МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

В.А. Ухова, Е.А. Жукова, О.И. Морозов

МАТЕМАТИКА

ПОСОБИЕ к изучению дисциплины

и выполнению контрольной работы

Для студентов первого курса заочного обучения

специальностей 1600901, 1600903, 1600905

Москва – 2007

2

3

Введение

В данных Методических указаниях изложены цели и задачи дисциплины МАТЕМАТИКА, последовательность её изучения, основные требования к контрольным работам, список рекомендуемой литературы. В Методическом пособии представлена рабочая программа дисциплины, разбитая на отдельные разделы и темы, которые изучаются на первом кур-се. В конце каждой темы программы есть методические указания по её изучению, вопросы для самопроверки. Далее приведены варианты кон-трольных работ, которые студент должен выполнить на первом курсе, и образцы их выполнения.

4

Учебный план дисциплины Студенты дневного и заочного отделений изучают математику на пер-

вом и втором курсах. Общий объём учебных часов на дисциплину 600 ч. После окончания первого семестра студенты заочного факультета сда-

ют зачёт, в конце первого и второго курсов – экзамен. В период сессии для студентов читаются обзорные лекции по наиболее

важным и трудным разделам курса (38 ч.) и проводятся практические за-нятия (48 ч.). Время на самостоятельную работу 514 ч. На первом и вто-ром курсе студент должен выполнить 7 контрольных работ по математике.

В первом семестре студенты всех специальностей изучают следующие разделы курса математики:

1. Линейная алгебра, векторы, аналитическая геометрия, комплексные числа. По этим темам студент выполняет контрольную работу №1 и сдаёт зачёт.

Во втором семестре изучаются следующие разделы: 1. Введение в математический анализ. 2. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких пере-

менных. 3. Неопределённый и определённый интегралы. 4. Кратные и криволинейные интегралы.

Указанные разделы определяют содержание второй, третьей и четвёр-той контрольных работ, которые нужно выполнить во втором семестре. По окончании первого курса студент сдаёт экзамен.

На втором курсе изучаются следующие разделы: 1. Дифференциальные уравнения. 2. Ряды. 3. Теория вероятностей и математическая статистика. По этим разделам студент выполняет пятую, шестую и седьмую контроль-ные работы и сдаёт экзамен.

Цели и задачи дисциплины Цель преподавания дисциплины Дать студентам теоретическую подготовку и практические навыки по математике для успешного усвоения фундаментальных, общетехнических и специальных дисциплин учебного плана, а также для возможности изу-чения специальной литературы при необходимости углубления математи-ческих знаний после окончания университета.

5

Задачи изучения математики Знать:

1) основные понятия и методы исследования и решения задач матема-тического анализа, аналитической геометрии, линейной алгебры, тео-рии вероятностей и математической статистики; 2) способы построения математических моделей простейших систем и процессов в естествознании и технике. Уметь: применять математические методы к решению задач, проводить кон-кретные расчёты в рамках выполнения аудиторных и домашних зада-ний. Иметь представление: 1) об употреблении математической символики для выражения количе-ственных и качественных соотношений объектов; 2) о применении теоретических рассуждений при доказательстве тео-рем; 3) об использовании основных приёмов обработки экспериментальных данных.

Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом математики

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятель-ная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих эле-ментов: изучение материала по учебникам, решение задач, ответы на во-просы для самопроверки, выполнение контрольных работ. Во время сессии для них читаются обзорные лекции по наиболее важ-ным и трудным разделам курса и проводятся практические занятия. Контрольные работы следует выполнять в течение семестра, чтобы к моменту сессии они уже были прорецензированы и допущены к очному зачёту. В период сессии проводится защита контрольных работ (студент отвечает на вопросы по контрольной работе ). Студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получе-ния устной или письменной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса высшей мате-матики является сдача зачётов и экзаменов в периоды сессий. Определе-ния, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела, решение задач в простейших случаях следует выполнять без ошибок и уверенно. Только при выполнении этих условий знания мо-гут быть признаны удовлетворяющими требованиям, предъявляемым про-

6

граммой. Вопросы для самопроверки, приведенные в настоящем пособии, помогут проверить прочность усвоения изученного материала.

На первом курсе студент сдаёт один зачёт и один экзамен по высшей математике.

Указания к выполнению контрольных работ При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживать-ся указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не зачитываются и возвращаются студенту для переработки. 1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетра-

ди в клетку чернилами любого цвета, кроме красного. Необходимо ос-тавлять поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.

2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дис-циплины, номер контрольной работы. Здесь же следует указать назва-ние учебного заведения, дату отправки работы в университет и адрес студента.

3. В работу необходимо включить все задачи, указанные в задании, строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все за-дачи задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.

4. Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров, со-храняя номера задач.

5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать её условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соот-ветствующего номера.

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мо-тивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы, как не зачтённой, так и зачтённой, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочёты и выполнить все рекомендации рецензента. Если рецензент предлагает ввести в решения задач те или иные исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок.

При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на неё. Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради не-сколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответст-вии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после её рецензирования запрещается.

8. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправле-

7

ниями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.

9. Номера задач, которые студент должен включить в свою контроль-ную работу, определяются по таблице вариантов. Номер варианта совпадает с последней цифрой учебного номера (шифра) студента.

