101
ЗМІСТ ВСТУП РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА 1.1. Постановка задачі……………………………………………………….…....5 1.2. Актуальність проблеми……………………………………………………....5 1.3. Опис та класифікація умов невизначеності задачі………………………....6 1.4. Математична модель задачі………………………………………………11 1.4.1. Математична модель детермінованої задачі………………………11 1.4.2. Модель задачі в умовах стохастичної невизначеності…………….12 1.4.3. Модель задачі в умовах нечіткої невизначеності………………...…14 1.4.4. Модель задачі в умовах багатокритеріальної невизначеності……..15 1.5. Формування методів алгоритмів…………………………………………...16 1.5.1. Алгоритм зведення задачі з елементами стохастичної невизначеності до детермінованого вигляду………………………………………………16 1.5.2. Алгоритм зведення задачі з елементами нечіткої невизначеності до детермінованого вигляду……………………………18 1.5.3. Алгоритм методу розв’язування багатокритеріальних задач оптимізації з використанням узагальненого (інтегрального) критерію…21 РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Оформлення КП

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Оформлення КП

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1.1. Постановка задачі……………………………………………………….…....5

1.2. Актуальність проблеми……………………………………………………....5

1.3. Опис та класифікація умов невизначеності задачі………………………....6

1.4. Математична модель задачі………………………………………………11

1.4.1. Математична модель детермінованої задачі………………………11

1.4.2. Модель задачі в умовах стохастичної невизначеності…………….12

1.4.3. Модель задачі в умовах нечіткої невизначеності………………...…14

1.4.4. Модель задачі в умовах багатокритеріальної невизначеності……..15

1.5. Формування методів алгоритмів…………………………………………...16

1.5.1. Алгоритм зведення задачі з елементами стохастичної невизначеності

до детермінованого вигляду………………………………………………16

1.5.2. Алгоритм зведення задачі з елементами нечіткої невизначеності до

детермінованого вигляду……………………………18

1.5.3. Алгоритм методу розв’язування багатокритеріальних задач

оптимізації з використанням узагальненого (інтегрального) критерію…21

РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

2.1. Опис засобів реалізації алгоритмів в різних системах………………24

2.1.1. Надбудова «Поиск решения» в Microsoft Excel…………………..……24

2.1.2. Функції Minimize та Maximize в системі MathCAD…………….….......25

2.1.3 Функції Minimize та Maximize в системі Maple………………………...27

ЕК 51м КРП.І.Б. Підпис Дата

Розробив Луговий В.В.

ПРОГРАМУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНУ

ВИРОБНИЦТВА ПРОДУКЦІЇІ В УМОВАХ СТОХАСТИЧНОЇ,

НЕЧІТКОЇ ТА БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНОЇ

НЕВИЗНАЧЕНОСТІ

Стадія Аркуш Аркушів

ПеревіривОльховський Д.М.

КР 2 50

ПУЕТКафедра ММСІ

Н. контр.Ольховський Д.М.

Зав. каф. Ємець О.О.

2.2. Детермінована задача та її розв’язування засобами Excel, MathCad,

Maple…………………………………………………………………………29

Page 2: Оформлення КП

2.3. Розв’язування задачі з елементами стохастичної невизначеності…….31

2.4. Задача оптимізації у нечіткій постановці……………………………….36

2.5. Розв’язування задачі з елементами багатокритеріальної невизначеності

в системі Microsoft Excel, MathCAD, Maple………………………………38

2.6. Порівняльний аналіз розв’язків задачі в різних системах……………......41

ВИСНОВКИ

СПИСОК ЛІТЕРАТУРНИХ ДЖЕРЕЛ

ДОДАТКИ

Аркуш3

Page 3: Оформлення КП

ВСТУП

Сучасні методи оптимізації – науковий підхід до підготовки та вибору

оптимальних рішень, які постають перед керівниками підприємств, установ,

фірм, організацій та навіть країн. Сучасні методи оптимізації – це також

математична дисципліна, що займається вивченням та дослідженням

екстремальних задач в умовах невизначеності та розробкою методів їх

розв’язування. Основним інструментом досліджень операцій є математична

модель, яка являє собою математичний опис процесу, об’єкту або явища.

В умовах нинішньої ринкової економіки перед керівниками фірм,

організацій, установ кожного дня постають проблемі вибору того чи іншого

рішення для ефективної діяльності підприємства. Такі рішення часто

приймаються в умовах невизначеності, багатокритеріальності, недостачі або

обмеженості інформації. Само тому доречно та актуально використовувати

сучасні можливості комп’ютерної техніки та наукові методи оптимізації

виробництва.

Для розв’язку задач з різними типами невизначеності

використовуються економіко-математичні пакети Exсel, MathCAD та Maple,

які служать для практичної реалізації оптимізаційних методів, що

досліджуються в рамках даного курсового проекту.

