第 27 章讲练 2

数学·新课标（HS）

第 27章讲练 2 ┃ 试卷讲练


考查意图

　　本章所学的二次函数是继一次函数、反比例函数后的又一个重要的数学模型，也是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型．　　　　　本章是各地中考的热点问题，各种题型均有所体现，与二次函数基本概念有关的知识、二次函数的图象及性质相关知识常以填空题与选择题出现；用待定系数法确定二次函数关系式常以解答题呈现；与方程、一次函数、反比例函数、四边形、圆等知识综合的题常以生活实际应用题或综合题的方式来考察．　　　　　本套试题是对华东师大版九年级下册第 27章二次函数的检测，试题主要考察二次函数的相关概念、二次函数的图象及性质，着重考察了用待定系数法确定二次函数关系式；其重点在于对二次函数的应用考察．



难易度

易 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,15

中 9,10,15,16,17,18,20,21

难 19,22,23,24

知识与技能

二次函数的相关概念 1,2,12

二次函数的图象及性质 3,4,5,6,7,8,9,13,14,18,19

确定二次函数的关系式 11,17,23(1)， 24(1)

二次函数的实际应用10,15,16,20,21,22,23(2)， 24(2)

(3)

思想方法

数形结合思想 4,6,7,24

转化思想 3,15,18,22

函数思想 6,16,19,20,21



亮点

14题利用表格中函数值的变化考查了函数的对称性．20题利用图形的变换来考查二次函数的相关知识．22题二次函数与一元二次方程知识的综合．23题用二次函数的知识解决生活实际问题．24题初中阶段所学知识的综合性问题 .



【针对第 3题训练】

1．[2012·陕西]　在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x2－x

－6向上(下)或向左(右)平移了 m个单位，使平移后的抛物线恰

好经过原点，则|m|的最小值为( )　

A．1　　 B．2　

C．3　　 D．6　

B



[解析]　B 若向左或向右平移，由 y＝x2－x－6＝(x－3)(x＋

2)求出抛物线与 x轴有两个交点分别为(－2,0)、(3,0)，将抛物线

向右平移 2 个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离较

小．若向上或向下平移，由 y＝x2－x－6知需向上平移 6个单位，

故平移的最短距离为 2.选 B.　



2．[2012·广安]　如图 27－15，把抛物线 y＝12x

2平移得到抛物

线 m，抛物线 m经过点 A(－6,0)和原点 O(0,0)，它的顶点为 P，

它的对称轴与抛物线 y＝12x

2交于点 Q，则图中阴影部分的面积为

________．　

图 27－ 15

272 　



[解析]　平移后的抛物线的解析式是 y＝12x(x＋6)，所以顶点坐

标是

－3，－92，　

x＝－3时，y＝12x

2＝92，所以点 Q坐标是

－3，92，　

OA＝6，PQ＝2×92＝9，所以四边形 APOQ面积是

12× 6× 9＝

27，图中阴影部分的面积是　

四边形 APOQ面积的12，所以面积是

272 .　



[点评 ] 在图形面积计算问题中，巧妙运用轴对称性质解答问题，注意割补法灵活运用．另外一般图形向特殊图形的转化也十分关键．




当 m为何值时，函数 y＝ (m－ 2)xm2－ 2＋ 2012x－ m

是二次函数．

解：由题知　m2－2＝2， m －2≠ 0，解得

　m＝±2， m ≠ 2，　

即 m＝－2.　




