For more please visit – www.nsof.info דף נוסחאות בשדות אלקטרומגנטייםיחידות

סימוניםסימון נגזרת:

סימון רכיב של וקטור:

הגדרותכללי:

אם לא נאמר אחרת אז אנו בואקום ומתקיים:

תנאי שפה:מגדירים מה הפתרון מקיים בנקודה מסוימת במרחב.

תנאי התחלה:מגדירים מה הפתרון מקיים בזמן מסוים.

מקור: נק' שבה מתחילים או מסתיימים קווי שדה. לדוגמא: מטען

חשמלי חיובי או שלילי.

שדה סקאלרי:

שדה וקטורי:

:(Irrotational)שדה משמר

העבודה הנדרשת להעברת מטען ממקום למקום בתוך שדהמשמר לא תלויה במסלול.

כל שדה וקטורי שנגזר מתוך גרדיאנט כלשהו הואהערה: שדה משמר, למשל שדה חשמלי.

(:Solenoidalשדה ללא מקורות )

זה שדה ללא מקורות, הקווים שלו נמצאים במעגלים סגוריםבדומה לשדה מגנטי.

מוליך אידיאלי:מוליך אידיאלי הוא מוליך עם מוליכות אינסופית.

בתוך מוליך אידיאלי אין שדה חשמלי.בתוך מוליך אידיאלי אין שדה מגנטי.

שטף:

, היוצא והנכנס בכיוון הנורמלFההפרש בין השדה הוקטורי .Sעל שטח מעטפת

שטף משטחי:הבעיה

:Fנתון שדה וקטורי

)פונקציה סקלרית(:Sונתון משטח

רוצים לחשב את השטף דרך המשטח:

הפתרוןחישוב הנורמל:

, ומחשביםxyמטילים את המשטח על מישור מסויים, למשל :ds ל- dxdyאת המקדם בין

מפני שאנו מחשבים את השטף דרך המשטח, אז נציב)המשטח(. , את zבפונקציית השדה במקום

כעת נחשב את השטף ע"י האינטגרל:

אינטגרל קווי )בשדה משמר(:

הערה: כאשר עושים את האינטגרלים הסופיים יש לשים לב שהם כפונקציה של משתנה האינטגרציה בלבד )החלפנו את שאר המשתנים במשנה האינטגרציה לפי פונקציית העקומה עליה

עושים את האינטגרל(.

אקסיומות:קיים מטען חשמלי היוצר שדה ומושפע משדה.(1נתייחס למטען כרציף ולא כבודד.(2קיים חוק שימור המטען.(3

חוק אוהם:

משפט סטוקס:

כח לורנס:על המטען פועל כח לורנס:

משוואות מקסוול:חוק פאראדי:

)שדה מגנטי משתנה בזמן יוצר שדה חשמלי(

אגף שמאל של האינטגרל מחשב את העבודה שיש להשקיעבהעברת מטען במסלול סגור.

חוק אמפר ותיקון מקסוול:)שדה חשמלי משתנה בזמן + זרם, יוצרים שדה מגנטי(

חוק גאוס:- צפיפות מטען נפחית.

- צפיפות מטען שטחית.- צפיפות מטען אורכית.

אגף ימין סוכם את כל המטענים שנמצאים בנפח הנתון.

הערה:על גם מטען שטחי אואם נעשה אינטגרל ויש בנפח

את נפריד לכן האינטגרל, של התבדרות נקבל אורכי אינטגרלים סופיים.3האינטגרל ל

פיתוחים נוספים לחוק גאוס:

שדה מגנטי מקיים )שדה ללא מקורות(:

חוק שימור המטען:

בצד שמאל של האינטגרל מחושב הזרם היוצא פחות הנכנס.למעטפת הסגורה

בצד ימין של האינטגרל מחושב המטען שיוצא/נכנס מהנפח.

