Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών

2.1 Εισαγωγή

Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον

συνηθισµένες υπολογιστικές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων. Το συνεχές

πεδίο ορισµού R, όπου ορίζεται η µερική διαφορική εξίσωση αντικαθίσταται από ένα

πεπερασµένο αριθµό σηµείων , όπου R και παράλληλα το όριο S του πεδίου ορισµού

αντικαθίσταται από ένα πεπερασµένο αριθµό σηµείων που µπορεί να ανήκουν ή και να µην

ανήκουν στο R+S. Για κάθε σηµείο του διατυπώνεται µια αλγεβρική εξίσωση που

περιλαµβάνει την τιµή της εξαρτηµένης µεταβλητής στο σηµείο και σε γειτονικά σηµεία του

εντός των και . Η αλγεβρική εξίσωση ονοµάζεται εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

και αποτελεί προσέγγιση της µερικής διαφορικής εξίσωσης στο σηµείο . Η µεθοδολογία

διατύπωσης και η µορφή της αλγεβρικής εξίσωσης εξαρτώνται άµεσα από την εφαρµοζόµενη

µέθοδο πεπερασµένων διαφορών. Εάν υπάρχουν Ν σηµεία στο προκύπτει ένα σύστηµα Ν

αλγεβρικών εξισώσεων µε Ν αγνώστους. Εάν το σύστηµα έχει µοναδική λύση, που συνήθως

έχει, οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής που προκύπτουν θεωρούνται προσεγγιστικές σε

σχέση µε αυτές της αναλυτικής λύσης. Η καλή ή κακή προσέγγιση ανάµεσα στην υπολογιστική

(αριθµητική) και πραγµατική (αναλυτική αν υπάρχει) λύση εξαρτάται από την µέθοδο

πεπερασµένων διαφορών που εφαρµόζεται και αξιολογείται µελετώντας την σύγκλιση, την

ευστάθεια και την συνοχή του αριθµητικού σχήµατος.

hR R h �

hR

hS

P

P

R

P hR hS

P

h

Το αντικείµενο του δεύτερου κεφαλαίου περιλαµβάνει τη διατύπωση και µελέτη βασικών

µεθόδων πεπερασµένων διαφορών, τη µεθοδολογία και τα κριτήρια επιλογής τους και την

περιγραφή των ιδιοτήτων που τις χαρακτηρίζουν.

2.2 Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών

Όπως αναφέρθηκε στην εισαγωγή, προϋπόθεση για την εφαρµογή της µεθόδου

πεπερασµένων διαφορών είναι η αντικατάσταση της διαφορικής εξίσωσης µε µια προσεγγιστική

αλγεβρική εξίσωση, έτσι ώστε ο Η/Υ µε τη βοήθεια προγραµµάτων να υπολογίζει τη λύση του

προβλήµατος. Με την αντικατάσταση του συνεχούς πεδίου ορισµού µε ένα σύνολο σηµείων ή

µε τη διακριτοποίηση όπως ονοµάζεται του συνεχούς πεδίου ορισµού καθίσταται εφικτή η

προσέγγιση της εξαρτηµένης µεταβλητής µε τη διακριτή της τιµή. Αντίστοιχα, είναι απαραίτητο

να διατυπωθούν αλγεβρικές εκφράσεις που να προσεγγίζουν τις µερικές παραγώγους της

1

διαφορικής εξίσωσης. Οι εκφράσεις αυτές ονοµάζονται εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών και

προκύπτουν µε δύο κυρίως τρόπους: τη σειρά Taylor και την πολυωνυµική προσέγγιση.

2.2.1 Πεπερασµένες διαφορές µε σειρά Taylor

Θεωρώντας ότι η συνάρτηση είναι αναλυτική η αναπτύσσεται σε σειρά

Taylor

� �xu � xxu �� �

� � � � nxxx

3

xx

2

x R...u3!∆xu

2!∆xu∆x xu∆xxu ������� (2.2.1)

όπου το υπόλοιπο n

n xh

n!1R �

�

���

�

�

�� � �ξ∆xxu � , (2.2.2) 1ξ0 ��

είναι τάξης δηλαδή n � �nn h0R � . Λύνοντας ως προς την πρώτη παράγωγο και

απαλείφοντας όρους τάξης µεγαλύτερης ή ίσης του δύο προκύπτει

xu

� � � �� �.∆x0

∆xxu∆xxuu x �

��� (2.2.3)

Η εξίσωση (2.2.3) αποτελεί µια έκφραση πεπερασµένων διαφορών δηλαδή µια προσεγγιστική

αλγεβρική έκφραση της πρώτης παραγώγου της u ως προς x. Ονοµάζεται κατάντη πεπερασµένη

διαφορά πρώτης τάξης αφού η πρώτη παράγωγος προσεγγίζεται από τις τιµές της u στο σηµείο

x και στο σηµείο που έπεται του σηµείου x και είναι πρώτης τάξης αφού το σφάλµα

αποκοπής είναι τάξης ∆x.

xx ��

Θεωρώντας στη συνέχεια το ανάπτυγµα Taylor της έχουµε � xxu �� �

� � � � nxxx

3

xx

2

x R...u3!∆xu

2!∆xu∆x xu∆xxu ������� (2.2.4)

Λύνοντας και πάλι ως προς ux προκύπτει η ανάντη έκφραση πεπερασµένων διαφορών πρώτης

τάξης

� � � �� �.∆x0

∆x∆xxuxuu x �

��� (2.2.5)

Με κατάλληλη αλγεβρική επεξεργασία των αναπτυγµάτων Taylor προκύπτουν

διαφορετικές εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών για την πρώτη παράγωγο της u ως προς x. Για

παράδειγµα, αφαιρώντας τα αναπτύγµατα Taylor (2.2.1) και (2.2.4) και λύνοντας την εξίσωση

που προκύπτει ως προς την πρώτη παράγωγο οδηγούµεθα στην κεντρική σχέση πεπερασµένων

διαφορών

2

� � � � � .∆x02∆x

∆xxu∆xxuu 2x �

���� � (2.2.6)

Παρατηρούµε ότι τώρα το σφάλµα αποκοπής στην έκφραση (2.2.6) είναι 2ης τάξης που σηµαίνει

ότι η ακρίβεια της ux είναι καλύτερη σε σχέση µε την ακρίβεια των εκφράσεων (2.2.3) και

(2.2.5).

Η προσέγγιση παραγώγων υψηλότερης τάξης γίνεται µε αντίστοιχη µεθοδολογία. Για

παράδειγµα προσθέτοντας τα αναπτύγµατα (2.2.1) και (2.2.4) και διατηρώντας όρους µέχρι και

τέταρτης τάξης προκύπτει η κεντρώα πεπερασµένη διαφορά για την δεύτερη παράγωγο της u ως

προς x.

� � � � � � � .∆x0∆x

∆xxux2u∆xxuu 22xx �

����� � (2.2.7)

Είναι προφανές ότι θεωρώντας περισσότερους όρους στα αναπτύγµατα Taylor η ακρίβεια των

προσεγγιστικών εκφράσεων πεπερασµένων διαφορών βελτιώνεται ανάλογα.

Η προσέγγιση των µικτών παραγώγων γίνεται µε ανάλογο τρόπο βασιζόµενη στη σειρά

Taylor δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών. Στην περίπτωση των δυο µεταβλητών η σειρά Taylor

είναι

� � � � � �

� �

� �� � n

1n

2

Ryx,uy

∆yx

∆x!1n

1

yx,uy

∆yx

∆x2!1

yx,uy

∆yx

∆xyx,u∆yy∆x,xu

����

����

�

�

��

�

�

�

����

����

�

�

��

�

��

���

����

�

�

��

�

����

�

� (2.2.8)

όπου το υπόλοιπο

� η∆yyξ∆x,xuy

∆yx

∆xn!1R

n

n �����

����

�

�

��

�

� � 1ηξ,0 ��, . (2.2.9)

Το σφάλµα αποκοπής είναι τάξης n, δηλαδή � �� �.yx0R nn ����

xyu

. Έστω ότι ζητείται µια

έκφραση πεπερασµένων διαφορών της µικτής παραγωγού . Προσθαφαιρώντας κατάλληλα

τα τέσσερα αναπτύγµατα Taylor

� � � � yy2

xyxx

2

yx u∆y∆x∆yuu2

∆x∆yu∆xuyx,u∆yy∆x,xu �������� (2.2.10a)

� � � � yy2

xyxx

2

yx uyyuxu2xyuxuy,xuyy,xxu �����

����������� (2.2.10b)

3

� � � � yy2

xyxx

2

yx uyyuxu2xyuxuy,xuyy,xxu �����

����������� (2.2.10c)

και

� � � � yy2

xyxx

2

yx u∆y∆x∆yuu2

∆x∆yu∆xuyx,u∆yy∆x,xu �������� (2.2.10d)

προκύπτει η έκφραση πεπερασµένων διαφορών 2ης τάξης.

� � � � � � � � � �� �2xy yx0

yx4yy,xxuyy,xxuyy,xxuyy,xxuu ����

��

��������������������

(2.2.11)

Τις περισσότερες φορές οι εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών είναι ανάντη, κατάντη και

κεντρώες, ακριβείας 1ης και 2ης τάξης, όπου οι παράγωγοι της εξαρτηµένης µεταβλητής σε ένα

σηµείο διατυπώνονται σε σχέση µε τις τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στο σηµείο αυτό και

στα αµέσως γειτονικά του. Εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών υψηλότερης ακρίβειας είναι

αναγκαίες σε εξειδικευµένα προβλήµατα και απαιτούν περισσότερο υπολογιστικό χρόνο αφού

εµπλέκονται περισσότερα σηµεία και εποµένως αριθµητικές πράξεις.