已知二次函数的图象如图 27－ 16所示．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是 ( 　　 )

A．有最小值 0，有最大值 3

B．有最小值－ 1，有最大值 0

C．有最小值－ 1，有最大值 3

D．有最小值－ 1，无最大值

C



图 27－ 16




1．二次函数的图象如图 27－ 17所示，则下列结论正确的是 ( 　　 )

A． a＜ 0， b＜ 0， c＜ 0， b2－ 4ac＞ 0

B． a＞ 0， b＜ 0， c＞ 0， b2－ 4ac＜ 0

C． a＜ 0， b＞ 0， c＜ 0， b2－ 4ac＞ 0

D． a＜ 0， b＞ 0， c＞ 0， b2－ 4ac＞ 0

D



图 27－ 17



2．抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠ 0)的图象如图 27－18所示，则下

列说法正确的是( )　

　

图 27－18　

A．b2－4ac<0　　 B．abc<0　　　　 C．－b2a<－1　　 D．a－b＋c<0　

　

C




如图 27－ 19，在直角坐标系 xOy中，正方形 OCBA的顶点 A、 C分别在 y轴、 x轴上，点 B坐标为 (6,6)，抛物线 y

＝ ax2＋ bx＋ c经过点 A、 B两点，且 3a－ b＝－ 1.

(1)求 a、 b、 c的值；

(2)如果动点 E、 F同时分别从点 A、点 B出发，分别沿A→B、 B→C运动，速度都是每秒 1个单位长度，当点 E到达终点 B 时，点 E 、 F 随之停止运动．设运动时间为 t

秒，△ EBF的面积为 S.试求出 S与 t之间的函数关系式，并求出 S的最大值．



图 27－ 19



解：(1)由已知 A(0,6)、B(6,6)在抛物线上，　

得方程组　c＝6， 36a ＋6b＋c＝6， 3a －b＝－1，　

解得　a＝－

19， b ＝

23， c ＝6. 　

(2)运动开始 t秒时，EB＝6－t，BF＝t，　

S＝12EB·BF＝

12(6－t)t＝－

12t

2＋3t，　

因为 S＝－12t

2＋3t＝－12(t－3)2＋

92，所以当 t＝3时，S有最大值

92.　

　




如图 27－ 20，在△ ABC中，∠ C＝ 45°， BC＝ 10，高 AD＝ 8，矩形 EFPQ的一边 PQ在 BC边上， E、 F两点分别在 AB、 AC上， AD交 EF于点 H，当 EF为何值时，矩形 EFPQ的面积最大？并求其最大值．

图 27－ 20



解：∵ 四边形 EFPQ是矩形，∴ EF∥ PQ　.　

∴ △ AEF　 ∽ △ ABC.　

又∵ AD⊥ BC，∴ AH⊥ EF.　

∴AHAD＝

EFBC.　

设 EF＝x，得　AH8 ＝

x10.∴ AH＝

45x.　

∴ EQ＝HD＝AD－AH＝8－45x，　

∴ S 矩形 EFPQ＝EF·EQ＝x

8－

45x ＝－

45x

2＋8x＝－45

x－5 2＋20.　

∵ －45<0，∴ 当 x＝5时，S 矩形 EFPQ有最大值，最大值为 20.　

　




如图 27－ 21，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ x2＋mx＋ n经过 A(3,0)、 B(0，－ 3)两点，点 P是直线 AB上一动点，过点 P作 x轴的垂线交抛物线于点M，设点 P的横坐标为 t.

(1)分别求直线 AB和这条抛物线的关系式；

(2)若点 P在第四象限，连结 BM、 AM，当线段 PM最长时，求△ ABM的面积；

(3)是否存在这样的点 P，使得以点 P、M、 B、 O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点 P的横坐标；若不存在，请说明理由．



图 27－ 21



解：(1)设直线 AB为 y＝kx＋b，　

把 A(3,0)、B(0，－3)代入得　

　3k＋b＝0， b ＝－3，　 ∴

　k＝1， b ＝－3. 　

∴ 直线 AB为 y＝x－3.　

把 A(3,0) 、 B(0 ，－ 3) 代入 y ＝ x2 ＋ mx ＋ n 得

　9＋3m＋n＝0， n ＝－3， ∴

　m＝－2， n ＝－3. 　

∴ 抛物线的关系式为 y＝x2－2x－3.　

