МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пензенский государственный университет» (ПГУ)

И. Н. Гонтарь, Н. И. Волчихина

Сопротивление материалов

Учебное пособие к выполнению тестовых задач

Пенза

Издательство ПГУ 2011

2

УДК 539.3 / 6(075) ББК 30.121 Г65

Р е ц е н з е н т ы: кафедра «Сопротивление материалов и теория упругости» ГОУ ВПО «Пензенский государственный университет

архитектуры и строительства»; доктор технических наук, профессор кафедры

«Технология общего и роботизированного производства» ГОУ ВПО «Пензенская государственная технологическая академия»

А. В. Ланщиков

Гонтарь, И. Н. Г65 Сопротивление материалов : учеб. пособие к выполнению

тестовых задач / И. Н. Гонтарь, Н. И. Волчихина. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2011. – 104 с.

Содержится минимально необходимый теоретический материал,

основной акцент сделан на самостоятельную подготовку студента к тестированию и на решение типовых и тестовых задач по курсу «Со-противление материалов». Приведенные сведения соответствуют госу-дарственным образовательным стандартам второго поколения.

Учебное пособие подготовлено на кафедре «Техническая и при-кладная механика» и предназначено для студентов машиностроитель-ных специальностей и направлений высшего профессионального обра-зования. Может быть полезно также инженерам, занимающимся вопро-сами прочности деталей изделий машиностроения.

УДК 539.3/6(075) ББК 30.121

© ГОУ ВПО «Пензенский государственный

университет», 2011

3

СОДЕРЖАНИЕ Введение ............................................................................................................ 5 Общие сведения ............................................................................................... 6 Основные термины и определения .............................................................. 9 1 Основные механические характеристики материалов при статических нагрузках. ..................................................................... 21 Пояснения к решению задачи 1 ................................................................... 21

Пример решения задачи 1 ............................................................... 23 Пояснения к решению задачи 2 ................................................................... 24

Пример решения задачи 2 ............................................................... 25 2 Центральное растяжение и сжатие .......................................................... 26 Пояснения к решению задачи 3 ................................................................... 26

Пример решения задачи 3……………………………………... .... 28 Пояснения к решению задач 4 и 5…………...…………………....... ...... 30

Пример решения задачи 4…………………………………...... ..... 30 Пример решения задачи 5…..…………………………...……. ..... 32

3 Геометрические характеристики плоских сечений ............................. 33 Пояснения к решению задачи 6…..……………………………........... .... 33

Пример решения задачи 6……………………………………..... .. 35 4 Теория напряжённого состояния ............................................................. 38

Пояснения к решению задачи 7……………………………….......…...... 38 Пример решения задачи 7…………………………………….... ... 39

5 Кручение ........................................................................................................ 41 Пояснения к решению задачи 8…………………………………............. 41

Пример решения задачи 8………………………...…………….. .. 43 Пояснения к решению задачи 9…………………........………………. .... 44

Пример решения задачи 9……………………………………..... .. 45 6 Изгиб .............................................................................................................. 48 6.1 Построение эпюр и расчёт на прочность балки ...................................... 48

Пояснения к решению задачи 10…………………………………........... 48 Пример решения задачи 10…………………………………….... .. 49

6.2 Дифференциальные зависимости Журавского и проверка правильности построения эпюр .............................................................. 52

Пояснения к решению задач 11 и 12.…………………………........… .... 52 Пример решения задачи 11…..………………….…………...…. .. 55 Пример решения задачи 12….………………….……………..... .. 56

6.3 Перемещения сечений балки ..................................................................... 58 Пояснения к решению задачи 13…………………………………........... 58

Пример решения задачи 13…………………………………...... ... 61 Пояснения к решению задачи 14…………………………………........... 63

Пример решения задачи 14…………………………………….. ... 64 6.4 Статически неопределимые задачи .......................................................... 65

Пояснения к решению задачи 15…………………………………........... 65 Пример решения задачи 15…………………………………….. ... 68

7 Сложное сопротивление ............................................................................. 70 Пояснения к решению задачи 16……………………………….......... ..... 70

Пример решения задачи 16 ............................................................. 71

4

8 Устойчивость сжатых стержней ............................................................... 73 Пояснения к решению задачи 17 ............................................................... 73

Пример решения задачи 17……………………………………... .. 74 9 Динамическое действие нагрузок ............................................................. 76

Пояснения к решению задачи 18 ............................................................... 76 Пример решения задачи 18 ............................................................. 77

Вопросы для самопроверки .................................................................... 78 Список рекомендуемой литературы ..................................................... 84

Приложение А. Образцы тестовых задач ....................................................... 85 Приложение Б. Геометрические характеристики простых плоских сечений .............................................................................................................. 93 Приложение В. Площади и координаты центров тяжести простых фигур ................................................................................................... 95 Приложение Г. Формулы перемножения эпюр по Верещагину .................. 96 Приложение Д. Значение коэффициента приведения длины стержня µ…... .................................................................................................... 98 Приложение Е. Основные формулы для решения задач ............................... 99

5

Введение Учебное пособие подготовлено с целью оказания методической

помощи студентам при выполнении тестовых задач по дисциплине «Сопротивление материалов». Тестовые задачи составлены так, что они охватывают основные разделы курса (приложение А).

Выполнение тестовых заданий позволяет студентам освоить теоретический курс и получить определённый навык при решении практических задач.

Перед выполнением тестовых задач необходимо изучить соот-ветствующие разделы курса «Сопротивление материалов» по лекци-ям, по рекомендованным учебникам и учебным пособиям, по мате-риалам, изложенным в данном пособии.

Порядок и последовательность выполнения тестовых задач приведены в примерах по каждому разделу.

6

Общие сведения Условные обозначения величин и их единицы измерения

Линейные размеры l , a − длина стержня, балки, вала или их участков....м µ l − приведённая длина стержня………………..........м µ − коэффициент приведения длины b, d, h – ширина, диаметр и высота сечения……........м i − радиус инерции сечения……………………….......м

Нагрузки внешние Р − сосредоточенная сила…………………………......Н, кН М − сосредоточенный момент…………………….......Н⋅м, кН⋅м q − интенсивность распределённой нагрузки……......Н/м, кН/м R − реактивная сила ……………………………….......Н, кН МR − реактивный момент……………………….…......Н⋅м, кН⋅м

Внутренние силы N − продольная сила…………………………………...Н, кН Q − поперечная сила…………………………………...Н, кН Мк − крутящий момент………………………………...Н⋅м, кН⋅м Ми − изгибающий момент………………………..........Н⋅м, кН⋅м

Геометрические характеристики плоских сечений F − площадь поперечного сечения…………………....м2, см2, мм2

