第 3 章谓词逻辑和归结原理

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能

第 3 章谓词逻辑和归结原理逻辑 : 推理的理论和根据 .逻辑的分类 , 经典逻辑和非经典逻辑命题逻辑和谓词逻辑

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.1 命题逻辑1 。什么是命题？2 。什么是命题连接词？ 3 。什么命题公式（ Well-formed formula, WFF ）？4 。什么是命题演算语句解释？5 。什么是命题演算语句在某解释下的真值？6 。什么是命题演算语句的真值表？7 。什么是恒真的命题公式 ?

8 。如何进行命题逻辑的推理

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑的推理规则符号和语句定义 : 命题演算符号包括命题符号 : P, Q, R, S,... 真值符号 : true, false

连接词 : ∧, ∨, ┐, → , ,

定义 : 命题逻辑公式（ Well-formed formula, WFF ）利用命题演算符号，真值符号和逻辑连接词组成的合法符号串。

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能合取项 (conjunct)析取项（ disjunct ）蕴涵式（ implication ）前提（ premise ） , 前项 (antecedent)结论（ conclusion ） , 后项（ consequent ）命题语句的例 P, Q, R, ┓P, ┓Q, P∧Q, P∧Q→R, ┓P∨┓Q, ┓P∨┓Q ∨R (P∧Q)→R ┓P∨┓Q ∨R

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题语句就是一个符号串，只有对串中的命题符号指定了真假值之后，这个语句才具有实际意义。命题演算的语义由单个逻辑运算符连接的简单语句的语义定义：命题语句的语义对每一个命题指定其真假值。按由单个逻辑运算符连接的简单语句的语义递归地求出整个语句的真假值。解释：对命题指定其真假值

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能同一个命题语句在不同的解释之下有不同的真值。如果一个命题语句具有 n 个命题，则其具有 2n 种不同的解释真值表：设 s 使一个命题语句， s 的真值表是对 s 的所有可能解释的真值。

P Q

F

F

T

T

F

F

T

T

F

F

T

T

P ∧ Q

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能P ┓PQ ┓ PVQ P→Q (┓ PVQ) P→Q

T

T

F

F

T

F

T

F

F

F

T

T

T

F

T

T

T

F

T

T

T

T

T

T

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑的等价命题逻辑中常用的等价公式 PP

)()( PQQP QPQP QPQP )(

))(()( RQPRQP

)()()( RPQPRQP

QPQP )(

))(()( RQPRQP

)()()( RPQPRQP

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑的推理规则推理规则是用一些命题公式 A1, A2,… 推导出另外一些命题公式 B1, B2,… 附加 : A => A∨B简化 : A∧B =>A假言推理 : A→B, A => A拒取式 : A→B, ┐ B => ┐ A析取三段论 : A∨B, ┐ A =>B假言三段论 : A→B, B→C => A→C

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑的推理规则例 1 证明 {(PQ) ， (PR) ， (ST), ( SR), T}Q 1. ST 前提引入 2. T 前提引入 3. S 1,2, 拒取规则4. SR 前提引入 5. R 3,4 假言推理6. P R 前提引入7. P 5 ， 6 ；拒取规则8. PQ 前提引入 9. Q 7,8, 析取三段论

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑的推理规则写出对应下面推理的证明如果今天下雨 . 则要带伞或雨衣 , 如果走路上班 , 则不带雨衣 , 今天下雨 , 走路上班 , 所以带伞 . P: 今天下雨 Q: 带伞 R: 带雨衣 S: 走路上班

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑的推理规则{P (Q∨R) ， (SR) ， P, S}Q 1. P (Q∨R) 前提引入 2. P 前提引入 3. Q∨R 1,2, 假言推理4. SR 前提引入 5. S 前提引入 6. R 4,5, 假言推理7. Q 3,6, 析取三段论

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑归结方法前面给出的命题逻辑的证明过程需要很多思考过程，人可以用来实施推理，但却不适用于计算机。本节我们介绍一中推理方法——归结方法，它以机械的方式实施推理，容易使用计算机实现，我们先介绍它的简单情形，即命题逻辑的归结，然后在下一节介绍谓词逻辑归结。命题逻辑证明过程之所以复杂的一个重要原因是命题公式的形式是各种各样的。证明系统必须有处理各种各样命题公式的能力。为了简化命题公式的形式，人们提出了一种简单而又有足够表达能力的形式，这就是子句。

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑归结方法

为叙述方便，我们把命题原子称作正文字，例如 P, Q, R…., 等等，把带有非符号的命题原子叫做负文字，例如 P, Q, R…., 等等，把正文字和负文字统称为文字。单个文字，文字的析取构成的命题逻辑公式叫做子句。例如， P, Q, P ∨Q ∨R 都是子句。

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑归结方法• 一个命题逻辑公式可以采用如下方式转换成等价的子句的合取形式 , 即合取范式： • 1. 利用等价公式 P←→ 　 Q =( P→Q) ∧

(Q←P) 和 P→Q=~P Q∨ 删去公式中的←→　符号和→符号 .• 2. 利用 De Morgan 律把所有的否定符号移到每个原子之前 .• 3. 利用分配律得到子句的合取形式

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑归结方法例把命题逻辑公式 ~ (~(P→Q) (~ Q R))∧ ∨转换成等价的子句的合取形式 .~ (~(P→Q) (~ Q R))∧ ∨= ~ (~ (~P Q) (~ Q R))∨ ∧ ∨= (~P Q) ~ (~ Q R))∨ ∨ ∨= (~P Q) ( Q ~ R))∨ ∨ ∧= (~P Q) (~P Q ~ R))∨ ∧ ∨ ∨上式即为子句的合取形式

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑归结方法命题归结式设　 c1, c2 是两个子句，　 c1=L1 D1, c2=∨

