Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образованияСанкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова

(технический университет)

Ю.В.ШУВАЛОВ, С.Г.ГЕНДЛЕР, И.Б.МОВЧАН

ТЕРМОДИНАМИКАУчебное пособие

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ2006

2

УДК 536.7:621.036.7 (075.80)ББК 23.317

Ш952

Приведены основные понятия и определения термодинамики. Дана фор-мулировка первого и второго законов термодинамики. Рассмотрена статистическая природа второго закона термодинамики. Изложены основы термодинамики фазо-вых переходов в горных породах и приведены уравнения, описывающие ее законо-мерности. Описаны термодинамические свойства паров. Рассмотрены простейшие термодинамические циклы: Ренкина, теплофикационный, холодильных машин.

Изложены основы термодинамики необратимых процессов. Рассмотрены теорема Онзагера, принципы нелинейности и взаимности в сложных процессах, поня-тие синергетики, диссипативных структурах и явлении самоорганизации. Описаны особенности термодинамических процессов в рудничном воздухе и горном массиве.

Предназначено в качестве учебного пособия по дисциплине «Термодина-мика» для студентов горных специальностей.

Рецензенты: кафедра физики горных пород и процессов Московскогогосударственного горного университета; д.т.н. Г.Х.Хчеян (Российская академияестественных наук).

Шувалов Ю.В.Ш952. Термодинамика: Учеб. пособие / Ю.В.Шувалов, С.Г.Гендлер,

И.Б.Мовчан. Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет). СПб, 2006. 102 с.

ISBN 5-94211-288-6

УДК 536.7:621.036.7 (075.80)ББК 23.317

ISBN 5-94211-288-6 Санкт-Петербургский горный институт им. Г.В.Плеханова, 2006

3

ВВЕДЕНИЕ

Многие технологии, используемые при добыче полезных иско-паемых, связаны с переходом механической, электрической, химиче-ской энергии в тепловую энергию и ее последующим перераспределе-нием в пространстве и времени. Выделение теплоты от работающих в горных выработках машин и механизмов, формирование в горных массивах, окружающих выработки, нестационарных температурных полей, во многих случаях осложненных фазовыми переходами при затвердевании (промерзании) или плавлении (оттаивании) пород, изменение температуры рудничного воздуха, сопровождающееся испарением и конденсацией влаги, подогрев и охлаждение воздуха соответственно в калориферах и холодильных машинах – это лишь малая часть процессов, влияющих на эффективность освоения мине-ральных, энергетических и пространственных ресурсов недр.

Описание упомянутых процессов невозможно без знания ос-новных положений термодинамики, предметом изучения которойявляются закономерности превращения энергии в различных физиче-ских, химических и других процессах. Пройдя длинный путь от клас-сических положений, делавших основной упор на равновесие и ста-бильность, современная термодинамика в большей мере исследует реальные неравновесные процессы, приводящие во многих случаях к рождению новых пространственно-временных структур, определяю-щих эволюцию термодинамических систем.

Знание основ термодинамики дает возможность обосноватьфизические и математические модели, адекватно отражающие реаль-ные процессы, протекающие в горных массивах и выработках. Данное учебное пособие не претендует на всеобъемлющее рассмотрение всех направлений термодинамики. В нем лишь делается попытка проде-монстрировать то, как основные положения термодинамики могут быть использованы для анализа тепловых процессов, сопровождаю-щих разработку месторождений полезных ископаемых.

При написании учебного пособия обобщен десятилетний опыт преподавания термодинамики студентам горных технологиче-ских специальностей. Авторы пособия будут признательны читателю за любые исправления и замечания.

4

1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

1.1. Термодинамические системыи их параметры

Термодинамической системой называется совокупность ма-териальных тел, взаимодействующих между собой и с окружающей средой. Окружающей средой являются тела, расположенные за пре-делами рассматриваемой термодинамической системы.

По характеру взаимодействия с окружающей средой термо-динамические системы делятся на три типа:

изолированные термодинамические системы, не обмени-вающиеся с внешней средой ни энергией, ни веществом;

закрытые термодинамические системы, обменивающиеся с внешней средой энергией, но не обменивающиеся веществом;

открытые термодинамические системы, обменивающиеся с внешней средой и энергией, и веществом.

По структуре термодинамические системы подразделяются на гомогенные и гетерогенные.

К гомогенной термодинамической системе относится такая система, химический состав и физические свойства которой одинако-вы во всех ее частях или монотонно (без скачков) изменяются от точ-ки к точке. Примером такой системы могут служить абсолютно чис-тые минералы, расплавленные и сублимированные горные породы.

Гетерогенной называется такая термодинамическая система, которая состоит из двух или более гомогенных областей. Внутри такой системы имеются поверхности раздела фаз, при переходе че-рез которые химический состав и физические свойства вещества из-меняются скачкообразно.

Фазой гетерогенной системы называется гомогенная об-ласть, которая может быть отделена механическим путем. Каждая фаза в гетерогенной системе отделена друг от друга поверхностью раздела фаз. Практически все горные породы являются гетероген-ными термодинамическими системами.

Любая термодинамическая система состоит из одной и более компонент. Под компонентой понимается число химически чистых

5

элементов, образующих данное вещество. Например, сфалерит (ZnS) состоит из двух компонент – цинка и серы; сидерит (FeCO3) – из трех компонент – железа, углерода и кислорода.

Состояние термодинамической системы описывается парамет-рами состояния, которые подразделяются на интенсивные (не завися-щие от количества вещества) и экстенсивные (зависящие от количествавещества). К первым относятся давление, температура, удельный объем, а ко вторым – объем, масса, теплоемкость. Экстенсивные параметры, отнесенные к единице массы вещества, приобретают смысл интенсив-ных параметров (удельный объем, удельная теплоемкость и др.).

Интенсивные параметры, которые определяют состояние термо-динамической системы, называются термодинамическими параметрами состояния. Основными термодинамическими параметрами являются абсолютная температура, абсолютное давление и удельный объем (или плотность) тела.

При отсутствии внешнего воздействия состояние термодинами-ческой системы может быть определено, если заданы два любых интен-сивных параметра. Все остальные параметры являются однозначной функцией двух заданных параметров. Например, удельный объем воды при температуре 3,98 °С и давлении 10 Па равен 10-3 м3/кг. При измене-нии температуры t и давления p изменится и удельный объем, т.е.

, .v f p t (1.1)

Аналогично

, ,p t v (1.2)

, .t p v (1.3)

Уравнение, связывающее все параметры состояния чистого ве-щества, называется уравнением состояния:

, , 0.F p v t (1.4)

Уравнение (1.4) в графическом виде в трехмерной системе координат ,p v и t для каждого вещества представляет собой тер-модинамическую поверхность, а в плоских системах координат для двух переменных параметров при заданном третьем – диаграммы состояния (p-v-диаграмма; p-t-диаграмма; v-t-диаграмма).

6

1.2. Первый закон термодинамики

Осуществим вывод первого закона термодинамики для неко-торого объема горной породы, находящегося внутри горного масси-ва на глубине H (рис.1.1). При нагревании выделенного объема его температура будет повышаться и, согласно закону сохранения энер-гии, будет возрастать его внутренняя энергия и совершаться внеш-няя работа.

Внутренняя энергия U выделенного объема складывается из энергии поступательного и вращательного движения молекул, со-ставляющих минералы, энергии внутримолекулярных колебаний, потенциальной энергии сил сцепления между молекулами. Часть внутренней энергии выделенного объема горной породы при нагре-ве переходит в свободную энергию (энергия разрыва межзерновых связей в неоднородных породах за счет внутренних термических напряжений, возникающих на границах минеральных зерен в связи с различными значениями их модулей упругости и коэффициентов теплового расширения).

Внутренняя энергия термодинамической системы зависит только от параметров состояния и не зависит от того, каким путем изменялись эти параметры. Внутренняя энергия выделенного объе-ма горной породы U является экстенсивной характеристикой, так

как она пропорциональна коли-честву вещества в термодинами-ческой системе.

Величина /u U G назы-вается удельной внутренней энер-гией, представляет собой внут-реннюю энергию единицы массы вещества и является интенсивным параметром.

Величина удельной внут-ренней энергии термодинамиче-ской системы однозначно опреде-ляется, если заданы любых два параметра состояния, т.е.

dx

Рис.1.1. Схема действий внешних сил при расширении твердых тел

7

,u f v t ; ,u p t ; , .u p v (1.5)

Дифференциал внутренней энергии представляет собой полный дифференциал, который например для функции ,u f v tимеет вид

d / d / d ,t v

u u v v u t t (1.6)

где индексы у частных производных означают, что они взяты при постоянстве той величины, которая стоит в виде индекса.

В отличие от дифференциала внутренней энергии, диффе-ренциалы теплоты и работы не являются полными дифференциалами.

При нагревании выделенного объема горной породы (рис.1.1)он будет расширяться. Если предположить, что давление окружаю-щего массива равно ,p то увеличение выделенного объема будет сопровождаться работой против сил внешнего давления, которая называется внешней работой А.

Обозначим поверхность выделенного объема через ,S изме-нение объема через dv, перемещение каждой точки поверхности вы-деленного объема через dх. Учитывая, что давление – это сила, дей-ствующая по нормали на единицу поверхности выделенного объема, следует, что

с ,p pS (1.7)

где рс – суммарная сила, действующая на всю поверхность выделен-ного объема породы, Н.

В данном случае внешняя работа представляет собой работу расширения выделенного объема породы против сил внешнего дав-ления:

сd d d .A p x pS x (1.8)

Так как d d ,S x v то

d dA p v (1.9)

или для конечного процесса2

1

d .V

V

A p v (1.10)

8

Работа расширениясовершается только в том случае, когда происходит изменение объема породы. Эту работу можно опреде-лить с помощью p-v-диа-граммы (рис.1.2), на которойона выделена штриховкой.

Работа расширения при переходе термодинами-ческой системы из состояния 1 в состояние 2 зависит не только от параметров этих состояний, но и от того, по какому пути осуществляется процесс расширения при пе-реходе системы из одного

состояния в другое. Кроме работы расширения, в рассматриваемом случае осуществляется работа по увеличению поверхности объема породы. Эта работа затрачивается на преодоление сил поверхност-ного натяжения.

Таким образом, при подводе теплоты к породе повышается ее температура и увеличивается объем. При этом подведенная теп-лота расходуется на увеличение внутренней энергии породы u, со-вершение работы расширения А и другие виды работы А*. Согласно закону сохранения энергии можно записать:

*1 2 1 2 1 2 1 2Q U A A , (1.11)

где Q1-2 – теплота, сообщаемая выделенному объему породы при на-гревании ее от состояния 1 до состояния 2, Дж. Выражение (1.11) в дифференциальной форме имеет вид:

*d d d d .Q U A A (1.12)

Уравнения (1.11) и (1.12) представляют собой математическое выражение первого закона термодинамики. Так как внешняя работа,

Рис.1.2. Общий вид р-v-диаграммы

p

v

1

2

2

1

dp v

9

совершаемая при расширении породы, зависит от пути процесса, то аналогичную зависимость имеет и количество подведенной теплоты.

Для единицы массы породы уравнение первого закона тер-модинамики имеет вид:

*d d d dq u A A (1.13)или

*d d d d ,q u p v A (1.14)

где q – количество теплоты, подводимое к единице массы породы, Дж/кг; А и А* – соответственно работа расширения и другие виды работы, совершаемые единицей массы породы, Дж/кг.

1.3. Первый закон термодинамики для идеального газа

Идеальным газом называется газ, собственным объемом молекул которого и силами взаимодействия между ними можно пренебречь.

Уравнение состояния (1.4) для идеального газа, представ-ляющего собой смесь различных газов, описывается уравнением Клапейрона:

,i ii

i

M RTp RT

V V

(1.15)

где рi – парциальное давление i-го газа, Па; /i i iM – количество молей i-го газа, входящего в состав смеси; Mi – масса i-го газа, кг;i – молекулярный вес газа, кг/моль; V – объем газа, м3; R – универ-сальная газовая постоянная, R = 8,314 кДж/(кмольК).

Теплоемкостью вещества называется количество теплоты, необходимое для нагрева выбранной единицы количества вещества на 1 градус в каком-либо процессе. В зависимости от выбранной единицы количества вещества различают теплоемкости: с – массо-вую для 1 кг рабочего тела; с' – объемную для 1 м3 при нормальных условиях; с – молярную для 1 кмоля.

10

В общем случае теплоемкость газов зависит от процесса, температуры и незначительно от давления. Согласно определению, теплоемкость газа при данной температуре t

d /d .c q t (1.16)

Рассмотрим теплоемкость процесса, протекающего при по-стоянном объеме газа vc , и процесса, протекающего при постоянном

давлении газа ,pc

vv

qc

t

; p

p

qc

t

. (1.17)

Подставив в формулу (1.15) выражение (1.16) при *d 0,A получим

d d d,

d d d

q u vc p

t t t

откуда, поскольку d 0,v

vv

uc

t

; .p

p p

u vc p

t t

(1.18)

Для идеального газа ,u f t поэтому

d

d vv p

u u uc

t t t

; p v

p

vc c p

t

. (1.19)

Из уравнения состояния (1.15) имеем

/ ,p

vR p

t

следовательно

.p vc c R (1.20)

Уравнение (1.20) получило название уравнения Майера.Из формулы (1.18):

d d ,vu c t

11

откуда, интегрируя при const,vc получим

0 0 1 0 0; .v vu u c t t u u c t t (1.21)

Если предположить, что t0 = 0 C и 0 0,u то получим

.vu c t С учетом уравнений (1.21) первый закон термодинамики для идеального газа в интегральной и дифференциальной формах при-мет соответственно вид:

2 1 ,vq c t t l (1.22)

d d d .vq c t p v (1.23)

1.4. Располагаемая работа. Энтальпия. Второе аналитическое выражение первого закона термодинамики

Располагаемая или техническая работа определяется соот-ношением

2

1

d ,p

pp

l v p

Располагаемая работа эквивалентна площади, ограни-ченной кривой 1-2, абсциссами p1-1, p2-2 и осью ординат, и за-висит от хода процесса (рис.1.3).Располагаемая работа положи-тельна при уменьшении давле-ния (dp < 0) и отрицательна при увеличении давления (dp > 0).

Введем функцию, назы-ваемую энтальпией:

.i u pv (1.24)

Эта функция зависит только от параметров состояния рабочего тела и поэтому сама

p

v

1

2

lp

v

p1

p2

dlp = –vdp

Рис.1.3. Графическое представление располагаемой работы lp

и ее приращения dlp

dp

12

является параметром теплового состояния. Изменение энтальпии не зависит от хода процесса. Дифференцируя это выражение, получим

d d d d ,i u p v v p

но согласно уравнению первого закона термодинамики

d d d .u p v q Следовательно,

d d d ,i q v p откуда

2

1

2 1

d d d ;

d .p

p

q i v p

q i i v p

(1.25)

Учитывая определение (1.23), можно написать:

2 1

d d d ;

.

p

p

q i l

q i i l

(1.26)

Уравнения (1.25) или (1.26) представляют собой второе ана-литическое выражение первого закона термодинамики.

Для изобарного процесса dp = 0, следовательно, из (1.25)получим

2 1d d ; .q i q i i (1.27)

Таким образом, в изобарном процессе разность энтальпий конечного и начального состояния тела равна количеству теплоты, участвующей в процессе. На основании (1.25) имеем

.pp p

q ic

t t

(1.28)

Для идеального газа .i u pv u Rt Поскольку ,u f t

то .i t В этом случае d /d .pc i t Следовательно, d d .pi c t Ин-

тегрируя при constpc получим

0 0 0 0; .p pi i c T T i i c t t (1.29)

13

1.5. Термодинамические процессы

При изменении хотя бы одного из параметров системы из-меняется и состояние самой системы, т.е. происходит термодина-мический процесс, представляющий совокупность изменяющихся состояний. Термодинамические процессы разделяются на равновес-ные и неравновесные.

Равновесными называются такие процессы, при которых система переходит последовательно из одного состояния равновесия в другое. Под состоянием равновесия термодинамической системы понимается такое состояние, к которому она стремится, принимая при этом минимальное значение общей энергии. В состоянии равно-весия параметры системы при отсутствии внешнего воздействия ос-таются постоянными.

Неравновесными называются такие процессы, которые не сопровождаются состояниями равновесия. Для неравновесных про-цессов характерно, что различные части системы имеют различные термодинамические параметры. Равновесное состояние является предельным случаем неравновесного, если скорость процесса стре-мится к нулю. Теоретически все термодинамические процессы яв-ляются неравновесными, практически же многие из них можно счи-тать равновесными с определенным приближением.

Если при равновесном процессе температура системы оста-ется постоянной, то такой процесс называется изотермическим. Примером такого процесса является хранение сжиженных газов в подземных изотермических хранилищах.

Равновесный процесс, при котором постоянным является давление, называется изобарным. Примером изобарного процесса является подземная газификация твердого топлива, когда за счет горного давления и давления воздуха, нагнетаемого в пласт угля, общее давление в газовых продуктах сгорания остается постоянным.

Если при равновесном процессе остается постоянным объем, то такой процесс называется изохорным. Примером изохорного процесса может служить термическое и электротермическое дроб-ление негабаритов горных пород.

14

Если при равновесном процессе отсутствует теплообмен системы с окружающей средой, то такой процесс называется адиа-батным. В природе таких процессов практически не существует. Не-которые термодинамические процессы в горных породах можно лишь с некоторым приближением отнести к квазиадиабатным.

Условимся называть термодинамический процесс при пере-ходе системы из состояния 1 в состояние 2 прямым, а из состояния 2в состояние 1 – обратным (рис.1.3).

Если при обратном процессе термодинамическая система возвращается в исходное состояние, то такой процесс называетсяобратимым. В этом случае совокупность прямого и обратного про-цессов не приводит к изменению параметров окружающей среды. При обратимых процессах прямой и обратный пути являются зер-кальным отображением друг друга. Если, например, при прямом процессе к системе подводится теплота и система расширяется, со-вершая работу над окружающей средой, то при обратном процессе от системы отводится точно такое же количество теплоты, она сужа-ется и внешняя среда совершает над ней работу.

Если при обратном процессе система не возвращается в ис-ходное положение, то такой процесс называется необратимым. Практически все процессы в природе являются необратимыми.

Любой необратимый процесс можно сделать обратимым за счет внешнего воздействия, при этом в окружающей систему внеш-ней среде произойдут необратимые изменения.

Все необратимые процессы происходят до тех пор, пока не установится равновесие в системе, а это свидетельствует о том, что работа совершается системой только в том случае, если ею не дос-тигнуто состояние равновесия. В равновесном состоянии термоди-намическая система не совершает работу над окружающей средой.

При рассмотрении термодинамических процессов идеально-го газа примем теплоемкость газа постоянной.

Изохорный процесс (v = const). Процесс протекает при под-воде или отводе теплоты в газах, находящихся в закрытых сосудах с постоянным объемом. Из уравнения состояния для идеального газа (1.15) при v = const получим p/Т = const (закон Шарля). Для двух со-стояний идеального газа имеем

15

p1/Т1 = p2/Т2. (1.30)

Поскольку dv = 0, то dl = 0 и l = 0, т.е. работа при протекании изохорного процесса не производится.

Так как dq = cv (T1 – T2), то

q = cv (T1 – T2). (1.31)

Следовательно, теплота, участвующая в изохорном процессе, равна изменению внутренней энергии.

Изобарный процесс (p = const). Из уравнения состояния для идеального газа (1.15) при p = const получим v/T = const (закон Гей-Люссака). Для двух термодинамических состояний идеального газа

v1/Т1 = v2/Т2. (1.32)

Работа расширения газа в изохорном процессе составляет

l = p2

1

dv

v

v = p(v2 – v 1). (1.33)

Так как dq = cpdT, то q = cp(T2 – T1).

