УДК 517.518.82:330.43 ПРИМЕНЕНИЕ НАИЛУЧШЕГО ......Волновая теория Эллиотта, предложенная им в начале 30-х годов

Экономические науки

«Современные наукоемкие технологии. Региональное приложение» №1 (41) 2015

54

УДК 517.518.82:330.43 ПРИМЕНЕНИЕ НАИЛУЧШЕГО РАВНОМЕРНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

К АНАЛИЗУ ФРАКТАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ

И.А. Козлова Калужский государственный университет имени К.Э. Циолковского

В решении многих задач экономических исследований возникает необходимость

обработки экспериментальных данных. Для наиболее простых функциональных зависимостей подобные задачи решены, в то же время ряд более сложных задач нуждается в дополнительных исследованиях. К таким задачам относится анализ фрактальных моделей финансового рынка, описывающих колебания цен. Временной ряд представляет собой скачкообразный процесс, который приближенно можно рассматривать как фрактальную модель финансового рынка – двойной зигзаг. С математической точки зрения, двойной зигзаг представляет собой функцию Бланка. Часто для анализа колебания цен используют приближение линии тренда полиномами с помощью метода наименьших квадратов. Но данный метод не гарантирует от значительных локальных ошибок, поэтому в работе описан метод построения полиномов наилучшего равномерного приближения для функции Бланка, сопоставленной с двойным зигзагом.

Ключевые слова: фрактал, двойной зигзаг, функция Бланка, чебышевский

альтернанс, многочлены наилучшего равномерного приближения. Волновая теория Эллиотта,

предложенная им в начале 30-х годов XX века, определяет, квантифицирует и классифицирует, казалось бы, случайные волнообразные движения рынка в визуальные ценовые фигуры. В 1938 году вышла первая книга Р.Н. Эллиотта «Закон волн». Затем в 1946 году Эллиотт объединил все свои работы в последнем труде «Закон природы - секрет вселенной». Описание Р.Н. Эллиоттом движений финансового рынка, подчиняющегося обычным математиче-ским законам прогрессии, позволяет, путем изучения исторических данных поведения рыночных цен, оценивать текущее состояние рынка и будущие экономические проявления [3].

Движение рынка можно рассматривать как фрактальную модель. Термин «фракталы» впервые ввел Бенуа Мандельброт, математик, создатель фрактальной геометрии, изучавший применение фракталов на финансовых рынках (Б. Мандельброт, Ричард Л. Хадсон «(Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах»,

Б. Мандельброт «Фракталы, случай, финансы»).

Исследования применения фрактальных моделей рынка только начинаются, но очевидно, что за этой областью большое будущее.

Как правило, для прогнозирования и анализа экономических категорий используется полиномиальная линия тренда. Полиномиальная аппроксимация описывает величины, попеременно возрастающие и убывающие, такие величины описывает и фрактальная модель финансового рынка - двойной зигзаг.

Цель данной работы: исследовать фрактальную модель финансового рынка – двойной зигзаг - с математической точки зрения и получить способ построения наилучшей полиномиальной аппроксимации данной модели для дальнейшего анализа поведения рынка.

Фрактал - геометрическая форма, которая может быть разделена на части, каждая из которых - уменьшенная версия целого [3]. Наблюдатель не может



55

сказать по внешнему виду графика, относятся ли данные к недельным, дневным или же часовым изменениям. Это качество определяет диаграммы как

фрактальные кривые и делает доступными многие мощные инструменты из математического и компьютерного анализа.

Рис. 1. Генератор фрактала из трех частей

Появляется модель, напоминающая

ценовые колебания. Можно начертить простой график, который отражает последовательные изменения цен от времени 0 к более позднему времени 1. Сами интервалы выбраны произвольно; они могут представлять секунду, час, день или год. Процесс начинается с цены, представленной прямой линией тренда (рис. 1). Затем используется ломаная линия - генератор - чтобы создать модель, которая соответствует колебаниям цены вверх и вниз. Генератор состоит из трех частей, которые интерполированы вдоль

прямой линии тренда (генератор с меньшим количеством чем три, не смоделировал бы цену, которая может двигаться вверх и вниз). После прорисовки начального генератора, его три части интерполированы тремя более короткими. Повторение этих шагов воспроизводит форму генератора, или ценовую кривую, но в сжатых масштабах. И горизонтальная ось (шкала времени) и вертикальная ось (цена) сжаты, чтобы приспособить к горизонтальным и вертикальным границам каждую часть генератора.

Рис. 2. Падающий двойной зигзаг

Двойной зигзаг является одной из

основных коррекционных волновых моделей, представляющей собой два зигзага, разделенных коррекционной волной-связкой (Х). Двойной зигзаг является глубокой коррекцией, по отношению к корректируемой волне. Строение одной из наиболее распространенных форм данной модели - падающий зигзаг - представлено на рисунке 2.

