ΤΡΕΙΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΄ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Γιώργος Ρίζος

1. ΑΚΡΙΒΗΣ ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ∆ΙΑΜΕΣΟΥ

ΟΜΑ∆ΟΠΟΙΗΜΕΝΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

Στο βιβλίο του ΟΕ∆Β Μαθηματικά και στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Ενιαί-ου Λυκείου, εκδ. 2001, στο κεφάλαιο της Στατιστικής, όλα σχεδόν τα μέτρα θέσης κατανομής υπολογίζονται με ακρίβεια, με τη βοήθεια τύ-πων, εκτός από την επικρατούσα τιμή και τη διάμεσο ομαδοποιημένης κατανομής, των οποίων οι τιμές υπολογίζονται προσεγγιστικά με τη βοήθεια των ιστογραμμάτων των κατανομών, με αποτέλεσμα η ακρί-βεια του υπολογισμού να εξαρτάται από την λεπτομέρεια και ορθότητα της γραφικής παράστασης.

Αυτό είναι, νομίζω, συνηθισμένο στα εκπαιδευτικά προγράμματα χωρών της ∆υτικής Ευρώπης, όπου πολλοί υπολογισμοί γίνονται προ-σεγγιστικά ή με τη βοήθεια τετραγωνισμένου χαρτιού και σχημάτων. Είναι όμως πολύ απλός (και εύκολα κατανοητός από τους μαθητές) ο ακριβής υπολογισμός των τιμών αυτών, με τη βοήθεια της Ευκλείδιας Γεωμετρίας και νομίζω αξίζει τον κόπο να παρουσιαστεί στην τάξη, αν και η ένταξή του στο βιβλίο, θα παρέκλινε από τους στόχους του. Πι-στεύω όμως, ότι η πλειοψηφία των διδασκόντων παρουσιάζει τη μέθο-δο αυτή ή κάποια αντίστοιχη στις τάξεις.

Παρουσιάζουμε τον υπολογισμό με τη βοήθεια ενός αριθμητικού πα-ραδείγματος στα ιστογράμματα των σχημάτων 1 και 2.

Η επικρατούσα τιμή προσδιορίζε-ται στο σχολικό βιβλίο στη σελίδα 91

5

1012

18

5 10 15 20 25 30 35

A

B Γ

ΔΗΕ

Ζ

Μ0

Σχήμα 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 123

(κατά προσέγγιση) ως τετμημένη του σημείου τομής Ζ των ΑΓ και Β∆. Για τον υπολογισμό της με ακρίβεια, μπορούμε να χρησιμοποιή-

σουμε τις αναλογίες που προκύπτουν από την προφανή ομοιότητα των τριγώνων ΑΖΒ και ΓΖ∆. Το μήκος ΑΒ είναι η διαφορά της συχνότη-τας της μεγαλύτερης κλάσης μείον τη συχνότητα της προηγούμενής της (στο παράδειγμα το ΑΒ είναι ίσο με 18 – 10 = 8) και το Γ∆ είναι η διαφορά της συχνότητας της μεγαλύτερης κλάσης μείον τη συχνότη-τα της επόμενής της (είναι Γ∆ = 18 – 12 = 6). Ονομάζουμε x το ΕΖ, οπότε το ΖΗ είναι ίσο με το εύρος της κλάσης μείον το x (εδώ είναι Γ∆ = 5 – x).

Ο λόγος των υψών (είναι γνωστό ότι) είναι ίσος με το λόγο των βάσε-

ων, οπότε ισχύει: EZ ΖH x 5 xήΑΒ Γ∆ 8 6

−= = ή 6x = 40 – 8x άρα x = 20

7.

Οπότε Μ0 = 15 + x = 20 125157 7

+ = . Λέμε επίσης ότι Μ0 ≅ 17,857,

(προσεγγιστική τιμή μεν, αλλά ακριβέστερη από την γραφική παράσταση).

Η διάμεσος προσδιορίζεται στο σχολικό βιβλίο στη σελίδα 88 ως τετμημένη του σημείου Β, στο ο-ποίο τέμνει το πολύγωνο αθροιστι-κών συχνοτήτων η οριζόντια ευθεία που άγεται από το σημείο Α του άξονα y΄y, το οποίο αντιστοιχεί στο 50% των παρατηρήσεων (στην πε-ρίπτωσή μας 30).

Και πάλι εδώ το μήκος ∆Γ είναι η συχνότητα της κλάσης εντός της οποίας είναι το Β (εδώ της κλάσης [15, 20) και είναι ∆Γ = 18). Το ∆Ε είναι το εύρος της κλάσης (∆Ε = 5). Το ΓΖ είναι η διαφορά του μισού της συνολικής συχνότητας μείον την προσθετική συχνότητα της προη-γούμενης κλάσης (ΓΖ = 30 – 15 = 15). Ονομάζουμε x το ΖΒ.

