Φ , тобто випромінювальна здатність нагрітого тіла на заданій частоті чисельно дорівнює потужності власного випромінювання цього тіла з одиниці його поверхні в одиничному інтервалі частот поблизу цієї частоти.

Випромінювальна здатність тіла νE залежить від його температури: TETEE ,)( νν →= .

Тоді повний (інтегральний, на всіх частотах) потік, що його випромінює поверхня, є

∫∞

=Φ0

, ν)( dET Te

ν .

Випромінювальна здатність тіла νE характеризує лише теплове випромінювання тіла. Всі інші види випромінювання, наприклад, люмінесценція, повинні бути виключені. Випромінювальна здатність тіла νE не залежить від оточуючого середовища. Тіло нагріте до



3

температури T випромінює однакову потужність незалежно від того, оточене воно холоднішими чи більш гарячими тілами. Інша справа, що теплова рівновага встановлюється залежно від балансу обміну енергією між всіма цими тілами, кожне з яких здатне не лише випромінювати, а й поглинати променисту енергію.

Поглинальна здатність тіла νA визначається відношенням поглинутої ним потужності до падаючої потужності

i

abs

ddA

ν

νν Φ

Φ= , (2)

Коли на тіло падає випромінювання, то частина його відбивається та розсіюється поверхнею, а частина проникає всередину. Промениста енергія, що проникла всередину, частково поглинається, тобто переходить в тепло, а частково після декількох актів розсіяння може вийти назовні. Поглинальну здатність тіла νA , яка є безрозмірною величиною, не слід плутати з коефіцієнтом поглинання λk , що характеризує відносне послаблення пучка випромінювання на одиниці дожини його шляху і має розмірність см-1 (див. закон Бугера в розділі 2.5.). Тіло може мати не дуже великий коефіцієнт поглинання, але при значній протяжності вглибину – велику поглинальну здатність, яка в будь-якому разі не може бути більша за 1 (з означення (2) видно, що 1≤νA ).

Поглинальна здатність тіла νA також залежить від його температури TATAA ,)( νν →= .

Дослід показує, що чим більша поглинальна здатність тіла в деякій ділянці спектру, тим більше інтенсивність його випромінювання в тій же спектральній ділянці і при тій же температурі. Наприклад, нагрітий до температури порядку 800 С сталевий пруток світиться червоним (темно-вишневим) світлом, в той час як прозорий стержень з плавленого кварцу при тій самій температурі зовсім не світиться. В той же час, якщо взяти кварц, який має вузькі смуги поглинання в видимій області, то при нагріванні можна в спектрі його теплового випромінювання спостерігати світлі смуги, спектральне положення яких відповідає смугам поглинання. На зв’язок між випромінювальною та поглинальною здатностями тіл вперше вказав Прево: якщо два тіла поглинають різні кількості променистої енергії, то й випускання ними променистої енергії повинно бути різним (правило Прево, 1809 р.) Цей зв’язок між тепловим випромінюванням і його поглинанням є наслідком загальних принципів термодинаміки. Оскільки, як відзначалося, випромінювальна та поглинальна здатності тіла не залежать від його оточення, то для знаходження зв’язку між ними можна розглянути частинний випадок, коли тіло оточене рівноважним випромінюванням, наприклад, знаходиться в порожнині, стінки якої мають ту ж саму температуру, що й тіло. Знайдемо зв’язок між потоком id νΦ цього випромінювання, що падає на елементарну площадку тіла, в одиничному спектральному інтервалі поблизу частоти ν , та спектральною густиною рівноважного випромінювання νw в тому ж самому спектральному інтервалі. Оскільки рівноважне випромінювання ізотропне, то в межах елементарного тілесного кута ϕθθ ddd sin=Ω в напрямку елементарної площадки тіла поширюється частка енергії рівноважного випромінювання νw , що становить )4/( πΩd від густини енергії в цьому спектральному інтервалі, яка розповсюджується в усіх напрямках (тобто в тілесному куті 4π) . Якщо обраний напрям ϕθ , , поблизу якого розглядається елементарний тілесний кут Ωd , становить кут θ з нормаллю до елементарної площадки тіла, то елементарний потік ),( ϕθνΦd рівноважного випромінювання, що надходить на елементарну площадку тіла з цього тілесного кута, є

)4/(cosw),( πθνϕθν Ω=Φ dcd ,

де с – швидкість світла (ми, без обмеження загальності, вважаємо, що в порожнині вакуум).



4

Для знаходження шуканого потоку id νΦ необхідно інтегрувати цей вираз по кутам ϕ та θ :

ν

π π

νν θθθϕ

πw

41cossin

4w 2

0

2

0

cddc

d i ==Φ ∫ ∫ .

Частина цього потоку iabs dAd ννν Φ=Φ поглинається тілом, а решта, а саме

iabsi dAdd νννν Φ−=Φ−Φ )1( – відбивається і розсіюється, тобто відходить від поверхні тіла. До

цього потоку відбитого і розсіяного випромінювання додається потік власного випромінювання eνΦ в

обраному нами одиничному спектральному інтервалі, який чисельно дорівнює випромінювальній здатності тіла νE . Таким чином, повний потік випромінювання, що відходить від поверхні є

νννν EdAd iвід +Φ−=Φ )1( . Відповідно до принципу детальної рівноваги він повинен бути рівний

потоку id νΦ випромінювання з того самого спектрального інтервалу, що падає на ту саму площадку тіла. Отже має місце рівність

νννν EdAd ii +Φ−=Φ )1( , звідки

випливає, що

ννν

ν w41

,

, cdAE i

T

T =Φ= . (3)

Отже відношення випромінювальної здатності тіла до його поглинальної здатності з точністю до сталого множника співпадає зі спектральною густиною рівноважного випромінювання νw , яка відповідно до першого закону Кірхгофа не залежить від властивостей і природи тіл, з яким перебуває в рівновазі випромінювання, а є, як уже відзначалося, універсальною функцією температури та частоти. Кожна з величин νA і

νE може змінюватись в дуже широких межах, але їх відношення залишається однаковим для всіх тіл. В цьому полягає зміст закону випромінювання Кірхгофа (його також називають другим законом Кірхгофа).

Закон Кірхгофа: відношення випромінювальної здатності тіла до його поглинальної здатності не залежить від природи тіла, тобто є універсальною функцією температури та частоти.

Тіло, яке повністю поглинає всю падаючу на нього променисту енергію називають абсолютно чорним тілом. Поглинальна здатність абсолютно чорного тіла дорівнює одиниці для будь-яких температур і частот.

