Расстояние от точки до прямой

Задача 1. Задача 2.Расстояние от точки д

о плоскости Задача 1. Задача 2.Расстояние между скр

ещивающимися прямыми

Задача 1. Задача 2.

Угол между двумя прямыми

Задача 1, Задача 2.Угол между прямой и

плоскостью Задача1. Задача 2.Угол между двумя пло

скостями Задача 1. Задача 2.

1.Определение:1.Определение: Две Две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямые образуют смежные и образуют смежные и вертикальные углы.вертикальные углы.Углом между двумя прямыми Углом между двумя прямыми называется меньший из них.называется меньший из них.Угол между Угол между перпендикулярными прямыми перпендикулярными прямыми равен 90°. Угол между равен 90°. Угол между параллельными прямыми параллельными прямыми равен 0°.равен 0°.

4231

4321

и,и

:ыеВертикальн

;и,и

:Смежные

А1

А В

D

D1

B1

С

С12.Скрещивающиеся 2.Скрещивающиеся прямыепрямыеУглом между Углом между скрещивающимися скрещивающимися прямыми называется прямыми называется угол между угол между пересекающимися пересекающимися прямыми, которые прямыми, которые параллельны параллельны данным данным скрещивающимся скрещивающимся прямым.прямым.

В кубе В кубе A…CA…C11 прямыепрямые AD AD11 и и DCDC11 –скрещивающиеся (т.к. –скрещивающиеся (т.к. лежат в разных плоскостях и лежат в разных плоскостях и не пересекаются). Пользуясь не пересекаются). Пользуясь

определением угла между определением угла между скрещивающимися прямыми, скрещивающимися прямыми,

получаем: получаем: ADAD11 II BC II BC11 => => заменим одну прямую другой. заменим одну прямую другой.

DCDC11BB – искомый. – искомый.

Для решения задач Для решения задач CC22 первого первого типа, практически всегда типа, практически всегда приходиться применять приходиться применять формулы и теоремы.формулы и теоремы.1)1)Теорема косинусов: Теорема косинусов: Квадрат Квадрат любой стороны треугольника любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного других сторон без удвоенного произведения этих сторон на произведения этих сторон на косинус угла между ними.косинус угла между ними.2)2)При решении векторным При решении векторным способомспособом: скалярное : скалярное произведение векторов равно произведение векторов равно произведению их абсолютных произведению их абсолютных величин на косинус угла между величин на косинус угла между ними.ними.

.

a²=b²a²=b²++c²- 2∙b∙c∙cosc²- 2∙b∙c∙cosαα

.

;

(;

,

;

);;(),;;

22

22

22

21

21

21

212121

222111угол

искомыйгдесоs

zухв

zуха

zzууххва

zухвzуха

вава

Ключевая задачКлючевая задачаВ единичном кубе А…В единичном кубе А…DD1 найдите угол 1 найдите угол

между прямыми АВ1 и ВС1 .между прямыми АВ1 и ВС1 .

С

А1

АВ

D

D1

B1

C1

РЕШЕНИЕ

Рисунок

СС

А1А1

ААВВ

DD

DD11

BB11

С1С1

1.Прямые АВ1 и ВС1 - 1.Прямые АВ1 и ВС1 - скрещивающиеся. Прямая Аскрещивающиеся. Прямая АDD11llll ВС1 ВС12. Заменим прямую ВС1 прямой А2. Заменим прямую ВС1 прямой АDD1 1 3.Следовательно искомый 3.Следовательно искомый DD1АВ11АВ14.Рассмотрим ∆4.Рассмотрим ∆ D D1АВ1 - 1АВ1 - равносторонний. Так как равносторонний. Так как ААDD1=1=DD1В1=В1А (куб единичный, 1В1=В1А (куб единичный, данные стороны являются данные стороны являются диагоналями соответствующих диагоналями соответствующих квадратов). Исходя из этого, по квадратов). Исходя из этого, по свойству углов в равностороннем свойству углов в равностороннем треугольнике (все углы равны).треугольнике (все углы равны). 5.Искомый 5.Искомый DD1АВ1=60°1АВ1=60°Ответ: 60°Ответ: 60°

C1

С

А1

АВ

D

D1

B1

Тренировочное заданиеТренировочное заданиеВ кубе А…В кубе А…DD1 1 найдите косинус угла найдите косинус угла

между прямыми АВ и САмежду прямыми АВ и СА1.1.