L2 D2 , ∨ 其中 L1 =~ L2 ，　 L1 ， L2也称作互补文字，　 D1 和 D2 为子句．　则D1 D2∨ 称作 c1, c2 的归结式，记为 R(c1, c2), c1, c2 称做是归结式的亲本子句。

• 例如，设　 c1, c2 是两个子句，　 c1 = ~PQ, c2 = P R ~ S, ∨ ∨ ∨ 则 ~P 和 P 为互补文字 , c1, c2 的归结式是 Q R ~ S. ∨ ∨

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑归结方法在利用归结推导证明某一逻辑结果时，我们采用如下的归结反驳证明方法。设 F ={f1, f2,…, fn} 是命题逻辑公式集合， g 是命题逻辑公式，为了证明从 F 能推导出 g ，我们先把逻辑公式 f1, f2,…, fn 转换成子句或子句集，把 g 的否定～ g 也转换成子句或子句集，然后把这些子句放在一起，组成一个子句集，在此子句集上应用归结，把所得到的归结式不断地加入到子句集中，继续进行归结，当子句集中包含空子句时，则认为是已经从 F 推导出 g. 这种归结反驳证明的核心思想是反证法，空子句表示矛盾。在证明过程中用□表示。如果把要证的结论的否定加入到前提集合中能导出矛盾，则证明了该结论。理论上可以证明，命题中归结反驳证明方法是可靠的。

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑归结方法例：证明 (P → Q) →( ～ Q → ～ P)}前提集合 F={(P → Q) }, 结论 = ( ～ Q → ～ P)。F 中命题公式转换成的子句集是 { ～ P∨Q}～ g 转换成的子句集是 { ～ Q, P }把上述子句集组合在一起，得到初始子句集 Φ={ ～ P∨Q, ～ Q, P }

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能命题逻辑归结方法以下为归结过程1. ～ P Q∨2. ～ Q3. P 1,2 归结4. Q 2,4 归结5 □

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.2 谓词逻辑基础 3.2.1 谓词的基本概念个体词 : 表示具体的客体 , 如 : 小王 , 工程师 , 8, 自然数 . 谓词 : 表示个体的性质和个体间的关系 , 小王是个工程师 8 是自然数变量符号： v1, w2, table3, 常量符号 : A, Dog, Wang1. 函数符号 : f(x), g(u, v)

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能定义：符号和项由变量符号，常量符号，函数符号和逻辑常量组成的合法字符串。定义：谓词和原子语句谓词是取值范围为 {0（假）， 1 （真） }的函数。单独一个谓词构成的语句为原子语句。例 : P(x), Q(x,y), R(X,b)

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能量词全称量词对于日常生活和数学中出现的“一切的”、“任意的”、“所有的”、“每一个”、“都”、“凡”等词统称为全称量词，用符号“”表示。并用 x ， y 表示个体域中的所有个体，用（ x ） F （ x ），（ y ） F （ y ）等表示个体域中的所有个体具有性质 F 。存在量词对日常生活和数学中常用的“存在”、“存在一个”、“有一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”等词统称为存在量词，用符号“”表示。并用 x ， y 表示个体域中有的个体，用（ x ） F （ x ），（ y ） F（ y ）等表示个体域中有的个体具有性质 F 。

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能量词的例

例将下面的命题符号化：（ 1 ）所有人都是要死的。（ 2 ）有的人活到 100 岁以上。其中：个体域 D 为人类集合。解令 R （ x ）： x 是人 , P(x): x 要死的； Q （ x ）：活到100 岁以上。则（ 1 ）可符号化为： x （ R （ x ） P （ x ））（ 2 ）可符号化为 x （ M （ x ） ∧ Q （ x ））

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能使用量词需要注意在不同的个体域中 , 符号化的形式可能不一样 .使用量词需要注意 : 多个量词同时出现时 , 不能颠倒它们的次序例如 : “对于任意 x, 存在 y, 使得 x+y=5”, 设 P(x,y) 为 x+y=5, 符号化为 x yP(x,y) , 为真命题 . 但是 , y x P(x,y) , “存在 y, 对于任意 x, 使得 x+y=5”, 为假命题

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能1 。什么是一阶逻辑的全称量词？如何表示？2 。什么是一阶逻辑的存在量词？如何表示？3 。什么是一阶逻辑公式的解释？4 。什么是一阶逻辑公式的在解释下的真值？举例说明。5 。给出一个恒真的一阶逻辑公式的例。

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.2.2 一阶谓词逻辑定义：谓词演算语句（递归定义）利用原子语句，合取，析取，否定，蕴涵，全称，定量等符号构成的合法字符串。谓词演算的语义定义：谓词演算语句的解释由一个论域 D 和一组指定组成谓词语句在解释下的真值

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能在谓词演算中使用推理一个解释由一个论域 D 和一组指定组成定义：满足，模型，有效，不一致如果一个解释 I 使语句 s 取值为真，则称解释 I 满足 s, 也称 I是 s的模型，如果语句 s对所有解释都取值为真，则 s称为是有效的（ valid ） , 如果语句 s对所有解释都取值为假，则 s称为是不一致的（ inconsistent） , 定义：证明过程利用逻辑蕴涵推出新语句的过程，推导出的结果称为推导结果

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能•给出如下两个公式：

1) A=x (P(f(x))Q(x ， f(x)))2) B= x y R(x ， y)

•给出如下的解释 I ：D={2 ， 3}

f(2) f(3) 3 2

P(2) P(3) Q(2 ， 2) Q(2 ， 3) Q(3 ， 2) Q(3 ， 3) 0 1 1 1 1 1

R(2 ， 2) R(2 ， 3) R(3 ， 2) R(3 ， 3) 1 0 0 1

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能•解：•A (P(f(2))Q(2 ， f(2)))(P(f(3))Q(3 ， f(2))) (P(3)Q(2 ， 3))(P(2)Q(3 ， 3)) (11)(01) 1所以公式在解释 I 下为真•B( R(2,2) R(2 ， 3)) ( R(3,2) R(3 ， 3)) 11 1所以公式在解释 I 下为真 .