Реалізувати абсолютно чорне тіло з хорошим наближенням можна у вигляді замкненої порожнини з невеликим отвором (Рис. ). Пучок випромінювання, що потрапляє через отвір до порожнини практично повністю поглинається стінками порожнини при багаторазових падіннях на стінки, при яких він зазнає поглинання, відбивання та розсіяння. Оскільки площа отвору становить дуже малу частину загальної площі внутрішньої поверхні порожнини безпосередньо енергія первинного пучка назовні практично не виходить, тобто дійсно все випромінювання, що потрапило в отвір поглинається порожниною. Природним прикладом можуть бути нори пічкурів, вириті у світлій глині крутого берега річки, які в сонячний день виглядають абсолютно чорними.

Випромінювання, що виходить назовні із отвору в оболонці з достатньою точністю може розглядатися як випромінювання абсолютно чорного тіла, яке має температуру стінок порожнини (ці стінки необхідно підтримувати про постійній і скрізь однаковій температурі нагріванням або охолодженням). У конкретних реалізаціях моделей абсолютно чорного тіла форма і матеріал стінок



5

може бути різним (це не впливає на рівноважну спектральну густину енергії випромінювання в порожнині, а отже і на спектральний розподіл випромінювання, що виходить з отвору (перший закон Кірхгофа!)), але їх спільною рисою є малий отвір, що сполучає порожнину з навколишнім простором.

Будемо позначати випромінювальну здатність абсолютно чорного тіла як T,νε , а його поглинальну здатність - як T,να .

Закон Кірхгофа справедливий для всіх без винятку тіл: відношення випромінювальної здатності тіла до його поглинальної здатності має бути однаковим для довільного тіла і для абсолютно чорного тіла:

TT

T

T

T

AE

,,

,

,

,ν

ν

ν

ν

ν εαε

== . (3′)

Тут враховано, що .1, =Tνα Отже відношення випромінювальної здатності довільного тіла

νE до його поглинальної здатності νA дорівнює випромінювальній здатності абсолютно чорного тіла T,νε . Таким чином, для довільного тіла випромінювальна здатність є

TTT AE ,,, ννν ε= . (4)

Отже, випромінювальна здатність будь-якого тіла завжди менша за випромінювальну здатність абсолютно чорного тіла TTE ,, νν ε< !

Крім того, встановлене Кірхгофом співвідношення (4) означає, що коли буде встановлено явний вигляд універсальної функції температури та частоти ),(, TfT νεν = , то можна буде обчислювати розподіл енергії в спектрі будь-якого нагрітого тіла, для якого відома поглинальна здатність TA ,ν , яку, в свою чергу, можна знайти за спектром поглинання.

З формули (3) випливає зв’язок між випромінювальною здатністю абсолютно чорного тіла T,νε та спектральною густиною енергії випромінювання на одиничний інтервал частот ( )νw :

TT c ,, w41

ννε = . (3″)

Отже, відшукання явного вигляду будь-якої з цих двох універсальних функцій автоматично дає явний вигляд іншої. Пошук явного вигляду цих універсальних функцій температури та частоти ( ),(, TfT νεν = і ),(w , TfT νν ′= , які посідають центральне місце в теорії теплового випромінювання був однією з центральних задач фізики кінця 19-го сторіччя. Поступово накопичувались дослідні факти і встановлені шляхом їх узагальнення закономірності щодо теплового випромінювання, які набули кількісного виразу у вигляді законів випромінювання або формул.

Закон Стефана-Больцмана:

Повна випромінювальна здатність абсолютно чорного тіла пропорційна четвертому ступеню температури,

∫ == 4, TdTT σνεε ν , (5)

де σ = 5,67·10-8 Вт·м-2·К-4 так звана стала Стефана-Больцмана.

Цей закон експериментально було встановлено Стефаном у 1879 р., причому Стефан вважав його придатним для опису випромінювання будь-яких тіл. У 1884 р. Больцман обґрунтував



6

співвідношення (5) і теоретично показав, що закон встановлений Стефаном, точно виконується лише для абсолютно чорного тіла. На застосуванні закону Стефана-Больцмана заснована дія так званих радіаційних пірометрів, призначених для безконтактного вимірювання температури нагрітих тіл. В радіаційному пірометрі випромінювання нагрітого тіла спрямовується на неселективний детектор випромінювання (термостовпчик або болометр). Виміряній потужності випромінювання ставиться у відповідність радіаційна температура абсолютно чорного тіла RT , з якою істина температура тіла Т зв’язана

співвідношенням RT TAT 4= , де TA - інтегральна поглинаюча здатність тіла.

Формула Віна і закон зміщення Віна У 1893 р. Вільгельм Він (Wilhelm Wien) розглянув адіабатичне стискання рівноважного випромінювання у порожнині з дзеркальними стінками з врахуванням зміни частоти світла при відбитті від рухомого дзеркала і теоретично обґрунтував формулу

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

TfcTννεν

3, - формула Віна

(6)

або, те ж саме, записане через довжину хвилі

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Tcfc

T λλελ 5

5

, .

(6')

Хоча точний вигляд функції ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Tf ν Віном не був встановлений, це було суттєвий поступ,

оскільки задача знаходження універсальної функції ),(, TfT νεν = від двох аргументів

(температури та частоти), була зведена до задачі про знаходження функції ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Tf ν , що

залежить лише від одного аргументу ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Tf ν .

Крім цього з формули Віна випливав важливий висновок, який дістав назву закону зміщення Віна: добуток температури тіла Т на довжину хвилі maxλ , що відповідає максимуму спектральної густини випромінювання, є величина стала

bT =maxλ . (7)

Дійсно, якщо дослідити функцію T,λε (6') на максимум (прирівняти до нуля похідну λελ

∂

∂ T, ),

то легко побачити, що довжина хвилі, яка відповідає максимуму, maxλ , задовольняє умову (7). Стала b не залежить від температури. Вона може бути визначена як з експериментальних кривих розподілу енергії у спектрі абсолютно чорного тіла (його наближених експериментальних реалізацій) так і обчислена через фундаментальні константи (див. нижче формула Планка). Сучасне значення цієї сталої b = 2,898·10-3 м·К = 2,898·106 нм·К. Відзначимо, що між формулою Віна і законом Стефана-Больцмана існує тісний зв’язок. Виходячи з формули Віна можна дістати закон Стефана-Больцмана. Дійсно,



7

4

0

34

0

43

0, , Tdx

TxfxcTdxTdx

Td

TfcdTT σννννννεε ν ∫∫∫

∞∞∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛====⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛== .

(Було зроблено заміну xT=

ν і введено позначення σ∫

∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0

3 dxTxfx ).

Формула Релея-Джинса (закон випромінювання Релея-Джинса).