S − статический момент сечения……………………......... см3, мм3

J − момент инерции сечения………………………............ см4, мм4

W − момент сопротивления сечения………………........... см3, мм3

Напряжения σ − нормальное напряжение ....................................... Па, МПа τ − касательное напряжение ....................................... Па, МПа [σ] , [τ] − допускаемые напряжения ............................ Па, МПа

maxmax ,τσ − максимальные напряжения .................... Па, МПа

7

Деформации и перемещения ∆, δ − перемещение линейное……………………..... мм ∆l − абсолютная продольная деформация………..... мм ε − относительная продольная деформация µ − коэффициент Пуассона φ − угол закручивания при кручении………………. рад, град θ − относительный угол закручивания…………….... рад /м; град /м у − прогиб балки……………………………………... мм θ − угол поворота сечения балки при изгибе………. град, рад λ − гибкость стержня γ − угол сдвига………………………………………... град, рад

8

Единицы механических величин в Международной системе единиц (СИ)

Величина Единица СИ

Наименование Обозна- чение Наимено- вание

Обозна- чение

Соотношение единиц

Сила P, Q, N ньютон Н 10 Н = 1 кгс

Напряжение σ, τ паскаль Па 1 Па = 1 Н/м2

Модуль упругости E, G паскаль Па 1МПа = 10 кгс/см

2

Момент силы M, m ньютон⋅метр Н⋅м 1 Н⋅м = 0,1 кгс⋅м Погонная на-грузка q

ньютон на метр Н /м 1 Н /м = 0,1 кгс/м

2222 ñìãÍ1

ñìÍ100

ììÍ1

ìÍ10 ÌÏà1 6 ==== .

Кратные и дольные единицы

Приставка Гига Мега Кило Гекто Дека Деци СантиМилли Микро Нано

Обозначение Г М к г да д с м мк н Множитель 109 106 103 102 101 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9

Перед подстановкой числовых значений необходимо все исходные

величины привести к единым согласованным единицам измерения.

9

Основные термины и определения Сопротивление материалов – наука об инженерных методах

расчета элементов конструкций на прочность, жёсткость и ус-тойчивость.

Инженерные методы расчётов в сопротивлении материалов основаны на определенных допущениях (гипотезах) о свойствах материала и характере деформаций, основными из которых являют-ся следующие:

− материал однороден, т.е. свойства любых малых частиц со-вершенно тождественны;

− материал тела полностью заполняет объём тела без каких-либо пустот;

− в известных пределах нагружения материал обладает иде-альной (совершенной) упругостью;

− перемещения точек конструкции, обусловленные упругими деформациями, весьма малы по сравнению с размерами элементов конструкции;

− перемещения точек элементов конструкции прямо пропор-циональны силам, вызвавшим эти перемещения;

− плоские и перпендикулярные к оси сечения до деформации остаются такими же и в результате деформации;

− результат действия группы сил равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности (принцип независимости дей-ствия сил или принцип суперпозиции).

Прочность – способность материала не разрушаться под дей-ствием нагрузок.

Жёсткость – способность материала не изменять своих разме-ров и формы под действием нагрузок.

Устойчивость – способность материала сохранять свою пер-воначальную форму упругого равновесия под действием нагрузок.

Внешние силы – это активные силы, приложенные к рас-сматриваемой детали, а также реактивные силы, возникающие в опорах.

Основными внешними силами являются: − сосредоточенная сила Р, приложенная в точке; − сосредоточенный момент М, приложенный в сечении;

10

− распределённая нагрузка q, приложенная по длине балки (может быть равномерно распределённая и неравномерно распределён-ная).

Внутренние силы – это силы, возникающие внутри тела, пре-пятствующие действию внешних сил (межмолекулярные связи).

Внутренние силы определяются методом сечений, т.е. тело мысленно разрезается плоскостью на две части, одна из которых от-брасывается, а действие отброшенной части уравновешивается внутренними силами, противодействующими внешним силам.

Для оставшейся части, как и для целого тела, составляются уравнения равновесия (статики).

Напряжение – это интенсивность внутреннего усилия, прихо-дящаяся на единицу геометрической характеристики сечения (на-пример площадь сечения).

Деформация − это изменение размеров и формы тела под воз-действием внешних сил.

Упругость − способность тела восстанавливать свою первона-чальную форму и размеры после удаления внешних сил.

К основным видам деформаций относятся: растяжение (сжа-тие), сдвиг, кручение, изгиб. Это так называемые простые виды де-формаций. Одновременное действие двух и более простых видов деформаций вызывает так называемое сложное сопротивление.

Конструктивные элементы, встречающиеся в машинах и со-оружениях, можно подразделить на следующие виды:

− брус (стержень) − это элемент, у которого один из размеров (длина) больше по сравнению с поперечными размерами;

− пластина − это элемент, ограниченный двумя параллельны-ми плоскостями, у которого два размера больше по сравнению с третьим;

− оболочка − это элемент, ограниченный сферическими, эллип-соидными и другими поверхностями, у которого два размера больше по сравнению с третьим;

− массив − элемент, у которого все три размера одного порядка величин.

В курсе сопротивления материалов изучаются главным обра-зом брусья как имеющие широкое распространение в инженерной практике.

Брус, работающий на растяжение (сжатие), называется стер-жнем.

11

Брус, работающий на изгиб, называется балкой. Брус, работающий на кручение, называется валом. Растяжение или сжатие возникают при действии вдоль оси

стержня растягивающих и сжимающих сил. В поперечных сечениях

стержня возникают внутренние силы, равнодействующая которых является нормальной (продольной) силой N (рисунок 1.1).

Нормальная сила N численно равна алгебраической сумме про-

екций на ось Z всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Нормальное напряжение, возникающее в сечении,

FN

=σ ,

где σ − нормальное напряжение; N − нормальная сила; F − площадь поперечного сечения.

Условие прочности [ ]σ≤=σF

Nmaxmax ,

где σmax − максимальное нормальное напряжение; Nmax − максимальная нормальная сила; [ ]σ − допускаемое нормальное напряжение. Для пластичных материалов [ ] ,ò

nσσ =

для хрупких материалов [ ] ,ân

σσ =

P P Z

l

l1

P N

F

Рисунок 1.1

12

где òσ , âσ − предел текучести и предел прочности соответственно; n − коэффициент запаса прочности. Абсолютная деформация (абсолютное удлинение)

∆l = l1 − l, где l1 − длина после деформирования; l − первоначальная длина.

Относительное удлинение ll∆

=ε .

Закон Гука: ε=σ E , где Е − модуль упругости первого рода (модуль Юнга).

Абсолютное удлинение FElNl =∆ .

Эта формула называется вторым выражением закона Гука.

