บทท 3 โครงสรางผลก

ในบทนจะกลาวถงเรอง โครงสรางผลกแบบตาง ๆ ไดแก หนวยเซล(Unit Cell)

โครงสรางผลกแบบ BCC (Body – Center Cubic) FCC (Face - Center Cubic) และ

HCP(Hexagonal Close Pack) การคานวณคาการอดแนนของอะตอมในหนวยเซล แบบ

โครงสรางของของแขง

3.1 ชนดของของแขง วสดทเปนผลก (Crystalline material) คอ อะตอมทเรยงตวในแนวระนาบอยางเปน

ระเบยบ

ผลกเดยว (Single Crystal) คอ อะตอมทเรยงตวรวมเปนแบบ ๆ หนงในระนาบของ

วสดผลก

วสดพหผลก (Polycrystalline material) คอการประกอบไปดวยผลกเลก ๆ เปน

จานวนมากหรอเรยกวาเกรน (Grain) ดงภาพท 3.1

ภาพท 3.1 เกรนของวสด

25

โครงสรางของสสารทไมเปนผลก(amorphous ) คอลกษณะโครงสรางทไมเปนผลก

ภาพท 3.2 แสดงวสดทมโครงสรางแบบผลกและแบบไมเปนผลก

3.2 ระบบผลก และรปแบบของสเปชแลททช (Crystal Systems and Bravais Lattices)

รปแบบของ Space lattice ของวสดทเปนไปไดมทงหมด ๑๔ แบบ ดงแสดงในรป

ท 3.2 แตอาจจะจดเขาเปนระบบใหญ ๆ เพยง ๗ ระบบ โดยอาศยการกาหนดแกนในสามมต

และกาหนดคามมระหวางแกนทงสามขน และกาหนดความยาวของดานของหนวยเซล(Unit cell)

ความยาวของขอบ a, b, และ c (ตามแกนผลก) วดเปนหนวยองสตรอม (Angstrom;A)

ผวหนาของหนวยเซลใชแทนดวยตวพมพใหญ A, B หรอ C

มมระหวางแกนวดเปนองศา มมบนดาน A (ระหวางดาน b และ c ) เรยกวามมแอลฟา

(alpha : a) มมบนดาน B (ระหวางดาน c และ a) เรยกวามมเบตา (beta :B) และมมบนดาน C

(ระหวางดาน a และ b) เรยกวามมแกมมา (gamma : γ)

ภาพท 3.3 แสดงรปแบบของ Space Lattice

26

ตารางท 3.1 แสดง ระบบผลก

ระบบ แกน มมระหวางแกน

Cubic

Tetragonal

Orthorhombic

Monoclinic

Triclinic

Hexagonal

Rhombohedral

a = b = c

a = b ≠ c

a ≠ b ≠ c

a ≠ b ≠ c

a ≠ b ≠ c

a = a ≠ c

a = b = c

α = β = γ = 90°

α = β = γ = 90°

α = β = γ = 90°

α = γ = 90° ≠ β

α ≠ β ≠ γ ≠ 90°

α = β = 90°, γ = 120°

α = β = γ ≠90°

Space lattice ทสาคญไดแก Body-Centered Cubic (BCC), Face-Centered

Cubic (FCC), Hexagonal Close-Packed (HCP)

