159
Έκδοση 01 Φεβρουάριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ντάνος Γιώργος

Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

  • Upload
    others

  • View
    3

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Έκδοση 01 Φεβρουάριος 2018

Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Ντάνος Γιώργος

Page 2: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

© Copyright ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2017

Page 3: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

2

Περιεχόμενα

Μέρος Α

Α1. Συναρτήσεις ……………………………………………………………………………….σελίδα 3

Α2. Όρια …………………………………………………………………………………………σελίδα 33

Α3. Σχόλια για τις ασκήσεις στις οποίες έχουμε την έκφραση «υπάρχει» ……...σελίδα 63

Α4. Εξισώσεις ………………………………………………………………………...……….σελίδα 66

Α5. Ανισότητες …………………………………………………………………………….…σελίδα 70

Α6. Fermat ……………………………………………………………………….…………….σελίδα 87

Α7. Εύρεση Τύπου Συνάρτησης ……………………………………………………….σελίδα 93

A8. Προβλήματα Ακροτάτων ………………………………………………………..σελίδα 108

Α9. Ρυθμός Μεταβολής ………………………………………………………………...σελίδα 115

Α10. Εφαρμογές της Κυρτότητας ………………………………………………….σελίδα 121

Α11. Εμβαδά ……………………………………………………………………………...…σελίδα 123

Page 4: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

3

Α1. Συναρτήσεις

Α1.1 ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ 𝐷𝑓

Συνάρτηση 𝑓 Συνθήκη ώστε η παράσταση N(𝑥) να έχει νόημα πραγματικού αριθμού

𝑁(𝑥) =1

𝑇(𝑥)

Πρέπει και αρκεί 𝑇(𝑥) ≠ 0

𝑁(𝑥) = √𝑇(𝑥)𝜅

, 𝜅 ∈ ℕ∗ με κ≥ 2 ή

𝑁(𝑥) = (𝑇(𝑥))𝜆

𝜅 , 𝜅, 𝜆 ∈ ℕ∗

Πρέπει και αρκεί 𝛵(𝑥) ≥ 0

𝛮(𝑥) = 휀𝜑(𝑇(𝑥)) Πρέπει και αρκεί 𝑇(𝑥) ≠ 𝜅𝜋 +𝜋

2 ,

𝜅 ∈ ℤ 𝛮(𝑥) = 𝜎𝜑(𝑇(𝑥)) Πρέπει και αρκεί 𝑇(𝑥) ≠ 𝜅𝜋 ,

𝜅 ∈ ℤ 𝑁(𝑥) = ln (𝑇(𝑥)) ή

𝑁(𝑥) = log (𝑇(𝑥)) Πρέπει και αρκεί 𝑇(𝑥) > 0

𝑁(𝑥) = {𝑇1(𝑥), 𝛼𝜈 𝑥 ∈ 𝐴1𝑇2(𝑥), 𝛼𝜈 𝑥 ∈ 𝐴2

𝐷𝑓 = 𝐴1 ∪ 𝐴2

Για τις συναρτήσεις τις μορφής

𝑁(𝑥)𝑇(𝑥) = 𝑒𝑇(𝑥) ∙ln(𝑁(𝑥))

Συνήθως θα δίνεται ή θα προκύπτει ότι 𝑁(𝑥) > 0

Α1.2 ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΤΗΣ 𝐶𝑓 ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ – ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ 𝐶𝑓 , 𝐶𝑔

Σημεία τομής της 𝐶𝑓 με τον άξονα 𝑥΄𝑥 : λύνουμε την εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0

Σημεία τομής της 𝐶𝑓 με τον άξονα 𝑦΄𝑦 : βρίσκουμε το 𝑓(0) εάν 0 ∈ 𝐷𝑓

Σχετική θέση της 𝐶𝑓 με τον άξονα 𝑥΄𝑥 (πρόσημο της 𝑓)

Η 𝐶𝑓 βρίσκεται «πάνω» από τον άξονα 𝑥΄𝑥 για τα 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 με 𝑓(𝑥) > 0

Η 𝐶𝑓 βρίσκεται «κάτω» από τον άξονα 𝑥΄𝑥 για τα 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 με 𝑓(𝑥) < 0

Η 𝐶𝑓 ΔΕΝ βρίσκεται «πάνω» από τον άξονα 𝑥΄𝑥 για τα 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 με

𝑓(𝑥) ≤ 0

Η 𝐶𝑓 ΔΕΝ βρίσκεται «κάτω» από τον άξονα 𝑥΄𝑥 για τα 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 με

𝑓(𝑥) ≥ 0

Page 5: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

4

Αρχέτυπο 1.2.1 Δίνεται η συνάρτηση

𝑓(𝑥) =𝑥2 + 𝛼

|𝑥 − 1| + 2

με 𝛼 ∈ ℝ

Η γραφική παράσταση της 𝑓 τέμνει τον άξονα 𝑦΄𝑦 στο −3. Να βρείτε

α. Το πεδίο ορισμού της 𝑓

β. Τον αριθμό 𝛼

γ. Τα σημεία τομής της 𝐶𝑓 με τους άξονες

δ. Τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της 𝑓 βρίσκεται πάνω

από τον άξονα 𝑥΄𝑥

Page 6: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

5

Σχετική θέση δύο γραφικών παραστάσεων 𝐶𝑓 , 𝐶𝑔

Τα σημεία τομής των 𝐶𝑓 , 𝐶𝑔 έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) με 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔

Η 𝐶𝑓 βρίσκεται «πάνω» από τη 𝐶𝑔 για τα 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 με

𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) ⇔𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) > 0

Η 𝐶𝑓 βρίσκεται «κάτω» από τη 𝐶𝑔 για τα 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 με

𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥) ⇔𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) < 0

Αρχέτυπο 1.2.2 Δίνονται οι συναρτήσεις 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝛼𝑥 + 𝛽 και

𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 𝛽 − 6𝛼

με 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. Αν η 𝐶𝑓 τέμνει τον άξονα 𝑥΄𝑥 στο −3 και η 𝐶𝑔 τέμνει τον άξονα

𝑦΄𝑦 στο −6, να βρείτε:

α. Τους αριθμούς α και β

β. Τα διαστήματα στα οποία η 𝐶𝑓 είναι κάτω από τη 𝐶𝑔

Χορδή της 𝑓 είναι το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα δύο σημεία της

𝐶𝑓

Οριζόντια χορδή της 𝐶𝑓 ⇔ Υπάρχουν 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓: 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)

Η 𝐶𝑓 διέρχεται από το σημείο 𝛮(𝑥, 𝑦) ⇔𝑓(𝑥) = 𝑦

Page 7: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

6

Α1.3 ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Πότε δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 λέγονται ίσες ;

Δύο συναρτήσεις 𝑓 και 𝑔 λέγονται ίσες όταν:

i) Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και

ii) Για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴 ισχύει 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

Σχόλιο: Αν 𝛢 ⊆ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 με 𝛢 ≠ ∅ και ισχύει 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) για κάθε

𝑥 ∈ 𝐴, τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 είναι ίσες στο σύνολο Α

❖ Μεθοδολογία: Πως αποδεικνύω ότι δύο συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 είναι ίσες

1ο Βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων 𝐷𝑓 , 𝐷𝑔

2ο Αν 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔 , τότε συνεχίζουμε και ελέγχουμε αν για κάθε x ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ισχύει

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Στην περίπτωση που ισχύει λέμε ότι οι συναρτήσεις είναι ίσες,

διαφορετικά οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες

Αν τα πεδία ορισμού είναι διαφορετικά 𝐷𝑓 ≠ 𝐷𝑔, λέμε ότι οι συναρτήσεις δεν

είναι ίσες. Εάν τις ζητείτε να βρούμε το «ευρύτερο υποσύνολο του ℝ στο οποίο

είναι ίσες, τότε περιοριζόμαστε στη τομή 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 και ελέγχουμε εάν για κάθε

𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ισχύει 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)

Αρχέτυπο 1.3.1 Δίνονται οι συναρτήσεις 𝑓(𝑥) = ln|𝑥| − ln |𝑥 − 1| και

𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥

𝑥−1 .Να εξετάσετε τις 𝑓 = 𝑔. Στην περίπτωση που είναι 𝑓 ≠ 𝑔 να

προσδιορίσετε εαν υπάρχει το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του ℝ στο

οποίο ισχύει 𝑓 = 𝑔

Page 8: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

7

Αρχέτυπο 1.3.2 Έστω οι συναρτήσεις

𝑓(𝑥) =(𝜆 − 2)𝑥2 − 𝑥 + 4 + 𝜆

𝑥 − 2𝜆2

και

𝑔(𝑥) =3𝜆 − 𝑥

𝑥 − 8

Να βρείτε το 𝜆 ∈ ℝ, ώστε 𝑓 = 𝑔

Σημείωση: Έστω 𝑓, 𝑔: {0,1} → ℝ με 𝑓(𝑥) = 𝑥13 και 𝑔(𝑥) = 𝑥23. Είναι 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔

αλλά έχουν διαφορετικό τύπο, παρόλα αυτά είναι ίσες

Page 9: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

8

Α1.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΠΡΑΞΗ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΥΠΟΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ 𝑓 + 𝑔 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ≠ ∅ (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)

ΔΙΑΦΟΡΑ 𝑓 − 𝑔 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ≠ ∅ (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

ΓΙΝΟΜΕΝΟ 𝑓 ∙ 𝑔 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 ≠ ∅ (𝑓 ∙ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)

ΠΗΛΙΚΟ 𝑓

𝑔 𝐷𝑓

𝑔= {𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ∩

𝐷𝑔

𝑔(𝑥)≠ 0} (

𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

Α1.5 ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

1ο Βρίσκουμε τα 𝐷𝑓 , 𝐷𝑔 ( τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων 𝑓, 𝑔 )

2ο Η 𝑔 ∘ 𝑓 ( η σύνθεση της 𝑓 με τη 𝑔 ) ορίζεται εάν

𝐷𝑔∘𝑓 = {𝑥 ∈ 𝐷𝑓/𝑓(𝑥) ∈ 𝐷𝑔} ≠ ∅

3ο Ο τύπος τις (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))

Αρχέτυπο 1.5.1 Δίνονται οι συναρτήσεις 𝑓(𝑥) =1−𝑥

1+𝑥 και 𝑔(𝑥) =

1+𝑥

1−𝑥

α) Να οριστούν οι συναρτήσεις 𝑓 ∘ 𝑔 και 𝑔 ∘ 𝑓

( ισχύει 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑔 ∘ 𝑓; )

β) Να σχεδιαστούν οι 𝐶𝑔∘𝑓 και 𝐶𝑓∘𝑔 στο ίδιο σύστημα αξόνων

γ) Να αποδειχθεί ότι (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) ⋅ (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = −1 για κάθε 𝑥 ≠ −1,0,1

Page 10: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

9

Σχόλιο: Πεδίο ορισμού 𝐷𝑓∘𝑤 , της σύνθεσης 𝑓 ∘ 𝑤

Αρχέτυπο 1.5.2 Έστω η συνάρτηση 𝑔(𝑥) = 𝑓 (𝑙𝑛𝑥

𝑒𝑥+1) με 𝐷𝑓 = [0,+∞) να

βρεθεί το 𝐷𝑔

Σχόλιο: Πεδίο ορισμού της 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ

Αρχέτυπο 1.5.3 Δίνονται οι συναρτήσεις :

𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1

, ℎ(𝑥) = √𝑥 − 2

Να ορίσετε τη συνάρτηση 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ

Σ/Λ Ισχύει πάντα (𝑓 ∘ 𝑔) ∘ ℎ = 𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ) ;

Page 11: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

10

Α1.6 ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ 𝑓 ∘ 𝑔 ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ ΤΗ 𝑔

1ο Θέτουμε 𝑔(𝑥) = 𝑢

2ο Λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς x

3ο Αντικαθιστούμε το x που βρήκαμε στο τύπο 𝑓(𝑔(𝑥))

Αρχέτυπο 1.6.1 Δίνεται η συνάρτηση ℎ(𝑥) = 𝑥 − 2 και η συνάρτηση

𝑔: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει:

(𝑔 ∘ ℎ)(𝑥) = 𝑥2 − 9𝑥 + 23

α. Να βρείτε τη συνάρτηση 𝑔

β. Δίνεται συνάρτηση 𝑓:ℝ → ℝ τέτοια ώστε

(𝑓 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑥). Να βρείτε το 𝑓(3)

Page 12: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

11

Α1.7 ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ 𝑓 ∘ 𝑔 ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ ΤΗ 𝑓

1ο θέτουμε όπου 𝑥 το 𝑔(𝑥) στο τύπο τις 𝑓(𝑥)

2ο Έχουμε τη συνάρτηση 𝑓(𝑔(𝑥)) με δύο μορφές ( μία αυτή που βρήκαμε

προηγουμένως και μία από τα δεδομένα ). Εξισώνουμε τις δύο αυτές μορφές

και βρίσκουμε την 𝑔(𝑥)

Αρχέτυπο 1.7.1 Δίνονται οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔:ℝ → ℝ με:

𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 2

και (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 3𝑥2 − 6𝑥 + 10

α. Να βρείτε τη συνάρτηση 𝑓

β. Να βρείτε σε ποια διαστήματα η 𝐶𝑓 βρίσκεται πάνω από τη 𝐶𝑔

Page 13: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

12

Α1.8 ΠΩΣ ΔΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 𝑓: 𝐴 → ℝ ΕΙΝΑΙ 1-1

1ος τρόπος: Θεωρώ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 για τα οποία ισχύει 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) και

προσπαθούμε να καταλήξουμε ότι 𝑥1 = 𝑥2 (Αυτή τη μέθοδο τη προτιμάμε σε

συναρτησιακές σχέσεις)

2ος τρόπος: Αποδεικνύω ότι η 𝑓 είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της

τότε (δεν ισχύει το αντίστροφο πάντα) είναι συνάρτηση 1-1

i) Όταν δεν μπορούμε να παραγωγίσουμε χρησιμοποιούμε τον ορισμό της

μονοτονίας ή απαγωγή σε άτοπο

ii) Όταν μπορούμε να παραγωγίσουμε, τότε βρίσκουμε το πρόσημο της

παραγώγου το οποίο φανερώνει τη μονοτονία της 𝑓

3ος τρόπος: Αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 𝑦 έχει μοναδική λύση για

κάθε 𝑦 ∈ 𝑓(𝐴) (Αυτή η μέθοδος τη προτιμάμε όταν μας ζητούν να βρεθεί ο

τύπος της αντίστροφης συνάρτησης)

Αρχέτυπο 1.8.1 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ είναι

«1 − 1» στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. 𝑤(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 −1

𝑥, 𝑥 > 0

β. 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥−2

𝑒𝑥+1

γ. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑙𝑛𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ ℝ , 𝜇휀 𝑓(𝑥) > 0 𝛾𝜄𝛼 𝜅ά𝜃휀 𝑥 ∈ ℝ

Page 14: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

13

Α1.9 ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ

Εάν 𝑓: ℝ → ℝ είναι 1-1 και 𝑔:ℝ → ℝ είναι 1-1 τότε και η 𝑔 ∘ 𝑓 είναι 1-1

Αρχέτυπο 1.9.1 Εάν 𝑓: ℝ → ℝ είναι 1-1. Να δείξετε ότι η

𝑔(𝑥) = −2𝑓5(𝑥) + 𝑒−𝑓(𝑥) + 23

είναι 1-1

Αρχέτυπο 1.9.2 Έστω 𝑓, 𝑔:ℝ → ℝ συναρτήσεις, ώστε η 𝑓 ∘ 𝑔 να είναι 1-1

α. Να αποδείξετε ότι η 𝑔 είναι 1-1

β. Δίνεται συνάρτηση ℎ: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει

𝑔(ℎ(𝑙𝑛𝑥) + 1) = 𝑔(𝑥 + 2) για κάθε 𝑥 > 0

i. Να αποδείξετε ότι ℎ(𝑥) = 𝑒𝑥 + 1 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

ii. Να αποδείξετε ότι η ℎ είναι 1-1

iii. Να ορίσετε την ℎ−1 (βλέπε Α1.11)

Page 15: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

14

Α1.10 ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΟΤΙ Η 𝑓 ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ 1-1

1ος τρόπος: Θεωρώ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 για τα οποία ισχύει 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) και καταλήγω

π.χ. 𝑥1 = 𝑥2 και 𝑥1 = −𝑥2

2ος τρόπος: Βρίσκω 𝑥1 ≠ 𝑥2 με 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ( προτιμάμε το 2ο τρόπο )

3ος τρόπος Έστω ότι η 𝑓 είναι 1-1 … καταλήγω σε άτοπο

4ος τρόπος ( γραφικά ) Φέρνω ευθείες παράλληλες στον άξονα 𝑥΄𝑥 και

παρατηρώ ότι τουλάχιστον μια τέμνει τη 𝐶𝑓 σε τουλάχιστον δύο σημεία

Αρχέτυπο 1.10.1 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ δεν είναι

«1 − 1» στις παρακάτω περιπτώσεις:

α. 𝑓(𝑓(𝑥)) = 1 , 𝑥 ∈ ℝ

β. 𝑓(𝑥) = 𝑥2016 − 𝑥2000 + 𝑥2 + 1

γ. 𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑥2 − 𝑥 + 1 , 𝑥 ∈ ℝ

δ. 𝑓2(𝑥) + 2𝑓(𝑥2) + 1 = 0, 𝑥 ∈ ℝ

ε. 𝑓2(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥)𝑓(2 − 𝑥) , 𝑥 ∈ ℝ

Page 16: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

15

Α1.11 ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ 𝑓−1

Συνάρτηση απλού τύπου

1ο Δείχνουμε ότι είναι 1-1 άρα αντιστρέψιμη

2ο Λύνουμε την εξίσωση 𝑓(𝑥) = 𝑦 ως προς 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 και προσέχουμε για

