30
第 35 第 第第第第第 第第第第

第 35 课 用坐标表示 图形变换

  • Upload
    idalia

  • View
    168

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

第 35 课 用坐标表示 图形变换. 1 .平面直角坐标系:在平面内具有 而且 的两条数轴,就构成了平面直角坐标系,简称坐标系. 2 .建立了坐标系的平面,有序实数对与坐标平面内的点 . 3 .对称点坐标的规律: (1) 坐标平面内,点 P ( x , y ) 关于 x 轴 ( 横轴 ) 的对称点 P 1 的坐标为 ; (2) 坐标平面内,点 P ( x , y ) 关于 y 轴 ( 纵轴 ) 的对称点 P 2 的坐标为 ; (3) 坐标平面内,点 P ( x , y ) 关于原点的对称点 P 3 的坐标为 .. 要点梳理. 互相垂直. 公共原点. 一一对应. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

第 35 课 用坐标表示图形变换

Page 2: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

1 .平面直角坐标系:在平面内具有 而且 的两条数轴,就构成了平面直角坐标系,简称坐标系.

2 .建立了坐标系的平面,有序实数对与坐标平面内的点 .3 .对称点坐标的规律: (1) 坐标平面内,点 P(x,y) 关于 x 轴 ( 横轴 ) 的对称点 P1 的坐标为 ; (2) 坐标平面内,点 P(x,y) 关于 y 轴 ( 纵轴 ) 的对称点 P2 的坐标为 ; (3) 坐标平面内,点 P(x , y) 关于原点的对称点 P3 的坐标为 .

要点梳理

公共原点 互相垂直

一一对应

(x, - y)

( - x,y)

( - x, - y)

Page 3: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

4 .在平面直角坐标系中,图形上的点的坐标同时加 ( 或减、或乘以、或除以 ) 同一个不等于零的数,这样的变化有三种:

(1) 横坐标改变,纵坐标不变,这时图形左右移动或伸缩; (2) 横坐标不变,纵坐标改变,这时图形上下移动或伸缩; (3) 横坐标改变,纵坐标也改变,这时图形左右、上下移动 或伸缩.

Page 4: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

1 .一些特殊点之间的坐标关系 平移前后,点的坐标是如何变化的? (1) 点 (x , y) 左移 a 个单位长度: (x - a , y) ; (2) 点 (x , y) 右移 a 个单位长度: (x + a , y) ; (3) 点 (x , y) 上移 a 个单位长度: (x , y + a) ; (4) 点 (x , y) 下移 a 个单位长度: (x , y - a) .2 .图形变换前后的关系 比较变化后的图形与原图形的关系,一般是从橫、纵坐标的关系着手,尤其要抓住关键点的横、纵坐标的变化.

[ 难点正本 疑点清源 ]

Page 5: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

1 . (2011· 河南 ) 如图,将一朵小花放置在平面直角坐标系中第三象限内的甲位置,先将它绕原点 O 旋转 180° 到乙位置,再将它向下平移 2 个单位长到丙位置,则小花顶点 A 在丙位置中的对应点 A′ 的坐标为 (    )

A . (3,1) B . (1,3)

C . (3, - 1) D . (1,1)

解析:点 A 的坐标为 ( - 3, - 1) , 原点 O 旋转 180° 后,该点的坐标 为 (3,1) ,向下平移 2 个单位长度, 得 A′(3, - 1) .

C

基础自测

Page 6: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

2 . (2012· 咸宁 ) 平面直角坐标系中,点 A 的坐标为 (4,3) ,将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 90° 得到 OA′ ,则点 A′ 的坐标是(    )

A . ( - 4,3) B . ( - 3,4)

C . (3, - 4) D . (4, - 3)  

解析:如图,画 AB⊥x 轴, A′B′⊥y 轴, 垂足分别为 B 、 B′ , 易证△ AOB≌△OA′B′ , 所以 OB = OB′ = 4 , AB = A′B′ = 3 , ∴A′ 的坐标为 (3, - 4) .