Изотермический процесс (T = const). Используя уравнение состояния (1.15) при T = const получим pv = const (закон Бойля –Мариотта). Для двух термодинамических состояний идеального газа

p1v1 = p2v2. (1.34)

Работу расширения газа в изотермическом процессе вычис-лим, используя уравнение (1.10) и полученное из уравнения состоя-ния (1.15) соотношение p = RT/v.

2

1

2 11 1

1 2

ln ln .v

v

v pdvl RT RT p v

v v p (1.35)

Так как du = cvdT = 0, то из формулировки первого закона термодинамики (1.22) следует равенство dq = dl и q = l. Тогда q = RTlnv2/v1. Следовательно, для изотермического процесса коли-чество теплоты, участвующей в процессе, равно работе.

16

Адиабатический процесс (dq = 0; q = 0) протекает при рас-ширении или сжатии газа в термоизолированных сосудах.

Связь между параметрами, характеризующими этот процесс, устанавливается соотношением вида:

pvk = const, (1.36)

где k – показатель адиабаты, зависящий от атомности газа, k = cp/cv.Для двух термодинамических состояний

p1v1k = p2v2

k

илиT1v1

k-1 = T2v2k-1. (1.37)

Так как k – 1 0, то при расширении температура газа в изо-термическом процессе будет снижаться, а при сжатии – возрастать.

Работу, совершаемую при расширении газа, вычислим из уравнения (1.22) при q = 0:

l = u1 – u2 = cv(T1 – T2). (1.38)

Таким образом, работа расширения газа в адиабатическом процессе равна уменьшению внутренней энергии.

Из уравнения Майера (1.20) следует, что k = 1 + R/cv, откуда cv = R/(k – 1).

Политропные процессы – процессы, протекающие при изме-нении всех параметров теплового состояния рабочего тела, но при постоянной теплоемкости, равной с.

Связь между параметрами, характеризующими политропи-ческие процессы, показана уравнением

pvn = const, (1.39)

где n – показатель политропы, зависящий от теплоемкости процесса, n = (c – cp)/(c – cv).

Используя соотношение (1.39) и уравнение состояния иде-ального газа (1.15), легко получить следующие соотношения:

Tvn-1 = const; Tp1-n/n = const. (1.40)

Рассматривая термодинамические процессы идеального газа, из уравнения (1.39) несложно получить:

17

при n = 0 изобарный процесс pv0 = p = const;при n = 1 изотермический процесс pv = p = const;при n = k адиабатический процесс pvk = const;при n = изохорный процесс v = const.Из определения показателя политропы следует, что теплоем-

кость при протекании политропического процесса равна

.1v

n kc c

n

(1.41)

Работа, совершаемая в политропическом процессе, и количе-ство теплоты, участвующее в нем, соответственно равны:

1

1 1 2

1

1 ;1

n

np v pl

n p

(1.42)

2 11.n k

v nq c T T

(1.43)

При известных значениях p и v для двух состояний полит-ропного процесса показатель политропы n может быть получен из равенства p1v1

n = p2v2n в виде следующей формулы:

2 1

1 2

lg lg .p v

np v

(1.44)

1.6. Второй закон термодинамики

Круговым термодинамическим процессом или циклом назы-вается совокупность термодинамических процессов, при осуществ-лении которых рабочее тело возвращается в свое первоначальное тепловое состояние.

В координатах p, v цикл изобразится процессами расшире-ния и сжатия. Обозначим работу расширения и работу сжатия про-цессов, составляющих цикл, расl и сжl (величины берем с их зна-

18

ками). При рас сж| |l l цикл называется прямым, а при рас сж| |l l –

обратным. Условно прямой и обратный циклы можно изобразить произвольным замкнутым контуром, направленным по часовой стрелке в случае прямого цикла (рис.1.4, а) и против в случае обрат-ного (рис.1.4, б).

Результирующая работа прямого цикла 0 рас сж| |,l l l об-

ратного 0 рас сж| | .l l l Результирующая работа цикла эквивалент-

на площади, ограниченной контуром цикла. Знак результирующей работы показывает, что при прямом цикле совершается полезная работа, а при обратном – работа затрачивается на его осуществление.

Проведем к контурам циклов две касательные адиабаты. Из анализа политропных процессов идеального газа (это можно также доказать и для реальных газов) следует, что в процессах a-1-b пря-мого цикла и а-2-b обратного теплоту необходимо подводить, а в процессах b-2-a прямого цикла и b-1-а обратного ее необходимо от-водить. Обозначим количество подводимой и отводимой теплоты в прямом цикле соответственно q1 и q2 (величины q1 и –q2 берутся со своими знаками). В прямом цикле теплота подводится к рабочему телу от горячего источника и отводится от рабочего тела к источни-

q2–q2

q1

l0dq = 0

dq = 0

a

b

p

v

–q1

– l0dq = 0

dq = 0

a

b

p

v

а б

Рис 1.4. Изображение круговых термодинамических процессов в p-v-координатах

19

ку, имеющему более низкую температуру (холодной источник). По-скольку для циклов и2 – и1 = 0, то первый закон термодинамики для прямого цикла имеет вид q1 – |q2 | = l0.

При обратном цикле теплота отводится к рабочему телу от источника с более низкой температурой, чем температура источни-ка, к которому она подводится. Если количества теплоты, подводи-мой к рабочему телу от холодного источника и отводимое от рабо-чего тела к горячему источнику, соответственно составляют q1 и q2, то –q1 + q2 = – l0 или |q1| = q2 + |l0|. Для обратного цикла количество отводимой теплоты равно сумме подводимой теплоты и работы, за-траченной на осуществление цикла.

Второй закон термодинамики применительно к работе теп-ловых двигателей можно сформулировать следующим образом.

Для постоянного получения механической работы из тепло-вой энергии двигатели должны работать по прямым циклам. Для осуществления цикла необходимо иметь, по крайней мере, два ис-точника теплоты: горячий и холодный, которые служат для подвода и отвода теплоты к рабочему телу. Невозможно всю подводимую к телу теплоту превратить в механическую работу.

Холодильные установки работают по обратным циклам. Те-плота от холодного источника рабочим телом отнимается и переда-ется горячему источнику, при этом затрачивается работа. Эффек-тивность прямых циклов оценивается термическим КПД

0 1 2 2

1 1 1

1 .tl q q q

q q q

(1.45)

Эффективность обратных циклов оценивается холодильным коэффициентом

2 2

10 1 2

2

| | | | 1.

| || | | | | | 1| |

q qql q qq

(1.46)

Цикл, предложенный французским инженером О.Карно, требует для своего осуществления два источника теплоты с посто-янными температурами 1T (горячий источник) и 2T (холодный ис-

20

точник). Цикл является обратимым и состоит из четырех обратимых процессов, двух изотер и двух адиабат (рис.1.5).

От начального состояния рабочее тело расширяется изотер-мически (кривая 1-2) при температуре горячего источника теплотыT1, затем адиабатически (кривая 2-3). При этом температура умень-шается до температуры холодного источника теплоты 2T . Далее происходят изотермический процесс сжатия 3-4 при T2 = const и адиабатический процесс сжатия 4-1, при котором тело возвращается в свое первоначальное тепловое состояние.

Количество подводимой и отводимой (по абсолютному зна-чению) теплоты в цикле соответственно составляет

21 1

1

lnv

q RTv

и 32 2

4

lnv

q RTv

. (1.47)

Термический КПД цикла Карно

3

2 2 4тк

21 1

1

ln

1 1ln

v

q T vvq Tv

. (1.48)

Из уравнения адиабат2-3 и 4-1 следует, что

12 2

1 3

kT v

T v

и 1

2 1

1 4

,k

T v

T v

(1.49)

тогда 2 3 1 4/ /v v v v или

3 4 2 1/ /v v v v и, соответственно,

тк 2 11 / .T T (1.50)

Таким образом, тк тем больше, чем больше T1 именьше T2, и не зависит от ро-да рабочего тела (последнее

Рис.1.5. Диаграмма прямого цикла Карно в p-v-координатах

T1 = constp

v

1

2

3

4

q1

q2

dq = 0dq = 0

T2 = const

21

положение имеет строгое доказательство, называемое теоремой Парно). При этом тк 1 . Можно показать, что для обратного цикла Карно холодильный коэффициент

к 2 1 2ε / .T T T (1.51)

Особенностью цикла Карно является то, что тк и кε явля-

ются наибольшими или равными по сравнению с тη и других циклов, осуществляемых в тех интервалах температур.

Для обратимого цикла Карно, согласно уравнениям (1.45) и(1.50), имеем

2 2

1 1

1 1 ,q T

q T (1.52)

откуда

2 1 2 1/ /q q T T или 1 1 2 2/ / 0.q T q T (1.53)

Отношение /q T называется приведенной теплотой. Если

учесть знак при q1(q2 < 0), то 1 1 2 2/ /q T q T , т.е. сумма приведенных

теплот в обратимом цикле Карно 2

1/ 0.i i

iq T

При необратимом

прямом цикле его работа будет меньше, чем в обратимом, и его тер-мический КПД т(но) т .

Для цикла Карно

2 2

1 1(но)

1 1 ,q T

q T

откуда 2 1 2 1/ /q q T T или 2 2 1 1/ /q T q T , т.е.

1 2

1 2

0q q

T T или

2

10.i

i i

q

T (1.54)

Таким образом, сумма приведенных теплот в необратимом цикле Карно меньше нуля.

22

Возьмем произвольный обратимый цикл (рис.1.6). Разобьем его рядом весьма близко расположенных адиабат, соединенных от-резками изотерм, на большое число п элементарных циклов Карно. Для любого элементарного цикла

1 2

1 2

d d0,

i i

i i

q q

T T (1.55)

для всех элементарных циклов /dq T = 0.

При n пилообразный контур сольется с контуром про-извольного обратимого цикла. При этом

,0dd

lim

T

q

T

qn

(1.56)

т.е. интеграл приведенных теплот по замкнутому контору любого обратимого цикла равен нулю. Уравнение (1.56) является математи-ческим выражением второго закона термодинамики для обратимых круговых процессов. Так как Т > 0, то для выполнения (1.56) необ-

ходимы участки с подводом и отводом теплоты, т.е. осущест-вление цикла с одним источни-ком теплоты невозможно. Для любого необратимого цикла на основании уравнения (1.54) можно получить

.0d

T

q (1.57)

Обобщим выражения(1.56) и (1.57), тогда

,0d

T

q (1.58)

где знак равенства относится к обратимым циклам, а знак не-равенства – к необратимым.

p

v

dq1i

dq2i

Рис.1.6. Диаграмма, иллюстрирующая разбиение

произвольного обратимого цикла на n обратимых элементарных

циклов Карно

23

Условие (1.58) является математическим выражением второго за-кона термодинамики для круговых процессов.

В обратимых процессах подинтегральное выражение dq/Tсогласно формуле (1.56) является полным дифференциалом функ-ции параметров теплового состояния тела:

d d / .s q T (1.59)

Изменение этой функции зависит только от начальных и ко-нечных параметров теплового состояния тела и не зависит от хода процесса. Следовательно, эта функция сама ведет себя как параметр теплового состояния. Она называется энтропией и обозначается s. Так как тепловое состояние тела определяется двумя параметрами, то 1 , ,s s v T 2 , ,s s p v 3 , .s s p T Изменение энтропии в об-

ратимых процессах2

2 11

d.

qs s s

T (1.60)

Для необратимого процесса изменение энтропии между те-ми же начальным и конечным состояниями 2 1.s s s Пусть не-обратимый цикл 1-A-2-B-1 (рис.1.7) состоит из необратимого про-цесса 1-A-2 и обратимого 2-В-1. В целом для цикла согласно урав-нению (1.57)

но обр1 2 2 1

d d0,

A B

q q

T T

1 2обр2 1

d,

B

qs s

T

1 2но1 2

d0,

A

qs s

T

2 1но1 2

d.

A

qs s

T

(1.61)

p

v

A

B

1(s1)

2(s2)

Рис.1.7. Разбиение цикла 1-А-2-В-1на два процесса: 1-А-2 и 2-В-1

24

Для бесконечно малого приращения энтропии в необрати-мом процессе из (1.64) следует

d d / .s q T (1.62)

Объединив уравнения (1.59) и (1.62), получим

Tqs /dd или

2

2 11

d / .s s q T (1.63)

Неравенство (1.63) также рассматривается как аналитическое выражение второго закона термодинамики. Изменение энтропии рабочего тела по сравнению с приведенным теплом в необратимом процессе может служить мерой его необратимости.

Энтропия системы sсист является суммой энтропии, состав-ляющих систему тел. Изменение энтропии изолированной системы при протекании в ней термодинамических процессов равно нулю(при протекании обратимых процессов) или больше нуля (при про-текании необратимых процессов): сист 0.s

Пусть в замкнутой системе происходит теплообмен между двумя телами при конечной разности температур горячего тела T1 и холодного тела T2. Если от горячего тела холодному передается теп-лота q, то изменение энтропии системы

сист 1 21 2 1 2

1 10,

q qs s s q

T T T T

(1.64)

ибо Т1 > Т2. Увеличение энтропии изолированной системы, в кото-рой протекают необратимые процессы, связано с потерей работо-способности эксергией. Максимально возможную полезную работу l0, производимую за счет теплоты q1, отбираемой от горячего источ-ника теплоты с температурой Т1 при условии, что холодным источ-ником теплоты является окружающая среда с температурой T2, по-лучим при осуществлении обратимого цикла Карно.

25

На основании уравнений (1.45), (1.50) имеем: 0 1 2 11 / .l q T T При температуре рабочего тела Т' < Т1 работа необратимого цикла

Карно н0 1 2 11 / .l q T T В результате необратимости работоспособ-

ность теплоты уменьшается на

н 2 20 0 1 1 2

1 1 1 1

1 11 1 .

T Tl l l q q T

T T T T

(1.65)

При осуществлении цикла в соответствии с выражением(1.48) энтропия системы возрастает

сист 11 1

1 1,s q

T T

и на основании формулы (1.49) можно получить уравнение Гуи-Стодолы

2 сист .l T s (1.66)

Величину максимально возможной работы (работоспособ-ность) называют эксергией теплоты

21

1

1 .qT

e qT

(1.67)

Понятие работоспособности используется для анализа со-вершенства термодинамических процессов и циклов.

Энтропия идеального газа определяется на основе формулы (1.59) с учетом значения dq, вычисленного по уравнению (1.23), и уравнение состояния идеального газа (p/T = R/v):

ds = cvdT/T + Rdv/v. (1.68)

После интегрирования выражение для изменения энтропии примет вид:

s – s0 = cvlnT/T0 + Rlnv/v0. (1.69)

Принимая далее во внимание зависимость, вытекающую из уравнения состояния для идеального газа (1.15) T/T0 = pv/p0v0, полу-

26

чим формулу, определяющую изменение энтропии в зависимости от других параметров состояния,

s – s0 = cplnv/v0 + cvlnp/p0. (1.70)

Если отсчет энтропии вести от некоторого теплового состоя-ния и предположить, что для этого состояния величина энтропии равна нулю s0 = 0 (это утверждение соответствует формулировке третьего начала термодинамики, предложенной Нернстом в сле-дующем виде: по мере приближения температуры к 0 К энтропия всякой равновесной системы при изотермических процессах пере-стает зависеть от каких-либо термодинамических параметров со-стояния и в пределе Т = 0 К принимает одну и ту же для всех систем универсальную постоянную величину, которую можно принять равной нулю).

Предположив возможность равенства s0 = 0 при нормальных условиях, из равенства (1.69) получим

s = cvlnT/273,15 + Rlnv/vн, (1.71)

где vн – удельный объем газа при нормальных условиях.Обратимые термодинамические процессы можно изображать

в T-s-координатах.На основании уравнения (1.59) имеем:

dq = Tds;2

1

d .s

s

q T s

Площадь под кривой процесса в тепловой диаграмме на рис.1.8 эквивалентна количеству теплоты, участвующей в процессе. При одинаковых начальных и конечных параметрах участвующее в процессе количество теплоты зависит от хода процесса. Поскольку T 0, dq 0 при ds 0, т.е. в случае увеличения энтропии теплота к телу подводится, а при ds 0 dq 0, т.е. при убывании энтропии те-плота от тела отводится. Таким образом, по изменению энтропиитела в термодинамическом процессе можно судить о направлении теплообмена.

Для изохорного процесса из уравнения (1.59) при постоян-ной теплоемкости получим

ds = dq/T = cvdT/T.

27

В результате интегрирования этого уравнения имеем:

s – s0 = cvlnT/T0; T = T0

0

.v

s s

ce

Для изобарного процесса

ds = dq/T = cpdT/T,

откуда

s – s0 = cplnT/T0; T = T0

0

.p

s s

ce

Для изотермического процесса с учетом соотношенияdq = RTdv/v, осуществив преобразования, аналогичные использован-ным выше, получим

ds = dq/T = Rdv/v; s – s0 = Rlnv/v0.

Для адиабатического процесса dq = 0. Поэтому ds = 0 иs = const.

Для политропических процессов

ds = dq/T = cdT/T; s – s0 = clnT/T0 и T = T0

0

.s s

ce

б T

s

T1

T2

s1 s2

q0

q2

1 2

4 3

a

21

ss1 s2

q0

q2

a

b

T

Рис.1.8. Изображение термодинамических процессов в T-s-диаграмме

28

Анализ полученных зависимостей показывает, что в T-s-координатах изохорные и изобарные процессы отображаются экс-понентами, причем вследствие того, что cp cv, изохоры располага-ются над изобарами. Изотермический процесс отображается гори-зонтальной линией, а адиабатический – вертикальной.

Цикл изображается в T-s-координатах замкнутым контуром, состоящим из процессов с подводом и отводом теплоты. В прямых циклах подводимая теплота q1 больше отводимой теплоты q2. Про-цессы с подводом теплоты протекают с увеличением энтропии ра-бочего тела и на T-s-диаграмме расположены выше процессов с от-водом теплоты, идущих с уменьшением энтропии. Вследствие этого процессы в T-s-диаграмме, аналогично процессам в p-v-диаграмме, для прямых циклов направлены по часовой стрелке, а для обратных циклов – против часовой стрелки (рис.1.8, а).

Площадь s1 – 1 – a – 2 – s2 эквивалентна количеству подво-димой в цикле теплоте q1, а площадь s1 – 1 – b – 2 – s2 – количеству отводимой теплоты q2. Площадь, ограниченная контуром цикла, эк-вивалентна количеству теплоты q0 = q1 – q2, перешедшему в полез-ную работу. Из диаграммы прямого цикла Карно в T-s-координатах (рис.1.8, б) следует:

q1 = T1s; q2 = T2s; q0 = (T1 – T2)s; тк = 1 – q2/q1 = 1 – T2/T1.

С помощью T-s-диа-граммы несложно показать, что термический КПД любого обратимого цикла, осуществ-ляемого при двух и более источниках теплоты междутемпературами T1 и T2, мень-ше термического КПД обра-тимого цикла Карно, реали-зуемого между теми же тем-пературами. Рассмотрим про-извольный цикл I и цикл Кар-но II, протекающие в одних и тех же температурных ин-

s

Рис.1.9. Сопоставление произвольногообратимого цикла с циклом Карно

a

b

21

T

T1

T210 9

87

III I

4

5

3

6

II

29

тервалах (рис.1.9). Опишем вокруг цикла I произвольный цикл Карно III 1 – 7 – a – 8 – 2 – 9 – b – 10, осуществляемый в том же тем-пературном интервале. На основании уравнения (1.50) имеемтк(III) = тк(II). Из сравнения площадей на рис.1.9 следует, чтоq1(I) q2(II), аq2(I) q2(III), отсюда следует, что (q2/q1)I (q2/q1)III.

