ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ

Α΄ Δ/ΝΣΗ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΑΘΗΝΩΝ59 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 2014

A΄ ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ

ΜΑΘΗΤΗΣ– ΜΑΘΗΤΡΙΑ

ΕΠΩΝΥΜΟΟΝΟΜΑΠΑΤΡΩΝΥΜΟ

ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΠΕΜΠΤΗ 29 MΑΪΟΥ 2014 ΘΕΩΡΙΑ:ΘΕΜΑ 1:α) Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος αριθμός; Να γράψετε τους πέντε μικρότερους πρώτους αριθμούς. ( Μονάδες 2,3) β) Πότε ένας αριθμός διαιρείται με 5; Να δώσετε δύο διαφορετικά παραδείγματα. ( Μον. 2,2 )γ) Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9 Να δώσετε δύο διαφορετικά παραδείγματα .

( Μονάδες 2,2 )

ΘΕΜΑ 2 : α) Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ΑΒΓ. ( Μονάδες 2).β) Πόσα είδη τριγώνων έχουμε με βάση τις πλευρές τριγώνου και πόσα είδη με βάση τις γωνίες του; Να κάνετε αντίστοιχο σχήμα, σε κάθε περίπτωση. ( Μονάδες 3).γ) Τι ονομάζεται διάμεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ; Να σχεδιάσετε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και να σχεδιάσετε τις τρείς διαμέσους του.

(Μονά.1,7). ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΗ 1Δίνονται οι παραστάσεις:

α) Να δείξετε ότι α = 50 και β = 25 και κατόπιν να λύσετε ως προς χ , την εξίσωση:

( Μονάδες 3 ).

Σελίδα 1 από 10

β) Να εξετάσετε αν ο αριθμός γ = α + β, διαιρείται συγχρόνως με το 3 και το 5. ( Μονάδες 1).γ) Να αναλύσετε τους αριθμούς α, β, γ σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, όπου α, β, γ οι αριθμοί των και β ερωτημάτων και κατόπιν να βρείτε το ΜΚΔ(α, β, γ) και το ΕΚΠ(α, β, γ). ( Μονάδες 2,7).

ΑΣΚΗΣΗ 2Στο Πανεπιστήμιο Αθηνών προσελήφθησαν με ίση αμοιβή α φοιτητές με στόχο να ολοκληρώσουν την προετοιμασία ενός Διεθνούς Συνεδρίου Μαθηματικής Λογικής σε

β ημέρες, όπου και

α) Να δείξετε ότι α = 12, β = 20. ( Μονάδες 2,3).β) Πόσοι επιπλέον φοιτητές με ίδια απόδοση και ίδια αμοιβή, πρέπει να προσληφθούν για να τελειώσει η προετοιμασία του συνεδρίου 5 μέρες νωρίτερα; ( Μονάδες 2,2).γ) Η οικονομική υπηρεσία πλήρωνε τους φοιτητές 600 Ευρώ καθημερινά. Πόσα ευρώ θα πληρώνει καθημερινά τους φοιτητές μετά και τις νέες προσλήψεις; ( Μονάδες 2,2).

ΑΣΚΗΣΗ 3:Δίνονται οι παράλληλες ευθείες . Τα ευθύγραμμα τμήματα ΛΝ και ΚΜ τέμνονται κάθετα στο σημείο Α. Αν η γωνία ν είναι ν = , τότε:α) Να βρείτε τις γωνίες μ, χ, κ. ( Μονάδες 2,3).β) Να βρείτε τις γωνίες ψ, φ, ω, ρ, λ. ( Μονάδες 2,2).γ) Το είδος του τριγώνου ΑΔΕ, ως προς τις γωνίες του και ως προς τις πλευρές του. ( Μονάδες 2,2).

ΠΡΟΣΟΧΗ. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας!!!ΣΗΜΕΙΩΣΗ:

Σελίδα 2 από 10

Όλα τα θέματα είναι ισοδύναμα. Να απαντήσετε σε ένα μόνο θέμα Θεωρίας και σε δύο θέματα ασκήσεων,

όποια εσείς θέλετε! ΧΡΟΝΟΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΔΥΟ (2) ΩΡΕΣ.

ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ Ο ΔΙΕΥΘΥΝΤΗΣ ΟΙ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ

Πρωτοπαπάς Δημήτριος Πρωτοπαπάς Δημήτριος , Ψαθάκης Γεώργιος

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Α. ΘΕΩΡΙΑΘΕΜΑ 1:

α) Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται πρώτος αριθμός; Να γράψετε τους πέντε μικρότερους πρώτους αριθμούς. ( Μονάδες 2,3) β) Πότε ένας αριθμός διαιρείται με 5; Να δώσετε δύο διαφορετικά παραδείγματα. ( Μον. 2,2 )γ) Πότε ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9 Να δώσετε δύο διαφορετικά παραδείγματα .

( Μονάδες 2,2 )

Απάντηση.α) Ένας φυσικός αριθμός, εκτός του 1, λέγεται πρώτος αριθμός, αν έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και την μονάδα. ( Σελίδα 27 Σχολ. Βιβλίου)

Οι πέντε μικρότεροι αριθμοί είναι: 2, 3, 5, 7, 11. ( Μονάδες 2,3) Προσοχή! Το 1 δεν είναι πρώτος αριθμός!!!β) Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, αν λήγει σε 0 ή 5.

Παραδείγματα: 120, 205. ( Μονάδες 2,2) γ) Ένα αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9 , αν το άθροισμα των ψηφίων του

διαιρείται με το 3 ή το 9 αντίστοιχα. ( Σελίδα 28 Σχολ. Βιβλίου) Παραδείγματα: 120, 2052 που διαιρούνται με 3 και 81, 1233 που

διαιρούνται με 9.

( Μονάδες 2,2)

ΘΕΜΑ 2 : α) Ποια είναι τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ΑΒΓ. ( Μονάδες 2).β) Πόσα είδη τριγώνων έχουμε με βάση τις πλευρές τριγώνου και πόσα είδη με βάση τις γωνίες του; Να κάνετε αντίστοιχο σχήμα, σε κάθε περίπτωση. ( Μονάδες 3).γ) Τι ονομάζεται διάμεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ; Να σχεδιάσετε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και να σχεδιάσετε τις τρείς διαμέσους του. (Μονά.1,7).

Σελίδα 3 από 10

ΑΠΑΝΤΗΣΗα) Κάθε τρίγωνο ΑΒΓ έχει κύρια στοιχεία τις τρείς κορυφές Α, Β, Γ, τις τρείς πλευρές του ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και τις τρείς γωνίες ( Σελίδα 218 Σχολικού Βιβλίου) (μονάδες 2)

β) Τα είδη τριγώνων έχουμε με βάση τις πλευρές τριγώνου είναι:

ισόπλευρα, που έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες,

ισοσκελή που έχουν δύο πλευρές τους ίσες και τα σκαληνά που έχουν όλες τις πλευρές τους άνισες,

Τα είδη τριγώνων με βάση τις γωνίες του είναι: τα ορθογώνια, που έχουν μια γωνία ορθή, τα οξυγώνια, που έχουν όλες τις γωνίες τους οξείες και τα αμβλυγώνια, που έχουν μια αμβλεία γωνία.

(Σχολικό Βιβλίο σελίδα 218) ( Μονάδες 3).

Σελίδα 4 από 10

γ) Διάμεσος ενός τριγώνου ΑΒΓ ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει μια κορυφή του τριγώνου με το μέσον της απέναντι πλευράς. (Σχολικό Βιβλίο σελίδα 219)

(Μονά.1,7).

Σελίδα 5 από 10

ΑΣΚΗΣΕΙΣΑΣΚΗΣΗ 1

Δίνονται οι παραστάσεις:

α) Να δείξετε ότι α = 50 και β = 25 και κατόπιν να λύσετε ως προς χ , την εξίσωση:

( Μονάδες 3 ).β) Να εξετάσετε αν ο αριθμός γ = α + β, διαιρείται συγχρόνως με το 3 και το 5. ( Μονάδες 1).γ) Να αναλύσετε τους αριθμούς α, β, γ σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, όπου α, β, γ οι αριθμοί των και β ερωτημάτων και κατόπιν να βρείτε το ΜΚΔ(α, β, γ) και το ΕΚΠ(α, β, γ).