Условие жёсткости [ ]lEFNll ∆≤=∆max или [ ]ε≤=ε EF

Nmax ,

где [ ]ε − допускаемая относительная деформация. Сдвиг, срез, смятие возникают тогда, когда внешние силы

смещают два параллельных плоских сечения одно относительно другого при неизменном расстоянии между ними. Линейное пере-мещение аа′ − это абсолютный сдвиг (рисунок 1.2). Отношение аа′ к

грани ас − это относительный сдвиг,

γ≅γ=′

tgасаа .

Закон Гука при сдвиге имеет вид

γ=τ G , где τ − касательное напряжение;

G – модуль упругости второго рода;

γ – угол сдвига.

Условие прочности при сдвиге

[ ]ñðñð

ñð τ≤=τ FQ ,

где ñðτ − расчётное напряжение среза (среднее касательное напря-жение в сечении);

Q − поперечная (сдвигающая) сила; ñðF − расчетная площадь среза;

c d

b′b а′ а τ

γ

Рисунок 1.2

13

Zm

m

Zm

MкРисунок 1.3

[ ]ñðτ − допускаемое напряжение среза. Кручение прямого бруса вызывается внешними парами сил,

действующих в плоскостях, перпендикулярных оси бруса*. Простей-ший случай кручения имеет место под действием двух равных по ве-личине и противоположно направленных пар сил m (рисунок 1.3).

Моменты внешних пар сил на-зываются скручивающими момен-тами m.

В общем случае на брус могут действовать несколько скручивающих моментов, приложенных в различных сечениях и взаимно уравновешиваю-щихся. На рисунке 1.3 m − внешний скручивающий момент.

В поперечном сечении возникает внутренний силовой фак-тор − крутящий момент Мк, который численно равен алгебраи-ческой сумме всех внешних скручивающих моментов m, взятых по одну сторону от сечения.

Касательное напряжение ρ=ρτ pJÌ ê ,

где кМ − крутящий момент в сечении (внутренняя сила);

pJ − полярный момент инерции; ρ − текущий радиус поперечного сечения вала (0 ≤ ρ ≤ R),

=ρmax R, радиус поперечного сечения вала.

Условие прочности при кручении [ ]τ≤=τpW

Mêmaxmax ,

где maxτ − максимальное касательное напряжение;

êmax M − максимальный крутящий момент в сечении;

pW − полярный момент сопротивления сечения, maxρ

=ðJ

pW ;

* Напряжения и деформации при кручении существенно зависят от формы

поперечного сечения бруса. Гипотеза плоских сечений справедлива лишь для бруса с круглым сплошным или кольцевым сечением, в остальных случаях происходит искажение поперечных сечений. Задача о кручении брусьев не-круглого профиля решается методом теории упругости.

14

[ ]τ − допускаемое касательное напряжение. Для пластичных материалов [ ]τ ≈ 0,5 [ ].σ Угол закручивания (абсолютная деформация при кручении)

pJGlÌ ê=ϕ ,

где G − модуль упругости второго рода.

Относительный угол закручивания pJG

Ìl

ê=ϕ

=θ .

Условие жесткости [ ]θ≤=θpJG

Ì êmax ,

где maxθ − максимальный относительный угол закручивания; [ ]θ − допускаемый относительный угол закручивания. Изгиб заключается в искривлении прямого стержня или изме-

нении кривизны кривого стержня под действием внешних сил (ри-сунок 1.4).

В сечении бруса возникают два вида внутренних сил: изги-бающий момент xМ , который равен алгебраической сумме момен-

тов внешних сил относительно центра тяжести поперечного сечения, взятых по одну сто-рону от сечения, и поперечная сила yQ , которая равна алгеб-раической сумме проекций всех внешних сил на ось Y се-чения.

Нормальное напряжение

óJÌ

x

õ=σ ,

где хМ − изгибающий момент (внутренняя сила) в сечении

относительно оси X; хJ − осевой момент инерции поперечного сечения относительно

оси Х; y − расстояние от нейтральной оси до данной точки. Условие прочности по нормальным напряжениям

Z

Y

z

Р

Р 2

Qy

Р2

z Mх

Р 2

Рисунок 1.4

15

[ ]σ≤=σx

xW

Ìmaxmax ,

где maxσ − максимальное нормальное напряжение;

xÌmax − максимальный изгибающий момент;

xW − осевой момент сопротивления, yJW xx = ;

[ ]σ − допускаемое нормальное напряжение (его величина бе-рётся такой же, как при растяжении-сжатии).

Касательное напряжение

bJSQ

x

xó=τ ,

где óQ − поперечная (перерезывающая) сила в поперечном сече-нии (внутренняя сила);

xS − статический момент площади относительно нейтральной оси Х части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от прямой, проведённой через точку параллельно нейтральной оси;

xJ − осевой момент инерции всего поперечного сечения отно-сительно нейтральной оси;

b − ширина сечения на уровне рассматриваемой точки. Условие прочности по касательным напряжениям

[ ]τ≤=τbJ

SQ

x

xymaxmax ,

где maxτ − максимальное касательное напряжение;

yQmax − максимальная поперечная сила;

[ ]τ − допускаемое касательное напряжение. Кривизна изогнутой оси балки

x

õJÅ

Ì=

ρ1 ,

где ρ − радиус кривизны изогнутой оси балки; Е − модуль упругости первого рода (такой же, как и при растя-

жении-сжатии).

16

Эта формула является основной формулой теории изгиба. Перемещения при изгибе – для балки постоянного попереч-

ного сечения, находящейся в равновесии под действием приложен-ных нагрузок и опорных реакций, прогиб y и угол поворота θ сече-ния n − n (рисунок 1.5) на расстоянии z от начала координат 0* опре-деляются по универсальным (обобщенным) уравнениям упругой ли-нии балки.

Прогиб произвольного сечения определяется по формуле

,!4!4!3!2

14

224

1132

00 ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+++θ+= ∑ ∑ ∑ ∑

qiqiPimi

xz

zqzqzPzmJE

zóó

где zy − прогиб сечения, находящегося на расстоянии z от начала координат;

y0 − прогиб сечения в начале координат (начальный параметр); θ0 − угол поворота сечения в начале координат (начальный па-

раметр).

* Начало координат располагаем в левом конце балки. Ось Z направим вправо, ось Y направим вверх; можно начало координат располагать на пра-вом конце балки, направив ось Z влево.

q2

y0

yz Z

P

z

zq2n

zm

m

zP zq1

n

q1

Y

θz

θ0

0

Рисунок 1.5

17

Угол поворота произвольного сечения

,!4!4!2

1442

02211

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+++θ=θ ∑ ∑ ∑ ∑

qqPi

xz

zqzqzPzm

JEii

mi

где zθ − угол поворота сечения на расстоянии z от начала коор-динат;

0θ − угол поворота сечения в начале координат (начальный па-раметр);

zm, zP, zq − расстояния от рассматриваемого сечения до точки приложения соответствующей нагрузки m, P, q*.

