ЛЕКЦИЯ 2

ТЕНЗРНЫЕ ПОЛЯ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ.

РАСХОЖДЕНИЕ ВЕКТОРА. ТЕОРЕМА ГАУССА. ФОРМУЛА ГРИНА. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА

ВДОЛЬ КОНТУРА. ВИХРЬ ВЕКТОРА. ТЕОРЕМА СТОКСА

1.3. ТЕНЗРНЫЕ ПОЛЯ

Начиная с этого параграфа, мы переходим из области тензорной алгебры в область

тензорного анализа, поскольку для приложений нужны, как правило, именно тензорные

поля, а не отдельные тензоры. По-прежнему пространство будем считать евклидовым и

использовать прямоугольные декартовы координаты. Тензорный анализ в широком

смысле при таком подходе настолько упрощается, что теряет почти всѐ своѐ содержание,

однако сохраняет характерные особенности поля.

Говорят, что задано тензорное поле, если в каждой точке пространства задан

тензор постоянной валентности, но в остальном вообще меняющийся от точки к

точке, то есть координаты тензора – дифференцируемые нужное количество раз

функции координат точки.

Положим, что с каждой точкой пространства связано значение некоторого скаляра,

вектора, … Тогда пространство называется скалярным, векторным, … полем. Поскольку

точка пространства определяется еѐ радиусом-вектором r , то задать поле означает

сопоставить каждому радиусу-вектору значение некоторого скаляра r , вектора rf , …

Поля могут быть нестационарными: t,r , t,rf . Будем полагать, если не сделано

оговорки, рассматриваемые функции непрерывными, то есть считать разности

rrr , rfrrf по модулю сколь угодно малыми при достаточно малом

r .

f

Рис. 3 Рис. 4

Точки пространства, в которых constr , называются изоповерхностями,

поверхностями постоянного уровня. Векторной линией поля rf называют

линию, во всякой точке которой еѐ касательная направлена по вектору rf , то есть

0 frd , или zyx f

dz

f

dy

f

dx .

1.3.1. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Производной функции r по направлению единичного вектора e в точке r

называют предел

ds

ds

ds

rer

e

0lim .

Для вычисления этой производной разность rer ds разложим в ряд Тейлора по

возрастающим степеням ds :

dz

zdy

ydx

xdds

rer

ds

ds

dz

zds

ds

dy

yds

ds

dx

x

,grad

reeeeee dds

zds

yds

xzyx

где zyxzs

dz

ds

dy

ds

dxeeeeee ,, ,

zyx

zyx

eeegrad (1.9)

вектор, называемый градиентом функции r в точке r и dsd er . Итак,

grade

e производная r по направлению e в точке r равна проекции grad на

это направление. Скалярная величина e

достигает наибольшего значения для

направления, совпадающего с grad . Направление быстрейшего увеличения r есть

направление по нормали к изоповерхности, то есть n

gradmax n

ne

Другим обозначением grad является , где

xxx

xxx

eee (1.10)

оператор Гамильтона. Знак читается «набла».

Вектор, являющийся градиентом скалярной функции, называется

потенциальным вектором, а сама функция потенциалом.

Поле потенциального вектора называется потенциальным.

Рис. 5 Потенциальные векторы обладают особыми свойствами, связанными

с понятием контурного интеграла , L

drf то есть линейного интеграла вектора вдоль

некоторой кривой. Если кривая замкнута, то контурный интеграл rf dC

называется

циркуляцией вектора f . При вычислении контурного интеграла обычно координаты точек

кривой L или C представляют функциями какого-либо параметра, что всѐ сводит к

вычислению простого интеграла. Для потенциального вектора имеем

LL

dd 01grad rrr : линейный интеграл вектора grad вдоль

какой-либо кривой L , соединяющей точки 00 rM и 11 rM , равен разности значений

функции r в этих точках.

