Прикладная физика и математика 2014 №6

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

И МАТЕМАТИКА

APPLIED PHYSICS AND MATHEMATICS

№ 6

∙ 2

01

4

ISSN 2307-1621

ISSN 2307-1621 № 6 · 2014НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА

Учредители: ООО «Научтехлитиздат» ООО «Мир журналов»Журнал зарегистрирован в Федеральной службе по надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор)

Свидетельство о регистрации: СМИ ПИ № ФС77-50415 от 25.06.2012 г.

Подписные индексы: ОАО «Роспечать» 83190«Пресса России» 10363

Главный редактор: Академик РАН А.Н. Лагарьков

Зам. главного редактора д-р физ.-мат. наук А.Л. Рахманов

Редакция: В.Б. Гончарова, Н.Н. Годованец, Е.А. Боброва, И.Ю. Шабловская, В.С. Сердюк

Редакционная коллегия:Гуляев Ю.В., акад. РАН, (Россия)Загородный А.Г., акад. РАН и НАН Украины, (Украина)Лагарьков А.Н., акад. РАН, (Россия)Сигов А.С., акад. РАН, (Россия)Трубецкой К.Н., акад. РАН, (Россия)Хомич В.Ю., акад. РАН, (Россия)Щербаков И.А., акад. РАН, (Россия)Колачевский Н.Н., чл.-корр. РАН, (Россия)Силин В.П., чл.-корр. РАН, (Россия)Трубецков Д.И., чл.-корр. РАН, (Россия)Белоконов И.В. д-р техн. наук, проф., (Россия)Волошин И.Ф., д-р техн. наук, проф., (Россия)Галченко Ю.П., д-р техн. наук, (Россия)Громов Ю.Ю., д-р техн. наук, проф., (Россия)Джанджгава Г.И., д-р техн. наук, проф., (Россия)Джашитов В.Э., д-р техн. наук, проф., (Россия)Зоухди С., д-р наук, проф., (Франция)Калинов А.В., д-р техн. наук, проф., (Россия)Карась В.И., д-р физ-мат наук, проф., (Украина)Кейлин В.Е., д-р техн. наук, проф., (Россия)Ковалев К.Л., д-р техн. наук, проф., (Россия)Красильщик И.С., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Кусмарцев Ф.В., д-р философии, проф., (Англия)Кушнер А.Г., д-р физ-мат. наук, (Россия)Литвинов Г.Л., канд. физ.-мат. наук, (Россия)Лошак Ж., д-р философии, проф., (Франция)Лычагин В.В., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Малых А.Е., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Первадчук В.П., д-р техн. наук, проф., (Россия)Рахманов А.Л., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Реутов В.Г., д-р техн. наук, (Россия)Романовский В.Р., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Рухадзе А.А., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)Рыбин В.М., д-р техн. наук, проф., (Россия)Самхарадзе Т.Г., д-р техн. наук, проф., (Россия)Сихвола А., д-р наук, проф., (Финляндия) Уруцкоев Л.И., д-р физ-мат наук, проф., (Россия)Цаплин А.И., д-р техн. наук, проф., (Россия)Шалае В., д-р наук, проф., (США)Щелев М.Я., д-р физ.-мат. наук, (Россия)Фишер Л.М., д-р физ.-мат. наук, проф., (Россия)

Дизайн и верстка: Б.Е. ГолишниковСтатьи, поступающие в редакцию, рецензируютсяАдрес редакции:

107258, Москва, Алымов пер., д. 17, корп. 2, редакция журнала «Прикладная физика и математика»Тел.: 8 (985) 233-07-98, E-mail: [email protected]Подписано в печать 17.11.2014 г.Формат 60х88 1/8. Бумага мелованная матоваяПечать офсетная. Усл.-печ. л. 16,4. Уч.-изд. л. 16,9. Заказ № ПФ-112. Тираж 420 экз.

Издатель: ООО «Научтехлитиздат», 107258, Москва, Алымов пер., д. 17, корп. 2Оригинал-макет и электронная версия подготовлены ООО «Научтехлитиздат»Отпечатано в типографии ООО «Научтехлитиздат»107258, Москва, Алымов пер., д. 17, корп. 2Тел.: 8 (499) 168-21-28

Содержание


В.В.Родин П. Макдональд, М. Джонс

Двумерное обратное преобразование Лапласа в исследовании анизотропной диффузии воды в древесине 3

А.В. Кузичкин С.Х. Зиннуров, А.А. Ковальский

Динамическое распределение радиоресурса ретранслятора с учетом неоднородности трафика и запаздывания при управлении 8

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

А.Б. Киселев

О динамическом сжатии (расширении) сферической полости в вязкой несжимаемой жидкости. Задача Забабахина 15

А.В. Кукушкин

Негладкие отображения. Стационарные модели негладкой динамики 20

В.И. Раков

Новая «идеология» интерполяции со структурообразующими функциями 24

ИСТОРИЯ ФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ

И.В. Игнатушина

Преподавание дифференциальной геометрии в отечественных университетах первой половины ХХ столетия 49

SCIENTIFIC JOURNALISSN 2307-1621 № 6 · 2014


Founder and Publisher: Ltd. The Publishing House«Nauchtehlitizdat»LLC «World magazines»The journal is registered the Federal Service for Supervision of Communications, Information Technology and Communications (Roskomnadzor)

Certificate of Registration of Media: PI № ФС77-50415 from 25.06.2012

Subscription numbers: The Public Corporation «Rospechat» 83190«Pressa Rossii» 10363

Editor in Chief: А.N. Lagarkov, acad. RAS

Deputy Editor in chief: А.L. Rahmanov, Doctor of Phys.-Math. Sciences

Editorial Staff: V.B. Goncharova, N.N. Godovanec, E.A. Bobrova, I.Ju. Shablovskaja, V.S. Serdjuk

Editorial Board:Belokonov I.V. (Russia)Caplin A.I. (Russia)Dzhandzhgava G.I. (Russia) Dzhashitova V.Je. (Russia) Fisher L. (Russia)Galchenko Ju.P. (Russia) Gromov Ju.Ju. (Russia) Guljaev Ju.V. (Russia)Homich V.Ju. (Russia)Kalinov A.V. (Russia) Karas' V.I. (Ukraine) Kejlin V.E. (Russia)Kolachevskij N.N. (Russia) Kovalev K.L. (Russia)Krasil'shhik I.S. (Russia) Kushner A.G. (Russia) Kusmartsev F.V (England) Lagarkov A.N. (Russia)Litvinov G.L. (Russia) Loshak Zh. (France) Lychagin V.V. (Russia) Malyh A.E. (Russia)Rahmanov A.L. (Russia) Pervadchuk V.P. (Russia) Reutov V.G. (Russia)Romanovskij V.R. (Russia)Rukhadze A.A. (Russia)Rybin V.M. (Russia) Samkharadze T.G. (Russia)Shalae V. (USA) Shelev M.J. (Russia)Sherbakov I.A. (Russia)Sigov A.S. (Russia)Sihvola А. (Finland) Silin V.P. (Russia)Trubeckoj K.N. (Russia)Trubeckov D.I. (Russia)Uruckoev L.I. (Russia)Voloshin I.F. (Russia) Zagorodnyj A.G. (Ukraine) Zouhdi S. (France)

Design, Make-Up: B.E. GolishnikovArticles submitted articles are reviewedEditorial office address:

107258, Moscow, Alymov per., 17, bldg. 2 editors «Applied Physics and Mathematics»Phone: 8 (985) 233-07-98E-mail: [email protected] to the press: 17.11.2014 г.Format 60х88 1/8. Matt coated paperOffset printing. Conv. printer’s sheets 16,4. Uch.-ed. l. 16,9. The order № ПФ-112. Circ. 420 экз. The layout and the electronic version of the journal are made by ltd. The Publishing House «Nauchtehlitizdat»Printed in ltd. The publishing house «Nauchtehlitizdat» 107258, Moscow, Alymov per., 17, bldg. 2Phone: 8 (499) 168-21-28

Content

APPLIED PHYSICS

V.V. Rodin P. J. McDonald, M. Jones

Two-dimensional distribution function of diffusion in wood obtained using 2D laplace inversion 3

A.V. Kuzichkin S.H. Zinnurov, A.A. Kovalsky

Dynamic distributions of a radio resource of a repeater taking into account heterogeneity of the traffic and delay at management 8

APPLIED MATHEMATICS

А.B. Kiselev

About dynamical compression (expansion) of spherical layer in viscous incompressible fluid. Zababaxin problem 15

A.V. Kukushkin

Nonsmooth mappings. Stationary models of nonsmooth dynamics 20

V.I. Rakov

About new “ideology” of interpolation with structure-forming functions 24

HISTORY OF PHYSICS AND MATHEMATICS

I.V. Ignatushina

Teaching of differential geometry in domestic universities first half of XX century 49

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 6 · 2014 3


В.В. РОДИН, П. МАКДОНАЛЬД, М. ДЖОНСкафедра физики, факультет инженерных и физических наук, университет графства Суррей Гилдфорд, Великобритания Е-mail: [email protected]

ДВУМЕРНОЕ ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА В ИССЛЕДОВАНИИ АНИЗОТРОПНОЙ ДИФФУЗИИ ВОДЫ В ДРЕВЕСИНЕ

Целью данной работы было изучение анизотропной диф-фузии воды в древесине, используя 2-мерную ЯМР-спектро-скопию с импульсным градиентом магнитного поля (ИГМП). Модельные расчеты, основанные на теории двумерных диффузионных корреляций с последующим применением обратного преобразования Лапласа (ОПЛ) были проведе-ны для ортогональных и коллинеарных пар градиентов с параметрами двумерного эксперимента на древесине. Ре-зультаты показали, как эти модели отражаются в двумерных спектрах (D1, D2), полученных с помощью ОПЛ для различ-

ных соотношений D1 / D2 в двух ортогональных направлени-ях. Когда две пары градиентов были перпендикулярны друг другу в двумерном эксперименте на древесине, анизотроп-ная диффузия обнаруживалась через появление внедиаго-нальных «крыльев» в двумерном диффузионном спектре. В эксперименте с двумя коллинеарными парами градиентов магнитного поля анизотропная диффузия воды в древесине проявлялась через два диагональных пика.

Keywords: ЯМР ИГМП, вода, древесина, анизотропия, ОПЛ

V.V. RODIN – corresponding authorP. MCDONALD, M. JONESDepartment of Physics, University of Surrey, Guildford, UK Current address: Johannes Kepler University Linz, Linz 4040, AT E-mail: [email protected]

TWODIMENSIONAL DISTRIBUTION FUNCTION OF DIFFUSION IN WOOD OBTAINED USING 2D LAPLACE INVERSION

The aim of this work was to use 2-dimensional pulsed field gradient (PFG) NMR-spectroscopy to explore the anisotropic diffusion of water in wood. Simulations based on the theory of 2D diffusion-diffusion correlations with following application of Inverse Laplace transformation (ILT) have been carried out for orthogonal and collinear pairs of gradients with parameters of 2D experiment on wood. The results showed how these are reflected in 2D (D1, D2) ILT maps for different ratios D1/D2 in

two orthogonal directions. When two pairs of gradients were applied orthogonally in 2D experiment on wood the features of diffusion anisotropy appeared as off-diagonal “wings” in 2D diffusion map whereas in the experiment with two collinear pairs of gradients anisotropic diffusion of water in wood cells has been observed as two diagonal peaks in 2D map.

Keywords: NMR PFG, water, wood, anisotropy, ILT

I. Introduction Wood is used in many engineering products which are subject of exposure to atmospheric conditions, e.g. temperature and humidity [1–3]. Wood-water interactions were studied for many years by numer-ous methods including proton nuclear magnetic res-onance (1H NMR) [2–6]. 1H-NMR is unique in the sense that information can be extracted about both the wood and water components. With the aid of NMR it is possible to provide insight into the inter-actions between wood and water in materials [4–7]. The NMR methods lead to determine the evolution of the water in the porous network of materials by relax-ation times [7–10]. 2-dimensional NMR relaxation

exchange spectroscopy has studied water exchange in the pieces of felled mature spruce and estimated the exchange rate between 1/30 and 1/3 ms-1 [11]. 2D NMR diffusion-diffusion correlation spectroscopy (DDCOSY) has been applied to clarify any aniso-tropic properties of materials: liquid crystals, plant tissues, cement, collagen fibres etc [7–9, 12, 13]. In [7] 2D DDCOSY pulse sequence with two pairs of orthogonal gradients was tested on wood before ap-plying it in cement studies.

The objective of this study was to determine the wood-water interactions inside wood samples and in-vestigate anisotropic diffusion of water using the two-dimensional 1H NMR pulsed field gradient (PFG) dif-fusometry. We look to develop these approaches on

ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА и МАТЕМАТИКА · 6 · 20144

ENGLISHПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА

oriented wood samples applying two pairs of gradients in orthogonal / collinear directions.

Simulations based on the theory of 2D dif-fusion-diffusion correlations with following application of Inverse Laplace transforma-tion (ILT) have been carried out for orthogo-nal and collinear pairs of gradients modelling isotropic and anisotropic diffusion experi-ments with parameters from 2-dimensional experiment on wood. 2D NMR DDCOSY ex-periments on wood with two pairs of orthogo-nal gradients result in 2D diffusion map with off-diagonal “wings” as a mirror of diffusion anisotropy. For 2D NMR DDCOSY with two collinear pairs of gradients anisotropic diffu-sion of water in wood appeared as two diago-nal peaks in 2D diffusion map.

II. Materials and MethodsA. Samples preparation The wood samples were received from fresh pieces of wood and kept covered in the poly-mer film in the fridge (5oC) before and between NMR measurements. Wood samples were taken from the pieces of felled mature spruce that had been kept frozen prior to use.

The samples were prepared (cut from original pieces of wood) for two different cases: in first case the samples were roughly right cube size (6 x 6 x 6 mm) that allowed to rotate wood piece by 90º in NMR tube leaving the direction of gradient to main magnetic field as constant and in second case the samples were parallelepiped size (6 x 6 x 10 mm). Each of the pieces was then placed in 10 mm NMR tube and sealed. PFG studies have been carried out on wood samples with humid-ity level (HL) higher than fiber saturation point (FSP). HL of the wood was expressed as a per-centage of the weight of the wood when oven dry [1, 2]. The FSP is the point at which all the free water has been removed from the wood and there is only bound water left, i.e. this happens between 25 and 30% humidity level. Above the FSP in addition to the short T2-components (be-tween 1 and 10 ms) a long component (in the range of 10–100 ms) has been also registered: so three T2-components in total were in the wood above the FSP [5, 11].

B. NMR techniques1H NMR measurements were made using a 400 MHz Chemagnetics Infinity spectrom-eter. The 90ο–pulse width was 10 µs and the

FIG. 1 • 2D Spin echo (DDCOSY) pulse sequence with two pairs of collinear gradient pulses with amplitude Gx, (changing G-values independently) duration of gradient pulse δ and diffusion time ∆)

spectrometer dead time was 6–8 µs. Both versions of 2-di-mensional PFG NMR experiments ((a) two pairs of orthog-onal gradients X,Y and (b) two collinear pairs of gradients in X-direction) have been applied. Fig.1 presents the exam-ple of DDCOSY experiments [8, 12] comprising of two spin echo pulse sequences (with encoding time 6 ms) and two col-linear pairs of magnetic field gradient pulses (x-direction). Echo decays were inverted using the two-dimensional ILT software based on the method of Venkataramanan et al [14]. Matrix data set has been obtained using MatCad by numeri-cal integration of Eq(3) and Eq(4) in ref [12] using MatCad software. Other analysis was done using in-house MatLab® codes. All measurements were made at room temperature. Preliminary study has been done to calibrate gradients with sample of bulk pure water [7, 8]. In order to place cubi-cal wood sample in the coil correctly, i.e. with flat surface of the sample collinearly/orthogonally to X/Y-directions of gradients we carried out preliminary model experiments on two spaced capillaries with doped water placed into 10 mm NMR tube. We have recorded profile spectra of these 2 cap-illaries for each angle of rotation of the NMR tube around direction of magnetic field B0 in the range of 0–360 degrees. Only 1 peak has been observed when the plane of capillar-ies after rotation became collinear to direction of gradient. As we were looking to show the anisotropy in the diffusion for wood samples with HL above the FSP some preliminary T2-experiments to confirm a long T2-component have been carried out also.

When 2D DDCOSY method is applied to the wood samples with water in anisotropic environments, i.e. water molecules inside diffuse with two different diffusion coefficients, then motions along orthogonal magnetic field gradient directions are correlated and this leads to the details in the local diffusion asymmetry.



FIG. 2 • 2D (D1, D2) correlation maps (spectra) calculated for the case of orthogonal gradient pulse pairs (using Eq(4) of Ref [12] to produce the matrices of echo attenuation). 2D ILT was applied to generated intensities. Simulation data are shown in Log-scale for: D2=D1=10-10 m2/s (left, isotropic diffusion); D2=10 D1 =10-9 m2/s (right, diffusional anisotropy)

III. Theory and models in 2D DDCOSY studyA scheme of the locally anisotropic domain in which the diffusion tensor has axial symmetry and is character-ised by D1 and D2 diffusion coefficients has been chosen to study local order (diffusion anisotropy in molecular frame) [12]. In the two-dimensional PFG SE NMR ex-periment the equation for attenuation of spin echo signal with respect to the independent q1

2 and q22 domain is go-

ing to that:

I q qI

q D q D( , )

exp( )exp( )1

2

2

2

01

21 2

22= − −∆ ∆ (1)

where q=γδG is a wave vector for gradient pulse (γ is the magnetogyric ratio).

In this DDCOSY experiment (Fig.1) the local diffu-sion anisotropy can be probed by changing the relative directions of q1 and q2. As a result the total echo signal in 2D DDCOSY experiment could be considered in two-dimensional space and this is obtained from linear super-position of q in both directions [7, 12, 13]. With a transfor-mation giving by Inverse Laplace Transform [12–14] it is possible to calculate the distribution of apparent diffusion tensor elements D1, D2 using the method of Venkataram-anan and Song [14]. We used this algorithm to perform two-dimensional numerical Inverse Laplace transforma-tion, developed at Schlumberger-Doll Research. The al-gorithm solves the double integral equation for signal of echo as a function of two variables (q1 and q2). The details were published in following papers [13–15]. With the ap-proach described above we are looking for anisotropy and local order in molecular frame XYZ whereas NMR dif-fusion experiment is carried out in laboratory frame xyz. That’s why one needs to transfer echo attenuation function (with tensor D1 and D2 elements in molecular frame) into laboratory frame through the consequent rotations [9]. We

consider randomly oriented molecular frames. In this case taking into account the summary over all possible orien-tation of local directors (Z-axis) of molecular coordinate system XYZ the resulting signal in 2D-space in laboratory frame for the case of orthogonal gradients is given in [12]. On the base of those equations 2D spectra can be calcu-lated by numerically.

IV. Results and discussionA. Orthogonal gradients: simulations and DDCOSY experiment 2D (D1, D2) spectra have been calculated for isotropic distribution of locally anisotropic diffusion elements as in ref [9]. We described a local domain by the diffusion tensor with axial symmetry using two apparent diffusion elements D1 and D2. The matrices I(q1

2,q22) for different

values of D1 and D2 have been calculated using parameters from experiments on wood (gradient pulse length, diffu-sion times and values of gradients). The 2D DDCOSY ex-periments gave the parameters to be introduced into q1 and q2 values and produce the matrices of the signals. Further the signal analysis used two-dimensional ILT to calculate the response in 2D distribution of diffusion coefficients. Fig.2 shows the resulting simulated 2D spectra for the cas-es of the isotropic diffusion with D1=D2 and anisotropic diffusion with D2=10D1. So in last case preudo-layer struc-ture is presented on the molecular level (in the molecular frame [8, 9, 12]) reflecting different diffusion constants D1 and D2. These simulations showed strong off-diagonal features (called as “long spots” or “wings”). These charac-teristics are the result of directly calculated spectra by the two-dimensional ILT. Fig.3 shows the resulting 2D spec-tra for the DDCOSY experiments on wood with two pairs of orthogonal gradients. The data discovered the “wings” outside main diagonal peak.

Similar 2D DDCOSY experiment has been carried out on pure water also. The data resulted in one diago-nal peak [7] as it was simulated for isotropic diffusion

Dx (m2/s * 1011)

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-2 10-1 100 101 102 10310-2

10-1

100

101

102

103

Dx (m2/s * 1011)

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-2 10-1 100 101 102 10310-2

10-1

100

101

102

103

Dy (m2/s * 1011)

Dx (m2/s * 10-10)

Dy (m

2 /s *

10-1

0 )

10-2

10-1

100

101

102

103

10-2

10-1

100

101

102

103

Dx (m2/s * 1011)

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-2 10-1 100 101 102 10310-2

10-1

100

101

102

103

Dx (m2/s * 1011)

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-2 10-1 100 101 102 10310-2

10-1

100

101

102

103

Dy (m2/s * 1011)

Dx (m2/s * 10-10)

Dy (m

2 /s *

10-1

0 )

10-2

10-1

100

101

102

103

10-2

10-1

100

101

102

103



(Fig.2, left). Thus anisotropic diffusion of water in wood studied in DDCOSY ex-periments with orthogonal pairs of gra-dient pulses is characterized by “wings” of diagonal peak in 2D spectrum. Fig.3 compares the results on wood samples with different water content. The 2D map from the wood with higher water content had clear differences around the main in-tensive peak of the diagonal. This illus-trated that the water has diffused faster along the plane of the wood cell than or-thogonal to that.

B. Collinear gradients: simulations and DDCOSY experimentFig.4 shows the resulting simulated 2D spectra for the cases of isotropic diffusion with D1=D2=10–9 m2/s (left) and anisotro-pic diffusion for D2=5D1=10–9 m2/s (right) when collinear pairs of gradient pulses are applied. In last case two diagonal peaks are reflecting diffusion anisotropy with differ-ent diffusion constants D1 and D2. We pro-duced these 2D maps calculating the matri-ces of echo response according to Eq.(20) of ref [15] with signal analysis using ILT.

Fig.5 shows 2D map as distribution of diffusion coefficients D1 and D2 in wood ob-tained in the 2D DDCOSY experiment with two pairs of collinear gradients. The data result in two peaks on the diagonal of 2D correlation map. Thus this 2D spectrum re-flects diffusion anisotropy of water in wood cells with different D1 and D2 diffusion coef-ficients as elements of diffusion tensor.

V. ConclusionsSimulations based on theory of 2D diffu-sion-diffusion correlation spectroscopy have been carried out for orthogonal and collinear pairs of gradients with parameters from 2D DDCOSY experiments showing how these are reflected in the two-dimensional (D1, D2) maps for different D1/D2 ratios. We have successfully reported how 2D DDCOSY nuclear magnetic resonance methodology works in studies of anisotropic diffusion of water in wood. Diffusion-diffusion correla-tion spectroscopy has been used to present the results of PFG studies on wood as 2D diffusion-diffusion correlation map charac-terizing features of anisotropic diffusion of

FIG. 5 • 2D (D1, D2) spectra obtained from the data set of 2D DDCOSY experiment on wood sample with HL=60% carried out for collinear pairs of gradient pulses. Diffusion anisotropy is characterised by two extended spots on the diagonal

FIG. 4 • Simulated 2D (D1,D2) maps (spectra) for the collinear pairs of mag-netic field gradient pulses. D2=D1=10–9 m2/s (left); D2=5D1=10–9 m2/s (right). Isotropic diffusion is highlighted as one round spot on the diagonal. Dif-fusion anisotropy is characterised by two extended spots on the diagonal

Dx (m2/s * 1011)

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-1 100 101 102

10-1

100

101

102

Dx (m2/s * 1011)

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-2 10-1 100 101 102 10310-2

10-1

100

101

102

103

FIG. 3 • 2D (D1, D2) maps (spectra) obtained from 2D DDCOSY experiment on wood samples with HL=51% (left) and HL=59% (right) for orthogonal pairs of gradient pulses. Diffusion anisotropy is characterised by off-diag-onal “wings”

Dx (m2/s * 1011

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-2

10-1

100

101

102

103

10-2

10-1

100

101

102

103

Dx (m2/s * 1011)

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-2 10-1 100 101 102 10310-2

10-1

100

101

102

103

Dx (m2/s * 10-10)

Dy (m

2 /s *

10-1

0 )

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Dx (m2/s * 1011)

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 10310-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

D (m2/s * 1011)

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Dx (m2/s * 1011)

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Dx (m2/s * 10-10)

Dy (m

2 /s *

10-1

0 )

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Dx (m2/s * 1011)

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 10310-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

D (m2/s * 1011)

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

Dx (m2/s * 1011)

Dy (m

2 /s *

1011

)

10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102



water as “wings” to main diagonal peak for the 2D PFG experiment with two pairs of orthogonal gradient pulses and as two diagonal peaks for 2D PFG experi-ment with two pair of collinear gradients. The studies compared wood pieces at different moisture content. The results showed clearly how the features of wa-ter distribution in anisotropic environment within the wood sample changed between the higher moisture content of wood piece and the lower moisture level of wood sample. Wetting the wood to very high mois-ture content can result in disappearance of “wings” registered in 2D diffusion maps obtained by 2D ILT from 2D DDCOSY experiments with orthogonal pairs of gradient pulses. The use of 2D Laplace inversion algorithm in fast and efficient producing DDCOSY correlation spectra enables to use the two-dimensional diffusion-diffusion correlation spectroscopy for the study of molecular dynamics of water in wood.

The 2D DDCOSY experiment is potentially able to monitor development of changes in moisture level of wood materials measuring the intensity and position of main diagonal peak in 2D diffusion-diffusion correla-tion map keeping the correlation between D1 and D2 as “wings” and comparing these for wet wood and for wood piece with low water content. The limits of meth-odology could be clarified when drying material to FSP or lower towards to zero.

Acknowledgment The authors thank Y.-Q. Song of Schlumberger-Doll esearch for 2D Fast Laplace Inversion software. The study was supported by the UK Engineering and Physical Sciences Research Council (no: EP/H033343/1) and Corporate and Forestry Support, Forestry Commission.

References1. W.T. Simpson, “Drying and control of moisture content and dimensional

changes”. Chap. 12. In: Forest Products Laboratory. Wood handbook—Wood as an engineering material.Gen. Tech. Rep. FPL–GTR–113. Madison, WI: U.S. Department of Agriculture, Forest Service, Forest Products Laboratory, 1999. 463 p.

2. C.A.S. Hill, A.J. Norton, G. Newman, “The water vapour sorption properties of Sitka spruce determined using a dynamic vapour sorption apparatus”, Wood Science and Technology, 2010. Vol. 44. PP. 497–514.

3. M. Lindner, W. Werhahn-Mees, T. Suominen, D. Vötter et al. “Conducting sustainability impact assessments of forestry–wood chains: examples of To-SIA applications“, European Journal of Forest Research, 2011, doi:10.1007/s10342-011-0499-z.