Таблица вариантов Номера задач для контрольного задания Вариант

Контрольная работа № 1 Контрольная работа № 2 1 1.1 2.1 3.1 4.1 5.1 6.1 7.1 8.1 9.1 2 1.2 2.2 3.2 4.2 5.2 6.2 7.2 8.2 9.2 3 1.3 2.3 3.3 4.3 5.3 6.3 7.3 8.3 9.3 4 1.4 2.4 3.4 4.4 5.4 6.4 7.4 8.4 9.4 5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5 6 1.6 2.6 3.6 4.6 5.6 6.6 7.6 8.6 9.6 7 1.7 2.7 3.7 4.7 5.7 6.7 7.7 8.7 9.7 8 1.8 2.8 3.8 4.8 5.8 6.8 7.8 8.8 9.8 9 1.9 2.9 3.9 4.9 5.9 6.9 7.9 8.9 9.9 0 1.10 2.10 3.10 4.10 5.10 6.10 7.10 8.10 9.10

Номера задач для контольного задания Вариант

Контрольная работа № 3 Контрольная работа № 4 1 11.1 12.1 13.1 14.1 15.1 16.1 17.1 18.1 19.1 2 11.2 12.2 13.2 14.2 15.2 16.2 17.2 18.2 19.2 3 11.3 12.3 13.3 14.3 15.3 16.3 17.3 18.3 19.3 4 11.4 12.4 13.4 14.4 15.4 16.4 17.4 18.4 19.4 5 11.5 12.5 13.5 14.5 15.5 16.5 17.5 18.5 19.5 6 11.6 12.6 13.6 14.6 15.6 16.6 17.6 18.6 19.6 7 11.7 12.7 13.7 14.7 15.7 16.7 17.7 18.7 19.7 8 11.8 12.8 13.8 14.8 15.8 16.8 17.8 18.8 19.8 9 11.9 12.9 13.9 14.9 15.9 16.9 17.9 18.9 19.9 0 11.10 12.10 13.10 14.10 15.10 16.10 17.10 18.10 19.10

Рекомендуемая литература

Основная литература:

1. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая школа, 2007. 2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1998 (и последующие издания).

Дополнительная литература:

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс – М.: Айрис-пресс, 2007.

8

Учебно-методическая литература: 4. Жукова Е.А., Чернова М.Л. Высшая математика. для студентов первого курса заочного отделения всех специальностей. – М.: МГТУ ГА, 1996. 5. Левина С.Н., Чернова М.Л. Методические указания к выполнению кон-трольных работ. Часть 2. – М.: МГТУ ГА, 1997. 6. Кузнечихина Л.Н. Пособие по разделу дисциплины "Интегральное ис-числение". – М.: МГТУ ГА, 2006. 7. Ухова В.А., Козлова В.С. Функции нескольких переменных. Кратные и криволинейные интегралы. – М.: МГТУ ГА, 2005. 8. Электронные учебные пособия на сайте кафедры высшей математики vm.mstuca.ru

Рабочая программа курса и методические указания к изучению предмета

Курс математики разбит на темы. По каждой теме указана литература, рекомендуемая для изучения, и задачи для самостоятельного решения. Номера в скобках ( ) означают номер пособия из приведенного выше спи-ска литературы. В каждой теме приведены методические рекомендации и вопросы для самопроверки. Темы объединены в разделы. После изучения раздела нужно выполнить очередную контрольную работу.

РАЗДЕЛ 1 Линейная алгебра, векторы, аналитическая геометрия,

комплексные числа ТЕМА 1. Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений. ([1], гл.10), ([2], с.124 №8, с.129 №38), ([4], с. 5,6,19.) Определители 2-го и 3-го порядка, их свойства. Определители n-го по-рядка, их вычисление. Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса. Матрицы, действия над ними. Обратная матрица. Матричная запись системы линейных уравнений и её решение.

Методические указания Один из главных вопросов этой темы - решение систем линейных

уравнений. Следует твердо усвоить метод Крамера и метод Гаусса, знать условия их применения. Наиболее универсальным из них является метод Гаусса, называемый также методом исключения неизвестных. Применение

9

метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.

Вопросы для самопроверки 1. Матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц.

Обратная матрица. 2. Определители второго, третьего и высших порядков. Их свойства и спо-

собы вычисления. 3. Понятие решения системы линейных уравнений. Совместные, несовме-

стные, неопределённые системы. 4. Формулы Крамера, условие их применения.

Метод Гаусса решения и исследования систем.

ТЕМА 2. Векторы. ([1], гл.9, §1-§8), ([2], с.155 №6, 37, 38, 46, 72, 83), ([4], с.38, 40) Векторы, линейные операции над ними. Скалярное, векторное, смешанное произведения, их свойства и вычис-ление через координаты перемножаемых векторов.

Методические указания Понятие вектора используется как в самой математике, так и в других

дисциплинах: в механике, физике, электротехнике и др. Например, все ос-новные действия над векторами соответствуют операциям над силами.

Изучая тему, выпишите определения коллинеарных, равных, компла-нарных векторов, определения скалярного, векторного, смешанного произ-ведений. Научитесь вычислять скалярное, векторное, смешанное произве-дения по координатам перемножаемых векторов.

Вопросы для самопроверки 1. Определение вектора. Линейные операции над векторами. 2. Координаты вектора. 3. Определение скалярного произведения двух векторов, его свойства, вы-ражение через координаты перемножаемых векторов. 4. Формула длины вектора, угла между двумя векторами, формула рас-стояния между двумя точками в декартовой системе координат. 5. Определение векторного произведения двух векторов, его свойства, вы-ражение через координаты перемножаемых векторов. 6. Определение смешанного произведения трёх векторов, его свойства, вы-ражение через координаты перемножаемых векторов.