Отсюда следует, что если r однозначная функция, то значение линейного

интеграла grad зависит только от конечных точек кривой интегрирования. В частности,

циркуляция grad равна нулю. Таким образом, если линейный интеграл вектора f

вдоль всякой замкнутой кривой C равен нулю, то вектор f есть градиент некоторого

скаляра r .

grad φ

φ = const

_дeeдφ

Циркуляцию вектора f , равную нулю, представим в виде двух контурных

интегралов: 021

o

o

dddC

r

r

r

r

rfrfrf

r

r

r

r

r

r

r

r

rfrfrfrf

oo

o

o

dddd 2121 ,

где rr ,o произвольные точки на замкнутом контуре. Эти интегралы не зависят от

кривой L между начальной и конечной точками, то есть o

o

d rrrf

r

r

. На малом

перемещении это равенство принимает вид rrf ddd grad , то есть gradf .

Если функция r многозначна, теорема о равенстве нулю циркуляции grad

перестаѐт быть справедливой. Поясним это положение примером.

Пусть x

yarctg , и при обходе оси z по замкнутому контуру const22 ryx

имеем ryx

x

yx

yyx

1grad

2222 eee

, rddydxd yx eeer .

Таким образом,

2

0

2grad ddC

r циркуляция не равна нулю. Причина этого

заключается в многозначности функции r , на оси z она не определена. Ось z можно

выделить, окружив еѐ цилиндром малого радиуса, но при этом пространство уже не будет

односвязным, оно станет двусвязным.

В односвязном пространстве любая замкнутая линия может быть стянута в точку

непрерывным образом, не касаясь границ.

Будем считать, что в каждой точке пространства задан вектор rf , то есть имеем

векторное поле. Ограничимся рассмотрением производных вектора rf по направлению

e :

ds

ds

ds

rferf

e

f

0lim

zyxds

dz

zds

dy

yds

dx

xzyx

fee

fee

fee

fff

или fefee

f

grad . (1.11)

Более общей операцией является понятие градиента вектора rf по вектору vev ,

который обозначается символом e

ffvfv

vgrad .

Из этой формулы следует

,xx f vfv ,yy f vfv zz f vfv .

Градиент одного вектора по другому вектору часто встречается в вычислениях.

Например, пусть t,rv поле скоростей сплошной среды, и изучается изменение

функции t,r , описывающей состояние различных частиц. Можно рассматривать

изменение t,r в фиксированном месте orr или рассматривать изменение t,r для

конкретной частицы среды. Измерительный прибор в первом случае устанавливается в

точке пространства с координатами orr и

t

ttt

t t

,,lim

0

rr ,

а во втором непосредственно на частице и

t

ttt

dt

d

t

,,lim

0

rrr .

За время t частица сместится в новое положение в направлении еѐ скорости vev , то

есть

gradgrad

ve

tv

tdt

d. (1.12)

При рассмотрении векторного поля t,rf имеем fvff

grad

tdt

d. (1.13)

В этих выражениях слагаемые fvfvvv grad,grad

конвективные члены.

1.3.2. ПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ. РАСХОЖДЕНИЕ ВЕКТОРА.

ТЕОРЕМА ГАУССА

Потоком вектора f через поверхность S (поверхностным интегралом вектора f по

поверхности S ) называют интеграл . SS

n ddSf Sf

Строится поверхностный интеграл следующим образом.

Поверхность разбивается на большое количество малых

элементов kS и составляется сумма

k

kk

kk

k

kn SSf Sfnf , где knf nf проекция

вектора f на направление внешней нормали kn и

kkk SnS вектор элемента поверхности. Эта сумма

стремится к некоторому пределу, когда k ,а все элементы

поверхности стремятся к нулю: 0 kS . Полагают, что

Рис. 6 поверхность может быть разделена на конечное число кусков,

каждый из которых обладает непрерывной кривизной и на каждом из

которых вектор f меняется непрерывным образом. Таким образом,

k

kSk

S

ndSf Sf0

lim .

Если поверхность считать замкнутой и стягивать к некой точке or , то на

поверхности имеем nonn fff gradρ nrr , где ρ расстояние от точки O до

текущей точки на поверхности, и z

fz

y

fy

x

fxf nnn

n

gradρ n .

Так как nf zzyyxxn nfnfnff , можем записать nfnrfnrf gradρo.

