Embed Size (px)
Citation preview
52
Κεφάλαιο 3 Εξέλιξη στο Χρόνο
Περιεχόμενα Κεφαλαίου Τα θέματα που θα καλύψουμε στο κεφάλαιο αυτό είναι τα εξής (Μοδινός 1994 Ταμβάκης 2003 Τραχανάς 2005β Τραχανάς 2008 Binney amp Skinner 2013 Fitzpatrick 2010 Gasiorowicz 2003 Griffiths 2004 Peleg et al 2010)
1 Θα δούμε ότι η χρονική εξέλιξη κβαντικών καταστάσεων προκύπτει από τη λύση διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης ως προς τον χρόνο Η διαφορική αυτή εξίσωση αποτελεί θεμελιώδη νόμο της κβαντομηχανικής και λέγεται laquoεξίσωση Schrodingerraquo
2 Από την εξίσωση του Schrodinger προκύπτει η χρονική εξέλιξη μέσων (αναμενόμενων) τιμών φυσικών μεγεθών Η διαφορική εξίσωση που προκύπτει αποτελεί το laquoθεώρημα Ehrenfestraquo και μοιάζει με αντίστοιχη εξίσωση της κλασικής μηχανικής όπου ο μεταθέτης τελεστών αντικαθίσταται από τις laquoαγκύλες Poissonraquo
3 Τέλος θα κάνουμε μια σύνοψη των βασικών σημείων του κεφαλαίου
3 Εξέλιξη στον Χρόνο
31 Χρονοεξαρτώμενη Εξίσωση Schrodinger Το βασικό ερώτημα που θα απαντήσουμε σε αυτή την ενότητα είναι το εξής Δεδομένης της κβαντικής κατάστασης |1205951199050⟩ σε μια αρχική στιγμή 1199050 ποιά είναι η κατάσταση του συστήματος σε μια επόμενη χρονική στιγμή t Το αντίστοιχο ερώτημα στην κλασική μηχανική αντιστοιχεί στην εύρεση της μελλοντικής θέσης και ταχύτητας (κλασικής κατάστασης) ενός σωματίου αν είναι γνωστή η αρχική θέση και αρχική ταχύτητά του Η χρονικά εξελιγμένη κατάσταση ενός κλασικού σωματίου προκύπτει με λύση της διαφορικής εξίσωσης που εκφράζει τον 2ο νόμο του Νεύτωνα η οποία είναι δεύτερης τάξης στη χρονική παράγωγο με αρχικές συνθήκες την αρχική θέση και ταχύτητα του σωματίου Ποιά είναι η αντίστοιχη διαφορική εξίσωση που θα πρέπει να λύσουμε στην κβαντική μηχανική για να βρούμε τη χρονικά εξελιγμένη κατάσταση του σωματίου
Η διαφορική εξίσωση για την εύρεση χρονικής εξέλιξης στην κβαντομηχανική είναι η χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger και είναι πρώτης τάξης ως προς τη χρονική παράγωγο Άρα ως αρχική συνθήκη απαιτείται μόνο η αρχική κατάσταση του σωματίου και όχι και η χρονική της παράγωγος όπως στην κλασική μηχανική
Η χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger που καθορίζει τη χρονική εξέλιξη κάθε ket στον χρόνο είναι της μορφής
119894ℏ120597|120595⟩120597119905
= 119867|120595⟩ (31)
όπου Η είναι η Hamiltonian του σωματίου που ως φυσικό μέγεθος είναι ερμητειανός τελεστής ( 119867dagger = 119867) Η εξίσωση αυτή αποτελεί θεμελιώδη νόμο της Φύσης και είναι συμβατή με τον νόμο του Νεύτωνα
στο όριο μακροσκοπικών συστημάτων όπως θα δούμε παρακάτω Με ερμητειανή συζυγία παίρνουμε την αντίστοιχη εξίσωση για την κατάσταση bra
minus119894ℏ120597⟨120595|120597119905
= ⟨120595|119867 (32)
όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι η Hamiltonian είναι ερμητειανός τελεστής
Άσκηση 31 Αποδείξτε τη σχέση (32) ξεκινώντας από τη σχέση (31)
53
311 Η χρονική εξέλιξη των ιδιοκαταστάσεων της Hamiltonian Για |120595⟩ = |1205500⟩ (ιδιοκατάσταση της Hamiltonian δηλαδή κατάσταση καθορισμένης ενέργειας) η χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger δίνει
119894ℏ120597|119864119899⟩120597119905
= 119867|119864119899⟩ = 119864119899|119864119899⟩ (33)
με λύση
|119864119899 119905⟩ = |119864119899 0⟩119890minus119894119864119899119905 ℏfrasl (34)
Καταλήγουμε επομένως στο σημαντικό αποτέλεσμα ότι για την ειδική περίπτωση ιδιοκαταστάσεων της Hamiltonian η χρονική εξέλιξη περιλαμβάνει μόνο πολλαπλασιασμό με εκθετικό φανταστικής φάσης Η φάση αυτή είναι ανάλογη με την αντίστοιχη ιδιοτιμή της ενέργειας
Άσκηση 32 Δείξτε ότι η (34) αποτελεί λύση της εξίσωσης Schrodinger (33)
312 Η χρονική εξέλιξη γενικής κατάστασης |120537⟩ Ας θεωρήσουμε μια γενική κατάσταση |120595⟩ ενός συστήματος Αναπτύσσουμε την |120595(119905)⟩ στη βάση ιδιοκαταστάσεως της ενέργειας |119864119899(119905)⟩ 119899 = 12hellip
|120595 119905⟩ =sum119886119899(119905)|119864119899 119905⟩119899
(35)
Αντικαθιστούμε το ανάπτυγμα στη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger (31)
120552|120595⟩ = 119894ℏ120597|120595⟩120597119905
=sum119894ℏ(119899|119864119899⟩ + 119886119899120597|119864119899⟩120597119905 ) =sum119886119899119867|119864119899⟩
119899119899
(36)
όπου η τελεία συμβολίζει χρονική παράγωγο και χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ο τελεστής της Hamiltonian δρα γραμμικά σε κάθε όρο του αθροίσματος (προφανώς μετατίθεται με τις παραμέτρους αn)
Με χρήση τώρα των σχέσεων (33) και (36) προκύπτει άμεσα ότι οι παράμετροι αn είναι χρονικά ανεξάρτητες
119899 = 0 (37)
Με χρήση τώρα των σχέσεων (35) (37) και (34) βρίσκουμε τη χρονική εξέλιξη της γενικής κατάστασης |ψ⟩ υπό την προϋπόθεση ότι γνωρίζουμε το ανάπτυγμα της αρχικής κατάστασης στη βάση ιδιοκαταστάσεων της Hamiltonian
|120595 119905rang =sum119886119899119890minus119894119864119899119905 ℏfrasl |119864119899 0rang119899