περιορισμούς ως προς 𝑦 ( Περιορισμούς παίρνουμε όταν: διαιρούμε,

παίρνουμε ρίζες , λογαριθμούμε , υψώνουμε σε άρτια δύναμη )

3ο Απαιτούμε η λύση 𝑥 = 𝑔(𝑦) να ανήκει στο πεδίο ορισμού της 𝑓

4ο Λύνουμε τους περιορισμούς για το 𝑦 ( ή 𝑓(𝐷𝑓) = 𝐷𝑓−1 )

5ο Από τη συναλύθευση των 3 και 4 προκύπτει το σύνολο τιμών της 𝑓, δηλαδή

το πεδίο ορισμού της 𝑓−1

Αρχέτυπο 1.11.1 Δίνεται η συνάρτηση

𝑓(𝑥) =𝑎 − 𝑒𝑥

1 + 𝑒𝑥

, όπου 𝛼 ∈ ℝ. Η γραφική παράσταση της 𝑓 διέρχεται από το σημείο

𝛮(𝑙𝑛3, −1

2)

α. Να βρείτε τον αριθμό α

β. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 είναι 1 − 1

γ. Να βρείτε την 𝑓−1

δ. Να αποδείξετε ότι η 𝑓−1 είναι περιττή

Page 17: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

16

Συνάρτηση 2ου βαθμού ,

Μορφοποιούμε το τύπο της 𝑓 με συμπλήρωση τετραγώνου

Αρχέτυπο 1.11.2 Δίνεται η συνάρτηση 𝑓: (−∞, 4] → ℝ με:

𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 10

α. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 είναι 1-1

β. Να βρείτε την 𝑓−1

Page 18: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

17

Κλαδική Συνάρτηση

Αρχέτυπο 1.11.3 Δίνεται συνάρτηση 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 3, 𝛼𝜈 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 08 − 𝑥, 𝛼𝜈 0 < 𝑥 ≤ 2

α. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 είναι 1-1

β. Να ορίσετε την 𝑓−1

γ. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των 𝑓 και 𝑓−1 στο ίδιο

σύστημα αξόνων

Page 19: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

18

Συναρτησιακή Σχέση

Αρχέτυπο 1.11.4 Δίνεται συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ , η οποία έχει σύνολο τιμών

το ℝ και ικανοποιεί τη σχέση: 𝑓3(𝑥) + 2𝑓(𝑥) + 𝑥 = 0 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

α. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της 𝑓 διέρχεται από την

αρχή των αξόνων

β. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 είναι αντιστρέψιμη

γ. Να ορίσετε την 𝑓−1

Page 20: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

19

Ειδική περίπτωση

Αρχέτυπο 1.11.5 Να βρεθεί, εάν υπάρχει, η αντίστροφη της συνάρτησης

𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 + 5

Αρχέτυπο 1.11.6 Έστω 𝑔(𝑥) = ln (𝑥 + √𝑥2 + 9) τότε :

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 𝑔 .

ii) Να αποδείξετε ότι η 𝑔 αντιστρέφεται και ορίσετε την 𝑔−1

Page 21: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

20

A1.12 ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ 𝐶𝑓 με την 𝑦 = 𝑥

Ισχύει ότι οι 𝐶𝑓 , 𝐶𝑓−1 είναι συμμετρικές ως τις την 𝑦 = 𝑥 τότε:

𝑓(𝑥) = 𝑥 ⇔𝑓−1(𝑥) = 𝑥

Οπότε εάν η επίλυση της μιας από τις δυο είναι δυσχερής τότε επιλύω την

άλλη

Αρχέτυπο 1.12.1 Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥 − 8 , 𝑥 ∈ ℝ με σύνολο

τιμών 𝑓(ℝ) = ℝ

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 𝑓 αντιστρέφεται και η συνάρτηση 𝑓−1

είναι γνησίως αύξουσα

β. Να βρείτε τα σημεία τομής τις 𝐶𝑓−1 με την ευθεία 𝑦 = 𝑥

γ. Να βρείτε τα σημεία τομής των 𝐶𝑓 , 𝐶𝑓−1 (βλέπε Α1.13)

Page 22: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

21

Α1.13 Η ΕΞΙΣΩΣΗ 𝑓(𝑥) = 𝑓−1(𝑥) ή ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ 𝐶𝑓 με 𝐶𝑓−1

Αρχέτυπο 1.13.1 Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = ln(1 − 𝑒𝑥) − 𝑥

α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 𝑓 και να μελετηθεί

ως προς τη μονοτονία

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της 𝑓

γ. Να βρείτε την αντίστροφη της 𝑓

δ. Να βρείτε τα σημεία τομής των 𝐶𝑓 , 𝐶𝑓−1

Page 23: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

22

Α1.14 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ

Σχέσεις της μορφής 𝑓(𝑥 ± 𝑦)

Για να βρούμε το 𝑓(0), συνήθως αντικαθιστούμε 𝑥 = 𝑦 = 0

Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση 𝑓 είναι άρτια ή περιττή, συνήθως

αντικαθιστούμε 𝑦 = −𝑥 ή 𝑥 = −𝑦 ή 𝑥 = 0 ή 𝑦 = 0

Γενικά δίνουμε στα 𝑥, 𝑦 κατάλληλες τιμές για να προκύψει το ζητούμενο

Σχέσεις της μορφής 𝑓(𝑥𝑦)

Για να βρούμε το 𝑓(1), συνήθως αντικαθιστούμε 𝑥 = 𝑦 = 1

Για να προκύψει ισότητα με έναν άγνωστο, συνήθως αντικαθιστούμε 𝑥 = 1 ή

𝑦 = 1 ή 𝑦 =1

𝑥

Γενικά δίνουμε στα 𝑥, 𝑦 κατάλληλες τιμές για να προκύψει το ζητούμενο

Αρχέτυπο 1.14.1 Δίνεται συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει:

𝑓(𝑥 − 𝑦) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) για κάθε 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Να αποδείξετε ότι

α. 𝑓(0) = 0

β. Η 𝑓 είναι περιττή συνάρτηση

γ. Αν η 𝑓 έχει μοναδική ρίζα το 0, τότε η 𝑓 είναι αντιστρέψιμη και ισχύει:

𝑓−1(𝑥 − 𝑦) = 𝑓−1(𝑥) − 𝑓−1(𝑦) , 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

Page 24: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

23

Α1.15 ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ 1-1

ΚΑΙ ΤΑ ΔΥΟ ΜΕΛΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΘΕΣΕΙΣ ΤΗΣ ΙΔΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Αρχέτυπο 1.15.1 Να λυθεί η εξίσωση

(2𝑥2+ 𝑥2 + 1)3 + 2𝑥

2+ 𝑥2 + 1 = (2𝑥+2 + 𝑥 + 3)3 + 4 ∙ 2𝑥 + 𝑥 + 3

ΜΕ ΠΡΟΦΑΝΗ ΡΙΖΑ

Αρχέτυπο 1.15.2 Να λύσετε την εξίσωση 𝑒𝑥 + 2 = √8 + √1 − 𝑥

Page 25: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

24

Α1.16 ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

Ανίσωση 𝑓(𝑥) < 𝛼 , 𝛼 ∈ ℝ

1ο Βρίσκουμε 𝑥0 τέτοιο ώστε 𝑓(𝑥0) = 𝛼, οπότε:

2ο 𝑓(𝑥) < 𝑎 ⇔𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0)

⇔{

𝑥 < 𝑥0, 휀𝛼𝜈 𝑓 𝛾𝜈. 𝛼ύ𝜉𝜊𝜐𝜎𝛼

𝑥 > 𝑥0, 휀𝛼𝜈 𝑓 𝛾𝜈. 𝜑𝜃ί𝜈𝜊𝜐𝜎𝛼

Αρχέτυπο 1.16.1 Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 , 𝑥 > 0

α. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα

β. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 αντιστρέφεται και να βρείτε τα κοινά

σημεία των γραφικών παραστάσεων των 𝑓 και 𝑓−1

γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε 0 < 𝛼 < 𝛽 ισχύει ότι

𝑙𝑛𝛼

𝛽< 𝛽 − 𝛼

δ. Να λύσετε την εξίσωση ln(𝑙𝑛𝑥 + 𝑥) + 𝑙𝑛𝑥 = 1 − 𝑥 , για 𝑥 ≥ 1

ε. Να λυθεί η ανίσωση 𝑓−1(𝑥) > 𝑥

Page 26: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

25

Ανίσωση της οποίας και τα δύο μέλη είναι συνθέσεις της συνάρτησης

Αρχέτυπο 1.16.2 Να λυθεί η ανίσωση:

ln (3𝑥 + 4𝑥

5𝑥) < 𝑒5

𝑥− 𝑒3

𝑥+4𝑥

Page 27: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

26

Α2. ΌΡΙΑ Α2.1 ΆΡΡΗΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΜΟΡΦΗ √𝑃(𝑥) ± √𝑄(𝑥)

Πολλαπλασιάζουμε με την συζυγή παράσταση των ορίων που περιέχουν ριζικά Αρχέτυπο 2.1.1 Να υπολογιστεί το όριο:

lim𝑥→1

√𝑥2 + 3𝑥 − 2

√𝑥2 + 3 + 𝑥 − 3

ΜΟΡΦΗ √𝑃(𝑥)𝜅 + √𝑄(𝑥)

𝜆 − 𝜆

Κάνουμε διάσπαση του λ σε δύο αριθμούς ( Οι αριθμοί αυτοί είναι οι αντίθετοι των

τιμών που θα προκύψουν από τις √𝑃(𝑥)𝜅 , √𝑄(𝑥)

𝜆 αν θέσουμε όπου x το 𝑥0 )

Αρχέτυπο 2.1.2 Να υπολογίσετε τα όρια:

α. lim𝑥→1

√𝑥+√𝑥−1−1

√𝑥2−1

β. lim𝑥→1

√𝑥+8−√5−𝑥−1

𝑥2−1

γ. lim𝑥→1

√𝑥2+3−√𝑥2+8𝑥−𝑥+2

𝑥−1

Page 28: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

27

Page 29: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

28

Ριζικά με την ίδια υπόρριζη ποσότητα διαφορετικών τάξεων

Όταν σε ένα όριο εμφανίζονται ριζικά π.χ. √𝑓(𝑥)𝜅 , √𝑓(𝑥)

𝜆 , √𝑓(𝑥)𝜇

, τότε θέτω

𝑢 = √𝑓(𝑥)𝜌

, όπου ρ είναι το Ε.Κ.Π. των {κ,λ,μ}

Αρχέτυπο 2.1.3 Να υπολογίσετε το όριο:

lim𝑥→3

√𝑥 − 23

+ 3√𝑥 − 24

− 4

√𝑥 − 23

− √𝑥 − 26

Page 30: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

29

Α2.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ To 𝑥0 δε μηδενίζει κανένα απόλυτο 1ο Βρίσκουμε τα όρια στο 𝑥0, των παραστάσεων μέσα στα απόλυτα (δηλαδή χωρίς την απόλυτη τιμή) 2ο Κοντά στο 𝑥0, καθεμία από τις παραστάσεις έχει το πρόσημο του ορίου της , αυτό προκύπτει από τις ιδιότητες: Εάν ισχύει lim

𝑥→𝑥0𝑓(𝑥) > 0 τότε 𝑓(𝑥) > 0 κοντά στο 𝑥0

Εάν ισχύει lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) < 0 τότε 𝑓(𝑥) < 0 κοντά στο 𝑥0

3ο Βγάζω τα απόλυτα Αρχέτυπο 2.2.2 Να υπολογίσετε το όριο:

lim𝑥→1

|𝑥 − 3| − |𝑥2 − 7𝑥 + 9| + 4 − 3𝑥

𝑥2 − 𝑥

Page 31: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

30

Το 𝑥0 μηδενίζει κάποιο από τα απόλυτα 1ο Σχηματίζουμε πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις που βρίσκονται μέσα στα απόλυτα 2ο Χρησιμοποιούμε πλευρικά όρια και βγάζουμε τα απόλυτα Αρχέτυπο 2.2.3 Να υπολογίσετε το όριο:

lim𝑥→1

|𝑥2 − 𝑥| + |−𝑥2 − 2𝑥 + 3| + 𝑥3 − 1

𝑥2 − 1 − |1 − 𝑥|

Page 32: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

31

Α2.3 ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Χρησιμοποιούμε:

1. Σε σύνθεση συναρτήσεων 2. Σε άρτια/περιττή συνάρτηση 3. Σε συναρτησιακή σχέση

Σύνθεση lim

𝑥→𝑥0𝑓(𝑔(𝑥)) τότε θέτω 𝑢 = 𝑔(𝑥)

Αρχέτυπο 2.3.1 Να υπολογίσετε το όριο lim𝑥→0+

((𝑓(𝑥))2𝜂𝜇 (

1

𝑓(𝑥)) − 𝑓(𝑥)) , εάν

ισχύει ότι lim𝑥→0+

𝑓(𝑥) = −∞

Page 33: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

32

Άρτια/Περιττή Συνάρτηση ( θέτω 𝑢 = −𝑥 ) Αρχέτυπο 2.3.2 Δίνεται περιττή συνάρτηση 𝑓:ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ότι lim𝑥→1𝑓(𝑥 + 3) = 5. Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim

𝑥→4𝑓(𝑥) και β) lim

𝑥→−4𝑓(𝑥)

Page 34: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

33

Συναρτησιακή σχέση

Αρχέτυπο 2.3.3 Δίνεται συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει

lim𝑥→0

𝑓(𝑥) − √𝑥 + 4 + 2

𝑥2 + 2𝑥=3

8

και 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 για κάθε 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Να βρείτε τα όρια:

α) lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

𝑥 β) lim

𝑥→2

𝑓(𝑥)−𝑓(2)

𝑥−2

Page 35: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

34

Α2.4 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ , χρησιμοποιώ: 1. ΥΠΟΘΕΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗ 2. ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ 3. ΥΠΟΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 4. ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΡΙΩΝ

Υπόθεση Ανίσωση ( 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ή |𝑓(𝑥)| ≤ |𝑔(𝑥)| ή |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑔(𝑥) ) Αρχέτυπο 2.4.1 Δίνεται συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει: 𝑓2(𝑥) − 2𝑥𝑓(𝑥) ≤ 𝜂𝜇2𝑥 − 2𝑥 ∙ 𝜂𝜇𝑥 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. Να βρείτε τα όρια:

α. lim𝑥→0𝑓(𝑥)

β. lim𝑥→0(𝑓(𝑥)

𝑥)

γ. lim𝑥→0(𝑓(5𝑥)

𝑥)

δ. lim𝑥→𝜋

(𝑓(𝜂𝜇𝑥)

𝜋−𝑥)

Page 36: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

35

Μηδενική επί φραγμένη:

Αρχέτυπο 2.4.2 Να υπολογίσετε το όριο:

lim𝑥→0(𝜂𝜇2𝑥 ∙ 𝜂𝜇

1𝑥

𝑥)

Page 37: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

36

Συναρτησιακή Σχέση μιας Μεταβλητής Αρχέτυπο 2.4.3 Έστω συνάρτηση 𝑓:ℝ → ℝ για την οποία ισχύει : 𝑓3(𝑥) + 5𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 1. Να βρείτε το lim

𝑥→0𝑓(𝑥)

Page 38: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

37

Θεωρητικές Ασκήσεις Ορίων

( προσπαθούμε να φράξουμε το όριο από δεξιά παίρνοντας την απόλυτη τιμή του) Αρχέτυπο 2.4.4 Έστω ℎ, 𝑤:ℝ → ℝ . Να αποδείξετε ότι: α. Αν lim

𝑥→𝑥0𝑤2(𝑥) = 0 τότε lim

𝑥→𝑥0𝑤 (𝑥) = 0

β. Αν lim𝑥→𝑥0

(𝑤2(𝑥) + ℎ2(𝑥)) = 0 τότε lim𝑥→𝑥0

𝑤 (𝑥) = lim𝑥→𝑥0

ℎ (𝑥) = 0

γ. Αν για τις συναρτήσεις 𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ ισχύει ότι:

lim𝑥→𝑥0

(𝑓2(𝑥) + 𝑔2(𝑥) − 2𝑓(𝑥) + 4𝑔(𝑥)) = −5 να βρείτε τα όρια lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

και lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥)

Page 39: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

38

Α2.5 ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Δίνεται lim

𝑥→𝑥0[𝛱(𝑓(𝑥), … )] όταν η 𝑓(𝑥) είναι «εγκλωβισμένη» και ζητείται το όριο

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥). Τότε

1ο Θέτουμε 𝑔(𝑥) τη συνάρτηση του γνωστού ορίου 2ο Λύνουμε ως τις τη συνάρτηση 𝑓(𝑥) 3ο Βρίσκουμε το lim

𝑥→𝑥0𝑓(𝑥) μέσω τις προηγούμενης σχέσης

Αρχέτυπο 2.5.1 Δίνεται συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim𝑥→2

𝑓(𝑥)−2

𝑥2−4= 3

Να βρείτε τα όρια: α. lim

𝑥→2𝑓(𝑥)