2.2.2 Πεπερασµένες διαφορές µε πολυωνυµική παρεµβολή

Ο δεύτερος τρόπος προσέγγισης παραγώγων είναι η παρεµβολή της συνάρτησης µε ένα

πολυώνυµο. Οι συντελεστές του πολυωνύµου υπολογίζονται από τις τιµές της εξαρτηµένης

µεταβλητής σε επιλεγµένα σηµεία της ανεξάρτητης µεταβλητής. Ο βαθµός του πολυωνύµου

παρεµβολής αντιστοιχεί και στην τάξη της ακριβείας της έκφρασης πεπερασµένων διαφορών.

Θεωρώντας ένα πολυώνυµο 2ου βαθµού.

� � CBxAxxu 2��� (2.2.12)

επιλέγουµε τρία ισαπέχοντα σηµεία x, και έτσι ώστε η αρχή των αξόνων να

είναι στο σηµείο x.

∆xx � 2∆xx �

Για συντοµία τα τρία σηµεία συµβολίζονται µε . Εποµένως: 21 ,�� iii xκαιxx

� � CBxAxuxu i2iii ���� (2.2.13a)

� � CBxAxuxu 1i2

1i1i1i ��������

(2.2.13b)

� � CBxAxuxu 2i2

2i2i2i ��������

(2.2.13c)

4

Aντικαθιστώντας στις εξισώσεις (2.2.13) τις τιµές , και 2 και

λύνοντας στη συνέχεια το σύστηµα των τριών εξισώσεων που προκύπτει ως προς τους

άγνωστους συντελεστές έχουµε

0 ∆xx 1i ��

xi � ∆xx 2i ��

iuC � , (2.2.14a)

2∆x3u4uuB i1i2i ���

��� , (2.2.14b)

2i1i2i

2(∆x)u2uu

A��

��� . (2.2.14c)

Παραγωγίζοντας το πολυώνυµο (12) ως προς x προκύπτει ότι

B2Axu x �� (2.2.15)

και αντικαθιστώντας τις εκφράσεις 2.2.14c και 2.2.14b για τους συντελεστές Α και Β

αντίστοιχα βρίσκουµε ότι στο σηµείο 0 , η παράγωγος της u �ix

2∆x3f4ffBu i1i2i

x���

���� . (2.2.16)

Η εξίσωση (2.2.16) είναι µια κατάντη έκφραση πεπερασµένων διαφορών 2ης τάξης.

Παραγωγίζοντας την εξίσωση (2.2.15) άλλη µια φορά προκύπτει ότι στο σηµείο η

δεύτερη παράγωγος της u είναι

0�ix

2i1i2i

xx xf3f2fA2u

�

����

�� . (2.2.17)

Ανάντη εκφράσεις πεπερασµένες διαφορών προκύπτουν αντίστοιχα επιλέγοντας αρχικά τα

σηµεία x, x-∆x και x-2∆ (ή ) και θέτοντας το σηµείο στην αρχή των αξόνων. Το

πλεονέκτηµα της πολυωνυµικής παρεµβολής είναι ότι εφαρµόζεται ευκολότερα και όταν τα

σηµεία δεν ισαπέχουν.

1i1ii x,x,x�� ix

ix

2.3 Εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης

Η εξίσωση θερµότητας ή διάχυσης αποτελεί, όπως αποδείχθηκε στο 1ο κεφαλαίο των

σηµειώσεων, την αντιπροσωπευτική εξίσωση των παραβολικών εξισώσεων. Επίσης οι

αναλυτικές λύσεις της εξίσωσης θερµότητας θεωρούνται γνωστές αφού έχουν αναπτυχθεί και

διατυπωθεί στο µάθηµα των µερικών διαφορετικών εξισώσεων του 4ου εξαµήνου. Στην

παρούσα παράγραφο περιγράφονται οι πλέον βασικές µέθοδοι πεπερασµένων διαφορών που

εφαρµόζονται στην αριθµητική (υπολογιστική) επίλυση της εξίσωσης θερµότητας. Εξετάζονται

το τυπικό ρητό σχήµα, το τυπικό πεπλεγµένο σχήµα, η µέθοδος Crank Nicolson και η µέθοδος

ADI.

5

2.3.1 Ρητό σχήµα

Έστω ότι ζητείται η επίλυση της εξίσωσης

2

2

xu

tu

�

��

�

� , , (2.3.1) 1x0 �� 0t �

µε αρχική συνθήκη και οριακές συνθήκες και , όπου οι

συναρτήσεις και είναι γνωστές.

� � �xf0,xu �

� �tg0 �tg1

� �� � �tgt,0u 0� � � � �tgt,1u 1�

� �xf , �

Το συνεχές πεδίο ορισµού ( 0 και ) διακριτοποιείται και αντικαθίσταται από

το υπολογιστικό πλέγµα. Για την κατασκευή του πλέγµατος απαιτείται ο προσδιορισµός των

αποστάσεων και στις διαστάσεις και αντίστοιχα. Τα όρια του υπολογιστικού

πλέγµατος ταυτίζονται µε τα αντίστοιχα όρια του συνεχούς πεδίου ορισµού. Στη διάσταση τα

όρια ορίζονται από τις οριακές συνθήκες στα και και στη διάσταση από την

αρχική συνθήκη στο . Στην κατεύθυνση το όριο παραµένει ανοικτό, χαρακτηριστικό

των παραβολικών πεδίων. Για καθαρά υπολογιστικούς λόγους που σχετίζονται µε το διαθέσιµο

υπολογιστικό χρόνο και χώρο του Η/Υ συνήθως επιλέγουµε έναν µέγιστο υπολογιστικό χρόνο

πέρα του οποίου δεν εκτελούνται υπολογισµοί ανάλογα µε τη φυσική του προβλήµατος που

εξετάζεται αλλά και το αναγκαίο εύρος και πλήθος των αποτελεσµάτων. Η άγνωστη συνάρτηση

1x �� 0t �

t

0x �

0�

x� t�

0�

x

x

1x � t

t t

*t

u σε ένα τυχαίο κόµβο ( x ) του πλέγµατος, όπου i συµβολίζει την χωρική γραµµή και n το

χρονικό βήµα, συµβολίζεται µε Στον ίδιο κόµβο ( x ) οι µερικές παράγωγοι της

εξίσωσης θερµότητας προσεγγίζονται µε εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών. Η πρώτη

παράγωγος ως προς το χρόνο και η δεύτερη παράγωγος ως προς

ni t,

niu . n

i t,

x , αντικαθίστανται µε κατάντη

και κεντρώα εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών αντίστοιχα. ∆ηλαδή

� t0 �t

uutu n

i1n

i��

�

��

�

��

(2.3.2)

και

� 22

n1i

ni

1ni

2

2

x0x

uu2uxu

���

��� �

�

��

�

. (2.3.3)

Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις (2.3.2) και (2.3.3) στην εξίσωση (2.3.1) προκύπτει η αλγεβρική

εξίσωση

� 22

n1i

ni

1ni

ni

1ni x,t0

xuu2u �

tuu

����

���

�

��

��

(2.3.4)

που ονοµάζεται εξίσωση πεπερασµένων διαφορών. Η εξίσωση (2.3.4) παίρνει τη µορφή

6

� � n1i

ni

n1i

1ni uu21uu

��

�

������� (2.3.5)

όπου . Όπως φαίνεται από την εξίσωση (2.3.5) ο υπολογισµός της εξαρτηµένης

µεταβλητής u στον κόµβο (i, n+1) γίνεται απ’ ευθείας από τις τιµές της u στους κόµβους (i-1,

n), (i, n) και (i+1, n). Σχήµατα όπως αυτό που διατυπώνεται µε την εξίσωση (2.3.5)

ονοµάζονται ρητά επειδή η µετακίνηση από το ένα χρονικό βήµα στο επόµενο γίνεται χωρίς να

απαιτείται η επίλυση ενός αλγεβρικού συστήµατος. Το αριθµητικό σφάλµα του συγκεκριµένου

αριθµητικού σχήµατος είναι

2x/t ����

� �2x,t ��0 .

Όπως αποδεικνύεται στην παράγραφο 2.3.4 η παρούσα αριθµητική µέθοδος συγκλίνει

µόνο όταν 21

�� . Παρόµοιες συνθήκες ισχύουν για άλλα ρητά σχήµατα που βασίζονται σε

διαφορετικές εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών και εφαρµόζονται στην επίλυση της εξίσωσης

θερµότητας η άλλων πιο σύνθετων διαφορετικών εξισώσεων. Οι περιοριστικές αυτές συνθήκες

δηµιουργούν προβλήµατα στην αποτελεσµατική αριθµητική επίλυση των µερικών διαφορικών

εξισώσεων, που σχετίζονται µε το µέγιστο όριο στο µέγεθος του χρονικού βήµατος . Όταν

όµως το χρονικό βήµα είναι µικρό το υπολογιστικό κόστος είναι µεγάλο. Το µειονέκτηµα αυτό

βελτιώνεται σηµαντικά µε την εφαρµογή των πεπλεγµένων σχηµάτων που εξετάζονται στην

επόµενη παράγραφο.

t∆

2.3.2 Πεπλεγµένο σχήµα

Έστω ότι εξετάζεται το πρόβληµα (2.3.1) µε τις ίδιες αρχικές και οριακές συνθήκες. Τώρα

η εξίσωση (2.3.1) προσεγγίζεται τη χρονική στιγµή n+1, αντί για τη χρονική n και

εφαρµόζονται µια ανάντη και µια κεντρώα διαφορά στις µερικές παραγώγους ως προς t και x

αντίστοιχα. Η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών παίρνει τη µορφή

� 22

1n1i

1ni

1n1i

ni

1ni x,t0

xuu2u �

tuu

����

���

�

��

�

��

�

�

(2.3.6)

Εποµένως, η λύση της u τη χρονική στιγµή n+1 δε γίνεται µε ρητό τρόπο αλλά µε τη λύση του

τριδιαγώνιου συστήµατος

� � ni

1n1i

1ni

1n1i uuu21u ��������

�

�

��

�, (2.3.7)

όπου . Ο αλγόριθµος Thomas είναι η πλέον ενδεδειγµένη µέθοδος για την επίλυση

τριδιαγώνιων συστηµάτων. Το σφάλµα του συγκεκριµένου πεπλεγµένου αριθµητικού σχήµατος

είναι και πάλι

2x/t ����

� �2x,�t0 � αλλά όπως θα δούµε στην παράγραφο 2.3.4 το σχήµα συγκλίνει πάντα

ανεξάρτητα από τις τιµές του λ.

