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积分变换 第 4 讲. 本文件可从网址 http://math.vip.sina.com 上下载. 卷积定理与相关函数. 卷积的概念 若已知函数 f 1 ( t ), f 2 ( t ), 则积分. 称为函数 f 1 ( t ) 与 f 2 ( t ) 的 卷积 , 记为 f 1 ( t ) * f 2 ( t ). 卷积的图示. f 1 ( t ). f 2 ( t ). t. O. f 2 ( - t ). O. t. f 2 ( t - t ). t. t. O. 在积分. - PowerPoint PPT Presentation
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积分变换第 4讲
本文件可从网址http://math.vip.sina.com上下载
2
卷积定理与相关函数
3
卷积的概念若已知函数 f1(t), f2(t), 则积分
1 2( ) ( )df f t
称为函数 f1(t) 与 f2(t) 的卷积 , 记为 f1(t)*f2(t)
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )df t f t f f t
4
卷积的图示 f1() f2()
Of2()
O
O t
f2(t)
5
在积分
中 , 令 ut, 则 tu, dud, 则1 2( ) ( )df f t
1 2 1 2
1 2
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )d
( ) ( )d
( ) ( )d ( ) ( )
f t f t f f t
f t u f u u
f u f t u u f t f t
即卷积满足交换律 .
6
下证卷积满足结合律 , 即[f1(t)*f2(t)]*f3(t)=f1(t)*[f2(t)*f3(t)]
为此 , 令1 2 1 2
2 3 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )d
( ) ( ) ( ) ( ) ( )d
g t f t f t f f t
s t f t f t f t v f v v
则 1 2 3 3
3
1 2 3
[ ( )* ( )]* ( ) ( )* ( )
( ) ( )d
( ) ( )d ( )d
f t f t f t g t f t
g u f t u u
f f u f t u u
7
交换二重积分的次序 , 得
令 v=tu, 则 u=tv,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( )d ( )d
( ) ( ) ( )d d
f t f t f t
f f u f t u u
f f u f t u u
)()()(
)()(d)()(
dd)()()(
321
11
321
tftftf
tstftsf
vvfvtff
上式
8
例 1 证明 f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)证 根据卷积的定义
).()()()(
d)()(d)()(
d)]()()[(
)]()([)(
3121
3121
321
321
tftftftf
tfftff
tftff
tftftf
9
任给函数 f(t), 都有 f(t)*(t)=f(t), 这是因为
( ) ( ) ( ) ( )d ( )f t t t f f t
因此 , 单位脉冲函数 (t) 在卷积运算中起着类似数的运算中的 1 的作用 .
10
在近世代数中 , 代数 (algebra) 一词表示两个元素到一个元素的映射规则 . 比如数的加减乘除 , 向量的加 , 内积 , 矩阵的加和乘 , 向量或者矩阵乘数 , 等等 , 都是代数运算 .如果一个代数运算满足类似加法的性质 , 如有 0 元素 , 有负元素 , 满足交换律和结合律 , 则相应的集合叫做加法群 , 简称群 .如果在加法群上再定义一个被称作乘法的运算 , 满足交换律和结合律 , 有 1 元素 , 且同相应的加法运算满足分配律 , 此集合就叫做乘法环 , 简称环 .如果乘法除 0 元素外都有逆 , 则被称作域了 .
11
例 2 若
1 2
0 0 0 0( ) ( )
1 0 e 0t
t tf t f t
t t
求 f1(t)*f2(t)f1()
1
O
O
f2(t)1
t
12
由卷积的定义有
1 2 1 2
( )
0 0
( ) ( ) ( ) ( )d
1 e d e e d
e (e 1) 1 e
t tt t
t t t
f t f t f f t
tO
1et1
13
卷积定理 假定 f1(t), f2(t) 都满足傅氏积分定理中的条件 , 如
f1(t) F1() f2(t) F2()
则 f1(t) * f2(t) F1()F2()
以及1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2f t f t F F
14
证 按傅氏变换的定义 , 有j
1 2 1 2
j1 2
j j ( )1 2
j j ( )1 2
1 2
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]e d
( ) ( ) e d
( )e ( )e d d
( )e ( )e d
( ) ( )
t
t
t
t
f t f t f t f t t
f f t d t
f f t t
f f t t d
F F
F
15
相关函数对两个不同的函数 f1(t) 和 f2(t), 则积分
1 2( ) ( )df t f t t