β. lim𝑥→2

𝑓(𝑥)+𝑥2−3𝑥

√𝑥+2−2

Page 40: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

39

Α2.6 Μορφή 𝛼

0

Μεθοδολογία 1η Απομονώνουμε τον παράγοντα που μηδενίζει τον παρονομαστή, δηλαδή

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim𝑥→𝑥0

1

𝑔1(𝑥) ∙𝑓(𝑥)

𝑔2(𝑥)

Αν 𝑔1(𝑥) διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο 𝑥0 ( δηλαδή

𝑓(𝑥) > 0 ή 𝑓(𝑥) < 0 ) τότε lim𝑥→𝑥0

1

𝑔1(𝑥)= +∞ ή − ∞ αντίστοιχα

Εάν 𝑔1(𝑥) ΔΕΝ διατηρεί πρόσημο κοντά στο 𝑥0 τότε παίρνουμε πλευρικά όρια Αρχέτυπο 2.6.1 Να υπολογίσετε τα όρια:

α. lim𝑥→2

𝑥−5

𝑥2−5𝑥+6

β. lim𝑥→0

𝑥+5

𝑥4+3𝑥2

Page 41: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

40

Μεθοδολογία 2η : Το Τέχνασμα Του Κοινού Παράγοντα Βγάζουμε κοινό παράγοντα στον αριθμητή και στον παρονομαστή τη μεγαλύτερη

δύναμη τις 𝑓(𝑥), δημιουργώντας όρια τις μορφής lim𝑥→𝑥0

1

(𝑓(𝑥))𝜈 = 0

Αρχέτυπο 2.6.2 Δίνεται συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει lim𝑥→3𝑓(𝑥) = +∞. Να βρείτε τα όρια:

α. lim𝑥→3

𝑓2(𝑥)−3𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥)+2

β. lim𝑥→3

4𝑓3(𝑥)−3𝑓(𝑥)+1

2𝑓3(𝑥)+5𝑓2(𝑥)−6

γ. lim𝑥→3

𝑓2(𝑥)−4𝑓(𝑥)+3

𝑓3(𝑥)−2𝑓2(𝑥)+𝑓(𝑥)−3

Page 42: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

41

2.7 ΌΡΙΑ ΣΤΟ ±∞

A2.7.1 ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ – ΟΡΙΟ ΡΗΤΗΣ Το όριο πολυωνυμικής συνάρτησης ισούται με το όριο του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου

Το όριο της ρητής συνάρτησης lim𝑥→𝑥0

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) , όπου 𝑃(𝑥), 𝑄(𝑥) πολυώνυμα. Ισούται με το

όριο του πηλίκου των μεγιστοβάθμιων όρων του αριθμητή και του παρονομαστή και είναι

i) 0 όταν βαθμός 𝑄(𝑥) > βαθμός 𝑃(𝑥) ii) 𝛼 ∈ ℝ∗ όταν βαθμός 𝑄(𝑥) = βαθμός 𝑃(𝑥) iii) −∞ ή +∞ όταν βαθμός 𝑄(𝑥) < βαθμός 𝑃(𝑥)

Αρχέτυπο 2.7.1Να βρείτε το όριο:

lim𝑥→+∞

(𝑥3

𝑥 − 2+𝑥2

𝑥 + 3)

Page 43: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

42

2.7.2 ΟΡΙΟ ΤΙΣ ΜΟΡΦΗΣ lim𝑥→±∞

√𝑓(𝑥)𝜈 ± √𝑔(𝑥)

𝜅

√ℎ(𝑥)𝜆 ±𝑤(𝑥)

1ο βήμα, βγάζουμε κοινό παράγοντα μέσα στο υπόριζο τη δύναμη του x που αντιστοιχεί στην τάξη της ρίζας

2ο βήμα, Βγάζουμε το x έξω από τη ρίζα. Είναι √𝑥𝜈𝜈

= |𝑥| και |𝑥| = 𝑥 όταν 𝑥 → +∞ ή |𝑥| = −𝑥 όταν 𝑥 → −∞ 3ο Βγάζουμε κοινό παράγοντα το x σε αριθμητή και παρονομαστή, απλοποιούμε και βρίσκουμε το όριο Αρχέτυπο 2.7.2Να υπολογίσετε το όριο:

lim𝑥→−∞

√𝑥4 + 5𝑥3 − 𝑥2 + 24

+ 5𝑥 − 6

√𝑥2 + 2𝑥 − 3 + 3𝑥

Page 44: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

43

2.7.3 Της Μορφής √𝑓(𝑥)𝜈

± √𝑔(𝑥)𝜅

± ℎ(𝑥) ( διάσπαση )

Μεθοδολογία: Βγάζουμε κοινό παράγοντα το μεγιστοβάθμιο όρο ως προς x και καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή, τότε διασπάμε το ℎ(𝑥) σε δύο όρους Αρχέτυπο 2.7.3 Να υπολογιστεί το όριο

lim𝑥→+∞

(√4𝑥2 + 1 + √9𝑥2 − 𝑥 − 3 − 5𝑥)

Page 45: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

44

2.7.4 Της Μορφής √𝑓(𝑥)𝜈

± √𝑔(𝑥)𝜅

± √ℎ(𝑥)𝜆

( προσθαφαίρεση )

Μεθοδολογία: Βγάζουμε κοινό παράγοντα το μεγιστοβάθμιο όρο ως προς x και καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή, τότε στο αρχικό όριο με κατάλληλη

προσθαφαίρεση δημιουργούμε όρια της μορφής √𝑔(𝑥)𝜅 ± ℎ(𝑥)

Αρχέτυπο 2.7.4Να υπολογιστεί το όριο:

lim𝑥→+∞

(√𝑥2 + 1 + √4𝑥2 − 𝑥 − 3 − √9𝑥2 + 𝑥)

Page 46: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

45

2.7.5 Εκθετική Συνάρτηση

Εάν 0 < 𝛼 < 1 τότε {lim𝑥→+∞

𝑎𝑥 = 0

lim𝑥→−∞

𝑎𝑥 = +∞

Εάν 𝛼 > 1 τότε {lim𝑥→+∞

𝑎𝑥 = +∞

lim𝑥→−∞

𝑎𝑥 = 0

1ο βήμα , Αναλύουμε τις δυνάμεις 2ο βήμα , Βγάζουμε κοινό παράγοντα σε αριθμητή και παρονομαστή Τη δύναμη της μεγαλύτερης βάσης όταν 𝑥 → +∞ Τη δύναμη της μικρότερης βάσης όταν 𝑥 → −∞ Βρίσκουμε το όριο που προκύπτει. Όταν έχουμε παράμετρο στη βάση διακρίνουμε περιπτώσεις Αρχέτυπο 2.7.5Να βρείτε το όριο

lim𝑥→+∞

3𝑥+2 + 𝑎𝑥

3𝑥 + 𝑎𝑥+1

για τις διάφορες τιμές του 𝛼 ∈ (0,1) ∪ (1, +∞)

Page 47: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

46

2.7.6 Λογαριθμική Συνάρτηση lim𝑥→0+

𝑙𝑛𝑥 = −∞ και lim𝑥→+∞

𝑙𝑛𝑥 = +∞

Αν έχουμε όρια τις μορφής 𝑙𝑛𝑓(𝑥) − 𝑙𝑛𝑔(𝑥) ή 𝑙𝑛𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων

𝑙𝑛𝑓(𝑥) − 𝑙𝑛𝑔(𝑥) = 𝑙𝑛𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) και 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑒𝑓(𝑥))

Αρχέτυπο 2.7.6 Να υπολογίσετε το όριο lim

𝑥→+∞(𝑥 − ln(𝑒𝑥 + 5))

Page 48: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

47

2.7.7 Τριγωνομετρικά Όρια

lim𝑥→±∞

𝜂𝜇𝑥

𝑥𝜈= 0 και lim

𝑥→±∞

𝜎𝜐𝜈𝑥

𝑥𝜈= 0 ( απόδειξη )

ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ τα όρια lim

𝑥→±∞𝜂𝜇𝑥 και lim

𝑥→±∞𝜎𝜐𝜈𝑥 για αυτό το λόγο τις ασκήσεις που

εμφανίζονται μόνα τις συνήθως με κατάλληλο κοινό παράγοντα δημιουργούμενε ένα γινόμενο ή πηλίκο στο οποίο κάποιο από αυτά να είναι παράγοντας Αρχέτυπο 2.7.7 Να υπολογίσετε το όριο lim

𝑥→+∞(𝑥2 + 𝜂𝜇𝑥)

Page 49: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

48

Α2.8 ΚΑΝΟΝΑΣ DE L’ HOSPITAL

Απροσδιόριστη Μορφή 0

0 ή ±∞

±∞

Αρχέτυπο 2.8.1 Να υπολογιστούν τα όρια

α. lim𝑥→−∞

ln (1−𝑥)

ln (1+𝑒−𝑥)

β. lim𝑥→0

𝑒𝑥−𝜎𝜐𝜈𝑥

ln (𝑥+1)

Page 50: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

49

Απροσδιόριστη Μορφή 0 ∙ ∞

❖ Μεθοδολογία lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)1

𝑔(𝑥)

(α) ή

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥)1

𝑓(𝑥)

(β) και έχω απροσδιόριστη μορφή 0

0 ή ±∞

±∞

Η επιλογή τις (α) ή (β) μορφής γίνεται ανάλογα με τη δυσκολία που εμφανίζει η κάθε μορφή Αρχέτυπο 2.8.2 Να υπολογιστούν τα όρια

α. lim𝑥→0+

𝑥𝑙𝑛𝑥

β. lim𝑥→0+

𝑥𝑒1

𝑥

Page 51: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

50

Απροσδιόριστη Μορφή ∞ −∞

❖ Μεθοδολογία lim𝑥→𝑥0

(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) (1 −𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)) και υπολογίζουμε

το lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥) ξεχωριστά

Σχόλιο: Εάν η απροσδιόριστη Μορφή ∞ −∞ είναι διαφορά δύο κλασμάτων τότε συνήθως τα κάνω πρώτα ομώνυμα Αρχέτυπο 2.8.3 Να υπολογίσετε τα όρια:

α. lim𝑥→+∞

(𝑥 − 𝑙𝑛𝑥)

β. lim𝑥→0+

(𝑒1

𝑥 + 𝑙𝑛𝑥)

Page 52: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

51

Μορφές 00 , ∞0 , 0∞ , 1∞

Μεθοδολογία lim𝑥→𝑥0

[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑥0

𝑒𝑔(𝑥)𝑙𝑛𝑓(𝑥) και υπολογίζουμε ξεχωριστά το όριο

lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥)𝑙𝑛𝑓(𝑥)

Αρχέτυπο 2.8.4 Να υπολογίσετε το όριο lim𝑥→0+

(𝑥1

𝑥)

Page 53: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

52

Ειδική περίπτωση

Αρχέτυπο 2.8.5 Αν lim𝑥→+∞

(𝑓(𝑥) + 𝑓΄(𝑥)) = 3 και υπάρχει το lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) ∈ ℝ∗. Να

βρείτε το lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥)

ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Πρέπει πάντα να προσέχουμε εάν υπάρχει το όριο των παραγώγων που προκύπτουν για να εφαρμόσουμε κανόνα De l’ hospital Αρχέτυπο 2.8.6 Να υπολογίσετε το όριο:

lim𝑥→0

𝑒2𝑥 + 𝑥 − 1

𝑥2

Page 54: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

53

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= (𝐷. 𝐿. 𝐻. ) = lim

𝑥→𝑥0

𝑓΄(𝑥)

𝑔΄(𝑥)=𝑓΄(𝑥0)

𝑔΄(𝑥0)

Στο τελευταίο βήμα πρέπει να γνωρίζω ότι 𝑓΄, 𝑔΄ είναι συνεχής συναρτήσεις, διαφορετικά πρέπει να χρησιμοποιήσω ορισμό παραγώγου ( με όριο ) Αρχέτυπο 2.8.7 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ , να αποδείξετε ότι:

limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 2𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥 − ℎ)

ℎ2= 𝑓΄΄(𝑥)

Page 55: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

54

Προσοχή!!! Για να εφαρμόσω κανόνα D.L.H. πρέπει να γνωρίζω ότι το όριο ορίζετε σε διάστημα τις μορφής (𝛼 − 𝛿, 𝛼) ∪ (𝛼, 𝛼 + 𝛿) Αρχέτυπο 2.8.8 Αν η συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο 𝛼 ≠ 0 να αποδειχθεί ότι:

lim𝑥→𝛼

𝑥𝑓(𝑥) − 𝛼𝑓(𝛼)

𝑥2 − 𝑎2=𝑓(𝑎) + 𝑎𝑓΄(𝑎)

2𝑎

Page 56: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

55

Το όριο lim𝑥→𝑥0

𝑓΄(𝑥)

𝑔΄(𝑥) παίρνει την ίδια μορφή

Αρχέτυπο 2.8.9 Να υπολογίσετε τα όρια

α. lim𝑥→0−

𝑥

𝑒1𝑥

β. lim𝑥→+∞

√𝑥2+1

𝑥

Στις μη απροσδιόριστες μορφές 0

∞ , ∞

0 δεν εφαρμόζουμε κανόνα D.L.H

Άσκηση 057 Να υπολογίσετε το όριο lim𝑥→+∞

𝑒𝑥

𝑥

Page 57: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

56

Α2.9 |𝜂𝜇𝑥| ≤ |𝑥| ❖ Μεθοδολογία : Ισχύει ότι |𝜂𝜇𝑥| ≤ |𝑥| για κάθε 𝑥 ∈ ℝ , με την ισότητα να ισχύει μόνο για 𝑥 = 0

Επίσης ισχύει 𝜂𝜇𝑥 < 𝑥

⇔𝑥 > 0

Απόδειξη Αρχέτυπο 2.9.1

α. Να λύσετε την εξίσωση 𝜂𝜇(𝑥2 − 2|𝑥|) + 2|𝑥| = 𝑥2 β. Να λύσετε την ανίσωση 𝜂𝜇(|𝑥 − 2| − 3) < 3 − |𝑥 − 2| γ. Για κάθε 𝑥 ∈ ℝ − {±1} να αποδείξετε ότι

−1 < 𝑥2 +𝜂𝜇(𝑥4 − 1)

𝑥2 − 1< 2𝑥2 + 1

Page 58: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

57

Page 59: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

58

2.10 Εάν κοντά στο 𝑥0 ισχύει 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) και

{lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = +∞ , 𝜏ό𝜏휀 𝜅𝛼𝜄 lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥) = +∞

lim𝑥→𝑥0

𝑔(𝑥) = −∞ , 𝜏ό𝜏휀 𝜅𝛼𝜄 lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) = −∞

( χωρίς απόδειξη για τα έτη 2016,2017,2018 ) Αρχέτυπο 2.10.1 Δίνεται συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει ότι (𝑥2 − 4𝑥 + 4)𝑓(𝑥) ≤ 𝑥 − 5 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ − {2}. Να βρείτε το όριο lim

𝑥→2𝑓(𝑥)

Αρχέτυπο 2.10.2 Για μια συνάρτηση 𝑓:ℝ → ℝ ισχύει ότι:

lim𝑥→0(𝑓(𝑥) ∙

1 − 𝜎𝜐𝜈2𝑥

𝑥3 − 3𝑥2) = +∞

α) Να βρείτε το όριο lim𝑥→0𝑓(𝑥)

β) Αν 𝑔: ℝ → ℝ είναι τυχαία συνάρτηση, να βρείτε το όριο lim𝑥→0(𝑓2(𝑥) + 𝑔2(𝑥))

Page 60: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

59

2.11 Όρια και Αντίστροφη Συνάρτηση

Αρχέτυπο 2.11.1 Δίνεται η συνεχής και 1-1 συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ η οποία διέρχεται από το σημείο 𝛮(1,4). Να υπολογίσετε το όριο

lim𝑥→4

−𝑓(𝑥 − 3) + 3𝑓−1(𝑥)

|𝑥 − 4|

2.12 Όρια και Σύνολο Τιμών Αρχέτυπο 2.11.2 Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 − 1 , 𝑥 > 0 α. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 αντιστρέφεται β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού τις 𝑓−1 γ. Να υπολογίσετε τα όρια lim

𝑥→−∞𝑓−1(𝑥) και lim

𝑥→+∞𝑓−1(𝑥)

Page 61: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

60

2.13 Όρια και Θεωρήματα ( Θ. Bolzano )

Αρχέτυπο 2.13.1 Δίνεται συνεχής συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ με 𝑓(𝑥) ≠ 0 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 𝑥𝑓(𝑥) + 2 = 𝑥(𝑥 + 1) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (−2,1)

β. Εάν επιπλέον ισχύει ότι

lim𝑥→0

𝑥𝑓(𝑥) + 7𝜂𝜇𝑥

5𝑥 − 2𝜂𝜇𝑥= 2

, να βρείτε το όριο lim𝑥→−∞

(𝑓(𝜋)𝑥3 + 5𝑥2 − 3)

Page 62: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

61

Αρχέτυπο 2.13.2 Δίνεται συνεχής συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει

lim𝑥→0

𝑥𝑓(𝑥) + 𝜂𝜇3𝑥

√𝑥 + 1 − 1= 2

και η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0 έχει μοναδικές ρίζες τις -1 και 3. Να βρείτε α. Τη τιμή 𝑓(0) β. Το όριο lim

𝑥→0+(𝑓(𝑒)𝑙𝑛𝑥)

γ. Το όριο lim𝑥→−∞

(√𝑥2 + 2𝑥 − 3 + 𝑓(1)𝑥)