Формула (интеграл) Мора для определения перемещений

dzEJ

MM

l x

x∫′

=∆ ,

где ∆ − прогиб или угол поворота заданного сечения; Mx − значение изгибающего момента для заданного сечения от

действия внешних нагрузок; M ′ − значение изгибающего момента для заданного сечения от

действия единичной нагрузки (сосредоточенная сила или сосредото-ченный момент), приложенной в заданном сечении;

xJE − жесткость балки. По правилу Верещагина перемещение (прогиб или угол пово-

рота)

η′ΩΣ=∆M

xJE1

,

где MΩΣ − площадь эпюры Mx от заданной нагрузки; η′ − ордината эпюры от единичной нагрузки, находящаяся под

центром тяжести эпюры Mx. Под сложным сопротивлением подразумевают комбинации

простых видов деформаций: косой изгиб (рисунок 1.6,а); растяжение (сжатие) с изгибом (рисунок 1.6,б); изгиб с кручением (рисунок 1.6,в); внецентренное растяжение (сжатие) (рисунок 1.6,г).

* Для q − расстояние от рассматриваемого сечения до начала действия

распределённой нагрузки.

18

Задачи сложного сопротивления решаются суммированием на-пряжённых состояний простых видов деформаций на основе исполь-зования принципа независимости действия сил (принцип суперпо-зиций).

а) б) в) г) а – косой изгиб; б – изгиб с растяжением;

в – изгиб с кручением; г – внецентренное сжатие

Рисунок 1.6

Общая методика решения задач сложного сопротивления за-ключается в следующем:

− определяют внутренние усилия в поперечных сечениях стержня и строят их эпюры;

− находят положение наиболее напряженного сечения; − вычисляют напряжения от каждого усилия в отдельности и

находят точку, в которой суммарные напряжения достигают наи-большей величины;

− проверяют выполнение условия прочности для материала стержня.

Условия прочности:

[ ]σ≤+=σ xyy

y

x

xJ

MJM − для косого изгиба;

[ ]σ≤++=σ xyy

y

x

xJ

MJM

FN − для растяжения (сжатия) с изги-

бом и для внецентренного растяжения (сжатия), где N − нормальная сила;

F − площадь поперечного сечения; xM и yM − изгибающие моменты относительно осей X и Y;

xJ и yJ − осевые моменты инерции относительно осей X и Y;

Р Р

mР

Р

Р

19

x и y − расстояния до рассматриваемой точки от осей X и Y. При изгибе с кручением круглого стержня материал в опас-

ной точке находится в сложном напряжённом состоянии. Проверка прочности в этом случае производится с помощью

одной из теорий прочности по обобщённой формуле

[ ]σ≤=σè

ýêâýêâ W

Ì ,

где ýêâσ − эквивалентное напряжение (приведённое к одноосному напряжённому состоянию);

ýêâÌ − расчётный эквивалентный момент

(например, по III теории прочности 2ê2èýêâIII ÌÌÌ += ;

по IV теории прочности 2ê2èýêâ 75,0IV ÌÌÌ += );

Wи − осевой момент сопротивления относительно нейтральной оси;

[ ]σ − допускаемое нормальное напряжение материала при про-стом растяжении (сжатии).

Устойчивым считается стержень при центральном сжатии до тех пор, пока сжимающие силы не превысят так называемого крити-ческого значения.

Превышение ее значения вле-чёт за собой изгиб (выпучивание) стержня (рисунок 1.7).

Критическая сила по формуле Эйлера

( )2min

2

êðlJÅÐ

µπ

= ,

где minJ − наименьший осевой мо-мент инерции;

µ − коэффициент приведения длины стержня (зависит от способа закрепления стержня);

l − длина стержня; µ l − приведённая длина стержня.

Р > Ркр

l

Р ≤ Ркр

Рисунок 1.7

20

Критическое напряжение 2ã

2

êðλ

π=σ

Å ,

здесь ãλ − гибкость стержня геометрическая (зависит от приведён-ной длины, формы и размеров поперечного сечения стержня);

minã i

lµ=λ ,

здесь mini − минимальный радиус инерции поперечного сечения. Формула Эйлера применима при условии ãλ ≥ λф,

где λф − гибкость стержня физическая (зависит только от физико-

механических свойств материала), ïö

ô σπ=λ

Å ,

здесь пцσ − предел пропорциональности. Эмпирическая формула Ясинского применяется, если ãλ < λф. Формула Ясинского 2êð λ+λ=σ − ñâà ,

где а, в, с – коэффициенты, зависящие от свойств материала; λ – гибкость стержня (физическая).

Пределы применимости соответствующих формул (рисунок 1.8): − при ôã λ≥λ − формула Эйлера; − при ôã λ

21

− расчёты на действие ударных нагрузок. Общий метод динамического расчёта основан на принципе

Д’Аламбера.

22

1 Основные механические характеристики материалов при статических нагрузках

Пояснения к решению задачи 1 (приложение А)

На рисунке 1.1,а представлена диаграмма растяжения стан-дартного образца с первоначальным размером поперечного сечения F0 и расчётной длиной l0.

Рисунок 1.1

Диаграмма на рисунке 1.1,а даёт возможность по известным силам Pi и первоначальной площади поперечного сечения образца определить механические характеристики материала, т.е. соответст-вующие пределы напряжений:

а)

б)

0

∆ l0,2

Р0,2

Рт Рпц

∆ l А1 K1D1В1 Н1 С1 Н2

А

B C H

D

K

∆lH

∆lу HHl ост∆

0

Р

23

0

ïöïö

F

P=σ − предел пропорциональности (точка А);

0

òò

F

P=σ − предел текучести (точки В−С);

0

2,02,0

F

P=σ − предел текучести (условный) − это напряжение,

при котором остаточная деформация образца достигает 0,2 % рас-четной длины l0 (рисунок 1.1,б). Условный предел текучести

2,0σ определяют в том случае, если диаграмма растяжения для ис-следуемого пластичного материала не имеет выраженной площадки текучести;

0

maxâ

F

P=σ − предел прочности (временное сопротивление,

точка D) – это условное напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, предшествующей разрушению образца;

ê

êê

F

P=σ − истинное сопротивление разрыву. Это напряже-

ние, определяемое отношением нагрузки êP в момент разрыва (точ-ка K) к истинной площади Fк поперечного сечения в месте разрыва.

Если процесс испытания остановить, например, в состоянии, соответствующем точке Н, и разгрузить образец, то линия разгрузки пойдёт по линии НН1 (практически параллельно линии АА1). Этот же процесс будет соответствовать любым точкам диаграммы.