הערות:צריך- הדיפרנציאלי לחוק האינטגרלי מהחוק להגיע כדי

להשאיף את כל הגדלים לגדלים דיפרנציאליים.כאשר הבעיה סימטרית- הניסוח האינטגרלי רק עם נעבוד

)כדורית, גלילית, קרטזית( וקל להשתמש באינטגרל, בכלמקרה אחר נשתמש בחוק הדיפרנציאלי.

קואורדינטות אורתוגונליות כלליותבהכרח- לא אורטוגונליים, צירים על רק מדברים אנחנו

ישרים.-u1,u2,u3.מייצגים מע' קואורדינטות כלשהי -ds.שינוי באורך =

r –.הוא וקטור מיקום כללי h – הוא המקדם המטרי, ערכו הוא תזוזה במישור (xyz).

אורך:

שטח:

אלמנט שטח עם כיוון הנורמל.

נפח:

: קואורדינטות גליליות

הוא השטח שנוצר לאחר שהטלנו את המעטפת:הערה

על מישור

1

For more please visit – www.nsof.info דף נוסחאות בשדות אלקטרומגנטיים :קואורדינטות כדוריות

:הערה- השטח שנוצר לאחר הטלת המעטפת על מישור

.

:גרדיאנט

:דיברגנט

: curl- רוטור

אופרטורים דיפרנציאליים )וקטור( :גרדיאנט

גרדיאנט בנקודה יהיה גודל השדה בכיוון שיתן שינוי-מקסימאלי.

גרדיאנט פועל רק על פונקציות סקלאריות.-

קואורדינטות קרטזיות:

קואורדינטות גליליות:

קואורדינטות כדוריות:

:לפלאסיאן

)סקלר(:Divדיברגנט -

שטף שיוצא מנקודה חלקי הנפח שלה. הוא טרגנבדי-פועל רק על פונקציות וקטוריות.-.0 = הדיברגנט אזאין קווי כחאם -

הגדרה:

קואורדינטות קרטזיות )

(: של xרכיב

קואורדינטות גליליות:

קואורדינטות כדוריות:

Curl / Rotor:)וקטור( מתאר מערבוליות של שדה בנקודה.-רוטור פועל רק על פונקציות וקטוריות.-

קואורדינטות קרטזיות:

קואורדינטות גליליות:

קואורדינטות כדוריות:

ריכוז תכונות:תכונות גרדיאנט:

תכונות דיברגנט:

תכונות רוטור:

משפט הלמהולץ שדה וקטורי מוגדר עד כדי גרדיאנט של פונקציה הרמונית

ע"י הדיברגנט והרוטור שלו.

אם נתונים הדיברגנט והרוטור של שדה וקטורי, ניתן לדעתהמקיימת: פונקציה של גרדיאנט כדי עד השדה מה

הלפלאסיין של הפונקציה הוא אפס.

תנאי שפה מה קורה לשדות המגנטיים והחשמליים כאשר נתקרב

למשטח טעון או למשטח בעל זרם:k .)צפיפות הזרם המשטחית )עוברת דרך קו -

(.3 מימדים במקום 2- דיברגנט משטחי ) :xyלמשל - עבור מישור

- השדות בצד של המשטח שהנורמל מצביע אליו.

- השדות בצד המנוגד לכיוון הנורמל.

- צפיפויות זרם נפחיות.

הערה:Et הצדדים(2 )שדה משיקי( קרוב לשפת המוליך )מ

תמיד יהיה אפס.

מוליך אידיאלי: חומר שלא יכול לשאת בתוכו שדה חשמלי ומגנטי:

משוואת הלמהולץ משוואת גלים עבור שדות בעלי תלות זמנית הרמונית בתווח

חסר מקורות )רחוק מהמקור(:

קוואזי סטטיקהכללי:

קיים זרם.-זרם זה יוצר שדה חשמלי )משתנה בזמן(.-השדה החשמלי יוצר שדה מגנטי )משתנה בזמן(.-השדה המגנטי יוצר שדה חשמלי חדש )משתנה בזמן(.-וכך הלאה...-