Page 63: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

62

(Θεώρημα Μέσης Τιμής) Αρχέτυπο 2.13.3 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓:ℝ → ℝ για την οποία ισχύει

𝑓΄(𝑥) =3𝑒𝑥+2

𝑒𝑥+1. Να βρείτε το lim

𝑥→+∞(𝑓(𝑥 + 1) − 𝑓(𝑥))

Page 64: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

63

Α3 ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΟΠΟΙΕΣ ΕΧΟΥΜΕ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΥΠΑΡΧΕΙ»

1. ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑ 𝑥0»

Α) Όταν ζητείται να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0, έχει μια

τουλάχιστον ρίζα, χρησιμοποιούμε (κυρίως):

• Θεώρημα BOLZANO στην 𝑓

• Θεώρημα ROLLE σε μια συνάρτηση 𝐹 (αρχική τις 𝑓), για την οποία

ισχύει 𝐹΄ = 𝑓

• Ύπαρξη προφανούς λύσης ( συνήθως 0 ή 1 ή e )

• Σύνολο τιμών της 𝑓

Σχόλια:

i. Το σύνολο τιμών το χρησιμοποιούμε κυρίως σε ασκήσεις, που είναι

γνωστή η συνάρτηση. Ενδείκνυται δε για τις ασκήσεις, στις οποίες

ζητείται να βρεθεί το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης

ii. Χρήσιμη είναι η πρόταση «Όταν η 𝑓 είναι πολυώνυμο περιττού βαθμού

η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0, έχει πάντα μια τουλάχιστον λύση(απόδειξη με

γενίκευση του BOLZANO)

Β) Χρησιμοποιούμε το θεώρημα BOLZANO όταν ζητείται:

• Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 𝑥0 ∈ (𝛼, 𝛽) τέτοιο, ώστε

𝑓(𝑥0) = 0

• Να δειχθεί ότι η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο

(𝛼, 𝛽)

• Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση τις 𝑓 τέμνει τον άξονα 𝑥΄𝑥 σε

ένα τουλάχιστον σημείο

• Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔 έχουν ένα τουλάχιστον κοινό

σημείο με τετμημένη στο (𝛼, 𝛽). Τα κοινά σημεία δίνονται από τη

σχέση 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Επομένως, θα εφαρμόσουμε BOLZANO στη

συνάρτηση ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

Γ) Οι ασκήσεις στις οποίες ζητείται να αποδειχθεί ότι η 𝑓΄(𝑥) = 0 έχει μια

τουλάχιστον ρίζα αντιμετωπίζονται:

• Με θεώρημα BOLZANO στην 𝑓 (κυρίως)

• Με θεώρημα BOLZANO στην 𝑓΄ (όταν μπορεί να βρεθεί η 𝑓΄)

• Με σύνολο τιμών της 𝑓΄

Page 65: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

64

2. ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟ ΠΟΛΥ ΕΝΑ 𝑥0» ή «ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟ ΠΟΛΥ

ΜΙΑ ΡΙΖΑ»

Η έκφραση «υπάρχει το πολύ μια ρίζα» σημαίνει ότι υπάρχει μία η καμία. Σε

αυτές τις ασκήσεις υποθέτουμε ότι υπάρχουν δύο ρίζες και καταλήγουμε σε

άτοπο.

Α) (με μονοτονία). Αν η 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα και έχει δύο ρίζες 𝜌1 , 𝜌2

με 𝜌1 < 𝜌2, τότε έχουμε 𝑓(𝜌1) < 𝑓(𝜌2) ⇔0 < 0 άτοπο (όμοια εάν 𝑓

γνησίως φθίνουσα)

Β) (με ROLLE). Έστω 𝑓 έχει δύο ρίζες 𝜌1 , 𝜌2 με 𝜌1 < 𝜌2, οπότε 𝑓(𝜌1) =

𝑓(𝜌2). Εφαρμόζοντας Θ.Rolle στο [𝜌1, 𝜌2] η εξίσωση 𝑓΄(𝑥) = 0 θα έχει

τουλάχιστον μια ρίζα στο (𝜌1, 𝜌2). Αυτό θα μας οδηγεί σε άτοπο είτε

επειδή η εξίσωση 𝑓΄(𝑥) = 0 δε θα έχει ρίζες , είτε επειδή η 𝑓΄(𝑥) = 0 θα

έχει ρίζες, αλλά θα είναι εκτός του (𝜌1, 𝜌2)

3. ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟ 𝑥0»

Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό 𝑥0 ∈ (𝛼, 𝛽), που να

ικανοποιεί κάποια σχέση, αποδεικνύουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα 𝑥0 και

το πολύ ένα 𝑥0. Συνοψίζοντας υπάρχει ακριβώς ένα 𝑥0 (ή μοναδικό 𝑥0)

4. ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΔΥΟ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΡΙΖΕΣ»

Τις ασκήσεις στις οποίες ζητείται να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο

τουλάχιστον ρίζες 𝜌1, 𝜌2 αντιμετωπίζονται συνήθως με θεώρημα BOLAZANO

σε δύο κατάλληλα επιλεγμένα διαστήματα

5. ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΤΟ ΠΟΛΥ ΔΥΟ ΡΙΖΕΣ»

Για την έκφραση «υπάρχουν το πολύ δύο ρίζες» σημαίνει ότι δεν υπάρχουν

τρεις ρίζες. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν τρεις ρίζες και καταλήγουμε σε άτοπο

με τη βοήθεια του θεωρήματος ROLLE. Συνήθως προκύπτει 𝑓΄΄(𝑥0) = 0 για

κάποιο 𝑥0, ενώ αποδεικνύεται ή ισχύει από υπόθεση ότι 𝑓΄΄(𝑥) ≠ 0

6. ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ 𝑥0»

Οι ασκήσεις στις οποίες εμφανίζεται η έκφραση «δεν υπάρχει 𝑥0»,

αντιμετωπίζονται με άτοπο

Page 66: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

65

ΣΥΝΟΨΙΖΟΝΤΑΣ

ΥΠΟΘΕΣΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

𝑓

𝛩.𝐵𝑂𝐿𝑍𝐴𝑁𝑂 ή

𝛩.𝑅𝑂𝐿𝐿𝐸 𝜎 𝛼𝜌𝜒𝜄𝜅ή 𝜏𝜂𝜍 𝑓⇒ 𝑓

𝑓

𝛩.𝑅𝑂𝐿𝐿𝐸⇒ 𝑓΄

𝑓΄ 𝛩.𝐵𝑂𝐿𝑍𝐴𝑁𝑂 ⇒ 𝑓΄

𝑓

𝛥𝛶𝛰 𝛷𝛰𝛲𝛦𝛴 𝛩.𝑅𝑂𝐿𝐿𝐸 ή 𝛥𝛶𝛰 𝛷𝛰𝛲𝛦𝛴 𝛩.𝛭.𝛵.⇒ 𝑓΄΄

Page 67: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

66

Α4 Εξισώσεις

Πλήθος ριζών

❖ Μεθοδολογία 1

Ύπαρξη ριζών εξασφαλίζουμε:

Α) Με το θεώρημα Bolzano στη συνάρτηση διαφοράς ή μιας ισοδύναμης

μορφής

Β) Με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών ή το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης

τιμής

Γ) Με το θεώρημα Rolle σε αρχική της συνάρτησης διαφοράς

Δ) Με άτοπο και χρήση της πρότασης που αφορά συνεχή συνάρτηση σε

διάστημα χωρίς ρίζες (διατήρηση προσήμου)

Ε) Με εύρεση συνόλου τιμών κατάλληλης συνάρτησης

❖ Μεθοδολογία 2

Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα και δεν

μας δίνουν συγκεκριμένο διάστημα ( στο οποίο θα μπορούσαμε να

εφαρμόσουμε θ.Bolzano ή θεώρημα Rolle) , τότε εργαζόμαστε ως εξής:

i) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, το οποίο

θεωρούμε ως νέα συνάρτηση 𝑓(𝑥). Έτσι η εξίσωση παίρνει τη μορφή

𝑓(𝑥) = 0

ii) Βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας

iii) Βρίσκουμε το σύνολο τιμών 𝑓(𝛥)

iv) Εξετάζουμε εάν το 0 ∈ 𝑓(𝛥), τότε η εξίσωση άρα και η αρχική έχει

ρίζα

(εάν επιπλέον η συνάρτηση διαφοράς 𝑓(𝑥) είναι γνησίως μονότονη, έχουμε

μοναδική ρίζα)

Page 68: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

67

Αρχέτυπο 4.1.1

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 𝑙𝑛𝑥 + 𝑒𝑥 = 1 − 𝑥 έχει μοναδική ρίζα

Page 69: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

68

❖ Μεθοδολογία 3

Για να βρούμε το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης, εργαζόμαστε ως εξής:

i) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, το οποίο

θεωρούμε νέα συνάρτηση 𝑓(𝑥). Έτσι η εξίσωση παίρνει τη μορφή

𝑓(𝑥) = 0

ii) Βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα διαστήματα 𝛥1, 𝛥2, …

στα οποία η 𝑓 διατηρεί μονοτονία

iii) Βρίσκουμε το σύνολο τιμών σε καθένα από τα 𝛥1, 𝛥2, …, δηλαδή

βρίσκουμε τα 𝑓(𝛥1), 𝑓(𝛥2), …

iv) Σε όσα από τα διαστήματα 𝑓(𝛥1), 𝑓(𝛥2), … ανήκει το 0, τόσες ρίζες

έχει η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0 ( Προσοχή : Αν κάποιο από τα κλειστά άκρα

του 𝑓(𝛥𝑖) είναι το 0, τότε το αντίστοιχο κλειστό άκρο του 𝛥𝑖 είναι

ρίζα της 𝑓. Τη ρίζα αυτή προσέχουμε να μην τη μετρήσουμε δύο

φορές για δύο συνεχόμενα διαστήματα )

Αρχέτυπο 4.3.1 Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης

2𝑒 ∙ 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥2 = 2(𝑒 + 1)𝑥 − 7

Page 70: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

69

Αρχέτυπο 4.3.2 Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης

𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 − 𝜆 = 0

για τις διάφορες τιμές του 𝜆 ∈ ℝ

Page 71: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

70

Μεθοδολογία Εξίσωση της μορφής 𝑓(𝑔(𝑥)) + 𝑓(ℎ(𝑥)) = 2𝑎 , όπου α η

ελάχιστη ή η μέγιστη τιμή

Αρχέτυπο 4.3.3 Δίνονται οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔:ℝ → ℝ με 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 4𝑥 + 8 και

𝑔(𝑥) = 𝜎𝜐𝜈𝑥 + 𝑥

α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση 𝑓 ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

β. Να λύσετε την εξίσωση 𝑓 (2

𝑥) = 5

γ. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς 𝛼, 𝛽 ώστε

4(2𝑎4 + 2𝑎3 + 4)(𝛽4 + 4𝛽 + 8) = 25𝛼4

Page 72: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

71

Μεθοδολογία

𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) , όταν 𝑓, 𝑔 έχουν στο 𝑥0 μέγιστο και ελάχιστο αντίστοιχα με την

ίδια τιμή 𝑓(𝑥0)

Αρχέτυπο 4.3.4 Δίνεται η συνάρτηση

𝑓(𝑥) =𝑥2

𝑥2 + 1+ 1

, 𝑥 ∈ ℝ

α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση 𝑓 ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

β. Να λύσετε την εξίσωση:

𝑥2

𝑥2 + 1= 𝑒−𝑥

2− 1

Page 73: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

72

Μεθοδολογία

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝛽 , όταν η 𝑓 είναι κυρτή ή κοίλη και η ευθεία 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝛽

εφάπτεται της γραφικής παράστασης της 𝑓

Αρχέτυπο

Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2(𝑥3 − 𝑥), 𝑥 ∈ ℝ

α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση 𝑓 ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά

ακρότατα

β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση 𝑓 ως προς την κυρτότητα και τα σημεία

καμπής

γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της 𝐶𝑓 στο σημείο καμπής της

δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 𝑓(𝑥) = −𝑥 έχει ακριβώς μία πραγματική

ρίζα

Page 74: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

73

Μεθοδολογία

𝑓(𝑎(𝑥)) + 𝑓(𝛽(𝑥)) = 𝑓(𝛾(𝑥)) + 𝑓(𝛿(𝑥))

1ο βήμα , Βρίσκω προφανή ρίζα

2ο βήμα , με την κατάλληλη διάταξη και με τη βοήθεια της μονοτονίας

αποδεικνύω ότι δεν υπάρχει άλλη ρίζα

Αρχέτυπο 5.4.4 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ με 𝑓(0) = −𝑙𝑛2

η οποία ικανοποιεί τη σχέση: 𝑒𝑓(𝑥) = 1 + 𝑓΄(𝑥) για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

α. Να αποδείξετε ότι 𝑓(𝑥) = −ln (𝑒𝑥 + 1), 𝑥 ∈ ℝ β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση 𝑓 ως προς την κυρτότητα και να βρείτε

την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης 𝐶𝑓 της

συνάρτησης 𝑓 στο σημείο της (0, 𝑓(0))

γ. Να λύσετε την εξίσωση 𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑙𝑛𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(0) στο διάστημα

(0, +∞)

Page 75: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

74

Μεθοδολογία

𝑓(𝑎(𝑥) + 𝑐) − 𝑓(𝑎(𝑥)) = 𝑓(𝛽(𝑥) + 𝑐) − 𝑓(𝛽(𝑥)), 𝑐 ≠ 0 και να γνωρίζω ότι η

συνάρτηση 𝑓΄ είναι γνησίως μονότονη

Αρχέτυπο

Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση 𝑓:ℝ → ℝ είναι κυρτή, τότε να λύσετε την

εξίσωση: 𝑓(|𝜂𝜇𝑥| + 2) + 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 2) + 𝑓(|𝜂𝜇𝑥|)

Page 76: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

75

Μεθοδολογία

𝑓(𝑥) = 0 με προφανείς ρίζες και δεδομένο ότι η 𝑓 είναι κυρτή ή κοίλη

1ο βήμα , βρίσκω τις προφανείς ρίζες ( έστω ότι έχει 𝜈 ≥ 2 ρίζες )

2ο βήμα , υποθέτω ότι έχει ν+1 ρίζες και με τη βοήθεια του Θ.Rolle και με

δεδομένο ότι η 𝑓΄΄(𝑥) > 0 ή 𝑓΄΄(𝑥) < 0 καταλήγω σε άτοπο. Άρα έχει το πολύ ν

ρίζες

Αρχέτυπο Να λύσετε την εξίσωση: 𝑒𝑥 + 𝑒1

𝑥 = 𝑒2 + 𝑒1

2 , 𝑥 ≠ 0

Page 77: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

76

Α5 Ανισότητες

Συνηθισμένες Ανισότητες

❖ Μεθοδολογία 5.1

Με χρήση του ορισμού της μονοτονίας. Αν για παράδειγμα είναι 𝛼 < 𝛽 και η

συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως φθίνουσα σε διάστημα που περιέχει τους αριθμούς

𝛼, 𝛽 τότε 𝑓(𝛼) > 𝑓(𝛽)

Επίλυση ανίσωσης με τη βοήθεια της μονοτονίας

Αν μια ανίσωση δε λύνεται με απλές αλγεβρικές μεθόδους, τότε:

• Φέρνω την ανίσωση στη μορφή 𝑓(𝑔(𝑥)) < 𝑓(ℎ(𝑥)) όπου 𝑓 μια γνησίως

μονότονη συνάρτηση, η οποία συνήθως δίνεται σε προηγούμενο

ερώτημα

• Εάν 𝑓 γνησίως αύξουσα τότε 𝑓(𝑔(𝑥)) < 𝑓(ℎ(𝑥)) ⇔𝑔(𝑥) < ℎ(𝑥)

• Εάν 𝑓 γνησίως φθίνουσα τότε 𝑓(𝑔(𝑥)) < 𝑓(ℎ(𝑥)) ⇔𝑔(𝑥) > ℎ(𝑥)

• Λύνω την ανίσωση που προκύπτει

Αρχέτυπο 5.1.1 Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝜎𝜐𝜈𝑥

Α) Να μελετήσετε την 𝑓 ως προς τη μονοτονία

Β) Να λύσετε τις ανισώσεις:

i) 2𝜎𝜐𝜈𝑥 < 𝜋 − 2𝑥

ii) 𝜎𝜐𝜈(|𝑥| − 1) − 𝜎𝜐𝜈(3|𝑥| − 7) < 2|𝑥| − 6

Page 78: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

77

Αρχέτυπο 5.1.2 Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = (1

2)𝑥 − 𝑥

Α) Να μελετήσετε την 𝑓 ως προς τη μονοτονία

Β)Να λύσετε τις ανισώσεις

i) (1

2)𝑥 ≤ 𝑥 + 6

ii) (1

2)2𝑥

2+3𝑥 − (1

2)𝑥2+10

> 𝑥2 + 3𝑥 − 10

iii) (1

2)𝜎𝜐𝜈𝑥 − (

1

2)𝑥+1

< 𝜎𝜐𝜈𝑥 − 𝑥 − 1

Page 79: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

78

❖ Μεθοδολογία 5.2

Ανισότητα της μορφής 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

• Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και η ανίσωση γίνεται

𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≥ 0

• Θεωρώ νέα συνάρτηση ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)

• Μελετάω την ℎ ως προς μονοτονία – ακρότατα

• 𝑥 > 𝑎ℎ 𝛾𝜈.𝛼ύ𝜉𝜊𝜐𝜎𝛼⇔ ℎ(𝑥) > ℎ(𝑎)