Величина 0Н1 − остаточная деформация Hlîñò∆ ;

Н1Н2 − упругая деформация Hló∆ ;

0Н2 − полная деформация Hl∆ .

Аналогично можно найти все виды деформаций для любой точки диаграммы (см. рисунок 1.1,а).

При повторном нагружении образца (для точки Н) диаграмма сначала пойдёт по прямой линии, практически совпадающей с лини-ей Н1Н, а затем по кривой НDK.

24

По диаграмме растяжения можно определить соответствующие напряжения (σПЦ, σТ, σВ), виды деформаций (упругая ól∆ , остаточная

∆lост, полная ∆l). Кроме того, по диаграмме можно определить мо-дуль упругости первого рода Е испытываемого образца (по участку, соответствующему закону Гука − прямая линия 0А): σ = Е⋅ ε.

Отсюда l

lFPÅ

∆⋅=

εσ=

0

,

т.е. для определения модуля упругости Е необходимо замерить ве-личины P, F, l, ∆l или по диаграмме определить σ и ε, соответст-вующие ïöσ .

Пример решения задачи 1 По диаграмме на рисунке 1.2 определить предел пропорцио-

нальности ,ïöσ предел текучести ,òσ предел прочности ,âσ мо-дуль упругости Е, остаточную деформацию для точки А.

Предел пропорциональности ïöσ соответствует точке, где за-

канчивается прямая линия − это точка K, что соответствует ïöσ = = 150 МПа.

Предел текучести соответствует точкам В и С, что соответст-вует òσ = 200 МПа.

Предел прочности соответствует точке D, это âσ = 400 МПа.

Рисунок 1.2

σ , , МПа

2,5 5 10 15 ε ⋅10 3

20

100

300

200

150 К

В С

D

A

25

Модуль упругости 31060105,2

1503 ⋅=⋅ −

=εσ= K

K

Å МПа.

Остаточная деформация для точки А: εост = 10 ⋅10 –3. Пояснения к решению задачи 2 (условия тестовой задачи 2 –

в приложении А) При растяжении стержень удлиняется, его поперечные разме-

ры уменьшаются (рисунок 1.3). А

бсолютное уд-ли-не-ние

или укорочение стержня ∆l = l1 – l.

Относительное удлинение или укорочение стержня

ll∆=ε . (1.1)

Нормальное напряжение F

N=σ . (1.2)

Закон Гука, по которому существует прямая линейная зависи-мость между нормальным напряжением σ и относительной про-дольной деформацией ε, имеет вид

σ = Еε , (1.3) где Е − модуль упругости первого рода (модуль Юнга), который ха-рактеризует физико-механические свойства материала.

Подставляя в выражение (1.3) зависимости (1.1) и (1.2), по-лучим

EFN ll =∆ . (1.4)

Изменение поперечного размера (абсолютная поперечная де-формация)

∆а = а1 − а; ∆b = b1 − b.

N N

l l1

b b1

a

a1

Рисунок 1.3

26

Относительная поперечная деформация bb

àà ∆∆ ==ε′ .

При растяжении ε > 0, ε′ < 0; при сжатии ε < 0, ε′ > 0. В границах применимости закона Гука относительная по-

перечная деформация пропорциональна относительной продольной деформации и обратна ей по знаку:

ε′ = − µε (1.5)

или Åσ− = ε′ µ , (1.6)

где µ − коэффициент Пуассона; εε′=µ .

Коэффициент Пуассона размерности не имеет, и его величина для изотропных материалов колеблется в пределах 0 ≤ µ ≤ 0,5.

Пример решения задачи 2 Определить относительную поперечную деформацию ε′ и дей-

ствующую силу Р, если известны: ε = 2⋅10 −4; µ = 0,35; Е = 2⋅10 5 МПа, F = 4 см2 (рисунок 1.4).

Определим ε′ по формуле (1.5):

ε′ = − µ ε = − 0,35 ⋅ 2 ⋅ 10−4 = − 0,7 ⋅ 10−4. Определим Р по формуле (1.2):

F

N=σ или ,

F

Ð=σ отсюда Р = σ F.

По формуле (1.3) σ = Eε. Тогда Р = σF = EεF. Величины ε, F, Е заданы по условию задачи:

ε = 2 ⋅ 10–4; F = 4 см2 = 4 ⋅ 10 2 мм2; Е = 2 ⋅ 105 МПа = 2 ⋅ 105 Н/мм2. Р = EεF = 2 ⋅ 105 ⋅ 2 ⋅ 10−4 ⋅ 4 ⋅102 = 16 ⋅ 103 Н = 16 кН.

Р = 16 кН.

Рисунок 1.4

РF

l

27

2 Центральное растяжение и сжатие Пояснения к решению задачи 3 (см. приложение А) Растяжением или сжатием называется такой вид деформации

стержня, когда в его поперечных сечениях возникают внутренние силы, равнодействующая которых направлена вдоль оси Z стержня − это нормальная (продольная) сила N.

При растяжении нормальная сила направлена по внешней нор-мали к сечению, а при сжатии − по внутренней.

Нормальную силу, соответствующую растяжению, считают положительной, а сжатию − отрицательной.

а) Построение эпюры N. Из условия равновесия любой отсечённой части стержня нор-

мальная сила N в каждом сечении численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, взятых по одну сторону от сечения.

Эпюрой нормальных сил N называется график изменения этих сил по длине стержня.

Штриховка на эпюре N всегда должна быть перпендикулярна продольной оси стержня, а следовательно, оси эпюры.

Ординаты эпюр, отложенные в определённом масштабе, долж-ны сопровождаться числовой характеристикой, а поле эпюры знаком плюс «+» или знаком минус «−».

«Скачки» на эпюре N возникают в сечениях, где приложены сосредоточенные силы и по величине равны их значениям.

Аналогичным образом строятся эпюры нормальных напряже-ний σ, которые определяются по формуле

i

ii F

N=σ ,

где iσ − напряжение в i-м сечении; iN − внутренняя сила в i-м сечении;

iF − площадь поперечного сечения в i-м сечении. б) Подбор поперечного сечения из условия прочности. Предельным, или опасным, напряжением σ пред называется

напряжение, при котором образец из данного материала разрушается или в нём возникают недопустимые пластические деформации.

28

За предельные напряжения принимают: − для пластичных материалов − предел текучести

òïðåä σ=σ или 0,2ïðåä σ=σ ;

− для хрупко-пластичных материалов − условный предел те-кучести

0,2ïðåä σ=σ ;

− для хрупких − предел прочности σпред = σ в .

Допускаемое напряжение ][σ всегда меньше предельного

nïðåä][

σ=σ ,

где n − требуемый или заданный (нормативный) коэффициент запаса прочности.