РЕШЕНИЕ 1

С

А1

АВ

D

D1

B1

C1

РЕШЕНИЕ 2

Рисунок 1Рисунок 2

СС

АА ВВ

DD

DD11

BB11

CC11

А1А1

С

А1

АВ

D

D1

B1

C1

1. АВ и А1. АВ и А11С скрещивающиеся.С скрещивающиеся.2. АВ 2. АВ IIII А А11ВВ11 => искомый угол => искомый угол ВВ11АА11СС3. В ∆А3. В ∆А11ВВ11С, так как С, так как АА11ВВ11С=90° (т.к. АС=90° (т.к. А11ВВ11 (ВВ (ВВ11СС11С), С), а значит по определению и а значит по определению и любой прямой лежащей в этой любой прямой лежащей в этой плоскости Аплоскости А11ВВ11 В В11С)С)4. По определению косинуса: 4. По определению косинуса: coscos В В11АА11С= С= 5. А5. А11ВВ11 =1 =16. А6. А11С²=1²+(√2)²=3, =>АС²=1²+(√2)²=3, =>А11С=√3С=√37. с7. сosos В В11АА11С=1/√3=√3/3С=1/√3=√3/3Ответ: √3/3Ответ: √3/3

А1

С

АВ

D

D1

B1

C1

1 СПОСОБ1 СПОСОБ

С

А1

АВ

D

D1

B1

C1

2 СПОСОБ2 СПОСОБ1. Введем систему координат с началом в точке А и осями АВ(Ох); АD(Оу); АА1(Оz);2. Рассмотрим в данной системе координат векторы АВ и А1С3. Найдем координаты вектора АВ (1;0;0)4. А1 (0;0;1); С (1;1;0) =>А1С (1;1;-1)5. Пусть α угол между АВ и А1С,тогда cosα=

АВ∙А1С=1+0+0=1IАВI=IА1СI=6. сosα=1/(1∙√3)=1/√3=√3/3 Ответ: √3/3

1001222

3)1(11222

11. Углом между плоскостью и . Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей не перпендикулярной ей прямой называется угол между прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. данную плоскость. 2. Угол между взаимно 2. Угол между взаимно перпендикулярными прямой и перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90 . плоскостью равен 90 . 3. Если прямая параллельна 3. Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается то угол между ними считается равным 0 .равным 0 .

ВВ

ααααיי

аа

ААСС

а ∩ α =АВС α ВАС – искомый ВАС – искомый уголугол

Замечания:Замечания:Если находить угол Если находить угол

между данной прямой и между данной прямой и перпендикуляром к перпендикуляром к данной плоскости, данной плоскости, обозначив его обозначив его α′α′,,

тогда искомый уголтогда искомый угол αα равен (90°-равен (90°-α′α′))

ββββיי

аа

ААСС

ВВ

Находят АВС=Находят АВС=α′α′, тогда , тогда искомый искомый ВАС=(90°-ВАС=(90°-α′α′),),т.к. ∆АВС – т.к. ∆АВС – прямоугольный; а прямоугольный; а сумма острых углов в сумма острых углов в прямоугольном прямоугольном треугольнике равна 90°треугольнике равна 90°

Ключевая задачаКлючевая задачаВ правильной четырехугольной пирамиде В правильной четырехугольной пирамиде

SABCDSABCD, все ребра которой равны 1, найдите , все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой синус угла между прямой BEBE и плоскостью и плоскостью

SADSAD, где Е – середина ребра , где Е – середина ребра SCSC.

S

А B

D C

E

РЕШЕНИЕРисунок

S

А B

D C

E

F

S

S1B

F

C

E

H

К

1. 1. Проведем Проведем SF II ABSF II AB,, SF SF==ABAB=1=12. 2. В тетраэдре В тетраэдре SBSBССFF все ребра равны 1 и (ВС все ребра равны 1 и (ВСF) II F) II

(SAD)(SAD)

S

А B

D C

E

F

3. 3. Перпендикуляр Перпендикуляр EH EH опущенный из Е на плоскость опущенный из Е на плоскость (ВС(ВСF) F) равен половине высоты тетраэдра равен половине высоты тетраэдра

4. Из ∆4. Из ∆SBSSBS11 SS1=90°, 1=90°, SBSB=1=15. 5. BSBS11- радиус описанной окружности - радиус описанной окружности RR11 = 2/3∙ = 2/3∙BBККBBК – высота равностороннего треугольника, =>К – высота равностороннего треугольника, =>

BBК=(а∙√3)/2, т.е. К=(а∙√3)/2, т.е. BBК= √3/2, =>К= √3/2, => R R11= √3/3= √3/36. 6. SS1= SS1= SS1= SS1= ;;SSSS11= √6/3= √6/3; ; EH =√6/6EH =√6/67. 7. EBH – EBH – искомый, искомый, sin sin B=EH/BEB=EH/BE, , BE – BE – медиана, высота равностороннего медиана, высота равностороннего треугольника, =>треугольника, =>BEBE= √3/2= √3/28. 8. sin sin BB=(√6∙2)/(6∙√3)=√2/3=(√6∙2)/(6∙√3)=√2/3 Ответ: √2/3Ответ: √2/3