לפי הנוסחאות וההסבר הנ"ל:-- e0.נוצר מהזרם - h1 -נוצר מ e0.- e2 -נוצר מ h1...וכך הלאה הם אפס.e1, e3, h0, h2 –בדוגמא זו - הם כן היו קיימים.e0אם לא היה -

הגדרות:T זמן מחזור -

- הזמן שלוקח לגל לעבור את המערכת D -אורך ההתקן Cמהירות האור -

אחד מתקיימים אם סטטיקה קוואזי להניח מותר מהתנאים הבאים:

.נבצע החלפת משתנים

משוואות הקוואזי סטטיקה:ראה ריכוז משוואת בעמוד האחרון.

2

For more please visit – www.nsof.info דף נוסחאות בשדות אלקטרומגנטייםשדות סטטיים

הגדרות:מטען נפחי:

מטען שטחי:

מטען קווי:

מטען נקודתי:

שדה שיוצרים מטענים נקודתיים:

. לכוון הוא וקטור יחידה המצביע מכוון

ע"פ האקסיומה שהמטען רציף:

הערה:צפיפות–מטען נקודתי הוא הלם במרחב. בנקודה עצמה

המטען אינסופית. לכן עבור מטען נקודתי:

פוטנציאל סקלרי )חשמלי(:בוחן מטען להביא כדי להשקיע שיש העבודה הגדרה:

מאינסוף לנקודה. הערה: כאשר מוצאים פוטנציאל מתוך שדה, הוא יהיה יחיד

עד כדי קבוע.

עבור מטען נקודתי:r - הוקטור מהראשית לנקודה בא אנו רוצים למצוא את

הפוטנציאל.’r -.הוקטור מהראשית לנקודה בה נמצא המטען

עבור מטען לא נקודתי:

האינטגרל הוא על כל המטענים הנקודתיים במרחב.

דיפול:d -.המרחק בין מטעני הדיפול θ הזווית בין וקטור - r לציר y.

:rשיוצר דיפול בנקודה פוטנציאל

.x ולא מציר y נמדדת מציר ’טטה‘שימו לב! הזווית

פיתוח:קירובים:

פים שיקו

נתונה בעיה עם מטען במרחב ומתכת.-מחפשים את הפוטנציאל / השדה במרחב.-ניצור בתוך המתכת מטען, ונתעלם מהמתכת.-החדש- והמטען המקורי המטען של סופרפוזיציה

מקיימת את תנאי השפה.

הערה:את מחפשים אנו שבו התחום לתוך לשקף אסור

הפוטנציאל / שדה.

)הכדור לא מוארק(שיקוף מטען לתוך כדור: d –.מרחק המטען המקורי מראשית הצירים D –.מרחק המטען המשוקף מראשית הצירים q –.המטען המקורי Q –.המטען המשוקף R –.רדיוס הכדור

משוואות לפלס ופואסוןמשוואת לפלס:

משפט מינימום מקסימום:היא פתרון של משוואת לפלס בתחום כלשהו. -או מינימלילכן - ערך מקסימלי לקבל יכולה אינה

מוחלט בתחום זה, אלא רק על שפתו )אך נוכל לקבלאוכף(.

קבוע על שפת התחום - אז בתוך התחום הואאם -שווה לאותו קבוע.

הערה:פתרון למשוואת לפלס הוא יחיד.

מקסימום מוחלט:

מינימום מוחלט:

משוואת פואסון:

הערה:מכיוון קבוע כדי עד יחיד הוא פואסון למשוואת פתרון

שמשפט המינימום-מקסימום לא תקף למשוואת פואסון.