หนวยเซล (Unit Cell) คอหนวยทมขนาดเลกทสดทแสดงถงโครงสรางทงหมดของ

เนอวสด

จากภาพท 3.4 จะพบวาโครงสรางผลกจะมความคลายคลงกนทงหมดดงนนจงจะนา

หนวยพนฐานของผลกออกมาเพอเปนแบบจาลองของทงหมด

ภาพท 3.4 โครงสรางผลก

b c

27

ภาพท 3.5 หนวยเซลแบบตาง ๆ

3.2.1 Body – Centered Cubic (BCC)

หนวยเซลแบบ BCC จะมลกษณะสเหลยมลกบาศก ( a = b =c, α = β =γ

=900) จากรปจะเหนวาอะตอมตรงกลางจะอยในแนวเดยวกบอะตอมทมมอะตอม ทมมกจะอย

ในแนวเดยวกบอะตอมตรงกลางของหนวยเซลถดไป เมอพจารณาในกรณ Space lattic จะ

เหนอะตอมสมผสกนเปนแนวเสนตรงตามแนวทะแยงหนวยเซลตอเนองออกไปเรอย ๆ ไมมท

สนสดในธาตเดยวกนอะตอมทกตวจะมขนาดเทากน ดงนนอะตอมทศนยกลางของ BCC จะ

28

เปนอะตอมทมมของหนวยเซลอน และอะตอมทมมกจะเปนอะตอมทศนยกลางของหนวยอนได

จงกาหนดไมไดวาอะตอมตวใดอยทศนยกลางหรออยทมมนอกจากจะพจารณาเพยงหนวยเซล

เดยว

ภาพท 3.6 โครงสรางผลกแบบ BCC

ในการหาจานวนอะตอมตอหนงหนวยเซลของ BCC ไดดงน

อะตอมทกงกลางหนวยเซล = 1

อะตอมทมม 1 มม = 81

อะตอมทอยทง 8 มม = 1881

=×

ดงนน อะตอมรวม = 1 + 1

2 อะตอม

29

ในการหาคาอดแนน (Atomic Packing factor : APF) ใน BCC

คาอดแนนของอะตอม หมายถง อตราสวนระหวางปรมาตรของอะตอม

ทงหมดตอปรมาตรของหนวยเซล หรอ

APF = ปรมาตรของอะตอม / ปรมาตรหนวยเซล

BCC 1 หนวยเซลม 2 อะตอม จะสมผสหรออดตวกนแนนตามทศทาง

ของเสนทแยงหนวยเซล (Body diagonals) จะสามารถหาคา APF ของหนวยเซลไดดงน

ภาพท 3.7 ความสมพนธระหวาง a และ R ของโครงสราง BCC จากภาพ จะไดความสมพนธทางเรขาคณต ดงน

(4R)2 = (a2+a2)+a2

ดงนน a = 3

4R

ปรมาตรหนวยเซล Vunticell = a3

= 3

34

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ R

ปรมาตรอะตอม V atom = 3

34 Rπ

เนองจากวา BCC ม 2 อะตอม = 2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 3

34 Rπ

30

จากสตร APF = ปรมาตรอะตอม / ปรมาตรหนวยเซล

= 3

3

34

342

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

R

Rπ = 0.68

แสดงวาในเนอท 1 หนวยของ BCC จะมสวนทเปนเนอของอะตอมอย 0.68

หนวย และสวนทเหลอ 0.32 หนวยเปนทวาง ตารางท 3.2 Lattice Constants และรศมอะตอมของโลหะทม

โครงสรางเปน BCC ทอณหภมหอง 20°C

โลหะ Lattice constant

a, (nm.)

Atomic radius

R, (nm.)

Chromium

Iron

Molybdenum

Potassium

Sodium

Tantalum

Tungsten

Vanadium

0.289

0.287

0.315

0.533

0.429

0.330

0.316

0.304

0.125

0.124

0.136

0.231

0.186

0.143

0.137

0.132

31

3.2.2 Face – Centered Cubic (FCC)

มลกษณะเปนสเหลยมลกบาศก( a = b =c, α = β =γ =900) จะมอะตอมอยทมม

ทง 8 มม

ภาพท 3.8 โครงสรางของ FCC

สาหรบโครงสรางทเปน FCC แสดงดงภาพจะมจานวนอะตอมใน 1

หนวยเซลเทากบ 4 อะตอมซงไดจาก

อะตอมทมม 8 มม = 881× = 1 อะตอม

อะตอมทกงกลางดานทง 6 ดาน = 621× = 3 อะตอม

รวมอะตอมทงหมด = 4 อะตอม

ภาพท 3.9 แสดงความสมพนธระหวาง a และ R ของโครงสราง FCC

32

จากภาพท 3.9 แสดงถงความสมพนธระหวางขนาดของ Unit cell และรศมอะตอม

ของโครงสราง FCC ซงจะได

Ra 42 = หรอ 2

4Ra =

คาการอดแนน (Atomic Packing factor : APF) ใน FCC นนมคาเทากบ

0.74 ซงจะเหนวามคามากกวา 0.68 ในโครงสราง BCC กลาวคออะตอมทกตวจะเรยงตว

ของอะตอมแบบ FCC นนจะมการจดเรยงตวทหนาแนนกวาโครงสราง BCC กลาวคอ

อะตอมทกตวจะเรยงชดตดกน จงเรยกอกอยางหนงวา Cubic Close – Packed (CCP) ซง

หมายถงโครงสรางทมอะตอมอดตวกนอยอยางหนาแนนทสด

ตวอยางของโลหะทมโครงสรางแบบ FCC แสดงในตาราง ซงไดแก

อลมเนยม, ทองแดง, ทองคา เปนตน

ภาพท 3.10 โครงสราง FCC แสดงเปนระนาบของการอดแนน

33

ตารางท 3.3 แสดงวา Lattice Constants และรศมอะตอมของโลหะทม

โครงสรางเปน FCC ทอณหภม 20°C

โลหะ Lattice constant

a, (nm.)

Atomic radius

R, (nm.)