Релей у 1900 р. запропонував загальний метод відшукання функції ),(w , TfT νν ′= , що ґрунтувався на класичних уявленнях про рівномірний розподіл кінетичної енергії по ступеням вільності. Джинс, застосував методи класичної статистичної фізики до хвиль в порожнині, і в 1905 р. прийшов до тієї ж формули, що й Релей, яка дістала назву формули Релея-Джинса:

kTcT 3

2

,8w πν

ν = . (8)

Суть використаного ними підходу полягає в тому, що енергія випромінювання в порожнині підраховується як добуток середньої енергії, що припадає на один ступінь вільності, на кількість ступенів вільності випромінювання в порожнині. За класичною теоремою про рівномірний розподіл кінетичної енергії по ступеням вільності, яка широко застосовується в молекулярно-кінетичній теорії газів, в умовах статистичної рівноваги на кожен ступінь

вільності припадає в середньому кінетична енергія kT21 , де k - стала Больцмана. Якщо

ступінь вільності коливальний, то крім кінетичної необхідно врахувати ще й потенціальну

енергію, яка для гармонійного осцилятора також дорівнює kT21 . Таким чином, на кожен

коливальний ступінь вільності приходиться середня енергія kT . Отже тепер задача зводиться до підрахунку кількості ступенів вільності електромагнітного поля.

Оскільки спектральна густина рівноважного випромінювання в порожнині не залежить ні від її форми, ні від матеріалу стінок, то для визначеності можна взяти порожнину у формі куба з ребром L , стінки якого ідеально відбивають випромінювання. Для того, щоб випромінювання в порожнині було рівноважним, достатньо внести до порожнини нескінченно малу поглинаючу порошинку. В такому кубі через деякий час встановляться нормальні коливання – стоячі хвилі різних частот, подібно до того як це буває в одновимірному випадку струни або в об’ємному акустичному резонаторі (ми до певного часу абстрагуємось від векторного характеру електромагнітних хвиль). Повне поле можна уявити як суперпозицію таких стоячих хвиль, які можуть існувати в такому резонаторі незалежно одна від одної. Кожна така стояча хвиля називається модою коливань. Кількість ступенів вільності системи дорівнює кількості мод. Для знаходження спектральної густини енергії поля в стані термодинамічної рівноваги необхідно підрахувати кількість незалежних коливальних мод порожнини, частоти яких лежать в інтервалі

],[ ννν d+ . Як і у одновимірному випадку струни, кінці якої закріплені, для будь-якого нормального коливання (моди коливань), щоб вздовж кожного ребра куба вкладалося ціле число півхвиль. Нехай напрям поширення хвилі (напрям хвильового вектора k

r) становить кути γβα ,, з ребрами куба. Тоді

проекція будь-якого ребра куба на цей напрям має бути рівною цілому числу півхвиль:

2cos 1

λα nL = , 2

cos 2λβ nL = ,

2cos 1

λγ nL = .



8

Піднесемо до квадрату кожну з цих трьох рівностей і додамо їх ліві і праві частини з врахуванням того, що 1coscoscos 222 =++ γβα , отримаємо:

223

22

21

2

2)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++=λnnnL .

Оскільки νλ c= , з останньої рівності можна знайти частоти нормальних коливань

електромагнітного поля в порожнині

Lcnnn

2)( 2

123

22

21 ++=ν ,

тобто частота кожного нормального коливання визначається сумою квадратів трьох цілих чисел 321 ,, nnn . Одна й та сама частотаν може відповідати різним наборам чисел 321 ,, nnn (випадок

виродження), але різним наборам відповідають різні моди коливань. Для того, щоб зробити підрахунок числа мод резонатора більш наочним, візьмемо прямокутну декартову систему координат, по осям якої відкладено числа 321 ,, nnn . Тоді кожна мода буде зображатись точкою з координатами ,, 321 nnn , а скільки кожна координата змінюється дискретно з кроком 1, то в першому октанті сукупність точок, що відповідають різним модам поля в порожнині, утворює кубічну ґратку. Тому кількість dN незалежних коливальних мод порожнини, частоти яких лежать в інтервалі ],[ ννν d+ , дорівнює подвоєній (дві незалежних поляризації!) кількості вузлів такої ґратки,

що лежить в першому октанті сферичного шару з радіусом νcLR 2

= і товщиною νdcLdR 2

= ,:

.8224812 2

33

22 ννπννππ d

cLd

cL

cLdRRdN =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

Таким чином, кількість dn незалежних коливальних мод в одиниці об’єму порожнини, частоти яких лежать в інтервалі ],[ ννν d+ , є

ννπ dc

dn 23

8= ,

а відповідна кількість станів в одиниці об’єму, що припадає на одиничний інтервал частот, є1

.8 23 νπ

ν cddn

= (9)

Помноживши цю кількість на середню енергію kT , що припадає на коливальний ступінь вільності, отримаємо наведену вище формулу Релея-Джинса (8) для спектральної густини енергії випромінювання в порожнині.

Ця бездоганна з точки зору класичної фізики формула задовільно узгоджувалась з експериментом лише в області низьких частот. Щодо області високих частот, то тут вона була абсолютно непридатна, оскільки не мала максимуму, а натомість передбачала монотонне нічим не обмежене квадратичне по частоті зростання спектральної густини енергії. Відповідно, обчислена за її допомогою інтегральна густина енергії рівноважного випромінювання прямує до нескінченності. Це означає, що термодинамічна рівновага між

1 Характерно, що отриманий результат не містить ніякої згадки а ні про форму а ні про розміри порожнини. При виборі порожнини іншої форми, наприклад, прямого паралелепіпеда, отримують той самий результат.



9

речовиною (тілами) і полем могла би бути досягнута лише при нескінченній густині випромінювання, а температура тіл при цьому впала б до абсолютного нуля2.

Закон випромінювання Віна. Дещо раніше, у 1896 р., Вільгельм Він припустив, що випромінювання, яке випускається речовиною (тілом), має розподіл за частотами аналогічний максвелівському розподілу швидкостей молекул в газі і виходячи з цього запропонував формулу для спектральної густини енергії випромінювання на одиничний інтервал частот, яка на відміну від формули Релея-Джинса, мала максимум і добре узгоджувалася з експериментальними даними в області високих частот (далеко від максимуму):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

TCCTν

νν23

1, expw , (10)

де 1C та 2C - деякі сталі коефіцієнти.

Ця формула відома у фізичній літературі як закон випромінювання Віна.

Таким чином, жодна з формул отриманих на основі уявлень класичної фізики, не могла задовільно описати властивості рівноважного випромінювання.

