Upload
jada
View
79
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Глава 2 . ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. §1. Векторы. Основные определения. Величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (например, длина, площадь, масса, объем и т.д.), называются скалярными. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Глава 2.
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.
§1. Векторы. Основные определения.
Величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений (например, длина, площадь, масса, объем и т.д.), называются скалярными.
Величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать еще и направление (например, сила, скорость, ускорение и т.д.), называются векторными. Векторные величины геометрически изображаются с помощью векторов.
Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.
Если A
начало вектора, В
его конец, то вектор
обозначается АВ
)(АВ
или а
).(а
Длиной вектора называется расстояние между началом и концом этого вектора и обозначается
.АВ
A
B
AB
Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается
.0
Нулевой вектор направления не имеет.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается
.е
Векторы a
и b называются коллинеарными, если они
лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых;
записывают а .b
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
�� ��
��
Два вектора называются равными, если они а) коллинеарны, б) одинаково направлены,в) имеют одинаковые длины.
Вектор можно переносить в любую точку пространства посредством параллельного переноса (это следует из определения равенства векторов).
Векторы в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
����
��
𝑃1
𝑃2
§2. Линейные операции над векторами.
Под линейными операциями над векторами понимаюта) произведение вектора на число,б) сложение и вычитание векторов.
Произведением вектора а
на число R называется вектор ,a удовлетворяющий следующим
условиям:
а) длина вектора а
равна произведению модуля числа
на длину вектора :а ;аа
б) вектор а
коллинеарен вектору :а
направление
а
совпадает с направлением вектора ,а
если
,0
и противоположно ему, если .0
Пример. a
a2
a2-
Сумму двух векторов можно находить либо по правилу треугольников, либо по правилу параллелограмма.
Правило треугольников.
Пусть а
и b
два произвольных вектора. Возьмем
произвольную точку O
и построим вектор .aOA От точки А отложим вектор .bAB Вектор ,OB
соединяющий начало первого вектора с концом второго,
называется суммой векторов a
и :b
.baOB
a bbb
a
a+bО
А
В
b
Правило параллелограмма.
Пусть а
и b
два произвольных вектора. Возьмем
произвольную точку O
и построим векторы aOA
и .bOB
Суммой двух векторов aOA
и bOB
называется вектор OC
диагонали параллелограмма
,OACB построенного на векторах aOA и .bOB
b
a
a+bО
a bbb
A
C
B
Сумму трех и более векторов можно находить по правилу замыкания ломаной:
Чтобы найти сумму векторов ,,...,, 21 naaa
нужно конец вектора 1a
совместить с началом вектора
,2a
конец вектора 2a
– с началом вектора 3a
и т.д.,
пока не дойдем до вектора .na
Тогда суммой naaa ...21
будет вектор,
идущий из начала вектора 1a
в конец вектора .na
Разностью двух векторов a b и называется такой
вектор ,c
который нужно сложить с вектором ,b
чтобы получить вектор ,a
т.е.
.acbcba
Чтобы построить вектор ,bac
нужно
параллельным переносом перенести векторы a b и
к общему началу, и тогда вектор bac
будет
выходить из конца вектора b
в конец вектора .a
a
О
bbb
с=a - b
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах
a ,b и одна направленная диагональ является
суммой векторов, а другая – разностью.
a
О
bbb
с=a - b
a+b
Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:
1. Сложение векторов коммутативно:
abba2. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых трех векторов выполняется условие
cbacba )()(
a
bbb
C
O
A B
C
3. Прибавление нулевого вектора к любому вектору не меняет последнего:
aa 04. Вектор
a1 называется противоположным вектору
a и обозначается .
a5. Умножение вектора на единицу не меняет этого вектора:
aa16. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е.
)()( aa
7. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел, т.е.
aaa )(
8. Умножение вектора на число дистрибутивно по отношению к сложению векторов, т.е.
baba )(
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных операциях над векторами так, как это делается в обычной алгебре: слагаемые менять местами, вводить скобки, группировать, выносить за скобки как скалярные, так и векторные множители.
§3. Проекция вектора на ось.
Осью называется всякая прямая, на которой указано направление.
Проекцией точки М на ось называется основание перпендикуляра, опущенного из точки М на данную ось.