7

2.3.3 Μέθοδος Crank-Nicolson

Στο ρητό και πεπλεγµένο σχήµα των παραγράφων 2.3.1 και 2.3.2 αντίστοιχα, το σφάλµα

διακριτοποίησης που οφείλεται στην αποκοπή όρων από τη σειρά Taylor είναι � �2x,t0 �� .

Πολλές φορές είναι επιθυµητό το σφάλµα να είναι ίδιας τάξης στις µεταβλητές x και t. Αυτό

επιτυγχάνεται προσεγγίζοντας την µ.δ.ε (2.3.1) στο σηµείο ενδιάµεσα των σηµείων

και � � .

� 2/1n,i � �

�� n,i 2/1n,i �

Εφαρµόζοντας κεντρώες εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών και στις δύο µερικές

παραγώγους έχουµε

� t0 �t

uutu n

i1n

i��

�

��

�

��

(2.3.8)

και

� � ni

2x

1ni

2x

ni2

21n

i2

2

2

2

u1uxu)1(

xu

xu

��������

����

�

���

�

��� (2.3.9)

όπου είναι ο κεντρώος τελεστής δεύτερης τάξης 2xδ

2

n1i

ni

n1in

i2x x

uu2uu

�

����

�� (2.3.10a)

και

2

1n1i

1ni

1n1i1n

i2x x

uu2uu

�

����

�

�

��

�� . (2.3.10b)

Για την ειδική περίπτωση που προκύπτει η µέθοδος Crank Nicolson που

διατυπώνεται από την εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

2/1�θ

� � � � n1i

ni

n1i

1n1i

1ni

1n1i uu12uuu12u

��

�

�

��

��������������� (2.3.11)

µε . Απαιτείται λοιπόν η επίλυση ενός τριγωνικού αλγεβρικού συστήµατος σε κάθε

χρονική στιγµή.

2x/t ����

Παρατηρούµε ότι θέτοντας ή στην σχέση (2.3.11) προκύπτει το απλό ρητό και

το απλό πεπλεγµένο σχήµα που διατυπώνονται από τις εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών

(2.3.5) και (2.3.7) αντίστοιχα. Για οδηγούµεθα σε µια οµάδα πεπλεγµένων µεθόδων

που έχουν χαρακτηριστικά αντίστοιχα µε αυτά της µεθόδου Crank Nicolson (� ). Η

µέθοδος Crank Nicolson είναι πεπλεγµένη ακριβείας (� ) και συγκλίνει πάντα

ανεξάρτητα από τις τιµές της παραµέτρου λ.

0��

0 �

1��

1��

2/1�

22 x,t �

8

2.3.4 Σύγκλιση, ευστάθεια και συνοχή

Έχοντας αναπτύξει διάφορες µεθόδους πεπερασµένων διαφορών θα πρέπει τώρα να

απαντήσουµε το πολύ σηµαντικό ερώτηµα για το κατά πόσο οι υπολογιστικές λύσεις που θα

προκύψουν από την εφαρµογή των µεθόδων αντιπροσωπεύουν ικανοποιητικά, δηλαδή

αποτελούν µια «καλή» προσέγγιση της λύσης της µ.δ.ε, στη συνεχή (αναλυτική) της µορφή. Το

παραπάνω ερώτηµα ισχύει για κάθε αριθµητική µέθοδο, όπως γνωρίζουµε από το µάθηµα της

Αριθµητικής Ανάλυσης. Η απάντηση στο κρίσιµο αυτό ερώτηµα στην περίπτωση των µεθόδων

πεπερασµένων διαφορών προκύπτει από τη µελέτη της σύγκλισης, της ευστάθειας και της

συνοχής του αριθµητικού σχήµατος. Οι δύο πρώτες έννοιες µας έχουν επίσης απασχολήσει στο

παρελθόν στις περιπτώσεις επίλυσης αλγεβρικών συστηµάτων µε επαναληπτικές τεχνικές και

στην επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Αντίθετα, η έννοια της συνοχής θα µας

απασχολήσει για πρώτη φορά.

2.3.4.1 Σύγκλιση

Εάν u είναι η αναλυτική λύση και υ η αριθµητική λύση τότε η διαφορά τους

��� uw (2.3.12)

ονοµάζεται σφάλµα διακριτοποίησης και οφείλεται στο σφάλµα αποκοπής της σειράς Taylor.

Ένα σχήµα πεπερασµένων διαφορών λέγεται ότι συγκλίνει όταν το σφάλµα διακριτοποίησης

καθώς οι αποστάσεις ανάµεσα στους κόµβους του πλέγµατος και τείνουν στο

µηδέν .

0w � x∆ t∆

� �0t,0x ����

Στη συνέχεια αποδεικνύεται σαν παράδειγµα ότι το ρητό σχήµα (2.3.5) συγκλίνει µόνο

όταν 21

�λ . Εφαρµόζοντας το ανάπτυγµαTaylor έχουµε ότι

� 3tt

2

tni

1ni t0

2tt ���

��������

� � (2.3.13)

και

� 6xxxxxx

5

xxxxx

4

xxxx

3

xx

2ni

1n1i x0

120x

24x

6x

2xx ���

���

���

���

��������

�

��. (2.3.14)

Τα αναπτύγµατα (2.3.13) και (2.3.14) οι παράγωγοι υπολογίζονται στα σηµεία .

Χρησιµοποιώντας τη µ.δ.ε (2.3.1) σε συνδυασµό µε τα αναπτύγµατα (2.3.13) και (2.3.14)

αποδεικνύεται ότι

� �tn,xi ��

� � ni

n1i

ni

n1i

1ni z21 ������������

��

� (2.3.15)

9

όπου

� 422

ttni x,t0

12x

2tz ���

���

�� � (2.3.16)

Εφαρµόζοντας την εξίσωση (2.3.12) αφαιρούµε την εξίσωση (2.3.15) από την εξίσωση (2.3.1)

προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών για το αριθµητικό σφάλµα

� � ni

n1i

ni

n1i

1ni zww21ww ��������

��

� , (2.3.17)

όπου το σφάλµα διακριτοποίησης στο χρονικό βήµα n+1 συσχετίζεται µε τα αντίστοιχα

σφάλµατα στο χρονικό βήµα n. Υποθέτοντας ότι οι συντελεστές λ και (1-2λ) είναι θετικές

ποσότητες έχουµε την ανισότητα

� � ni

n1i

ni

n1i

1ni zww21ww ��������

��

� (2.3.18)

ή ni

ni

1ni zww ��� (2.3.19)

Εάν και )z είναι τα πάνω όρια των µεγεθών � �nw max n(maxj

iw και jiz , , 1 nj0 �� 1��� Mi

αντίστοιχα τότε

� � � � � �nznw1nw maxmaxmax ��� (2.3.20)

Εποµένως, αφού και η ποσότητα )z δεν µειώνεται στο χρόνο � � 00w max � n(max

� � )1N(z NNw maxmax �� . (2.3.21)

Αντικαθιστώντας τη σχέση (2.3.16) στην ανισότητα (2.3.21) προκύπτει η παρακάτω ανισότητα

για το σφάλµα διακριτοποίησης

� � � � max42

xxxx

2

ttmax x,t0u12xu

2tNNw ���

��

�� (2.3.22)

Από την ανισότητα (2.3.22) συµπεραίνουµε ότι εφόσον 210 ��� το σφάλµα διακριτοποίησης

είναι � �2x,t ���

0

και το ρητό πεπλεγµένο σχήµα συγκλίνει καθώς και

. Τέλος, σηµειώνεται ότι αφού και εποµένως, στην

ειδική περίπτωση όπου η παράµετρος

� 0w �

t uu �

� 0t ��

xxxxu�x �� xxt uu � xxttxx u�

61

�λ το σφάλµα διακριτοποίησης είναι � �42 x,�t0 � .

10

2.3.4.2 Ευστάθεια

Ένα αριθµητικό σχήµα είναι ευσταθές όταν το µέγεθος µιας διαταραχής που εισάγεται από

τις αρχικές ή/και οριακές συνθήκες ή εµφανίζεται λόγω υπολογιστικού σφάλµατος παραµένει

πεπερασµένο και δεν µεγεθύνεται πέρα από ένα µέγιστο όριο. Η ευστάθεια αριθµητικών

σχηµάτων µελετάται µε διάφορες µαθηµατικές ή φαινοµενολογικές τεχνικές µεταξύ των οποίων

η ανάλυση von-Neumann είναι η πλέον διαδεδοµένη. Βασίζεται στη µιγαδική σειρά Fourier

υποθέτοντας παράλληλα ότι ο διαχωρισµός της χρονικής και χωρικής µεταβλητής είναι

εφαρµόσιµος.

Έστω ότι ζητείται να εξακριβωθεί η ευστάθεια του ρητού αριθµητικού σχήµατος (2.3.5).

Η άγνωστη εξαρτηµένη µεταβλητή u γράφεται στη διαχωρίσιµη µορφή και στη

συνέχεια η συνάρτηση αναπτύσσεται σε µιγαδική σειρά Fourier. Εποµένως

� � � �xtu ����

� �x�

� � � � ikxe tt,xu �� (2.3.23)

όπου 1��i και η παράµετρος k=1,2,…, είναι ο αριθµός κύµατος.

