新原盛太郎 2015年7月 - konoie.com · main (2015-06-25 11:27) ii 第4 章では、電気回路における基本的な定理について述べています。どの様な場合もそうですが、定理がどういう場合は使用できて、どういう場合は

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電気回路基礎

新原盛太郎

２０１５年７月

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電気の話を進めていくときに、その他の学問でも同じですが、歴史の流れを追っていく方法と、基本的な方程式から始まり、その理論を展開していく方法とがあります。歴史を追っていく方法は、時代の流れをつかみ取るには良い方法ですが、一つの理論を理解していくには難点となる場合があります。ここでは、基本方程式を出発点として話を進めていくことにします。勿論この方法がもっとも良いと言っているわけではありません。例えば新しい理論を見いだしたいような場合には、むしろ歴史を追って話をしていく方法の方が良いように思われます。いずれにせよこの著作だけで話が完了すると思ってはならないということは重要です。この著書は電気回路理論に必要な基本的な事項について記述しています。電気回路理論の根底にある基礎方程式は、Maxwell の方程式です。つまり全ての電気に関する理論は、Maxwell の方程式に従います。Maxwell の方程式がどの様な形で完成されたかについては、電磁気学にゆずり、ここではMaxwellの方程式を前提として、電気回路の理論を組み立てていきます。この本では集中定数回路理論に限定しています。その回路理論がそのほか

の電気の理論すなわち分布定数回路理論と、どの様な関係にあるかを述べることにします。このことは実際に回路の問題に理論を適用する場合において、非常に重要です。なぜなら本来分布定数回路の理論を適用しなければならない問題に対して、何も考えずに集中定数の理論を適用し、実際と理論が合わないことばかりに注目して実験結果を疑ったり、あるいは極端な場合には理論そのものを疑ったりするような、間違った行動を取る場合も起こり得るからです。第 1章では電気回路の概要をつかむため、回路理論全体を概観する内容と

なっています。電気回路理論が電気の中でどのような位置を占めているかを把握することは、これから電気回路理論を学ぶ人にとっては重要なことです。第 2章では、特に集中定数において必要な定義と単位について述べていま

すが、集中定数素子がどの様にして導き出されるか詳しく説明を行いました。これを理解すれば集中定数素子の適用限界が明確になります。

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第 4章では、電気回路における基本的な定理について述べています。どの様な場合もそうですが、定理がどういう場合は使用できて、どういう場合は使用することが出来ないか、その様な定理の適用限界を心得ておくことは重要です。第 5章は、基本的な回路の動作を、それまで学んできた知識の応用として解説しています。しかし応用といっても、それまでに学んだ定理などを単に応用するのではなく、更に発展させることが出来る内容となっています。第5章の内容は、別の電気回路の著作では定理として扱っている場合も結構あります。本著全体にわたって時変（時間的にパラメータが変化する）回路、非線形回路については触れていません。また分布定数線路についても扱ってはいません。また市販されている同様なテキストでは、四端子網についての記述がありますが、今では四端子網の理論はマイクロ波の設計において用いられるだけですので、省略しました。それらの内容について知りたい読者は別の本を参照願います。

２０１２年３月新原盛太郎

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目次

第 1章電気の理論と体系 1

1.1 歴史の始まり . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 集中定数と分布定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

第 2章集中定数 13

2.1 電気回路で使う単位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 集中定数素子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 直流特性と交流特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 その他の素子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 極性と単位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.6 信号の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.7 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

第 3章グラフ理論 59

3.1 回路網のグラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 独立変数の数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3 双対 (Dual) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

第 4章回路理論の定理 65

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iv 目次

4.1 キルヒホッフの法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.2 直列・並列接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.3 重ね合わせの原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4 テブナンの定理、ノートンの定理 . . . . . . . . . . . . . . 85

4.5 テレゲン (Tellegen)の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.6 補償定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.7 相反定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.8 固有周波数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.9 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

第 5章基本回路 109

5.1 Ｙー変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.2 ブリッジ回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.3 ツインＴ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4 直列共振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.5 並列共振 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.6 減衰器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.7 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

第 6章問題 135

6.1 回路の問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.2 解への路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.3 エネルギーについて . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

付録 A 問題の解答 147

A.1 第 1章の解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

A.2 第 2章の解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

A.3 第 4章の解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

A.4 第 5章の解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

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付録 B 付録（規格集） 167

B.1 公称値に対する規定 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

B.2 抵抗の規格 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

B.3 容量の規格 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

B.4 コイルの規格 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

付録 C 各種表 171

C.1 信号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

C.2 物性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

付録 D 数 175

D.1 数の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

D.2 よく用いられる数値 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

D.3 数学定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

付録 E 数学公式集 179

E.1 微分・積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

E.2 ベクトル解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

E.3 三角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

E.4 複素関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

E.5 フーリエ解析 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

E.6 ラプラス変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

後書き 193

参考文献 195

索引 196

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図目次

1.1 集中定数と分布定数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 電磁波の体系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 電圧の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 電流の関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 端子電圧と枝電圧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 閉路電流と枝電流 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 直流電圧源・電流源の記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 電圧源･電流源のグラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5 交流電圧源・電流源の記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 従属電源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.7 実際の電源 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8 ありえない回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.9 円柱 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.10 平行板 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.11 コイル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.12 相互インダクタンス等価回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.13 素子の極性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.14 回路例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.15 回路例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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viii 図目次

2.16 複素数表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.17 問題 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.18 問題２ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.19 問題３ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.20 問題６ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.21 問題７ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.22 問題８ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.23 問題９ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1 グラフによる表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1 電流則を求めるための図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 電圧則を求めるための図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 カットセット . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.4 書き直した図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5 例題１の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.6 例題２の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.7 直列接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.8 並列接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.9 例題３の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.10 直列接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.11 一つにまとめた場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.12 並列接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.13 一つにまとめた場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.14 並列接続（電荷が存在する場合） . . . . . . . . . . . . . . 80

4.15 (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.16 (b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.17 例題５－１の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.18 例題５－２の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

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4.19 テレゲンの定理の説明図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.20 例題７の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.21 グラフ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.22 補償定理の説明図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.23 例題８の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.24 補償定理の説明図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.25 相反定理の説明図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.26 例題９の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.27 固有周波数を求める図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.28 例題 11の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.29 例題６の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.30 ノートンの等価回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.31 等価回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.32 テブナンの等価回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.33 問題１の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.34 問題２の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.35 問題３の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.36 問題４の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.37 問題５の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.38 問題６の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.39 問題７の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.1 Ｙ－変換の説明図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2 例題の回路図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.3 ブリッジ回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.4 Wheatstone bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.5 Wien bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.6 Maxwell bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.7 ツインＴ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

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x 図目次

5.8 π型回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.9 ＬＲ回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.10 ＣＲ回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.11 直列共振回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.12 直列共振回路の周波数依存性 . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.13 並列共振器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.14 Ｔ型減衰器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.15 π型減衰器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.16 減衰器の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.17 問題１の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.18 問題２の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.19 問題３の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.20 問題４の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.1 RC回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.2 問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.3 電流源を殺した回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.4 電圧源を殺した回路 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.5 テブナンの定理による解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.6 テブナンの回路を用いた回路図 . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.7 ノートンの定理による解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.8 ノートンの定理を用いた回路図 . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.9 閉路電流を示す図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.10 端子電圧を示す図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A.1 問題７の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

A.2 問題９の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

A.3 問題１０の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

A.4 問題１０ (a)(b)の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

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A.5 問題１０ (e)の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

A.6 問題１の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.7 問題３の別図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

A.8 問題４の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

A.9 問題７の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

A.10 問題１の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

A.11 問題４の図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

B.1 抵抗の色表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

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xiii

表目次

2.1 単位表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 素子の表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1 Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1 テレゲンの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.2 テレゲンの関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

B.1 Ｅ標準数の系列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

B.2 3数字法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

B.3 許容差を表す記号 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

B.4 色による表現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

B.5 抵抗器の色表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

B.6 容量の種類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

C.1 周波数の分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

C.2 物理定数表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

C.3 シリコン中の拡散係数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

D.1 SI単位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

D.2 英米語の数詞 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

D.3 Latin数字 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

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xiv 表目次

D.4 平方根 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

D.5 常用対数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

D.6 自然対数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

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1

第 1章

電気の理論と体系

ここでは電気回路理論の歴史と、理論全体の体系について述べます。電気回路全体がどの様な歴史的発展を遂げ、理論全体がどの様に構成されているかということについて述べています。

1.1 歴史の始まり電気の歴史は、非常に古くから始まっています。エジプトが栄えた頃か

ら、琥珀と毛皮をこすり合わせることによって、電気が得られることは既に知られていました。しかし電気回路の理論として研究されるようになったのは、近代になってからです。また電気回路理論という狭い範躊で発展を始めたのは、正に現代であって、それ以前は物理、化学の一分野として発展してきています。電気回路の理論が発展するには、その理論的な裏付けが必要です。理論的

な観点からは、これらの理論の基礎として電磁気学が横たわっています。と言うのも電気回路において用いられる基本的な素子は、電磁気学によって明確な形で定義できること、電気回路において用いられている様々な定理は、電磁気学によって裏付けられるからです。この電磁気学は最終的にはMaxwellによって集大成されています。そこに行きつくまでには、電気磁気

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2 第 1章電気の理論と体系

に関する様々な理論の発展がなされました。これらの発展については、電気の理論ではあまり必要がありませんので、説明は省略します。ここで電気に関する研究の歴史的におおまかな流れについて、述べてみることにします。

1729年 Stephen Grayによる電気の伝導についての発見。1745年 Georg Von Kleistは、電気が制御可能であることを発見しました。

これはかの有名な Leyden瓶の実験の観測から導き出された結果です。1752年 Benjamin Franklinは、空気中に存在する静電荷の観察、つまりあ

の有名な凧を嵐の日に舞い上がらせて確認し落雷が電気であるという観察をしました。電流がある粒子から構成されている粒の流れから出来ていると言う示唆を与えた論文を発表しました。

1780年ガルバーニによる、蛙の筋肉による電気実験。1800年ボルタによって、銅と亜鉛を塩水に浸した電池が作られた。1820年 Hans Christian Oerstedは、電気の流れが磁石の針を動かすことに

気付き、電流の磁気的効果を発見し、その数週間後Marie Ampereがワイヤに流れる電流があたかも磁石のような働きをすることを発見しました。シュバイガーとボッゲンドルフが、電流計を発明。アラゴはコイルによって、鉄心が磁化されることを発見。ビオとサバールが、電流の磁気作用に関するビオ・サバールの法則を確立。

1821年ゼーベックによる、熱電気現象の発見。（２種の金属からなる回路の２接点に温度差があると電流が流れる）

1827年 Joseph Henryが、一連の電磁気に関する実験を始め、電気誘導の発見を行い、世界で最初のモーターの製作をしました。同じ年に Georg

Simon Ohmが、電流と電圧の関係を発見しました。彼の名前は、オームの法則と呼ばれました。しかし近似式に過ぎないことなどにより、

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1.1 歴史の始まり 3

近年ではオームの法則とは呼ばれず、電圧・電流の関係式と呼ばれています。

1831年 Michael Faradayが電磁誘導の発見をしました。1832年ヘンリーが、コイルの自己誘導についての実験報告をした。1833年電気分解に関するファラデーの法則の発見。1834年ファラディーが、自己誘導現象を発見した。

レンツが、「誘導電流は導線がその運動と逆向きに磁気力を受けるような向きに生じる」という、レンツの法則を発表。

1840年電流の熱作用に関する、ジュールの法則。1842年Ｗ．トムソン（ケルビン卿）は、静電気理論と熱伝導理論との間の

形式的類似を指摘した1845年ファラディー効果（磁場の中での偏曲面の回転）や反磁性の発見。

ノイマンが、レンツの法則とオームの法則とを結合させて電磁誘導の数学的法則を作り上げた。

1846年ファラディーは、光が力線の振動ではないかと言った。1847年Ｗ．トムソンは、電磁気理論と弾性体理論の間の対応を示した。1853年Ｗ．トムソンが、ライデン瓶の放電が振動的であることを示しそ

の周期を与えた。1855年マクスウエルが、「ファラディーの力線について」を発表。1857年フェッダーセンが、回転鏡を用いて火花放電の写真を撮影し、電

気振動を実験的に確かめた。1862年マクスウエルが、「物理的力線について」を発表。1864年マクスウエルが、「電磁場の動力学的理論」を発表。1873年マクスウエルが、「電気磁気理論」を発表。1884年ポインティングとヘビサイドは、独立に電磁場におけるエネルギー

の流れに関する法則を発見し、ポインティング・ベクトルが導入された。

1888年ヘルツによる電磁波の発見。1895年マルコーニによる無線通信機の発明。

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1897年 J. J.トムソンによる電子の確認。1927年 van der Polによる、発振器の研究。1930年代 PLL回路が考案された1938年ソビエト連邦の Bersteinによる、自由発振器での雑音理論確立。1947年ベル研が、点接触型ゲルマニウム・トランジスタを発表1954年 Tellegenが、ideal amplifierの概念を発表1958年 J.S.Kilbyによる集積回路の発明1964年 Carlinが nullorの概念を発表1968年 B.Gilbertが、ギルバート回路を発表1971年 Widlarが、バンド・ギャップ回路を発表1974年 R.H.Dennardによるスケーリング則の発表

1.2 基礎方程式以上述べましたように、電気の歴史は比較的新しく、回路理論として形が出来上がるまでに様々な実験が行われ、新しい法則が生まれてきました。そして回路理論が発達し、その中でさらに新しい理論が生まれてきています。それまでの歴史と理論を学ぶことも大切です。しかし膨大な研究成果が生まれてきた回路理論を取り扱うには、理論面から見て基礎方程式から話を進めて行く方がより簡潔で分かりやすいと思います。

電磁気学はいかなる理論的構成となっているかについて、簡単に述べていきます。先に述べましたような多くの研究者による発見により様々な紆余曲折を経て、電磁気学の集大成であるところの Maxwell の方程式までたどり着くことになります。

Maxwellの方程式は、次の四つの方程式から構成されています。これら方程式が電気回路理論を構成するための基礎方程式です。しかしこれらの方程式は余りにも複雑であるため、方程式まで立ち戻って回路の問題を考えるこ

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1.2 基礎方程式 5

とは、電気回路においては通常行われません。方程式から導かれる結果から出発する方法が適切です。この様な進め方を取ったとしても、Maxwellの方程式より前の理論までさかのぼって議論しなければならないようなことはほとんど起こりません。回路理論を明確な形で理解するには、どの様にして回路理論で用いる基礎理論が導き出されるかを理解しておくことは大切です。次に回路基礎理論の出発点となる様々な定理を導くことにします。まず基礎方程式であるMaxwellの方程式を書き下してみます。

rotE =−∂B∂ t

(1.1)

rotH = J+∂D∂ t

(1.2)

divB = 0 (1.3)divD = ρ (1.4)

ここで

E：電界ベクトル B：磁束密度ベクトル H：磁界ベクトルD：電束密度ベクトル J：電流密度ベクトル ρ：電荷密度

rot = i(

∂∂y

− ∂∂ z

)+ j(

∂∂ z

− ∂∂x

)+k

(∂∂x

− ∂∂y

)div = i

∂∂x

+ j∂∂y

+k∂∂ z

i , j , kは x , y , z方向の単位ベクトル。

これらの方程式が電磁気学の基礎方程式であり、自然界に存在する基本的な四つの力 (万有引力、電磁気力、強い力、弱い力)の内の電磁気力を記述する基礎方程式です。この基礎方程式から電気回路に関する全ての基礎定理が導かれます。

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式の数として四つしかありませんので、一見簡単そうに見えるこの方程式は、使われている変数がベクトルですから、実際は 4×3 = 12個の方程式の数となります。これらの方程式が複雑に絡み合っているため、取り扱うことは非常に難しくなります。

1.2.1 三つの波

(1.1)～(1.4) 式を解きますと、解法自体については述べませんが、三つの解が得られます。その三つの解には各々名前がつけられており、TEM

波 (Transversal Electric Magnetic Wave)、TE波 (Transversal Electric Wave)、TM 波 (Transversal Magnetic Wave) と呼ばれています。このうち一般に知られている電圧、電流の概念を用いることが出来るのは、TEM波のみです。その他の波には、電圧、電流の概念は存在しません。電圧、電流の概念が存在しない TE波、TM波は、マイクロ波理論において用いられている波であり、本著においては取り扱いません。電圧や電流が存在しない電気の波も存在するのです。つまり我々は、電気の波の約３分の１しか使っていないのです。現時点で TE 波や TM 波は、特殊な装置のみに使われているにすぎません。この著作では、TEM波についての理論に限定します。この波も大きく二つに分類することが出来ます。その二つとは、集中定数理論と分布定数理論です。分布定数理論は、集中定数理論で現れる素子が分布的に広がった形で存在しているとして扱わなければならない理論であり、一般的に偏微分方程式となります。これは古典力学で言っている質点の力学と、剛体・流体・弾性体などの力学の関係とよく似ています。漫画的に書くと、次のような関係となります

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1.3 集中定数と分布定数 7

図 1.1 集中定数と分布定数

この図では、分布定数を規則正しく並んだ質点で表現していますが、実際には様々な並び方で表現することが出来ます。以上の話をまとめると、次の図のようになります。

図 1.2 電磁波の体系

日常で扱う電子機器は多くの場合 TEM波ですが、取り扱う周波数が高くなってくると、集中定数として考えることが妥当か、あるいは分布定数として扱う方が妥当か、なかなか見分けることが難しくなってきます。それらの見分けかたについては、この後で考えていくことにします。

1.3 集中定数と分布定数回路を分布的に素子が広がっているか、あるいは集中つまり一ｹ所に集

まった物として扱えるかは、扱う周波数とその対象物によって決定されます。ではどの様に見分けるか、その限界を知ることは大切です。と言うのもせっかく計算を行っても元々その理論が適用できない対象だとしたら、それ

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までの苦労は水の泡になるばかりでなく、もし気がつかなければ大変な失敗を招いてしまい、理論とは当てにならないものだと言う間違った確信を持ってしまうようになるからです。分布定数とはどういうものかと定義するよりも、集中定数とはどの様なものかを定義し、それに当てはまらないものが分布定数である、とした方が分かり易いと思います。そこで集中定数の定義について述べます。先にも述べましたように、集中定数は、質点の力学によく似ています。つまり集中定数は、形や大きさもなく点で表現することが出来ます。しかしこれでは、回路で出てくる様々な素子を区別することは出来ません。区別するための扱いについては、次の章を見て下さい。集中定数であるために電気で取り扱っている定義は、次のようなものです。

一方の端子へ流れ込む信号は、同時に他方の端子より流れ出す信号に等しい。

この定義を式で表現するために、次のような進行波を考えます。

f (t,x) = Asin[ω(t − x/c)] (1.5)

ここでA：振幅ω：角周波数ｔ：時間x：距離c：光の速度

これは電磁進行波の一般形です。ここで長さ ℓ の素子へある時間 t0 に上記の進行波が入った場合、入力端では x = 0として

f (t0,0) = Asin(ωt0) (1.6)

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出力端では同じ時間 t = t0 において、x = ℓとしますと

f (t0, ℓ) = Asin[ω(t0 − ℓ/c)] (1.7)

となります。よって上の式の差を入力レベルで割った比を考えますと、次のようになります。

f (t0, ℓ)− f (t0,0)f (t0,0)

=sin[ω(t0 − ℓ/c)]− sin(ωt0)

sin(ωt0)

=2cos[ω(t0 − ℓ/2c)]sin(−ωℓ/2c)

sin(ωt0)(1.8)

ℓ/2cは非常に小さな値ですので、上式は次のようになります。

2−sin(ωℓ/2c)

tan(ωt0)(1.9)

この値が 1よりも小さければ、定義より集中定数と見なされることになります。ところで t0 はある任意の時間を示しているだけですので単なる定数であり、上の式は次の条件が満足されるとき、1より小さい値となります。

ωℓ

c≪ 1 (1.10)

ここで θ ≪ 1のとき sinθ ∼= 0であることを用いています。これが集中定数の条件です。この条件が満足されるとき、対象物は集中定数回路として扱うことが出来ます。また逆にこの式を満足しない場合には、分布定数回路として扱わねばなりません。

この様に考えていきますと、先程も述べましたように、集中定数というのは力学で言っている質点に相当することが分かります。質点とは形も大きさもない素子のことを指していますが、この後に出てきます集中定数素子は、まさに質点のように形や大きさを持ってはいません。つまりただの点と言うことになります。それでは何のことか分からないので、様々な記号を使って集中定数素子を表現していくことになります。

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別の観点で眺めますと、集中定数素子は、現実には存在しない素子と言うことになります。このことを明確に認識しておく必要があります。つまり現実の様々な電気素子は、集中定数素子で近似することが出来ると言うことです。

1.3.1 集中定数の意味

電圧・電流の定義は、次の章で出てきますが、取りあえずここではそれらの概念を用いて集中定数の意味について考えてみましょう。次の図を考えてみます。

図 1.3 電圧の関係

この図において端子電圧 e1 と e2 とが同時に存在しない場合には、枝電圧vを定義することは出来ません。つまり枝電圧 vが存在するためには、端子電圧 e1 と e2 とが同じ時間に存在する必要があります。次の図を考えてみます。

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図 1.4 電流の関係

電流 j1 と j2 とが同じ時間に同じ値として存在しなければ、枝電流 iは存在することが出来ません。以上のことから素子の枝電圧と枝電流とが存在するためには、素子の入出力端における電圧と電流とが同時に存在する必要があります。これが素子に対する集中定数としての条件になります。

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1.4 問題問題１電気の基本方程式は、Maxwellの方程式です。この式は、どのような式から構成されているでしょうか。

問題２電磁波には三つの波があります。その三つの波とは、どのような波でしょうか。

問題３長さ 1,000 [km] の送電線を用いて、周波数 f = 50 [Hz] の電気を送るとき、集中定数、分布定数いずれの理論を用いるべきでしょうか。

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13

第 2章

集中定数

この章では集中定数回路を取り扱うに当たって必要となる基本的な事柄について述べます。この内容は、今後電気回路理論を学ぶにおいて基礎的なことですので、充分に理解しておく必要があります。

2.1 電気回路で使う単位この節で述べる内容は電気回路において用いられる単位とその定義につい

て述べておきます。電気回路で使う単位といえば通常電圧と電流だけと考えがちですが、その他の単位も用いられる場合がありますので、これらの量についても充分に理解しておく必要があります。

2.1.1 電荷

これは通常 qまたは eという記号を用いて表され、電子が持っている最小単位の電荷量であり、クーロン (coulomb)という単位Cで表され、その大きさは

q = 1.60210×10−19 [クーロン] (2.1)