称为两个函数的互相关函数 , 记为 R12(), 即
12 1 2
1 2
21
21 1 2
( ) ( ) ( )d
( ) ( )d
( ),
( ) ( ) ( )d
R f t f t t
f t f t t
R
R f t f t t
而积分
记为 即
16
当 f1(t)=f2(t)=f(t) 时 , 积分( ) ( )df t f t t
称为 f(t) 的自相关函数 ( 简称相关函数 ). 用记号 R() 表示 , 即
( ) ( ) ( )dR f t f t t
17
根据 R(t) 的定义 , 自相关函数是一个偶函数 ,
R(t)=R(t)事实上 ,( ) ( ) ( )dR f t f t t
( ) ( ) ( )d ( )R f u f u u R
令 t=u+, 可得
关于互相关函数 , 有如下的性质 :R21()=R12()
18
前面已经证明过1 2 1 2
1( ) ( )d ( ) ( )
2f t f t t F F d
j
j
2 j j
j
( ) ( )e ,
1( ) ( )d ( ) ( )e d
21 1
( ) e d ( )e d2 2
1( ) ( )e d
2
f t F
f t f t t F F
F S
R S
则有
即
令 f1(t)=f(t), f2(t)=f(t+), 设 f(t)F(), 则
19
假设 f1(t)F1(), f2(t)F2(), 称S12()=F1()F2() 为互能量谱密度 . 则f2(t+)F2()ej
可可12 1 2
j1 2
j12
( ) ( ) ( )d
1( ) ( )e d
21
( )e d2
R f t f t t
F F
S
即 R12()S12(), 且易证 S21()= S12()
20
例 3 求指数衰减函数0 0
( ) ( 0)e 0t
tf t
t
的自相关函数和能量谱密度
tO
f(t)1
tO
f(t+)1
tO
f(t+)1
21
当 >0 时 , 积分区间为 [0,+)( )
0
2
( ) ( ) ( )d e e d
e ee
2 20
t t
t
R f t f t t t
当 <0 时 , 积分区间为 [, +)
2e
e2e
e2
e
deed)()()(
22
)(
t
tt tttftfR
22
因此 , 当 << 时 , 自相关函数可合写为 | |1
( ) e2
R
j | | j
2 20
1( ) ( )e d e e d
2
1 1e cos d
S R
并求得能量谱密度为
23
例 4 利用傅氏变换的性质 , 求 (tt0),0
0
0
j
j0
j0
2
2
e , ( )
( ) 1, ( ) e
1 2 ( ), e 2 ( )
1( ) ( )
j
d 1 1j ( ) ( ) ( )
d j j
1( ) j ( )
j
t
t
t
tu t
t t t
u t
tu t
tu t
以及 的傅氏变换
因 由位移性质得
由 得
由
24
例 5 若 f(t)=cos0t u(t), 求 F [f(t)]
)]()([2
j
)()j(
1
)()j(
121
)(
2ee
)()(
)(j1
)(
00220
00
00
jj 00
F
tutf
tu
tt
25
例 6 若 F()=F [f(t)], 证明( )
( )d (0) ( )j
: ( )d ( ) ( )d ( ) ( )
1( ) ( ), ( ) ( )
j
1( ) ( ) ( ) ( )
j
1( ) (0) ( )
j
t
t t
Ff t t F
f t t f u t f t u t
u t f t F
u t f t F
F F
证
F
26
奈奎斯特采样率
27
假设时间函数 f(t) 在区间 [a, a] 之外全为零 , 并假设 f(t)F()
tO
f(t)
aa
O
F()
a
a
t ttfF de)()( j
28
现将 f(t) 进行周期化 , 产生 fT(t), T=2a, 然后用傅氏级数表示 .
tO
fT(t)
aa
)(21
de)(21
2,e)(
j
j
n
a
a
tn
nn
tnT
Fa
ttfa
c
an
Tn
ctf
n
n
29
n
nnTn
tnT F
aFctf n )()(
21
)(e)( j
tO
fT(t)
aa
O
FT()
1 2 ...
30
根据对称原理有 FT(t)2fT()
O t
FT(t)
i1 t2 ...
O
fT()
aa
31
假设时间函数 f(t) 的频谱函数 F() 在[B,2B] 之外为 0.B称为 f(t) 的带宽 .
O
F()
2BB
O t
f(t) 2 j
2( ) ( )e d
B t
Bf t F
32
现对 f(t) 进行间隔为 t的采样得 g(t)
j
j
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( )
( ) ,
1( )
1( ) ( )
1 2( ) ( ) ( )
n n n nn n
nn
n tn
n n
n t
n
n
g t f t t t f t t t t n t
t t t
t t et
g t f t et
G F nt t
是周期为 的周期函数可展开
为傅氏级数
则
33
如图所示 :
O ti1 t2 ...
O
G()
/2
g(t)
/2
34
2 , ( ) ( )2
2, ,
12 , 2 ,
1,
1,
2 , .
B g t f t
t
B Bt t
t ft
ft
f B
当选择 时 中将包括 中的
所有信息而 上式即是要求
即
称作采样周期 称作采样频率
则上式即是要求
这被称为奈奎斯特定理
35
作业 习题四 第 51 页
第 1 题第 (3)(4) 小题第 5 题第 (1),(2),(3) 小题
今天学号大于 2004111111 的同学交作业