Актуальність даного предмету полягає в тому, що за допомогою

створеної математичної моделі можна змоделювати конкретний процес або

явище, котре має місце на підприємстві чи установі, та, використовуючи

набір оптимізаційних інструментів, знайти оптимальне рішення, необхідне

для ефективного функціонування системи підприємства.

Метою роботи є визначення оптимального плану виробництва

продукції, який максимізує дохід фірми в умовах стохастичної, нечіткої та

багатокритеріальної невизначеності.

Об’єкт дослідження. Об’єктом дослідження є розв’язання задачі за

допомогою економіко-математичних пакетів Exсel, MathCAD та Maple.

Аркуш4

Page 4: Оформлення КП

Предмет дослідження. Предметом дослідження є задачі стохастичної,

нечіткої та багатокритеріальної невизначеності.

Аркуш5

Page 5: Оформлення КП

РОЗДІЛ 1 ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1.1. Постановка задачі

Розглянемо реальну задачу виробництва, яка виникає на фірмі, що

займається виготовленням продукції.

Фірма виготовляє сім видів продукції, використовуючи для цього два

види сировини, добовий запас якої не перевищує відповідно 220 та 260 ум.

од. Витрати сировини для виготовлення одиниці продукції кожного виду

подано таблицею (табл. 1.1):

Таблиця 1.1

СировинаНорма витрат сировини, ум. од., для

виготовлення продукціїА В С Д Е F G

12

14

11

12

34

11

53

13

Ціна одиниці

продукції, дол.

50 30 35 30 35 40 35

Відділ збуту фірми вважає, що виробництво продукції В має становити

не більш як 65% загального обсягу реалізації продукції всіх семи видів,

співвідношення кількості видів продукції А та В повинно бути 3:2, F та

G − 3:4.

Визначити оптимальний план виробництва продукції, який максимізує

дохід фірми.

1.2. Актуальність проблеми

Метою кожної фірми або підприємства, які виготовляють деяку

продукцію, є максимізація доходу від виробництва при мінімальних затратах

на це виробництво. На Аркуш6

Page 6: Оформлення КП

сьогоднішній день це найактуальніша проблема, тому що кожного дня на

ринку з’являються нові конкуренти, змінюються ціни на матеріали, послуги,

змінюються самі потреби покупців та можливості виробників і продавців. В

зв’язку з цим кожна фірма повинна постійно оптимізувати свою діяльність на

ринку, тобто знаходити максимально вигідне для неї співвідношення між

витратами на виробництво продукції та її реалізацію і прибутком від

проданого товару. У цьому питанні якнайкраще допомагає використання

сучасних методів оптимізації та можливостей інформаційних систем та

електронних обчислювальних машин.

1.3. Опис та класифікація умов невизначеності задачі

Більшість задач, які розв’язуються на виробництві містять в тому або

іншому вигляді невизначеність.

Невизначеність – це неповноцінність чи неточність інформації про

умови реалізації розроблювальних підприємством проектів (програм), у тому

числі пов’язаних з ними витратах і результатах.

Існує декілька типів невизначеності: стохастична (імовірнісна)

невизначеність, нечітка невизначеність, інтервальна, невизначеність,

параметрична невизначеність та багатокритеріальна невизначеність.

Розглянемо стохастичну (імовірнісну) невизначеність. У стохастичній

невизначеності використовуються одна або більше випадкових величин для

врахування невизначеності процесу, або вхідні дані можуть бути

представлені відповідно до деякого статистичного розподілу. Дана

невизначеність задається такими параметрами:

а) відомий закон розподілу випадкових величин;

б) імовірність виконання або невиконання обмежень.

Для того, щоб позбутися стохастичної невизначеності використовують

методи:

а) теорії ймовірності;

Аркуш7

Page 7: Оформлення КП

б) теорії випадкових процесів;

в) стохастичного програмування.

Задачі прийняття рішень в нечітких умовах характеризуються

функцією належності та нечіткими числами. Нечітку невизначеність можна

усунути за допомогою:

а) дефазифікації;

б) методів теорії нечітких множин.

Велика кількість економічних процесів описується з використанням

інтервальної невизначеності, яка задається початком і кінцем інтервалів

зміни коефіцієнтів. Інтервальна невизначеність – це стан неповного ( або

часткового) знання про величину, що розглядається, коли можна лише

вказати її приналежність даному інтервалу. Методами усунення інтервальної

невизначеності є:

а) методи інтервальної арифметики;

б) інтервальний аналіз.

Задачі параметричного аналізу в умовах невизначеності задаються в

умовах меж зміни невідомого параметру. В параметричній невизначеності

коефіцієнти цільової функції або коефіцієнти обмежень залежать від деякого

параметру.

