Εφαρμοζόμενα μαθηματικά σε Εφαρμοζόμενα μαθηματικά σε ένα φύλλο χαρτένα φύλλο χαρτίί Α Α44

ΕισήγησηΕισήγηση: : Γιάννης Π. ΠλατάροςΓιάννης Π. Πλατάρος

4AΌμοια σχήματαΌμοια σχήματαΛόγοιΛόγοιΑνθυφαίρεσηΑνθυφαίρεσηΠλευρικοί –διαμετρικοί αριθμοίΠλευρικοί –διαμετρικοί αριθμοίΑκολουθία Ακολουθία PellPellΣύγκλισηΣύγκλισηΚαμπύλες Καμπύλες κ.ά.κ.ά.

Α4297mm

210mm

2971,4142857 2

210

5A4A

3A6A

7A

Ορίζεται μια ακολουθία μεγεθών χαρτιών Αi , όπου Εμβαδόν(Αi-1)=2Εμβαδόν(Αi)

Μήκος (Αi-1 )=Πλάτος (Αi)

Πλάτος (Αi-1 )=2 Μήκος (Αi)

2A1A

4 3

4 5

Από Α 2 141%

1 2Από Α 70,7%

22

έ

ύ

χ' χ'

χχ

χ'χ'

2

22 (1) 2

2

΄ ΄

΄

΄

8 4 2... ...4

2 4

2

2ή ό ό

ή ό ό

΄΄΄ ΄ ΄

A4

αδ

δ

2 210 297mm mm

δ

α

δ-α

3α-2δ

5δ-7α

17α-12δ

29δ-41α

1

2

22

2

3 2

Ανθφ(δ,α) =[1,2,2,2,2,2,2,….]

(i.) το α , χωρά στο δ , 1 φορά και περισσεύει δ-α <αi.) το α , χωρά στο δ , 1 φορά και περισσεύει δ-α <α(ii.) Το δ-α , χωρά στο α , 2 φορές και περισσεύει 3α-2δ<δ-α.(ii.) Το δ-α , χωρά στο α , 2 φορές και περισσεύει 3α-2δ<δ-α.(iii.)Το 3α-2δ , χωρά στο δ-α , 2 φορές και περισσεύει 5δ-(iii.)Το 3α-2δ , χωρά στο δ-α , 2 φορές και περισσεύει 5δ-7α<3α-2δ 7α<3α-2δ (iv.)Το 5δ-7α , χωρά στο 3α –2δ , 2 φορές και περισσεύει 17α –(iv.)Το 5δ-7α , χωρά στο 3α –2δ , 2 φορές και περισσεύει 17α –12δ<5δ-7α12δ<5δ-7α(v.)Το 17α –12δ , χωρά στο 5δ-7α , 2 φορές και περισσεύει 29δ-(v.)Το 17α –12δ , χωρά στο 5δ-7α , 2 φορές και περισσεύει 29δ-41α< 17α –12δ41α< 17α –12δ

2 22 ( 1) (*)

Ο ΠρόκλοςΠρόκλος (2.27.1-2.29.4) , αποδεικνύει την σχέση κάνοντας χρήση της προτάσεως ΙΙ.10 των «Στοιχείων» του Ευκλείδους («γλαφυρόν θεώρημα») Σύμφωνα με τους Van der WaerdenVan der Waerden , , Στυλιανό Στυλιανό ΝεγρεπόντηΝεγρεπόντη κ.ά. πρέπει να θεωρηθεί βέβαιον , ότι ο Ευκλείδης γνώριζε την μέθοδο απόδειξης της τελείας επαγωγής. Κύριο επιχείρημα: Η πρόταση ΙΙ.10 αφ΄ ενός έχει μια εξαιρετικά εξεζητημένη ειδική διατύπωση (λήμμα) και αφ΄ ετέρου δεν εφαρμόζεται πουθενά αλλού στα «Στοιχεία», όπως οι άλλες προτάσεις των «Στοιχείων». Όμως, η ΙΙ.10 , συνιστά την απόδειξη της (η ΙΙ.10 , συνιστά την απόδειξη της (**) στο βήμα ) στο βήμα «αποδεικνύω για ν= κ+1» της επαγωγικής μεθόδου«αποδεικνύω για ν= κ+1» της επαγωγικής μεθόδου..

*

*

2

( 1)2

*

*

δ

α

δ-α

3α-2δ

5δ-7α

17α-12δ

29δ-41α

2 1 2

0

2 [( 1) ( 1) ]

2 20

2 ( )

2 1 2 10

2 ( )