Таким образом,

т(I) = 1 – (q2/q1)I тк(III) = 1 – (q2/q1)III.

Следовательно, т(I) тк(III) = тк(II), что и требовалось доказать.

1.7. Статистическая природа второго закона термодинамики

В случае необратимых процессов конечное состояние адиа-батически изолированной системы отличается от начального со-стояния более высокой величиной энтропии. При необратимом про-цессе каждое последующее состояние термодинамической системы является более вероятным, чем предшествующее состояние (имеет более высокое значение вероятности). При обратимых процессах каждое из состояний, в том числе конечное и начальное, соответст-вуют одному и тому же значению энтропии и являются в этом смысле равноценными и равновероятными. С этой точки зрения эн-тропию системы можно рассматривать как меру термодинамической вероятности данного состояния системы.

Прежде чем перейти к формулировке термодинамической вероятности, введем понятия макроскопического и микроскопиче-ского состояний термодинамической системы.

Макроскопическое состояние системы определяется термо-динамическими параметрами состояния. Для определения макро-скопического состояния системы достаточно знать два любых тер-модинамических параметра состояния.

Микроскопическое состояние системы определяется со-вокупностью параметров состояния всех молекул системы. К пара-метрам, характеризующим микроскопическое состояние, относятся скорость, координаты положения, частота колебаний молекул и др.

30

Одному макросостоянию системы соответствует большое число микросостояний, т.е. любое заданное макросостояние систе-мы может быть достигнуто большим количеством вариантов мик-росостояний.

Термодинамической вероятностью W называется число мик-росостояний, с помощью которых можно реализовать заданное мак-росостояние системы. В отличие от математической вероятности,термодинамическая вероятность является целым числом, причем очень большим.

Если вначале изолированная термодинамическая система находится в неравновесном состоянии, вероятность которого равна W1, то по истечении некоторого промежутка времени она перейдет из неравновесного состояния в равновесное, характеризующееся максимальной величиной вероятности W2. При этом переходе из ме-нее вероятного состояния в более вероятное состояние энтропия возрастает в соответствии с формулой, предложенной Больцманом,

11 2

2

ln ,W

S S kW

(1.72)

где k – постоянная, равная постоянной Больцмана (газовая посто-янная, отнесенная к одной молекуле, k = 1,38·10-23 Дж/°С).

Так как W2 > W1, то S2 – S1 > 0, т.е. энтропия системы будет иметь в состоянии равновесия максимальное значение. Таким об-разом, если изолированная система находится в неравновесном со-стоянии, то вероятность этого состояния и энтропия системы не будут иметь возможного наибольшего значения. Наиболее вероят-ным состоянием в этом случае является процесс, при котором эн-тропия системы возрастает, т.е. S > 0. Если система находится в состоянии равновесия, то наиболее вероятными будут процессы, при которых энтропия системы не меняется, ее значение при этом является максимальным.

При увеличении температуры энтропия системы возрастает, следовательно, возрастает и термодинамическая вероятность. При абсолютном нуле температур W = 1, т.е. при этой температуре мак-роскопическое состояние системы может быть осуществлено только единственной комбинацией составляющих систему элементарных

31

частей. В этом случае энтропия всякого тела равна нулю. Это со-стояние системы является самым неустойчивым.

Различие в статистической и феноменологической формули-ровках второго начала состоит в том, что статистическая формули-ровка второго начала утверждает, что в замкнутой системе процес-сы, сопровождающиеся возрастанием энтропии, являются наиболее вероятными, тогда как феноменологическая формулировка считает такие процессы единственно возможными.

Таким образом, из статистического толкования второго на-чала следует, что увеличение энтропии изолированной системы от-ражает лишь наиболее вероятные, но не все возможные направления действительных процессов. Как бы ни мала была вероятность како-го-либо процесса, приводящего к уменьшению энтропии, все же этот процесс когда-либо, а именно через достаточно большой про-межуток времени, произойдет.

2. ТЕРМОДИНАМИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ

2.1. Фазовые переходы в горных породах

Фазовым переходом называется переход вещества из одной фазы в другую. Частным случаем фазового перехода является пере-ход вещества из одного агрегатного состояния (твердого, жидкого или газообразного) в другое. Так как многие вещества могут суще-ствовать в любом из агрегатных состояний в нескольких фазах, то понятие агрегатного состояния несколько уже понятия фазы. На-пример, кварц в твердом агрегатном состоянии при изменении тем-пературы может перестраиваться из одной фазы в другую. Для него характерны семь фазовых состояний: -кварц, -кварц, -тридимит, -тридимит, -тридмит, -кристобалит, -кристобалит.

Минералы и горные породы в различных фазовых состояни-ях имеют различные физические свойства и, в частности, плотность. Это объясняется различием структур и, следовательно, различием молекулярного взаимодействия в кристаллической решетке минера-лов при различных фазовых состояниях.

32

При агрегатных превращениях минералов и пород происхо-дит выделение или поглощение некоторого количества теплоты, на-зываемого теплотой перехода.

При плавлении теплота перехода затрачивается на разруше-ние кристаллической решетки, при испарении и сублимации теплота перехода затрачивается на работу расширения и на преодоление сил межмолекулярного взаимодействия. Теплота сублимации по абсо-лютному значению больше теплоты парообразования, которая, в свою очередь, больше теплоты плавления минералов и горных по-род. Плотность газообразной фазы при парообразовании сублима-ции пород всегда ниже плотности конденсированной фазы (под кон-денсированной фазой понимается исходное состояние вещества). Плотность жидкой фазы при плавлении пород может быть как мень-ше, так и больше исходной твердой фазы.

Температура фазового перехода в минералах непостоянна и зависит от внешнего давления.

Применительно к фазовым переходам важное значение име-ет правило фаз Гиббса. Это правило позволяет установить взаимо-связь между интенсивными независимыми термодинамическими параметрами равновесной системы (независимые параметры назы-вают степенями свободы системы), числом компонент и фаз. Прави-ло фаз Гиббса свидетельствует о том, что число степеней свободы термодинамической системы равно числу компонент в ней п минус число фаз Х и плюс два, т.е.

Ψ = n – X + 2. (2.1)

Если система однокомпонентная (чистое вещество), то пра-вило фаз Гиббса имеет вид

Ψ = 3 – X. (2.2)

Из (2.2) следует, что для чистых веществ при однофазной системе (X = 1) число степеней свободы равно двум, т.е. состояние термодинамической системы в этом случае может быть определено, если заданы два любых параметра. Если же система, состоящая из чистого вещества, coдepжит две фазы (Х = 2), находящиеся в равно-весии, то число степеней свободы равно единице. Это свидетельст-вует о том, что в этом случае состояние системы может быть опре-

33

делено, если задан один незави-симый параметр. Например, если известна температура фазового перехода, то все другие термоди-намические параметры определя-ются температурой перехода.

Для однокомпонентной трехфазной системы (Х = 3) число независимых переменных равно нулю. Это свидетельствует о том,что такая система может сущест-вовать только при одном условии, параметры которого характеризу-ются тройной точкой (точка О на рис.2.1) на р-Т-диаграмме.

Согласно р-Т-диаграмме (рис.2.1), вещество находится в твердом состоянии при таких параметрах, которые соответствуют точкам, расположенным влево от линии АОВ. Газообразное состоя-ние вещества соответствует параметрам, характеризующимся точ-ками, расположенными вправо от линии КОВ. Жидкое состояние соответствует области, расположенной между линиями ОА и ОК.Точка О называется тройной точкой, в которой вещество может на-ходиться одновременно в трех агрегатных состояниях. Например, для воды тройная точка характеризуется следующими параметрами:Т = 0 °С и p = 610,8 Па. Линия ОВ на р-Т-диаграмме называется кривой сублимации, ОК – кривой кипения, ОА – кривой плавления. Кривые кипения и сублимации всегда имеют положительный на-клон. Это означает, что с ростом давления температура фазового перехода возрастает. Кривая плавления может иметь как положи-тельный, так и отрицательный наклон, т.е. с ростом давления темпе-ратура плавления может как возрастать, так и понижаться.

Движущей силой фазовых переходов в горных породах явля-ется подводимая энергия в виде теплоты. При нагревании минералов породы тепловое движение частиц в узлах кристаллической решетки становится более интенсивным, связи между ними нарушаются и решетка перестраивается в новую, более устойчивую форму. При этом внутренняя энергия минералов уменьшается, а часть подведен-

p

Т

O

B

A

III

III

K

Рис.2.1. p-T-диаграмма при фазовых переходах

I, II, III – твердая, жидкая и газообразнаяфазы

34

ной тепловой и накопленной минералами энергии высвобождается, совершая внешнюю работу.

Фазовые переходы в минералах происходят в основном в ин-тервале температур 200-900 С, что сопровождается резким падени-ем упругости. Это приводит к увеличению энергоемкости их разру-шения. С другой стороны, при фазовых переходах имеет место уменьшение прочности минералов, что, наоборот, создает условия для повышения эффективности их разрушения.

Фазовые переходы делятся на переходы первого и второго родов. Разделение основано на различии внутрикристаллических изменений, оказывающих влияние на характер температурной зави-симости термодинамических параметров минералов и их макроско-пических свойств. При фазовых переходах первого рода имеет местопоглощение или выделение теплоты перехода и скачкообразное изменение термодинамических параметров, которые при изобарно-изотермических процессах являются зависимыми, т.е. скачкооб-разное изменение внутренней энергии, энтропии и удельного объ-ема. Изменение давления при фазовых переходах первого рода осуществляется согласно уравнению Клапейрона – Клаузиуса и коли-чественно составляет около 107 Па при изменении температуры на1-1,5 С.

Так как внутренняя энергия является зависимой переменной при изобарно-изотермических процессах, то она при фазовых перехо-дах первого рода изменяется скачкообразно. Величина скачка равна

0 ,U r P V (2.3)

где 0r – теплота перехода, Дж; V – величина скачка объема, м3.Свободная энергия при фазовых переходах первого рода

также изменяется скачкообразно, причем величина скачка определя-ется работой против сил внешнего давления

.F p V (2.4)

Фазовые переходы первого рода сопровождаются выделе-нием или поглощением теплоты перехода и скачкообразным изме-нением удельного объема минералов, поэтому на границах мине-ральных зерен породы при этих переходах развиваются локальные напряжения.

35

Большая часть фазовых переходов в минералах относится к фазовым переходам первого рода, которые являются обратимыми, однако последствия обратимых процессов в отдельных минералахприводят к необратимым изменениям в породе в целом.

При фазовых переходах второго рода происходит скачкооб-разное изменение макроскопических свойств минералов (теплоем-кости и коэффициента теплового расширения). При этом изменение в расположении атомов в кристаллической решетке происходит не-прерывно, что приводит к непрерывности изменения термодинами-ческих параметров и отсутствию поглощения или выделения тепло-ты перехода.

Скачкообразное изменение коэффициента теплового расши-рения минералов при фазовых переходах второго рода приводит к развитию локальных термических напряжений в породе на границе минеральных зерен.

Горные породы представлены твердыми растворами различ-ных минералов и изменение температуры в них сопровождается фа-зовыми переходами как первого, так и второго родов.

Фазовые переходы в минералах при их твердом агрегатном состоянии иногда называют полиморфными превращениями. В при-роде часто встречается по две или по три модификации одного и то-го же минерала. Это свойственно, например, для углерода, алмаза, рутила, анатаза, брукита, кварца и многих других минералов. В на-стоящее время известно около 400 минералов, которым присуще явление полиморфизма. Наиболее изученным минералом в отноше-нии полиморфизма является кварц, имеющий в твердом состоянии семь модификаций.

2.2. Основные уравнения термодинамики фазовых переходов

Химическим потенциалом термодинамической системы называется функция вида = .i Ts

Так как энтальпия и энтропия

являются функциями, не зависящими от хода протекания процесса, то и химический потенциал определяется только начальным и ко-нечным состояниями термодинамической системы. Для двух фаз,

36

находящихся в равновесии при фазовом переходе, химические по-тенциалы равны

1 2, , .p T p T (2.5)

При изменении температуры фаз системы на dT она перейдет в новое равновесное состояние в том случае, если давление изме-нится на dp. Для нового равновесного состояния системы условие равновесия можно записать в виде

1 2d , d d , d .p p T T p p T T (2.6)

Функции, стоящие в левой и правой частях уравнения (2.6), можно разложить в ряд Маклорена. В результате получим

1 11

2 22

( , ) d d

( , ) d d .

pT

pT

p T p Tp T

p T p Tp T

(2.7)

Левая и правая части выражения (2.7) содержат функцию химических потенциалов фаз для начального равновесного состоя-ния и полный дифференциал химического потенциала. Выражение (2.7) с учетом равенства (2.5) можно представить в виде

1 1 2 2d d d d .р рT T

p T p Tp T p T

(2.8)

Для изобарно-изотермических процессов имеем

1 1 2 21 1; 2 2; ; .

р рT T

v s v sp T p T

(2.9)

С учетом выражений (2.9) выражение (2.8) примет вид

1 1 2 2d d d d .v p s T v p s T (2.10)

Преобразовав равенство (2.10), получим

dp/dT= 2 1 2 1( ) /( ).s s v v (2.11)

37

Выражение (2.11) называется уравнением Клапейрона –Клаузиуса. В таком виде это уравнение не позволяет установить влияние теплоты фазового перехода на характер изменения давле-ния перехода при изменении температуры. Для установления этого влияния представим выражение для энтальпии (1.24) в дифференци-альном виде

d d d ,i u pv (2.12)

илиd d d d .u p v i v p (2.13)

Поскольку из формулировки I закона термодинамики следует, что du + pdv = dq, а по определению dq = Tds, то уравнение (2.13)приводится к виду

d d d ,T s i v p

(2.14)

которое применительно к изобарным процессам (dp = 0) примет вид

d d .T s i

(2.15)

Так как при фазовых переходах температура системы не из-меняется, то интегрирование (2.15) дает

2 1 2 1.T s s i i

(2.16)

Выражение (2.16) свидетельствует, что при фазовых перехо-дах подведенная теплота T 2 1( )s s

расходуется на изменение эн-тальпии системы. Разность энтальпий (i2 – i1) называется удельной теплотой фазового перехода r и характеризуется количеством тепло-ты, поглощенным или выделенным единицей массы вещества при фазовом переходе. С учетом этого выражение (2.16) можно предста-вить в виде

2 1 / ,s s r T

(2.17)

а уравнение Клапейрона – Клаузиуса примет вид

2 1

d /d .r

p TT v v

(2.18)

Рассмотрим конкретные фазовые переходы жидкость – пар, твердое тело – жидкость и твердое тело – пар.

38

Для переходов жидкость – пар в выражении (2.18) величина r – удельная теплота парообразования, Дж/кг; 2v – удельный объем

пара на линии кипения пv , м3/кг; 1v – удельный объем жидкости на

линии кипения жv , м3/кг; p – равновесное давление в точках фазо-вого перехода, Па. С учетом этого уравнение Клапейрона – Клаузиусадля фазовых переходов жидкость – пар примет вид

п ж

d /d .r

p TT v v

(2.19)

Удельный объем пара всегда много больше удельного объе-ма жидкости, т.е. п ж ,v v поэтому согласно выражению (2.19) сле-дует, что с ростом температуры давление при фазовых переходах жидкость – пар всегда увеличивается, т.е. d /d 0.p T Так как

п ж,v v то величину п жv v в (2.19) можно заменить величиной п ,v

которая при малых давлениях с достаточной точностью может быть определена из уравнения Клапейрона, т.е.

п / .v RT p (2.20)

С учетом (2.20) выражение (2.19) примет вид

2d /d .

rpp T

RT (2.21)

Разделив переменные в выражении (2.21), получим

.d

2T

dT

R

r

p

p (2.22)

Интегрируя левую и правую части выражения (2.22) и при-нимая во внимание, что при низких давлениях теплота фазового пе-рехода жидкость – пар не зависит от температуры, получим

ln const.r

pRT

(2.23)

Постоянную интегрирования выражения (2.23) можно опре-делить, если известно давление при какой-либо одной фиксирован-ной температуре фазового перехода.

39

Для фазовых переходов твердое тело – жидкость уравнение Клапейрона – Клаузиуса (2.18) примет вид

ж твd /d / ,p T r T v v (2.24)

где r' – удельная теплота плавления, Дж/кг; жv – удельный объем

жидкости на линии плавления, м3/кг; твv – удельный объем твердого вещества на линии плавления, м3/кг.

Если ж тв ,v v то с ростом давления температура фазового перехода твердое тело – жидкость возрастает, и наоборот.

Для фазовых переходов твердое тело – пар уравнение Кла-пейрона – Клаузиуса (2.18) примет вид

п твd /d / ,p T r T v v (2.25)

где r – удельная теплота сублимации, Дж/кг; пv – удельный объем

пара на линии сублимации, м3/кг; твv – удельный объем твердого вещества на линии сублимации, м3/кг.

Так как п тв ,v v то применяя преобразования, аналогичные тем, которые были при выводе уравнения (2.22), получим

.d

2T

dT

R

r

p

p (2.26)

Величина r" зависит от температуры, поэтому интегрирова-ние правой части уравнения (2.26) возможно в том случае, когда из-вестна функция r" = r"(Т).

3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВОДЯНОГО ПАРА

3.1. Общие свойства паров

Паром называется реальный газ, близкий по своему тепло-вому состояние к жидкости. При достаточно высоких температурах и низких давлениях пары по своим свойствам приближаются к иде-альному газу. При других условиях уравнение состояния для иде-ального газа к парам неприменимо. Процесс парообразования может

40

происходить испарением с откры-той поверхности жидкости при лю-бой температуре или кипением, ко-гда пар образуется внутри объема жидкости. При испарении жидкости в замкнутом объеме возможно на-ступление динамического равнове-сия между жидкостью и паром, ко-гда скорости процессов испарения и конденсации будут одинаковыми. Образованный при этом пар назы-вается насыщенным, а его темпера-тура – температурой насыщения н .t

Определенной температуре насыщения соответствует оп-ределенное давление насыщенного пара рн. Если увеличить темпера-туру насыщения, скорость движения молекул увеличится и дина-мическое равновесие наступит при более высоком давлении рн. Таким образом, рн = f(tн). Эта зависимость определяется экспериментально и называется кривой насыщения (рис.3.1). Кривая насыщения заканчи-вается критической точкой K. При давлении насыщенного пара, равном давлению окружающей среды, жидкость начинает кипеть. В этом случае температура насыщенного пара называется температурой кипения. Процесс кипения, происходящий при постоянном давлении, имеет постоянную температуру до полного выкипания жидкости.

Насыщенный пар, не содержащий в себе капелек одноименной жидкости, называется сухим насыщенным паром, пар, представляю-щий собой смесь насыщенного пара с одноименной жидкостью, назы-вается влажным насыщенным. Влажный насыщенный пар характери-зуется помимо параметров состояния еще и степенью сухости х, кото-рая равна доле насыщенного пара в парожидкостной смеси. При х = 0имеется только жидкость, а при х = 1 – только сухой насыщенный пар.