Aluminum

Copper

Gold

Lead

Nickel

Platinum

Silver

0.405

0.3615

0.408

0.495

0.352

0.393

0.409

0.143

0.128

0.144

0.175

0.125

0.139

0.144

3.2.3 Hexagonal Close – Packed (HCP) โลหะโดยทวไปจะไมสามารถทจะมโครงสรางทเปนแบบ simple hexagonal

ทแสดงในรปไดเนองจากวาคาของ APF จะมคานอย ดงนนอะตอมกจะพยายามทจะใหม

พลงงานในตวใหนอย เพอทจะไดมความเสถยรสงโดยการทาโครงสรางใหเปน HCP ดงแสดง

ในภาพท 3.11

ภาพท 3.11 ผลกแบบ HCP

HCP มลกษณะเปน 6 เหลยม a = b ≠c มมระหวาง a และ b = 1200 มม

ระหวาง a และ c และ b =900 โครงสรางทเปน HCP นจะมคา APF เทากบ 0.74 ซงมคา

เทากบในโครงสราง FCC เมอพจารณาจากภาพ จะไดวาจานวนอะตอมในหนวยเซล HCP

34

เทากบ 6 อะตอม ซงหาไดดงน ซง

อะตอม 1 ตวมหนวยเซล HCP ใชรวมกน = 6 หนวยเซล

ดงนน 1 มมของหนวยเซลจะมอะตอมอย = 61

หนวยเซล HCP มมมอย = 12 มม

จานวนอะตอมทมม = 121261

=× อะตอม

ระหวางระนาบบนกบระนาบฐานมอะตอม = 3 อะตอม

ทกงกลางระนาบบนและระนาบฐานมอะตอมอยดานละ 1 ตว และใชรวมกนกบ

หนวยเซลอนอก 1 หนวยเซล

ดงนนแตละหนวยเซลมอะตอมทกงกลางดาน 1 ดาน = 21

รวมอะตอมทกงกลางดานฐานและบน = 1221

=×

รวมอะตอมใน HCP ทงหมด = 2 + 3 + 1 = 6 อะตอม

อตราสวนของความสง c ของ hexagonal prism ของโครงสราง HCP กบสวนฐาน

a เรยกวา c/a ratio (ดรปท 3.8a) ซงคา c/a ratio สาหรบโครงสราง HCP ในอดมคตนนจะ

มคาาเทากบ 1.633 จากตารางจะแสดงคาของโลหะทสาคญทมโครงสรางทเปน HCP และคา

ของ c/a tatio ของโลหะนน ตารางท 3.4 Lattice Constants รศมอะตอมและคา c/a ratio ของโลหะทม โครงสรางแบบ HCP ทอณหภมหอง 200C

Lattice constant โลหะ

a, (nm.) a, (nm.)

Atomic radius

R, (nm.) c/a ratio % deviation

from ideality

Cadmium

Zinc

Ideal HCP

Magnesium

Cobalt

Zirconium

Titanium

Beryllium

0.2973

0.2665

0.3209

0.2507

0.3231

0.2950

0.2286

0.5618

0.4947

0.5209

0.4069

0.5148

0.4683

0.3584

0.149

0.133

0.160

0.125

0.160

0.147

0.113

1.890

1.856

1.633

1.623

1.623

1.593

1.587

1.568

+15.7

+13.6

0

-0.66

-0.66

-2.45

-2.81

-3.98

35

3.2.4 เปรยบเทยบโครงสราง FCC และ HCP จากคา APF จะพบวาทงโครงสราง FCC และ HCP มคา APF เทากนคอ 0.74 ซงถอ

วาเปนคาทสงทสดของหนวยเซล ซงความแตกตางของโครงสรางทงสองคอลาดบการเรยงตว

ของอะตอมดงภาพท 3.12

ภาพท 3.12 การจดเรยงตวเปรยบเทยบของโครงสรางหนวยเซล FCC และ HCP

ภาพท 3.13 การจดเรยงตวของ โครงสรางหนวยเซล FCC ระนาบท 3 ถกแทนทเหนอชองวางของระนาบท 1 แทนทจะเปนระนาบท 2

36

ภาพท 3.14 แสดงการจดเรยงตวของ โครงสรางหนวยเซล HCP ระนาบท 3 ถกแทนทดวยระนาบท 2 โดยตรง 3.3 โคออรดเนชนนมเบอร (CO ordination Number) มโลหะบรสทธเปนจานวนมาก ทโครงสรางผลกของมนจะมอะตอมจดเรยงตวกนใน

ลกษณะอดแนนใหมากทสด (Close – Packed) นนคออะตอมจะพยายามอยใหชดกนมาก

ทสด เพอใหเกดชองวางระหวางอะตอมนอยและเกดแรงดงดดระหวางอะตอมจะสงตามไป

ดวย จะเหนไดวาถาเราสมมตใหอนภาคหรออะตอมซงอยใน Space lattice มลกษณะเปน

ทรงกลม (Spheres) เทา ๆ กนแลว เมอนาเอาลกกลมเหลานมาวางเรยงกนโดยใหทกลกอย

ชดกน ลกกลมแตละลกจะสามารถสมผสลกกลมอนไดอยางมากทสด 6 ลกดวยกน และถา

เอาลกกลมเหลานวางซอนกนเปนชน ๆ แลว จะพบวามวธการเรยงอยได 2 วธ ทจะทาใหลก

กลมแตละลกสามารถสมผสกบลกอนไดมากถง 12 ลกในเวลาพรอม ๆ กน ซงลกษณะการ

เรยงอดแนนอยางนกคอโครงสรางแบบ HCP และโครงสรางแบบ FCC นนเอง จานวน

อะตอมทสามารถสมผสหรออยใกลอะตอมหนงในระยะทเทา ๆ กนเรยกวา โคออรดเนชนนม

เบอร (Co – ordination Number)

37

ดงนนโลหะทมโครงสรางผลกเปนแบบ FCC และ HCP จงมโคออรดเนชนนมเบอร

เทากบ 12 สวนโลหะทมโครงสรางเปนแบบ BCC ยงไมนบวาเปน close – packed เพราะม

ชองวางภายใน space lattice มากกวาทงสองแบบทกลาวมาแลว 3.4 ตาแหนงของอะตอมในหนวยเซลสเหลยมลกบาศก (Atom Positions in Cubic Unit Cells)