BSSB 2 21 9

31

S

S1B

F

C

E

H

К

Тренировочная задачаТренировочная задачаВ правильной четырехугольной В правильной четырехугольной

пирамиде пирамиде SABCDSABCD, все ребра которой , все ребра которой равны 1.равны 1. Найдите синус угла между Найдите синус угла между

прямой прямой BD BD и плоскостью и плоскостью (SBC).(SBC).S

А B

DC

O

РЕШЕНИЕРисунок

АА BB

DD CC

O

SS

HH

1. Проведем. Проведем DH DH (SBC)(SBC), тогда , тогда HBDHBD-искомый угол между -искомый угол между прямой прямой BDBD и плоскостью ( и плоскостью (BSC)BSC);;2. 2. sinsin HBD=DH/BDHBD=DH/BD; ; BD=BD=√√223. Для нахождения 3. Для нахождения DHDH воспользуемся формулой объема воспользуемся формулой объема пирамиды: пирамиды: V=1/3∙SV=1/3∙Sосносн∙∙HH, где , где HH-высота-высота4. Найдем объем пирамиды 4. Найдем объем пирамиды SCBD SCBD двумя способами:двумя способами:1).1).VV11=1/3∙S=1/3∙S∆∆SBCSBC∙DH∙DH; 2).; 2).V2=1/3∙SV2=1/3∙S∆∆DBCDBC∙SO∙SO;;VV11=1/3∙=1/3∙((aa²² √ √3 /43 /4))∙DH=∙DH=√√3/12∙DH3/12∙DHVV22=1/3∙1/2 ∙=1/3∙1/2 ∙11∙1∙SO=1/6 ∙SO∙1∙SO=1/6 ∙SO5. Найдем 5. Найдем SO SO из ∆из ∆SOA SOA –прямоугольный–прямоугольный ( ( SOA=90SOA=90°°)) по т.Пифагора по т.ПифагораSO=SO= ; ; SO =SO =6. 6. VV22=1/6∙=1/6∙√√2/2=2/2= √ √2/122/12VV11=V=V22== √ √3/12∙DH=3/12∙DH= √ √2/122/127. 7. DH=DH= √ √2/12∙12/2/12∙12/√√3=3= √ √2/2/√√3=3= √ √6/36/38. 8. sinsin HBD=HBD= √ √6/3∙1/6/3∙1/√√2=2= √ √6/36/3√√2=2=√√3/33/3 Ответ:Ответ: √√3/33/3

АА BB

DD CC

O

OAAS 2 2

22

42

1

SS

HH

Двугранный уголДвугранный угол, образованный , образованный полуплоскостями измеряется полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла,величиной его линейного угла,получаемого при пересечении получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.перпендикулярной его ребру. Величина двугранного угла Величина двугранного угла принадлежит промежутку (0°; 180°).принадлежит промежутку (0°; 180°). Величина угла между Величина угла между пересекающимися плоскостями пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0°; 90°].принадлежит промежутку (0°; 90°]. Угол между двумя параллельными Угол между двумя параллельными плоскостями равен 0° .плоскостями равен 0° .

В единичном кубе А…D1 найдите тангенс В единичном кубе А…D1 найдите тангенс угла между плоскостями (АА1D) и (BDC1)угла между плоскостями (АА1D) и (BDC1)

РЕШЕНИЕ

Ключевая задачаКлючевая задача

Рисунок

EE

1.1. Так как (ААТак как (АА11DD11D) IID) II ( (BBBB11CC11С)С)((BDCBDC11)∩(BB)∩(BB11CCCC11)=BC)=BC11

2. Пусть Е-середина ВС2. Пусть Е-середина ВС11, (т.к. ∆, (т.к. ∆BCBC11C-C-прямоугольный, равнобедренный); прямоугольный, равнобедренный);

3. ВС=С3. ВС=СCC11

4. 4. CECE BCBC11 => DE => DE BC BC11; ; 5. т.е. 5. т.е. DEC DEC – линейный угол – линейный угол

двугранного угла.двугранного угла.6. 6. ECD=90°(ECD=90°(по теореме о трех по теореме о трех

перпендикулярах); перпендикулярах); 7. 7. tgtg DEC = DC/EC DEC = DC/EC; ; DC=1DC=18. Найдем 8. Найдем ECEC==√2/2√2/2

Ответ: √2Ответ: √2

2

22

1

CE

DCDECtg

EE

В правильной четырехугольной пирамиде В правильной четырехугольной пирамиде SABCDSABCD, все ребра которой равны 1. , все ребра которой равны 1. Найдите косинус двугранного угла, Найдите косинус двугранного угла,