4. L.G. Thygesen, T. Elder, “Moisture in untreated, acetylated, and furfurylated Norway spruce studied during drying using time domain NMR”, Wood and Fiber Science, 2008. Vol. 40. PP.309–320.

5. Ville-Veikko Telkki, Miikka Yliniemi, Jukka Jokisaari, “Moisture in soft-woods: fiber saturation point, hydroxyl site content, and the amount of micro-pores as determined from NMR relaxation time distributions”, Holzforschung, 2013. Vol. 67. Issue 3. PP. 291–300.

6. P. Fantazzini, A. Maccotta, M. Gombia, C. Garavaglia et al, “Solid–liquid nuclear magnetic resonance relaxation and signal amplitude relationships with ranking of seasoned softwoods and hardwoods”, Journal of Applied Physics, 2006. Vol. 100. PP. 0749071–749077.

7. V. Rodin, P. McDonald, S.Zamani, “A nuclear magnetic resonance pulsed field gradient study of self-diffusion of water in hydrated cement pastes”, Diffusion Fundamentals, 2013. Vol. 18. PP. 1–7.

8. V. Rodin, V.Nikerov, “NMR-relaxation and PFG NMR studies of water dy-namics in oriented collagen fibres with different degree of cross-linking”, Cur-rent Tissue Engineering, 2014. Vol. 3. № 1. PP. 1–15.

9. P.T. Callaghan, Translational Dynamics and Magnetic Resonance, Oxford University Press: Oxford, UK, 2011.

10. Y-Q. Song, “Focus on the physics of magnetic resonance on porous me-dia”, New Journal of Physics, 2012. Vol. 14, 055017. doi:10.1088/1367-2630/14/5/055017.

11. Julia Cox et al. “A study of water exchange in wood by means of 2D NMR relaxation correlation and exchange”. Holzforschung, 2010. Vol. 64. PP. 259–266.

12. Callaghan PT, Furó I. “Diffusion-diffusion correlation and exchange as a signature for local order and dynamics”, J Chem Phys. 2004. Vol. 120(8), pp.4032–8.

13. Petrik Galvosas et al “On the use of 2D correlation and exchange NMR spec-troscopy in organic porous materials”, Magnetic Resonance Imaging, 2007. Vol. 25. PP.497–500.

14. L.Venkataramanan, Yi-Qiao Song, M.D. Hurlimann, “Solving Fredholm inte-grals of the first kind with tensor product structure in 2 and 2.5 dimensions”, IEEE Trans. Signal Process, 2002. Vol. 50, pp.1017–1026.

15. P.T. Callaghan, “How two pairs of gradient pulses give access to new infor-mation about molecular dynamics”, Diffusion Fundamentals, 2005. Vol. 2. PP. 64.1–64.18.

Information about the authors

Victor Rodin received MS in Chemical & Molecular Physics from Moscow Institute of Physics and Technology; Ph D degree in Biophysics from Research Institute of Biophysics, RAS, in 1986 and Dc Sc in Colloid & Polymer Chemistry from Moscow State University in 1997. He worked in NMR centres: INRA, France (2001-2002), University of East Anglia, UK (2003), University of Bristol, Colloid Centre, UK (2004-2006), University of Surrey, Department of Physics (2006-2013). His research experience was focused on the development and application of MR methods / analysis to study different materials (biomaterials, blood, polymers, gels, xenon, collagen, silk, skin, wood, cement etc). Since 2014 he is work-ing at Johannes Kepler University of Linz, Austria (FWF-project to study non-linear effects of nuclear magnetic spin-noise and NMR diffusion).

Peter McDonald has Ph D in Physics. He joined the Department of Physics, University of Surrey in 1985, He was promoted to Professor in 2000. He is currently co-ordinator of GRADnet, the collaborative physics graduate school of SEPnet, the South East Physics network. He is a former Head of Physics at Surrey and was the inaugural Director of the Surrey Materials Institute. He is Chairman of The Magnetic Resonance in Porous Media Division and an Executive Committee member of the Groupement Ampere. His research interests focus on the development, ap-plication and theory of nuclear magnetic resonance relaxation analysis and broad line imaging techniques to the study of liquids in porous media.

Marc Jones received Ph D degree in Physics from University of Surrey, department of Physics, Guildford, GU2 7XH, UK, in 2012. He was working in NMR centre of University of Surrey studying structure of wood materials and water diffusion in living tree. He has an experience in the design of the ‘Tree Hugger’, an open access, transportable, 1.1 MHz 1H nuclear magnetic resonance imaging system for the in situ analysis of living trees in the forest. A unique construction was used to achieve access up to 210 mm and to allow the magnet (weighs 55 kg) to be transported. The feasibility of imaging living trees in situ using the ‘Tree Hugger’ was demonstrated. Correlations were drawn between NMR/MRI measurements and other indicators such as relative humidity, soil moisture and net solar radiation.Marc Jones is currently working at University of Surrey (Department of Chemistry).



А.В. КУЗИЧКИН – доктор техн. наук профессор, заслуженный деятель науки РФ Научно-исследовательский институт телевидения, заместитель генерального директора по информационным технологиям, Санкт-Петербург, Российская ФедерацияС.Х. ЗИННУРОВ – адъюнкт Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского E-mail: [email protected]А.А. КОВАЛЬСКИЙ – адъюнкт Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского E-mail: [email protected]Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского Санкт-Петербург, Российская Федерация

ДИНАМИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИОРЕСУРСА РЕТРАНСЛЯТОРА С УЧЕТОМ НЕОДНОРОДНОСТИ ТРАФИКА И ЗАПАЗДЫВАНИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ

В статье рассматривается вариант организации множест-венного доступа к радиоресурсу спутника ретранслятора с выделением каналов по требованию на основе резервирова-ния. Обширность зон обслуживания и, соответственно, або-нентской базы спутников-ретрансляторов, с одной стороны, и принципиальная ограниченность их частотно-энергети-ческого ресурса (радиоресурса), с другой стороны, требуют оперативного перераспределения радиоресурса между ак-тивными и пассивными радионаправлениями с целью повы-шения эффективности его использования. Сформулированы задачи оперативного распределения (резервирования) ра-диоресурса спутника-ретранслятора в виде задачи нелиней-

ного программирования и приведен пример ее решения при обслуживании нестационарного потока сообщений, форми-руемого группой речевых абонентов. В качестве модели не-стационарного потока сообщений, формируемого речевыми абонентами с учетом подавления сигнала в паузах, исполь-зован модулированный марковский процесс и его частный случай – прерываемый пуассоновский процесс. Сущность предложенного метода управления состоит в гибком подклю-чении дополнительного резерва при достижении очередью сообщений на входе земной станции определенного порога.Ключевые слова: радиоресурс, динамическое резервиро-вание, спутниковая связь.

A.V. KUZICHKIN – Doctor of Tech. Sciences, Professor Television Research Institute, Saint Petersburg, Russian FederationS.H. ZINNUROV – The Graduate Student of A.F. Mozhaisky Military space academy E-mail: [email protected]. KOVALSKY – The Graduate Student of A.F. Mozhaisky Military space academy E-mail: [email protected]. Mozhaisky Military space academy Saint Petersburg, Russian Federation

DYNAMIC DISTRIBUTIONS OF A RADIO RESOURCE OF A REPEATER TAKING INTO ACCOUNT HETEROGENEITY OF THE TRAFFIC AND DELAY AT MANAGEMENT

The article considers the option of multiple organizations access to radio resource allocation satellite transponder with DAMA based backup . The vastness of the service areas and, conse-quently, the subscriber base relay satellites , on the one hand, and the limitations of their fundamental frequency energy re-sources (radio resource) , on the other hand, require operative radio resource reallocation between active and passive radio directions to improve the efficiency of its use. The problems of rapid distribution (backup) repeater satellite radio resource in the form of a nonlinear programming problem and its solution

is an example of unsteady flow at service posts , formed by a group of voice subscribers. As a model of unsteady flow of mes-sages generated by voice subscribers, taking into account the suppression of signal pauses modulated Markov process and its special case – interrupted Poisson process are used. The essence of the proposed control method is flexible connecting of addi-tional reserve at the entrance of the earth station of a certain threshold when the queue obtains messages.Keywords: radio resource, dynamic reservation, satellite com-munication.

Для удаленных и труднодоступных регионов России использование систем спутниковой связи (ССС) за-частую является единственно возможным средством доступа к современным инфокоммуникационным услугам. Принципиальная ограниченность частот-но-энергетического ресурса (далее – радиоресурса) спутника-ретранслятора (СР) и большая численность потенциальных абонентов в обширной зоне обслу-живания выдвигают на первый план проблему дина-

мического перераспределения радиоресурса между активными и пассивными направлениями связи. До-полнительным фактором, усиливающим актуальность разрешения указанной проблемы, является неодно-родность и, как следствие, нестационарность (пуль-сация) трафика, формируемого различными муль-тимедийными службами [1, 4, 6]. Следует ожидать, что учет различий в требованиях к качеству доставки разных видов трафика, а также прерывистого характе-



ра процесса обмена информацией позволит добиться существенного повышения пропускной способности ССС на основе оперативного маневра радиоресурсом СР между радионаправлениями. Главным препятстви-ем на пути внедрения методов оперативного управле-ния перераспределением радиоресурса СР являются высокие задержки распространения сигналов в спут-никовых радиолиниях [1, 6].

Предлагаемый в работе подход состоит в том, что запрашиваемый (и выделяемый) для земной станции (ЗС) в радионаправлении радиоресурс включает не только некоторое число i ресурсных единиц (кана-лов) ретранслятора, необходимое для поддержания требуемого качества связи для активных соединений, но и дополнительный резерв (запас), призванный скомпенсировать запаздывание в управлении СР (при внезапной активизации «молчащих» на теку-щий момент абонентов).

Задачу определения минимальной величины ре-зерва R рассмотрим на примере уплотнения группы из M абонентов, ведущих телефонные переговоры через периферийную ЗС в одном радионаправлении. Учитывая высокий процент (> 60%) пауз в процессе телефонного разговора [2, 3, 5], следует ожидать, что при использовании пакетной формы передачи речи в режиме подавления пауз удастся существенно сокра-тить величину выделяемого ЗС ресурса каналов K (в том числе с дополнительным резервом R ) и, соот-ветственно, повысить емкость радиосети в целом. Дополнительно следует учесть некоторую смысло-вую избыточность речи, которая допускает до 15% потерь от общего числа речевых пакетов без сниже-ния качества диалога [2, 4, 7]. Задача состоит в опре-делении величины запрашиваемого каждой ЗС ре-зерва R , необходимого для поддержания заданного качества связи (уровня потерь) с учетом запаздыва-ния при управлении. Эффективность управления можно оценить значением достигаемого коэффици-ента уплотнения [5].

При этом возможно две стратегии выбора значе-ния резерва R . Первая стратегия состоит в том, что величина резерва R устанавливается фиксирован-ной для каждой группы абонентов и минимальной при ограничении на вероятность потери речевого па-кета. Вторая стратегия выбора величины резерва R состоит в том, что величина резерва адаптивно изме-няется в зависимости от числа активных в текущем цикле абонентов и емкости канальной группы. Оче-видно, что вторая стратегия более сложна в реализа-ции, так как в этом случае необходимо вести таблицу значений R для каждого соотношения числа i ак-тивных абонентов и емкости K выделенного ЗС ре-сурса пропускной способности СР.

Так как число активных абонентов в группе изме-няется случайным образом, независимо от числа вы-деленных каналов, то каждое состояние можно ха-рактеризовать парой чисел ( i j, ), где i M= 0, – число активных абонентов; j R K i R= +,min ,[ ( )] – число выделенных для телефонии каналов.

При первой стратегии (с фиксированным резер-вом) необходимо поддерживать постоянную величину R до тех пор, пока не будет исчерпан весь доступный ресурс каналов. В качестве примера на рисунке 1 изо-бражен граф переходов в марковской цепи, моделиру-ющей процесс уплотнения группы из четырех абонен-тов при фиксированной величине резерва R =1.

Динамическое выделение каналов ЗС (при акти-визации абонента) осуществляется не мгновенно, а с запаздыванием, через некоторый случайный интер-вал времени, значение которого определяется задер-жкой распространения сигналов до СР и протоколом множественного доступа.

В качестве допущения, позволяющего воспользо-ваться аппаратом теории марковских процессов, при-мем, что эта величина задержки распространения имеет показательное распределение со средним зна-чением Tp . Тогда интенсивность переходов из со-стояний ( i j, ) в состояния ( i j, +1) будет равна α =1/Tp . На графе (рис. 1) этим переходам соответ-ствуют горизонтальные стрелки в правом направле-нии. Для расчета стационарных вероятностей состо-яний такой марковской цепи составлена система линейных уравнений:

РИС. 1 • Модель процесса обслуживания четырехканаль-ной группы с адаптивно изменяемой величиной резерва

запаздывания при управлении. Эффективность управления можно оценить значением

достигаемого коэффициента уплотнения [5].

При этом возможно две стратегии выбора значения резерва R . Первая стратегия

состоит в том, что величина резерва R устанавливается фиксированной для каждой группы

абонентов и минимальной при ограничении на вероятность потери речевого пакета. Вторая

стратегия выбора величины резерва R состоит в том, что величина резерва адаптивно

изменяется в зависимости от числа активных в текущем цикле абонентов и емкости канальной

группы. Очевидно, что вторая стратегия более сложна в реализации, так как в этом случае

необходимо вести таблицу значений R для каждого соотношения числа i активных абонентов и

емкости K выделенного ЗС ресурса пропускной способности СР.

Так как число активных абонентов в группе изменяется случайным образом, независимо

от числа выделенных каналов, то каждое состояние можно характеризовать парой чисел ( ,i j ),

где 0,i M – число активных абонентов; ,mi ( )]n[ ,j R K i R � – число выделенных для

телефонии каналов.

При первой стратегии (с фиксированным резервом) необходимо поддерживать

постоянную величину R до тех пор, пока не будет исчерпан весь доступный ресурс каналов. В

качестве примера на рис. 1 изображен граф переходов в марковской цепи, моделирующей

процесс уплотнения группы из четырех абонентов при фиксированной величине резерва 1R .

Динамическое выделение каналов ЗС (при активизации абонента) осуществляется не

мгновенно, а с запаздыванием, через некоторый случайный интервал времени, значение

которого определяется задержкой распространения сигналов до СР и протоколом

множественного доступа.

Рис. 1 Модель процесса обслуживания четырехканальной группы с динамическим

резервированием одного дополнительного канала



Особенность системы уравнений (1) состоит в том, что сумма вероятностей со-стояний каждого яруса по горизонтали (рис. 1) для каждого индекса i совпадает с вероятностями Pi активизации i або-нентов:

p Pijj R

i R Ki

=

+∑ =

min( , ).

Потери будут происходить в том слу-чае, когда число активных абонентов бу-дет превышать число доступных каналов, т.е. при ( )i j− > 0 . При этом, если ( )i j− =1 , то будут теряться пакеты лишь одного соединения, при ( )i j− = 2 – двух соединений и т.д. Состояния марковской цепи, в которых происходят потери паке-тов, отделены в нижней части графа (рис. 1) штриховой линией. Учитывая, что стационарные вероятности состояний по-казывают, какую долю времени на интер-вале наблюдения процесс проводит в том или ином состоянии, вероятность потери речевых пакетов может быть оценена соотношением:

P i j pijj R

K i

i R

Nn = −

=

−

= +∑∑ ( )

min( , )1

1

.

Для второй стратегии резервирования с адаптивно изменяемой величиной ре-зерва может быть построена марковская цепь, подобная изображенной на ри-сунке 1. В качестве примера на рисунке 2

РИС. 2 • Модель процесса обслуживания четырехканальной группы с адаптивно изменяемой величиной резерва

pN i p K i p p

N i iiji j i j i j=

− + + + +− + +

− + −λ µ αλ µ α

( ) min( , )

( )

( ) ( ) ( )1 11 1 1,, , , , ;

min( , )( )( ) ( )( )

i jN R i R

pK i p p

iji j i j

= =− + −

=+ + ++ + +

1 1 1

1 1 1 1µ αppN i i

N

pp

i j i R

p j i R

i j

NjN j

ij

( )

( )

( ), , ,

( )

;

, ;

−

−

− +−

−

=

= = +

= >

1

1

1 1

0

λ µ

λ +++

−

=+

=−

− −

=

αµ α

λ αµ

pK

R K

pp p

K

p

jN j

N KN K N K

ijj R

( )

,( ) ( )

min(

, , ;

;

1

1 1

1

ii R K

i

N +

=∑∑ =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

, ).

0

1

(1)

примера на рис. 2 приведен граф состояний для системы уплотнения 6 телефонных каналов

при начальном уровне резерва 1 2R . После достижения порогового состояния, в котором

активны три абонента, уровень резерва снижается на 1, т.е. до 2 1 –1 R R .

Рис. 2 Модель процесса обслуживания четырехканальной группы с адаптивно изменяемой

величиной резерва

Для данной модели может быть составлена аналогичная (1) система линейных

алгебраических уравнений, позволяющая рассчитать стационарные вероятности состояний.

Отличием новой системы уравнений от (1) является условие:

0 i jp при 1 ; прi i j i R! � ,

где прi – предельное значение числа активных абонентов, после которого уровень резерва

снижается на 1. Состояния марковской цепи, в которых происходят потери пакетов, отделены

в нижней части графа пунктирной линией.

При известных вероятностях состояний для первой и второй модели можно оценить

среднее число занимаемых трафиком телефонии каналов K :

min( , )

0

K i RNij

i j RK jp

�

¦ ¦ ,

а также уровень потерь речевых пакетов и величину свободного ресурса (K K� ), который

приведен граф состояний для системы уплотнения 6 телефон-ных каналов при начальном уровне резерва R1 2= . После до-стижения порогового состояния, в котором активны три абонен-та, уровень резерва снижается на 1, т.е. до R R2 1 1= − .



РИС. 3 • Модель процесса передачи данных с изменяемой скоростью передачи

Для данной модели может быть составлена ана-логичная (1) система линейных алгебраических уравнений, позволяющая рассчитать стационарные вероятности состояний. Отличием новой системы уравнений от (1) является условие:

pi j = 0 при i i j i R> = +пр; 1 ,

где iпр – предельное значение числа активных або-нентов, после которого уровень резерва снижается на 1. Состояния марковской цепи, в которых проис-ходят потери пакетов, отделены в нижней части гра-фа пунктирной линией.

При известных вероятностях состояний для пер-вой и второй модели можно оценить среднее число занимаемых трафиком телефонии каналов K :

K jpijj R

K i R

i

N=

=

+

=∑∑

min( , )

0

,

а также уровень потерь речевых пакетов и величину свободного ресурса ( K K− ), который может быть задействован для передачи данных.

Число каналов, доступных для передачи сообще-ний данных (не занятых в текущий момент молча-щими абонентами), будет случайным образом изме-няться от 0 до ( K R− ). Таким образом, дополнительный канал передачи данных, образуе-мый через ЗС, может быть представлен системой массового обслуживания (СМО) с переменной ин-тенсивностью обслуживания.

Если принять допущение о том, что поток посту-пающих сообщений данных является пуассоновским

с параметром γ , а объем сообщений данных являет-ся случайной величиной v с экспоненциальным распределением:

B v e v v( ) /= − −1 ,

где v – средний объем сообщения данных в битах, то в качестве модели исследуемой СМО может быть использована двумерная марковская цепь, граф со-стояний которой для рассматриваемого примера представлен на рисунке 3.

Состояния марковской цепи характеризуются па-рой чисел ( i j, ), где i – число свободных каналов, которые могут быть использованы для передачи дан-ных ( i K R= −0, ); j – число сообщений данных, ко-торые необходимо передать ( j N= 0, ); N – предель-ная емкость буфера данных. Интенсивности переходов между состояниями определяются следу-ющим образом:

γ – интенсивность поступления сообщений данных;β – интенсивность обслуживания сообщений дан-ных в одном канале мультиплексора, определяемая соотношением β = c v/ , где c – скорость передачи в отдельном канале;μ – интенсивность освобождения каналов;αi – интенсивность резервирования i -го канала.

Для расчета стационарных вероятностей состоя-ний pi j� рассматриваемой модели может быть со-ставлена система линейных алгебраических уравнений:

может быть задействован для передачи данных.

Число каналов, доступных для передачи сообщений данных (не занятых в текущий

момент молчащими абонентами), будет случайным образом изменяться от 0 до (K R� ).

Таким образом, дополнительный канал передачи данных, образуемый через ЗС, может быть

представлен системой массового обслуживания (СМО) с переменной интенсивностью

обслуживания.

Если принять допущение о том, что поток поступающих сообщений данных является

пуассоновским с параметром J , а объем сообщений данных является случайной величиной

v̂ с экспоненциальным распределением:

/( ) 1 v vB v e� � ,

где v – средний объем сообщения данных в битах, то в качестве модели исследуемой СМО

может быть использована двумерная марковская цепь, граф состояний которой для

рассматриваемого примера представлен на рис.3.

Рис. 3 Модель процесса передачи данных с изменяемой скоростью передачи

Состояния марковской цепи характеризуются парой чисел ( ,i j ), где i – число

свободных каналов, которые могут быть использованы для передачи данных ( 0 , Ri K � ); j

– число сообщений данных, которые необходимо передать ( 0 ,j N ); N – предельная

емкость буфера данных. Интенсивности переходов между состояниями определяются

следующим образом:

J – интенсивность поступления сообщений данных;

E – интенсивность обслуживания сообщений данных в одном канале мультиплексора,

определяемая соотношением / vcE , где c – скорость передачи в отдельном канале;

P – интенсивность освобождения каналов;



РИС. 4 • Средняя скорость передачи канала данных при уплотнении K телефонных каналов и ограничении потерь на уровне 5%

pp p

K Rj N

p p pK R

p

jj j

NN N

i

01 1 0 1

01 1 0 1

1 1=+

− += −

=+−

−

−

α γµ γ

α γµ

( ), , ;

( );

jji i i j i j i j

i

p p i p p K R ii K R i

=+ + + − − +

+ + − −+ + + − −1 1 1 1 1 1α β γ µ

α β, , , ( )

( )µµ γ+= − =

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

==

−∑∑

, , , , ;

.

i K R j N

pijj

N

i

K R

1 0

100

резервируемых каналов от 3 до 1 по мере увеличения числа активных абонентов. В этом

случае емкость уплотняемой группы может превышать 20 каналов при сохранении потерь на

уровне 5%.

Рис. 4 Средняя скорость передачи канала данных при уплотнении K телефонных каналов и

ограничении потерь на уровне 5%.

Анализ приведенных зависимостей показывает, что скорость передачи в канале

данных растет практически линейно по мере увеличения емкости уплотняемой канальной

группы до тех пор, пока не достигается предельный уровень потерь пакетов телефонии и не

возникает необходимость увеличения числа резервируемых каналов. Учитывая случайный

характер потока сообщений данных и ограничения на максимальную задержку, следует

отметить, что реальная скорость передачи в канале данных оказывается меньшей, чем та,

которую может обеспечить ресурс незанятых телефонией каналов, и составляет порядка 60%

от емкости доступной группы каналов. Ограничивая коэффициент загрузки канала данных

на уровне 0.6, можно оценить достигаемый при совместном уплотнении речи и данных

коэффициент уплотнения радиолинии yK :

0.6 ( )y

MK KKK

� u � ,

где M – число уплотняемых источников телефонии.

На рис. 5 представлены зависимости коэффициента уплотнения yK и коэффициента

использования радиоресурса (КИР) от емкости канальной группы K , уплотняемой M

телефонными абонентами и потоком данных, при ограничении потерь речевых фрагментов

на уровне 5% и предельной задержки сообщений данных на уровне 1с.

После расчета стационарных вероятностей состо-яний исследуемой марковской цепи легко могут быть вычислены следующие характеристики:

− средняя длина очереди сообщений данных в буфере:

q j piji

K R

j

N=

=

−

=∑∑02

;

− вероятность переполнения буфера:

P piNi

K RΠ =

=

−∑

0;

− среднее время ожидания сообщения данных до начала передачи:

ωγ

=−q

P( )1 Π,

где γ – интенсивность поступления сообщений данных.

На рисунке 4 представлены зависимости предель-но достижимой средней скорости передачи данных в зависимости от емкости уплотняемой группы теле-фонных каналов для трех стратегий резервирования каналов:

а) при первой стратегии резервируется только один дополнительный канал, при этом потери превы-шают норму уже на группе из 9 каналов;

б) при второй стратегии число резервируемых кана-лов адаптивно изменяется от 2 до 1 в зависимости от числа активных абонентов. В этом случае ко-эффициент уплотнения несколько снижается, од-нако потери остаются в норме при емкости уплот-няемой группы вплоть до 14 каналов;



в) третья стратегия резервирования предполагает адаптивное изменение числа резервируемых ка-налов от 3 до 1 по мере увеличения числа актив-ных абонентов. В этом случае емкость уплотня-емой группы может превышать 20 каналов при сохранении потерь на уровне 5%.

Анализ приведенных зависимостей показывает, что скорость передачи в канале данных растет пра-ктически линейно по мере увеличения емкости уплотняемой канальной группы до тех пор, пока не достигается предельный уровень потерь пакетов те-лефонии и не возникает необходимость увеличения числа резервируемых каналов. Учитывая случай-ный характер потока сообщений данных и ограни-чения на максимальную задержку, следует отме-тить, что реальная скорость передачи в канале данных оказывается меньшей, чем та, которую мо-жет обеспечить ресурс незанятых телефонией кана-лов, и составляет порядка 60% от емкости доступ-ной группы каналов. Ограничивая коэффициент загрузки канала данных на уровне 0.6, можно оце-нить достигаемый при совместном уплотнении речи и данных коэффициент уплотнения радиоли-нии K y :

K M KK

Ky = + × −0 6. ( )

,

где M – число уплотняемых источников телефонии.

На рисунке 5 представлены зависимости коэффи-циента уплотнения K y и коэффициента использова-ния радиоресурса (КИР) от емкости канальной груп-пы K , уплотняемой M телефонными абонентами и потоком данных, при ограничении потерь речевых фрагментов на уровне 5% и предельной задержки со-общений данных на уровне 1с.

Анализ приведенных зависимостей позволяет сделать выводы:1. Использование механизма динамического рас-

пределения каналов каждой ЗС (в зависимости от текущей активности) даже с учетом резерва на запаздывание позволяет заметно (на 20–25%) повысить кратность уплотнения бортового ради-оресурса СР по сравнению со статическим закре-плением каналов. При этом появляется дополни-тельная возможность уплотнения спутниковых радиолиний потоками данных, не столь чувстви-тельных к задержкам.