　 (2)∵ 点 P在直线 AB上且在第四象限，　

∴ P(t，t－3)(0<t<3)．　



又∵ MP⊥x轴，∴ M(t，t2－2t－3)，　

∴ PM＝(t－3)－(t2－2t－3)＝－t2＋3t＝－

t－32

2＋94.　

∴ 当 t＝32时，PM有最大值为

94.　

∴ S△ABM＝S△ BPM＋S△APM＝12PM·OA＝

12×

94× 3＝

278 .　

(3)点 P的横坐标为3＋ 21

2 或3－ 21

2 .　

　

阶段综合测试三 ( 期末一 )


阶段综合测试三 (期末一 ) ┃ 试卷讲练


考查意图

　　本试卷是对九年级上册及九年级下册第 27章的内容进行的一次基础测试．对于基础性的知识，主要以选择题和填空题来考查；利用计算题考查学生的计算能力；通过作图题和证明题，考查了学生对相似这一章的理解；并利用综合题考查了学生在分析问题和解决问题的能力．

难易度

易 1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15

中 10,16,17,18,19,20,21

难 22,23,24



知识与技能

第 22章 1,2,11,17

第 23章 3,4,12

第 24章 6,10,14,19,23

第 25章 9,15,20

第 26章 5,16,21

第 27章 7,8,12,18,22,24

亮点

18题通过学生可理解的问题背景，来考查学生应用一元二次方程解决实际问题的能力．19题通过学生的作图，加深学生对位似概念及性质的理解．21题利用随机事件的概率来解决生活中所遇到的数学问题．23题综合考查学生对相似三角形判定定理的掌握情况．24题利用二次函数图象来构造问题背景，考查学生综合运用相关知识的能力 .



1．已知正比例函数 y＝ax 与反比例函数 y＝kx在同一坐标系中

的图象如图 JD3－1，判断二次函数 y＝ax2＋k在坐标系中的大致图

象是( )　

　

B






2．[2012·内江]　如图 JD3－3，正三角形 ABC的边长为 3　cm，

动点 P从点 A出发，以每秒 1　 cm的速度，沿 A→B→C的方向

运动，到达点 C时停止．设运动时间为 x(秒)，y＝PC2，则 y关

于 x的函数的图象大致为( )　

图 JD3－ 3

C



图 JD3－ 4




如图 JD3 － 5 ，△ ABC 三个顶点的坐标分别为A(2,2)、 B(4,2)、 C(6,4)，以原点 O为位似中心，将△ ABC

缩小，使变换后得到的△ DEF与△ ABC对应边的比为 1 2∶ ，则线段 AC 的中点 P 变换后

对应的点的坐标为 _____________________．

2，32 或

－2，－32 　

图 JD3－ 5




[2012·温州]　如图 JD3－6，经过原点的抛物线 y＝－x2＋

2mx(m>0)与 x 轴的另一个交点为 A.过点 P(1，m)作直线 PM⊥x

轴于点M，交抛物线于点 B.记点 B关于抛物线对称轴的对称点为

C(B、C不重合)．连结 CB，CP.　

(1)当 m＝3时，求点 A的坐标及 BC的长；　

(2)当 m>1时，连结 CA，问 m为何值时 CA⊥CP?　

(3)过点 P作 PE⊥PC且 PE＝PC，问是否存在 m，使得点 E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的 m的值，并确定出相对应的点 E坐标；若不存在，请说明理由．　



图 JD3－ 6



[解析]　(1)　当 m＝3时，易得 y＝－x2＋6x，分别令 y＝0，x＝1易得 A、B的坐标．由 B，C关于对称轴对称，易得 BC的长．(2)构造相似三角形，可算出 m值．(3)分情况讨论点 E在 x轴上或 y轴上．　

解：(1)当 m＝3时，y＝－x2＋6x，　令 y＝0，得－x2＋6x＝0，　∴ x1＝0，x2＝6，　∴ A(6,0)，　当 x＝1时，y＝5，　∴ B(1,5)．　抛物线 y＝－x2＋6x的对称轴为直线 x＝3，　又∵ B，C关于对称轴对称，　∴ BC＝4.　