(38)
Άσκηση 33 Αποδείξτε τη σχέση (38)
Για την εύρεση της |120595(119905)⟩ παίζει καθοριστικό ρόλο η βάση καταστάσεων καθορισμένης ενέργειας που είναι και ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian Άρα η επίλυση της εξίσωσης ιδιοτιμών της Η (χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger)
119867|119864119899⟩ = 119864119899|119864119899⟩ (39)
54
είναι πολύ σημαντική για την εύρεση χρονικής εξέλιξης
32 Χρονική εξέλιξη αναμενόμενης τιμής φυσικού μεγέθους 119824(⟨120537|119824|120537⟩) Θα βρούμε τη διαφορική εξίσωση που διέπει τη χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής ⟨ψ|Q|ψ⟩ Από τις σχέσεις (31) (32) και με χρονική παραγώγιση της ⟨ψ|Q|ψ⟩ παίρνουμε
119894ℏ
119889119889119905
⟨120595|119876|120595⟩ = minus⟨120595|119867119876|120595⟩ + 119894ℏ ⟨120595| 120597119876120597119905 |120595⟩ + ⟨120595|119876119867|120595⟩
= ⟨120595|[119876 119867]|120595⟩ + 119894ℏ ⟨120595| 120597119876120597119905 |120595⟩
(310)
Η σχέση (310) αποτελεί το laquoθεώρημα Ehrenfestraquo που διέπει τη χρονική εξέλιξη της μέσης τιμής φυσικού μεγέθους Αντίστοιχη σχέση ισχύει στην κλασική μηχανική για τη χρονική εξέλιξη συνάρτησης Q της θέσης και της ορμής με αγκύλες Poisson αντί για μεταθέτη
Άσκηση 34 Αποδείξτε με μεγαλύτερη λεπτομέρεια τη σχέση (310) Από το θεώρημα Ehrenfest προκύπτει ότι αν ένας τελεστής δεν εξαρτάται εκπεφρασμένα από τον
χρόνο και μετατίθεται με τη Hamiltonian τότε η αναμενόμενη τιμή του είναι χρονικά αμετάβλητη (διατηρείται)
321 Ειδικές Περιπτώσεις Θα θεωρήσουμε τώρα δύο ειδικές περιπτώσεις στις οποίες η μέση τιμή φυσικού μεγέθους διατηρείται σταθερή στο χρόνο
1 Ας υποθέσουμε ότι [Q Η] ne 0 Q(t) = Q(0) δηλαδή o τελεστής που αντιστοιχεί στο φυσικό μέγεθος Q δεν εξαρτάται εκπεφρασμένα από τον χρόνο Ακόμα ας υποθέσουμε ότι |120595⟩ = |120550⟩ δηλαδή ότι η κατάσταση του συστήματος είναι ιδιοκατάσταση της Hamiltonian Τότε για τον ρυθμό μεταβολής της μέσης τιμής του Q έχουμε
119894ℏ119889119889119905
⟨119864|119876|119864⟩ = ⟨119864|(119876119867 minus 119867119876)|119864⟩ = (119864 minus 119864)⟨119864|119876|119864⟩ = 0 (311)
όπου χρησιμοποιήσαμε την εξίσωση ιδιοτιμών της Hamiltonian 119867|E⟩ = 119864|E⟩ 2 Ας υποθέσουμε ότι το φυσικό μέγεθος Q είναι η ίδια η Hamiltonian (119876 = 119867) η οποία όμως μπορεί
να εξαρτάται εκπεφρασμένα από τον χρόνο Τότε από τη σχέση (310) παίρνουμε άμεσα ότι
119889lang119864rang119889119905
= lang120597119867120597119905
rang (312)
αφού η Hamiltonian μετατίθεται με τον εαυτό της Άρα η μέση τιμή της ενέργειας διατηρείται όταν η Hamiltonian (το δυναμικό) δεν εξαρτάται εκπεφρασμένα από τον χρόνο
33 Σύνοψη Η χρονική εξέλιξη των κβαντικών καταστάσεων περιγράφεται με βάση την χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger (31) Απαιτείται γνώση μόνο της αρχικής κατάστασης που περιέχει όλη την πληροφορία των αρχικών συνθηκών Οι ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian έχουν πολύ απλή χρονική εξέλιξη η οποία δίνεται από την (34) Η χρονική εξέλιξη οποιασδήποτε κβαντικής κατάστασης προκύπτει από το ανάπτυγμα στις ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian (38) Η χρονική εξέλιξη της αναμενόμενης τιμής ενός τελεστή Q προκύπτει με χρήση της εξίσωσης Schrodinger μέσω του θεωρήματος Ehrenfest (σχέση (310))
55
Κριτήρια αξιολόγησης
(Λαγανάς2005αΛαγανάς 2005β Τραχανάς 2005βConstantinescu amp Magyari 1971Peleg et al 2010Squires 1995 Tamvakis 2005)
Κριτήριο αξιολόγησης 1
Η Hamiltonian συστήματος έχει ενεργειακό φάσμα 119812119847 = 119847120784ℇ όπου n=123hellip και οι αντίστοιχες κβαντικές καταστάσεις είναι |120783⟩ |120784⟩ hellip |119847⟩ Τη στιγμή 119957 = 120782 το σωμάτιο είναι στην κατάσταση
|120595(0)⟩ = 02|1⟩ + 03|2⟩ + 04|3⟩ + 0843|4⟩ (313)
Α Αν μετρήσουμε την ενέργεια Ε την 119957 = 120782 ποιά είναι η πιθανότητα να βρούμε την Ε με τιμή μικρότερη από 120788ℇ
Β Ποιά είναι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της ενέργειας την 119957 = 120782
C Βρείτε την |120537(119853)⟩ Παραμένουν οι απαντήσεις στα Α και Β ίδιες για 119957 gt 120782
D Κάποια στιγμή μετράμε την ενέργεια και βρίσκουμε 120783120788ℇ Ποιά είναι η κατάσταση του συστήματος μετά τη μέτρηση Ποιά τιμή θα πάρουμε αν επαναλάβουμε τη μέτρηση
Απαντήσεις Α Η πιθανότητα προκύπτει 013 (022+032) Β Οι πιθανότητες είναι
1198751 = 004 1198752 = 009 1198753 = 016 1198754 = 071 (314)
Έτσι βρίσκουμε
⟨119864⟩ = 132 ℇ ⟨1198642⟩ = 196 ℇ2 120590119864 = 467 ℇ (315)
C Έχουμε
⟨120595(119905)⟩ = 02119890minus119894ℇ119905 ℏfrasl |1⟩ + 03119890minus1198944ℇ119905 ℏfrasl |2⟩ + 04119890minus1198949ℇ119905 ℏfrasl |3⟩ + 084119890minus11989416ℇ119905 ℏfrasl |4⟩ (316)
D Μετά τη μέτρηση
|120595⟩ = |4⟩ (317)
Κριτήριο αξιολόγησης 2
Δείξτε ότι το μέτρο (μήκος) μιας κβαντικής κατάστασης δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο κατά την εξέλιξή της σύμφωνα με την εξίσωση Schrodinger