で与えられます。これは素電荷とも呼ばれます。クーロンはチャールス・

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14 第 2章集中定数

クーロンの名にちなんだものです。この単位は、次の (2.2)式によって定義されています。その定義は言葉で表現すると、次のようなクーロンの法則によって与えられます。

二つの等しい電荷を持った物体を真空中で 1 [m]離して置いたとき、お互いに 1 [N：ニュートン]の力で反発する場合、どちらの物体も正または負の等しい電荷量を持ち、その値を 1 [C：クーロン]とする。

上の関係をクーロンの法則を表す式 (MKSA 単位系*1) で表現しますと、次のように与えられます。

f =q1q2

4πεr2 (2.2)

2.1.2 電圧

電圧はボルト [V ]という単位を持ち、通常 v , V と言う記号が用いられます。大文字の V は、そのほかの記号の場合もそうですが直流（時間的に変化しない電圧）、小文字の vは交流（時間的に変化する電圧）に対して主に用いられます。電圧の定義としては、電界の距離による積分によって表されます。式で表

現しますと、次のように与えられます。

vb − va =∫ b

aEdℓ (2.3)

回路では電圧は二種類定義されています。それは端子電圧と枝電圧です。

*1 これは長さ、質量、時間、電流を各々メータ、キログラム、秒、アンペアで表現した単位です。MKSA単位系を用いることによって、全ての物理量を表現することが出来ます。

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2.1 電気回路で使う単位 15

端子電圧：node voltage

(2.3) 式の va をある基準点の電圧とし、その値をゼロとして vb の値を示す電圧を端子電圧と呼びます。通常電気の場合、基準電圧として地球上での値をゼロとして取ります。回路図を描く場合、基準点としては、素子が最も集中する点を基準点とする場合が多いようです。

枝電圧：branch voltage

枝電圧とは、素子の両端の差電圧を指しています。

端子電圧と枝電圧の関係端子電圧と枝電圧とは、密接な関係があります。回路における端子電圧が決まれば、その回路における枝電圧も一意に決められます。また逆に、枝電圧が決まると端子電圧も一意に決められます。そのことを次の図に示しておきます。

図 2.1 端子電圧と枝電圧

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この図から次の関係式が得られます。

v1 = e2 − e1

v2 = e3 − e2

v3 = e1 − e3

v4 = e1 − e4

v5 = e4 − e3

端子電圧には四個の独立変数がありますが、このうち一つは回路の基準点でなければならないので、独立な変数は三つとなります。例えば e4 = 0 として記述することが出来ます。端子電圧を枝電圧で記述することが出来ます。この例の場合、次の式が得られます。

e1 = v4

e2 = v4 − v1

e3 =−v5

e4 = 0

このことから枝電圧と端子電圧の変数は、お互いに変換することが出来ると言うことが分かります。また大切なことは、この二つの電圧は対等な立場として考えることが必要だと言うことです。

2.1.3 電流

電流の単位はアンペア [A] と呼ばれ、通常 i , I と言う記号が用いられます。電圧の場合と同じように、大文字の I は直流（時間的に変化しない電流）、小文字の iは交流（時間的に変化する電流）に対して主に用いられます。電荷の移動に伴う電流は、電荷の時間変化によって定義され、式で書きますと次のようになります。

i =dqdt

(2.4)

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言葉で言えば

電流とは単位時間にある場所を通過する電荷量。

となります。この言葉に対して電流密度という言葉があります。電流密度とは、単位面積当たりの電流寮を指しており電流を面積で割った値となります。回路では、電流は二つあります。それは閉路電流と枝電流です。

閉路電流：loop current

二次元回路の場合には、網目電流：mesh current と呼ばれることもあります。閉路電流とは、ある端子から出発して、任意の枝を通り元の端子に戻ってくる電流のことを示しています。

枝電流：branch current

枝電流とは、各素子に流れる電流のことを指しています。

閉路電流と枝電流との関係閉路電流と枝電流とは、密接な関係があります。回路における閉路電流が決まれば、その回路における枝電流も決まりますし、逆に回路における枝電流が決まれば、その回路における閉路電流も決まります。そのことを次に図に示しておきます。

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図 2.2 閉路電流と枝電流

この図から次の関係式が得られます。

i1 = j5 − j3 + j4i2 = j3 + j1 + j2

逆に枝電流は閉路電流によって決められます。

j1 = i2j2 = i2j3 = i2 − i1j4 = i1j5 = i1

このように、閉路電流と枝電流とはお互いに一対一で変換する事が出来ると言うことが分かります。また大切なことは、この二つの電流は対等な立場として考えることが必要だと言うことです。つまり閉路電流は、計算上の仮想電流ではなく、実体を持った電流であることです。

2.1.4 電力

電力を pと表現しますと、電力は次のように定義されます。

p = v× i (2.5)

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電力の単位は、ワット [W ]で表されます。電力は、電圧や電流よりも広い概念で、TEM波以外の電圧や電流の概念が存在しない、TE波や TM波においても用いることが出来ます。

2.1.5 重要な注意事項

ここで電圧と電流に関わる重要な注意事項を述べておきます。世間一般には電圧と電流とは、密接に関わっていると思われています。しかし電圧と電流とは、お互い関係が無い独立したパラメータと言うことに注意しなければいけません。つまり電気回路理論では、電圧は電圧だけ、電流は電流だけで考える必要があります。電圧と電流との関係は、モノ（物質）が存在して発生します。しかもその関係は、一般的には非常に複雑な関係となります。例えば、次のような例を考えてみて下さい。

1. 容量だけで出来た回路に直流の電圧が印可され、十分に時間が経過しているときの回路の状態。

2. 乾燥したところで、手を金属に近づけたとき火花が飛んで来ますが、火花が発生する前の状態。

3. 超伝導状態での電流。

これらの例では、電圧（あるいは電荷）だけ、もしくは電流だけしか存在していません。よって電圧は電圧だけ、電流は電流だけで取り扱うことが出来る理論が必要になります。このことに関しては、これから順に詳しく説明をしていきます。

例題10 [A] の電流が断面積 4 [mm2] の円柱に流れているとき、この電流が

100 [V ]の電圧源によって供給されているとするならば、電圧源によって何ワットの電力が供給されていますか。さらにこの電流によって断面積を通過する電子の数は、単位時間当たり何個であるか求めて下さい。

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<解答 >

電力：10×100 = 1,000 [W ]

通過する電子の数は、素電荷が 1.6× 10−19 [クーロン] ですので 10/(1.6×10−19) = 6.25×1019 となり、1秒あたり 6.25×1019 個の電子が通過していることになります。

2.2 集中定数素子ここでは具体的に集中定数素子について考えていきます。まず始めに電源

を取り上げ、次に抵抗、容量、コイルを考えます。さらに特殊な変成器についても、簡単に述べておきます。

2.2.1 電源

今まで電圧、電流というパラメータを深く考えずに使ってきましたが、電気回路において用いられている素子は、電力を供給しなければ何の役にも立ちません。そのための装置が電源です。電気回路理論での電源は、大きく分けて二種類考える必要があります。独立電源と呼ばれる電源で、その一つは電圧源です。もう一つは電流源です。更に特殊な電源として、従属電源が考案されています。従属電源には、４

種類の電源があります。電圧源も電流源も共に時間的に変化しない直流電源と、時間的に変化する

交流電源とが考えられます。

直流電源直流電源は、電圧源、電流源という二種類が存在します。電圧源、電流源

は、次の様に定義されます。

電圧源外部に何を接続しても常に一定の電圧を供給する。電流源外部に何を接続しても常に一定の電流を供給する。

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2.2 集中定数素子 21

と定義されます。図 2.3一番左側に示しますように、直流の電圧源の場合には記号そのものに向きが含まれていますので、その様な矢印は一般に用いられることはありません。図 2.3の左二つの記号は、独立電圧源と呼ばれる電圧源です。図 2.3の右一つは、独立電流源の記号です。この他にも、いくつか別の記号が用いられることがあります。

図 2.3 直流電圧源・電流源の記号

電圧源や電流源は、集中定数素子であり、仮想の素子であることを忘れてはいけません。電圧源は、どのような素子を接続しても一定の電圧を供給します。電流源は、どのような素子を接続しても一定の電流を流し続けます。このことから電圧源の短絡、電流源の開放という状態は、存在することが出来ません。電圧源の場合電流は任意の値を取り、電流源の場合電圧は任意の値を取ることが出来ます。よって電圧源・電流源共に任意の抵抗値を示すことになります。電圧の値もある値を取り、電流の値もある値となるような電源も考えられますが、そのようにすると電気理論上の素子としては、何の役にも立たなくなってしまいます。もし電圧と電流が決まった電源であるならば、接続できる素子は電源によって値が決まった素子だけということになってしまうからです。上の定義を I −V 平面に描きますと分かりやすくなります。図 2.4で左の直線が電圧源、右側が電流源を示しています。この図から分かりますように電圧源は交流の場合には、インピーダンスがゼロ（アドミタンスは無限大）、

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電流源は交流の場合には、インピーダンスが無限大（アドミタンスがゼロ）です。

図 2.4 電圧源･電流源のグラフ

交流電源直流電源とは別に交流電源を考える必要があります。交流電源には、様々

な種類の電源が考えられています。交流電源は、次の性質を持っています。

交流電圧源インピーダンスはゼロ交流電流源インピーダンスは無限大

交流電源として、次のような記号が使われます。

図 2.5 交流電圧源・電流源の記号

交流電源には、次のような電源が考えられています。

正弦波信号源正弦波信号を発生する。

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パルス信号源パルス信号を発生するFM信号源 FM信号を発生するPWL信号源折れ線の変化をする指数関数発生器指数関数で立ち上がり、指数関数で降下する雑音源ランダムな信号を発生する

2.2.2 従属電源

電源には、以上の他に従属電源と呼ばれる特殊な電源が存在します。この従属電源は、直流においてもまた交流においても同じ回路素子を用いて記述することが出来ます。これらの従属電源には、次の四つが考えられています。

電圧制御電圧源入力開放、出力は入力電圧の値に応じて変化する電圧源電圧制御電流源入力開放、出力は入力電圧の値に応じて変化する電流源電流制御電圧源入力短絡、出力は入力電流の値に応じて変化する電圧源電流制御電流源入力短絡、出力は入力電流の値に応じて変化する電流源

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図 2.6 従属電源

現実の電源　ここで現実に存在している電源について考えてみます。上で述べた独立電源は、いずれも現実には存在しない理想的な素子を表しています。例えば実際の電圧源では無限大の電流を引き出すことは出来ませんし、実際の電流源では無限大の電圧を引き出すことは出来ないからです。現実の電源に対して、例えば電圧源では電圧源に直列に、電流源に対しては電流源に並列に抵抗を挿入することによって近似的に表現することが出来ます。

図 2.7 実際の電源

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電源の特性電圧源、電流源の上記の性質より、図 2.8のような電圧源のみの並列接続、電流源のみの直列接続は存在しません。電圧源の並列接続を考えますと、接続後の電圧が決められないからです。また電流源の直列接続では、どの様な電流が流れるかと言うことを決められないためです。

図 2.8 ありえない回路

電圧源の開放状態は、その両端の電圧が電圧源の値を示すだけで何の問題もありません。しかし電圧源の両端を短絡した場合を考えてみますと、何処にも電圧源の値を示すことは出来なくなります。このように電圧源を短絡状態とすることは出来ませんが、電圧源を短絡するための線で置き換えることは出来ます。このような状態のことを電圧源を殺すと呼んでいます。同様に電流源の短絡状態は、短絡した線を電流源が示す電流が流れるだけで、何の問題もありません。しかし電流源の開放を考えてみます。このとき電流は流れることが出来ません。このように電流源を開放状態で置き換えることを電流源を殺すと呼んでいます。

例題2 [V ]と 5 [V ]の電圧源が直列に接続されているとき、全体の電圧はいくら

になるでしょうか。また 10 [A] と 20 [A] の電流源が並列に接続されている場合の全体の電流は、いくらになるでしょう。

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＜解答＞電圧源：2+5 = 7[V ]

電流源：10+20 = 30[A]

2.2.3 抵抗・容量・コイル

次に、電源以外の素子について説明していきます。これらの素子も電源の場合と同じように、現実に存在する素子と回路で用いられている素子とが同じ名前を使っていますので、注意する必要があります。理論の出発点として、Maxwellの方程式から出発します。Maxwellの方程式は、その結論を得るまでに幾多の現象を整理統合し永年の年月を経て完成されたものです。先に述べましたように、Maxwellの方程式は、次の四つの式から成立しています。

rotE =−∂B∂ t

rotH = J+∂D∂ t

divB = 0divD = ρ

ここでE：電界ベクトルB：磁束密度ベクトルH：磁界ベクトルD：電束密度ベクトルJ：電流密度ベクトルρ：電荷密度

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rot = i(

∂∂y

− ∂∂ z

)+ j(

∂∂ z

− ∂∂x

)+k

(∂∂x

− ∂∂y

)div = i

∂∂x

+ j∂∂y

+k∂∂ z

i , j , kは、x , y , z方向の単位ベクトル。

Maxwellの方程式だけでは、現実の世界を表現するには不足です。なぜなら Maxwell の方程式には、物質の性質を表現するパラメータは含まれていないからです。これらのパラメータと Maxwell 方程式でのパラメータを結びつけるものとして、次の三つの式が存在します。

J = σE (2.6)D = εE (2.7)B = µH (2.8)

ここで σ , ε , µ は、全てテンソル量と呼ばれる量です。各々導体、誘電体、磁性体の性質を表しており導伝率、誘電率、透磁率と呼ばれています。多くの応用において、これらを定数として扱って問題無い場合が多いようです。この本では、その様な仮定の場合について扱います。集中定数理論は、これら (2.6)～(2.8)式の一つが支配的で、他はゼロとして良い場合に適用できる理論です。よってこれらの方程式の一つを取り扱い、そのほかの方程式は全く考慮しない場合についての関係式を導く必要があります。この取扱いについて、以下に示すことにします。これまでの説明から分かりますように、集中定数素子は現実には存在しない素子です。付けられた名前が、電気回路理論ではない現実の場合においても用いられているため、電気回路を学ぶ人は、時々混乱しているようです。それでは集中定数素子の各々について、導いていくことにしましょう。この中でベクトル計算を用いています。ベクトル計算になれていない方は、途中を読み飛ばして結果だけを見て下さい。

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2.2.4 抵抗

次のような仮定をします。

1. 集中定数である。2. σ のみが支配的である。3. 至る所 σ が定数である、つまり均一である。4. 電流が均一に流れる。

最初の仮定は、取り扱う素子が理想的な集中乗数で無ければならないことを示しています。二つ目の仮定は、抵抗に容量製や誘導性が全く無いことを示しています。もしこの仮定が満足されなければ、抵抗以外の素子が混合した素子となってしまいます。三つ目の仮定は、特殊な場合にしか成立しません。しかしこの仮定がないと非線形の性質が素子の中に現れることとなり、その性質を含めた素子は、とても複雑な振る舞いを起こします。このような素子を扱うには、非線形理論が必要になります。四つ目の仮定は、ちょっと難しいかもしれませんが、銅線を流れる電流は電子の流れによって生じていることをご存知だと思います。そして電子同士は、同じ符号のマイナスの電気を持っていますので、お互いに反発しあいます。電流として流れていても、この性質はそのまま保たれます。つまり電流同士はお互い反発しあうため、なるべくお互い離れて流れようとします。その結果電流は導体表面近くでは密度が濃く、中心に行くほど薄くなる傾向があるのです。この性質を考慮しては、これから求める抵抗の式は得られませんので、電流は導体の中では均一に流れるとする仮定が必要になります。この仮定は、この後出てくる容量やコイルについても同じように言えることです。

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以上の仮定は、抵抗素子ばかりでなく、容量やコイルの導出においても適用していきます。これらの素子も電圧や電流に依存しない素子として表現されることになります。以上の様な仮定が成り立つとき、図 2.9のような微小な円柱を考えます。

図 2.9 円柱

電流 iは、電流密度、面積を用いて

i = j ·S (2.9)

(2.3)式より、電圧はａ点の電位を V1、ｂ点の電位を V2 とすれば電界との関係式として、次式が得られます。

V2 −V1 = Eℓ (2.10)

次に (2.6)(2.9)式を (2.10)式に代入して、

V2 −V1 =ℓ

Sσi (2.11)

ここで

R =ℓ

Sσ(2.12)

と置きますと、次の電圧・電流の関係式が得られます。

V2 −V1 = Ri (2.13)

先程述べましたように、この式は σ が場所によらず、均一の場合でしかも線形な場合にのみ成立する式です。抵抗の単位は、オームで、Ωという記号を使います。

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2.2.5 容量

　次のような仮定をします。

1. 集中定数である。2. ε のみが支配的である。3. 至る所 ε が定数である、つまり均一である。4. 電流が均一に流れる。

この様な条件が成り立つとき、図 2.10のような平行板を考えます。

図 2.10 平行板

図 2.10の一つの円盤を取り囲む体積について、(1.2)式を用いますと∫rotH ·dS =

∫J ·dS+

∫ ∂D∂ t

·dS (2.14)

この式の左辺はゼロとなります。これは一般のベクトル A に対して、次のガウスの定理が成立し ∫

divA ·dv =∫

A ·dS

この Aに rotHを代入し、さらに一般的に div · rotH = 0であることを用いると得られることから分かります。以上の関係から (2.14)式は、次のよう

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になります。 ∫J ·dS =−

∫ ∂D∂ t

·dS =− ddt

∫D ·dS

=− ddt

[ε(−va − vb

ℓ

)S]

(2.15)

ただし　 Sは円盤の面積ベクトル

さらに左辺は電流 iですので

i =ddt

[C (va − vb)] (2.16)

電荷 qを用いて、また電流の時間積分は (2.16)式より、次の結果が得られます。

q =C (va − vb) (2.17)

ここで

C = εSℓ

(2.18)

この式においても ε は、円盤内の全ての場所において一定でありかつ線形であると仮定しています。容量の単位は、ファラッドで、F という記号を用います。

2.2.6 コイル

　次のような仮定をします。

1. 集中定数である。2. µ のみが支配的である。3. 至る所 µ が定数である、つまり均一である。4. 電流が均一に流れる。

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この様な条件が成り立つとき、図 2.11のようなコイルを考えます。

図 2.11 コイル

(1.1)式から、面積積分をしますと、次のようになります。∫rotE ·dS =−

∫ ∂B∂ t

·dS

さらにグリーンの定理より∫

rotE ·dS =∫

E ·dlですので∫E ·dl =−

∫ ∂B∂ t

·dS (2.19)

よって (2.3)(2.19)式から、次式が得られます。

vb − va =− ddt

∫B ·dS (2.20)

この式を変形しますと

vb − va =ddt

(Li) (2.21)

この式の Lは、次のように表すことが出来ます。

L =Φi

(2.22)

ここで

Φ =∫

B ·dS (2.23)

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であり、(2.22)式と組み合わせて磁束と電流の線形な関係式となります。以上三つの素子が、後で述べるコイルの組み合わせである相互インダクタ

ンスを除いて電気回路の主な素子です。今後これら三つを中心に、電気回路の理論について述べていきます。コイルの単位は、ヘンリーで、H という記号を用います。

例題抵抗率 10 [Ωm]の均一な円柱の抵抗があり、断面積が 5 [mm2]とします。

長さ 10 [cm]の場合の抵抗値を求めて下さい。<解答 >

抵抗率と伝導率とは逆数の関係ですので、(2.12)式を用いて

10×10−2 ×105×10−6 = 2×105 [Ω]

例題面積 5 [mm]の円板が 0.01 [mm]の間隔で向かい合っている場合と、10 [mm]

の円板が 0.001 [mm]の間隔で向かい合っている場合との容量比を求めて下さい。ただし共に同じ誘電率を持った物質の中に存在しているとして下さい。<解答 >

前者の場合の容量を C1、後者の場合の容量をC2 としますと (2.18)式より

C1 = εS1

l1, C2 = ε

S2

l2

となりますので、次のようになります。

C2

C1=

S2l1S1l2

=10×0.015×0.001

= 20

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2.3 直流特性と交流特性次に考えるのは、素子の直流特性と交流特性です。

2.3.1 直流特性

時間的に変化しない場合、素子がどの様に振る舞うかと言うことについて考えてみます。

抵抗の場合抵抗の場合に成り立つ式は、均一つまり空間的に伝導率が変化せず線形な

場合、次の式で与えられました。

v = Ri

この式を考えると、抵抗に直流電流 iが加えられると、その両端に電圧 v

が生じることを意味しています。次に交流の場合を考えてみます。この式の変化を考えると、次の式が得ら

れます。

dv = Rdi+ idR

この式を見ると電流の時間的微小変化と抵抗値の時間的微小変化が電圧の微小変化となって現れることを意味しています。次に、空間的に変化しないことは仮定されていますので、時間的に抵抗の

値が変化しない場合を考えてみますと、

dv = Rdi

となり、電流の微小変化に対して、抵抗の両端に微少電圧の変化が現れる事を意味しています。交流信号の場合、良く用いられる式は、この場合であることが分かります。

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2.3 直流特性と交流特性 35

容量の場合容量の場合に成り立つ式は、均一つまり空間的に誘電率が変化せずかつ線形な場合、次の式で与えられました。

q =Cv

この式を考えると、容量に直流電圧 vが加えられると、その両端に電荷 q

が生じることを意味しています。この場合電流は、存在しません。次に交流の場合を考えてみます。この式の変化を考えると、次の式が得られます。

dq =Cdv+ vdC

容量の場合、次の式も成立します。

dq = idt

この式から、容量の式は、次のように書き直すことが出来ます。

idt =Cdv+ vdC

この式は、電圧の時間的微小変化および容量の時間的微小変化によって電流 iが生じることを意味しています。もし容量の時間変化がなければ、上の式は、次のように与えられます。

idt =Cdv

交流信号の場合、良く用いられる式は、この式であることが分かります。

コイルの場合コイルの場合に成り立つ式は、均一つまり空間的に透磁率が変化せずかつ線形な場合、次の式で与えられました。

ϕ = Li

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この式を考えると、コイルに直流電流 i が加えられると、コイルの両端に磁束 ϕ が現れることを意味しています。この場合、電圧は存在していません。次に交流の場合を考えてみます。この式の変化を考えると、次の式が得られます。

dϕ = Ldi+ idL

コイルの場合、次の式も成立します。

dϕ = vdt

この式からコイルの式は、次のように書き直すことが出来ます。

vdt = Ldi+ idL

この式は、電流の時間的微小変化およびコイルの値の時間的微小変化によって電圧 vが生じることを意味しています。もしコイルの値の時間変化がなければ、上の式は、次のように与えられます。この式からコイルの式は、次のように書き直すことが出来ます。

vdt = Ldi

交流信号の場合、良く用いられる式は、この式であることが分かります。

2.3.2 相互インダクタンス

この素子はこれまで述べてきた三つの素子に比べて特殊な素子であり、回路理論においても特別な場合として取り扱われています。この本は電気回路基礎ですので、簡単な結果だけを述べています。

