ΗΥ430 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

Περιληψη θεωριας Fourier

2

Ενεργεια και ισχυς σηματων

• Ενέργεια σηματος w(t):

• Ενα σημα w(t) ειναι σημα ενεργειας αν 0 < Ε < • Ισχυς σηματος:

• Για περιοδικα σηματα, με περιοδο Τ, η ισχυς μπορει να υπολογισθει ολοκληρωνοντας μεσα σε μια περιοδο.

• Ενα σημα w(t) ειναι σημα ισχυος αν 0 < Ρ < Τα σηματα ισχυος δεν υπαρχουν στην φυση (γιατι??)

• Υπενθυμηση: Αν ενα ηλεκτρικο σημα εντασεως i(t) ή τασεως v(t) εφαρμοζεται σε μια αντισταση R αναπτύσσεται, την στιγμη t, ισχυς ιση προς i(t)2R ή v(t)2/R. Για R=1 Ωμ η στιγμιαια ισχυς ειναι ιση με το τετραγωνο του σηματος. Η ενεργεια που καταναλωνεται στο διαστημα [-Τ/2, Τ/2] ειναι το ολοκληρωμα της ισχυος στο διαστημα αυτο και η μεση ισχυς ο λογος της ενεργειας προς τον χρονο Τ.

2 ( )E w t dt

/ 22 2

/ 2

1( ) lim ( )

T

TT

P w t w t dtT

3

DECIBELS

• Μοναδα συγκρισης (κυριως ενεργειων και ισχυων)

• Χρησιμη :– Οταν τα μεγεθη μεταβαλλονται κατα αρκετες ταξεις μεγεθους

– Οταν μας ενδιαφερει κυριως η σχεση (ο λογος ) δυο μεγεθων

• Για συγκρισεις ενεργειων ή ισχυων: db = 10 log10(P1/P2)

• Mερικες φορες ειναι χρησιμη η συγκριση της ισχυος ενος σηματος με μια ισχυ αναφορας 1Watt (1W) ή 1 milliWatt (1mW).– dbW= 10 log10(P1/ 1W)

– dbm= 10 log10(P1/ 1mW)

• Παραδειγματα: Ρ1=1mW =0dbm, Ρ1=10mW =10 dbm,

Ρ1=100mW =20dbm, Ρ1=1000mW =30dbm,

Ρ1=2mW =3dbm, Ρ1=4mW =6dbm, Ρ1=8mW =9dbm, Ρ1=5mW =7dbm,

Ρ1=2.5mW =4dbm, Ρ1=1.25mW =1dbm

4

O Μετασχηματισμος Fourier - Ορισμος

• Ο μετασχηματισμος (μ/ς) Fourier του σηματος w(t) ειναι ο:

• Ο αντιστροφος μ/ς Fourier διδεται απο την σχεση:

• Συμβολιζουμε ενα ζευγος μ/ς Fourier ως εξης: w(t) W(f) ή W(f)=F(w(t))

• O μ/ς Fourier υπαρχει εαν το w(t) ειναι σημα ενεργειας

2( ) { ( )} ( ) j ftW f F w t w t e dt

1 2( ) { ( )} ( ) j ftw t F W f W f e df

5

Αλλες μορφες του μ/ς Fourier

• Σε μερικα βιβλια βλεπουμε και τον ακολουθο συμβολισμο:

• Εδω η κυκλικη συχνοτητα ω =2 π f μετριεται σε radians/sec και προφανως εχουμε dω=2 π df.

• Οι δυο μορφες ειναι εντελως ισοδυναμες

( ) { ( )} ( ) j tW F w t w t e dt

1 1

( ) { ( )} ( )2

j tw t F W W e d

6

Φυσικη σημασια του μ/ς Fourier

• O μ/ς Fourier μπορει να θεωρηθει σαν ενας εργαλειο με το οποιο βλεπουμε ενα σημα απο μια αλλη οπτικη γωνια:– Κοιταξτε ποσο διαφορετικη μπορει να φανει μια καρεκλα οταν την κοιτάμε απο

διαφορετικες γωνιες

• Η συχνοτητα μετρα τον ρυθμο της χρονικης μεταβολης ενος σηματος:– «Η υψηλη συχνοτητα αντιστοιχει στις γρηγορες μεταβολες συναρτησει του χρονου»

– «Η χαμηλη συχνοτητα αντιστοιχει στις αργες μεταβολες»

2( )2 ( ) j ftdx t

j f X f e dfdt

7

Παραδειγμα Υπολογισμου μ/ς FourierΤετραγωνικος Παλμος

• Τετραγωνικος παλμος:

• Αλλά

• Οπότε

-Τ/2 Τ/2 t

1 Π(t/T) 1, | | / 2

0, | | / 2

t Tt

T t T

/ 22

/ 2

[ ( )] 12

T j fT j fTj ft

T

e eF t e dt

j f

2 sin( )jx jxe e j x

sin( ) sin( )( ) sin ( )

fT fTf T T c fT

f fT

8

Μ/ς Fourier Τετραγωνικου Παλμου (2)

• Eιδαμε οτι Π(t/T) Τ sinc(πfT)

• Παρατηρησεις:– Η διαρκεια του παλμου ειναι αντιστροφως αναλογη του ευρους φασματος

– Η ασυνεχεια στο πεδιο του χρονου οδηγει σε απεριοριστο φασμα

Πεδιο χρονουπ(t/T)

πεδιο συχνοτητωνΤ sinc(fT)

9

Ταυτοτητες EULER

cos( ) sin( )jxe x j x

sin( )2

jx jxe ex

j

cos( )2

jx jxe ex

1jxe 2 1je

10

Μερικα συνηθισμενα σηματα

• Τετραγωνικος Παλμος:

• Τριγωνικος Παλμος

• Η συναρτηση δειγματοληψιας

• Μοναδιαια βηματικη συναρτηση

• Η μοναδιαια κρουστικη συναρτηση

Βασικες ιδιοτητες της δ(t)

1, | | / 2

0, | | / 2

t Tt

T t T

1 , 0

1 , 0

0,

t T tt

t T t TT

ύ

sin ( ) sin( ) /c x x x

1, 0( )

0, 0

tu t

t

0, 0( )

, 0

tt

t

( ) 1t dt

( ) ( ) ( )x t d x t

T-T

1

11

Παραδειγμα μ/ς Fourier #2Η εκθετικη συναρτηση

•

•

• Φασμα μετρου |Χ(f)|=|X(-f)|

• Φασμα φασης

exp( ), 0( ) ( )

0, 0

atat t

x t u t et

2 ( 2 )

0

( ) ( ) at j ft a j f tX f u t e e dt e dt

( 2 )

( )

0

1( )

2 2

a j f tj X fe

X f ea j f a j f

2 2

1( )

(2 )X f

a f

2

( ) arctan ( ) ( )f

X f X f X fa

12

Παραδειγμα μ/ς Fourier #3Ημιτονοειδης Συναρτηση

• Μερικες φορες ειναι ευκολωτερο να βρουμε ενα ζευγος μ/ς υπολογιζοντας τον αντιστροφο μ/ς. Ετσι αρχιζοντας απο την σχεση:

• βρισκουμε:

• δηλαδη

•

•

1 1( ) ( ) ( )

2 2c cX f f f f f

2 21 1( ) ( ) ( )

2 2j ft j ft

c cx t f f e df f f e df

2 2

cos(2 )2

c cj f t j f t

c

e ef t

1 1cos(2 ) ( ) ( )

2 2c c cf t f f f f

13

Μεθοδοι ευρεσης ζευγων μ/ς Fourier

• Εφαρμογη του ορισμου

• Δημιουργια πινακα με ζευγη μ/ς Fourier

• Δημιουργια πινακα απλων κανονων για την μετατροπη των ζευγων του μ/ς

14

Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς

• Γραμμικοτητα a1x1(t)+a2x2(t) a1X1(f)+a2X2(t)

– παραδειγμα: 5Π(t/10)+3Π(t/20) 50 sinc(10f) +30sinc(20f)

• Χρονικη καθυστερηση: x(t-Td) X(f)exp(-j2πfTd)

παραδειγμα: sin(2πfct) = cos(2πfct – π/2) = cos[2πfc(t – 1/4fc)] =(1/2)δ(f-fc)exp(-jπf/2fc) + (1/2) δ(f+fc)exp(-jπf/2fc)=

=(1/2)δ(f-fc)jsin(-π/2) + (1/2)δ(f+fc)jsin(π/2) =

=(-j/2)δ(f-fc) +(j/2)δ(f+fc)={δ(f-fc) - δ(f+fc)}/2j

• Aλλαγη κλιμακας: x(at) (1/ |a|)X(f/a)– Μεγαλο a => “στενωτερο” χρονικα σημα => “φαρδυτερο” φασμα

– Mικρο a => “φαρδυτερο” χρονικα σημα => “στενωτερο” φασμα

15

Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (2)

• Ολοκληρωση: αν x(t) X(f) και y(t) = - tx(τ)dτ τοτε

Y(f) = X(f)/(2jπf) + (1/2) X(0)δ(f)

– Παραδειγμα: Αν y(t)= - tΠ(τ)dτ τοτε Υ(f) = sinc(f)/(2jπf) + (1/2)sinc(0)δ(f)= =sinc(f)/(2jπf) +(1/2)δ(f)

• Παραγωγιση: d[x(t)]/dt j2πfX(f) και

t x(t) (j/2π) d[X(f)]/df

• Δυϊσμος (duality): Αν x(t) X(f) τοτε

Χ(-t) x(f) και

X(t) x(-f)