2. Совместное уплотнение образуемой ЗС группы каналов потоками речи и данных позволяет суще-ственно повысить коэффициент использования выделенного станции радиоресурса (до уровня 80%, в отличие от 40% без уплотнения) и практи-чески удвоить емкость ССС.

3. Резервирование фиксированного числа каналов оправдывает себя лишь для небольших групп (до 8 включительно) абонентов (кривая 1, рис. 4). При большей численности группы величина по-терь в случае малого уровня резерва (1 канал)

РИС. 5 • Зависимость коэффициента уплотнения KC и КИР радиолинии от емкости канальной группы K, уплотняемой M телефонными абонентами и потоком данных (предельно достижимые значения)

Рис. 5 Зависимость коэффициента уплотнения уK и КИР радиолинии от емкости канальной

группы K , уплотняемой M телефонными абонентами и потоком данных (предельно

достижимые значения)

Анализ приведенных зависимостей позволяет сделать выводы:

1. Использование механизма динамического распределения каналов каждой ЗС (в

зависимости от текущей активности) даже с учетом резерва на запаздывание позволяет

заметно (на 20-25%) повысить кратность уплотнения бортового радиоресурса СР по

сравнению со статическим закреплением каналов. При этом появляется дополнительная

возможность уплотнения спутниковых радиолиний потоками данных, не столь

чувствительных к задержкам.

2. Совместное уплотнение образуемой ЗС группы каналов потоками речи и данных

позволяет существенно повысить коэффициент использования выделенного станции

радиоресурса (до уровня 80%, в отличие от 40% без уплотнения) и практически удвоить

емкость ССС.

3. Резервирование фиксированного числа каналов оправдывает себя лишь для

небольших групп (до 8 включительно) абонентов (кривая 1, рис.4). При большей

численности группы величина потерь в случае малого уровня резерва (1 канал) быстро

превышает допустимый уровень, что приводит к невозможности поддержания

удовлетворительного качества диалога. В случае же большого уровня резерва (два и более

каналов) практически пропадает эффект экономии ресурса пропускной способности

уплотняемой спутниковой радиолинии.

4. Для групп абонентов численностью от 8 и выше более выгодным с точки зрения

допустимого уровня потерь и достигаемого выигрыша является динамическое

резервирование запасных каналов с адаптивно изменяемой величиной резерва. При этом

величина необходимого резерва определяется общей численностью уплотняемой группы и



быстро превышает допустимый уро-вень, что приводит к невозможности поддержания удовлетворительного ка-чества диалога. В случае же большого уровня резерва (два и более каналов) практически пропадает эффект эконо-мии ресурса пропускной способности уплотняемой спутниковой радиолинии.

4. Для групп абонентов численностью от 8 и выше более выгодным с точки зрения допустимого уровня потерь и достигаемого выигрыша является ди-намическое резервирование запасных каналов с адаптивно изменяемой ве-личиной резерва. При этом величина необходимого резерва определяется общей численностью уплотняемой группы и текущим значением числа активных абонентов. Значения резер-ва для различных сочетаний исходных данных могут быть установлены про-граммно или «зашиты» в память бор-товой вычислительной машины СР на этапе проектирования.

5. Предложенный в работе метод и раз-работанные математические модели позволяют обоснованно управлять (с учетом запаздывания) выделяе-мым для каждой ЗС радиоресурсом (числом резервируемых для телефо-нии и выделяемых для передачи дан-ных каналов), обеспечивая заданные параметры качества обслуживания абонентов.

Список литературы1. Антонян А.Б. Пакетная коммутация для передачи речи //

Вестник связи. 1999. № 5. C. 68–71.2. Коган А.В. IP-телефония: оценка качества речи // Техноло-

гии и средства связи. 2001. № 1. C. 78–84.3. Федин Д.Н. Передача голоса по сетям с пакетной коммута-

цией // Вестник связи. 1999. № 9. C. 33–35.4. Шелухин О.И., Лукьянцев Н.Ф. Цифровая обработка речи.

М.: Радио и связь, 2000. 256 с.5. Chandra K. Statistical multiplexing. Wiley Encyclopedia of

Telecommunicatins. 2003. 352 p.6. Gruber J.G. Delay related issues in integrated voice and data net-

works. IEEE Trans. Comm. 1981.Vol. 29. № 6. PP. 768–800.7. Minoly D. Issues in packet voice communication. Proc. IEEE.

1979. Vol. 126. № 8. PP. 135–172.

References1. Antonyan A.B. Paketnaya kommutatsiya dlya peredachi rechi

[Packet switching for voice]. Vestnik svyazi [Bulletin of com-munication]. 1999. № 5. PP. 68–71.

2. Kogan A.V. IP-telefoniya: otsenka kachestva rechi [IP-telepho-ny: evaluation of speech quality ]. Tekhnologii i sredstva svy-azi [Technologies and mediums communications]. 2001. № 1. PP. 78–84.

3. Fedin D.N. Peredacha golosa po setyam s paketnoy kommu-tatsiey [Voice over packet switching networks ]. Vestnik svyazi [Bulletin of communication].1999. № 9. PP. 33–35.

4. Shelukhin O.I., Lukyantsev N.F. Tsifrovaya obrabotka rechi [Digital processing of speech] M.: Radio i svyaz [Moscow: Publishing house «Radio and communication»], 2000. 256 p.

5. Chandra K. Statistical multiplexing. Wiley Encyclopedia of Telecommunicatins. 2003. 352 p.

6. Gruber J.G. Delay related issues in integrated voice and data networks. IEEE Trans. Comm. 1981. Vol.29. № 6. PP. 768–800.

7. Minoly D. Issues in packet voice communication. Proc. IEEE. 1979. Vol. 126. № 8. PP. 135–172.

Сведения об авторах Information about the authors

Кузичкин Александр Васильевичдоктор техн. наук профессор, засл. деятель науки РФ

Научно-исследовательский институт телевидениязам. ген. директора по информационным технологиям

194021, Санкт-Петербург, Российская Федерацияул. Политехническая, 22

Зиннуров Салават Халиловичадъюнкт Военно-космической академии

имени А.Ф. Можайского E-mail: [email protected]

Ковальский Александр Александровичадъюнкт Военно-космической академии

имени А.Ф. Можайского E-mail: [email protected]

Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского 197198, Санкт-Петербург, Российская Федерация

ул. Ждановская, 13

Kuzichkin Aleksandr VasilyevichDoctor of Tech. SciencesProfessor Television Research Institute194021, Saint Petersburg, Russian FederationPolitechnicheskaya str., 22Zinnurov Salavat KhalilovichThe Graduate Student of A.F. Mozhaisky Military space academy E-mail: [email protected] Alexander AlexandrovichThe Graduate Student of A.F. Mozhaisky Military space academyЕ-mail: [email protected]. Mozhaisky Military space academy 197198, Saint Petersburg, Russian FederationZhdanovskaya str., 13



А.Б. КИСЕЛЕВ – доктор физ.-мат. наук, профессор Механико-математический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова Москва, Российская Федерация, Е-mail: [email protected]

О ДИНАМИЧЕСКОМ СЖАТИИ (РАСШИРЕНИИ) СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. ЗАДАЧА ЗАБАБАХИНА

В работе получено точное аналитическое решение одномер-ной динамической задачи о сжатии (расширении) сфери-ческого слоя несжимаемой вязкой жидкости Навье-Стокса. Движение жидкости в слое в начальный момент времени от-сутствует, а на внешней и внутренней его поверхностях дейст-вуют давления, произвольным образом зависящие от време-ни. Решение получено в лагранжевых переменных. В случае, когда внешняя граница слоя жидкости удаляется в бесконеч-ность и давление там постоянно, а давление внутри полости (пузырька) отсутствует (задача Забабахина), показано, что при любом начальном радиусе пузырька его заполнение

жидкостью всегда происходит за конечное время. Причем, при стремлении радиуса пузырька к нули время его схлопы-вания стремится к конечной величине, зависящей только от отношения динамической вязкости жидкости и давления на бесконечности. Скорость заполнения малых пузырьков стре-мится к нулю. Полученные решения, в частности, могут быть использованы для тестирования новых программ численного расчета и оценки эффективности численных методов.

Ключевые слова: сферический слой вязкой жидкости Навье-Стокса, несжимаемость.

А.B. KISELEV – Doctor of Phys.-Math. Sciences, Professor Mechanics and Mathematics Faculty of Moscow M.V. Lomonosov State University Moscow, Russian Federation, Е-mail: [email protected]

ABOUT DYNAMICAL COMPRESSION (EXPANSION) OF SPHERICAL LAYER IN VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLUID. ZABABAXIN PROBLEM

In paper present precise analytical solution for one-dimensional dynamical problem of compression (extension) of spherical layer from incompressible viscous fluid Navier-Stokes type. Motion of fluid layer in initial time moment is absent and on external and internal its surfaces act pressures, which depends on time as arbitrary functions. Solutions obtained in Lagrangian coordinates. In case then external boundary of liquid layer recede to infinity and pressure into cavity (bubble) is equal zero (Zababaxin problem) we show that for any initial radius of bubble its filling of liquid always

take place on infinite time. Moreover then radius of bubble strive to zero its time of collapse strive to finite value which depends only of ratio of dynamic viscosity and pressure on infinity. Velocity of small bubbles filling strive to zero. These solutions, in particular, can be used for testing new programs of computing calculations and for estimate of effectiveness of numerical methods.

Key words: spherical layer of viscous fluid Navier-Stocks type, incompressibility.

Для тестирования новых программ и методов числен-ного расчета задач механики сплошных сред необхо-димо знание точных решений. Особенно остро стоит вопрос для численных методов и программ, ориенти-рованных на решение задач динамической упруговяз-копластичности и динамики вязкой жидкости, ввиду их особой сложности. Кроме того, точные решения уравнений в частных производных, которыми описы-ваются процессы в сплошных средах, имеют, несом-ненно, и самостоятельное научное значение.

Задачи о схлопывании пузырьков в жидких сре-дах изучались многими исследователями. Одним из первых задачу о заполнении сферической полости в

невязкой жидкости рассмотрел Дж. Рэлей еще в 1917 г. [1]. Им было показано, что направленная к центру скорость поверхности полости в конце про-цесса заполнения неограниченно увеличивается по закону r−3 2/ ( r − радиальная координата, отсчитывае-мая от центра пузырька), т.е. происходит неограни-ченная кумуляция энергии. Это может служить при-чиной быстрого износа гребных винтов и турбин, работающих в условиях кавитации: схлопывание пу-зырьков на металлической поверхности может при-водить к ее интенсивному разрушению. В работах [2, 3] рассмотрена задача Рэлея для вязкой жидкости (результаты этих исследований приведены в также в



монографии [4]). Показано, что в зависимости от на-чального радиуса полости существует два режима ее заполнения: при радиусе, меньшем критического, за-полнение происходит за неограниченное время, ку-муляция энергии полностью устраняется вязкостью; при достаточно большом начальном радиусе полость быстро схлопывается с неограниченной кумуляцией энергии на стадии фокусировки. Независимо от дру-гих исследователей задачу заполнении полости в вяз-кой жидкости рассмотрел Е.И. Забабахин [5, 6], по-лучив изящное асимптотическое решение, и поэтому эту задачу называют задачей Забабахина.

В работах [5, 6] рассматривался одиночный пузы-рек, находящийся в вязкой несжимаемой жидкости, вдали от которого («на бесконечности») задано по-стоянное давление, начальная скорость отсутству-ет. Движение пузырька считается сферически сим-метричным. Проведя асимптотическое исследование полученного уравнения для скорости поверхности пузырька, Е.И. Забабахиным было обнаружено су-ществование двух различных типов движения: пу-зырьки, начальный размер которых меньше крити-ческого, заполняются медленно и за неограниченное время; заполнение больших пузырьков происходит быстро с неограниченной кумуляцией энергии в ста-дии фокусировки. Определен асимптотический кри-тический радиус пузырька.

В [7] приведено исследование поведения пузырь-ков в вязкой жидкости с учетом капиллярных сил и был получен иной результат: если начальный радиус пузырька достаточно мал (меньше критического), то скорость заполнения уменьшается, но не до нуля, и пузырек заполняется за конечное время.

В настоящей работе дано обобщение задачи За-бабахина. А именно, представлено аналитическое решение в случае, когда внешний радиус пузырька является конечным (т.е. рассматривается сфериче-ский слой жидкости) и на внешней и внутренней его поверхностях заданы давления, произвольным образом изменяющиеся по времени. Ранее близкие задачи были аналитически решены для толстостен-ных оболочек из несжимаемого вязкопластического материала [8–11], описываемого уравнениями моде-ли типа Соколовского-Пэжины [12], и несжимаемой вязкой жидкости [13], но при других начальных и граничных условиях.

В отличие от работ [1–7], в которых задача о за-полнении пузырька рассматривается в эйлеровых пе-ременных, что является традиционным для механики жидкости и газа, представленные ниже результаты получены в лагранжевых переменных. Это позволи-ло получить точные решения в более общем случае. Заметим, что ранее целый ряд задач об одномерных

неустановившихся движениях газа с конечными воз-мущениями был решен именно в лагранжевых пере-менных Х.А. Рахматулиным [14].

1. Сжатие (расширение) сферического слояВ одномерном приближении (все параметры зависят от радиальной лагранжевой координаты R и време-ни t ) рассмотрим процесс динамического сжатия (расширения) полого сферического слоя жидкости, внутренний и внешний радиусы которого меняются с течением времени по законам r r R t0 0= ( , ) и r r R t1 1= ( , ) соответственно, где R0 и R1 – его вну-тренний и внешний радиусы при t = 0 (рис. 1). R r t= −=| 0 начальная лагранжева координата матери-альной частицы, r − ее эйлерова пространственная координата.

Поведение среды описывается уравнениями мо-дели вязкой жидкости Навье-Стокса [13], которые в предположении несжимаемости и одномерном сфе-рическом приближении имеют следующий вид:

σ µ σ µθ θR Rp e p e= − + = − +2 2, . (1)Здесь σR , σθ − радиальное и кольцевое напряже-

ния соответственно;p R= − + −( ) /σ σθ2 3 давление; e RR = ∂ ∂υ / , e Rθ υ= −/ радиальная и кольцевая ско-рости деформаций соответственно; υ − радиальная скорость; µ − динамическая вязкость жидкости.

РИС. 1



Условие несжимаемости жидкости e eR + =2 0θ дает уравнение для нахождения распределения ско-ростей в сферическом слое:

∂∂

+ =υ υR R

2 0. (2)

Решение уравнения (2) имеет следующий вид:

υ = C tR( ).

2 (3)

При C t( ) ≤ 0 происходит сжатие слоя и скорость υ ≤ 0 , при C t( ) ≥ −0 расширение слоя и υ ≥ 0. В на-чальный момент времени t = 0 движение жидкости отсутствует, т.е. υ | ( ) .t C= = =0 0 0

Уравнение движения жидкости запишем в виде, удобном для дальнейшего интегрирования:

∂∂

= − −σ ρυ σ σθR R

R R� 2 (4)

где ρ − плотность; точка над символом здесь и далее означает материальную производную по времени t.

Поставим следующие граничные условия:

σ σR R R R R RP t P t| ( ) , | ( ) .= == − ≤ = − ≤1 01 00 0 (5)

Здесь P t1( ), P t0 ( ) − давление на внешней и вну-тренней поверхностях сферического слоя соответст-венно.

Подставив (1), (3) в уравнение движения (4), и проинтегрировав его по радиусу R с учетом гранич-ных условий (5), получим обыкновенное дифферен-циальное уравнение для функции C t( ) :

�C t C t P t P t( ) ( ) ( ( ) ( ))+ = −α β 0 1 (6)

где

α µρ

βρ

= −−

> =−

>4 1 1

1 10

1

1 100

313

0 1 0 1

( / / )

( / / ),

( / / ).

R RR R R R

Решение уравнения (6) с начальным условием C( )0 0= и скорость υ в слое жидкости будут следующими:

C t e e P t P t dt R t C tR

t tt

( ) ( ) ( ) , ( , )( ).= −( ) =− ∫β υα α

0 1

0

2 (7)

Из решения (7) видно, что сжатие сферического слоя происходит при условии, когда P t P t1 0 0( ) ( ) ,− > что, естественно, и следовало ожидать, а расшире-ние – при условии P t P t1 0 0( ) ( ) .− <

2. Задача Забабахина

При условиях R1 → +∞, P t0 0( ) ,= P t P const1( ) = =∞ (задача Забабахина о заполнении полого пузырька в безграничной несжимаемой вязкой жидкости [5, 6]) из (7) получим:

υµ

µρ

( , ) exp( ) .R t P RR R

t= − − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∞

03

2024

14 (8)

При этом скорость движения поверхности пу-зырька будет

υ υµ

µρ0 0

0

024

14

( ) ( , ) exp( ) .t R t P RR

t= = − − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟∞ (9)

Радиус пузырька меняется по следующему закону:

r t r R t

R R P t R P RR

t

0 0

0 0 002

2024 16

14

( ) ( , )

exp( )

= =

= − + − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠∞ ∞

µρ

µµ

ρ ⎟⎟. (10)

Введем безразмерное число Рейнольдса Re и время «релаксации» τ :

Re , .= =∞R P R0 02

4 4

ρµ ρ

τ ρµ

Тогда формулы (9), (10) перепишутся следующим образом:

υτ

τ0

2 0 1( ) Re ,t R et

= − −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− (9)*

r t R t et

0 021 1( ) Re ( ) .= + − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

ττ (10)*

Найдем момент времени t*, когда пузырек схло-пывается (полностью заполняется жидкостью), т.е. когда выполняется условие r t0 0( ) .* = Для нахожде-ния этого момента времени из (10)* получается сле-дующее уравнение:

e tt−= + −

*

Re.*τ

τ1

12

(11)

График левой (экспонента) и правой (линейная функция) частей уравнения (11) показаны на ри-сунке 2. Точка их пересечения A и дает искомое время t* .



Видно, что время схлопывания пузырька всегда конечно. С умень-шением начального радиуса пузырька R0 при прочих неизменных параметрах (и уменьшении числа Рейнольдса Re , которое пропор-ционально R0 , и времени «релаксации» τ , которое пропорциональ-но R0

2 ) время его схлопывания t* не возрастет, а стремится к конеч-ной величине 4µ / P∞ , зависящей от отношения динамической вязкости жидкости μ и давления на бесконечности ± ∞P .

3. Заключение

Таким образом, получено точное решение одномерной динамиче-ской задачи о сжатии (расширении) сферического слоя в несжи-маемой вязкой жидкости, движение которой в начальный момент времени отсутствует, а на внешней и внутренней его поверхно-стях действуют произвольным образом зависящие от времени давления.

В случае, когда внешняя граница удаляется в бесконечность и давление там постоянно, а давление внутри полости (пузырька) от-сутствует (задача Забабахина), показано, что при любом начальном радиусе пузырька его заполнение жидкостью всегда происходит за конечное время, причем, при стремлении радиуса пузырька к нули время его схлопывания стремится к конечной величине, зависящей только от отношения динамической вязкости жидкости и давления на бесконечности. Скорость заполнения малых пузырьков стремит-ся к нулю.

▪ РАБОТА ВЫПОЛНЕНА ПРИ ПОДДЕРЖКЕ РФФИ

(ГРАНТ № 12-01-00425А) ▪

РИС. 2

Литература

1. Rayleigh O.M.F.R.S. (Lord) On the pressure developed in a liquid dur-ing the collapse of a spherical cavity. Philosophical Magazine. Series 6. 1917. Vol. 34. N. 200. PP. 94–98.

2. Poritsky H. The collapse or growth of a spherical bubble or cavity in viscous fluid. Proc. of the 1st Unit-ed States national congress of ap-plied mechanics. Chicago, 17–21 June 1951. N.Y.: ASME, 1952. PP. 813–821.

3. Shu S.S. Note on the collapse of a spherical cavity in a viscous incom-pressible fluid. Cal. Inst. Tech. Re-port. 1952. V. 26, N 4. PP. 823…825.

4. Перник А.Д. Проблемы кавита-ции. Л.: Судромгиз, 1963. 440 c.

5. Забабахин Е.И. Заполнение пу-зырьков в вязкой жидкости // При-кл. матем. и механ. 1961. Т. 24. Вып. 6. СС. 1129–1131.

6. Забабахин Е.И., Забабахин И.Е. Явления неограниченной кумуля-ции. М.: Наука, 1988. 171 с.

7. Андреев В.К. Устойчивость неу-становившихся движений жидко-сти со свободной границей. Ново-сибирск: Наука, 1992. 132 с.

8. Киселев А.Б. Аналитические ре-шения задач об адиабатическом сжатии толстостенных сфериче-ских и цилиндрических оболочек из несжимаемого вязкопласти-ческого материала // Прикл. ма-тем. и механ. 2012. Т. 76. Вып. 4. СС. 675–679.

9. Киселев А.Б. К исследованию про-цесса нестационарного расшире-ния толстостенных сферических и цилиндрических вязкопласти-ческих оболочек // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 2012. № 6. СС. 20–25.

10. Киселев А.Б. Дополнение к статье А.Б. Киселева «Аналитические ре-шения об адиабатическом сжатии толстостенных сферических и ци-линдрических оболочек из несжи-маемого вязкопластического мате-риала» ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 4. СС. 675…679 // Прикл. матем. и механ. 2014. Т. 78. Вып. 5.



11. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластично-сти. М.: Мир, 1968. 176 с.

12. Киселев А.Б. Аналитические решения задач об адиабатическом сжатии и расширении сфериче-ского и цилиндрического слоев из несжимаемой вязкой жидкости // Прикл. физ. и матем. 2013. № 1. CС. 88–93.

13. Нигматулин Р.И. Механика сплошной среды. Кинематика. Динамика. Термодинамика. Стати-стическая динамика. М.: ГЭОТАР-Медиа, 2014. 640 с.

14. Рахматулин Х.А. Газовая и волновая динамика. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 200 с.

References

1. Rayleigh O.M.F.R.S. (Lord) On the pressure de-veloped in a liquid during the collapse of a spheri-cal cavity. Philosophical Magazine. Series 6. 1917. Vol. 34. № 200. PP. 94–98.

2. Poritsky H. The collapse or growth of a spherical bubble or cavity in viscous fluid. Proc. of the 1st United States national congress of applied mechan-ics. Chicago, 17–21 June 1951. N. Y.: ASME, 1952. PP. 813–821.

3. Shu S.S. Note on the collapse of a spherical cavity in a viscous incompressible fluid. Cal. Inst. Tech. Re-port. 1952. Vol. 26. № 4. PP. 823–825.

4. Pernik A.D. Problemy kavitacii. Leningrad: Syd-promgiz, 1963. 440 p.

5. Zababaxin E.I. Zapolnenie pyzyrkov v viazkoy gid-kostii [Filling of bubbles in viscous liquid]. Prikl. Matem. I Mech. [Applied Mathematics and Me-chanics]. 1961. Vol. 24. № 6. PP. 1129–1131.

6. Zababaxin E.I., Zababaxin I.E. Yavlenie neo-granichennoi kumuliachii [Phenomena of nonfinite cumulation]. M.: Nauka [Moscow: Publishing house «Science»], 1988. 171 p.

7. Andreev V.K. Ystoichivost neystanovivchixsiy dvi-genii gidkosti so svobodnoi granichey [Stability no stationary moving of fluid with free boundary]. No-vosibirsk: Nauka [Novosibirsk: Publishing house «Science»], 1992. 132 p.

8. Kiselev A.B. Analiticheskie rescheniya zadach ob adiabaticheskom sgatii tolstostennyx sfericheskix i cylindricheskix obolochek iz nesgimaemogo viaz-

koplasticheskogo materiala [Analytical solutions for problems of adiabatic compression of thick-walled spherical and cylindrical shells from incompressible viscoplastic material]. Prikl. Matem i Mech. [Ap-plied Mathematics and Mechanics]. 2012. Vol. 76. № 4. PP. 675–679.

9. Kiselev A.B. K issledovaniu prochessa nestachio-marnogo raschireniy tolstostennyx sfericheskix I cylindricheskix viazkoplasicheskix obolochek [To investigation of process of thick-walled spherical and cylindrical viscoplastic shells]. Moscow Univ. Mech. Bulletin. Vestnik Mosk. Univ. Ser. 1. Matem. Mechan. 2012. № 6. PP. 20–25.

10. Kiselev A.B. Dopolnenie k statie A.B. Kiselev «Anal-iticheskie resheniya zadach ob adiabaticheskom sgatii tolstostennyx sfericheskix i cylindricheskix obolo-chek iz nesgimaemogo viazkoplasticheskogo ma-teriala» Prikl. Matem. i Mech. 2012. Vol. 76. № 4. PP. 675…679 [Addition to paper A.B. Kiselev “Ana-lytical solutions for problems of adiabatic compres-sion of thick-walled spherical and cylindrical shells from incompressible viscoplastic material. Applied Mathematics and Mechanics. 2012. Vol. 76. № 4. PP. 675–679] Prikl. Matem i Mech. [Applied Math-ematics and Mechanics]. 2014. Vol. 78. № 5.

11. Perzyna P. Osnovnye voprosy vyazkoplastichnosti [Fundamental Problems in Viscoplasticity]. M.: Mir [Moscow: Publishing house «World»], 1968. 176 p.

12. Kiselev A.B. Analiticheskie resheniya zadach ob adiabaticheskom sgatii I rashirenii sfericheskogo i cylindrichekogo sloev iz nesgimaemoi viazkoi gid-kosti [Analitical solutions for problems of adiabatic compression and extension of spherical and cylindri-cal layers from incompressible viscous fluid]. Prikl. Fiz. i Matem. [Applied Physics and Mathematics]. 2013. № 1. PP. 88–93.

13. Nigmatulin R.I. Mexanika sploshnoi sredy. Kine-matika. Dinamika. Termodinamika. Statisticheskay fizika. [Mechanics of Continuous Medium. Kine-matics. Dynamics. Thermodynamics. Statistical Physics]. M.: GEOTAP-Media, 2014. 640 p.

14. Rachmatulin X.A. Gazovay i volnovay dinami-ka [Gas and Vawe Dynamics]. M.: Izdat. Mosk. Univ. [Moscow: Publishing House «Moscow Univ. Publ.»], 1983. 200 p.

Сведения об авторе Information about the author

Киселев Алексей Борисович доктор физ.-мат. наук, профессор,

Механико-математический факультет Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

119992, Москва, Российская ФедерацияЛенинские горы, 1, Главное здание МГУ

E-mail: [email protected]

Kiselev Alexey Borisovich Doctor of Phys.-Math. Sciences, ProfessorMechanics and Mathematics Faculty of Moscow M.V. Lomonosov State University119992, Moscow, Russian FederationLeninskie Gory, 1, Main Bulding of MSUE-mail: [email protected]



А.В. КУКУШКИН – канд. техн. наук, доцент Нижегородский Государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева Нижний Новгород, Российская Федерация, E-mail: avkuku @gmail.com

НЕГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. СТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ НЕГЛАДКОЙ ДИНАМИКИ

Негладкое отображение проводится алгебраической 2-лист-ной аналитической функцией, аргументом которой является экспоненциальная функция, определенная на 2 листах сво-ей римановой поверхности. Показано, что в точках ветвле-ния алгебраической функции, где она сама имеет конечное значение, ее производная имеет полюс и, таким образом, гладкость отображения нарушается. Показано, что такого

рода системы способны зеркально отражать важные свой-ства физических явлений из области динамики.