Новизна данного исследования состоит в том, что в экономике наиболее распространенный метод приближения функций полиномами – метод наименьших квадратов - минимизирует среднеквадратичное уклонение аппроксимирующего полинома от аппроксимируемой функции, но не гарантирует от значительных локальных ошибок. Для предотвращения подобной возможности используют полиномы



56

наилучшего равномерного приближения, однако не известны ни общий вид многочленов наилучших равномерных приближений, ни способы их построения, поэтому среднеквадратическая мера близости применяется вместо более сложной чебышевской. В связи с этим интересно, что решение задачи чебышевского приближения всегда дает примерно ту же среднеквадратическую погрешность, что и решение задачи наилучшего среднеквадратического приближения. Обратное же утверждение не верно: наилучшее среднеквадратическое приближение, как правило, дает максимальную абсолютную погрешность,

значительно превышающую погрешность чебышевского решения. Также, чебышевская аппроксимация определяет ошибку в каждой точке интервала аппроксимации и ни в одной точке интервала аппроксимации ошибка не превышает максимальной (чебышевской меры) [4].

На рисунках 3 и 4 представлены в сравнении графики аппроксимации растущего двойного зигзага полиномами первого и третьего порядков с помощью среднеквадратического приближения и наилучшего равномерного приближения (чебышевского).

Рис. 3. Аппроксимация графика двойного зигзага полиномами первого порядка. График

наилучшего равномерного приближения – пунктирная линия. Линия (1) - среднеквадратическое приближение, для построения которого использовались 3 точки, линия (2) –10 точек, линия (3) – 27 точек

Из данных рисунков видно, что, чем

больше точек берется для построения полинома, тем ближе он к полиному наилучшего равномерного приближения. Однако, для построения полинома наилучшего равномерного приближения, использовалось всего три точки. Из построения можно сделать вывод, что, во-первых, для получения полинома наилучшего равномерного приближения использовалось меньшее количество точек и, во-вторых, – полином наилучшего равномерного приближения аппроксимирует график растущего двойного зигзага сразу во всех ценовых масштабах.

С математической точки зрения, график двойного зигзага можно рассматривать как график функции Бланка на отрезке [0; 1], построенной им в 1966 году [5]. Функция Бланка является непрерывной и не дифференцируемой, она определяется как предел последовательности ломаных и может быть представлена рядами, состоящими из аппроксимирующих функций. Для их построения используются вспомога-тельные функции, представляющие собой ломаные. Пусть точки 11, yx и 22 , yx – последовательные вершины некоторой ломаной, где 21 xx и 21 yy . Пусть



57

312 xxh , и пусть 12 yyk , где – положительная константа. Следующая ломаная заменяет отрезок, соединяющий точки 11, yx и 22, yx , зигзагообразной линией, содержащей последовательные вершины 22122111 ,,,,,,, yxkyhxkyhxyx .

Для построения функции Бланка с помощью последовательных приближений зафиксируем .310 Начнём с отрезка прямой xy , где .10 x

Первая аппроксимирующая функция xf1 представляет собой ломаную, строящуюся вышеупомянутым способом. Вторая аппроксимирующая функция xf 2 получается из первой с помощью построения ломаной той же конструкции на каждом отрезке 313 ixi , 2,1,0i (рис. 5).

Рис. 4. Аппроксимация графика двойного зигзага полиномами третьего порядка. График наилучшего равномерного приближения – пунктирная линия. Линия (1) – среднеквадратическое приближение, для

построения которого использовались 3 точки, линия (2) – 10 точек, линия (3) – 27 точек

Рис. 5. Схема построения вспомогательных функций Бланка xf1 (жирная линия), xf2 (пунктирная

линия) и xf3

Разности ординат последовательных вершин будут равны .1,12,1 121212 yyyyyy

Повторим схему применения зигзагообразных конструкций для каждого отрезка аппроксимирующей функции

xf2 , чтобы получить следующую аппроксимацию. Рисунок 5 показывает картину аппроксимирующей функции

xf3 для 41 . Абсциссы последовательных вершин n-ой аппроксимирующей функции будут в



58

точках nin ix 3, ni 3...,,2,1,0 , а, так

как эти вершины будут вершинами для всех последующих ломаных, то они принадлежат графику некоторой предельной функции Бланка xf . Тем самым, функция Бланка f определена во всех тернарных точках inx , , а затем мы определим эту функцию как непрерывное продолжение f на все точки отрезка 1;0 .

Методика построения полиномов наилучшего равномерного приближения для функции Бланка опирается на теорему о чебышевском альтернансе.

Теорема Чебышева: Многочлен xQ f

n является многочленом наилучшего равномерного приближения для функции baCxf , , тогда и только тогда, когда на ba, существует не менее

2n точек ix таких, что в них поочередно принимаются наибольшие положительные и отрицательные отклонения, т.е.