Таким образом, S

o

S

n ddSf Sfnrf gradρ

dSn

x

fn

x

fn

x

fxdSf

S

z

z

y

y

x

x

S

on r

.dSnz

fn

z

fn

z

fzdSn

y

fn

y

fn

y

fy

S

zz

y

y

xx

S

zz

y

y

xx

Поскольку dxdydSndzdxdSndydzdSn zyx ,, имеем

n2

z

xn1

y

0 S

z

S

y

S

x dSndSndSn , ,0 dSxndSxnS S

zy

S S S S

yxzx dSzndSzndSyndSyn 0,0 ,

а VdSzndSyndSxnS

z

S

y

S

x объѐм, ограниченный замкнутой поверхностью.

В результате получаем ,divfVz

f

y

f

x

fVdSf zyx

S

n

V

dSf

z

f

y

f

x

f Sn

V

zyx

0limdiv ff (1.14)

расхождение вектора.

Расхождение вектора f есть отнесѐнный к единице объѐма поток вектора f

через поверхность бесконечно малого объѐма, окружающего рассматриваемую точку.

Наличие выражения для дивергенции вектора

z

f

y

f

x

f zyxffdiv

доказывает существование предела независимого от вида объѐма, а само выражение

инвариантно по отношению ко всем переходам от одной декартовой системы координат к

другой. Если вектор f потенциальный, то

2

2

2

2

2

2

graddivdivzyx

f

и

V

dSS

n

V

gradlimgraddiv

0

V

dSn

V

dSS

V

S

V

00lim

gradlim

n. (1.15)

С понятием расхождения вектора связана теорема ГауссаОстроградского о

преобразовании поверхностного интеграла в объѐмный интеграл.

Поток вектора через замкнутую поверхность равен объѐмному интегралу от

расхождения вектора: dVdSfVS

n fdiv . (1.16)

В аналитической форме dSfffS

zzyyxx enenen ,cos,cos,cos

V

zyx dVy

f

y

f

x

f.

Для доказательства разобьѐм объѐм на столь малые элементы kV , в сумме равные ,V

что для каждого kV имеет место неравенство

kS

kkn

k

dSfV

fdiv1

, где kS поверхность,

ограничивающая kV ; значение kfdiv берѐтся в некоторой точке

kV . Сложим эти

неравенства, умножив предварительно каждое соответственно на kV . Части

поверхностных интегралов kS

kndSf , для которых kS и S не имеют общих точек,

попарно сократятся, поэтому получим k

k

S k

kkn VVVdSf fdiv .

Если 0, kVk , в пределе имеем Vk

kk dVV ff divdiv и VdVdSfS V

n fdiv .

Так как сколь угодно мало, получаем S V

n dVdSf fdiv .

Этот результат, записанный в виде

dV

z

R

y

Q

x

P

V

dSRQPS

zyx nenene ,cos,cos,cos , (*)

формулируют так же, как теорему Грина: если S замкнутая поверхность,

ограничивающая объѐм ,V а RQP ,, три функции, однородные, непрерывные и

имеющие частные производные первого порядка повсюду в ,V то имеет место

равенство (*), где nenene ,cos,,cos,,cos zyxнаправляющие косинусы внешней

нормали к поверхности S .

При представлении поля f силовыми линиями расхождение поля fdiv служит мерой

их возникновения или уничтожения. Векторные поля, у которых 0div f , называются

свободными от источников, или соленоидальными.

Поток соленоидального вектора через любое поперечное сечение его векторной

трубки постоянен. В соленоидальном поле векторные линии не могут нигде ни

начинаться, ни кончаться; они могут уходить в бесконечность или быть

замкнутыми.

Для доказательства рассмотрим векторную трубку поля f .

Пусть замкнутая поверхность S состоит из поперечных сечений

трубки 0S ,

1S и боковой поверхности бокS между

упомянутыми сечениями. Пусть V объѐм,

ограниченный замкнутой поверхностью S , тогда по теореме

Рис. 7 ГауссаОстроградского в силу условия 0div f имеем

00div

1бок0

S

n

S

n

S

n

S V

n dSfdSfdSfdVdSf f .

На боковой поверхности векторы f направлены по касательным к поверхности и

0nf . На сечениях трубки внешние нормали направлены в разные стороны; смена

направления нормали на противоположное направление в сечении 0S даѐт

1010

0S

n

S

n

S

n

S

n dSfdSfdSfdSf . Отсюда уже следуют упомянутые свойства

векторных линий.

