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ガウスの 2次形式論とクロネッカー ·ウェーバーの定理についての考察
三浦 正道
新潟大学大学院自然科学研究科数理物質科学専攻
2016/02/09
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 1 / 22
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修士論文について
.修士論文目次..
......
準備 (初等整数論, 代数的整数論, ガロア理論, ヒルベルトの理論)
ガウスの 2次形式論 (2章) §1クロネッカー ·ウェーバーの定理 (3章) §2考察と具体例 (4章) §3今後の研究について (5章) §4
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 2 / 22
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§1 (1/4)
2元 2次形式 f (x , y) = ax2 + bxy + cy2 (a, b, c ∈ Z)に対し,.定義..
......
(1) Df := b2 − 4ac を f の判別式という.(2) gcd(a, b, c) = 1であるとき, f を原始形式という.(3) f が n ∈ Zを原始的に表現するdef⇐⇒ ∃(x , y) ∈ Z2 s.t. gcd(x , y) = 1, f (x , y) = n.
2つの 2元 2次形式 f , g に対し, 同値関係を導入する..定義..
......f ∼ g
def⇐⇒ ∃(
p qr s
)∈ SL2(Z) s.t. g(x , y) = f
( (x y
)t
(p qr s
)).
f ∼ g =⇒ Df = Dg .
f : 原始形式かつ f ∼ g =⇒ g : 原始形式.
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 3 / 22
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§1 (2/4)
D : D ≡ 0, 1 (mod 4)となる整数.
f (x , y) = a1x2 + b1xy + c1y
2, g(x , y) = a2x2 + b2xy + c2y
2 : 判別式D をもつ 2元 2次形式
.定義..
......
gcd(a1, a2,b1+b2
2 ) = 1を満たすと仮定する.演算 ◦を, 次のように定義する:
(f ◦ g)(x , y) := a3x2 + b3xy + c3y
2.
ただし, a3 = a1a2, b3は ai , bi , ci から求められる整数, c3 =b23−D4a3である.
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 4 / 22
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§1 (3/4)
PD := {f (x , y) = ax2 + bxy + cy2 | gcd(a, b, c) = 1,Df = D}. (D :D ≡ 0, 1 (mod 4)となる整数)
PD/ ∼は有限アーベル群をなす.
単位元は,
e =
{x2 − D
4 y2 (D ≡ 0 (mod 4))
x2 + xy + 1−D4 y2 (D ≡ 1 (mod 4))
である.f (x , y) = ax2 + bxy + cy2に対する逆元は,
f −1(x , y) = ax2 − bxy + cy2
である.
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 5 / 22
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§1 (4/4)
F : Q上の 2次体.
.定理..
......
2次体 F の整数環OF のイデアルは, 2元 2次形式と対応している.
OF P∆F⊂ ∈
a 7−→ faaf ←−p f
Cl+F ≃ P∆F/ ∼.
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 6 / 22
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§2
.定理 (クロネッカー ·ウェーバーの定理)........有理数体Q上のアーベル体は円分体に含まれる.
Q
K
Q(ζn) ∃n ∈ N
Gal(K/Q) : アーベル群
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 7 / 22
. . . . . .
§3 (1/2)
F = Q(√−5)を考える. この 2次体に対応する 2元 2次形式は,
x2 + 5y2, 2x2 + 2xy + 3y2
の 2つである. 特に, 単位元 x2+5y2が原始的に表現する奇素数について,
x2 + 5y2 = p ⇐⇒ p ≡ 1, 9 (mod 20)
である.
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 8 / 22
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§3 (2/2)
体の拡大:
Q
F = Q(√−5)
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 9 / 22
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§3 (2/2)
体の拡大:
Q
F = Q(√−5)
Q(√−5,√−1) F のヒルベルト類体
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 10 / 22
. . . . . .
§3 (2/2)
体の拡大:
Q
F = Q(√−5)
Q(√−5,√−1)
Q(ζ20)
F のヒルベルト類体
クロネッカー ·ウェーバー
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 11 / 22
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§3 (2/2)
ガロア対応:
Q
F = Q(√−5)
Q(√−5,√−1)
Q(ζ20)
(Z/20Z)×
{1, 3, 7, 9}
{1, 9}
{1}
F のヒルベルト類体
クロネッカー ·ウェーバー
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 12 / 22
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§4 (1/10)
.課題........3次体のイデアルは 2次体と同じように対応できるのか?
.予想..
......
3次体 F の整数環OF のイデアルは, 2元 3次形式と対応している (?)
OF P∆F
⊂ ∈a ←→ ax3 + bx2y + cxy2 + dy3
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 13 / 22
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§4 (2/10)
マンジュル ·バルガヴァは以下の論文を元に, フィールズ賞を受賞した.
M. Bhargava, Higher composition laws I: A new view on Gausscomposition, and quadratic generations, Ann. of Math. (2) 159(2004), 217–250.
