第 25 课时　矩形、菱形、正方形

第 25课时　矩形、菱形、正方形

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归类探究

考点聚焦考点 1 　矩形

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第 25课时┃ 矩形、菱形、正方形

矩形定义有一个角是 ________ 的平行四边形叫做矩形

矩形的性质

对称性矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴矩形是中心对称图形，它的对称中心就是对角线的交点

定理 (1) 矩形的四个角都是 ______ 角；(2) 矩形的对角线互相平分并且 ______

推论在直角三角形中，斜边上的中线等于 ___

_____ 的一半

直角

直相等

斜边

矩形的判定

(1) 定义法

(2) 有三个角是直角的四边形是矩形

(3) 对角线 ______ 的平行四边形是矩形

拓展 (1) 矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形；(2) 矩形的面积等于两邻边的积


相等


考点 2 　菱形

菱形

定义有一组 ________ 相等的平行四边形是菱形

菱形的

性质

对称性菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴

菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点

定理(1) 菱形的四条边 ________ ；

(2) 菱形的两条对角线互相 ________ 平分，并且每条对角线平分 ___________


邻边

相等垂直

一组对角


菱形的判定

(1) 定义法；

(2) 四条边 ________ 的四边形是菱形；

(3) 对角线互相 ________ 的平行四边形是菱形

菱形

面积

(1) 由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底 × 高；

(2) 因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成 4 个全等三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的 ________


相等

垂直

一半


考点 3 　正方形

正方形的定义

有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

正方形的性质

(1) 正方形对边 ________

(2) 正方形四边 ________

(3) 正方形四个角都是 ________

(4) 正方形对角线相等，互相 ________ ，每条对角线平分一组对角

(5) 正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点


平行

相等

直角垂直平分


正方形的判定

(1) 有一组邻边相等的矩形是正方形

(2) 有一个角是直角的菱形是正方形

判定正方形的思路图：



考点 4 　中点四边形

顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是 _________

_____

顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是 _________

_____

顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是

常见结论

顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形

定义

平行四边形


菱形

矩形


顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是 _________

_

顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是 ______

顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是 ______

顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是 ______


正方形

菱形

菱形

矩形


归类探究

探究一　矩形的性质及判定的应用

命题角度：1. 矩形的性质；2. 矩形的判定．

例 1 [2013· 白银 ] 如图 25 － 1 ，在△ ABC中， D是BC边上的一点， E是 AD的中点，过 A点作 BC的平行线交 CE的延长线于点 F，且 AF＝ BD，连接 BF.



　　 (1) 线段 BD与 CD有何数量关系，为什么？　　 (2) 当△ ABC满足什么条件时，四边形 AFBD是矩形？请说明理由．

图 25 － 1


解： (1)BD＝ CD. 理由如下：∵ AF∥BC，∴∠AFE＝∠ DCE，∠ FAE＝∠ CDE.

又 E是 AD的中点，∴ AE＝ DE.∴△AFE≌△DCE.

∴AF＝ CD. 又 AF＝ BD，∴ BD＝ CD.

(2)△ABC满足 AB＝ AC时，四边形 AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BC， AF＝ BD，∴四边形 AFBD是平行四边形．∵AB＝ AC， BD＝ CD，∴ AD⊥BC.∴∠ADB＝ 90°.

∴ 四边形 AFBD是矩形．考点聚焦归类探究回归教材

命题角度：1. 菱形的性质；2. 菱形的判定．

例 2 　 [2013· 泰安 ] 如图 25 － 2 ，在四边形 ABCD中， A

B＝ AD， CB＝ CD， E是 CD上一点， BE交 AC于 F，连接 DF.

　　 (1) 证明：∠ BAC＝∠ DAC，∠ AFD＝∠ CFE；　　 (2) 若 AB∥CD，试证明四边形 ABCD是菱形；　　 (3) 在 (2) 的条件下，试确定 E点的位置，使∠ EFD＝∠ BCD，并说明理由．

探究二　菱形的性质及判定的应用



图 25 － 2

第 25课时┃ 矩形、菱形、正方形解： (1)∵AB＝ AD， CB＝ CD， AC＝ A

C，∴△ABC≌△ADC.

∴∠BAC＝∠ DAC.

∵AB＝ AD，∠ BAF＝∠ DAF， AF＝ A

F.

∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB＝∠ AFD.

又∵∠ CFE＝∠ AFB，∴∠ AFD＝∠ CF

E.

所以∠ BAC＝∠ DAC，∠ AFD＝∠ CFE.(2)∵AB∥CD，∴∠ BAC＝∠ ACD.又∵∠ BAC＝∠ DAC，∴∠ DAC＝∠ AC

D，∴AD＝ CD.∵AB＝ AD， CB＝ CD，∴AB＝ CB＝ CD＝ AD.所以四边形 ABCD是菱形．考点聚焦归类探究回归教材


方法点析　　在证明一个四边形是菱形时，要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形．若是任意四边形，则需证四条边都相等；若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明．

(3) 当 BE⊥CD时，∠ EFD＝∠ BCD.

理由：∵四边形 ABCD为菱形，∴BC＝ CD，∠ BCF＝∠ DCF.

又∵ CF为公共边，∴△ BCF≌△DCF.∴∠CBF＝∠ CD

F.

∵BE⊥CD，∴∠ BEC＝∠ DEF＝ 90°.

∴∠EFD＝∠ BCD.