10

ТЕМА 3. Аналитическая геометрия.([1], гл.3, §6-7; гл.9, §11-§14); ([2] с.22 №41; с.168 № 105,119, 131, 151); ([4] с.50). Прямая на плоскости, различные формы её уравнения.

Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Взаимное расположе-ние плоскостей и прямых.

Кривые второго порядка, их свойства. Полярные координаты на плоскости.

Методические указания В аналитической геометрии изучение фигур на плоскости и в простран-

стве производится с помощью их уравнений. В декартовой системе коор-динат на плоскости уравнение вида Ax+By+C= 0 определяет некоторую прямую, а в пространстве уравнение вида Ах + Ву + Сz + D = 0 определяет плоскость. Прямая линия в пространстве задаётся как линия пересечения двух плоскостей.

Вопросы для самопроверки 1. Определение линий и поверхностей в аналитической геометрии. 2. Виды уравнений прямой на плоскости. 3. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости по точке и нор-мальному вектору, по трем точкам. Общее уравнение плоскости. 4. Общие, канонические, параметрические уравнения прямой в простран-стве. 5. Определение и канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы. 6. Полярные координаты на плоскости. Уравнение линии в полярных ко-ординатах. Формулы перехода от полярных координат к декартовым. ТЕМА 4. Комплексные числа.([1], гл. 14, §6); ([2] с.145 № 1, 3, 5, 20, 22, 29, 34, 43); ([4] с.54). Комплексные числа, действия над ними. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.

Методические указания Наибольшие трудности вызывает тригонометрическая форма записи

комплексного числа. Чтобы не сделать ошибку при определении аргумента комплексного числа, изображайте число в виде вектора на комплексной плоскости.

Вопросы для самопроверки 1. Определение комплексного числа. Изображение его на комплексной плоскости. 2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

11

3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над ком-плексными числами в тригонометрической форме. 4. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера.

После изучения тем РАЗДЕЛА 1 студент должен выполнить контрольную работу № 1.

РАЗДЕЛ 2 Введение в математический анализ.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной ТЕМА 5. Введение в математический анализ. ([1], гл.2, гл. 4); ([2] с.47 № 238, 240, 258, 235); ([5] с.26; 30). Функция. Обзор элементарных функций.

Числовая последовательность, её предел. Бесконечно малые и беско-нечно большие величины. Теоремы о пределах. Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых. Непрерывность функций. Точки разрыва. Непрерывность основных элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Методические указания Понятие предела одно из наиболее важных и трудных в математиче-

ском анализе. Определение предела функции в точке и в бесконечности сопровождайте рисунком. Типы точек разрыва также иллюстрируйте графически. Чтобы освоить технику вычисления пределов, разберите примеры, решённые в задачнике (2). Обратите внимание, какие пределы вычисляются на основе двух замечательных пределов.

Вопросы для самопроверки 1. Определение предела последовательности. 2. Определение предела функции при х→ а и при х→∞. 3. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой. Примеры. 4. Основные теоремы о пределах. 5. Первый и второй замечательные пределы. 6. Определение непрерывности функции в точке и на отрезке. Точки раз-

рыва. Непрерывность элементарных функций.

12

ТЕМА 6. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. ([1], гл.5, гл.6); ([5] с.39, с.56-60); ([2] с.55 № 11, 13, 21, 31, 35, 49, 53, 63, 81)

Определение производной функции, её геометрический смысл. Непре-рывность функции, имеющей производную. Производная суммы, про-изведения и частного функций. Производная сложной и обратной функции. Таблица производных. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Правило Лопиталя для различных видов неопределённостей. Исследование функций: условия возрастания и убывания функций, экс-тремум, выпуклость и вогнутость, точки перегиба, асимптоты.

Методические указания Выучите наизусть таблицу производных основных элементарных

функций. Умение находить производные сложных функций необходимо для успешной сдачи экзамена и дальнейшего изучения высшей математи-ки.

При изучении темы "экстремум функции" довольно распространённой ошибкой является использование необходимого условия экстремума вме-сто достаточного. На самом деле обращение в некоторой точке производ-ной в нуль не является достаточным условием наличия в этой точке экс-тремума. Например , производная функции у= x 3 равна нулю в точке х=0, но в этой точке функция не имеет экстремума.

Вопросы для самопроверки 1. Определение производной. Её геометрический смысл, её механический смысл. 2. Производная суммы, произведения, частного. 3. Производная сложной функции. 4. Таблица производных основных элементарных функций. 5. Определения возрастающей и убывающей на отрезке функции. Доста-точные признаки возрастания и убывания. 6. Определения точки максимума и точки минимума функции. Экстре-мум. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.

После изучения тем РАЗДЕЛА 2 студент должен выполнить контрольную работу № 2.

13

РАЗДЕЛ 3 Неопределённый и определённый интегралы

ТЕМА 7. Интегральное исчисление функции одной переменной. ([1], гл.7, гл.8); ([2] с.85 №2, 3, 7, 20, 24, 36, 48, 115, 119; с. 104 №255, 256, 268, 269, 290 ); ([6] с.31, с.54). Первообразная. Неопределённый интеграл, его свойства. Таблица инте-гралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегри-рование, замена переменной, интегрирование по частям. Разложение рациональных дробей на сумму простейших. Интегрирова-ние рациональных дробей. Интегрирование иррациональных и тригонометрических выражений. Определение определённого интеграла, его свойства. Формула Ньютона - Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле. Геометрические и физические приложения определённого интеграла. Несобственные интегралы на конечном и бесконечном интервалах.