การกาหนดของอะตอมในหนวยเซลสเหลยมลกบาศก จะใชแกนอางอง x,

y, และ z ซงในระบบผลกนนแกนอางองตาง ๆ จะแสดงดงรป a

ภาพท 3.15 (a)การกาหนดแกนอางอง x, y, z ในหนวยเซลสเหลยมลกบาศก (b) ตาแหนงของอะตอมในหนวยเซล BCC จากรป b แสดงตาแหนงของอะตอมในหนวยเซลแบบ BCC ซงจะได

ตาแหนงของอะตอมทมมทง 8 มมนนจะมตาแหนงดงน

(0, 0, 0) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0, 1)

(1, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 1, 1)

และอะตอมทอยตรงกลางของหนวยเซลในโครงสราง BCC จะอยทตาแหนง

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21,

21,

21 เพอใหงายขนในกรณทโครงสรางผลกเปนแบบ BCC เราจะกาหนดตาแหนงของ

อะตอมเพยง 2 ตาแหนง คอ ตาแหนง (0, 0,0) และ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21,

21,

21 สวนตาแหนงอน ๆ นนไม

ตองกาหนดเพราะเปนทเขาใจกน สวนในการกาหนดตาแหนงของอะตอมในโครงสราง FCC

นนกใชกาหนดตาแหนงเชนเดยวกนกบแบบ BCC

38

3.5 ทศทางของผลกในหนวยเซลสเหลยมลกบาศก

(Directions in Cubic Unit Cells) การพจารณาอทธพลของโครงสรางทมตอคณสมบตของวสด จะตองเขาใจถงทศทาง

และระนาบตาง ๆ ในผลก เพราะลกษณะของผลกในทศทางตางกนจะไมเหมอนกน เชน

ระยะหางระหวางอะตอมขางเคยงในผลกในทศทางทตางกน ซงในการบอกทศทางในผลกนยม

บอกเปนตวเลขจานวนเตมนอย ๆ และในการกาหนดทศทางในผลกตองพจารณาจากหนวยเซล

ซงจะสามารถหาทศทางในผลกทม space lattice เปนแบบใดกได โดยถอวาขอบของ

หนวยเซลมความยาวเทากนหนงหนวย ไมวาจะเปนความยาวในแนวแกน X, Yหรอ Z

เมอจะกาหนดทศทางในผลกจะตองกาหนดจดเรมตนทมม หรอตาแหนงอะตอมใด ๆ

ของหนวยเซล แลวลากเวกเตอร (vector) นนไปตามทศทางทตองการ และเขยนลกศรไวท

ปลายเวกเตอรซงถอวาเปนปลายทางของทศทาง โดยใหจดเรมตนของแกนอยทเรมตนของ

ทศทางเสมอ และใหจด O แกนของ Coordinate System จะไปตามแนวของทง 3 ของ

หนวยเซล ดงนนเวกเตอรใด ๆ ทลากจะจดเรมตนกคอทศทาง และเวกเตอรเหลานถอวาอยใน

ลกษณะของหนวยเวกเตอร (vector Unit) ซงจะแสดงความสมพนธไดดงน

เวกเตอรของทศทาง = ua + vb + wc

เมอ u, v และ w เปนเลขจานวนเตมนอย ๆ

a, b และ c เปนทศทางตามแกน x, y และ z ตามลาดบ

ดงนนจะกาหนดสญลกษณของทศทางไดเปน [ u v w ]

การพจารณาคาตามแกน X, Y, และ Z ยอมมคาเปนบวก หรอลบกไดตามลกษณะ

ทศทาง ถาหากไดคาเปนลบ ใหเขยนเครองหมายลบไวเหนอคา u, v หรอ w นน เชน ถาคา

ตามแกน x เปนลบจะไดทศทางเปน [u vw] ซงเรยกวาดชนของทศทาง (Direction Indices)

ภาพท 3.16 แสดงตวอยางทศทางของผลกในหนวยเซลสเหลยมลกบาศก

39

ภาพ a ตาแหนงของ coordinate ของทศทางของเวกเตอร OR ทพงออกจากผวของ

ลกบาศกเปน (1, 0, 0) ดงนนดชนทศทางของเวกเตอร OR จะเปน [100] และเวกเตอร OS

เปน [110] ภาพ b ดชนทศทางของเวกเตอร OT เปน [111]

ภาพ c จะเปนวาตาแหนงของ coordinate ของทศทางของเวกเตอร OM เปน ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 0,21,1

แตคาของเวกเตอรทศทางจะตองเปนจานวนเตม ดงนนตาแหนงของ coordinate ของทศทาง

ของเวกเตอร OM จงตองคณดวย 2 ทาใหคาของดชนทศทางของเวกเตอร OM เปน 2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 0,21,1