Методами усунення параметричної невизначеності є:

а) використання теорії стійкості;

б) параметричний аналіз.

Багатокритеріальна або векторна невизначеність – це така

невизначеність, при якій в моделі присутні декілька цільових функцій.

Багатокритеріальна невизначеність задається такими параметрами: наявністю

кількох критеріїв оптимальності.

Багатокритеріальна невизначеність задається параметрами:

а) наявність кількох критеріїв оптимальності задачі;

Методами усунення багатокритеріальної невизначеності є:

а) методи багатокритеріальної оптимізації;

Аркуш8

Аркуш8

Page 8: Оформлення КП

1.4. Математична модель задачі

Математична модель — система математичних співвідношень, які

описують досліджуваний процес або явище. Для створення математичних

моделей можна використовувати будь які математичні засоби — мову

диференційних або інтегральних рівнянь, теорії множин, абстрактної

алгебри, математичну логіку, теорії ймовірностей, графи та інші. Процес

створення математичної моделі називається математичним моделюванням.

Це найзагальніший та найбільш використовуваний в науці, зокрема, в

кібернетиці, метод досліджень.

1.4.1. Математична модель детермінованої задачі

Загальна математична модель задачі складається з цільової функції та

системи обмежень.

З умови задачі відомо, що фірма виготовляє сім видів продукції (А, В,

С, Д, Е, F, G), використовуючи для цього два види сировини (1 і 2). Відділ

збуту фірми вважає, що виробництво продукції В має становити не більш як

65% загального обсягу реалізації продукції всіх семи видів, співвідношення

кількості видів продукції А та В повинно бути 3:2, F та G − 3:4. Потрібно

визначити оптимальний план виробництва продукції, який максимізує дохід

фірми.

Математична модель задачі з пункту 1.1 має наступний вигляд.

Нехай

кількість продукції А,

кількість продукції В,

кількість продукції С,

кількість продукції Д,

кількість продукції Е,

кількість продукції F,

Аркуш9

Аркуш9

Page 9: Оформлення КП

кількість продукції G.

Цільова функція, що показує максимальний прибуток фірми від

реалізації продукції , математично записується так:

Система обмежень:

1.4.2. Модель задачі в умовах стохастичної невизначеності

Розглянемо задачу в умовах стохастичної невизначеності.

Нехай у нас дано:

1) Коефіцієнти цільової функції і коефіцієнти правих частин

обмежень – випадкові числа.

В зв’язку з тим, що ціна на одиницю продукції нестабільна (наприклад,

коливання курсу національної валюти). При цьому добовий запас сировини

також не є сталим (його відхилення може бути пов’язане з браком

виробництва, несвоєчасними поставками).

Тоді організацію виробництва продукції можна представити наступною

таблицею (табл. 1.2):

Аркуш10

Page 10: Оформлення КП

Таблиця 1.2

Сировина

Норма витрат сировини, ум. од., для виготовлення продукції Добовий

запас

Відхилення очікуваного

запасуА В С Д Е F G

1 1 1 1 3 1 5 1 220 62 4 1 2 4 1 3 3 260 8

Ціна одиниці

продукції, дол.. 50 30 35 30 35 40 35

 

Відхилення очікуваної

ціни 0,4 0,3 0,6 0,5 0,8 0,9 0,6  

 

Дану задачу можна інтерпретувати, як задачу в умовах стохастичної

невизначеності, де ціни за деталь та фонд часу є випадковими величинами з

нормальним законом розподілу, тобто з заданими математичним

сподіваннями і середньо квадратичними відхиленнями.

Математична модель задачі:

цільова функція

при заданих обмеженнях

та обмеженнях на змінні

2) Розглянемо задачу з пункту 1.4.1 враховуючи, що норми витрат

сировини і ціна одиниці продукції не є наперед відомим точними значенням.

В залежності від того, на якому обладнанні (старому чи сучасному)

виготовляється продукція, норми витрат сировини можуть коливатися. При

цьому приблизне значення норм витрат сировини відоме і задане в

Аркуш11

Page 11: Оформлення КП

стовпчику (математичне сподівання) і може відхилятися зі значеннями

середньоквадратичними відхиленнями заданими в стовпчику .

Очікується, що продукція буде продаватися за ціною приведеною в

рядку таблиці «Ціна одиниці продукції», відхилення від очікуваного

значення ціни складає 0,6; 0,4; 0,7; 0,3; 0,7; 0,8; 0,7.

Ймовірність того, що сировина буде надходити без збоїв складає 0.7 і

0.8. луговий Дані щодо числових характеристик задачі наведені у таблиці

(табл. 1.3).