Методические указания Выпишите таблицу основных формул интегрирования. На примерах

разберите метод подстановки и метод интегрирования по частям. Важно понять определение определённого интеграла как предела инте-

гральной суммы и вытекающие из него приложения к геометрическим и физическим задачам.

Вопросы для самопроверки

1. Определение первообразной и неопределённого интеграла. Свойства неопределённого интеграла.

2. Таблица основных интегралов. 3. Замена переменной в неопределённом интеграле. 4. Метод интегрирования по частям. 5. Определение определённого интеграла. Его геометрический смысл и свойства. 6. Формула Ньютона-Лейбница. 7. Вычисление площадей, длин дуг, объёмов с помощью определённого интеграла. 8. Несобственные интегралы первого и второго рода. Сходимость и рас-ходимость.

После изучения РАЗДЕЛА 3 студент должен выполнить контрольную работу № 3.

14

РАЗДЕЛ 4 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Кратные и криволинейные интегралы

ТЕМА 8. Дифференциальное исчисление функций нескольких пере-менных. Кратные и криволинейные интегралы ([1], гл.12, гл.13); ([2] c.184 №1, 3, 5, 6, 62, 68, 73; с.198 № 2, 4; с.209 №116 ); ([7] c.36 §16 ). Определение функции двух и нескольких переменных. Частные производные. Полное приращение и полный дифференциал функции двух переменных. Производная по направлению. Градиент. Экстремум функции двух пе-ременных. Определение двойного интеграла, его свойства. Вычисление двойных интегралов в декартовых и полярных координатах. Криволинейные интегралы и их вычисление.

Методические указания При изучении этой темы рекомендуется проводить аналогию с уже из-

вестными соответствующими фактами дифференциального исчисления функции одной переменной.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое истолкование этих понятий. 2. Частные производные. Сформулируйте правила нахождения частных производных функций нескольких переменных. 3. Экстремум функции двух переменных. Каковы необходимые условия экстремума? 4. Производная по направлению и градиент функции нескольких пере-менных. 5. Определение двойного интеграла. Его геометрический смысл. 6. Правило расстановки пределов в двойном интеграле. 7. Приложения двойного интеграла. 8. Формула для вычисления криволинейного интеграла по кривой, задан-ной параметрическими уравнениями.

После изучения РАЗДЕЛА 4 студент должен выполнить контрольную работу № 4.

15

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Линейная алгебра, векторы, аналитическая геометрия

ЗАДАНИЕ 1

Даны матрицы A, B, C, D. 1) Найти матрицы 2A-B, A·B, A·C, D·C. 2) Вычислить определитель матрицы A. 1.1.

A= , B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−112413132

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

112231123

, C= , D=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

321

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −211531

.

1.2.

A= , B= , C=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−− 574132241

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−− 741321413

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

321

, D= . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛212432

1.3.

A= , B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

547131212

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

474310221

, C= , D= . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−31

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −111431

1.4.

A= , B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−411434

512

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−−

012124413

, C= , D=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−32

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛101942

.

16

1.5.

A= , B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 714241012

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

120431

413, C=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

423

, D= . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −211165

1.6.

A= , B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

110121342

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

574130241

, C=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

212

, D= . ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −112317

1.7.

A= , B= , C= , D=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

311412134

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100211032

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

134

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−121531

.

1.8.

A= , B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−

421734121

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

731113421

, C= , D= . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−21

3

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −018

1011

1.9.

A=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

511423432

, B= , C=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−122713

124

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

523

, D= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛021643

.

1.10.

A= , B=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

− 334425425

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

423135

171, C= , D=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

543

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−011

11102.

17

ЗАДАНИЕ 2 Даны координаты точек: DCBA ,,, .

Найти: 1) длину вектора AB , 2) угол между векторами AB и AD , 3) площадь треугольника ABC , 4) объём пирамиды ABCD , 5) уравнение плоскости, проходящей через точку C перпендику-лярно вектору AB , 6) уравнения прямой AB.

2.1. A (5, 1, 4 ); B (-7, 6, 5 ); C (3, -4, 3 ); D (0, 2, 9 ).

2.2. A (5, 2, 0 ); B (2, 5, 0 ); C (1, 2, 4 ); D (-1, 1, 1 ). 2.3. A (-2, 0, -4 ); B (-1, 7, 1 ); C (4, -8, -4 ); D (1, -4, 6 ). 2.4. A (2, -1, 2 ); B (1, 2, -1 ); C (3, 2, 1 ); D (-4, 2, 5 ). 2.5. A (-1, 2, -3 ); B (4, -1, 0 ); C (2, 1, -2 ); D (3, 4, 5 ). 2.6. A (1, -1, 1 ); B (-2, 0, 3 ); C (2, 1, -1 ); D (2, -2, -4 ). 2.7. A (1, 2, 0 ); B (1, -1, 2 ); C (0, 1, -1 ); D (-3, 0, 1 ). 2.8. A (1, 0, 2 ); B (1, 2, -1 ); C (2, -2, 1 ); D (2, 1, 0 ). 2.9. A (1, 3, 0 ); B (4, -1, 2 ); C (3, 0, 1 ); D (-4, 3, 5 ). 2.10. A (0, 3, 2 ); B (-1, 3, 6 ); C (-2, 4, 2 ); D (0, 5, 4 ).