образованного гранями (образованного гранями (SBC)SBC) и и (SCD)(SCD)

Тренировочная задачаТренировочная задача

А B

D C

S

РЕШЕНИЕРисунок

А B

DD

KK

SS

OO

С

11. . (SCB)∩(SDC)=SC(SCB)∩(SDC)=SC2. Построим линейный угол двугранного угла.2. Построим линейный угол двугранного угла.3. Пусть 3. Пусть KK – середина ребра – середина ребра SCSC;;4. Т.к. 4. Т.к. ∆BSC∆BSC и ∆ и ∆DSCDSC- равносторонние, то - равносторонние, то медианы медианы BKBK и и DKDK являются высотами являются высотами соответствующих треугольников;соответствующих треугольников;5. Т.к. 5. Т.к. BKBK SCSC и и DK DK SCSC, то , то DKB-DKB- линейный угол искомого линейный угол искомогодвугранного угладвугранного угла6. 6. DK=KB= (a²∙√3)/2 DK=KB= (a²∙√3)/2, где а=1, т.е., где а=1, т.е.DK=KB =√3/2DK=KB =√3/27. 7. DB=√2DB=√2 (диагонали квадрата) (диагонали квадрата)8. Из 8. Из ∆∆DKBDKB по теореме косинусов найдем угол. по теореме косинусов найдем угол.

cos∠∠DKB= DKB= ; ; cos∠∠DKB= DKB= Ответ: (-1)/3Ответ: (-1)/3

C

А B

DD

KK

SS

OO

DKBKBDDKKB

2

2 2 2

31

32

21

2321

23

23

2

243

43

Расстояние от точки до Расстояние от точки до прямойпрямой, не содержащей , не содержащей эту точку, есть длина эту точку, есть длина отрезка – перпендикуляра, отрезка – перпендикуляра, проведенного из этой проведенного из этой точки на прямую.точки на прямую. Расстояние между двумя Расстояние между двумя параллельными прямыми параллельными прямыми равно расстоянию от равно расстоянию от любой точки одной из этих любой точки одной из этих прямых до другой прямой.прямых до другой прямой.

aa

bb

AA

AA11BB11

A A ϵϵ а; а; проводим с проводим с а; через А а; через А прямую прямую b IIb II с; с; =>=>b ab a, , ABAB а а. . ABAB – искомое – искомое расстояние.расстояние. aa

bbAA

BB сс

a II b,a II b, А А ϵϵ а, => а, => АААА11 или АВ или АВ11 – – искомые искомые расстояниярасстояния

В единичном кубе А…DВ единичном кубе А…D11 найдите найдите расстояние от точки А до прямой BDрасстояние от точки А до прямой BD11. .

РЕШЕНИЕ 1РЕШЕНИЕ 2РЕШЕНИЕ 3

AA BB

CCDD

BB11

CC11 DD11

Ключевая задачаКлючевая задача

BB

AA11

DD

Рисунок

CC

AA BB

DD

AA11 BB11

DD11

HH

С1С1

1 СПОСОБ1 СПОСОБ1. Из точки А опустим перпендикуляр на 1. Из точки А опустим перпендикуляр на прямую прямую BDBD11

2. 2. AH – AH – искомое расстояниеискомое расстояние3. Рассмотрим ∆3. Рассмотрим ∆ABDABD11 – – прямоугольный прямоугольный (( D1AB D1AB=90°)=90°)4. Из ∆4. Из ∆ABDABD11: : ABAB=1, =1, AD1AD1=√2 (по т.Пифагора), =√2 (по т.Пифагора),

BD1BD1=√3 ( как диагональ единичного куба)=√3 ( как диагональ единичного куба)5. Найдем 5. Найдем AHAH используя способ площадей. используя способ площадей.

Найдем площадь ∆Найдем площадь ∆ABDABD11 двумя двумя способами:способами:

6. 6. SS11=1/2∙AD=1/2∙AD11∙AB∙ABSS22=1/2∙AH∙BD=1/2∙AH∙BD11

7. 7. SS11= 1/2∙√2∙1=√2/2= 1/2∙√2∙1=√2/2, , так как так как SS11SS22, то , то √2/2=1/2∙AH∙√3√2/2=1/2∙AH∙√38. Отсюда, 8. Отсюда, AH = √AH = √6/36/3Ответ: √6/3Ответ: √6/3

CC11

CC

AA BB

DD

AA11 BB11

DD11

HH

2 2 СПОСОБСПОСОБ1. Из точки А опустим перпендикуляр на 1. Из точки А опустим перпендикуляр на прямую прямую BDBD11