• 𝑥 > 𝑎ℎ 𝛾𝜈.𝜑𝜃ί𝜈𝜊𝜐𝜎𝛼⇔ ℎ(𝑥) < ℎ(𝑎)

Αρχέτυπο 5.2.1 Να αποδείξετε ότι

Α) 𝑒𝑥 ≥ 1 − √𝑥 για κάθε 𝑥 ≥ 0

Β) 𝑒𝑥 ≥ 𝑥 + 1 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

Γ) ln(𝑥 + 1) < 𝑒𝑥 − 1 για κάθε 𝑥 > 0

Page 80: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

79

Αρχέτυπο 5.2.2 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓:ℝ → ℝ για την οποία

ισχύει 𝑓(1) = 𝑒 και 𝑓΄(𝑥) − 2𝑥𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥2 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

Α) Να δείξετε ότι 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑒𝑥2

Β) Να μελετήσετε την 𝑓 ως προς τη μονοτονία

Γ) Να λύσετε την ανίσωση:

𝑒𝑥−1+2𝑙𝑛𝑥−𝑙𝑛2𝑥 ≤

1 − 𝑙𝑛𝑥

√𝑥

Page 81: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

80

❖ Μεθοδολογία 5.3

Με Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) σε κατάλληλη συνάρτηση σε κατάλληλο

διάστημα. Οι ανισότητες ακολουθούν την πορεία της απόδειξης της

ανισότητας Jensen

Αρχέτυπο 5.3.1 Να αποδείξετε ότι για κάθε 𝑥 > 0 ισχύει ότι:

1

𝑥 + 1< ln(𝑥 + 1) − 𝑙𝑛𝑥 <

1

𝑥

Page 82: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

81

Αρχέτυπο 5.3.2 Να αποδείξετε ότι: 2

5< 𝑙𝑛

5

3<2

3

Page 83: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

82

❖ Μεθοδολογία 5.4

Με χρήση της κυρτότητας και την ιδιότητα της εφαπτομένης στο τυχαίο

σημείο της

Αρχέτυπο 5.4.1 Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 4𝑥 + 6)𝑒𝑥−1

Α) Να μελετήσετε την 𝑓 ως προς την κυρτότητα

Β) Να βρείτε την εφαπτομένη της 𝐶𝑓 στο σημείο της 𝛢(1, 𝑓(1))

Γ) Να αποδείξετε ότι

𝑒𝑥−1 ≥𝑥 + 2

𝑥2 − 4𝑥 + 6

για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

Page 84: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

83

Αρχέτυπο 5.4.1 Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 + 𝑥4

Α) Να μελετήσετε την 𝑓 ως προς την κυρτότητα

Β) Να βρείτε την εφαπτομένη της 𝐶𝑓 στο σημείο της 𝛢(0, 𝑓(0))

Γ) Να αποδείξετε ότι

2017 + 2𝑥 − 𝑥4

𝑒2𝑥 + 2016≤ 1

για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

Page 85: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

84

Αρχέτυπο 5.4.3 Δίνονται οι συναρτήσεις:

𝑓(𝑥) = 2𝑒𝑥−1 − 𝑙𝑛𝑥

𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 𝑙𝑛4 − 2ln (𝑒𝑥−1 + 1)

Α) Να μελετήσετε τις 𝑓 και 𝑔 ως προς την κυρτότητα

Β) Να αποδείξετε ότι οι 𝐶𝑓 και 𝐶𝑔 έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους

σημείο με τετμημένη 𝑥0 = 1, της οποίας να βρείτε την εξίσωση

Γ) Να αποδείξετε ότι

𝑙𝑛(𝑒𝑥−1 + 1)2

4𝑥≥ 2(𝑥 − 𝑒𝑥−1)

για κάθε 𝑥 > 0

Page 86: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

85

Ανισότητες στο Ολοκλήρωμα

❖ Μεθοδολογία 6

Προσπαθούμε να βρούμε ένα ακρότατο για τη συνάρτηση 𝑓 και μετά να

ολοκληρώσουμε

Αρχέτυπο 6.1.1 Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥 − 1

Α) Να μελετήσετε την 𝑓 ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

Β) Να αποδείξετε ότι ∫ 𝑒𝑥22

−1𝑑𝑥 ≥ 6

Page 87: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

86

Αρχέτυπο 6.1.2 Δίνεται συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ , παραγωγίσιμη, για την οποία

ισχύει 𝑓(1) =7

3 και (𝑥2 + 2)𝑓΄(𝑥) + 2𝑥𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 2 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

Α) Να αποδείξετε ότι

𝑓(𝑥) =2𝑥2 + 2𝑥 + 3

𝑥2 + 2

με 𝑥 ∈ ℝ

Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της 𝑓

Γ) Να αποδείξετε ότι 6 ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 154

−2

Page 88: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

87

Αρχέτυπο 6.1.3 (study4exams) Να αποδείξετε ότι 2 ≤ ∫ √𝑥2 + 4 𝑑𝑥 ≤ √51

0

Αρχέτυπο 6.1.4 Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = ln(𝑥2 + 1) − 𝑥2

Α) Να μελετήσετε την 𝑓 ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

B) Να αποδείξετε ότι ∫ ln(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 <1

3

1

0

Page 89: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

88

❖ Μεθοδολογία 7

Με τη βοήθεια της μονοτονίας και τα άκρα του ολοκληρώματος, δηλαδή της 𝑓

γνησίως αύξουσα στο [𝛼, 𝛽] τότε 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝛽 ⇔𝑓(𝛼) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝛽)

Αρχέτυπο 7.1.1 Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 6

Α)Να μελετήσετε την 𝑓 ως προς τη μονοτονία

Β)Να αποδείξετε ότι:

2

9≤ ∫

1

𝑥2 + 2𝑥 + 6𝑑𝑥 ≤

2

5

1

−1

Page 90: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

89

❖ Μεθοδολογία 8

Προσπαθούμε να βρούμε το πρόσημο της συνάρτησης 𝑓 και μετά να

ολοκληρώσουμε

Αρχέτυπο 8.1.1 Aν 𝑓: ℝ → ℝ είναι συνεχής συνάρτηση, να αποδείξετε ότι

∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 ≥ ∫ 6𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 183

1

3

1

Page 91: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

90

Αρχέτυπο 8.1.2 (study4exams)

Να αποδείξετε ότι:

1

2(∫ 𝑒2𝑥𝑑𝑥 + ∫ 휀𝜑2𝑥𝑑𝑥) ≥ ∫ 𝑒𝑥휀𝜑𝑥𝑑𝑥

𝜋4

0

𝜋4

0

𝜋4

0

Page 92: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

91

❖ Μεθοδολογία 9

Αποδεικνύουμε ότι 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) και μετά ολοκληρώνουμε

Αρχέτυπο 9.1.1 Να αποδείξετε ότι:

Α) 𝑥−1

𝑥< 𝑙𝑛𝑥 < 𝑥 − 1 για κάθε 𝑥 > 1

Β) 1 < ∫1

𝑙𝑛𝑥𝑑𝑥 < 𝑒

𝑒+1

2

Page 93: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

92

❖ Μεθοδολογία 10

Για κυρτές συναρτήσεις εφαρμόζουμε τη σχέση 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓΄(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)

όπου α πραγματικός αριθμός για τον οποίο έχουμε δεδομένα/πληροφορίες και

ολοκληρώνουμε. Επισήμανση η ανισότητα που θα προκύψει είναι γνήσια

( > ή <)

Αρχέτυπο 10.1.1 Δίνεται συνάρτηση 𝑓: (0, +∞) → ℝ , παραγωγίσιμη, για την

οποία ισχύει 𝑓(1) = 𝑒 και 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 − 𝑥𝑓΄(𝑥) για κάθε 𝑥 > 0

Α) Να αποδείξετε ότι 𝑓(𝑥) =𝑒𝑥

𝑥 , 𝑥 > 0

Β) Να μελετήσετε την 𝑓 ως προς την κυρτότητα

Γ) Να βρείτε την εφαπτομένη τις 𝐶𝑓 στο σημείο της 𝛭(2, 𝑓(2))

Δ) Να αποδείξετε ότι ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≥3𝑒2

8

2

1

Page 94: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

93

Α6 Θ.FERMAT

1η Κατηγορία: Προσδιορισμός παραμέτρου με δεδομένο ακρότατο

Όταν ο τύπος μιας συνάρτησης 𝑓 περιέχει παραμέτρους και γνωρίζουμε ότι η

𝑓 παρουσιάζει ακρότατο στο 𝑥0, τότε για να βρούμε τις παραμέτρους,

εργαζόμαστε ως εξής:

1ο βήμα ) Διαπιστώνουμε ότι το 𝑥0 είναι εσωτερικό σημείο κάποιου

διαστήματος Δ του 𝐷𝑓 και ότι η 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο 𝑥0

2ο βήμα ) Σύμφωνα με το Θ.Fermat ισχύει 𝑓΄(𝑥0) = 0

3ο βήμα ) Από την παραπάνω σχέση και ενδεχομένως από άλλα δεδομένα

βρίσκουμε τις τιμές των παραμέτρων

4ο βήμα ) Οι τιμές των παραμέτρων που βρήκαμε ικανοποιούν τη συνθήκη

𝑓΄(𝑥0) = 0, η οποία είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή , δηλαδή δε μας εξασφαλίζει

την ύπαρξη ακροτάτου στο 𝑥0, αφού το αντίστροφο του Θ.Fermat δεν ισχύει.

Επομένως πρέπει να κάνουμε επαλήθευση, αντικαθιστώντας τις τιμές των

παραμέτρων που βρήκα στο τύπο της 𝑓 και μελετώντας τη 𝑓 ως προς τα

ακρότατα

Αρχέτυπο 6.1.1 Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 + 6𝛼𝑥 + 𝛽 , 𝑥 ∈ ℝ

όπου 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ. Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο

𝑥0 = −2 και είναι 𝑓(−2) = 98

α. Να αποδείξετε ότι 𝛼 = −6 και 𝛽 = 54

β. Να μελετήσετε την 𝑓 ως προς τη μονοτονία

γ. Να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων της συνάρτησης 𝑓

δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο

διάστημα (−1,2)

( θέμα εξετάσεων )

Page 95: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

94

Page 96: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

95

2η Κατηγορία: Η 𝑓 δεν έχει Ακρότατα

Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓 δεν έχει

ακρότατα, συνήθως υποθέτουμε ότι η 𝑓 παρουσιάζει κάποιο ακρότατο σε

κάποιο 𝑥0 ( το οποίο είναι εσωτερικό του διαστήματος Δ του 𝐷𝑓 ) οπότε

σύμφωνα με το Θ.Fermat ισχύει 𝑓΄(𝑥0) = 0 το οποίο με οδηγεί σε άτοπο. Άλλος

τρόπος είναι να αποδείξω ότι η συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως μονότονη στο ℝ

Αρχέτυπο 6.2.1 Δίνεται η μη σταθερή συνάρτηση

𝑔(𝑥) =𝛽2𝑥2 + 𝛾

3𝑥2 + 1

, η οποία παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0

α. Να αποδείξετε ότι 𝛽2 < 3𝛾

β. Για μια συνάρτηση 𝑓, που είναι παραγωγίσιμη στο ℝ, ισχύει ότι:

𝑓3(𝑥) + 𝛽𝑓2(𝑥) + 𝛾𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 6𝑥 − 1 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. Να

αποδείξετε ότι:

i. Η συνάρτηση 𝑓 δεν έχει ακρότατα

ii. Η συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα

iii. Υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης 𝑓(𝑥) = 0 στο (0,1)

Page 97: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

96

3η Κατηγορία: Από Ανισότητα σε Ισότητα

Αν έχουμε ως δεδομένο μια ανισότητα της μορφής 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ή 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

για κάθε 𝑥 ∈ 𝛥 και το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε μια ισότητα , τότε

1ο βήμα ) Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ανισότητας στο 1ο μέλος και

θεωρούμε όλο το 1ο μέλος ως μια νέα συνάρτηση ℎ(𝑥) με 𝑥 ∈ 𝛥

2ο βήμα ) Βρίσκουμε εσωτερικό σημείο 𝑥0 του Δ με ℎ(𝑥0) = 0

3ο βήμα ) Παρατηρώ ότι για κάθε 𝑥 ∈ 𝛥 ισχύει

ℎ(𝑥) ≤ 0 ⇔ℎ(𝑥) ≤ ℎ(𝑥0) ( ολικό μέγιστο ) ή

ℎ(𝑥) ≥ 0 ⇔ℎ(𝑥) ≥ ℎ(𝑥0) ( ολικό ελάχιστο )

4ο βήμα ) 𝜏ό𝜏⇒ από Θ.Fermat ℎ΄(𝑥0) = 0 και καταλήγουμε στη ζητούμενη

ισότητα

Αρχέτυπο 6.3.1 Έστω 𝑓: (0, +∞) → ℝ παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία

ισχύει 𝑥𝑓΄(𝑥) − 2𝑓(𝑥) = 6𝑥2 − 2𝑥3 − 6𝑥 για κάθε 𝑥 > 0

α. Να αποδείξετε ότι 𝑓(𝑥) = 6𝑥2 ∙ 𝑙𝑛𝑥 − 2𝑥3 + 6𝑥 + 𝑐𝑥2 για κάποιο

σταθερό αριθμό 𝑐

β. Αν επιπλέον ισχύει ότι 𝑓(𝑥) ≤𝑓(2)

4− ln (

64

𝑒5) για κάθε 𝑥 > 0, τότε:

i. Να αποδείξετε ότι 𝑐 = −3

ii. Να μελετήσετε την 𝑓 ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

Page 98: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

97

4η Κατηγορία: Θ.Fermat και Θ.Μ.Ε.Τ.

Προσπαθούμε να εξασφαλίσουμε ότι τα άκρα [𝛼, 𝛽] δεν είναι θέσεις

ακροτάτων ώστε να εφαρμόσουμε Θ.Fermat

Αρχέτυπο 6.4.1 Δίνεται η συνάρτηση 𝑓: [0,3] → ℝ , δύο φορές παραγωγίσιμη,

για την οποία ισχύει 𝑓(1) < 𝑓(0) < 𝑓(3) < 𝑓(2) . Να αποδείξετε ότι υπάρχει

τουλάχιστον ένα 𝜉 ∈ (0,3) τέτοιο, ώστε 𝑓΄΄(𝜉) = 0

Page 99: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

98

5η Κατηγορία: Απόδειξη 𝑓 σταθερή με 𝑓𝑚𝑖𝑛 = 𝑓𝑚𝑎𝑥

Αρχέτυπο 6.5.1 Δίνεται συνάρτηση 𝑓, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο [𝛼, 𝛽].

Αν 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝛽)𝑓΄(𝑥) για κάθε 𝑥 ∈ [𝛼, 𝛽], να αποδειχθεί ότι

α. Η 𝑓 έχει ένα τουλάχιστον κρίσιμο σημείο

β. Η 𝑓 είναι σταθερή στο διάστημα Δ

Page 100: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

99

Β4 ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Με Σύνθεση

Αρχέτυπο 4.1.1 Δίνεται συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει

𝑓(𝑥) + 3𝑥 ≤ 𝑥2 ≤ 𝑓(𝑥 − 2) + 7𝑥 − 10 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ . Να βρείτε το τύπο

της 𝑓

Page 101: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

100

Από Συναρτησιακή Σχέση

Αρχέτυπο 4.1.2 Δίνεται συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ για την οποία ισχύουν

𝑓(𝑥) ≤ 𝑥 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ και 𝑓(𝑥 + 𝑦) ≤ 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) για κάθε 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

α. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της 𝑓 διέρχεται από την αρχή

των αξόνων

β. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 είναι περιττή

γ. Να βρείτε το τύπο της 𝑓

Page 102: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

101

Με Χρήση της Συνέχειας της 𝑓

❖ Μεθοδολογία : Λύνουμε τη σχέση ως προς 𝑓(𝑥) για 𝑥 ≠ 𝑥0 και

υπολογίζουμε το 𝑓(𝑥0) με τη βοήθεια της συνέχειας , δηλαδή

𝑓(𝑥0) = lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

Αρχέτυπο 4.1.3 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ για την οποία

ισχύει

𝑥𝑓(𝑥) − 𝜂𝜇𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑥2𝜂𝜇 (1

𝑥)

, 𝑥 ∈ ℝ. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης 𝑓

Page 103: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

102

Προσδιορισμός τύπου 𝑓(𝑥) όταν 𝑓2(𝑥) = 𝑔(𝑥) , όπου 𝑓: 𝐴 → ℝ συνεχής

συνάρτηση

❖ Μεθοδολογία:

1ο βήμα ) 𝑓2(𝑥) = 𝑔(𝑥) ⇔|𝑓(𝑥)| = √𝑔(𝑥) για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴 (1)

2ο βήμα ) Λύνουμε την εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0 ⇔𝑓2(𝑥) = 0

⇔𝑔(𝑥) = 0

3ο βήμα ) Σε καθένα από τα διαστήματα που οι ρίζες της 𝑓 χωρίζουν το Α, η 𝑓

διατηρεί σταθερό πρόσημο, το οποίο και προσδιορίζουμε

4ο βήμα ) Εάν 𝑓(𝑥) > 0 για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴1 ⊆ 𝛢 τότε η (1) δίνει

𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥) για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴1

Εάν 𝑓(𝑥) < 0 για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴1 ⊆ 𝛢 τότε η (1) δίνει

−𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥) ⇔𝑓(𝑥) = −√𝑔(𝑥) για κάθε 𝑥 ∈ 𝐴1

Αρχέτυπο 4.1.4 Έστω 𝑓: [−1,4] → ℝ μια συνεχή συνάρτηση για την οποία

ισχύει 𝑥2 + 𝑓2(𝑥) = 3𝑥 + 4 για κάθε 𝑥 ∈ [−1,4]

α. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης 𝑓(𝑥) = 0

β. Αν επιπλέον η γραφική παράσταση τις συνάρτησης 𝑓 τέμνει τον άξονα

𝑦΄𝑦 στο σημείο με τεταγμένη −2, να βρείτε το τύπο της 𝑓

Page 104: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

103

Αρχέτυπο 4.1.5 Να βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις 𝑓:ℝ → ℝ για τις οποίες

ισχύει (𝑓(𝑥) + 1)2 + 2𝑥2 = (𝑥2 + 1)2 + 2𝑓(𝑥) για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

Page 105: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

104

Αρχέτυπο 4.1.6 Να βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις 𝑓:ℝ → ℝ για τις οποίες

ισχύει 𝑓(𝑥) ≠ 0 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ και

𝑓2(𝑥) − 6𝑓(𝑥) + 5 = 𝑥4 + 4𝑥2 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. Να βρείτε

α. Τη τιμή 𝑓(1)

β. Το τύπο της 𝑓

γ. Το όριο lim𝑥→+∞

𝜂𝜇𝑥

𝑓(𝑥)

Θ.Μ.Ε.Τ και Θ.Fermat

Αρχέτυπο 4.1.7 Έστω η συνεχής συνάρτηση 𝑓: [1,2] → ℝ και ισχύει

𝑔(𝑥)𝑓΄(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 3

για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. Εάν η συνάρτηση 𝑓 είναι παραγωγίσιμη στο (1,2) και

𝑔(1) = 𝑔(2) = 0 , να αποδείξετε ότι 𝑓(𝑥) = 3

Page 106: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

105

Με Χρήση Ορισμού Παραγώγου και 2η Συνέπεια Θ.Μ.Τ.