変成器の一般的性質　コイルに電流を流すと磁束が生じ、この磁束が別のコイルを横切ると最初のコイルの電流によって二番目のコイルに電圧が生じることになります。

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これが相互インダクタンスであって、式で表現しますと次のように与えられます。これらの式は、厳密に成り立つ式です。

Φ1 = L1i1 +Mi2 (2.24)Φ2 = Mi1 +Li2 (2.25)

v1 =dΦ1

dt, v2 =

dΦ2

dt(2.26)

上の式で M は相互インダクタンスを示し、Φ1 , Φ2 は磁束を示しています。上の四つの式から磁束を消去しますと、変成器でよく用いられる式が得られます。L1 , L2 , M は、ここでは時間によらない定数であるとします。L1 , L2 , M が電圧、電流、時間依存性を持たないと仮定します。最初の二つの式を時間微分して、あとの二つの式を用いますと、次式が得られます。

v1 = L1di1dt

+Mdi2dt

(2.27)

v2 = Mdi1dt

+L2di2dt

(2.28)

この式を表す等価回路は、図 2.12（ａ）のように与えられます。この図には、まだ曖昧さが含まれています。それは巻線が右巻きであるかあるいは左巻きであるかということは、この図では分からないからです。それを示すためには黒い点を図 2.12（ａ）のように付けますが、その様な誤解を生じない場合には、省略されることがあります。

(2.27)(2.28)式は、次のように変形することが出来ます。

v1 = (L1 −M)di1dt

+Md(i1 + i2)

dt

v2 = Md(i1 + i2)

dt+(L2 −M)

di2dt

ここでさらに 1次側と 2次側との低電圧側の電圧が等しいという特殊な場合には、図 2.12（ａ）は図 2.12（ｂ）のように書き換えることが出来ます。

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図 2.12 相互インダクタンス等価回路

係数の間には、次のような関係式が存在します。

L1 , L2 > 0 (2.29)L1L2 −M2 ≥ 0 (2.30)

これらの関係式は変成器のエネルギーは、正でなければならないということから導き出すことが出来ます。変成器のエネルギー pは、次のように与えられます。

p = v1i1 + v2i2

(2.27)(2.28)式を代入しますと、

p = L1i1di1dt

+Mi1di2dt

+Mi2di1dt

+L2i2di2dt

=ddt

[12(L1i21 +2Mi1i2 +L2i22

)](2.31)

変成器は受動素子ですので、この式の括弧の中は正でなければなりません。２次式の判別式から、上記の条件が出てきます。この中で定数 L1 , L2

は必ず正ですが、M は必ずしも正であるとは限りません。正の場合もあるし、負の場合もあります。正の場合は、一方のコイルによって生じる磁束がもう一方のコイルに対してプラス方向の電圧を生じる場合で、負の場合とはマイナス方向の電圧を生じる場合です。ここで、次のような係数を導入します。

M = k√

L1L2 (2.32)

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このように置きますと、kは (2.30)式から分かりますように、必ず −1から+1の値を取る必要があります。kのことを結合係数 (coupling coefficient)

と呼んでいます。

2.3.3 線と GND

その他に重要な、しかし素子とは言い難いのですが存在します。その一つは素子間をつなぐ線であり、もう一つはグランドです。

線線は回路理論的には意味がありませんが、現実の世界においては素子をお互いに接続する必要があり、回路図においても記入していかねばなりません。回路はまさにトポロジーの世界、つまり何処と何処とが接続されているかということを表しているだけであり、どの様な引き回しとなっていても構いません。しかし現実の世界においては、銅線で接続していくので、奇妙な引き回しを行うと特性が変わってしまいます。よって現実の導線と回路図上の線とは一致しないのですが、これもその他の受動素子と同様に、銅線を用いて近似することは可能です。回路図上の線は、太さや抵抗率、誘電率、透磁率を持たない理想的な線と考えるべきです。よって線の中で閉ループを作っても、そのことによって発熱もなければ、静電的あるいは誘導的なエネルギーの蓄積や発散も起こりません。

GND

電気電子回路における GND(GrouND) は、いわゆる接地つまり地球とは違います。地球も基準として GNDと考えることがありますが、電気電子回路の場合には、ただ単に共通（あるいは基準）ノードという意味となります。よって回路図上の GNDは、何処の点にとってもかまいません。しかし

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GNDは、多くの接続点が集まるところに取る方が回路図を読みとる場合に便利です。その他に仮想接地 (Virtual Ground)と呼ばれる GNDがあります。これは交流信号に対して、変化しない端子のことを指しており、交流信号を取り扱うときに GNDと等価となります。例として VCCや演算増幅器の入力端子などがありますが、これらについては後ほど出てきますので、そのときに詳しくお話しします。

2.4 その他の素子集中定数において、次のような場合も考えられます。

2.4.1 σ ,ε,µ の二つ以上が関係する場合

この場合に素子を考えるとすると、抵抗・容量・コイルの性質が入り交じった特性を持つ素子が考えられることになります。このような素子は、ただ単に回路の問題を複雑にするだけで、何か新しい内容が出てくるとはとても考えられません。よってこれらの素子を単独の電気回路素子と考えるのではなく、抵抗・容量・コイルで構成された分布定数素子と考えることにします。

2.4.2 均一でない場合

一般的に σ ,ε,µ は、均一になることはありませんので、このような素子は多数存在します。一番身近な例としては、ダイオードがあります。この素子は至る所非線形動作を示す素子であり、その性質は σ が不均一であることにその原因があります。このことからダイオードにおいて抵抗の値は、電圧の大きさによって様々な値を取ります。半導体に生じる接合容量は、ε が不均一であることの典型的な例と思われます。この不均一な性質を利用したのが、バリキャップ・ダイオードと呼ば

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2.4 その他の素子 41

れ、同調回路においてよく使われている素子です。鉄心によって構成されたトランスは、その特性が非線形を示す典型的な例でしょう。この特性はヒステレシス特性として良く知られています。これはµ が不均一である典型的な例と言えるでしょう。その他非常に難しく深刻な問題として、経年変化があります。経年変化は、不均一つまり時間的に変化する定数の現れと考えられます。この特性を式で表現する事は難しく、今後の課題でしょう。この問題は、回路の問題というよりも信頼性の問題として研究されています。以上のことから分かりますように、定数が不均一であることは、至極一般的なことであって、電気回路の素子として導いた抵抗・容量・コイルの様に均一であることは非常に特殊な場合であると考えられます。これらの不均一な素子についての研究は、現在も行われていますし、これからも大きなテーマとして引き続き研究が行われていくことでしょう。

2.4.3 短絡と開放

電気においては、短絡と開放も一つの素子と考えることもできます。短絡は、R = 0の抵抗あるいは L = 0のコイルあるいは v = 0の電圧源とも考えられます。それに対して開放は、G = 0の抵抗あるいは C = 0の容量あるいは i = 0

の電流源とも考えられます。このように考えると短絡や開放も一つの回路の状態ではなく、一つの素子として扱うことが出来ます。残りは、素子と素子をつなぐ線です。電気回路においては、γ,ε,µ が全てゼロの状態を指しているだけであって、回路に対して何の変化も与えない、つまりどの素子とどの素子とが接続されているかという情報だけを与える存在であることが分かります。そしてこの情報に基づいて、回路のトポロジーとしての問題が発生します。

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図 2.13 素子の極性

2.5 極性と単位極性五つの基本的な素子（抵抗、容量、コイル、電圧源、電流源）は、一般の基準の方向として電圧、電流に対して次の図 2.13 のように定義されています。この矢印の向きと違った形で定義したとしても矛盾は生じませんが、世界共通の定義ですので、この矢印の向きをそのまま使っていく方がよいでしょう。この図 2.13で電流は電流の流れる方向（プラスの電荷が流れる場合は、その粒子が流れていく方向、マイナスの電荷の場合には、その粒子が流れていく方向とは逆の方向となる）を示し、電圧は通常矢印の頭の方が電圧の高い方を示しています。また基本素子は、端子電位差と端子電流の間の物理法則から出てくる一つの拘束条件があります。しかし電源だけは、一方の量だけ（電圧源は電圧、電流源は電流の値）で定義されていることに注意する必要があります。

単位ここで単位について、その他の量も含めて一覧表を載せておきます。

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2.5 極性と単位 43

　量　記号 MKSA単位系　　回路で用いる単位電流 I A A電圧 V m2ks−3A−1 V抵抗 R m2ks−3A−2 Ω容量 C m−2k−1s4A2 Fインダクタンス L , M m2ks−2A−2 H電荷量 Q As C磁束 Φ m2ks−2A−1 Wb

表 2.1 単位表

その他の注意次の図を見て下さい。図 2.14の（ａ）と（ｂ）は回路的にはまったく同じものですが、全く違ったもののように見えます。単に目の錯覚ですが、同じ動作をします。注意をしなければならない例です。しかし同じ動作をするといっても、回路理論としても別の解釈が行われます。左側の回路は、差動増幅器と解釈されます。これに対して右側の回路は、エミッタフォロアの後にベース接地回路が接続されていると解釈されます。そして別々の理論が適用されています。しかしでてきた結果は、当然のことながら同じです。適用する理論が違うことにより、ある場合は簡単に解釈が可能であり、ある場合には非常に複雑な解釈をしなければならないといったことが起こります。重要なことは、一つの回路を見ても色々な解釈が存在するということです。一つの回路に対して、一つの解釈しか存在しないと考えてはいけないと言うことです。

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図 2.14 回路例

図 2.15 に、その他の例をあげておきます。この二つの回路は、全く同じ回路です。一見しただけでは、同じかどうか分かりません。この例は、全く異なった印象を与える一つの例を示しています。

図 2.15 回路例

2.6 信号の表現素子及び回路の表現について、いくつかの便利な表現方法があります。こ

こでは、それらの表現がどの様に定義されているかということについて述べることにします。

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2.6 信号の表現 45

2.6.1 実効値、自乗平均値

　回路の問題においては数値を便利に扱うため実効値、自乗平均値などが用いられます。独立変数として、電圧信号について考えてみます。このとき電流は、電圧によって決められるとします。式で表現しますと、次のように表すことが出来ます。ここで電流は、電圧のある関数で与えられるとしておきます。

v(t) =V0 sin(ωt +θ)(2.33)

i(t) = g[v(t)]

正弦波信号において、ある一つの値が再び現れるまでの時間を周期と呼んでいます。この電圧信号の周期は、次のように定義されています。

T =2πω

[sec] (2.34)

周波数は、単位時間の間にいくつの周期が現れるか、その数を示しています。このことから周波数 f と周期 T の関係は、次のように表すことが出来ます。

f =1T

[Hz] (2.35)

この様な信号が与えられたとき、平均電力 pは、次のように定義されます。

p =1T

∫ t+T

tv(t)×g[v(t)]dt

簡単な場合を考え、もし電流が i(t) = Gv(t)と表現できたとしますと、電力は次のようになります。ただし G = 1/Rです。

p =GV 2

0 (t)2

=V 2

02R

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ここで

Ve =V0√

2(2.36)

と置きますと

p = GV 2e =

V 2e

R

となり 2が消えてしまいます。よって (2.33)式は、

v(t) =√

2Ve sin(ωt +θ)(2.37)

i(t) = G√

2Ve sin(ωt +θ)

と与えられ、Ve のことを実効値と呼んでいます。実行値が実際に使われている例としまして、一般に使われている交流メータは、実効値を用いて表されています。また自乗平均値という言葉があります。自乗平均値は、次の式によって定

義されています。 √1T

∫ t+T

tf 2(t)dt (2.38)

この値は f が正弦波である場合には、実効値と同じ値となります。

2.6.2 複素数表示

信号の表現信号を、次の式で表します。

f (t) = Asin(ωt +θ)= Aℑ [exp j(ωt +θ)] (2.39)

ここで ℑは、複素数の虚数部分を示しています。

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改めて上の式を、次のように置き直します。だだし jは、虚数です。

g(t) = Aexp j(ωt +θ) (2.40)

こうすると f (t) は、g(t) の虚数部分を取ることによって得られます。この複素数を用いた指数関数の式は、正弦波信号の一般式を示しています。

複素数表示：ラプラス変換回路網に使われる素子の特性を示している方程式の両辺をラプラス変換

することにより、微分や積分の記号をなくすことが出来ます。先に求めた抵抗、容量、コイルの関係式を素子の枝電圧を用いて改めて書きますと

v = Ri (2.41)

v =∫ i

Cdt (2.42)

v =ddt

(Li) (2.43)

となります。抵抗、容量、コイルの特性を示す方程式の両辺のラプラス変換を取りますと、各々次のようになります。ただし初期条件は、全てゼロとしていることに注意して下さい。詳しい式については、数学のラプラス変換の所を読んで下さい。

V (s) = R× I(s) (2.44)

V (s) =1

sC× I(s) (2.45)

V (s) = sL× I(s) (2.46)

この式から回路網のある点からみた駆動点関数や、ある点からある点までの伝達関数などは、複素数の関数で表せることが分かります。

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複素数表示：フーリエ変換(2.41)(2.43)(2.44)式の両辺をラプラス変換しますと

V = R× I (2.47)

V =1

jωC× I (2.48)

V = jωL× I (2.49)

となります。

まとめ以上求められた (2.44)～(2.49)式は、いずれも次の形となっています。

v = Zi (2.50)

以上を纏めますと、次の表が得られます。

素子時間式ラプラス変換フーリエ変換抵抗 v = Ri V = RI V = RI容量 v =

∫ iC dt V = 1

sC I V = 1jωC I

コイル v = ddt (Li) V = sL I V = jωL I

表 2.2 素子の表現

抵抗のラプラス変換あるいはフーリエ変換は ZR はレジスタンス (resis-

tance)、一般に用いられる記号は Rです。また容量およびコイルのラプラス変換あるいはフーリエ変換 ZC , ZL を併せてリアクタンス (reactance)と呼ばれ、一般に記号 X が用いられています。また (2.50)式の Zは、インピーダンス (impedance) と呼ばれます。さらにレジスタンスの逆数はコンダクタンス (conductance), 記号は G です。ZC の逆数をサセプタンス (susceptance)、記号は Bです。ZL の逆数については特に名前はありません。インピーダンス Z の逆数は、アドミタンス (admittance)、記号は Y が用いられています。

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インピーダンスとアドミッタンスを併せて、インミタンス (immitance)と呼んでいます。

ラプラス変換とフーリエ変換複素数で素子を表現する方法として、ラプラス変換とフーリエ変換とが出てきました。この二つの変換についての詳しい説明は省略しますが、次のような使い分けとなります。

ラプラス変換任意の入力波形に対して適用可能。フーリエ変換正弦波入力に対してのみ適用可能

このことからフーリエ変換は、入力信号が正弦波の場合のみについて用いられます。それに対してラプラス変換は、過渡応答などの信号応答に対して用いられます。

注意事項(2.41)(2.42)(2.43)式から分かりますように、電流が時間依存性を持つならば、正弦波と余弦波の違いはありますが電圧も同じ時間依存性を持っていることが分かります。例えば電流を i = I0 sin(ωt)で表現しますと、抵抗の場合

v = RI0 sin(ωt)

容量の場合

v =−CI0/ω cos(ωt)

=CI0/ω sin(−ωt +π)

コイルの場合

v = LI0ω cos(ωt)

= LI0ω sin(ωt +π)

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つまり入力がある時間変動で励振されているとしますと、全ての出力は同じ時間変動で振動します。これは集中定数であることによります。電圧・電流が複素数表示の場合、特にフーリエ変換の場合について考えてみます。電流が i = I0 exp( jωt)であるとします。抵抗の場合

v = RI0 exp( jωt)

容量の場合

v =1

jωCI0 exp( jωt)

コイルの場合

v = jωLI0 exp( jωt)

指数関数は、積分や微分により変化せず同じ関数となります。そこでこれらの式において電圧を v = V0 exp( jωt)と置くことにより次のように指数関数を省略することが出来ます。抵抗の場合

V0 = RI0

容量の場合

V0 =1

jωCI0

コイルの場合

V0 = jωLI0

これら全ての関数は、指数関数が省略された式で表現出来た事が分かります。このことも集中定数の特徴といえます。電圧・電流の関係は、横軸を実数縦軸を虚数とした複素平面上に表示する

ことが出来ます。電流を基準に取りますと、次の図 2.16 のように表示することが出来ます。

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図 2.16 複素数表示

以上の説明から分かりますように、線形回路では全ての素子の励振、応答は同じ周波数となるため、この時間依存性自体は表現しなくともかまいません。時間依存性を積極的に省くことによって、回路方程式をより見やすい形に表現することが出来るようになります。例えばある回路を、一つの正弦波で励振したとしましょう。このとき全て

の素子は、励振に用いた電源と同じ周波数を持つことになります。この場合において、元の励振に用いた電源はどの様に表現できるでしょうか。信号の振幅は、電源の大きさを表現していますので、なくてはなりません。位相は、どうでしょうか。回路の位相基準はどこにでも取れますので、この場合電源の位相を基準に取ることが出来、この位相をゼロとすれば、電源は単に周波数と振幅だけで表現してもかまわないことになります。もう一つ忘れてはいけないことは、これらの式および結果は、伝導率・誘

電率・透磁率が均一であると言うことです。もし均一でない場合には、これらの結論は得られません。

2.6.3 フェーザ表示

　正弦波信号を扱う場合の表示方法として、フェーザ表示という概念があります。これは正弦波関数を振幅と位相によってのみ表す方法です。この表現は集中定数の定義から推測できるように、全ての素子は同じ周波数で振動すると考えられるため、回路を表現する場合周波数は必要が無いと考えられるからです。フェーザ表示は、上で述べた考えに基づいて、次のような記

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号を用いて表されることもあります。

（振幅）（位相） (2.51)

例として、(2.47)(2.48)(2.49)式をこのフェーザ表示を用いて表現しますと

RI 0 (2.52)I

ωC −90 (2.53)

ωLI +90 (2.54)

この式の中では電流が基準に取られており、周波数に対する時間依存性は省略されています。以上がフェーザ表示ですが、実際の回路解析・合成においては、このフェーザ表示を用いることはほとんどありません。通常用いられるのはラプラス変換やフーリエ変換による複素数による表示です。よってこの形式のフェーザ表示については、これ以上説明しません。

2.6.4 電力の表現

　電力は、電圧と電流との積で表されることは、すでに述べました。ここでは電力を複素数表示で表した場合について、述べることにします。電圧を v = v0 sin(ωt)としたとき、電流は一般に次のように表すことが出

来ます。

i = i0 sin(ωt +θ) (2.55)

これから電力 pは

p = v0i0 sin(ωt)sin(ωt +θ)= (1/2)v0i0 cosθ − (1/2)v0i0 sin(2ωt +θ) (2.56)

(2.56)式は、電力の瞬時値を表しています。この式の第二項は時間平均を取るとゼロとなりますので、電力の平均値は

p = (1/2)v0i0 cosθ (2.57)

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と表すことが出来ます。ここで電圧、電流として最大値ではなく、実効値

V =v0√

2(2.58)

I =i0√

2(2.59)

を用います。(2.57)式は P = pと書き直しますと、次のようになります。

P =V I cosθ (2.60)

Pのことを実効電力 (effective power)、または平均電力 (average power)または有効電力 (active power) と呼んでいます。cosθ を力率 (power factor)、sinθ をリアクタンス率 (reactive factor)、V I を皮相電力 (apparent power) 、と呼び、皮相電力の単位は、VA(volt-ampere)です。家庭において用いられている AC100 [V ] , 10 [A]と言っているのは、この実効値のことでして、ピーク電圧としては 100

√2 ∼= 141 [V ]の値、ピーク電

流の場合 10√

2 ∼= 14.1 [A]の値です。有効電力に対し、次の式で表される電力 Q のことを無効電力と呼んでいます。

Q =V I sinθ (2.61)

無効電力の単位は、Var(Volt-ampere-reactive)です。

ここで電圧および電流に対して、次の複素数表現を用います。

v =V exp( jα) (2.62)i = I exp [ j(α +θ)] (2.63)

実際の電圧や電流は、これらの式の実数部分で与えられることが分かります。

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これらの式を用いて、電力を次のように与えることとします。この電力のことを、複素電力と呼んでいます。

p = vi∗ =V exp( jα)× I exp [− j(α +θ)]=V I exp(− jθ) (2.64)

ここで ∗印は、複素共役を示しています。この式の実数部分、虚数部分は (2.60)(2.61)式から、各々次のようになり

ます。

ℜ(p) =V I cosθ = P (2.65)ℑ(p) =−V I sinθ =−Q (2.66)

V , I は電圧、電流の実効値であることに注意する必要があります。

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2.7 問題 55

2.7 問題問題１図 2.17の素子に流れる電流 iが、すべての時間に対して 4exp(−t) [A]で与えられるとします。

1. t = 0 [sec]に、その素子の上側端子に入っている電荷の割合はどれだけでしょうか。

2. 0 ≤ t ≤ 1 [sec]の区間に、その素子の下側端子から出た電荷量はどれだけでしょうか。

3. t = 1 [sec]において、その下側端子から出ている電荷の割合はどれだけでしょうか。

図 2.17 問題 1

問題２1. 図 2.18において、i = 3.61 [A]としますと、素子に伝達される電力はどれだけでしょうか。

2. i=−2.96 [A]の場合に、素子に吸収される電力はどれだけでしょうか。

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図 2.18 問題２

問題３次の図 2.19 に示す物体の抵抗を求めて下さい。ただし導伝率 σ =

10 [1/Ωm]とします。

図 2.19 問題３

問題４面積が 30 [cm2]の円盤が、真空中で 0.1 [mm]離れて置かれています。この

場合の容量はいくらでしょうか。ただし円盤の端での効果は無いとします。

問題５電流 2 [A]が流れているコイルに、50 [ウエーバ]の磁束が生じている場合

のインダクタンスはいくらでしょうか。

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2.7 問題 57

問題６次の回路図 2.20の回路方程式を求めて下さい。

図 2.20 問題６

問題７次の回路図 2.21 の、回路方程式を求めて下さい。その方程式から等価回路は、どの様な形で描くことが出来るか考えて下さい。

図 2.21 問題７

問題８次の図に示す電源の回路において、吸収電力の代数和はゼロであることを

示して下さい。

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図 2.22 問題８

問題９次の回路図のフェーザー図を描いて下さい。回路図上の記号を用いる

こと。

図 2.23 問題９

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59

第 3章

グラフ理論

ここでは、回路のグラフ理論とその間連情報について述べています。

3.1 回路網のグラフ集中定数の電気回路を扱う場合よく用いられる用語がありますので、まず

それらの説明から始めます。集中定数回路網は、その素子を表す記号を一本の直線を用いて表現する

ことがあります。これは複雑な回路を扱う場合において非常に便利な方法であり、また数学で出てくるグラフの概念を適用することが出来るという点においても有効な方法です。ここでは電気回路において用いられているグラフについて述べていくことにします。グラフというのは、素子の違いについては何も言及しません。従って全ての素子は、一つの直線で表示されます。この様なわけですからグラフの概念で出てくるのは、単に素子の接続に関する内容ということになります。