М
М1 X
Углом между вектором
AB или равным ему вектором
и осью Ox называется угол , на который нужно
повернуть кратчайшим образом полуось Сx, до совмещения
ее с вектором
Область изменения угла : 0
��𝐷
.
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝛼𝑂 𝑋
Проекцией вектора AB
на ось Ох называется число,
обозначаемое ABпрОх
и равное ,cosAB
где
– угол между вектором AB
и осью Ох, т.е.
по определению
.cos ABABпрОх
Геометрически проекция вектора AB
на ось Ох равна
длине отрезка СD, взятой со знаком «+», если 20
(рис.1), и со знаком «–», если 2
При 2
отрезок CD превращается в точку и
.0ABпрОх
(рис.2).
О XС
А
В
В1
DРис.1
О XСD
В
АВ
1
Рис.2
CDABпрОх
CDABпрОх
1. При умножении вектора
AB на число m,
его проекция на ось умножается на то же число.
Свойства проекции вектора на ось.
ABпрmABmпр ОхОх
2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме
проекций составляющих на ту же ось:
CDпрABпрCDABпр ОхОхОх
§4. Базис. Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартова система
координат.
Базисом на плоскости называют любые два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятых в определенном порядке.
Теорема. Если на плоскости выбран базис ,, 21 ee
то любой вектор a
этой плоскости можно разложить по
векторам 21,ee и такое разложение единственно:
.21 eyexa
𝑒1
𝑒2
x
y
��
Базисом в пространстве называют любые три некомпланарных вектора в этом пространстве, взятых в определенном порядке.
Теорема. Если в пространстве выбран базис ,,, 321 eee
то любой вектор a
этой плоскости можно разложить
по векторам 321 ,, eee,
и такое разложение единственно:
.321 ezeyexa
При этом коэффициенты zyx ,,
в данном разложении
называют координатами вектора a
в базисе 321 ,, eee
и записывают
zyxa ,,
или zyxa ,,
. Для векторов, заданных своими координатами, имеют место следующие свойства.
1. При умножении вектора zyxa ,,
на число R
все его координаты умножаются на это число:
.,, zyxa
2. При сложении (вычитании) векторов 111 ,, zyxa
и 222 ,, zyxb
складываются (вычитаются) их
соответствующие координаты:
.,, 212121 zzyyxxba
3. Вектор 111 ,, zyxa
коллинеарен вектору
,,, 222 zyxb т.е. ba ||
, если выполняется условие
2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x ,,, 212121 zzyyxx
или
где
некоторое число.
4. Вектор a
равен вектору b
, если их
соответствующие координаты равны:
111 ,, zyxa =
.
,
,
,,
21
21
21
222
zz
yy
xx
zyxb
Декартовой системой координат в пространстве называют совокупность фиксированной точки О и базиса
.,, 321 eee
.
Точка О называется началом координат, а прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов осями координат.
𝑒1
𝑒2𝑒3
𝑂 𝑋
𝑌𝑍
Прямая ОX называется осью абсцисс, прямая ОY осью
ординат, прямая ОZ осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называют координатными плоскостями.
Вектор OM
для произвольной точки М называют ее
радиус-вектором.
Координаты радиуса-вектора точки М по отношению к
началу координат называют координатами точки М в рассматриваемой системе координат. Первая координата называется абсциссой, вторая ординатой, третья аппликатой.
Базис называют ортонормированным, если базисные векторы попарно ортогональны и длина каждого из них равна единице. На плоскости ортонормированный базис принято обозначать
),1,0(),0,1( ji
в пространстве ).1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( kji
Декартова система координат с ортонормированным базисом называется прямоугольной системой координат.
�� ��
��
𝑋
𝑌
𝑍
Пусть в прямоугольной системе координат даны две точки
Тогда по правилу треугольника
),,( 1111 zyxM и ),,( 2222 zyxM .
1221 OMOMMM
𝑀 1
𝑀 2
𝑶
𝑀 1
𝑀 2
����
��
𝑋
𝑌
𝑍
Учитывая, что при вычитании векторов вычитаются их соответствующие координаты, имеем
),,,( 12121221 zzyyxxMM
т.е. если заданы координаты начала и конца вектора, то чтобы найти координаты этого вектора, надо из соответствующей координаты его конца вычесть координату начала.
