81

Γραμμική Άλγεβρα 2

  • Upload
    emathgr

  • View
    2.162

  • Download
    6

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Σημειώσεις από το μάθημα "Γραμμική Άλγεβρα 2", Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών όπως διδάχθηκε το έτος 2011 από τον κ. Λεντούδη. Οι σημειώσεις ανήκουν στους χρήστες indigo, superfundo του in.math.upatras.gr

Citation preview

Page 1: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 2: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 3: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 4: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 5: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 6: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 7: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 8: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 9: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 10: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 11: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 12: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 13: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 14: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 15: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 16: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 17: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 18: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 19: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 20: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 21: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 22: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 23: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 24: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 25: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 26: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 27: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 28: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 29: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 30: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 31: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 32: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 33: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 34: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 35: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 36: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 37: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 38: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 39: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 40: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 41: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 42: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 43: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 44: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 45: Γραμμική Άλγεβρα 2

(Συνέχεια από προηγούμενο μάθημα)

Αποδεικνύω ότι η < , > ικανοποιεί την ανισότητα Cauchy-Schwartz: 2 2 2u v u v u v u v± ≤ + ⇒ + +

( ) ( )2 2 2 2 2 21 1, 2 24 4

u v u v u v u v u v u v< > = + − − = + + + −

( ) ( )2 2 2 2 2 2 21 1 22 2

u v u v u v u v u v u v= + − − ≤ + + − − =

Έδειξα ότι ,u v u v< > ≤

Για a∈ ( )r∈ θέλω να δείξω ότι , ,cu v c u v< >= < > Αρκεί να δείξω ότι

, , , , , ,

( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,

, ( )

2

c u v cu v c u v r u v r u v cu v

c r u v c r u v c r u v c r u v

c r u v c r u r c r u v c r u v

c r u v

< > − < > = < > + < > − < > − < > =

= − < > − < − > ≤ − < > + < − > =

= − < > + − ⋅ ≤ − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ =

= − ⋅ ⋅

Είναι 2, ,u v σταθ

Για r c→ έχω αρχική ποσότητα = 0

Επαλήθευση: Η δοθείσα στάθμη προέρχεται από το εσωτερικό γινόμενο 2,u u u< >=

Έστω cV και έστω ότι [ ], εσωτερικό γινόμενο πραγματικό στο χώρο V όταν αυτός θεωρηθεί δ.χ. επί του

, με [ ], 0, x ix x V= ∀ ∈

Έστω , η μιγαδικών τιμών συνάρτηση που ορίζεται ως εξής: [ ] [ ], , , , ,x y x y i x iy x y V= + ∀ ∈

Αποδείξτε ότι , είναι ένα ερμιτιανό γινόμενο στο V

Παρένθεση:

cV , { }1 2 3 4, , ,B u u u u= βάση του V και K =

dim 4V B= =

Αν Vω∈ τότε υπάρχουν 1 2 3 4, , ,C C C C ∈ τ.ώ. 1 1 2 2 3 3 4 4w C u C u C u C u= + + +

Αν C iλ λ λα β= + τότε ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4w i u i u i u i uα β α β α β α β= + + + + + + +

1 1 4 4 1 1 4 4.... ( ) .... ( )u u iu iuα α β β= + + + + +

Page 46: Γραμμική Άλγεβρα 2

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Πράγματι,

α) Θδό: , ,x y y x=

[ ] [ ], , ,x y x y i x iy= +

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], , , , , , , , ,y x y x i y ix y x y x i y ix y x x y i y ix= + ⇒ = − ⇒ = −

Αρκεί νδό [ ] [ ], ,i y ix i y ix= −

Όμως [ ] [ ]0 , ,x y ix iy x ix= + + = [ ] [ ], ,x iy y iy+ +

β) Θδο: , ,x ay a x y= [ ] [ ] [ ] [ ], , , , , , , ,x ay ay x ay x i ay ix a y x i y ix a y x a x y= = + = + = =

γ) Θδο: , , ,x y z x y x z+ = +

Αποδεικνύω την προηγούμενη πρόταση και για τη μιγαδική περίπτωση, δηλ. αν V

εφοδιασμένος με

στάθμη που ικανοποιεί τον κανόνα του παραλληλογράμμου υπάρχει εσωτερικό γινόμενο που την ικανοποιεί.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Χρησιμοποιώντας το θεώρημα για την πραγματική περίπτωση, μπορώ να προσδιορίσω εσωτερικό γινόμενο πραγματικό [ ], που προκύπτει από τη δοθείσα στάθμη.

Σε μια δεύτερη φάση, αποδεικνύοντας ότι το [ ], ικανοποιεί την [ ], 0x ix = προσδιορίζω το

[ ] [ ], , ,x y x y i x iy= + από το οποίο η αρχική στάθμη δινόταν [ ] ( )2 21,4

x y x y x y= + − −

Θα δείξω για αυτό το εσωτερικό γινόμενο την ιδιότητα: [ ], 0, x ix x V= ∀ ∈

Όμως [ ] ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1, 2 04 4 2

x ix x ix x ix x ix x ix x ix x ix x ix= + − − = + − − − − = + − − =

(ισχύει από κανόνα παραλληλογράμμου)

Page 47: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 48: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 49: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 50: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 51: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 52: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 53: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 54: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 55: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 56: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 57: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 58: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 59: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 60: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 61: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 62: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 63: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 64: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 65: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 66: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 67: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 68: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 69: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 70: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 71: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 72: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 73: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 74: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 75: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 76: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 77: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 78: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 79: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 80: Γραμμική Άλγεβρα 2
Page 81: Γραμμική Άλγεβρα 2