ΛΥΣΗ α) Έχουμε:

( Μονάδες 1 ).

( Μονάδες 1 ).

Για α = 50 και β = 25 η εξίσωση: γίνεται:

ή ή

ή ή

Άρα η εξίσωση έχει μοναδική λύση την χ = 1. ( Μονάδες 1 ). β) Έχουμε γ = α + β = 50 + 25 = 75.Το 75 λήγει σε 5 και συνεπώς διαιρείται με το 5.Το 75 έχει άθροισμα ψηφίων 7 + 5 = 12 και το 12 διαιρείται με το 3 αφού 12

. Άρα το 75 διαιρείται συγχρόνως με το 5 και με το 3. Η΄

Είναι . Παρατηρώ ότι το 75 έχει παράγοντες το 3 και το 5 και συνεπώς διαιρείται και με το και με το 5.

ΉΕίναι: άρα διαιρείται με το 3.Επίσης άρα διαιρείται και με το 5. ( Μονάδες 1).γ) Έχουμε:

Σελίδα 6 από 10

( Μονάδες 2,7).

ΑΣΚΗΣΗ 2

Στο Πανεπιστήμιο Αθηνών προσελήφθησαν με ίση αμοιβή α φοιτητές με στόχο να ολοκληρώσουν την προετοιμασία ενός Διεθνούς Συνεδρίου Μαθηματικής Λογικής σε

β ημέρες, όπου και

α) Να δείξετε ότι α = 12, β = 20. ( Μονάδες 2,3).β) Πόσοι επιπλέον φοιτητές με ίδια απόδοση και ίδια αμοιβή, πρέπει να προσληφθούν για να τελειώσει η προετοιμασία του συνεδρίου 5 μέρες νωρίτερα; ( Μονάδες 2,2).γ) Η οικονομική υπηρεσία πλήρωνε τους φοιτητές 600 Ευρώ καθημερινά. Πόσα ευρώ θα πληρώνει καθημερινά τους φοιτητές μετά και τις νέες προσλήψεις; ( Μονάδες 2,2).

ΛΥΣΗα) Έχουμε:

.

Σελίδα 7 από 10

β) Τα μεγέθη πλήθος φοιτητών και χρόνος προετοιμασίας συνεδρίου σε ημέρες, είναι αντιστρόφως ανάλογα και συνεπώς, οι αντίστοιχες τιμές τους, έχουν σταθερό γινόμενο, ίσο με .Έστω ότι θα προσληφθούν χ φοιτητές επιπλέον, x θα είναι θετικός φυσικός αριθμός, οπότε θα γίνουν 12 + χ , για να ολοκληρωθεί η προετοιμασία του συνεδρίου 5 ημέρες νωρίτερα, δηλαδή σε 20 – 5 = 15 ημέρες.

Θα πρέπει πλήθος φοιτητών) = σταθερό γινόμενο = 240 ή ή

ή

Άρα θα πρέπει να προσληφθούν 4 φοιτητές.Ή (δεύτερη Λύση)

Με πινακοποίηση: Έστω θα προσληφθούν x φοιτητές. x θα είναι θετικός φυσικός αριθμός. Τα μεγέθη πλήθος φοιτητών και χρόνος προετοιμασίας συνεδρίου σε ημέρες, είναι αντιστρόφως ανάλογα. Τότε:

Αριθμός φοιτητών 12 12+χΠλήθος ημερών εργασίας 20 15Σταθερό γινόμενο αντίστοιχων τιμών

240 240

Έχουμε: ή

ή Άρα θα πρέπει να προσληφθούν 4 φοιτητές.γ) Τα μεγέθη αμοιβή φοιτητών και πλήθος φοιτητών, είναι ανάλογα, άρα οι αντίστοιχες τιμές τους θα έχουν σταθερό πηλίκο ή λόγο.Αρχικά υπήρχαν 12 φοιτητές με αμοιβή 600 €, κατόπιν προσελήφθησαν 4 και έγιναν 12 + 4 = 16.Αν είναι x € η αντίστοιχη αμοιβή των 16 φοιτητών θα έχουμε:

ή Άρα η οικονομική υπηρεσία θα πληρώνει καθημερινά τους φοιτητές μετά και τις νέες προσλήψεις με 800 € .