Αρχέτυπο 4.1.8 Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓:ℝ → ℝ για την οποία

ισχύει limℎ→𝑥

𝑓(ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ−𝑥= 𝑥 + 5 και 𝑓(0) = 1

Με Σταθερή Συνάρτηση

Αρχέτυπο 4.1.9 Δίνεται συνάρτηση 𝑓: (0, +∞) → ℝ δύο φορές

παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει: 𝑥𝑓΄΄(𝑥) = 2𝑓΄(𝑥) για κάθε 𝑥 ∈ (0,+∞).

Εάν η εφαπτομένη της 𝐶𝑓 στο σημείο της 𝛭(1, 𝑓(1)) έχει εξίσωση

𝑦 = 6𝑥 − 4

α. Να βρείτε τις τιμές 𝑓΄(1) και 𝑓(1)

β. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑓΄(𝑥) − 3𝑓(𝑥) και

ℎ(𝑥) =𝑓(𝑥)

𝑥3 είναι σταθερές

γ. Να βρείτε τον τύπο της 𝑓(𝑥) και το όριο:

lim𝑥→−∞

(𝑓(𝑥) + √4𝑥6 − 12𝑥3 + 1)

Page 107: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

106

Αρχέτυπο 4.1.9β Δίνονται δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις 𝑓, 𝑔:ℝ → ℝ με

𝑓(0) = 0 και 𝑔(0) = 1. Αν ισχύει: 𝑓΄(𝑥) = 𝑔(𝑥) και 𝑓(𝑥) = −𝑔΄(𝑥) για

κάθε 𝑥 ∈ ℝ να αποδειχθεί ότι:

α. Η συνάρτηση 𝜑(𝜒) = 𝑓2(𝑥) + 𝑔2(𝑥) είναι σταθερή στο ℝ

β. 𝑓2(𝑥) + 𝑔2(𝑥) = 1 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

γ. Η συνάρτηση ℎ(𝑥) = (𝑓(𝑥) − 𝜂𝜇𝑥)2 + (𝑔(𝑥) − 𝜎𝜐𝜈𝑥)2 είναι σταθερή

δ. 𝑓(𝑥) = 𝜂𝜇𝑥 και 𝑔(𝑥) = 𝜎𝜐𝜈𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ

Page 108: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

107

1) Αρχέτυπο 4.1.9γ Έστω συνάρτηση 𝑓:ℝ → ℝ και η παραγωγίσιμη

συνάρτηση 𝑔: ℝ → ℝ για τις οποίες ισχύουν:

• |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| ≤ (𝑥 − 𝑦)2 για κάθε 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

• 𝑔(0) = 1 και 𝑔(1) = 𝑒

• Η συνάρτηση 𝐹(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ 𝑒−𝑥, 𝑥 ∈ ℝ, είναι μία παράγουσα της 𝑓

στο ℝ

α) Να αποδείξετε ότι η 𝑓 είναι σταθερή

β) Να αποδείξετε ότι 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ

γ) Να βρείτε το lim𝑥→0−

(𝑔 (1

𝑥) ∙ ln|𝑥|)

δ) Αν 𝛼 ∈ (0 ,4

9 ), τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση:

𝑒𝑥 =𝑎𝑥4

4+𝑥2

2+ 𝑥 + 1

, 𝑥 ∈ ℝ, έχει μοναδική λύση τη 𝑥 = 0

Page 109: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

108

Σχόλιο: Σε πολλές περιπτώσεις παίζει ρόλο η μορφή που έχει η συνάρτηση που

θεωρούμε για παράδειγμα

Αν έπρεπε να δείξουμε ότι 𝑥𝑙𝑛𝑥 > 𝑒 για 0 < 𝑥 < 𝑒 θα ήταν καλύτερα να

θεωρήσουμε την 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 −𝑒

𝑥 , 𝑥 ∈ (0, 𝑒]

Όμοια εάν είχαμε να αποδείξουμε ότι 𝑒𝑥 > 𝑥2 + 1 , 𝑥 ∈ ℝ είναι

καλύτερα να θεωρήσουμε τη 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)𝑒−𝑥 − 1, 𝑥 ∈ ℝ

Όμοια εάν είχαμε να αποδείξουμε ότι για κάθε 𝑥 > 0 ισχύει

3𝜂𝜇𝑥 < 𝑥(2 + 𝜎𝜐𝜈𝑥)

, αν θεωρούσαμε τη συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 3𝜂𝜇𝑥 − 𝑥(2 + 𝜎𝜐𝜈𝑥) , 𝑥 ∈ ℝ τα

πράγματα θα ήταν πολύ δύσκολα. Οπότε θα προτιμήσουμε τη

𝑓(𝑥) =3𝜂𝜇𝑥

2+𝜎𝜐𝜈𝑥− 𝑥 ,𝑥 ≥ 0

Page 110: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

109

Με 2η Συνέπεια Θ.Μ.Τ. και Αρχική Συνάρτηση

Αρχέτυπο 4.1.10 Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ → ℝ για την οποία

ισχύει

f΄(x) =2x + 2

x2 + 2x + 2

για κάθε x ∈ ℝ και f(−1) = 1

Αρχέτυπο 4.1.11 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓:ℝ → ℝ για την οποία

ισχύει

𝑓(0) + 𝑓(2) = 6

και

𝑓΄(𝑥) − 𝑓΄(𝛼 − 𝑥) = 12𝑥 − 𝛼 − 10

για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

α. Να αποδείξετε ότι 𝛼 = 2

β. Να αποδείξετε ότι 𝑓(𝑥) + 𝑓(2 − 𝑥) = 6𝑥2 − 12𝑥 + 6 για κάθε

𝑥 ∈ ℝ

γ. Αν επιπλέον ισχύει ότι 𝑓΄(𝑥) ≠ 0 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ, να λύσετε

την εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0

Page 111: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

110

Αρχέτυπο 4.1.11β Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓: (0,+∞) → ℝ, η

οποία ικανοποιεί τις σχέσεις:

• 𝑓΄(1) = 1 − 𝛼 , 𝛼 > 0 και

• 𝑓 (𝑥

𝑦) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦) + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 −

𝑎𝑥

𝑦 για κάθε 𝑥, 𝑦 > 0

α. Να αποδείξετε ότι 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛𝑥 − 𝑎𝑥 , 𝑥 > 0

β. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της Cf στο σημείο της 𝛢(𝑒, 𝑓(𝑒))

διέρχεται από την αρχή των αξόνων

Page 112: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

111

Εφαπτομένη και Σ.Θ.Μ.Τ.

Αρχέτυπο 4.1.10 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ, της οποίας η

γραφική παράσταση 𝐶𝑓 διέρχεται από το σημείο 𝛭(1,2𝑒). Αν η εφαπτομένη

της 𝐶𝑓 σε κάθε σημείο της (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) διέρχεται από το σημείο 𝛢(𝑥0 + 1,2𝑒𝑥0)

α. Να αποδείξετε ότι 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑒2−𝑥

β. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση 𝐶𝑓 της συνάρτησης 𝑓 έχει

άξονα συμμετρίας την ευθεία 𝑥 = 1

Page 113: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

112

Ειδική περίπτωση με το παράγοντα 𝑒𝐺(𝑥)

❖ Μεθοδολογία

1ο βήμα ) Φέρνουμε τη δοσμένη σχέση στη μορφή

𝑓΄(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥)

2ο βήμα ) Αφού αναγνωρίσουμε τη 𝑔(𝑥) βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της

𝑔(𝑥) , τη 𝐺(𝑥)

3ο βήμα ) πολλαπλασιάζουμε με 𝑒𝐺(𝑥) και εμφανίζεται (𝑒𝐺(𝑥)𝑓(𝑥)) ΄

Αρχέτυπο 4.1.12 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓:ℝ → ℝ για την οποία

ισχύει: 𝑓΄(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝜎𝜐𝜈𝑥 = 0 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

α. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ

β. Αν επιπλέον ισχύει ότι 𝑓΄΄(0) = −2, να βρείτε:

i. Την εφαπτομένη της 𝐶𝑓 στο σημείο της 𝛢(0, 𝑓(0))

ii. Το τύπο της 𝑓

Page 114: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

113

Ειδική περίπτωση 𝑓΄(𝑥) = 𝑓(𝑥) ⇔𝑓(𝑥) = 𝑐𝑒𝑥 , 𝑐 ∈ ℝ

Αρχέτυπο 4.1.13 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓:ℝ → ℝ για την οποία

ισχύει:

f΄(x + y) =1

2f(x)f(y)

για κάθε x, y ∈ ℝ. Αν η ευθεία (ε): y = 2x + 2 είναι η εφαπτομένη της Cf στο

σημείο Μ(0, f(0)) να βρεθούν

α. Το 𝑓(0)

β. Ο τύπος της 𝑓

γ. Την εφαπτομένη (ε) της 𝐶𝑓 που διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Page 115: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

114

Σε ένωση διαστημάτων

Αρχέτυπο 4.1.14 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: ℝ∗ → ℝ για την οποία

ισχύει

𝑓(−1) =𝑒 + 1

𝑒 , 𝑓(1) = 𝑒 − 4

και 𝑥2𝑓΄(𝑥) = 𝑥2𝑒𝑥 − 1 για κάθε 𝑥 ≠ 0

α. Να βρείτε τον τύπο της 𝑓

β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 𝜉 < 0 τέτοιο ώστε

𝑓(𝜉) = −2015

γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 2015 έχει δύο τουλάχιστον

λύσεις στο (0, +∞)

Page 116: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

115

Αρχέτυπο 4.1.15 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ, η οποία

ικανοποιεί τις σχέσεις:

• 𝑓(−1) = −1

𝑒2

• 𝑥𝑓΄(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑥2(2𝑒2𝑥 − 1) για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

α. Να αποδείξετε ότι 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒2𝑥 − 𝑥2 − 𝑥 , 𝑥 ∈ ℝ

β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση 𝑓 ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

γ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης 𝑓 έχει ένα

μόνο σημείο καμπής.

Σχόλιο:

Για να υπολογίσω μια πραγματική σταθερά 𝑐 που προκύπτει από συνέπειες

Θ.Μ.Τ.

i. Χρησιμοποιώ γνωστές τιμές της 𝑓

ii. Χρησιμοποιώ τη συνέχεια στο σημείο αλλαγής του τύπου της 𝑓

iii. Χρησιμοποιώ την παραγωγισιμότητα στο σημείο αλλαγής του τύπου

της 𝑓

iv. Αντικαθιστώ μια επιθυμητή τιμή σε συναρτησιακή σχέση που δίνεται

συνήθως στην εκφώνηση της άσκησης

Page 117: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

116

Με Μοναδική Ρίζα Εξίσωσης

Αρχέτυπο 4.1.15 Έστω συνάρτηση 𝑓: (0, +∞) → ℝ και ισχύει

𝑒𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑙𝑛𝑥

.Να βρεθεί ο τύπος της 𝑓

Με Θ.Ε.Τ.

Αρχέτυπο 4.1.15 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις 𝑓:ℝ → ℝ με

[𝑓(𝑥) − 3][𝑓(𝑥) − 5] = 0

για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

Page 118: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

117

Πολλαπλασιασμός με 𝑓΄(𝑥)

Αρχέτυπο 4.1.15 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ για

την οποία ισχύει 𝑓΄΄(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 0 με 𝑓΄(0) = 𝑓(0) = 0. Να βρεθεί ο τύπος της

𝑓

Με Σπάσιμο Όρων

Αρχέτυπο 4.1.16 Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ για

την οποία ισχύει 2𝑓΄΄(𝑥) + 3𝑓΄(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 0 με 𝑓΄(0) = 𝑓(0) = 0. Να βρεθεί ο

τύπος της 𝑓

Page 119: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

118

Συνδυασμός

Αρχέτυπο 4.1.17 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓:ℝ → ℝ με 𝑓(0) = 1,

για την οποία ισχύει:

𝑒𝑥𝑓(𝑦) − 𝑒𝑦𝑓(𝑥) ≤ (𝑥 − 𝑦)2

για κάθε 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Να δείξετε ότι 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, 𝑥 ∈ ℝ

Page 120: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

119

Με Ολοκληρώματα

❖ Μεθοδολογία 1 : Εάν ισχύει ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0𝛽

𝛼 και 𝑓(𝑥) ≥ 0 για κάθε 𝑥 ∈

[𝛼, 𝛽] τότε 𝑓(𝑥) = 0 για κάθε 𝑥 ∈ [𝛼, 𝛽]

Αρχέτυπο 4.1.17 Έστω συνεχής συνάρτηση 𝑓: [0,1] → ℝ με 𝑓(0) = 2 για την

οποία ισχύει ∫ (𝑓΄(𝑥))2𝑑𝑥

1

0+ 4∫ (𝑓(𝑥))

2𝑑𝑥 = 2𝑓2(1) − 8

1

0, να βρεθεί ο τύπος

τις 𝑓

Page 121: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

120

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ

ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΗΣ

Μεθοδολογία:

1ο βήμα) θέτουμε το ολοκλήρωμα ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝛽

𝛼 ίσο με μία σταθερά 𝑐 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝛽

𝛼

(1) , 𝑐 ∈ ℝ

2ο βήμα) αντικαθιστούμε το ολοκλήρωμα με τη σταθερά c στο τύπο της

συνάρτησης (2)

3ο βήμα) Αντικαθιστούμε στην (1) ,το τύπο της συνάρτησης (2) μέσα στο

ολοκλήρωμα. Ύστερα υπολογίζουμε τη σταθερά c

Αρχέτυπο 4.1.18 Έστω συνεχής συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ για την οποία ισχύει

𝑓(𝑥) = 12𝑥2 − 2𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡1

0

για κάθε 𝑥 ∈ ℝ. Να βρείτε το τύπο της συνάρτησης 𝑓

Page 122: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

121

Α8 Προβλήματα Ακροτάτων

❖ Μεθοδολογία 1 ( Μέγιστο – Ελάχιστο Κόστος )

Αν θέλουμε να βρούμε ποσότητα x τις προϊόντος, που παράγεται ή πωλείται,

για την οποία η επιχείρηση που το παράγει έχει μέγιστο κέρδος ή ελάχιστο

κόστος, τότε:

Εκφράζουμε τις συναρτήσεις Κέρδους – Εσόδων – Κόστους, συναρτήσει των x

μονάδων προϊόντος ή τις τις μονάδας του παραγόμενου προϊόντος. Ισχύει

ΚΕΡΔΟΣ=ΕΣΟΔΑ – ΚΟΣΤΟΣ

Στη συνέχεια, βάζουμε περιορισμούς στη συνάρτηση που θέλουμε να βρούμε

το ακρότατα. Τέλος, μελετάμε τη συνάρτηση που τις ενδιαφέρει ως τις

μονοτονία – ακρότατο

Αρχέτυπο 8.1.1 Μία βιομηχανία παράγει x ποσότητα από ένα προϊόν, με

κόστος που δίνεται από τη συνάρτηση

𝐾(𝑥) =𝛼𝑥3

4, 𝑥 > 0, 𝑎 ∈ [

2

9,9

2]

Τα έσοδα από την πώληση x ποσότητας του προϊόντος, δίνονται από τη

συνάρτηση 𝛦(𝑥) = 𝑥2, 𝑥 > 0

Α) Να βρείτε τη ποσότητα 𝑥0, για την οποία έχουμε το μέγιστο κέρδος που

συμβολίζεται με 𝛭(𝛼)

Β) Να βρείτε τη τιμή α, για την οποία το 𝛭(𝛼) γίνεται μέγιστο, καθώς και το

μέγιστο κέρδος

Page 123: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

122

Αρχέτυπο 8.1.2 Η τιμή P( σε χιλιάδες ευρώ) τις προϊόντος , t μήνες μετά την

εισαγωγή του στην αγορά, δίνεται από το τύπο:

𝑃(𝑡) = 4 +𝑡 − 6

𝑡2 +254

Α) Να βρείτε τη τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά

Β) Να βρείτε το χρονικό διάστημα στο οποίο η τιμή του προϊόντος συνεχώς

αυξάνεται

Γ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τιμή του προϊόντος γίνεται

μέγιστη

Δ) Να αποδείξετε ότι η τιμή του προϊόντος μετά από κάποια χρονική στιγμή

συνεχώς μειώνεται, χωρίς να γίνει μικρότερη από τη τιμή του προϊόντος τη

στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά

Page 124: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

123

❖ Μεθοδολογία 2 ( Προβλήματα ακροτάτων σε καμπύλες )

• Βρίσκουμε τη συνάρτηση του μεγέθους στο οποίο αναφέρεται το

ακρότατο. Αν η συνάρτηση περιέχει δύο μεταβλητές, βρίσκουμε μια

σχέση που τις συνδέει και υπολογίζουμε τη μία, συναρτήσει της άλλη.