ЗАДАНИЕ 3

Дана система линейных уравнений. Решить её двумя способами: 1) мето-дом Крамера; 2) методом Гаусса.

18

3.1. 3.2. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+−=++

7859232

132

zyxzyx

zyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=++

=−+

122223

22

zyxzyx

zyx

3.3. 3.4. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−−=++

64312

532

zyxzyxzyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−

=−+

832232

22

zyxzyx

zyx

3.5. 3.6. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=++

=−+

354523

0

zyxzyx

zyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=+−−=−+

12134

2

zyxzyx

zyx

3.7. 3.8. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=−−=++

16234051432

zyxzyx

zyx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=++−=+−−=++

244422

12

zyxzyx

zyx

3.9. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=++

35231132

zyxzyxzyx

3.10. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−+

=−+

3342638

1

zyxzyx

zyx

ЗАДАНИЕ 4

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от φ=0 до φ=2π, придавая φ значе-

ния через промежуток 8π ;

19

2) найти уравнение линии в декартовой прямоугольной системе коорди-нат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью;

3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат опреде-лить вид кривой (название).

4.1. r = ϕcos1

4+

; 4.2. r = ϕsin2

3+

;

4.3. r = ϕcos2

1+

; 4.4. r = ϕcos3

8−

;

4.5. r = )cos(sin6 ϕϕ + ; 4.6. r = ϕcos1

4−

;

4.7. r = ϕsin1

2−

; 4.8. r = ϕcos21

6−

;

4.9. r = ϕsin1

5+

; 4.10. r = ϕcos21

3+

.

ЗАДАНИЕ 5

Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической, тригонометрической и показатель-

ной формах; 2) найти все значения 3 z и изобразить их радиусами – векторами; 3) найти z 3 , ответ записать в тригонометрической, алгебраической и пока-

зательной формах.

20

5.1. z = i+122 ; 5.2. z =

314i+

;

5.3. z = – i−122 ; 5.4. z = –

i+122 ;

5.5. z = i−122 ; 5.6. z =

314

i−− ;

5.7. z = 31

4i−

; 5.8. z = i−

−3

4 ;

5.9. z = i+3

1 ; 5.10. z = i−3

1 .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

ЗАДАНИЕ 6

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

6.1. a)2

2

243lim

xxx

x −

+∞→

, б) 54

1lim21 −+

−→ xx

xx

, в) xx

xx −

−→ 21

1lim ,

г) xtg

xx 6

2cos1lim

20

−→

, д) x

x xx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

∞→ 1222lim .

21

6.2. а) 3

3

3761lim

xxx

x −

+−∞→

, б) 12

1lim2

2

1 −−

−→ xx

xx

, в) 21152lim

2

5 −−−−

→ xxx

x,

г) xtg

xarctgx 8

3lim

0→, д)

3

315215lim

−

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ x

x xx .

6.3. а)4

24

21326lim

xxx

x −

−+∞→

, б) 12

22lim2

23

1 −−

−−+→ xx

xxxx

, в) 23 23332lim

xxx

x −+

−+→

,

г) xxx

x 5sin4cos1lim

0

−→

, д) x

x xx 4

13lim

−

∞→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++ .

6.4. а)3

23

151432lim

xxxxx

x −+

++∞→

, б) 22

4lim23

2

2 −−+

−−→ xxx

xx

, в) 65

2lim21 −+

−−→ xx

xxx

,

г) xtgxctgx

35

lim0

⋅→

, д) xx

x1

0)sin1(lim +

→ .

6.5. а)2

2

23145lim

xxxx

x −+

++∞→

, б) 54

25lim2

2

5 −−

−→ xx

xx

, в) 1

2lim21 −

++−→ x

xxx

,

г) xx

xtgxx 4sin

23sinlim0 ⋅

⋅→

, д) x

xx

3ln)3ln(lim0

−+→

.

6.6. а)4

234

25237lim

xxxx

x −

+−∞→

, б) 43

4lim2

2

4 −−

−→ xx

xxx

, в) 6314lim

22 −+

−+→ xx

xx

,

г) 16cos

sinlim0 −

⋅→ x

xxx

, д) . )2ln)52(ln()1(lim xxxx

−+⋅++∞→

6.7. а)2

2

265321lim

xxxx

x −−

++∞→

, б) 1

12lim23

2

1 +−−

+−→ xxx

xxx

, в) 166592lim

28 −−

−+→ xx

xx

,

г) xtg

xxx 3

53lim2

0

−→

, д) . ))3ln()13(ln(lim 222 xxxx

−−⋅∞→

22

6.8. а)52

35

3132lim

xxxxx

x −+

++∞→

, б) 22

23lim23

2

1 −−+

++−→ xxx

xxx

, в)

xx

xx

x2

21

232lim2

21

−+

−+

→,

г) x

xxx sin

2sin7sinlim

0

−→

, д) 2

2

0 3)71ln(lim

xx

x

+→

.

6.9. а)2365

23lim23

32

++−

+−∞→ xxx

xxxx

, б) xxx

xxx 34

32lim23

2

3 ++

−+−→

, в) 43321lim

24 −−

−+→ xx

xx

,

г) xtg

xctgxx 5

2lim2

0

⋅→

, д) 93

2)52(lim −→

− xx

xx .

6.10. а)234

24

6432lim

xxxxx

x +−

++∞→

, б) 11lim

23

23

1 −−+

+−−→ xxx

xxxx

,

в) 1

24lim2

1 +−++

−→ xxx

x, г)

xxx

x 2sincoscoslim

2

3

0

−→

, д) 23

2)74(lim −

+

→− x

x

xx .