Λύση Έχουμε
56
119889119889119905
⟨120595(119905)|120595(119905)⟩ =119889⟨120595(119905)|
119889119905|120595(119905)⟩ + ⟨120595(119905)|
119889|120595(119905)⟩119889119905
(318)
Αλλά από τη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger έχουμε
119889119889119905
|120595(119905)⟩ =1119894ℏ
119867(119905)|120595(119905)⟩ (319)
ή
119889119889119905
⟨120595(119905)| = minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867dagger(119905) = minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867(119905) (320)
Από τις (318) (319) (320) παίρνουμε
119889119889119905
⟨120595(119905)|120595(119905)⟩ =119889⟨120595(119905)|
119889119905|120595(119905)⟩ + ⟨120595(119905)|
119889|120595(119905)⟩119889119905
= [minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867(119905)] |120595(119905)⟩⟨120595(119905)| [1119894ℏ
119867(119905)|120595(119905)⟩] = 0 (321)
Άρα το μέτρο της κβαντικής κατάστασης διατηρείται κατά τη χρονική εξέλιξη της κατάστασης
Άσκηση 35 Αποδείξτε το παραπάνω αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το θεώρημα Ehrenfest θέτοντας Q=I (ταυτοτικός τελεστής)
Ασκήσεις Πολλαπλής Επιλογής
Άσκηση 1
Για τον πλήρη καθορισμό της λύσης της χρονοεξαρτόμενης εξίσωσης Schrodinger απαιτείται η γνώση αρχικών τιμών για
a Την κυματοσυνάρτηση
b Τη χρονική της παράγωγο
c Και τα δύο
d Τίποτε από τα παραπάνω
Ορθή απάντηση a
Επεξήγηση Η εξίσωση Schrodinger είναι διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ως προς τον χρόνο και έτσι απαιτείται αρχική γνώση μόνο της κυματοσυνάρτησης
57
ΒιβλιογραφίαΑναφορές
Λαγανάς E (2005α) Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Λαγανάς E (2005β) Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Μοδινός Α (1994) Εισαγωγή στην κβαντική θεωρία της ύλης Αθήνα Εκδόσεις Παπασωτηρίου
Τραχανάς Σ (2005α) Κβαντομηχανικη Ι Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2005β) Προβλήματα Κβαντομηχανικής Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2008) Κβαντομηχανικη ΙI Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Binney J amp Skinner D (2013) The Physics of Quantum Mechanics Oxford UK Oxford University Press
Constantinescu F Magyari E (1971) Problems in Quantum Mechanics (Paperback) Oxford Pergamon Press
Fitzpatrick R (2010) Quantum Mechanics Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 2015 από httpfarsidephutexaseduteachingqmechqmechpdf
Gasiorowicz S (2015) Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση) Αθήνα Κλειδάριθμος
Griffiths D J (2004) Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition Upper Saddle River NJ Prentice Hall
Peleg Y Pnini R Zaarur E Hecht E (2010) Schaumrsquos Outline of Quantum Mechanics (Schaumrsquos Outlines) (2nd edition) McGraw-Hill
Squires GL (1995) Problems in Quantum Mechanics with solutions Cambridge UK Cambridge University Press
Tamvakis K (2005) Problems and Solutions in Quantum Mechanics New York Cambridge University Press
53
311 Η χρονική εξέλιξη των ιδιοκαταστάσεων της Hamiltonian Για |120595⟩ = |1205500⟩ (ιδιοκατάσταση της Hamiltonian δηλαδή κατάσταση καθορισμένης ενέργειας) η χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger δίνει
119894ℏ120597|119864119899⟩120597119905
= 119867|119864119899⟩ = 119864119899|119864119899⟩ (33)
με λύση
|119864119899 119905⟩ = |119864119899 0⟩119890minus119894119864119899119905 ℏfrasl (34)
Καταλήγουμε επομένως στο σημαντικό αποτέλεσμα ότι για την ειδική περίπτωση ιδιοκαταστάσεων της Hamiltonian η χρονική εξέλιξη περιλαμβάνει μόνο πολλαπλασιασμό με εκθετικό φανταστικής φάσης Η φάση αυτή είναι ανάλογη με την αντίστοιχη ιδιοτιμή της ενέργειας
Άσκηση 32 Δείξτε ότι η (34) αποτελεί λύση της εξίσωσης Schrodinger (33)
312 Η χρονική εξέλιξη γενικής κατάστασης |120537⟩ Ας θεωρήσουμε μια γενική κατάσταση |120595⟩ ενός συστήματος Αναπτύσσουμε την |120595(119905)⟩ στη βάση ιδιοκαταστάσεως της ενέργειας |119864119899(119905)⟩ 119899 = 12hellip
|120595 119905⟩ =sum119886119899(119905)|119864119899 119905⟩119899
(35)
Αντικαθιστούμε το ανάπτυγμα στη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger (31)
120552|120595⟩ = 119894ℏ120597|120595⟩120597119905
=sum119894ℏ(119899|119864119899⟩ + 119886119899120597|119864119899⟩120597119905 ) =sum119886119899119867|119864119899⟩
119899119899
(36)
όπου η τελεία συμβολίζει χρονική παράγωγο και χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι ο τελεστής της Hamiltonian δρα γραμμικά σε κάθε όρο του αθροίσματος (προφανώς μετατίθεται με τις παραμέτρους αn)
Με χρήση τώρα των σχέσεων (33) και (36) προκύπτει άμεσα ότι οι παράμετροι αn είναι χρονικά ανεξάρτητες
119899 = 0 (37)
Με χρήση τώρα των σχέσεων (35) (37) και (34) βρίσκουμε τη χρονική εξέλιξη της γενικής κατάστασης |ψ⟩ υπό την προϋπόθεση ότι γνωρίζουμε το ανάπτυγμα της αρχικής κατάστασης στη βάση ιδιοκαταστάσεων της Hamiltonian