– Παραδειγμα: Π(t)sinc(f) => sinc(t)=sin(πt)/(πt) Π(-f) = Π(f)

2( ) { ( )} ( ) j ftX f F x t x t e dt

1 2( ) { ( )} ( ) j ftx t F X f X f e df

16

Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (3)

• Διαμορφωση: x(t)cos(2πfct) (1/2)X(f+fc) + (1/2)X(f-fc)– παραδειγμα

• Θεωρημα του Parseval: E = |x(t)|2dt = |X(f)|2df– H ενεργεια μπορει να υπολογισθει ειτε στο πεδιο του χρονου ειτε στο πεδιο

συχνοτητων

– H |X(f)|2 καθοριζει τον τροπο κατανομης της ενεργειας στο φασμα

– Παραδειγμα: Αν x(t)=sinc(t) τοτε

E = sinc2(t)dt = [Π(f)]2df = 1

-W W -fc-W –fc -fc+W fc-W fc fc+W

X(f) A A/2

17

Σημαντικες Ιδιοτητες του μ/ς (4)

• Συνελιξη: Ορισμος x1(t)*x2(t) = - x1(τ) x2(t-τ) dτ

• Ιδιοτητα: x1(t)*x2(t) X1(f) X2(f)– Μια πολυπλοκη πραξη στο πεδιο του χρονου αντιστοιχει σε απλο

πολλαπλασιασμο στο πεδιο συχνοτητων.

– Ετσι απλοποιουνται τοσο αναλυτικοι οσο και αριθμητικοι υπολογισμοι

• Εφαρμογη στα γραμμικα συστηματα:

• y(t) = x(t)*h(t) Y(f) = X(f) H(f) h(t) H(f) = συναρτηση μεταφορας http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html

Η αυτοσυσχετιση στο πεδιο του χρονου του x(t) οριζεται σαν

Rx(τ) = - x(t) x(t-τ) dt = x(τ)*x(-τ) Χ(f) X*(f) = |X(f)|2

Η ενεργεια ΕΧ του σηματος x(t) ισουται με ΕΧ = RX(0)

Κρουστικηαποκριση h(t)

x(t) y(t) = - x(τ) h(t-τ) dτ =

= - h(τ) x(t-τ) dτ

http

://c

nyac

k.ho

mes

tead

.com

/fil

es/a

conv

/con

vio.

htm

18

Περιληψη μ/ς Fourier

• Μαθηματικη πραξη με αυστηρα οριζομενους κανονες

• Φυσικη σημασια:

Δειχνει το φασματικο περιεχομενο ενος σηματος

• Διευκολυνει τον υπολογισμο πολλων ποσοτητων και παραμετρων– Θεωρημα Parseval (Υπολογισμος ενεργειας)

– Θεωρημα συνελιξης (διελευση μεσα απο γραμμικα συστηματα)

19

Σχετικες εννοιεςΠυκνοτητα Φασματικης Ενεργειας και Ισχυος

• Πυκνοτητα φασματικης Ενεργειας EΧ(f) = |X(f)|2 = F[R(τ)]

• Πυκνοτητα φασματικης Ισχυος: Εστω οτι το x(t) ειναι σημα ισχυος. Τοτε δεν εχει μ/ς Fourier.

Οριζουμε το truncated σημα xT(t) = x(t) Π(t/T)

O μ/ς Fourier του xT(t) υπαρχει ((γιατι??) XT(f) xT(t)

H πυκνοτητα φασματικης ισχυος SX(f) οριζεται ως εξης:

= οριο του λογου (ενεργεια/χρονος)

2( )

( ) lim TX

T

X fS f

T

(0) ( )X X XE R E f df

20

Αυτοσυσχετιση και πυκνοτητα φασματικης ισχυος σηματων ισχυος

Για τo σημα ισχυος x(t) οριζουμε την μεση χρονικα συναρτηση αυτοσυσχετισης RX(τ)

Η πυκνοτητα φασματικης ισχυος (Power Spectral Density – PSD) SX(f) αποδεικνυεται οτι ειναι ο μ/ς Fourier της RX(τ), δηλαδη:

RX(τ) SX(f)

Η ισχυς του σηματος ΡΧ ειναι

Εδω ορισαμε τις πυκνοτητες φασματικης ενεργειας και ισχυος για μη-τυχαια σηματα. Οι ιδιοι ορισμοι ισχυουν και για τα τυχαια σηματα.

2

2

1lim ( ) ( )

T

X TTR x t x t dt

T

(0) ( )X X XP R S f df

21

Σχετικες Εννοιες (2)Σειρες Fourier

• O μ/ς Fourier ειναι χρησιμος για ολα τα φυσικα υλοποιησιμα σηματα (=πεπερασμενης ενεργειας)– (και επιπλεον για μερικα μη υλοποιησιμα σηματα οπως το ημιτονοειδες σημα

και η συναρτηση δελτα).

