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1 复复复复 复2复

复变函数 第 2 讲

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复变函数 第 2 讲. 很多平面图形能用复数形式的方程 ( 或不等式 ) 来表示 ; 也可以由给定的复数形式的方程 ( 或不等式 ) 来确定它所表示的平面图形. 例 3 将通过两点 z 1 = x 1 + iy 1 与 z 2 = x 2 + iy 2 的直线用复数形式的方程来表示 . [ 解 ] 通过点 ( x 1 , y 1 ) 与 ( x 2 , y 2 ) 的直线可用参数方程表示为. 因此 , 它的复数形式的参数方程为 z = z 1 + t ( z 2 - z 1 ). ( - < t

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Page 1: 复变函数 第 2 讲

1

复变函数第 2讲

Page 2: 复变函数 第 2 讲

2

很多平面图形能用复数形式的方程 ( 或不等式 ) 来表示 ; 也可以由给定的复数形式的方程 ( 或不等式 ) 来确定它所表示的平面图形 .

Page 3: 复变函数 第 2 讲

3

例 3 将通过两点 z1=x1+iy1 与 z2=x2+iy2 的直线用复数形式的方程来表示 .[ 解 ] 通过点 (x1,y1) 与 (x2,y2) 的直线可用参数方程表示为

1 2 1

1 2 1

( ),( )

( ).

x x t x xt

y y t y y

因此 , 它的复数形式的参数方程为

z=z1+t(z2z1). (<t<+)

Page 4: 复变函数 第 2 讲

4

由此得知由 z1 到 z2 的直线段的参数方程可以写成

z=z1+t(z2z1). (t)

取 , 得知线段 的中点为1

2t 1 2z z

1 2

2

z zz

Page 5: 复变函数 第 2 讲

5

例 4 求下列方程所表示的曲线 :

1) | | 2;

2) | 2 | | 2 |;

3) Im( ) 4.

z i

z i z

i z

Page 6: 复变函数 第 2 讲

6

[ 解 ] 1) | | 2z i 设 z=x+iy, 方程变为

2 2

2 2

| ( 1) | 2

( 1) 2,

( 1) 4

x y i

x y

x y

为一圆i

O x

y

Page 7: 复变函数 第 2 讲

7

几何上 , 该方程表示到点 2i 和 2 的距离相等的点的轨迹 , 所以方程表示的曲线就是连接点 2i 和 2 的线段的垂直平分线 , 方程为 yx, 也可用代数的方法求出

2) | 2 | | 2 |z i z

O x

y

2

2i

yx

Page 8: 复变函数 第 2 讲

8

设 z=x+iy, 那末3) Im( ) 4.i z

(1 )

Im( ) 1

i z x y i

i z y

可得所求曲线的方程为 y3.

O

y

x

y3

Page 9: 复变函数 第 2 讲

9

2. 复球面

N

S O

x

y

P

z

Page 10: 复变函数 第 2 讲

10

除了复数的平面表示方法外 , 还可以用球面上的点来表示复数 .取一个与复平面切于原点 z=0 的球面 , 球面上的一点 S 与原点重合 . 通过 S 作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点 N. 称 N 为北极 , S 为南极 .对复平面内任一点 z, 用直线将 z 与 N 相连 , 与球面相交于 P 点 , 则球面上除 N 点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系 ,

而 N 点本身可代表无穷远点 , 记作 .这样的球面称作复球面 .

Page 11: 复变函数 第 2 讲

11

关于的四则运算作如下规定 :加法 : +=+= ()减法 : == ()乘法 : == (0)

其它运算不确定

但可为

除法

),0(0

),(,0:

Page 12: 复变函数 第 2 讲

12

§3 复数的乘幂与方根

Page 13: 复变函数 第 2 讲

13

乘积与商 设有两个复数 z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2), z1z2=r1r2(cos1+isin1)(cos2+isin2) = r1r2[(cos1cos2sin1sin2)

+i(sin1cos2+cos1sin2)]= r1r2[cos(1+2)+isin(1+2)]

于是 |z1z2|=|z1||z2| (1.3.1)Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2,(1.3.2)

Page 14: 复变函数 第 2 讲

14

定理 1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积 , 两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和 .