(2)过点 C作 CH⊥x轴于点 H(如图 JD3－7)，　由已知得∠ACP＝∠BCH＝90°，　∴ ∠ACH＝∠PCB.　又∵ ∠AHC＝∠PBC＝90°，　

∴ △ ACH∽△ PCB，∴AHCH＝

PBBC.　

∵ 抛物线 y＝－x2＋2mx的对称轴为直线 x＝m，其中 m>1，且 B，C关于对称轴对称，　

∴ BC＝2(m－1)，∴ B(1,2m－1)，P(1，m)，∴ BP＝m－1.　又∵ A(2m,0)，C(2m－1,2m－1)，∴ H(2m－1,0)，　

∴ AH＝1，CH＝2m－1.∴1

2m－1＝

m－12m－1，∴ m＝

32.　



图 JD3－ 7



(3)∵ B，C不重合，∴ m≠ 1.　(Ⅰ )当 m＞1时，BC＝2(m－1)，PM＝m，　BP＝m－1.　(i)若点 E在 x轴上(如图 JD3－7)，　∵ ∠CPE＝90°，　∴ ∠MPE＋∠BPC＝∠MPE＋∠MEP＝90°，　∴ ∠BPC＝∠MEP.　又∵ ∠CBP＝∠PME＝90°，PC＝EP，　∴ △ BPC≌△MEP，　∴ BC＝PM，∴ 2(m－1)＝m，　∴ m＝2，此时点 E的坐标是(2,0)．　



(ii)若点 E在 y轴上(如图 JD3－8)，　

　图 JD3－8　

过点 P作 PN⊥y轴于点 N，　易证△ BPC≌△ NPE，　∴ BP＝NP＝OM＝1，　∴ m－1＝1，∴ m＝2，　此时点 E的坐标是(0,4)．　(Ⅱ )当 0＜m＜1时，BC＝2(1－m)，PM＝m，　BP＝1－m，　



(i)若点 E在 x轴上(如图 JD3－9)，　

　图 JD3－9　

易证△ BPC≌△MEP，∴ BC＝PM，　

∴ 2(1－m)＝m，∴ m＝23，　

此时点 E的坐标是

4

3，0 .　



(ii)若点 E在 y轴上(如图 JD3－10)，　

　图 JD3－10　

过点 P作 PN⊥y轴于点 N，易证△ BPC≌△ NPE，∴ BP＝NP＝OM＝1，　

∴ 1－m＝1，　∴ m＝0(舍去)．　综上所述，当 m＝2时，点 E的坐标是(2,0)或(0,4)；　

当 m＝23时，点 E的坐标是

4

3，0 .

　

阶段综合测试四 ( 期末二 )


阶段综合测试四 (期末二 ) ┃ 试卷讲练


考查意图

　　本试卷是对华东师大版九年级数学的一个阶段性测试，内容从第 22章到第 27章．本套试卷对各章节的重点知识进行了考查，对学生的能力有一定的提高．选择题与填空题是对重点知识进行了考查；解答题与计算题强化了学生的计算能力；综合题与能力题要求学生具有一定的分析和综合能力．

难易度

易 1,2,3,4,5,6,7,11,12,13,14,15

中 8,9,10,16,17,18,19,20,21

难 22,23,24



知识与技能

第 22章 1,2,11,17

第 23章 3,4,12,19

第 24章 8,15,18,23

第 25章 6,16,22

第 26章 5,13,21

第 27章 7,9,10,14,20,24

亮点

5题利用转盘工具来探索随机事件的概率，学会对工具的利用．9题让学生从数形结合的角度分析二次函数的关系式，并得出相关的结论．22题让学生利用数学的观点来观察和分析生活中的物体，培养数学兴趣和应用数学的能力．23题利用相似的性质来分析图形的动态变化过程，培养分析能力．24题综合应用抛物线和相似的知识，培养学生解决问题的能力 .