Αντικαθιστώντας την έκφραση (2.3.23) στο ρητό σχήµα (2.3.5) προκύπτει η εξίσωση

� � � � � � � � � �� xxikikxxxik2

ikx ee2exte

ttt ����

���

��

�

����� �

�

. (2.3.24)

Μετά από απλή αλγεβρική επεξεργασία χρησιµοποιώντας τις σχέσεις

� � � xsinixcose xik �������� (2.3.25)

οδηγούµεθα στο αποτέλεσµα

� �� � 2

xksin41t

t 2 ����

�

����� . (2.3.26)

Το ξ µπορεί να είναι πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός και το µέτρο του ονοµάζεται

συντελεστής ενίσχυσης και αντιπροσωπεύει τον τρόπο που οι αρχικές διαταραχές και τα

υπολογιστικά σφάλµατα διαδίδονται από το ένα χρονικό βήµα στο επόµενο. Όταν το µέτρο του

συντελεστή ενίσχυσης είναι µικρότερο της µονάδας οι διαταραχές και τα σφάλµατα αποσβένουν

ενώ όταν είναι µεγαλύτερο της µονάδας τότε µεγεθύνονται απεριόριστα ανάλογα µε τον αριθµό

των χρονικών βηµάτων. Είναι απαραίτητο λοιπόν, το µέτρο του συντελεστή ενίσχυσης να είναι

µικρότερο ή τουλάχιστον ίσο µε τη µονάδα:

12

xsin41 2 ���

���� (2.3.27)

Επιλύνοντας την ανισότητα βρίσκουµε ότι 1�� και το σχήµα είναι ευσταθές µόνο όταν

21

�� .

11

Εφαρµόζοντας την ίδια µεθοδολογία von-Neumann ή ανάλυση Fourier όπως επίσης ονοµάζεται

στο πεπλεγµένο σχήµα πεπερασµένων διαφορών (2.3.7) προκύπτει ότι

2xsin41

12 ��

��

�� . (2.3.28)

Επίσης, είναι προφανές ότι 1�� ανεξάρτητα από την τιµή του λ. Το αποτέλεσµα αυτό είναι

χαρακτηριστικό των πεπλεγµένων σχηµάτων. Τα πεπλεγµένα λοιπόν σχήµατα είναι ευσταθή

ανεξάρτητα από την επιλογή των αποστάσεων ∆x και ∆t.

2.3.4.3 Συνοχή

Σε όλες τις µεθόδους πεπερασµένων διαφορών στόχος είναι η αντικατάσταση της µ.δ.ε µε

την αλγεβρική εξίσωση πεπερασµένων διαφορών. Είναι σηµαντικό η µεθοδολογία

αντικατάστασης να εξασφαλίζει τη συµβατότητα των δύο εξισώσεων δηλαδή καθώς οι

αποστάσεις ∆x και ∆t τείνουν στο µηδέν, η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών να αναπαράγει τη

µ.δ.ε. Εφόσον ικανοποιείται το κριτήριο της συµβατότητας ανάµεσα στις εξισώσεις

πεπερασµένων διαφορών και στην µ.δ.ε τότε λέµε ότι το σχήµα έχει συνοχή. Σύµφωνα µε το

θεώρηµα του Lax όταν ένα αριθµητικό σχήµα έχει συνοχή και είναι ευσταθές τότε οπωσδήποτε

συγκλίνει. Μερικές φορές η έννοια της σύγκλισης αναφέρεται µόνο στο εάν τα αριθµητικά

αποτελέσµατα συγκλίνουν καθώς το υπολογιστικό πλέγµα πυκνώνει χωρίς να γίνεται µνεία στο

γεγονός εάν τα αριθµητικά αποτελέσµατα που έχουν συγκλίνει αποτελούν λύσεις της αρχικής

µ.δ.ε ή κάποιας άλλης τροποποιηµένης µ.δ.ε. Στις περιπτώσεις αυτές η συνοχή του αριθµητικού

σχήµατος δεν είναι δεδοµένη και πρέπει να εξετάζεται. Το παραπάνω παράδειγµα αποδεικνύει

ότι πρέπει να είµαστε ιδιαίτερα προσεκτικοί.

Η ρητή µέθοδος DuFort-Frankel για την αριθµητική λύση της εξίσωσης θερµότητας

εκφράζεται από τη σχέση πεπερασµένων διαφορών

2

n1i

1ni

1ni

n1i

ni

1ni

xuuuu

tuu

�

����

�

��

��

�

�

. (2.3.29)

Με τη βοήθεια της ανάλυσης von-Neumann αποδεικνύεται ότι η µέθοδος αν και είναι ρητή,

είναι πάντα ευσταθής, ανεξάρτητα από τις τιµές του λ. Παράλληλα, εφαρµόζοντας τα

αναπτύγµατα Taylor το σφάλµα διακριτοποίησης βρίσκεται ότι είναι

12

� � � �

�

��

�

�

���

���

�

�

��

�

����� 2

22

2

422

tu

xt

xt0t0x0 . (2.3.30)

Παρατηρώντας προσεκτικά το σφάλµα διακριτοποίησης φαίνεται ότι η συνοχή του σχήµατος

Frankel εξαρτάται από τον τρόπο που οι όροι ∆x και ∆t τείνουν στο µηδέν. Εάν ο λόγος 2xt

�

�

παραµένει σταθερός καθώς και τότε η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

(2.3.30) έχει συνοχή µε την µ.δ.ε . Εάν όµως ο λόγος

0t ��

u

0x ��

xxut � xt

�

� παραµένει σταθερός

καθώς και τότε η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών (2.3.30) έχει συνοχή µε

την µ.δ.ε , που όχι µόνο έχει διαφορετική µορφή αλλά και χαρακτήρα αφού

πρόκειται για υπερβολική εξίσωση, σε αντίθεση µε την εξίσωση θερµότητας που είναι

παραβολική.

0t ��

tu �

0x ��

xxtt u�2uc

2.3.5 Εξίσωση θερµότητας σε δύο και τρεις διαστάσεις Μέθοδοι πεπερασµένων διαφορών εφαρµόζονται και στην αριθµητική επίλυση της εξίσωσης

θερµότητας σε δύο ή τρεις διαστάσεις. Οι µεθοδολογίες που αναπτύχθηκαν σε µια διάσταση

επεκτείνονται µε απλό τρόπο σε περισσότερες διαστάσεις. Σαν παράδειγµα αναπτύσσεται η

αριθµητική επίλυση της εξίσωσης θερµότητας σε δύο διαστάσεις και καρτεσιανή γεωµετρία

2

2

2

2

yu

xu

tu

�

��

�

��

�

� (2.3.31)

πρώτα µε τη ρητή µέθοδο και στη συνέχεια µε την πεπλεγµένη µέθοδο. Επίσης, εξετάζεται η

αριθµητική ευστάθεια των δύο σχηµάτων πεπερασµένων διαφορών.

Στο ρητό αριθµητικό σχήµα η προσέγγιση της αναλυτικής εξίσωσης γίνεται στον κόµβο

όπου τα i και j αντιστοιχούν στις χωρικές µεταβλητές x και y ενώ το n αντιστοιχεί στη

χρονική µεταβλητή t. Η πρώτη παράγωγος ως προς το χρόνο προσεγγίζεται µε κατάντη

πεπερασµένη διαφορά 1

� nj,i, �

ης τάξης, ενώ οι δύο δεύτερες παράγωγοι ως προς x και y προσεγγίζονται

µε κεντρώες πεπερασµένες διαφορές 2ης τάξης. Εποµένως, η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

είναι

2

n1ji,

nji,

n1ji,

2

nj1,i

nji,

nji,i

nji,

1nji,

∆yu2uu

∆xu2uu

∆tuu

����

�

��

�

��

�

�

. (2.3.32)

Υποθέτοντας ότι ∆ και ∆yx � 2∆x∆tλ � η εξίσωση (2.3.32) γράφεται στη ρητή µορφή

� � n1ji,

n1ji,

nji,

nj1,i

nj1,i

1nji, λuλuu4λ1λuλuu

����

�

������ (2.3.33)

13

Με ρητό λοιπόν τρόπο, χωρίς δηλαδή να απαιτείται η επίλυση αλγεβρικών συστηµάτων,

ξεκινώντας από τη γνωστή αρχική συνθήκη υπολογίζονται οι τιµές της άγνωστης

µεταβλητής στους κόµβους του πλέγµατος για κάθε χρονικό βήµα µε βάση τις εξισώσεις (2.3.32)

ή (2.3.33) και τις γνωστές συνθήκες. Η ακρίβεια του ρητού αριθµητικού σχήµατος είναι

� 0n � �

� �22 ∆y,∆x∆t,0 .

Η ευστάθεια του αριθµητικού σχήµατος εξετάζεται µε την ανάλυση von Neumann.

Θεωρώντας ότι οι λύσεις είναι διαχωρίσιµες γράφουµε

� � yiiaxny,i etu ��

�� (2.3.34)

Αντικαθιστώντας την εξίσωση (2.3.34) στην (2.3.33) βρίσκουµε

� � � �� � � �� �yiyxiaxia e2ee2etttt ��������������������� .

Μετά από την κατάλληλη µαθηµατική επεξεργασία προκύπτει ότι ο λόγος

� �� � �

�

���

���

�

� ���

�

�

� ���

� ��

2ysin

2xasin41

ttt 22 . (2.3.35)

Εποµένως, το σχήµα είναι ευσταθές όταν

21λ � ή

� �22 ∆y∆x21∆t

��

�

� . (2.3.36)

Στο πεπλεγµένο σχήµα η προσέγγιση της εξίσωσης (2.3.31) γίνεται στον κόµβο (i,j,n+1) και η

έκφραση πεπερασµένων διαφορών παίρνει τη µορφή

2

1n1j,i

1nj,i

1n1j,i

2

1nj,1i

1nj,i

1nj,ii

1nj,i

1nj,i

yuu2u

xuu2u

tuu

�

���

�

���

�

��

�

��

�

�

�

��

�

��

(2.3.37)

Υποθέτοντας ότι � και yx �� 2xt

�

��� προκύπτει το σύστηµα των εξισώσεων

� � nj,i

1n1j,i

1n1j,i

1nj,i

nj,1i

nj,1i uuuu41uu ������������

�

�

�

�

�

�� (2.3.38)

που επιλύεται σε κάθε χρονικό βήµα. Είναι προφανές ότι ο αναγκαίος υπολογιστικός χρόνος

αυξάνεται σηµαντικά αφού σε κάθε χρονικό βήµα επιλύεται ένα γραµµικό σύστηµα εξισώσεων.