Очень близко к доказанному следующее свойство.

Поток соленоидального вектора через любую поверхность, натянутую на

заданный контур, зависит от контура и не зависит от вида поверхности.

S1

S0

nбок

n0

n1

Sбок

f

Доказательство опять основывается на формуле ГауссаОстроградского. Любые две

поверхности 0S и

1S , натянутые на замкнутый контур, образуют замкнутую поверхность,

ограничивающую некий объѐм .V Считаем, что поверхность 0S непрерывной

деформацией может быть переведена в поверхность 1S , и нормали к этим поверхностям

после деформации совпадут. Тогда нормаль к поверхности 0S будет внутренней по

отношению к объѐму .V Меняя еѐ на противоположную, получаем

1010

0divS

n

S

n

VS

n

S

n dSfdSfdVdSfdSf f .

Отмеченное свойство относится к областям, в которых всякая замкнутая поверхность

может быть стянута в точку. Типичным примером является потенциальное поле,

расхождение которого всюду, кроме начала координат, равно нулю; в начале координат

имеется источник обильности e . По условию вектор f потенциальный. Пусть

r

rfr

r n

rn

rf ,grad , тогда

.π4π4π4

π4div32

2

r

e

r

er

r

ererrdSfdV

S

n

V

rff

Это поле соленоидально: ,π4

,π4

,π4 333 r

ezf

r

eyf

r

exf zyx

,π4

3

π4π4

3

π4 4343 r

x

r

ex

r

e

x

r

r

ex

r

e

x

fx

,π4

3

π4,

π4

3

π4 4343 r

z

r

ez

r

e

z

f

r

y

r

ey

r

e

y

fzy

.0π4

3

π4

3div

2

42

r

r

r

e

r

e

z

f

y

f

x

f zyxf

Поле имеет особенность в начале координат, поэтому областью его задания следует

считать всѐ пространство с выключенным началом координат. Если же внутри объѐма

имеются источники, то fdiv есть плотность интенсивности источников.

Идея, содержащаяся в формуле ГауссаОстроградского, позволяет дать другое

определение grad . Докажем справедливость выражения

S

z

V

dSdVz

en,cos

.

Объѐмный интеграл можно представить в виде

,,, 12

,

,

2

1

dxdyyxzdxdyyxzdxdydzz

dVz

yxz

yxzV

где в первом интеграле dSdxdy zen ,cos 2 , а во втором интеграле dSdxdy zen ,cos 1 .

Таким образом, S

z dSdxdyyxzdxdyyxz en,cos,, 12 .

Итак, имеем ,,cos

S

x

V

dSdVx

en

,,cos

S

y

V

dSdVy

en

S

z

V

dSdVz

en,cos

или

dV

zyxV

zyx

eee

S

zzyyxx dSeneeneene ,cos,cos,cos dSV S

ngrad .

Устремляя объѐм к нулю, получаем V

dSS

V

n

0limgrad . (1.17)

Формулу ГауссаОстроградского можно обобщить. В силу линейности однородного

оператора aababa LLLLL λλ, имеем

dVL

zL

yL

xdV

zL

yL

xLdVL

V

zyx

V

zyx

V

eeeeee

.,cos,cos,cos SS

zzyyxx dSLdSLLL neeneeneen

Устремляя объѐм к нулю, получаем

V

dSLL S

V

n

0lim (1.18)

Понятие расхождение вектора встречается в различных приложениях.

Пример. Выведем уравнение теплопроводности. Тепловое состояние тела

характеризуется его температурным полем tT ,r . Пусть rρ плотность тела, а rc

его теплоѐмкость. По определению теплоѐмкости для нагревания за время dt элемента

объѐма dV тела на dtt

T

градусов потребуется dt

t

TdVcdQ

ρ тепла. Интегрируя по

объѐму ,V получаем dVdtt

TcQ

V

ρ .

Положим, что тепло подводится к выделенному объѐму или отводится от него через

поверхность S процессом теплопередачи. Это означает, что в каждой точке поверхности

выделенного объѐма задан вектор t,rq поток тепла, так что dtdSqQS

n . По теореме

Гаусса Остроградского dtdtdSqQVS

n qdiv .