Ключевые слова: негладкие отображения, задачи неглад-кой динамики, координатные линии с точками нарушения гладкости, траектории материальной точки с особыми точ-ками нарушения гладкости.

A.V. KUKUSHKIN – Cand. of Techn. Sciences, Associate Professor Nizhni Novgorod State Technical University n.a. R.E. Alekseev Nizhni Novgorod, Russian Federation, E-mail: avkuku @gmail.com

NONSMOOTH MAPPINGS. STATIONARY MODELS OF NONSMOOTH DYNAMICS

Nonsmooth mapping is done with an 2-sheeted analytic func-tion, the argument of which is an exponential function defined in 2 sheets of its Riemann surface. The derivative of an algebraic function is being shown to have poles in branch points, where the value of the function itself is finite; thus, the mapping is shown to be nonsmooth. Such systems are being shown to be

able to mirror image essential properties of physical phenom-ena from dynamics.

Key words: nonsmooth mappings, problems of nonsmooth dy-namics, coordinate axes with points of nonsmoothness, mate-rial point trajectory with smoothness broken in singular points.

Отображения, используемые в координатных пре-образованиях, до сих пор всегда были гладкими [1…3]. Гладкие координатные системы отсчета мо-гут выполнять не только роль «строительных лесов», но также и роль «зеркала» для гладких задач физики. Хорошим известным примером в этом смысле явля-ется эллиптическая система координат на плоскости (аналитически система может быть определена с по-мощью одной координатной функции комплексной переменной [4]). Ее координатные линии зеркально отображают эллиптические и гиперболические тра-ектории материальной точки (МТ) в кеплеровой зада-че двух тел. Потребность в негладких координатных преобразованиях вытекает из задач с наличием осо-бенностей в теории динамических систем. Фазовые кривые на фазовой плоскости системы в окрестности положений равновесия имеют особенности, указыва-ющие на то, что это семейство кривых, как впервые показал А. Пуанкаре [5, 6], не может быть образом семейства параллельных прямых при гладком диф-феоморфизме его в себя. До сих пор задачи по точ-ному (не качественному) моделированию процессов в окрестности особых точек такого рода не решены. Причиной является то, что для решения таких задач гладких отображений недостаточно. Нужна теория локально негладких отображений. Под такого рода отображениями мы подразумеваем гладкие отобра-жения, в особых точках которых гладкость нарушена.

Настоящая статья является краткой вводной ра-ботой для цикла статей, где будет развита теория негладких отображений на плоскости в указанном выше смысле. В настоящей статье будет приведен один пример негладкого отображения для семейства стационарных траекторий МТ в окрестности точки неустойчивого равновесия консервативной системы с потенциалом, прототипом которому служит потен-циал с двумя полюсами центральных сил, обратно пропорциональных кубу расстояний.

В статье [4] был реализован кинематический прин-цип построения гладких криволинейных систем коорди-нат (КСК) на плоскости методом конформных отображе-ний (КО) в теории функций комплексно переменной. Отображения выполнялись гладкой координатной функ-цией (КФ) w θ( ) комплексной переменной,

θ = +u iu2 1 . (1)

КФ производит КО исходной комплексной пло-скости (КП), которая эквивалентна вещественной плоскости движения МТ, на новую КП с криволиней-ными координатными линиями u C1 2 1 2, ,= = const , представляющими собой ортогональные семейства стационарных траекторий МТ в некоторой плоской задаче динамики с заданным потенциалом внешних сил φ. Задача ставится и решается с использованием вихревого уравнения движения [4],



gradH rot= ×[ ]V V , (2)

где H – нормированный к массе МТ гамильтониан, V – 3-вектор скорости. Дифференциальное уравне-ние (ДУ) (2) является нелинейным ДУ в частных производных, оно записано в обобщенной цилин-дрической системе координат. Инвариантное интег-рирование ДУ (2) может быть выполнено, как пока-зано в [4], только для движений с нулевым гамильтонианом, H = 0. При некоторых ограничени-ях на вид потенциальной функции ДУ (2) легко ин-тегрируется, т.к. оно переходит в ДУ в полных ком-плексных дифференциалах. Это связано, во-первых, с принятой в [4] установкой, что МТ в стационарных условиях может совершать движения только по коор-динатным линиям обобщенной, заранее неизвестной ортогональной КСК. Последняя определена на пло-скости в терминах неизвестной комплексной КФ w, которая подлежит определению и входит в выраже-ние для заданного потенциала φ. Во-вторых, обо-бщенный коэффициент Ламе, g⊥ , для плоской КСК выражается через производную ′w [4]:

g w w⊥ = ′ ′ . (3)

В-третьих, на потенциал накладывается следую-щее ограничение:

ϕ = − ⋅F F , (4)

где черта над символом в (3) и (4) означает знак ком-плексного сопряжения, а комплексные функции F и F представляют собой изображения для потенциала на комплексной и соответственно комплексно сопря-женной плоскости. При H = 0 ДУ (2) имеет общий интеграл [4],

g B⊥ =ϕ , (5)

где B – вещественная постоянная интегрирования. Если ее по аналогии с (3) и (4) представить в форме: B CC= , то (5) с учетом соотношений (3) и (4) перей-дет в уравнение:

F w w C( ) ′ = , ′ = ( )( )w C F w (6)

где C – произвольная комплексная константа. Квадрат длины радиус-вектора точки, соединяю-

щего с ней точку локализации на плоскости центра внешних сил, выражается через неизвестную КФ так [4]:

r2 = −( ) −( )w a w a , (7)

где a a ia= +1 2 , a1 и a2 - фиксированные координа-ты центра внешних сил. Поскольку потенциальная функция обычно является степенной функцией рас-стояний, ϕ ∝ − −r l , то с учетом (4) и (5) заключаем,

что F в [4] находится в явной зависимости от КФ w, что учтено в (6). Эта функция задана условиями за-дачи и, поэтому, уравнение (6) полностью определе-но как ДУ в полных дифференциалах относительно неизвестной КФ w. Интегрирование ДУ (6) не вызы-вает никаких трудностей в общем случае, для лю-бой степенной зависимости потенциала от расстоя-ний. Для гладких задач динамики описанный метод был апробирован в [4] для очень простого случая задачи двух тел.

Как можно приспособить метод к условиям ре-шения плоской ограниченной задачи трех тел, если для простоты силы инерции не учитывать (ставится тестовая задача), а в качестве прототипа взять потен-циал для сил, обратно пропорциональных кубу рас-стояний? Для простоты рассмотрим симметричный случай: два центра внешних сил локализованы на оси абсцисс плоскости движения на одинаковом рас-стоянии справа и слева от начала координат. На экви-валентной КП все расстояния будут безразмерными. Нормировка расстояний производится их делением на некую характерную для данной задачи констан-ту с размерностью длины. В нашем случае это будет расстояние от начала координат до правого или ле-вого полюса. Тогда нормированная потенциальная функция будет иметь вид:

ϕprii r

= −=∑ 1

21

2

, (8)

С учетом формул (4) и (7) функцию (8) можно за-писать так:

ϕpr F F F F= − +( )1 1 2 2 , (9)

где

Fw1

11

=−

, Fw2

1

1=

+. (10)

Функция (9), очевидно, не удовлетворяет условию (4). Следовательно, задача с потенциалом (8) не явля-ется интегрируемой. Чтобы привести ее к интегри-руемой, рассмотрим модифицированную задачу трех тел для потенциала, который удовлетворяет условию (4) и при этом связан с исходным потенциалом-про-тотипом (9). Для этого определим потенциал, для ко-торого будет решаться тестовая задача, формулой (4), а F в ней запишем как сумму изображений суммируе-мых в (8) потенциалов:

Fw w

ww

=−

++

=−

1

1

1

1

2

12. (11)



После интегрирования уравнения (6), приняв в нем C = -i, с последующим потенцированием проме-жуточного уравнения, получим алгебраическое урав-нение для определения КФ w:

w v2 1 0− + =( ) , (12)

v i= −( )exp θ . (13)

Из уравнения (12) следует, что КФ является 2-листной алгебраической функцией, аргументом ко-торой согласно (13) является ∞-листная аналитиче-ская функция с примитивным периодом по мнимой части своего аргумента, равным 2π радиан. Таким образом, у КФ имеется две ветви,

w v1 2 1, = ± + , (14)

и единственная точка ветвления, wbr p. . = 0 , в которой гладкость отображения нарушается. Этот важный вывод вытекает из следующего.

Если подставить в (11) значение КФ, которое она принимает в точке ветвления, w wbr p= =. . 0 , то мы получим: F 0 0( ) = . Это означает, что в этой точке (в начале координат плоскости) у потенциала имеется экстремум в форме глобального максимума, ϕ = 0 . Ведь значение потенциала в любой точке простран-ства будет меньше нуля, как и должно быть для дви-жений с нулевым гамильтонианом, K + =ϕ 0 , (K – нормированная к массе МТ кинетическая энергия). Подставив F = 0 в (6), мы найдем, что в точке вет-вления алгебраической КФ у производной имеется полюс,

lim. .w wbr p w→ ′ = ∞ , (15)

что свидетельствует о нарушении гладкости отобра-жения в этой точке, т.е. в точке, где у потенциала имеется экстремум в форме глобального максимума.

Общие свойства отображения, выполняемого алгебраической КФ (14), уже были описаны нами в статье [7], посвященной решению некоторых задач электродинамики. Поэтому мы не будем повторяться и приведем сразу результат отображения, показан-ный на рисунке 1. Напомним только, что КСК на ве-щественной плоскости определяется системой двух уравнений,

xx

w v1

2

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

( )⎡⎣ ⎤⎦Re

Imθ , (16)

связывающих безразмерные декартовы координа-ты, x1 2, , плоскости и конформные координаты КСК, u1 2, , поскольку последние входят в определе-

ние (1) для комплексной переменной θ . Из (16) следует, что КО проводится в два этапа. На первом отображающей функцией является ∞-листная экс-понента. Плоскость θ отображается здесь на сис-тему склеенных друг с другом листов римановой поверхности (РП) экспоненты. На каждом листе циклическая переменная u2 в (13) пробегает ин-тервал, равный 2π радиан. Промежуточный рису-нок координатных линий на каждом листе РП бу-дет тиражироваться в виде рисунка линий полярной системы координат с полюсом в начале плоскости каждого отдельного листа. Но для 2-листной КФ, как было показано в [7], активными будут только 2 листа, которые в данном случае следует склеи-вать по полярному лучу u2 = − [ ]π π на верхнем ли-сте и u2 3= [ ]π π – на нижнем. Верхний лист будет отображаться на правую полуплоскость КП w (в (14) берется знак «+»), а нижний лист – на левую (в (14) берется знак «–»). Таким образом, полученная в результате поэтапного отображения КСК будет представлять собой негладкую биполярную систе-му, показанную на рисунке 1.

Координатные линии КСК представляют собой два взаимно ортогональных семейства линий u C1 2, = . Свойства линий достаточно подробно рассмотрены в [7]. Поэтому мы остановимся толь-ко на тех свойствах, которые, собственно, и явля-ются предметом настоящей статьи. А именно, рас-смотрим свойства линий-лучей

РИС. 1 • Рисунок координатных линий негладкой биполярной КСК с 2-листной КФ w,

определенной в (14); ε π= 100




Кукушкин Александр Васильевичканд. техн. наук, доцент

Нижегородский Государственный технический университет 603600, Нижний Новгород, Российская Федерация

ул. Минина, 24 E-mail: [email protected]

Kukushkin Alexander Vasilevich Cand. of Techn. Sciences, Associate ProfessorNizhni Novgorod State Technical University 603600, Nizhni Novgorod, Russian FederationMinin street, 24E-mail: [email protected]

u2 = − +π ε ,

u2 = ±π ε ,

u2 3= −π ε ,

построеных на рисунке при ε π= 100 . Этого уже достаточно, чтобы увидеть, что для ε → 0 эти лучи будут натягиваться на соответствующие ли-нии с изломом в центре. Эти линии с изломом яв-ляются столь же законными координатными ли-ниями системы, как и все гладкие лучи, которые показаны на рисунке. Точка излома является точ-кой нарушения гладкости линий. Причина нару-шения гладкости состоит в том, что точка наблю-дения, скользящая по гладкой линии, в начале координат пересекает точку ветвления 2-листной КФ, где гладкость отображения, согласно (15), на-рушена. Кроме того, из рисунка 1 следует, что се-мейство траекторий u C2 = (стрелки на линиях показывают направление роста варьируемой ко-ординаты u1 ) в окрестности особой точки неу-стойчивого равновесия представляет собой по структуре такое же векторное поле, какое являют собой в схожей ситуации фазовые портреты типа «седла», как их, начиная с А. Пуанкаре [5, 6], классифицируют в литературе по теории динами-ческих систем.


1. Г. Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, М.: Наука, 1973. 831 с.

2. А.Ф.Бермант. Отображения. Криволинейные ко-ординаты. Преобразования. Формулы Грина. М.: ГИФМЛ, 1958.

3. А.Анго, Математика для электро- и радиоинже-неров, М.: Наука, 1964. // A.Angot, Complėments de Mathėmatiques, Paris: 1957.

4. А.В.Кукушкин. Инвариантная редакция потенци-ального метода интегрирования вихревого урав-нения движения для материальной точки // УФН, Т. 172, № 11. 2002. 1271 с. (A.V. Kukushkin. An invariant formulation of the potential integration method for the vortical equation of motion of a material point. Phys. Usp. 45 1153–1164 (2002).

5. А. Пуанкаре. Новые методы небесной механики: Избран. труды в 3 т. М.: Наука, Т. 1; 1971, 771 с.

6. В. И. Арнольд. Теория катастроф. М.: Наука, 1990, 128 с.

7. А.В.Кукушкин. Математические основы теории поперечных плоских волн (Волновые частицы классического поля) // Прикладная физика и мате-матика, 2013. № 1. С. 98–119. [http://sciteclibriary/r u / r u s / c a t a l o g / p a g e s / 1 3 6 7 0 . h t m l ; h t t p : / /sciteclibriary/ru/eng/catalog/pages/13664.html].

References

1. Korn G. A., Korn T. M. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. NY.: McGraw-Hill, 1968. 805 p.

2. Bermant A.F. Otobrazhenija. Krivolinejnye koordi-naty. Preobrazovanija. Formuly Grina [Mapping. Curvilinear coordinates. Transfomations. Green formulas]. M.: GIFML [Moskow. Publishing house «GIFML»], 1958.

3. Angot. A. Complėments de Mathėmatiques. Paris: 1957.

4. Kukushkin A.V. Invariantnaya redaktsiya potentsial-nogo metoda integrirovaniya vikhrevogo uravneniya dvizheniya dlya material’noi tochki [An invariant formulation of the potential integration method for the vortical equation of motion of a material point] Phys. Usp. 2002. Vol. 45. PP. 1153–1164.

5. Poincare H. Novye metody nebesnoi mekhanici: Iz-brannye trudy v 3 tomakh [New Methods of Celes-tial mechanics: Selected Works in 3 volumes]. M.: «Nauka» [M.: Publishing house «Sience»], 1971. Vol. 1. 771 p.

6. Arnold V. I. Teoriya katastrof [Catastrophe Theo-ry]. M.: «Nauka» [M.: Publishing house «Sience»], 1990. 128 p.

7. Kukushkin A.V. Matematicheskie osnovy teorii poper-echnykh ploskikh voln (Volnovye Chastitzy Klas-sicheskogo polya) [Mathematical grounds of the theory of transverse waves. (Wave Particles of Clas-sical Field)]. Prikladnaya fizika i matematika [Applied Physics and Mathematics]. 2013. № 1. PP. 98–119. [http:// sciteclibriary/ru/rus/catalog/pages/13670.html; http:// sciteclibriary/ru/eng/catalog/pages/13664.html].



В.И. РАКОВ – доктор техн. наук, профессор Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Государственный университет – Учебно-научно-производственный комплекс» Орёл, Российская Федерация, E-mail: [email protected]

НОВАЯ «ИДЕОЛОГИЯ» ИНТЕРПОЛЯЦИИ СО СТРУКТУРООБРАЗУЮЩИМИ ФУНКЦИЯМИ

Отмечена важная роль нелинейных функций при описании динамики процессов управления с помощью дифферен-циальных уравнений. От точности воспроизведения не-линейных функций зависит достоверность формирования управляющих воздействий. Указаны особенности степен-ных и равномерных приближений для описания нелиней-ностей, результаты которых могут кардинально менять характер производных описываемых функций и тем самым достоверность вычисляемых управляющих воздействий. Отмечено предпочтение использования интерполяцион-ного подхода при построении аналитических описаний. Оценены возможности использования основных интерпо-ляционных функций и те проблемные вопросы, которые сопутствуют их применению. Показана актуальность раз-работки новых методов интерполяции и создания соответ-

ствующих программных инструментальных средств для их реализации. Предложено использование и интерпретация новых интерполяционных формул, построенных на основе использования структурообразующих функций, которые позволяют оперативно переходить к различным интерпо-ляционным формулам, узлам и обеспечивают возможности регулирования погрешности описания. На примерах пока-зана продуктивность их использования на малом числе уз-лов аппроксимации.

Ключевые слова: Управление, модель, интерполяция, ап-проксимация, цифровая аппроксимация, математическое приближение, минимаксное приближение, рациональная аппроксимация, последовательное приближение, взвешен-ное приближение

V.I. RAKOV – Doctor of Techn. Sciences, Professor Federal State Educational Institution of Higher Professional Education «State University – Education-Science-Production Complex» Orel, Russian Federation, E-mail: [email protected]

ABOUT NEW “IDEOLOGY” OF INTERPOLATION WITH STRUCTUREFORMING FUNCTIONS

The important role of nonlinear functions is noted at the de-scription of dynamics of management processes by means of the differential equations. Reliability of formation of operat-ing influences depends on the accuracy of reproduction of nonlinear functions. Features of approximations in the mean and the minimax approximations are specified. They can car-dinally change nature of derivative described functions. It can influence reliability of calculated operating influences. The preference of use of interpolation approach is noted at creation of analytical descriptions. Possibilities of use of the main interpolation functions and those problem questions which accompany their application are estimated. Relevance of development of new methods of interpolation and cre-

ation of the appropriate program tools for their realization is shown. The new interpolation formula and its interpretation, constructed on the basis of use of structure-forming func-tions is offered. Structure-forming functions allow to pass quickly to various interpolation formulas, knots and provide possibilities of regulation of an error of the description. On an example efficiency of use on small number of knots of ap-proximation is shown.

Keywords: control, model, interpolation, approximation, digi-tal approximation, mathematical approximation, minimax ap-proximation, rational approximation, successive approximation, weighted approximation

Актуальность Типичным явлением современной промышленности является широкая микроминиатюризация и повсе-местное внедрение цифровых средств управления от производства детских игрушек до тяжелого машино-строения и робототехники.

Успехи внедрения последнего десятилетия об-условлены, прежде всего, масштабным использо-ванием всех компонентов процесса управления от интеллектуальных датчиков до цифровых регуля-торов и интеллектуальных исполнительных меха-низмов, которые, в свою очередь, буквально обяза-

ны своим появлением разработкам математических моделей, позволивших учесть закономерности тех-нологических агрегатов и соответствующих систем управления.

Динамика систем автоматического управления описывается континуальной моделью в виде систе-мы дифференциальных уравнений управления (на-пример, рис. 1):

dUdt

f U U U X X X

X X X U U

ii n m

i m

= ( , ,..., , , ,..., ,

( , ,..., , , ,.

1 2 1 2

1 2 1 2ϕ ..., ), ), , ,..., ,U t i nn =1 2 (1)



где Ui – управляющие воздействия, X X X m1 2, ,..., – входные параметры САУ (устав-

ки, невязки, конструктивные параметры, показа-тели локально-организованной среды, регулиру-емые параметры), fi – функционалы или операторы, ϕi m nX X X U U U( , ,..., , , ,..., )1 2 1 2 – нелинейные функции, отражающие математические модели датчиков, исполнительных механизмов, объектов управления и внешней производственной среды.

В структуру континуальных моделей входят нелинейные функции ϕ( ( ), ( ), )x t U t t , от точности воспроизведения которых зависит точность и до-стоверность формирования интегральных кри-вых. Поэтому очевидна важность их адекватного описания. Не будем связывать символические обозначения нелинейных функций с определен-ными предметными областями и для простоты обозначать их в более привычном виде f x x( ), ( )ϕ и т.п. с переменной, обозначаемой символом x . Нелинейности обычно задаются в виде непре-рывных кривых, массивов значений и массивов значений производных разной степени. Основ-ным требованием к формальным описаниям не-линейностей относят то, что описание должно повторять определенные характерные особенно-сти нелинейности, а в идеальном случае воспро-изводить (повторять) форму кривой. Традицион-но описание нелинейностей проводится методиками равномерного приближения, средне степенными и интерполяционными способами.

Основные сложности такого описания функ-ций сводятся к следующему. Во-первых, для рав-номерных приближений – если область определе-ния X функции содержит не менее n + 2 точек, то условия теоремы Хаара являются необходимы-ми и достаточными для существования единст-венного обобщенного многочлена, а условия лем-мы А.Н. Колмогорова – необходимыми и достаточными условиями того, что данный обо-бщенный многочлен есть многочлен наилучшего приближения [1]. Когда X ⊂ ℜ1 (ℜ1 – множество действительных чисел), то известны более удоб-

РИС. 1 • Пример модели контура управления

)(0 tx )(tx∆ )(tU )(tx

-

)(tλ

Регулятор Объект ⊗

ЭС

РИС. 2 • Фрагмент эксперимента наилучшего приближения

)(xϕ Исходная )(xf

ные для практического использования условия определе-ния многочлена наилучшего приближения

ϕ ϕ( )x ai ii

n

==∑0

.

В частности, справедлива обобщенная теорема Чебы-шева [2]: обобщенный многочлен ϕ( )x является многоч-леном наилучшего приближения для непрерывной на за-мкнутом отрезке G a b⊂ [ , ] функции f x( ) , имеющей не менее n + 2 точек, тогда и только тогда, когда на [ , ]a b найдется не менее n + 2 точек x x xn0 1 1< < < +... , в кото-рых справедливы равенства:

f x x f x xi ii

x a b( ) ( ) ( ) max ( ) ( )

[ , ]

− = − ⋅ ⋅ −∈

ϕ α ϕ1 ,

причем: α = 1 , либо α = −1 . Другими словами, обобщен-ный многочлен наилучшего приближения (извивается вдоль исходной кривой) отклоняется от аппроксимируе-мой функции на одинаковые расстояния с чередованием знака не менее, чем в n + 2 точках (рис. 2). Это ведет к существенному искажению производных при очевид-ном отклонении уже первой производной аппроксими-рующей зависимости от первой производной приближа-емой функции. Понятно, что говорить о воспроизведении или повторении формы исходной нелинейности для ее использования в континуальных моделях (1) не приходится.

Во-вторых, при проведении степенных приближений используется критерий минимизации интеграла

ϕ( ) ( ) ,x f x dx SS− >∫ 0 ,



в частности при S = 2 такая среднеквадратичная ап-проксимация – это приближение f x( ) такой функ-цией ϕ ( )x , которая минимизирует интеграл:

ϕ ( ) ( )x f x dxa

b

−∫ 2 .

При использовании степенных приближений фор-ма аппроксимирующей функции может разительно отличаться от приближаемой наличием значитель-ных «кратковременных» всплесков [3], что может кардинально изменить характер производных всех степеней (рис. 3). Учитывая в целом особую чувст-вительность отмеченной континуальной модели (1) к производным любой ее нелинейной функции и то, что равномерные и степенные приближения могут существенно изменить производные, из отмеченных направлений все-таки представляется предпочти-тельнее использование интерполяционного подхода при построении аналитических описаний.

Интерполяционная методология раскрывается тремя важными разделами.

1. Формула Лагранжа. Основываясь на базовом принципе построения структуры аппроксимирующих формул, интерполяционная функция задается в виде:

F x f x h xi ii

n

( ) = ⋅=∑ ( ) ( )1

, (2)

где h xi ( ) – характеристические (фундаментальные интерполяционные) функции (многочлены), задан-ными на совокупности узлов аппроксимации x i ni ( )=1 2, ,..., исходной нелинейности f x( ) :

{( ; ( )), 1,2,...,x f x i N, i j x xi i i j= ∀ ≠ ≠: } , (3)

когда n N< < ∞ , удовлетворяющие условиям:

h x , h x i j i j , ni i i j( ) ( ) ( ), , ,..., .= = ≠ =1 0 1 2 (4)

Здесь N – количество точек исходной нелиней-ности, n – число узлов аппроксимации (интерполя-ции) и классическим решением задачи интерполяции (2)–(4) является выбор полиномов в качестве харак-теристических функций:

h x0 ( ) =( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ... ( ) (

x x x x x x x xx x x x x x x

n n

n

− − − −− − −

−

−

1 2 1

0 1 0 2 0 1 0 −− xn ),

h x1( ) = − − − − −− − −

−( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

x x x x x x x x x xx x x x x x

n n0 2 3 1

1 0 1 2 1 3 ... ( ) ( )x x x xn n1 1 1− −−

,

h x2 ( ) = − − − − −− − −

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) (

x x x x x x x x x xx x x x x x x

n0 1 3 4

2 0 2 1 2 3 2 −− −x x xn4 2) ... ( ),

h x3 ( ) =( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) (

x x x x x x x x x xx x x x x x x

n− − − − −− − − −

0 1 2 4

3 0 3 1 3 2 3 xx x xn4 3) ... ( ),...,

−

h xn ( ) =( )( )...( )

( )( )...( )

x x x x x xx x x x x x

n

n n n n

− − −− − −

−

−

0 1 1

0 1 1

и использование для вычислений соответствующей известной формулы:

F x f x h xi ii

n

( ) = ⋅ ==∑ ( ) ( )1

y x x x x x x x xx x x x x xm

m m n

m m m m m

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

− − − −− − −

− +

− +

0 1 1

0 1 1

� �

� �� ( )x xm nm

n

−=∑0

. (5)

РИС. 3 • Возможные особенности степенных приближений, где f x( ) – исходный сигнал, ϕ ( )x – аппроксимирующая функция с «кратковременными всплесками» [4]

)(xf ( )xϕ



2. Формула Эрмита. Обобщение интерполяции, указанное Эрмитом [2], формулируется как построе-ние полинома P x( ) степени n , принимающего в s различных точках x k sk ( , , , )=1 2 � вместе со свои-ми производными порядка h h k( , , , )= −0 1 1� α значения:

f x y P x yh k s

hk k

h hk k

h

k

( ) ( ) ( ) ( )( ) : ( ) ,

, , ..., , , ,..., ,

= == − =0 1 1 1 2α

причем, предполагается, что

α α α1 2 1+ + + = +... s n .