Page 15: 复变函数 第 2 讲

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等式 Arg(z1z2)=Arg z1+Arg z2, (1.3.2)的意思是等式的两边都是无限集合 , 两边的集合相等 , 即每给定等式左边的一个数 , 就有等式右边的一个数与之对应 , 反之亦然 .例如 , 设 z11, z2=i, 则 z1z2i, 则

1 2

1 2

Arg 2 ,Arg 2 ,2

Arg 22

, , 0, 1, 2,

z n z m

z z k

n m k

Page 16: 复变函数 第 2 讲

16

z1z2 相当于将 z1 的模扩大 |z2| 倍并旋转一个角度 Arg z2

2

2 z2

1

z1

z1z2

1O x

y

Page 17: 复变函数 第 2 讲

17

如果用指数形式表示复数 :

)(2121

2211

21

21

e

e,e

i

ii

rrzz

rzrz

为则定理一可简明地表示

)4.3.1(e

)]sin(

)[cos(

),,,2,1(),sin(cos

)(21

21

212121

21 n

k

in

n

nnn

kkki

kk

rrr

i

rrrzzz

nkirerz

由此逐步可证 , 如果

Page 18: 复变函数 第 2 讲

18

按照商的定义 , 当 z10 时 , 有

121

2

1

2

1

2

11

221

1

22

11

22

ArgArgArg,||||

ArgArgArg|,|||

zzzz

zz

zz

zzz

zzzz

z

zzz

z

于是

因此

定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商 , 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的幅角之差 .

Page 19: 复变函数 第 2 讲

19

如果用指数形式表示复数 :

,e,e 212211

ii rzrz

)(

1

2

1

2 12e i

rr

zz

定理二可简明地表示为

Page 20: 复变函数 第 2 讲

20

例 1 已知正三角形的两个顶点为 z1=1 与 z2=2+i, 求它的另一个顶点 .[ 解 ] 如图所示 , 将表示 z2z1 的向量绕 z1 旋转 /3( 或 /3) 就得到另一个向量 , 它的终点即为所求的顶点 z3( 或 z3’).

3

O x

y

z1=1

z2=2+i

z3

z3’

3

Page 21: 复变函数 第 2 讲

21

根据复数乘法 , 有

33 1 2 1

3

( )

1 3(1 )

2 2

1 3 1 3

2 2 2 2

3 3 1 3

2 2

iz z e z z

i i

i

z i

Page 22: 复变函数 第 2 讲

22

类似可得

3

3 3 1 3

2 2z i

Page 23: 复变函数 第 2 讲

23

2. 幂与根 n 个相同复数 z 的乘积称为 z 的 n次幂 ,记作 zn .

个n

n zzzz

为负整数时上式也成立则当如定义 nz

z nn ,

1

则根据 (1.3.4), 对任意正整数 n, 我们有zn=rn(cos n+isin n). (1.3.7)

如 |z|=1, 则 ( 棣莫弗 (De Moivre) 公式 ). (cos +isin )n = cos n+isin n. (1.3.8)

Page 24: 复变函数 第 2 讲

24

设 z 为己知 , 方程 wn=z 的根 w 称为 z 的 n 次根 , 为整数记作 nzz nn ,/1

1ee1ee

11

e,e,1,1

2

3

32

2

3

32

3

32

32

3

iiii

ii

这是因为

有三个值

如 n 为正整数 , 则一个复数的 n 次根不止有一个 , 而是有 n 个 , 这是很麻烦的事情 . 例如

在几何上 , z1/n 的 n 个值就是以原点为中心 , r1

/n 为半径的圆的内接正 n 边形的 n 个顶点

Page 25: 复变函数 第 2 讲

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在 z 已知时求方程 wn=z 的根 w, 令z=r(cos+isin), w=(cos+isin),

则 n(cos n+isin n)=r(cos+isin)

于是 n=r, cos n=cos, sin n=sin

后两式成立的充要条件为n=+2k, (k=0,1,2,).

由此1 2,n k

rn

Page 26: 复变函数 第 2 讲

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其中 , r1/n 是算术根 , 所以

1 2,n k

rn

1/ 2 2cos sinnn k k

w z r in n

当 k=0,1,2,…,n1 时 , 得到 n 个相异的根 ,

而当 k 以其它整数值代入时 , 这些根又重复出现 .

Page 27: 复变函数 第 2 讲

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例 2 求 4 1 .i

1 2 cos sin ,4 4

i i

[ 解 ] 因为

所以

442 2

4 41 2 cos sin ,4 4

( 0,1,2,3)

k ki i

k

Page 28: 复变函数 第 2 讲

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即8

0

81

82

83

2 cos sin ,16 16

9 92 cos sin ,

16 16

17 172 cos sin ,

16 16

25 252 cos sin .

16 16

w i

w i

w i

w i

Page 29: 复变函数 第 2 讲

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四个根是内接于中心在原点半径为 21/8 的圆的正方形的四个顶点 .

28 2

1+i

w0

w1

w2

w3

O x

y