Закон сохранения тепла даѐт dtdVdVdtt

Tc

VV

qdivρ , или

0divρ

dVdt

t

Tc

V

q . Поскольку этот баланс тепла справедлив и для любого

элементарного объѐма, заключаем 0divρ

q

t

Tc .

Поток тепла направлен от более нагретых частей тела к более холодным, а вектор

Tgrad наоборот, поэтому можно принять Tk gradq , где k коэффициент

теплопроводности. Итак, 0graddivρ

Tk

t

Tc .

Для постоянных ρc и k имеем 0graddivρ

T

t

T

k

c.

Пример. Рассмотрим уравнение неразрывности гидромеханики. Во всяком

движении газа или сжимаемой жидкости поле скоростей t,rv и плотность t,ρ r связаны

уравнением неразрывности. Масса жидкости внутри некоторого объѐма ,V

ограниченного поверхностью ,S равна .ρV

dVm При изменении плотности за время dt

количество массы изменится dVdtt

dmV

ρ

. Изменение массы может произойти только

за счѐт того, что некоторое еѐ количество прошло через поверхность ,S то есть

dVdtdSdtvdmVS

n vρdivρ . Приравнивая эти изменения массы, получаем

.0ρdivρ

ρdivρ

dVdt

tdVdtdVdt

tVVV

vv

В силу произвольности объѐма заключаем 0ρdivρ

v

t. Это уравнение

неразрывности можем записать в другом виде:

0divρρ

0divρgradρρ

vvv

dt

d

t.

Поле скоростей несжимаемой жидкости constρ соленоидально 0div v .

Пример. Уравнение динамики жидкости. Обозначим через t,rF внешнюю силу,

действующую на единицу массы. Тогда dVV

Fρ внешняя сила, действующая на массу в

объѐме .V Помимо объѐмных имеются поверхностные силы, главный вектор которых

зависит от внутреннего давления p и равен VS

pdVdSp gradn .

По закону И. Ньютона

0gradρρgradρρ

dVp

dt

dpdVdVdV

dt

d

VVVV

vFF

v.

Это условие имеет место для любого объѐма, поэтому

pt

pdt

dgrad

ρ

1grad

ρ

1

Fvv

vF

v.

1.3.3. ФОРМУЛА ГРИНА. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА ВДОЛЬ КОНТУРА. ВИХРЬ

ВЕКТОРА. ТЕОРЕМА СТОКСА

Для непрерывных и обладающих непрерывными частными производными двух

функций yxQyxP ,,, имеет место формула Грина:

dxdyy

P

x

QQdyPdx

SC

.

По определению двойного интеграла

dx

x

Qdydxdy

x

Q

S

y

y

yx

yxi

max

min

2

y

xO min x max x

max y

min y

x y1( )x y2( )

y x1( )

y x2( )

dyyyxQdyyyxQyxdyQ

y

y

y

y

y

y

yx

yx

max

min

1

max

min

2

max

min

,,, 2

1

.,,

min

max

1

max

min

2 C

y

y

y

y

QdydyyyxQdyyyxQ

Аналогично найдѐм

dy

dy

Pdxdxdy

x

P

S

x

x

xy

xyi

max

min

2

dxxyxPdxxyxPyxdxP

x

x

x

x

x

x

xy

xy

max

min

1

max

min

2

max

min

,,, 2

1

C

x

x

x

x

PdxdxxyxPdxxyxP

min

max

1

max

min

2 ,, .

Разность этих интегралов даѐт формулу Грина,

которая преобразует любой криволинейный интеграл

по плоскому замкнутому контуру в двойной интеграл

по плоской области, ограниченной этим контуром.

Далее возникает задача обобщения этого результата

на произвольный пространственный контур.

Изучение линейного интеграла

C C

zyx dzfdyfdxfdrf приводит к понятию

Рис. 8 дифференциальной операции frot , называемой

вихрем вектора :f S

dC

S

rffn

0limrot ,

где n нормаль к поверхности S , ограниченной контуром C .