Для построения P x( ) используют две идеи [5]: а) идею представления P x( ) структурой:

P x y L x y L x y L xi i i i i ii

si

i( ) ( ) ( ) ... ( )( ) ( ),= + + +⎡⎣ ⎤⎦

−−

=∑ 0

11

11

1

αα ,

где полиномы

L x i s ki k i( ) ( , , ..., , , , ..., )= = −1 2 0 1 1α

степени n удовлетворяют условиям:

L x m i hikh

m m( ) ( ) ( ; , ,..., )= ≠ = −0 0 1 1α

и L xh kh k

hi kh

i i( )( )

,

.( , , , )=

≠=

⎧⎨⎩

= −0

10 1 1

при

при� α ;

б) идею представления полиномов

L x i s kik ( ) ( , , ..., , , , ...,= =1 2 0 1 αi −1)

в виде: L x x x x x

x x k x x xi k i

ik

i

i-

i

( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

= − − ×

× − −

−

++

...

...

1 1

1

1 1

1

α α

α −− x l xs i ks) ( )

α,

где l xi k ( ) – полином степени

n – ( ... ... )α α α α1 1 1+ + + + + +− +i i sk = αi k− −1.

Тогда, учитывая, что

A x x xs

( ) = −( )=

∏ να

ν

ν

1

и ykh( )

– значения соответствующих производных от данной функции f x( ) в соответствующих точках, для поли-нома P x( ) выводится интерполяционная формула общего вида, именуемая формулой Эрмита:

P x A xx x

y x xk

x xA xi

ik i

ki

x

k

i

i

i

i

( )( )

( )

( )

!

( )

( )

( )

( )

(

=−

− −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−

α

α α −−

=

−

=∑∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=1

0

1

1

)

ki

s iα

=−

− −⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

− −A x

x xf x x x

kx x

A xi

ki

ik

i

x

k

i

i

i

i( )

( )( )

( )

!

( )

( )

( )

( )

(

α

α α 11

0

1

1

)

.ki

s i

=

−

=∑∑

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

α

(6)

3. Многочлены проф. В.Л. Гончарова [2] кон-струируются как полином P x( ) степени n для орга-низации интерполирования последовательными про-изводными с удовлетворением условий:

P x y m nmm

m( ) ( )( ) ( , , , , )= = 0 1 2 � ,

где x y Rmm, ( ) ∈ 1 ⇒

P x y y dx y dx dx

y dx dx

x

x

x

x

x

x

n

( ) ...( ) ( ) ( )

( )

= + ′ + ′ ′′ +

+ ′ ′′

′

∫∫∫0 1 2

100

.... .( )

( )

dx n

x

x

x

x

x

x

n

n

−

−

∫∫∫′

1

1

10

Обозначая:

L x L x dx dx dx m nmx

xm

x

x

x

x

m

m

0 1 0 10 1

1

1

( ) , ( ) ( , , , ),( )

( )

≡ = ′ ′′ =∫ ∫−

−′

� �∫∫многочлен P x( ) представляется формой

P x y L xmm

m

n

( ) ( )( )==

∑0

,

а с учетом того, что y m nm( ) ( , , , , )= 0 1 2 � – значения соответствующих производных от данной функции f x( ) в соответствующих точках, многочлен приво-

дится к виду:

P f x f x L xmm m

m

n

( , ) ( ) ( )( )==

∑0

. (7)

Кроме описанных основных разделов интерпо-ляции надо отметить формальный аппарат аппрок-симации акад. С.Н. Бернштейна и акад. В.А. Котель-никова [5, 6] как то, что непосредственно использует массивы значений исходной функции.

Академик С.Н. Бернштейн указал полиномы B xn ( ) , имеющие в [0, 1] вид:

B x C f kn

x xn nk k n k

k

n

( ) ( )= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −

=∑ 10

(8)

как конкретную реализацию полиномов R xn ( ) (при масштабировании [ , ]0 1 на [ , ]a b ) теоремы Вейер-штрасса: если f x( ) непрерывная в сегменте [ , ]a b функция, то для любого ε > 0 найдется многочлен R xn ( ) степени n такой, что для всех x a b∈[ , ] справед-ливо неравенство f x R xn( ) ( )− < ε . Другими словами, полиномы B xn ( ) равномерно и с любой степенью точ-ности аппроксимируют любую функцию из C a b[ , ] .

К примечательным особенностям этих полино-мов относят:

− малую чувствительность к структурным свойст-вам приближаемой функции. Полиномы B xn ( ) в точках отличия второй производной аппроксими-



руемой функции от нуля реализуют приближение порядка 1 / n вне зависимости от структурных ха-рактеристик f x( ) ;

− асимптотическое приближение производных. Если f x( ) имеет непрерывную производ-ную k -ого порядка f xk( ) ( ) , то производные B xn

k( ) ( ) имеют пределом f xk( ) ( ) :

lim ( ) ( ), , , ...( ) ( )

n nk kB x f x k

→∞= =1 2 .

Академик В.А. Котельников предложил осу-ществлять восстановление сигналов, фактически, в функциональном базисе

sin ( )

( )

ππ

x kx k

−−

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

посредством преобразования:

f x f k x kx k

( ) ( )sin ( )

( )= −

−−∞

∞

∑ ππ

,

которое для аппроксимации нелинейностей может применяться в виде:

f x f k x kx kk N

k N

( ) ( )sin ( )

( )= −

−=−

=+

∑ ππ

, (9)

где моменты k определяются массивом значений на − ≤ ≤ +N x N с 2 1N + отсчетами:

f Nx N

f Nx N

fx

( ),

( ),...

...,

( )−= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− += − +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−= −

1

1

1

1

⎛⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

,

( ),

( ),...,

( ),

fx

fx

f Nx N

0

0

1

1

1

1

ff Nx N( )

,=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

а на интервале − ≤ ≤ +a x a с 2 1N + отсчетами:

f a NN

x a NN

f a NN

x a NN

( )

,

( )⋅ −

= −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⋅ − +

= ⋅ − +

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

1

1,,...

...,

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

f aN

x aN

fx

f aN

x aN

( )

,( )

,

( )− ⋅

= − ⋅

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

=⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⋅

= ⋅

⎛

⎝

⎜1

1

0

0

1

1⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⋅ −

= ⋅ −

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⋅

= ⋅

,...,

( )

,

( )f a NN

x a NN

f a NN

x a NN

1

1

⎛⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟.

В целом, к основным неудобствам применения интерполяционной идеологии, включая формаль-ные средства (8) и (9), можно отнести следующие обстоятельства:

1) отсутствие способа выбора узлов и соответст-вующих производных для построения на них интерполяционных функций, удовлетворяющих заданной погрешности приближения, что апри-орно не гарантирует построение подходящей ап-проксимирующей функции (многочлены Лагран-жа, Эрмита, В.Л. Гончарова);

2) использование равноотстоящих узлов увели-чивает риск отсутствия требуемых значений в массивах значений и производных исходной кривой (полиномы С.Н. Бернштейна, гармоники В.А. Котельникова);

3) характерно наличие большого числа базисных функций как следствия необходимости приме-нения значительного числа узлов интерполяции, что в конечном итоге увеличивает количество и время вычислений, и ведет к нерегулируемой окончательной погрешности приближения (мно-гочлен Лагранжа, полиномы С.Н. Бернштейна, гармоники В.А. Котельникова);

4) восстановленные сигналы (построенные аппрок-симирующие функции) обладают существенно искаженными производными и уже только по-этому их использование в дифференциальных уравнениях, описывающих динамику систем ав-томатического управления, должно быть крайне осторожным для всех соотношений (5)–(9);

5) отсутствие эффективных процедур априорной оценки погрешности (общая характеристика для всех).

Поэтому создание собственно интерполяционных формул, лишенных отмеченных ограничений, явля-ется важным мероприятием.

Кроме этого, традиционная техника интерполя-ции приводит к немалым трудностям прикладного характера, поскольку известные системы моделиро-вания не ориентированы на поиск подходящих ана-литических описаний нелинейных функций для их использования именно в континуальных моделях (1), когда нелинейности заданы массивами измеренных значений или имеют графическое представление.

Так, например, системы моделирования MatLab, MathCad, Maple 5, обладающие самыми мощными графическими и вычислительными возможностями, не предоставляют средства для решения задач описа-ния нелинейностей в контексте решения уравнений управления. Требуется дополнительное программи-рование, что по существу означает создание новой программной системы моделирования по постро-ению аналитических описаний нелинейностей, но только на базе инструментария MatLab, MathCad или Maple 5. Это не всегда приемлемо по крайней мере по двум причинам. Во-первых, MatLab, MathCad,



Maple 5 является коммерческими продуктами отно-сительно высокой стоимости. Во-вторых, описание программных инструментов для создания приложе-ний в этих системах иногда представлено слишком сжато, чтобы эффективно создавать программные системы.

Таким образом, становится очевидной актуаль-ность построения не только подходящих интерпо-ляционных формул, но и создания программных инструментальных средств по построению всех элементов системы моделирования процесса управ-ления, включая программные средства описания нелинейностей.

Не рассматривая вопросы учета влияния погреш-ностей проведения операций, в работе развиваются идеи техники интерполяции [7] – предложена новая трактовка решения интерполяционной задачи и со-ответствующих формул интерполирования, исходя из оценки преобразований, характерных процессам вычисления и измерения, и на примерах показана продуктивность подхода для малого числа узлов интерполяции.

Особенности технологии описания функцииИзвестные интерполяционные методы обладают ин-тересными особенностями. Прежде всего, они ори-ентированы на определенные базисные функции, то есть фактически изолированы выбранным базисом функций, например, полиномами, или синусоидаль-но-косинусоидальными зависимостями, или экспо-ненциальными функциями и т.п. [1–3, 5], хотя общий подход (2)–(3) не предполагает изолированности функционального базиса и не мешает «смешению» различного типа функций. Главное в нем, чтобы вы-полнялось условие (4).

Кроме этого формулы (2) в разных базисах «не взаимодействуют» между собой, например, для улучшения результатов интерполяции или выявле-ния более подходящего базиса для конкретной исход-ной зависимости (кривой), что, по нашему мнению, существенно снижает продуктивность интерполяци-онной идеи.

Наглядно, что интерполяционные способы не обеспечивают регулирование погрешности. Несом-ненно, что интерполяционные процессы [2, 5] и по-линомы акад. Бернштейна (8) – великие достижения теории, но они связаны в значительной мере с пре-дельными процессами и, как следствие, с высокой сложностью конструируемых функций (например, высокими степенями полиномов [8]), значительны-ми сложностями вычисления конкретных значений, большим числом вычислений, высокими рисками

погрешностей округления и немалыми временными затратами на обсчет полученной аппроксимирую-щей функции.

Не трудно осознать, что в практическом плане процесс конструирования интерполяционной функ-ции проводится «как бы вслепую», полагаясь на особенности выбранного базиса. Исследователь фак-тически не может целенаправленно формировать аппроксимирующую функцию, например, делать ее более пологой или более крутой, более сжатой или растянутой и тому подобное на требуемом интерва-ле, в определенной области плоскости, в окрестности конкретной точки или тогда, когда надо скорректи-ровать какую-либо производную в отдельной точке аппроксимирующей функции (и ее кривой).

Наконец, практически всегда используется значи-тельное количество узлов интерполяции (аппрокси-мации) при потребности достижения высокой точно-сти. Между тем, между узлами и реальными преобразованиями, которые описывают нелинейно-сти, по нашему мнению, есть некая взаимообуслов-ленность. При воспроизведение кривой надо прежде всего основываться на характерных и устойчиво фиксируемых (регистрируемых) точках. Как прави-ло, их не так много. Например, вольтамперная харак-теристика (ВАХ) любого туннельного диода (ТД), имея в целом осязаемый разброс значений, слабо из-меняема в своих характерных пиковых значениях и в точке перегиба на туннельной ветви ВАХ. Естествен-но, именно эти точки должны составить основу уз-лов интерполяции (аппроксимации) и вполне ожида-емо, что увеличение числа узлов «сверх меры» может негативно отразиться на качествах интерполяцион-ной функции (кривой) даже тогда, когда для конкрет-ной ВАХ ТД max ( ) ( )

[ , ]a bf x x− ϕ не выйдет за апертуру

(требуемые границы).В общем, по-видимому, не будет ошибкой го-

ворить о том, что и в континуальных моделях про-цессов управления, как правило, характерных точек «немного» и необходимость использования боль-шего числа узлов вносит (неоправданную статисти-ческую) неопределенность выбора узлов в органи-зуемый процесс приближения. Другими словами, становится важной потребность интерполяции на малом количестве узлов, но с требуемой точностью аппроксимации даже тогда, когда она является доста-точно высокой.

Конструирование интерполяционных функцийОставаясь в методологических границах интерполя-ционной идеологии (2)–(4), то есть основываясь на формуле (5), но концептуально ориентируясь на тех-



нические (практические) приложения (1) в схемах контуров управления (рис. 1), не трудно отметить, что это соотношение (5)

F x f x h xi ii

n

( ) = ⋅ ==∑ ( ) ( )1

= − − − −− − −

− +

− +


m m n

m m m m m

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (

0 1 1

0 1 1

� �

� )) ( )� x xm nm

n

−=∑0

абстрагировано от реальности процесса формирова-ния F x( ) , по меньшей мере, двумя обстоятельствами.

Во-первых, не учитываются преобразования, присущие процессу измерения в структурах конту-ров управления. Например, только регулируемая ве-личина x t( ) (рис. 1) проходит ряд преобразований, прежде чем действительно стать таковой для элемен-та сравнения ЭС (рис. 4). В частности, процесс циф-ровой обработки аналогового сигнала x t( ) , отражая последовательность преобразований «исходный ана-логовый сигнал ⇒ исходная последовательность чисел ⇒ алгоритм преобразования в процессоре ⇒ новая последовательность чисел ⇒ результирую-

щий аналоговый сигнал» [9], реализуется антиэлай-синговым фильтром (АФНЧ), аналого-цифровым преобразователем (АЦП) и процессором (ЦП (рис. 4)). Отфильтрованный сигнал x tф ( ) преобразуется ана-лого-цифровым преобразователем в пропорциональ-ный двоичный m -разрядный код. На выходе АЦП формируется двоичное представление аналогового сигнала, которое затем обрабатывается сигнальным процессором ЦП (рис. 4) [10].

Другими словами, до непосредственного процес-са обработки сигнала x t( ) он преобразовался из ана-логового в дискретный и именно в таком виде будет использован в формуле (5). Если композицию прео-бразований «аналоговый сигнал x t( ) ⇒ отфиль-трованный сигнал x t( ) ⇒ m разрядный дискрет-ный сигнал x t( )» обозначить как некоторый оператор

± •g( ) , то в интерполяционной формуле (5) вместо ар-гумента x надо подставить его реальную компози-цию g x( ) . Тогда, если

∀ ≠ ≠ =x x i j g x g x i j Ni j i j, ( ) : ( ) ( ), , , ,...,1 2 , (10) не трудно записать для исходной y y x= ( ) интерпо-ляционную функцию F x( ) в следующем виде:

F x f x h xi ii

n

( ) = ⋅ ==∑ ( ) ( )1


m m n

m m m m m

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

− − − −− − −

− +

− +

0 1 1

0 1 1

� �

� �� ( )x xm nm

n

−=∑0

⇒ F x f x h xi ii

n

( ) = ⋅ ==∑ ( ) ( )1

= y g x g x g x g x g x g x g x g xgm

m m n( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

(

− − − −− +0 1 1� �

(( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))x g x g x g x g x g x g x g xm m m m m m nm − − − −− +0 1 1� �==∑0

n

=

= f x g x g x g x g x g x g x g x g xm

m m n( )( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )− − − −− +0 1 1� � ))

( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) (g x g x g x g x g x g x g x g xm m m m m m n− − − −− +0 1 1� � )))m

n

=∑0

или в сжатом формате:

F x f xg x g x

g x g xi

jj j i

N

i jj j i

Ni

N

( ) ( )

[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )]

,

,

=−

−

= ≠

= ≠

=

∏

∏∑ 1

1

1

.. (11)

РИС. 4 • Функции цифровой обработки сигнала [11]: x t( ) – входной аналоговый сигнал; x tф ( ) – отфильтрованный антиэ-лайсинговым фильтром низких частот (АФНЧ) аналоговый сигнал x t( ) ; АЦП – аналого-цифровой преобразователь в дво-ичное представление m-разрядного кода; ЦП – центральный процессор

m разрядный дискретный сигнал )(tx

Аналоговый сигнал )(tx

)(txф (Отфильтрованный сигнал )(tx )

АФНЧ ЦП АЦП



Формулу (11) назовем первой обобщенной интер-поляционной функцией на структурообразующей g x( ) при условии соблюдения (10).

Во-вторых, не учитывается технология вычи-сления, которая в виду всевозможных погрешностей выполнения операций (погрешностей округления) не даст точного (то есть правильно построенного) ин-терполяционного полинома (функции) (5). Соотно-шение (5) представляется как реализация операторов алгебраического сложения, деления и умножения. Если ограничиться преобразованиями, присущими только непосредственно числителю и знаменателю в формуле (5), то можно отметить следующее.

С одной стороны, здесь надо многократно осу-ществить вычисление разностей ( ) ( )x x i mm i− ≠ и ( ) ( )x x i mi− ≠ , операций умножения в числителе и знаменателе, деления числителя на знаменатель для последующего получения истинного значения ре-зультата характеристической функции h xi ( ) . Одна-ко конкретные значения текущего x и узлов xi являются вначале результатом измерения (с ошиб-кой измерения), а потом результатом ограничений при сохранении этих измеренных значений в памя-ти ЭВМ с конкретной разрядной сеткой. Это озна-

чает, что в реальности результатом вычисления вы-ражения ( )x xi− при конкретном i является не истинное значение разности текущего x и xi , а значение разности измеренных и подверженных ограничениям при сохранении текущих x и xi . Аналогично в реальности результатом вычисления ( ) ( )x x i mm i− ≠ являются не истинными значения-ми их разности, а некоторыми функциями преобра-зования gi этой истинной разности, являющимися фактически соответствующими структурообразую-щими функциями gi :

( )x xi− → g x xi i( )− .

С другой стороны, вполне естественно считать, что ! =x i ni ( , ,..., )1 2 структурообразующие функции g x xi i( )− будут одинаковыми для всех ( )x xi− , по-скольку технике вычислений характерны однотип-ные измерения, однотипное сохранение и однотип-ное вычисление или, по-другому, характерно однотипное ограничение:

! =x i ni ( , ,..., )1 2 : g x xi i( )− = g x xi( )− . (12)

Тогда интерполяционная формула (5) трансфор-мируется в новое выражение:

F x f x h xi ii

n

( ) = ⋅ ==∑ ( ) ( )1


m m n

m m m m m

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

− − − −− − −

− +

− +

0 1 1

0 1 1

� �

� �� ( )x xm nm

n

−=∑0

⇒ F x f x h xi ii

n

( ) ( ) ( )= ⋅ ==∑ �1

= f x g x x g x x g x x g x xg x x g x xm

m m n

m m m( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

− − ⋅ − −− −

− +

−

0 1 1

0 1

� �

� )) ( ) ( )⋅ − −+=∑ g x x g x xm m m nm

n

10 �

при условии того, что:

∀ ≠ − ≠ ≡i j g x x gi j: ( ) & ( )0 0 0 (13)

или в сжатом формате:

F x f xg x x

g x xi

jj j i

N

i jj j i

Ni

N

( ) ( )

[ ( )]

[ ( )]

,

,

=−

−

= ≠

= ≠

=

∏

∏∑ 1

1

1

. (14)

Формулу (14) при условии (13) назовем второй обобщенной интерполяционной функцией на струк-турообразующей g x( ) .

Другими словами, при использовании форму-лы Лагранжа (5) неминуемо возникновение осо-бенностей интерполяционной функции F x( ) , об-условленных характером структурообразующих g x xi( )− . Учитывая фундаментальность форму-лы Лагранжа (5) для всего раздела интерполяции

вычислительной математики, назовем обобщен-ные интерполяционные функции (10) и (14) соот-ветственно первой и второй обобщенной форму-лой Лагранжа.

Структуры обобщенных формул Лагранжа (10) и (14) определяют основные мероприятия технологии описания функции: 1) задание исходной нелинейно-сти и интервалов интерполяции; 2) задание струк-турообразующей функции; 3) выделение узлов и построение соответствующих обобщенных интер-поляционных функций; 4) оценка погрешности и принятие решения об окончании или продолжении процесса поиска описания. Предварительный ана-лиз структур для оценки осуществимости отмечен-ных мероприятий технологии описания функции показал, что обе формулы вполне реализуются по-средством традиционного функционала со своим «обобщенным интерполяционным» наполнением (рис. 5) [11].



Моделирование на структурообразующихНелинейности для континуальных моделей (1) пред-ставляются, как правило, двояко – либо в виде мас-сивов измеренных значений (с цифровых датчиков или, например, с интеллектуальных датчиков ВНИИ автоматики им. Н.Л. Духова [12]), либо в виде гра-фических объектов неизвестного аналитического описания (зафиксированных кривых с осциллографа или, например, самопишущих приборов «Промпри-бор» [13]). Реже – в виде математических моделей (функций с заданным аналитическим описанием) и то, как правило, для верификации процессов реше-ния дифференциальных уравнений (1).

Потому для моделирования обобщенных интер-поляционных функций, вообще говоря, надо и за-давать либо массивы значений, либо «рисованные» кривые. Однако для наглядной оценки продуктив-ности такого инструментария, как предложенные обобщенные формулы Лагранжа (11) и (14), будем исходный материал задавать аналитическими выра-жениями (формулами), чтобы наглядно оценить про-цесс приближения полученных обобщенных формул к аппроксимируемым функциям.

Для того, чтобы избежать ошибочных результатов и «неожиданных» графиков не только целесообраз-но, но и очень важно соблюсти требовании (10) и (13), предъявляемых к структурообразующим функ-циям, при формировании обобщенных интерполяци-онных функций (11) и (14).

Если традиционно техника интерполяции об-уславливалась заключением Фабера и поиском подходящих узлов для каждого конкретного вида аппроксимируемой функции, то для обобщенной интерполяции добавились еще три «степени свобо-ды» – выбор и экспериментирование с обобщенными формулами, со структурообразующими функциями и с их совместным использованием при построении набора узлов интерполяции.

Эксперименты с обобщенными интерполяци-онными функциями. Изменение используемых обо-бщенных интерполяционных функций может вести к удачному регулированию погрешности, в частности, на малом числе узлов интерполяции. Пусть, напри-мер, аппроксимируемая функции f x ex( ) = задана на интервале [ . ; , ]−2 1 1 75 , выбраны структурообразую-щая функция g x x x( ) ( )= + 4 и узлы интерполяции (рис. 6, табл. 1).

ТАБЛИЦА 1 Узлы интерполяцииНомера точек интерполяции

Абсциссы узлов интерполяции

Ординаты узлов интерполяции

1 -2.0000 0.1353

2 0.0000 1.0000

3 1.7400 5.6973

Аппроксимация Лагранжа на этих узлах пред-ставляется формулой:

F x

x x x x( )

.( )( . )

.

( )( . )

.

.

=

= ⋅ − − + ⋅ + −−

+

+

0 13530 1 74

7 481

2 1 74

3 48

5 697332 0 0

6 5076⋅ + −( . )( )

.

x x

(15)

с максимальным отклонением от f x( ) на интервале, равном 0.5388 (рис. 7), по равномерной метрике.

Первая обобщенная интерполяционная функция (11) на трех узлах интерполяции имеет вид:

F xx x x x

x x

( )

.[ ( ) ][ ( ) . ]

.

[ ( )

=

= ⋅ + + + − +

+ ⋅ + +

0 13534 0 4 9 9876

55 9504

14 4]][( ( ) . ]

.

.[ ( ) ][( ( ) ]

x x

x x x x

+ −−

+

+ ⋅ + + + +

4 9 9876

39 9504

5 69734 4 4 0

1399 7026.

(16)

с максимальным отклонением от f x( ) на интервале, равном 0.19 (рис. 8).

РИС. 5 • Основной функционал программной системы

Супервизор с соответствующей организацией интерактивного взаимодействия

Текстовый интерпретатор

Графический процессор

Интерполятор по обобщённым интерполяционным функциям



Вторая обобщенная интерполяционная функ-ция (14) на трех узлах интерполяции выражается соотношением:F x

x x x x( )

.[( )(( ) )][( . )(( . ) )]

.

=

= ⋅ − − + − − + +0 13530 0 4 1 74 1 74 4

3 8896

++ ⋅ + + + − − +−

+

+

12 0 2 0 4 1 74 1 74 4

47 1888

5

[( . )(( . ) )][( . )(( . ) )]

.

.

x x x x

669732 0 2 0 4 0 0 4

289 117⋅ + + + + + +[( . )(( . ) )][( )(( ) )]

.

x x x x

(17)с максимальным отклонением от f x( ) на интервале, равном 0.0633 (рис. 9). На рисунке 10 отображены функции ошибки для (15)–(17).

Интерполяция полиномом Лагранжа (5) и обо-бщенными интерполяционными функциями (11) и (14) может приводить к разным результатам в зави-симости от количества узлов интерполяции, когда каждая из интерполяционных функций (11) и (14) может претендовать на более лучшее приближение (рисунки 11 и 12) (табл. 2).