Таблиця 1.3. Числові характеристики задачі

Сировина

Норма витрат сировини, ум. од., для виготовлення продукції Добовий запас

А В С Д Е F G

  

1 1 0,7 1 0,4 1 0,9 3 0,8 1 0,5 5 0,7 1 0,6 220

2 4 0,6 1 0,6 2 0,7 4 0,9 1 0,6 3 0,8 3 0,8 260Ціна

одиниці продукції,

дол.. 50 0,6 30 0,4 35 0,7 30 0.3 35 0,7 40 0,8 35 0,7  

Математична модель задачі має вигляд:

цільова функція

обмеження задачі

та обмеження на змінні

Аркуш12

i i i i i i i i i i i i i i

Page 12: Оформлення КП

1.4.3. Математична модель в умовах нечіткої невизначеності

Розглянемо задачу з пункту 1.4.1, вважаючи, що значення цін одиниці

продукції, норми витрат сировини для виготовлення продукції та добовий

запас продукції, не є наперед відомими, а задаються нечіткими числами.

Тобто кожну величину задається у вигляді трьох пар чисел ,

де - можливі значення показника, - значення функції приналежності

показника . Наприклад, відомо, що ціна одиниці продукції А може

складати 48 дол.од. з функцією приналежності 0,2, може 50 дол.од. з

функцією приналежності 0,9 або 51 дол.од. з функцією приналежності 0,3.

Математична модель задачі має вигляд:

цільова функція

обмеження задачі

та обмеженнях на змінні

Аркуш13

Page 13: Оформлення КП

1.4.4. Математична модель в умовах багатокритеріальної невизначеності

На підприємствах може виникати потреба не лише отримати

максимальний дохід від продажу продукції, але й звести ймовірність

грошових втрат при продажі товару до мінімуму. Якщо розглядати дану

задачу, то для отримання максимального прибутку при мінімальній

ймовірності втрат потрібно розглянути дану задачу з двома цільовими

функціями.

Розв’яжемо поставлену задачу методом пріоритетів.

Ціль 1. Отримання максимального доходу – F1.

Ціль 2. При такому ж максимальному доході мінімізувати можливі

втрати – F2.

Маємо задачу з двома цільовими функціями:

Обмеження для F1:

Обмеження для F2:

Аркуш14

Page 14: Оформлення КП

1.5. Формулювання алгоритмів методів

Алгоритм детермінованої задачі.

Цільова функція задається у вигляді:

(1.1)

Обмеження:

(1.2)

Записавши математичну модель задачі розв’язуємо її використовуючи

математичні пакети(Exсel, MathCAD, Maple).

Алгоритм стохастичної невизначеності.

В даній задачі він поділяється на дві частини:

1. Коефіцієнти цільової функції і коефіцієнти правих частин

обмежень – випадкові числа.

Коефіцієнти цільової функції та праві частини задані за допомогою

математичного сподівання та середньоквадратичного відхилення у вигляді:

(1.3)

Цільова функція задається у вигляді:

(1.4)

Обмеження:

(1.5)

де (1.6)

Аркуш15

Page 15: Оформлення КП

Зведення стохастичної задачі до детермінованої.

Цільова функція задається у вигляді:

(1.7)

Обмеження:

(1.8)

де – нормально розподілена випадкова величина з заданими

параметрами .

Тоді маємо:

(1.9)

Далі задача розв’язується як детермінована з використанням

математичних пакетів.

2. Коефіцієнти цільової функції і коефіцієнти лівих частин

обмежень – випадкові числа.

Коефіцієнти цільової функції та лівих частини задані за допомогою

математичного сподівання та середньоквадратичного відхилення у вигляді:

(1.10)

Цільова функція задається у вигляді:

(1.11)

Обмеження:

(1.12)

Аркуш16

Page 16: Оформлення КП

де визначається з рівняння

Алгоритм нечіткої невизначеності.

– нечіткі числа.

Цільова функція задається у вигляді:

(1.13)

де .

Обмеження:

(1.14)

Для того, щоб звести нечітке число до чіткого потрібно провести

дефазифікацію.

Існують різні методи дефазифікації серед них:

1) Дефазифікація нечіткої множини за

методом центру ваги виконується за формулою .

2) Дефазифікація нечіткої множини за

методом медіани виконується за формулою .

3) Дефазифікація нечіткої множини за

методом центру максимумів виконується за формулою: , де –

множина всіх елементів, які мають максимальний степінь належності

нечіткій множині , – потужність множини .

Аркуш17

Page 17: Оформлення КП

4) Дефазифікація за методом найбільшого з максимумів виконується за

формулою: , де – множина всіх елементів, які мають

максимальний степінь належності нечіткій множині . Із формули видно, що

якщо функція належності має лише один максимум, то його координата і є

чітким аналогом нечіткої множини.

5) Дефазифікація за методом найменшого з максимумів виконується за

формулою: , де – множина всіх елементів, які мають

максимальний степінь належності нечіткій множині . Із формули видно, що

якщо функція належності має лише один мінімум, то його координата і є

чітким аналогом нечіткої множини.