פתרון משוואת לפלס - הפרדת משתניםקואורדינטות קרטזיות:

הבעיה:

הפרדת משתנים:

פתרון טריוויאלי:

פתרון לא טריוויאלי:

הערות:,kxלפחות אחד מבין - ky, kzחייב להיות מרוכב בכדי

.0שיתקיים שסכומם כאשר סוכמים פתרונות פרטיים-

.1 ולא מ 0 מ- nנסכום את

קואורדינטות גליליות:הבעיה:

הפרדת משתנים:

להתקיים )אך לאיכוליםשימו לב! תנאי השפה הבאים תמיד(:

פתרון טריוויאלי:

פתרון לא טריוויאלי ראשון:

פתרון לא טריוויאלי שני:

הערה: היא פונקציית בסל.Jפונקציית היא פונקציית נוימן.Nפונקציית

ע"פ טבלאות ידועות.J, Nנוכל למצוא את

קואורדינטות כדוריות:הבעיה:

הפרדת משתנים:

להתקיים )אך לאיכוליםשימו לב! תנאי השפה הבאים תמיד(:

החלפת משתנים:

3

. 1r

. r 2r

y

x

+q

-q

For more please visit – www.nsof.info דף נוסחאות בשדות אלקטרומגנטיים

פתרון טריוויאלי:

פתרון לא טריוויאלי ראשון:

P.היא פונקציית לג'נדר הפונקציה תלקח מטבלה.

דוגמא:מקור נקודתי:

התנהגות דיפול:

מטענים - קואדריפול:4

שיטות להגעה למשוואת לפלס:1.

2.

שיטות למציאת תנאי שפה:

שרטוט שדה ופוטנציאל:פוטנציאל:

נשרטט קווים שווי פוטנציאל ע"י הצבת:

לדוגמא:

שדה:נשרטט את כיוון השדה בלבד..1פוטנציאל, השדה תמיד יהיה.2 ביציאה ממשטח שווה

מאונך למשטח.שווי.3 לקווים מאונך יהיה תמיד השדה קווי כיוון

פוטנציאל.נצייר תמיד כיוון של שדה ולא קווים שווי שדה..4

הערות כלליות לפתרון משוואת לפלס: נתחיל בפתרון הטריוויאלי. אם הוא לא עובד נעבור ללא-

טריוויאלי. אם הפונציאל על השפה סופי, אז גם בתוך התחום הוא-

יהיה סופי )ע"פ משפט המקס' / מינ'(. אם הרכיב המשיקי )טנגנטי( של השדה ליד שפה שווה-

אפס, אז הפוטנציאל על השפה הוא קבוע.ורק- אך מושפע משטח גבי על )עבודה( פוטנציאל

מהרכיב של השדה שמשיק למשטח.

אי- אין אבל השדה של האנכי ברכיב רציפות אי יש רציפות בפוטנציאל.

פתרון בעיית פואסוןנדבר על שדה חשמלי או מגנטי שמקיים:

שדה זה לא משמר ולכן אין לו פונקציה קדומה )פוטנציאל(.

שדות )פרטי והומוגני( בעלי2כל שדה ניתן לפרק לסכום של התכונות הבאות:

)יש רצוננו כפי לבחור נוכל הפרטי השדה את בד"כ יש עבורו רק אינסוף כאלה(, אך ברגע שבחרנו אותו,

שדה הומוגני אחד.

נקבל:Eאם נציב את השדות במשוואה של

.f ע"י אינטגרציה על Epכעת נוכל למצוא את ותנאי השפה שלEhאת בעזרת הפוטנציאל למצוא נוכל

הבעייה.הפרטי הפתרון של השפה תנאי של שסכום לזכור יש וההומוגני חייבים לקיים את תנאי השפה של השדה המקורי.

מגנטו-סטטיקהשדה מגנטי מקיים:

שטף מגנטי:

)מציאת שדה מגנטי ע"י צפיפות זרם( חוק ביו-סבר:נכון רק עבור שדה מגנטי המקיים:

)שימושי למציאת צפיפות הזרם(הערה:

פוטנציאל וקטורי )מגנטי(:

פיתוח: ניתן להציג כרוטור של שדה0כל שדה וקטורי שהדיב' שלו

(.Aוקטורי אחר )

שדות אחרים:2כל שדה וקטורי ניתן לתאר כסכום של

כאשר:A1 –אירוטציוני A2-

סולונואידי

לכן:

שדה מגנטי בתחום פשוט קשר:

הגדרת תחום פשוט קשר )ללא חורים(:

ניתן לכווץ כל עקומה סגורה לנקודה בודדת ולהשאר בתחום.