Формула Планка 14 грудня 1900 р. професор кафедри теоретичної фізики Берлінського університету Макс Планк (Max Karl Ludwig Planck, 1858-1947) на засіданні Німецького фізичного товариства представив результати своєї роботи з доведення на основі мікроскопічного підходу формули для спектральної густини енергії випромінювання абсолютно чорного тіла, яку він запропонував за два місяці перед тим на підставі інтерполяції експериментальних даних та деяких теоретичних міркувань.3 Від цього дня бере початок квантова механіка. Універсальна функція температури та частоти T,wν за Планком має вигляд

1

8w 3

2

,

−=

kThT

e

hc νν

νπν , (формула Планка) (11)

де поряд з відомими з класичної фізики величинами введено нову константу h , яка дістала назву сталої Планка, однією з найважливіших, так званих універсальних фундаментальних фізичних констант, серед яких є такі як, наприклад, швидкість світла у вільному просторі c , заряд електрона e , гравітаційна стала G , стала Больцмана k .

Формула Планка (11) спочатку була отримана (підібрана, вгадана) як суто інтерполяційна формула, одна з багатьох існуючих на той час і одна з найпростіших, яка щоправда дуже добре описувала відому на той час експериментальну залежність спектральної густини енергії випромінювання абсолютно чорного тіла від частоти. Саме так до неї ставився сам М. Планк, принаймні коли вперше оприлюднив її на засіданні Німецького фізичного товариства 19 жовтня 1900 р. Саме це рідкісне узгодження з експериментом (згадаємо про доволі обмежені успіхи інших дослідників), надихнуло Планка на її теоретичне доведення з мікроскопічних міркувань (сама інтерполяційна формула (11) була отримана на основі класичних моделей і класичної термодинаміки), в процесі якого він зіткнувся з необхідністю

2 П. Еренфест назвав такий сценарій ультрафіолетовою катастрофою. 3Про хід міркувань Макса Планка можна прочитати у Вступі до підручника І.О.Вакарчука «Квантова механіка».



10

припустити, що світло поглинається і випромінюється дискретними порціями – квантами, енергія яких пропорційна до частоти випромінювання. За Планком енергія такого кванта є

νε h= .

Ця знаменита формула, настільки ж широко відома як і айнштайнівська формула 2mcE = , є власне першою формулою нової, квантової фізики, принципи і математичний апарат якої було розроблено пізніше. З цієї формули видно, що розмірність сталої h є добуток енергії на час, тобто дія, відома з класичної механіки. Саму величину hможна розглядати як елементарний квант дії.4

Формула Планка в принципі не могла бути «виведена» з відомих на той час законів класичної фізики, включаючи термодинаміку і надзвичайну по своїй передбачувальній силі електродинаміку Максвела. Тому на шляху М. Планка до свого відкриття були і геніальні здогадки і вимушені кроки. Ми не будемо повторювати цей шлях, а лише відзначимо декілька моментів суттєвих для нашого розгляду.

М. Планк розпочав свої дослідження проблеми з моделювання випромінювання абсолютно чорного тіла сукупністю гармонічних осциляторів, з якої випливала формула для спектральної густини енергії випромінювання абсолютно чорного тіла

UcT 3

2

,8w πν

ν = , (12)

записаної як добуток кількості осциляторів, що припадає на одиничний інтервал частот, на середню енергію осцилятора U .5 Ключовим моментом, в такому підході, як виявилось, є правильний запис середньої енергії осцилятора U , яка повинна бути функцією температури T . Якщо порівняти формулу (12 ) з законом Віна (11), записаним у формі

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

TChCTνννν

221, exp'w , (11′)

де h - універсальна стала, то можна отримати вираз для U :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

TChU νν 2exp . (13)

Далі Макс Планк увів гіпотезу про ентропію рівноважного випромінювання, маючи на увазі, що незалежні осцилятори поля мають випадкові фази, і їх сукупність можна характеризувати ентропією і температурою.

До системи лінійних гармонічних осциляторів, що моделюють електромагнітне поле, можна застосувати перший принцип термодинаміки

PdVTdSdU −= ,

де V – об’єм, у якому локалізоване поле, P – тиск; середню енергіюU та ентропію S беремо з розрахунку на один осцилятор, а температуру T вимірюємо в енергетичних одиницях6, що зробить більш наочними і простими подальші формули.

4 За відкриття кванта дії М.Планк став Нобелевським лауреатом (1918 р.).

5 Ця формула збігається з формулою Релея-Джинса, якщо припустити, що kT>=< ε . 6 Перехід до шкали Кельвіна здійснюється простою заміною у формулах температуриT , виміряної в енергетичних одиницях, на вираз kT – добуток сталої Больцмана на температуру в градусах Кельвіна.



11

При V =соnst маємо

TdUdS 1

= . (14)

Із формули (13) для середньої енергії осцилятора можна отримати

TC

hU νν

2ln −= (15)

і записати першу похідну від ентропії за енергією у вигляді

νν hU

CdUdS ln1

2

−= . (16)

Друга похідна від ентропії за енергією має ще більш простий вигляд

UCdUSd

ν22

2 1−= . (17)

В 1899 р. Отто Люммер і Ернст Прінґсгайм виявили, що формула Віна незадовільно описує результати вимірювань спектральної густини енергії в області низьких частот ( 0→ν ), а в наступному році Франц Курльбаум та Генріх Рубенс виявили, що спектральна густина енергії при низьких частотах прямо пропорційною температурі:

T,wν ∼T при 0→ν .

Таким чином, з врахуванням цього експериментального факту на іншому (довгохвильовому) краю спектру відповідно до формули (12) маємо

CTcT 3

2

,8w πν

ν = , (18)

звідки можна дійти висновку, що середня енергія осцилятора U в області дуже низьких частот також повинна бути прямо пропорційною температурі:

CTU = . (19)

Знову і для такої середньої енергії осцилятора з першого закону термодинаміки можна знайти першу, а потім і другу похідну від ентропії за енергією:

UC

dUdS

= , (20)

22

2

UC

dUSd

−= . (21)

Знайшовши два вирази для другої похідної від ентропії за енергією, один з яких (17) відповідає формулі, що добре описує спектральну густину енергії в області високих частот, а другий (21) – формулі, що добре описує спектральну густину енергії в області низьких частот, Планк об’єднав їх в одну просту інтерполяційну формулу

1

2

1

2

1

2

2 1 −−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛UC

UCdUSd

ν. (22)

Зауважимо, що Планк взяв суму не самих других похідних від ентропії за енергією, а суму їх о б е р н е н и х величин, отримавши, таким чином, інтерполяційну формулу для о б е р н е н о ї величини другої похідної від ентропії за енергією.

Інтерполяційну формулу (22) для другої похідної перепишімо так:



12

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛CCUUCdU

Sdνν 22

2

2 111. (23)

Проінтеґруємо цей вираз

constU

CCUCdU

dS+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=ν

ν2

2

ln1 (24)

і, враховуючи, що

TdUdS 1

= (див. формулу (14)),

дістанемо

constU

CCUCT

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=ν

ν2

2

ln11. (25)

При ∞→T також ∞→U , тоді знайдемо 0=const .