• Βρίσκουμε τους περιορισμούς που διέπουν τη μεταβλητή της

συνάρτησης που θέλουμε να βρούμε το ακρότατό της ( και έτσι

προκύπτει το πεδίο ορισμού της συνάρτηση )

• Τέλος, μελετάμε τη συνάρτηση που μας ενδιαφέρει ως προς τη

μονοτονία – ακρότατα

Αρχέτυπο 8.2.1 Έστω ότι η εφαπτόμενη (휀) τις γραφικής παράστασης τις

συνάρτησης

𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥 + 1, 𝑥 < −1

σε τυχαίο της σημείο, τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y στα σημεία Α και Β

αντίστοιχα. Να βρείτε το σημείο της 𝐶𝑓 , για το οποίο το άθροισμα των

αποστάσεων της αρχής των αξόνων από τα σημεία Α και Β, γίνεται ελάχιστο.

Page 125: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

124

Αρχέτυπο 8.2.2 ( Β προσανατολισμού )

Να βρείτε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(2,4) και σχηματίζει με τους

θετικούς ημιάξονες τρίγωνο με ελάχιστο εμβαδόν.

Page 126: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

125

Αρχέτυπο 8.2.3 Να βρείτε σημείο της καμπύλης 𝑦 = 𝑥2 − 2, του οποίου η

απόσταση από το σημείο 𝛮(5,−3) είναι ελάχιστη.

Αρχέτυπο 8.2.4 Να βρείτε σημείο τις καμπύλης 𝑦 = √3𝑥2 + 4 + 3 που η

απόστασή του από το σημείο 𝛮(0,3) να είναι ελάχιστη.

Αρχέτυπο 8.2.5 Να βρείτε το σημείο Ν τις καμπύλης 𝑦 = √𝑥 − 1 που είναι

πλησιέστερο στο σημείο 𝛵(2,0)

Page 127: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

126

❖ Μεθοδολογία 3 ( Γεωμετρικά προβλήματα )

Για να βρούμε ένα ακρότατο μεγέθους που περιγράφεται μέσα από

γεωμετρικό πρόβλημα, τότε:

• Κατασκευάζουμε σχήμα

• Βρίσκουμε τη συνάρτηση 𝑓 που εκφράζει το μέγεθος, του οποίου

ζητάμε το ακρότατο. Αν η συνάρτηση περιέχει δύο αγνώστους, τότε

μέσω σχήματος βρίσκουμε μία σχέση που τις συνδέει και

αντικαθιστούμε τη μία, συναρτήσει της άλλης

• Από το σχήμα βρίσκουμε τις περιορισμούς που διέπουν τη μεταβλητή

της συνάρτησης που θέλουμε να βρούμε το ακρότατό της ( και έτσι

προκύπτει το πεδίο ορισμού της συνάρτηση )

• Τέλος, μελετάμε τη συνάρτηση που με ενδιαφέρει ως τη μονοτονία –

ακρότατα

Αρχέτυπο 8.3.1 Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ=ΑΓ=10cm. Να βρείτε

τις διαστάσεις του τριγώνου για τις οποίες το εμβαδόν του είναι μέγιστο.

Page 128: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

127

Αρχέτυπο 8.3.2 Θεωρούμε σημείο 𝛮(𝑥, 𝑦) του οποίου οι συντεταγμένες

καθορίζονται από τις συναρτήσεις 𝑥(𝑡) =3𝑡

1+𝑡3 και 𝑦(𝑡) =

3𝑡2

1+𝑡3 , 𝑡 ≥ 0. Να

αποδείξετε ότι για κάθε 𝑡 ≥ 0 το Ν βρίσκεται εντός του τετραγώνου που

ορίζεται από τις ημιευθείες 𝑂𝑥, 𝑂𝑦 και τις ευθείες 𝑥 = √43

και 𝑦 = √43

Page 129: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

128

Α9 Ρυθμός Μεταβολής

❖ Μεθοδολογία 1 ( Ρυθμός μεταβολής συγκεκριμένης συνάρτησης)

Ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης 𝑦 = 𝑓(𝑡), ως τις 𝑡, όταν 𝑡 = 𝑡0, είναι η

παράγωγος τις 𝑓 στο 𝑡0, δηλαδή το 𝑓΄(𝑡0)

❖ Μεθοδολογία 2 ( Προβλήματα Οικονομίας )

Στα προβλήματα οικονομίας, η βασική σχέση είναι :

Κέρδος=Έσοδα – Κόστος

Αν 𝛫(𝑥) η συνάρτηση κόστους, τότε, το μέσο κόστος παραγωγής 𝑥 μονάδων

προϊόντος είναι: 𝐾𝜇(𝑥) =𝐾(𝑥)−𝐾(0)

𝑥

Αρχέτυπο 9.1.1 Μία βιομηχανία κατασκευάζει x χιλιάδες τεμάχια τις προϊόντος

το μήνα. Αν το κόστος παραγωγής είναι 𝐾(𝑥) = 30𝑥2 + 500𝑥 − 100 χιλιάδες

ευρώ και η τιμή πώλησης του κάθε τεμαχίου του προϊόντος είναι

2𝑥2 − 105𝑥 + 3200

ευρώ, να βρείτε:

Α) Πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι αρνητικός

Β) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι μηδέν,

όταν ο ρυθμός μεταβολής του κόστους ισούται με το μέσο κόστος.

Page 130: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

129

❖ Μεθοδολογία 3 ( Πρόβλημα κίνησης σε καμπύλη)

Αν δίνεται σώμα που κινείται σε καμπύλη 𝐶 , τότε:

1ο Καταγράφουμε όλα τα δεδομένα τις άσκησης , εκφράζοντας τα 𝑥, 𝑦

συνάρτηση του χρόνου 𝑡 , (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)). Αν κάποια από τις συντεταγμένες του

σημείου ελαττώνεται με ρυθμό α , τότε γράφω 𝑥(𝑡) = −𝑎 ή 𝑦(𝑡) = −𝑎

2ο Υπολογίζουμε τις τιμές των 𝑥, 𝑦 τη χρονική στιγμή 𝑡0 που τις ενδιαφέρει

3ο Παραγωγίζουμε την εξίσωση της καμπύλης ως τη 𝑡 και αντικαθιστούμε

όπου 𝑡 = 𝑡0

4ο Κάνουμε αντικατάσταση στην τελευταία σχέση και συνήθως προκύπτει το

ζητούμενο

Αρχέτυπο 9.3.1Ένα σώμα βρίσκεται σε κυκλική τροχιά, με εξίσωση

𝑥2 + 𝑦2 = 25

Όταν το σώμα διέρχεται από το σημεία 𝛮(3,4), η τετμημένη του ελαττώνεται

με ρυθμό 4 μονάδες μήκους ανά δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής

της τεταγμένης του τη χρονική στιγμή που το σώμα διέρχεται από το σημείο Ν

Page 131: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

130

❖ Μεθοδολογία 4 (Προβλήματα ευθύγραμμης κίνησης)

Αν δίνεται σώμα που κινείται επί ευθείας και η συνάρτηση θέσης του κάθε

χρονική στιγμή t είναι 𝑆 = 𝑥(𝑡), τότε:

• Η στιγμιαία ταχύτητά του τη χρονική στιγμή 𝑡0 είναι

𝜐(𝑡0) = 𝑥΄(𝑡0)

• Η στιγμιαία επιτάχυνση 𝛼(𝑡0) τη χρονική στιγμή 𝑡0 είναι 𝛼(𝑡0) =

𝜐΄(𝑡0)

• Το σώμα είναι ακίνητο , όταν 𝜐(𝑡) = 0

• Το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά, όταν 𝜐(𝑡) > 0 και κατά την

αρνητική φορά όταν 𝜐(𝑡) < 0

• Το συνολικό διάστημα που διανύει το κινητό είναι

𝑆𝛰𝛬 = |𝑥(𝑡𝜏 𝜆𝜄𝜅ό) − 𝑥(𝑡2)| + |𝑥(𝑡2) − 𝑥(𝑡1)| + |𝑥(𝑡1) − 𝑥(𝑡0)|

Όπου 𝑡1, 𝑡2 οι ρίζες τις εξίσωσης 𝜐(𝑡) = 0

• Η μέση ταχύτητα του σώματος σε όλη τη διάρκεια τις κίνησής του είναι

𝜐𝜇 =𝑆𝛰𝛬

𝑡𝜏𝜀𝜆𝜄𝜅ό

• H ταχύτητα του σώματος αυξάνεται, όταν 𝛼(𝑡) > 0 και ελαττώνεται

όταν 𝑎(𝑡) < 0

Page 132: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

131

❖ Μεθοδολογία 5 ( Ρυθμός μεταβολής σε τρίγωνα)

Αρχικά κάνουμε σχήμα και εκφράζουμε όλα τα μήκη συνάρτηση του 𝑡.

1) εάν τρίγωνο στο σχήμα

α) Εάν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο τότε

i) Πυθαγόρειο θεώρημα

ii) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

β) Τυχαίο τρίγωνο τότε νόμο συνημίτονων 𝑎2 = 𝛽2 + 𝛾2 − 2𝛽𝛾𝜎𝜐𝜈𝛢

2) Δύο τρίγωνα στο σχήμα

α) Συνθήκη ομοιότητας τριγώνων

Για επίπεδα ή στερεά σχήματα χρησιμοποιούμε τις τύπους περιμέτρου,

εμβαδού ή όγκου.

1) Κάνουμε σχήμα όπου είναι απαραίτητο, και συμβολίζουμε με

μεταβλητές τα διάφορα μεγέθη

2) Βρίσκουμε τις γεωμετρικές σχέσεις που συνδέουν τις μεταβλητές και τις

κάνουμε συναρτήσεις με μεταβλητή t

3) Υπολογίζουμε τη τιμή των μεταβλητών τη χρονική στιγμή 𝑡0 που τις

ενδιαφέρει

4) Παραγωγίζουμε τις σχέσεις και με αντικατάσταση προκύπτει το

ζητούμενο.

Page 133: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

132

Αρχέτυπο 9.5.1Ένα

άνθρωπος ύψους

1,8 m

απομακρύνεται από

έναν φανοστάτη

ύψους 7,2 m με

ταχύτητα 0,9 m/sec.

Να βρείτε τη

ταχύτητα με την

οποία αυξάνεται ο

ίσκιος του

ανθρώπου.

Page 134: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

133

Αρχέτυπο 9.5.2 Μία σκάλα μήκους 5m είναι

τοποθετημένη σε έναν τοίχο. Το κάτω μέρος της

σκάλας γλιστράει και απομακρύνεται από τον

τοίχο με ταχύτητα 0,2m/sec. Τη χρονική στιγμή

κατά την οποία η κορυφή τις σκάλας απέχει 4m

από το έδαφος, να βρείτε:

Α) Το ρυθμός μεταβολής τις γωνίας θ

Β) Τη ταχύτητα πτώσης της κορυφής Α της σκάλας

Page 135: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

134

Α10. Εφαρμογές της κυρτότητας

Αν μας δίνεται ότι μια συνάρτηση 𝑓 είναι κυρτή, τότε έχουμε τις εξής

πληροφορίες:

Α) Η συνάρτηση 𝑓΄ είναι γνησίως αύξουσα, οπότε αν έχουμε και μία ρίζα της,

βρίσκουμε αμέσως το πρόσημό της και άρα τη μονοτονία και τα ακρότατα της

συνάρτησης 𝑓

Β) Θα ισχύει η ανισότητα: 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓΄(𝛼)(𝑥 − 𝛼) + 𝑓(𝑎), με την ισότητα να

ισχύει μόνο για 𝑥 = 𝑎

Γ) Η εξίσωση 𝑓(𝑥) = 𝑓΄(𝛼)(𝑥 − 𝛼) + 𝑓(𝑎), έχει μοναδική ρίζα τη 𝑥 = 𝛼

Δ) Η συνάρτηση ℎ(𝑥) =𝑓(𝑥)−𝑓(𝛼)

𝑥−𝛼 είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα

διαστήματα που ορίζεται (απόδειξη με ΘΜΤ σε διάστημα [α,x] ή [x,α])

Ε) 𝑓 κυρτή και 𝑦 = 𝛼𝑥 + 𝛽 η εφαπτομένη της σε ένα σημείο τότε

𝑓(𝑥) ≥ 𝛼𝑥 + 𝛽 και προκύπτει ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ≥ ∫ (𝑎𝑡 + 𝛽)𝑑𝑡𝛿

𝛾

𝛿

𝛾

Αρχέτυπο 10.1.1 Δίνονται οι συναρτήσεις 𝑓, 𝑔: (−1, +∞) → ℝ με

𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + 1) − 𝑥

και

𝑔(𝑥) = ln(𝑥 + 1) − 𝑥 +𝑥2

2

α. Να μελετήσετε τις 𝑓, 𝑔 ως προς τη μονοτονία

β. Να βρείτε τα σύνολα τιμών των 𝑓, 𝑔

γ. Να αποδείξετε ότι 𝑓(𝑥) ≤ 0 ≤ 𝑔(𝑥) για κάθε 𝑥 ≥ 0

δ. Να αποδείξετε ότι 1

3≤ ∫ ln(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 ≤

1

2

1

0

ε. Να αποδείξετε ότι 2

3≤ 𝑙𝑛2 ≤

3

4

Page 136: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

135

Page 137: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

136

Α11. Εμβαδά

Μεθοδολογία 1 ( Εμβαδόν μεταξύ 𝐶𝑓 , άξονα x΄x, 𝑥 = 𝛼 και 𝑥 = 𝛽 )

Το εμβαδόν του χωρίου Ω ισούται με ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥𝛽

𝛼

• 𝑓 συνεχής στο [𝛼, 𝛽]

• Λύνουμε την εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0 στο [𝑎, 𝛽]

Βρίσκουμε το πρόσημο της 𝑓

Παράδειγμα 1.1

Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 2𝑥 − 1

α. Να λύσετε την εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0

β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 𝐶𝑓 , τον

άξονα x΄x και τις ευθείες 𝑥 = −1 και 𝑥 = 1

Page 138: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

137

Παράδειγμα 1.2

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 𝑓(𝑥) = {2𝑥 + 4 , 𝑥 ≤ 1

3𝑥2 + 3, 𝑥 > 1 .

α. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση 𝑓 είναι συνεχής στο [−1,2]

β. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 𝐶𝑓 , τον

άξονα 𝑥΄𝑥 και τις ευθείες 𝑥 = −1 και 𝑥 = 2

Page 139: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

138

Παράδειγμα 1.2 ***

Δίνεται η συνάρτηση 𝑓:ℝ → (0,+∞), δύο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ, με

𝑓΄΄(𝑥) + 𝑓΄΄(2 − 𝑥) = 12𝑥 για κάθε 𝑥 ∈ ℝ και η 𝐶𝑓 διέρχεται από το

σημεία 𝛮(1,5). Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από

τη 𝐶𝑓, τους άξονες 𝑥′𝑥 και 𝑦΄𝑦 και την ευθεία 𝑥 = 2

Page 140: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

139

Παράδειγμα 1.3 ***

Έστω 𝑓:ℝ → ℝ παραγωγίσιμη συνάρτηση με την ιδιότητα 𝑓(𝑥)𝑓΄(𝑥) ≠ 0

και 𝐹 μια αρχική της 𝑓. Να αποδειχθεί ότι:

α. Η 𝑓 είναι αντιστρέψιμη

β. Η 𝐹 είναι γνησίως μονότονη

γ. Αν η 𝑓΄ είναι συνεχής, τότε η 𝐹 είναι ή κυρτή ή κοίλη

δ. Αν ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0𝐹(2)−3

𝐹(1) και 𝑓(0) = 1, τότε το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ

της 𝐶𝑓 , του άξονα 𝑥΄𝑥 και των ευθειών 𝑥 = 1 και 𝑥 = 2 είναι ίσο με 3 τ.μ.