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60 第 3章グラフ理論

図 3.1 グラフによる表現

• 枝（ブランチ）回路をグラフで表現したときの各直線部分。

• 方向性枝 (oriented graph)

枝の向きを考えたときの枝の呼び方。• 節点（ノード）線が集まったところ。

• 木 (tree)

連結グラフにおいて全ての節点を結ぶ最小数の枝の集まり。• 補木 (co-tree,tree complement)

木の枝でない残りの枝の集まりのこと。• リンク (link,chord,tree link)

補木に属する枝のこと。• 閉路 (ループ：loop)

一つの節点から出発して他の枝、節点を通り、ただし同じ枝、節点は通らず元の節点に戻ってくる道のこと。

• 連結グラフ (connected graph)

ある節点からその他の全ての節点と枝を通って元の節点に戻る閉路を考えます。この様な閉路の集まり。

• 連結任意の節点間に枝路からなる道が少なくとも一つ存在するならば、そ

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3.2 独立変数の数 61

のグラフは連結であるといいます。• 部分グラフ元のグラフの枝路集合の部分集合。

• 閉路 (loop)

いくつかの枝を通過した、閉じた路。• カット・セット (cut-set)

ある枝の組み合わせを考え、その枝を取り除くと木が二つの部分に分かれ、また任意の枝を戻すと分かれた木が連結されるとき、この枝の組み合わせをカット・セットと呼んでいます。

• タイ・セット (tie-set)

一つの木を取り、その木のリンクによって出来る閉路の集まりのことをタイ・セットと呼んでいます。

3.2 独立変数の数独立変数の数は、回路方程式のうち何個の方程式が回路の問題を解くため

に必要であるかということを考えるためにも重要です。回路方程式については、別の章で考えます。

3.2.1 電圧と電流の関係

今まで述べてきたことから分かりますように、電圧と電流の間には、何の関係もありません。関係が生じるためには、物質が存在する必要があります。よって回路を考える場合、電圧と電流は基本的に、何らの関係も存在しません。回路の特性は、枝電圧と枝電流が与えられれば全て決まります。それ以上

の情報は、必要ありません。全ての枝電圧が決まったと考えます。そのとき全ての枝電圧と電流の関係

式が与えられたとすると各枝の電流は、決まってしまいます。

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逆に全ての枝電流が決まったと考えます。この場合も全ての枝電圧と電流の関係が与えられたとすると各枝の電圧は、決まってしまいます。以上から各枝の電圧と電流の関係式が与えられている場合、つまり何らかの物質が存在している場合、全ての枝電圧あるいは全ての枝電流が与えられれば、回路の動作を説明するための全ての情報が得られることになります。回路を構成するというのは、電圧と電流の関係が既に分かっている性質を持った素子を用いると言うことですので、回路の特性を調べるためには、枝電圧かあるいは枝電流を求めると言うことにほかなりません。どの様にして枝電圧あるいは、枝電流を求めたらよいのかと言うことについて、考えていくことにします。

リンク電流回路の一つの木を考え、その木が持つリンクについて考えます。リンクに流れる電流を考えると、木に一つのリンクを追加すれば電流は、一つの閉路を形成します。次にこのリンクを除去し、別のリンクを考えます。この新しいリンクは、別の閉路を形成します。この閉路を流れる電流は、先程のリンクによる電流とは独立した電流です。この様にして全てのリンクに流れる電流は、お互い別のリンクを流れないため必ず独立であり、しかも全てのリンク電流を考えると電流が流れない枝は存在しなくなります。つまりリンク電流は、お互い独立でしかも全ての枝電流を与えることになります。リンクの数は、全てのノードの数を nN とすると木の枝の数は、nN −1となるので全ての枝の数を nB 個とすればリンクの数は、この数から木の枝の数を引いたnB −nN +1個で与えられます。

閉路電流（網目電流）ここで網目電流というのは、閉路電流のことですが二次元の回路の場合に用いられる言葉です。独立な電流の選び方は、リンク電流だけと言うことではありません。その選び方が、閉路電流（網目電流）と呼ばれる選び方です。お互いに独立な

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3.2 独立変数の数 63

nB −nN +1個の電流を選びさえすれば良いわけです。簡単な場合を考えることにし、網目電流について考えます。網目とは、二次元の平面回路で内部に素子を含まない閉路のことを指しています。これらの電流を考えると、全ての枝を必ず何らかの網目が通過するので、必要かつ十分な独立の電流群が得られます。

木の枝電圧回路の一つの木を考えてみます。先程の木の定義からこの中には、回路に含まれる全ての節点が含まれています。節点の数を nN 個とすると、枝の両端には必ず節点が存在していますので、木の枝の数は nN −1個となります。つまり nN −1 個の木の枝電圧が決まってしまえば、全ての枝電圧が決まることになります。

基準点からの端子電圧ある一つのノードを基準とし、その基準から他のノードまでの電圧を選択します。その二つを繋ぐ線の集まりは、回路の枝を通っていませんが、性質は木の枝と同じ性質を持っていますので、この様にして与えられた電圧の集まりは、独立な電圧群を表しています。

独立変数の数ここまでの説明で注意しなければならないことは、独立に選びうる枝電圧の数と独立に選びうる電流の数が異なることです。このことにより後ほど述べる回路方程式の数が異なる結果となります。つまり電圧を選ぶかあるいは電流を選ぶかという違いによって必要な方程式の数が異なってくると言うことです。これは何か矛盾を含んでいるように思いがちですが、決して矛盾しているわけではありません。証明は省略します。

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電　　圧電　　流枝路電流枝路電圧網路 or閉路接続点 or接続点対閉路の数接続点対の数閉路電流接続点対電圧網目電流接続点電圧リンク木の枝リンク電流木枝路電圧木枝路電流リンク電圧タイセットカットセット短　　絡開　　放並　　列直　　列抵　　抗コンダクタンス容　　量インダクタンスインピーダンスアドミタンス

表 3.1: Dual

3.3 双対 (Dual)

変数を有る別の変数に入れ替えると、元の方程式の形がそのまま残る変数の間のことをデﾕアルの関係と呼びます。次のような変数によって与えられます。

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65

第 4章

回路理論の定理

ここでは電子回路の問題を扱う上で基本となる定理を述べることとします。これらの多くは、電気回路の著作の中に出てきますが、別に電気回路に限らず必要な知識であるため、ここにまとめて述べることとします。この他にも多くの定理が存在しますが、回路の基礎を扱っている本書においては必要でないため、必要最小限のものだけを取り上げています。

4.1 キルヒホッフの法則電気電子回路の基本法則である、キルヒホッフの法則から述べていきま

す。この法則は、集中定数回路において必ず満足しなければならない法則で、Maxwellの方程式から導くことが出来ます。キルヒホッフの法則は、次の二つから成り立っています。

1. キルヒホッフの電流則2. キルヒホッフの電圧則

次にこれら二つの法則について、説明をします。

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66 第 4章回路理論の定理

4.1.1 キルヒホッフの電流則

まず始めにキルヒホッフの電流則について述べます。キルヒホッフの電流則は、次のように定義されています。

定理 1（キルヒホッフの電流則）任意の集中定数回路網において、一つの節点に流れ込む電流の代数和は、いかなる時点においてもゼロである。

<証明>

次に示します一つの節点を囲む曲面を考えます。

図 4.1 電流則を求めるための図

磁界は、インダクタンスに集中していると仮定します。このとき H = 0です。さらに電荷は節点に蓄積されること、あるいは湧き出すことはありません。そうしますと節点から出ている線及び節点では、次の式が成立します。

ρ = 0 (4.1)ε = 0 (4.2)µ = 0 (4.3)

divJ = 0 (4.4)

最後の式を、図 4.1に定めた曲面について積分しますと、次の結果が得られます。 ∫

JndS = 0 (4.5)

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4.1 キルヒホッフの法則 67

この式は、ある瞬間の時間のときに成立しています。さらにある閉じた曲面から出る電流の代数和は、ゼロであることを示しています。よってキルヒホッフの電流則の証明が出来ました。

4.1.2 キルヒホッフの電圧則

次にキルヒホッフの電圧則について説明を行います。この法則は、電流則と対を成すものではありますが、全く独立した法則です。キルヒホッフの電圧則は、次のように与えられています。

定理 2（キルヒホッフの電圧則）任意の集中定数回路網において任意の閉路を通ったとき、閉路上に持つ電圧の代数和は、いかなる時点においてもゼロである。

<証明>

回路網の中で任意の閉路を考えます。この閉路は、磁束と交叉しないような閉路であるとします。相互インダクタンスがある場合は、インダクタンスを定義する閉路とは別に考える必要があります。ここでは相互インダクタンスの場合については、考えないことにします。

図 4.2 電圧則を求めるための図

次のファラデーの法則を考えます。∫Edl+

ddt

∫Bnds = 0 (4.6)

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閉路の決め方により、上の式の左辺第２項はゼロとなりますから∫Edl = 0 (4.7)

が得られます。この式は一つの閉路に従って電界と経路を掛け合わせた値（電圧）の代数和は、ゼロであることを示しています。よってキルヒホッフの電圧則が得られました。

証明終わり

カットセット次にキルヒホッフの法則の派生である、カットセットについて述べておき

ます。図 4.3に、カットセットを説明するための図を載せておきます。カットセットに関して、次の法則が成り立ちます。

カットセットを通過する電流の代数和は、ゼロである。

図 4.3のようなグラフがあった場合、破線ａ、ｂ等を通る電流の代数和は、各々ゼロとなります。この法則は、例えばこの場合、図 4.3の破線の左にあるＡ，Ｂ点を一緒にして図 4.4のように書き直してみますと電流則が適用でき、定理がなりたつことが分かるでしょう。

図 4.3 カットセット図 4.4 書き直した図

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4.1 キルヒホッフの法則 69

このカットセットに対応するのがタイセットというものですが、本著ではこれについては用いませんので、これ以上詳しくは述べません。

例題１次の図 4.5（ａ）（ｂ）の破線で囲まれた回路についてキルヒホッフの電流則を用いて、方程式を書き出して下さい。

図 4.5 例題１の図

<解答>

定理 1にあるように電流の代数和ですが、矢印の向きに気を付けなければなりません。そうしますと（ａ）の場合には、次のような式となります。

−i1 − i2 + i3 + i4 = 0

（ｂ）の場合には、破線の中に二つの節点がありますが、節点がいくつあっても同じことで、破線に入り込む電流をプラスとしますと、求める式は次のようになります。

i1 + i2 + i3 − i4 − i5 = 0

例題２次の図の中で矢印で示す閉じたループに対して、キルヒホッフの電圧則

(定理 2)を適用して式を導いて下さい。

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図 4.6 例題２の図

<解答>

　この場合も代数和であることを注意して

v2 − v4 + v5 − v6 = 0

4.2 直列・並列接続第 2 章によりますと、電圧と電流の関係は、次の式で表すことが出来ました。

v = Zi (4.8)

ここで Z は、インピーダンスを示しています。注意しなければならない点としまして、この電圧・電流の関係式は、全ての場合において成立するわけではありません。当然成立しない場合も多数あります。勿論非線形な特性を持つ素子に対しては、成立しないことに注意する必要があります。電圧・電流の関係式が与えている電圧と電流とが比例すると言うこの簡潔な形式は、電気回路の中に様々な形で現れます。よってここで取り扱う問題

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4.2 直列・並列接続 71

によって得られた形式は、そのほかの場合に対しても同じ形で現れてくるため、得られた結果は様々な所で役に立ちます。電圧・電流の関係式は、回路に適用した場合行列を用いて表現することも出来ます。しかし行列を用いた式は、本書の程度を越えていることと回路設計の実際問題においてはほとんど使われないので、詳しい説明は省略します。行列を用いた応用としまして、回路シミュレータのアルゴリズム作成などがあります。以上より電圧・電流の関係式は、インピーダンスという概念（行列式も含め）を用いることにより抵抗以外の素子に対しても、その素子が線形動作をする限り成立する形式であり、電圧・電流の関係式から得られる様々な規則は、広い汎用性を持っています。ここでは、電圧・電流の関係式として、以上述べたような性質を持った素子について考えていきます。次に Z として抵抗、容量、コイルの直列接続、並列接続について考えます。

4.2.1 抵抗の場合

直列接続次の図 4.7のように抵抗が直列に接続された場合を考え、そこに電圧が印可されているとしてみます。

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図 4.7 直列接続

各々の抵抗の両端に生じる電圧を v1 , v2 としますと、次の式が成立します。

v = v1 + v2 (4.9)v1 = r1i (4.10)v2 = r2i (4.11)

(4.10)(4.11)式を (4.9)式に代入しますと

v = (r1 + r2)i (4.12)

ここで

Rs = r1 + r2 (4.13)

としますと、(4.12)式は

v = Rsi (4.14)

この式から二つの抵抗を直列に接続した場合の全体の抵抗は、二つの抵抗値を加え合わせた値に等しいことが分かります。　 (4.10)(4.11)式と (4.12)

式を用いて電流を消去しますと、各々の抵抗端での電圧を全電圧によって表

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現される式が得られます。

v1 =r1

r1 + r2v (4.15)

v2 =r2

r1 + r2v (4.16)

二つの抵抗には同じ電流が流れますので、抵抗が消費する電力は各々

p1 = v1i =r1

(r1 + r2)2 v2 = r1i2 (4.17)

p2 = v2i =r2

(r1 + r2)2 v2 = r2i2 (4.18)

と与えられます。ここでは電源から供給される電力です。この式によって、各々の抵抗で消費される電力が求められます。

並列接続次に二つの抵抗が並列に接続されている場合について考えることにします。次の図 4.8を参照。

図 4.8 並列接続

この場合には二つの抵抗には同じ電圧が掛かります。電流については、各々の抵抗に流れる電流を図 4.8 のように取りますと、、電圧・電流の関係

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式から次式が成立します。

v = i1r1 (4.19)v = i2r2 (4.20)

また電流には、次の関係式が存在しますので（キルヒホッフの電流則）

i = i1 + i2 (4.21)

この式に (4.19)(4.20)式を代入して

i =vr1

+vr2

(4.22)

この式を変形しますと

v =r1r2

r1 + r2i (4.23)

よって全体の抵抗は、

Rp =r1r2

r1 + r2(4.24)

与えられ、また (4.23) 式を (4.19) (4.20) 式に代入して電圧を消去しますと、各々の電流を与える式が得られます。

i1 =r2

r1 + r2i (4.25)

i2 =r2

r1 + r2i (4.26)

参考までに

g1 = 1/r1 (4.27)g2 = 1/r2 (4.28)

としますと (4.19)(4.20)(4.23) (4.24)式は、次の形で与えられます。

i1 = g1v (4.29)i2 = g2v (4.30)i = (g1 +g2)v (4.31)

Gp =1

Rp=

1r1

+1r2

(4.32)

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次に、各々の抵抗で消費される電力を考えます。(4.25)(4.26) 式を用いますと

p1 =r2

r1 + r2vi = g1v2 (4.33)

p2 =r1

r1 + r2vi = g2v2 (4.34)

と与えられることになります。

例題次の回路の合成抵抗を求めて下さい。ただし抵抗値は、全て Rとします。

図 4.9 例題３の図

<解答>

この場合の合成抵抗は、抵抗値がすべて Rですので、次のようになります。

2R×R2R+R

=23

R

コンダクタンスコンダクタンスとは、抵抗の逆数で、通常 Gという記号を用います。当然次の式が成立します。

i = Gv

この結果直列および並列の式は、次のように与えられることになります。

G =G1G2

G1 ∗G2(4.35)

G = G1 +G2 (4.36)

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この式をみて分かりますように、式の形が抵抗の場合の式が入れ替わった形となっています。この二つの式の形は、回路の理論において重要ですので良く理解しておくことが必要です。

4.2.2 容量の場合

容量の場合、(2.16)式を改めて書きますと

q =C(va − vb) (4.37)

この式を見ますと、抵抗と同じ様な形となっていることが分かります。そこで抵抗と同じように、容量が直列に接続された場合、並列に接続された場合について考えてみることにします。

容量についても、抵抗の場合と同じように考えることによって得られますが、この場合には電流の代わりに電荷を考えますと、比較的簡単に得られます。結果についてのみ、述べておきます。

直列接続容量に関する直列接続には、根本的な大問題が存在します。それは直列に接続された容量の中間地点の端子は、フローティングになっていることです。つまりこのノードでの電圧は、決まらないということです。このノードに存在する電荷は、近くに何らかの電位をもった物質が近づくだけで変化します。その結果この後に示す理論は、現実には実現することが出来ません。つまり導き出したすべての結果は、嘘というほどではありませんが、実現不可能なのですから嘘に近い結果ということです。容量の場合、電圧・電流の関係式に相当する式としては (4.37)式となりま

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すが、枝電圧を用いて改めて書きますと

q =Cv (4.38)

ここで電圧は、容量の中でプラスの電荷側の電圧からマイナスの電荷側の電圧を差し引くことによって与えられることに注意する必要があります。図 4.10のような直列接続を考えます。

図 4.10 直列接続図 4.11 一つにまとめた場合

抵抗の場合と違って、上の接続を行う前の状態が問題になります。この場合電源を接続する前に二つの容量には、何も電荷が蓄積されていないと仮定します。そうしますと接続後のC1 の電荷を q1、C2 の電荷を q2 としますと、次の関係式が成立します。

q1 =C1V1 (4.39)q2 =C2V2 (4.40)

また C1 と C2 とを上の図 4.11のように、一つの容量 Cで置き換えたとしますと

q =CV (4.41)

となります。キルヒホッフの法則から、次式が成立します。

V =V1 +V2 (4.42)

また電荷は、消滅も生成もすることはありませんので

q = q1 = q2 (4.43)

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が成立します。(4.39)(4.40)(4.41)式を (4.42)式へ代入して、電圧を消去しますと

qC

=q1

C1+

q2

C2

ここで (4.43)式を用いますと、次の結論が得られます。

1C

=1

C1+

1C2

あるいは

C =C1C2

C1 +C2(4.44)

V1 , V2 の値は (4.40)式と (4.42)式より V2 を消去して

V1 =V − q2

C2

さらに (4.41)式と (4.43)式を用いて q2 を消去し、(4.44)式を用いて Cを消去しますと

V1 =C2

C1 +C2V (4.45)

V2 についても、同様に求めることができます。

V2 =C1

C1 +C2V (4.46)

また電力は、電磁気学の結果から (1/2)CV 2 と与えられますので

p1 =12

C1V 21 (4.47)

p2 =12

C2V 22 (4.48)

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並列接続　図 4.12のような並列接続を考えます。

図 4.12 並列接続図 4.13 一つにまとめた場合

この場合についても、電源が接続される前には容量の中に電荷は存在していないとします。そうしますと、次の式が成立します。

q1 =C1V (4.49)q2 =C2V (4.50)

一つの容量で表した場合、図 4.13の容量に蓄えられている電荷を qとしますと

q =CV (4.51)

この場合 q = q1 +q2 ですので、(4.49)(4.50)式と (4.51)式を用いますと

CV =C1V +C2V

よって

C =C1 +C2 (4.52)

が得られます。以上より、容量の場合は (4.44)(4.52)式より、抵抗とは逆のコンダクタンスのように取り扱うことができるということを意味しています。

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電荷の蓄積がある場合容量C1 に電荷 q0 があらかじめ蓄積され、そこに何の電荷も蓄積されていない容量 C2 が並列に接続される場合を考えます。過渡応答は考えずに、最初の状態と十分に時間が経過した後との比較を考えます。そのときの電圧をV としますと、次の式が成り立ちます。

q0 =C1V

図 4.14 並列接続（電荷が存在する場合）

まず二つの容量が別々に存在する場合のエネルギーは、

p1 =12

C1V 21 =

q20

2C1(4.53)

と与えられます。次に図 4.14 の二つの容量が並列に接続され、十分に時間が経過した後を考えます。このとき、次の方程式が成立します。

q1 =C1V (4.54)q2 =C2V (4.55)

ここでq1：時間が経過した後の容量 C1 に蓄積されている電荷q2：時間が経過した後の容量 C2 に蓄積されている電荷

電荷は消滅あるいは、生成されることはありませんので

q0 = q1 +q2 (4.56)

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(4.54)(4.55)式を (4.56)式へ代入して、q1 , q2 を消去しますと

q0 = (C1 +C2)V

これから次の値の電圧が得られます。

V =q0

C1 +C2(4.57)

よって二つの容量に蓄積されるエネルギーは、

p =12(C1 +C2)V 2 =

q20

2(C1 +C2)(4.58)

(4.53)式と (4.57)式を比較しますと、容量を接続することによってエネルギーが減少していることが分かります。これは二つの容量を接続することによって、「全体のエネルギーは、低い状態へ移動する」という自然法則によって生じる現象です。

例題次の回路の合成容量を求めて下さい。

図 4.15 (a)図 4.16 (b)

<解答>

容量の場合には抵抗の直列、並列との関係が逆になりますので

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（ａ）の場合

　 C1(C2 +C3)

C1 +C2 +C3

（ｂ）の場合

　 (C3//C4 +C2)//C1 =[C3C4 +C2(C3 +C4)]C1

C1 +C2 +C3

4.2.3 コイルの場合

コイルの場合には、磁束について考えるのは難しいので、(2.22)式から枝電圧を vとして、次の式が成立します。

v = Ldidt

(4.59)

この式を使えばコイルの直列と並列については、抵抗と同じように考えることが出来ます。結果を述べておきますと

直列接続

Ls = L1 +L2 (4.60)

並列接続コイルに関する並列接続には、根本的な大問題が存在します。それは並列

に接続されたコイル間には閉路電流が流れることが有りうることです。この電流は、外部に流れ出すことはありませんので回路全体に影響を与えません。この電流は、近くに何らかの電位をもった物質が存在すると流れ始めます。その結果この後に示す理論は、現実には実現することが出来ません。つま

り導き出したすべての結果は、嘘というほどではありませんが、実現不可能なのですから嘘に近い結果ということです。

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4.3 重ね合わせの原理 83

Lp =L1L2

L1 +L2(4.61)

(4.60)(4.61) 式から分かりますように、コイルの場合には抵抗の場合と同じように計算することができることが分かります。

4.3 重ね合わせの原理　次に素子が線形である場合についての定理を、述べることとします。線

形とは、次の式が成立することです。

f (ax+by) = a f (x)+b f (y) (4.62)

電気回路においては、(4.62) 式の x , y は、電圧あるいは電流を示しています。

(4.62)式より、次のことが証明されます。この定理の中（これから出てくる各種定理についても同じです）に電源を殺すという言葉が出てきます。これは電源をゼロにする（電流源の場合には、i = 0すなわち電流源を開放状態、電圧源の場合には v = 0すなわち電圧源を短絡で置き換える）と言う意味の言葉です。

定理 3（重ね合わせの原理）回路中に電圧源 v1 , v2 , . . .電流源 i1 , i2 , . . .