C

Page 7: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

3 . (2012· 鄂州 ) 如图,平面直角坐标系中,∠ ABO = 90° ,将直角△ AOB 绕 O 点顺时针旋转,使点 B 落在 x 轴上的点 B1 处,点A 落在 A1 处,若 B 点的坐标为 ,则点 A1 的坐标是 (    )

A . (3, - 4) B . (4, - 3)

C . (5, - 3) D . (3, - 5)

解析:过 B 画 BC⊥OA 于 C ,因为 B , 所以 OC = , BC = ,

于是 OB = = 4 , AC = , AB = = 3.

又△ AOB≌△A1OB1 , OB1 = OB = 4 , A1B1 = AB = 3 , 故 A1 的坐标为 (4, - 3) .

16

5 ,125 B

16

5 ,125

165

125

205

95

155

Page 8: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

4 . (2011· 日照 ) 以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为原点,直线AD 为 x 轴建立直角坐标系,已知 B 、 D 点的坐标分别为(1,3) 、 (4,0) ,

把平行四边形向上平移 2 个单位,那么 C 点平移后相应的点的坐标是 (    )

A . (3,3)     B . (5,3)

C . (3,5)     D . (5,5)

解析:如图,易知点 C 的坐标为 (5,3) , 向上平移 2 个单位后点 C 的坐标为 (5,5) .

D

Page 9: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

5 .如图,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与 x 轴或 y

轴平行.从内到外,它们的边长依次为 2,4,6,8 ,…,顶点依次用 A1 , A2 , A3 , A4 ,…表示,则顶点 A55 的坐标是 (   )

A . (13,13)

B . ( - 13, - 13)

C . (14,14)

D . ( - 14, - 14)

解析: 55 = 13×4 + 3 , 所以顶点 A55 在第一象限, 选 C.

C

Page 10: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

题型一 确定点的坐标【例 1 】 如图, A 、 B 、 C 为一个平行四边形的三个顶点,且

A 、 B 、 C 三点的坐标分别为 (3,3) 、 (6,4) 、 (4,6) .                    

(1) 请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标; (2) 求这个平行四边形的面积.

题型分类 深度剖析

Page 11: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

解: (1) 第四个顶点的坐标为 (1,5) 或 (5,1) 或 (7,7) . (2) 过 A 画 x 轴平行线,过 B 画 y 轴平行线,记交点为 E ,过 C 作 CF⊥AE 于 F.

∴S△ABC = S 四边形 AEBC - S△ABE , 又∵ S△四边形 AEBC = S△ACF + S 梯形 BEFC ,

S△ABE = ×1×3 = , S△ACF = ×1×3 = ,

S 梯形 BEFC = ×(1 + 3)×2 = 4 ,

∴S△ABC = ( + 4) - = 4 ,∴ S▱= 2S△ABC = 2×4 = 8.

答:这个平行四边形的面积等于 8.

探究提高  利用点到坐标轴及原点的距离,结合各象限点的坐标特点,可以确定点的坐标.

12

32

12

32

12

32

32

Page 12: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

知能迁移 1 (2011· 永州 ) 在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为 1 ,格点三角形 ( 顶点是网格线的交点的三角形 )ABC 的顶点 A 、 C 的坐标分别为 ( - 4,5) 、 ( - 1,3) .

(1) 请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系; (2) 请作出△ ABC 关于 y 轴对称的△ A′B′C′ ; (3) 写出点 B′ 的坐标.

Page 13: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

解: (1)(2) 如下图,

(3)B′(2,1) .

Page 14: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

题型二 由确定点的位置的方法转换【例 2 】 已知坐标平面上的机器人接受指

令“ [a , A]”(a≥0,0°<A

<180°) 后的行动结果为:在原地顺时针旋转 A 后,再向面对方向沿直线地走 a ,若机器人的位置在原点,面对方向为 y 轴的负半轴,则它完成一次指令 [2, 60°] 后,所在位置的坐标为 (   )

A . ( - 1, - ) B . ( - 1 , )

C . ( , - 1) D . ( - , - 1)

3

3

3

3

Page 15: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

>> 解题示范——规范步骤,该得的分,一分不丢!解:如图,过 P 作 PM⊥y 轴于 M ,在 Rt△POM 中, ∠MOP = 60° , ∴∠OPM = 30°.