1 ．已知二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a 、 b 、 c 为常数， a≠0)的图象如图 JD4－ 1所示，有下列结论：① abc>0，② b2－ 4ac<0，③ a－ b＋ c>0，④ 4a－ 2b＋ c<0.其中正确结论的个数是 ( 　　 )

A． 1　　B． 2　　C． 3　　D． 4

A



2．图 JD4－ 2为二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c的图象，给出下列说法：① ab<0；②方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0的根为 x1＝－ 1， x2＝ 3；③ a＋ b＋ c>0；④当 x>1时， y随 x值的增大而增大；⑤当 y>0 时，－ 1<x<3. 其中，正确的说法有________． (请写出所有正确说法的序号 )

①②④




如图 JD4－3，在△ ABC 中，EF∥ BC，AEEB＝

12，S 四边形 BCFE

＝8，则 S△ABC＝( )　　

　图 JD4－3　

A．9　　 B．10　　 C．12　　 D．13　

A




1．[2012·珠海]　如图 JD4－4，水渠边有一棵大木瓜树，树

干 DO(不计粗细)上有两个木瓜 A、B(不计大小)，树干垂直于地

面，量得 AB＝2米，在水渠的对面与 O处于同一水平面的 C处

测得木瓜 A 的仰角为 45°，木瓜 B 的仰角为 30°.求 C 处到树干

DO的距离CO.(结果精确到 1米)(参考数据： 3≈ 1.73， 2≈ 1.41)　

图 JD4－ 4



解：设 CO为 x米，　

在 Rt△ BCO中，tan30°＝BOCO，则 BO＝

33 x.　

在 Rt△ ACO中，AO＝CO，得方程33 x＋2＝x，　

解得 x≈ 5.即　 CO长大约是 5米．　



2．如图 GD4－ 5，路边路灯的灯柱 BC垂直于地面，灯杆 BA的长为 2米，灯杆与灯柱 BC成 120°角，锥形灯罩的轴线 AD与灯杆 AB垂直，且灯罩轴线 AD正好通过道路路面的中心线 (D在中心线上 )．已知点 C与点 D之间的距离为 12米，求灯柱 BC的高． (结果保留根号 )

图 JD4－ 5

　

图 JD4－ 6



解：设灯柱 BC的长为 h米，过点 A作 AH⊥CD于点 H，过

点 B做 BE⊥AH于点 E，　

∴ 四边形 BCHE为矩形．　

∵ ∠ABC＝120°，∴ ∠ABE＝30°，　

又∵ ∠BAD＝∠BCD＝90°，　

∴ ∠ADC＝60°.　

在 Rt△ AEB中，　

∴ AE＝ABsin30°＝1，　

BE＝ABcos30°＝ 3，　



∴ CH＝ 3，又 CD＝12，∴ DH＝12－ 3.　

在 Rt△ AHD中，　

tan∠ADH＝AHHD＝

h＋112－ 3

＝ 3，　

解得 h＝(12 3－4)米．　

∴ 灯柱 BC的高为

12 3－4米．　

　




如图 JD4－7，抛物线交 x轴于点 A

－2，0，点 B

4，0，交 y轴

于点 C

0，－4 .　