|120595 119905rang =sum119886119899119890minus119894119864119899119905 ℏfrasl |119864119899 0rang119899
(38)
Άσκηση 33 Αποδείξτε τη σχέση (38)
Για την εύρεση της |120595(119905)⟩ παίζει καθοριστικό ρόλο η βάση καταστάσεων καθορισμένης ενέργειας που είναι και ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian Άρα η επίλυση της εξίσωσης ιδιοτιμών της Η (χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrodinger)
119867|119864119899⟩ = 119864119899|119864119899⟩ (39)
54
είναι πολύ σημαντική για την εύρεση χρονικής εξέλιξης
32 Χρονική εξέλιξη αναμενόμενης τιμής φυσικού μεγέθους 119824(⟨120537|119824|120537⟩) Θα βρούμε τη διαφορική εξίσωση που διέπει τη χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής ⟨ψ|Q|ψ⟩ Από τις σχέσεις (31) (32) και με χρονική παραγώγιση της ⟨ψ|Q|ψ⟩ παίρνουμε
119894ℏ
119889119889119905
⟨120595|119876|120595⟩ = minus⟨120595|119867119876|120595⟩ + 119894ℏ ⟨120595| 120597119876120597119905 |120595⟩ + ⟨120595|119876119867|120595⟩
= ⟨120595|[119876 119867]|120595⟩ + 119894ℏ ⟨120595| 120597119876120597119905 |120595⟩
(310)
Η σχέση (310) αποτελεί το laquoθεώρημα Ehrenfestraquo που διέπει τη χρονική εξέλιξη της μέσης τιμής φυσικού μεγέθους Αντίστοιχη σχέση ισχύει στην κλασική μηχανική για τη χρονική εξέλιξη συνάρτησης Q της θέσης και της ορμής με αγκύλες Poisson αντί για μεταθέτη
Άσκηση 34 Αποδείξτε με μεγαλύτερη λεπτομέρεια τη σχέση (310) Από το θεώρημα Ehrenfest προκύπτει ότι αν ένας τελεστής δεν εξαρτάται εκπεφρασμένα από τον
χρόνο και μετατίθεται με τη Hamiltonian τότε η αναμενόμενη τιμή του είναι χρονικά αμετάβλητη (διατηρείται)
321 Ειδικές Περιπτώσεις Θα θεωρήσουμε τώρα δύο ειδικές περιπτώσεις στις οποίες η μέση τιμή φυσικού μεγέθους διατηρείται σταθερή στο χρόνο
1 Ας υποθέσουμε ότι [Q Η] ne 0 Q(t) = Q(0) δηλαδή o τελεστής που αντιστοιχεί στο φυσικό μέγεθος Q δεν εξαρτάται εκπεφρασμένα από τον χρόνο Ακόμα ας υποθέσουμε ότι |120595⟩ = |120550⟩ δηλαδή ότι η κατάσταση του συστήματος είναι ιδιοκατάσταση της Hamiltonian Τότε για τον ρυθμό μεταβολής της μέσης τιμής του Q έχουμε
119894ℏ119889119889119905
⟨119864|119876|119864⟩ = ⟨119864|(119876119867 minus 119867119876)|119864⟩ = (119864 minus 119864)⟨119864|119876|119864⟩ = 0 (311)
όπου χρησιμοποιήσαμε την εξίσωση ιδιοτιμών της Hamiltonian 119867|E⟩ = 119864|E⟩ 2 Ας υποθέσουμε ότι το φυσικό μέγεθος Q είναι η ίδια η Hamiltonian (119876 = 119867) η οποία όμως μπορεί
να εξαρτάται εκπεφρασμένα από τον χρόνο Τότε από τη σχέση (310) παίρνουμε άμεσα ότι
119889lang119864rang119889119905
= lang120597119867120597119905
rang (312)
αφού η Hamiltonian μετατίθεται με τον εαυτό της Άρα η μέση τιμή της ενέργειας διατηρείται όταν η Hamiltonian (το δυναμικό) δεν εξαρτάται εκπεφρασμένα από τον χρόνο
33 Σύνοψη Η χρονική εξέλιξη των κβαντικών καταστάσεων περιγράφεται με βάση την χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger (31) Απαιτείται γνώση μόνο της αρχικής κατάστασης που περιέχει όλη την πληροφορία των αρχικών συνθηκών Οι ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian έχουν πολύ απλή χρονική εξέλιξη η οποία δίνεται από την (34) Η χρονική εξέλιξη οποιασδήποτε κβαντικής κατάστασης προκύπτει από το ανάπτυγμα στις ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian (38) Η χρονική εξέλιξη της αναμενόμενης τιμής ενός τελεστή Q προκύπτει με χρήση της εξίσωσης Schrodinger μέσω του θεωρήματος Ehrenfest (σχέση (310))
55
Κριτήρια αξιολόγησης
(Λαγανάς2005αΛαγανάς 2005β Τραχανάς 2005βConstantinescu amp Magyari 1971Peleg et al 2010Squires 1995 Tamvakis 2005)
Κριτήριο αξιολόγησης 1
Η Hamiltonian συστήματος έχει ενεργειακό φάσμα 119812119847 = 119847120784ℇ όπου n=123hellip και οι αντίστοιχες κβαντικές καταστάσεις είναι |120783⟩ |120784⟩ hellip |119847⟩ Τη στιγμή 119957 = 120782 το σωμάτιο είναι στην κατάσταση
|120595(0)⟩ = 02|1⟩ + 03|2⟩ + 04|3⟩ + 0843|4⟩ (313)
Α Αν μετρήσουμε την ενέργεια Ε την 119957 = 120782 ποιά είναι η πιθανότητα να βρούμε την Ε με τιμή μικρότερη από 120788ℇ
Β Ποιά είναι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της ενέργειας την 119957 = 120782
C Βρείτε την |120537(119853)⟩ Παραμένουν οι απαντήσεις στα Α και Β ίδιες για 119957 gt 120782
D Κάποια στιγμή μετράμε την ενέργεια και βρίσκουμε 120783120788ℇ Ποιά είναι η κατάσταση του συστήματος μετά τη μέτρηση Ποιά τιμή θα πάρουμε αν επαναλάβουμε τη μέτρηση
Απαντήσεις Α Η πιθανότητα προκύπτει 013 (022+032) Β Οι πιθανότητες είναι
1198751 = 004 1198752 = 009 1198753 = 016 1198754 = 071 (314)
Έτσι βρίσκουμε
⟨119864⟩ = 132 ℇ ⟨1198642⟩ = 196 ℇ2 120590119864 = 467 ℇ (315)
C Έχουμε
⟨120595(119905)⟩ = 02119890minus119894ℇ119905 ℏfrasl |1⟩ + 03119890minus1198944ℇ119905 ℏfrasl |2⟩ + 04119890minus1198949ℇ119905 ℏfrasl |3⟩ + 084119890minus11989416ℇ119905 ℏfrasl |4⟩ (316)
D Μετά τη μέτρηση
|120595⟩ = |4⟩ (317)