∴OM = OP = 1 , PM = = = .

又∵点 P 在第三象限, ∴P( - , - 1) ,故选 D.

12

OP2-OM2 22-1 3

3

Page 16: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

探究提高  本题利用数形结合的方法确定点 P 的坐标,在阅读理解的基础上,先结合方位角的知识,在平面直角坐标系中找到指定 [2,60°] 所对应的点 P 的位置,然后利用解直角三角形的知识和坐标平面内点的坐标特征,求出点 P 的坐标.

Page 17: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

知能迁移 2  在平面直角坐标系中,设点 P 到原点 O 的距离为 ρ , OP 与 x 轴正方向的夹角为 α ,则用 [ρ , α] 表示点P 的极坐标,显然,点 P 的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如:点 P 的坐标为 (1,1) ,则其极坐标为 [ , 45°] .

若点 Q 的极坐标为 [4,60°] ,则点 Q 的坐标为 (    )

A . (2, 2 ) B . (2, - 2 )

C . (2 , 2 )     D . (2,2)

2

3

3

3

A

Page 18: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

题型三 求轴对称、旋转对称对应点的坐标【例 3 】 如图,在边长为 1 的正方形网格中,将△ ABC 向右平

移两个单位长度得到△ A′B′C′ ,则与点 B′ 关于 x 轴对称的点的坐标是 (    )

A . (0, - 1)    B . (1,1)

C . (2, - 1)    D . (1, - 2)  

解析: B 点坐标原为 ( - 1,2) ,向右平移 两个单位长度之后为 B′(1,2) , 此时 B′(1,2) 关于 x 轴对称点的坐标 为 (1, - 2) ,应选 D.

D

Page 19: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

知能迁移 3 (2009·白色 ) 如图所示,在方格纸上建立的平面直角坐标系中,将△ ABO 绕点 O按顺时针方向旋转 90 度,得到△ A′B′O ,则点 A′ 的坐标为 (    )

A . (3,1)    B . (3,2)

C . (2,3)    D . (1,3)

D

探究提高  牢记坐标平移的规律,将其进行逆向思维,抓住关键点的横纵坐标的变化.

Page 20: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

题型四 在坐标系或网格中计算图形的面积【例 4 】 (2009· 咸宁 )问题背景:在△ ABC

中, AB 、 BC 、 AC 三边的长分别为 、 、 ,求这个三角形的面积.

小辉同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格 ( 每个小正方形的边长为 1) ,再在网格中画出格点△ ABC(即△ ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处 ) ,如图①所示,这样不需求△ ABC 的高,而借用网格就能计算出它的面积.

(1) 请你将△ ABC 的面积直接填写在横线上: _______ ;

5 10 13

72

Page 21: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

(2)我们把上述求△ ABC 的面积的方法叫做构图法,若△ ABC 三边的长分别为 a 、 2 a 、 a(a>0) ,请利用图②的正方形网格 ( 每个小正方形的边长为 a) 画出相应的△ ABC ,并求出它的面积;

(3)△ABC 三边的长分别为 、 、 2

(m>0 , n>0 且 m≠n) ,试运用构图法求出这三角形的面积.

5 2 17

m2+16n2 9m2+4n2

m2+n2

解:△ ABC 如图 (2) 所示 ( 位置不唯一 ) .S△ABC = 2a×4a - ×a×2a - ×2a×2a - a×4a = 3a2.1

2

12

12

解:构造△ ABC 如图 (3) 所示 (未在试卷上画出相应图形

不扣分 ) , S△ABC = 3m×4n - ×m×4n - ×3m×2n -

×2m×2n = 12mn - 2mn - 3mn - 2mn = 5mn.

12

12

12

Page 22: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

探究提高  在平面直角坐标系或网格中求面积,有一定的规律,常以填空或选择题的形式出现,一般的做法是将难以求解的图形分割成易求解面积的图形,即构图法.