Ή (δεύτερη Λύση)Με πινακοποίηση: Έστω θα πληρώνονται όλοι οι φοιτητές ψ €. Ο ψ θα είναι θετικός ρητός αριθμός. ) Τα μεγέθη αμοιβή φοιτητών και πλήθος φοιτητών, είναι ανάλογα. Τότε:

Αμοιβή φοιτητών σε € 600 ψΠλήθος φοιτητών 12 16Σταθερό πηλίκο αντίστοιχων τιμών

50 50

Έχουμε:

Σελίδα 8 από 10

Άρα η οικονομική υπηρεσία θα πληρώνει καθημερινά τους φοιτητές μετά και τις νέες προσλήψεις με 800 € .

Ή (τρίτη Λύση)Τα μεγέθη αμοιβή ψ σε € των φοιτητών και πλήθος x των φοιτητών, είναι ανάλογα, άρα οι αντίστοιχες τιμές τους θα έχουν σταθερό πηλίκο ή λόγο ίσο με τον συντελεστή αναλογίας:

ή

Τότε για x = 16 φοιτητές θα έχουμε αμοιβή: .

Άρα η οικονομική υπηρεσία θα πληρώνει καθημερινά τους φοιτητές μετά και τις νέες προσλήψεις με 800 € .

Ή (τέταρτη Λύση)Με αναγωγή στην μονάδα:12 φοιτητές αμείβονται ( όλοι με ίση αμοιβή) με 600 Άρα ο ένας φοιτητής αμείβεται με €Συνεπώς οι 16 φοιτητές θα αμείβονται με € Άρα η οικονομική υπηρεσία θα πληρώνει καθημερινά τους φοιτητές μετά και τις νέες προσλήψεις με 800 € .

ΑΣΚΗΣΗ 3

Δίνονται οι παράλληλες ευθείες . Τα ευθύγραμμα τμήματα ΛΝ και ΚΜ τέμνονται κάθετα στο σημείο Α. Αν η γωνία ν είναι ν = , τότε:α) Να βρείτε τις γωνίες μ, χ, κ. ( Μονάδες 2,3).β) Να βρείτε τις γωνίες ψ, φ, ω, ρ, λ. ( Μονάδες 2,2).γ) Το είδος του τριγώνου ΑΔΕ, ως προς τις γωνίες του και ως προς τις πλευρές του. ( Μονάδες 2,2).

ΛΥΣΗ

Σελίδα 9 από 10

α) , ως κατά κορυφήν γωνίες. ( Η΄ γιατί τα ευθ. τμήματα ΛΝ, ΚΜ

δίνονται κάθετα) γιατί x και φ είναι παραπληρωματικές γωνίες. οξεία γωνία του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, οπότε:

..

( Μονάδες 2,3).

β) ψ = χ= , ως κατά κορυφήν γωνίες. φ = χ = , ως εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη των // τεμνομένων από

ΑΛ. ω = ν = , ως εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη των // τεμνομένων από

ΑΛ. ρ = φ = , ως κατά κορυφήν γωνίες. λ = κ = , ως εντός, εκτός και επί τα αυτά μέρη των // τεμνομένων από

ΚΜ.

γ) Το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ορθογώνιο γιατί και ισοσκελές γιατί έχει δύο γωνίες ίσες, τις χ = κ = , δηλαδή το τρίγωνο ΑΔΕ είναι ορθογώνιο ισοσκελές με ίσες πλευρές τις ΑΔ, ΑΕ. ( Μονάδες 2,2).

Πρωτοπαπάς Δημήτριος , Ψαθάκης ΓεώργιοςΜαθηματικοί (ΠΕ 03)

Σελίδα 10 από 10