(1)求抛物线的关系式，并写出顶点 D的坐标；　

(2)若直线 y＝－x 交抛物线于 M、N 两点，交抛物线的对称轴于

点 E，连结 BC、EB、EC.试判断△ EBC的形状，并加以证明；　

(3)设 P为直线 MN上的动点，过 P作 PF∥ ED交直线 MN下方

的抛物线于点 F.问：在直线MN上是否存在点 P，使得以 P、E、D、

F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 P 及相应的点 F

的坐标；若不存在，请说明理由．　

　



图 JD4－ 7



解：(1)(法一)设所求的抛物线关系式 y＝ax2＋bx＋c

a≠ 0，　

∵ 点 A、B、C均在此抛物线上．　

∴ 　4a－2b＋c＝0， 16a ＋4b＋c＝0， c ＝－4，　　

∴ 　a＝

12， b ＝－1， c ＝－4. 　

∴ 所求的抛物线关系式为 y＝12x

2－x－4.　

　

顶点 D的坐标为

1，－92 .　

　



　 (法二)设所求的抛物线关系式 y＝a

x＋2

x－4 .　

∵ 点 C在此抛物线上，　

∴ a

0＋2

0－4＝－4.　

∴ a＝12.　

∴ 所求的抛物线关系式为 y＝12

x＋2

x－4，　

即 y＝12x

2－x－4，　

顶点 D的坐标为

1，－92 .　



　 (2)△ EBC的形状为等腰三角形．　

证明：(法一)∵ 直线MN的函数关系式为 y＝－x.　

∴ ON是∠ BOC的平分线．　

∵ B、C两点的坐标分别为(4,0)、(0，－4)，　

∴ CO＝BO＝4.　

∴ MN是 BC的垂直平分线，　

∴ OE＝OE，　

即△ ECB是等腰三角形．　

(法二)∵ 直线MN的函数关系式为 y＝－x，　



∴ ON是∠ BOC的平分线，　

∴ ∠ COE＝∠ BOE.　

∵ B、C两点的坐标分别为

4，0、

0，－4，　

∴ CO＝BO＝4.　

又∵ OE＝OE，　

∴ △ COE≌ △ BOE，　

∴ CE＝BE，　


(法三)∵ 点 E是抛物线的对称轴 x＝1和直线 y＝－x的交点，　



∴ E点的坐标为(1，－1)．　

∴ 利用勾股定理可求得 CE＝ 32＋12＝ 10，BE＝ 32＋12＝

10，　

∴ CE＝BE，　


(3)存在．　

∵ PF∥ ED，　

∴ 要使以 P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，只要使

PF＝ED.　



∵ 点 E是抛物线的对称轴 x＝1和直线 y＝－x的交点，　

∴ E点的坐标为(1，－1)．　

∴ ED＝－1－

－92 ＝

72.　

∵ 点 P是直线 y＝－x上的动点，　

∴ 设 P点的坐标为

k，－k .　

则直线 PF的函数关系式为 x＝k.　

∵ 点 F是抛物线和直线 PF的交点，　

∴ F的坐标为

k，

12k

2－k－4，　



∴ PF＝－k－

1

2k2－k－4＝－

12k

2＋4，　

∴ －12k

2＋4＝72，　

∴ k＝±1.　

当 k＝1时，点 P的坐标为(1，－1)，F的坐标为

1，－92 ，　

此时 PF与 ED重合，不存在以 P、F、D、E为顶点的平行四边形．　

当 k＝－1时，点 P的坐标为(－1,1)，F的坐标为

－1，－52，　

此时四边形 PFDE是平行四边形．　

　

阶段综合测试五 ( 期末三 )


阶段综合测试五 (期末三 ) ┃ 试卷讲练


考查意图

　　进入毕业班后，教学进度会提前，所以会在完成上册相关教学任务后，会再继续把第 27章的内容讲完．本试卷是为了检测九年级上学期所学内容而设置的．由于这是对本学期所学内容的一个综合性测试，所以题目相对来说综合性较强，有一定难度，对学生的能力有一定的提高．相关基本概念以选择题与填空题呈现；借助于解答题来考查学生的计算能力；重点内容为相似三角形的判定与性质的综合应用，以及二次函数的相关性质的综合，要求学生具有一定的分析和综合能力．