ЗАДАНИЕ 7

Найти производные dxdy данных функций.

7.1. а) ; б) xexy ⋅= arccos xx

y21

cos1+

−= ; в) ; )(arcsin3 xy −=

г) xey 3cos1

= ; д) ; е) . xxy )4ctg(= )(arctg2 xyyx +=

7.2. а) xxy ln5 ⋅= ; б) x

xyarctg

33 −= ; в) ( )21ln xy += ;

г) 2/7arcsin xey −= ; д) ; е) . xxy sin)2(cos= 2)ln( yxxy =−

7.3. а) ; б) xxy 3logarcsin ⋅= xx

ycos1

sin+

= ; в) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xy 1tg2 ;

23

г) ; д) xey 5arccos= xxy )3( 2 += ; е) yxyx +=+ 555 .

7.4. а) 8 3cos xxy ⋅= ; б) x

x

exexy

−+

= ; в) )(lnarctg 31

xy = ;

г) ; д) ; е) xy 3ln310 −= xxtgy arcsin)(= yexe xy cossin ⋅=⋅ − .

7.5. а) ; б) 102log xxy ⋅= 1ln2−

=x

yx

; в) ( )35 1sin xy −= ;

г) 5 43 xxxy ++= ; д) ; е) xxy arccos2 )1( −= 0)cos(sin =−−⋅ yxxy .

7.6. а) ; б) xy x tg3 ⋅=52

2xx

xy+−

= ; в) 3 1ctgx

y = ;

г) 2

3arccos xey += ; д) ; е) xctgxy 2)(ln= eex xy

=+ln .

7.7. а) xxy sin7 3 ⋅= ; б) xx

xy−

+=

ctg4 3 ; в) )(tg 2 xy = ;

г) 221arcsinlogx

y = ; д) 12)3(cos += xxy ; е) . yyx ln22 =+

7.8. а) xxy arccoslog5 ⋅= ; б) 21 xey

x

−= ; в)

105 13 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

xxxy ;

г) ; д) ; е) . xxy 3arctg5 += xxy 2sin3 )4( += 2)ln( xyxy ⋅=−

7.9. а) 5 13 −⋅= xy x ; б) xxxy

ln163 +−

= ; в) ; )3(sinln3 xy =

г) xey1arccos

= ; д) ; е) . xxy 3cos2 )2( += 3ln xyy =⋅

7.10. а) ( ) xxxy 353 log3 ⋅+= ; б) 52tg

2 +

−=

xxx

y ; в) ; )(tgarccos2 xy =

г) 16arctg −= xy ; д) ; е) xxy )1( 2 −= 10=++ xyyx .

24

ЗАДАНИЕ 8

Найти dxdy и

2

2

dxyd для заданных функций: а) )(xfy = ; б) )(),( tytx ψϕ == .

8.1. а) ; б) 2arctg xy = .sin,2sin2 3 tyttx =−=

8.2. а) )2(sinln xy = ; б) .2,cos

1 ttgyt

x ==

8.3. а) ; б) xxy ln5= .cos,2sin21 3 tyttx =⋅+=

8.4. а) xxy arctg)1( ⋅+= ; б) .2sin,2cos3 tytx =⋅= 8.5. а) )12(arcsin += xy ; б) .sinln,cos2 tytx == 8.6. а) ; б) xey 3sin= .23,2ctg tytx −== 8.7. а) ; б) xey x sin2 ⋅= .sin2,cos2 33 tytx == 8.8. а) ; б) xey x 2cos⋅= − )2ln(sin,2 tytctgx == . 8.9. а) xy lnln= ; б) )cos2(4),sin(2 tyttx +=−= .

8.10. а) xexy −⋅= 2 ; б) t

ytxcos

1,sin == .

ЗАДАНИЕ 9

Исследовать функции методами дифференциального исчисления и на ос-новании результатов исследования построить их графики.

9.1. а) 2

3 4x

xy += ; б) xexy −⋅= 3 .

25

9.2. а) xx

y2

22 +

= ; б) . xexy −⋅−= 1)1(

9.3. а) 4

142

−+−

=x

xxy ; б) . 24 xxey −=

9.4. а) 2)1(4+

=x

xy ; б) 22x

exy−

⋅= .

9.5. а) 34 13x

xy += ; б) xexy ⋅−= 2)1( .

9.6. а) 2234

xxy

−+= ; б) 2

21ln xxy −= .

9.7. а) 3

23x

xy −= ; б) xx

yln

= .

9.8. а) 1

332

−+−

=x

xxy ; б) . xxy ln2 ⋅=

9.9. а) 2)1(

)1(8

+

−=

x

xy ; б) )1ln( +−= xxy .

9.10. а) 42 −

=x

xy ; б) . )32(ln 2 += xy

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

Неопределённый и определённый интегралы

ЗАДАНИЕ 11

Найти неопределённые интегралы. В п. а) и б) результаты проверить диф-ференцированием.

26

11.1. а) ∫+16

2

x

dxx ; б)∫ ⋅ dxxx 2sin ;

в) ∫ −+− dx

xxx

32135

2; г) ∫ −

+ dxx

x1tg

tg1 2 .

11.2. а) dxx

x∫

+2sin

2sin1 ; б) ∫ dxxx

2ln ;

в) ∫ −++ dxxx

x2

82

; г) ∫−+− 1)1( 3 xx

dx .