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能• 判断公式类型：（ 1 ） xyP(x ， y) Q ， x ， y 的个体域为 R ，

P(x ， y) ： x=y ； Q 是命题变元。• 解： xy(x=y) 是真命题当 Q=1 时，该公式为真当 Q=0 时，该公式为假因此，该公式是可满足公式。

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能• （ 2 ） (P(x ， y) P(x ， y)) (Q Q)• 解：因为 R 中任意取定的一组 x ， y 均使 (x=y)

( (x=y) ) 是一真命题，而 Q Q 是一重言式，所以对于任一组指派， (P(x ， y) P(x ， y) 总为真，故该公式为永真公式。• （ 3 ） xy(P(x ， y) P(x ， y))• 解：因为 R 中任意取定的一组 x ， y ，公式 P(x ，

y) P(x ， y) 总为假，所以该公式为永假公式。

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.2.3 谓词演算和推理

1. 谓词演算公式约束变量换名规则 (Q(x)) P(x) (Q(y)) P(y) (Q(x)) P(x,z) (Q(y)) P(y,z)2. 量词否定等值 (1 ）﹁（ x ） G （ x ）（ x ）﹁ G （ x ）（ 2 ）﹁（ x ） G （ x ）（ x ）﹁ G （ x ）3.量词分配等值 (1) （ x ）（ G （ x ）∧ H （ x ））（ x ） G （ x ）∧（ x ） H（ x ） (2) （ x ）（ G （ x ）∨ H （ x ））（ x ） G （ x ）∨（ x ） H（ x ）

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.2.3 谓词演算和推理消去量词等值 x A （ x ） A （ a1 ）∧ A （ a2 ）∧…∧ A （ an ） x A （ x ） A （ a1 ）∨ A （ a2 ）∨…∨ A （ an ）。量词辖域收缩与扩张（ 1 ）（ x ）（ G （ x ）∨ B ）（ x ） G （ x ）∨ B（ 2 ）（ x ）（ G （ x ）∧ B ）（ x ） G （ x ）∧ B（ 3 ）（ x ）（ G （ x ）→ B ）（ x ） G （ x ）→ B（ 4 ）（ x ）（ B→G （ x ）） B → （ x ） G （ x ）（ 5 ）（ x ）（ G （ x ）∨ B ）（ x ） G （ x ）∨ B（ 6 ）（ x ）（ G （ x ）∧ B ）（ x ） G （ x ）∧ B（ 7 ）（ x ）（ G （ x ）→ B ）（ x ） G （ x ）→ B（ 8 ）（ x ）（ B→G （ x ）） B→ （ x ） G （ x ）


前束范式定理 2.4.1 对任意一个谓词公式都可以化为与它等价的前束范式。首先利用等价公式将谓词公式中的联结词→，↔去掉。其次利用量词的转化律将量词前面的否定深入到谓词前面，在利用改名和代入规则以及量词辖域扩张的公式将量词移到全式的最前面，这样便得到公式的前束范式。


求 ( （ x ） P （ x ， y ） → （ y ） Q （ y ） )→ （ x ） R （ x ，y ）的前束范式 .

( （ x ） P （ x ， y ） → （ y ） Q （ y ） )→ （ x ） R （ x ，y ）( （ x ） P （ x ， z ） → （ y ） Q （ y ） )→ （ x ） R （ x ，z ）（ x ） ( P （ x ， z ） → （ y ） Q （ y ） )→ （ t ） R （ t ，z ）（ x ）（ y ） ( P （ x ， z ） → Q （ y ） )→ （ t ） R （ t ，z ）（ x ）（ y ） ( ( P （ x ， z ） → Q （ y ） )→ （ t ） R （ t ，z ） )

（ x ）（ y ）（ t ） ( ( P （ x ， z ） → Q （ y ） )→ R （ t ，z ） )

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.2.3 谓词演算和推理谓词推理1．全称指定规则（简称 US规则） 2．全称推广规则（简称 UG规则） 3．存在指定规则（简称 ES规则） 4．存在推广规则（简称 EG规则）


1 ．全称指定规则（简称 US 规则）这条规有下面两种形式：(1)x P （ x ） P （ y ）(2)x P （ x ） P （ c ）其中， P 是谓词，（ 1 ）中 y 为任意不在 P （ x ）中约束出现的个体变元；（ 2 ）中 c 为个体域中的任意一个个体常元。


3 ．存在指定规则（简称 ES 规则） x P （ x ） P （ c ）其中， c 为个体域中使 P 成立的特定个体常元。必须注意，应用存在指定规则，其指定的个体 c 不是任意的。

2 ．全称推广规则（简称 UG 规则） P （ y ） x P （ x ）

4 ．存在推广规则（简称 EG 规则）P （ c ） x P （ x ）

其中， c 为个体域中的个体常元，这个规则比较明显，对于某些个体 c ，若 P （ c ）成立，则个体域中必有 x P （ x ）。


例 20世纪 70 年代的漫画都是日本漫画家创作的 , 这幅画是 20世纪 70 年代的作品 , 因此 , 这幅画是日本漫画家创作的 .

P(x): 20世纪 70 年代的漫画 ,

Q(y): 这幅画是日本漫画家的作品 .

a: 一幅漫画前提 :x( P （ x ）（ y ） → Q （ x ） ), P(a)

结论 : Q(a)

证明 1. x( P （ x ）（ y ） → Q （ x ） ) 前提引入 2. P(a) 前提引入 3. P （ a ） → Q （ a ）全称指定 4. Q(a) 假言推理

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.2.4 谓词知识表示逻辑是一中重要的知识表示方法 .谓词表示的优点 1. 表达能力强 . 2. 谓词的真值可以随参数的变化而变化 3. 可以在不同的知识之间建立起联系

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.2.4 谓词知识表示谓词逻辑获得广泛应用的原因1. 谓词逻辑与数据库有密切联系 .2. 一阶谓词逻辑具有完备的推理算法 .3. 谓词逻辑具有可靠的数学基础 .4. 能够保证新增添的知识具有一致性 .