Пар, температура которого выше температуры насыщенного пара при том же давлении, называется перегретым. Удельный объем перегретого пара больше, чем у насыщенного, а плотность – мень-ше. При достаточно высоких температурах перегретый пар по своимсвойствам приближается к свойствам идеального газа.

pн

tн

K

Рис.3.1. Схематичное изображение кривой насыщения

41

3.2. Процесс парообразования в координатах р-v

Рассмотрим процесс парообразования из 1 кг воды, взятого при 0 °С, при каком-либо давлении р* (рис.3.2). При нагревании на-чального удельного объема воды 0v он будет расти и при достиже-нии температуры насыщения н ,t соответствущей данному давлению р*, станет равным ,v при дальнейшем нагреве вода будет кипеть при постоянной температуре, равной н .t При этом пароводяная смесь образует влажный насыщенный пар, удельный объем которо-го xv по мере испарения воды будет увеличиваться. В момент пол-ного испарения образуется сухой насыщенный пар с удельным объ-емом .v При дальнейшем нагревании пар становится перегретым,температура и удельный его объем будут расти. Таким образом, в процессе парообразования будет наблюдаться три участка: 0-1 –область жидкого состояния; 1-2 – область влажного насыщенного пара; 2-3 – область перегретого пара.

С повышением давления процесс парообразования начнется при более высокой температуре насыщения, удельный объем воды, нагретой до температуры насыщения, увеличится, точка 1 сместится вправо, а удельный объем сухого на-сыщенного пара умень-шится. Точка 2 при этом сместится влево. Геомет-рическое место точек, со-ответствующих воде, на-гретой до температуры насыщения, образует ниж-нюю пограничную кривую (кривая кипения) АК(рис.3.2). Геометрическое место точек, соответст-вующих сухому насыщен-

p*

p

vv0 v'

10

23

v" v

t > tк

t < tк

t = tк

B

K

x = const

I

II

III

x = 1

А

Рис.3.2. Фазовая диаграмма парообразования при фиксированном давлении р* с обозначениемобластей существования жидкости (I), влажногонасыщенного пара (II) и перегретого пара (III)

42

ному пару KB, образует верхнюю пограничную кривую (кривая кон-денсации). Точка пересечения этих кривых является критической точкой К. Для воды vx = 0,0033 м3/кг, Рк = 221,3∙105 Па, tк = 374,15 °С.В критической точке удельные объемы и плотности воды, нагретой до температуры кипения, и сухого насыщенного пара совпадают, т.е. различие между жидкостью и газообразным состоянием исчезает.

На р-v-диаграмме имеются три характерные области: I –область жидкого состояния, II – область влажного насыщенного па-ра (двухфазного состояния), III – область перегретого пара. В про-цессе парообразования при критическом и более высоких давлениях и достижении критической температуры вода сразу переходит в пар, минуя двухфазную область.

Существование жидкого состояния вещества при температуревыше критической невозможно при любых давлениях. Рассматривая изотермы, нанесенные на р-Т-диаграмму, видим, что при сжатии пара, имеющего t tк, соответствующим повышением давления его можно превратить в жидкость, а при t > tк этого сделать нельзя, поскольку изотерма не проходит через область жидкого состояния.

Определим энтальпию и энтропию воды, нагретой до темпе-ратуры кипения, сухого насыщенного пара и перегретого пара. За начало отcчета энтальпии и энтропии принимается состояние воды в тройной точке А, т.е. iA = 0, sA = 0. Тогда

uA = iA – pAvA = –0,00611·105·0,001 = –0,611 Дж/кг.

Поскольку значение u определяется с точностью до 0,1 кДж/кг,то можно принять uA = 0. При увеличении давления температура плавления воды (льда) уменьшается. Поэтому для определения внут-ренней энергии воды u0 для точек, лежащих на изотерме t = 0 °С, следует воспользоваться первым законом термодинамики

0

0 0 d ,A

v

Av

u u u q p v

43

где q – подводимая теплота, необходимая для поддержания темпера-туры воды 0 С, при увеличении давления.

До давления 100·105 Па сжимаемостью воды можно пренеб-речь и положить q = 0 и u0 = 0. В этом случае энтальпия воды для точек, лежащих на изотерме t = 0 C, i0 = p0v0. Для давления свыше100∙105 Па энтальпия i0 = u0 + p0v0.

Энтальпия воды, нагретой до температуры кипения, опреде-

лится как 0 ж ,i i q где qж, – теплота жидкости, ж0

d ,t

pq c t сле-

довательно, 0 ж .i i q Энтальпия сухого насыщенного пара ,i i r где r – теплота,

идущая на испарение, воды или скрытая теплота парообразования.Энтальпия перегретого пара п ,i i q где qп – теплота пере-

грева, н

п d .t

pt

q c t

Энтропия воды s0 для точек, лежащих на изотерме t = 0 С, может быть принята равной нулю, поскольку

0 000

d0,

273,15

q

Aq q

s s sT

где q – подводимое тепло, необходимое для поддержания темпера-туры воды 0 С при увеличении давления.

Энтропия воды, нагретой до температуры кипения, опреде-лится из равенства

н

0

2

01

d d.

T

pT

q Ts s s c

T T

Из равенства

н н н0 0

d 1d

q qq rs s q

T T T

44

следует, что энтропия сухого насыщенного пара

н

,r

s sT

а из равенства

н

2

1

d dT

pT

q Ts s c

T T

следует, что энтропия перегретого пара

н

d.

T

pT

Ts s c

T

3.3. Диаграммы водяного пара

Изучение процессов водяного пара, ввиду сложности урав-нения состояния, производится с помощью T-s- и i-s-диаграмм

(рис.3.3, 3.4).По табличным

данным н,s T и s", Тн

можно построить в ко-ординатах -T s нижнюю и верхнюю погранич-ные кривые (рис.3.3).Все изобары, проходящие в области жидкости I,вплоть до очень высо-ких давлений совпада-ют с нижней погранич-ной кривой. В области влажного насыщенного пара II изобары и изотер-мы совпадают, в облас-

T

ss' s"

A

pк = const

K

p 1=

cons

t

p 2=

cons

t

x = 1

x = 0I

IIIII

qпqж r

0

a1 b1

d

x = const

c

Рис.3.3. Фазовая диаграмма в координатах -T sсостояний водяного пара

45

ти перегретого пара IIIизобары представляют-ся линиями, близкими к логарифмическим кри-вым. На T-s-диаграмму наносятся линии посто-янной степени сухости(x = const).

Площади под изобарами эквивалент-ны количеству тепла, затраченному на изо-барный процесс: пло-щадь 0-A-al-s' – тепло-те жидкости, площадь s'-a1-b1-s" – скрытой теплоте парообразования, площадь s"-b1-c-d –теплоте перегрева.

Диаграмма i-s (рис.3.4) широко применяется для расчетных целей.

4. ПРОСТЕЙШИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ

4.1. Цикл Ренкина

Большая часть электрической энергии вырабатывается в на-стоящее время с помощью паросиловых установок. В простейшей паросиловой установке (рис.4.1) водяной пар, образующийся в па-рогенераторе 1 за счет теплоты сгоревшего в топке топлива, пере-гревается в пароперегревателе 2 до необходимой температуры и по-ступает в турбину 3, где, расширя-ясь, совершает работу, идущую на получение электрической энергии в генераторе 4. Отработанный пар

x = 0

p к=

cons

t

p з=

cons

t

t3 = const

i

s

K

p 1=

cons

t

p 2=

cons

t

xI

III

II

A

t1 = const

t2 = const

x = const

tA = 0,01 C

Рис.3.4. Фазовая диаграмма в координатах -i sсостояний водяного пара

Охлаждающая вода1

23 4

5

6

Рис.4.1. Функциональная схема простейшей паросиловой установки

46

из турбины поступает в конденсатор, где от него охлаждающей водой отнимается теплота парообразования, и пар переходит в жидкость.Конденсат питательным насосом 6 снова подается в парогенератор.

Цикл Ренкина в координатах p-v и T-s (рис.4.2) состоит из следующих процессов: 1-2 – адиабатическое расширение пара в тур-бине; 2-3 – конденсация пара в конденсаторе при p2 = const до со-стояния кипящей воды; 3-4 – адиабатическое сжатие конденсата в питательном насосе; 4-5-6-1 – процесс подогрева воды до темпера-туры кипения (4-5), испарения воды (5-6) и перегрева пара p1 = constв парогенераторе.

Теплота, идущая на образование водяного пара, на основа-нии первого закона термодинамики составляет

1 1 4 ,q i i

где i1 – энтальпия пара, поступающего в турбину; i4 – энтальпия конденсата, поступающего в парогенератор из насоса.

Количество теплоты, отнимаемой от пара в конденсаторе,

2 2 3,q i i

где i2 – энтальпия отработанного пара, поступающего в конденсатор; i3 – энтальпия кипящей воды в конденсаторе, поступающей в насос.

Т2

ба

5

v

p

l0

q1

dq = 0

1

23

4

x = 0

x = 1

q2

K 6

s

q0

q2

x = 0

x = 1

1

2

4

5

K6

TT1

Tн

3

Рис.4.2. Фазовые диаграммы преобразования водяного пара в цикле простейшей паросиловой установки в координатах p-v (а) и T-s (б)

p 1

p 2

47

Термический КПД цикла Ренкина

1 4 2 3 1 2 4 31 2

1 1 4 1 4

.ti i i i i i i iq q

q i i i i

Для адиабатического процесса расширения пара в турбине располагаемая работа lрт = i1 – i2.

Располагаемая работа, затрачиваемая на адиабатическое сжатие конденсата в насосе, lрт = i1 – i4. Поскольку i4 > i3, то lрн < 0.Абсолютное значение | lрн | = i1 – i4. Таким образом, термическийКПД цикла

рт рн 1| | / .t l l q

Если пренебречь сжимаемостью воды, то при этом

1 2 1 2

1 4

,ti i p p v

i i

где

4 3 1 2 .i i p p v

Полагая 4 3 2 ,i i i где 2i – энтальпия кипящей воды в кон-денсаторе, получим

1 2 1 2/ .t i i i i

Увеличение t в цикле Ренкина, как и любом другом цикле, происходит при повышении средней температуры, подводимой к телу от горячего источника теплоты и понижения средней темпера-туры, отводимой от тела к холодному источнику теплоты. Для по-вышения КПД паросиловых установок используют следующие методы:

1. Повышение начального давления пара р1 (рис.4.2, а). Не-достатком этого метода является уменьшение степени сухости отра-ботанного пара в конце расширения, что ограничивает величину р1

( 0,8 0,86x ).2. Повышение начальной температуры пара Т1 (рис.4.2, б).

Степень сухости отработанного пара увеличивается. Увеличение Т1

48

ограничивается жаропрочностью материалов. В настоящее время максимальными значениями начальных параметров пара являются p1 = 24-30 МПа, T1 = 550-650 °С.

3. Понижение давления в конденсаторе p2 (рис.4.2, а). Прак-тически снижение давления p2 ограничено температурой окружающей среды (воздух, вода рек и озер). Обычно p2 = 0,0025 – 0,004 МПа.

4. Применение промежуточного перегрева пара. Для осуще-ствления промежуточного перегрева пара турбина изготавливается в двух корпусах.

5. Применение регенеративного водоподогрева. Питательная вода, подаваемая в парогенератор, предварительно подогревается в специальных теплообменниках паром, отбираемым из промежуточ-ных ступеней турбины.

4.2. Теплофикационный цикл

Основная потеря теплоты q2, доходящая у паросиловых устано-вок до 50 %, происходит в конденсаторах. Эта теплота уходит с охлаж-дающей водой, имеющей температуру 20-25 °С, поскольку температу-ра отработанного пара при давлении р2 составляет 26-30 °С. Вследствие этого теплота q2 не может быть использована ни для технологических нужд, ни для целей отопления. Для использования теплоты q2 необ-ходимо повысить температуру отработанного пара до 80-100 С, что приводит к увеличению давления р2 до 0,077-0,1 МПа.

При этом уменьшается t и количество вырабатываемой электроэнергии при тех же затратах топлива. Однако внешнему по-требителю будет отпускаться теплота с паром или горячей водой, что увеличит общее использование теплоты. Паросиловые установки,вырабатывающие электрическую и тепловую энергию, называются теплофикационными, а электростанции с комбинированной выра-ботки электроэнергии и теплоты – теплоэлектроцентралями (ТЭЦ).

В теплофикационной установке (рис.4.3, а) отсутствует кон-денсатор, а пар после турбины с повышенными давлением и темпе-ратурой направляется тепловому потребителю (ТП). Отдавая ему теплоту q2, он конденсируется и с помощью насоса возвращается

49

в парогенератор. Таким образом, вместо конденсационного цикла1-2-3-4-5-6-1 используется теплофикационный 4-2-3-4-5-6-1 (рис.4.3, б),а тепло q2 используется для отопительных целей и технологических нужд. Характеристикой комбинированной выработки энергии слу-жит коэффициент использования теплоты

ит 0 2 1/ .l q q

В идеальном случае ит = 1. В реальных условиях ит = 0,6-0,8,что значительно выше КПД для конденсационных установок.

Для получения возможно большего диапазона температур и давлений отработанного пара применяются теплофикационные турбины с промежуточными отбо-рами пара. Согласно принципи-альной схеме ТЭЦ с отбором пара для технологических нужд и ото-пления (рис.4.4) конденсат от теп-ловых потребителей (ТП) и тепло-вых сетей возвращается в пита-тельный бак (ПБ).

Комбинированная выра-ботка тепловой и электрической энергии является одним из основ-ных способов экономии топлива.

Тепловые сети

ТП

ПБ

Рис.4.4. Функциональная схема ТЭЦ

а б

ТП

Рис.4.3. Функциональная схема паросиловой установки (а) и фазовая диаграмма в координатах Т-s преобразования в ней водяного пара (б)

s

3 2

3'4'

q0

x = 1

1

4

56

T

T2q2

2'

2 2р p

2Т

50

4.3. Циклы холодильных установок

Холодильными установками называются устройства, понижаю-щие температуру тела ниже температуры окружающей среды и непре-рывно ее поддерживающие. Холодильные установки применяют при строительстве шахт, каналов, тоннелей для замораживания грунта, для кондиционирования воздуха в глубоких шахтах, при сжижении га-зов и т.д. Холодильные установки работают по обратным циклам, наиболее экономичным из которых является обратный цикл Карно.

Хладоагент (рабочее тело) при адиабатическом расширении по линии 1-2 понижает свою температуру от Т1 до Т2 (рис.4.5). Да-лее, расширяясь изотермически по линии 2-3, он отбирает от охлаж-даемого объекта теплоту q2, эквивалентную площади 2-3-6-5-2. За-тем холодильный агент адиабатически сжимается по линии 3-4 с повышением температуры от Т2 до Т1, после чего изотермически сжимается по линии 4-1 с отводом теплоты q1 к теплоприемнику. При этом | q1 | = q2 + | l0 |. Холодильный коэффициент цикла Карно

2 2 2 2

к0 1 2 1 2 1 2

.q q T s T

l q q T T s T T

Следовательно, холодильный коэффициент тем больше, чем больше температура охлаждаемого объекта Т2 и меньше температура окру-жающей среды Т1. По виду применяемых хладоагентов холодильные

установки делятся на две группы –воздушные и паровые, в послед-них в качестве холодильных аген-тов применяются пары различных веществ, кипящих при низких температурах.

Воздушная холодильная установка (рис.4.6, а) состоит из турбокомпрессора 3, в котором воздух адиабатически сжимается (рис.4.6, б, линия 1-2) с увеличе-нием давления и температуры; ох-ладителя 2, где воздух сжимается

s

1 4

5 Δs 6

T

T2 3

q2

2

T1

Рис.4.5. Фазовая диаграмма обратногоцикла Карно в координатах T-s

51

при постоянном давлении р2 (линия 2-3),отдавая теплоту q1 окружающей среде и понижая свою температуру; турбо-детандера 1, где воздух, расширяясь адиабатически, понижает свою тем-пературу и давление (линия 3-4); ох-лаждаемой камеры 4, где происходит изобарное расширение (линия 4-1) с отводом теплоты q2, от охлаждаемого объекта.

Так как 2 1 4 ,pq c T T а q1 =

2 3 ,pc T T то холодильный коэф-

фициент цикла

1 42

1 2 2 3 1 4

p

p p

c T Tq

q q c T T c T T

2 3

1 4

1.

1T T

T T

(4.1)

Поскольку для адиабатических процессов 1-2 и 3-4

1

32 2

1 4 1

,

k

kTT p

T T p

то выражение (4.1) представится в виде

11

2 2 12

11

1 1.

11

k

k

TT T T

pTp

1

4

3

2a

p1 = const

s

1

4

T

T4

3

2

T1

T3

T2 p2 = const

в

б

dq = 0

v

p

l0

q1

dq = 0

p2

p1

1

23

4q2

Рис.4.6. Функциональная схема воздушной холодильной установки (а) и фазовые

диаграммы преобразованияв ней водяного пара в координатах

p-v (б) и в T-s (в)

52

Холодильный коэффициент воздушной холодильной уста-новки невысок вследствие изобарного подвода и отвода теплоты.

Более выгодными по сравнению с воздушными являются па-рокомпрессионные холодильные установки (рис.4.7, а), позволяю-щие в области влажного насышенного пара приблизить холодиль-ный цикл к обратному циклу Карно, ибо процессы подвода и отвода теплоты в этой области являются изобарно-изотермными.

Сухой насыщенный пар хладоагента всасывается компрессо-ром 3 (рис.4.7, а) и, сжимаясь адиабатически (рис.4.7, б, линия 1-2),повышает давление от р1, до р2 и температуру от Т1 до Т2, становясь перегретым. Далее он направляется в конденсатор 2, где при посто-янном давлении отдает охлаждающей его среде (вода, воздух) теп-лоту q1, становясь жидкостью при температуре Т3 (линия 2-3). Из конденсатора хладоагент поступает в дроссельный вентиль 1, где давление его понижается от р2 до р1 (линия 3-4), что сопровождается также понижением температуры от Т3 до Т1 и частичным испарени-ем жидкости при i = const.

В испаритель 5 в охлаждаемой камере 4 попадает влажный на-сыщенный пар хладоагента с малой степенью сухости, жидкость, со-держащаяся в нем, испаряется при постоянных давлении р1 и темпера-туре Т1 (линия 4-1), отнимая теплоту q1 от охлаждаемого объекта. При этом пар становится сухим насыщенным. Далее цикл повторяется.

a

1

4

3

2

5

б

Рис.4.7. Функциональная схема парокомпрессионной холодильной установки (а) и фазовая диаграмма преобразования в ней водяного пара (б), изображенная

в координатах T-s

s

1

T

3

2

T1

T2

q2

K

T3

4

x=

0

x = 1

53

Количество теплоты, отбираемое рабочим телом массой 1 кгот охлаждаемого объекта (удельная хладопроизводительность),

2 1 4 1 3.q i i i i Количество теплоты, отдаваемое хладоагентом,

1 1 3.q i i Работа, затрачиваемая на сжатие хладоагента в компрессоре,

0 1 2 2 3 1 3 2 1,l q q i i i i i i

холодильный коэффициент парокомпрессионной установки

2 0 1 3 2 1/ / .q l i i i i

Если известна хладопроизводительность установки Q0 (коли-чество теплоты, отбираемое от охлаждаемого объекта в единицу вре-мени), то можно определить количество циркулирующего хладоагентав единицу времени сек 0 2/ ;М Q q теоретическую мощность, потреб-

ляемую компрессором, сек сек 1 2( );N М i i тепловую нагрузку кон-

денсатора к сек 2 3( ).Q М i i К холодильным агентам предъявляют следующие основные

требования: достаточно большой температурный интервал между кри-

тической и тройной точками, в котором должен будет находиться интервал самого цикла;

давление насыщенного пара хладоагента при его испаре-нии в испарителе должно быть по возможности выше атмосферного (чтобы избежать вакуума);

давление насыщенного пара в конденсаторе при темпера-туре конденсации не должно быть слишком высоким;

скрытая теплота парообразования r должна быть макси-мальной.