δ(t) 1, 1 δ(f), cos(2πf0t) (1/2)δ(f-f0) + (1/2)δ(f+f0)

• Οι σειρες Fourier ειναι ενα παρομοιο εργαλειο μετασχηματισμου που ειναι χρησιμο για περιοδικα σηματα.– Τα περιοδικα σηματα ειναι σηματα ισχυος και εξ ορισμου μη υλοποιησιμα

– Τα περιοδικα σηματα μπορουμε να τα παραστησουμε με μ/ς Fourier αν δεχθουμε την χρησιμοποιηση συναρτησεων δελτα.

22

Σχετικες Εννοιες (3)Σειρες Fourier - Ορισμος

• Αν το x(t) ειναι περιοδικο σημα με περιοδο Τ0 ,

• αν ο αριθμος των μεγιστων και ελαχιστων καθως και των σημειων ασυνεχειας σε καθε περιοδο ειναι πεπερασμενος και

• αν ειναι ολοκληρωσιμο κατ’ απολυτο τιμη στο [0, Τ0], τοτε μπορει να γραφεί σαν αναπτυγμα σε σειρα Fourier:

οπου

• Οι συντελεστες xn επιλεγονται ετσι ώστε Ορθογωνικότητα

• Οι συντελεστες xn ονομαζονται συντελεστες Fourier και η f0= (1/T0) ειναι η θεμελειωδης συχνοτητα του x(t).

0

2

( )nN j t

Tn

n N

x t x e

0

0

2

0

1( )

nj ta T T

n ax x t e dt

T

00

22

lim ( ) 0n

j ta T N Tnn NaN

x t x e dt

00 0

2 2

0

1, αν n=m1( )

0, αν n m

n mj t j ta T T T

ae e dt n m

T

23

Παραδειγμα υπολογισμου σειρας Fourier

• Εστω x(t) μια περιοδικη ακολουθια παλμων Π(t/τ) με περιοδο Τ0. Η x(t) γραφεται:

• Οι συντελεστες Fourier υπολογιζονται ως εξης:

• Οποτε

0( )k

t kTx t

0 0

2 2

0 0

( ) sint t

jn jnT T

nn n

nx t x e c e

T T

00 0 0

0

0 0

2 2 22 2

2 20 0 0

22

2 22 2

02

0 0 0

0 0

1 1 1( ) ( )

sin1 1 1

2 2

n n nj t j t j ta T T T T

n a

tn

j tT

n nj j

T Tt

x x t e dt x t e dt e dtT T T

e nTe e

T T Tn nj j

T T

0 0

0

sinn

cT Tn

T

24

Σχετικες Εννοιες (4)Μετ/σμος Fourier Περιοδικων Σηματων

• Το x(t) ειναι περιοδικο σημα με περιοδο Τ0. • Το αναπτυγμα σε σειρα Fourier ειναι

• Παιρνοντας τον μ/ς Fourier αμφοτερων των μελων βρισκουμε:

• Οι συντελεστες Fourier xn βρισκονται ως εξης: Οριζουμε το σημα xTo(t) = x(t) Π(t/T0) που ισουται με μια περιοδο του x(t), και εχει μ/ς Fourier ΧTo(f). Τοτε

0

2

( )n

j tT

nn

x t x e

02 ( / )

0 0

( ) ( )j n T tn

n

n nX f x f e f

T T

0

0

0

0

2 2

0 0 02

1 1( )

nT j tT

n T

T

nx x t e dt X

T T T

25

Απο το συνεχες στο γραμμικο φασμαλογω περιοδικης επαναληψης

• x(t)X(f)

• x(t)+x(t-T)X(f)+X(f)exp(-j2πfT)=X(f)[1+exp(-j2πfT)]=

= X(f) exp(-jπfT) [exp(jπfT)+exp(-jπfT)]=

= 2 X(f) exp(-jπfT) cosπfT

• x(t)+x(t-T)+x(t-2T)=X(f)[1+exp(-j2πfT)+ exp(-j2πf2T)]=

=X(f) exp(-j2πfT)[exp(j2πfT)+1+exp(-j2πfT)]=

= X(f) exp(-j2πfT)[1+2cos(2πft)] = X(f) exp(-j2πfT)[4cos2 (πft)-1]

• x(t)+x(t-T)+x(t-2T)+x(t-3T) =X(f)[1+exp(-j2πfT)+ exp(-j2πf2T)+exp(-j2πf3T)]=

=X(f) exp(-j3πfT)[exp(j3πfT)+ ex(jπfT) +exp(-jπfT)+1+exp(-j3πfT)]=

=X(f) exp(-j3πfT)[2cos(3πfT/2)+2cos(πfT)]