Эксперименты со сменой структурообразующих. Предложенные обобщенные интерполяционные функции (10) и (14) – это попытка учесть реально-сти преобразований, присущих как процессу изме-рения в структурах контуров управления, так и тех-нологии вычисления аппроксимирующей функции при использовании «обобщенного» метода Лагран-жа, по которому интерполирующая функция опреде-ляется соотношением (2) и формируется из характе-ристических функций h xi ( ) , удовлетворяющих (3), которые, в свою очередь, конструируется фактиче-ски из структурообразующих функций [8]. Как от-мечалось [11], арсенал структурообразующих функ-ций может создаваться или выбираться по-разному, например, если с помощью одной функции можно охарактеризовать все участки исходной кривой, то, наверное, достаточно и одной функции. Если с по-мощью одной функции в области определения кри-вой можно оценить только участок кривой [ , ]x x1 2 , а другой, в области определения кривой – другой уча-сток [ , ]x xN2 , то, возможно, достаточно двух функ-ций. Если каждый из ( )N −1 интервалов исходной

ТАБЛИЦА 2 Пример сравнения результатов использования разных обобщенных интерполяционных функций

№ Исходная функция

Интервал интерполяции

Число узлов интерполяции

Узлы интерполяции Формула интерполяции

Погрешность на интервалеАбсциссы Ординаты

1

Лучшая функция – вторая обобщенная интерполяционная функция на 3-х узлах

exp( )x [ . ; , ]−2 1 1 75 3 (рис. 6–9)-2.00000.00001.7400

0.13531.00005.6973

Лагранжа (5) 0.5388

I –ая обобщенная функция (11) 0.19

II –ая обобщенная функция (14) 0.0633*

2

Лучшая функция – интерполяционный полином Лагранжа на 4-х узлах

exp( )x [ . ; , ]−2 1 1 75 4 (рис. 11)-2.0000-1.00000.00001.7400

0.13530.36791.00005.6973

Лагранж (5) 0.219*

I –ая обобщенная функция (11) 0.2462

II –ая обобщенная функция (14) 1.1982

3

Лучшая функция –первая обобщенная интерполяционная функция на 5-х узлах

exp( )x [ . ; , ]−2 1 1 75 5 (рис. 12)

-1.933-0.8080.3751.1251.615

0.14470.44571.455

3.08025.0279

Лагранжа (5) 0.0463

I –ая обобщенная функция (11) 0.0296*

II –ая обобщенная функция (14) 0.3058

*− наилучший результат интерполяции



РИС. 7 • Полином Лагранжа (голубая линия) на трех точках и его близость к исходной кривой (синяя линия) на интервале с максимальным отклонением, равным 0,5388

РИС. 6 • Задание аппроксимируемой кривой, структурообразующей функции и узлов интерполяции



РИС. 8 • Первая обобщенная интерполяционная функция (красная линия) (11) на трех точках и ее близость к исходной кривой (синяя линия) на интервале с максимальным отклонением, равным 0,19

РИС. 9 • Вторая обобщенная интерполяционная функция на трех узлах интерполяции (черная линия) (14) на трех точках и ее близость к исходной кривой (синяя линия) на интервале с максимальным отклонением, равным 0,0633



РИС. 10 • Функции ошибки, где: a- для полинома Лагранжа (5), b, c – соответственно для первой (11) и второй (14) обобщен-ных интерполяционных функций



РИС. 11 • Пример сравнения обобщенных интерполяционных функций на четырех узлах, где синяя линия – исходная кри-вая, голубая линия – полином Лагранжа, наиболее близкий к исходной кривой, красная линия – первая обобщенная ин-терполяционная функция (11), черная линия – вторая обобщенная интерполяционная функция (14)

РИС. 12 • Пример сравнения обобщенных интерполяционных функций на пяти узлах, где синяя линия – исходная кривая, голубая линия – полином Лагранжа, красная линия – первая обобщенная интерполяционная функция (11), наиболее близкая к исходной кривой, черная линия – вторая обобщенная интерполяционная функция (14)



зависимости характеризуется отдельной функ-цией, то, может быть, есть много оснований для того, чтобы считать достаточным для создания соответствующих характеристических функций именно ( )N −1 структурообразующую функ-цию. Обосновывать число используемых струк-турообразующих функций можно, связывая их с пересекающимися интервалами, с непересекаю-щимися интервалами и прочими особенностями исходной зависимости, но, в общем, нет види-мых причин обуславливать мощность множест-ва структурообразующих функций именно коли-чеством или содержательностью параметров кривой, включая набор точек, которыми эта кри-вая может представляться. Самое важное, по на-шему мнению, – это то, что все структурообразу-ющие функции определены на всем интервале определения аппроксимируемой кривой (чем они существенно отличаются от сплайновой ор-ганизации построения аппроксимирующих зависимостей).

Например, изменение структурообразующих функций (табл. 3), удовлетворяющих условиям (10) и (13), при аппроксимации f x ex( ) = на ин-тервале [ . ; , ]−2 1 1 75 на трeх узлах интерполяции (табл. 4) намечает широкие дополнительные воз-можности, которые могут обеспечить обобщен-ные интерполяционные функции для конструиро-вания интерполяционных вычислительных схем (рис. 13–19).

ТАБЛИЦА 3 Проверяемые структурообразующие функцииN Испытываемые зависимости

1 x x( )− 6 ; x ; x x ; x x x( ) ( )− +40 4

2x x x

x⋅ − ⋅ +

−( ) ( )

( )

40 4

11 2; x x x

x⋅ − ⋅ +

−( ) ( )

,

40 4

4 8; x x x

x⋅ − ⋅ +

−( ) ( )40 4

11

ТАБЛИЦА 4 Узлы интерполяции для манипулирования структурообразующими функциямиНомера точек интерполяции Абсциссы узлов интерполяции Ординаты узлов интерполяции

1 –2.0000 0.1353

2 0.0000 1.0000

3 1.7400 5.6973

ТАБЛИЦА 5 Поиск узлов интерполяцииX –1.25 0.5 0.625 1.25

Y –0.949 –0.4794 0.5851 0.949

Выбран Ok Ok Ok Ok

Эксперименты с узлами интерполяции. Осозна-вая практичность использования небольшого количе-ства узлов интерполяции, интересны тактики постро-ения интерполяционной схемы, при которой до экспе-риментов с обобщенными интерполяционными и структурообразующими функциями проводится по-иск подходящих узлов интерполяции. В этом плане представляется практически интересным последова-тельное накопление (формирование) узлов интерпо-лирования при неизменной структурообразующей функции. Это можно представить цепочкой модель-ных экспериментов. Например, аппроксимируем функцию f x x( ) sin ( )= , заданную на [ ; ]−3 3 , со струк-турообразующей функцией g x x( ) exp( )= −1 на ин-тервале [ . ; . ]−1 5 1 5 обобщенной интерполяционной функцией F x( ) по формуле (11). Начальным узлом зададим точку [ . ; , ]− −1 5 0 9975 (рис. 20).

Возьмем произвольно вторую точку, например, [ . ; , ]1 5 0 9975 и, оценив отклонение обобщенной ин-терполяционной функции (11), построенной на двух узлах интерполяции [ . ; , ]− −1 5 0 9975 и [ . ; , ]1 5 0 9975 (рис. 21), от заданной интерполируемой зависимости sin ( )x , начнем перемещать вторую точку влево с це-лью поиска подходящего узла (рис. 22А – Г) до значе-ний [ . ; , ]− −0 5 0 4794 (рис. 22Г, 22Д). Для большего сближения кривых между узлами (рис. 22Д) переме-стим теперь первую точку [ . ; , ]− −1 5 0 9975 вправо, на-пример, как на рисунке 23 к значениям [ , ; , ]− −1 25 0 949 . Аналогично, экспериментируя, установим следующие узлы (рис. 24) (табл. 5).



РИС. 13 • Обобщенные интерполяционные функции (11) (красная линия) и (14) (черная линия) при структурообразующей x x⋅ −( )6 на трех точках (табл. 3) с погрешностями интерполяции на интервале, не превосходящими соответственно1 3446, и 2 5022,

РИС. 14 • Совпадающие обобщенные интерполяционные функции (11) и (14) (черная линия) при структурообразующей x на трех точка (табл. 3) с погрешностями интерполяции на интервале, не превосходящими 0 5388,

Рисунок 14 – Совпадающие обобщённые интерполяционные функции (11) и (14) (чёрная линия) при структурообразующей x на трёх точка (табл. 3) с погрешностями интерполяции на интервале, не превосходящими 5388,0

Рисунок 13 – Обобщённые интерполяционные функции (11) (красная линия) и (14) (чёрная линия) при структурообразующей )6( �� xx на трёх точках (табл. 3) с погрешностями интерполяции на интервале, не превосходящими соответственно 3446,1 и

5022,2



РИС. 15 • Обобщенные интерполяционные функции (11) (красная линия) и (14) (черная линия) при структурообразующей x x на трех точках (табл. 3) с погрешностями интерполяции на интервале, не превосходящими соответственно 0 4126, и 0 4320,

Рисунок 15 – Обобщённые интерполяционные функции (11) (красная линия) и (14) (чёрная линия) при структурообразующей xx на трёх точках (табл. 3) с погрешностями интерполяции на интервале, не превосходящими соответственно 4126,0 и 4320,0

РИС. 16 • Обобщенные интерполяционные функции (11) (красная линия) и (14) (черная линия) при структурообразующей x x x⋅ − ⋅ +( ) ( )40 4 на трех точках (табл. 3) с погрешностями интерполяции на интервале, не превосходящими соответ-

ственно 0 2160, и 0 1079,

Рисунок 16 – Обобщённые интерполяционные функции (11) (красная линия) и (14) (чёрная линия) при структурообразующей )4()40( �� xxx на трёх точках (табл. 3) с погрешностями интерполяции на интервале, не превосходящими соответственно 2160,0 и 1079,0



РИС. 17 • Обобщенные интерполяционные функции (11) (красная линия) и (14) (черная линия) при структурообразующей

x x xx

⋅ − ⋅ +−

( ) ( )

( )

40 4

11 2 на трeх точках (табл. 3) с погрешностями интерполяции на интервале, не превосходящими 0 0697,

для (11) и 0 0627, для (14)



РИС. 18 • Обобщенная интерполяционная функция (11) при структурообразующей x x x

x⋅ − ⋅ +

−( ) ( )

,

40 4

4 8 на трех точках

(табл. 3) с погрешностью интерполяции на интервале, не превосходящей 0 0259.

РИС. 19 • Обобщенная интерполяционная функция (11) при структурообразующей x x xx

⋅ − ⋅ +−

( ) ( )40 4

11 на трех точках

(табл. 3) с погрешностью интерполяции на интервале, не превосходящей 0 0372.



РИС. 20 • Начало построения обобщенной интерполяционной формулы (11), где синяя линия – исходная интерполируемая кривая sin ( )x , а красная линия - обобщенная интерполяционная функция (11), построенная на начальном узле интер-поляции [ . ; , ]− −1 5 0 9975

Рисунок 20 – Начало построения обобщённой интерполяционной формулы (11), где синяя линия – исходная интерполируемая кривая )(sin x , а красная линия - обобщённая интерполяционная функция (11), построенная на начальном узле интерполяции

]9975,0;5.1[ ��

РИС. 21 • Выбор произвольной второй точки и переход к поиску второго узла

Рисунок 21 – Выбор произвольной второй точки и переход к поиску второго узла



РИС. 23 • «Юстировка» (корректировка) первого узла интерполяции [ , ; , ]− −1 25 0 949

РИС. 22 • Подбор второго узла интерполяции [ . ; , ]− −0 5 0 4794



РИС. 24 • Окончание обобщенной интерполяция (табл. 5) по формулам (11), где А, Б – последовательное добавление двух узлов, В – функция ошибки F x f x( ) ( ) ,− < 0 027

Заключительные суждения: текущая проблематика1. Хотя в работе не представлено влияние различ-

ных вариантов описания нелинейностей на ха-рактер изменения интегральных кривых, сам процесс формирования интерполяционной функ-ции предполагает, что проблема интерполяции не является независимой. Построение формальной модели нелинейности как обобщенной интер-поляционной функции «отягощено» фактом ее последующего использования в структуре диф-ференциального уравнения, где она может суще-ственно обуславливать поведение интегральной кривой, то есть решение того дифференциально-го уравнения, куда она и вмонтирована. В этом плане, безусловно, надо дополнительно решать задачу оценки устойчивости или чувствительно-сти полученной обобщенной интерполяционной функции от ее параметров, причем в ракурсе из-

менений поведения интегральных кривых. Поэто-му, по-видимому, в соответствующих программах интерполяции должен быть инструментарий для удобной оценки эффективного применения ин-терполяционной функции.

2. Идея использования структурообразующих функ-ций при формировании обобщенных интерполя-ционных функций разительно отличается от идеи сплайнового формирования аппроксимирующей функции, то есть проведения кусочно-полиноми-альной или кусочно-нелинейной интерполяции. Можно ожидать, что применение структурообра-зующих функций исключает наличие интервалов, где интегральная кривая будет буквально «разры-ваться» на части «странного» поведения в окрест-ностях «сочленения» кусков сплайна, даже несмо-тря на то, что в точках сочленения могут остаться непрерывными несколько ее первых производ-ных. Однако, поскольку возможно использование нескольких структурообразующих функций, в со-



ответствующих программах интерполяции дол-жен быть инструментарий для моделирования влияния структурообразующих на интегральные кривые, то есть должны быть средства оператив-ного моделирования дифференциальных уравне-ний с построенными нелинейностями.

3. Несмотря на концептуальные возможности «иде-ологии» интерполяции со структурообразующи-ми функциями и практическую продуктивность такого инструмента, как обобщенные интерполя-ционные функции, ее эффективность обусловлена интерактивным характером процесса приближе-ния, указанным еще проф. R.W. Hamming («Bell Telephone Laboratories») [14] в начале шестиде-сятых годов, она, безусловно, относится к инте-рактивной аппроксимации [15], и, как следствие, существенно обусловлена теми программными системами, которые реализуют такие процессы моделирования. Поэтому основной текущей зада-чей по реализации подобной «идеологии» являет-ся создание программной системы, которая будет полностью автоматизировать процесс построения аналитических описаний, оставляя за человеком анализ и принятие решения по конструировании сходящихся процессов интерполирования или, проще, по получению в каждом конкретном слу-чае подходящей аппроксимации.

■ Автор благодарен старшему научному сотруднику научно-исследовательской лаборатории вычислительных средств робототехники кандидату технических наук Захаровой Ольге Владимировне за разработку многочисленных макетов программного инструментария для экспериментирования со структурообразующими функциями.

■ Автор признателен бакалавру кафедры «Информационные системы» «Госуниверситет-УНПК» Самбьену Кувимиту Калебу (Sambienou Kouwimmitou Caleb, Бенин) за создание прототипа комплексной программы интерполяции, на котором оказалось возможным комфортное экспериментирование с нелинейностями).

■ Работа выполнена при поддержке «Госуниверситет-УНПК» по теме «Разработка программной системы поддержки процесса управления в предаварийных состояниях для восстановления нормальной работы», приказ № 7-н/26 от 23.10.13.


1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Наука, 1966. Том 1. 389 с.

2. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и прибли-жения функций. М.: Гос. изд. технико-теоретиче-ской литературы, 1954. 2-е изд. 328 с.

3. Микеладзе Ш.Е. Численные методы математиче-ского анализа. М.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1953. 527 с.

4. Захарова О.В. О факторах уровня локального управления, влияющих на структуру промышлен-ного контроллера // Промышленные АСУ и контр-оллеры. 2012. № 4. С. 38-47;

5. Этерман И.И. Аппроксимативные методы в при-кладной математике. Пенза: Пензенский политех-нический институт, 1973. 264 с.

6. Котельников В.А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи: Материалы к Первому Всесоюзному съезду по вопросам техни-ческой реконструкции дела связи и развития слабо-точной промышленности. (Сборник Всесоюзного энергетического комитета. По радиосекции. М.: Управление связи РККА, 1933) // Успехи физиче-ских наук, 2006. № 7. С. 762-770.

7. Раков В.И. Техника формирования интерполи-рующих структур с использованием структуроо-бразующих функций // Известия ОрелГТУ. Серия «Информационные системы и технологии». 2008. № 4-3/272(550). С. 22–33.

8. Раков В.И. Новая технология использования поли-номов академика Бернштейна для описания нели-нейностей математических моделей управления // Приборы и системы. Управление, контроль, диаг-ностика. 2010. № 9. С. 1–12.

9. Шишков А.Н. Цифровые сигнальные процессоры. МАИ: каф. 404, 2011. 27 с. Режим доступа: http:// frela-mk.narod2.ru/lektsii/COS_i_CSP.pdf.

10. Аксёнов В.П. Сигнальные процессоры. Владивос-ток: ДВГТУ, 2006. 135 с.

11. Раков В.И, Захарова О.В., Самбьену К.К. Особен-ности интерполяции на обобщенных формулах // Промышленные АСУ и контроллеры. 2014 № 9. С. 26–35.

12. Датчики и сигнализаторы давления. Всероссийский научно-исследовательский институт автоматики им. Л.Н. Духова. Режим доступа: http://vniia.ru/dd/index.html.

13. Производство и поставка контрольно-измеритель-ных приборов и автоматики (КИПиА), аппаратуры регулирования, систем и оборудования для управ-ления технологическими процессами (АСУТП). Группа компаний ПРОМПРИБОР. Режим доступа: www.ПРОМПРИБОР.рф.

14. R.W. Hamming. Numerical Methods For Scientists And Engineers. Bell Telephone Laboratories. MC Graw-Hill Book Company, Inc. New-York, San Fran-cisco, Toronto, London, 1962. 376 c.

15. Раков В.И. Моделирование и информационные си-стемы в интерактивной аппроксимации: Часть 1. Методика описания. М.: РАЕ, 2012. 112 с.



References

1. Berezin I.S., Zhidkov N.P. Metody vychisleniy [Com-putational methods]. M.: Nauka [Moscow: Publishing house «Nauka»]. 1966. Vol. 1. 389 p.

2. Goncharov V.L. Teoriya interpolirovaniya i prib-lizheniya funktsiy [The theory of interpolation and approximation of functions]. M.: Gosudarstvennoe izdatelstvo tekhniko-teoreticheskoy literatury [Mos-cow: Publishing house «Gosudarstvennoe izdatelstvo tekhniko-teoreticheskoy literatury»]. 1954. 2nd ed. 328 p.

3. Mikeladze Sh.Ye. Chislennye metody matematichesk-ogo analiza [Numerical methods of mathematical analysis]. M.: Gosudarstvennoe izdatelstvo tekhniko-teoreticheskoy literatury [Moscow: Publishing house «Gosudarstvennoe izdatelstvo tekhniko-teoretiches-koy literatury»]. 1953. 527 p.

4. Zakharova O.V. O faktorakh urovnya lokalnogo uprav-leniya, vliyayushchikh na strukturu promyshlennogo kontrollera [The reasons of change of structures of in-dustrial computers]. Promyshlennye ASU i kontrollery [Industrial Automatic Control Systems and Control-lers]. 2012. № 4. PР. 38–47.

5. Eterman I.I. Approksimativnye metody v prikladnoy matematike [Approximation methods in applied math-ematics]. Penza: Penzenskiy politekhnicheskiy insti-tute [Penza: Penza Polytechnic Institute]. 1973. 264 p.

6. Kotelnikov V.A. O propusknoy sposobnosti «efira» i provoloki v elektrosvyazi: Materialy k Pervomu Vsesoyuznomu sezdu po voprosam tekhnicheskoy rekonstruktsii dela svyazi i razvitiya slabotochnoy promyshlennosti [Capacity of the «ether» and wire in electric: Proceedings of the First All-Union Con-gress on the technical reconstruction of communica-tion and development Schwachstromindustrie]. Us-pekhi fizicheskikh nauk [Physics-Uspekhi (Advances in Physical Sciences)]. 2006. № 7. С. 762–770.

7. Rakov V.I. Tekhnika formirovaniya interpoliruyush-chikh struktur s ispolzovaniem strukturoobrazuyush-chikh funktsiy [Shaping techniques of interpolating structures using structure-function]. Izvestiya Orel-GTU. Seriya «Informatsionnye sistemy i tekhnolo-gii» [Izvestia Orel State Technical University. Se-ries «Information systems and technology»]. 2008. № 4–3/272(550). PР. 22–33.

8. Rakov V.I. Novaya tekhnologiya ispolzovaniya po-linomov akademika Bernshteyna dlya opisaniya nelineynostey matematicheskikh modeley upravleniya [The approach to approximation of functions by poly-noms of academician bernstein in control problems]. Pribory i sistemy. Upravlenie, kontrol, diagnostika [In-struments and Systems: Monitoring, Control, and Di-agnostics]. 2010. № 9. PР. 1–12.

9. Shishkov A.N. Tsifrovye signalnye protsessory [Digi-tal signal processors]. MAI: kaf. 404 [Moscow Avia-tion Institute: Dept. 404]. 2007. 27 p. URL: http://frela-mk.narod2.ru/lektsii/COS_i_CSP.pdf.

10. Aksenov V.P. Signalnye protsessory [Signal Proces-sors]. Vladivostok: DVGTU [Vladivostok: Eastern State Technical University]. 2006. 135 p.

11. Rakov V.I, Zakharova O.V., Sambenu K.K. Osoben-nosti interpolyatsii na obobshchennykh formulakh [Features of interpolation on the generalized formu-las]. Promyshlennye ASU i kontrollery [Industrial Au-tomatic Control Systems and Controllers]. 2014. № 9. PР. 26–35.

12. Datchiki i signalizatory davleniya [Sensors and trans-mitters for pressure]. Vserossiyskiy nauchno-issledo-vatelskiy institut avtomatiki im. L.N. Dukhova [All-Russia Research Institute of Automatics]. URL: http://vniia.ru/dd/index.html.

13. Proizvodstvo i postavka kontrolno-izmeritelnykh pri-borov i avtomatiki (KIPiA), apparatury regulirovani-ya, sistem i oborudovaniya dlya upravleniya tekhno-logicheskimi protsessami (ASUTP) [Manufacture and supply of instrumentation and automation control equipment, systems and equipment for process con-trol]. Gruppa kompaniy «PROMPRIBOR» [Group «PROMPRIBOR»]. URL: www.ПРОМПРИБОР.рф.

14. Hamming R.W. Numerical Methods For Scientists And Engineers. Bell Telephone Laboratories. MC Graw-Hill Book Company, Inc. New-York, San Francisco, Toronto, London, 1962. 376 p.

15. Rakov V.I. Modelirovanie i informatsionnye sistemy v interaktivnoy approksimatsii: Chast 1. Metodika opisaniya [Modeling and information systems in an in-teractive approximation: Part 1. Methodology descrip-tion]. M.: RAYe [Moscow: Publishing house «Russian Academy of Natural History»]. 2012. 112 p.


Раков Владимир Ивановичдоктор техн. наук, профессор

Федеральное государственное бюджетное образова-тельное учреждение высшего проф. образования

«Государственный университет – Учебно-научно-производственный комплекс»

302020, Орёл, Российская ФедерацияНаугорское шоссе, 29

E-mail: [email protected]

Rakov Vladimir IvanovichDoctor of Techn. Sciences, Professor Federal State Educational Institution of Higher Professional Education «State University – Education-Science-Production Complex»302020, Orel, Russian FederationNaugorskoe shosse, 29E-mail: [email protected]

СОДЕРЖАНИЕ

Введение.Глава 1. Искусственный интеллект и интеллектуальные системы;Глава 2. Основы теории, методологии и технологии построения систем,

основанных на знаниях (экспертных систем);Глава 3. Основы теории, методологии и технологии построения

интегрированных интеллектуальных систем (на примере интегрированных экспертных систем).

Книгу можно приобрести в ООО «Научтехлитиздат» сделав заказ по электронной почте: [email protected]

Стоимость книги 400 руб. с доставкой

М.: ООО «Научтехлитиздат», 2014. 224 с. ISBN 978-5-93728-144-9

ВЫШЕЛ В СВЕТ ПЕРВЫЙ ТОМ ТРЕХТОМНОЙ МОНОГРАФИИ Г.В. РЫБИНОЙ

ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТ А ДО Я СИСТЕМЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ЗНАНИЯХ.

ИНТЕГРИРОВАННЫЕ ЭКСПЕРТНЫЕ СИСТЕМЫ

Книга предназначена для специалистов, аспирантов и студентов старших курсов университетов, изучающих теоретиче-ские и технологические основы научной дисциплины «искусственный интеллект», входящий в комплекс компьютерных наук, а также для специалистов в области информационных технологий, занимаю-щихся проектированием и разработкой наиболее распространенных и востребо-ванных классов и архитектур интеллекту-альных систем. распространенных и во-стребованных классов и архитектур ин-теллектуальных систем.

Книга также является научно-методиче-ским изданием для курсов, факультетов, учебно-научных центров и институтов по-вышения квалификации.

НОВАЯ КНИГА

НАУЧТЕХЛИТИЗДАТ


И.В. ИГНАТУШИНА – канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики, Оренбургский гос. педагогический университет Оренбург, Российская Федерация, Е-mail: [email protected]

ПРЕПОДАВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ОТЕЧЕСТВЕННЫХ УНИВЕРСИТЕТАХ ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЫ XX СТОЛЕТИЯ

В статье описывается процесс формирования курса «Диф-ференциальная геометрия» в отечественных университетах первой половины XX столетия. Рассматриваются учебные программы и анализируются учебные пособия по дифферен-

циальной геометрии указанного периода. Рассказывается о тех ученых, которые сыграли важную роль в этом процессе.Ключевые слова: дифференциальная геометрия, история математики и математического образования в России.

I.V. IGNATUSHINA – Cand. of Phys.-Math. Sciences, Associate Professor of Mathematical Analysis and Methods of Teaching Mathematics, Orenburg State Pedagogical University Orenburg, Russian Federation, Е-mail: [email protected]

TEACHING OF DIFFERENTIAL GEOMETRY IN DOMESTIC UNIVERSITIES FIRST HALF OF XX CENTURY

The article describes the process of formation of the course «Differential Geometry» in domestic universities first half of XX century. Examine syllabi and textbooks are analyzed by differential geometry specified period. Tells

of those scientists who have played an important role in this process.Keywords: differential geometry, history of mathematics and mathematics education in Russia.

Первый этап перестройки системы отечественного высшего образования, начавшейся после Октябрь-ской революции, привел к появлению учебных планов для университетов, составленных и опубликованных в 1922–1924 гг. Они были рассчитаны на трехлетний срок обучения и имели резко выраженный произ-водственный уклон. Так, математическое отделение должно было готовить статистиков, финансистов, страховых работников и т.д. Была введена летняя производственная практика студентов, которая долж-на была показать тесную связь обучения с жизнью. Но, поскольку такая практика в большинстве случаев не учитывала теоретическую подготовку студентов, то она не выполняла своего основного предназна-чения и оставалась чистой формальностью. Кроме того в планах 1922–1924 гг. научно-исследователь-ская работа студента была полностью упущена. На-правленность на узкую специализацию выпускников вступила в конфликт с сущностью университетского образования. Это потребовало пересмотра учебных планов университетов.

Новые учебные планы, введенные в университе-тах в 1926 г., были в некоторой степени освобождены от чрезмерного количества прикладных предметов. За счет укрупнения специальностей сократилось их число. Срок обучения был увеличен до 4,5 лет. Вос-становилось значение научно-исследовательской ра-

боты, специализация студентов начиналась не с пер-вого, а со второго курса. Эти планы были составлены для физико-математических факультетов Ленинград-ского, Первого Московского, Казанского и Томского университетов. Во всех остальных университетах страны физико-математические факультеты в 1922 г. были преобразованы в педагогические.