А длина вектора 21MM
определяется по формуле
.212
212
21221 zzyyxxMM
Для точек ),,(),,( 222111 yxMyxM
заданных на плоскости,
последняя формула примет вид
.212
21221 yyxxMM
В частности, ;1001 222 i
аналогично, .1,1 kj
Отметим, что в прямоугольной системе координаты вектора
),,( zyxa
равны соответственно проекциям вектора на
оси координат:
.
,
,
aпрz
aпрy
апрx
Oz
Oy
Ох
��
𝑥
𝑦
𝑂
Пусть даны точки ),,( 111 zyxA и ),,,( 222 zyxBи пусть точка ),,( zyxM
лежит на отрезке
AB
и делит этот отрезок в отношении ,.MBAM
т.е.
§ 5. Деление отрезка в данном отношении.
𝐴 𝑀 𝐵
Тогда координаты точки М вычисляются по формулам
деления отрезка в данном отношении
.1
,1
,1
21
21
21
zzz
yyy
xxx
При 1
точка M
делит отрезок AB
пополам и последние формулы принимают вид
,2
,2
,2
212121 zzz
yyy
xxx
т.е. координаты середины отрезка равны полусумме
соответствующих координат его концов.
Пример. Даны три последовательные вершины параллелограмма
).4,4,6(),1,2,3(),3,2,1( CBA
Найти его четвертую вершину
D и точку O
пересечения его диагоналей.
Решение.
𝐴 𝐵
𝐶𝐷
𝑂
Пусть
).,,(),,,( OOODDD zyxOzyxD
Тогда
).3,2,3(
),3),2,1(
BC
zyxAD DDD
Поскольку ABCD параллелограмм, то
.
33
,22
,31
D
D
D
z
y
x
BCAD
Отсюда получаем .6,0,4 DDD zyx
Для нахождения координат точки O
воспользуемся
формулами координат середины отрезка :AC
5,32
43
2
12
42
2
5,32
61
2
CAO
CAO
CAO
zzz
yyy
xxx
§6. Скалярное произведение векторов.
Углом между двумя векторами называется наименьший
угол между этими векторами, приведенными к общему началу.
Угол между векторами а и b символически
записывают ,,
ba причем .,0
ba
��
��
,,
ba
Скалярным произведением двух векторов называется
число, равное произведению длин этих векторов на
косинус угла между ними:
.,cos
bababa
Скалярное произведение принято обозначать
ba
или или ba
.,ba
Скалярное умножение обладает следующими свойствами.
1. Скалярное умножение коммутативно:
.abba
2. Для любого вектора скалярный квадрат равен квадрату
модуля: .
22aaaa
Из последнего равенства следует
.2
aa
3. Скалярное произведение равно нулю, если сомножители
ортогональны или хотя бы один из них равен нулю:
aba 0 b
или 0a
или .0b
4. Скалярное умножение обладает свойством
ассоциативности относительно скалярного множителя:
).()()( bababa 5. Скалярное умножение дистрибутивно относительно
сложения:
.)( cabacba
Пример 1. Найти длину вектора ,2 bac
если
.3
,,4,3
baba
Решение.
.2816
2
143494
,cos44
442
22
2222
bbabaa
bbaabacc
Пример 2. Найти угол между векторами a и ,bесли вектор ba 2
перпендикулярен вектору ba 45
и .1ba
Решение.
ba 2 ba 45 ,0452 baba
.
3,
2
1,cos03,cos6
8,cos658,cos65
8410584105
424525452
22
2222
bababa
babbabaa
bbabaabbaaba
bbbaabaababa
Пример 3. Вычислить скалярное произведение ,ba
если ,23,2 qpbqpa
где qp, единичные
векторы, а угол между ними равен .3
Решение.
.5,4
2
1412
3cos1626
234623222
22
qpqqpp
qpqqppqpqpba
Пусть в прямоугольной системе координат векторы заданы
своими координатами:
111 ,, zyxa и 222 ,, zyxb Тогда скалярное произведение можно вычислять по формуле:
.212121 zzyyxxba
Приложения скалярного произведения в геометрии.