Page 141: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

140

Παράδειγμα 1.4

α. Αν για κάθε 𝑥 ∈ ℝ ισχύει 𝑎𝑥 ≥ 𝑥 + 1, 𝑎 > 0 τότε να αποδείξετε ότι

𝛼 = 𝑒. β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές

παραστάσεις των συναρτήσεων 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥(𝑥2 + 2) ,

𝑔(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥 + 2 , την ευθεία 𝑥 = 1 και τον άξονα 𝑦΄𝑦

Page 142: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

141

Παράδειγμα 1.5

Δίνεται η συνάρτηση 𝑓: (0,+∞) → ℝ για την οποία ισχύουν:

• 𝑓(1) = 5

• 𝑥𝑓΄(𝑥) = 2(1 − 𝑓(𝑥)) για κάθε 𝑥 > 0

α. Να αποδείξετε ότι 𝑓(𝑥) = 1 +4

𝑥2 , 𝑥 > 0

β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν 𝛦(𝜆) του χωρίου που περικλείεται από τη

𝐶𝑓 , τον άξονα των x και τις ευθείες 𝑥 = 1 και 𝑥 = 𝜆, όπου 0 < 𝜆 ≠ 1

γ. Αν 𝜆 > 1 και το λ αυξάνεται με ρυθμό 3 μον./sec , τότε να βρείτε το

ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε(λ) τη στιγμή που είναι 𝜆 = 2

Page 143: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

142

Παράδειγμα 1.6

Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥 , x>0

Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τα σημεία 𝛭(𝑥, 𝑦) με 1

𝑒≤ 𝑥 ≤ 1 και 𝑓(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 0

Page 144: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

143

Μεθοδολογία 2 ( Εμβαδόν μεταξύ 𝐶𝑓 και τον άξονα x΄x )

Εάν δεν δίνονται οι κατακόρυφες ευθείες x=α και x=β τότε

• Λύνουμε την εξίσωση 𝑓(𝑥) = 0 και έστω 𝜌1 < 𝜌2 < ⋯ < 𝜌𝜈 οι ρίζες τις

Το εμβαδόν του χωρίου Ω είναι∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥𝜌𝜈

𝜌1

Παράδειγμα 2.1

Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 2(𝑙𝑛𝑥)2 − 5𝑙𝑛𝑥 + 2

α. Να εξετάσετε αν η 𝐶𝑓 έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες

β. Να μελετήσετε την 𝑓 ως τις τη μονοτονία και τα ακρότατα

γ. Να βρείτε το lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥)

δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση τις 𝑓 και τον άξονα x΄x

Page 145: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

144

Μεθοδολογία 3 ( Εμβαδόν μεταξύ 𝐶𝑓 , άξονα x΄x και x=α)

(δίνεται μόνο μία κατακόρυφη ευθεία)

Το άλλο άκρο θα είναι μια ρίζα τις 𝑓(𝑥) = 0 έστω ρ

Τότε

• το εμβαδόν του χωρίου Ω είναι∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥𝜌

𝛼 τις α<ρ

το εμβαδόν του χωρίου Ω είναι∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥𝛼

𝜌 τις α>ρ

Παράδειγμα 3.1

Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) =𝑥−2

𝑥 με 𝑥 > 0. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του

χωρίου που περικλείεται:

Α) από τη 𝐶𝑓 , τον άξονα x΄x και τις ευθείες με εξισώσεις 𝑥 = 1 και 𝑥 = 𝑒

Β) από τη 𝐶𝑓 , τον άξονα x΄x και την ευθεία 𝑥 = 4

Page 146: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

145

Παράδειγμα 3.2

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση 𝑓: ℝ → ℝ, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

𝑓3(𝑥) + 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, για κάθε 𝑥 ∈ ℝ

α. Να βρείτε την τιμή της συνάρτησης 𝑓 για 𝑥 = −1 και 𝑥 = 1

β. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε

το πρόσημό της

γ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε του χωρίου Ω που ορίζεται από τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης 𝑓, τον άξονα 𝑥΄𝑥 και την ευθεία

𝑥 = 1 είναι 𝛦(𝛺) =5

4

Page 147: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

146

Μεθοδολογία 4 ( εμβαδόν μεταξύ 𝐶𝑓 , 𝐶𝑔 , x=α και x=β )

𝛦(𝛺) = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)|𝑑𝑥𝛽

𝛼

Παράδειγμα 4.1

Α) Να αποδείξετε ότι 𝑒3𝑥 ≥ 𝑥 + 1 για κάθε 𝑥 ≥ 0

Β) Δίνονται οι συναρτήσεις 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 και 𝑔(𝑥) = 𝑒−2𝑥(𝑥 + 1)

Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 𝐶𝑓 , τη 𝐶𝑔, τον

άξονα y΄y και την ευθεία 𝑥 = 1

Page 148: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

147

Μεθοδολογία 5 ( εμβαδόν μεταξύ 𝐶𝑓 , 𝐶𝑔)

βρίσκω τη συνάρτηση ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) και εφαρμόζω τη

μεθοδολογία 2 για την ℎ(𝑥)

Παράδειγμα 5.1

Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 𝑥 + 1)𝑒𝑥

Α) Να μελετήσετε την 𝑓 ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της 𝑓

Γ) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται μεταξύ των 𝐶𝑓 και 𝐶𝑔, με

𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥

Page 149: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

148

Μεθοδολογία 6 ( Εμβαδόν μεταξύ 𝐶𝑓 , 𝐶𝑔, 𝐶ℎ )

Για να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από 3 ή περισσότερες

συναρτήσεις τότε

• Βρίσκουμε τα σημεία που τέμνονται ανά δύο οι γραφικές παραστάσεις

• Σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις στο ίδιο σύστημα αξόνων

• Χωρίζουμε το χωρίο Ω, με ευθείες κάθετες στον άξονα x΄x, σε επιμέρους

χωρία τα οποία σχηματίζονται από δύο μόνο γραφικές παραστάσεις

Υπολογίζουμε το εμβαδόν καθενός από τα παραπάνω χωρία και το άθροισμά

τους είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω

Παράδειγμα 6.1

Δίνονται οι συναρτήσεις 𝑓(𝑥) = √𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 , ℎ(𝑥) = −𝑥 + 2

Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές

παραστάσεις των τριών συναρτήσεων

Page 150: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

149

Μεθοδολογία 7

( Εμβαδό χωρίου που περικλείεται μεταξύ 𝐶𝑓 και εφαπτομένης της (ε) σε ένα

σημείο της )

Εργαζόμαστε όπως στη μεθοδολογία 5

( Εμβαδό χωρίου που περικλείεται από τη 𝐶𝑓 , την εφαπτομένη της (ε) σε ένα

σημείο της και τον άξονα 𝑥΄𝑥 )

Εργαζόμαστε όπως στη μεθοδολογία 6

Παράδειγμα 7.1

Δίνεται συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 11𝑥 − 6

Α) Να βρείτε την εφαπτομένη (ε) της 𝐶𝑓 στο σημείο της 𝛮(0, 𝑓(0))

Β) Να αποδείξετε ότι η (ε) τέμνει τη 𝐶𝑓 σε σημείο Τ, το οποίο και να βρείτε

Γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 𝐶𝑓 και την

ευθεία ε

Page 151: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

150

Παράδειγμα 7.2 (σχολικό βιβλίο)

Έστω η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 3𝑥2

Α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της 𝐶𝑓 στο σημείο τις Α(1,3)

Β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

παράσταση της 𝑓, την εφαπτομένη της στο Α και των άξονα των x

Page 152: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

151

Παράδειγμα 7.3

Δίνεται συνάρτηση 𝑓: (0,+∞) → ℝ με την ιδιότητα 𝑓 (𝑥

𝑒) ≤ 𝑙𝑛𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) − 1

για κάθε 𝑥 > 0

α. Να βρείτε το τύπο της 𝑓

β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της 𝐶𝑓 , η οποία διέρχεται από

την αρχή των αξόνων

γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 𝐶𝑓 , τον

άξονα 𝑥΄𝑥 και την παραπάνω εφαπτομένη

Page 153: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

152

Παράδειγμα 7.4

Θεωρούμε την εφαπτομένη (휀) της συνάρτησης 𝑓(𝑥) = 𝜎𝜐𝜈𝑥 στο σημείο της

𝛴 (𝜋

2, 0) . Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 𝐶𝑓 ,

την παραπάνω εφαπτομένη (ε) και τις ευθείες 𝑥 = 0 και 𝑥 = 𝜋

Σχόλιο: Όταν ζητείται το εμβαδόν ενός χωρίου που περικλείεται ανάμεσα στη

𝐶𝑓 , την εφαπτομένη της (휀): 𝑦 = 𝜆𝑥 + 𝛽 σε ένα σημείο της 𝛭(𝑥0, 𝑓(𝑥0)), τότε

μελετάμε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα. Αν επιπλέον το σημείο Μ

είναι σημείο καμπής της 𝐶𝑓 τότε ως γνωστόν η εφαπτομένη «διαπερνά» της 𝐶𝑓 ,

το οποίο σημαίνει ( υποθέτουμε ότι 𝑓 κοίλη στο [𝛼, 𝑥0] και κυρτή στο [𝑥0, 𝛽] )

ότι αριστερά του σημείου καμπής η εφαπτομένη είναι «πάνω» από τη 𝐶𝑓 και

δεξιά «κάτω» . Δηλαδή το ζητούμενο εμβαδόν είναι

𝛦(𝛺) = ∫ (𝜆𝑥 + 𝛽 − 𝑓(𝑥))𝑑𝑥 + ∫ (𝑓(𝑥) − 𝜆𝑥 − 𝛽)𝑑𝑥𝛽

𝑥0

𝑥0

𝛼

Page 154: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

153

Μεθοδολογία 8

( Υπολογισμός εμβαδού χωρίου που περικλείεται από τη 𝐶𝑓−1 , τον άξονα 𝑥΄𝑥

και τις ευθείες 𝑥 = 𝑎 και 𝑥 = 𝛽 )

𝛦(𝛺) = ∫ |𝑓−1(𝑥)|𝑑𝑥𝛽

𝛼 , με 𝑓−1(𝑥) συνεχής στο [𝛼, 𝛽], τότε:

• Εάν γνωρίζουμε το τύπο της 𝑓−1(𝑥) αντικαθιστούμε και υπολογίζουμε

το ολοκλήρωμα

• Εάν δεν μπορούμε να βρούμε το τύπο της 𝑓−1(𝑥) τότε:

o Θέτω 𝑢 = 𝑓−1(𝑥) ⇔𝑓(𝑢) = 𝑓(𝑓−1(𝑥))

⇔𝑓(𝑢) = 𝑥 τότε

𝑓΄(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

o Για 𝑥 = 𝑎 ⇔𝑓(𝑢) = 𝑎

𝑎=𝑓(𝑢1)⇔ 𝑓(𝑢) = 𝑓(𝑢1)

𝑓 1−1⇔ 𝑢 = 𝑢1

o Για 𝑥 = 𝛽 ⇔𝑓(𝑢) = 𝛽

𝛽=𝑓(𝑢2)⇔ 𝑓(𝑢) = 𝑓(𝑢2)

𝑓 1−1⇔ 𝑢 = 𝑢2

(𝛺) = ∫ |𝑓−1(𝑥)|𝑑𝑥𝛽

𝛼

= ∫ |𝑢|𝑓΄(𝑢)𝑑𝑢𝑢2

𝑢1

Παράδειγμα 8.1

Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒𝑥2

α. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 αντιστρέφεται

β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη 𝐶𝑓−1 ,

τον άξονα 𝑥΄𝑥 και τις ευθείες 𝑥 = 0 και 𝑥 = 𝑒

Page 155: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

154

Μεθοδολογία 9

( Υπολογισμός εμβαδού χωρίου που περικλείεται από τη 𝐶𝑓−1 , 𝐶𝑓 και τις

ευθείες 𝑥 = 𝑎 και 𝑥 = 𝛽 )

Αρχικά αποδεικνύουμε ότι η 𝑓 αντιστρέφεται

• Αν έχουμε τη δυνατότητα βρίσκουμε την 𝑓−1 και το υπολογίζουμε

𝛦(𝛺) = ∫ |𝑓(𝑥) − 𝑓−1(𝑥)|𝑑𝑥𝛽

𝛼

Αν δε μπορούμε να βρούμε το τύπο της 𝑓−1(𝑥), τότε χρησιμοποιούμε τη

συμμετρία της 𝐶𝑓 , 𝐶𝑓−1 ως προς τη 𝑦 = 𝑥 και το ζητούμενο εμβαδόν είναι

𝛦(𝛺) = 2∫ |𝑓(𝑥) − 𝑥|𝑑𝑥𝛽

𝛼

Παράδειγμα 9.1

Δίνεται η συνάρτηση 𝑓: 𝛥 → ℝ , όπου 𝛥 = [0,2𝜋] και 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝜂𝜇𝑥

α. Να μελετηθεί η 𝑓 ως προς τη μονοτονία

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της 𝑓

γ. Να γίνει η γραφική παράσταση της 𝑓

δ. Να αποδειχθεί ότι η 𝑓 αντιστρέφεται

ε. Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου Ω μεταξύ της 𝐶𝑓 και της 𝐶𝑓−1

Page 156: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

155

Μεθοδολογία 10

( Κατακόρυφος διαχωρισμός εμβαδού )

• Κάνουμε σχήμα

• Υπολογίζουμε το εμβαδόν Ε του συνολικού χωρίου

• Αν ζητείται κατακόρυφη ευθεία 𝑥 = 𝜆 που διαμερίζει το χωρίου σε λόγο

εμβαδών 𝛦1

𝛦2= 𝛼, τότε :

𝛦1𝛦2=𝛼

1 ⇔𝛦1 + 𝛦2𝛦2

=𝛼 + 1

1 ⇔𝛦

𝛦2= (𝛼 + 1)

⇔𝛦 = (𝛼 + 1)𝛦2

από την τελευταία υπολογίζουμε το λ

Παράδειγμα 10.1

Να βρείτε την κατακόρυφη ευθεία 𝑥 = 𝜆 που διχοτομεί την επιφάνεια που

καθορίζεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης 𝑓(𝑥) =1

𝑥 , τον άξονα

𝑥΄𝑥 και τις ευθείες 𝑥 = 1 και 𝑥 = 𝑒2

Page 157: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

156

Μεθοδολογία 11

( Οριζόντιος ή πλάγιος διαχωρισμός εμβαδού )

• Κάνουμε σχήμα

• Βρίσκουμε τα σημεία τομής των κορυφών του ζητούμενου χωρίου και

καθορίζουμε τις κατακόρυφες ευθείες που οριοθετούν τα ζητούμενα

εμβαδά

• Βρίσκουμε το εμβαδόν όλου του χωρίου Ε

• Υπολογίζουμε τα επιμέρους παραμετρικά εμβαδά 𝛦1 ή 𝛦2

Αντικαθιστώ στη σχέση που ισχύει για το χωρισμό των εμβαδών , π.χ. εάν η

άσκηση λέει «ισεμβαδικά» τότε 𝛦

2= 𝛦1 = 𝛦2

Παράδειγμα 11.1

Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 και η ευθεία (휀): 𝑦 = 𝑎𝑥 , 0 < 𝑎 < 4. Να

υπολογίσετε το α για το οποίο το χωρίο που ορίζεται από τη 𝐶𝑓 και τον άξονα

𝑥΄𝑥 χωρίζεται από την (ε) σε δύο ισεμβαδικά χωρία.

Page 158: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

157

Παράδειγμα 11.2

α. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης 𝑓(𝑥) = 4√𝑥, την εφαπτομένη της

στο 𝑥0 = 4 και τον άξονα 𝑥΄𝑥

β. Να βρείτε την ευθεία 𝑥 = 𝜆 , 𝜆 ∈ ℝ που χωρίζει το προηγούμενο χωρίο Ω

σε δύο άλλα χωρία 𝛺1 και 𝛺2 με εμβαδά 𝛦1 και 𝛦2 αντίστοιχα για τα

οποία ισχύει 𝛦1𝛦2=3

13

Page 159: Φβρο άριος 2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΈκοση 01 Φβρο άριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Νάνος Γιώρος

Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος

Τελευταία Ανανέωση: 22/4/2018

158

Μεθοδολογία 12

( Υπολογισμός εμβαδού χωρίου που περικλείεται από τη 𝐶𝑓 , και τις

ασύμπτωτες αυτής )

• Βρίσκουμε τις ασύμπτωτες και τη σχετική θέση της 𝐶𝑓 ως προς τις

ασύμπτωτες

• Θέτουμε κατακόρυφη ευθεία 𝑥 = 𝜆, για να οροθετηθεί το χωρίο

Βρίσκουμε το 𝛦(𝜆) και τα αντίστοιχα όρια

Παράδειγμα 12.1

Δίνεται η συνάρτηση 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑥𝑒−𝑥

α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α , ώστε η 𝐶𝑓 να έχει στο σημείο

𝛭(0, 𝑓(0)) εφαπτομένη παράλληλη στην ευθεία : (𝛿): 2𝑥 − 𝑦 − 5 = 0

β. Αν 𝛼 = 1, τότε:

i. Να αποδείξετε ότι η 𝑓 είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και η ευθεία

𝑦 = 𝑥 είναι ασύμπτωτη της 𝐶𝑓

ii. Να υπολογίσετε το εμβαδόν 𝛦(𝜆) του χωρίου που ορίζεται από τη

𝐶𝑓 , την ευθεία 𝑦 = 𝑥 και τις ευθείες 𝑥 = 0 και 𝑥 = 𝜆 , με 𝜆 > 0

iii. Να βρείτε το όριο lim𝜆→+∞

𝛦(𝜆)