На математическом отделении Ленинградского университета были установлены два цикла: мате-матический со специальностями математика, ме-ханика, статистика и астрономо-геодезический со специальностями астрономия и геодезия. Одним из общих курсов для всего отделения был математиче-ский анализ, который читался в течение первых трех лет. В этом курсе демонстрировались и приложения дифференциального исчисления к исследованию кривых. С третьего курса начиналась специализация, в которой, в частности, излагались дополнительные главы математического анализа, включающие и гео-метрические приложения. На специализацию отво-дилось 8 часов лекций и столько же семинарских за-нятий. На четвертом курсе для математиков одним из специальных предметов была теория поверхностей.

Учебный план Первого Московского университе-та отличался от плана Ленинградского университета по количеству часов и по характеру специализации. Математический цикл физико-математического фа-

ИСТОРИЯФИЗИКИ И МАТЕМАТИКИ



культета Первого МГУ имел три специальности: чи-стую математику, прикладную математику и стати-стику. Здесь дифференциальная геометрия являлась обязательной дисциплиной для студентов второго курса. Теоретические сведения студенты получали на лекциях, а затем на практических занятиях закре-пляли этот материал. Кроме того, студенты матема-тического цикла работали в семинаре по дифферен-циальной геометрии (1 час в неделю). На третьем курсе для специальности чистая математика среди предметов специализации читалась теория поверх-ностей и проводился семинар по геометрии. Для этой же специальности на четвертом курсе диффе-ренциальная геометрия продолжалась как один из специальных предметов.

В первой половине 20-х годов в Первом МГУ диф-ференциальную геометрию вел Дмитрий Федоро-вич Егоров (1869–1931). Его манера ведения лекции была чрезвычайно сдержанной, слегка суховатой. Д.Ф. Егоров, владел в высокой степени искусством как внутреннего, логического и собственно матема-тического, так и внешнего, словесного, построения лекции, и что еще важнее, лекции эти могли слу-жить непревзойденным образцом математической строгости. Но это действительно блестящее, компо-зиционное мастерство, лишенное каких-либо внеш-них эффектов, было рассчитано на подготовленно-го слушателя, чем объясняется то, что Д.Ф. Егоров преподавал преимущественно на старших курсах. Однако формальные достоинства – изящество вы-кладки, всегда кратчайший путь логической дедук-ции – иногда даже несколько подавляли слушателя, который на лекциях Д.Ф. Егорова получал каждую математическую теорию в ее окончательно выкри-сталлизованном виде [1, с. 408–410].

В 1909-10 уч. г. Д.Ф. Егоров подготовил курс «Дифференциальная геометрия» [2], в котором он постарался отразить весь накопленный к тому вре-мени опыт.

В 1922 г. в составе Московского университета был открыт Научно-исследовательский институт математики и механики, директором которого стал Болеслав Корнелиевич Млодзеевский (1858–1923). Д.Ф. Егоров и Б.К. Млодзиевский явились инициато-рами новой формы работы со студентами – научных семинаров. Одним из направлений работы такого се-минара стала дифференциальная геометрия.

В 1923г. в Москву приехал Вениамин Федоро-вич Каган (1869–1953) [3], научные интересы ко-торого относятся к основаниям геометрии и к диф-ференциальной геометрии. С этого времени в МГУ появилось новое направление в области дифферен-циальной геометрии – многомерная дифференци-

альная геометрия и тензорный анализ. В.Ф. Каган организовал преподавание этих разделов математи-ки, а с 1927 года руководил научным семинаром по тензорному исчислению.

Научная деятельность В.Ф. Кагана всегда была тесно связана с его преподавательской работой. Его лекции отличались особым стилем: «негромкая, внутренне взволнованная речь, перемежающая-ся паузами, в течение которых лектор, кажется, не столько обдумывает следующую фразу, сколько мы-сленно возвращается к общему плану своего изло-жения, снова и снова проверяя его значимость для аудитории; стремление сделать выпуклым самый замысел теории, и наряду с этим любовное изложе-ние тщательно подготовленной сложной выкладки, приводящей к архитектурно стройной формуле – глубокому следствию исходных посылок» [3, с. 10]. Университетские курсы, которые Вениамин Федо-рович читал в Первом и Втором* МГУ с 1922 г., со-держали подчас абсолютно новые научные взгляды, еще не нашедшие должного места в устоявшейся системе преподавания. Примером одного из таких курсов было «Тензорное исчисление и риманова ге-ометрия». Талантливым, увлекательным изложени-ем новых курсов В.Ф. Каган добился того, что они были включены в учебные планы многих вузов. Это относится и к тензорному построению курса диф-ференциальной геометрии.

С особой настойчивостью стремился В.Ф. Каган ввести в преподавание векторного исчисления, в том числе и при изложении дифференциальной геоме-трии. Отметим, что в 20-е годы прошлого столетия векторное исчисление не входило в учебные планы и программы вузовской математики. На физико-ма-тематическом факультете Московского университета Вениамин Федорович прочитал первый обязатель-ный курс векторного исчисления, нашедший потом отражение в созданной им учебной литературе.

Одновременно с этим В.Ф. Каган начал широкую пропаганду нового тогда тензорного направления в области дифференциальной геометрии. Вениамин Федорович читал лекции по тензорному анализу и его приложению к дифференциальной геометрии, делал доклады, а также выступал в печати. Как от-мечалось ранее, это новое направление в московской математической школе было создано В.Ф. Каганом, а затем развито его многочисленными учениками и последователями. Учебная литература, написанная

* Второй МГУ имел более определенную педагогическую направленность. Впоследствии он был преобразован в Мо-сковский государственный педагогический институт им. В.И. Ленина, ныне это Московский государственный педа-гогический университет.



впоследствии учениками Вениамина Федоровича, сохранила следы влияния его лекционных курсов.

На физико-математическом отделении физико-ма-тематического факультета Казанского университета имелось пять циклов: математика, механика, физи-ка, геофизика, астрономия. Цикл математики вклю-чал три специальности: геометрию, математический анализ и математическую статистику. Рассмотрим особенности учебного плана этого университета по изложению дифференциальной геометрии.

Для всех специальностей физико-математическо-го отделения дифференциальная геометрия изуча-лась на втором курсе. На третьем курсе студенты, обучающиеся по специальности геометрия, слушали курс по теории поверхностей. На четвертом курсе они изучали геометрию n-мерных пространств, а также посещали спецкурсы по выбору слушателей и семинар по геометрии, где имели возможность по-знакомиться с последними достижениями в области дифференциальной геометрии.

Ведущим профессором математики в Казанском университете с 1917 по 1929 г. был Николай Никола-евич Парфентьев (1877–1943), который принимал активное участие в создании новых учебных планов. Помимо основных курсов, он читал разнообразные спецкурсы и содействовал формированию у студен-тов научных интересов по математике. В универси-тете по старой традиции продолжало развиваться геометрическое направление.

Физико-математический факультет Томского уни-верситета открылся 1 июля 1917 г. и имел два отде-ления: физико-математическое и естественнонаучное. На физико-математическом отделении были органи-зованы три кафедры: чистой математики, теоретиче-ской и прикладной механики, астрономии и геодезии. Среди первых профессоров Томского университета был выпускник Дерптского университета Федор Эду-ардович Молин (1861–1941) [4, 5]. В Томском универ-ситете Ф.Э. Молин организовал ряд математических семинаров, в том числе и геометрический, а его труды положили начало исследованиям томских математи-ков по дифференциальной геометрии.

В 1926 г. физико-математическое отделение было разделено на два цикла: математический и физиче-ский. Здесь дифференциальная геометрия, так же, как в Московском и Казанском университетах, читалась на втором курсе. Кроме того для цикла математики прово-дился спецсеминар по дифференциальной геометрии. На третьем и четвертом курсах вопросы дифференци-альной геометрии излагались в рамках спецкурсов.

Ознакомление с учебными планами математиче-ских специальностей отечественных университетов, показывает, что в 20-е годы преподавание дифферен-

циальной геометрии сохраняло индивидуальный ха-рактер в каждом из этих высших учебных заведений. Такое положение во многом определялось составом педагогических кадров в каждом из университетов.

Помимо учебной работы, преподаватели вузов занимались научными исследованиями, в том числе и по дифференциальной геометрии. В целях органи-зации научной работы, повышения ее эффективно-сти и воспитания кадров молодых ученых в составе многих университетов создавались научно-исследо-вательские институты, в частности институты мате-матики и механики.

В первые годы советской власти одной из важ-нейших задач в развитии высшей школы было со-здание учебной литературы, которой катастрофиче-ски не хватало. Почти каждый университет издавал небольшими тиражами курсы лекций по отдельным предметам, а также задачники к ним. Среди учебных пособий по дифференциальной геометрии в то время были изданы: «Геометрические приложения диффе-ренциального исчисления. Дифференциальная гео-метрия» (1919г.) Д.М. Синцова и «Дифференциаль-ная геометрия» (1923г.) Д.Ф. Егорова.

Индустриализация страны поставила по-новому вопрос о положении университетов. Так в 1929 г. на совещании Главпрофобра было решено приблизить профиль физико-математических факультетов уни-верситетов к техническим институтам и выпускать инженеров для промышленности. В 1930 г. Главпро-фобр разработал новые учебные планы, согласно ко-торым, все дисциплины должны носить прикладной характер, а теоретические курсы, такие, как чистая математика, теоретическая физика и т.п., следовало исключить. В это же время из университетов были выделены педагогические факультеты с физико-ма-тематическими отделениями и на их базе созданы педагогические институты.

Особое внимание обращалось и на методику преподавания в вузах. В начале 1930 г. были ликви-дированы лекции как основная форма организации учебной работы; их место занял упоминавшийся «ак-тивный метод преподавания» – вариант бригадно-ла-бораторного метода. Но уже в 1932 г. ЦИК СССР в соответствующем постановлении потребовал вер-нуться к лекционной системе преподавания, укре-пить индивидуальную работу студентов, отменить систему коллективных зачетов и экзаменов, ввести два раза в год зачетно-экзаменационные сессии, вве-сти дифференцированную форму оценок успеваемо-сти и обеспечить ответственность каждого студента и преподавателя за качество учебы.

В 1934 г. для физико-математических отделений всех университетов РСФСР был разработан типовой



учебный план. В соответствии с этим планом диффе-ренциальная геометрия в объеме 90 часов для всех специальностей велась на втором курсе. Кроме того, математики слушали векторный анализ (50 часов) и дополнительные главы дифференциальной геоме-трии (40 часов). На третьем курсе читались специ-альные и факультативные курсы (160 часов), одним из направлений которых была дифференциальная геометрия. На четвертом курсе планом предусма-тривались различные специализации, в том числе и по геометрии, различные спецкурсы (120 часов), спецсеминары (150 часов) и факультативные курсы (90 часов). В это время при изложении дифферен-циально-геометрического материала начал актив-но использоваться векторный метод и применяться тензорный анализ. Пятый курс целиком отводился на выполнение дипломной работы, которая нередко превращалась в научное исследование, так как тре-бовала самостоятельного решения выбранной сту-дентом или сформулированной руководителем ма-тематической задачи. Тематика этих работ нередко относилась к дифференциальной геометрии.

Профессора университетов принимали актив-ное участие в составлении учебных программ. Так в МГУ на механико-математическом факультете в 1938 г. В.Ф. Каганом была составлена программа кур-са «Дифференциальная геометрия» [6], который велся на третьем семестре. Программа включала три блока: учение о плоских кривых, учение о пространствен-ных кривых (о кривых двоякой кривизны) и учение о поверхностях. Для объяснения материала, начиная со второго блока, применялось векторное исчисление. На этот курс на очном отделении отводилось 60 часов лекций и 30 часов практических занятий, на заочном отделении уменьшалось только количество практиче-ских занятий, объем которых составлял 20 часов. В ка-честве основного пособия предлагалось использовать один из следующих учебников: • Егоров Д.Ф. «Дифференциальная геометрия»

(1923г.) [2], в котором наибольшее внимание было уделено исследованию плоских и отчасти пространственных кривых. О поверхностях здесь сообщаются только первоначальные сведения.

• Бюшгенс С.С. «Дифференциальная геометрия» (1932 г.) [7], освещающий следующие темы: иссле-дование плоской кривой по ее уравнению, сопри-косновение плоских кривых и кривизна на кривой, пространственные кривые, поверхности, кривизна поверхностей, метод подвижного репера для по-верхностей. Кроме того книга содержит большое количество упражнений и задач, сопровождающи-еся либо полными решениями, либо достаточными указаниями для проведения этих решений.

• Фиников С.П. «Дифференциальная геометрия» (1936 г.) [8], в котором изложены основные вопро-сы приложений дифференциального исчисления к геометрии методами векторного анализа. Здесь содержится девять разделов: введение, формулы Френе, теория огибающих, общая теория поверх-ностей, теория кривизны поверхности, внутрен-няя геометрия поверхности, основные уравнения теории поверхностей, определение поверхности двумя квадратичными формами, приложения.

• Фиников С.П. «Теория поверхностей» (1934 г.) [9], представлявший собой наиболее полный и современный курс на русском языке, в котором был ясно изложен кинематический метод.

• Гурса Э. Курс математического анализа, т. I (1934 г.) [10], содержащий основные сведения о приложении анализа к геометрии.

• Смирнов В.И. Курс высшей математики, т. II (1934 г.) [11], излагающий основные вопросы приложений дифференциального исчисления к геометрии с применением операций векторного анализа. Для практических занятий рекомендовался сис-

тематический сборник задач по основным разделам дифференциальной геометрии Милинского В.И. «За-дачи по высшей геометрии. Дифференциальная гео-метрия» (1937 г.) [12].

Одним из методов работы со студентами в уни-верситетах являлись научные семинары. Так в 30-е годы в МГУ П.С.Фиников вел научный семинар по классической дифференциальной геометрии, В.Ф. Каган – тензорные методы в геометрии, Павел Сергеевич Александров (1896–1982) – топологию. В это время в Ленинградском университете работали свыше 10 семинаров. В их числе действовали семи-нары по топологии (А.А. Марков), дифференциаль-ной геометрии «в целом» и многомерной дифферен-циальной геометрии (С.Э. Кон-Фоссен (1902–1936) и О.К. Житомирский (1891–1942)). В Казанском университете работал научный семинар (П.А. Ши-роков), на котором обсуждались вопросы тензорной дифференциальной геометрии.

К концу 30-х годов в Советском Союзе было 28 университетов, составлявших мощную базу под-готовки научных кадров. По ряду научных направ-лений, в частности и в некоторых областях диффе-ренциальной геометрии, страна вышла на ведущие позиции в мире.

В годы Великой Отечественной войны на фи-зико-математических факультетах университетов в учебные планы были введены четыре цикла спе-циальных военных дисциплин, один из которых изучался по выбору студентов. Артиллерийский



цикл включал внешнюю и внутреннюю баллисти-ку, теорию стрельбы и приборы управления огнем; «Аэродинамика самолета» – теорию крыла и про-пеллера, конструкцию самолетов, динамику поле-тов и устойчивость самолетов, экспериментальную аэродинамику и аэродинамический расчет само-лета; «Расчет на прочность конструкций» – расчет авиаконструкций, прикладную теорию упругости и теорию колебаний; «Авиационные приборы» – ме-ханику машин, детали механизмов, авиаприборы и авторегулирований, прикладную теорию упругости. Введение этих дисциплин и сокращение общего срока обучения до 3–3,5 лет потребовало уменьше-ния часов на другие дисциплины. Так курс «Диффе-ренциальной геометрии» в МГУ сократился до 51 лекционных часов [13]. Разработанная программа по данной дисциплине состояла из четырех блоков: вектор-функция скалярного аргумента (6 часов), плоская кривая (13 часов), пространственная кри-вая (12 часов), поверхности (20 часов). Изложение материала сразу велось в векторной форме.

Из учебных пособий рекомендовался только «Курс дифференциальной геометрии» П.К. Рашевского [14]. Этот учебник включает сведения о кривых на плоско-сти, по теории плоских и пространственных кривых и применениям к ней дифференцирования вектор-функций, а также первоначальные сведения по теории поверхностей с изложением свойств и применений линейчатых и развертывающихся поверхностей и вну-тренней геометрии поверхностей. Следует отметить, что в третьем издании данного курса (1950 г.) был добавлен краткий очерк по истории дифференциаль-ной геометрии, завершающийся описанием развития советской дифференциально-геометрической научной школы в первой половине XX века.

Через короткое время вузы вернулись к учебным планам довоенного времени. Кроме обязательных дисциплин, студенты, начиная с шестого семестра, как и сейчас, слушали специальные курсы по выбо-ру и участвовали в научных семинарах. Эти курсы и семинары играли важную роль в формировании бу-дущих специалистов. В рассматриваемый период од-ной из узких специальностей в университетах была геометрия с топологией, включающая углубленную подготовку по дифференциальной геометрии.

В 1949 г. Министерство высшего образования СССР разработало новые учебные планы и програм-мы с учетом задач послевоенного строительства. Од-нако до 1955 г. они изменялись еще несколько раз. Основной недостаток всех учебных планов после-военного времени – чрезмерная перегрузка студен-тов. Недельная нагрузка составляла на первом курсе 38 часов, на втором – 40, на третьем и четвертом – 42,

а иногда и более. Министерству высшего образова-ния СССР было указано на недопустимость учебной перегрузки и предложено пересмотреть учебные пла-ны вузов, сократив недельную нагрузку до 36 часов.

В университетах страны на очных и заочных от-делениях физико-математических и механико-мате-матических факультетов в период с 1949 г. по 1961 г. использовались учебные программы по дифференци-альной геометрии, составленные профессором МГУ П.К. Рашевским [15]. Программа состояла из следу-ющих разделов: введение, теория кривых, основы теории поверхностей. Во введении предлагалось по-знакомить студентов с предметом и методом диффе-ренциальной геометрии, а также важнейшими этапа-ми ее развития. Теория плоских и пространственных кривых излагалась с применением вектор-функции и ее дифференцирования. Векторный метод выступал в качестве основного и для изложения основ теории поверхностей. Учебный материал, представленный в программе, завершался формулировкой теоремы об определении поверхности двумя квадратичными формами. В программах 1949–1954 гг. присутствова-ла еще геометрия Лобачевского на псевдосфере.

Петр Константинович Рашевский (1907 – 1983) был воспитанником геометрической школы В.Ф. Ка-гана. В 1929 г. он окончил Московский университет, в 1938 г. стал его сотрудником. В этом же году за-щитил докторскую диссертацию, посвященную ме-трической двойственности, где в основу берутся про-странства линейных элементов и из них выделяются те, которые обладают двойственностью в измерении расстояний и углов. С 1964 г. П.К. Рашевский воз-главлял кафедру дифференциальной геометрии на механико-математическом факультете МГУ. После его смерти кафедра временно была слита с другим коллективом и была вновь восстановлена в 1992 году под названием «Кафедра дифференциальной геоме-трии и приложений» (заведующий А.Т.Фоменко). Эта кафедра активно развивается, причем в огром-ной степени благодаря тем задачам и идеям, которые были поставлены и высказаны П.К. Рашевским [16].

Научные результаты П.К. Рашевского относятся к различным отраслям современной геометрии. Много лет под его руководством работал известный семи-нар «Тензорный анализ и его приложения». Петр Константинович является автором ряда учебников и монографий, среди которых работы и по дифферен-циальной геометрии: «Введение в риманову геоме-трию и тензорный анализ» (1936 г.), «Курс диффе-ренциальной геометрии» (изд. 4, 1956 г.), «Риманова геометрия и тензорный анализ» (1953 г.).

В 50-е годы XX в. В Ленинградском университете курс «Дифференциальная геометрия» читал Алек-



сандр Данилович Александров (1912–1999). По вос-поминаниям его бывших студентов, Александрова отличала артистичная манера преподавания: В.А. За-лгаллер считал его «лектором от науки, от творчест-ва, а не от рутинного преподавания», а Ю.Ф. Борисов отмечал, что его лекции и доклады были пропитаны «неравнодушностью» к тому, о чем шла речь.

С осени 1945 года на матмехе ЛГУ под руковод-ством Александрова начал работать геометрический семинар, на котором он, благодаря своей исключи-тельной научной щедрости, дарил его участникам темы и перспективные идеи для исследований, в том числе и по дифференциальной геометрии. Так, В.А. Залгаллер вспоминал: «Александр Данилович постоянно внушал нам самоценность познания и единство всей науки. Он заражал нас интересом к широкой тематике» [17]. А.М. Вершик, характе-ризуя А.Д. Александрова – молодого профессора и ректора Университета, писал: «Тогда ему было всего сорок лет и он был окружен не просто ува-жением, но обожанием студентов. Необычностью и «необщностью взгляда» дышало каждое его появле-ние перед студентами, отчего и возникало ожидание какого-то интеллектуального сюрприза, который бу-дет вскоре преподнесен, или будет услышано что-то необычное, будоражащее мысль. Тогда, студентами, мы еще не могли вполне правильно оценить его ма-тематическую мощь, но охотно верили старшим, говорившим, что геометрия в Ленинграде — это Александров» [18].

А.Д. Александров активно занимался философи-ей, историей и популяризацией науки. Так в книге «Математика, ее содержание, методы и значение» (1953, 1956 гг.) [19], помимо вводной главы «Общий взгляд на математику», в которой был дан анализ об-щефилософских проблем математики и ее истории, он написал специальную главу «Кривые и поверх-ности», где, не сбиваясь на узкопофессиональные нюансы, изложил основные вопросы дифференци-альной геометрии. Книга стала одной из вершин ме-тодологии математики и получила признание среди широкого круга читателей.

В послевоенной математической жизни Казанско-го университета весьма положительную роль сыгра-ло приглашение на кафедру геометрии профессора Александра Петровича Нордена (1904–1993), заве-довавшего до этого кафедрой математики в Новоси-бирском институте инженеров транспорта. А.П. Нор-ден был воспитанником Московского университета (1930 г.), учеником В.Ф. Кагана и С.П. Финикова. В 1937 г. в Москве он защитил докторскую диссерта-цию «О внутренней геометрии поверхностей проек-тивного пространства».

В 1945 г., после смерти заведующего кафедрой геометрии Казанского университета П.А. Широкова, А.П. Нордена пригласили заведовать этой кафедрой. Поскольку научные интересы А.П. Нордена были близки к направлению исследований П.А. Широко-ва и его учеников, он возглавил группу казанских геометров, активно включился в университетскую жизнь и работу в Казанском физико-математическом обществе. В Казани А.П. Норден становится одним из выдающихся советских геометров, создает свою научную школу. Вместе со своими учениками ему удалось получить решение многих важных вопросов теории поверхностей и сетей [20, 21].

Исследовательская работа А.П. Нордена сопро-вождалась талантливой педагогической деятельнос-тью, в которой проявилось его умение отыскивать оригинальные простые пути в изложении учебно-го материала, его стремление ввести слушателей в круг проблем современной геометрии [20]. Свой опыт преподавания курса «Дифференциальной ге-ометрии» А.П. Норден отразил в кратком, но бога-том содержанием учебнике «Дифференциальная ге-ометрия» (1948 г.) [22] и в сложившейся на основе читанных им спецкурсов монографии «Теория по-верхностей» (1956 г.) [23], в которой представлено тензорное изложение этой теории, а также большой оригинальный материал по теории сетей, скалярных и векторных полей на поверхностях.

К имевшейся учебной литературе по дифферен-циальной геометрии в указанный период добавились следующие пособия: • Выгодский М.Я. «Дифференциальная геометрия»

(1949 г.) [24]. По содержанию материала эта книга в основном совпадает с другими руководствами по дифференциальной геометрии, но здесь пре-обладает синтетический метод изложения. Это позволяет идти от условия вопроса к его реше-нию прямым путем, выполняя геометрические построения и вычисления, внутренне связанные с исследуемыми объектами. Таким образом, сама геометрическая фигура все время находится в поле зрения учащегося.Синтетический метод исследования применялся

в дифференциальной геометрии с самого момента ее возникновения. Но в учебной литературе она излагалась преимущественно аналитически, т.е. исследуемые геометрические объекты относились к некоторой системе координат, что позволяло ре-шение геометрического вопроса свести к исследо-ванию соответствующих уравнений, связывающих координаты. Плодотворность аналитического мето-да общеизвестна, однако, как отмечает М.Я. Выгод-ский, «он имеет и свою обратную сторону. Именно,



в течение всего процесса исследования геометри-ческие объекты и, что важнее всего, их внутрен-ние связи оттесняются на задний план и остаются в тени. Вследствие этого утрачивается наглядность, а вместе с тем и психологическая убедительность» [24, с. 8]. Поэтому при изложении материала М.Я.Выгодский умело сочетает аналитические и синтетические рассуждения.• Моденов П.С. «Сборник задач по дифференциаль-

ной геометрии» (1949 г.) [25]. Настоящий сбор-ник был составлен для физико-математических факультетов педагогических институтов. Однако, как считал сам автор, это пособие можно исполь-зовать и студентам механико-математических, физических и физико-математических факуль-тетов университетов. Задачник прошел серьез-ную апробацию. Помещенные в сборнике задачи П.С. Моденов сначала предлагал на практиче-ских занятиях по дифференциальной геометрии, которыми он руководил с 1932 г. на физическом факультете МГУ. Имея в виду в основном буду-щего учителя, автор подбирал задачи, стремясь их разнообразить и со стороны содержания и со сто-роны методов решения. Так, например, в сборник были включены задачи, связанные со смежными дисциплинами: с математическим анализом, фи-зикой, теоретической механикой (задачи, связан-ные с движением материальной точки под дей-ствием центральной силы, движение электрона в магнитном поле, задачи о рулетках, о равновесии нити, задачи о каустике, некоторые вопросы пло-скопараллельного движения и т. д.).В 1959–1960 учебном году университеты начали

работать по новым учебным планам, которые были составлены с учетом требований вышедшего закона «Об укреплении связи школы с жизнью и о даль-нейшем развитии системы народного образования в СССР». Новые учебные планы явились результатом большой творческой работы научно-педагогических коллективов университетов. При их составлении был учтен положительный опыт, приобретенный за все предыдущие периоды. Главная особенность этих планов заключалась в том, что они вводили по существу новую учебную систему, построенную на сочетании учебной деятельности студентов с их трудом на производстве при значительном усилении общенаучной и специальной подготовки. В учебные планы по математике добавлялись дисциплины, свя-занные с вычислительной математикой и техникой, включая практикум по вычислительным машинам. Было увеличено и количество часов, отводимых на курс «Дифференциальная геометрия»: 82 часа – лек-ции, 26 часов – практические занятия.


1. История Московского университета. В 2-х т. / Отв. ред. Тихомиров М.Н. М., 1955. Т.1. 1755–1917. 563 с.

2. Егоров Д. Ф. Дифференциальная геометрия. М.-П., 1910.

3. Лопшиц А.М., Рашевский П.К Вениамин Федоро-вич Каган М., 1969. 44 с.