1. Проекция векторов на ось.
Рассмотрим рис.1.
О a
b
А
В
a С
Рис.1
Спроектировав вектор b
на вектор a
, получим
.,cos
babOCbпрa
Поэтому
a
babпрbпрabababa
aa
bпрa
,cos
или
.,cosb
baaпрaпрbbaabba
bb
aпрb
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно
модулю одного из них, умноженному на проекцию второго
вектора на первый.
2. Угол между векторами.
Из определения скалярного произведения следует, что
.0,0,,
baba
babaсos
Если векторы заданы своими координатами в
ортонормированном базисе:
111 ,, zyxa и ,,, 222 zyxb то последнюю формулу можно переписать так:
.,2
22
22
22
12
12
1
212121
zyxzyx
zzyyxxbaсos
3. Направляющие косинусы векторов.
Направление вектора zyxa ,,
определяется углами
,,,
образованными вектором a
с положительными направлениями осей OzOyOx ,,
соответственно (или вектором a
с векторами
kji ,,
соответственно). Косинусы этих углов называются
направляющими косинусами этого вектора.
Найдем их.
,1
001,coscos
222222 zyx
x
zyx
zyx
ia
iaia
,1
010,coscos
222222 zyx
y
zyx
zyx
ja
jaja
.1
100,coscos
222222 zyx
z
zyx
zyx
ka
kaka
Таким образом,
.cos,cos,cos222222222 zyx
z
zyx
y
zyx
x
Направляющие косинусы связаны соотношением
.1coscoscos 222
Косинусы углов, образованных вектором и осями координат Ox, Oy, Oz, называются направляющими косинусами этого вектора.
Пример. Даны вершины треугольника
).1,2,1(),1,1,5(),3,2,3( CBA
:ABC
Вычислить внутренний угол при вершине А.
Решение. Внутренний угол при вершине А это угол
между векторами AB .AC и
Так как ),4,4,2(),2,1,2( ACAB то
.9
4
63
8
4)4()2(2)1(2
42)4()1()2(2,cos
222222
ACAB
ACABACAB
Следовательно, .749
4arccos,
ACAB
Пример. Вычислить угол между вектором )1,0,1( a
и осью .OxРешение. Угол между вектором a
и осью Ox
это
угол между вектором a
и вектором :)0,0,1(i
.2
1
1)1(01
1
,coscos,cos
222
iaOxa .222 zyx
x
Следовательно, .42
1arccos,
Oxa
§7. Векторное произведение векторов.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов
cba ,,
называется правой, если из конца вектора с
кратчайший поворот от первого вектора a
ко второму
вектору b
виден против хода часовой стрелки.
В противном случае тройка cba ,,
называется левой.
Z
k
Z
kX
X
Y
Y
i i
j j
Правая система координат Левая система координат
Векторным произведением векторов a и bназывается вектор, обозначаемый bac
и удовлетворяющий следующим трем условиям:
1) ;,sin
bababa
2) c ,a
c ;b 3) упорядоченная тройка cba ,, правая.
Важно:
Результатом векторного произведения является вектор.
��
��
��× ��
��× ��
Свойства векторного произведения:
1) От перестановки множителей векторное произведение меняет направление на противоположное, сохраняя модуль, т.е.
abba
2) Если в векторном произведении изменить знак одного из сомножителей на противоположный, то векторное произведение изменит знак, т.е.
baba
)(
3) Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения.
)()( или ) ()( babababa
4) cbcacba
5) Векторное произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, либо сомножители коллинеарны:
00 aba или 0b или ba ||
0aa6)
7) Рассмотрим векторное произведение ортов:
Рассмотрим произведение ji
Z
k
X
Yi
jО
А D
В
,0ii ,0jj 0kk
Параллелограмм, построенный на ji
и
площадь которого равна единице.
ji
перпендикулярен векторам ji
и
и образует с ними правую тройку. Следовательно, произведение
ji
есть квадрат ОАDB,
Вектор
есть единичный вектор, направленный по оси OZ, т.е.