= [210] และสาหรบดชนทศทางของเวกเตอร ON กจะเปน [ ]011

ในการกาหนดดชนทศทาง เราจะถอวาเสนตรงเวกเตอรอน ๆ ทกเสนทขนานกบเสน

เวกเตอรทศทางทกาหนดนจะอยในทศทางเดยวกน และมคาดชนทศทางเทากน ซงเวกเตอร

อน ๆ ทขนานกนนอาจจะเกดมาจากการกาหนดแกนอางองไมตรงกน ตวอยางเชน

[100], [010], [001], [010], [001], [100] = <100>

ดงนนจงมการกาหนดดชนทศทางทเทยบเทากน (Indices of a family) โดยใช

สญลกษณ <uvw>

3.6 ระนาบในผลก และดชนมลเลอร (Plane in Crystal and Miller Indices) ในการเรยกระนาบ (Plane) ตาง ๆ ภายในผลกนน จะใชดชนมเลอร (Miler Indices)

เปนตวบอกลกษณะของระนาบ โดยเรยกเปนคาตวเลขทไดมาจากสวนกลบของจดตด

(Intercept) ของระนาบนน กบแกนอางองของผลก (Crystal Axes) ทกาหนดขน

การหาคาดชนมเลอรของระนาบ ทาไดตามขนตอนดงน

1. กาหนดแกนอางองขน 3 แกน โดยเลอกจดกาเนด (Origin) ของแกนอางองไมให

ระนาบทตองการหาดชนมลเลอร

2. หาจดตดของระนาบนบนแกนอางองทงสาม และหาคาขนาดระยะจดตดทหางจาก

จด เปนทหางจากจดกาเนด เปนคาตามสดสวนของหนวยความยาวของแตละแกน สมมตวา

คาทอานไดเปน x,y, z ตามลาดบ

3. หาเศษสวนกลบ (Reciprocals) ของระยะจดตดดงกลาว จะไดเปน zyx11,1

4. แปลงคาเศษสวนทไดจากขอ 3 ใหเปนเลขจานวนเตมคานอยทสด โดยทสดสวน

(ratio) ระหวางคาทงสามยงคงเดม สมมตวาไดคา h, k, l ตามลาดบ

5. เขยนคาดชนมลเลอรของระนาบนดวยสญลกษณในวงเลบคอ (h k l)

40

ภาพท 3.17 แสดงระนาบทสาคญในสเหลยมลกบาศก

จากภาพท 3.17 แสดงระนาบทสาคญ 3 ระนาบในโครงสรางผลกสเหลยมลกบาศก

ซงใน ภาพ a นนจดตดแกนจะเปน 1, ∞,∞ ทแกน X, Y, Z ตามลาดบ เมอนาคาจดตดแกนท

ไดไปกลบเศษสวนจะไดเปน ∞∞1,1,

11 ซงมคาเทากบ 1, 0, 0 ดงนนคาดชนมลเลอรจงเปน

(100) และสาหรบ ภาพ b จดตดแกนเปน 1,1, ∞ ดงนนคาดชนมลเลอรจงเปน (110) ใน

ทานองเดยวกนใน ภาพ c คาดชนมลเลอรเปน (111)

ภาพท 3.18 แสดงระนาบ (632) ในสเหลยมลกบาศก

เมอพจารณา ภาพท 3.18 จะเหนวาจดตดแกนจะเปน 1,32,

31 เมอกลบเศษสวนแลว

จะไดคาเปน 1,23,3 จะเหนวาไมเปนเลขจานวนเตม ดงนนจงตองคณดวย 2 เพอจะไดเปนเลข

จานวนเตม ทาใหคาทไดเปน 6, 3, 2 และดชนมลเลอรเปน (632)

ทนาสงเกตอกประการหนงกคอ เราสามารถเลอกตาแหนงอะตอมใด ๆ กไดภายใน

หนวยเซลใหเปนจดเรมตน (Origin) ของแกนอางอง ดงนนคาของจดตดทไดจงอาจเปนไดทง

41

คาบวกและและลบ อกทงการกาหนดชอแกนอางองอาจไมตรงกน ดงนนจงอาจทาใหไดคา

ดชนมลเลอรของระนาบเดยวกนนนแตกตางกนไป เชนระนาบ (100) ใน cubic system อาจ

เขยนเปนอนไดคอ (100), (010), (010), (100), (010) และ (001) เปนตน แตอยางไรกด

ทางดานของวชาผลกวทยา (Crystallographic) แลวจะไมถอวาเรองนเปนปญหาสาคญนา

เพราะจะสนใจเรองลกษณะการเรยงตวของอะตอมในระนาบมากกวา โดยปกตแลวระนาบท

ตางกนเฉพาะเครองหมาย และลาดบของตวเลขนน ยอมมลกษณะการเรยงตวของอะตอม

เหมอนกน ดงนนในแงของการศกษาทเกยวกบระนาบซงมรปแบบเทยบเทากนเชนน จงจดให

เปนระนาบทอยในเครอของระนาบ (Family of Planes) เดยวกน และเขยนแทนดวยคาดชนใน

วงเลบปกกา { }

ในโครงสรางผลกทเปนสเหลยมลกบาศกคาของระยะหางระนาบ (Interplanar

Spacing) ทใกลทสดทขนานกนภายในหนวยเซลโดยมคาดชนมลเลอรทเทากนจะแทนดวย

สญลกษณ dhkl ซง h, k, และ l กคอคาของดชนมลเลอรของระนาบนน ๆ

ภาพท 3.19 แสดงระยะหางระหวางระนาบ (110)