Κριτήριο αξιολόγησης 2
Δείξτε ότι το μέτρο (μήκος) μιας κβαντικής κατάστασης δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο κατά την εξέλιξή της σύμφωνα με την εξίσωση Schrodinger
Λύση Έχουμε
56
119889119889119905
⟨120595(119905)|120595(119905)⟩ =119889⟨120595(119905)|
119889119905|120595(119905)⟩ + ⟨120595(119905)|
119889|120595(119905)⟩119889119905
(318)
Αλλά από τη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger έχουμε
119889119889119905
|120595(119905)⟩ =1119894ℏ
119867(119905)|120595(119905)⟩ (319)
ή
119889119889119905
⟨120595(119905)| = minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867dagger(119905) = minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867(119905) (320)
Από τις (318) (319) (320) παίρνουμε
119889119889119905
⟨120595(119905)|120595(119905)⟩ =119889⟨120595(119905)|
119889119905|120595(119905)⟩ + ⟨120595(119905)|
119889|120595(119905)⟩119889119905
= [minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867(119905)] |120595(119905)⟩⟨120595(119905)| [1119894ℏ
119867(119905)|120595(119905)⟩] = 0 (321)
Άρα το μέτρο της κβαντικής κατάστασης διατηρείται κατά τη χρονική εξέλιξη της κατάστασης
Άσκηση 35 Αποδείξτε το παραπάνω αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το θεώρημα Ehrenfest θέτοντας Q=I (ταυτοτικός τελεστής)
Ασκήσεις Πολλαπλής Επιλογής
Άσκηση 1
Για τον πλήρη καθορισμό της λύσης της χρονοεξαρτόμενης εξίσωσης Schrodinger απαιτείται η γνώση αρχικών τιμών για
a Την κυματοσυνάρτηση
b Τη χρονική της παράγωγο
c Και τα δύο
d Τίποτε από τα παραπάνω
Ορθή απάντηση a
Επεξήγηση Η εξίσωση Schrodinger είναι διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ως προς τον χρόνο και έτσι απαιτείται αρχική γνώση μόνο της κυματοσυνάρτησης
57
ΒιβλιογραφίαΑναφορές
Λαγανάς E (2005α) Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Λαγανάς E (2005β) Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Μοδινός Α (1994) Εισαγωγή στην κβαντική θεωρία της ύλης Αθήνα Εκδόσεις Παπασωτηρίου
Τραχανάς Σ (2005α) Κβαντομηχανικη Ι Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2005β) Προβλήματα Κβαντομηχανικής Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2008) Κβαντομηχανικη ΙI Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Binney J amp Skinner D (2013) The Physics of Quantum Mechanics Oxford UK Oxford University Press
Constantinescu F Magyari E (1971) Problems in Quantum Mechanics (Paperback) Oxford Pergamon Press
Fitzpatrick R (2010) Quantum Mechanics Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 2015 από httpfarsidephutexaseduteachingqmechqmechpdf
Gasiorowicz S (2015) Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση) Αθήνα Κλειδάριθμος
Griffiths D J (2004) Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition Upper Saddle River NJ Prentice Hall
Peleg Y Pnini R Zaarur E Hecht E (2010) Schaumrsquos Outline of Quantum Mechanics (Schaumrsquos Outlines) (2nd edition) McGraw-Hill
Squires GL (1995) Problems in Quantum Mechanics with solutions Cambridge UK Cambridge University Press
Tamvakis K (2005) Problems and Solutions in Quantum Mechanics New York Cambridge University Press
54
είναι πολύ σημαντική για την εύρεση χρονικής εξέλιξης
32 Χρονική εξέλιξη αναμενόμενης τιμής φυσικού μεγέθους 119824(⟨120537|119824|120537⟩) Θα βρούμε τη διαφορική εξίσωση που διέπει τη χρονική εξέλιξη της μέσης (αναμενόμενης) τιμής ⟨ψ|Q|ψ⟩ Από τις σχέσεις (31) (32) και με χρονική παραγώγιση της ⟨ψ|Q|ψ⟩ παίρνουμε
119894ℏ
119889119889119905
⟨120595|119876|120595⟩ = minus⟨120595|119867119876|120595⟩ + 119894ℏ ⟨120595| 120597119876120597119905 |120595⟩ + ⟨120595|119876119867|120595⟩
= ⟨120595|[119876 119867]|120595⟩ + 119894ℏ ⟨120595| 120597119876120597119905 |120595⟩
(310)
Η σχέση (310) αποτελεί το laquoθεώρημα Ehrenfestraquo που διέπει τη χρονική εξέλιξη της μέσης τιμής φυσικού μεγέθους Αντίστοιχη σχέση ισχύει στην κλασική μηχανική για τη χρονική εξέλιξη συνάρτησης Q της θέσης και της ορμής με αγκύλες Poisson αντί για μεταθέτη
Άσκηση 34 Αποδείξτε με μεγαλύτερη λεπτομέρεια τη σχέση (310) Από το θεώρημα Ehrenfest προκύπτει ότι αν ένας τελεστής δεν εξαρτάται εκπεφρασμένα από τον
χρόνο και μετατίθεται με τη Hamiltonian τότε η αναμενόμενη τιμή του είναι χρονικά αμετάβλητη (διατηρείται)
321 Ειδικές Περιπτώσεις Θα θεωρήσουμε τώρα δύο ειδικές περιπτώσεις στις οποίες η μέση τιμή φυσικού μεγέθους διατηρείται σταθερή στο χρόνο
1 Ας υποθέσουμε ότι [Q Η] ne 0 Q(t) = Q(0) δηλαδή o τελεστής που αντιστοιχεί στο φυσικό μέγεθος Q δεν εξαρτάται εκπεφρασμένα από τον χρόνο Ακόμα ας υποθέσουμε ότι |120595⟩ = |120550⟩ δηλαδή ότι η κατάσταση του συστήματος είναι ιδιοκατάσταση της Hamiltonian Τότε για τον ρυθμό μεταβολής της μέσης τιμής του Q έχουμε
119894ℏ119889119889119905
⟨119864|119876|119864⟩ = ⟨119864|(119876119867 minus 119867119876)|119864⟩ = (119864 minus 119864)⟨119864|119876|119864⟩ = 0 (311)