2. 2. AH – AH – искомое расстояниеискомое расстояние3. Рассмотрим ∆3. Рассмотрим ∆ABDABD11 – – прямоугольный прямоугольный (( D1AB D1AB=90°)=90°)4. Из ∆4. Из ∆ABDABD11: : ABAB=1, =1, ADAD11=√2 (по =√2 (по

т.Пифагора), т.Пифагора), BDBD11=√3 ( как диагональ =√3 ( как диагональ единичного куба)единичного куба)

5. 5. Рассмотрим ∆Рассмотрим ∆BADBAD11 и ∆и ∆BHABHA..6. ∆6. ∆BADBAD11~~∆∆BHABHA по трем углам: по трем углам: B B – общий, – общий, BHA= BAD BHA= BAD11=90°, =>=90°, => BAH= AD1HBAH= AD1H7. Из подобия треугольников следует и 7. Из подобия треугольников следует и

пропорциональность сторон:пропорциональность сторон: AD AD11/BD/BD11= = AH/ABAH/AB

88. . AHAH=(=(ADAD11∙AB∙AB)/)/BDBD11

9. А9. АHH==((√√2∙1)/√3=2∙1)/√3=√2/√3=(√2 √3)/(√3 √3)=√6/3∙ ∙√2/√3=(√2 √3)/(√3 √3)=√6/3∙ ∙ Ответ: √6/3Ответ: √6/3

H H AA BB

CCDD

AA11 BB11

CC11 DD11

HH

1. Из точки А опустим 1. Из точки А опустим перпендикуляр на прямую перпендикуляр на прямую BDBD11

2. 2. AH – AH – искомое расстояниеискомое расстояние3. Рассмотрим ∆3. Рассмотрим ∆ABDABD11 – –

прямоугольный прямоугольный (( D D11ABAB=90°)=90°)4. Из ∆4. Из ∆ABDABD11: : ABAB=1, =1, ADAD11=√2 =√2

(по т.Пифагора), (по т.Пифагора), BDBD11=√3=√3 (как диагональ единичного (как диагональ единичного

куба)куба)5. Из ∆5. Из ∆ABDABD11: : sin ABDsin ABD11==√6/3√6/366. =>. =>AH=AB∙AH=AB∙sin ABDsin ABD11==√6/3√6/3Ответ: Ответ: √6/3√6/3

3 СПОСОБ3 СПОСОБ

AA BB

CCDD

AA11 BB11

CC11 DD11

HH

Тренировочное заданиеТренировочное заданиеВ правильной шестиугольной призме В правильной шестиугольной призме

A…FA…F11, все ребра которой равны 1. , все ребра которой равны 1. Найдите расстояние от точки Найдите расстояние от точки B B до до

прямой прямой ADAD11..

РЕШЕНИЕРисунок

1. В ∆1. В ∆ADAD11BB: : AB=1AB=1, , AD1=AD1=( Из ∆( Из ∆ADDADD11; ; D=90 D=90°)°)2. 2. ADAD11==3. 3. BDBD11= = ;( Из ;( Из ∆ ∆BDDBDD11; ; D=90 D=90°)°), , BDBD11==4. ∆4. ∆ABDABD11 – – прямоугольный (прямоугольный ( D D11BA=90BA=90°)°)((По теореме о трех перпендикулярах По теореме о трех перпендикулярах BDBD AB) AB)5. Для нахождения расстояния от точки В до прямой 5. Для нахождения расстояния от точки В до прямой AD1AD1:: BH BH воспользуемся формулами площадей: воспользуемся формулами площадей:6. 6. SS∆∆ABDABD11=1/2∙AB∙BD=1/2∙AB∙BD11

SS∆∆ABDABD11=1/2∙1∙2=1=1/2∙1∙2=17. 7. SS∆∆ABDABD11=1/2∙AD1∙BH=1/2∙AD1∙BH, , где где BH ADBH AD11

8. 8. BH=(2∙SBH=(2∙S∆∆ABDABD11)/ AD)/ AD11; ; BH=(2∙1)/√5=2/√5=2√5/5BH=(2∙1)/√5=2/√5=2√5/5 Ответ: Ответ: 2√5/52√5/5

DDAD 2 21

514 DDBD 2 2

1 413

Расстояние от точки до Расстояние от точки до плоскостиплоскости, не содержащей эту , не содержащей эту точку, есть длина отрезка точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. этой точки на плоскость. Расстояние между прямой и Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостьюпараллельной ей плоскостью равно длине их общего равно длине их общего перпендикуляра. перпендикуляра. Расстояние между прямой и Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.этой прямой до плоскости.

AA

Из точки А проведены к Из точки А проведены к плоскости плоскости αα перпендикуляр перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В АВ и наклонная АС. Точка В – основание – основание перпендикуляра, точка С – перпендикуляра, точка С – основание наклонной, ВС – основание наклонной, ВС – проекция наклонной АС на проекция наклонной АС на плоскость плоскость αα..