があるとき回路中の任意の点の電圧、電流は各電源が一つのみ存在すると仮定したとき、つまりそのほかの電源を殺してその点に発生する電圧、電流を求めます。次に別の電源の一つによって発生する電圧、電流を求めます。この様にして各電圧源、電流源によって発生する電圧、電流の代数和を求めますと、全ての電圧源、電流源によって生じる電圧、電流の値と同じになります。

この証明は、簡単です。x1 , x2 , . . .y1 , y2 , . . .を各々電圧源、電流源とし

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ますと、ある任意の電圧または電流は

F = f (a1x1 +a2x2 + . . .+b1y1 +b2y2 + . . .)

で与えられます。線形な回路である場合、この式は (4.62)式を用いて

F = a1 f (x)1 +a2 f (x2)+ . . .+b1 f (y1)+b2 f (y2)+ . . . (4.63)

となります。

f1 = a1 f (x)1 , f2 = a2 f (x2) , . . . , g1 = b1 f (y1) , b2 f (y2) , . . .

としますと、(4.63)式は

F = f1 + f2 + . . .+g1 +g2 + . . .

この式が意味していることは、関数は (4.63) 式の右辺で与えられた各項の値を加え合わせることで、全体の値を表現できることを意味しています。よって重ね合わせの原理が成立することとなります。

証明終わり

例題次の回路で、抵抗に流れる電流Ｉを重ね合わせの原理を用いて求めて下さい。

図 4.17 例題５－１の図図 4.18 例題５－２の図

<解答>

重ね合わせの原理を用いると、直ちに次の答が得られます。

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4.4 テブナンの定理、ノートンの定理 85

（ａ）の場合

I = I1 + I2 + I3

（ｂ）の場合

I =V1

R1 +RL+

R1I1

R1 +RL

4.4 テブナンの定理、ノートンの定理次にテブナンの定理、ノートンの定理について述べることとします。これ

は 1883年フランスのテブナンにより発表された定理であり、その電流版ともいえるノートンの定理は、ベル研究所のノートンにより発表されたものです。これらの定理の厳密な表現は少々ややこしいので、一般的に次の簡単な定

理として述べられています。初心者にとってもこちらの方が理解しやすいので、簡単な方の定理を述べておきます。

定理 4 簡単なテブナンの定理任意の回路をある端子から見たとき、その端子を開放状態にしたときに現れる電圧の値を持つ電源を電圧源とし、その電圧源と回路の中の電源を全て殺したとき、端子間から見たインピーダンスの値を持つインピーダンスとを直列に接続した回路によって表現することが出来ます。

定理 5 簡単なノートンの定理任意の回路をある端子から見たとき、その端子を短絡状態にしたときに流れる電流の値を持つ電源を電流源とし、その電流源と回路の中の電源を全て殺したとき、端子間から見たアドミタンスの値を持つコンダクタンスとを並列に接続した回路によって表現することが出来ます。

これらの定理についての証明は、省略します。

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4.5 テレゲン (Tellegen)の定理　テレゲンの定理は電気回路の理論において汎用的な定理であり、集中

定数素子であれば非線型素子であろうと能動素子であろうと時変素子であろうとも成立する重要な定理です。テレゲンの定理は、次のように述べられています。

定理 6（テレゲン (Tellegen)の定理）任意のキルヒホッフの電圧則、キルヒホッフの電流則を満足する回路において枝電圧を vk、枝電流を ik としますと、次の関係式が成立します。

∑vkik = 0 (4.64)

ただし和は総ての枝について取るとします。

<証明>

次の図 4.19のような枝を考えます。

図 4.19 テレゲンの定理の説明図

ここで eA , eB は、あるノードを基準にしたときのノード電圧です。このとき次の関係式が成り立ちます。

vkik = (eA − eB)iAB (4.65)

また電流の方向を考えますと、次の式が成立します。

vkik = (eB − eA)iAB (4.66)

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4.5 テレゲン (Tellegen)の定理 87

(4.64)(4.66)式を加えますと、

vkik =12[(eA − eB)iAB +(eB − eA)iBA] (4.67)

が得られます。この (4.67)式を総ての枝について加え合わせますと、

∑vkik =12 ∑∑(eA − eB)iAB (4.68)

右辺の加算は A、B各々について総ての枝について加え合わせます。この(4.68)式は、次のように変形できます。

∑vkik =12 ∑

A=1eA

(∑

B=1iAB

)− 1

2 ∑B=1

eB

(∑

A=1iAB

)(4.69)

右辺の括弧の中は、各々ノード A、ノード Bについての総ての電流を表していますので、キルヒホッフの電流則からゼロとなります。

証明終わり

定理 7（テレゲンの定理の系）二つの回路網 N、N’があるとき、これらの回路網グラフが同一であるとします。この二つの回路において同じ電圧、電流の向きを考えます。回路網 Nの枝電圧、枝電流を各々 vk , ik とするならば、次の式が成立します。

∑ vkik = ∑vk ik = 0 (4.70)

<証明>

ここでは簡略に行列式を用いて証明します。各々の回路において、次の式が成り立ちます。ここで行列 Aは、規約節点接続行列と呼ばれます。

VB = AT VN , AIB = 0V′

B = AT V′N , AI′B = 0

ここでT：転置行列であることを示しています。

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VB：回路網Ｎの枝電圧行列V′

B：回路網Ｎ’の枝電圧行列VN：回路網Ｎの節点電圧行列V′

B：回路網Ｎ’の節点電圧行列IB：回路網Ｎの枝電流行列I′B：回路網Ｎ’の枝電流行列

これらの式から

VTBI′B = (AT VN)

T I′B = VTNAI′B = 0

VTBIB = (AT V′

N)T IB = VT

NAIB = 0

証明終わり

例題次の回路において、テレゲンの定理が成立することを示して下さい。

図 4.20 例題７の図

見やすくするため、回路図 4.20をグラフで表示します。

図 4.21 グラフ

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4.6 補償定理 89

電圧の場合は矢印の頭の部分をプラス、電流は矢印のように流れるとします。そうするとキルヒホッフの電圧則から

v1 − v2 = 0v2 + v5 − v3 − v6 = 0

v5 − v4 = 0

キルヒホッフの電流則から

i1 + i2 − i5 = 0i3 + i4 + i5 = 0i1 + i2 + i6 = 0

上の六つの式を用いて、

v2 = v1

v4 = v5

v6 = v1 − v3 + v5

i4 =−(i1 + i2 + i3)

i5 = i1 + i2i6 =−(i1 + i2)

以上から電力を計算しますと、

∑vkik = v1i1 + v1i2 + v3i3 − v3(i1 + i2 + i3)+ v5(i1 + i2)

− (v1 − v3 + v5)(i1 + i2)

= v1(i1 + i2 − i1 − i2)+ v3(i3 − i1 − i2 − i3 + i1 + i2)

+ v5(i1 + i2 − i1 − i2) = 0

となりテレゲンの定理が成立している。

4.6 補償定理　この定理は今まで出てきた定理ほど用いられることはありませんが、知っておくと役に立つ定理ですので、簡単に説明しておきます。

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定理 8（補償定理）電流 I が流れている枝に、インピーダンス Z を挿入するとき、挿入によって生じる回路中の電圧、電流の変化分は、回路中の電源を全て殺して、Z に直列に電圧源 ZI を I と逆向きに加える場合の電圧、電流に等しい。

<証明>

次の図 4.22を考えます。回路網 N0 の任意の枝に電流 I0 が流れているとします。図 4.22（ａ）、次に I0 の電流が流れている枝に図 4.22（ｂ）のようにインピーダンス Z を挿入し、さらに ZI0 の電圧源を接続します。

図 4.22 補償定理の説明図

図 4.22の（ａ）と（ｂ）とを考えますと、回路 N0 についてはどちらも同じ状態となります。なぜならば回路 N0 には共に同じ電流が流れ出しているからです。次に図 4.22（ｃ）のように回路図 N0 の全ての電源を殺し、電源ZI0 を図 4.22（ｂ）とは逆向きに挿入した回路を考えます。回路（ｂ）と回路（ｃ）とを重ね合わせますと、回路（ｄ）が得られます。回路（ｄ）はインピーダンス Z を挿入した回路であるので、その回路の中の電圧、電流の変化分は回路（ｃ）によって与えられることになります。

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4.6 補償定理 91

証明終わり

例題８次の回路において、Rの値を 100 [Ω]から 300 [Ω]へ変化させたとします。そのとき I , V の値はいくら変化するか求めて下さい。

図 4.23 例題８の図

<解答>

抵抗の値が 100 [Ω] から 300 [Ω] へ変化するということは、100 [Ω] の抵抗に更に 200 [Ω] の抵抗が付加されたということと同じです。抵抗の値が100 [Ω] のときには、電源から見た抵抗は 70 [Ω] ですので 0.1 [A] の電流が流れます。このうち 0.05 [A]が、Rに流れていた電流です。補償定理より 200 [Ω]の抵抗が追加されたので 200×0.05 = 10 [V ]の電源

が逆向きに加わったことと同じですから、変化分を表す回路は次のようになります。

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図 4.24 補償定理の説明図

よって電流は逆向きに 10/200 = 0.05 [A]、電圧は逆向きに 10× 125200 =

6.25 [V ]となります。

4.7 相反定理　帰還素子を持つ能動素子を含む場合には成立しませんが、受動素子の

場合には成立する定理について延べます。内部に電源を含まず、抵抗、コイル、容量、変成器のみを含む回路において、次の図 4.25に示すように二つの端子対を付け加えます。

図 4.25 相反定理の説明図

このとき、次の三つの定理が成立します。

定理 9（相反定理１） A－ A’間に電圧源 v0 を入れたとき、B－ B’間を短絡したときに流れる電流を ib、逆に B － B’ 間に電圧源 v0 を入れたとき、

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4.7 相反定理 93

A－ A’間に流れる電流を ia とするならば、次の式が成立します。

ia = ib (4.71)

定理 10（相反定理２） A － A’ 間に電流源 i0 を入れたとき、B － B’ 間に現れる電圧を vb、逆に B－ B’間に電流源を入れたとき、A－ A’間に現れる電圧を i0 とするならば、次の式が成立します。

va = vb (4.72)

定理 11（相反定理３） A － A’ 間に電流源 i0 を入れたとき、B － B’ 間を短絡したときに流れる電流を ib、逆に B－ B’間に電圧源 v0 を入れたとき、A－ A’間に現れる電圧を va とするならば、次の式が成立します。

va = ib (4.73)

<証明>

元の回路の枝の数を bとし、付け加えた枝を各々 A、Bとしますと、全部で枝の数は b+2となります。ここで開放の端子の場合については、無限大のインピーダンスが接続されていると考えています。枝 A側に電源が接続され、枝 B側で観測されるとした場合各枝の電圧、電流をラプラス変換して次のように表します。

VA , VB , V1 , V2 , . . . , Vb (4.74)IA , IB , I1 , I2 , . . . , Ib (4.75)

同様に今度は枝 B側に電源が接続され、枝 A側で観測されるとした場合、各枝の電圧、電流をラプラス変換して次のように表します。

VA , VB , V1 , V2 , . . . , Vb (4.76)IA , IB , I1 , I2 , . . . , Ib (4.77)

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(4.74)(4.75)(4.76) (4.77)式の各々にテレゲンの定理を適用しますと

VAIA +VBIB +b

∑1

Vk Ik = 0 (4.78)

VAIA +VBIB +b

∑1

VkIk = 0 (4.79)

ここで元の回路での各枝のインピーダンスを Zk としますと

Vk Ik = (ZkIk)Ik = Ik(Zk Ik) = VkIk (4.80)

が成立しますので、(4.78)(4.79)式から、次の式が得られます。

VA IA +VBIB = VAIA +VBIB (4.81)

(4.80)式は変成器が含まれている場合についても、二つの電圧と電流を考えると同様にして証明することが出来ます。(4.81)式を用いて相反定理が証明されます。つまり (4.81)式において、各々次のように置けば定理そのものとなります。

定理 9の場合定理 10の場合定理 11の場合条件 VA =V0 , VB = 0 IA =−I0 , I=0 IA =−I0 , VB = 0

VA = 0 , VB =V0 IA = 0 , IB =−I0 IA = 0 , VB =V0

結論 IA = IB VA =VB VA = IB

ただし　 V0 , I0 : v0 , i0 のラプラス変換

表 4.1 テレゲンの定理

元の回路を四端子パラメータとして考えますと定理 9、定理 10、定理 11

の各々の場合について、次の関係式が得られます。

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4.7 相反定理 95

定理 9の場合定理 10の場合定理 11の場合Y12 =

IBV0

Z12 =VAI0

HV = VAV0

Y21 =IAV0

Z21 =VBI0

HI =IBI0

ただし　 V0 , I0 : v0 , i0 のラプラス変換

表 4.2 テレゲンの関係式

これらの関係式から、次の結論が得られます。

Y12 = Y21 , Z12 = Z21 , HV = HI (4.82)

証明終わり

例題次の回路のおいて v1 = v2 であることを証明して下さい。

図 4.26 例題９の図

<解答>

R1 の両端と R2 の両端とに端子をつけたと考えますと、相反定理の定理 10

より v1 = v2 であることが分かります。

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4.8 固有周波数　固有周波数とは、回路の中に独立電源がなくても回路の中に流れうる信

号が示す周波数のことです。つまり過去の励振によって、電源が取り除かれた後でも存在しうる解です。この周波数は、次のようにして求められます。

1. 回路方程式より求める。電源を含まない回路の行列は、従属変数行列を用いて次のように表現することが出来ます。

AX = 0 (4.83)

上述の式が成り立つためには、Xが解を持つとしますと、

|A|= 0 (4.84)

でなければなりません。この式から、固有周波数が求められます。2. 半田付け入力のアドミタンスをゼロとして求める任意の入力端子間に電圧源を接続します。（半田付け入力）ただしその端子に接続された電圧源の電圧は、半田付け前に生じている端子に現れていた電圧と同じであるとします。そのとき電圧源には、何の電流も流れません。つまり半田付け入力からみたアドミタンスはゼロです。よって任意の入力端からみたアドミタンスをゼロと置くことによって、固有周波数を求めることが出来ます。

3. ペンチ入力のインピーダンスをゼロとして求める任意のブランチを切断して（ペンチ入力）そこに電流源を挿入します。ｂ）の場合と同じように、ただしこの場合電流をペンチ入力する以前に流れていた電流と同じにすれば、電流源の両端には電圧は生じません。つまりペンチ入力からみたインピーダンスはゼロです。よっ

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4.8 固有周波数 97

て任意のブランチでのペンチ入力でのインピーダンスをゼロと置くことによって、固有周波数を求めることが出来ます。

4. 伝達比によって求める（その１）半田付け入力と同じ状態を考えます。ただし電圧源は元の半田付け入力と同じ電圧ではなく任意とします。この状態でそのほかの任意の点での電圧または電流と電圧源の持つ電流との比を考えますと、伝達比を得ることが出来ます。この比において電圧源が持っている周波数を固有周波数に近づけますと、この比は無限大に近づかなければなりません。これは電圧源が接続された端子に元々生じている電圧と同じ励振をするならば、電圧源から流れ出す電流はゼロであることによります。以上より半田付け入力から任意の端子までの伝達比を無限大とすることによって、固有周波数を求めることが出来ます。

5. 伝達比によって求める（その２）ペンチ入力を考え、上と同じように任意の点の電圧または電流とペンチ入力での電流源の電圧との比を考えます。この場合も電流源が持つ周波数を固有周波数に近づけると無限大とならなければならなりません。この場合も電流源の電流が元々枝に流れていた電流と同じ時間励振をしているならば、電流源の両端の電圧はゼロであることによります。この関係から固有周波数が求められる。*1

例題今までの説明ではなかなか分かり難いと思われますので、以上の結論を図

4.27のブロック図に適用してみましょう。

*1 以上で注意しなければならないことは、半田付け入力の場合は電圧源を、ペンチ入力の場合は電流源を使わなければならないということです。

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図 4.27 固有周波数を求める図

Z11 , Z12 , Z21 , Z22 , ZS , ZL は、複素数の関数であるとします。まず次の式が成立します。

V1 = Z11I1 +Z12I2 (4.85)V2 = Z21I1 +Z22I2 (4.86)

V1 =−ZSI1 (4.87)V2 =−ZLI2 (4.88)

1. 行列式より求める(4.85)(4.86)(4.87)(4.88)式より次の行列式が得られます。

[V1 V2 V3 V4

]1 0 1 00 1 0 1

−Z11 −Z21 −ZS 0−Z12 −Z22 0 ZL

= 0

よって 1 0 1 00 1 0 1

−Z11 −Z21 −ZS 0−Z12 −Z22 0 ZL

= 0

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4.8 固有周波数 99

を解かねばなりません。１行目に関して展開しますと、 1 0 1−Z21 −ZS 0−Z22 0 ZL

− 0 0 1

−Z11 −ZS 0−Z12 0 ZL

+

0 1 1−Z11 −Z21 0−Z12 −Z22 ZL

− 0 1 0

−Z11 −Z21 −ZS−Z12 −Z22 0

= 0

これを整理すると、次のようになります。

(ZS +Z11)(ZL +Z22)−Z12Z21 = 0 (4.89)

2. 半田付け入力の場合ZS の両端をはんだ付け入力とします。アドミタンスは ZS の両端で考えますと、

Y =1ZS

+1

Z11 − Z12Z21Z22+ZL

これをゼロと置きますと、

(ZS +Z11)(ZL +Z22)−Z12Z21 = 0 (4.90)

3. ZL の両端をはんだ付け入力とする。ZL の両端でのアドミタンスを考えますと、

Y =1

ZL+

I2

V2=

1ZL

+1

Z22 − Z12Z21Z11+ZS

これをゼロと置いて式を変形しますと、

(ZS +Z11)(ZL +Z22)−Z12Z21 = 0 (4.91)

4. ペンチ入力の場合 ZS に直列に電源を挿入する。このときとインピーダンスは、

ZS =+V1

I1= ZS +Z11 −

Z12Z21

Z11 +ZS

main (2015-06-25 11:27)



(ZS +Z11)(ZL +Z22)−Z12Z21 = 0 (4.92)

5. ペンチ入力でに直列に電源を挿入するペンチ入力でのインピーダンスは、

Z = ZL =+V2

I2= ZL +Z22 −

Z12Z21

Z11 +ZS


(ZS +Z11)(ZL +Z22)−Z12Z21 = 0 (4.93)

6. ZS に並列に単位 1 の電圧源を接続するこれは図 4.27 で V1 = 1 となることを示しています。そうすると電源より流れ出す電流 I0 は、

I0 =1ZS

+ I1

(4.85)(4.86)(4.88)式より

1 = Z11I1 +Z12I2

V2 = Z21I1 +Z22I2

V2 =−ZLI2

上の三つの式より、

I1 =Z22 +ZL

Z11

1Z22 +ZL − Z12Z21

Z11

I2 =Z21

Z11

1Z12Z21

Z11− (Z22 +ZL)

V2 =−ZLZ21

Z11

1Z12Z21

Z11− (Z22 +ZL)

I0 の式より I2/I0 を求めて多少の計算を行いますと、

I2

I0=

Z21ZS

−(ZS +Z11)(ZL +Z22)+Z12Z21

main (2015-06-25 11:27)

4.8 固有周波数 101

上の式が無限大となるには、次式が成立すれば良いことになります。

(ZS +Z11)(ZL +Z22)−Z12Z21 = 0 (4.94)

7. 上の式を用いてを求めて V2/I0 計算しますと

VL

I0=

ZSZLZ21

(ZS +Z11)(ZL +Z22)−Z12Z21

この式が無限大となるためには、次式が成立すれば良いことになります。

(ZS +Z11)(ZL +Z22)−Z12Z21 = 0 (4.95)

(4.89)(4.90)(4.91) (4.92)(4.93)(4.94)(4.95)式を比べてみますと、全て同じ式となっていることに注意して下さい。以上よりいずれの方法を用いても、同じ固有周波数が得られることが分かりました。

例題次の回路の固有周波数を求めて下さい。

図 4.28 例題 11の図

L1 , L2 , Cによって構成される回路の Z 行列を求めますと　

main (2015-06-25 11:27)


固有周波数を求める式を用いますと、

(RS + jωL1 +1/ jωC)(RL + jωL2 +1/ jωC)− (1/ jωC)2 = 0

この方程式を解きますと、次の二つの式が得られます。

ω2C′L1RL +L2RS)− (Rs +RL) = 0

ω2(C2RsRL +CL1 +CL2)−ω4C2L1L2 = 0

この式から、固有周波数は

ω =

√RS +RL

C(L1RL +L2RS)

ω =

√CRSRL +L1 +L2

CL1L2

と与えられます。

例題次の回路をテブナンの等価回路で置き換えた場合のインピーダンス Z と、

電圧源 V の値を求めて下さい。ただし Rは抵抗、Gはコンダクタンスとします。

図 4.29 例題６の図

<解答>

main (2015-06-25 11:27)

4.8 固有周波数 103

（ａ）の場合電圧源とコンダクタンスの直列で構成されている回路を、ノートンの等価回路で置き換えますと、次の図 4.30のようになります。

図 4.30 ノートンの等価回路

よってこの回路は、図 4.31のようになります。

図 4.31 等価回路

この回路をテブナンの等価回路へ変更しますと、インピーダンスは

Z =1

G1 +G2 +G3

電圧源の値は、次のようになります。

V =G1V1 +G2V2 +G3V3

G1 +G2 +G3

（ｂ）の場合まずインピーダンスを求めます。電圧源は短絡、電流源は開放とすれば、次の回路が得られます。

main (2015-06-25 11:27)


図 4.32 テブナンの等価回路

よって Z = R1//R2//R3 次に電圧を求めるのですが、重ね合わせの原理を用いて、目視により次のようになります。

V =R2//R3

R1 +R2//R3V1 +

I11

R1+ 1

R2+ 1

R3

+R3V2

R3 +R1//R2

main (2015-06-25 11:27)

4.9 問題 105

4.9 問題問題１図 4.33 においてＡ点についてキルヒホッフの電流則を適用しますと、どの様な式が得られるか求めて下さい。ただし電流は図に与えられている記号を用いること、またＢ、Ｃ点ではどの様な式が与えられるか求めて下さい。

図 4.33 問題１の図

問題２図 4.34 において閉路Ａに対してキルヒホッフの電圧則を適用しますと、どの様な式が得られるか求めて下さい。ただし電流は図に与えられている記号を用いること、また閉路Ｂ、Ｃではどの様な式が与えられるか求めて下さい。

main (2015-06-25 11:27)