Επίσης ο προγραµµατισµός γίνεται πιο πολύπλοκος. Από την άλλη πλευρά εφαρµόζοντας

ανάλυση ευστάθειας αποδεικνύεται ότι το σχήµα είναι πάντα ευσταθές ανεξάρτητα από τις τιµές

∆t, ∆x και ∆y. Σχετικά µε την επίλυση του αλγεβρικού συστήµατος δεν µπορεί να εφαρµοστεί ο

αλγόριθµος Thomas αφού τώρα το σύστηµα είναι πεντεδιαγώνιο. Η εφαρµογή της απαλοιφής

Gauss είναι ασύµφορη αφού δεν εκµεταλλευόµαστε το γεγονός ότι ο πίνακας των συντελεστών

έχει πολλά µηδενικά στοιχεία. Ο πλέον συνηθισµένος τρόπος επίλυσης του συστήµατος είναι οι

επαναληπτικές τεχνικές Gauss-Seidel και S.O.R. και άλλες εξειδικευµένες τεχνικές. Μια από τις

14

τεχνικές αυτές, τη µέθοδο A.D.I., θα την εξετάσουµε παρακάτω στην παράγραφο 2.4.3, στην

περίπτωση των ελλειπτικών εξισώσεων και θα αναφερθούµε και πάλι στην περίπτωση της

εξίσωσης θερµότητας σε 2 ή 3 διαστάσεις.

2.4 Εξισώσεις Laplace και Poisson

Η εξίσωση Laplace και η εξίσωση Poisson (ή µη οµογενής Laplace) αποτελούν τις

αντιπροσωπευτικές εξισώσεις των ελλειπτικών εξισώσεων. Οι αναλυτικές λύσεις των εξισώσεων

αυτών θεωρούνται γνωστές και προκύπτουν όπως γνωρίζουµε από το µάθηµα των µερικών

διαφορικών εξισώσεων του 4ου εξαµήνου χρησιµοποιώντας µεταξύ άλλων τις τεχνικές του

διαχωρισµού των µεταβλητών, του µη-οµογενούς προβλήµατος Sturm-Liouville και των σειρών

Fourier. Τώρα οι εξισώσεις Laplace και Poisson λύνονται αριθµητικά µε τη µέθοδο των

πεπερασµένων διαφορών. Σηµειώνεται ότι η λύση ενός ελλειπτικού προβλήµατος µπορεί να

θεωρηθεί σαν η οριακή χρονικά λύση, για µεγάλες τιµές του t , του αντίστοιχου παραβολικού

προβλήµατος. Εποµένως, η διακριτοποίηση των όρων της εξίσωσης Laplace είναι αντίστοιχη µε

αυτή των χωρικών παραγώγων της εξίσωσης θερµότητας.

2.4.1 Εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών

Έστω ότι ζητείται η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης Laplace

0yu

xu

2

2

2

2

��

��

�

� (2.4.1)

στο πεδίο ορισµού R µε την άγνωστη συνάρτηση u να ορίζεται στο κλειστό όριο S του πεδίου

ορισµού. Το αναλυτικό πεδίο ορισµού διακριτοποιείται και αντικαθίσταται από το υπολογιστικό

πλέγµα, δοµικά στοιχεία του οποίου είναι οι κόµβοι. Η εξίσωση Laplace προσεγγίζεται σε κάθε

κόµβο του πλέγµατος εφαρµόζοντας εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών. Εφαρµόζοντας για

παράδειγµα κεντρώες πεπερασµένες διαφορές 2ης τάξης προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων

διαφορών πέντε σηµείων

0y

uu2ux

uu2u2

1j,ij,i1j,i2

j,1ij,ij,ii�

�

���

�

������ . (2.4.2)

Για ένα τετραγωνικό πλέγµα η εξίσωση (2.4.2) απλοποιείται στη µορφή yx ���

0uuu4uu 1j,i1j,ij,ij,1ij,ii ���������

. (2.4.3)

15

Στην εξίσωση (2.4.2) προκύπτει ένα σύστηµα Ν εξισώσεων όπου Ν είναι ο αριθµός των

εξωτερικών κόµβων του υπολογιστικού πλέγµατος. Στην περίπτωση που επιλύεται η εξίσωση

Poisson

� y,xfyu

xu

2

2

2

2

��

��

�

�� (2.4.4)

στην δεξιά πλευρά της εξίσωσης (2.4.2), το µηδέν αντικαθίσταται µε � � � jifyxf ji ,, �

� �jif ,

�

�

. Η

συνάρτηση είναι γνωστή και εποµένως εύκολα προκύπτουν οι τιµές . Η ακρίβεια

του αριθµητικού σχήµατος (2.4.2) είναι

� yxf ,

� �22 ,0 y∆x∆ .

Ένας εναλλακτικός τρόπος αριθµητικής επίλυσης ελλειπτικών εξισώσεων, αντί για τα

σχήµατα των πέντε σηµείων, είναι τα σχήµατα των εννέα σηµείων. Εφαρµόζοντας ένας σχήµα

εννέα σηµείων στην εξίσωση Laplace σε τετραγωνικό πλέγµα (� )οδηγεί στην εξίσωση

πεπερασµένων διαφορών

yx ��

� � 0u20uuuu4uuuu j,i1j,ij,1ij,1i1j,i1j,1i1j,1i1j,1ij,1i ��������������������

. (2.4.5)

Τα σχήµατα εννέα σηµείων είναι συνήθως ακριβείας � �44 y,x0 �� . Χρησιµοποιώντας εκφράσεις

πεπερασµένων διαφορών µε µεγαλύτερο αριθµό γειτονικών κόµβων προκύπτει ένας µεγάλος

αριθµός εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών που προσεγγίζουν τις εξισώσεις Laplace και

Poisson. Τα σχήµατα όπως πέντε και εννέα σηµείων είναι τα πλέον συνηθισµένα.

2.4.2 Επίλυση συστηµάτων

Η επίλυση γραµµικών αλγεβρικών συστηµάτων συνήθως γίνεται µε δύο µεγάλες οικογένειες

αριθµητικών µεθόδων. Τις απ’ευθείας και τις επαναληπτικές µεθόδους. Στις απ’ευθείας µεθόδους

περιλαµβάνονται µεταξύ άλλων οι µέθοδοι

i) απαλοιφή Gauss

ii) απαλοιφή Gauss-Jordan

iii) αλγόριθµος Thomas

iv) παραγοντοποίηση LU και LDU.

Στις επαναληπτικές τεχνικές περιλαµβάνονται µεταξύ άλλων οι µέθοδοι

i) Jacobi

ii) Gauss-Seidel

iii) S.O.R. και S.S.O.R

iv) A.D.I

16

Στην επίλυση µεγάλων συστηµάτων οι επαναληπτικές µέθοδοι εφόσον διατυπωθούν σωστά

φαίνεται να έχουν περισσότερες δυνατότητες από τις απ’ευθείας µεθόδους. Γενικά, ο κατάλογος

των τεχνικών επίλυσης γραµµικών συστηµάτων είναι πολύ µακρύς. Οι τεχνικές που αναφέρονται

παραπάνω είναι οι πλέον συνηθισµένες και έχουν αναπτυχθεί λεπτοµερώς στο µάθηµα της

Αριθµητικής ανάλυσης µε εξαίρεση τη µέθοδο ADI. Για το λόγο αυτό η µέθοδος ADI που

σχετίζεται άµεσα µε τη δοµή των συστηµάτων που προκύπτουν από τις εξισώσεις πεπερασµένων

διαφορών εξετάζεται στην επόµενη παράγραφο. Τελειώνοντας την σύντοµη αναδροµή σε τεχνικές

επίλυσης συστηµάτων θα πρέπει να αναφέρουµε και τη µέθοδο Newton που αποτελεί τον πλέον

διαδεδοµένο αλγόριθµο επίλυσης µη γραµµικών συστηµάτων. Η µέθοδος Newton έχει επίσης

αναπτυχθεί λεπτοµερώς στο µάθηµα της Αριθµητικής Ανάλυσης του 3ου εξαµήνου.

2.4.3 Μέθοδος A.D.I.

Πρόκειται για µια επαναληπτική µέθοδο όπου η κάθε επανάληψη περιλαµβάνει δυο βήµατα.

Έστω ότι ζητείται η επίλυση του συστήµατος

bAx � (2.4.6)

Ο πίνακας Α διασπάται σε δύο πίνακες H και V και το σύστηµα (2.4.6) γράφεται στη µορφή

bx)VH( �� (2.4.7)

Εποµένως,

VxbHx �� (2.4.8a)

ή

HxbVx �� . (2.4.8b)

Τα συστήµατα (2.4.8) ξαναγράφονται στη µορφή

� � � xIpVbxIpH 11 ���� �

�

�

(2.4.9a)

ή

� � � xIpHbxIpV 22 ���� , (2.4.9b)

Όπου ο πίνακας Ι είναι ο µοναδιαίος πίνακας και οι παράµετροι και εξαρτώνται από το

συγκεκριµένο πρόβληµα εφαρµογής. Με βάση τις εκφράσεις (2.4.9) η µέθοδος A.D.I.

διατυπώνεται ως εξής

1p 2p

� � � � � � �n1

2/1n1 xIpVbxIpH ����

� � , (2.4.10a)

� � � � � � � 2/1n2

1n2 xIpHbxIpV ��

���� . (2.4.10b)

17

Όταν η µέθοδος εφαρµόζεται στην επίλυση της εξίσωσης Laplace ή και γενικότερα εξισώσεων

διάχυσης οι πίνακες Η και V προσδιορίζονται από τις σχέσεις

��

���

�

�

�

�

��

xk

xH (2.4.11a)

και

���

����

�

�

�

�

��

yk

yV . (2.4.11b)

Οι παράµετροι και προκύπτουν από τις ιδιοτιµές των Η και V. Εάν οι πίνακες Η και V είναι

συµµετρικοί και ο πίνακας Α είναι θετικά ορισµένος τότε η µέθοδος Α.D.Ι πάντα συγκλίνει.