Для вычисления интеграла разложим xf в ряд Тейлора по степеням zyx ,, и

ограничимся членами первой степени: zz

fy

y

fx

x

ffzyxf xxx

xx

0000

,,

,

С

x

С

x

С

x

С

x

С

x zdxz

fydx

y

fxxd

x

fdxfdxf

0000

.

Поскольку C C

xdxdx ,0,0 yy

CC

zz SSzdxSSydx enen ,cos,,cos ,

имеем y

xz

xCx

S z

f

y

f

S

dxfenen ,cos,coslim

000

и аналогично ,,cos,coslim00

0z

y

x

yCy

S x

f

z

f

S

dxfenen

xz

yzC

z

S y

f

x

f

S

dxfenen ,cos,coslim

000

.

Складывая все три выражения, получаем

x

yzC

S z

f

y

f

S

den

rf,coslim

0 z

xy

yzx

y

f

x

f

x

f

z

fenen ,cos,cos

или fnfnrf

rotlim

0 S

dC

S, (1.19)

y

f

x

f

x

f

z

f

z

f

y

f xy

zzx

y

yzx eeefrot . (1.20)

Важнейшая теорема, связанная с понятием вихря, есть теорема Стокса, дающая

преобразование линейного интеграла в поверхностный интеграл. Циркуляция вектора

по замкнутому контуру равна потоку вихря этого вектора через поверхность,

ограниченную данным контуром SSС

ddSd Sffnrf rotrot . (1.21)

Доказательство аналогично доказательству теоремы Гаусса Остроградского. Разделим

поверхность S на малые элементы 0, kSk . Для каждого элемента можем

записать неравенство kkkkk

С

k SSd

k

fnrf rot , если kS достаточно мало. Сложим эти

неравенства: SSdk

kkk

С

fnrf rot .

Линейные интегралы по элементам кривых kC , не имеющих общих точек с

контуром C , попарно уничтожились. В пределе, когда k и 0kS , получим

SСSС

dSdSdSd fnrffnrf rotrot .

Отметим некоторые следствия теоремы Стокса.

Для потенциального вектора gradf циркуляция равна нулю 0grad rdC

и,

следовательно 0gradrot .

Равенство нулю вихря вектора f является необходимым и достаточным

условием его потенциальности.

В случае замкнутой поверхности контур, фигурирующий в теореме Стокса,

стягивается в точку и .0rot CS

dd rfSf По теореме ГауссаОстроградского

dVdrotVS

fSf rotdiv и, следовательно 0rotdiv f . Векторное поле вихрей свободно

от источников или всякое соленоидальное поле может быть представлено как

вихревое.

Пример. Магнитное поле, создаваемое током. Пусть постоянный ток силы I течѐт

по тонкому проводу в виде линии L . Эта линия либо замкнута, либо уходит концами в

бесконечность. Элементом тока в какой-либо точке P провода называется вектор

Idld τI , где τ орт касательной, а dl элемент дуги линии L в рассматриваемой точке.

По закону БиоСавара в произвольной точке M пространства элемент тока создаѐт

элемент магнитной напряжѐнности 3ρ

ρIH

dd , где ρ радиус-вектор из точки P в точку

M . Весь ток создаѐт напряжѐнность dlId

L L

33 ρρ

ρτρIH . Будем считать провод

прямолинейным: Idld kI , .lkrρ

Следует отметить, что закон БиоСавара может быть экспериментально проверен

лишь в интегральной форме, поскольку невозможно создать элемент тока.

dl

lzyx

lI

3222

krkH

3222 lzyx

dlI rk .

Положив tg,22 DlzDyx , получим

dD

dl2cos

,

.222coscos

cos22222

2

2

22

2

2

3

3

yx

xI

yx

yI

DId

D

Id

D

DI

jirk

rkrkH

Векторные линии поля – окружности в плоскостях Oxy с центром на оси Oz :

0

dz

x

dy

y

dx

H

dz

H

dy

H

dx

zyx

.const,const0,0 22 zyxdzydyxdx Поле H является и

потенциальным и соленоидальным, поскольку

,02

22

2div222222

yx

xyI

yx

yxI

z

H

y

H

x

H zyxH

2222

2222

2

022

rotyx

y

yyx

x

xI

yx

xI

yx

yI

zyx k

kji

H

.022

2222

22

22

yx

yx

yxIk