55

45

60

15

5

33

5 10 15 20 25 30 35

Ζ B

Γ

Δ Ε

δ

30 Α

Σχήμα 2

124 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

Τα τρίγωνα ΓΖB και Γ∆Ε είναι όμοια, οπότε:

ZB ΓΖ x 15 25ή ή x∆Ε Γ∆ 5 18 6

= = = . Τότε 25 115δ 156 6

= + = ≅ 19,167.

ΣΧΟΛΙA: • Αν το Β ταυτιστεί με την κορυφή Β του ορθογωνίου, τότε προφανώς δ = 20. • Με αντίστοιχο τρόπο μπορούμε να βρούμε με ακρίβεια τα τεταρτημόρια ή

ποια τιμή αντιστοιχεί π.χ. το 82% των παρατηρήσεων ή οι 38 πρώτες παρατηρήσεις ή ακόμα η τιμή 26 σε ποια συχνότητα αντιστοιχεί.

• Μπορούμε ακόμα να κάνουμε τους υπολογισμούς της διαμέσου, των τε-ταρτημορίων κ.ο.κ. και με την παρακάτω μέθοδο: Με τη βοήθεια των συ-ντεταγμένων των σημείων Γ και Ε, βρίσκουμε την εξίσωση της ευθείας των Γ, Ε και στη συνέχεια την τετμημένη του σημείου τομής Β με την οριζόντια ευθεία y = 30. Να παρατηρήσουμε ότι συνήθως οι άξονες δεν σχηματίζουν "κανονικό" σύστημα συντεταγμένων, επειδή βαθμολογούνται διαφορετικά. Αυτό όμως δεν έχει σημασία, επειδή διατηρούνται οι αναλο-γίες των τιμών στον κάθε έναν τους.

2. ΤΟ ΕΜΒΑ∆Ο ΤΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΙ ΤΟ ΠΟΛΥΓΩΝΟ

ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ x΄x. Ένα ακόμα σημείο που χρειάζεται μια λεπτομερέστερη παρουσίαση, είναι το εμβαδό του χωρίου που ορίζει το πολύγωνο συχνοτήτων ομα-δοποιημένης κατανομής με τον άξονα x΄x.

Σχεδιάζουμε, αναφέρει το βιβλίο στη σελ. 73, τα ιστογράμματα σημειώνοντας στον οριζόντιο άξονα με κατάλληλη κλίμακα τα όρια των κλάσεων. Τα ορθογώνια (ιστοί) έχουν τότε βάση το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο ώστε το εμβαδόν του καθενός να αντιστοιχεί στη συχνότητα της κλάσης.

Όταν μάλιστα οι κλάσεις έχουν ίσο πλάτος, τότε θεωρούμε ως μο-νάδα μέτρησης το πλάτος c κάθε κλάσης. Οπότε το εμβαδόν κάθε ορ-θογωνίου παραλληλογράμμου (ιστού) θα έχει εμβαδόν: βάση (δηλαδή 1 μον. μήκους)× ύψος (δηλαδή τη συχνότητα νi της κλάσης). Τότε το ά-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 125

θροισμα των εμβαδών όλων των ιστών ισούται με ν

ii 1

ν ν=

=∑ .

Κατασκευάζοντας τώρα το πολύγωνο συχνοτήτων, παρατηρούμε ότι το σημείο Α (βλέπε σχ. 3) είναι το κέντρο της μηδενικής κλάσης που προσθέσαμε, άρα ΑΒ = ∆Ε. Από την παραλληλία ∆Ε //

ΑΒ προκύπτει ότι και οι γωνί-ες ΓΑΒ και ΓΕ∆ είναι ίσες,

καθώς και οι ορθές ∆ και Β ,

οπότε τα τρίγωνα ΑΒ∆ και ∆ΕΓ είναι ίσα, άρα και ισοεμ-βαδικά. ∆ιαδοχικά, σε όλους τους ιστούς τα τρίγωνα που σχηματίζει μ' αυτούς το πολύγωνο είναι μεταξύ τους ίσα, οπότε τελικά το εμβαδόν που ορίζει το πολύγωνο συχνοτήτων ομαδοποιημένης κα-τανομής με τον άξονα x΄x ισούται με το άθροισμα των εμβαδών όλων των ιστών, άρα με τη συχνότητα ν της κατανομής. Αντίστοιχα σε πο-λύγωνο σχετικών συχνοτήτων θα ισούται με 1. Με αυτήν την απλή ε-ξήγηση λύνονται νομίζω οι όποιες απορίες των μαθητών στο σχετικό κείμενο της σελίδας 74 (§2η) του σχολικού βιβλίου, όπου βέβαια ο-ποιαδήποτε τέτοια επέκταση θα ξέφευγε από τα όρια και τους σκοπούς του.

3. ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΟΜΑ∆ΟΠΟΙΗΣΗ ∆ΙΑΚΡΙΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ.

Η ομαδοποίηση παρατηρήσεων είναι χρήσιμη και απαραίτητη σε πε-ριπτώσεις μεγάλου πλήθους παρατηρήσεων και βεβαίως όταν η μετα-βλητή είναι συνεχής. Αν και προβλέπεται και ομαδοποίηση διακριτών παρατηρήσεων (όπως και το σχ. βιβλίο αναφέρει στη σελ. 71), είναι σημαντικό να μην γίνεται κατάχρηση και να μην εκφυλίζεται η διαδι-κασία αυτή.

Π.χ. η άσκηση 12 στη σελίδα 101 δίνει σε πίνακα, (όπως ακριβώς

Ä

c cc cA B

Ã

Å

Σχήμα 3

126 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4

φαίνεται παρακάτω) τον αριθμό των επισκέψεων 40 μαθητών σε μουσεία.

Επισκέψεις Συχνότητα [0–2) 8 2–4 12 4–6 10 6–8 6 8–10 4

Ζητείται: η μέση τιμή, η επικρατούσα τιμή, η διάμεσος κ.ά.

Ο αριθμός επισκέψεων σε μουσεία είναι σαφώς διακριτή μεταβλητή με τιμές 0, 1, 2, κ.ο.κ. ∆εν έχει ασφαλώς νόημα να μιλήσουμε για μι-σή επίσκεψη ή για 3,27 επισκέψεις...

Είναι, νομίζω, ατυχές παράδειγμα ομαδοποίησης. Είναι παράδοξο να ομαδοποιήσεις διακριτές μεταβλητές σε κλάσεις των δύο. Έτσι στην πρώτη κλάση [0–2) περιέχονται οι 0 ή 1 επισκέψεις· δίνεται όμως κέ-ντρο κλάσης το 1! Στην κλάση [2–4) θα περιέχονται οι 2 ή 3 επισκέ-ψεις με κέντρο κλάσης το 3 κ.ο.κ. Τα συμπεράσματα που θα προκύ-ψουν είναι ασφαλώς λανθασμένα.

Η άσκηση θα έπρεπε να λυθεί ως κατανομή 10 διακριτών μετα-βλητών, αντί 5 ομαδοποιημένων. Από περιέργεια και μόνο μετατρέπω την κατανομή σε διακριτή μοιράζοντας "δίκαια" τους μαθητές κάθε κλάσης από μισούς σε κάθε παρατήρηση, εκτός της τελευταίας 8–10, όπου αυθαίρετα τους μοιράζω: 2 μαθητές με 8 επισκέψεις, 1 μαθητής με 9 επισκέψεις και 1 με 10 επισκέψεις.

Επισκέψεις xi Συχνότητα νi Αθρ. συχν. Νi xi⋅νi 0 4 4 0 1 4 8 4 2 6 14 12 3 6 20 18 4 5 25 20 5 5 30 25 6 3 33 18

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ , τεύχος 4 127

7 3 36 21 8 2 38 16 9 1 39 9 10 1 40 10

ΣΥΝΟΛΟ 40 Σxi⋅νi =153

Οπότε, i iΣx ν 153x

ν 40= = = 3,825, Μ0 = 2 και 3,

δ = η η20 21 3 4 3,52 2+ +

= =

Οι απαντήσεις που δίνονται (στις λύσεις) είναι: i iΣx ν 172

xν 40

= = = 4,3 M0 ≅ 3,3 δ = 4 κ.λπ.

Βλέπουμε ότι τα αποτέλεσματα διαφέρουν αισθητά, ειδικά στην μέση τιμή, ακριβώς επειδή τέθηκαν λανθασμένα τα κέντρα των κλάσεων.

ΣΧΟΛΙΟ: Αν στην άσκηση 1 της Β΄ ομάδας, σελ 102, θεωρούσαμε ότι οι βαθμολογί-ες των μαθητών είναι ακέραιοι αριθμοί, τότε η ομαδοποίηση [10, 12), [12, 14) κ.ο.κ. θα δημιουργούσε το ίδιο πρόβλημα. Εδώ όμως μπορούμε ασφαλώς να θεωρήσουμε ότι οι βαθμοί παίρνουν οποιανδήποτε τιμή στο διάστημα [10, 12), οπότε είναι λογικό και σωστό να θεωρήσουμε ως κέ-ντρο της κλάσης τον βαθμό 11. Το ίδιο ισχύει και για την άσκηση 5 της βάσης δεδομένων της Ε.Μ.Ε. (δες www.hms.gr, στη συλλογή ασκήσεων Γ΄ Λυκείου, ενημέρωση του κόμβου Ιανουάριος 2002) και στο σύνολο σχεδόν των βοηθητικών βιβλίων.