1p 2p

Εφαρµόζοντας λοιπόν την επαναληπτική µέθοδο A.D.I. στο σύστηµα (2.4.3) µε

προκύπτει ο επαναληπτικός αλγόριθµος ppp 21 ��

� � � � � � � �n1j,i

nj,i

)n(1j,i

)2/1n(j,1i

)2/1n(j,i

)2/1n(j,1i uup2uuup2u

��

�

�

��

�������� , (2.4.13a)

� � � � � � � �2/1nj,1i

2/1nj,i

)2/1n(j,1i

)1n(1j,i

)1n(j,i

)1n(j,1i uup2uuup2u �

�

��

�

�

�

��

�������� . (2.4.13b)

Σε κάθε επανάληψη οι νέες τιµές βασίζονται στις παλαιές τιµές διαµέσου των τιµών

. Όπως φαίνεται από τις εξισώσεις (2.4 13) σε κάθε επανάληψη απαιτείται η επίλυση δύο

τριδιαγωνίων συστηµάτων που επιτυγχάνεται µε τον αλγόριθµο Thomas.

)1(,�n

jiu )(,njiu

)2/1(,�n

jiu

Η µέθοδος A.D.I. εφαρµόζεται επίσης και στην επίλυση των συστηµάτων που προκύπτουν

κατά την εφαρµογή πεπλεγµένων σχηµάτων πεπερασµένων διαφορών στην εξίσωση θερµότητας

σε περισσότερες από µια διαστάσεις. Για παράδειγµα όταν επιλύεται η εξίσωση θερµότητας σε

δύο διαστάσεις το τυπικό πεπλεγµένο σχήµα εφαρµόζεται για κάθε χρονικό βήµα , δυο

διαδοχικές φορές µε χρονική διάρκεια . Οι εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών

διατυπώνονται στη µορφή

t∆

2/t∆

� � � �2

n1j,i

nj,i

n1j,i

2

2/1nj,1i

2/1nj,i

2/1nj,1i

nj,i

2/1nj,i

y

uu2u

x

uu2u2/tuu

�

���

�

���

�

���

�

�

��

�

�

(2.4.14a)

� � � �2

1n1j,i

1nj,i

1n1j,i

2

2/1nj,1i

2/1nj,i

2/1nj,1i

2/1nj,i

1nj,i

y

uu2u

x

uu2u2/t

uu

�

���

�

���

�

��

�

��

�

�

�

��

�

��

(2.4.14b)

Η πρώτη εξίσωση είναι πεπλεγµένη µόνο στην κατεύθυνση x και η δεύτερη είναι πεπλεγµένη

µόνο στην κατεύθυνση y. Σε κάθε χρονικό βήµα λύνονται δύο τριδιαγώνια συστήµατα. Το

συµπέρασµα αυτό φαίνεται καλύτερα θεωρώντας για απλούστευση ένα τετραγωνικό πλέγµα

∆x=∆y και ξαναγράφοντας τις εξισώσεις (2.4.14) στην µορφή

18

n1j,i

nj,i

nj,i

2/1nj,1i

2/1nj,i

2/1nj,1i uu)22(uuu)22(u

�

�

�

��

��������������� (2.4.15α)

2/1nj,1i

2/1nj,i

2/1nj,1i

1n1j,i

1nj,i

1n1j,i uu)22(uuu)22(u �

�

��

�

�

�

��

��������������� (2.4.15β)

Πρώτα λύνεται η εξίσωση (2.4.15α) για και στην συνέχεια η εξίσωση (2.4.15β) για

που είναι και η λύση στο τέλος του χρονικού βήµατος . Εφαρµόζοντας ανάλυση ευστάθειας

von Neumann αποδεικνύεται ότι το σχήµα A.D.I. εφαρµοζόµενο στην εξίσωση θερµότητας είναι

πάντα ευσταθές.

2/1nj,iu � 1n

j,iu �

t∆

Ένας εναλλακτικός τρόπος διατύπωσης της µεθόδου A.D.I. είναι η εφαρµογή του αριθµητικού

σχήµατος Crank Nicolson σε δύο διαστάσεις. Τέλος σηµειώνεται ότι η µέθοδος A.D.I.

επεκτείνεται και χρησιµοποιείται στην επίλυση τρισδιάστατων παραβολικών και ελλειπτικών

προβληµάτων.

2.4.4 Οριακές συνθήκες

Οι οριακές συνθήκες που συνοδεύουν τις µερικές διαφορικές εξισώσεις είναι τύπου Dirichlet

ή τύπου Neumann ή µικτού τύπου. Όταν οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Dirichlet τότε οι τιµές

της εξαρτηµένης µεταβλητής στα όρια είναι γνωστές και η επίλυση του προβλήµατος γίνεται

µόνο για τους εσωτερικούς κόµβους. Όταν όµως είναι τύπου Neumann ή µικτού τύπου τότε οι

τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στα όρια είναι άγνωστες και αποτελούν πλέον τµήµα της

υπολογιστικής λύσης. Στις περιπτώσεις αυτές είναι αναγκαίο εφαρµόζοντας εκφράσεις

πεπερασµένων διαφορών, οι αναλυτικές οριακές συνθήκες να αντικατασταθούν µε εξισώσεις

πεπερασµένων διαφορών που λύνονται µαζί µε τις υπόλοιπες εξισώσεις. Πρόκειται για µια

διαδικασία που ανάλογα µε το πρόβληµα και την αναγκαία ακρίβεια πολλές φορές απαιτεί

ιδιαίτερη προσοχή ώστε να µην αλλοιώνεται η συνοχή και η ακρίβεια όλου του αριθµητικού

σχήµατος.

Έστω ότι ζητείται η λύση της εξίσωσης Laplace στο πεδίο ορισµού και οριακές

συνθήκες τύπου Dirichlet στα όρια , και , ενώ στο όριο η οριακή συνθήκη

είναι µικτού τύπου

10 �� y

0�0�y 1�y 1�x x

����

�� au

xu (2.4.16)

όπου τα α και β είναι γνωστές ποσότητες. Υπάρχουν διάφορες µεθοδολογίες διατύπωσης

εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών στα όρια του προβλήµατος ώστε ο αριθµός των αγνώστων

να ισούται µε τον αριθµό των αλγεβρικών εξισώσεων. Ο απλούστερος είναι η αντικατάσταση της

οριακής συνθήκης µε µια εξίσωση πεπερασµένων διαφορών. Για παράδειγµα αντικαθιστώντας

19

τον πρώτο όρο της εξίσωσης (2.4.16) µε µια έκφραση πεπερασµένων διαφορών 1ης τάξης

προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

� � xxuauu j,0j,0j,1 ������� . (2.4.17)

Αντίστοιχα, εφαρµόζοντας µια έκφραση 2ης τάξης βρίσκουµε

� � x2xua2u3u4u j,0j,0j,1j,2 ��������� . (2.4.18)

Οι εξισώσεις (2.4.17) ή (2.4.18) επιλύονται µαζί µε τις εξισώσεις των εσωτερικών κόµβων.

Μια δεύτερη βελτιωµένη µεθοδολογία είναι αυτή που βασίζεται όχι µόνο στην οριακή

συνθήκη αλλά και στη διαφορική εξίσωση. Με τον τρόπο αυτό εξασφαλίζεται η συνοχή του

αριθµητικού σχήµατος. Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα Taylor

� 3

j,02

22

j,0j,0j,1 x0x

u2x

xuxuu ��

�

���

�

���� � (2.4.19)

βρίσκουµε ότι

� �� x0

xuxuu

x2

xu

j,0j,12j,02

2

����

��

�

����

��

�

��. (2.4.20)

Λύνοντας την οριακή συνθήκη (2.4.17) ως προς τον όρο της πρώτης παραγώγου και

αντικαθιστώντας το αποτέλεσµα στην εξίσωση (2.4.20) προκύπτει ότι

� �� � x0xbu1xaux2

xu

j,0j,122

2

��������

��

� � �

�

. (2.4.21)

Προσεγγίζοντας τέλος την εξίσωση Laplace µε εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών στους

οριακούς κόµβους και χρησιµοποιώντας παράλληλα την εξίσωση (2.4.1) προκύπτει η

εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

� j,0

� �� � 0y

uu2uxbu1xau

x2

21j,0j,01j,0

j,0j,12 ��

��������

�

�� . (2.4.22)

Η εξίσωση (2.4.22) είναι βελτιωµένη σε σχέση µε τις εξισώσεις (2.4.17) και (2.4.18) αλλά

παραµένει 1ης τάξης. Εάν στην έκφραση (2.4.20) συµπεριλάβουµε και τους κόµβους τότε θα

γίνει 2

ju ,2

ης τάξης. Βέβαια στην περίπτωση που τα α και β είναι ίσα µε µηδέν (οµογενής Neumann)

τότε η εξίσωση (2.4.21) και εποµένως, όλο το αριθµητικό σχήµα είναι 2ης τάξης. Από τα

παραπάνω παραδείγµατα φαίνεται ότι η διατύπωση εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών στα όρια

του προβλήµατος είναι µια διαδικασία σύνθετη και επίπονη αλλά τελείως απαραίτητη ώστε να

εξασφαλίζεται η αξιοπιστία του αριθµητικού σχήµατος.