В качестве хладоагентов парокомпрессионных холодильных установок используются аммиак и фреоны (галоидные производные насыщенных углеводородов), например, фреон-12, углекислый газ и др.

Если температура испарения хладоагента в парокомпресси-онной холодильной установке будет равна температуре окружаю-

54

щей среды Токр, то температура паров хладоагента после сжатия их в компрессоре будет выше температуры окружающей среды и теп-лоту конденсации q1 можно будет использовать для отопительных целей. Установка, работающая по обратному циклу, но служащая для нагревания объекта, называется тепловым насосом (рис.4.8). Ис-точником теплоты испарения могут быть наружный воздух, вода водоемов.

Тепловой насос забирает теплоту q2 у источника теплоты с низкой температурой и передает теплоту q1 потребителям теплоты ТП с более высокой температурой. При этом 1 2 0q q l – работа, затраченная компрессором.

Циклы теплового насоса 1-2-3-4 и холодильной установки1'-2'-3'-4' (рис.4.9) протекают в разных температурных интервалах. Экономичность цикла теплового насоса характеризуется отопитель-ным коэффициентом 1 0 2 0 0/ ( ) / ε 1.q l q l l

Отопительный коэффициент тепловых насосов = 3-4, т.е. потребитель тепла получит в три-четыре раза больше теплоты, чем при обычном электрообогреве и той же затрате электроэнергии l0.Имеются установки, работающие летом как холодильники, а зимой –как тепловые насосы.

q2

q1

ТП

Рис.4.8. Функциональная схема теплового насоса

Tокр

q1

1

2

3

41’

T

3'

4'

2'

s

Рис.4.9. Цикл теплового насоса и холодильной установки

в координатах T-s

x = 1

x=

0

55

5. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРМОДИНАМИКИ НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ

5.1. Основные понятия термодинамики необратимых процессов

Характерной особенностью равновесной термодинамики яв-ляется существование принципов экстремумов. Для изолированных термодинамических систем энтропия возрастает и достигает макси-мума в состоянии равновесия. Параметры состояния, характери-зующие равновесные или термодинамические системы, относятся к системе в целом.

При наличии в системе необратимых процессов термодина-мические параметры (давление, температура, концентрация и т.п.) необходимо относить к отдельным участкам системы, т.е. они опре-деляют локальные (местные) макроскопические характеристики системы.

В термодинамике необратимых процессов рассматриваются неравновесные явления, протекающие с конечной скоростью. Эти явления, как правило, характерны для открытых термодинамических систем, процесс взаимодействия которых с окружающей средой происходит путем обмена потоками вещества, энергии и энтропии.

Потоки вещества, энергии и энтропии представляют собой величины, равные скалярному произведению потока вектора A

и век-

тора площади ,F

расположенного нормально к направлению вектора,

, .N A F

(5.1)

Например, для теплового и массового потоков это выраже-ние принимает вид законов Фурье и Фика:

т grad ;q T

(5.2)

д 0 grad ,j D c

(5.3)

56

где 0D и – коэффициенты диффузии и теплопроводности, а gradT

и grad c – градиенты температуры и концентраций. В простейшем случае, для одномерных потоков градиенты температур и концен-траций записываются в виде:

т ;xT

q ex

д 0 ,xc

j D ex

где xe

– единичный вектор, направленный по оси х.Основные начала термодинамики, сформулированные для изо-

лированных систем, справедливы и для открытых систем, но имеют локальные выражения. Так, уравнение локального баланса энергии в случае, когда взаимодействие открытой системы с окружающей средойпроисходит по закону Фурье, можно представить в виде:

div grad ,T

a T

(5.4)

где а = /сv – коэффициент температуропроводности; div – функция, характеризующая расходимость вектора градиента температуры.

Таким образом, скорость изменения температуры пропор-циональна расходимости градиента температуры.

Преобразуя уравнение (5.4) с учетом выражения (5.2) и при-нимая во внимание, что для тела с постоянной теплоемкостью удельная внутренняя энергия ,vu с T получим

тdivu

qt

(5.5)

или для всей системы

тdiv ,U

qt

(5.6)

где U u – полная энергия. Выражение (5.6) показывает, что скорость изменения во

времени внутренней энергии системы равна расходимости потока те-плоты (со знаком минус). Для открытой системы всегда предполага-ется источник теплоты, и расходимость (мощность) этого источника дает скорость изменения внутренней энергии в каждой макроточке.

57

5.2. Теорема о производстве энтропии. Термодинамические силы

Теорема о производстве или возникновении энтропии для систем с необратимыми процессами является аналогом второго на-чала термодинамики. В открытых системах изменение энтропии dsопределяется двумя факторами: поступлением части энтропии des

из окружающей среды и возникновением другой части энтропии di sв самой системе. Поэтому для открытой системы полное изменение энтропии

d d d .e is S S

Здесь d 0,iS если систему считать изолированной, и d 0iS при

наличии в системе необратимых процессов. Величина deS может быть как положительной, так и отрицательной, а для полностью изолированной системы имеем d 0.eS Если данная система откры-та лишь в смысле обмена с окружающей средой теплотой, то

dde

Qs

T

и при переходе в систему теплоты dQ в условиях заданной темпера-туры перехода T энтропия системы возрастает.

Определяя изменения deS и diS при необратимых процес-сах в системе, следует учитывать поток энтропии и ее зависимость от времени. Рассматривая локальные параметры, вводим удельную энтропию s

на единицу массы, отмечая, что энтропия – величина

экстенсивная. Здесь величина полной энтропии для некоторой мак-роточки ρ ,S s

где ρ – плотность вещества, а для всего объема V

системыρ d ,

V

S s V

где параметры ρ и s

распределены в данном объеме по некоторому закону. Тогда поток энтропии через поверхность , ограничиваю-щую систему,

58

d( , )

de

sS

j dt

– поступление наружной энтропии за единицу времени; sj

– пол-ный удельный поток энтропии для единицы поверхности за едини-цу времени.

Для источников энтропии внутри системы введем понятие интенсивности θ, определяющее производство энтропии на единицу объема за единицу времени. Тогда

dθd .

di

V

SV

t

Запишем уравнение баланса. Поскольку

d ρd dd, т.е. d θd div d ,

d d d di e

sV V V

sS SSV V j V

t t t t

то d ρ

div θ d 0,d s

V

sj V

t

что дает дифференциальное уравнение баланса энтропии

d ρdiv θ,

d ss

jt

(5.7)

где θ 0.Уравнение (5.7) представляет локальную формулировку вто-

рого начала для открытых систем, в которых скорость изменения энтропии представлена двумя слагаемыми – внешним потоком энтро-пии и скоростью производства энтропии в системе необратимыми про-цессами.

Представленная теорема об энтропии носит общий характер. Рассмотрим частный случай применительно к процессам теплопро-водности. Для этого в уравнение баланса энергии (5.7) подставим выражение для дифференциала удельной внутренней энергии d d .u T s

Получим:

1ρ div .T

sj

t T

(5.8)

59

Осуществив далее необходимые тождественные преобразова-ния (вносим величину 1/T под знак дивергенции и учитываем разло-жение дивергенции от произведения скаляра и вектора), получим:

1ρ div ,grad1/T T

sj j T

t T

2

1div ,grad .T

Tj

j TT T

(5.9)

Из структурного сходства формул (5.9) и (5.7) следует:

,Ts

jj

T

2

θ ,grad .Tj TT

(5.10)

Поскольку плотность потока теплоты grad ,Tj T

то урав-нения (5.10) можно представить так:

λgrad ,sj T

T

2grad

θ λ .T

T

(5.11)

Из первого соотношения (5.11) следует, что поток энтропии в систему из окружающей среды тем больше, чем выше градиент температуры, и пропорционален коэффициенту теплопроводности λматериала. Поскольку λ 0, то согласно второму уравнению (5.11) в системе производится положительная энтропия, пока имеется гра-диент температуры.

5.3. Теория Онзагера. Принципы линейности и взаимности в сложных процессах

Предыдущие параграфы данного раздела отражают исход-ные понятия и положения общей теории неравновесных процессов. Теория Онзагера последовательно развивает эти вопросы и содер-жит в своей основе два принципа: линейности; взаимности кинети-ческих коэффициентов.

60

В принципе линейности утверждается, что вблизи состояния термодинамического равновесия скорость необратимого процесса прямо пропорциональна термодинамической силе. В наиболее про-стой форме этот принцип сводится к тому, что скорость процесса пропорциональна градиенту величины, определяющей собой дан-ный процесс.

Принцип основан на представительной выборке эксперимен-тов из различных областей физики и химии. Из опытов по теплопро-водности следует, что количество переносимой теплоты пропорцио-нально градиенту температуры. Результатом изучения диффузии явилось мнение, что количество переносимой массы пропорцио-нально градиенту концентрации.

В электродинамике закон Ома утверждает, что электриче-ский ток в проводнике как количество переносимого электричества за единицу времени пропорционален градиенту электрического по-тенциала. Как показал Онзагер, следует принимать во внимание не сами градиенты температуры, концентрации и прочих величин, а соответствующие термодинамические силы, пропорциональные гра-диентам. Понятие термодинамической силы в достаточной степени условно в смысле физической интерпретации, однако для большин-ства природных и лабораторных процессов они имеют достаточно строгое математическое выражение:

для теплопроводности т1

grad ;X TT

для диффузии д grad / ;X T T

для электростатики э grad .X

Скорость процесса определяется как плотность потока энер-гии, вещества, количества электричества и пр. за единицу времени, протекающих через единицу поверхности. Согласно определению скорости процесса, принцип линейности можно представить соот-ношением

,j LX

(5.12)

где множитель L называется кинетическим коэффициентом. Для процессов теплопроводности и диффузии роль таких коэффициен-

61

тов играют соответственно коэффициент теплопроводности т λL и

коэффициент диффузии д ;L D для процесса течения электричества

э σL – удельная электропроводность металла.Таким образом, кинетический коэффициент определяет не-

которую проводимость как величину, обратно пропорциональную сопротивлению и облегчающую собой течение процесса. При неиз-менных значениях X

скорость процесса тем больше, чем выше ки-

нетический коэффициент .LВ принципе взаимности кинетических коэффициентов тео-

рия Онзагера касается описания сложных процессов, состоящих из наложения семейства более простых (элементарных) явлений. При-мером последних могут служить явления диффузии и теплопровод-ности, наложение которых приводит к сложному явлению, пред-ставляемому в форме двух процессов. Первый из них известен как эффект Дюфура (1873): при смешении двух химически не реаги-рующих друг с другом газов при одинаковой температуре возникает температурный градиент. Например, смешивание водорода с азотом при одинаковой начальной температуре приводит к разности темпе-ратур в смеси в несколько десятков градусов.

Второй процесс назван термодиффузией (опыты Соре, 1893): в бинарных смесях жидкостей при ненулевой разности температур появляется градиент концентрации компонентов. Если гомогенизи-рованную двухкомпонентную жидкую смесь поместить в неодно-родное температурное поле, то возникает градиент температуры без покомпонентного разделения, но с последующим появлением тер-модиффузионного потока, состоящего в образовании градиента кон-центрации отдельных компонент.

Эффект Дюфура и эффект термодиффузии обратны друг другу: диффузия влияет на теплопроводность, а последняя иниции-рует диффузию.

Пусть в системе протекают одновременно два процесса и имеется градиент концентрации растворенного вещества одновре-менно с градиентом температуры. Тогда одновременно возникают поток тепла и поток вещества с разными термодинамическими си-

лами 1X

и 2X

. Взаимное влияние обоих процессов порождает но-

62

вый эффект. Скорости процессов в данном случае выражаются в ви-де системы двух уравнений

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

;

.

j L X L X

j L X L X

(5.13)

Если первый поток 1j

соответствует потоку теплоты, то из первой формулы (5.13) видно, что он зависит, во-первых, от процесса

теплопроводности с термодинамической силой 1 тX X

и коэффици-

ентом теплопроводности 11 λ,L во-вторых, на этот процесс будет влиять перенос вещества при диффузии, что соответствует термоди-

намической силе 2 дX X

и кинетическим коэффициентом 12,L на-

зываемым перекрестным. Во втором потоке 2j

обозначения термодинамических сил те

же, но кинетический коэффициент в диффузионном слагаемом отве-чает коэффициенту диффузии 22 ,L D а 21L в температурном членетакже является перекрестным.

Увеличивая число накладывающихся друг на друга, взаимо-действующих и обусловливающих друг друга элементарных явле-ний, мы тем самым увеличиваем число уравнений в (5.13), в системе которых диагональные кинетические коэффициенты 11,L 22 ,L 33 ,L

…, nnL отвечают прямым процессам, тогда как остальные кинетиче-

ские коэффициенты ,jkL j k соответствуют процессам взаимного

влияния. Для тройных взаимодействующих процессов также можно показать несколько примеров:

одновременные потоки энергии (теплоты) 1j

и диффузии

2j

и 3j

двух веществ, т.е. термодиффузия в двухкомпонентной сис-теме;

процесс теплопроводности в анизотропном кристалле, ко-гда потоки 1 2 3, ,j j j

являются потоками теплоты по трем осям;

электрический ток 1j

и диффузия 2, 3j j

двух различных по

знаку и подвижностям ионов.

63

Свойство взаимности кинетических коэффициентов пред-ставляется в виде: ,jk kjL L т.е. кинетические коэффициенты при

перекрестных процессах равны друг другу. Как уравнения (5.13), так и свойство взаимности были выведены методами статистической физики при анализе затухания флуктуаций в системе вблизи термо-динамического равновесия.

В теории Онзагера установлено, что при взаимодействии не-скольких процессов произведение интенсивности (скорости произ-водства энтропии) θ на абсолютную температуру T равно сумме про-изведений потоков на соответствующие термодинамические силы

θ , .k kk

T j X

(5.14)

Формула (5.14) является общим выражением для скорости образования энтропии и применяется для решения задач неравно-весной термодинамики как общий феноменологический закон.

5.4. Синергетика. Диссипативные структуры.Явление самоорганизации

Научное направление, изучающее связи между элементами структуры (подсистемами), которые образуются в открытых систе-мах, вследствие интенсивного обмена потоками вещества и энергии с окружающей средой в неравновесных условиях, получило назва-ние синергетика.

В неравновесной термодинамике необратимый процесс вы-ступает, с одной стороны, как разрушитель порядка вблизи состоя-ния равновесия, а с другой стороны, как создатель порядка вдали от равновесия, т.е. несет в себе свойство дуалистичности.

В отличие от равновесных систем, которые переходят в со-стояние с минимальной свободной энергией, неравновесные систе-мы могут развиваться непредсказуемо, т.е. их состояние не всегда однозначно определяется макроскопическими уравнениями. Причи-ной такого поведения неравновесной системы считают ее способ-ность переходить к разным состояниям при одном и том же наборе

64

условий в силу флуктуаций, малых неоднородностей в системе, ее дефектов и прочих случайных факторов.

В общем случае невозможно предсказать, к какому конкрет-но состоянию перейдет конкретная система. Приобретаемые ею но-вые состояния являются состояниями упорядоченными, т.е. обла-дающими пространственно-временной организацией: вихри в пото-ках жидкости, неоднородности в концентрациях, распределение дислокаций и трещин в композите – в данных примерах можно на-блюдать геометрические формы с высокой степенью симметрии и(или) периодические временные процессы. Для таких неравновес-ных систем выявлено фундаментальное свойство, состоящее в их способности переходить в упорядоченное состояние в результате флуктуаций (порядок через флуктуации). В природных системах следствием неравновесных процессов является преобразование энергии упорядоченного движения в теплоту с рассеянием послед-ней (диссипацией) во внешнее пространство. Соответственно, упо-рядоченные структуры, сопровождающие неравновесные процессы и рассеяние энергии, называются диссипативными.

Когда система переходит в состояние, далекое от равновес-ного, устойчивость термодинамической ветви уже не обеспечивает-ся. Для понимания точных условий неустойчивости и последующего поведения системы необходимо рассматривать кинетические и гид-родинамические характеристики. Потерю устойчивости неравновес-ного состояния анализируют, обращаясь к общей теории устойчиво-сти нелинейных дифференциальных уравнений. При этом исполь-зуются неоднозначность решений, симметрия, включая бифуркации или ветвления новых решений дифференциальных уравнений.

Общий вид дифференциального уравнения, определяющего временную эволюцию системы, можно задать как

, ,kk i

XZ X

t

(5.15)

где – параметр, позволяющий удерживать систему в неравновес-ном состоянии; kZ – определяет скорость неравновесного процесса в случае однородной системы, а для неоднородной системы содер-жит частные производные, учитывающие явления переноса, при

65

достижении параметром определенного значения термодинами-ческая ветвь становится неустойчивой, но появляются возможные новые решения – система осуществляет переход из одного упорядо-ченного состояния в другое; параметр Xi может быть как функцией координат ,r

так и функцией времени ,t имеет смысл параметра

состояния системы.Одним из свойств диссипативных структур является элемент

симметрии. Она же свойственна уравнению (5.15). Например, в изо-тропной системе это уравнение должно быть инвариантным относи-тельно изменения знака пространственных координат, т.е. относи-тельно преобразования .r r

Тогда, если ,X r t

и ,X r t

яв-

ляются решениями (5.15), то они представляют зеркальное отобра-жение друг друга. Следовательно, уравнение (5.15) описывает про-странственно-временную динамику характеристического параметра X системы, обусловленную развитием в последней неравновесных процессов. Тогда возникновение в этих условиях устойчивого со-стояния будет формально отображаться наличием стационарного решения ,skX устойчивость которого предполагает исследование эволюции δ ,k sk kX X где δk – малое возмущение. Указанное состояние устойчивое, если данное возмущение затухает экспонен-циально, что реализуется, когда параметр λ меньше некоторого критического значения .c В случае λ λc решение (5.15) приобре-тает неустойчивый характер, причем в окрестности критического значения параметра λ семейство этих решений допускает развитие неравновесного процесса, обладающего своей амплитудой :k

, ,λ λ α ψ , .sk c k kX r t X r t

(5.16)

При этом величина αk не является фиксированной и удовлетворяет уравнению, по структуре подобному (5.15):

dαα ,λ .

dk

kGt (5.17)

66

Уравнение (5.17) называется бифуркационным и нарушает двукратную симметрию (рис.5.1).

Множественность решений (5.17) соответствует множест-венности решения уравнения (5.15), т.е. очевидна взаимосвязь таких эффектов как неустойчивость, симметрия и множественность реше-ний, составляющая основу диссипативного структурирования.

Как отмечалось выше, в ходе неравновесных процессов при некотором критическом значении внешнего потока из неупорядо-ченных и хаотических состояний за счет потери их устойчивости могут возникать упорядоченные состояния, создаваться диссипатив-ные структуры.

Классическим примером возникновения структуры из пол-ностью хаотической фазы являются конвективные ячейки Бенара (рис.5.2). В 1900 г. была опубликована статья Х.Бенара с фотогра-фией структуры, по виду напоминавшей пчелиные соты.

Эта структура образовалась в ртути, налитой в плоский ши-рокий сосуд, подогреваемый снизу, после того как температурный градиент превысил некоторое критическое значение. Весь слой рту-ти (или другой вязкой жидкости) распадался на одинаковые верти-кальные шестигранные призмы с определенным соотношением ме-жду стороной и высотой (ячейки Бенара).