Тепер можна знайти вираз для U :

12

2

−= TCe

CCU ν

ν (26)

При великих частотах цей вираз повинен переходити у формулу (13), яку було отримано раніше із закону Віна. На високих частотах можна знехтувати одиницею в знаменнику виразу (26) і отримати

TCCeCU νν 22

−= , (27)

та порівнюючи множники при експоненті в формулах (13) та (27) знайти

νν hCC =2 , звідки 2ChC = . (28)

Отже середня енергія осцилятора U за Планком є:

1−= The

hU ν

ν. (29)

Підставляючи цей вираз у формулу (12) для спектральної густини енергії випромінювання абсолютно чорного тіла одержуємо формулу Планка

1

8w 3

2

,

−=

ThT

e

hc νν

νπν, (30)

де температуру T за домовленістю подано в енергетичних одиницях, на відміну від широко відомого вигляду цієї формули (11).

Саме цю формулу (30), яка добре описувала експериментальні дані для всього спектру від самих низьких, доступних для вимірювання часто, до самих високих, Планк доповів 19 жовтня 1900 р. Але на цей момент вона була не більше ніж чудовою інтерполяційною формулою.

Формулою нової квантової фізики вона стала після її мікроскопічного обґрунтування. При цьому Планк відштовхувався від ідеї Больцмана про пропорційність ентропії до логарифма від кількості різних мікроскопічних станів W , яка увійшла в сучасну фізику у вигляді формули7

WkS ln= . (31)

Якщо маємо N осциляторів з середньою енергією U , що моделюють поле в порожнині, то повна енергія поля є 7 Ця формула викарбувана на пам’ятнику Людвігу Больцману у Відні.



13

NU , (32)

а повна ентропія за Больцманом, записана через середню ентропію, що припадає на один осцилятор, S , є

WNS ln= , (33)

де перед логарифмом опущено сталу Больцмана k , оскільки за нашою домовленістю ми продовжуємо вимірювати температуру в енергетичних одиницях.

Кількість різних мікроскопічних станів W – це хоч і дуже велике, але ціле число. При його підрахунку так чи інакше приходиться оперувати цілими числами. Тобто величина W і пов’язані з нею величини в принципі повинні змінюватись дискретно, а не неперервним чином.

За Планком: «повну енергію NU треба уявляти собі не у вигляді неперервної величини, а у вигляді дискретної, що складається з цілого числа рівних частин,

εpNU = ,

p – ціле, взагалі кажучи, велике число; ε потрібно визначити.»

Отже в нашому випадку W – це кількість різних способів розподілу p елементів за N осциляторами, тобто

!)!1(]!)1[(

pNpNW

−+−

= . (34)

Для обчислення Wln треба брати логарифми від факторіалів. Для цього скористаємось формулою Стірлінга для логарифма від факторіала деякого великого числа N ,

NeNN )ln(!ln = , 1>>N .

Отже, оскільки в нашому випадку 1>>N , 1>>p

ppNNpNpNW lnln)ln()(ln −−++= .

Оскільки εUNp = , то середня ентропія S , що припадає на один осцилятор (для цього треба покласти 1=N ), є

εεεεUUUUS ln1ln1 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += . (35)

З іншого боку, ентропію з розрахунку на один осцилятор можна отримати простим інтегруванням за енергієюU з інтерполяційної формули

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

νννν hU

hU

hU

hU

ChS ln1ln1

2

. (36)

Зіставлення цих двох виразів для середньої ентропії S , що припадає на один осцилятор, дає hC =2 , а νε h= .

Введене Планком при мікроскопічному обґрунтуванні своєї формули нове для фізики уявлення про дискретний характер фізичної величини – енергії стало вихідним пунктом для квантової фізики, а сама формула Планка від тепер стала не просто вдалою інтерполяційною формулою, а набула характеру фундаментального закону. З сучасної точки зору формулу Планка можна розглядати як добуток густини станів на середню енергію квантового осцилятора:



14

T,wν = 3

28cπν

× 1−kT

h

e

hν

ν (37)

густина станів × середня енергія квантового осцилятора

Стала Планка hможе бути виміряна в різних експериментах. Найточніші на сьогоднішній день вимірювання з використанням ефекту Джозефсона дають:

h =(6,626196±0,000050)⋅10-34 Дж⋅с = h =(6,626196±0,000050)⋅10-27 ерг⋅с.

Частіше користуються величиною π2/h=h =(1,0545919±0,0000080)⋅10-27 ерг⋅с, яку також називають сталою Планка (іноді в усній мові її називають « h перекреслене». Цю величину використовують, коли замість частоти ν користуються циклічною частотою ω . Зокрема, формула Планка тоді набирає вигляду

1w /32

2

, −= kTT eс ωω

ωπω

h

h

, (38)

а енергія кванта

ωh=E . (39)

Формула Планка описує всі властивості рівноважного випромінювання. З неї як граничні випадки можна отримати наближені формули Релея-Джинса (8) для низьких частот і Віна (закон випромінювання Віна) (10) для високих частот. З формули Планка випливають закон зміщення Віна (треба взяти і прирівняти до нуля похідну) і закон Стефана-Больцмана (треба інтегрувати по всім частотам). Надзвичайно промовистим є той факт, що і стала Стефана-Больцмана σ і стала b в законі зміщення Віна виражаються через універсальні сталі, тобто не залежать від властивостей тіл (речовин), у рівновазі з якими знаходиться випромінювання:

32

42

32

45

60152

hh ck

ck ππσ == , kcb 965,4/2 hπ= .

Крива спектральної густини енергії випромінювання абсолютно чорного тіла за Планком.



15


© О.В.Слободянюк, 2003-2005 5_4_Спонтанне та вимушене випромінювання_Лазери_V0610-05

1

5.4. Лазери.

Спонтанне та вимушене випромінювання. Коефіцієнти Айнштайна. Між дискретними рівнями енергії атомів і молекул можуть відбуватися переходи з поглинанням або випусканням квантів електромагнітного поля.

Розглянемо два рівні енергії Е1 та Е2, між якими можуть відбуватися такі квантові переходи з поглинанням або випусканням кванта енергії електромагнітного поля 12 EEh −=ν (Рис.1).