kji
Аналогично находим, что jikikj
,
Переставив множители, получим
kij
ijk
jki
Для векторного произведения ортов можно составить таблицу:
i
j
k
i
k
j
j
k
i k
j
i
0
0
0
Пусть векторы ba
и заданы своими координатами:
,,, 111 zyxa
.,, 222 zyxb
Тогда ,111 kzjyixa
kzjyixb
222 Перемножим эти два вектора:
kzjyixkzjyixba
222111
kkzzjkyzikxz
kjzyjjyyijxy
kizxjiyxiixx
212121
212121
122121
kxyyxjzxxziyzzy
iyzjxzizykxyjzxkyx
212121212121
212121212121
Полученную формулу можно представить в виде определителя:
.22
11
22
11
22
11
222
111 yx
yxk
zx
zxj
zy
zyi
zyx
zyx
kji
ba
Приложение векторного произведения к геометрии
1. Площадь параллелограмма построенного на векторах
ba
и равна модулю векторного произведения:
baSпарал
2. Площадь треугольника построенного на векторах
ba
и равна половине модуля векторного произведения:
baS
2
1
Пример.
Найти площадь параллелограмма построенного на векторах
,32 kjia
kjib
532
Решение:
,baSпарал
kjikji
kji
ba
4365910
532
321
3111 222 baSпарал
Таким образом,
.1,1,1 ba
Значит
Пример. Найти вектор ,x если известно, что он
перпендикулярен к векторам )3,2,1(),1,3,2( ba
и удовлетворяет условию ,10cx
где .72 kjic Решение. Так, как вектор x
перпендикулярен к
плоскости векторов a
и ,b
а вектор ba
также перпендикулярен к плоскости этих векторов по
определению, то отсюда следует, что .|| bax
Имеем
).1,5,7(57
321
132 kji
kji
ba
Так, как ,|| bax
то координаты этих векторов
пропорциональны, т.е. .),,5,7( Rx
Тогда
.11010
7107)7,2,1(),5,7(
cx
Таким образом, ).1,5,7(x
§8. Смешанное произведение трёх векторов.
Смешанным произведением векторов cba ,,
называется число, обозначаемое cba
и определяемое
как скалярное произведение вектора ba
и вектора :c
.cbacba Результатом смешанного произведения является число.
Свойства смешанного произведения.
1. Смешанное произведение не меняется при циклической
перестановке трех его векторов-сомножителей:
.bacacbcba 2. Смешанное произведение меняет знак на
противоположный при перестановке любых двух
векторов-сомножителей:
.
,
,
cbaabc
cbabca
cbacab
3. Смешанное произведение не меняется при перемене
местами знаков векторного и скалярного умножения:
).()( cbacba
4. Смешанное произведение ненулевых векторов равно
нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:
bacba ,0
и с компланарны.
Выражение смешанного произведения через координаты.
Пусть заданы векторы
).,,(
),,,(
),,,(
333
222
111
zyxc
zyxb
zyxa
Тогда
.
333
222
111
zyx
zyx
zyx
cba
Некоторые приложения смешанного произведения.
1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.
Если ,0cba
то cba ,,
правая тройка;
если же ,0cba
то cba ,,
левая тройка.
2. Установление компланарности векторов.
Векторы cba ,,
компланарны .00
333
222
111
zyx
zyx
zyx
cba
3. Определение объемов пространственных фигур.
Объем параллелепипеда, построенного на векторах
ba,
и ,c вычисляется по формуле:
.cbaV дапарал
Объем треугольной призмы, построенной на векторах
ba,
и ,c вычисляется по формуле:
.2
1cbaVпризмы
Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах
ba,
и ,c вычисляется по формуле:
.6
1cbaVпирамиды
Пример. Даны векторы
.42,3,2 kjibkibkjia
Выяснить ориентацию тройки векторов .,, cbaРешение. Составим и вычислим смешанное произведение :cba
018)2(102
13
11
42
132
412
103
121
cba
cba ,,
левая тройка векторов.
Пример. Найти объем треугольной пирамиды, вершинами
которой являются точки
).2,7,3(),3,2,6(),5,3,2(),1,0,2( DCBAРешение.
,6
1ADACABVпирамиды
,1,7,1,2,2,4,4,3,0 ADACAB
.98104626423
71
244
11
243
171
224
430
ADACAB
Тогда .3
4998
6
1пирамидыV