В центральной области призмы жидкость поднимается, а вблизи вертикальных граней – опускается. Возникает разность температур

а б

Рис.5.2. Ячейки Бенара: а – общий вид структуры; б – отдельная

ячейка

Рис.5.1. Последовательные бифуркацииА и А' – точки первичных бифуркаций

из ветви; В и В' – точки вторичных бифуркаций

A A'

B

B'

k

1 2

67

между нижней и верхней поверхностью Т = Т2 – Т1 0. Для малых до критических разностей Т Ткp жидкость остается в покое, теп-лота снизу вверх передается путем теплопроводности. При достиже-нии температурой подогрева критического значения Т2 = Ткp (соот-ветственно Т = Ткp) начинается конвекция. При достижении кри-тического значения параметра Т рождается пространственная дис-сипативная структура.

При равновесии температуры Т2 = Т1, Т = 0. При кратко-временном подогреве (подводе теплоты) нижней плоскости, т.е. при кратковременном внешнем возмущении температура быстро станет однородной и равной ее первоначальному значению. Возмущение затухает, а состояние – асимптотически устойчиво. При длительном, но до критического значения подогреве (Т Ткp) в системе снова установится простое и единственное состояние, в котором происхо-дит перенос к верхней поверхности и передача его во внешнюю сре-ду (теплопроводность). Отличие этого состояния от равновесного состоит в том, что температура, плотность, давление станут неодно-родными. Они будут приблизительно линейно изменяться от теплой области к холодной.

Увеличение разности температур Т, т.е. дальнейшее откло-нение системы от равновесия, приводит к тому, что состояние не-подвижной теплопроводящей жидкости становится неустойчивым. Это состояние сменяется устойчивым состоянием, характеризую-щимся образованием ячеек.

6. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В РУДНИЧНОМ ВОЗДУХЕ И ГОРНОМ МАССИВЕ

6.1. Термодинамические свойства рудничного воздуха

Воздух, движущийся по горным выработкам, заполняющий трещины и пустоты в горном массиве, представляет собой одну из термодинамических систем. Состоящий из кислорода, азота, углеки-слого газа, небольшого количества инертных примесей, воздух все-гда содержит некоторое количество водяного пара. Эта смесь сухого воздуха с водяным паром называется влажным воздухом.

68

К основным термодинамическим параметрам влажного воз-духа относятся влажность , парциальное давление насыщенного пара пн, влагосодержание d, плотность , теплосодержание i.

С достаточной для технических расчетов точностью можно считать, что влажный воздух подчиняется всем законам смеси иде-альных газов. Каждый газ, в том числе и пар, входящий в состав смеси, занимает тот же объем V, что и вся смесь. Он имеет темпера-туру смеси Т, находится под своим парциальным давлением рi, ко-торое определяют по уравнению Клапейрона (1.15).

Отношение массы газа Мi к объему смеси V называется кон-центрацией i данного газа в смеси.

Сумма парциальных давлений газовых компонентов смеси равна полному давлению смеси (закон Дальтона):

p = p1 + p2 + p3 + … + pi = pi. (6.1)

Влажный воздух можно в первом приближении рассматри-вать как бинарную смесь, состоящую из водяного пара и приведен-ного однородного газа – сухой части атмосферного воздуха, эффек-тивный молекулярный вес которого в = 29. Тогда барометрическое давление влажного воздуха рб будет равно сумме парциальных дав-лений сухого воздуха pв и водяного пара рп, т.е.

рб = рв + рп. (6.2)

Смесь, которая состоит из сухого воздуха и перегретого во-дяного пара, называют ненасыщенным влажным воздухом, а смесь, состоящую из сухого воздуха и насыщенного водяного пара, – на-сыщенным влажным воздухом.

Относительная влажность воздушно-паровой смеси пред-ставляет собой отношение концентрации водяного пара ненасыщен-ного воздуха к концентрации водяного пара насыщенного воздухапри одинаковых температурах и давлениях:

п

пн

ω,

ω (6.3)

где п – концентрация водяного пара ненасыщенного воздуха, кг/м3;пн – концентрация водяного пара насыщенного воздуха, кг/м3.

69

Из выражения (6.3) следует, что относительная влажность насыщенного влажного воздуха равна единице.

Относительную влажность воздуха можно также выразить отношением парциальных давлений водяного пара. Для этой цели воспользуемся уравнением Клапейрона (1.15):

п

пн

,p

p (6.4)

где рн и рпн – соответственно, парциальное давление ненасыщенного пара и давление насыщенного пара при температуре воздушно-паровой смеси, Па.

Давление насыщенного водяного пара является функцией только температуры. Оно может быть найдено по таблицам или с известным приближением по формуле

нпн

н

360 18,7133,3exp .

236

tp

t

(6.5)

Величину относительной влажности воздуха часто выража-ют в процентах, = ∙100% = п/пн∙100%.

Влагосодержание влажного воздуха есть отношение массы пара к единице массы сухого воздуха, содержащегося в смеси, т.е.

п

в

,М

dМ

(6.6)

где Мп и Мв – соответственно масса пара и масса сухого воздуха, г, кг.Из уравнения Клапейрона для пара и воздуха с учетом зна-

чений молекулярного веса пара п = 18, молекулярного веса воздуха в = 29 можно получить выражение для определения влагосодержа-ния (кг/кг сух. возд.)

пн

б пн

0,622 .p

dp p

(6.7)

Влагосодержание воздуха пропорционально барометрическому давлению и является функцией только парциального давления пара.

Величина барометрического давления атмосферного воздуха на уровне моря в среднем составляет 760 мм.рт.ст. (101,3∙103 Па) и колеб-лется в пределах от 720 до 800 мм.рт.ст. (от 96 ∙103 до 106,8 ∙103 Па).

70

С изменением высоты над уровнем моря барометрическое давление изменяется и его можно вычислить с достаточной точно-стью по формуле

3

010

/ exp ,810,029h

hp p

t

(6.8)

где h – высота над уровнем моря, м; t – средняя температура возду-ха на участке между уровнем моря и рассматриваемой точкой, C; p0 – давление над уровнем моря, в среднем p0 = 760 мм.рт.ст. (101,3·103 Па); ph – искомое давление на высоте h.

Повышение барометрического давления с увеличением глу-бины Н можно определить по формуле

pн = p0 + gHв, (6.9)

где в – плотность столба воздуха высотой Н при средней темпера-туре t, кг/м3; g – ускорение свободного падения, м2/с.

Плотность влажного воздуха представляет собой отноше-ние массы воздушно-паровой смеси к объему этой смеси:

ρ .М

V (6.10)

Выразив отношение Mп через концентрации сухого возду-ха в и водяного пара п, а последние через влагосодержание, по-лучим:

б пв 3 3

273ρ 1,293 0,378 ,

101,3 10 101,3 10

p p

Т

(6.11)

где pп – парциальное давление пара, находится из формул (6.4), (6.5).Из выражения (6.11) видно, что влажный воздух всегда легче

сухого, так как молекулярный вес пара меньше молекулярного веса воздуха. Таким образом, чем больше величина pп, тем легче будет воздушно-паровая смесь. Однако это будет справедливо только в том случае, когда молекулярный вес паров меньше молекулярного веса воздуха. Если молекулярный вес пара какого-либо вещества (например, паров бензола) будет больше молекулярного веса воздуха,то картина наблюдается обратная (подобные случаи встречаются в практике промышленной вентиляции).

71

Влияние температуры на плотность смеси в обоих случаях будет одинаковым: с повышением температуры плотность смеси начнет уменьшаться, и наоборот.

Удельную теплоемкость влажного воздуха ссм относят, как и влагосодержание, к единице массы сухой части воздуха:

св.в = св + сп, (6.12)

где св – средняя удельная теплоемкость сухого воздуха (для темпе-ратур в интервале 0-100 С принимают св = 1,005 кДж/(кгК); сп –средняя удельная теплоемкость водяного пара, сп = 1,8 кДж/(кгК).

Удельное теплосодержание сухого воздуха (энтальпия)

i = свt, (6.13)

где t – температура воздуха, С.Удельное теплосодержание насыщенного пара (энтальпия)

определяется выражением

iнп = iж + r = сж tж + r, (6.14)

где iж – теплосодержание жидкости, кДж/кг; сж – теплоемкость жид-кости, кДж/(кг∙К); r – удельная теплота испарения, кДж/кг; tж – тем-пература жидкости, С.

Величина r зависит от температуры жидкости, и ее можно определить по следующей эмпирической формуле, предложенной Н.И.Фильнеем

r = 2500 – 2,38tж. (6.15)

Энтальпия насыщенного пара равна

iн.п = 2500 + 1,8068tж. (6.16)

Удельное теплосодержание перегретого пара (энтальпия), содержащегося во влажном воздухе при температуре t, составляет

iп.п = iн.п + сп(t – tж) (6.17)

или

iп.п = 2500 + 1,8068t. (6.18)

72

Таким образом, теплосодержание как перегретого, так и на-сыщенного пара равно сумме теплосодержания его при 0 С и теп-лоты перегрева от 0 до t.

Теплосодержание влажного воздуха (энтальпия) обычно от-носят к единице массы сухого пара (к 1 кг):

i = 1,005t + (2500 + 1,8068t)d (6.19)или

i = св.вt + 2500d,

где св.в = 1,005 + 1,8d.Л.К.Рамзин, используя выражение (6.19), построил i-d-диа-

грамму, которая широко применяется в расчетах сушки, кондицио-нирования воздуха и в ряде других расчетов, связанных с изменени-ем состояния влажного воздуха. Эта диаграмма выражает графиче-скую зависимость основных параметров воздуха (t, , рп, d и t) при заданном барометрическом давлении.

С помощью i-d-диаграммы на основании двух любых извест-ных параметров воздуха можно найти и остальные его параметры.

6.2. Теплофизические свойства горных пород

Теплофизические свойства горных пород: теплопровод-ность, ; теплоемкость c; температуропроводность а (м2/c); теплоус-вояемость b, определяющие процессы распространения теплоты, зависят от их химического состава, кристаллической системы со-ставляющих минералов, их размеров, содержания кристаллической и стекловидной (аморфной) фаз, пористости, степени насыщения влагой, температуры, давления и т.д.).

Коэффициент теплопроводности численно равен количеству теплоты, проходящему в единицу времени через две противополож-ные грани единицы объема породы, на которых поддерживается раз-ность температур в один градус. Таким образом, теплопроводность горных пород характеризует их степень проводимости теплоты. Ме-ханизм теплопроводности монолитных горных пород с позиции квантовой теории объясняется переносом энергии электронами и

73

фононами (звуковыми квантами) в потенциальном поле, создаваемом кристаллической решеткой. Фононы возникают в результате наложе-ния колебаний узлов кристаллической решетки твердого тела.

При движении по кристаллической решетке фононы, сталки-ваясь друг с другом или с дефектами кристаллической решетки, раз-рушаются. При этом образуются новые фононы. Фонон, обладая не-которой длиной свободного пробега lф, переносит энергию на эту длину. Так как количество дефектов в реальных кристаллах очень велико, то время существования каждого фонона незначительно. Это, в свою очередь, сказывается на величине теплопроводности.

Теплопроводность реальных кристаллов и пород, по срав-нению, например, с металлами, сравнительно невелика. Вместе с тем, при увеличении чистоты кристаллов их теплопроводность значительно возрастает. В связи с тем, что породы в абсолютном большинстве являются диэлектриками и полупроводниками, и ко-личество свободных электронов в них мало, теплопроводность их в основном обусловлена фононной (решеточной) составляющей теп-лопроводности (при температуре 300 К электронная составляющая теплопроводности эл 10–8 Вт/(м∙С)).

Зависимость коэффициента теплопроводности монолитных твердых тел от длины пробега фононов lф, а также скорости распро-странения упругих волн vу, плотности пород п и их изохорной удельной теплоемкости сv, предложенная Д.Займаном, имеет вид

= 1/3vуlфпсv. (6.20)

Если рассматривать горную породу как «твердый раствор», образованный совокупностью различных материалов, то, зная теп-лопроводность каждого из минералов, можно вычислить и тепло-проводность самой породы.

Для расчета теплопроводности отдельных минералов реко-мендуется использовать формулу, предложенную А.Миснаром:

пл. пл.

п

273 ( 273)ρλ 0,0132 ,

273i i i

i Ni i

T TA

T M N

(6.21)

где Тп, Тпл.i – соответственно температура пород, при которой осу-ществляется определение i, и температура плавления минерала, С;

74

i – плотность минерала, кг/м3; Мi – атомный вес минерала; Ni – чис-ло атомов в химической формуле; АN – коэффициент, зависящий от сингонии кристалла и определяемый опытным путем, АN соответст-венно равен 1,12 при кубической сингонии, 2,58 – при триклинной, 1,99 – при моноклинной, 2,55 – при гексагональной.

При известных значениях теплопроводностей минералов, слагающих горную породу, для определения теплопроводности по-роды используется следующая последовательность:

все минералы группируются попарно, образуя биминераль-ные смеси;

рассчитываются теплопроводности биминеральных смесей; по найденным теплопроводностям биминеральных смесей

составляются новые, условные, биминеральные смеси и вновь рас-считываются коэффициенты их теплопроводности;

процесс вычислений повторяется до тех пор, пока не оста-нется одна биминеральная смесь с коэффициентами теплопроводно-стей, полученных из теплопроводностей минералов;

суммарный коэффициент теплопроводности этой бимине-ральной смеси принимается равным коэффициенту теплопроводно-сти породы.

Для определения теплопроводности биминеральной смеси ис-пользуется формула, полученная на основе следующих допущений:

частицы одного вещества с теплопроводностью а имеют форму куба;

другое вещество с менее высокой теплопроводностью b

занимает пространство между частицами вещества и более высокой теплопроводностью;

обеспечен достаточно тесный контакт между составляю-щими биминеральной смеси, который позволяет пренебречь тепло-вым сопротивлением контакта;

тепловой поток перпендикулярен ребру куба.Формула имеет вид:

см 1/ 3

(1 λ / λ )λ λ 1 ,

1 (1 λ / λ )l a

l аa l a

vv

(6.22)

75

где vа – относительный объем, занимаемый в биминеральной смеси первым веществом.

Расчет по формуле (6.22) осуществляется два раза. Первый раз при условии, когда в качестве первого выбрано вещество с более высокой теплопроводностью, а второго – с меньшим значением теп-лопроводности биминеральной смеси смλ . Второй раз составляю-щие биминеральной смеси меняются местами (теплопроводность биминеральной смеси смλ ). Расчетный коэффициент теплопровод-ности биминеральной смеси находят по формуле

см = nсм + mсм. (6.23)

Коэффициенты n и m являются характеристикой горной по-роды. Их значения для монолитной горной породы принимаются, равными соответственно 0,4 и 0,6.

Реальные горные породы всегда характеризуются опреде-ленной пористостью, величина которой может изменяться от долей процентов до 10-15 %. Поры оказываются заполненными воздухом (в случае сухих пород) или насыщенными влагой. И в первом, и во втором случаях это приводит к снижению теплопроводности породы по сравнению со значениями, характеризующими абсолютно плот-ные породы. На перенос теплоты через воздушные включения, по-мимо молекулярной составляющей, оказывают влияние излучение и конвекция, которые в определенной степени интенсифицируют про-цесс распространения тепловой энергии. Для установления степени интенсификации процесса теплопереноса вводится так называемое эффективное значение коэффициента теплопроводности. Так, на-пример, при совместном влиянии на теплоперенос молекулярного и лучистого механизмом

4 4п 0эф в п в пор

п в

ελ λ 0,01( 273) 0,01( 273) ,

( )

СТ t d

Т t

(6.24)

где в – коэффициент теплопроводности воздуха, в интервале тем-ператур 0-100 С, в = 0,0244-0,0321 Вт/(м∙С); Тп, tв – соответствен-но температуры пород и воздуха, С; С0 – коэффициент излучения абсолютно черного тела, С0 = 5,7 Вт/(м2К4); п – приведенная сте-

76

пень черноты поверхностей пор (полостей), между которыми проис-ходит лучистый теплообмен, п 0,45-0,60 (предполагается, что однаиз поверхностей находится при температуре пород Тп, а другая – притемпературе воздуха tв); dпор – линейный размер пор (полостей), м.

Расчет суммарной теплопроводности пористой горной поро-ды осуществляется по вышеизложенной методике. При этом воз-душные включения с коэффициентом теплопроводности эф прини-маются за дополнительный минерал, входящий в состав породы, а коэффициентам n и m в формуле (6.23) присваиваются значения, равные 0,3 и 0,7.

Теплоемкость горной породы численно соответствует коли-честву теплоты, необходимому для изменения температуры едини-цы ее массы (объема) на 1 С. Таким образом, теплоемкость породы характеризует способность вещества удерживать или принимать те-плоту в процессе охлаждения или нагревания.

Также как и теплопроводность, теплоемкость горной породы сп может быть рассчитана как сумма относительных теплоемкостей сi составляющих ее минералов

п1

,n

i ii

с с v

(6.25)

где vi – относительное массовое содержание минерала в породе, впористой горной породе vi соответствует значению пористости, сi –теплоемкости воздуха.

Удельная теплоемкость каждого из минералов, входящих в состав породы, рассчитывалась по формуле

3a 4 ,i ii

сс N

М (6.26)

где са – атомная теплоемкость, равная произведению относитель-ной атомной массы на удельную теплоемкость минерала; установ-лено, что са практически для всех минералов постоянна и равна 25 Дж/(мольК).

Температуропроводность горной породы характеризует скорость выравнивания температуры и определяется как отношение теплопроводности к объемной теплоемкости

77

ап = п/спп. (6.27)

Теплоусвояемость горной породы характеризует ее теплоак-кумуляционные свойства. Величина теплоусвояемости вычисляется по формуле

п п п пλ ρ .b с (6.28)

6.3. Температурный режим горного массива

Температурным полем называется совокупность значений температуры в данный момент времени во всех точках изучаемого пространства. Математическое выражение нестационарного темпе-ратурного поля, когда температура каждой точки меняется с течени-ем времени, имеет вид:

Т = f(x, y, z, ). (6.29)

Стационарное, т.е. не изменяющееся во времени темпера-турное поле, описывается зависимостью

t = f(x, y, z); T/ = 0, (6.30)

т.е. температурное поле во времени не изменяется.Температурное поле можно охарактеризовать с помощью изо-

термических поверхностей. Изотермической поверхностью называет-ся геометрическое место точек, имеющих в данный момент времени одинаковую температуру. Одна и та же точка среды не может одно-временно иметь различную температуру, поэтому изотермические поверхности не пересекаются, а либо оканчиваются на поверхности тела, либо целиком располагаются внутри него. Пересечение изотер-мических поверхностей плоскостью дает на этой плоскости следы в виде семейства кривых, называемых изотермами.

Количество теплоты, передаваемое в единицу времени через изотермическую поверхность, называется тепловым потоком dQ, а количество теплоты, проходящее в единицу времени через едини-цу площади S изотермической поверхности q = dQ/dS, называется плотностью теплового потока.

78

Перенос теплоты осуществляется тремя основными спосо-бами: теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением.

Теплопроводность – процесс переноса теплоты в сплошной среде микроструктурными элементами вещества, обусловленный пе-ременностью температур в рассматриваемом пространстве. Внутрен-ний механизм явления теплопроводности подробно описан выше.

В основе переноса теплоты теплопроводностью, как отмеча-лось выше, лежит закон Фурье (см. формулу 5.2).

Конвекция – процесс переноса теплоты при перемещении микроскопических частиц жидкости или газа в пространстве из об-ласти с одной температурой в область с другой. В этом случае пере-нос теплоты в среде неразрывно связан с переносом самой среды

конв ρ ,q vi (6.31)

т.е. в единицу времени через единицу контрольной поверхности нормально к ней проходит масса жидкости ρv

из области с одним

значением энтальпии среды в область с другим значением и вместе с массой переносится энергия qконв. Конвекция теплоты всегда сопро-вождается теплопроводностью, так как при движении жидкости или газа неизбежно происходит соприкосновение частиц, имеющих раз-личные температуры. В результате конвективный теплообмен опи-сывают уравнением

мп конв λ ,q q q Т vi

(6.32)

где тп gradq T – вектор плотности молекулярного переноса (те-

плопроводность), обусловленный неоднородностью поля темпера-туры; конв ρq vi

– вектор плотности конвективного (молекулярно-го) переноса, обусловленный существованием движения среды.