จากภาพท 3.19 ระยะหางระหวางระนาบ (110), d110 ของระนาบท 1 และ 2 กคอ

ระยะ AB และระหวางระนาบท 2 และ 3 กคอระยะ BC ซงสามารถหาไดจากสมการ

42

dhkl = 222 lkh

a

++

ซง dhkl = ระยะหางระหวางระนาบทใกลทสดทขนานกนในหนวยเซล

a = ขนาดของหนวยเซล (Lattice constant)

h, k, l = คาของดชนมลเลอรของระนาบทขนานกน

ตวอยาง ทองแดงมโครงสรางเปน FCC และมขนาดของหนวยเซลเทากบ 0.361 nm

ใหหาคาระยะหางระหวางระนาบ (220) ทขนานกนในหนวยเซล

dhkl = 222 lkh

a

++

d200 = nmnm 128.0022

361.0222

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

++

3.7 ระนาบ และทศทางสาหรบผลกหกเหลยม (Crystallographic Planes and Directions in Hexagonal Unit Cells) การหาดชนระนาบในผลกหกเหลยมตองใชแกน 4 แกน คอ แกนคอ แกนทระนาบฐาน

3 แกน (a1, a2, a3) ทามม 1200 ซงกนและกน) และแกนในแนวดง (c ตงฉากกบแกน a 1,a2

และ a3) ซง ความยาวจากจดเรมตนไปตามแนวแกนทง 3 จนถงขอบหนวยเซลถอวาเปน 1

หนวย และจากจดเรมตนไปตามแนวแกน c จนถงขอบบนของหนวยเซลกถอวาเปน 1 หนวย

เชนกน

วธหาดชนมลเลอรทาไดเชนเดยวกบกรณสเหลยมลกบาศก (คอหาคาจดตดแกน)

(Intercept) จากนนกกลบเศษสวน แลวนาคาทไดไปใสในวงเลบ โดยจะตองเปนเลขจานวน

เตมคานอยทสด) แตสาหรบคาดชนมลเลอรของผลกหกเหลยมนจะแทนดวยสญลกษณ 4 ตว

คอ h, k, i และ l ซงจะอยในเครองหมายวงเลบ (hkil) ซงคาตวเลขเหลานกคอ คาสวนกลบของ

ตาแหนงทระนาบตดกบแกน a 1,a2 และ a3 และ c และตองอาศยสมการ h + k = -i เขาชวย

เพราะคาตามแกน a 1,a2 และ a3 มความสมพนธกนอยเชนเดยวกบในกรณของทศทาง

43

ภาพท 3.20 แสดงแกนอางอง 4 แกนในผลกในผลกหกเหลยม

ระนาบฐาน (Basal planes) ระนาบฐานของผลกหกเหลยมจะมความสาคญมากระนาบหนงสาหรบหนวยเซล ซง

แสดงดงภาพอa จะเหนวาระนาบฐานจะเปนระนาบทขนานกบแกน a1, a2 และ a3 ซงจดตด

แกนทง 3 แกนจะเปนคาอนนต (Infinity, ∞) ดงนน a1 = ∞, a2 = ∞, a3 = ∞ และจะตดกบ

แกน c ท 1 หนวย (I = 1) ซงเมอกลบเศษสวนจะไดคา h = 0, k = 0, i = 0 และ I = 1 และ

ดชนมลเลอรทระนาบฐานเปน (0001)

ภาพท 3.21 แสดงคาดชนมลเลอรของผลกรปหกเหลยม

(a) ระนาบฐาน (b) ระนาบปรซม

44

ระนาบปรซม (Prism planes) ระนาบปรซมใชเรยกระนาบดานขางผลกหกเหลยมซงใน 1 หนวยเซลจะมอย 6

ระนาบซงวธการหาดชนมลเลอรทาไดดงน

สาหรบปรซมดานหนา (ABCD) ในภาพ b จะไดวา a1 = +1, a2 = ∞, a3 = -1 และ c

= ∞ เมอกลบเศษสวนจะไดวา h = 1, k = 0, i = -1 และ 1 = 0 หรอ ( 0110 ) ในทานอง

เดยวกนสาหรบระนาบปรซม ABEF กจะไดดชนมลเลอรเปน ( 0110 ) และระนาบ DCGH มคา

เปน ( 0110 ) ซงระนาบปรซมทงหมดนสามารถเขยนใหอยในรปเครอของระนาบไดเปน { 0110 }

ในบางครงสาหรบการบอกดชนของผลกหกเหลยมสามารถทจะบอกเพยง 3 แกน

(hkl) กไดโดย h+ k = -i แตโดยสวนมากจะนยมบอกเปน 4 แกนมากกวาเนองจากจะเหน

ภาพทชดเจนกวา

ดชนทศทางในผลกหกเหลยม การหาทศทางในผลกหกเหลยม จะซบซอนกวาวธทกลาวมา เพราะผลกหกเหลยมมอย