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.2.4 谓词知识表示例一个房间里有一个机器人 Robot, 一个积木块 Box, 两个桌子 A 和 B, 用逻辑描述从初始状态到目标状态的操作过程 .

谓词 :

Table(A) A 是桌子EmptyHanded(Robot) 机器人的手是空的At(Robot, A) 机器人 Robot 在 A旁Holds( Robot, Box) 机器人 Robot拿着 Box

On(Box, A) 积木块 Box 在 A 上初始状态EmptyHanded(Robot)

On(Box, A)

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.2.4 谓词知识表示Table(A)

Table(B)

目标状态EmptyHanded(Robot)On(Box, B)Table(A)Table(B)机器人的动作的描述 , 3 部分前提条件增加表删除表例如 : 机器人把 Box从 A桌移到 B桌前提条件 Holds( Robot, Box) 增加表 On(Box, B)删除表 On(Box, A)

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理

Skolem 标准型要想在谓词逻辑中应用归结原理，需要首先把谓词逻辑公式转换成子句。因为谓词逻辑包含谓词和量词，这种转换要比命题逻辑中公式的转换复杂得多，下面我们介绍转换的步骤：1. 利用等价公式 P←→ 　 Q =( P→Q)∧ (Q←P)和 P→Q=~P∨Q 删去公式中的←→　符号和→符号，这个步骤与命题逻辑的对应处理方式相同。2. 利用 De Morgan 律把所有的否定符号移到每个原子之前 .

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理3. 把变量标准化 . 因为根据变量的改名规则，量词所约束的变量可以在量词作用范围内用另外变量代替。我们可以对变量适当地改名 , 使每一个量词所约束的变量都有不同的名字 . 例如 , 谓词公式（ x ） P （ x ）∨ (x) Q （ x ）改写成（ x ） P （ x ）∨ (y )Q （ y ） .4. 删除公式中的存在量词 . 例如 , 谓词公式（ x)(y)P （ x, y) 在删去存在量词之后 , 变成（ x)P （ x, f(x)) , 在删去存在量词之后 , 这个存在量词所约束的变量的每次出现都用一个函数代替 , 这个函数的自变量是约束范围包含删除的存在量词的所有全称量词限制的变量 . 这个函数也叫做 Skolem函数 . 把删除存在量词 ,将存在量词限制的变量用对应的 Skolem函数代替的过程叫做 Skolem 化过程 . 结果叫做 Skolem 范式 .

)]()()()[~( xQxxPx )]()()()[~( xQxxPx )]()()()[~( xQxxPx

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理例将下式化为 Skolem 标准型 :～ ( （ x) (y )P(a,x,y) → (x )( ～（ y ） Q(y,b) →R(x)))～ ( ～（ x) (y )P(a,x,y) ∨ (x )( ～～（ y ） Q(y,b) ∨ R(x)))（ x) (y )P(a,x,y) ∧ ～ (x )( （ y ） Q(y,b) ∨ R(x)))（ x) (y )P(a,x,y) ∧ ( x )( （ y ）～ Q(y,b) ∧ ～ R(x)))（ x) ((y )P(a,x,y) ∧ ( （ y ）～ Q(y,b) ∧ ～ R(x)))（ x) ((y )P(a,x,y) ∧ ( （ z ）～ Q(z,b) ∧ ～ R(x)))（ x) (y ) （ z ） ( P(a,x,y) ∧ ～ Q(z,b) ∧ ～ R(x))（ x) （ z ） ( P(a,x,f(x)) ∧ ～ Q(z,b) ∧ ～ R(x))（ x) ( P(a,x,f(x)) ∧ ～ Q(g(x),b) ∧ ～ R(x))

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 (子句集 )文字我们把命题原子称作正文字，例如 P(x), Q(y,b), R(w,c)…., 等等，把带有非符号的命题原子叫做负文字，例如 ~P(y), ~Q(a,b), ~R(x,y,z)…., 等等，把正文字和负文字统称为文字。子句单个文字，文字的析取构成的命题逻辑公式叫做子句。例如， P, ~Q(x) , P(x) ∨ ~ Q(y,b), 都是子句。子句集若干子句的集合 .一个命题逻辑公式可以采用如下方式转换成等价的子句的合取形式 , 即合取范式： 1. 利用等价公式 P←→ 　 Q =( P→Q)∧ (Q←P)和 P→Q=~P∨Q 删去公式中的←→　符号和→符号 .2. 利用 De Morgan 律把所有的否定符号移到每个原子之前 .3. 利用分配律得到子句的合取形式

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 (子句集 )4. 把公式变换成 Skolem标准型 .

5. 把 Skolem标准型中子句提出 . 表示为集合形式 .

定理 3.1 公式 G 是不可满足的 , 当且仅当其子句集 S 是不可满足的 ,

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 替换与合一 )

在命题逻辑归结中 , 需要两个子句有互补文字 , 这两个文字除了否定符号之外是完全相同的 . 但在谓词逻辑中包含变量 , 而变量可以指定成其他任何常量 , 变量 , 或者函数项 , 可以在指定后再实施归结 , 因此即使两个项不完全相同 , 也可能进行归结 . 例如 , 设有谓词逻辑子句 c1 和 c2 ，　 c1=P(x)~ Q(x,y) c2= ~ P(f(a)) R(x,b),∨ ∨ 表明上看来没有互补文字 , 但是 , 如果把 c1 和 c2 中的 x都指定成 f(a), 则有互补对 P(f(a)) 和 ~ P(f(a)), 这时 c1 和 c2 就可以归结得到 ~ Q(f(a),y)∨R(f(a),b), 这种为变量的指定称为替换 , 本节我们先介绍替换 .