Рис.1

Атоми, що знаходяться на нижньому рівні Е1, можуть перейти на верхній рівень Е2 лише під дією якогось зовнішнього чинника, оскільки для такого переходу потрібна енергія 12 EE − . Якщо ця енергія надходить з електромагнітного поля, то кажуть, що такий перехід вимушений (електромагнітним полем). При цьому, відповідно до універсального закону збереження енергії, енергія поля зменшується на величину кванта 12 EEh −=ν , а енергія атома зростає на таку саму величину. Атом, що знаходиться в збудженому стані може перейти на нижній енергетичний рівень з випусканням кванта 12 EEh −=ν . Дослід показує, що будь-який збуджений атом рано чи пізно переходить на нижній рівень без будь-якого зовнішнього втручання. Такі переходи називаються спонтанними. Спонтанне випромінювання має статистичний характер: можна говорити лише про середній час життя атома в збудженому стані: якщо маємо сукупність просторово розділених атомів, то спонтанні переходи в них відбуваються в різні моменти часу, і між фазами хвиль, що вони випускають, немає ніякого зв’язку. Отже, спонтанне випромінювання некогерентне. Для того, щоб від атомів, що випромінюють спонтанно, дістати когерентні пучки здатні до інтерференції, необхідно створити умови для розділення хвилі, що випромінюється кожним атомом, на дві, що детально обговорювалось в розділі, присвяченому інтерференції. Середній час життя атомів у збудженому стані звичайно малий – 10-9 ÷ 10-8 с, хоча для деяких переходів він може вимірюватись роками (мова йде про атоми ізольовані від зовнішніх впливів).

Альберт Айнштайн у 1916 р. вперше звернув увагу на те, що якщо вплив електромагнітного поля на сукупність атомів обмежити лише вимушеними (або, як ще кажуть, індукованими) поглинальними переходами, то при спробі розглянути сукупність атомів, що репрезентують речовину, яка знаходиться в рівновазі з випромінюванням, для спектральної густини випромінювання виходить формула Віна, а не формула Планка, яка на той момент здобула беззаперечне визнання. Айнштайн висунув припущення про існування поряд із спонтанними переходами із збудженого стану в основний також вимушених переходів з випромінюванням, які відбуваються як і вимушені переходи з поглинанням лише при наявності електромагнітного поля на частоті переходу між рівнями Е1 та Е2.

Е2, N2

Е1, N1

hν = Е2 – Е1 hν = Е2 – Е1



2

Айнштайн застосував до розгляду взаємодії атомів з випромінюванням принцип детальної рівноваги (його іноді називають принципом мікроскопічної оборотності). Відповідно до цього принципу при термодинамічній рівновазі кожному мікроскопічному процесу можна поставити у відповідність такий самий процес, що йде в зворотному напрямку, причому кількість і перших і других процесів в одиницю часу повинна бути однакова.

За Айнштайном кількість спонтанних переходів з рівня 2 на рівень 1 за одиницю часу пропорційна кількості атомів 2N , що знаходяться в збудженому стані з енергією Е2:

221 )( NWW

dtdZ st

emsp

em += , (1)

де 12AW spem = – ймовірність спонтанних (spontaneous) переходів з випусканням (emission) з

рівня 2 на рівень 1, яка не залежить від електромагнітного поля,

а νρ21BW stem = – ймовірність вимушених (stimulated) переходів з випусканням (emission) з

рівня 2 на рівень 1, яка пропорційна спектральній густині енергії поля і для якої ми будемо використовувати традиційне в цій ділянці позначення νρ .

Кількість вимушених переходів з поглинанням (absorption) з рівня 1 на рівень 2 за одиницю часу пропорційна кількості атомів 1N , що знаходяться в основному стані з енергією Е1:

112 NW

dtdZ st

abs= , (2)

де νρ12BW stabs = – ймовірність вимушених (stimulated) переходів з поглинанням (absorption) з

рівня 1 на рівень 2, яка пропорційна спектральній густині енергії поля νρ .

Сталі величини 211212 ,, BBA , що є специфічними для кожної пари станів 1 та 2 кожного конкретного атома, молекули чи іншої квантової системи, називаються коефіцієнтами Айнштайна.

Отже, для переходів 2→1 маємо

2212121 )( NBA

dtdZ

νρ+= , (3)

а для переходів 1→2:

11212 NB

dtdZ

νρ= (4)

Якщо в системі існує рівновага, то

dtdZ

dtdZ 2121 = і можна записати

11222121 )( NBNBA νν ρρ =+ . (5)

Звідси

ν

ν

ρρ

2121

12

1

2

BAB

NN

+= . (6)

Але в стані теплової рівноваги

)/exp()/exp(

1

2

1

2

kTEkTE

NN

−−

= . (7)



3

Порівнюючи (6) та (7), дістанемо

)/exp()/exp(

1

2

2121

12

kTEkTE

BAB

−−

=+ ν

ν

ρρ

, (8)

звідки

21/)(

12

2112 BeB

AkTEE −

= −νρ . (9)

З врахуванням 12 EEh −=ν маємо

21/

12

21

BeBA

kTh −= ννρ . (10)

При ∞→T густина ∞→νρ , тоді з (10) випливає, що 2112 BB = , оскільки при ∞→T .1/ →kThe ν

Тоді ( 10 ) можна переписати так

11

/21

21

−= kTheB

Aννρ . (11)

Цей вираз при kTh <<ν набуває вигляду

ννρ νν hkT

BA

kThB

AeB

AkTh

21

21

21

21/

21

21

11

11

1=

−+≈

−= . (12)

Як відзначалося вище, при тій самій умові kTh <<ν справедлива формула Релея-Джинса, і тоді

kTch

kTBA

3

2

12

21 8πνν= , (13)

звідки дістанемо знамените співвідношення між коефіцієнтами Айнштайна для спонтанних та вимушених переходів

3

3

12

21 8ch

BA νπ

= . (14)

Необхідно підкреслити, що хоча кожен коефіцієнт Айнштайна може змінюватися в надзвичайно широких межах для кожної пари станів 1 та 2 кожного конкретного атома, молекули чи іншої квантової системи, їх відношення завжди буде визначатися універсальним виразом ( 14). Права частина цього виразу має ясний фізичний зміст: це добуток густини станів поля на частоті переходу на енергію кванта на цій же частоті.

Підставляючи отримане відношення коефіцієнтів Айнштайна у вираз (11) для спектральної густини випромінювання, отримаємо формулу Планка

1

83

2

,

−=

kThT

e

hc νν

νπνρ . (14)

Відзначимо, що Альберт Айнштайн отримав цю формулу виходячи з інших міркувань ніж Макс Планк. Але обидва підходи мають безумовно спільну рису: обмін енергією між електромагнітним полем і речовиною (атомами чи стінками порожнини) відбувається дискретно, окремими порціями – квантами.



4

Принцип роботи лазера Принцип роботи лазера відбитий в його назві, яка є абревіатурою (скороченням) англійських слів Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation → LASER, що у буквальному перекладі є Підсилення Світла за рахунок Вимушеного Випускання Випромінювання.

Як досягається це підсилення?