1.6. Алгоритм методу розв’язування багатокритеріальних задач

оптимізації

В даній курсовій роботі застосовується метод пріоритетів. Тобто, є n

частинних цільових функцій задачі і вони впорядковані за спаданням

пріоритету: .

Алгоритм розв’язування багатокритеріальної задачі за методом

пріоритетів (у випадку відхилених змінних) має наступний вигляд.

Крок 1. Впорядковуємо частинні цільові функції за спаданням

пріоритету . Покладемо .

Крок і. Розв’язуємо – ту задачу лінійного програмування з цільовою

функцією . Позначимо через отримане оптимальне значення відхиленої

змінної . Якщо , то обчислення завершуються, оскільки розв’язана

остання –а задача. Інакше вводимо до задачі нове обмеження .

Вважаємо, і повторюємо крок .

Алгоритм розв’язування багатокритеріальної задачі за методом

пріоритетів у випадку «справжніх» цільових функцій, а не таких, що

побудовані за допомогою відхилених змінних для виконання певних

обмежень, аналогічний.Аркуш

18

Page 18: Оформлення КП

Розв’язання:

Крок 0. Впорядковуємо цільові функції за спаданням пріоритету.

Будемо вважати, що максимізувати прибуток підприємства важливіше ніж

мінімізувати площі масивів, показники яких тісно пов’язані між собою, тобто

.

Крок 1. Розв’язуємо першу задачу лінійного програмування, тобто з

цільовою функцією, що має найбільший пріоритет.

Цільова функція:

Обмеження для F1:

Розв’язок наведено у таблиці:

Кількість продукції кожного виду

А,x1 В,х2 С,х3 Д,х4 Е,х5 F,х6 G,х7

12,00 8,00 0,00 0,00 200,00 0,00 0,00

Значення цільової функції дорівнює 7840.

Крок 2. Додаємо обмеження:

Воно гарантує, що розв’язок, отриманий на попередньому кроці, не

буде погіршено, і розв’язуємо наступну задачу лінійного програмування.

Цільова функція матиме вигляд:

Аркуш19

Page 19: Оформлення КП

Обмеження для F2:

Отриманий розв’язок щодо кількості товару буде аналогічний

першому, але значення цільової функції зміниться і буде дорівнювати 161,6.

Це означає, що у разі настання несприятливої ситуації фірма може

втратити 161,6 дол.

Аркуш20

Page 20: Оформлення КП

РОЗДІЛ 2. Практична частина

2.1. Опис засобів реалізації алгоритму в різних системах

2.1.1. Надбудова «Поиск решения»в Microsoft Excel

Спочатку вводимо початкові дані: цільову функцію та обмеження.

Для розв’язку задачі використовуємо надбудову в системі Exсel.

На Рисунку 2.1.1. показано діалогове вікно «Поиск решения»

Рис. 2.1.1. – Діалогове вікно «Поиск решения»

У цьому вікні задають наступні параметри:

«Установить целевую ячейку» - служить для вказівки цільової

комірки, значення якої необхідно максимізувати, мінімізувати або

встановити рівним заданому числу. Ця комірка повинна містити формулу.

«Равно» - служить для вибору варіанту оптимізації значення цільової

комірки (максимізація, мінімізація або підбір заданого числа). Щоб

встановити число, введіть його в поле.

«Изменяя ячейки» - служить для вказівки комірок, значення яких

змінюються в процесі пошуку розв’язку до тих пір, поки не будуть виконані

накладені обмеження і умова оптимізації значення комірки.

Page 21: Оформлення КП

«Предположить» - служить для автоматичного пошуку комірок, що

впливають на формулу, посилання на яку дане в полі «Установить целевую

ячейку». Результат пошуку відображається в полі «Изменяя ячейки».

«Ограничения» - служить для відображення списку граничних умов

поставленого завдання.

«Добавить» - служить для відображення діалогового вікна «Добавить

ограничение».

«Изменить» - служить для відображення діалогового вікна «Изменить

ограничение».

«Удалить» - служить для зняття вказаного обмеження.

«Выполнить» - служить для запуску пошуку розв’язку поставленої

задачі.

2.1.2. Функції Minimize та Maximize в системі MathCAD

У завданнях побудови математичних моделей значну роль

відіграють вбудовані функції Mіnіmіze і Maxіmіze. Ці функції

відносяться до категорії вбудованих функцій бібліотеки Solvіng і

реалізують процедуру пошуку экстремуму функцій F(x) багатьох змінних

xі як при наявності, так і при відсутності обмежень. Функції F(x) у

завданнях оптимізації можуть бути як лінійними, так і нелінійними

(наприклад, квадратичними). Тому при використанні вбудованих функцій

Mіnіmіze і Maxіmіze передбачено вибір методу оптимізації (наприклад,

метод сполучених градієнтів, метод Ньютона для нелінійних функцій

F(x)), для цього необхідно натиснути праву кнопку миші при

наведенному курсорі на Mіnіmіze або Maxіmіze.