4. Александров А.Д. Геометрия в Ленинградском уни-верситете // Вестник Ленинградского университета. Л. № 11. С. 124–148.

5. Александров И.А., Крылов П.А. Ф.Э. Молин – уче-ный и педагог // Вестник Томского государственного университета. Томск, 2011. № 3(15). С. 6–11.

6. Каган В.Ф. Программа курса «Дифференциальная геометрия». М., 1938. 2 с.

7. Бюшгенс С.С. Дифференциальная геометрия. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 304 с.

8. Фиников С.П. Дифференциальная геометрия. М, 1936. 236 с.

9. Фиников С.П. Теория поверхностей. М.-Л., 1934. 205 с.

10. Гурса Э. Курс математического анализа / Пер. с фр. Некрасова. М., 1934. Т. I. 694 с.

11. Смирнов В.И. Курс высшей математики. М., 1934. Т. II. 656 с.

12. Милинский В.И., Житомирский О.К., Львов-ский В.Д. Задачи по высшей геометрии. Дифферен-циальная геометрия // Задачи по высшей геометрии. Часть II. М.-Л., 1937. 296 с.

13. Программа курса дифференциальной геометрии / Отв. ред. Д.Н. Насилов. М.: МГУ, 1944. 1 с.

14. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геоме-трии. М.-Л., 1938. 336 с.

15. Рашевский П.К. Программа по дифференциальной геометрии (для физико-математических и механико-математических факультетов государственных уни-верситетов). Специальности – математика и механи-ка. – М., 1949 – 4 с., 1950 – 4 с., 1951–2с., 1952 – 2 с., 1954 – 2 с., 1955 – 2 с., 1957– 2 с., 1960 – 4 с.

16. Литвинов Г.Л., Фоменко А.Т. Вспоминая Петра Кон-стантиновича Рашевского / Доклад на заседании Мо-сковского Математического Общества, посвященном 100-летию со дня рождения П.К.Рашевского 27 ноя-бря 2007 года. http://dfgm.math.msu.su/rashevski.htm.

17. Вершик А.М. Неравенство Александрова. Алек-сандр Данилович, каким я его знал // Санкт-Петер-бургский университет. СПБ., 2004. № 3–4. 8 февр. С. 36–40.

18. Академик Александр Данилович Александров: Воспоминания. Публикации. Материалы. (Ученые России. Очерки, воспоминания, материалы). / Отв. ред. Г.М. Идлис Г.М., О.А. Ладыженская М.: Наука, 2002. 399 с.

19. Математика, ее содержание, методы и значение. (В 3-х томах) / Под ред. Александрова А.Д., Колмо-горова А.Н., Лаврентьева М.А. М., 1956. Т. 1–3.

20. Вишневский В. В., Копп В.Г., Лаптев Б.Л., Широков А. П. О новых работах Александра Петровича Нор-дена (К восьмидесятилетию со дня рождения) // Тру-ды геометрич. семин. Казань, 1984, вып.16. С. 5–8.

21. Лаптев Б.Л. Математика в Казанском университете за 40 лет (1917–1957) // Историко-математические исследования. М., 1959. Вып. 12. С. 11–58.

22. Норден А.П. Дифференциальная геометрия. М., 1948. 216 с.

23. Норден А.П. Теория поверхностей. М., 1956. 260 с.



24. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия. М.-Л., 1949. 512 с.

25. Моденов П.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. М., 1949. 240 с.

References

1. Istoriya Moskovskogo universiteta. Otv. red. Tik-homirov M.N. [History of the University of Moscow. Exec. Ed. Tikhomirov M.N]. Moscow, 1955. Vol. 1. 17551917. 563 p.

2. Yegorov D. F. Differentsialnaya geometriya [Differen-tial Geometry]. M.-P., 1910.

3. Lopshits A.M., Rashevskiy P.K Veniamin Fedorovich Kagan [Veniamin Fedorovich Kagan] Moscow, 1969. 44 p.

4. Aleksandrov A.D. Geometriya v Leningradskom uni-versitete. Vestnik Leningradskogo universiteta [The ge-ometry of the Leningrad University. Vestnik Leningrad University]. Leningrad. № 11. PP. 124–148.

5. Aleksandrov I.A., Krylov P.A. F.E. Molin – uchenyy i pedagog. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo univer-siteta [F.E. Moline – scientist and educator. Bulletin of the Tomsk State University]. Tomsk, 2011. № 3(15). PP. 6–11.

6. Kagan V.F. Programma kursa «Differentsialnaya geometriya» [Syllabus «Differential Geometry»]. Mos-cow, 1938. 2 p.

7. Byushgens S.S. Differentsialnaya geometriya [Differ-ential Geometry]. Moscow, 2008. 304 p.

8. Finikov S.P. Differentsialnaya geometriya [Differential Geometry]. Moscow, 1936. 236 p.

9. Finikov S.P. Teoriya poverkhnostey [Theory of surfac-es]. M.-L., 1934. 205 p.

10. Gursa E. Kurs matematicheskogo analiza [A course of mathematical analysis] Per. s fr. Nekrasova. Moscow, 1934. Vol. I. 694 p.

11. Smirnov V.I. Kurs vysshey matematiki [The course of higher mathematics]. Moscow, 1934. T. II. 656 p.

12. Milinskiy V.I., Zhitomirskiy O.K., Lvovskiy V.D. Zada-chi po vysshey geometrii. Differentsialnaya geometriya. Zadachi po vysshey geometrii. Chast II. [Problems in higher geometry. Differential geometry. Problems in higher geometry. Part II]. M.-L., 1937. 296 p.

13. Programma kursa differentsialnoy geometrii [Syllabus of differential geometry]. Otv. red. D.N. Nasilov. Mos-cow, 1944. 1 p.

14. Rashevskiy P.K. Kurs differentsialnoy geometrii [Course of Differential Geometry]. M.-L., 1938. 336 p.

15. Rashevskiy P.K. Programma po differentsialnoy geometrii (dlya fiziko-matematicheskikh i mekhaniko-matematicheskikh fakultetov gosudarstvennykh uni-versitetov). Spetsialnosti – matematika i mekhanika [Program on differential geometry (for Physics, Math-

ematics and Mechanics and Mathematics State Univer-sity). Specialties – Mathematics and Mechanics]. Mos-cow, 1949 – 4 p., 1950 – 4 p., 1951 – 2 p., 1952 – 2 p., 1954 – 2p., 1955 – 2 p., 1957– 2 p., 1960 – 4 p.

16. Litvinov G.L., Fomenko A.T. Vspominaya Petra Konstantinovicha Rashevskogo. Doklad na zaseda-nii Moskovskogo Matematicheskogo Obshchestva, posvyashchennom 100-letiyu so dnya rozhdeniya P.K.Rashevskogo 27 noyabrya 2007 goda [Remember-ing Peter Konstantinovich Rashevskii. Report on the meeting of the Moscow Mathematical Society, dedi-cated to the 100th anniversary of the birth P.K. Ra-shevskogo November 27, 2007]. http://dfgm.math.msu.su/rashevski.htm.

17. Vershik A.M. Neravenstvo Aleksandrova. Aleksandr Danilovich, kakim ya ego znal. Sankt-Peterburgskiy universitet [Aleksandrov inequality. Aleksandrov, as I knew him. St. Petersburg University]. St. Petersburg., 2004. № 3–4. PP. 36–40.

18. Akademik Aleksandr Danilovich Aleksandrov: Vo-spominaniya. Publikatsii. Materialy. (Uchenye Rossii. Ocherki, vospominaniya, materialy). Otv. red. G.M. Id-lis G.M., O.A. Ladyzhenskaya [Academician Aleksandr Danilovich Aleksandrov: Memories. Publication. Mate-rials. (Russian scientists. Essays, memoirs, materials). Exec. Ed. GM Idlis GM, OA Ladyzhenskaya]. Mos-cow, 2002. 399 p.

19. Matematika, ee soderzhanie, metody i znachenie. Pod red. Aleksandrova A.D., Kolmogorova A.N., Lavr-enteva M.A. [Mathematics, its content, methods and meaning. (In 3 volumes). ed. Alexandrov, AD, AN Kol-mogorov, MA Lavrentiev] Moscow, 1956. Vol. 1–3.

20. Vishnevskiy V. V., Kopp V.G., Laptev B.L., Shirokov A. P. O novykh rabotakh Aleksandra Petrovicha Nor-dena (K vosmidesyatiletiyu so dnya rozhdeniya). Trudy geometrich. Semin [New papers Norden Norden (on his eightieth birthday). Proceedings of the geometric]. Ka-zan, 1984. Issue.16. PP. 5–8.

21. Laptev B.L. Matematika v Kazanskom universitete za 40 let (1917–1957). Istoriko-matematicheskie issledo-vaniya [Mathematics at Kazan University for 40 years (1917-1957). Historical-Mathematical Investigations]. Moscow, 1959. Issue. 12. PP. 11–58.

22. Norden A.P. Differentsialnaya geometriya [Differential Geometry]. Moscow, 1948. 216 p.

23. Norden A.P. Teoriya poverkhnostey [Theory of surfac-es]. Moscow, 1956. 260 p.

24. Vygodskiy M.Ya. Differentsialnaya geometriya [Differ-ential Geometry]. M.-L., 1949. 512 p.

25. Modenov P.S. Sbornik zadach po differentsialnoy geometrii [Problems in Differential Geometry]. Mos-cow, 1949. 240 p.

Сведения об авторе Information about the author Игнатушина Инесса Васильевна

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики

Оренбургский государственный педагогический университет460844, Оренбург, Российская Федерация, ул.Советская, 19

Е-mail: [email protected]

Ignatushina Inessa Vasil'evnaCand. of Phys.-Math. Sciences, Associate Professor of Mathematical Analysis and Methods of Teaching MathematicsOrenburg State Pedagogical University460844, Orenburg, Russian Federation, Sovietskaya street, 19Е-mail: [email protected]


УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ОПУБЛИКОВАННЫХ В ЖУРНАЛЕ«ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА» в 2014 г.


Бузановский В.А.ГАЗОВЫЕ ХИМИЧЕСКИЕ НАНОСЕНСОРЫ С ЧУВСТВИТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ НА ОСНОВЕ ОКСИДА НИКЕЛЯ 5

Галиев А.Л., Галиева Р.Г., Шишкина А.Ф.АНАЛИЗ ДЕТЕКТОРА ОГИБАЮЩЕЙ УСТРОЙСТВА ОСЛАБЛЕНИЯ АКУСТИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ 4

Герасимов С.А.ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТОКА, СОХРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСА И ПСЕВДОСАМОДЕЙСТВИЕ В МАГНИТОСТАТИКЕ 3

Чернобаева А.А., Скундин М.А.ИЗМЕНЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАЛОУГЛЕРОДИСТЫХ НИЗКОЛЕГИРОВАННЫХ СТАЛЕЙ ПРИ ТЕМПЕРАТУРНОМ СТАРЕНИИ 1

Крамаров С.О., Лукасевич В.И.СОВМЕСТНАЯ ОЦЕНКА ЭФЕМЕРИД НАВИГАЦИОННЫХ СПУТНИКОВ И КООРДИНАТ ОБЪЕКТА НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ 2

Кузичкин А.В. Зиннуров С.Х., Ковальский А.А.

ДИНАМИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАДИОРЕСУРСА РЕТРАНСЛЯТОРА С УЧЕТОМ НЕОДНОРОДНОСТИ ТРАФИКА И ЗАПАЗДЫВАНИЯ ПРИ УПРАВЛЕНИИ 6

Миланич А.И.ПРЯМОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ХАББЛА ИЗ РАССТОЯНИЯ ДО ЛУНЫ 1

Никеров В.А., Рухадзе А.А., Шолин Г.В.КАСКАДНО-ДЕГРАДАЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ПРОИСХОЖДЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ ЛУЧЕЙ И ВСЕЛЕННОЙ 2

Платонов П.А., Чугунов О.К. Новобратская И.Ф., Алексеев В.М. Маневский В.Н., Лышов Л.Л., Смородкин Е.И., Кулешов Д.А.

МЕХАНИЗМ СТАРЕНИЯ ГРАФИТА ПОД ОБЛУЧЕНИЕМ.КРИТИЧЕСКИЙ ФЛЮЕНС НЕЙТРОННОГО ОБЛУЧЕНИЯ 3

Ратис Ю.Л.О ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЕ КВАНТОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 5

Родин В.В. П. Макдональд, М. Джонс

ДВУМЕРНОЕ ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА В ИССЛЕДОВАНИИ АНИЗОТРОПНОЙ ДИФФУЗИИ ВОДЫ В ДРЕВЕСИНЕ 6

Уруцкоев Л.И., Чесноков А.В.ВОЗНИКНОВЕНИЕ И РАЗВИТИЕ ДИСТАНЦИОННЫХ МЕТОДОВ ДОЗИМЕТРИИ 4

Юдицкий С.А.ИНФОРМАЦИОННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И МЕТОД ДЫХАТЕЛЬНО-ТЕКСТОВОЙ МЕДИТАЦИИ 1

Юдицкий С.А.МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛОГИКИ ОБРАЗНОГО МЫШЛЕНИЯ 2


Баталов С.А.ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЛОГИЧЕСКОГО УРОВНЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ В СИСТЕМНОМ АНАЛИЗЕ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ НЕФТЕДОБЫЧИ 5

Бугаец И.Г., Некрасов И.В.СИНТЕЗ ПРОГРАММНО-КОРРЕКТИРУЕМОГО ЗАКОНА УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ НА ОСНОВЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ЛАГРАНЖА 1

Вольфсон В.Л.ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА 4

Вольфсон В.Л.КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ РЕШЕНИЙ ДИОФАНТОВЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ В ОБЛАСТИ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 5

Ефимова Г.Ф., Шмелёва Н.Г.О ПРИМЕНЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 2

Девиан К., Бертранд Ж.НОВЫЕ ДОСТИЖЕНИЯ В ОБЛАСТИ СТАНДАРТНОЙ МОДЕЛИ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ В АЛГЕБРЕ КЛИФФОРДА (ЧАСТЬ 1) 1

Девиан К., Бертранд Ж.НОВЫЕ ДОСТИЖЕНИЯ В ОБЛАСТИ СТАНДАРТНОЙ МОДЕЛИ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ В АЛГЕБРЕ КЛИФФОРДА (ЧАСТЬ 2) 2

Девиан К., Бертранд Ж.НОВЫЕ ДОСТИЖЕНИЯ В ОБЛАСТИ СТАНДАРТНОЙ

МОДЕЛИ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ В АЛГЕБРЕ КЛИФФОРДА (ЧАСТЬ 3) 3

Игнатушина И.В.ПРЕПОДАВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ОТЕЧЕСТВЕННЫХ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗАХ ХХ СТОЛЕТИЯ 3

Киселев А.Б.О ДИНАМИЧЕСКОМ СЖАТИИ (РАСШИРЕНИИ) СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ. ЗАДАЧА ЗАБАБАХИНА 6

Кукушкин А.В.НЕГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. СТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ НЕГЛАДКОЙ ДИНАМИКИ 6

Конников И.А.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РАЗНОСТНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ РАСЧЕТА ПОЛЯ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ 3

Мухамбетжанов С.Т., Кенжебаев Т.С.МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫТЕСНЕНИЯ НЕФТИ С УЧЕТОМ МАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ 2

Раков В.И.НОВАЯ «ИДЕОЛОГИЯ» ИНТЕРПОЛЯЦИИ СО СТРУКТУРООБРАЗУЮЩИМИ ФУНКЦИЯМИ 6

Чуканов С.Н.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАТОРА ГОМОТОПИИ 4


Горобец Б.С.ОБ ИСПЫТАНИИ ПЕРВОЙ СОВЕТСКОЙ ВОДОРОДНОЙ БОМБЫ 5

И.В. ИгнатушинаПРЕПОДАВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ В ОТЕЧЕСТВЕННЫХ УНИВЕРСИТЕТАХ ПЕРВОЙ ПОЛОВИНЫ ХХ СТОЛЕТИЯ 6

Кушнер Б.А.О А.Н. КОЛМОГОРОВЕ, В.А. УСПЕНСКОМ И ДРУГИХ КРУПНЕЙШИХ МАТЕМАТИКАХ МЕХМАТА МГУ ВРЕМЕН «ОТТЕПЕЛИ» 4

Лазарев Н.Ф.40 ЛЕТ РАБОТЫ ПО ЯДЕРНОЙ ПРОБЛЕМЕ НА СВЕРХСЕКРЕТНОМ СОВЕТСКО-НЕМЕЦКОМ ОБЪЕКТЕ 3

Ратнер Е.С.ОБ УРАНОВОМ ПРОЕКТЕ ГИТЛЕРОВСКОЙ ГЕРМАНИИ 2


ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ, РАССМОТРЕНИЯ,

ПУБЛИКАЦИИ И РЕЦЕНЗИРОВАНИЯ СТАТЕЙ

1. При направлении материалов для публикации в журнале необходимо заполнить кар-точку «Сведения об авторе» (на русском и английском языках). Пример. Адрес реги-страции: 111222, Москва, ул. генерала Авдеева, дом 2, корпус 4, квартира 444. 111222, Moscow, street of General Avdeeva, the house 2, building 4, apartment 444.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:Фамилия.........................................................Имя.................................................................Отчество.........................................................Дата и место рождения...................................Адрес регистрации (прописки) по паспорту с указанием почтового индекса...........Адрес фактического проживания с указанием почтового индекса..........................Контактная информация

(домашний, служебный и мобильный телефоны, электронный адрес)................Название организации

(место работы (учебы)) вместе с ведомством, к которому она принадлежит, занимаемая должность, адрес организации с указанием почтового индекса....

Ученая степень и звание (№ диплома, аттестата, кем и когда выдан)......................

2. Объем статьи не должен превышать 20 страниц машинописного текста. Текст необходимо набирать в редакторе Word шрифтом № 12, Times New Roman; текст не форматируется, т.е. не имеет табуляций, колонок и т.д. Статьи должны быть свободны от сложных и гро-моздких предложений, математических формул и особенно формульных таблиц, а также промежуточных математических выкладок. Нумеровать следует только те схемы и форму-лы, на которые есть ссылка в последующем изложении. Все сокращения и условные обо-значения в схемах и формулах следует расшифровать, размерности физических величин давать в СИ, названия иностранных фирм и приборов – в транскрипции первоисточника с указанием страны.

3. Отдельным файлом должны быть присланы аннотация и ключевые слова на русском и ан-глийском языках. В аннотации полностью должна быть раскрыта содержательная сторона публикации и полученные результаты (выводы). Аннотация должна иметь объем от 100 до 250 слов. После аннотации дается перечень ключевых слов – от 5 до 10.

4. Список использованной литературы (лишь необходимой и органически связанной со ста-тьей) составляется в порядке упоминания и дается в конце статьи. Ссылки на литературу в тексте отмечаются порядковыми цифрами в квадратных скобках, а именно: [1, 2]. Жела-тельно, чтобы список литературы содержал не менее 10–12 источников, в том числе как минимум – 3 зарубежные публикации (желательно из трех стран) в данной области за последние 5–10 лет.

Список литературы представляется на русском, английском языках и латинице (романским алфавитом). Вначале дается список литературы на русском языке, имеющиеся в нем зару-бежные публикации – на языке оригинала. Затем приводится список литературы в роман-ском алфавите, который озаглавливается References и является комбинацией англоязычной [перевод источника информации на английский язык дается в квадратных скобках] и транслитерированной частей русскоязычных ссылок. В конце статьи приводится назва-ние статьи, фамилия, имя, отчество автора(ов), ученая степень, ученое звание, должность и место работы, электронный адрес хотя бы одного из авторов для связи и точный почто-вый адрес организации (место работы автора) на русском и английском языках, при этом название улицы дается транслитерацией.

Список литературы следует оформлять в соответствии с Международными стандартами.


ПРАВИЛА

ПРИМЕР ОФОРМЛЕНИЯ ЛИТЕРАТУРЫ

• Статья из периодического журналаБаранов М.И., Веселова Н.В. Основные достижения отечественных и зарубежных научных школ в области техники высоких напряжений. Часть 1: Московская, Ленинградская, Томская и Киевская школы ТВН // История науки и техники. 2012. Т. 2. № 3. С. 38−52.

• ReferencesПеревод русского текста на латиницу необходимо производить с использованием ресурса http://shub123.ucoz.ru/Sistema_transliterazii.html. Онлайн транслит-переводчик. Перевод на английский язык – с помощью ресурса http://translate.google.com/ «Google Перевод-чик» – онлайн-перевод текстов.Схема представления статьи: автор (ры), название статьи пишется на латинице, далее в ква-дратных скобках название статьи на английском языке. Название журнала – на латинице, далее в квадратных скобках – перевод названия на английский язык. Год, номер (том, вы-пуск), страницы. При этом слово «том» пишется не полностью – volume, а сокращенно – Vol.Baranov M.I., Veselova N.V. Osnovnye dostizheniya otechestvennykh i zarubezhnykh nauchnykh shkol v oblasti tekhniki vysokikh napryazheniy. Chast 1: Moskovskaya, Leningradskaya, Tomskaya i Kievskaya shkoly TVN [The main achievements of Russian and foreign scientific schools in the art of high voltages. Part 1: Moscow, Leningrad, Tomsk and Kiev school TVN]. Istoriya nauki i tekhniki [History of science and Engineering]. 2012. Vol. 2. № 3. PP. 38–52.Перевод всегда необходимо перепроверять. Так, например, в указанном выше переводе «Google Переводчик» – онлайн-перевод текстов сделан правильно, однако последова-тельность школ в конце изменена, то есть Московская, Ленинградская, Томская и Киевская школы ТВН, были переведены как Moscow, Leningrad, Kiev and Tomsk school TVN. В таких случаях автору надо самому исправить неточность перевода, внести коррективу и написать Moscow, Leningrad, Tomsk and Kiev school TVN, как это дается выше.

• МонографияИщенко А.М. Отечественное приборостроение: становление и развитие. М.: Научтехлити-здат, 2011. Ishchenko A.M. Otechestvennoe priborostroenie: stanovlenie i razvitie [Domestic instrument: Development and Evolution]. M.: Nauchtekhlitizdat [Moscow: Publishing house «Nauchtehlitizdat»], 2011. 240 p.Название издательства «Научтехлитиздат» на английский язык не переводится, поэтому пи-шется латинскими буквами. Если книга и/или монография издана в издательстве название, которого переводится на английский, то сначала надо дать транслитерацию названия из-дательства, а потом в квадратных скобках указать перевод этого названия на английский язык. При этом обращаем Ваше внимание, что в России принято название города Москвы указывать сокращенно – М., однако зарубежные читатели могут не понять, что это город Москва, а может быть книга издана в Мурманске, Магнитогорске, Мариуполе. Поэтому в ква-дратных скобках указываем полное название города – Moscow, а если это город, где издана монография и/или книга, например, Мариуполь: Издательство «Звезда», или Магнитогорск: Издательство «Сталь», то в квадратных скобках кроме города указываем перевод названия издательства на английский язык.Например: Иванов И.И. Проблемы разработки недр. М.: Наука, 2012. 320 с. В References эту книгу указываем так: Ivanov I.I. Problemy razrabotki nedr [Problems of development of mineral resources]. M.: Nauka [Moscow: Publishing house «Science»], 2012. 320 p.Особо обращаем внимание авторов, что если Вы ссылаетесь на статью, то обязательно надо указать страницы от и до, на которых она напечатана, при этом букву «с» надо ставить перед страницами. Например, С. 22–37, в References – РР. 22–37. Если дается ссылка на монографию, то буква «с» ставится после указания количества страниц. Например, 240 с. В References – 240 p. Все материалы необходимо направлять на электронный адрес ре-дакции, а также на почтовый адрес редакции (107258, Москва, Алымов пер., д. 17, стр. 2, ООО «Научтехлитиздат», редакция журнала «указать название журнала») с подписями автора(ов) на каждой странице.


ПРАВИЛА

ЭТАПЫ РАССМОТРЕНИЯ И ПУБЛИКАЦИИ СТАТЬИ

1. Регистрация статьи и присвоение ей индивидуального номера.

2. Определение соответствия содержания статьи тематике журнала. Если содержание не совпадает с тематикой публикуемых статей в журнале, статья снимается с рассмотре-ния; об этом сообщается автору (или авторам). Неопубликованный материал авторам не возвращается.

3. Направление статьи рецензенту, крупному специалисту в данной области.

4. Рассмотрение замечаний и пожеланий рецензента; при необходимости обращение к ав-тору с просьбой учесть замечания и пожелания рецензента. При получении от рецензента отрицательной рецензии статья передается другому рецензенту. При отрицательном ре-зультате повторного рецензирования статья снимается с рассмотрения.

5. Научное редактирование.

6. Литературное редактирование.

7. Корректура статьи.

8. Верстка статьи.

После прохождения вышеперечисленных этапов статья включается в список подготовлен-ных для публикации статей и публикуется в порядке общей очереди.

ПРАВИЛА РЕЦЕНЗИРОВАНИЯ СТАТЕЙ

Любая статья, поступающая в редакцию журнала, независимо от личности автора(ов) на-правляется рецензенту, крупному специалисту в данной области.

Статья рецензенту передается безличностно, т.е. без указания фамилии автора(ов), места ра-боты, занимаемой должности и контактной информации (адреса, телефона и E-mail адреса).

Рецензент на основе ознакомления с текстом статьи обязан в разумный срок подготовить и в письменной форме передать в редакцию рецензию, в обязательном порядке содержащую оценку актуальности рассмотренной темы, указать на степень обоснованности положений, выводов и заключения, изложенных в статье, их достоверность и новизну. В конце рецензии рецензент должен дать заключение о целесообразности или нецелесообразности публика-ции статьи.

При получении от рецензента отрицательной рецензии статья передается другому рецензен-ту. Второму рецензенту не сообщается о том, что статья была направлена рецензенту, и что от него поступил отрицательный отзыв. При отрицательном результате повторного рецензи-рования статья снимается с рассмотрения и об этом сообщается автору(ам).

Автору(ам) редакция направляет копии рецензии без указания личности рецензента.

В исключительных случаях, по решению редакционной коллегии, при получении от двух рецензентов отрицательного отзыва, статья может быть опубликована. Такими исключи-тельными случаями являются: предвзятое отношение рецензентов к рассмотренному в ста-тье новому направлению научного нововведения; несогласие и непризнание рецензентами установленных автором фактов на основе изучения и анализа экспериментальных данных, результатов научно-исследовательских, опытно-конструкторских и других работ, выполнен-ных на основании и в рамках Национальных и государственных программ и принятых за-казчиком; архивных и археологических изысканий, при условии предоставления автором документальных доказательств и т.д.


И МАТЕМАТИКА


№ 6

∙ 2

01

4

ISSN 2307-1621

Documents

Прикладная физика и математика 2014 №6