όπου χρησιμοποιήσαμε την εξίσωση ιδιοτιμών της Hamiltonian 119867|E⟩ = 119864|E⟩ 2 Ας υποθέσουμε ότι το φυσικό μέγεθος Q είναι η ίδια η Hamiltonian (119876 = 119867) η οποία όμως μπορεί
να εξαρτάται εκπεφρασμένα από τον χρόνο Τότε από τη σχέση (310) παίρνουμε άμεσα ότι
119889lang119864rang119889119905
= lang120597119867120597119905
rang (312)
αφού η Hamiltonian μετατίθεται με τον εαυτό της Άρα η μέση τιμή της ενέργειας διατηρείται όταν η Hamiltonian (το δυναμικό) δεν εξαρτάται εκπεφρασμένα από τον χρόνο
33 Σύνοψη Η χρονική εξέλιξη των κβαντικών καταστάσεων περιγράφεται με βάση την χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger (31) Απαιτείται γνώση μόνο της αρχικής κατάστασης που περιέχει όλη την πληροφορία των αρχικών συνθηκών Οι ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian έχουν πολύ απλή χρονική εξέλιξη η οποία δίνεται από την (34) Η χρονική εξέλιξη οποιασδήποτε κβαντικής κατάστασης προκύπτει από το ανάπτυγμα στις ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian (38) Η χρονική εξέλιξη της αναμενόμενης τιμής ενός τελεστή Q προκύπτει με χρήση της εξίσωσης Schrodinger μέσω του θεωρήματος Ehrenfest (σχέση (310))
55
Κριτήρια αξιολόγησης
(Λαγανάς2005αΛαγανάς 2005β Τραχανάς 2005βConstantinescu amp Magyari 1971Peleg et al 2010Squires 1995 Tamvakis 2005)
Κριτήριο αξιολόγησης 1
Η Hamiltonian συστήματος έχει ενεργειακό φάσμα 119812119847 = 119847120784ℇ όπου n=123hellip και οι αντίστοιχες κβαντικές καταστάσεις είναι |120783⟩ |120784⟩ hellip |119847⟩ Τη στιγμή 119957 = 120782 το σωμάτιο είναι στην κατάσταση
|120595(0)⟩ = 02|1⟩ + 03|2⟩ + 04|3⟩ + 0843|4⟩ (313)
Α Αν μετρήσουμε την ενέργεια Ε την 119957 = 120782 ποιά είναι η πιθανότητα να βρούμε την Ε με τιμή μικρότερη από 120788ℇ
Β Ποιά είναι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της ενέργειας την 119957 = 120782
C Βρείτε την |120537(119853)⟩ Παραμένουν οι απαντήσεις στα Α και Β ίδιες για 119957 gt 120782
D Κάποια στιγμή μετράμε την ενέργεια και βρίσκουμε 120783120788ℇ Ποιά είναι η κατάσταση του συστήματος μετά τη μέτρηση Ποιά τιμή θα πάρουμε αν επαναλάβουμε τη μέτρηση
Απαντήσεις Α Η πιθανότητα προκύπτει 013 (022+032) Β Οι πιθανότητες είναι
1198751 = 004 1198752 = 009 1198753 = 016 1198754 = 071 (314)
Έτσι βρίσκουμε
⟨119864⟩ = 132 ℇ ⟨1198642⟩ = 196 ℇ2 120590119864 = 467 ℇ (315)
C Έχουμε
⟨120595(119905)⟩ = 02119890minus119894ℇ119905 ℏfrasl |1⟩ + 03119890minus1198944ℇ119905 ℏfrasl |2⟩ + 04119890minus1198949ℇ119905 ℏfrasl |3⟩ + 084119890minus11989416ℇ119905 ℏfrasl |4⟩ (316)
D Μετά τη μέτρηση
|120595⟩ = |4⟩ (317)
Κριτήριο αξιολόγησης 2
Δείξτε ότι το μέτρο (μήκος) μιας κβαντικής κατάστασης δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο κατά την εξέλιξή της σύμφωνα με την εξίσωση Schrodinger
Λύση Έχουμε
56
119889119889119905
⟨120595(119905)|120595(119905)⟩ =119889⟨120595(119905)|
119889119905|120595(119905)⟩ + ⟨120595(119905)|
119889|120595(119905)⟩119889119905
(318)
Αλλά από τη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger έχουμε
119889119889119905
|120595(119905)⟩ =1119894ℏ
119867(119905)|120595(119905)⟩ (319)
ή
119889119889119905
⟨120595(119905)| = minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867dagger(119905) = minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867(119905) (320)
Από τις (318) (319) (320) παίρνουμε
119889119889119905
⟨120595(119905)|120595(119905)⟩ =119889⟨120595(119905)|
119889119905|120595(119905)⟩ + ⟨120595(119905)|
119889|120595(119905)⟩119889119905
= [minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867(119905)] |120595(119905)⟩⟨120595(119905)| [1119894ℏ
119867(119905)|120595(119905)⟩] = 0 (321)
Άρα το μέτρο της κβαντικής κατάστασης διατηρείται κατά τη χρονική εξέλιξη της κατάστασης
Άσκηση 35 Αποδείξτε το παραπάνω αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το θεώρημα Ehrenfest θέτοντας Q=I (ταυτοτικός τελεστής)
Ασκήσεις Πολλαπλής Επιλογής
Άσκηση 1
Για τον πλήρη καθορισμό της λύσης της χρονοεξαρτόμενης εξίσωσης Schrodinger απαιτείται η γνώση αρχικών τιμών για
a Την κυματοσυνάρτηση
b Τη χρονική της παράγωγο
c Και τα δύο
d Τίποτε από τα παραπάνω
Ορθή απάντηση a
Επεξήγηση Η εξίσωση Schrodinger είναι διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ως προς τον χρόνο και έτσι απαιτείται αρχική γνώση μόνο της κυματοσυνάρτησης
57
ΒιβλιογραφίαΑναφορές
Λαγανάς E (2005α) Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Λαγανάς E (2005β) Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Μοδινός Α (1994) Εισαγωγή στην κβαντική θεωρία της ύλης Αθήνα Εκδόσεις Παπασωτηρίου
Τραχανάς Σ (2005α) Κβαντομηχανικη Ι Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2005β) Προβλήματα Κβαντομηχανικής Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2008) Κβαντομηχανικη ΙI Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Binney J amp Skinner D (2013) The Physics of Quantum Mechanics Oxford UK Oxford University Press