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 替换与合一 )替换是如下形式的偶对组成的集合 :s = { t1/ v1, t2/ v2,…, tn/ vn, }其中 t1, t2,…, tn 是项 , v1, v2,…, vn 是彼此不同的变量 , ti 中不包含变量 vi. 例如 , 下面的 4 个偶对集合是 4 个替换 :s1 = {z/x, w/y} s2 = {A /y} s3 = {g(z)/x, A/y} s4 = {C/x, A/y} 把替换 s 用于表达式 E 是把 E 中变量 vi 的每次出现都用对应的项 ti 代替 (i =1,2,…, n ), 成为表达式 E 的替换例，记为 Es. 例如，设 E = P(x, f(y), B), 则Es1 = P(z, f(w), B)Es2 = P(x, f(A), B)Es3 = P(g(z), f(A), B)Es4 = P(C, f(A), B)

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 替换与合一 )设 s1 和 s2 是两个替换，s1= { t1/ x1, t2/ x2,…, tn/ xn }s2 = {u1/ y1, u2/ y2,…, un/ yn }我们可以利用 s1 和 s2 组合产生一个新的替换，这种组合相当于引进替换中的一种运算，记为 s1s2, 其结果是把 s2 用在 s1 的所有的项 ti 上 (i =1,2,…, n )，然后把 s2 中加进去，得到 { t1s2/ x1, t2s2/ x2,…, tns2/ xn, u1/ y1, u2/ y2,…, um/ ym}再删除一些不符合替换要求的偶对 :tis2=xi, s2变量在 s1出现的偶对。例如，设：s1= { f(y)/ x , z/y}, s2 = { a/ x, b/ y, y/ z }则从集合中 { f(b)/ x , y/y, a/ x, b/ y, y/ z }删除 y/y ， a/ x ， b/ y, 得到 s1s2={ f(b)/ x , y/ z }

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 替换与合一 )替换的复合运算满足结合律，不满足交换律。

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 替换与合一 )设 {E1, E2, …, En}是一个表达式集合，如果存在一个替换 s，把 s用于这个表达式集合的替换例集合满足 E1s = E2s= ,…,= Ens, 则称该表达式集合是可合一的，而 s称为该表达式集合的合一替换。例如，设 E1=P(x, f(y),B), E2=P(x, f(B),B), s={ A/ x, B/ y}, 则容易验证 E1s = E2s= P(A, f(B),B) 因此 E1 和 E2是可合一的。尽管这个替换 s可以使 E1 和 E2 合一，但 s 并不是最简单的。在谓词逻辑归结中，我们总希望使用最简单的合一。因此下面给出最一般合一的概念。设设 {E1, E2, …, En}是一个表达式集合， g是该表达式集合的一个合一替换 , 如果对任何合一替换 s, 都有替换 s’, 满足 s = gs’，则称 g是 {E1, E2, …, En}的最一般合一替换。在我们上述的例子中，最一般合一替换是个 g={ B/ y}, s = g {A/x}.

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 替换与合一 )求最一般合一算法1. 令W={F1, F2}2. 令 k=0, W0=W, s0={}3. 如果 Wk已合一 , 停止 , sk=mgu, 否则 , 找不一致集合 Dk,4. 如果 Dk中存在元素 vk和 tk, 并且 vk不出现在 tk中 , 转5, 否则不可合一 .5. sk+1=sk{tk/vk}, Wk+1=Wk{tk/vk}6, k=k+1, 转 3.

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 替换与合一 )

例 , 设 f1=P(a,x,f(g(y))), F2=P(z, f(a), f(u))

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 (归结式 )谓词逻辑归结式设　 c1, c2 是两个子句，　为叙述方便，我们假定子句都写成文字集合的形式，而把这些集合中文字的关系约定为析取。 c1={L1} D1, c2={~L2}∪

D2 , ∪ 其中 L1 ， L2 是可合一的原子，假设它们的最一般合一是 s ，　 D1 和 D2 为子句．　则 c1, c2 的归结式 r 为：[(c1 ―{L1 }) (c2―{~L2})] s∪在对子句实施归结之前，为了避免不必要的混淆，我们对子句中的变量进行改名，使得各子句中的变量都使用不同的名字。例如，假设我们想要对两个子句 P(x) Q(f(x)) ∨ 和 R(g(x)) ~ Q(f(A))∨ 实施归结，我们先把第二个子句中变量进行改名，得到 R(g(y)) ~ Q(f(A)), ∨ 然后通过归结得到 P(A) ∨R(g(y)), 这种变量改名的过程也叫做变量的分离标准化。

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 (归结式 )例 (1) c1= P(x) Q(x,y) ∨ 和 c2=~ P(a) ~ R(b, z) ∨ 它们的归结式 R(c1, c2)= Q(a,y) ~ R(b, z) ∨例 (2) c1= P(x, y) Q(x) R(x) ∨ ∨ 和 c2=~ P(a, z) ~ Q(b) ∨ 它们的归结式 R(c1, c2)= Q(a) R(a) ~ Q(b) ∨ ∨ 或者 P(b, y) R(b) ~ P(a, z)∨ ∨

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 (归结过程 )

谓词逻辑中归结方法的主要思想与命题逻辑相同。假设我们想从公式集合 SF = {f1, … , fn}出发证明公式 g, SF 称为前提集合， g称为结论，我们先把 f1, … , fn 和 g 转换成子句集 Cf1, … , Cfn 和 Cg, 设 SC = Cf1 , … , Cfn Cg为初始子句集，然后在 SC 的子句间实施归结，不断地加入新的归结式，然后继续归结，当子句集中出现了空子句时，我们就证明了 SF g, 即证明了 g是 SF 的逻辑结果。