поочередно разность ifni xQxf равна

E или E , где

.max

,,xQxfxQxfE f

nbaxbaCf

n

Точки ix , в которых реализуется максимальное отклонение многочлена

xQ fn от функции xf на ba, ,

называются точками чебышевского альтернанса.

Из построения функции Бланка следует, что наименьшее значение функция Бланка принимает в точке 0x и равно 0, а наибольшее значение достигается в точке 1x и равно 1, следовательно, на отрезке 1,0 функция Бланка принимает значения от 0 до 1. Аналогично, на отрезке 271,0 функция Бланка попадает в прямоугольник 6427,0 , причем значение 0 достигается в точке 0x , а значение 6427 – в точке

271x и т.д. Таким образом, функция Бланка оказывается внутри фигуры, составленной из прямоугольников, и за рамки данной фигуры она не выходит (рисунок 6). С помощью этого построения можно находить чебышевский альтернанс для построения полиномов наилучшего равномерного приближения.

Точками чебышевского альтернанса для многочлена наилучшего равномерного приближения первого порядка являются четыре точки 0x , 31x , 32x ,

1x , причем 00 f , 4331 f , 4132 f , 11 f . Отсюда легко

получить вид этого многочлена (рис. 6):

165

83

1 xT .

Максимальное отклонение много-члена наилучшего равномерного прибли-жения первого порядка от функции Бланка

1651 fE . Из рисунка 6 видно, что функция Бланка симметрична относитель-но прямой T1, следовательно, чебышевский альтернанс будут образовывать четное ко-личество точек и, поэтому, многочлены наилучшего равномерного приближения будут нечетных степеней. Аналогично мо-жет быть получен многочлен наилучшего равномерного приближения первого по-рядка для функции Бланка в общем виде ( 310 ):

43

21

23

1 xТ ,

43

21

1fE .

Далее, многочлен наилучшего рав-номерного приближения третьего порядка для 41 :

778245819

24326579

38912216513

1945672171 23

3 xxxT .



59

Рис. 6. Многочлен наилучшего равномерного приближения первого порядка для функции Бланка

Чебышевский альтернанс образуют

точки 2726;97;32;31;92;271 , от-клонение 77824197953 E (рис. 4). Аналогично можно получить многочлены наилучшего равномерного приближения третьего и более высоких порядков в об-щем виде. Для их построения найдена за-кономерность нахождения чебышевского альтернанса в общем виде, в зависимости от .

Замечание: графики многочленов наилучшего равномерного приближения для падающего двойного зигзага можно получить из соответствующих графиков аппроксимации растущего двойного зигза-га с помощью преобразования 1 xTn .

Таким образом, для анализа графика двойного зигзага в данной работе найден метод построения полиномов наилучшего равномерного приближения любого по-рядка с помощью нахождения чебышев-ского альтернанса, позволяющий аппрок-

симировать график двойного зигзага сразу во всех ценовых масштабах и с наимень-шей погрешностью приближения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Айвазян С.А. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное издание / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. - М.: Финансы и статистика, 1983. - Кн. 1. – 471 с. 2. Мандельброт Б. Мультифрактальная прогулка по Уолл-Стрит / Б. Мандельброт // Scientific American. – 1999. 3. Пректер Р. Волновой принцип Эллиота. Ключ к пониманию рынка / Р. Пректер, А. Фост. - М.: Аль-пина Паблишер, 2012. – 270 с. 4. Солонина А.И. Основы цифровой обработки сиг-налов / А.И. Солонина, Д.А. Улахович, С.М. Арбу-зов, Е.Б. Соловьева. - Санкт-Петербург: БВХ-Петербург, 2005. – 753 с. 5. Blank A. A simple example of a Weierstrass func-tion / A. Blank // Amer. Math. Monthly. V 73. – 1966. – No. 3. - Pp. 515-519.

Рукопись поступила в редакцию 08.01.2015.

THE APPLICATION OF THE BEST UNIFORM APPROXIMATION TO FRACTAL MODEL ANALYSIS I. Kozlova

In the solution of many problems of economic researches the necessity of experimental data processing arises. For the simplest functional dependencies such tasks are solved [1], at the same time, a number of more complex tasks need additional researches. These tasks include the analysis of financial market fractal models [2, 3], describing price fluctuations. The trend line is a double zigzag of stepwise process, which approximately can be considered as a fractal model of a financial market. From the mathematical point of view a double zigzag is Blank function. Trend line approximation by polynomials with the use of least-squares method is often used for price fluctuations analysis. But this method does not guarantee against significant local errors, so the article describes the method for the construction of the polynomials of best uniform approximation for Blank function associated with a double zigzag.

Key words: fractal, double zigzag, Blank function, сhebyshev's alternance, polynomials of the best uniform approximation.

Documents

УДК 517.518.82:330.43 ПРИМЕНЕНИЕ НАИЛУЧШЕГО ......Волновая теория Эллиотта, предложенная им в начале 30-х годов