Upload
trancong
View
241
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
2. Terdapat sebuah cakram bermassa π berjari-jari π yang berotasi dengan kecepatan
sudut konstan π terhadap sumbu π§. Pusat massa cakram π ini dibuat diam sehingga
gerakannya hanya rotasi murni. Terdapat pula sebuah batang bermassa π dan panjang
2πΏ yang di pasang pada suatu poros bebas gesekan di pinggir cakram di titik A yang ikut
berputar bersama cakram sehingga batang juga berotasi bersama cakram. Batang
membentuk sudut π terhadap sumbu radial positif. Percepatan gravitasi adalah π yang
arahnya ke bawah pada sumbu π§ negatif.
a. Gunakan pusat cakram sebagai titik asal sistem koordinat. Tentukan vektor posisi
dan vektor kecepatan pusat massa batang dinyatakan dalam π , πΏ, π, π , dan π!
b. Tentukan energi kinetik dan energi potensial sistem dan nyatakan dalam π, π, π , πΏ,
π, π , π dan π!
c. Tentukan suatu persamaan yang memberikan nilai sudut π untuk batang π pada
posisi kesetimbangan (anda tidak perlu menyelesaikan persamaan ini untuk
mendapatkan sudut π tersebut)!
d. Dari hasil pada bagian (c), buatlah suatu fungsi π1 dan π2 sebagai fungsi π dan
gambarkan kedua fungsi ini pada satu grafik serta tentukan titik potong kedua fungsi
ini untuk batas 0 < π < 2π! Apakah makna sudut π pada masing-masing titik potong
ini?
e. Tentukan apakah keseimbangan yang mungkin pada sistem ini (stabil, labil, atau
netral)!
f. Gambarkan diagram gaya untuk masing-masing posisi kesetimbangan untuk
memverifikasi hasil dari bagian (d) dan (e)!
π
π
π§
π π 2πΏ
π
π
π
π
π΄
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
g. Untuk posisi sistem pada keseimbangan stabil dan π cot3 π < π2π , jika sistem
disimpangkan dengan simpangan yang kecil, berapakah frekuensi sudut osilasi
sistem!
Solusi :
a. Vektor posisi pusat massa batang
π pm = π + πΏ cos π π + πΏ sin π π§
Vektor kecepatan pusat massa batang
π£ pm =ππ pm
ππ‘= βπΏπ sin π π + π + πΏ cos π ππ + πΏπ cos π π§
b. Energi kinetik sistem
π =1
2πΌππ +
1
2πΌπ§π
2 +1
2πΌπ΄π 2
Dengan πΌπ, πΌπ§, dan πΌπ΄ masing-masing adalah momen inersia cakram, momen inersia
batang terhadap sumbu π§ dan momen inersia batang dengan sumbu rotasi garis
singgung lingkaran yang menyinggung titik A.
πΌπ =1
2ππ 2
Untuk menghitung πΌπ§ tinjau sebuah elemen massa ππ pada batang yang berjarak π
dari ujung bawah batang, maka momen inersia massa ππ ini terhadap sumbu π§
adalah
ππΌπ§ =π
2πΏ π + π cos π 2ππ
Sehingga
πΌπ§ =π
2πΏ π + π cos π 2ππ
2πΏ
0
=1
3π 3π 2 + 4πΏ2 cos2 π + 6π πΏ cos π
Untuk πΌπ΄ bisa didapatkan dari teorema sumbu sejajar
πΌπ΄ =1
12π 2πΏ 2 + ππΏ2 =
4
3ππΏ2
Energi kinetik sistem menjadi
π =1
4 π + 2π π 2π +
1
3π 2πΏ2 cos2 π + 3π πΏ cos π π2 +
2