הערה: אם התחום אינו פשוט קשר, אך ב"חור" לא זורם זרם - אז

התנאי הנ"ל עדיין מתקיים.

Jin שבתוכו זורמת צפיפות זרם )פשוט קשר( Dנתון תחום .Joutומחוץ לו זורמת צפיפות זרם

הוא סופרפוזיציה של השדהDהשדה המגנטי שיווצר בתחום .Jout והשדה הנוצר מ Jinהנוצר מ ו Hinכלומר, Hout בהתאמה לזרמים( מוגדרים רק( בתוך .Dהתחום

מתקיים: Houtעבור

ניתן להשתמש בחוק ביו-סבר.Hinבכדי למצוא את

פולריזציהכללי:

מדובר על חומר לא אידיאלי תחת שדה חשמלי.-בחומר קיימים מטענים חופשיים ומטענים לא חופשיים.- - מטענים לא חופשיים הנמצאים בדיפול.מטעני פולריזציה-

(:Vמטענים בחומר מקוטב )בנפח

P ( -P.צפיפות נפחית של דיפולים )גדול

.V- סה"כ המטען בגוף מקוטב בעל נפח

.V- סה"כ המטען משטחי על השפה של

.V- סה"כ מטען הפולריזציה בנפח של

ניתן להתייחס לחומר מקוטב כאוסף של דיפולים.

צפיפויות נפחיות של מטענים חופשיים ולא חופשיים:

- צפיפות מטענים חופשיים.

- צפיפות מטעני פולריזציה נפחית.

משפט גאוס עבור פולריזציה:

חוק שימור מטען פולריזציה:

4

- - - - - -- - - - - - - - - - - -

+ + + + + ++ + + + + +

+ + + + + +

For more please visit – www.nsof.info דף נוסחאות בשדות אלקטרומגנטיים

מומנט כח מגנטי:

מומנט דיפול מגנטי:m.הוא מומנט הדיפןל המגנטי

.S ובעלת שטח Iהוא מומנט דיפול של לולאה בה זורם זרם כיוון המומנט נקע לפי כלל יד ימין.

קיטוב מגנטי וקיטוב חשמלי:דיפול בודד

קיטוב חשמלי:

קיטוב מגנטי:

צפיפות נפחית של דיפוליםקיטוב חשמלי:

קיטוב מגנטי:

צפיפות נפחית של מטעני פולריזציהקיטוב חשמלי:

תנאי שפה:

קיטוב מגנטי:

תנאי שפה:

סוספטביליות חשמלית:כתלות הדיפול שינוי את המתאר קבוע )"קחי"( -

בהפעלת שדה מכוונים שונים.

הערות:יכול להיות גם מטריצה.- חומר איזוטרופי = מגיב לשדה חשמלי מכל הכיוונים-

באותו האופן.

פולריזציה - חומרים מקוטבים:

כללים עבור מתכות. מתכת היא גוף שווה פוטנציאל.1. השדה בתוך\על המתכת הוא אפס.2. מתכת "חוסמת" קווי שדה.3

משטח מתכת אינסופי שמצדו העליון נמצא מטעןלדוגמא:אז מצדו התחתון השדה אפס.

וקטור פויינטינג ומשפט פויינטינג - וקטור פויינטינג הוא שטף ההספק המבוזבז.

כמה אנרגיה המקורות–- צפיפות הספק המקורות מספקים למערכת.

- צפיפות הספק הפסדי ההולכה )מתוך חוק אוהם( .

- צפיפות האנרגיה של השדה המגנטי/חשמלי.

- צפיפות ההספק המושקע בקיטוב חשמלי.

- צפיפות ההספק המושקע במגנטיזציה.