Нехай маємо атом, що знаходиться у збудженому стані 2. Нехай у полі випромінювання є збудження з енергією 12 EEh −=ν , тобто є мода з частотою ν , якій відповідає певний хвильовий вектор і певна поляризація. Є певна ймовірність того, що в результаті взаємодії атома з цією модою поля (всі моди незалежні!), здійсниться вимушений перехід атома із збудженого стану 2 в основний стан 1. При цьому енергія речовини (атома) зменшиться на величину 12 EE − , а енергія поля збільшиться на таку саму величину шляхом додаткового збудження моди поля, яка «вимусила» атом здійснити із стану 2 в стан 1, тобто відбудеться народження нового кванта з енергією νh . Повна енергія системи речовина-поле при цьому не змінюється1. Якщо користуватися поняттям фотона, то цей процес вимушеного випромінювання можна описати як взаємодію деякого фотона із збудженим атомом, в результаті якої останній переходить в основний стан і народжується ще один фотон повністю тотожний першому: з тією самою енергією (частотою), напрямом поширення і станом поляризації. Ці два фотони надалі не можна розрізнити. Якщо кожен з цих фотонів провзаємодіє ще з одним збудженим атомом, вимусивши його випустити такий самий фотон, то будемо мати вже чотири абсолютно ідентичні фотони. Цей процес може повторюватись: аби тільки були атоми в збудженому стані! В результаті кількість фотонів буде лавиноподібно зростати, тобто маємо підсилення світла за рахунок енергії збуджених атомів. Ідентичність фотонів, що народжуються за рахунок вимушеного випромінювання, означає що вони всі знаходяться в одному й тому ж квантовому стані (такий стан називається когерентним). Якщо перекласти сказане на мову моделі, в якій атоми випромінюють цуги хвиль, то треба було б сказати, що при вимушеному випромінюванні кожен атом буде випромінювати коливання точно в тій фазі, в якій перебуває в цей момент вимушуючи хвиля, тобто когерентно. В результаті маємо когерентне випромінювання. Так працює оптичний підсилювач, в якому використовується процес вимушеного випромінювання. Розглянемо процес підсилення потоку фотонів використовуючи просту модель, подібну до використаної нами раніше при поясненні послаблення потоку фотонів, що проходить через поглинаюче середовище. Наша модель:

• Густина потоку фотонів на вході в середовище, здатне підсилювати світло, є n (тобто через одиницю площі (наприклад, 1 см2 ) перерізу пучка випромінювання проходить n

фотонів за секунду, [ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== × TL

n 2час площачастинок число 1][ .

• Середовище, здатне підсилювати світло, містить атоми, розглянуті вище, частина яких знаходиться в збудженому стані 2 (їх концентрація 2N ), а частина – в основному стані 1 (їх концентрація 1N ).

• Вважаємо, що кожен атом характеризуються певним перерізом σ ( [ ]2L][ =σ ) взаємодії з фотоном, тобто взаємодія відбувається, якщо фотон потрапляє в цей переріз причому вважається, що центр поглинає всі фотони, що потрапляють в цей переріз.

1 Так само зберігається імпульс та момент імпульсу: поряд з обміном енергією між речовиною та полем відбувається також обмін імпульсом і моментом імпульсу, про що йтиметься пізніше.



5

• Результатом взаємодії фотона з атомом в стані 1 є поглинання фотона і вимушений перехід атома в збуджений стан 2. Результатом взаємодії фотона з атомом в стані 2 є вимушений перехід атома в основний стан 1 і випускання фотона абсолютно тотожного тому, взаємодія з яким стимулювала цей перехід.

• Повна концентрація атомів 21 NNN += ( ]L[][ -3=N ) не дуже велика (точніше така, що сума перерізів усіх атомів на шляху потоку випромінювання істотно менша за переріз пучка випромінювання).

Отже, інтенсивність (густина потужності випромінювання) на вході оптичного підсилювача є квnEI = , де hvEкв = , тобто n~I , оскільки nhvnEI кв == .

Зміна густини потоку фотонів на деякому елементарному шляху (Рис.2) dx є:

dxNndxNndn 21 σσ +−= , (15)

де перший доданок в правій частині характеризує поглинання фотонів середовищем, а другий – вимушене випускання.

Відділимо змінні в (14)

dxNNndn )( 12 −=σ . Рис.2

Тоді xNNenxn )(0

12)( −−= σ , де )0(0 nn = . (16)

Отже, якщо показник експоненти додатний, то маємо підсилення потоку фотонів. Це можливо тоді, коли 012 >− NN , тобто коли концентрація збуджених атомів більша за концентрацію атомів в основному стані. Про таке середовище кажуть, що воно активне (може підсилювати світло) на відміну від пасивного, яке здатне лише послаблювати світло2 .

Ясно, що таке середовище не є рівноважним. В термодинамічно рівноважному середовищі відповідно до розподілу Больцмана 12 NN < і воно здатне лише послаблювати пучок за рахунок поглинання. Умову 012 >− NN , називають умовою інверсної заселеності рівнів, а саме середовище середовищем з інверсною заселеністю.

Отже для реалізації оптичного підсилення за рахунок вимушеного випромінювання необхідно мати активне середовище з інверсною заселеністю рівнів між якими відбуваються вимушені переходи.

Такий оптичний підсилювач можна характеризувати коефіцієнтом підсилення )( 12 NN −=σα , який має розмірність оберненої довжини аналогічно до коефіцієнта

поглинання в законі Бугера.

Створення інверсної заселеності є складною проблемою, оскільки завжди мають місце спонтанні переходи із збудженого в основний стан, які зменшують 2N і збільшують 1N . Ми їх не враховували в наведеному вище поясненні принципу оптичного підсилення. Із універсального співвідношення між коефіцієнтами Айнштайна для спонтанних та вимушених переходів (14)видно, що ймовірність спонтанних переходів пропорційна кубу частоти (~ 3ν ). Цей надзвичайно важливий результат, який самим безпосереднім чином вплинув (і продовжує впливати)

2 Ця термінологія подібна до вживаної в радіоелектроніці, де, наприклад, розрізняють пасивні та активні чотириполюсники.