3ππΏ2π 2
Energi potensial sistem
π = πππΏ sin π
c. Energi total sistem πΈ = π + π
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
πΈ =1
4 π + 2π π 2π +
2
3ππΏ2π 2 +
1
3π 2πΏ2 cos2 π + 3π πΏ cos π π2 + πππΏ sin π
Energi potensial effektif sistem
πef = β1
3π 2πΏ2 cos2 π + 3π πΏ cos π π2 + πππΏ sin π
Saat sistem setimbangππef
ππ= 0
β1
3 β4πΏ sin π cos π β 3π sin π π2 + π cos π = 0
cot π = βπΏπ2
π 4
3cos π +
π
πΏ
d. Dari hasil di atas saya pilih (boleh tertukar ataupun berbeda asalkan equivalen
dengan hasil ini)
π1 π = cot π
π2 π = βπΏπ2
π 4
3cos π +
π
πΏ
Dalam satu grafik dapat digambarkan sebagai berikut
Sudut π2, π3, dan π4 adalah posisi kesetimbangan sistem dan merupakan penyelesaian
dari persamaan pada bagian (c)
e. Uji turunan kedua πef
ππef
ππ= ππ2
4
3πΏ cos π + π πΏ sin π + πππΏ cos π
π2πef
ππ2= β
4
3ππ2πΏ2 sin2 π + ππ2πΏ
4
3πΏ cos2 π + π cos π β πππΏ sin π
π4
π3 π2
π
π
βπ π2
π
β 4πΏ + 3π π2
3π
4πΏ β 3π π2
3π
0 π/2 π
3π/2 2π
π1 π1
π2
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
Atau agar sistem stabil
π2πef
ππ2=
ππΏ sin2 π
cos π π2π β π cot3 π > 0
Untuk sudut π2 π/2 < π2 < π , sin π2 > 0, cos π2 < 0, dan cot π2 < 0 sehingga
π2πef
ππ2 π2
< 0
Sistem berada dalam kesetimbangan labil
Untuk sudut π3 π < π3 < 3π/2 , sin π3 < 0, cos π3 < 0, dan cot π3 > 0 sehingga
π2πef
ππ2 π3
=ππΏ sin2 π3
cos π3 π cot3 π3 β π2π
Sistem berada dalam kesetimbangan labil jika
π cot3 π3 < π2π
Dan dalam kesetimbangan stabil jika
π cot3 π3 > π2π
Untuk sudut π4 3π/2 < π4 < 2π , sin π4 < 0, cos π4 > 0, dan cot π4 < 0 sehingga
π2πef
ππ2 π4
> 0
Sistem berada dalam kesetimbangan stabil
f. Berikut diagram gayanya.
g. Energi total sistem
πΈ =1
4 π + 2π π 2π +
2
3ππΏ2π 2 +
1
3π 2πΏ2 cos2 π + 3π πΏ cos π π2 + πππΏ sin π
π2 π3
π4
πΉπ
ππ
π π
π ππ
ππ
πΉπ
πΉπ
Sainskan Dunia dengan Tanganmu Email : [email protected] ID Line : mr_sainsworld Contact Person : 0895701002686
Energi sistem kekal sehingga
ππΈ
ππ‘= 0 =
4
3ππΏ2π π +
1
3π β4πΏ2 sin π cos π β 3π πΏ sin π π π2 + πππΏπ cos π
Atau
π β π2 sin π cos π β3π
4πΏπ2 sin π +
3π
4πΏcos π = 0
Karena π cot3 π < π2π , posisi setimbang sistem hanya ada di π = π4. Misal sekarang
batang disimpangkan dengan simpangan yang kecil sehingga π = π4 + π yang
mengakibatkan pula π = π dengan π << 1 radian, maka
sin π β sin π4 + π cos π4
cos π β cos π4 β π sin π4
sin π cos π β π cos 2π4 + sin π4 cos π4
Saat setimbang
βπ2 sin π4 cos π4 β3π
4πΏπ2 sin π4 +
3π
4πΏcos π4 = 0
Saat tersimpang
π β π2π cos 2π4 β3π
4πΏπ2π cos π4 β
3π
4πΏπ sin π4 = 0
Karena π4 di kuadran 4, maka sin π4 < 0
π + 3π
4πΏπ2 sin π4 β cos 2π4 β
3π
4πΏcos π4 π2π = 0
Atau
π0 = π 3π
4πΏπ2 sin π4 β cos 2π4 β
3π
4πΏcos π4
Dengan syarat
3π
4πΏπ2 sin π4 > cos 2π4 +
3π
4πΏcos π4