Для пошуку максимумів і мінімумів будь-яких виразів алгебри по

одній або декількох змінних використовуються функції вигляду:

P:=Minimize(<имя функции>,<список переменных>),

P:=Maximize(<имя функции>,<список переменных>),

Аркуш22

Page 22: Оформлення КП

де Р – ім'я змінної (масиву змінних) для збереження результату.

При розв’язанні задачі оптимізації з допомогою функцій Minimize або

Maximize потрібно виконати наступні кроки:

Оголошуються змінні, котрі використовуються в цільовій функції та

системі обмежень. Після оголошення змінних вводиться цільова функція.

Для ведення системи обмежень відкривається блок Given. В ньому вводиться

безпосередньо система та інші обмеження, котрі наводяться в задачі. Після

введення системи для проведення оптимізації вводяться Maximize(Minimize)

з параметрами, котрі потрібні для визначення змінних. Після отримання

значень змінних визначаються значення цільової функції.

2.1.3. Функції Minimize та Maximize в системі Maple

Завдання лінійної оптимізації важливі як у фундаментальних, так і в

прикладних додатках математики. У пакеті simplex є невеликий, але

достатньо представницький набір функцій і визначень для розв’язування

таких завдань:

> with(simplex);

[basis, convexhull, cterm deftne_zero, display dual,feasible, maximize

minimize,pivot, pivoteqn, pivotvar, ratio, setup, standardize ]

Приведемо коротке призначення цих функцій:

basis — повернення списку основних змінних для безлічі

лінійних рівнянь;

cterm — завдання констант для системи рівнянь або нерівностей;

define_zero — визначення найменшого значення, що приймається

за нуль (за замовчуванням пов'язано із значенням системної змінної Digits);

display — виведення системи рівнянь або нерівностей в

матричній формі;

feasible — з'ясування можливості розв’язання заданої задачі;

maximize — обчислення максимуму функції;

Аркуш23

Page 23: Оформлення КП

minimize — обчислення мінімуму функції;

setup — завдання системи лінійних рівнянь;

standardize — приведення заданої системи рівнянь або

нерівностей до стандартної форми нерівностей типу «менше або рівно»…

Для пошуку екстремумів виразів (функцій) F служать функції

стандартної бібліотеки:

maximize(f, C)

minimize(f, C)

maximize(f, C, vartype)

minimize (f, C, vartype)

maximize(f, С,vartype, 'NewC', 'transform')

minimize (f, C, vartype, 'NewC', 'transform')

Тут f — лінійний вираз, С — множина або список умов, vartype — тип

змінних, що необов'язково задається, NONNEGATIVE або UNRESTRICTED,

NewC і transform — імена змінних, яким привласнюються відповідно

оптимальний опис і змінні перетворення.

Для визначення значення цільової функції ми використовуємо команду

subs(%,F), що виконує обчислення значення функції F з використання

значень змінних отриманих в попередньому виразі(знак % відображає

посилання на попередній вираз).

Аркуш24

Page 24: Оформлення КП

2.2. Детермінована задача та її розв’язування засобами Excel, MathCAD,

Maple

Розв’язання детермінованої задачі засобом MS Excel зображено на

рисунку 2.2.1.

Рис. 2.2.1. Розв’язок детермінованої задачі в системі Microsoft Excel

Повний розв’язок задачі з формулами міститься у Додатку А.

Аркуш25

Аркуш25

Page 25: Оформлення КП

Розв’язок детермінованої задачі засобом MathCAD зображено на

рисунку 2.2.2.:

Рис. 2.2.2. Розв’язок детермінованої задачі в системі MathCAD

Аркуш26

Page 26: Оформлення КП

Розв’язок детермінованої задачі засобом Maple зображено на рисунку

2.2.3.:

Рис. 2.2.3. Розв’язок детермінованої задачі в системі Maple

Отже, можна зробити висновок, що отримані значення цільової функції

та кількості продукції при розв’язанні детермінованої задачі дані в системах

Microsoft Excel, MathCAD та Maple мають однакові значення.

2.3. Розв’язування задачі з елементами стохастичної невизначеності

Нехай коефіцієнти цільової функції і коефіцієнти правих частин

обмежень – випадкові числа. Розв’язок зображено на рисунку 2.3.1.