M. Bhargava, Higher Composition laws II: On cubic analogues ofGauss composition, Ann. of Math. (2) 159 (2004), 865–886.
M. Bhargava, Higher Composition laws III: The parametrization ofquartic rings, Ann. of Math. (2) 159 (2004), 1329–1360.
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 14 / 22
. . . . . .
§4 (3/10)
A = (a, b, c, d , e, f , g , h) ∈ Z8に対し,
c d
a b
g
e
h
f
�
�
�
�
を考える. 次の 6つの行列
M1 =
(a bc d
), N1 =
(e fg h
),
M2 =
(a ce g
), N2 =
(b df h
),
M3 =
(a eb f
), N3 =
(c gd h
)とする.三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 15 / 22
. . . . . .
§4 (4/10)
3つの 2元 2次形式QAi (x , y) := −det(Mix − Niy). (i = 1, 2, 3)
2元 2次形式での同値関係を立方体に拡張できる. その同値関係を∼′をする.
.定理..
......DQA
1= DQA
2= DQA
3.
QA1 ,Q
A2 ,Q
A3 の判別式を立方体 Aの判別式という.
CD := {A ∈ Z8 | QAi ∈ PD}. (D : D ≡ 0, 1 (mod 4)となる整数)
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 16 / 22
. . . . . .
§4 (5/10)
D : D ≡ 0, 1 (mod 4)となる整数.
∃A0 ∈ CD s.t. QA01 = QA0
2 = QA03 .
Qid,D := QA0i . (i = 1, 2, 3)
.定理 (バルガヴァ, 2004, Theorem 1)..
......
PD/ ∼に対し, 以下の 3つの条件を満たすような群の演算 ·が一意に存在する:(1) Qid,D は単位元である;
(2) QA1 · QA
2 · QA3 = Qid,D ; (∀A ∈ CD)
(3) Q1 · Q2 · Q3 = Qid,D となるQ1,Q2,Q3に対し,
∃1A ∈ CD/ ∼ s.t. QA1 = Q1,QA
2 = Q2,QA3 = Q3.
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 17 / 22
. . . . . .
§4 (6/10)
立方体 A0を
D ≡ 0 (mod 4)
1 0
0 1
0
1
D4
0
�
�
�
�
D ≡ 1 (mod 4)
1 1
0 1
0
1
D+34
1
�
�
�
�
とする. これらを判別式 D の基本立方体という.
D ≡ 0 (mod 4)のとき, QA01 = QA0
2 = QA03 = x2 − D
4 y2.
D ≡ 1 (mod 4)のとき, QA01 = QA0
2 = QA03 = x2 + xy + 1−D
4 y2.
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 18 / 22
. . . . . .
§4 (7/10)
A = (a, b, c , d , e, f , g , h) ∈ CD .
c d
a b
g
e
h
f
�
�
�
�
∼′
0 d ′
1 0
g ′
0
h′
f ′
�
�
�
�
QA1 = −d ′x2 + h′xy + f ′g ′y2,QA
2 = −g ′x2 + h′xy + d ′f ′y2,
QA3 = −f ′x2 + h′xy + d ′g ′y2.
QA1 ◦ QA
2 = d ′g ′x2 + h′xy − f ′y2 ∼ −f ′x2 − h′xy + d ′g ′y2 = QA3
−1.
QA1 ◦ QA
2 ◦ QA3 = e.
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 19 / 22
. . . . . .
§4 (8/10)
D : D ≡ 0, 1 (mod 4)となる整数.
Aid,D : 判別式 D の基本立方体.
.定理 (バルガヴァ, 2004, Theorem 2)..
......
集合 CD/ ∼′に対し, 以下の 2つの条件を満たすような群の演算が一意に存在する:(1) Aid,D は単位元である;
(2) i = 1, 2, 3に対し, A 7→ QAi という写像は, PD/ ∼への群準同型写像で
ある.
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 20 / 22
. . . . . .
§4 (9/10)
A,B ∈ CD/ ∼′.
QA1 ◦ QA
2 ◦ QA3 = QB
1 ◦ QB2 ◦ QB
3 = e. (Theorem 1 (2)より)
Qi = QAi ◦ QB
i とする. (i = 1, 2, 3)
Q1 ◦ Q2 ◦ Q3 = e.
∃1C ∈ CD/ ∼′ s.t. QCi = Qi . (i = 1, 2, 3) (Theorem 1 (3)より)
このとき, A ◦ B := C と定義する.
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 21 / 22
. . . . . .
§4 (10/10)
.疑問..
......
2つの 2元 3次形式 f , g に対し,
f ◦ g =?
b c
a b
c
b
d
c
�
�
�
�
という形の立方体で考える.
三浦 正道 (新潟大学自然科学研究科) 修論発表会 2016/02/09 22 / 22