図 4.34 問題２の図

問題３図 4.35 において A － A’ 点から見た抵抗を求めて下さい。ただし使用し

ている抵抗は、すべて 1 [Ω]とします。

図 4.35 問題３の図

問題４次の図 4.36において 1 [Omega]の抵抗に 1 [A]の電流を流すために必要な

入力電流、入力電圧を求めて下さい。

main (2015-06-25 11:27)

4.9 問題 107

図 4.36 問題４の図

問題５次の回路を、テブナンの等価回路で表して下さい。

図 4.37 問題５の図

問題６次の回路を、ノートンの等価回路で表して下さい。

main (2015-06-25 11:27)


図 4.38 問題６の図

問題７次の図に示す回路において抵抗の値を可変して、抵抗に流れ込む電力を最

大にするためには抵抗の値をいくらにすればよいでしょうか、またそのとき抵抗に流れ込む電力はいくらになるか求めて下さい。

図 4.39 問題７の図

main (2015-06-25 11:27)

109

第 5章

基本回路

この章では今まで記述してきた様々な定理を用いまして、実際の応用回路について適用しています。応用回路といっても他の著書においては、定理として記述しているものもあり、より広範囲に応用することが可能な回路です。

5.1 Ｙー変換このＹ－変換は非常に便利な変換であり、次の図 5.1に示します二つの

回路の間の変換についての式です。この変換は、その形からＴ－π変換とも呼ばれます。

main (2015-06-25 11:27)

110 第 5章基本回路

図 5.1 Ｙ－変換の説明図

これらの関係式を求めるため、図 5.1（ａ）のＺ行列を求めます。ここで小文字は四端子パラメータ、大文字は図 5.1 で用いられているパラメータです。

z11 =Z13(Z12 +Z23)

Z12 +Z23 +Z13(5.1)

z12 = z21 =Z13Z23

Z12 +Z23 +Z13(5.2)

z22 =Z23(Z12 +Z13)

Z12 +Z23 +Z13(5.3)

これらの z行列は、Y型行列で表現することが出来ます。次に上の三つの式を用いて、図 5.1（ｂ）の回路をＺ行列で表しますと、求める関係式Δ型からＹ型への変換式が得られます。

1Y1

= Z1 = z11 − z12 =Z12Z13

Z12 +Z23 +Z13(5.4)

1Y2

= Z2 = z22 − z12 =Z12Z23

Z12 +Z23 +Z13(5.5)

1Y3

= Z3 = z12 =Z13Z23

Z12 +Z23 +Z13(5.6)

main (2015-06-25 11:27)

5.1 Ｙー変換 111

同様にしてＹ型から型への変換については、

1Z13

= Y13 =Y1Y3

Y1 +Y2 +Y3(5.7)

1Z23

= Y23 =Y2Y3

Y1 +Y2 +Y3(5.8)

1Z12

= Y12 =Y1Y2

Y1 +Y2 +Y3(5.9)

以上の (5.4)～(5.9)式が、求めようとしていた方程式です。

例題次の図 5.3に示す回路のＹ行列を求めて下さい。

図 5.2 例題の回路図

＜解答＞ブロック図の下側のＴ型回路をπ型回路へ変換しますと、右のようなブロック図となります。

main (2015-06-25 11:27)


ただし

Y23 =Y2Y3

Y2 +Y3 +Y4

Y24 =Y2Y4

Y2 +Y3 +Y4

Y34 =Y3Y4

Y2 +Y3 +Y4

以上より求めるＹ行列は、[Y24 +

Y1Y23Y1+Y23

− Y1Y23Y1+Y23

− Y1Y23Y1+Y23

Y34 +Y1Y23

Y1+Y23

]

　

5.2 ブリッジ回路ブリッジ回路とは、次の形をした回路のことを言っています。

図 5.3 ブリッジ回路

回路図 5.4の AB端に電圧源を接続し、各網目に対して網目方程式を書き

main (2015-06-25 11:27)

5.2 ブリッジ回路 113

ますと

Z1i1 +Z2(i1 − i2)+Z3(i1 − i3) = 0Z2i2 +Z4(i2 − i3)+Z5(i2 − i1) = 0

V +Z3(i3 − i1)+Z4(i3 − i2) = 0

この方程式を解きますと、回路は Z5 の両端が同じ電圧であるための必要十分な条件は、次の関係式によって与えられます。

Z1Z4 = Z2Z3 (5.10)

この関係式を導くのは簡単ですので、証明は省略します。このブリッジ回路は、実に様々の所で応用されています。特に計測機器においては良く用いられ、それらの代表的なブリッジについて回路を示しておきます。

Wheatstone bridge

このブリッジはブリッジの中でもっとも簡単な構造であり、検流計を挿入して抵抗の値を測定するために用いられます。

図 5.4 Wheatstone bridge

main (2015-06-25 11:27)


R4 が未知である場合、(5.10)式から

R4 =R2R3

R1(5.11)

であるとき、検流計に電流が流れなくなります。

Wien bridge

このブリッジは周波数を測定したり、発振器において用いられたりしています。このブリッジの回路を、図 5.5に示しておきます。

図 5.5 Wien bridge

この場合の方程式は

(−R1ωC3/ jR3)(R4 − j/ωC4) = R2(R3 − j/ωC3)

この式を整理しますと

ωC4R1R4 − jR1 + jω2R1R3C3R4C4 +ωR1R3C3 = ωC4R2R3

main (2015-06-25 11:27)

5.2 ブリッジ回路 115

この式から、実数部、虚数部を等しいとしますと

f =1

2π

√1

R3R4C3C4(5.12)

C3

C4=

R2

R1− R4

R3(5.13)

この式を用いることによって、周波数の測定が行われます。

Maxwell bridge

このブリッジは、インダクタンスや容量を測定するために用いられます。回路を図 5.6に示しておきます。

図 5.6 Maxwell bridge

(5.10)式から、この場合には次の式が得られます。

− jR1/ωCR3(R1 − j/ωC)

=R2

R4 + jωC

式を展開しますとR1LC

− jR1R4

ωC= R1R2R3 − j

R2R3

ωC

main (2015-06-25 11:27)


以上の式から、次の関係がえられます。

R1LC

= R1R2R3

R1R4

ωC=

R2R3

ωC

この二つの式から、L , R4 が未知数である場合

L = R2R3C (5.14)

R4 =R2R3

R1(5.15)

C , R1 が未知数である場合

C =L

R2R3(5.16)

R1 =R2R3

R4(5.17)

となります。これらの式を用いることによって、インダクタンス、容量が求められます。

5.3 ツインＴツインＴとは、次の図に示すような回路のことを指しています。

図 5.7 ツインＴ

main (2015-06-25 11:27)

5.3 ツインＴ 117

Ｔ型回路が二つ組合わさった回路です。各々のＴ型回路から想像できるように、一方はハイパス・フィルタ、もう一方はローパス・フィルタとなっていますので、全体の特性は、それらを組み合わせた特性となります。この回路を次のようなπ型回路で表しますと

図 5.8 π型回路

ZA =

[R1 +

1jωC3

(R1+R2

R2

)][R3

(1/ jωC1+1/ jωC2

1/ jωC2

)+ 1

jωC1

][R1 +R3

(1/ jωC1+1/ jωC2

1/ jωC2

)]+[

1jωC1

+ 1jωC3

(R1+R2

R2

)] (5.18)

ZB =

[R1 +R2 − R1R2

jωC3

][1/ jωC1·1/ jωC2

R3+(

1jωC1

+ 1jωC2

)][R1 +R2 +

1/ jωC1·1/ jωC2R3

]−[

R1R2jωC3

+ 1jωC1

+ 1jωC2

] (5.19)

ZC =

[R1 +

1jωC3

(R1+R2

R1

)][R3

(1/ jωC1+1/ jωC2

1/ jωC1

)+ 1

jωC2

][R2 +R3

(1/ jωC1+1/ jωC2

1/ jωC1

)]+[

1jωC2

+ 1jωC3

(R1+R2

R1

)] (5.20)

この式において ZB が無限大である場合には、信号が伝わりません。そのためには分母がゼロとなればよく、もし R1 = R2 , C1 = C2 であるならば、これは次の周波数のときに発生します。

f =1

2π

√1

2R1R3C21

(5.21)

main (2015-06-25 11:27)


5.4 直列共振この節及び次の節においては、Ｌ，Ｃ，Ｒの直列共振、並列共振について

説明を行います。これらの共振回路は様々な分野において用いられ、実際の応用に際して非常に重要な回路です。共振回路において、良さの指数Ｑと言う言葉が用いられます。このＱは、

次のように定義されています。

Q = 2π１サイクルにおいて保存される最大エネルギー

１サイクルで消費されるエネルギー(5.22)

入力信号を正弦波であると仮定します。例えば図 5.9に示すＬＲ直列回路の場合には

図 5.9 ＬＲ回路図 5.10 ＣＲ回路

最大電流を Im としますとコイルでのエネルギーは、vi = Li(di/dt)ですので、i = Im sinωt としますと vi = (1/2)ωLI2

m sin2ωt となります。よって１サイクルにおいて保存される最大エネルギーは (1/2)ωLI2

m。また１サイクルで消費されるエネルギーは

RSi2 = RSI2m sin2 ωt

=RSI2

m

2(1− cos2ωt)

main (2015-06-25 11:27)

5.4 直列共振 119

ですので、(1/2)RSI2m となります。これらの式から Qは

Q =(1/2)ωLI2

m

(1/2)RSI2m

=ωLRS

(5.23)

図 5.10のＣＲ並列回路の場合は、最大電圧を Vm としますと、１サイクルにおいて保存される最大エネルギーは vi =Cv(dv/dt)ですので v =Vm sinωt

としますと

Cvdvdt

=12

ωCV 2m sin2ωt

となります。よって１サイクルで保存される最大エネルギーは(1/2)ωCV 2

m、また１サイクルで消費されるエネルギーは

v2

RP=

V 2m

RPsin2 ωt

=V 2

m

2RP(1− cosωt)

ですので、V 2m/(2RP)です。以上より Qの値は

Q =(1/2)ωCV 2

MV 2

m/(2RP)

= ωCRP (5.24)

と与えられます。さて次に直列共振回路について考えます。直列共振は、次の回路で示すことが出来ます。この場合には、次の関係式が成り立ちます。

V = RI + jωLI +I

jωC

= I[

R+ j(

ωL− 1ωC

)](5.25)

main (2015-06-25 11:27)


図 5.11 直列共振回路

このとき次の関係式が成り立つとき、回路は共振しているといわれます。ここで共振であることを示すために、添え字 rを用いています。

ωrL =1

ωrC

あるいは

fr =1

2π√

LC(5.26)

この条件が成立するとき、回路は純抵抗の状態となり、流れる電流は

Ir =VR

(5.27)

インダクタンス及び容量の両端に生じる電圧は、各々次のようになります。

VL =jωrL

R= jQV (5.28)

VC =V

jωrCR=− jQV (5.29)

電流の周波数依存性については、(5.25)式の絶対値を周波数に対してグラフに描きますと図 5.12のように与えられます。次に (5.25) 式のインピーダンスについて考えます。すると次のように変

main (2015-06-25 11:27)

5.4 直列共振 121

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.01 0.1 1 10 100

1/(1+(w-1/w)**2)

図 5.12 直列共振回路の周波数依存性

形することが出来ます。

Z = R+ j(

ωL− 1ωC

)= R+ j

√LC

(ω√

LC− 1ω√

LC

)= R+ j

√LC

(ωωr

− ωr

ω

)(5.30)

ここで (5.19)式を用いますと

Q =ωrLR

=1R

√LC

(5.31)

ですので (5.26)式は、次のように変形することが出来ます。

Z = R[

1+ jQ(

ωωr

− ωr

ω

)](5.32)

ここでさらに帯域幅と呼ばれる値を定義します。

∆ f =1

2πωr

Q(5.33)

main (2015-06-25 11:27)


これは次のようにして導き出されます。まず共振回路の最大電力絶対値の 1/2 の点について考えます。回路の電力の絶対値は、インピーダンスを用いて

|P|= V 2

|Z|(5.34)

と表せます。すると電力の絶対値が 1/2となる点について、次の式が成り立ちます。

12

V 2

R=

V 2∣∣∣R[1+ jQ(

ωωr

− ωrω

)]∣∣∣ (5.35)

この式から

√2R =

√√√√R2

[1+Q2

(ωωr

− ωr

ω

)2]

(5.36)

ここで次の変数を導入します。

δ =ω −ωr

ωr(5.37)

すると (5.36)式は δ ≪ 1の場合、つまり共振周波数に近い点では

√2R =

√√√√R2

[1+Q2

(1+δ − 1

1+δ

)2]

=√

R2 [1+Q2δ 2(2−δ )2] (5.38)

δ ≪ 1の場合には、(5.38)式はさらに 4Q2δ 2 ≫ 1としますと、

1 = 2Qδ (5.39)

が得られます。帯域幅は、(5.37)式より

∆ f = 2δ fr

ですので、(5.39)式から (5.33)式が得られます。

main (2015-06-25 11:27)

5.5 並列共振 123

例題容量の値が 100 [pF ]のコンデンサを用いて、共振周波数が 1 [MHz]、回路の Qが 410である直列共振回路を作りたい。コンデンサの Qは無限大と仮定して、どのような値のコイルを用いれば、上記の条件を満足させることが出来るでしょうか。その条件を求めて下さい。＜解答＞

(5.26)(5.31)式より

10 =2π ×106 ×L

R

1×106 =1

2π√

L×100×10−12

この二つの式から

L = 2.53×10−4

R = 1.59×10−4

の値を持つコイルを用いることによって実現できます。ちなみにこのコイルの 1 [MHz]での Qの値は、(5.30)式より

Q =ωrLR

=2π ×106 ×2.53×10−4

1.59×10−4

= 1.00×107

5.5 並列共振次に図 5.13 に与えられる並列共振について考えます。この図において、

容量に対して抵抗が入っていないのは、コイルの抵抗に較べて容量の抵抗は無視できるほど小さいからです。

main (2015-06-25 11:27)


図 5.13 並列共振器

容量とコイル、及びその抵抗による回路のアドミッタンスは、次のように与えられます。

Y = jωC+1

R+ jωL(5.40)

5.5.1 共振周波数

この回路が共振するためには、(5.40)式の虚数部分がゼロとならなければなりませんので、共振周波数を ωr としますと、次の式が得られます。

ωrC =ωrL

R2 +ω2r L2

この式より共振周波数は、

ωr =

√1

LC− R2

L2 (5.41)

この式を見ますと並列共振の場合は、直列共振の場合と較べ、R2/L2 の分だけ周波数が違うことが分かります。また R2/L2 > 1/LCの場合には、共振点は存在しないことも明かでしょう。つまり直列共振の場合には、必ず共振点が存在しますが、並列共振の場合には必ず共振点が存在するとは限りません。 (5.31)式を用いて、(5.41)式は次のように変形することが出来ます。

fr =1

2π

√1

LC

√1− 1

Q2 (5.42)

main (2015-06-25 11:27)

5.5 並列共振 125

この式と (5.26) 式とを較べますと、√

1−1/Q2 の分だけ直列共振と違っています。共振点における回路のインピーダンスは

Zr =R2 +ω2

r L2

R= R

(1+Q2) (5.43)

この式は、次のようにも変形することが出来ます。

Zr =L

CR(5.44)

5.5.2 インピーダンス最大の点

並列共振においては今まで求めた共振点は、必ずしもインピーダンスが最大になる点ではありません。そこでインピーダンスが最大となる点を求めてみることにします。(5.40)式の絶対値の自乗を求めてみますと

|Y |2 = R2 +ω2L2(1−R2 −ω2L2)2

(R2 +ω2L2)2 (5.45)

周波数を可変この式を周波数で微分してゼロと置くことにより、インピーダンスが最大となる周波数を求めることが出来ます。結果を書きますと

ωr f =

√√√√(RL

)2

±

√(1

CL

)2

+2R2

CL2 (5.46)

この式と (5.41)式を比較すると、その違いが分かるでしょう。

容量値を可変次に周波数を一定にしたままで容量値を変えていった場合に、インピーダンスが最大となる点を求めます。この場合には容量が変化しますので、

main (2015-06-25 11:27)


(5.45)式を容量値で微分してゼロと置きますと

ωrC =

√1

LC−(

RL

)2

(5.47)

この式は、(5.41)式と同じです。

インダクタンスを可変次に今度は、インダクタンスを変化させた場合について求めます。この場

合も同様に、ただし今度は (5.45)式をインダクタンスで微分しまして、その結果は

ω2rLLC =

1±√

1+4ω2pLC2R2

2(5.48)

以上の結果から並列共振回路の場合には、回路をどの様に調整するかによってインピーダンスが極大となる周波数が違います。つまり調整の仕方によって並列共振回路の場合には、回路のインピーダンスが実数となる周波数と、インピーダンスが極大になる周波数とが異なってくるのです。しかし回路の Q が非常に大きい場合には、上で求めた周波数はお互いに近づいてくることを証明することが出来ます。

5.5.3 帯域幅

次に帯域幅を求めます。しかしこの場合電源のインピーダンスにも関係してくるため、式の導出は複雑になります。よってここでは結果だけを記述することとします。

∆ f =(

1Q+

1Q

Rr

Rg

)fr (5.49)

ここで

Q =ωLRg

R2gR+R2Rg +Rgω2L2 (5.50)

main (2015-06-25 11:27)

5.5 並列共振 127

例題今まで見てきましたように、並列共振の場合には周波数を変化させて共振する場合と、容量の値を変化させて共振させる場合、コイルの値を変化させて共振させる場合とで共振周波数が違ってきます。100 [pF ]、10 [mH]、容量の Qは無限大、コイルの Qを周波数 5 [MHz]で 50としたときの各々の場合についての共振周波数を求めて下さい。＜解答＞

まずコイルの直列抵抗を求めます。コイルの Qを求める式から

R =2π ×5×108 ×10×10−3

50∼= 6.28×103

周波数を変化させていったとき、(5.46)式より

ωr f =

√√√√(6.28×103

10×10−3

)2

+

√(1

100×10−12 ×10×10−3

)2

+ 2(6.28×103)2

100×10−12 × (10×10−3)3

∼= 1.32×106

容量を変化させていったとき、(5.47)式より

ωrC =

√1

10×10−3 ×100×10−12 −(

6.28×103

10×10−3

)2

∼= 7.78×105

　コイルの値を変化させていったときは、(5.48)式より

ωrL =

√1

100×10−12 ×10×10−3 +

(6.28×103

10×10−3

)2

∼= 1.18×106

main (2015-06-25 11:27)


この結果を見て分かりますように、並列接続の場合調整のやり方によって少しずつインピーダンスが最大となる周波数が違います。

5.6 減衰器減衰器とは信号の大きさを希望する大きさまで小さくするものであり、次

の条件が成立しなければなりません。

1. 入力信号を vi、出力信号を vo としますと、その比は一定の値を持ち、周波数依存性が無いこと。

k =vo

vi(5.51)

2. 減衰器の入力、出力インピーダンスは、入力信号及び出力負荷と整合がとれていなければなりません。

条件１．に述べたように周波数依存性があってはならず、逆に周波数依存性を持たせたものはフィルタと呼ばれます。簡単な減衰器として、次のものがあります。

図 5.14 Ｔ型減衰器図 5.15 π型減衰器

ここでは入出力抵抗です。例えば図 5.14の回路図を用いた場合の構成は、図 5.16のようになります。RS , RL は、各々信号源抵抗、負荷抵抗です。例えば (5.51)式からＲ及びｋの値を R1 , R2 , R3 を用いて求めようとす

ると３次式となり、解けないわけではありませんが複雑であるし、また実際

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5.6 減衰器 129

図 5.16 減衰器の例

の場合においてもその様な解は必要ではありません。むしろ実際の場合にはＲまたはｋの値が与えられて R1 , R2 , R3 を求めることが多いようです。

例題特性インピーダンス 50 [Ω]の伝送線路を用いて、信号が送られてきたとき図 5.14の減衰器を用いて 20 [ｄＢ]減衰させた信号を負荷において得るには、R1 , R2 , R3 の値はいくらにすればよいか求めて下さい。＜解答＞

20 [ｄＢ]減衰させますので k = vo/vi = 10です。またこの場合特性インピーダンスは 50 [Ω]ですので、図 5.14の左にある式を用いて、R1 , R2 , R3 は、次のように求められます。

R1 = R2 =10−110+1

×50 ∼= 40.9

R3 =2×10102 −1

∼= 0.202

　

例題上の例題と同じ内容で、図 5.15 を用いた場合の抵抗値はいくらか求めて下さい。＜解答＞

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同様にして

R4 = b102 −12×10

∼= 4.95

R5 = R6 =10−110+1

×50 ∼= 61.1

以上二つの例題から分かりますように、最初の例題は抵抗の値が離れているため、実現しにくい。よってこの場合には、二番目の減衰器を用いる方が現実的です。

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5.7 問題 131

5.7 問題問題１

次の回路に Y −δ 変換を適用して、入力インピーダンスを求めて下さい。

図 5.17 問題１の図

問題２次の回路において、二つの電流の絶対値が等しく、位相が π/2となる条件を求めて下さい。

図 5.18 問題２の図

問題３

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図 5.19 問題３の図

次のブリッジが平衡している状態から、z1 を δ z1 変化させたとします。このときＡ－Ｂ間に流れる電流 I と δ z1 の関係式を示して下さい。ただし検流計の抵抗を Rとします。

問題４次の回路において、R0 の値に関係なく検流計に電流が流れないための条件を求めて下さい。問題５ＬＣＲ直列共振器において、共振周波数 fr = 4.5 [MHz]、Q = 10、直列抵抗R = 10 [Ω]のとき容量、コイルの値を求めて下さい。

問題６図 5.16を用いて 20 [dB]減衰器を設計して下さい。ただし信号源、負荷の抵抗は 50 [Ω]とします。

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5.7 問題 133

図 5.20 問題４の図

main (2015-06-25 11:27)

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135

第 6章

問題

ここでは、電気回路の問題を解くに当たって、どの様に対処していくかと言うことについて考えていきます。

6.1 回路の問題回路の問題は、一つの回路が与えられたとき、その回路の解釈の仕方は

様々な形で与えられます。その点が、回路以外の学問とは非常に異なっている特徴ではないかと思われます。回路以外の学問でも同様な現象は見られますので、回路の問題独特の現象ではないような気がします。例えば力学において、自然界をニュートン方程式から説明する立場やラグランジアンのような最短経路を取るある関数を考える立場、それからハミルトン関数のように波動的な関数を考えるなど自然界をどの様に解釈するかと言うことによって新しい理論が展開されています。電気の場合について考えると、例えば次のような回路を考えた場合