Рис. 2.3.1. Розв’язок задачі в умовах стохастичної невизначеності в

системі Microsoft Excel

Аркуш27

Аркуш27

Page 27: Оформлення КП

Розв’язок задачі при коефіцієнтах цільової функції і коефіцієнтах

правих частин обмежень засобом MathCAD зображено на рисунку 2.3.2.:

Рис. 2.3.2. Розв’язок задачі в умовах стохастичної невизначеності в

системі MathCAD

Аркуш28

Page 28: Оформлення КП

Розв’язок задачі при коефіцієнтах цільової функції і коефіцієнтах

правих частин обмежень засобом Maple зображено на рисунку 2.3.3.:

Рис. 2.3.3. Розв’язок задачі в умовах стохастичної невизначеності в

системі Maple

Нехай коефіцієнти цільової функції і коефіцієнти лівих частин

обмежень – випадкові числа. Розв’язок в системі Microsoft Excel зображено

на рисунку 2.3.4.

Рис. 2.3.4. Розв’язок задачі в умовах стохастичної невизначеності в

системі Microsoft Excel

Повний розв’язок задачі з формулами знаходиться у Додатку В.

Аркуш29

Page 29: Оформлення КП

Розв’язок задачі при коефіцієнтах цільової функції і коефіцієнтах лівих

частин обмежень засобом MathCAD можна переглянути на рисунку 2.3.5.:

Аркуш30

Page 30: Оформлення КП

Рис. 2.3.5. Розв’язок задачі в умовах стохастичної невизначеності в

системі MathCAD

Розв’язок задачі при коефіцієнтах цільової функції і коефіцієнтах лівих

частин обмежень засобом Maple зображено на рисунку 2.3.6.:

Рис. 2.3.6. Розв’язок задачі в умовах нечіткої невизначеності в системі

Maple

Отже, можна зробити висновок, що отримані при розв’язанні задачі в

умовах стохастичної невизначеності дані в системах Microsoft Excel,

MathCAD та Maple мають однакові значення.

Аркуш31

Page 31: Оформлення КП

2.4. Задача оптимізації у нечіткій постановці

Розв’язок задачі в умовах нечіткої невизначеності в системі Microsoft

Excel зображено на рисунку 2.41.:

Рис. 2.4.1. Розв’язок задачі в умовах нечіткої невизначеності в системі

Microsoft Excel

Повний розв’язок задачі з формулами знаходяться в Додатку Г.

Аркуш32

Page 32: Оформлення КП

Розв’язок задачі в умовах нечіткої невизначеності в системі MathCAD

зображений на рисунку 2.4.2.:

Page 33: Оформлення КП

Рис. 2.4.2. Розв’язок задачі в умовах нечіткої невизначеності в системі

MathCAD

Аркуш34

Аркуш34

Page 34: Оформлення КП

Розв’язок задачі в умовах нечіткої невизначеності в системі Maple

зображений на рисунку 2.4.3.:

Рис. 2.4.3. Розв’язок задачі оптимізації у нечіткій постановці в системі

Maple

Отже, можна зробити висновок, що отримані при розв’язанні задачі

оптимізації у нечіткій постановці дані в системах Microsoft Excel, MathCAD

та Maple мають однакові значення.

Аркуш35

Page 35: Оформлення КП

2.5. Розв’язування задачі з елементами багатокритеріальної

невизначеності в системі Microsoft Excel, MathCAD, Maple

Розв’язок задачі у системі Microsoft Excel зображено на рисунку 2.5.1. :

Рис. 2.5.1. Розв’язок задачі з елементами багатокритеріальної

невизначеності в системі Microsoft Excel

Повний розв’язок задачі з формулами знаходиться в Додатку Д.

Аркуш36

Page 36: Оформлення КП

Розв’язок задачі з елементами багатокритеріальної невизначеності в

системі MathCAD зображено на рисунку 2.5.2.:

Page 37: Оформлення КП

Рис. 2.5.2. Розв’язок задачі з елементами багатокритеріальної

невизначеності в системі MathCAD

Аркуш38

Аркуш38

Page 38: Оформлення КП

Розв’язання задачі з елементами багатокритеріальної невизначеності в

системі Maple зображено на рисунку 2.5.3.:

Рис. 2.5.3. Розв’язок в умовах багатокритеріальної невизначеності в

системі Maple

Отже, можна зробити висновок, що при розв’язанні

багатокритеріальної задачі в умовах невизначеності в системах Microsoft

Excel, MathCAD та Maple отримали однакові результати. Також розв’язання

багатокритеріальнох задачі методом пріоритетів дало нам змогу змоделювати

ситуацію, у якій фірма буде отримувати максимальний дохід від вказаної

кількості прибутку з мінімальним ризиком втрат грошей.