Во многих случаях поток среды частично или полностью ог-раничен поверхностями твердых тел (стенками). Конвективный теп-лообмен между движущейся средой и поверхностью раздела назы-вается конвективной теплоотдачей.

При расчетах теплоотдачи используют закон Ньютона –Рихмана:

dQc = (Tпов – tс)ds, (6.33)

79

где dQc – тепловой поток от жидкости к элементу поверхности; Tпов

и tс – соответственно температура поверхности тела и окружающей жидкой или газообразной среды.

Коэффициент теплоотдачи учитывает конкретные условия процесса и представляет собой количество теплоты, передаваемое в единицу времени с единицы поверхности при разности температур твердого тела и среды, составляющей 1 град.

Роль коэффициента теплоотдачи не аналогична роли, на-пример, коэффициента теплопроводности п в законе Фурье. В то время как величина п – физический параметр среды (вещества), ко-эффициент теплоотдачи представляет собой сложную функцию тепловых и динамических процессов, развивающихся в непосредст-венной близости от поверхности теплообмена. Во всех случаях ве-личина определяется закономерностями развития у поверхности омываемого жидкостью твердого тела, гидродинамического и теп-лового пограничных слоев. Коэффициент теплоотдачи оказывается связанным с толщиной теплового пограничного слоя = ж /тс, где ж – теплопроводность жидкости.

Таким образом, коэффициент теплоотдачи представляет со-бой величину, обратную термическому сопротивлению (Ртс = тс /ж) теплового пограничного слоя.

В свою очередь, значение тс зависит от закономерностей формирования теплового пограничного слоя и определяется приро-дой возникновения движения среды.

Различают свободную и вынужденную конвекцию. Свобод-ной конвекцией называется движение жидкости, вызванное неодно-родным распределением массовых сил, в частности, обусловленное разностью плотности нагретых и холодных слоев, находящихся в поле тяготения. В этом случае нагретые слои, имеющие меньшую плотность, под действием архимедовой силы движутся вверх и, на-оборот, охлажденные слои движутся вниз.

Вынужденной конвекцией называется движение жидкости, вызванное действием внешних поверхностных сил, создаваемых ра-ботой насосов, вентиляторов, ветра и т.д. Вынужденное движение в общем случае может сопровождаться свободным движением. Доля и перенос теплоты свободной конвекцией тем больше, чем больше

80

разница температур отдельных частей среды и чем меньше скорость вынужденного движения.

Численные значения коэффициента теплоотдачи изменя-ются в широких пределах: при свободной конвекции воздуха – 5-25, воды – 20-100, при вынужденной конвекции воздуха – 10-200, воды –50-10000, для кипящей воды – 3000-100000 Вт/(м2К).

Теплообменом излучением (лучистым теплообменом) назы-ваются процессы превращения внутренней энергии вещества в лу-чистую (в энергию фотонов или электромагнитных волн), распро-странения этой энергии в пространстве и поглощения ее другими телами с последующим превращением во внутреннюю энергию.

Тепловое излучение сосредоточено между длинами волн от 10–3 до 0,710–6 м. Большинство твердых и гладких тел имеет сплошной (непрерывный) спектр излучения, т.е. излучает энергию всех длин волн от нуля до бесконечности.

В основе большей части расчетных соотношений лучистого теплообмена, используемых в технике, лежит закон Стефана –Больцмана, в соответствии с которым количество теплоты в единицу времени (тепловой поток) излучением между телами определяется уравнением:

1 2

4 4аб аб

1,2 п 0 пε ,100 100

Т ТQ с F

(6.34)

где Таб1и Таб2

– абсолютная температура тел 1 и 2; Fп – приведенная поверхность излучения тел 1 и 2.

Температурное поле в вещественной среде, в которой процессы переноса теплоты осуществляются теплопроводностью и конвекцией, описывается с помощью дифференциальных уравнений непрерывности (сплошности), энергии и движения. В основе этих уравнений лежат законы сохранения массы, энергии и количества движения.

Уравнение непрерывности для несжимаемой среды ж == const имеет вид:

0.yx zvv v

x y z

(6.35)

81

Используя векторную форму записи, уравнение (6.35) можно записать в виде:

div , 0.v v

(6.36)

Уравнение энергии описывает температурное поле в изучае-мой среде, получено в предположении, что среда несжимаема и од-нородна, а теплота, выделяющаяся в ней, равна Q:

2 2 2

2 2 2.

ρx y zT T T T T T T Q

v v v ax y z cx y z

(6.37)

Уравнение (6.37), введя соответственно обозначения опера-тора Лапласа и субстанциональной производной

2 2 22

2 2 2;

T T TT

x y z

(6.38)

,d x y zDT T T T T

v v vx y z

можно записать в более компактной форме:

DТ/d = а2T + Q/c. (6.39)

Если в изучаемой среде отсутствует конвективный перенос (компоненты скорости движения частиц среды 0x y zv v v ), то

уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности, кото-рое имеет или вид (5.4) или записывается в следующей форме:

Т/ = а2Т + Q/c. (6.40)

При стационарных процессах (Т/ = 0) и отсутствии выде-ления или поглощения теплоты (Q = 0) уравнение (6.39) принимает следующий вид и называется уравнением Лапласа:

2Т = 0. (6.41)

Дифференциальные уравнения описывают бесчисленное множество конкретных процессов. Чтобы выделить рассматривае-

82

мый процесс и однозначно определить его, к системе дифференци-альных уравнений присоединяются условия однозначности, которые дают математическое описание всех частных особенностей рассмат-риваемого явления (позволяют численно определить постоянные интегрирования при решении дифференциальных уравнений и неко-торые постоянные параметры среды). Условия однозначности со-стоят из:

геометрических условий, характеризующих форму и раз-меры тела или системы, в которой протекает процесс;

физических условий, характеризующих физические свой-ства среды;

временных или начальных условий, характеризующих осо-бенности процесса в начальный момент времени;

граничных условий, определяющих особенности протека-ния процесса на границах жидкой или твердой среды.

Задание начальных условий заключается в том, что для не-которого момента времени 0 (обычно полагают 0 0 ) должны

быть известны функции пространственных координат 0, , ,T x y z

1 , ,f x y z ; 0 2, , , , ,v x y z f x y z

. В простейшем случае на-

чальные условия имеют вид:

1 0, , ;f x y z T

2 0, , ;f x y z v

(6.42)

3 0, , ,f x y z p

что соответствует независимости начального распределения полей скорости, давления и температуры от пространственных координат.

В качестве граничных условий для скорости движения жид-костей (уравнения движения) могут быть заданы распределения скоростей жидкости на входе в систему, на большом удалении от рассматриваемой поверхности теплообмена и т.п.

В уравнении энергии (теплопроводности) для искомой функ-ции температуры могут быть заданы следующие граничные условия.

83

1. Граничные условия первого рода, когда на поверхности, ограничивающей исследуемую область, задано распределение тем-ператур как функция координат и времени,

Tпов = (x, y, z, ). (6.43)

В горно-теплофизических расчетах граничные условия пер-вого рода могут быть использованы при постановке задач, описы-вающих температурные поля в породах, окружающих горные вы-работки, при интенсивном испарении влаги с поверхности пород при движении теплоносителя по скважинам или геотермальному коллектору в системах извлечения геотермальной энергии и т.п.

2. Граничные условия второго рода, когда на поверхности в функции координат и времени задана плотность теплового потока, т.е. производная от температуры по нормали к поверхности

пов0 пов

φ( , , , ).Т

q x y zn

(6.44)

Возможен случай задания однородного граничного условия второго рода в форме

0 пов

0,T

n

(6.45)

т.е. в виде условия отсутствия потока теплоты на поверхности телаили так называемой тепловой изоляции. Такое условие часто задает-ся при равномерном обогреве поверхности тела, имеющего геомет-рическую симметрию. Симметричный прогрев пластины толщиной 2R(|х | < R) является физической моделью для исследования форми-рования температурных полей в ленточном целике, когда на ограни-чивающих поверхностях х = R с помощью инфракрасных излуча-телей задана плотность тепловых потоков q1 = q2 = q0. В этом случае на поверхности х = R задан тепловой поток q0, а в центре симметрии пластины х = 0 условие (6.35).

Другой пример задания условия второго рода относится к формированию в горном массиве заданного температурного распре-деления с помощью установленной в выработке холодильной машины.

84

Плотность теплового потока при этом равна отношению тепловой мощности холодильной машины Q() к поверхности выработки пF ,

т.е. q = Q()/Fп.3. Граничные условия третьего рода, в которых тепловой по-

ток предполагается пропорциональным разности температуры по-верхности твердого тела, описываемого жидкостью, Тпов и темпера-туры жидкости t

пов0 пов

λ ( ).Т

Т tn

(6.46)

Граничное условие третьего рода широко применяется в горной теплофизике для исследования температурных полей в сис-теме горный массив – воздушная струя, а также при фильтрации газа и жидкости в пористых средах.

4. Граничные условия четвертого рода сводятся к одновре-менному заданию равенства температур и тепловых потоков на гра-нице раздела , когда решается задача о теплообмене двух сред с температурами Т1(x, y, z, ), T2(x, y, z, ), например, твердое тело –жидкость, твердое тело – твердое тело, жидкость – жидкость, в каж-дой из которых перенос теплоты описывается своим уравнением энергии:

Т1 = Т2; (6.47)

1 21 2λ λ .

T T

n n

(6.48)

Равенство (6.47) выражает условие непрерывности температур-ного поля, а равенство (6.48) – закон сохранения энергии на поверхно-сти соприкосновения двух сред (или тел). Условия (6.47) и (6.48) назы-ваются еще условиями идеального теплового контакта, а также не-управляемыми граничными условиями в отличие от граничных усло-вий первого – третьего родов (управляемые граничные условия).

В задачах горной теплофизики граничные условия четверто-го рода в основном используются при вычислении температурных полей в неоднородных по теплофизическим свойствам породных массивах, находящихся в контакте друг с другом, например, бетон-

85

ная закладка – руда, гидравлическая закладка – уголь, бетонная крепь – горный массив.

Таким образом, при конвективном теплообмене твердого тела с жидкостью в случае стационарного температурного поля (Т/ = 0) целесообразно использовать граничные условия третье-го рода – соотношение (6.46), а в случае нестационарного поля (Т/ 0) при точной формулировке задачи необходимо приме-нять граничные условия четвертого рода (6.47), (6.48). В случае нестационарного лучистого теплообмена при большой разности температур поверхности и среды необходимо применять гранич-ные условия второго рода (6.44). При малой разнице температур, когда [Tпов() – t()] 0, можно использовать закон Ньютона, т.е. граничные условия третьего рода.

Особый интерес представляет задание граничных условий на поверхностном соприкосновении двух тел, где происходит агрегат-ный переход вещества (например, вода – лед или лед – вода, твердая порода – расплав или расплав – твердая порода). Температурные поля в каждом из этих тел описываются уравнениями энергии типа (6.39) или (6.40), а соотношение (6.48) на границе раздела заменяетсяграничным условием Стефана:

1 21 2 фаз ,

Т T dL

n n d

(6.49)

где Lфаз – теплота агрегатного перехода, Дж/кг.В качестве примера использования приведенных уравнений

установим характер распределения геотемпературного поля. Осо-бенности его формирования определяются взаимодействием внут-ренних и внешних источников и стоков теплоты. Внутренние источ-ники являются относительно стабильными (радиоактивный распад, гравитационная дифференциация и пр.) и с их действием связано повышение температуры пород с глубиной. Основной внешний ис-точник – переменная во времени солнечная радиация, вызывающая периодические температурные колебания горного массива, зату-хающие на определенной глубине от поверхности Нгтз, называемой глубиной гелиотермозоны или глубиной нейтрального слоя.

86

Нормальное геотемпературное поле верхних участков зем-ной коры характеризуется сравнительно быстрым ростом темпера-туры пород с глубиной Н. На его общем фоне происходят связанные со строением массива пород, рельефом поверхности Земли, гидро-геологическими условиями и другими факторами изменения, опре-деляющие вариации и аномалии геотемпературного поля.

Температурный режим поверхности Земли в конкретном районе характеризуется переменной во времени температурой по-верхности почвы, связанной с температурой атмосферного воздуха в данном районе t:

Tпов = Tср + АТsin(2/max), (6.50)

где Тср – среднегодовая температура почвы, С, Тср = tср + 2; tср –среднегодовая температура воздуха, С, AT At – 2,5; АТ и Аt – ам-плитуда колебаний температуры почвы и воздуха на поверхности Земли, С; – время от начала перехода температуры воздуха через среднегодовое значение в весенний период (апрель) до текущего момента; max – продолжительность года, max = 8760 ч.

Соотношение (6.50) представляет собой граничное условие к уравнению (6.40), которое для рассматриваемого случая (поверх-ность Земли считается плоской, горный массив моделируется полу-ограниченным телом, координата х отсчитывается от поверхности вглубь Земли) принимает вид:

2

1 2.

T Ta

x

(6.51)

Начальным условием к уравнению (6.51) является равенство температуры пород Т(х, ) среднегодовой температуры почвы Тср, а дополнительное граничное условие формулируется как отсутствие изменения температурного поля на некоторой глубине Н, т.е. Т1(х, Н) Тср.

Решение уравнения (6.51) при данных начальных и гранич-ных условиях дает возможность приближенно оценить динамику температуры пород в пределах гелиотермозоны:

max1 ср

max max 1

2( , ) exp sin .

τ 2ТH

Т х Н Т А Ha

(6.52)

87

Используя формулу (6.52), несложно вычислить глубину гелиотермозоны Нгтз. Для этого примем, что амплитуда колебаний температуры на глубине Нгтз не превышает 0,1 С, т.е. АТН = 0,1.Тогда получим:

max 1гтз 2,3ln .Т

ТН

aAН

А

(6.53)

Верхние слои почвы в зимний период при отрицательной температуре атмосферного воздуха на поверхности Земли будут промерзать, а в летний период оттаивать. Для определения глубины промерзания пород необходимо уравнение (6.51), которое будет описывать, например, распределение температур в мерзлой зоне, дополнить уравнением, характеризующим температурное поле в еще не промерзшем грунте [Т2(х, )]:

22 2

2 2

( , ) ( , ).

T x T xa

x

(6.54)

Граничным условием к уравнению (6.54) будет равенство тем-пературы поверхности Земли среднезимней температуре Т1(0, ) = Тз. На глубине промерзания грунта х = 0 выполняется граничное условие Стефана

Т1(0, ) = Т2(0, ) = Тф; (6.55)

1 0 2 01 2 ф 2

( , ) ( , )λ λ ,

Т Т dL

х х d

(6.56)

где 1, 2 – соответственно теплопроводности мерзлого и талого грунта,Вт/(мС); 2 – плотность талых пород, кг/м3; Lф – теплота агрегатного перехода воды в лед, Lф = 335,2 кДж/кг; – весовая влажность (льди-стость) грунта, доли ед.; Тф – температура фазового перехода, С.

Дополнительным граничным условием к уравнению (6.54) является равенство нулю теплового потока на некоторой глубине Н0

от поверхности Земли, т.е. Т2(х, )/хх = Н0 0 (или неизменность

температурного поля на этой глубине Т2(Н0, ) = Тср).

88

Решение задачи о промерзании почвы, выполненное еще в XIX в. Стефаном, имеет следующий вид:

пр1 ф з

1 1

( , τ) ( )erf / erf ;2 2

xТ х t T Т

a a

(6.57)

пр2 ср ср ф

2 2

( , ) ( )erfс / erfс ,2 2

xТ х T T Т

a a

(6.58)

где 2 2 2

erf ; erf 1 erf2 2 2

x х xс

a a a

– интегралы вероят-

ности

2

0

2erf exp d

x

x t t

.

Коэффициент пр, характеризующий скорость углубления зоны промерзания, определяется из трансцендентного уравнения

2 21 ф з пр 2 ср ф пр

пр пр1 21 2

1 2

λ ( ) λ ( )exp exp

4 4erf erfс

2 2

Т Т Т Т

а аа а

а а

ф 2 пр .2

L (6.59)

Глубина зоны промерзания составляет

прξ = β . (6.60)

Тепловой поток, отводимый от промерзающих пород в ок-ружающую среду, будет равен

ф 31

1 пр 1

1.

erf / 2

Т Тq

а а

(6.61)

89

Уменьшение глубины промерзания пород достигается за счет нанесения на поверхность теплоизоляционного покрытия за-данной толщины из и теплопроводности из. При этом соотношение теплопроводности к толщине теплоизоляционного покрытия должно удовлетворять равенству:

из

из з з

λ,

δ

q

Т Т

(6.62)

где зТ – температура поверхности Земли после нанесения теплоизо-

ляционного покрытия, С.При глубине расположения пород, превышающей глубину

нейтрального слоя, температурное поле Земли может считаться не зависящим от времени, что позволяет использовать для расчетов тем-пературного распределения уравнение (6.32). Особенности формиро-вания температурного поля на этих глубинах определяются лишь гео-логическими и геотермическими условиями рассматриваемого рай-она: типом и мощностью различных слоев пород, их теплопроводно-стью, тепловым потоком. Так как тепловой поток связан с темпера-турным градиентом соотношением (6.32), то значение температуры пород на нижней границе i-го слоя породы будет составлять

Тнi= Твi

+ gгi(Hi – Hi-1), (6.63)

где Нi, Нi-1 – глубины расположения верхней и нижней границ i-го слоя пород, м; Твi

– температура пород на верхней границе слоя, С; gгi

– геотермический градиент в i-м слое, равный отношению тепло-вого потока к коэффициенту теплопроводности,

гг .i

ii

qg

(6.64)

Средняя плотность глубинного теплового потока на поверх-ности Земли составляет 0,072 Вт/м2. Расчет по формуле (6.64) начи-нается со значений Твi

и Нi-1, соответствующим температуре и глу-бине нейтрального слоя.

В качестве другого примера найдем распределение темпера-турных полей в горном массиве, окружающем выработки.

90

Математическая формулировка задачи будет зависеть от геометрической формы выработки и типа граничного условия на контакте воздушного потока с породами. Геометрическая форма вы-работок выбирается в зависимости от соотношения их длины lвыр, ширины bвыр и высоты hвыр следующим образом:

при bвыр/hвыр > 2 – поперечное сечение выработки прини-мается щелеобразным, а сам горный массив, окружающий выработку,моделируется полуограниченным пространством;

при lвыр/bвыр > 2 и bвыр /hвыр 2 – поперечное сечение выработ-ки принимается круговым, а сама выработка – цилиндрической формы.

Выбор граничных условий зависит от величины коэффици-ента теплоотдачи . При 50 Вт/(м2С) теплообмен между возду-хом и породами описывается граничными условиями III рода, а при > 50 Вт/(м2∙С) граничными условиями I рода.

Типичная математическая постановка задачи о теплообмене воздушного потока с горным массивом, окружающим цилиндриче-скую выработку кругового поперечного сечения, при допущениях независимости теплофизических свойств пород от температуры и времени, а также пренебрежимо малыми величинами тепловых по-токов в породах и в воздухе вдоль оси выработки соответственно по сравнению с его радиальной составляющей и конвективным перено-сом, имеет вид:

2

2п

1 ( , ) ( , ) 1 ( , );

Т r T r T r

а r rr

(6.65)

T(r, 0) = Т0; (6.66)

экп эк

( , )λ ( , ) ;

Т RT R t

r

(6.67)

( , )0,

T

r

(6.68)

где Rэк – эквивалентный радиус выработки, м; эк выр выр2 / ;R S U

Sвыр, Uвыр – соответственно, сечение и периметр выработки; Т0 – на-чальная температура пород, С.