Из точки А проведены к Из точки А проведены к плоскости плоскости αα перпендикуляр перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В АВ и наклонная АС. Точка В – основание – основание перпендикуляра, точка С – перпендикуляра, точка С – основание наклонной, ВС – основание наклонной, ВС – проекция наклонной АС на проекция наклонной АС на плоскость плоскость αα..

αα CCBB

Для решения задач такого типа Для решения задач такого типа приходится применять приходится применять теорему о теорему о трех перпендикулярах:трех перпендикулярах:

Если прямая, проведенная на Если прямая, проведенная на плоскости через основание плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. перпендикулярна наклонной. И обратно:И обратно: если прямая на если прямая на плоскости перпендикулярна плоскости перпендикулярна наклонной, то она наклонной, то она перпендикулярна и проекции перпендикулярна и проекции наклонной.наклонной.

ααCC

BB

АА

AAיי

cc

ββ

AB AB αα;; AC AC – наклонная; с – – наклонная; с – прямая, проходящая через прямая, проходящая через основание С наклонной, с основание С наклонной, с Є Є αα; Проведем С; Проведем СAAיי II ABII AB ; ;ССAAיי αα Через ; Через ;ABAB и и AAיי С С проведем проведемββ с ; с ; СА СА יי если ; если ; с с СВ, то с СВ, то с ββ с >= с >= ;АС ;АС Аналогично доказывается Аналогично доказывается.и обратное утверждение.и обратное утверждение

AB AB αα;; AC AC – наклонная; с – – наклонная; с – прямая, проходящая через прямая, проходящая через основание С наклонной, с основание С наклонной, с Є Є αα; Проведем С; Проведем СAAיי II ABII AB; ; ССAAיי αα; Через ; Через ABAB и и AAייС С проведем проведем ββ; с ; с СА САיי; если ; если с с СВ, то с СВ, то с ββ => с => с АС; АС;Аналогично доказывается Аналогично доказывается и обратное утверждение.и обратное утверждение.

В единичном кубе АВСВ единичном кубе АВСDDАА11ВВ11СС11DD11 найдите найдите

расстояние от точки А до плоскости Врасстояние от точки А до плоскости ВDDАА11

РЕШЕНИЕ 1РЕШЕНИЕ 2РЕШЕНИЕ 3РЕШЕНИЕ 4

Ключевая задачаКлючевая задача

Рисунок

HH

OO

1 СПОСОБ 1 СПОСОБ 1. О – середина 1. О – середина BDBD, , 2. Т2. Т..к. к. ACAC и и BDBD–диагонали квадрата; –диагонали квадрата; AC BDAC BD3. Значит по теореме о трех 3. Значит по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярах BD BD AA11ОО4. (4. (BDABDA11))∩∩(АА(АА11О)=АО)=А11ООПо признаку По признаку BD BD (А (АAA11О)О)5. Искомый перпендикуляр, опущенный из 5. Искомый перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость (точки А на плоскость (BDABDA11) является ) является высота высота AHAH прямоугольного ∆ А прямоугольного ∆ АAA11ОО6. АА6. АА11=1; АО=√2/2; А=1; АО=√2/2; А11О=О=7. Найдем А7. Найдем АHH используя способ площадей. используя способ площадей. Площадь ∆ААПлощадь ∆АА11О найдем двумя способами.О найдем двумя способами.8. 8. SS∆АА∆АА11ОО=(1/2)∙=(1/2)∙АААА11∙∙ААOOSS∆АА∆АА11ОО=(1/2)∙1∙=(1/2)∙1∙ ((√√2/2)=√2/42/2)=√2/49. 9. SS∆АА∆АА11ОО=(1/2)∙=(1/2)∙АА11ОО∙∙ААHH, ,

ААH=H=

Ответ: √3/3Ответ: √3/3

ОО

HH

2 СПОСОБ2 СПОСОБ1. О – середина 1. О – середина BDBD, , 2. Тогда 2. Тогда ACAC и и BDBD–диагонали –диагонали квадрата; квадрата; AC BDAC BD3. Значит по теореме о трех 3. Значит по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярах BD BD AA11ОО4. (4. (BDABDA11))∩∩(АА(АА11О)=АО)=А11ООПо признаку По признаку BD BD (А (АAA11О)О)5. Искомый перпендикуляр, 5. Искомый перпендикуляр, опущенный из точки А на опущенный из точки А на плоскость (плоскость (BDABDA11) является ) является высота высота AHAH прямоугольного прямоугольного ∆ ∆ ААAA11ОО6. АА6. АА11=1; АО=√2/2; А=1; АО=√2/2; А11О=О=7. Из ∆7. Из ∆AAАА11О: О: sin Asin AОАОА11=√6/3=√6/3,,=>=>AH=AAH=AОО∙sin A∙sin AООH=√H=√33/3/3Ответ: Ответ: √√33/3/3

