第 39课时　选择填空难题突破

考向互动探究

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探究一、实数的概念及分类

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例 1 ． [2013• 常德 ] 小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3 － 2 ＝ 1 ；8 ＋ 7 － 6 － 5 ＝ 4 ；15 ＋ 14 ＋ 13 － 12 － 11 － 10 ＝ 9 ；24 ＋ 23 ＋ 22 ＋ 21 － 20 － 19 － 18 － 17 ＝ 16 ；　…根据以上规律可知第 100 行左起第一个数是 ________ ．10200

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例题分层分析　　 (1)观察 3， 8， 15， 24，…的变化规律，用平方试试．

(2)与项数之间有什么关系？

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解 析 ∵ 3＝22－1，8＝32－1，

15＝42－1，24＝52－1，

…

∴ 第 100行左起第一个数是：1012－1＝10200.

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变式题． [2012• 重庆 ] 图 39 － 1 中的图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成的，其中第①个图形一共有 2 个五角星，第②个图形一共有 8 个五角星，第③个图形一共有 18 个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为 ( 　　 )

A ． 50 　　　　 B ． 64 　　　　 C ． 68 　　　　 D ． 72

图 39－ 1

D

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解 析 第①个图形一共有 2个五角星，

第②个图形一共有：2＋(3×2)＝8(个)五角星，

第③个图形一共有 2＋(3×2)＋(5×2)＝18(个)五角星，

…

第 n个图形一共有：

1×2＋3×2＋5×2＋7×2＋…＋2(2n－1)

＝2[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]

＝[1＋(2n－1)]×n

＝2n2，

则第⑥个图形一共有：

2×62＝72(个)五角星，故选D.

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解题方法点析　　通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的与自然数相关的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，还要注意检验猜想的正确性．

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探究二、新定义运算问题

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例 2 ． [2013• 白银 ] 定义运算“★”：对于任意实数 a 、 b ，都有 a b★ ＝ a2 － 3a ＋ b ，如： 3 5★ ＝ 32 － 3×3 ＋ 5. 若 x

2★ ＝ 6 ，则实数 x 的值是 ________ ．－ 1或 4

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例题分层分析　　 (1)明确新定义运算的意义： a b★ ＝ a2－ 3a

＋ b.

(2)计算 x 2★ 的结果为 x2－ 3x＋ 2，再建立方程．

解题方法点析　　新定义运算实际上是把新定义运算转化为初中阶段所学习过的加、减、乘、除、乘方以及开方运算，也就是遇到新问题，用老办法来解决．

解 析 根据题中的新定义将 x★2＝6变形，得 x2－3x＋2＝6，即 x2－3x－4＝0， 因式分解，得(x－4)(x＋1)＝0， 解得 x1＝4，x2＝－1， 则实数 x的值是－1或 4.

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探究三、平面直角坐标系中点的规律问题

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例 3 ． [2013• 威海 ] 如图 39 － 2 ，在平面直角坐标系中，点 A 、 B 、 C 的坐标分别为 (1 ，0) 、 (0 ， 1) 、 ( － 1 ， 0) ．一个电动玩具从坐标原点 O 出发，第一次跳跃到点 P1 ，使得点 P1 与点 O 关于点 A 成中心对称；第二次跳跃到点 P2 ，使得点 P2 与点 P1 关于点 B 成中心对称；第三次跳跃到点 P3 ，使得点 P3 与点P2 关于点 C 成中心对称；第四次跳跃到点 P4 ，使得点 P4 与点 P3 关于点 A 成中心对称；第五次跳跃到点 P5 ，使得点 P5 与点 P4 关于点 B

成中心对称，……照此规律重复下去，则点 P2

013 的坐标为 ________ ．

图 39－ 2

(0，－ 2)

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解 析 点 P1(2，0)、P2(－2，2)、P3(0，－2)、P4(2，2)、P5(－2，0)、P6(0，0)、P7(2，0)，… 从而可得出 6次一个循环， ∵ 2013÷6＝335……3，∴ 点 P2013的坐标为(0，－2)．

例题分层分析　　 (1)计算出前几次跳跃后，点 P1， P2， P3，P4， P5， P6， P7的坐标；

(2)可得出几次一个循环？

(3)P2013与第几个点相同？

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解题方法点析　　此类问题主要采用归纳与猜想的思想方法，就是在解决数学问题时，从特殊的、简单的局部例子出发，寻找一般的规律，或者从现有的已知条件出发，通过观察、类比、联想，进而猜想结果的思维方法．一般先求出一些特殊的点的坐标，寻找这些点的规律，进而猜想出一般规律．

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探究四、函数与几何结合型问题

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例 4、 [2013·内江] 如图 39－3所示，反比例函数 y＝kx(x>0)的图象

经过矩形 OABC对角线的交点M，分别与 AB、BC相交于点 D、E，若四边形 ODBE的面积为 9，则 k的值为( )

图 39－3

A．1 B．2 C．3 D．4

C

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例题分层分析　　 (1)反比例函数系数 k的几何意义是什么？

(2)矩形 OABC的面积可以化为四边形 ODBE的面积和其他哪几个图形面积的和？

(3)从反比例函数图象上的点 E、M、 D入手，如何找出△ OCE、△ OAD、矩形 OABC的面积与 |k|的关系？

(4)怎样列出等式求出 k值？

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解 析 本题可从反比例函数图象上的点 E、M、D入手，分别找出△ OCE、△ OAD，矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出 k值． 由题意得：E、M、D位于反比例函数图

象上，则 S△ OCE＝|k|2 ，S△ OAD＝

|k|2 .