11.3. а) ∫+ dxx

xx ln ; б) ∫ ⋅ dxxarctg ;

в) ∫ −−− dx

xxx

15229

2; г) ∫ ⋅⋅ dxxx 32 cossin .

11.4. а) ∫+3 3

2

1 x

dxx; б) ∫ −⋅ dxx xe2 ;

в) ∫ −+−− dxxx

x12

182

; г) ∫ dxxx

2

3

cossin .

11.5. а) ∫−⋅ xx

dx2ln1

; б) ∫ ⋅⋅ dxxx 2cos ;

в) dxxx

x∫ −−

−−87

1342

; г) ∫ ⋅ dxx3tg .

11.6. а) ∫ +⋅ xxdx

tg1cos2; б) ∫ ⋅⋅ dxx x 2/e ;

в) ∫ −++ dx

xxx

82142

2; г) ∫ ⋅⋅ dxxx 22 cossin .

27

11.7. а) ∫ +⋅

xdxx2sin9

cos; б) ∫ ⋅⋅+ dxx x3)2( ;

в) ∫ −−+ dx

xxx

7633

2; г) ∫

− xx

dx

2)2( 3.

11.8. а) ∫+

dxx

xln1; б) dx

xxx

∫⋅

3sincos

;

в) ∫ −+− dxxx

x403

232

; г) ∫ ⋅ dxx4cos .

11.9. а) ∫−

−dx

x

x2

3

1

1)arcsin(; б) ∫

⋅+

xdxx

2cos)1( ;

в) ∫ −−+ dx

xxx

12418

2; г) ∫ + dxx

x2

.

11.10. а) ∫ +−

dxxxxx

3)sin(coscossin

; б) ∫ dxxxln

;

в) ∫ −++ dxxx

x20

502

; г) ∫+12

3

x

dxx.

ЗАДАНИЕ 12

Вычислить приближённое значение определённого интеграла

с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 час-тей. Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

∫b

a

dxxf )(

28

12.1. ∫−

+8

2

3 16 dxx . 12.2. ∫ +12

2

3 9 dxx .

12.3. ∫−

+7

3

3 32 dxx . 12.4. ∫ +10

0

3 5 dxx .

12.5. ∫−

+9

1

3 2 dxx . 12.6. ∫ +12

2

3 4 dxx .

12.7. ∫ +11

1

3 3 dxx . 12.8. ∫−

+7

3

3 36 dxx .

12.9. ∫−

+8

2

3 8 dxx . 12.10. ∫−

+8

2

3 11 dxx .

ЗАДАНИЕ 13

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

13.1. ∫−

+

6

23 2x

dx . 13.2. ∫+∞

+03)1(

dxx

x .

13.3. ∫+∞

∞− ++ 222 xx

dx . 13.4. ∫−

2

12 1x

dxx.

13.5. ∫+∞

+232 )5(x

dxx. 13.6. ∫

+1

03 2

2 23 dxx

x .

13.7. ∫− −

1

12)1(x

dx . 13.8. ∫ . +∞

−⋅0

2e dxx x

13.9. ∫+∞

2

lndx

xx

. 13.10. ∫e

12ln xx

dx .

ЗАДАНИЕ 14

14.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

22 xxy −=xy −= .

29

14.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

)20()cos1(3 πϕϕ ≤≤+=r . 14.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами

22 2, xyxy −== . 14.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами . xxyxy 2,4 22 −=−= 14.5. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ox фи-гуры, ограниченной параболой и прямой 22 xxy −= 0=y . 14.6. Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фи-

гуры, ограниченной линиями )2

0(,0,2sin π≤≤== xyxy .

14.7. Вычислить длину дуги астроиды

).2

0(sin;cos 33 π≤≤== ttaytax

14.8. Вычислить длину дуги кривой ).32()1(ln 2 ≤≤−= xxy 14.9. Вычислить длину дуги кривой

).20(cos1 πϕϕ ≤≤−=r 14.10. Вычислить длину дуги кривой

).20()cos1();sin( π≤≤−=−= ttyttx

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные и криволинейные интегралы

30

ЗАДАНИЕ 15

15.1. Показать, что yz

yxzyx

∂∂

=∂∂

∂−

2)( , если

yxyyz sin)(cos −+= .

15.2. Показать, что 02

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂

yu

xu , если

)(ln 22 yxu += .

15.3. Показать, что 2

22

2

2

xza

yz

∂

∂=

∂

∂ , если

)(sin ayxz += .

15.4. Показать, что 02

=∂∂

−∂∂

∂yz

yxzx , если

yxz = .

15.5. Показать, что 02

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂

yz

xz , если

)12(ln 22 +++= xyxz .

15.6. Показать, что 0222

22

2

2

22 =+

∂

∂+

∂∂∂

−∂

∂ xyzy

zyyxzxy

xzx , если

xyz e= .

15.7. Показать, что xzxy

yxzy

∂∂

+=∂∂

∂ )ln1(2

, если

yxz = .

15.8. Показать, что 02

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂

yu

xu , если

)sincos(e yyyxu x −⋅= .

15.9. Показать, что xz

yxzxy

∂∂

=∂∂

∂−

2)( , если

xxyxz sin)(cos ⋅−−= .

15.10. Показать, что 02

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂

yz

xz , если

xyz arctg= .

31

ЗАДАНИЕ 16

Найти zgrad в точке A и производную в точке A по направлению век-тора a , если

16.1. yxz arctg= , A (1;1), jia 34 +−= .

16.2. yx

xz+

= arcsin , A (1;1), jia 34 += .