20

2.4.5 Κυλινδρικές συντεταγµένες

Έστω ότι ζητείται η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης Laplace σε κυλινδρικές συντεταγµένες

0uuur1u zzrrrr ���� , , (2.4.23) Rr0 �� Lz0 ��

µε οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet και . Εφαρµόζοντας

κεντρώες σχέσεις πεπερασµένων διαφορών προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

� � � � 0L,ru0,ru �� � � 0uz,Ru �

0z

uu2ur2uu

r1

ruu2u

21j,ij,i1j,ij,1ij,1i

i2

j,1ij,ij,ii�

�

���

�

��

�

�������� (2.4.24)

για και . Θεωρώντας ότι 1I,...,2i �� 1J,...,2j �� zr ��� και παρατηρώντας ότι η

εξίσωση (2.4.24) ξαναγράφεται στη µορφή

riri ��

0uuu4ui2

11ui2

11 1j,i1j,ij,ij,1ij,ii ������

���

���

�

���

�

����. (2.4.25)

Η εξίσωση (2.4.25) ισχύει για τους εσωτερικούς κόµβους του πλέγµατος εκτός βέβαια από τους

κόµβους που βρίσκονται στον άξονα του κυλίνδρου , αφού για ο δεύτερος όρος της

εξίσωσης (2.4.24) απειρίζεται. Το πρόβληµα αυτό παρακάµπτεται εφαρµόζοντας µια συµµετρική

οριακή συνθήκη στο . ∆ηλαδή

� 0r � � 0r �

0�r

0ru

0r ��

�

�. (2.4.26)

Εάν αντιστοιχεί στο τότε από την οριακή συνθήκη (2.4.26) εύκολα προκύπτει ότι 1�i 0�r

j,2j,1 uu � , . (2.4.27) 1J,...,2j ��

Η εξίσωση (2.4.7) είναι 1ης τάξης και αλλοιώνει την ακρίβεια του αριθµητικού σχήµατος που

είναι 2ης τάξης. Εφαρµόζοντας τον κανόνα του Ηospital παρατηρούµε ότι

2

2

0r ru

rru

lim�

��

�

�

�

. (2.4.28)

Αντικαθιστώντας το αποτέλεσµα αυτό στην εξίσωση (2.4.23) για 0 προκύπτει η αναλυτική

εξίσωση

ri �

0uu2 zzrr �� . (2.4.29)

Εφαρµόζοντας κεντρώες πεπερασµένες διαφορές και χρησιµοποιώντας την συµµετρία της λύσης

ως προς τον άξονα του κυλίνδρου προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

� � � � 0uu2uz1uu

rt

j,1j,11j,12j,1j,22 ����

���

�

� (2.4.30)

Η εξίσωση (2.4.30) αποτελεί µια σηµαντική βελτίωση σε σχέση µε την εξίσωση (2.4.27).

21

2.5 Εξίσωση κύµατος

Όπως γνωρίζουµε η εξίσωση κύµατος είναι υπερβολικού τύπου και αποτελεί

την αντιπροσωπευτική εξίσωση των υπερβολικών εξισώσεων. Περιγράφει τη διάδοση

ακουστικών κυµάτων που ταξιδεύουν µε ταχύτητες . Η γραµµική εξίσωση 1

0ucu xx2

tt ��

c�ης τάξης

0xuc

tu

��

��

�

� , (2.5.1 ) 0c �

έχει αντίστοιχες ιδιότητες µε την εξίσωση κύµατος και ονοµάζεται εξίσωση κύµατος 1ης τάξης. Ας

σηµειωθεί ότι η δευτεροβάθµια εξίσωση κύµατος προκύπτει από την εξίσωση (2.5.1). Εποµένως,

η γραµµική υπερβολική εξίσωση (2.5.1) που περιγράφει τη διάδοση ενός κύµατος ταχύτητας στη

διεύθυνση µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν πρότυπη εξίσωση στη µελέτη και εφαρµογή σχηµάτων

πεπερασµένων διαφορών σε υπερβολικές εξισώσεις. Γενικότερα, η εξίσωση (2.5.1) αποτελεί

αφετηρία για την υπολογιστική λύση των ακουστικών εξισώσεων και των εξισώσεων Euler.

Η λύση της εξίσωσης (2.5.1) στην περίπτωση ενός προβλήµατος αρχικών τιµών µε αρχική

συνθήκη

� � �xf0,xu � � ����� x, (2.5.2 )

δίδεται, εφαρµόζοντας τη µέθοδο των χαρακτηριστικών, από τη σχέση

� � � ctxft,xu �� �. (2.5.3 )

Στη συνέχεια εξετάζονται µερικά από τα πλέον γνωστά σχήµατα πεπερασµένων διαφορών που

επιλύουν την εξίσωση (2.5.1).

2.5.1 Ανάντη παραγώγιση στο χώρο

Εφαρµόζοντας κατάντη και ανάντη πεπερασµένες διαφορές στο χρόνο και στο χώρο

αντίστοιχα προκύπτει η ρητή εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

0xuu

ct

uu n1i

ni

ni

1ni

��

��

�

��

�

, . (2.5.4) 0c �

Πρόκειται για ένα σχήµα 1ης τάξης που όπως προκύπτει από την ανάλυση von

Neumann είναι ευσταθές όταν

� x,t0 �� �

10 �� v , (2.5.5)

όπου

x∆t∆cv � . (2.5.6)

Ο αδιάστατος αριθµός v ονοµάζεται αριθµός CFL προς τιµή των Courant, Fredrich και Lewis που

πρώτοι όρισαν τον αριθµό αυτό και τον χρησιµοποίησαν στην υπολογιστική επίλυση µ.δ.ε.

22

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση (2.5.4) τα αναπτύγµατα Taylor των όρων και

οδηγούµεθα, µετά από µερικές απλοποιήσεις στην εξίσωση

1niu � n

1iu�

...u6xcu

2tu

2xcu

2tcuu xxx

2

ttt

2

xxttxt ��

��

��

��

��� (2.5.7)

Σηµειώνεται ότι το αριστερό τµήµα της εξίσωσης (2.5.7) είναι η εξίσωση κύµατος ενώ το δεξί

τµήµα είναι το σφάλµα αποκοπής που συνήθως δεν είναι µηδέν. Το µέγεθος του σφάλµατος

αποκοπής εκτιµάται καλύτερα όταν οι µερικές παράγωγοι ως προς τον χρόνο αντικατασταθούν µε

χωρικές µερικές παραγώγους. Αυτό επιτυγχάνεται παίρνοντας τις παραγώγους της εξίσωσης

(2.5.7) διαδοχικά ως προς t και x. Συνδυάζοντας τις δύο εξισώσεις κατάλληλα προκύπτει

� � � ����

����

������

�

���

������ x0u

2cu

2cxt0u

2c

2u

tucu xxx

2

xxtttxttt

xx2

tt . (2.5.8)

Με αντίστοιχο τρόπο βρίσκουµε ότι

� x,t0ucu xxx3

ttt ����� �

�

�

(2.5.9a)

� x,t0ucu xxx2

ttx ����� (2.5.9b)

και

� x,t0cutu xxxxx ����� . (2.5.9c)

Συνδυάζοντας τέλος τις εξισώσεις (2.5.7), (2.5.8) και (2.5.9) προκύπτει η εξίσωση

� � � � � �3223xxx

22

xxxt t,tx,tx,x0u1v3v26xcuv1

2xccuu ���������

���

��� . (2.5.10)

Εξισώσεις όπως η (2.5.10) ονοµάζονται τροποποιηµένες εξισώσεις αφού είναι οι µ.δ.ε που

λύνονται, αντί των αρχικών µ.δ.ε από το εφαρµοζόµενο σχήµα πεπερασµένων διαφορών. Το δεξί

τµήµα της εξίσωσης (2.5.10) είναι το σφάλµα αποκοπής αφού αντιπροσωπεύει τη διαφορά

ανάµεσα στην αρχική µ.δ.ε και στην διακριτοποιηµένη προσέγγισή της. Παρατηρούµε ότι για το

συγκεκριµένο σχήµα πεπερασµένων διαφορών, εάν το σφάλµα µηδενίζεται και η εξίσωση

κύµατος λύνεται ακριβώς. Στην περίπτωση αυτή ( v ) η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

(2.5.4) παίρνει τη µορφή

1�v

1�

n1i

1ni uu

�

�

� (2.5.11)

που αντιστοιχεί στην αναλυτική λύση µε τη µέθοδο των χαρακτηριστικών. Εποµένως, για η

ακρίβεια της µεθόδου είναι η καλύτερη δυνατή. ∆υστυχώς όµως, όπως θα δούµε παρακάτω η

επιλογή µπορεί να οδηγήσει σε ασταθή αποτελέσµατα αφού το κριτήριο ευστάθειας είναι

.

1�v

1�v

10 �� v

23

Εφαρµόζοντας ανάλυση ευστάθειας τύπου von Neumann u στην εξίσωση

(2.5.4) εύκολα προκύπτει ότι

� � � � jkxett,x ��

� �� �

� � � βviβvvtψ

t∆tψξ sincos1 ������

� � (2.5.12)

όπου . Ο λόγος ξ ονοµάζεται, όπως έχουµε αναφέρει, συντελεστής ενίσχυσης και το

µέτρο

x∆kβ �

� � �� 2/122 sincos1 βvβvvξ ����� � � (2.5.13)

πρέπει να είναι µικρότερο της µονάδας, ώστε το σχήµα να είναι ευσταθές. Αυτό ισχύει µόνο όταν

. Εποµένως, για το αριθµητικό σχήµα είναι οριακά ευσταθές. Αντίθετα, για τιµές

του v πολύ µικρότερες του ένα και µάλιστα για τιµές κοντά στο µηδέν το σχήµα θα είναι

ευσταθές.

10 �� v 1�v

Ο συντελεστής ενίσχυσης, εξίσωση (2.5.12), γράφεται επίσης σαν µιγαδικός αριθµός φieξξ � , (2.5.14)

όπου η φ ονοµάζεται γωνία φάσης και δίδεται από τη σχέση

� �� � �

�

���

�

��

� ��

βvβv

ξξφ

cos1sintan

ReImtan 11 . (2.5.15)

Το µέτρο και η γωνία φάσης του συντελεστή ενίσχυσης είναι δυο πολύ σηµαντικές ποσότητες που

όταν συγκρίνονται µε τις αντίστοιχες αναλυτικές οδηγούν σε χρήσιµα συµπεράσµατα σχετικά µε

την ακρίβεια, ευστάθεια, συνοχή και γενικότερα µε την αξιοπιστία του αριθµητικού σχήµατος.