ถง 4 แกน เพอใหงายขนควรแบงระนาบฐานของหกเหลยมออกเปน 3 เหลยมเลก ๆ หลาย ๆ รป

แลวพจารณาคาดชนทศทางตามแนวแกน a1, a2, a3 และ c ตามลาดบ โดยถอวาแตละดานของ

สามเหลยมเปน 1 หนวย เนองจากในแนวระนาบฐานเดยวกนมอย 3 แกน หรอ ทศทางคอ a1,

a2, a3 ซงตางกตางกตางกทามม 1200 ซงกนและกน จะเหนวาคาตามแนวแกน a3 ไมเปนอสระ

โดยจะมความสมพนธกบคาตามแกน a1, และ a2, ดงสมการ

h + k = -i

ดงนนดชนทศทางของผนกเหลยมคอ [hkil]

45

ภาพท 3.22 แสดงทศทางของผลกหกเหลยม

3.8 การคานวณหาความหนาแนนอะตอม, ความหนาแนนของอะตอมบนระนาบและความหนาแนนของอะตอมบนเสนตรง (Volume, Planar, and Linear Density Unit Cell Caculations) 3.8.1 การหาความหนาแนน (Volume Density) จาการสมมตฐานทวาอะตอมในโครงสรางผลกในหนวยเซลของโลหะจะเปนรปทรง

กลม ดงนนคาของความหนาแนนสามารถคานวณไดจากสมการ

Volume density of metal = unitcellvolume

unitcellmassv /

/=ρ

จากตวอยางท จะเหนวาคาของความหนาแนนของทองแดงทไดจากการคานวณมคา

เทากบ 8.98 Mg/m3 (8.98 g/cm3) แตจากการทดลองในหองปฏบตการพบวาคาความ

หนาแนนของทองแดงมคาเทากบ 8.96 Mg/m3 (8.96 g/cm3) ซงจะมคาตาวา ทเปนเชนน

เนองจากวาอาจจะเกดความไมสมบรณในผลกขนได ตวอยางเชน ความไมสมบรณจด เชน

46

การหายไปของอะตอม (Vacancies) ความไมสมบรณเสน (Line Imperfection) และความไม

สมบรณผว (Surface Imperfection) เปนตน ซงความไมสมบรณของผลกตาง ๆ เหลานจะ

กลาวในบทท 4 ตวอยาง ทองแดงมโครงสรางเปน FCC และมรศมอะตอมเทากบ 0.1278 nm จงคานวณหา

ความหนาแนนของทองแดงใหอยในหนวยของ Mg/m3 (นาหนกอะตอมของทองแดง เทากบ

63.54 g/mol)

จากความสมพนธระหวางขนาดของหนวยเซล และรศมของอะตอมของโครงสราง

FCC ซงมความสมพนธเปนดงสมการ Ra 42 = ซง a คอขนาดของหนวยเซล (Lattice

constant) และ R คอรศมอะตอม ดงน

a = ( )( ) nmnmR 361.02

1278.042

4==

จากสตร ความหนาแนนของทองแดง = unitcellvolume

unitcellmassv /

/=ρ

จากโครงสราง FCC ใน 1 หนวยเซลจะมจานวนอะตอม =4 อะตอม ดงนนนาหนก

ของทองแดงใน 1 หนวยเซลจะมคาเทากบ

( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

×= −

gMg

molatomsmolgatomsm 6

2310

/1002.6/54.634 = 4.22 ×10-28 Mg

ประมาตรของหนวยเซล

V = a3 = 3

910361.0 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ × −

nmmnm 4.70×10-23m3

ความหนาแนนของทองแดงมคาเทากบ

3329

28/98.8

1070.41022.4 mMg

mMg

Vm

v =×

×==

−

−

ρ (8.98 g/cm3)

3.8.2 การหาคาความหนาแนนของอะตอมบนระนาบ (Planar Atomic Density) ในการหาคาความหนาแนนของอเตอมในแตละระนาบของผลกนน หาไดจาก

ความสมพนธตอไปน

Planar atomic density = ρp

= จานวนของอะตอมทถกตดผานโดยระนาบทตองการหา / ระนาบ

ทตองการหา

47

ตวอยาง

ใหคานวณหาความหนาแนนของอะตอมทอยบนระนาบ (110) ของเหลก α ซงม

โครงสรางเปน BCC โดยใหมหนวยเปนอะตอมตอตารางมลลเมตร (atoms per square

millimeter) และเหลก α มขนาดของหนวยเซลเทากบ 0.287 nm

ภาพท 2.23 แสดงโครงสรางผลก BCC ในระนาบ (110)

จากภาพท 2.23 จะเหนวามจานวนอะตอมในหนวยเซลทถกระนาบ (110) ตดผาน

จานวน 2 อะตอม คอ

1 อะตอมตรงกลาง + 4×41 ของอะตอมทอยทมม 4 ม = 2 อะตอม

พนทของระนาบ (110) ภายในหนวยเซลมคาเทากบ

( )( ) 222 aaa = ดงนนความหนาแนนของอะตอมทอยบนระนาบ (110) เปน

( ) 22

2.17287.02

2nm

atoms

nm

atomsp ==ρ

= nm

nmnmatoms 212

2102.17

×

= 1.72 ×1013atoms/nm2

48

3.8.3 การหาความหนาแนนของอะตอมบนเสนตรง (Linear Atomic Density) เปนการหาจานวนอะตอมทอยในแนวทศทางทตองการหา ซงหาจากความสมพนธ