Constantinescu F Magyari E (1971) Problems in Quantum Mechanics (Paperback) Oxford Pergamon Press
Fitzpatrick R (2010) Quantum Mechanics Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 2015 από httpfarsidephutexaseduteachingqmechqmechpdf
Gasiorowicz S (2015) Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση) Αθήνα Κλειδάριθμος
Griffiths D J (2004) Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition Upper Saddle River NJ Prentice Hall
Peleg Y Pnini R Zaarur E Hecht E (2010) Schaumrsquos Outline of Quantum Mechanics (Schaumrsquos Outlines) (2nd edition) McGraw-Hill
Squires GL (1995) Problems in Quantum Mechanics with solutions Cambridge UK Cambridge University Press
Tamvakis K (2005) Problems and Solutions in Quantum Mechanics New York Cambridge University Press
55
Κριτήρια αξιολόγησης
(Λαγανάς2005αΛαγανάς 2005β Τραχανάς 2005βConstantinescu amp Magyari 1971Peleg et al 2010Squires 1995 Tamvakis 2005)
Κριτήριο αξιολόγησης 1
Η Hamiltonian συστήματος έχει ενεργειακό φάσμα 119812119847 = 119847120784ℇ όπου n=123hellip και οι αντίστοιχες κβαντικές καταστάσεις είναι |120783⟩ |120784⟩ hellip |119847⟩ Τη στιγμή 119957 = 120782 το σωμάτιο είναι στην κατάσταση
|120595(0)⟩ = 02|1⟩ + 03|2⟩ + 04|3⟩ + 0843|4⟩ (313)
Α Αν μετρήσουμε την ενέργεια Ε την 119957 = 120782 ποιά είναι η πιθανότητα να βρούμε την Ε με τιμή μικρότερη από 120788ℇ
Β Ποιά είναι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση της ενέργειας την 119957 = 120782
C Βρείτε την |120537(119853)⟩ Παραμένουν οι απαντήσεις στα Α και Β ίδιες για 119957 gt 120782
D Κάποια στιγμή μετράμε την ενέργεια και βρίσκουμε 120783120788ℇ Ποιά είναι η κατάσταση του συστήματος μετά τη μέτρηση Ποιά τιμή θα πάρουμε αν επαναλάβουμε τη μέτρηση
Απαντήσεις Α Η πιθανότητα προκύπτει 013 (022+032) Β Οι πιθανότητες είναι
1198751 = 004 1198752 = 009 1198753 = 016 1198754 = 071 (314)
Έτσι βρίσκουμε
⟨119864⟩ = 132 ℇ ⟨1198642⟩ = 196 ℇ2 120590119864 = 467 ℇ (315)
C Έχουμε
⟨120595(119905)⟩ = 02119890minus119894ℇ119905 ℏfrasl |1⟩ + 03119890minus1198944ℇ119905 ℏfrasl |2⟩ + 04119890minus1198949ℇ119905 ℏfrasl |3⟩ + 084119890minus11989416ℇ119905 ℏfrasl |4⟩ (316)
D Μετά τη μέτρηση
|120595⟩ = |4⟩ (317)
Κριτήριο αξιολόγησης 2
Δείξτε ότι το μέτρο (μήκος) μιας κβαντικής κατάστασης δεν μεταβάλλεται με τον χρόνο κατά την εξέλιξή της σύμφωνα με την εξίσωση Schrodinger
Λύση Έχουμε
56
119889119889119905
⟨120595(119905)|120595(119905)⟩ =119889⟨120595(119905)|
119889119905|120595(119905)⟩ + ⟨120595(119905)|
119889|120595(119905)⟩119889119905
(318)
Αλλά από τη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger έχουμε
119889119889119905
|120595(119905)⟩ =1119894ℏ
119867(119905)|120595(119905)⟩ (319)
ή
119889119889119905
⟨120595(119905)| = minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867dagger(119905) = minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867(119905) (320)
Από τις (318) (319) (320) παίρνουμε
119889119889119905
⟨120595(119905)|120595(119905)⟩ =119889⟨120595(119905)|
119889119905|120595(119905)⟩ + ⟨120595(119905)|
119889|120595(119905)⟩119889119905
= [minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867(119905)] |120595(119905)⟩⟨120595(119905)| [1119894ℏ
119867(119905)|120595(119905)⟩] = 0 (321)
Άρα το μέτρο της κβαντικής κατάστασης διατηρείται κατά τη χρονική εξέλιξη της κατάστασης
Άσκηση 35 Αποδείξτε το παραπάνω αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το θεώρημα Ehrenfest θέτοντας Q=I (ταυτοτικός τελεστής)
Ασκήσεις Πολλαπλής Επιλογής
Άσκηση 1
Για τον πλήρη καθορισμό της λύσης της χρονοεξαρτόμενης εξίσωσης Schrodinger απαιτείται η γνώση αρχικών τιμών για
a Την κυματοσυνάρτηση
b Τη χρονική της παράγωγο
c Και τα δύο
d Τίποτε από τα παραπάνω
Ορθή απάντηση a
Επεξήγηση Η εξίσωση Schrodinger είναι διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ως προς τον χρόνο και έτσι απαιτείται αρχική γνώση μόνο της κυματοσυνάρτησης
57
ΒιβλιογραφίαΑναφορές
Λαγανάς E (2005α) Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Λαγανάς E (2005β) Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Μοδινός Α (1994) Εισαγωγή στην κβαντική θεωρία της ύλης Αθήνα Εκδόσεις Παπασωτηρίου
Τραχανάς Σ (2005α) Κβαντομηχανικη Ι Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2005β) Προβλήματα Κβαντομηχανικής Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2008) Κβαντομηχανικη ΙI Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Binney J amp Skinner D (2013) The Physics of Quantum Mechanics Oxford UK Oxford University Press
Constantinescu F Magyari E (1971) Problems in Quantum Mechanics (Paperback) Oxford Pergamon Press
Fitzpatrick R (2010) Quantum Mechanics Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 2015 από httpfarsidephutexaseduteachingqmechqmechpdf