ОО

HH

3 СПОСОБ3 СПОСОБ1. О – середина 1. О – середина BDBD, , 2. Тогда 2. Тогда ACAC и и BDBD–диагонали квадрата; –диагонали квадрата; AC BDAC BD3. Значит по теореме о трех перпендикулярах 3. Значит по теореме о трех перпендикулярах BD BD AA11ОО4. (4. (BDABDA11))∩∩(АА(АА11О)=АО)=А11ООПо признаку По признаку BD BD (А (АAA11О)О)5. Искомый перпендикуляр, опущенный из 5. Искомый перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость (точки А на плоскость (BDABDA11) является высота ) является высота AHAH прямоугольного ∆ А прямоугольного ∆ АAA11ОО6. АА6. АА11=1; АО=√2/2; А=1; АО=√2/2; А11О=О=7. Рассмотрим ∆АОА7. Рассмотрим ∆АОА1 1 и ∆и ∆HHООAA..6. ∆АОА6. ∆АОА1~1~∆∆HHООAA по трем углам: по трем углам: ОО – общий, – общий, ООHA= HA= ООAAАА1=90°, =>1=90°, => HAHAОО= A= AАА1H1H7. Из подобия треугольников следует и 7. Из подобия треугольников следует и пропорциональность сторон:пропорциональность сторон: A AАА1/1/ОАОА1= 1= AH/AAH/AОО88. . AHAH=(=(AAАА1∙A1∙AО)/АО)/А11ОО

9. А9. АHH==

Ответ: √3/3Ответ: √3/3

ОО

HH

4 СПОСОБ4 СПОСОБРассмотрим пирамиду Рассмотрим пирамиду AAAA11BDBD и найдем объем двумя и найдем объем двумя способами.способами.Пусть Пусть AHAH-искомый -искомый перпендикулярперпендикулярV=1/3∙SV=1/3∙Sосн∙осн∙HH, где , где HH-высота-высота1).1).VV11=1/3∙S=1/3∙S∆А∆АBDBD∙AA∙AA11; ; 2).2).VV22=1/3∙S=1/3∙S∆∆AA11BDBD∙AH∙AH;;VV11=1/3∙1/2 ∙=1/3∙1/2 ∙11=1/6=1/6VV22== , где а=√2 , где а=√2

AHAH==

Ответ: √3/3Ответ: √3/3

ОО

HH

Тренировочная задачаТренировочная задачаВ единичном кубе В единичном кубе AA……DD11 найдите найдите

расстояние от точки А до плоскости (расстояние от точки А до плоскости (BDCBDC11).).

С

А1

АВ

D

D1

B1

C1

РЕШЕНИЕРЕШЕНИЕРисунокРисунок

С

А1

АВ

D

D1

B1

C1

HH

K

С

А1

АВ

D

D1

B1

C1Воспользуемся формулами Воспользуемся формулами объемов для пирамиды объемов для пирамиды CC11BADBAD..Пусть Пусть AHAH-искомое расстояние-искомое расстояниеV=1/3∙SV=1/3∙Sосн∙осн∙HH, где , где HH-высота-высота1).1).VV11=1/3∙S=1/3∙S∆А∆АBD∙BD∙СССС11; ; СССС11=1; =1; SS∆А∆АBDBD=1/2∙1∙1=1/2=1/2∙1∙1=1/2VV11=1/3∙1/2 ∙=1/3∙1/2 ∙11=1/6=1/62).2).VV22=1/3∙S=1/3∙S∆С∆С11BD∙AHBD∙AH;;SS∆С∆С11BDBD== ((a²a²∙√∙√3 /43 /4) , где а=√2) , где а=√2SS∆С∆С11BDBD= (2∙√= (2∙√3 /43 /4)=√3/2)=√3/2VV22=1/3∙=1/3∙ √3/2 √3/2∙AH∙AH=√3/6=√3/6∙AH∙AHИз 1) и 2)Из 1) и 2)1/6= √3/61/6= √3/6∙AH∙AHAHAH=(1/6)∙(6/√3)=1/√3=√3/3=(1/6)∙(6/√3)=1/√3=√3/3Ответ: √3/3Ответ: √3/3

HH

K

Расстояние между двумя Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми скрещивающимися прямыми равно длине отрезка их общего равно длине отрезка их общего перпендикуляра. перпендикуляра. Две скрещивающиеся прямые Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр и имеют общий перпендикуляр и притом только один.притом только один. Он является общим Он является общим перпендикуляром параллельных перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через плоскостей, проходящих через эти прямые.эти прямые.

