§2.4 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数

第 2章

燕列雅 权豫西 王兰芳 李琪

3 1 xy

1. 隐函数的导数若由方程 0),( yxF 可确定 y 是 x 的函

数 ,

由 )(xfy 表示的函数 , 称为显函数 .例如 , 013 yx 可确定显函数

032 75 xxyy 可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .

函数为隐函数 .

则称此

隐函数求导方法 : 0),( yxF

0),(dd yxFx

两边对 x 求导

( 含导数 的方程 )

y

例 1 求由方程 032 75 xxyy

)(xyy 在 x = 0 处的导数 .0d

dxx

y

解 方程两边对 x 求导

)32(dd 75 xxyyx

得xy

ydd

5 4

xy

dd

2 1 621x 0

25

211dd

4

6

y

xxy

因 x = 0 时 y = 0 , 故21

0dd xxy

确定的隐函数

例 2 求椭圆 1916

22

yx 在点 )3,2( 23 处的切线方程 .

解 椭圆方程两边对 x 求导

8x

yy 92

0

y 23

23

xy

yx

169 2

323

xy

43

故切线方程为 323y

43 )2( x

即 03843 yx

例 3 求 )0(sin xxy x 的导数 .

解 两边取对数 , 化为隐式

xxy lnsinln

两边对 x 求导

yy

1xx lncos

xxsin

)sin

lncos(sin

xx

xxxy x

这种先在函数 y=f(x) 两边取对数 , 然后利用隐函

数求导法求出 y 的导数的方法称之为对数求导法 .

1) 对幂指函数 vuy 可用对数求导法求导 :

uvy lnln

yy

1uv ln

uvu

)ln(uvu

uvuy v

vuuy v ln uuv v 1

说明 :

按指数函数求导公式 按幂函数求导公式

注意 :

2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .

例如 , )1,0,0(

ba

baax

xb

ba

ybax

两边取对数

yln

两边对 x 求导

yy

ba

lnxa

xb

bax

ax

xb

ba

yba

lnxa

xb

ba

x ln ]lnln[ xba ]lnln[ axb

2. 由参数方程确定的函数的导数

若参数方程

)()(tytx

可确定一个 y 与 x 之间的

函数)(,)( tt 可导 , 且 ,0])([])([ 22 tt 则

0)( t 时 , 有

xy

dd

xt

ty

dd

dd

d 1ddd

yxtt

注

)()(tt

0)( t 时 , 有

yx

dd

yt

tx

dd

dd

tyt

x

dd1

dd

)()(tt

( 此时看成 x 是 y 的函数 )

关系 ,

)( xf

※注

在 y 的某邻域内单调可导 ,

( )y f x 1( )f y

0])([ 1 yf且

dd xy或

yx

dd

1])([ 1 yf

1

设 是 1( )x f y 的反函数 ,

例 5 抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx

求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向 .

解 先求速度大小 :

速度的水平分量为 ,dd

1vtx 垂直分量为 ,

dd

2 tgvty

故抛射体速度大小22 )

dd

()dd

(ty

tx

v 22

21 )( gtvv

再求速度方向 ( 即轨迹的切线方向 ):设 为切线倾角 ,

tan xy

dd

ty

dd

tx

dd

1

2

vtgv

则y

xo

221

2 tgtvy

抛射体轨迹的参数方程

221

2

1

tgtvy

tvx

速度的水平分量 ,dd

1vtx 垂直分量 ,

dd

2 tgvty

tan1

2

vtgv

在刚射出 ( 即 t = 0 ) 时 , 倾角为

1

2arctanvv

达到最高点的时刻 ,2

gv

t 高度 ygv 2

2

21

落地时刻 ,2 2

gv

t 抛射最远距离 xgvv 212

速度的方向 y

xo

2vt g

22vt g

若上述参数方程中 , )(,)( tt 二阶可导 ,

2

2

d

d

x

y )dd

(dd

xy

x)

dd

(dd

xy

t

tx

dd

)()(

dd

tt

xy

)(tx

且 ,0)( t则由它确定的函数 )(xfy 的二阶导数 如何求 ?

解 利用新的参数方程

, 可得

若参数方程

)()(tytx

可确定一个 y 与 x 之间的函数

)(,)( tt 可导 , 且

,0])([])([ 22 tt 则 0)( t

时 , 有

xy

dd

xt

ty

dd

dd

)()(tt

关系 ,

txt

y

dd1

dd

例 6. 设 )(xyy 由方程 eyxe y 确定 , ,)0(y

解 方程两边对 x 求导 ,

得0 yxyye y

再求导 , 得2ye y yxe y )( 02 y ②

当 0x 时 , ,1y 故由 ① 得

ey

1)0(

再代入 ② 得 2

1)0(e

y

求.)0(y

①