16.3. , A (1;4), )38(ln 2 yxz += jia −= 2 . 16.4. , A (1;1), xyyxz 222 53 += jia += 2 . 16.5. , A (–1;2), 324 23 yxxz += jia 34 −= . 16.6. , A (2;3), )(arctg 2xyz = jia 34 −= .

16.7. y

xz2

arcsin= , A (1;2), jia 125 −= .

16.8. , A (1;1), )45(ln 22 yxz += jia −= 2 . 16.9. , A (2;1), 22 32 yxyxz ++= jia 43 −= . 16.10. , A (1;1), )3(ln 22 yxz += jia 23 += .

ЗАДАНИЕ 17

Вычислить криволинейный интеграл: 17.1. , если L – дуга параболы x=2y 2 от точки О(0,0) до

точки А(2,1).

∫ −L

dyxdxxy 22

17.2. , где L – верхняя половина эллипса x=2cos t, y=sin t

(0≤t≤π).

∫ +L

dyxdxy 22

32

17.3. , где L – отрезок прямой, соединяющий точки

А(2,-2) и В(-2,2).

∫ −L

dyxdxy sincos

17.4. , где L - эллипс x=a cos t, y=b sin t, пробегае-

мый в положительном направлении (0 ≤ t ≤ 2π).

∫ −L

dyxdxy

17.5. , где L - дуга параболы y=∫ +−

L

dyxdxyxy )( 2 x от точки

О(0,0) до точки А(1,1).

17.6. ∫ +−L

dyxdxxxy2

)(2

, где L - дуга параболы y = 2 2x от точки

(0, 0) до точки (1, 2). 17.7. , где L - четверть окружности x=R cos t, y=R sin t ∫ +

L

dyxdxy

от t=0 до t=2π .

17.8. , где L - отрезок прямой от точки О(0,0) до

точки А(4, 2).

∫ −+L

dyxdxyx )(

17.9. , где L - отрезок прямой от точки A(2, 0) до

точки B(0, 3).

∫ +L

dyxdxy

17.10. ∫ +−

L yxdyxdxy

22

22, где L - полуокружность x=a cos t, y=а sin t

от t=0 до t=π.

ЗАДАНИЕ 18

Пластинка D задана ограничивающими её кривыми, µ – поверхностная плотность. С помощью двойного интеграла в полярных координатах найти массу пластинки. Сделать чертёж.

33

18.1. ; )0,0(,0,0,4,1: 2222 ≥≥===+=+ yxyxyxyxD

22 yx

yx+

+=µ .

18.2. ; )0,0(,0,0,25,4: 2222 ≤≥===+=+ yxyxyxyxD

22

32yxyx

+

−=µ .

18.3. ; )0,0(,0,0,9,1: 2222 ≤≥===+=+ yxyxyxyxD

22 yx

yx+

−=µ .

18.4. ; )0,0(,0,0,25,9: 2222 ≥≤===+=+ yxyxyxyxD

22

2yxxy

+

−=µ .

18.5. ; )0,0(,0,0,4,16: 2222 ≥≤===+=+ yxyxyxyxD

22

32yxxy

+

−=µ .

18.6. ; )0,0(,0,0,4,1: 2222 ≥≥===+=+ yxyxyxyxD

22

2yxyx

+

+=µ .

18.7. ; )0,0(,0,0,4,16: 2222 ≤≥===+=+ yxyxyxyxD

22

3yxyx

+

−=µ .

18.8. ; )0,0(,0,0,9,4: 2222 ≥≤===+=+ yxyxyxyxD

22

4yxxy

+

−=µ .

18.9. ; )0,0(,0,0,16,1: 2222 ≥≥===+=+ yxyxyxyxD

22

3yxyx

+

+=µ .

34

18.10. ; )0,0(,0,0,25,1: 2222 ≤≥===+=+ yxyxyxyxD

22

4yxyx

+

−=µ .

ЗАДАНИЕ 19

Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного ука-занными поверхностями. Сделать чертёж данного тела и его проекции на плоскость XOY. 19.1. . )0(4,,0,0 2 ≥=+=== xzyxyxz 19.2. . 1223,2,0,0 2 =+=== yxxzyz

19.3. 2

,4,0,02

2 xyyzxz =−=== .

19.4. 6,2,,0 =+=== zxxyxyz .

19.5. 01232,21,0,0,0 2 =−+==== yxyzxyz .

19.6. . )0(,1243,9,0,0,0 2 ≥=+−==== yyxyzxyz 19.7. . )0(,42,4,0,0,0 2 ≥=+−==== xyxxzxyz 19.8. . 1,,0,0,0 22 =++==== yxyxzxyz 19.9. . 2,,0 2 =+== zyxyz 19.10. . 3,,0,0,0 2 =+==== yxyzxyz

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИДля студентов первого курсазаочного обученияспециальностей 1600901, 1600903, 1600905

Москва – 2007ВведениеТаблица вариантовЛинейная алгебра, векторы, аналитическая геометрия

ЗАДАНИЕ 2ЗАДАНИЕ 3Äàíà ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâí

ЗАДАНИЕ 4Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуе

ЗАДАНИЕ 5ЗАДАНИЕ 6ЗАДАНИЕ 7ЗАДАНИЕ 8ЗАДАНИЕ 9КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

ЗАДАНИЕ 11ЗАДАНИЕ 12ЗАДАНИЕ 13ЗАДАНИЕ 14ЗАДАНИЕ 16ЗАДАНИЕ 17ЗАДАНИЕ 18ЗАДАНИЕ 19