γγ

ββ

аа

ааיי

ВВ

αα

АА

bb

а и а и bb–скрещивающиеся –скрещивающиеся прямые;прямые;а а II II ааייа ;а ;יי ∩ ∩ b=Bb=B ; ;aaיי ЄЄ αα , , b bЄЄ αα a , a ,ЄЄ ββ , ,ββ II II αα,, АВ – искомое АВ – искомоерасстояниерасстояние

а и а и bb–скрещивающиеся –скрещивающиеся прямые;прямые;а а II II ааיי; а; аיי ∩ ∩ b=Bb=B; ; aaיי ЄЄ αα, , b b ЄЄ αα, a , a ЄЄ ββ, , ββ II II αα,,АВ – искомое АВ – искомое расстояниерасстояние

Ключевая задачаКлючевая задачаВ правильной четырехугольной пирамиде В правильной четырехугольной пирамиде

SABCDSABCD, все ребра которой равны 1. , все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми Найдите расстояние между прямыми SA SA и и

BCBC..

А B

D C

S

РЕШЕНИЕРЕШЕНИЕРисунокРисунок

ААBB

DDCC

SS

FF

HH

EEOO

1. Прямые ВС1. Прямые ВС и и SASA - скрещивающиеся - скрещивающиеся2. Прямая ВС2. Прямая ВС ( (SBCSBC); Прямая ); Прямая SASA ( (SADSAD); ); 3. ВС 3. ВС IIII ( (SADSAD) => расстояние между скрещивающимися прямыми ) => расстояние между скрещивающимися прямыми SASA и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости ( и ВС равно расстоянию от прямой ВС до плоскости (SADSAD););4. Пусть 4. Пусть EE и и FF соответственно середины ребер соответственно середины ребер ADAD и и BCBC..Тогда искомым перпендикуляром будет высота Тогда искомым перпендикуляром будет высота FHFH ∆ ∆SEFSEF. . 5. В ∆5. В ∆SEFSEF: : EFEF=АВ=1; =АВ=1; SE=SFSE=SF-высоты равнобедренных ∆-высоты равнобедренных ∆SAD SAD и и ∆∆SBC SBC соответственно, =>соответственно, => SE=SF SE=SF=√3/2=√3/2SOSO – высота четырехугольной пирамиды из прямоугольного – высота четырехугольной пирамиды из прямоугольного ∆∆SOFSOF по теореме Пифагора: по теореме Пифагора: SOSO=√2/2.=√2/2.6. Найдем 6. Найдем FHFH используя способ площадей. используя способ площадей. Площадь ∆Площадь ∆SEFSEF найдем двумя способами. найдем двумя способами.7. 7. SS ∆ ∆SEF=(1/2)∙EF∙SOSEF=(1/2)∙EF∙SOSS∆∆SEF=(1/2)∙1∙SEF=(1/2)∙1∙ ((√√2/2)=√2/42/2)=√2/48. 8. SS ∆ ∆SEF=(1/2)∙SE∙HFSEF=(1/2)∙SE∙HF, , => HF=(√2/4)/((1/2)∙√3/2)=(√2/4)/(√3/4)==> HF=(√2/4)/((1/2)∙√3/2)=(√2/4)/(√3/4)===√2/√3=√6/3√2/√3=√6/3.. Ответ: √6/3Ответ: √6/3

АА BB

DDCC

SS

FF

HH

EEOO

РЕШЕНИЕРЕШЕНИЕ

Тренировочная задачаТренировочная задачаВ правильной шестиугольной призме В правильной шестиугольной призме A…A…FF11, все ребра которой равны 1. Найдите , все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми расстояние между прямыми AAAA11 и и CF CF11..

РисунокРисунок

MM

Прямые ААПрямые АА11 и СF и СF11 - -скрещивающиесяскрещивающиесяРасстояние между Расстояние между прямыми ААпрямыми АА11 и СF и СF11 равно равнорасстоянию между расстоянию между параллельными плоскостями параллельными плоскостями (АВВ(АВВ11АА11) и (FCC) и (FCC11FF11), в которых ), в которых лежат эти прямые.лежат эти прямые.AA11BB11CC11DD11EE11FF11 - правильный - правильный шестиугольник; шестиугольник; AA11BB11 II F II F11CC11; ; BB11DD11 F F11CC11; B; B11M M ∩∩ F F11CC11=M=MBB11M – M – искомое расстояниеискомое расстояниеИз ∆Из ∆BB11CC11DD11 по теореме по теореме косинусов косинусов BB11DD11=√3, =√3, BB11M =1/2∙BM =1/2∙B11DD11=√3/2=√3/2Ответ: √3/2Ответ: √3/2

MM