שונותזהות מתמטית )תמיד נכון(:

הספק:

נפח של כדור:

שטח מעטפת של כדור:

זהות גרין:

שדה של תיל אינסופי:

פוטנציאל של תיל אינסופי:

:Zעל ציר (Z=hפוטנציאל של דיסקה טעונה )ממוקמת ב

דיפול של חוטים אינסופיים )ממוקם בראשית(:

מטבעת שזורם בה זרם:Zשדה מגנטי על ציר

קבל:

לוח אינסופי טעון:

שדה של תיל אינסופי הטעון במטען:

:z = d ב- zפוטנציאל ושדה מטבעת שמרכזה על ציר

:yשדה של דיפול תלת מימדי שנמצא על ציר )נכון רק עבור מצב שבו אנו רחוקים מאוד מהדיפול(

כח קולומבי:

שדה ופוטנציאל: לכל שדה המקיים את המשוואה הבאה קיים פוטנציאל

)פונקציה קדומה( .

אחרים:

מד"ר מסדר ראשון:

במד"ר - אם הפתרון הפרטי תלוי בהומוגני:הערך את לו מחשבים ימין, באגף איבר איבר הולכים

העצמי, ויוצרים לפי הנוסחה איבר מתאים בפתרון הפרטי. אם נתקלים פעמים באותו ערך עצמי חייבים לקחת את

האיבר עם הפולינום בעל החזקה הגבוהה ביותר.

k באגף ימין. - המעלה הכי גבוהה של הפולינום

m שמופיע )בפולינום האופייני( - הריבוי של השורש באגף שמאל וגם באגף ימין.

סדרה חשבונית:

סדרה הנדסית:

הערה:

זהויות טריגונומטריות:

5

For more please visit – www.nsof.info דף נוסחאות בשדות אלקטרומגנטיים

ריכוז משוואותמשוואות מקסוול האינטגרליות:

חוק פאראדי:

חוק אמפר ותיקון מקסוול:

חוק גאוס )שדה עם מקורות(:

שדה מגנטי מקיים )שדה ללא מקורות(:

חוק שימור המטען:

משוואות מקסוול הדיפרנציאליות ותנאי שפה:חוק פאראדי:

חוק אמפר:

חוק גאוס:

שדה מגנטי מקיים )שדה ללא מקורות(:

חוק שימור המטען:

זרמים:

קיבול:I ; זרם - V ; מתח - Qמטען -

השראות:I ; זרם - V ; שטף - מתח -

פתרון משוואת לפלס - קואורדינטות קרטזיות:

פתרון טריוויאלי:

פתרון לא טריוויאלי:

פתרון משוואת לפלס - קואורדינטות גליליות:

להתקיים )אך לאיכוליםשימו לב! תנאי השפה הבאים תמיד(:

פתרון טריוויאלי:

פתרון לא טריוויאלי ראשון:

פתרון לא טריוויאלי שני:

פתרון משוואת לפלס - קואורדינטות כדוריות:

להתקיים )אך לאיכוליםשימו לב! תנאי השפה הבאים תמיד(:

פתרון טריוויאלי:

פתרון לא טריוויאלי ראשון:

חוק ביו-סבר:

פולריזציה - חומרים מקוטבים:

קואורדינטות קרטזיות:גרדיאנט )וקטור(:

)סקלר(:Divדיברגנט -

Curl / Rotor:)וקטור(

קואורדינטות גליליות:גרדיאנט )וקטור(:

)סקלר(:Divדיברגנט -

Curl / Rotor:)וקטור(

קואורדינטות כדוריות:גרדיאנט )וקטור(:

)סקלר(:Divדיברגנט -

Curl / Rotor:)וקטור(

קוואזי סטטיקה:בעייה סטטית משתנה בזמן

.0 יוצר שדה חשמלי מסדר מקור מתח:.0 יוצר שדה מגנטי מסדר מקור זרם:

6

For more please visit – www.nsof.info דף נוסחאות בשדות אלקטרומגנטיים

תיקון ראשון

תיקון שני

7