Linear Atomic Density = ρI

= จานวนของอะตอมทถกตดผานโดยทศทางท

ตองการหา / ความยาวเสนทศทาง ตวอยาง ใหคานวณหาความยาวหนาแนนของอะตอมบนเสนตรงในทศทาง [110] ของ

โลหะทองแดง โดยใหมหนวยเปน อะตอมตอมลลเมตร (atoms per millimeter) ซงทองแดงม

โครงสรางผลกเปน FCC และมขนาดของหนวยเซลเทากบ 0.361 nm

ภาพท 2.24 แสดงทศทาง [110] ของโครงสรางผลกทองแดง

จากภาพท 2.24 จะเหนวามอะตอมทถกตดผานศนยกลางของอะตอม เมอเทยบเปน

ระยะของเสนผานศนยกลางของอะตอมแลวจะไดวามความยาวทถกตดผานมระยะเทากบ 2

อะตอม

ดงนน

ρl = ( ) nm

atomsnm

atomsa

atoms 92.3361.02

22

2==

= mmnm

nmatoms 61092.3 ×

= 3.92 ×106 atoms/mm

๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓๓

หนงสออเลกทรอนกส

ฟสกส 1(ภาคกลศาสตร( ฟสกส 1 (ความรอน)

ฟสกส 2 กลศาสตรเวกเตอร

โลหะวทยาฟสกส เอกสารคาสอนฟสกส 1ฟสกส 2 (บรรยาย( แกปญหาฟสกสดวยภาษา c ฟสกสพศวง สอนฟสกสผานทางอนเตอรเนต

ทดสอบออนไลน วดโอการเรยนการสอน หนาแรกในอดต แผนใสการเรยนการสอน

เอกสารการสอน PDF กจกรรมการทดลองทางวทยาศาสตร

แบบฝกหดออนไลน สดยอดสงประดษฐ

การทดลองเสมอน

บทความพเศษ ตารางธาต)ไทย1) 2 (Eng)

พจนานกรมฟสกส ลบสมองกบปญหาฟสกส

ธรรมชาตมหศจรรย สตรพนฐานฟสกส

การทดลองมหศจรรย ดาราศาสตรราชมงคล

แบบฝกหดกลาง

แบบฝกหดโลหะวทยา แบบทดสอบ

ความรรอบตวทวไป อะไรเอย ?

ทดสอบ)เกมเศรษฐ( คดปรศนา

ขอสอบเอนทรานซ เฉลยกลศาสตรเวกเตอร

คาศพทประจาสปดาห ความรรอบตว

การประดษฐแของโลก ผไดรบโนเบลสาขาฟสกส

นกวทยาศาสตรเทศ นกวทยาศาสตรไทย

ดาราศาสตรพศวง การทางานของอปกรณทางฟสกส

การทางานของอปกรณตางๆ

การเรยนการสอนฟสกส 1 ผานทางอนเตอรเนต

1. การวด 2. เวกเตอร3. การเคลอนทแบบหนงมต 4. การเคลอนทบนระนาบ5. กฎการเคลอนทของนวตน 6. การประยกตกฎการเคลอนทของนวตน7. งานและพลงงาน 8. การดลและโมเมนตม9. การหมน 10. สมดลของวตถแขงเกรง11. การเคลอนทแบบคาบ 12. ความยดหยน13. กลศาสตรของไหล 14. ปรมาณความรอน และ กลไกการถายโอนความรอน15. กฎขอทหนงและสองของเทอรโมไดนามก 16. คณสมบตเชงโมเลกลของสสาร

17. คลน 18.การสน และคลนเสยง การเรยนการสอนฟสกส 2 ผานทางอนเตอรเนต

1. ไฟฟาสถต 2. สนามไฟฟา3. ความกวางของสายฟา 4. ตวเกบประจและการตอตวตานทาน 5. ศกยไฟฟา 6. กระแสไฟฟา 7. สนามแมเหลก 8.การเหนยวนา9. ไฟฟากระแสสลบ 10. ทรานซสเตอร 11. สนามแมเหลกไฟฟาและเสาอากาศ 12. แสงและการมองเหน13. ทฤษฎสมพทธภาพ 14. กลศาสตรควอนตม 15. โครงสรางของอะตอม 16. นวเคลยร

การเรยนการสอนฟสกสทวไป ผานทางอนเตอรเนต

1. จลศาสตร )kinematic) 2. จลพลศาสตร (kinetics) 3. งานและโมเมนตม 4. ซมเปลฮารโมนก คลน และเสยง

5. ของไหลกบความรอน 6.ไฟฟาสถตกบกระแสไฟฟา 7. แมเหลกไฟฟา 8. คลนแมเหลกไฟฟากบแสง9. ทฤษฎสมพทธภาพ อะตอม และนวเคลยร

ฟสกสราชมงคล