探究三　正方形的性质及判定的应用

命题角度：1. 正方形的性质；2. 正方形的判定．

图 25 － 3


例 3 　 [2013· 龙岩 ]

B



解　析　


探究四　特殊平行四边形的综合应用命题角度：1. 矩形、菱形、正方形的性质的综合应用；2. 矩形、菱形、正方形的关系转化．

例 4 　 [2013· 梅州 ] 如图 25 － 4 ，在四边形 ABFC中，∠ ACB＝ 90° ， BC的垂直平分线 EF交 BC于点 D，交 A

B于点 E，且 CF＝ AE.

(1) 求证：四边形 BECF是菱形；(2) 若四边形 BECF为正方形，求∠ A的度数．

图 25 － 4




解： (1) 证明：∵ BC的垂直平分线 EF交 BC于点 D，∴BF＝ FC， BE＝ EC.

又∵∠ ACB＝ 90° ，∴ EF∥AC.

∴BE∶AB＝ DB∶BC.

∵D为 BC中点，∴ DB∶BC＝ 1 2∶ ，∴BE∶AB＝ 1 2∶ ，∴ E为 AB中点，即 BE＝ AE.

∵CF＝ AE，∴ CF＝ BE，∴ CF＝ FB＝ BE＝ CE，∴ 四边形 BECF是菱形．(2) 如图，∵四边形 BECF为正方形，∴∠BEC＝ 90°. 又 AE＝ CE，∴∠ A＝ 45°.


探究五　中点四边形

命题角度：1. 对角线相等的四边形的中点四边形；2. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形．

例 5 　 [2013· 恩施 ] 如图 25 － 5 所示，在梯形 ABCD中，AD∥BC， AB＝ CD， E、 F、 G、 H分别为边 AB、 B

C、 CD、 DA的中点．求证：四边形 EFGH为菱形．

图 25 － 5





方法点析

　　依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系 ( 相等、垂直、相等且垂直 ) 有关．



探索正方形中的三角形全等

教材母题

　　如图 25 － 6 ，四边形 ABCD是正方形．点 G是 BC上的任意一点， DE

⊥AG 于点 E ， BF∥DE ，且交 AG

于点 F. 求证： AF－ BF＝ EF.

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图 25 － 6



　　 [ 点析 ] 正方形含有很多相等的边和角，这些是证明全等的有力工具．

证　明　　

　　　　　∵四边形 ABCD是正方形，∴ AD＝ AB，∠ BAD＝ 90°.

∵DE⊥AG，∴∠ DEG＝∠ AED＝ 90° ，∴∠ADE＋∠ DAE＝ 90°.

又∠ BAF＋∠ DAE＝∠ BAD＝ 90° ，∴∠ADE＝∠ BAF.

∵BF∥DE，∴∠ AFB＝∠ DEG＝∠ AED，∴△ABF≌△DAE，∴ BF＝ AE，故 AF－ BF＝ AF－ AE＝ EF.



中考预测

　　 1 ．如图 25 － 7①，在正方形 ABCD中， E、 F分别是边 AD、 DC上的点，且 AF⊥BE.

　　 (1) 求证： AF＝ BE；　　 (2) 如图②，在正方形 ABCD中，M、 N、 P、 Q分别是边 AB、 BC、 CD、 DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．

图 25 － 7




解： (1) 证明：设 AF与 BE交于点 G，∵ 四边形 ABCD是正方形，∴AB＝ AD，∠ BAD＝∠ D＝ 90° ，∴Rt△ADF中，∠ FAD＋∠ AFD＝ 90°.

∵AF⊥BE，∴∠ AGE＝ 90° ，∴Rt△AEG中，∠ FAD＋∠ AEG＝ 90°.

∴∠AFD＝∠ AEG.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝ BE.

(2) 相等．理由：过点 A作 AF∥MP交 CD于点 F，过点 B作 BE∥NQ交 AD于 E. 得到▱ BEQN和▱ AFPM，∴AF＝MP， BE＝ NQ，由 (1) 得 AF＝ BE，∴MP＝ NQ.


　 2 ．如图 25 － 8 ，在正方形 ABCD中， G是 BC上的任意一点 (G与 B、 C两点不重合 ) ， E、 F是 AG上的两点(E、 F与 A、 G两点不重合 ) ，若 AF＝ BF＋ EF，∠ 1

＝∠ 2 ，请判断线段 DE与 BF有怎样的位置关系，并证明你的结论．

图 25 － 8




解：根据题目条件可判断 DE∥BF.

证明如下：∵ 四边形 ABCD是正方形，∴AB＝ AD，∠ BAF＋∠ 2 ＝ 90°.

∵AF＝ AE＋ EF，又 AF＝ BF＋ EF，∴ AE＝ BF.

∵∠1 ＝∠ 2 ，∴△ ABF≌△DAE(SAS) ．∴∠AFB＝∠ DEA，∠ BAF＝∠ ADE.

∴∠ADE＋∠ 2 ＝∠ BAF＋∠ 2 ＝ 90° ，∴∠AED＝∠ BFA＝∠ DEG＝ 90°.

∴DE∥BF.


　　 3 ．如图 25 － 9 ，四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，点 G是 BC延长线上一点，连接 AG，点 E、 F分别在 AG上，连接 BE、 DF，∠ 1 ＝∠ 2 ，∠ 3 ＝∠ 4.

　　 (1) 证明：△ ABE≌△DAF；　　 (2) 若∠ AGB＝ 30° ，求 EF的长．

图 25 － 9





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