Для пластичных материалов [ ]nòσ=σ ;

для хрупких материалов [ ]nâσσ = .

Величина n зависит от многих факторов: физико-механических свойств материала, разброса в величине предельного напряжения, определяемого из опыта, точности применяемого метода расчёта, характера конструкции, условий и срока её работы, характера и дос-товерности определения действующих нагрузок и др. При выборе требуемого коэффициента запаса прочности необходимо учитывать имеющийся опыт эксплуатации аналогичных конструкций отрасли.

В обычных расчётах величины n принимают в следующих пре-делах:

nт = 1,4…2,0; nв = 2,5…5,0.

Фактический коэффициент запаса прочности

max

ïðåä

σ

σ=n ,

где maxσ − наибольшее напряжение (расчётное).

29

Условие прочности при осевом растяжении или сжатии имеет вид

[ ]σσ ≤max ; для хрупких материалов в правой части условия при растяжении − [σр], а при сжатии − [σсж].

Если maxσ превышает допускаемое не более чем на 5 %, то прочность элемента считается достаточной, так как допускаемое на-пряжение значительно меньше предельного.

Различают три вида расчёта на прочность. 1 Проверка прочности (проверочный расчёт):

][max σσ ≤=F

N.

По этой формуле можно установить, обеспечена ли прочность при известных N, F и ][σ .

2 Подбор сечения (проектный расчёт):][σ

= NF .

По этой формуле определяют необходимую площадь попереч-ного сечения при заданных N и ][σ .

3 Определение допускаемой нагрузки: [N] = ][σ F.

Пример решения задачи 3 а) Для стержня (рисунок 2.1,а) построить эпюру N. Разобьём стержень на три участка (I, II, III), где нормальные

силы изменяются по одному закону (см. рисунок 2.1,а). Нормальную силу на каждом участке определяем методом се-

чений, проводя сечения, перпендикулярные оси Z на каждом участ-ке (1−1, 2−2, 3−3).

Отбрасывая правые отсечённые части на каждом участке и за-меняя их действие внутренней силой Ni , направим их в сторону по-ложительного направления оси Z (рисунок 2.1,б,в,г).

Рассмотрим равновесия каждой отсечённой части на каждом участке и определим Ni:

I участок: ΣZ = 0; 3 кН − N1 = 0; N1 = 3 кН. (Знак «−» при N1 показывает, что эта сила является сжимаю-

щей и направлена в противоположную сторону).

30

II участок: ΣZ = 0; 3 кН −12 кН + N2 = 0; N2 = 9 кН (сила растягивающая). III участок: ΣZ = 0; 3 кН − 12 кН + 18 кН − N3 = 0; N3 = 9 кН (сила сжимающая). Строим эпюру N, откладывая относительно нулевой линии

N (кН), в масштабе: выше − положительные значения, а ниже − от-рицательные (рисунок 2.1,д). На эпюре N видны скачки в сечениях, где приложены сосредоточенные силы, равные по величине этим силам.

б) Из условия прочности подобрать безопасные размеры квад-ратных сечений аi ступенчатого стержня (см. рисунок 2.1) при сле-дующих данных: материал − сталь Ст3, σт = 210 МПа, nт = 2.

Определим безопасные площади поперечных сечений для каж-

дой ступени стержня по формуле [ ]σ

= iiN

F .

Значения iN берём по эпюре N, ÌÏà.1052

210ò][ === σσn

Рисунок 2.1

Z

2

3 кН

I II III

а) 12 кН 18 кН

9 кН

3

32

1

1

б) N1

3 кН

в) N2

3 кН 12 кН

г) N3

3кН 12 кН 18 кН

0 N д) 3 кН 9 кН

9 кН

а 1

а 2

а 3

аi

Поперечное сечение→

31

23

ìì57,28

ììÍ105

103ÌÏà105êÍ3

2

1Í

==⋅=F ;

.; 23

2 ìì71,85105

109ìì71,85105109

3

3

2 ====⋅⋅ FF

Определим размер аi : ìì3,971,85;ìì3,557,28 321; == ==== aaaFa ii .

Пояснения к решению задач 4 и 5 (см. приложение А) Стержневые системы, в которых все или часть внутренних си-

ловых факторов не могут быть определены с помощью уравнений статики (равновесия), называются статически неопределимыми. В статически неопределимых системах число независимых усилий превышает число уравнений статики. Недостающие уравнения со-ставляются из рассмотрения схемы деформации системы (условие совместности деформаций элементов конструкции).

Степень статической неопределимости – это разность между количеством неизвестных усилий в уравнениях статики и количест-вом самих уравнений.

Пример решения задачи 4 Составить с помощью метода сечений все возможные уравне-

ния равновесия. Определить степень статической неопределимости (рису-

нок 2.2,а). 1) Составим схему сил. Для этого мысленно рассечём стержни 1 и 2. Отбросим опору С. В опоре О возникнут реактивные силы YO и ZO . В стержнях возникнут внутренние силы N1 и N2, (рисунок 2.2,б). 2) Составим уравнения равновесия: ΣY = 0; ΣZ = 0; ΣMO = 0. ΣY = 0; – P + YO – N2 – N1·sinα = 0. ΣZ = 0; ZO – N1·cosα = 0. ΣMO = 0; – Pа + N2 2a + N1·sinα (2a + a) = 0.

32

Получили три уравнения статики. Количество неизвестных – четыре: YO, ZO, N1, N2. 3) Определим степень статической неопределимости:

n = 4 – 3 = 1.

Рисунок 2.2

∆ l2

С

а 2а а

l1

∆ l1 в)

P

D B О

B1

D1

l2

P

A D B O

Са 2а а

а)

2 1

α=30°

Y

ZO

YO Z

P A

D B О

N2 N1

б)

α=30°

33

Пример решения задачи 5

Построить деформированную схему один раз статически неоп-ределимой конструкции (см. рисунок 2.2,а).

Составить уравнение совместности деформаций. 1) Рассмотрим новое положение балки (см. рисунок 2.2,а,в) по-

сле её поворота около шарнира О вследствие деформаций стерж-ней 1 и 2. На схеме перемещений (см. рисунок 2.2,в) удлинения стержней 1 и 2 и перемещения шарниров D и В показаны с большим преувеличением.

Действительные перемещения точек D и В балки по дугам за-меняем перемещениями по вертикальным прямым ВВ1 и DD1.

Из схемы перемещений видно:

211111

1 ;2;2130sin;2

30sinllll DD

ÂÂ ∆=∆==∆=∆= BBo

o.

2) Составим уравнение совместности деформаций стержней 1 и 2. Из подобия треугольников ОDD1 и ОВВ1 следует

23

23

1

1 ==aa

DDÂÂ ,

но ВВ1 = 2∆l1 и DD1 = ∆l2 ,

тогда 232

2

1 =∆∆ll .