过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则 S ONMG＝|k|， 又∵ M为矩形 ABCO对角线的交点， ∴ S 矩形ABCO＝4S ONMG＝4|k|.

由于函数图象在第一象限，k＞0，则k2＋

k2＋9＝4k，

解得 k＝3. 考向互动探究

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变式题、[2013·重庆] 如图 39－4，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O 与原点重合，顶点 A、C分别在 x轴与 y轴上，

反比例函数 y＝kx(k≠ 0，x>0)的图象与正方形

的两边 AB、BC分别交于点 M、N、ND⊥x

轴，垂足为 D，连接 OM、ON、MN.下列结论： 图 39－4

① △ OCN≌△ OAM；② ON＝MN；③四边形 DAMN与△ MON

面积相等；④若∠MON＝45° ，MN＝2，则点 C的坐标为(0， 2＋1)．其中正确结论的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

C

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解 析 根据反比例函数的比例系数 k 的几何意义得到

S△ ONC＝S△ OAM＝12k，即

12OC· NC＝

12OA· AM，而OC＝OA，

则NC＝AM，再根据“ SAS”可判断△ OCN≌△ OAM ①， 对；根据全等的性质得到 ON＝OM，由于 k 的值不能确定，则∠MON的值不能确定，所以不能确定△ ONM为等边三角形，则ON≠MN ②， 不对；

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解 析 根据 S△ OND＝S△OAM＝12k 和 S△ OND＋S 四边形DAMN

＝S△ OAM＋S△OMN，即可得到 S 四边形 DAMN＝S△ OMN ③， 对；作NE⊥OM于 E点，则△ ONE为等腰直角三角形，设NE＝x，

则OM＝ON＝ 2x，EM＝ 2x－x＝( 2－1)x，在 Rt△ NEM

中，利用勾股定理可求出 x2＝2＋ 2，所以 ON2＝( 2x)2

＝4＋2 2，易得△ BMN为等腰直角三角形，得到 BN＝2

2

MN＝ 2，设正方形 ABCO的边长为 a，在 Rt△ OCN中，利

用勾股定理可求出 a的值为 2＋1，从而得到 C点坐标为(0，

2＋1) ④， 对．

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解题方法点析　　 (1)把复杂图形简单化、规范化，找出基本图形；

(2)善于用方程、转化思想解决几何问题；

(3)会用常规的证明思路．

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探究五、动态型问题

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例 5、[2013·烟台] 如图 39－5①，E为矩形 ABCD边 AD上一点，点 P

从点 B沿折线 BE—ED—DC运动到点 C时停止，点 Q从点 B沿 BC

运动到点 C时停止，它们运动的速度都是 1 cm/s.若点 P、Q同时开始运动，设运动时间为 t(s)，△ BPQ

的面积为 y(cm2)．已知 y与 t的函数关系图象如图②，则下列结论错误的是( )

A．AE＝6 cm

B．sin∠EBC＝45

C．当 0＜t≤ 10时，y＝25t2 图 39－5

D．当 t＝12 s时，△ PBQ是等腰三角形

D

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例题分层分析　　 (1)从图①中看出有几个点运动，如何运动？速度是多少？

(2)从图①中看出△ BPQ有哪几种情形？画图试试？

(3)由图②可知，这个函数分成几段？第一段是什么函数？第二段、第三段呢？

(4)结合图①②在 BE段， BP与 BQ总相等吗？持续时间是多少？y是 t的什么函数？

在图① ED段，图②对应的在点 (10， 40)至点 (14， 40)区间，△ BPQ的面积是多少？有什么变化没有？

图①在 DC段，图②对应的函数是什么函数？考向互动探究

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解 析 (1)结论 A正确．理由如下： 分析函数图象可知，BC＝10 cm，ED＝4 cm，故 AE＝AD－ED＝BC－ED＝10－4＝6(cm)； (2)结论 B正确．理由如下：如答图①所示，连接 EC，过点 E作 EF⊥BC于点 F.由函数图象可知，

BC＝BE＝10 cm，S△ BEC＝12BC· EF＝

12× 10× EF＝40 ∴，

EF＝8.

∴ sin∠EBC＝EFBE＝

810＝

45；

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解 析 (3)结论 C正确．理由如下： 如答图②所示，过点P作PG⊥BQ于点G， ∵ BQ＝BP＝t，

∴ y＝S△ BPQ＝12BQ· BP· sin∠EBC＝

12t· t·

45＝

25t2.

(4)结论D错误．理由如下： 当 t＝12 s时，点 Q与点 C重合，点 P运动到 ED的中点，设为N，如答图③所示，连接NB，NC.

此时 AN＝8，ND＝2，由勾股定理求得：NB＝8 2，NC＝

2 17.∵ BC＝10，

∴ △ BCN不是等腰三角形，即此时△ PBQ不是等腰三角形．

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解题方法点析　　解题关键：变动为静，即选取动点运动路径中任意一位置形成静态图形，再由静态图形的性质得出题设变量间的函数关系．

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