难易度

易 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,14,15

中 9,10,16,17,18,19,20,21

难 22,23,24



知识与技能

第 22章 1,11,17

第 23章 2,5,12,18

第 24章 8,9,10,14,19,23

第 25章 3,4,22

第 26章 6,15,21

第 27章 7,13,16,20,24



亮点

10题利用相似三角形的相关性质来得出两个变量间的相互关系式．13题利用抛物线的平移来确定抛物线的关系式，并确定系数的取值．16题利用抛物线的过增减性来解决问题．21题利用求随机事件的概率来综合解决一些实际问题．22题通过利用解直角三角形来计算出不可直接测量的线段的长，培养应用数学解决实际问题的能力．23题利用基本图形的相关性质来探索相似三角形的综合性习题．24题抛物线与基本图形性质的综合性习题，同时注重分类讨论的数学思想 .




[2012·随州 ]　如图 JD5－ 1，点 D， E分别在 AB、 AC上，且∠ ABC＝∠ AED.若 DE＝ 4， AE＝ 5， BC＝ 8，则AB的长为 ________．

图 JD5－ 1

10




1．将抛物线 y＝ x2－ 2x向上平移 3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是 _________________________________．y＝ (x－ 5)2＋ 2或 y＝ x2－ 10x＋ 27



2．如图 JD5－ 2，若将抛物线 y＝ (x＋ 1)2－ 7沿 x轴平移经过点 P( － 2,2) ，则平移后抛物线的关系式为______________________________．y＝ (x＋ 5)2－ 7或 y＝ (x－ 1)2－ 7




[2012·青岛]　如图 JD5－3，某校教学楼 AB的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高 2米的影子 CE；而当光线与地面夹角是 45°时，教学楼顶 A在地面上的影子 F与墙角 C有 13米的距离(B、F、C在一条直线上)．　

(1)求教学楼 AB的高度；　(2)学校要在 A、E 之间挂一些彩旗，请你求出 A、E 之间

的距离(结果保留整数)．　

参考数据：sin22°≈38，cos22°≈

1516，tan22°≈

25　



图 JD5－ 3



[解析]　 (1)过点 E作 EM⊥AB，若假设 AB＝x米，可表示

出 AM、ME的长，然后在△ AEM中，利用 22°角的正切建立

关系式来解．(2)根据(1)求出ME的长，在 Rt△ AME中，可求

得 AE之间的距离．　

解：(1)过点 E作 EM⊥AB，垂足为M.设 AB为 x.　

Rt△ ABF中，∠AFB＝45°，∴ BF＝AB＝x，　

∴ BC＝BF＋FC＝x＋13.　



图 JD5－ 4



在 Rt△ AEM中，∠AEM＝22°，AM＝AB－BM＝AB－CE

＝x－2，∴ tan22°＝AMME，　

即x－2x＋13

＝25，∴ x＝12，　

即教学楼的高为 12米．　(2)由(1)可得 ME＝BC＝x＋13＝12＋13＝25.在 Rt△ AME

中，cos22°＝MEAE，　

∴ AE＝MEcos22°≈

251516

≈ 27.即 AE之间的距离约为 27米．　




如图 JD5－ 5，在直角梯形 ABCD中， AB DC∥ ，∠ D＝90°， AC BC⊥ ， AB＝ 10　cm， BC＝ 6　cm， F点以 2　cm/s

的速度在线段 AB上由 A向 B匀速运动， E点同时以 1　cm/s的速度在线段 BC上由 B向 C匀速运动，设运动时间为 t　s(0<t<5)．

(1)求证：△ ACD BAC∽△ ；

(2)求 DC的长；

(3)设四边形 AFEC的面积为 y，求 y　关于 t的函数关系式，并求出 y的最小值．



图 JD5－ 5



解：(1)∵ CD∥ AB，∴ ∠ 　BAC＝∠DCA.　