91

Решение системы уравнений (6.65)-(6.68) может быть осу-ществлено как строгими, так и приближенными аналитическими методами. При использовании последних распределение температу-ры пород дается зависимостью:

0

0

( , ) Bi( ln δ / δ),

1 Bi(δln δ 1 δ)

Т r T R R

t T

(6.69)

где – радиус теплового влияния, зависящий от числа Фурье, свя-занного с временем теплообмена, Fо = aп/Rэк

2, Bi – число Био,

эк пBi ( ) / ;R R = r /Rэк.

Величина коэффициента теплоотдачи определяется в зави-симости от скорости движения воздуха vв, геометрических парамет-ров выработки и состояния ее поверхности, омываемой воздухом, которое учитывается коэффициентом шероховатости ш,

0,2выр0,6

ш в ввыр

2,3ε (ρ ) .U

vS

(6.70)

Величина ш изменяется от 1 до 3,5.В том случае, если в процессе формирования температур-

ного поля в породах, окружающих выработку, происходят агрегат-ные переходы, математическая формулировка задачи аналогична постановке, характеризующей процесс промерзания поверхностно-го слоя Земли.

6.4. Тепловой режим горных выработок

Тепловой режим горных выработок характеризуется изме-нением температуры воздуха t, относительной влажностью , вла-госодержанием (энтальпией) i по длине вентиляционного пути Lво времени .

Характер изменения температуры воздуха зависит от интен-сивности действия расположенных в горных выработках источников (стоков) теплоты. Эти источники обычно подразделяют на абсолют-

92

ные, т.е. не зависящие от температуры воздуха, и относительные, являющиеся функцией разности температуры источника и темпера-туры воздуха. К первой группе источников теплоты относятся: ма-шины и механизмы, трансформаторы, кабели, системы освещения, люди, тепловой эффект работы сил горного давления, адиабатиче-ское сжатие (расширение) воздуха при движении по наклонным горным выработкам, охлаждающий эффект дегазации горных пород, окисление угля и пород.

При работе машин и механизмов количество выделяемой те-плоты определяется номинальной мощностью машин или механиз-мов, зависящей от коэффициента загрузки Kз, равного отношению фактически затрачиваемой мощности к номинальной, и коэффици-ента использования Kи, рассчитываемого как отношение фактиче-ского времени работы к общей продолжительности рабочего перио-да и изменения потенциальной энергии:

Qмм = KзKиN – П. (6.71)

В зависимости от особенностей работы оборудования фор-мула (6.71) принимает различный конкретный вид. Например, при работе электроосветительных приборов, когда практически вся по-требляемая энергия переходит в теплоту,

Qэп = Nэп. (6.72)

Количество теплоты, выделяющееся при транспортировании полезного ископаемого или пород, зависит от вида транспорта, ве-личины грузопотока Gтр и длины транспортирования Lтр:

Qтр = qэGтрLтр, (6.73)

где qэ – количество теплоты, выделяющееся при транспортировании единицы массы груза на единицу длины, кДж/(тм), при использова-нии электровозной откатки, ленточного конвейера и скребкового конвейера qэ составляет соответственно 0,9; 2,5 и 6,3 кДж/(тм).

Количество теплоты, выделяющееся (поглощающееся) при адиабатическом сжатии (расширении) воздуха,

93

Qсж = gGвН, (6.74)

где Н – разность высотных отметок начала и конца выработки, м; Gв – массовый расход воздуха, м3/с.

Тепловыделения от окисления углей и вмещающих пород вычисляются как произведение известной удельной величины теп-ловыделений и окисляемой поверхности пород

Qок = qуд.окF; (6.75)

величину qуд.ок при окислении угля, угольной пыли и крепежного леса рекомендуется подсчитывать по формуле

qуд.ок = 0,8уд.оq v , (6.76)

где уд.оq – тепловыделения от окислительных процессов, приведен-

ные к скорости движения воздуха v = 1 м/с; значения уд.оq при сред-

ней величине 3,50-4,65 Вт/м2 определяются типом угля.Для сульфидных руд Талнахского месторождения при тем-

пературе руды 10-15 С qуд.ок = 9,5-12 Вт/м2; при увеличении темпе-ратуры на каждые 10 С qуд.ок возрастает в 1,6 раза:

qок = (9,5 – 12)∙1,60,1(Тп – 15). (6.77)

Повышение температуры единицы объема целика угля в процессе его деформирования на величину h при работе сил горно-го давления составляет

сруг

пл у у

g ( )ΔΔ ,

Н l b hT

bm c

(6.78)

где Н – глубина горных работ, м; ср – средняя плотность толщи на-легающих пород, кг/м3; mпл – мощность пласта угля, м; l и b – соот-ветственно ширина целика и расстояние между ними, м; cу, у –удельная теплоемкость и плотность угля, Дж/(кгС), кг/м3.

Основным относительным источником теплоты является горный массив, окружающий выработки. К другим относительным

94

источникам относятся: трансформируемое полезное ископаемое или вмещающие породы; трубопроводы, расположенные в выработках; вода, движущаяся по канавкам и лоткам.

Количественным показателем тепловыделений от горного массива является введенный О.А.Кремневым коэффициент неста-ционарного теплообмена, численно равный количеству тепла, пере-данного воздушному потоку из глубины породного массива через 1 м2 поверхности выработки в единицу времени при разности тем-ператур глубинных слоев и воздуха в 1 С. Значение коэффициента нестационарного теплообмена может быть получено либо определе-нием температурного градиента у поверхности горного массива, ли-бо непосредственно из уравнения для температуры поверхности массива Т(r0, ),

0 0пτ

е e

( , τ) ( , τ)λ.

T r T r tK

T t r t t

(6.79)

Номограмма для определения K была построена О.А.Кремневым по результатам расчетов температурного поля в горном массиве. На ее основе разработана методика приближенного определения K. Для выработок, проветриваемых менее одного года, можно рассчитать

τBi

1 ( ) ,Bi 0,375

K f z

(6.80)

где f(z) – табулированная функция; (Bi 0,375) Fo.z Значение f(z) можно вычислить:

1,0774 0,0064 при 2

0,8773

1,0011 0,2575( ) при 2 30

0,3406

0,561 при 30 .

zz

z

zf z z

z

zz

(6.81)

95

При более длительных временах проветривания выработок

.

1 Bi ln 1 2,5FoK

(6.82)

При известном значении K количество теплоты, поступаю-щее из горного массива в воздушный поток, составляет

Qп = KU(T0 – t)L. (6.83)

Оценка влияния источников теплоты, расположенных в вы-работках, на температуру воздуха осуществляется в результате ре-шения уравнения теплового баланса, которое является частным слу-чаем уравнения сохранения энергии для потока воздуха. Для выра-ботки, в которой действуют Qi источников теплоты, уравнение те-плового баланса имеет вид:

Gв(i2 – i1) = Qi, (6.84)

где Gв – массовый расход воздуха, кг/с; i1, i2 – соответственно удель-ное теплосодержание воздушной струи в начале и конце выработки длиной L, Дж/кг.

Уравнение (6.84) обычно дополняется уравнением баланса влаги:

Gв(d2 – d1) = Ji, (6.85)

где d1, d2 – влагосодержания воздушной струи в начале и конце вы-работки, кг/кг; Ji, – сумма всех источников (стоков) влаги, распо-ложенных в выработке, кг/с.

Совместное решение уравнений (6.84), (6.85) приводит к за-висимости для расчета температуры t2 и влагосодержания d2 воздуха в конце выработки.

Уравнения типа (6.84), (6.85) получили названия интеграль-ных уравнений теплового баланса и баланса влаги. Практика ис-пользования показывает, что они приводят к удовлетворительной точности при расчете температур воздуха только при невысокой ин-тенсивности выделения теплоты и влаги, а также сравнительно не-значительной длине выработок (не более 300 м). Во всех остальных случаях более предпочтительным является выполнение расчетов на основе дифференциальных уравнений теплового баланса и баланса

96

влаги. В наиболее простом случае, когда в выработке отсутствуют источники влаги, дифференциальное уравнение теплового баланса записывается в виде:

GвСвdt = KU(Tп – t)dy + Qабс.idy, (6.86)

где Qабс.i – сумма «абсолютных» источников теплоты, расположен-ных в выработке.

При температуре воздуха в начале выработки, равной t1, ее распределение по длине выработки у выразится зависимостью:

τ e τ

в в в вτ п абс.1 0

τ

e 1 e ,

K U K Uy y

G с G сiK UT Qt t Т

K U

(6.87)

где св – теплоемкость сухого воздуха, Дж/(кгС).Если теплообмен воздуха с различными источниками тепло-

ты, находящимися в выработке, осложнен испарением влаги, то в уравнение (6.87) вместо теплоемкости сухого воздуха вводят значе-ние эффективной теплоемкости сэф, которая учитывает интенсив-ность тепломассообменных процессов,

эф в срн

0,101,с с rn

p (6.88)

где ср – средняя относительная влажность воздуха в выработке,ср = 0,5(1 + 2); pн – барометрическое давление воздуха на глуби-не, (МПа); r – удельная теплота испарения влаги; n – коэффициент из аппроксимационной зависимости влагосодержания насыщенного воздуха от его температуры, зависящий от ожидаемого интервала изменения температуры воздуха в выработке.

Относительная влажность воздуха в конце выработки 2 ус-танавливается на основе решения уравнения баланса влаги или зада-ется в соответствии с данными измерений в натурных условиях.

При анализе теплового режима тупиковых выработок урав-нение теплового баланса (6.86), описывающего теплообмен на сквозном участке проветривания, дополняется уравнениями тепло-вого баланса для воздуховода и забоя выработки. Их решение при-

97

водит к зависимостям, характеризующим распределение температур воздуха не только по длине выработки, но и по длине воздуховода.

Тепловой режим очистных выработок, например лав, зависит от технологических факторов, также как выбранная система разработ-ки, способ управления кровлей, схема проветривания. Эти факторы определяют не только особенности теплового взаимодействия воздуш-ного потока с нетронутым массивом угля и породами в выработанном пространстве, но и величину фильтрационных утечек воздуха. Причем при одних схемах проветривания воздух из выработанного пространст-ва попадает непосредственно в лаву и существенным образом влияет на термодинамические параметры вентиляционной струи, а при других схемах это влияние оказывается минимальным.

Регулирование теплового режима горных выработок осу-ществляется с целью создания безопасных, а также технологически и экономически наиболее рациональных условий их эксплуатации и ведения горных работ.

В зависимости от направленности изменения термодинами-ческих параметров теплового режима различают способы подогрева, охлаждения, увлажнения, осушения и их комбинации (комплексное регулирование). Наиболее широко на шахтах и рудниках распро-странены способы подогрева и охлаждения.

По технологическим признакам способы регулирования делят на горно-технические, осуществляемые путем направленного приме-нения удельной или суммарной мощности источников тепла и влаги за счет регулирования технологических параметров самого объекта, итеплотехнические, осуществляемые путем создания направленного процесса тепломассопереноса между источником и потребителем.

Горно-технические способы технически и технологически являются наиболее простыми, не требующими значительных энер-гетических, капитальных и эксплуатационных затрат. Они находят широкое применение на практике, как самостоятельно в условиях переходного режима от нерегулируемого к регулируемому, так и при использовании теплотехнических способов. Их практическая реализация осуществляется технологическими приемами (изменение вентиляционных режимов, конструктивных параметров выработок, технических характеристик отдельных элементов и др.) и теплофи-

98

зическими, связанными с учетом геометрических и климатических условий месторождения и района, изменением интенсивности про-текания процессов тепломассообмена в выработках.

Теплотехнические способы технически наиболее совершен-ны, обеспечивают регулирование любых параметров в широком диапазоне условий, но требуют значительных капитальных, экс-плуатационных, энергетических и трудовых затрат. Они могут осу-ществляться путем свободного или вынужденного тепломассооб-мена, соответственно, различают безэнергетические и энергетиче-ские способы. Первые реализуются на базе природных или вторич-ных ресурсов тепла и холода, вторые – с использованием трансфор-мируемых внешних энергоресурсов.

Техническая реализация теплотехнических способов осуще-ствляется с помощью средств и систем регулирования, представ-ляющих собой инженерные конструкции, обеспечивающие измене-ние термодинамических параметров рабочего тела или регулируемо-го объекта в заданных пределах.

Средства и системы регулирования различают по нескольким факторам: по условиям эксплуатации – наземные и подземные, по обратимости физического воздействия на объект – обратимые и необ-ратимые, по характеру применяемых средств – горно-физические и теплотехнические, по мобильности – стационарные и передвижные, по широте охвата – общешахтные, групповые, местные, локальные и индивидуальные.

На шахтах и рудниках нашли широкое применение тепло-технические системы подогрева (калориферные установки) и охла-ждения (холодильные установки). Первые содержат устройства для выработки тепловой энергии путем сжигания различных видов топ-лива или преобразования электрической энергии в тепловую, ее трансформации (котельные), доставки к источникам потребления (паро- и водопроводы) и передачи потребителю (калориферы). Сис-темы охлаждения содержат установки для передачи тепловой энер-гии от холодного источника к горячему (холодильные машины), устройства для отвода теплоты в окружающую среду (градирни), доставки промежуточного холодоносителя (циркуляционные трубо-проводы) и теплообменники (воздухо- и водоохладители).

99

Теплотехнические системы являются базовыми при оценке эф-фективности других способов и систем, например, горно-физических, в которых одним из основных элементов для аккумулирования тепла или холода является участок самого горного массива. Горно-физические системы позволяют успешно использовать природные и вторичные ресурсы теплоты и холода и в последние годы находят все более широ-кое применение на шахтах и рудниках.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Переход горно-добывающих отраслей промышленности на интенсивный путь развития возможен лишь при использовании ин-новационных технологий, в основе которых лежит знание о физиче-ских процессах, имеющих место при добыче и переработке полез-ных ископаемых.

Термодинамические процессы, даже если они не являются определяющими для реализации соответствующих технологий (за-мораживание пород, термическое разрушение или плавление пород, газификация угля, термическое воздействие на нефтяные пласты, выплавление серы, оттаивание мерзлых пород, извлечение теплоты термальных вод, подогрев или охлаждение воздуха, поступающего в горные выработки, извлечение теплоты термальных вод и горных пород и т.п.), сопровождают другие физические процессы (механи-ческие, электрические, электромагнитные, физико-химические) и оказывают влияние на конечный результат.

Развитие соответствующих приложений термодинамики для решения практических проблем управления процессами переноса массы, энергии и энтропии в различных геотехнологических систе-мах позволит повысить эффективность освоения минеральных, энергетических и пространственных ресурсов недр.

Отметим лишь малую часть проблем, изучение которых за-труднено или невозможно без использования термодинамических понятий и принципов.

Применение энтропийного подхода для оценки изменения проч-ности при динамических нагрузках, критериев предельного состояния

100

породы и горного массива, устойчивости бортов карьеров и т.п. по-зволяет учесть стохастический характер геомеханических процессов.

Развитие представлений об обобщенных термодинамических силах дает возможность описать физические поля при связанной термоупругости, при связанном тепло- и массообмене, при термо-электрических эффектах.

С помощью термоупругости, объединяющей в единое целое теорию упругости и теорию теплопроводности, может быть уста-новлен характер деформирования и трещинообразования при воз-действии на горный массив знакопеременных температур, интен-сивного прогрева пород в результате воздействия источников энер-гии различной физической природы (распад радиоактивных отхо-дов, огневое бурение и т.п.).

Использование уравнений связанного тепло- и массопереноса позволяет определить термоконвективную составляющую переноса влаги или пара в горных породах, окружающих выработки, или грунтах, находящихся у поверхности земли. Это приведет к повы-шению точности расчета полей влагосодержаний и, соответственно, к выбору более результативных методов управления тепловым ре-жимом подземных объектов или повышения устойчивости фунда-ментов сооружений на поверхности, особенно в период промерзаниягрунтов.

Учет термоэлектрических эффектов, проявляющихся в воз-никновении электроосмотического переноса теплоты жидкостью, повышает достоверность прогноза воздействия на температурные поля, формирующихся в мерзлых породах, электрической энергии, что имеет место, например, в процессе оттаивания пород при их подготовке к последующей разработке.

Перечень вопросов, на которые может быть получен ответ с помощью термодинамики, настолько огромен, что лишь одно их пе-речисление займет не одну книгу по объему соответствующую дан-ному пособию. Таким образом, говоря о термодинамике и приложе-нии ее к горному делу, можно констатировать, что мы имеем непре-рывно развивающееся направление науки, к которой, как надеютсяавторы, приложат свои усилия и студенты, внимательно изучившие данное пособие.

101

РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вукалович М.П. Термодинамика / М.П.Вукалович, И.И.Новиков. М.: Машиностроение, 1972.

2. Гончаров С.А. Термодинамика: Учебник для вузов. М.: Изд-во МГГУ, 1997.3. Дмитриев А.П. Термодинамические процессы в горных породах /

А.П.Дмитриев, С.А.Гончаров. М.: Недра, 1983.4. Кравченко В.Т. Тепловой режим глубоких рудников / В.Т.Кравченко,

Ю.В.Шувалов. М.: Недра, 1993.5. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.6. Пригожин И. Современная термодинамика от тепловых двигателей до

диссипативных структур / И.Пригожин, Д.Кондепуди. М.: Мир, 2002.7. Щербань А.Н. Руководство по регулированию теплового режима шахт /

А.Н.Щербань, О.А.Кремнев, В.Я.Журавленко. М.: Недра, 1977.

102

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.................................................................................................................. 31. Основные законы термодинамики .................................................................... 4

1.1. Термодинамические системы и их параметры ....................................... 41.2. Первый закон термодинамики.................................................................. 61.3. Первый закон термодинамики для идеального газа ............................... 91.4. Располагаемая работа. Энтальпия. Второе аналитическое выражение первого закона термодинамики....................................................................... 111.5. Термодинамические процессы ................................................................. 131.6. Второй закон термодинамики .................................................................. 171.7. Статистическая природа второго закона термодинамики ..................... 29

2. Термодинамика фазовых переходов ................................................................. 312.1. Фазовые переходы в горных породах...................................................... 312.2. Основные уравнения термодинамики фазовых переходов .................... 35

3. Термодинамические свойства водяного пара................................................... 393.1. Общие свойства паров .............................................................................. 393.2. Процесс парообразования в координатах p-v.......................................... 413.3. Диаграммы водяного пара ........................................................................ 44

4. Простейшие теоретические циклы.................................................................... 454.1. Цикл Ренкина............................................................................................. 454.2. Теплофикационный цикл.......................................................................... 484.3. Циклы холодильных установок................................................................ 50

5. Элементы термодинамики необратимых процессов ....................................... 555.1. Основные понятия термодинамики необратимых процессов................ 555.2. Теорема о производстве энтропии. Термодинамические силы ............. 575.3. Теория Онзагера. Принципы линейности и взаимности в сложных процессах .......................................................................................................... 595.4. Синергетика. Диссипативные структуры. Явление самоорганизации ..... 63

6. Термодинамические процессы в рудничном воздухе и горном массиве ....... 676.1. Термодинамические свойства рудничного воздуха ............................... 676.2. Теплофизические свойства горных пород............................................... 726.3. Температурный режим горного массива ................................................. 776.4. Тепловой режим горных выработок ........................................................ 91

Заключение ............................................................................................................. 99Рекомендательный библиографический список .................................................. 101