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136 第 6章問題

図 6.1 RC回路

この回路は低域通過回路と考えられますが、一方同じ回路が位相回転回路と解釈される場合もあります。またある場合には、積分器と考えられます。別の解釈をすれば、電圧遅延回路と見なすこともできます。これらの解釈の違いは、その回路の特性を表す周波数領域の特性や時間領域の特性をどの様に解釈するかという判断基準の相違によって現れています。低域通過回路と解釈しているのは、周波数領域における曲線全体の特徴を利用しています。位相回転回路と解釈しているのは、周波数領域の利得が低下している点で位相が回転していることを利用しています。積分器と解釈しているのは、この回路の伝達関数の分母に複素関数 sが含まれていることによります。電圧遅延回路と解釈しているのは、容量に蓄積される電荷が指数関数に従って変化することを利用しています。このように一つの回路でも様々な解釈が可能であり、回路技術者は常に様々な立場から回路を見つめることが大事です。

6.2 解への路一つの問題に対して、解法は一つと考えがちです。合成の問題は、同じ目

標に対して幾通りもの解決方法が存在することは、良く言われることです。しかし解析の問題に対しては、それほど声高に幾つもの解決方法が存在するとは言われません。しかしこれは間違った主張です。このことは、次の問題

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6.2 解への路 137

を考えると良く理解できます。

6.2.1 問題例

次の回路図を考えます。問題は、抵抗 R0 に流れる電流を求めよと言う内容です。その解答例を述べます。

図 6.2 問題

重ね合わせの原理重ね合わせの原理を用いるために、まず電流源を殺した回路を考えますと、次のようになります。

図 6.3 電流源を殺した回路

この回路から、抵抗 R0 に流れる電流は、

I1 =V0

R1 +R0(6.1)

と求められます。次に電圧源を殺した回路を考えると、次の回路図が得られます。

main (2015-06-25 11:27)

138 第 6章問題

図 6.4 電圧源を殺した回路

この回路図から、抵抗 R0 に流れる電流は、

I2 =− R1

R1 +R0I0 (6.2)

と求められます。(6.1) 式と (6.2) 式とから、抵抗 R0 に流れる全電流は、次のように与えられます。

IR0 = I1 + I2

=V0

R1 +R0− R1

R1 +R0I0

=V0 −R1I0

R1 +R0(6.3)

テブナンの定理この条件での問題を考えるために、次のような回路を考えます。

図 6.5 テブナンの定理による解法

テブナンの定理では、この回路を電圧源とそれに直列な抵抗とによって表さねばなりません。まず初めに電圧の値を求めてみます。電圧は、図 6.5において端子に現れる電圧によって与えられます。この値は、まず電流源を

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6.2 解への路 139

殺したときに現れる電圧、この場合電流源は開放状態ですので、V0 と与えられます。次に電圧源を殺した場合、つまり短絡状態のときに生じる電圧−R1I0 が求められます。よって二つの電源によって求められる電圧の値は、V0 −R1I0 となります。次にテブナンの定理による抵抗を求めなければなりません。これは二つの電源を殺したときに現れる抵抗ですので、R1 と与えられます。求めた電源と抵抗を使って回路を描くと、次の図のように与えられます。

図 6.6 テブナンの回路を用いた回路図

この回路図から、抵抗 R0 に流れる電流は、次のように求められます。

IR0 =V0 −R1I0

R1 +R0(6.4)

ノートンの定理ノートンの定理を用いるために、次のような回路を考えます。

図 6.7 ノートンの定理による解法

この回路で、ノートンの定理による回路を求めますが、テブナンの定理と同様に、まず電流源を殺した回路を考えます。そのとき電圧源によって流れ

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140 第 6章問題

る電流は、V0/R1 と与えられます。次に電圧源を殺し、電流源による電流を考えますと、全ての電流は短絡回路に流れますので、−I0 と与えられます。以上から二つの電流が生きているときに流れる電流は、V0/R0 − I0 と与えられることになります。次に求めるのは、電源を殺したときに短絡端子より左に見える抵抗で求められますので、R1 と与えられることになります。これらの値を用いて、ノートンの定理を用いた回路図は、次の図のように与えられます。

図 6.8 ノートンの定理を用いた回路図

この図から、求める電流は次のようになります。

IR0 =R1

R1 +R0

(V0

R1− I0

)=

V0 −R1I0

R1 +R0(6.5)

網目方程式網目方程式を使うために、次の回路のように閉路電流を定めます。

図 6.9 閉路電流を示す図

回路方程式を考えるに当たって、超網目を考えます。二つの閉路電流は、

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6.2 解への路 141

共に電流源を含んでいますので、一番外側の閉路を考え、更に定電流に対して超網目の電流を考えますと、次の式が得られます。

−V0 +R1 j1 +R0 j2 = 0 (6.6)j1 − j2 = I0 (6.7)

この二つの式から、閉路電流は、次のように求められます。

j1 =V0 +R0I0

R1 +R0

j2 =V0 −R0I0

R1 +R0(6.8)

求める電流は、I6 = j2 となります。

IR0 = j2

=V0 −R0I0

R1 +R0(6.9)

節点方程式節点方程式を用いるために、次のように端子電圧を定めます。

図 6.10 端子電圧を示す図

この図を用いてキルヒホッフの電流則を適用しますが、回路の中に電圧源

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142 第 6章問題

があるので、超接点の概念を用います。

0 =e2 − e1

R1+

e3 − e1

R2+

0− e1

R0(6.10)

0 =e1 − e3

R2− I0 (6.11)

V0 = e2 −0 (6.12)

これらの方程式を解くと、次の結果が得られます。

e1 =− R1R0

R1 +R0I0 +

R0

R1 +R0V0 (6.13)

e2 =V0 (6.14)

e3 =−R1R0 +R1R2 +R2R0

R1 +R0I0 +

R0

R1 +R0V0 (6.15)

(6.13)式から、求める電流が次のように得られます。

IR0 =V0 +R1I0

R1 +R0(6.16)

以上の結果を見比べてみますと、いずれの方法も同じ電流が得られていることが分かります。このように一つの回路でも色々な解法があることが分かります。

6.3 エネルギーについて集中定数回路においてエネルギーに関する重要な定理としてテレゲンの

定理という定理があります。テレゲンの定理とは、次のように述べられています。

k番目の枝電圧と枝電流を各々 Vk および Ik とすると

ΣVkIk = 0

が成立する。ただし全ての枝について加算する。

main (2015-06-25 11:27)

6.3 エネルギーについて 143

この定理は、回路の中に電圧源や電流源が含まれていても問題なく成立します。この定理は、集中定数であれば回路は外部に対して何の影響も与えないことを示しています。逆に回路が外部に対して放射などの影響を与えるためには、集中定数という制限をなくす必要があることを意味しています。

6.3.1 抵抗について

電圧源と抵抗とが、並列に接続されている場合を考えてみます。このとき電圧源の電力は、電流の向きが逆であるので、次のように与えられます。

pV =−vi

これに対して、抵抗の電力は、次のようになります。

pR = vi

これらの式から、電圧源は、pV の電力を供給し、それに対して抵抗は、pR

の電力を消費することになります。これら二つの電力は、厳密に同じ値となり外部に何ら電力を供給しません。抵抗の電力は、熱エネルギーとなって拡散していくことになります。そのエネルギーは、電圧源によって絶え間なく供給されることになります。このことは、電源が電流源の場合についても同様に考えられます。抵抗における電力は、伝導率が均一であれば、次のように与えられます。

pR = vi

= i2R

=v2

R

main (2015-06-25 11:27)

144 第 6章問題

抵抗の電力消費電圧源あるいは電流源が、次の式で与えられるとします。

v =VDC +V0 exp( jωt)

i = IDC + I0 exp( jωt)

このとき抵抗における電力は、次のように与えられます。

pR =V 2

DC +2VDCV0 exp( jωt)+V 20 exp( j2ωt)

R= I2

DC +2IDCI0 exp( jωt)+ I20 exp( j2ωt)

この式の時間平均を取ると、次の式となります。

pR =V 2

DCR

= I2DC

抵抗の場合、平均値を取ると電源の直流成分だけが残ることになります。

6.3.2 容量について

容量に蓄積される電荷が時間的に変動している場合、容量に流れる電流は、誘電率が一定で時不変の場合、次のように与えられます。

i =Cdvdt

この式から容量の電力は、次のように与えられます。

pC = v ·C dvdt

=ddt

(12

Cv2)

main (2015-06-25 11:27)

6.3 エネルギーについて 145

この式から、電力掛ける時間つまり容量のエネルギーは、誘電率が一定で時不変の場合、次のようになります。

EC =12

Cv2

容量の電力消費容量の場合の電力について考えます。

pC =12

ddt

[V 2

DC +2VDCV0 exp( jωt)+V 20 exp( j2ωt)

]=

12

C[2 jω exp( jωt)+2 jωV 2

0 exp( j2ωt)]

= 0

容量の場合、電力の平均値はゼロとなります。つまり容量では、電力消費は起こらないことを意味しています。

6.3.3 コイルについて

コイルに生じる電束が時間的に変動している場合、コイルの生じる電圧は、透磁率が一定で時不変の場合、次のように与えられます。

v = Ldidt

この式からコイルの電力は、次のように与えられます。

pL = i ·L didt

=ddt

(12

Li2)

この式から、電力掛ける時間つまりコイルのエネルギーは、透磁率が一定で時不変の場合、次のようになります。

EL =12

Li2

main (2015-06-25 11:27)

146 第 6章問題

コイルの電力消費コイルの場合の電力について考えます。

pL =ddt

[12

L(I2DC +2IDCI0 exp( jωt)+ I2

0 exp(2 jωt))]

=

[12

L(2IDCI0 exp( jωt)+ I2

0 exp(2 jωt))]

= 0

コイルの場合、電力の平均値はゼロとなります。つまりコイルでは容量と同様に、電力消費は起こらないことを意味しています。

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147

付録 A

問題の解答

A.1 第 1章の解答問題１次の式で与えられます。

rotE =−∂B∂ t

rotH = J+∂D∂ t

divB = 0divD = ρ

ここで

E：電界ベクトル B：磁束密度ベクトル H：磁界ベクトルD：電束密度ベクトル J：電流密度ベクトル ρ：電荷密度

問題２Maxwellの方程式を解きますと、次の三つの波が得られます。

TEM波、TE波、TM波

main (2015-06-25 11:27)

148 付録 A 問題の解答

問題３(1.9)式へ代入しますと、次の結果が得られます。

ωlc

=2π ×50×1000×103

30×104 ×103

∼= 3.31×105

この結果から、分布定数として扱う必要があります。

問題４(1.10)式を用いますと

l =c

2π f∼=

3×108

2π ×10×108∼= 4.77 [m] (A.1)

となりますので、集中定数として扱えることが分かります。

問題５この場合も (1.10)式を用いて

l =c

2π f∼=

3×108

2π ×50∼= 1,000 [m]

となる。この場合には分布定数として扱う必要があります。

問題６電流、電圧は全く独立した概念です。つまりモノの性質に関する方程式

（物性の式）によって初めて電流と電圧の間に関係が生じます。よって通常電流、電圧は独立の現象として考えなければなりません。例えば、静電気の場合、電圧は存在するが電流は存在しないし、超伝導の場合には電流は存在しますが、電圧は決められません。

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A.2 第 2章の解答 149

A.2 第 2章の解答問題１

1. (2.4)式より∫ 0

−∞dq =

∫ 0

−∞idt =

∫ 0

−∞4exp [−2|t|]dt = 3.46 [C]

2. 同様に (2.4)式より

−∫ 1

−1dq =−

∫ 1

−1idt = 2 [C]

3. 同様に (2.4)式より

問題２1. (2.5)式より

p = 7×3.61 ∼= 25.3 [W ]

2. 同様に

p = 7× (−2.96)∼=−20.7 [W ]

問題３1.

R =0.5

0.1×0.1×10= 5 [Ω]

2. (2.16)式より

dR =−ldSγS2

　

main (2015-06-25 11:27)


より

∫dR =

∫ S2

S1

−ldSγS2 =

lγ

[−1

S

]S2

S1

=lS(S2 −S1)

問題４(2.23)式を用いて、また真空中ですので

C =ε0σ

l=

8.85×10−12 ×30×10−4

0.1×10−3 [F ]

問題５(2.27)式より

L =Φi=

502

= 25 [H]

問題６

vi =−L1di1dt

−Mdi2dt

−v2 =−Mdi1dt

−L2di2dt

問題７(2.27)(2.28)式を用いて

v1 = L2ddt(i1 + i2)+M

di2dt

v2 − v1 = Md

dtr(i1 + i2)+L1

di2dt

main (2015-06-25 11:27)


ゆえに

v1 = L1di1dt

+(L1 +M)di2dt

v2 = (L1 +M)di1dt

+(L1 +L2 +2M)di2dt

以上の式より、次の回路図 A.1を得ることが出来ます。

図 A.1 問題７の図

問題８各電源の吸収電力は、次のように与えられます。

V1 : 10× (−3)V2 : 15× (2+4+3) = 135I1 : (15−10)× (−3) =−15I2 : −15×4 =−60I3 : −15× (+2) =−30

以上の吸収電力をすべて加え合わせると、ゼロになります。

問題９結果だけを、次に示しておきます。

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図 A.2 問題９の図

問題１０

図 A.3 問題１０の図

問題１０（ｃ）（ｄ）（ｅ）の場合の位相は、計算によって求めなければなりません。ここでは形状のみを描いておきます（図 A.4、図 A.5）。

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図 A.4 問題１０ (a)(b)の図

図 A.5 問題１０ (e)の図

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題１１周波数特性より

f (s) =320

(s+2)6

A.3 第 4章の解答問題１キルヒホッフの電流則を用いて、次の式が与えられます。

　Ａ点：i5 + i6 + i7 + i8 = 0　Ｂ点：−i4 − i8 + i3 = 0　Ｃ点：−i1 − i5 + i4 = 0

問題２節点の電圧が与えてあるため、次のようになります。

　Ａ点：(v2 − v1)+(v7 − v2)+(v8 − v7)+(v1 − v8) = 0　Ｂ点：(v8 − v2)+(v6 − v3)+(v7 − v6)+(v2 − v7) = 0　Ｃ点：(v2 − v1)+(v3 − v2)+(v4 − v3)+(v5 − v4)

+(v6 − v8)+(v7 − v6)+(v8 − v7)+(v1 − v8) = 0

　　　　　　これらの式は括弧を取るとゼロになってしまいます。しかしこれは単に節点の電圧をすべて与えたからに他なりません。実際の回路では各枝に電源などが入ってくるため、単純にゼロとはならないことに注意しなければいけません。

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問題３1. 次の段から見た抵抗もでありますので、次の式が成り立ちます。

R = 1+R

1+R

図 A.6 問題１の図

よって

R2 −R−1 = 0

故に

R =1±

√1+4

2=

1±√

52

抵抗の値は、正ですので

R =1+

√5

2　

2. この回路図 A.6は、次の図 A.7ように書き直すことが出来ます。

図 A.7 問題３の別図

main (2015-06-25 11:27)


よって

R = 1∥(1∥1+1∥1) = 0.5 [Ω]

問題４1 [Ω]に流れる電流は１ [A]ですので、その両端の電圧は 1 [V ]です。よっ

て 2 [Ω]に流れる電流は 0.5 [A]となります。以上二つから 4 [Ω]に流れる電流は、1.5 [A]ですので 3 [Ω]の抵抗には、4.5 [V ]の電圧が生じることになります。よって V = 1+4.5 = 5.5 [V ]と与えられます。

4 [Ω]と 5 [Ω]の並列抵抗には、5.5/(4//5) = 9.9/4 [A]の電流が流れますので

i =9.94

+1.5 =15.9

4

　と求められます。

問題５1. 入力抵抗は

6×36+3

= 2 [Ω]

電圧源のみの端子電圧は、

6× 36+3

= 2 [V ]

電流源のみの端子電圧は、

5× 6×36+3

[V ]

これから 2+10 = 12 [V ]

2. 入力抵抗は、

R =1

Y1 +Y2 +Y3

main (2015-06-25 11:27)


　V1 のみのとき

Y1

Y1 +Y2 +Y3V1

V2 , V3 も同様に求まりますので、求める電圧 V は、

V =Y1V1 +Y2V2 +Y3V3

Y1 +Y2 +Y3

問題６1. この場合独立電源がありませんので、電流はゼロです。抵抗は、1 [V ]

の電源を接続しますと

1+V = 40×(

V50

− V80

)　が成立し、この式を解きますと

V =107

　となります。よって外部に接続した 1 [V ]の電源に流れる電流は、

I =107

180

=156

求める抵抗は、

R =1I= 50 [Ω]

以上より、次の等価回路図 A.8となります。

main (2015-06-25 11:27)


図 A.8 問題４の図

2. 目視より

R = 120

I =257

− 12∼= 3.07 [A]

問題７回路図 4.39を、次のように書き換えます。

図 A.9 問題７の図

main (2015-06-25 11:27)


点線より左の回路に対して、テブナンの定理を用いますと、抵抗は

R0 =20×520+5

= 4

電圧は

V = 10× 520+5

+10× 2020+5

= 10

　抵抗 Rに流れ込む電流は、

I0 =10

4+R

電圧は

V0 = 10× R4+R

以上より電力は、

P0 =10

4+R× 10R

(4+R)2

Rで微分しますと　

dP0

dR= 100× R2 −16

(4+R)2

よって R = 4 [Ω]のとき最大値が得られます。このときの電力は

P0 =100R

(4+R)2

∣∣∣∣R=4

=254

= 6.25 [W ]

この結果を見て分かりますように、電源側の抵抗と同じ値を選ぶことによって最大電力が得られていることが分かります。これは最大電力伝送と呼ばれ、一般的に抵抗ではなく複素数であるインピーダンスを考えた場合、電源側と負荷側のインピーダンスを複素共役とすることによって、負荷へ最大の電力を伝送することが出来ます。

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A.4 第 5章の解答問題１

Z3 , Z4 , Z5 に対して変換を用いますと、次の図 A.10のようになります。

図 A.10 問題１の図

1Y12

=

1Z3Z4

1Z3

+ 1Z4

+ 1Z5

1Y13

=

1Z3Z5

1Z4

+ 1Z4

+ 1Z5

1Y23

=

1Z4Z5

1Z3

+ 1Z4

+ 1Z5

ゆえに入力インピーダンスは、

Z = Y13 +

(1

Z1+Y12

)(1

Z2+Y23

)1

Z1+Y12 +

1Z2

+Y23

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問題２変成器の電圧は、

V1 = jωL1I1 + jωMI2

V2 = jωMI1 + jωL2I2

また抵抗の電圧は RI2 ですので、次式が成立します。

V1 =V2 +RI2

ゆえに

jωL1I1 + jωMI2 = jωMI1 +(R+ jωL2)I2

ゆえに

jω(L1 −M)I1 = [R+ jω(L2 −M)] I2

絶対値が等しく、位相が π/2となりますので

I1 = I0 , I2 = jI0

と置くことが出来ます。

ω(L1 −M) = R+ jω(L2 −M)

　ゆえに

L2 = M

及び

ω(L1 −M) = R

　

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問題３検流計に流れる電流を求めます。Ａ，Ｂ点の電圧を VA , VB としますと

I =V −VA

Z1− VA

Z2

I +V −VB

Z3=

VB

Z4

I =VA −VB

R以上の式から (

1Z1

+1Z2

)VA =

VZ1

−1(1Z3

+1Z4

)VB =

VZ3

+1

ゆえに

I =1R

11

Z1+ 1

Z2

(VZ1

−1)

− 1R

11

Z3+ 1

Z4

(VZ3

+1) (1+

1R

Z1Z2

Z1 +Z2+

1R

Z3Z4

Z3 +Z4

)I

=

(1

RZ1

Z1Z2

Z1 +Z2− 1

RZ3

Z3Z4

Z3 +Z4

)V

Z1 , I を変数として変分を取りますと

1R

Z2(Z1 +Z2)−Z1Z2

(Z1 +Z2)2 I(δZ1)+

(1+

1R

Z1Z2

Z1 +Z2+

1R

Z3Z4

Z3 +Z4

)(δ I)

=1R

Z1Z2(Z1 +Z2)−Z1Z2(2Z1 +Z2)

Z21(Z1 +Z2)2 V (δZ1)

この式から(1+

1R

Z1Z2

Z1 +Z2+

1R

Z2Z3

Z2 +Z3

)(δ I) =

−Z2

R(Z1 +Z2)2 (Z2I −V )(δZ1)

が得られ、比例関係が得られました。

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問題４R0 , R3 , R4 の T-∆変換を求めます。

図 A.11 問題４の図

Z1 =R0R3

R0 +R3 +R4

Z2 =R0R4

R0 +R3 +R4

Z3 =R3R4

R0 +R3 +R4

　よって検流計に電流が流れないためには

(Z1 +R1)R6 = (Z2 +R2)R6

　が成立しなければなりません。よって

[R0R3 +R1(R0 +R3 +R4)]R6 = [R0R4 +R2(R0 +R3 +R4)]R5

　この式から

[R0(R1 +R3)+R1(R3 +R4)]R6 = [R0(R2 +R4)+R2(R3 +R4)]R5

　

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よってこの式が R0 に関係なく成立するためには、

(R1 +R3)R6 = (R2 +R4)R5

であればよいことになります。

問題５共振周波数の式より

4.5×106 =1

2π√

LC

Qの式から

10 =110

√LC

　上の式を掛けて

45×106 =110

× 12π

1C

ゆえに

C =1

2π ×45×107∼= 3.5×10−10 [F ]

次に割算をして

104.5×106 =

2π10

L

ゆえに

L =100

2π ×4.5×106∼= 3.54×10−6

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問題６20 [dB]ですので、公式より

k =Vo

Vi

R5 = R6 =10−110+1

×50 =45011

R7 =2×10102 −1

×50 =10099

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167

付録 B

付録（規格集）

この規格集はＪＩＳの電子部品変のうち必要な部分を抜粋したものです。詳細については、ＪＩＳそのものを参照願います。

B.1 公称値に対する規定次に定めるＥ標準数を用いる。この場合抵抗はオーム [Ω]、容量はマイクロファラッド [µF ]、およびピコファラッド [pF ]、コイルはマイクロヘンリ[µH]を単位としています。

E3 1.0 2.2E6 1.0 1.5 2.2E12 1.0 1.2 1.5 1.8 2.2 2.7E24 1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0

E3 4.7E6 3.3 4.7 6.8E12 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2E24 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1

表 B.1 Ｅ標準数の系列

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168 付録 B 付録（規格集）

3数字法これらの数値は、3数字法という表現で用いられます。いくつか例をあげますと

R47 0.47 [Ω] 0.47 [µF or pF ] 0.47 [µH]

4R7 4.7 [Ω] 4.7 [µF or pF ] 4.7 [µH]

471 470 [Ω] 470 [µF or pF ] 470 [µH]