6

на розвиток квантової електроніки взагалі та на створення лазерів зокрема. Чим вища бажана частота генерації (менша довжина хвилі), тем складніше створити і підтримувати інверсну заселеність верхнього лазерного рівня внаслідок конкуренції небажаних в цій ситуації спонтанних переходів з вимушеними переходами, що дають внесок у когерентне направлене випромінювання лазера. Тому спочатку було побудовано мазери3, потім лазери у видимому та ІЧ діапазонах, а потім поступово вони поширились на УФ, рентгенівський та γ -діапазони. (Для створення інверсної заселеності в γ -лазерах використовували навіть невеликий ядерний вибух). Необхідно підкреслити, що для досягнення значного підсилення за рахунок вимушеного випускання і створення умов для генерації в певній моді порожнини (резонатора), необхідно, щоб саме в цій моді було багато квантів (фотонів), які викликають вимушують переходи з верхнього рівня на нижній (велике νρ саме для цієї моди). Оскільки в межі спектральної ширини смуги випромінювання при переходах з верхнього на нижній рівень можуть попадати частоти сусідніх мод, то кількість вимушених переходів в кожну з цих мод тим менша, чим більше цих мод ( 2N обмежене!). Одним з проривів на шляху створення лазерів було запровадження так званих відкритих резонаторів (А.М.Прохоров, 1958 та Діке, Шавлов і Таунс), наприклад, у вигляді двох паралельних дзеркал, що мають більш розріджений спектр ніж закриті резонатори широко вживані у сантиметровому та міліметровому діапазоні і дозволяють подолати проблему створення необхідної інверсної заселеності, що припадає на одну моду.

Отже принципова схема лазера виглядає так: активне середовище розміщують у резонаторі, утвореному двома паралельними дзеркалами з коефіцієнтами відбиття R1=1 та R2<1 (Рис. 3). Через частково прозоре дзеркало світло виводять із резонатора.

hν

R1 Активне середовище R2

Рис. 3.

Вище нами було розглянуто оптичний підсилювач, якій складався лише з активного середовища. Тепер цей підсилювач вміщено у резонатор, який забезпечує позитивний зворотний зв’язок, що і перетворює його на генератор. В усякому генераторі процес генерації починається з підсилення шумів. В активному середовищі лазера завжди відбуваються спонтанні переходи, внаслідок який виникає оптичний шум Нехай при одному з таких переходів, що відбувається біля правого дзеркала випромінюється фотон, що поширюється вздовж осі резонатора до лівого дзеркала. На своєму шляху він спричинює вимушене випромінювання інших атомів і в результаті до лівого дзеркала приходить підсилений світловий пучок, який відбивається від лівого дзеркала і повертається в активне середовище, проходить через нього ще більше підсилюючись. Частина фотонів через праве дзеркало виходить назовні, а частина відбивається від правого дзеркала і повертається в активне середовище, створюючи, таким чином, позитивний зворотний зв’язок. Оскільки в активному середовищ за рахунок зовнішнього джерела енергії, яке не показане на Рис. 3, підтримується інверсна заселеність, то цей процес може відбуватися багаторазово.

Якщо розглянути стаціонарний режим роботи такого лазера, то ясно, що при повному обході резонатора пучок фотонів повинен при поверненні у вихідну точку мати початкову потужність. Звідси маємо умову стаціонарної генерації R1R2 12 =Leα , (17)

3 Мазери–прилади для генерації електромагнітного випромінювання в мікрохвильовому діапазоні Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation



7

E1

E2

E3

hν Оптична накачка

Рис.4

де L - довжина резонатора (вважаємо, що весь резонатор заповнено активним середовищем), а −α коефіцієнт підсилення на одиницю довжини. Звідси випливає необхідна для забезпечення стаціонарної генерації величина підсилення

LRR

2)ln( 21−=α . (18)

Ясно, що легше досягти порогу генерації, якщо взяти довше активне середовище і взяти дзеркала з високим коефіцієнтом відбиття. Наприклад, в гелій-неоновому лазері, що використовується в лекційних демонстраціях, коефіцієнт підсилення складає лише

04,0=α м-1: тому довжина цього лазера порядку одного метра. В той же час коефіцієнт підсилення такого ж червоного світла в напівпровідниковому лазері лазерної указки на декілька порядків більший. Тому розмір активного середовища і резонатора такого лазера менше міліметра.

Потоку когерентних фотонів можна співставити когерентну електромагнітну хвилю, що поширюється вздовж осі резонатора. Вона характеризується амплітудою і фазою. В стаціонарному режимі повинна виконуватись умова балансу амплітуд і умова балансу фаз.

Умову балансу амплітуд фактично було знайдено вище (потужність пропорційна квадрату амплітуди).

Умова балансу фаз має вигляд mkL π22 = , або λmL =2 , тобто лазер може генерувати випромінюванні лише на певних модах, яким відповідає ціле число довжин хвиль, що вкладається на повному шляху обходу резонатора.

Легко обчислити частотний інтервал між сусідніми повздовжніми модами

Lnc

2=∆ν , де −c швидкість світла у вакуумі, а −n показник заломлення активного

середовища, що заповнює резонатор. Наприклад, для гелій-неонового лазера, що використовується в лекційних демонстраціях для 1=L м та 1=n отримаємо =∆ν 150 МГц. Перший лазер було створено Мейманом у 1960 р. Активним середовищем у ньому був невеликий рожевий кристал синтетичного рубіну у вигляді полірованого циліндра з посрібленими торцями, які правили за дзеркала резонатора. Цей лазер випромінював імпульси червоного світла на довжині хвилі 694,3 нм завдяки вимушеним переходам між рівнями енергії іонів хрому Cr3+, які міститься в кристалах рубіну (Рис. 4).

Інверсна заселеність між рівнями енергії Е2 та Е1 створювалась шляхом опромінення рубіна потужним спалахом імпульсної ксенонової лампи за рахунок поглинання іонами

Cr3+ синього і зеленого світла (саме тому рубін рожевий) при переходах з основного нижнього рівня Е1 на групу верхніх рівнів Е3, які схематично показані на Рис. 4 стрілкою з написом «Оптична накачка». Такий стан є нерівноважним і за дуже короткий час (~ 0,1 мкс) іони Cr3+

віддають частину енергії на збудження коливань кристалічної гратки (нагрівання кристалу) і опиняються в так званому метастабільному стані з енергією Е2. Час життя іонів Cr3+ в метастабільному стані досить значний (~ 3 мс), що дозволяє при потужній оптичній накачці накопичити в цьому стані більше іонів, ніж в основному. Після того, як інверсна заселеність



8

досягнута, будь який спонтанно випромінений вздовж осі активного елемента фотон спричинює лавину вимушених переходів іонів Cr3+ в основний стан, що призводить до формування потужного імпульсу когерентного випромінювання, що виходить з резонатора через напівпрозоре вихідне дзеркало.

Необхідно зауважити, що схема рівнів енергії іонів Cr3+ в кристалі рубіну значно складніша (кожен з показаних на Рис. 4 рівнів складається з більш менш близько розміщених підрівнів, але загальна схема процесу генерації світла залишається такою, ж як описана вище.

Лазерне охолодження атомів

Оптична орієнтація

Ефект Садовського

Documents

ОВСлободянюк Оптика конспект лекцій 1exp.phys.univ.kiev.ua/ua/Study/Lib/Navch_posibnyky... · швидкості світла у вакуумі: n