例假设任何任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的，任何肯学习或幸运的人都可以通过所有的考试，张不肯学习但他是幸运的，任何幸运的人都能获奖。求证：张是快乐的。R1:任何任何通过计算机考试并获奖的人都是快乐的（ x)((Pass(x, computer) Win(x, prize)) →Happy(x))∧R2:任何肯学习或幸运的人都可以通过所有的考试，（ x) （ y) ((Study(x) Lucky(x)→ )((Pass(x, y))∨

R3:张不肯学习但他是幸运的 ~Study(zhang) Lucky(zhang)∧R4:任何幸运的人都能获奖（ x) (Lucky(x)→ Win(x, prize))


要证的结果：张是快乐的。Happy(zhang)

转换为子句1. ~ Pass(x, computer) ~∨ Win(x, prize)) ∨ Happy(x))

2. ~ Study(y) Pass(y, z)∨3. ~ Lucky(u) Pass(u, v)∨4. ~Study (zhang)

5. Lucky(zhang)

6. ~ Lucky(x) Win(x, prize)∨7. ~ Happy(zhang)

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 (归结过程 )8. ~ Pass(w, computer) Happy(w)) ~ Lucky(w) 1,6 {w/x}∨ ∨9. ~ Pass(zhang, computer) ~ Lucky(zhang) 7,6 {zhang/w}∨10. ~ Pass(zhang, computer) 9,5

11. ~ Lucky(zhang) 10,3 {zhang/u, computer/v}

12. {} 11, 5

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 控制策略 )

1. 最简单的控制方式是宽度优先方式，我们把归结的初始集合 S 中的子句叫做 0层子句集，先在 0层子句集中的字句实施归结，考虑 0层子句集中的所有子句对，把所有能归结的子句对都实施归结，产生所有的归结式加入到 0层子句集中，得到 1 层子句集。然后考虑 1层子句集中的所有子句对，把所有能归结的子句对都实施归结，产生所有的归结式加入到1层子句集中，得到 2 层子句集。按照上述方式一层一层地进行归结，直至到包含空子句的某一层为止。显然这种宽度优先方式所产生的无用的归结式最多，效率因此也最低。但是宽度优先归结是完备的，即如果从子句 S 能推出矛盾，则宽度优先归结一定能得到空子句。

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 控制策略 )例 4.4 考虑如下谓词逻辑证明问题：所有能读书的人都是识字的，海豚不识字，某些海豚是有智能的，证明有些动物有智能但不会读书。为描述这个推理问题，我们引进四个谓词： R(x) ： x 能读书， L(x) ： x识字， D(x) ： x 是海豚， I(x) ： x 是有智能的。利用上述谓词，我们可以把例子提出的问题描述成谓词逻辑公式：

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 控制策略 ) 1．所有能读书的人都是识字的 f1 = (x) [R(x) L(x)] 2．海豚不识字 f2 = (x) [D(x) L(x)] 3．某些海豚是有智能的 f3 = ( x) [D(x) I(x)] 4．有些动物有智能但不会读书 g = ( x) [I(x) R(x)] 我们希望从 {f1, f2, f3} 证明出 g, 首先把上述谓词公式转换成字句，并进行变量分离标准化，对应的数字标出了从谓词公式得到的字句，从 f3 可以得到两个字句（ 3a ）和（ 3b ） , 子句中的 A 是通过 Skolem 化得到的。 (1) R(x) L(x) (2) D(y) L(y) (3a) D(A) (3b) I(A) 把要证的结论的否定 ~g 转换成子句为： (4) I(z) R(z) 在上述子句间实施归结，不断地加入新的归结式，然后继续归结，


I(A) I(z) R(z) R(x) L(x) D(y) L(y) D(A)

R(A) I(z) L(z) R(y) D(y) L(A)

L(A) D(A)

初始层，第 0 层

第 1 层

第 2 层

宽度优先归结

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 控制策略 )控制策略的目的是避免多余的归结式的出现 , 提高归结的效率 .

1. 解决归结过程中组合爆炸问题 2. 减少多余的归结式 .

3. 删除不必要的子句 , 对参加归结的子句加以限制

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 控制策略 )删除策略归类 (subsume)

设有两个子句 C 和 D, 如果有替换使得 Cs 是 D 的子集 , 则称子句 C把子句 D 归类 .

例 , 设 C = P(x), D=P(a) Q(y)

则子句 C 把子句 D 归类 .

删除策略 : 1. 含有恒真式的子句 .

2. 被子句集中其他子句归类的子句 .

例如 , 初始子句集为 {P(a) Q(y) , P(a) Q(y), P(x) , Q(y)}

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 控制策略 )2. 当我们使用反证法进行推理时，我们把结论 g的否定 ~g加入到前提集合 SP 中，并想从由此得到的集合中推出矛盾。但是，前提集合 SP 一般说来是相容的，仅利用从前提集合一般说来不能推出矛盾。要想推出矛盾，必须使用 ~g。因此 ~g在反证法中有着特殊的作用。把这个规律应用在归结方法中，我们把由 ~g产生的子句，或 ~g 产生的子句与其他子句产生的归结后裔叫做支架集。支架集归结要求在归结过程中选择亲本子句时，两个子句至少有一个是取自支架集。支架集归结的效率比宽度优先归结要高，并且是完备的。


例如 , 前提子句集为 {P Q , P R, Q R}

要证的目标是 R

采用支架集的归结过程如下 :

1 R 目标的否定2 Q R 前提3 Q 1,2

4. P Q 前提5 P 3,4

6 P R

7 P 1,6

8 {} 5,7 书上的例有问题

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 控制策略 )语义归结策略1. 利用一个解释把子句分成两个子句集 , 限制同集合内的子句的归结2. 把原子谓词排序 , 约定归结时 , 其中一个子句的归结文字只能是该子句的最大文字 .例如 , 前提子句集为 { P Q R , P R, Q R, R}取解释 I={ P, Q, R}, 规定 P>Q>R则 I 将初始子句集分成两个子句集 ,S1 和 S2, S1= {P R, Q R,}, S2= { P Q R, R}1. P Q R S22. P R S13. Q R S14. Q R S2, from 1,25. R 3,46. R S27. {} 5,6

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 控制策略 )与支架集策略一样 , 语义归结的效率比宽度优先归结要高，并且是完备的。语义归结的关键是如何寻找恰当的解释 , 把子句分成两个子句集 ,

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 控制策略 )线性归结策略线性归结策略首先从子句集中选取一个子句 C0开始归结 , C0 称为顶子句 ,然后 , 每次归结都使用 C0 的后继子句 , 在得到 C0 的后继子句 Ci 后 , 立即同另一个子句进行归结 , 得到 Ci+1, 如下图所示

C0

C1

B0

C2

{}

B0 B0…

….