Отсюда 21 43 ll ∆=∆ .

Выразим это уравнение через усилия, используя второе выра-

жение закона Гука: ;ii

i

FEN i

il

l =∆

22

22

11

1

43

FEN

FEN ll

⋅=1 .

Таким образом, получили уравнение совместности деформаций. Решая совместно уравнения статики и уравнение совместности

деформаций, можно определить неизвестные силы N1 и N2, т.е. рас-крыть статическую неопределимость.

34

3 Геометрические характеристики плоских сечений

Пояснения к решению задачи 6 (см. приложение А) К геометрическим характеристикам плоских сечений относятся: F − площадь сечения, см2; Sx, Sy − статические моменты площади, см3; Jx , Jy − осевые моменты инерции, см4; Jxy − центробежный момент инерции, см4; Jp − полярный момент инерции, см4; Wx, Wy − осевые моменты сопротивления, см3; Wp − полярный момент сопротивления, см3.

Статические моменты площади (рисунок 3.1) определяются по формулам

∫ ∫==F F

yx xdFSydFS ; .

Если известны положения центра тяжести сечения и его площадь, то

Sx = Fy0 ; Sy = Fx0 , где y0, x0 − координаты центра тяжести сечения.

Относительно центральных осей Sx и Sy равны нулю.

Статический момент сложного се-чения относительно некоторой оси равен алгебраической сумме статических мо-ментов всех элементарных частей относительно той же оси.

Координаты центра тяжести сложного сечения определяются по формулам

∑∑

∑∑ ====

i

iix

i

iiy

FyF

FSy

FxF

FS

x00

; . (3.1)

Если сечение имеет ось симметрии (например ось Х), то центр тяжести лежит на этой оси и его положение определяется одной ко-

y0

х0

y

Х

0

х

Y

ρ

dF

F

Рисунок 3.1

35

ординатой – y0. Если сечение имеет две оси симметрии, то центр тя-жести лежит на пересечении этих осей.

Моменты инерции представляют собой интегралы

∫∫∫∫ =ρ===F

xyF

pFF

yx dFxyJdFJdFxJdFyJ ;;;222 .

Осевой момент инерции сложного сечения равен алгебраиче-ской сумме осевых моментов инерции составляющих его элементов:

∑=

=++++=n

ixnxxxx iJJ...JJJJ

1321

.

Поэтому при определении осевого момента инерции сложного сечения это сечение разбивают на фигуры, моменты инерции кото-рых относительно своих центральных осей или известны, или легко определяются.

При переносе центральных осей элементарных фигур к цен-тральным осям всей сложной фигуры пользуются теоремой о парал-лельном переносе осей:

,2iixx aFJJ iiC−= (3.2)

где iC

xJ − момент инерции элементарной фигуры относительно

центральных осей всей сложной фигуры;

ixJ − момент инерции элементарных фигур относительно своих центральных осей;

Fi − площади элементарных фигур; аi − расстояния между центральными осями элементарных фи-

гур и центральными осями всей сложной фигуры. При повороте осей пользуются формулами теоремы о повороте

осей: α−α+α= 2sinsincos

1111

22yxxx JJJJ y ;

α+α+α= 2sincossin1111

22yxJJJJ yxy ,

где 1111

,, yxJJJ yx − осевые и центробежный моменты инерции от-

носительно осей X1 и Y1; yx JJ , − осевые моменты инерции относительно новых осей,

повернутых на угол α; α − угол поворота между старыми и новыми осями.

36

Угол α определяется по формуле

11

112

tgyx

yx

JJJ−

−=α .

Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции, а осевые моменты инерции относительно этих осей называются главными моментами инерции.

Главные моменты инерции относительно осей, проходящих через центр тяжести, называются главными центральными момента-ми инерции.

Пример решения задачи 6 а) Определение центра тяжести сложного сечения (рисунок 3.2). Заштрихованную площадь можно рассматривать как разность

площадей бóльшего (фигура I) и меньшего (фигура II) прямоуголь-ников.

Для данного сечения ось Y является осью симмет-рии, поэтому одна координа-та будет лежать на этой оси x0 = 0. Следовательно, поло-жение центра тяжести опре-деляется одной координатой y0.

Проведём вспомога-тельную ось Х1, совпадаю-щую с нижней гранью сече-ния.

Определим площади фи-гур I и II по формуле F = bh:

FI = 6 ⋅ 5 = 30 см2. FII = 4 ⋅ 4 = 16 см2.

Определим ix

S фигур I и II по формуле ix

S = Fi yi , для которых

FI = 30 см2, FII = 16 см2, 5,2I =y см, 0,2II =y см;

Рисунок 3.2

t = 1 см Y I

X

b = 6 см

y0X1

h =

5 см

t

II

0

y II y I

t

37

755,230I1

=⋅=xS см3; 32216II

1=⋅=xS см

3 .

Определим y0 по формуле (3.1):

21

111III

0 FFSS

FS

y xxi

ix

−

−==

∑∑

;

07,31443

16303275

0==

−−

=y см.

б) Определение главных центральных моментов инерции (ри-сунок 3.2).

Моменты инерции относительно оси Х1:

1XJ − момент инерции всего сечения относительно оси Х1:

III111 XXX

JJJ −= ;

I1X

J − момент инерции фигуры I относительно оси Х1:

для прямоугольника I 250356

3

33III

1 =⋅

==hbJ X см

4;

II1X

J − момент инерции фигуры II относительно оси Х1:

для прямоугольника II 33,85344

3

33IIII

1=

⋅==

hbJ X см4.

В результате получим 67,16433,852501

=−=XJ см4.

Момент инерции относительно главной центральной оси − главный центральный момент инерции (см. формулу 3.2):

201

yFJJ XX −= ,

где F − площадь сечения заданной фигуры, F = FI – FII = 30 – 16 = 14 см2 ;

JX = 164,67 − 14⋅3,072 = 32,72 см4. Так как ось Y является центральной для обоих прямоугольни-

ков, то IIIYYY JJJ −= ,

38

где III è YY JJ − момент инерции прямоугольников I и II относи-тельно центральной оси Y;

9012

6512

33I =

⋅==

hbJY см4; 21,33

1244 3II =⋅=YJ см

4.

YJ = 90 – 21,33 = 68,67 см4.

Таким образом, главные центральные моменты инерции

XJ = 32,72 см4;

YJ = 68,67 см4.

Моменты сопротивления maxmax

;xJW

yJW YYXX == .