Rは小数点の位置を示しています。3桁目の数字は 10の指数を示しています。

表 B.2 3数字法

この 3 数字法以外に 4 数字法というものがありますが、それについてはJISを参照願います。許容差を表す記号許容差は、次の記号を使って表現されます。

B C D F G J K±0.1 ±0.25 ±0.5 ±1 ±2 ±5 ±10

L M N Q S T Z±15 ±20 ±30 +30 +50 +50 +80

−10 −20 −10 −20

表 B.3 許容差を表す記号

色による表現色を用いて数値を表現することもあり、次のようになっています。

数値 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9色黒茶赤黄赤黄緑青紫灰色白

表 B.4 色による表現

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B.2 抵抗の規格 169

B.2 抵抗の規格抵抗の規格である JIS規格の抜粋です。詳しくは JISを参照願います。抵抗器の色表示抵抗器は、次の色表示を用いて様々な値を示しています。

色名数字 10のべき数抵抗値の許容差抵抗値温度係数銀色 − −2 ±10 −金色 − −1 ±5 −黒 0 0 − ±250茶色 1 1 ±1 ±100赤 2 2 ±2 ±50橙 3 3 − ±15黄 4 4 − ±25緑 5 5 ±0.5 ±20青 6 6 ±0.25 ±10紫 7 7 ±0.1 ±5灰色 8 8 − ±1白 9 9 − −色無 − − ±20 −

表 B.5 抵抗器の色表示

以上の色表示を用いて、有効数字 2桁および 3桁の抵抗は、次のように表示されています。

図 B.1 抵抗の色表示

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170 付録 B 付録（規格集）

B.3 容量の規格容量値および許容差については、公称値に対する値および許容差に基づいています。容量の種類として、次のものがあります。

　容量の種類誘電体材料　 Al固体電界コンデンサ Al酸化皮膜　磁器コンデンサ (種類 1) 磁器　メタライズド・プラスチック・コンデンサプラスチック・フィルム　タンタル非電界コンデンサタンタル酸化皮膜　マイカ・コンデンサマイカ　プラスチック・フィルム・コンデンサプラスチック・フィルム　タンタル固体電界コンデンサタンタル酸化皮膜　複合フィルムコンデンサ異種プラスチック・フィルムの組み合わせ

表 B.6 容量の種類

B.4 コイルの規格コイルに関しては、抵抗や容量のような特別な規格は存在しませんが、抵抗や容量と同様にカラー・コードが用いられています。コイルの場合自分で作成したり、あるいは企業の場合には、特別注文でコイル・メーカに発注する場合が多いことにより、多くの場合その値を示す特別な記号は用いられません。

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171

付録 C

各種表

ここではアナログ高周波回路を取り扱う場合において、便利な各種表について記述している。

C.1 信号周波数の分類周波数は、取り扱う領域によって次の表 C.1のように分類されている。

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172 付録 C 各種表

名称周波数領域 [MHz] 波長 [m]

HF 3 ∼ 30 100 ∼ 10V HS 30 ∼ 300 10 ∼ 1UHS 300 ∼ 1,000 1 ∼ 0.3

L 1,000 ∼ 2,000 0.3 ∼ 0.15S 2,000 ∼ 4,000 0.15 ∼ 0.075C 4,000 ∼ 8,000 0.075 ∼ 0.0375X 8,000 ∼ 12,000 0.0375 ∼ 0.025Ku 12,000 ∼ 18,000 0.025 ∼ 0.0167K 18,000 ∼ 27,000 0.0167 ∼ 0.0111

Ka 27,000 ∼ 40,000 0.0111 ∼ 0.0075c = 3.0×108 [m/sec]の場合

表 C.1 周波数の分類

C.2 物性物理定数表

物理定数値単位素電荷 1.60210×10−19 [クーロン]

ボルツマン定数 1.38054×10−23 [JK−1]

真空の誘電率 8.854185×10−32 [F/m]

真空の透磁率 4π ×10−7 ∼= 1.256637×10−6 [H/m]

絶対温度 −273.16 []

シリコンの融点 1420 []

禁制帯の幅 1.21 [eV ]

表 C.2 物理定数表

シリコン中の拡散係数（理科年表から抜粋）

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C.2 物性 173

次の式に従うとする。

D = D0 exp(− U

RT

)

不純物 D0 [cm2/sec] U [kcal/mol]Ｂ 10.5 85Al 8.0 80Ga 3.6 81In 16.5 90P 10.5 85

As 0.32 82Sb 5.6 91Fe 6.2×10−3 20Au 1.1×10−3 25.8

表 C.3 シリコン中の拡散係数

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175

付録 D

数

ここでは、数の様々な表現について述べています。

D.1 数の表現数を表現するとき、国によってその表現が異なります。様々な表現について述べておきます。

D.1.1 １０のべき

国際単位系 (System Internationale d’Unites:SI) に定められている１０のべき

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176 付録 D 数

数値名称（記号）呼び方数値名称（記号）呼び方1018 exa(E) エクサ 10−1 deci(d) デシ1015 peta(P) ペタ 10−2 centi(c) センチ1012 tera(T) テラ 10−3 milli(m) ミリ109 giga(G) ギガ 10−6 micro(µ) マイクロ106 mega(M) メガ 10−9 nano(n) ナノ103 kilo(k) キロ 10−12 pico(p) ピコ102 hecto(h) ヘクト 10−15 femto(f) フェムト101 deca(da ) デカ 10−18 ato(a) アト

表 D.1 SI単位

D.1.2 英米語の数詞

英米語の数詞を述べておきます。billionから英語と米語とで値が異なっていることに注意が必要です。

名称米語英語名称米語英語ten 101 101 decllion 1033 1060

hundred 102 102 undecillion 1036 1066

thousand 103 103 duodecillion 1039 1072

million 106 106 tredecillion 1042 1078

billion 109 1012 quattuordecillion 1045 1084

trillion 1012 1018 quindecillion 1048 1090

quadrillion 1015 1024 sexdecillion 1051 1096

quintrillion 1018 1030 septendecillion 1054 10102

sextrillion 1021 1036 octodecillion 1057 10108

septrillion 1024 1042 novemdecillion 1060 10114

octrillion 1027 1048 vigintellion 1063 10120

nonillion 1030 1054 centillion 10303 10600

表 D.2 英米語の数詞

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D.2 よく用いられる数値 177

D.1.3 Latin数字

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10mono di tri tetra penta hexa hepta octa nona decca

表 D.3 Latin数字

D.2 よく用いられる数値電気電子回路において、よく用いられる数値について述べておきます。

D.2.1 平方根

√1 = 1

√6 ∼= 2.4494897√

2 ∼= 1.4142136√

7 ∼= 2.6457513√3 ∼= 1.7320508

√8 ∼= 2.8284271√

4 = 4√

9 = 3√5 ∼= 2.2360680

√10 ∼= 3.1622777

表 D.4 平方根

D.2.2 常用対数

log1 = 0 log6 ∼= 0.7781513log2 ∼= 0.3010300 log7 ∼= 0.8450980log3 ∼= 0.4771213 log8 ∼= 0.9030900log4 ∼= 0.6020600 log9 ∼= 0.9542425log5 ∼= 0.6989700 log10 = 1

表 D.5 常用対数

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178 付録 D 数

D.2.3 自然対数

ln1 = 0 ln6 ∼= 1.7917595ln2 ∼= 0.6931472 ln7 ∼= 1.9459102ln3 ∼= 1.0986123 ln8 ∼= 2.0794415ln4 ∼= 1.3862944 ln9 ∼= 2.1972246ln5 ∼= 0.1.694379 ln10 ∼= 2.30258511

表 D.6 自然対数

D.3 数学定数ここでは、さまざまな数学定数のうち、最も良く用いられる数値を掲載しておきます。

特殊な数字

e = 2.71828183π = 3.14159265

loge ∼= 0.43429ln10 ∼= 2.3026

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179

付録 E

数学公式集

E.1 微分・積分ここでは、微分・積分の簡単な説明と公式について説明します。

微分の定義f (x)が定義域内の点 xで次に示す極限値を持つとき、この関数は点 xで微

分可能であるといいます。

f ′(x) =d f (x)

dx= lim

∆x→0

f (x+∆x)− f (x)∆x

(E.1)

微分の公式（代表的な関数について）u , vを xの関数であるとしますと

d f (u)dx

=d f (u)

dududx

(E.2)

d(uv)dx

=dudx

v+udvdx

(E.3)

ddx

(uv

)=

v dudx −u dv

dxv2 (E.4)

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180 付録 E 数学公式集

指数関数、対数関数の微分公式

ddx

(xn) = nxn−1 (E.5)

ddx

(ex) = ex (E.6)

ddx

(ax) = ax lna (E.7)

ddx

(lnx) =1x

(E.8)

三角関数の微分公式

ddx

(sinx) = cosx (E.9)

ddx

(cosx) =−sinx (E.10)

ddx

(tanx) = sec2 x (E.11)

ddx

(secx) = tanxsecx (E.12)

ddx

(cscx) =−cotxcscx (E.13)

ddx

(cotx) =−csc2 x (E.14)

積分の定義F(x)の導関数が f (x)であるとき、任意の定数 cと F(x)との和を f (x)の

原始関数または不定積分といい、これを次のように表します。∫f (x)dx = F(x)+ c

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E.2 ベクトル解析 181

基本的性質

∫a f (x)dx = a

∫f (x)dx (E.15)∫

[ f (x)±g(x)] =∫

f (x)dx±∫

g(x)dx (E.16)

部分積分

∫f (x)

dg(x)dx

dx = f (x)g(x)−∫ d f (x)

dxd(x)dx (E.17)

置換積x = ϕ(t)で dϕ(t)/dt が存在すれば、∫

f (x)dx =∫

f [ϕ(t)]dϕ(t)

dtdt (E.18)

E.2 ベクトル解析ベクトル場は、あらゆる自然現象を説明する上で非常に重要な場であり、その場を解析する便利な数学分野としてベクトル解析があります。ここにあげてある公式は、任意の座標系において適用が可能であるため、非常に汎用性を持った公式となっています。

内積（スカラー積）2つのベクトルの間の角度を θ とすると、ベクトルの内積は、次のように定義されます。

a•b = |a||b|cosθ (E.19)

main (2015-06-25 11:27)


内積の定義から分かりますように、2つのベクトルが直行するとき、それらのベクトルの内積はゼロとなります。また逆に内積がゼロである場合、それら 2つのベクトルは直行します。内積について次の公式が成り立ちます。

a•b = b•a (E.20)(pa+qb)• c = pa• c+qb• c (E.21)

|a•b| ≤ |a||b|（シュワルツの不等式） (E.22)

外積（ベクトル積）2つのベクトルの間の角度を θ とすると、ベクトルの外積は次のように定

義されます。

a×b = |a||b|sinθ (E.23)

外積の定義から、次の公式が得られます。この定義式の中の角度 θ は向きを持っていますので、二つのベクトルの順

番が入れ替わると符号が変わります。

a×b =−b×a (E.24)k(a×b) = (ka)×b = a× (kb) (E.25)

a× (b+ c) = a×b+a× c (E.26)

|a×b|=√

(a•a)(b•b)− (a•b)2 (E.27)

E.2.1 ベクトルの微分

方向微係数空間に点 Pを選び、単位ベクトル bによって方向を与える。C を Pから

bの方向へ出る半直線とし、Qを C 上の点とします。Pから Qまでの距離は sである。そのとき極限値

∂ f∂ s

= lims→0

f (Q)− f (P)s

(E.28)

main (2015-06-25 11:27)

E.2 ベクトル解析 183

が存在すれば、それを点 Pにおける b方向の f の方向微係数と呼びます。

E.2.2 定義

次にベクトル解析で用いられる、微分に関して重要な定義を述べます。

勾配

grad f = ∇ f

=

(∂∂x

i+∂∂y

j+∂∂ z

k)

f (E.29)

発散

div v = ∇•v

=

(∂vx

∂x+

∂vy

∂y+

∂vz

∂ z

)f (E.30)

回転

rot v = ∇×v

=

(∂vz

∂y−

∂vy

∂ z

)i+(

∂vxl∂ z

− ∂vz

∂x

)j+(

∂vy

∂x− ∂vx

∂y

)k

(E.31)

main (2015-06-25 11:27)


E.2.3 勾配についての公式

∇( f g) = f ∇g+g∇ f (E.32)

∇( f n) = n f n−1∇ f (E.33)

∇(

fg

)=

1g2 (g∇ f − f ∇g) (E.34)

∇2( f g) = g∇2 f +2∇ f ∇g+ f ∇2g (E.35)

発散についての公式

∇• (kv) = k∇•v (E.36)∇• (u•v) = u• (∇•v)+v• (∇u) (E.37)

∇• (u∇v) = u∇2v+∇u•∇v (E.38)

回転および発散についての公式

∇× (u+v) = ∇×u+∇×v (E.39)∇× (∇ f ) = 0 (E.40)

∇• (u×v) = v•∇u−u•∇v (E.41)∇• (∇×v) = 0 (E.42)

∇× ( f v) = ∇ f ×v+ f ∇×v (E.43)∇• (g∇ f × f ∇g) = 0 (E.44)

main (2015-06-25 11:27)

E.3 三角関数 185

E.3 三角関数加法定理

sin(A±B) = sinAcosB± cosAsinB (E.45)cos(A±B) = cosAcosB∓ sinAsinB (E.46)

tan(A±B) =tanA± tanB

1∓ tanA tanB(E.47)

sinA± sinB = 2sinA±B

2cos

A∓B2

(E.48)

cosA+ cosB = 2cosA+B

2cos

A−B2

(E.49)

cosA− cosB =−2sinA+B

2sin

A−B2

(E.50)

sinAsinB =cos(A−B)− cos(A+B)

2(E.51)

cosAcosB =cos(A−B)+ cos(A+B)

2(E.52)

sinAcosB =sin(A+B)+ sin(A−B)

2(E.53)

cosAsinB =sin(A+B)− sin(A−B)

2(E.54)

(E.55)

具体的な関数

sin2A = 2sinAcosA (E.56)cos2A = cos2 A− sin2 A (E.57)

tan2A =2tanA

1− tan2 A(E.58)

main (2015-06-25 11:27)


E.4 複素関数可換法則

z1 + z2 = z2 + z1

(E.59)z1z2 = z2z1

結合法則

(z1 + z2)+ z3 = z2 +(z1 + z3)

(E.60)(z1z2)z3 = z2(z1z3)

分配法則

z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3 (E.61)

その他

0+ z = z+0 = z

z+(−z) = (−z)+ z = 0 (E.62)z×1 = z

main (2015-06-25 11:27)

E.4 複素関数 187

複素共役

z1 + z2 = z1 + z2

z1 × z2 = z1 × z2 (E.63)(z1

z2

)=

z1

z2

絶対値

|z1 × z2|= |z1|× |z2|(E.64)∣∣∣∣ z1

z2

∣∣∣∣= |z1||z2|

ド・モアブルの公式

(cosθ + j sinθ)n = cos(nθ)+ j sin(nθ) (E.65)

コーシー・リーマンの方程式

∂u∂x

=∂v∂y

(E.66)∂u∂y

=−∂v∂x

main (2015-06-25 11:27)


コーシーの積分定理有界な単連結領域 Dで f (z)が解析関数であるなら、D内の全ての単純閉曲線Cに対して ∫

Cf (z)dz = 0 (E.67)

コーシーの積分公式f (z)が単連結領域 Dで解析関数であるとします。D内の任意の点 z0 と、

z0 を囲む D内の任意の単純閉路 C に対して、積分路を反時計周りに取りますと ∫

C

f (z)z− z0

dz = 2π j f (z0) (E.68)

モレラの定理単連結領域 Dで f (z)が連続で、かつ D内の全ての閉路 Cに対して、∫

Cf (z)dz = 0

が成り立つと、 f (z)は単連結領域 Dで解析的です。

リウビルの定理有限複素平面内の全ての点に対して、f (z)が解析的でその絶対値が有界なら、 f (z)は定数です。

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E.5 フーリエ解析 189

E.5 フーリエ解析E.5.1 フーリエ級数

任意の周期関数は、次に示すようにフーリエ級数の形に展開することが出来ます。

f (t) =a0

2+

∞

∑k=−∞

(ak cos

2kπT

t +bk sin2kπT

t)

(E.69)

ただし k = 1 , 2 , 3 , · · ·

a0 =1T

∫ T/2

−T/2f (t)dt (E.70)

ak =2T

∫ T/2

−T/2f (t)cos

2kπtT

dt (E.71)

bk =2T

∫ T/2

−T/2f (t)sin

2kπtT

dt (E.72)

代表的な関数のフーリエ級数を載せておきます。

周期 2π の方形波

f (x) =

−k −π < x < 0+k 0 < x < π (E.73)

F(x) =4kπ

(sinx+

13

sin3x+15

sin5x+ · · ·)

(E.74)

任意周期の方形波

f (x) =

0 −2 < x <−1k −1 < x <+1のとき T = 40 1 < x < 2

(E.75)

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F(x) =k2+

2kπ

(cos

π2

x− 13

cos3π2

x+15

cos5π2

x−·· ·)

(E.76)

三角波

f (x) = 2k

l x 0 < x < l2

2kl (l − x) l

2 < x < l(E.77)

F(x) =8kπ2

(1l2 sin

πl

x− 132 sin

3πl

x+152 sin

5πl

x+ · · ·)

(E.78)

E.5.2 フーリエ積分

非周期関数の場合にはフーリエ級数の方法を無限周期へ一般化して、フーリエ積分として取り扱うことが出来ます。

f (x) =1π

∫ ∞

0[A(w)coswx+B(w)sinwx]dw (E.79)

A(w) =∫ ∞

∞f (v)coswvdv (E.80)

B(w) =∫ ∞

∞f (v)sinwvdv (E.81)

次にフーリエ積分の複素形式を記述しておきます。

F(ω) =∫ ∞

∞f (t)e− jωtdt (E.82)

f (t) =1

2π

∫ ∞

−∞F(ω)e jωtdω (E.83)

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E.6 ラプラス変換 191

E.6 ラプラス変換定義　（片側）ラプラス変換は次のように定義されます。

F(s) =∫ ∞

0f (t)e−stdt (E.84)

f (t) =∫ ∞

0F(s)estds (E.85)

線形性

L [a f (t)+ng(t)] = aL [ f (t)]+bL [g(t)] (E.86)

微分

L( f n) = snL f (t)− sn−1 f (0)− sn−2 f ′(0)− sn−3 f ′′(0)− ·· · − f n−1(0)(E.87)

積分

L[∫ t

0f (τ)dτ

]=

1s

L [ f (t)] (E.88)

移動定理

L[eat f (t)

]= F(s−a) (E.89)

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畳み込み

h(t) = ( f ∗g)(t) =∫ t

0f (τ)g(t − τ)dτ (E.90)

可換法則

f ∗g = g∗ f (E.91)

分配法則

f ∗ (g1 +g2) = f ∗g1 + f ∗g2 (E.92)

結合法則

( f ∗g)v = f ∗ (g∗ v) (E.93)

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193

後書き

電気回路基礎として、必要最小限の内容をまとめてみました。この著作で素直にあるいは順調に電気回路の基礎が身に付くかどうか心配なところも多々あります。よって常に見直していく必要があります。次の改訂では、更により良いものを目指していくつもりです。

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参考文献

[1] John D.Ryder,”Networks lines and fields,”Prentice-hall,Inc

[2] Ronald A.Rohrer,”Circuit Theory:An introduction to the state variable

approach,”McGraw-Hill,1971

[3] Athanssions Popoulis,”The Fourie Integral and its Applications,”McGraw-

Hill,New York

[4] Leon O.Chua,Charles A.Desor and Ernest S.Kuh,”Linear and Nonlinear

Circuits, ”McGraw-Hill,1987

[5] M.E.Van Valkenburg,”Analog Filter Design,”Holt-Saunders International

Editions,1982

[6] F.R.コナー、フィルタ回路入門、森北出版[7] Ernst A. Guillemin,”Introductory Circuit Theory”Jon Wiley and Sons.

Inc.,1953

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196

索引

アドミタンス, 48網目電流, 17網目方程式, 113アンペア, 16

インピーダンス, 48インミタンス, 49

枝, 60枝電圧, 15枝電流, 17MKSA単位系, 14

オームの法則, 2

重ね合わせの原理, 83仮想接地, 40カットセット, 61, 68

木：tree, 60共振周波数, 124共振点, 124極性, 42キルヒホッフノ電圧則, 89キルヒホッフノ電流則, 89キルヒホッフの法則, 65

クーロン, 13クーロンの法則, 14グラフ, 59GND, 39

結合係数, 39減衰器, 128

コイル, 26, 31固有周波数, 96

コンダクタンス, 48

自乗平均値, 45実効値, 45, 53, 54実効電力, 53質点, 9周期, 45従属電源, 20集中定数, 6, 9, 51, 59集中定数回路, 13, 66周波数, 45

節点, 60線, 39

相互インダクタンス, 36双対, 64相反定理, 92

帯域幅, 126タイセット, 61, 69端子電圧, 15

直列共振, 118直列接続, 71, 76, 82

ツインＴ, 116

TEM波, 6TE波, 6TM波, 6Ｔ型減衰器, 128Ｔ－π変換, 109抵抗, 26テブナンの定理, 85デアル, 64テレゲンの定理, 86

main (2015-06-25 11:27)

197

電圧, 14電圧・電流の関係式, 29電荷, 13電源, 20, 24電源を殺す, 83電磁誘導, 3伝送線路, 129電流, 16電流密度, 17電力, 18, 52

独立電源, 20独立変数, 61

ノード：node, 60ノートンの定理, 85

π型減衰器, 128ハイパス・フィルタ, 117

皮相電力, 53

ファラデーの法則, 67フーリエ変換, 48フェーザー表示, 51, 52複素数表示, 47部分グラフ, 61ブランチ：branch, 60ブリッジ, 113ブリッジ回路, 112分布定数, 6, 9

平均電力, 53並列共振, 123並列接続, 71, 79, 82閉路, 60, 61閉路電流, 17変成器, 36

方向性枝, 60補木：co-tree, 60補償定理, 89, 91

無効電力, 53

有効電力, 53

容量, 26, 30

ラプラス変換, 47

リアクタンス, 48リアクタンス率, 53力率, 53リンク：link, 60

ループ：loop, 60

レジスタンス, 48連結, 60連結グラフ, 60

ＹーΔ変換, 109ワット, 19

Documents

新原盛太郎 2015年7月 - konoie.com · main (2015-06-25 11:27) ii 第4 章では、電気回路における基本的な定理について述べています。どの 様な場合もそうですが、定理がどういう場合は使用できて、どういう場合は

新原盛太郎 2015年7月 - konoie.com · main (2015-06-25 11:27) ii 第4 章では、電気回路における基本的な定理について述べています。どの様な場合もそうですが、定理がどういう場合は使用できて、どういう場合は