又 AC⊥BC,　∠ACB＝90°，　

∴ ∠D＝∠ACB＝　 90°，　

∴ △ ACD∽△ BAC.　

(2)Rt△ ABC中，AC＝ AB2－BC2＝8，　

∵ △ ACD∽△ BAC，∴DCAC＝

ACAB，　

即DC8 ＝

810，　

解得 DC＝6.4　



　 (3)过点 E作 AB的垂线，垂足为 G，　

∵ ∠ACB＝∠EGB＝90°，∠B公共角，　

∴ △ ACB∽△ EGB.　

∴ 　EGAC＝

BEAB，即

EG8 ＝

t10，　

故 EG＝45t.　

y＝S△ABC－S△BEF＝12× 6× 8－

12

10－2t ·45t＝

45t

2－4t＋24＝45

t－52

2＋19.　

故当 t＝52时，y的最小值为 19.　

　

　



如图 JD5－6，Rt△ ABC 的顶点坐标分别为 A(0， 3)，

B

－

12，

32 ，C(1,0)，∠ABC＝90°，BC 与 y 轴的交点为 D，D 点

坐标为

0，33 ，以点 D为顶点，y轴为对称轴的抛物线过点 B.　

　　

　


图 JD5－ 6



(1)求该抛物线的关系式；　

(2)将△ ABC 沿 AC 折叠后得到点 B 的对应点 B′ ，求证：四

边形 AOCB′ 是矩形，并判断点 B′ 是否在(1)的抛物线上；　

(3)延长 BA交抛物线于点 G，在线段 BG上取一点 P，过点 P

作 x 轴的垂线，交抛物线于点 F，是否存在这样的点 P，使四边形

PADF是平行四边形？若存在，求出点 P的坐标，若不存在，说明

理由．　

　



解：(1)设抛物线的关系式为 y＝ax2＋33 ，　

∵ B

－

12，

32 在抛物线上，把 B

－

12，

32 代入 y＝ax2＋

33 ，得

a＝23 3.　

∴ 抛物线关系式为 y＝2 33 x2＋

33 .　

(2)∵点 B

－

12，

32 ，A(0， 3)，　

∴ CB＝

1

2＋1 2＋

3

22＝ 3，　



∴ CB′ ＝CB＝OA.　

又 CA＝ 12＋ 32＝2，　

∴ AB＝ AC2－BC2＝1.　

∴ AB′ ＝AB＝OC.　

∴ 四边形 AOCB′ 是平行四边形．　

又∵ ∠AOC＝90°，　

∴ 四边形 AOCB′ 是矩形．　

∵ CB′ ＝ 3，OC＝1，　

∴ B′ 点的坐标为(1， 3)．　



∵ 当 x＝1时，代入 y＝23 3x2＋

33 　

得 y＝ 3，　

∴ B′ (1， 3)在抛物线上．　

　

(3)存在．　

理由是：设 BA的关系式为 y＝kx＋b，　

∴ 　－

12k＋b＝

32 ， 0 ＋b＝ 3. 　

∴ 　k＝ 3， b ＝ 3. 　

图 JD5－ 7



∴ BA的解析式为 y＝ 3x＋ 3.　

∵ P、F分别在直线 BA和抛物线上，且 PF∥ AD，　

∴ 设 P(m， 3m＋ 3)，F

m，

23 3m2＋

33 ，　

PF＝( 3m＋ 3)－

2

3 3m2＋33 ，　

AD＝ 3－33 ＝

23 3.　

如果 PF＝AD，则有　

( 3m＋ 3)－

2 3

3 m2＋33 ＝

2 33 ，　



解得 m1＝0(不符合题意舍去)，m2＝32.　

∴ 当 m＝32时，PF＝AD，四边形 ADFP是平行四边形．　

当 m＝32时， 3m＋ 3＝

5 32 ，　

∴ P点的坐标是

3

2，5 32 .　

　

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第 27 章讲练 2