39

4 Теория напряжённого состояния Пояснения к решению задачи 7 (см. приложение А) При объёмном напряжённом состоянии тела среди бесчислен-

ного множества площадок, которые можно провести через любую точку внутри тела, есть три взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Эти площадки на-зываются главными, а возникающие на них нормальные напряжения называются главными напряжениями. Их обозначают 321 ,, σσσ . Индексы расставляют таким образом, чтобы соблюдалось условие

321 σ>σ>σ . Для данной точки 1σ − наибольшее значение, а 3σ − наименьшее значение (алгебраически).

Различают объёмное (трёхосное), плоское (двухосное) и линей-ное (одноосное) напряжённые состояния.

При плоском напряжённом состоянии в окрестностях точки можно выделить элементарный параллелепипед, у которого две гра-ни свободны от напряжений (главные нулевые площадки), а среди семейства площадок, перпендикулярных нулевой главной площадке, можно найти две взаимно перпендикулярные главные площадки, в которых возникают наибольшее и наименьшее главные напряжения.

Положение главных площадок определяется по формуле

y

yx

x σστ

α−

−= )(2

tg . (4.1)

Для этого площадки, в которых действуют yx σσ è , следует

повернуть оси на угол α против часовой стрелки (при α > 0) или по часовой стрелке (при α < 0).

Величины главных напряжений, возникающих на этих главных площадках, определяются по формуле

2)(ãë 4)(2

12

2

yxyxyx τ+σ−σ±

σ+σ=σ . (4.2)

Индексы главных напряжений устанавливаются после вычис-ления этих напряжений.

Экстремальные касательные напряжения определяются по формуле

2max/min )(4)(2

1 2yxyx τ+σ−σ±=τ . (4.3)

40

Площадки, по которым действуют max/minτ , располага-ются под углом 45° к главным площадкам.

Экстремальные касатель-ные напряжения действуют в на-правлениях от minσ к maxσ , как показано на рисунке 4.1.

В формулы (4.1), (4.2) и (4.3) исходные напряжения подставляются со своими знаками.

Напряжения yx σσ è − положительные, если они растягиваю-щие, и, наоборот, – отрицательные, если они сжимающие.

Пример решения задачи 7 а) Определение главных напряжений. Определить значения главных напряжений

321 ,, σσσ для изображённого напряжённого состояния на рисунке 4.2.

Определим величины главных напряжений по формуле (4.2):

2)(

2ãë 4)(2 óõóõ

óõ τ+σ−σ±σ+σ

=σ ;

.4959545304))50(40(21

2)50(40 22

ãë+−=±−=⋅+−−±

−+=σ

Рисунок 4.1

σmax

σmin τ

45°

Площадкисдвига

Главныеплощадки

Рисунок 4.2

xσ = 40 МПа

yσ = 50 МПа

)( yxτ = 30 МПа

41

Анализируя полученные результаты, определим главные на-пряжения:

.32132 ÌÏà;59;0ÌÏà;491

σ>σ>σ−=== σσσ

б) Определение положения главных площадок для напряжён-ного состояния (см. рисунок 4.2).

Определим положение главных площадок по формуле (4.1):

0433;666,0)50(40

3022tg )( ′−=α−=−−

⋅−=

σ−σ

τ−=α o

yx

yx .

Площадки с напряжениями yx σσ è надо повернуть на угол α = − 33°40′ по часовой стрелке.

в) Определение экстремальных касательных напряжений (см. рисунок 4.2).

Определим экстремальные касательные напряжения по форму-ле (4.3):

ÌÏà.7,49304))50(40(21

4)(21

22

2max/min )(

2

±=⋅+−−±=

=τ+σ−σ±=τ yxyx

42

5 Кручение Пояснения к решению задачи 8 (см. приложение А)

Деформация прямого вала, вызываемая внешними парами сил, действующими в плоскостях, перпендикулярных к оси вала, называ-ется кручением. Моменты внешних пар называют скручивающими моментами m.

Внутренняя сила в сечении, возникающая под действием внешних скручивающих моментов m, называется крутящим момен-том кM .

Крутящий момент Мк по величине равен алгебраической сумме всех внешних скручивающих моментов m, взятых по одну сторону от сечения.

Знак крутящего момента физического смысла не имеет, и обще-принятого правила знаков нет; однако для расчётов примем такое пра-вило знаков: крутящий момент Мк в сечении считается положи-тельным, если смотреть в сторону сечения, внешний скручиваю-щий момент m вращается против часовой стрелки, и наоборот.

Для расчёта вала на прочность и жёсткость при кручении не-обходимо знать величину крутящего момента кM в любом сечении вала.

Закон изменения крутящих моментов по длине вала, представ-ленный в виде графика (диаграммы), называется эпюрой крутящих моментов. При построении эпюры крутящих моментов их величины откладываются в определённом масштабе, при этом выше нулевой линии положительные, ниже нулевой линии – отрицательные. Каж-дая ордината кM даёт величину крутящего момента в соответст-вующем поперечном сечении вала. В сечениях, где приложены со-средоточенные внешние моменты iM , на эпюре кM получаются «скачки», равные по величине внешним скручивающим моментам.

При кручении в поперечных сечениях вала возникают каса-тельные напряжения, определяемые по формуле

ρ=τðJ

Ì êρ ,

где ρτ − касательное напряжение в точке на расстоянии ρ от центра

сечения;

43

êM − крутящий момент в сечении;

Jp − полярный момент инерции поперечного сечения. Наибольшее касательное напряжение в сечении возникает в

крайних точках при ρ = r max:

pp WÌ

JrÌ êê

max ==τ ,

где rp

pJ

W = − полярный момент сопротивления;

− для круга 33

2,016

ddWp ≈π

= ;

− для кольца ( ) ( )4343 12,0116

ñdñdWp −≈−π

= ,

здесь ddñ 0= ( 0d − внутренний диаметр вала).

Условие прочности вала состоит в том, что наибольшее каса-тельное напряжение в опасном сечении не должно превышать до-пускаемого касательного напряжения:

maxτ ≤ [τ]. Опасным сечением считается сечение, где τ имеет максималь-

ное значение. Пользуясь условием прочности, можно решить три типа задач: 1 Проверка прочности (проверочный расчёт):

[ ]τ≤=τpW

M êmaxmax .

Для пластичных материалов [τ] ≈ 0,5[σт]. 2 Подбор сечения (проектный расчёт):

[ ] .êmax

τ=

MWp

Тогда для сплошного круглого сечения

;16

3dWpπ

= 3 êmax][

16τπ

⋅=

Md .

3 Определение допускаемого крутящего момента [ êmaxM ] = [τ] Wp.

44

mA

5

d 1 II

3 m

а)

в)

С В А

2 m

II

I

I d 2

MкI

MкII

б)

Мк , кНм

2 m 3 m

3 m

г)

3

Рисунок 5.1

Пример решен