Аркуш39

Page 39: Оформлення КП

2.6. Порівняльний аналіз розв’язків задачі в різних системах

Порівняльний аналіз розв’язків задачі в різних системах (табл. 2.6.1)

Система Невизначеність Оптимальне рішення

Excel

Детермінована задача

x1=12; x2=8; x3=3; x4=0; x5=197; x6=0; x7=0; y=7840

Стохастична

x1=12; x2=8; x3=0; x4=0; x5=192; x6=0; x7=0; y=7560

x1=0; x2=0; x3=0; x4=0; x5=306; x6=0; x7=0; y=10710

Нечіткаx1=7; x2=0; x3=0; x4=0; x5=213;

x6=1; x7=0; y=7845

Багатокритеріальнаx1=12; x2=8; x3=0; x4=0; x5=200;

x6=0; x7=0; y1=7840; у2=161,6

MathCAD

Детермінована задача

x1=13,33; x2=8,88; x3=0; x4=0; x5=197,77; x6=0; x7=0; y1=7856

Стохастична

x1=14,49; x2=138; x3=0; x4=0; x5=59,8; x6=0; x7=0; y1=7840; у2=6958

x1=0; x2=0; x3=0; x4=0; x5=306; x6=0; x7=0; y1=10730

Нечіткаx1=7,36; x2=; x3=0; x4=0;

x5=217,64; x6=0; x7=0; y1=7986

Багатокритеріальна

x1=13,33; x2=8,88; x3=0; x4=0; x5=197,7; x6=0; x7=0; y1=7856

x1=12; x2=8; x3=4; x4=0; x5=196; x6=0; x7=0; у2=165,8

Maple

Детермінована задача

x1=12; x2=8; x3=0; x4=0; x5=197; x6=0; x7=0; y1=7840

Стохастична

x1=12; x2=8; x3=0; x4=0; x5=192; x6=0; x7=0; y1=7560

x1=12; x2=8; x3=0; x4=0; x5=302; x6=0; x7=0; y1=10609

Нечіткаx1=0; x2=0; x3=0; x4=0; x5=225;

x6=0; x7=0; y1=7875

Багатокритеріальна

x1=12; x2=8; x3=3; x4=0; x5=197; x6=0; x7=0; y1=7840

x1=12; x2=8; x3=4; x4=0; x5=196; x6=0; x7=0; у2=165,8

З таблиці 2.5.1 видно, що розв’язки задач майже співпадають. Тому робимо висновок, що системи, які ми використовували при розв’язуванні оптимізаційних задач, а саме: Microsoft Exсel, Maple, MathCad, мають один і той же кінцевий результат.

Аркуш40

Page 40: Оформлення КП
Page 41: Оформлення КП

Аркуш42

Page 42: Оформлення КП

Аркуш43

Page 43: Оформлення КП

Аркуш44

Page 44: Оформлення КП

Аркуш45

Page 45: Оформлення КП

Аркуш46

Page 46: Оформлення КП

Аркуш47

Page 47: Оформлення КП

Аркуш48

Page 48: Оформлення КП

Аркуш49

Page 49: Оформлення КП

Аркуш50

Page 50: Оформлення КП

Аркуш51

Page 51: Оформлення КП

Аркуш52

Page 52: Оформлення КП

Аркуш53

Page 53: Оформлення КП

Аркуш54

Page 54: Оформлення КП

Аркуш55

Page 55: Оформлення КП

Аркуш56

Page 56: Оформлення КП

Аркуш57

Page 57: Оформлення КП

Аркуш58

Page 58: Оформлення КП

Аркуш59

Page 59: Оформлення КП

Аркуш60

Page 60: Оформлення КП

Аркуш61

Page 61: Оформлення КП

Аркуш62

Page 62: Оформлення КП

Аркуш63

Page 63: Оформлення КП

Аркуш64

Page 64: Оформлення КП

Аркуш65

Page 65: Оформлення КП

Аркуш66

Page 66: Оформлення КП

Аркуш67

Page 67: Оформлення КП

Аркуш68

Page 68: Оформлення КП

Аркуш69

Page 69: Оформлення КП

Аркуш70

Page 70: Оформлення КП

Аркуш71

Page 71: Оформлення КП

Аркуш72

Page 72: Оформлення КП

Аркуш73

Page 73: Оформлення КП

Аркуш74

Page 74: Оформлення КП

Аркуш75

Page 75: Оформлення КП

Аркуш76

Page 76: Оформлення КП

Аркуш77

Page 77: Оформлення КП

Аркуш78

Page 78: Оформлення КП

Аркуш79

Page 79: Оформлення КП

Аркуш80

Page 80: Оформлення КП

Аркуш81

Page 81: Оформлення КП

Аркуш82

Page 82: Оформлення КП

Аркуш83

Page 83: Оформлення КП

Аркуш84

Аркуш84

Page 84: Оформлення КП

Аркуш85

Page 85: Оформлення КП

Аркуш86

Page 86: Оформлення КП

Аркуш87

Page 87: Оформлення КП
Page 88: Оформлення КП

Аркуш89

Page 89: Оформлення КП