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 控制策略 )单元归结策略只由一个文字构成的子句叫单元子句 , 如果归结过程中两个亲本子句至少有一个是单元子句 , 则所得归结式比较简单 , 相当于把另外一个子句删除一个文字 , 因此 , 如果子句集中有单元子句 , 我们应尽可能优先使用单元子句实施归结 . 如果归结过程中两个亲本子句至少有一个是单元子句 , 这种归结称做单元归结 . 例如 , 图 4.8 所示归结也是单元归结 . 显然 , 仅使用单元归结并不能保证在矛盾的子句集中一定能得到空子句 , 因此单元归结是不完备的 , 但是我们可以把优先使用单元归结作为一个原则 , 以提高归结方法的效率 .例如 , 前提子句集为 { P Q R , P R, Q R, R}归结过程先选择 R.

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能3.3 谓词归结原理 ( 控制策略 )输入归结策略要求在归结过程中 , 每一次归结的过程中两个子句必须有一个是初始子句集中的子句 .

输入归结是不完备的 .

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能设 F 是谓词语句集合， g 是一个谓词语句，语句序列 f1, f2, …, fn称做是由 F 出发而得到 g 的一个证明过程，如果：1 。 fi 是 F 中的公式，或者2 。 fi 是对 fj 和 fk 使用推导公式所得到的逻辑结果。3 。 fn=g这时，我们也称之为语句集合 F 推导出 g 。例：设 F 是谓词语句集合， g 是一个谓词语句， F ={(P Q), (P→R), (Q → S)}, g= S R∨ ∨ 证明语句集合 F 推导出 g 。我们可以使用如下的语句序列 1 。 P Q ∨ （语句 1 取自前提集合） 2 。﹁ P →Q ( 语句 2 是语句 1 的等价公式 ) 3 。 Q → S （语句 3 取自前提集合）

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能 4 。﹁ P →S （由 2 ， 3 ，使用蕴涵的传递性） 5 。﹁ S →P (由 4 ，语句 5 是语句 4 的等价形式 ) 6 。 P→R （语句 6 取自前提集合） 7 。﹁ S →R （由 5 ， 6 ，使用蕴涵的传递性） 8 。 S R (∨ 由 7 ，语句 8 是语句 7 的等价形式 ) 语句 8.也就是要证明的公式 g.定理：设 F 是命题语句集合， g 是一个命题语句，从语句集合 F 推导出 g 的充分必要条件是 g 是 F 的逻辑结果。

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能定义：逻辑结果设 S 是一个语句集， X 是一个语句，如果 S 所有模型都是 X 的模型，则称 X 是 S 的逻辑结果。定义：可靠性与完备性设 S 是一个语句集， p 是证明过程。如果从 S 出发利用 p 得到的语句都是 S 的逻辑结果，则称 p是可靠的。如果 S 的逻辑结果都可以从 S 出发利用 p 推导得到，则称 p是可靠的。

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能定义：假言推理，拒式假言推理，与删除，与引入，全称例化

假言推理： P, P->Q, Q拒式假言推理：﹁ Q, P->Q, ﹁ P,

与删除： P∧Q => P, Q与引入： P, Q => P∧Q

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能例。 man(x):x 是人 mortal(x) :x 必定要死的 man(Socrates): 苏格拉底是人

))()(( xmortalxmanx

)()( SocratesmortalSocratesman

)(Socratesmortal

全称例化假言推理

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能合一算法 unification为什么我们需要合一算法

(xA)

我们必须知道 P(x) 和 P(a) 是可以通过替换变为相同的表达式替换（ substitution ） : 由偶对 ti/vi 做成的集合 {t1/v1, t2/v2, … , tn/vn} 其中， t1, t2, … , tn 是项 , v1, v2, … , vn 是变量 .

( P(x) Q(x)), P(a)

Q(a)

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能替换的结果：设 E 是谓词语句， s 是替换，对 E 使用替换的结果是把 E 中出现的所有变量用对应的项代替，其结果记为 Es.

The result of using a substitution s to a expression E is such a expression that each occurrence of a variable have the same term substituted for it, the result is denoted by Es.

例如 : E = P[x, f(y), B], s1={z/x, w/y} Es1= P[z, f(w), B],

替换的复合：设 s1 和 s2 是两个替换 ,

s1= {t1/v1, t2/v2, … , tn/vn} s2={ w1/y1, w2/y2, … , wn/yn }

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能 s1 和 s2 的复合是把 s2 用于 s1 的项，在产生的偶对集合中加上 s2 的变量不在 s1 中的偶对。 The composition of s1 and s2 is a substitution, which is obtained by applying s2 to the terms of s1 and then adding any pairs of s2 having variables not occurring among the variables of s1例 s1={g(x,y)/z} , s2={A/x, B/y, C/w, d/z}s1＊ s2 = {g(A,B)/z, A/x, B/y, C/w}

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能替换的复合具有结合律（ associative ） :(s1s2)s3=s1(s2s3)但一般说来是不可交换的s1s2≠s2s1 合一（ unification） : 设 E1 和 E2 是两个语句 , s 是一个替换 , 如果 E1s = E2s, 则 E1 和 E2 称做是可合一的（ unifiable ）， s 叫做它们的合一替换（ unifier ） . 例 E1= P[x, f(y), B], E2= P[x, f(B), B], s={A/x, B/y} 则 E1s = E2s, s是 E1 和 E2 合一替换 .定义最一般合一替换（ The most general unifier, mgu ）：设 s1 和 s2 是两个替换 , 设 E1 和 E2 是两个语句 , g 是它们的一个替换 , 如果对于它们的任意替换 s, 均有： s = gs’. 则称 g是最一般合一替换。 G = {B/y} is mgu.