Gasiorowicz S (2015) Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση) Αθήνα Κλειδάριθμος
Griffiths D J (2004) Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition Upper Saddle River NJ Prentice Hall
Peleg Y Pnini R Zaarur E Hecht E (2010) Schaumrsquos Outline of Quantum Mechanics (Schaumrsquos Outlines) (2nd edition) McGraw-Hill
Squires GL (1995) Problems in Quantum Mechanics with solutions Cambridge UK Cambridge University Press
Tamvakis K (2005) Problems and Solutions in Quantum Mechanics New York Cambridge University Press
56
119889119889119905
⟨120595(119905)|120595(119905)⟩ =119889⟨120595(119905)|
119889119905|120595(119905)⟩ + ⟨120595(119905)|
119889|120595(119905)⟩119889119905
(318)
Αλλά από τη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrodinger έχουμε
119889119889119905
|120595(119905)⟩ =1119894ℏ
119867(119905)|120595(119905)⟩ (319)
ή
119889119889119905
⟨120595(119905)| = minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867dagger(119905) = minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867(119905) (320)
Από τις (318) (319) (320) παίρνουμε
119889119889119905
⟨120595(119905)|120595(119905)⟩ =119889⟨120595(119905)|
119889119905|120595(119905)⟩ + ⟨120595(119905)|
119889|120595(119905)⟩119889119905
= [minus1119894ℏ
⟨120595(119905)|119867(119905)] |120595(119905)⟩⟨120595(119905)| [1119894ℏ
119867(119905)|120595(119905)⟩] = 0 (321)
Άρα το μέτρο της κβαντικής κατάστασης διατηρείται κατά τη χρονική εξέλιξη της κατάστασης
Άσκηση 35 Αποδείξτε το παραπάνω αποτέλεσμα χρησιμοποιώντας το θεώρημα Ehrenfest θέτοντας Q=I (ταυτοτικός τελεστής)
Ασκήσεις Πολλαπλής Επιλογής
Άσκηση 1
Για τον πλήρη καθορισμό της λύσης της χρονοεξαρτόμενης εξίσωσης Schrodinger απαιτείται η γνώση αρχικών τιμών για
a Την κυματοσυνάρτηση
b Τη χρονική της παράγωγο
c Και τα δύο
d Τίποτε από τα παραπάνω
Ορθή απάντηση a
Επεξήγηση Η εξίσωση Schrodinger είναι διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης ως προς τον χρόνο και έτσι απαιτείται αρχική γνώση μόνο της κυματοσυνάρτησης
57
ΒιβλιογραφίαΑναφορές
Λαγανάς E (2005α) Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Λαγανάς E (2005β) Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Μοδινός Α (1994) Εισαγωγή στην κβαντική θεωρία της ύλης Αθήνα Εκδόσεις Παπασωτηρίου
Τραχανάς Σ (2005α) Κβαντομηχανικη Ι Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2005β) Προβλήματα Κβαντομηχανικής Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2008) Κβαντομηχανικη ΙI Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Binney J amp Skinner D (2013) The Physics of Quantum Mechanics Oxford UK Oxford University Press
Constantinescu F Magyari E (1971) Problems in Quantum Mechanics (Paperback) Oxford Pergamon Press
Fitzpatrick R (2010) Quantum Mechanics Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 2015 από httpfarsidephutexaseduteachingqmechqmechpdf
Gasiorowicz S (2015) Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση) Αθήνα Κλειδάριθμος
Griffiths D J (2004) Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition Upper Saddle River NJ Prentice Hall
Peleg Y Pnini R Zaarur E Hecht E (2010) Schaumrsquos Outline of Quantum Mechanics (Schaumrsquos Outlines) (2nd edition) McGraw-Hill
Squires GL (1995) Problems in Quantum Mechanics with solutions Cambridge UK Cambridge University Press
Tamvakis K (2005) Problems and Solutions in Quantum Mechanics New York Cambridge University Press
57
ΒιβλιογραφίαΑναφορές
Λαγανάς E (2005α) Κβαντομηχανικη Ι Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Λαγανάς E (2005β) Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρια - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις χτ Αρνός
Μοδινός Α (1994) Εισαγωγή στην κβαντική θεωρία της ύλης Αθήνα Εκδόσεις Παπασωτηρίου
Τραχανάς Σ (2005α) Κβαντομηχανικη Ι Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2005β) Προβλήματα Κβαντομηχανικής Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Τραχανάς Σ (2008) Κβαντομηχανικη ΙI Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης
Binney J amp Skinner D (2013) The Physics of Quantum Mechanics Oxford UK Oxford University Press
Constantinescu F Magyari E (1971) Problems in Quantum Mechanics (Paperback) Oxford Pergamon Press
Fitzpatrick R (2010) Quantum Mechanics Ανακτήθηκε 30 Οκτωβρίου 2015 από httpfarsidephutexaseduteachingqmechqmechpdf
Gasiorowicz S (2015) Κβαντική Φυσική (3η αμερικάνικη έκδοση) Αθήνα Κλειδάριθμος
Griffiths D J (2004) Introduction to Quantum Mechanics 2nd edition Upper Saddle River NJ Prentice Hall
Peleg Y Pnini R Zaarur E Hecht E (2010) Schaumrsquos Outline of Quantum Mechanics (Schaumrsquos Outlines) (2nd edition) McGraw-Hill
Squires GL (1995) Problems in Quantum Mechanics with solutions Cambridge UK Cambridge University Press
Tamvakis K (2005) Problems and Solutions in Quantum Mechanics New York Cambridge University Press