Page 23: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

知能迁移 4  已知点 A( - 1,4) , B(2,2) , C(4, - 1) ,则△ ABC 的面积是 _______ .

解析:如图: S△ABC = 5×5 - ×5×5 - ×3×2 - 2×2 -

×2×3 = 25 - 22.5 = 2.5

2.5

12

12

12

Page 24: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

23 .错误确定平移变换后点的坐标试题 如图,一个粒子在第一象限内移动,在第一分钟内它从

原点移动到 (1,0) ,而后接着按图所示,在 x 轴、 y 轴平行方向移动,每分钟移动 1 个单位,那么在 1989 分钟后,这个粒子所处位置为 (    )

A . (35,44) B . (36,45)

C . (45,36) D . (44,35)

易错警示

Page 25: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

学生答案展示 C

剖析 粒子的移动,也可以看作是粒子的平移,像这个数据较大的情形,需要通过观察某些特殊点的坐标与运动时间来探究其蕴藏的规律.首先我们来看看当粒子移动到坐标轴上时的情形:

坐标 (1,0) , (2,0) , (3,0) 对应时间为 1 分, 8 分, 9 分; 坐标 (4,0) , (5,0) , (6,0)… 对应时间为 24 分, 25 分, 26

分…; 坐标 (0,1) , (0,2) , (0,3) 对应时间为 3 分, 4 分, 15 分; 坐标 (0,4) , (0,5) , (0,6)… 对应时间为 16 分, 35 分, 36

分…;

Page 26: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

观察上表可知,在 x 轴上奇数的平方对应着移动时间,在 y 轴上偶数的平方对应着移动时间,而与 1989最接近的是 452 = 2025 ,相差 2025 - 1989 = 36 分钟,即先将横坐标倒退一个单位,即 44 ,再向上进 35 个单位,此时, 1989 对应的坐标为 (44,35) ,而 C 答案中,当横坐标为 45 时,对应的时间为 2025 分钟,不能直接再向上移动 36 个单位,否则按照运动规律,对应时间为 2061 分钟.

正解  D

批阅笔记  本题须理解运动规律,然后将点的坐标与运动时间相对应来确定点的坐标.

Page 27: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

方法与技巧 1. 用坐标描述点的位置,关键在于建立适当的坐标系,并确定单位长度. 2. 在给定的直角坐标系中,由坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标;在同一直角坐标系中,感受图形变换后点的坐标的变化,灵活运用不同的方式确定物体的位置. 3. 直角坐标系是研究函数图象的基础,在直角坐标系中,点与有序实数对之间是一一对应的.

思想方法 感悟提高

Page 28: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

失误与防范 1 .从不同角度,分不同情况,全面地考虑问题,才能得到正确答案. 例如:如图,在已建立直角坐标系的 4×4 正方形方格纸中, △ABC 是格点三角形 ( 三角形的三个顶点都是小正方形的顶点 ) ,若以格点 P 、 A 、 B 为顶点的三角形与与△ ABC 相似(全等外 ) ,则格点 P 的坐标是 (    )

A . (1,4)       B . (3,4)

C . (1,4) 或 (3,4) D .以上都不对

Page 29: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

解析:学生容易选择 A 或 B. 应该分两种情况讨论,若△ ABC∽

△APB ,则 AP∶AB∶BP = AB∶AC∶BC = 2 1 ∶ ∶ ,可得点 P1

的坐标为 (1,4) ;若△ ABC∽△BPA ,则 BP∶AB∶AP = AB∶AC∶

BC = 2 1 ∶ ∶ ,可得点 P2 的坐标为 (3,4) .应选 C(1,4) 或 (3,4) .

2 .将平面图形放在直角坐标系中进行研究,根据点的坐标确定它在平面内的位置,进而确定整个图形的位置.图形的两次平移相当于从最初位置到最终位置的一次平移,在这里,我们也可以把两次平移的图形变换,看作图形上各点坐标两次变换的结果.

5

5

Page 30: 第 35 课 用坐标表示 图形变换

完成考点跟踪训练 35