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能function UNIFY(E1, E2) begin case both E1 and E2 are constants or the empty list: if E1 = E2 are then return NIL, else return FAIL E1 is a variable: if E1 occurs in E2, return FAIL else return {E2/E1} E2 is a variable, if E2 occurs in E1, return FAIL else return {E1/E2} either E1 or E2 are empty then return FAIL otherwisebegin HE1 first (E1); HE2 first (E2); SUB1 UNIFY(HE1, HE2)

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能if SUB1 = FAIL, return FAIL TE1 apply(SUB1 ,tail(T1)) TE2 apply(SUB1 ,tail(T2)) SUB 2 = UNIFY(TE1, TE2) if SUB2 = FAIL, return FAIL else return composition (SUB1 and SUB2 ) end endend例 E1 = (parent X (father X) (mother bill)) E2 = (parent bill (father bill) Y) mgu(E1, E2)={bill/X, (mother bill) /Y} The instance of unification is E2 = (parent bill (father bill) (mother bill))

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能1. UNIFY((parent X (father X) (mother bill)), (parent bill (father bill) Y) )

2.UNIFY(parent, parent) 3. UNIFY((X (father X) (mother bill)), bill (father bill) Y) )

4. UNIFY(X, bill) 5. UNIFY(((father bill) (mother bill)), (father bill) Y) )

6. UNIFY((father bill), (father bill) ) 11. UNIFY( (mother bill)), (Y) )

13. UNIFY( (),())12. UNIFY( (mother bill), Y )

( )

(bill/X)

((mother bill)/Y) ( )

((mother bill)/Y)

(mother bill)/Y)

(mother bill)/Y, bill/X)

( )

吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能5. UNIFY(((father bill) (mother bill)), (father bill) Y) )

6. UNIFY((father bill),(father bill) )

7. UNIFY(father, father) 8. UNIFY(( bill),(bill) )

9. UNIFY(bill,bill ) 10. UNIFY(( ),() )

( )

( )

( )

( )

( )

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能2.4 应用：一个基于逻辑的财务顾问假设有一个投资者有 22000 存款， 25000 的稳定收入，供养 3 个人，问他应该如何投资？投资（股票，存款）的原则：1 。存款不充足的人应首选存款，无论收入如何。2 。存款充足且收入较高的人应选择股票。 3 。存款充足且收入较低的人应选择股票和存款结合。知识表示：使用谓词演算（依据书上思想，这里做了修改）命题： adequate: 1 表示充足， 0 表示不充足 income: 1 表示高， 0 表示低谓词： investment(x)

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能adequate: 1 表示充足， 0 表示不充足 income: 1 表示高， 0 表示低谓词： investment(x) ：一元谓词 x 的取值范围为： {savings, stocks, combination} investment(savings): 如某人投资存款，则为真，否则为假 investment(stocks ): 如某人投资股票，则为真，否则为假 investment(combination): 如某人结合投，则为真，否则为假上述 3 条原则表示为： ┒ adequate → investment(savings ) adequate income → investment(stocks ) ∧ adequate income → investment(combinations) ∧┒

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能具有什么样的条件才算是具有足够存款呢？存款量 >=22000 ，供养人数 <3并且存款量 >5000*供养人数定义谓词 account-saved(x), dependent(x) account-saved(x)=gearter(x,22000) or equal(x,22000) dependent(x)= less(x, 3), 于是，具有足够存款可表示为： for all x account-saved(x) ∧ E y (dependent(y) ∧ greater(x, 5000*y)) --> adequate

具有什么样的条件才算是收入较高呢？收入 25000 以上，稳定，供养人数 <3 且收入超过最低收入minicome(x),其中 minicome （ x)=15000+4000*x(x 为投资者供养的人数 ) 引入命题 steady: steady=1 表示稳定， steady=0 表示不稳定。

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能引进谓词 earning(x)=graeter(x, 25000),收入较高可以表示为： earning(x) steady exist y (dependent(y) greater(x, mini∧ ∧ ∧come(y)) → income 其中 minicome(y) = 15000 + 400*y 假设有一个投资者有 22000存款， 25000 的稳定收入，供养 3 个人，我们得到由如下语句组成的集合 1. adequate → investment(savings ) ┒ 2. adequate income → investment(stocks ) ∧ 3. adequate income → ∧┒ investment(combinations) 4. all x account-saved(x) exist y (dependent(y)∧ great(x, 5000*y)) → adequate∧ 5. earning(x) steady exist y (dependent(y)∧ ∧ greater(x, minicome(y)) → income

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能account-saved(22000) earning(25000) steady dependents(3) 对于这个投资者来说，minicoming(3)= 15000+3*4000=27000 第 5 个语句的第 3 个前提条件不满足。所以 income 为假，根据语句 3 ，应选择结合投资。

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吉林大学珠海学院计算机科学与技术系人工智能习题1 。使用真值表证明 P∨(Q∧R) ≡( P∨Q) ∧ ( P∨R) 2. Textbook P65, 2-23. Textbook P65, 2-34. Textbook P65, 2-45. Textbook P65, 2-5, b)6. Textbook P66, 2-67. Textbook P66, 2-78*. 设一个命题逻辑语言由两个命题原子 P, Q 以及命题连接符组成，利用这个语言一共可以写出多少个互不等价的命题公式，用蕴涵表示出这些公式之间的关系。

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第 3 章 谓词逻辑和归结原理

第 3 章谓词逻辑和归结原理