Στο συγκεκριµένο αριθµητικό σχήµα η καλή ακρίβεια επιτυγχάνεται µε τις τιµές του αριθµού

CFL κοντά στην µονάδα, ενώ η ευστάθεια του σχήµατος εξασφαλίζεται για τιµές του αριθµού

CFL πολύ µικρότερες του ένα.

Συµπεράσµατα όπως τα παραπάνω είναι συνηθισµένα στην εφαρµογή µεθόδων

πεπερασµένων διαφορών ειδικά µάλιστα όταν αυτά εφαρµόζονται στην επίλυση υπερβολικών

εξισώσεων.

Τέλος σηµειώνεται ότι το αριθµητικό σφάλµα στην εξίσωση (2.5.10) αποτελείται από δυο όρους

εκ των οποίων ο πρώτος περιλαµβάνει τη δεύτερη παράγωγο του u ως προς x, ενώ ο δεύτερος την

τρίτη παραγωγό του u ως προς x. Οι παράγωγοι αυτοί χαρακτηρίζουν και τον τύπο του

αριθµητικού σφάλµατος. Ο πρώτος όρος έχει την τάση να αποσβένει τα αριθµητικά

αποτελέσµατα δηλαδή το εύρος του κύµατος και ονοµάζεται σφάλµα εικονικής ή αριθµητικής

διάχυσης ή απόσβεσης. Ο δεύτερος όρος διασπείρει τα αριθµητικά αποτελέσµατα δηµιουργώντας

πτυχώσεις στις παρυφές τους κύµατος και ονοµάζεται σφάλµα διασποράς. Το συνολικό σφάλµα

αποτελείται από το σφάλµα απόσβεσης και το σφάλµα διασποράς των αποτελεσµάτων. Το

24

σφάλµα απόσβεσης οφείλεται σε άρτιες παραγώγους του u ως προς x, ενώ το σφάλµα διασποράς

σε περιττές παραγώγους του u ως προς x.

2.5.2 Σχήµα πεπλεγµένο Euler

Εξετάζεται τώρα το πεπλεγµένο σχήµα Euler όπου εφαρµόζεται κατάντη παραγώγιση στο

χρόνο και κεντρώα παραγώγιση στο χώρο. Η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών που προσεγγίζει

την µ.δ.ε (2.5.1) δίδεται από την αλγεβρική εξίσωση

� 0uux2

ct

uu 1n1i

1n1i

ni

1ni

���

��

��

�

�

�

�

�

�

(2.5.16)

Το σχήµα είναι 1ης τάξης και µπορεί να αποδειχθεί µε ανάλυση Fourier ότι είναι επίσης

πάντα ευσταθές για οποιοδήποτε χρονικό βήµα ∆t. Βέβαια το σχήµα είναι πεπλεγµένο και

εποµένως σε κάθε χρονικό βήµα λύνεται ένα τριδιαγώνιο σύστηµα αλγεβρικών εξισώσεων της

µορφής

� x∆t∆ ,0

ni

1n1i

1ni

1n1i uu

2vuu

2v

����

�

��

�. (2.5.17)

Η µέθοδος που συνήθως χρησιµοποιείται στην επίλυση τριδιαγώνιων συστηµάτων είναι ο

αλγόριθµος Thomas. Όπως γνωρίζουµε πεπλεγµένα σχήµατα απαιτούν περισσότερο υπολογιστικό

χρόνο αλλά παράλληλα επιτρέπουν µεγάλα χρονικά βήµατα. Πολλές φορές όµως οι λύσεις που

βασίζονται σε µεγάλα χρονικά βήµατα είναι τελείως ανακριβείς αφού συνοδεύονται από µεγάλο

σφάλµα αποκοπής.

Η τροποποιηµένη εξίσωση στη µέθοδο πεπλεγµένων Euler είναι

...utc31xc

61uc

21cuu xxx

232xxt

2xt ���

���

����� (2.5.18)

Παρατηρούµε ότι το δεξί τµήµα της εξίσωσης που είναι το σφάλµα αποκοπής δεν µηδενίζεται για

οποιαδήποτε επιλογή του αριθµού CFL. Ο συντελεστής ενίσχυσης και η γωνία φάσης είναι

βsinv1βsiniv1ξ 22�

�� (2.5.19)

και

� βvφ sintan 1��

� � (2.5.20)

αντίστοιχα. Η µέθοδος πεπλεγµένη Εuler έχει µεγάλο σφάλµα αριθµητικής απόσβεσης και

διασποράς.

25

2.5.3 Μέθοδος Mac Cormack

Η µέθοδος Mac Cormack χρησιµοποιείται ευρέως στην επίλυση της εξίσωσης κύµατος. Η

µέθοδος είναι ρητή αλλά σε κάθε χρονικό βήµα λύνονται δυο ρητές εκφράσεις που αντιστοιχούν

στα επιµέρους βήµατα πρόβλεψης και διόρθωσης. Το αριθµητικό σχήµα Mac Cormack

περιγράφεται από τις εξισώσεις

� ni

n1i

ni

1ni uu

xtcuu �

�

���

�

� � (2.5.21a)

και

� ��

���

�

���� �

�

��� 1n1i

1ni

ni

1ni

ni

1ni uu

xtcuuu

21u � (2.5.21b)

Ο όρος 1�niu

u

είναι η ενδιάµεση τιµή της u που προκύπτει από την εξίσωση πρόβλεψης ενώ η

τελική τιµή στο βήµα n+1 προκύπτει από την εξίσωση διόρθωσης. Η µέθοδος Mac-Cormack

είναι δεύτερης τάξης

1�ni

� �22 x,t0 �� , είναι ευσταθής για και εφαρµόζεται και στην επίλυση

µη γραµµικών εξισώσεων.

10 �� v

Όπως φαίνεται από τις εξισώσεις (2.5.21) στην εξίσωση πρόβλεψης εφαρµόζεται κατάντη

παραγώγιση για τον όρο xu�

� , ενώ στην εξίσωση διόρθωσης για τον ίδιο όρο εφαρµόζεται ανάντη

παραγώγιση. Εφαρµόζοντας ανάντη παραγώγιση και στις δύο εξισώσεις προκύπτει το αριθµητικό

σχήµα

� n1i

ni

ni

1ni uu

xtcuu

�

�

��

��� � (2.5.22a)

� � � ��

���

��

��

���

��

�

�

��� n2i

n1i

ni

1n1i

1ni

1ni

ni

1ni uu2u

xtcuu

xtcuu

21u � (2.5.22b)

που αποτελεί µια εναλλακτική µορφή της µεθόδου Mac Cormack. Το σχήµα (2.5.22) είναι 2ης

τάξης � �22 x,xt,t ����0 και ευσταθές για . 2v0 ��

2.5.4 Πεπλεγµένη τραπεζοειδής µέθοδος

Πρόκειται για µια πεπλεγµένη µέθοδο 2ης τάξης � �22 ,0 x∆t∆ που έχει την ενδιαφέρουσα

ιδιότητα του µηδενικού σφάλµατος αριθµητικής απόσβεσης. Το σφάλµα αποκοπής περιλαµβάνει

µόνο περιττές παραγώγους της u ως προς x µε αποτέλεσµα η µέθοδος να έχει µόνο αριθµητικό

σφάλµα διασποράς.

Εάν τα δυο αναπτύγµατα Taylor

26

� � � � � � ...u6tu

2tutuu n

ittt

3nitt

2nit

ni

1ni �

��

�����

� (2.5.23a)

και

� � � � � � ...u6tu

2tutuu 1n

ittt

31n

itt

21n

it1n

ini �

��

�����

���� (2.5.23b)

αφαιρεθούν και χρησιµοποιηθεί η σχέση

� � � � � � ...utuu nittt

nitt

1nitt ����� (2.5.24)

προκύπτει η εξίσωση

� � � �� � � 31nit

nit

ni

1ni t0uu

2tuu ���

���

�� �. (2.5.25)

Η µεθοδολογία διατύπωσης της εξίσωσης (2.5.25) θυµίζει τη µέθοδο Crank-Nicolson και

ονοµάζεται τραπεζοειδής πεπερασµένη διαφορά. Στη συνέχεια οι µερικές παράγωγοι ως προς το

χρόνο αντικαθιστούνται µε βάση τη σχέση u και έχουµε xt cu��

� � � �� � � 31nix

nix

ni

1ni t0uu

2tcuu ���

���

�� �. (2.5.26)

Τελικά εφαρµόζοντας κεντρώες παραγωγίσεις προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών

� n1i

1n1i

n1i

1n1i

ni

1ni uuuu

4vuu

�

�

��

�

�

�

����� � (2.5.27)

Ένα τριγωνικό σύστηµα εξισώσεων λύνεται σε κάθε χρονικό βήµα. Η τροποποιηµένη εξίσωση

έχει τη µορφή

...u80

tc24

xtc120

xcu6xc

12tccuu xxxxx

442234

xxx

223

xt ���

���

� ��

���

��

�

���

� ��

�� (2.5.28)

Παρατηρούµε λοιπόν ότι στο σφάλµα αποκοπής δεν συµπεριλαµβάνεται ο όρος διάχυσης που

οδηγεί στο σφάλµα εικονικής απόσβεσης. Ο συντελεστής ενίσχυσης είναι

��

��

��

sin2iv1

sin2iv1

. (2.5.29)

Όταν η µέθοδος εφαρµόζεται σε µη γραµµικές εξισώσεις, µερικές φορές κρίνεται απαραίτητο να

προστεθεί όρος οµαλοποίησης ώστε να εξασθενίσει η έντονη διασπορά των αποτελεσµάτων.

27